\section{K"orpererweiterungen} \subsection{Grundlagen und Definitionen} \begin{Beispiele} Ein K"orper ist nach \eref{DK}{LA1} ein kommutativer von Null verschiedener Ring, in dem jedes Element ungleich Null eine Einheit ist. Aus den Grundvorlesungen bekannt sind die K"orper $\DQ \subset \DR\subset \Bbb{C}$ der rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Allgemeiner haben wir\label{Kiou} in \eref{QoK}{LA1} zu jedem kommutativen Integrit"atsbereich $R$ seinen Bruchk"orper $$\op{Frac} R$$ konstruiert, zum Beispiel ist $\op{Frac} \DZ=\DQ$ der K"orper der rationalen Zahlen und $\op{Frac} K [X]=K(X)$ der Funktionenk"orper "uber einem gegebenen K"orper $K$. Weiter ist nach \ref{Ubb} der Quotientenring $R/pR$ von einem Hauptidealring nach dem von einem irreduziblen Element $p \in R$ erzeugten Ideal ein K"orper. Insbesondere sind die Restklassenringe $$ \DZ/p\DZ$$ f"ur $p$ eine Primzahl in $\DZ$ K"orper und desgleichen die Quotientenringe $$K[X]/\langle P\rangle$$ des Polynomrings $K[X]$ "uber einem K"orper $K$ nach einem irreduziblen Polynom $P \in K [X]$. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines K"orpers hei"st ein {\bf Unterk"orper},\index{Unterk"orper} wenn sie so mit der Struktur eines K"orpers versehen werden kann, da"s die Einbettung ein K"orperhomomorphismus ist. Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s unsere Teilmenge ein Teilring und mit der induzierten Ringstruktur ein K"orper ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sicher ist ein beliebiger Schnitt von Unterk"orpern eines K"orpers wieder ein Unterk"orper. Ist $K$ ein K"orper und $T \subset K$ eine Teilmenge, so hei"st der kleinste Unterk"orper von $K$, der $T$ enth"alt,\label{ezUK} der {\bf von $T$ erzeugte Unterk"orper}\index{Unterk"orper!erzeugt von Teilmenge}. Den kleinsten Unterk"orper von $K$, in anderen Worten den von der leeren Menge $T=\emptyset $ erzeugten Unterk"orper, nennt man den {\bf Primk"orper von} $K$.\index{Primk"orper} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden K"orper, ja jeden Ring $K$ erinnern wir uns aus \eref{charK}{LA1} an die Definition seiner {\bf Charakteristik}\index{Charakteristik} $(\op{char} K) \in \DN$ durch die Identit"at $$\ker (\DZ \ra K) = \DZ \cdot(\op{char} K)$$ Hier meint $\DZ \ra K$ den nach \eref{UEZz}{LA1} eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus von $\DZ$ nach $K$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Charakteristik}] Die Charakteristik ist also Null, wenn das neutrale Element der multiplikativen Gruppe $K^\times$ als Element der additiven Gruppe $(K,+)$ unendliche Ordnung hat, und ist sonst genau diese Ordnung. Gibt es demnach in noch anderen Worten eine nat"urliche Zahl $d>0$ derart, da"s in unserem K"orper $K$ gilt $1+1+\ldots+1=0$ ($d$ Summanden), so ist das kleinstm"ogliche derartige $d>0$ die Charakteristik $d=\op{char} K$ von $K$. Gibt es dahingegen kein derartiges $d$, so hat $K$ die Charakteristik Null. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\defnoind{Kleinster Unterk"orper eines K"orpers}] Die Charakteristik eines K"orpers $K$ ist entweder Null oder eine Primzahl und es gilt:\label{Char} $$\begin{array}{lcl} \op{char} K=0&\IFF&\text{ Der kleinste Unterk"orper von $K$ ist isomorph zu $\DQ;$}\\ \op{char} K=p>0&\IFF&\text{ Der kleinste Unterk"orper von $K$ ist isomorph zu $\Bbb{F}_p$.} \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $d=\op{char} K$. Da wir eine Inklusion $\DZ /d\DZ \hookrightarrow K$ haben, mu"s $\DZ/d\DZ$ ein Integrit"atsring sein, also ist nach \eref{EPK}{LA1} die Charakteristik eines K"orpers entweder null oder eine Primzahl. Im Fall $\op{char} K= p >0 $ prim induziert $\DZ \ra K$ unter Verwendung der universellen Eigenschaft des Restklassenrings \ref{RUE} oder spezieller \ref{FRII} einen Isomorphismus von $\Bbb{F}_{p} = \DZ/p\DZ$ auf einen Unterk"orper von $K$. Im Fall $d =0$ induziert $\DZ \ra K$ unter Verwendung der universellen Eigenschaft des Bruchk"orpers \eref{UEQ}{LA1} einen Isomorphismus von $\DQ = \op{Frac} \DZ$ auf einen Unterk"orper von $K$. Man pr"uft leicht, da"s die Bilder jeweils die kleinsten Unterk"orper von $K$ sind. \end{proof} \subsection{K"orpererweiterungen} \begin{Definition} Eine {\bf K"orpererweiterung}\index{K"orpererweiterung} ist ein Paar $L\supset K$ bestehend aus einem K"orper $L$ mit einem Unterk"orper $K$. So ein Paar $L\supset K$ nennt man dann auch eine {\bf K"orpererweiterung von $K$}. Man schreibt statt $L\supset K$ meist $L/K$ und nennt $K$ den \defind{Grundk"orper} und $L$ den \defind{Erweiterungsk"orper} oder \defind{Oberk"orper} der K"orpererweiterung.\label{KoEr} Von einer {\bf echten K"orpererweiterung}\index{K"orpererweiterung!echte} fordern wir zus"atzlich, da"s der Erweiterungsk"orper nicht mit dem Grundk"orper zusammenf"allt. \end{Definition} \begin{Beispiele} Ein Grundbeispiel ist die K"orpererweiterung $\DC\supset\DR$. Das Beispiel $\DC(X)\supset\DC(X^2)$ zeigt, da"s es auch bei einer echten K"orpererweiterung durchaus vorkommen kann, da"s es einen K"orperisomorphismus zwischen Grundk"orper und Oberk"orper gibt. In diesem Beispiel ist mit $\DC(X^2)\pdef \op{Frac}(\DC[X^2])$ der Bruchk"orper des Rings der geraden Polynome $\DC[X^2]\subset \DC[X]$ gemeint. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungw}\label{KEAH} In \ref{KEnn} werden wir unsere Definition ab"andern und vereinbaren, da"s eine K"orpererweiterung dasselbe ist wie ein K"orperhomomorphismus. Da K"orperhomomorphismen stets injektiv sind, ist das fast dasselbe. Zum jetzigen Zeitpunkt f"uhrt allerdings die Definition einer K"orpererweiterung als K"orperhomomorphismus noch nicht zu mehr Klarheit, sondern vielmehr zu einer unn"otig aufgebl"ahten Notation. Darunter leidet das Verst"andnis, so f"urchte ich, mehr als unter einer sp"ateren Umwidmung des Begriffs einer K"orpererweiterung. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}[\textbf{Erzeugung von K"orpererweiterungen}] Gegeben eine K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung $L/K$ und Elemente des Erweiterungsk"orpers $\al_1,\ldots,\al_n\in L$ bezeichnet man mit $K(\al_1,\ldots,\al_n)\subset L$ den von $K$ und den $\al_i$ \hyperref[ezUK]{erzeugten Unterk\"orper} von $L$. Er ist im allgemeinen verschieden von dem\label{koee} von $K$ und den $\al_i$ erzeugten Teilring $K[\al_1,\ldots,\al_n]\subset L$. Eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"se {\bf k"orperendlich},\index{k"orperendlich} wenn der Erweiterungsk"orper "uber dem Grundk"orper als K"orper endlich erzeugt ist, wenn es also in Formeln endlich viele Elemente $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L$ gibt mit $$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Das Symbol $K(X)$ kann nun leider auf zweierlei Weisen interpretiert werden: Einerseits als der Bruchk"orper des Polynomrings $K[X]$ "uber $K$ in einer Ver"anderlichen $X$, andererseits als der von $K$ und einem weiteren Element $X$ in einem gr"o"seren K"orper $L$ erzeugte Unterk"orper. Wie viele Autoren benutzen wir nach M"oglichkeit gro"se Buchstaben vom Ende des Alphabets f"ur die \glqq algebraisch unabh"angigen\grqq\ Variablen in einem Funktionenk"orper, also im ersten Fall, und kleine Buchstaben f"ur Elemente einer bereits gegebenen K"orpererweiterung, also im zweiten Fall. Wollen wir die Freiheit unserer Ver"anderlichen besonders betonen, so setzen wir wie in \ref{FST} ein \glqq Freiheitsstrichlein\grqq\ oben an die er"offnende Klammer und schreiben $K(' X)$\index{)5)@$K(' X)$ Funktionenk"orper} f"ur den Funktionenk"orper in einer Variablen $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben K"orper $K\subset L$ und eine Teilmenge $T\subset L$ bezeichnen wir mit $K(T)\subset L$ auch den von $K$ und $T$ in $L$ erzeugten Teilk"orper und nennen ihn den {\bf "uber $K$ von $T$ erzeugten Teilk"orper von $L$}. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s hier $T$ eine Teilmenge von $L$ ist und nicht etwa ein Element von $L$, schreiben wir auch ausf"uhrlicher $K(_!T)$.\label{EzTKK} Gegeben K"orper $K\subset L$ und eine Teilmenge $T\subset L$ kann der von $K$ und $T$ erzeugte Teilk"orper $K(_!T)\subset L$ von $L$ beschrieben werden als die Vereinigung aller von endlichen Teilmengen von $T$ "uber $K$ erzeugten Teilk"orper, in Formeln $$K(_!T)=\bigcup_{\substack{ n\geq 0 \\ \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in T}}K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$$ \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Wir haben $\DR (\op{i}) = \DR [\op{i}] = \Bbb{C}$ und $\DQ [\sqrt{2}] = \DQ (\sqrt{2})$, aber $K['X] \neq K ('X)$, der Polynomring ist n"amlich verschieden von seinem Bruchk"orper. \end{Beispiele} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Alle Elemente von $\DQ(\sqrt{2})$ lassen sich eindeutig schreiben in der Form $a+b\sqrt{2}$ mit $a,b\in \DQ$, vergleiche \eref{KRCC}{GR}. Man schreibe das Inverse von $7+\sqrt{2}$ in dieser Form. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige $\sqrt{5} \not\in \DQ (\sqrt{2})$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $a,b\in \DQ^\times$ zeige man, da"s gilt $\DQ(\sqrt{a})= \DQ(\sqrt{b})$ genau dann, wenn $a/b$ in $\DQ$ ein Quadrat ist. Gegeben allgemeiner K"orper $K\subset L$ einer von zwei verschiedenen Charakteristik und $\alpha,\beta\in L^\times$ mit $\alpha^2,\beta^2\in K$ zeige man, da"s gilt $K(\alpha) = K(\beta)$ genau dann, wenn $\alpha/\beta\in K$.\label{uaWu} \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Sehr viel allgemeiner kann man f"ur paarweise verschiedene Primzahlen $p,q,\ldots, r$ und beliebige $l,m,\ldots,n\geq 2$ zeigen, da"s gilt $$\sqrt[l]{p} \not\in \DQ (\sqrt[m]{q},\ldots ,\sqrt[n]{r})$$ Das und vieles weitere in dieser Richtung lernt man in der algebraischen Zahlentheorie, die auf dieser Vorlesung aufbaut. Den Fall $l=m=\ldots=n= 2$ behandeln wir in \ref{QaWN}. Noch allgemeiner zeigt Besicovich \cite{Bes}, da"s gegeben paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\ldots, p_s$ und positive nat"urliche durch keine dieser Primzahlen teilbare Zahlen $a_1,\ldots, a_s$ und beliebige positive nat"urliche Zahlen $n_1,\ldots, n_s$ stets gilt $$[\DQ(\sqrt[n_1]{p_1a_1}, \ldots,\sqrt[n_s]{p_sa_s}):\DQ]=n_1\ldots n_s$$ Die Wurzeln sind hierbei stets als die positiven Wurzeln in $\DR$ zu verstehen. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}\label{KEPPa} %\label{KEPP} Sei $L/K$ eine K"orpererweiterung und seien $P,Q\in K[X]$ teilerfremd in $K[X]$. So haben $P$ und $Q$ auch in $L$ keine gemeinsame Nullstelle. Hinweis: Unser Polynomring ist ein Hauptidealring. Nun verwende man ein Analogon des Satzes von B\'ezout. Weitergehende Aussagen in Richtung dieser "Ubung fa"st Proposition \ref{ggTP} zusammen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KPPa} Seien $K$ ein K"orper und $P\in K[X]\backslash K$ ein nichtkonstantes Polynom. So ist der Ringhomomorphismus $K[Y]\ra K[X]$ mit $Y\mapsto P$ injektiv und die davon induzierte K"orpererweiterung $K(Y)\hra K(X)$ hat als Grad den Grad von $P$. \end{Ubung} \subsection{Elemente von K"orpererweiterungen} \begin{Definition}\label{algK} Sei $L/K$ eine K"orpererweiterung und $\al\in L$. Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom $0\neq Q \in K [X]$ mit $Q (\al) =0$, so hei"st $\al$ \defnoind{algebraisch "uber $K$}.\index{algebraisch!in K"orpererweiterung} Sonst hei"st $\al$ {\bf transzendent "uber $K$}\index{transzendent!in K"orpererweiterung}. Unter einer {\bf algebraischen}\index{algebraisch!komplexe Zahl} beziehungsweise {\bf transzendenten Zahl}\index{transzendent!komplexe Zahl} versteht man eine komplexe Zahl, die algebraisch beziehungsweise transzendent ist "uber dem K"orper der rationalen Zahlen. Ein ber"uhmter Satz von Lindemann besagt, da"s die Kreiszahl $\pi\in\DR$ transzendent ist "uber dem K"orper $\DQ$ der rationalen Zahlen, vergleiche \eref{PiTr}{AN1}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ und ein Element $\al \in L$ betrachten wir die Auswertungsabbildung $$\begin{array}{ccc} K [X] & \rightarrow &L\\ Q & \mapsto & Q(\al) \end{array}$$ Ist $\al$ transzendent, so ist diese Abbildung injektiv und induziert nach der universellen Eigenschaft des Bruchk"orpers \eref{UEQ}{LA1} einen Isomorphismus $K(X) = \op{Frac} K [X] \sira K (\al) \subset L$. Den anderen Fall kl"art der folgende Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber das Minimalpolynom}] Seien $L/K$ eine K"orpererweiterung und $\al\in L$ algebraisch\label{Irr} "uber $K$. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt in $K[X]$ unter allen normierten Polynomen $P$ mit $P(\al)=0$ genau eines von minimalem Grad. Es hei"st das \defnoind{\em Minimalpolynom $P=\op{Irr}(\al,K)$ von $\al$ "uber $K$};\index{Minimalpolynom}\index{Irr@$\op{Irr}(\al,K)$ Minimalpolynom} \item\label{Irr2} Dies Minimalpolynom ist $K$-irreduzibel und jedes Polynom $Q\in K[X]$ mit einer Nullstelle bei $\al$ ist ein Vielfaches des Minimalpolynoms von $\al$; \item Gegeben ein normiertes $K$-irreduzibles Polynom $Q\in K[X]$ mit einer Nullstelle bei $\al$ ist $Q$ bereits das Minimalpolynom von $\al$; \item Das Auswerten bei $\al$ liefert einen K"orperisomorphismus $$K[X]/\langle\op{Irr} (\al,K)\rangle\sira K (\al)$$ \item\label{Irr4} Ist $d=\op{grad} (\op{Irr} (\al,K))$ der Grad des Minimalpolynoms von $\alpha$ "uber $K$, so bilden die Potenzen $1,\al,\al^2,\ldots,\al^{d-1}$ eine Basis des $K$-Vektorraums $K(\al)$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel} Wir betrachten die K"orpererweiterung $\DC/\DR$. Das Element $\op{i}\in\DC$ ist algebraisch "uber $\DR$ mit Minimalpolynom $\op{Irr}(\op{i},\DR)=X^2+1$. Wir haben $\DR(\op{i})=\DC$ und die Abbildung $\DR[X]\ra \DC$ mit $X\mapsto \op{i}$ definiert einen Ringisomorphismus $\DR[X]/\langle X^2+1\rangle\sira \DC$. Die beiden Elemente $1=\op{i}^0$ und $\op{i}=\op{i}^1$ bilden eine Basis von $\DC$ "uber $\DR$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Da wir $\alpha$ algebraisch angenommen hatten, ist die Auswertungsabbildung $\varphi_{\al} : K [X] \rightarrow L$ gegeben durch $ Q \mapsto Q(\al)$ keine Injektion. Folglich ist ihr Kern nicht das Nullideal $\op{ker}(\varphi_{\al})\neq 0$. Da $K [X]$ nach \ref{PReF} ein Hauptidealring ist, gibt es mithin ein von Null verschiedenes und dann nat"urlich auch ein normiertes Polynom $P\in K[X]$ mit $$\ker(\varphi_{\al})=\langle P\rangle $$ Alle anderen normierten Polynome aus $\langle P\rangle $ haben offensichtlich einen Grad, der echt gr"o"ser ist als der Grad von $P$, und das zeigt bereits den ersten Teil des Satzes. Der von $\varphi_\alpha$ nach dem nach dem Isomorphiesatz f"ur Ringe \ref{FRII} induzierte Isomorphismus $\bar \varphi_\alpha: K[X]/\ker(\varphi_{\al}) \sira \op{im}(\varphi_\alpha)$ liefert in unserem Fall eine Einbettung $$\bar\varphi_\alpha:K[X] /\langle P\rangle \hookrightarrow L$$ Deren Bild ist der von $K$ und $\alpha$ erzeugte Teilring $\op{im}(\varphi_\alpha)=\op{im}(\bar \varphi_\alpha)=K[\alpha]$ von $L$ und ist insbesondere ein Integrit"atskring. Damit ist auch $K[X] /\langle P\rangle $ ein Integrit"atskring und nach unseren allgemeinen Erkenntnissen zu Quotienten von Hauptidealringen \ref{Ubb} ist notwendig $P$ irreduzibel und $K[X] /\langle P\rangle $ sogar ein K"orper. Damit k"onnen wir das Bild $K[\alpha]$ auch beschreiben als den von $\alpha$ und $K$ erzeugten Teilk"orper $K(\alpha)$ von $L$, in Formeln $K[\alpha]=K(\alpha)$, und unser Einsetzungshomomorphismus $\varphi_\alpha$ induziert einen Isomorphismus $$\bar\varphi_\alpha:K[X] /\langle P\rangle \sira K(\al)$$ Nach \ref{BQP} bilden f"ur jedes normierte Polynom $P$ und $d=\op{grad} P$ die Bilder der Potenzen $1,X,X^2,\ldots,X^{d-1}$ eine Basis von $K[X] /\langle P\rangle $ "uber $K$. Damit bilden dann auch $1,\al,\al^2,\ldots,\al^{d-1}$ eine Basis von $K(\al)$ "uber $K$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich will die Irreduzibilit"at des Minimalpolynoms auch noch einmal ganz explizit begr"unden. W"are das Minimalpolynom $P$ ein Produkt $P=QR$ von Polynomen positiven Grades, so g"alte $Q(\alpha)\neq 0\neq R(\alpha)$ wegen der Minimalit"at des Minimalpolynoms, und das w"urde sofort zum Widerspruch $P(\alpha)\neq 0$ f"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $L/K$ ein K"orpererweiterung und $\al\in L$. Das Minimalpolynom von $\al$ "uber $K$ ist im allgemeinen nur in $K[X]$ irreduzibel, in $L[X]$ spaltet es zumindest einen Faktor $(X-\al)$ ab und ist also reduzibel,\label{MipI} es sei denn, wir sind im Fall $\al\in K$. Zum Beispiel ist $X^3-2$, da es ja $\DQ$-irreduzibel ist, das Minimalpolynom von $\sqrt[3]{2}$ "uber $\DQ$ und es gilt $$\DQ(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2\mid a,b,c\in\DQ\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist eine K"orpererweiterung als K"orpererweiterung erzeugt von einem einzigen Element "uber dem Grundk"orper, so nennt man sie eine {\bf einfache}\index{einfach!K"orpererweiterung}\index{K"orpererweiterung!einfache} oder auch eine {\bf primitive K"orpererweiterung}\index{primitiv!K"orpererweiterung}\index{K"orpererweiterung!primitive} des Grundk"orpers und das fragliche Element hei"st ein {\bf primitives Element}\index{Element!primitives} der K"orpererweiterung.\index{primitiv!Element von K"orpererweiterung} In dieser Terminologie geben die vorhergehenden "Uberlegungen einen "Uberblick "uber die primitiven Erweiterungen eines gegebenen K"orpers: Bis auf den Funktionenk"orper sind das genau die Faktorringe des Polynomrings nach irreduziblen Polynomen. Dabei k"onnen allerdings verschiedene\label{pKEE} normierte irreduzible Polynome durchaus zu \glqq derselben\grqq\ primitiven K"orpererweiterung f"uhren -- und was hier genau mit \glqq derselben\grqq\ K"orpererweiterung gemeint ist, wird im weiteren noch ausf"uhrlich diskutiert werden m"ussen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Alle Elemente von $\DQ(\sqrt[3]{2})$ lassen sich eindeutig schreiben in der Form $a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2 $ mit $a,b,c\in \DQ$. Man schreibe das Inverse von $7+\sqrt[3]{2}$ in dieser Form. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ und ein Element $a\in L$, das algebraisch ist "uber $K$, zeige man, da"s das Minimalpolynom $\op{Irr}(a;K)$ bis auf ein Vorzeichen mit dem charakteristischen Polynom nach \eref{carPf}{LA1} des durch Multiplikation mit $a$ gegebenen Endomorphismus des $K$-Vektorraums $K(a)$ zusammenf"allt. Hinweis: Cayley-Hamilton. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $1+\op{i}$ "uber $\DR$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Zeigen Sie, da"s das Minimalpolynom von $\sqrt[3]{2}$ "uber $\DQ$ in $\DQ(\sqrt[3]{2})$ nicht in Linearfaktoren zerf"allt. Zeigen Sie, da"s f"ur jede Einheitswurzel $\zeta$ das Minimalpolynom von $\zeta$ "uber $\DQ$ in $\DQ(\zeta)$ in Linearfaktoren zerf"allt. Zeigen Sie, da"s f"ur $\zeta$ eine nichttriviale dritte Einheitswurzel und $K=\DQ(\zeta)$ das Minimalpolynom von $\sqrt[3]{2}$ "uber $K$ in $K(\sqrt[3]{2})$ in Linearfaktoren zerf"allt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{UEC} Sei $K \supset \Bbb{C}$ eine K"orpererweiterung von $\Bbb{C}$. Gilt $K \neq \Bbb{C}$, so kann der $\Bbb{C}$-Vektorraum $K$ nicht von einer abz"ahlbaren Teilmenge erzeugt werden, als da hei"st, $K$ hat \glqq "uberabz"ahlbare Dimension\grqq\ "uber $\Bbb{C}$. Hinweis: $\DC$ ist algebraisch abgeschlossen nach \eref{FA}{AN1} und abz"ahlbar viele gebrochen rationale Funktionen aus $\Bbb{C} (X)$ k"onnen nur abz"ahlbar viele Polstellen haben. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{JHG} Seien $ R\supset K$ ein Kring mit einem Teilring, der sogar ein K"orper ist. Genau ist $\alpha\in R$ Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms $P\in K[X]$, wenn $K[\alpha]$ endlichdimensional ist als $K$-Vektorraum. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{JHGb} Seien $R\supset K$ ein Kring mit einem Teilring, der sogar ein K"orper ist. Ist $R$ endlichdimensional als $K$-Vektorraum und ein Integrit"atsring, so ist $R$ auch selbst bereits ein K"orper. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Algt} Sei $K$ ein K"orper und $K(X)$ der Funktionenk"orper "uber $K$. So sind die Elemente von $K$ die einzigen Elemente von $K(X)$, die algebraisch sind "uber $K$. \end{Ubung} \subsection{Endliche K"orpererweiterungen} \begin{Definition} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ ist der Oberk"orper $L$ in nat"urlicher Weise ein Vektorraum "uber dem Unterk"orper $K$. Die Dimension von $L$ als $K$-Vektorraum notieren wir $$[L : K] \pdef \dim_{K} L \in \DN \cup \{\infty\}$$ und nennen sie den {\bf Grad der K"orpererweiterung}.\index{Grad!einer K"orpererweiterung} Eine K"orpererweiterung von endlichem Grad hei"st eine {\bf endliche K"orpererweiterung}.\index{endlich!K"orpererweiterung} \index{K"orpererweiterung!endliche} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Jede endliche K"orpererweiterung ist k"or\-per\-end\-lich im Sinne unserer Definition \ref{koee}, aber das Umgekehrte gilt nicht. Wenn wir einmal Moduln "uber Ringen eingef"uhrt haben, werden wir unsere endlichen K"orpererweiterungen manchmal auch ausf"uhrlicher {\bf modulendlich}\index{modulendlich} nennen, um diesen Unterschied zu betonen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grad einer primitiven K"orpererweiterung}] Ist $L/K$ eine K"orpererweiterung und $\alpha\in L$ algebraisch "uber $K$, so stimmt nach dem letzten Teil des Satzes \ref{Irr} "uber das Minimalpolynom der Grad $[K(\al) : K]$ der von $\alpha$ erzeugten K"orpererweiterung "uberein mit dem Grad $\op{grad} (\op{Irr} (\al,K))$ des Minimalpolynoms von $\alpha$ "uber $K$. Daher r"uhrt wohl auch die Begriffsbildung des \glqq Grades einer K"orpererweiterung\grqq. Wir vereinbaren f"ur diese Zahl die abk"urzende Bezeichnung $$\op{grad}_K(\alpha)\pdef\op{grad} (\op{Irr} (\al,K))=[K(\al) : K]$$ und nennen sie den {\bf Grad von $\al$ "uber $K$}\index{Grad!von Element in K"orpererweiterung}.\index{grad@$\op{grad}_K(\alpha)$ Grad von $\al$ "uber $K$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Notation}] Man kann sich fragen, warum man f"ur den Grad einer K"orpereweiterung $L/K$ zus"atzlich zu $\op{dim}_K L$ noch eine eigene Notation einf"uhren sollte. Meine Antwort auf diese Frage w"are, da"s in der Notation $\op{dim}_K L$ der K"orper $K$ unten im Index steht und dadurch weniger wichtig erscheint und schlecht selbst mit Indizes versehen werden kann. Diese Notation ist deshalb nur f"ur das Arbeiten "uber einem festen K"orper $K$ praktisch. Im Zusammenhang der K"orpertheorie aber sind alle auftretenden K"orper gleicherma"sen Hauptdarsteller, und in derartigen Situationen ist eine Notation wie $[L : K]$ geschickter. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Es gilt $[\DQ (\sqrt{2}): \DQ] =2$, $[\Bbb{C} : \DR] = 2$, $[\DR : \DQ] = \infty$. \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Jede endliche K"orpererweiterung $L/K$ eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers ist trivial, als da hei"st, es gilt $L=K$. In der Tat mu"s das Minimalpolynom jedes Elements von $L$ den Grad Eins haben. Eine andere Formulierung eines sehr "ahnlichen Arguments war "Ubung \eref{JUI}{LA1}. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{ae} Sei $L/K$ eine K"orpererweiterung. F"ur $\al \in L$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Das Element $\al$ ist algebraisch "uber $K$; \item $[K(\al):K] < \infty$; \item Es gibt einen Zwischenk"orper $K\subset L' \subset L$ mit $ [L^{\prime}:K] < \infty$ und $\al \in L^{\prime}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] $1 \Rightarrow 2$ folgt unmittelbar aus \ref{Irr}. Die Implikation $ 2 \Rightarrow 3$ ist offensichtlich. Aber falls gilt $\dim_{K} L^{\prime} < \infty$, k"onnen die Potenzen $\al^{\nu}$ von $\al$ f"ur $\nu = 0,1,2, \ldots$ nicht $K$-linear unabh"angig sein, also $3 \Rightarrow 1$. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% *Q \begin{Definition} Eine K"orpererweiterung vom Grad $2$ hei"st eine {\bf quadratische K"orpererweiterung}. \index{K"orpererweiterung!quadratische} \index{quadratisch!K"orpererweiterung} \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Quadratische K"orpererweiterungen}] In Charakteristik $\neq 2$ sind f"ur eine K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung\label{QK} $L/K$ gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $L/K$ ist eine quadratische K"orpererweiterung, in Formeln $[L:K] =2$. \item $L$ entsteht aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel, in Formeln $L = K (\al)$ f"ur ein $\al \in L \backslash K$ mit $\al^{2} \in K$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 2 $\Rightarrow$ 1 ist klar. F"ur die andere Richtung 1 $ \Rightarrow$ 2 beachte man, da"s jedes $\beta \in L \backslash K$ ja notwendig ein Minimalpolynom $P(X) = X^{2} + aX +b$ vom Grad zwei hat. Schreiben wir das um zu $P(X) = (X + \frac{a}{2})^{2} + (b - \frac{a^{2}}{4})$, so finden wir $(\beta + \frac{a}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} - b$ und das gesuchte $\al$ ist $\al = \beta +\frac{a}{2}$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Wir werden in \ref{KeK} sehen, da"s auch der K"orper $\Bbb{F}_2$ eine Erweiterung vom Grad $2$ besitzt. Diese Erweiterung entsteht jedoch sicher nicht durch Adjunktion einer Quadratwurzel, da jedes Element von $\Bbb{F}_2$ seine eigene Quadratwurzel ist. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Turmregel}\index{Turmregel}] Gegeben K"orper $M \supset L \supset K$ alias ein \emph{\bf K"orperturm}\index{K"orperturm} gilt\label{et} $$[M : K] = [M : L] [L : K]$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten nur den endlichen Fall, die anderen F"alle mag sich der Leser selbst "uberlegen. Sei $m_1,\ldots ,m_r$ eine Basis von $M$ "uber $L$ und $l_1,\ldots,l_s$ eine Basis von $L$ "uber $K$. Wir behaupten, da"s dann die Produkte $l_i m_j$ eine Basis von $M$ "uber $K$ bilden. Nat"urlich sind sie ein Erzeugendensystem. Gilt andererseits $\sum_{i,j}k_{ij}l_i m_j=0$ mit $k_{ij}\in K$, so folgt zun"achst $\sum_{i}k_{ij}l_i=0$ f"ur alle $j$ aufgrund der linearen Unabh"angigkeit der $m_j$ "uber $L$ und dann $k_{ij}=0$ f"ur alle $i,j$ aufgrund der linearen Unabh"angigkeit der $l_i$ "uber $K$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Grade von Elementen in K"orpererweiterungen}] Gegeben eine endliche K"orpererweiterung ist jedes Element des Oberk"orpers algebraisch "uber dem Unterk"orper und sein Grad "uber dem Unterk"orper teilt den Grad unserer K"or\-per\-erweiterung.\label{KG} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei $L/K$ unsere K"orpererweiterung und $\al \in L$ unser Element. Die Kette $L\supset K(\al)\supset K$ zeigt $[L:K]=[L:K(\al)][K(\al):K]$ mit der Turmregel \ref{et}. \end{proof} \begin{Beispiel} Es gilt $\sqrt{2} \not\in \DQ (\sqrt[3]{2})$. In der Tat sind nach \ref{IPo} die Polynome $X^{2}-2$ und $X^{3}-2$ irreduzibel in $\DQ [X]$, nach \ref{MipI} sind sie also bereits die Minimalpolynome von $\sqrt{2}$ beziehungsweise $\sqrt[3]{2}$ und folglich hat $\sqrt{2}$ den Grad $2$ "uber $\DQ$ und $\sqrt[3]{2}$ den Grad $3$. Die Annahme $\sqrt{2} \in \DQ (\sqrt[3]{2})$ impliziert aber $\DQ (\sqrt[3]{2})\supset \DQ (\sqrt{2})\supset \DQ$ und so mit der Turmregel $[\DQ (\sqrt[3]{2}):\DQ (\sqrt{2})]\cdot 2=3$, Widerspruch. \end{Beispiel} \begin{Korollar} Seien $L/K$ eine K"orpererweiterung und $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L$ algebraisch "uber $K$. So ist $K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ endlich "uber $K$ und insbesondere sind alle Elemente dieser K"orpererweiterung auch algebraisch "uber $K$.\label{AlA} \end{Korollar} \begin{proof} Im K"orperturm $K\subset K(\alpha_1)\subset K(\alpha_1,\alpha_2)\subset \ldots\subset K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ sind alle Schritte endliche K"orpererweiterungen. Nach der Turmregel \ref{et} ist also auch die ganze Erweiterung endlich. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Ist $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ algebraisch "uber $\DQ$? Wenn ja, was ist sein Minimalpolynom "uber $\DQ$? Liegt $\sqrt{2}$ in $\DQ(\sqrt{2}+\sqrt{3})?$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $K$ ein K"orper und seien $P, Q\in K[X]$ irreduzibel mit $\op{grad} P$ und $\op{grad} Q$ teilerfremd. Sei $L=K(\alpha)$ eine K\"orpererweiterung von $K$, wobei $\alpha\in L$ eine Nullstelle von $P$ ist. Dann ist $Q$ auch irreduzibel in $L[X]$. Hinweis: W"are sonst $\beta$ Nullstelle eines irreduziblen Faktors von $Q$ in $L[X]$, so h"atte $K(\alpha,\beta)$ zu kleinen Grad "uber $K$, denn es umfa"st $K(\alpha)$ und $K(\beta)$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Die durch den Funktionenk"orper $K(X)$ "uber einem vorgegebenen K"orper $K$ gegebene K"orpererweiterung $K(X)/K$ ist stets k"orperendlich, aber nie endlich. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KOII} Man zeige f"ur jede K"orpererweiterung $L/K$, da"s ihr Grad "ubereinstimmt mit dem Grad der auf den Funktionenk"orpern induzierten Erweiterung, in Formeln $[L:K]=[L(X):K(X)]$. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall primitiver Erweiterungen zur"uck und verwende \ref{Ipou} und \ref{Algt}. \end{Ubung} \subsection{Notationen f"ur Erzeugung**} \begin{Bemerkungl}\label{NfE} Im folgenden sollen die folgenden Konventionen befolgt werden: \begin{description} \item[$|\;\rangle$] Unsymmetrische Klammern\index{)5>@$\mid\;\rangle$ Erzeugung als Monoid} verwenden wir, um {\bf Erzeugung als Monoid} anzudeuten, manchmal in der Form $|\;\;;\top\rangle$ im Fall der Verkn"upfung $\top$; \item[$\langle\;\rangle$] Spitze Klammern\index{)5>@$\langle\;\rangle$ Erzeugung als Gruppe oder Modul} verwenden wir, um {\bf Erzeugung als Modul} oder {\bf Erzeugung als Gruppe} anzudeuten, manchmal in der Form $\langle\;\rangle_k$ im Fall von Moduln "uber einem Ring $k$; \item[${[\;]}$] Eckige Klammern verwenden wir,\index{)5]@$[\;]$ Erzeugung als Kring} um {\bf Erzeugung als Kring} anzudeuten, allgemeiner auch Erzeugung als Ring "uber einem nicht notwendig kommutativen Ring, aber mit paarweise kommutierenden Erzeugern; \item[$\lfloor\;\rfloor$] Oben offene eckige Klammern verwenden wir, um {\bf Erzeugung als Ring} anzudeuten, insbesondere im Fall von nicht kommutierenden Erzeugern;\index{)5floor@$\lfloor\;\rfloor$ Erzeugung als Ring} \item[$(\;)$] Runde Klammern \index{)5)@$(\;)$ Erzeugung als K"orper} verwenden wir, um {\bf Erzeugung als K"orper} anzudeuten; \item[$|_!\;\rangle, \langle_!\;\rangle, {[_!\; ]} ,\lfloor_!\;\rfloor, (_!\;) $] Steht\index{)0b@$(_{~!}\;)$ Mengenanzeiger} zwischen den Klammern nur ein Symbol und meint dies Symbol eine Menge von Erzeugern und nicht einen einzigen Erzeuger, so kann das aber mu"s nicht durch ein Ausrufezeichen unten an der er"offnenden Klammer angezeigt werden, den {\bf Mengenanzeiger};\index{Mengenanzeiger} \item[$|'\;\rangle, \langle'\;\rangle, {['\; ]}, \lfloor'\;\rfloor$] Freies Erzeugen\index{)0d@$ {['\; ]},\langle'\;\rangle,\ldots$ Freiheitsstrichlein} als Monoid oder Modul oder Kring oder Kringerweiterung kann aber mu"s nicht durch ein kleines {\bf Freiheits\-strichlein}\index{Freiheitsstrichlein} oben an der er"offnenden Klammer angezeigt werden; \item[$('\;)$] Im Fall einer K"orpererweiterung meint das {\bf Freiheits\-strichlein}, da"s zwischen den Klammer algebraisch unabh"angige Erzeuger stehen. \end{description} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Wir schreiben $k['x_1,\ldots,x_n]=k[ x_1,\ldots,x_n]$ f"ur Polynomring "uber $k$ in den Variablen $x_1,\ldots,x_n$. Der freie $k$-Vektorraum "uber einer Menge $X$ aus \eref{kX}{LA1} kann bezeichnet werden mit $k\langle'_! X\rangle=k\langle X\rangle=kX$. Ist ein $k$-Vektorraum $M$ bereits gegeben und $X\subset M$ eine Teilmenge, so schreiben wir $\langle_! X\rangle_k= \langle X\rangle_k =\langle kX\rangle\subset M$ f"ur den von $X$ erzeugten Untervektorraum. Wir k"urzen $\langle \{x_1,\ldots,x_n\}\rangle_k =\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k=k\langle x_1,\ldots,x_n\rangle$ ab und lassen $k$ ganz weg, wenn wir hoffen, da"s es aus dem Kontext hervorgeht oder wenn die Erzeugung als Untergruppe gemeint ist. Allerdings setzen wir nur dann ein Freiheitsstrichlein, wenn die Erzeuger linear unabh"angig sind. Sind weiter $ R\supset k$ ein Kring mit einem Teilring und sind $x_1,\ldots, x_n$ Elemente von $R$, so notieren wir $k[x_1,\ldots,x_n]\subset R$ den von den $x_i$ "uber $k$ in $R$ erzeugten Teilring und erlauben uns das Freiheitsstrichlein nur, wenn die Erzeuger "uber $k$ algebraisch unabh"angig sind. \end{Beispiele} % \begin{Beispiele} % Mit der Notation $\cal{C}{^\uparrow}X$ aus \eref{FrO}{TF} schreiben wir % also % $$k\op{-Mod}{^\uparrow} \{ x_1,\ldots,x_n\} % =k\langle'x_1,\ldots,x_n\rangle=k\langle x_1,\ldots,x_n\rangle$$ f"ur den % freien $k$-Modul mit Erzeugern $x_1,\ldots,x_n$ und % $$\op{Kring}^{k}{^\uparrow} \{ x_1,\ldots,x_n\} % =k['x_1,\ldots,x_n]=k[ x_1,\ldots,x_n]$$ f"ur Polynomring "uber $k$ in den % Variablen $x_1,\ldots,x_n.$ Bezeichnet weiter $\op{K"orper}^k$ die Kategorie % aller K"orpererweiterungen eines gegebenen K"orpers $k,$ so schreiben wir % $$\op{K"orper}^{k}{^\uparrow}\{ x_1,\ldots ,x_n\}=k('x_1,\ldots ,x_n) % =k(x_1,\ldots ,x_n)$$ f"ur den Funktionenk"orper "uber $k$ in den algebraisch % unabh"angigen Ver"anderlichen $x_1,\ldots ,x_n$. Steht nur ein Symbol % zwischen den Erzeugungsklammern, so gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen, % ob dies Symbol f"ur einen einzigen Erzeuger steht oder vielmehr f"ur eine % Menge von Erzeugern. Letzteres kann, mu"s aber nicht durch ein Ausrufezeichen % unten an der er"offnenden Klammer angezeigt werden. F"ur den freien $k$-Modul % "uber einer Menge $X$ benutzen wir meist noch k"urzer die Notation $kX,$ so % da"s er also bezeichnet werden kann mit % $$k\op{-Mod}{^\uparrow} X=k\langle'_! X\rangle=k\langle X\rangle=kX$$ % Ist ein $k$-Modul $M$ bereits gegeben und $X\subset M$ eine Teilmenge, so % schreiben wir $\langle_! X\rangle_k= \langle X\rangle_k\subset M$ f"ur den von % $X$ erzeugten Untermodul, k"urzen $\langle \{x_1,\ldots,x_n\}\rangle_k % =\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k=k\langle x_1,\ldots,x_n\rangle$ ab und lassen % $k$ ganz weg, wenn wir hoffen, da"s es aus dem Kontext hervorgeht oder wenn % Erzeugung "uber $\DZ$ gemeint ist. Allerdings setzen wir nur dann ein % Freiheitsstrichlein, wenn die Erzeuger linear unabh"angig sind. Ist weiter % $R\in \op{Kring}^k$ bereits gegeben und sind $x_1,\ldots, x_n$ Elemente von % $R,$ so notieren wir $k[x_1,\ldots,x_n]\subset R$ den von den $x_i$ "uber $k$ % in $R$ erzeugten Teilring und erlauben uns das Freiheitsstrichlein nur, wenn % die Erzeuger "uber $k$ algebraisch unabh"angig sind. Bei der Erzeugung als % K"orper verwenden wir analoge Notationen. % \end{Beispiele} \subsection{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal} \begin{Definition} Sei $E \subset \Bbb{C}$ eine Teilmenge der komplexen Zahlenebene. \begin{enumerate} \item Eine reelle affine Gerade durch zwei verschiedene Punkte von $E$ hei"st eine \glqq aus $E$ elementar konstruierbare Gerade\grqq; \item Ein Kreis durch einen Punkt von $E$ mit Mittelpunkt in einem anderen Punkt von $E$ hei"st ein \glqq aus $E$ elementar konstruierbarer Kreis\grqq\ ; \item Alle aus $E$ elementar konstruierbaren Geraden und Kreise fassen wir zusammen unter dem Oberbegriff der \glqq aus $E$ elementar konstruierbaren Figuren\grqq; \item Ein Punkt $z \in \Bbb{C}$ hei"st {\bf elementar konstruierbar aus $E$}, wenn er im Schnitt von zwei verschiedenen aus $E$ elementar konstruierbaren Figuren liegt. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Satz}[\defnoind{Konstruierbarkeit und quadratische Erweiterungen}\index{Konstruierbarkeit}] Die folgenden beiden Teilmengen $K$ und $Q$ von $\Bbb{C}$ stimmen "uberein:\label{Kons} \begin{enumerate} \item Die kleinste Teilmenge $K \subset \Bbb{C}$, die $0$ und $1$ enth"alt und stabil ist unter elementaren Konstruktionen, also die Eigenschaft hat, da"s jede aus $K$ elementar konstruierbare komplexe Zahl wieder in $K$ liegt. Wir nennen die Elemente von $K$ die \emph{\bf konstruierbaren Zahlen};\index{konstruierbare Zahlen} \item Die kleinste Teilmenge $Q\subset \Bbb{C}$, die sowohl ein Teilk"orper ist als auch stabil unter dem Bilden von Quadratwurzeln. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Als allererstes und eigentlich noch vor der Formulierung des Satzes sollten wir uns hier "uberlegen, da"s es solche kleinsten Teilmengen "uberhaupt gibt. Das ist aber klar: Wir k"onnen jeweils den Schnitt aller Teilmengen mit besagter Eigenschaft nehmen, und der hat wieder besagte Eigenschaft. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit der Inklusion $Q\subset K$. Dazu reicht es zu zeigen, da"s die Menge $K\subset \DC$ der konstruierbaren Zahlen ein Teilk"orper ist und stabil unter dem Bilden von Quadratwurzeln. Zun"achst beachten wir, da"s f"ur $a \in \Bbb{C}^{\times}$ gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item $a$ liegt in $K$; \item $|a|$ und $\frac{a}{|a|}$ liegen in $K$; \item $\op{Re} (a)$ und $\op{Im} (a)$ liegen in $K$. \end{enumerate} Die "Aquivalenz $(1\IFF 2)$ ist offensichtlich. F"ur die "Aquivalenz $(1\IFF 3)$ gilt es, Lote durch vorgegebene Punkte auf Geraden durch zwei vorgegebene Punkte zu konstruieren, was auch nicht schwer ist. Weiter ist $K$ stabil unter Addition, denn mit Loten k"onnen wir auch Parallelen zu konstruierten Geraden durch konstruierte Punkte konstruieren. Um die Stabilit"at unter Multiplikation und Inversenbildung zu zeigen, bemerken wir zun"achst, da"s es unproblematisch ist, Punkte auf dem Einheitskreis mithilfe von Zirkel und Lineal zu invertieren und zu multiplizieren. Da"s das auch f"ur reelle Zahlen m"oglich ist, zeigen die nebenstehenden Abbildungen. \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/GP} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zur Konstruktion von Produkten reeller Zahlen mit Zirkel und Lineal \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/GI} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zur Konstruktion von Inversen reeller Zahlen mit Zirkel und Lineal \end{minipage} \end{figure} Also ist $K $ ein Teilk"orper von $\Bbb{C}$. Nun zeigen wir, da"s er stabil ist unter dem Bilden von Quadratwurzeln. In der Tat ist klar, wie wir die Wurzeln von Punkten auf dem Einheitskreis mit Zirkel und Lineal bestimmen k"onnen, und da"s das Wurzelziehen mit Zirkel und Lineal aus einer positiven reellen Zahl m"oglich ist, zeigt das nebenstehende Bild, \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/QW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zur Konstruktion der Wurzel aus einer positiven reellen Zahl mit Zirkel und Lineal \end{minipage} \end{figure} in dem ja gilt $(h^{2} +a^{2}) + (h^{2}+1^{2}) =(a+1)^{2}$, also $h^{2} =a$. Mithin ist $K \subset \Bbb{C}$ ein Teilk"orper, der stabil ist unter dem Bilden von Quadratwurzeln, und wir haben $Q\subset K$ gezeigt. Wir zeigen nun umgekehrt $K\subset Q$. Daf"ur m"ussen wir nur zeigen, da"s $Q$ stabil ist unter elementaren Konstruktionen. Sicher ist $Q$ stabil unter der komplexen Konjugation, denn mit $Q$ ist auch $Q\cap \bar{Q}$ ein unter dem Bilden von Quadratwurzeln stabiler Unterk"orper von $\DC$. Eine komplexe Zahl $z$ geh"ort folglich zu $Q$ genau dann, wenn ihr Real- und Imagin"arteil zu $Q$ geh"oren. Mit $z= x+{\op{i}}y$ werden unsere aus $Q$ elementar konstruierbaren Figuren nun aber beschrieben durch Gleichungen der Gestalt $$\begin{array}{ccl} (x-a)^{2} + (y-b)^{2}& =& c\\ ax + by & =& c \end{array}$$ f"ur geeignete $a,b, c \in Q \cap \DR$, und simultane L"osungen zweier verschiedener derartiger Gleichungen sind in der Tat L"osungen von linearen oder quadratischen Gleichungen mit Koeffizienten aus $Q$, ja sogar aus $Q \cap \DR$. Im kompliziertesten Fall des Schnitts zweier Kreise bildet man hierzu zun"achst die Differenz beider Gleichungen und erh"alt so eine lineare Gleichung in $x$ und $y$, die man anschlie"send nach einer Variable aufl"ost und in eine der Kreisgleichungen einsetzt. Das zeigt, da"s $Q\subset \Bbb{C}$ stabil ist unter elementaren Konstruktionen. Da auch $0$ und $1$ zu $Q$ geh"oren, folgt $K\subset Q$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Notwendige Bedingung f"ur Konstruierbarkeit}] Jede konstruierbare Zahl ist algebraisch und ihr Grad "uber $\DQ$ ist eine Zweierpotenz.\label{ZP} \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} Das Umgekehrte gilt nicht. Es gibt durchaus algebraische komplexe Zahlen, deren Grad "uber $\DQ$ eine Zweierpotenz ist, die aber keineswegs konstruierbar sind. Ein hinreichendes und notwendiges Kriterium lernen Sie in \ref{HNKo} kennen: Eine komplexe Zahl ist konstruierbar genau dann, wenn sie algebraisch ist und der Grad des Zerf"allungsk"orpers ihres Minimalpolynoms als K"orpererweiterung von $\DQ$ eine Zweierpotenz ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Es scheint mir offensichtlich, da"s $Q$ auch beschrieben werden kann als die Vereinigung aller Teilk"orper von $\DC$ der Gestalt $\DQ(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r)$ f"ur Folgen $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ komplexer Zahlen mit der Eigenschaft $\alpha_i^2\in \DQ(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{i-1})$ f"ur alle $i$. In der Tat ist die Vereinigung aller derartigen Teilk"orper offensichtlich selbst ein Teilk"orper von $\DC$ und damit sicher der Kleinste unter dem Ziehen von Quadratwurzeln stabile Teilk"orper von $\DC$. Sei nun $z$ unsere konstruierbare Zahl. Nach dem Satz gibt es eine Kette von K"orpererweiterungen $$\DQ=K_0\subset K_1\subset\ldots\subset K_r$$ mit $[K_i:K_{i-1}]=2$ und $z\in K_r$. Es folgt $[K_r:\DQ]=2^r$ und der Grad von $z$ "uber $\DQ$ ist nach \ref{KG} ein Teiler von $[K_r:\DQ]$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Klassische unl"osbare Konstruktionsaufgaben}] \begin{enumerate} \item Das regelm"a"sige Siebeneck ist nicht konstruierbar mit Zirkel und Lineal; \item Die Seitenl"ange eines W"urfels mit Volumen Zwei ist nicht konstruierbar mit Zirkel und Lineal; \item Es gibt keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die es erlaubt, einen beliebig vorgegebenen Winkel zu dritteln. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Wir werden in \ref{KRN} allgemeiner zeigen, da"s sich f"ur $n\geq 3$ das regelm"a"sige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren l"a"st genau dann, wenn die Anzahl $\varphi(n)=|\{a\mid 1\leq a\leq n, \; \langle a,n\rangle=1\}|$ der zu $n$ teilerfremden Zahlen unter $n$ eine Zweierpotenz ist. Zum Beispiel ist das regelm"a"sige Dreieck konstruierbar, aber nicht das regelm"a"sige Neuneck. Das hei"st, da"s der Winkel $2\pi/3$ nicht mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden kann. Hier geben wir f"ur diese beiden Aussagen schon mal direkte Argumente. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Die Griechen scheinen in der hellenistischen Hochkultur Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auf Papyrus in derselben Weise eingesetzt zu haben, wie bei uns bis etwa 1960 Rechenschieber, dann Taschenrechner, und mittlerweile Laptops eingesetzt wurden und werden: Als unverzichtbare Hilfsmittel des Ingenieurs. Das Ziehen von Kubikwurzeln etwa war wichtig, um gem"a"s der Formel eines gewissen Philon die Dicke des Spannseils einer Wurfmaschine so zu berechnen, da"s sie ein vorgegebenes Gewicht "uber eine vorgegebene Entfernung schleuderte. Mehr dazu findet man in \cite{Russo} in Abschnitt 2.3 und zu Ende des Abschnitts 4.3. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Die Frage der {\bf W"urfelverdopplung},\index{W"urfelverdopplung} also die Frage, mit Zirkel und Lineal aus einer gegebenen Strecke eine weitere Strecke zu konstruieren derart, da"s das L"angenverh"altnis der beiden Strecken gerade $\sqrt[3]{2}$ ist, hei"st das {\bf Deli'sche Problem}.\index{Deli'sches Problem} Diese Bezeichnung geht auf eine Geschichte zur"uck, nach der das Orakel in Delphi den Deliern aufgab, zur Abwehr einer Pest den w"urfelf"ormigen Altar ihres Tempels zu verdoppeln. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] 1. Nach der Bestimmung des siebten Kreisteilungspolynoms in \ref{EKP} und der Gleichheit \ref{MipI} vom Grad einer primitiven K"orpererweiterung und dem Grad des Minimalpolynoms eines jeden Erzeugers hat $\exp (2\pi {\op{i}}/7)$ den Grad $6$ "uber $\DQ$ und ist nach \ref{ZP} nicht konstruierbar, denn $6$ ist keine Potenz von $2$. \\[2mm]\noindent 2. Nach \ref{MipI} hat die gesuchte L"ange $\sqrt[3]{2}$ als algebraische Zahl den Grad $3$ "uber $\DQ$ und ist nach \ref{ZP} nicht konstruierbar, denn $3$ ist keine Potenz von $2$. \\[2mm]\noindent 3. Sicher gilt $\exp (2\pi {\op{i}}/3) \in K$. Es reicht, $\exp (2\pi {\op{i}}/ 9 ) \not\in K$ zu zeigen. Sicher ist $\exp (2\pi {\op{i}}/9)=\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{9} -1$. Nat"urlich zerf"allt dieses Polynom in $$X^{9} -1 = (X^{3}-1)(X^{6} + X^{3} +1)$$ und $\zeta$ ist Nullstelle des zweiten Faktors, unseres neunten Kreisteilungspolynom aus \ref{KTP}. Es reicht zu zeigen, da"s dieses Polynom irreduzibel ist "uber $\DQ$, denn dann hat $\zeta$ den Grad $6$ "uber $\DQ$ und kann nach \ref{ZP} nicht konstruierbar sein. In \ref{GKT} werden wir zeigen, da"s alle Kreisteilungspolynome irreduzibel sind. Hier basteln wir nur ein schnelles Argument f"ur unseren speziellen Fall zusammen, vergleiche auch \ref{NKTT}. In $\Bbb{F}_{3}[X]$ gilt sicher $(X^{9}-1) =(X-1)^{9}$ und $(X^{3}-1) = (X-1)^{3}$ und folglich $X^{6} + X^{3} +1 = (X-1)^{6}$. Substituieren wir in $X^{6} + X^{3} +1$ nun $X = Y +1$, so erhalten wir in $\Bbb{F}_{3} [Y]$ also das Polynom $Y^{6}$. Gehen wir wieder "uber zu $\DQ [Y]$, so hat $(Y+1)^{6} + (Y+1)^{3} +1$ den konstanten Term $3$. Damit k"onnen wir aus dem Eisenstein-Kriterium \ref{EisK} folgern, da"s unser Polynom irreduzibel ist. \\[2mm]\noindent 3. Als Variante mag man den Winkel $\vartheta$ mit $\cos\vartheta =3/4$ betrachten. Beide zugeh"origen Punkte $z$ auf dem Einheitskreis sind konstruierbar. Aus der Eulerformel folgt leicht $\cos 3\alpha= 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$. Die reelle Zahl $x\pdef \cos(\vartheta/3)$ l"ost mithin die kubische Gleichung $3/4= 4x^3-3x$ und ist nach Eisenstein Nullstelle eines irreduziblen rationalen Polynoms von Grad $3$. Also ist sie nicht konstruierbar und der zugeh"orige Punkt $w$ auf dem Einheitskreis mit $w^3=z$ ist auch nicht konstruierbar. Das zeigt, da"s der Winkel $\vartheta$ nicht mit Zirkel und Lineal dreigeteilt werden kann. \end{proof} \begin{Satz}[\defnoind{Konstruierbarkeit, Variante}\index{Konstruierbarkeit}] Gegeben eine Teilmenge $A\subset \DC$\label{KonsA} stimmen die folgenden beiden Teilmengen $K_A$ und $Q_A$ von $\Bbb{C}$ "uberein: \begin{enumerate} \item Die kleinste Teilmenge $K_A \subset \Bbb{C}$, die $0$ und $1$ enth"alt und $A$ umfa"st und stabil ist unter elementaren Konstruktionen; \item Die kleinste Teilmenge $Q_A\subset \Bbb{C}$, die ein Teilk"orper ist und $A$ sowie $\bar{A}$ umfa"st und stabil ist unter dem Bilden von Quadratwurzeln. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Teilmenge $A\subset \DC$ nennen wir die Elemente der Menge $K_A$ aus \ref{KonsA} die {\bf aus $A$ konstruierbaren Zahlen}.\index{konstruierbare Zahlen!aus Teilmenge} Der Beweis unserer Variante ist vollst"andig analog zum Beweis von \ref{Kons} und bleibe dem Leser "uberlassen. Durch Anwendung auf die einelementige Menge $A=\{a\}$ und Beachtung der Formel $a\bar a=1$ f"ur Punkte auf dem Einheitskreis erkennt man daraus, da"s ein Winkel genau dann mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden kann, wenn f"ur den zugeh"origen Punkt $a$ auf dem Einheitskreis das Polynom $X^3-a$ "uber $\DQ(a)$ nicht irreduzibel ist alias eine Nullstelle hat. Zum Beispiel lassen sich $360^\circ$ und $180^\circ$ mit Zirkel und Lineal dritteln, denn $X^3-1$ und $X^3+1$ haben rationale Nullstellen. Ebenso l"a"st sich $135^\circ=3\times 45^\circ$ mit Zirkel und Lineal dritteln, denn f"ur die primitive achte Einheitswurzel $a=(\op{i}-1)/\sqrt{2}$ ist $a^3$ eine Nullstelle von $X^3-a$. Andererseits l"a"st sich ein durch einen tranzendenten Punkt $a$ auf dem Einheitskreis gegebener Winkel nie mit Zirkel und Lineal dritteln, denn im Funktionenk"orper $\DQ(X)\cong\DQ(a)$ besitzt die Variable $X$ offensichtlich keine dritte Wurzel. \end{Bemerkungl} \subsection{Endliche K"orper} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation endlicher K"orper}] Die Kardinalit"at\index{endliche K"orper} eines endlichen K"orpers\label{KeK} ist stets eine echte Primzahlpotenz und zu jeder echten Primzahlpotenz gibt es bis auf nichteindeutigen Isomorphismus genau einen endlichen K"orper mit dieser Kardinalit"at. In Formelsprache liefert die Kardinalit"at also eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \text{endliche K"orper} \right\}_{/\cong} & \sira & \{\text{echte Primzahlpotenzen}\} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine echte Primzahlpotenz $q$ notiert man \glqq den\grqq\ K"orper mit $q$ Elementen meist $\Bbb{F}_{q}$. Ich wei"s nicht, ob $\Bbb{F}$ in diesem Zusammenhang f"ur \glqq finite\grqq\ oder f"ur \glqq field\grqq, die englische Bezeichnung f"ur K"orper, steht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Man kann zeigen, da"s jeder endliche Schiefk"orper schon ein K"orper ist, siehe zum Beispiel \cite{BNT}, I, \S 1. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Ein endlicher K"orper $\Bbb{F}$ hat notwendig eine positive Charakteristik $p = \op{char} \Bbb{F}>0$. Nach \ref{Char} ist diese Charakteristik $p$ eine Primzahl und wir haben eine Einbettung $\Bbb{F}_{p} \hra \Bbb{F}$. Damit wird $\Bbb{F}$ ein endlichdimensionaler $\Bbb{F}_{p}$-Vektorraum. F"ur $r=\dim_{\Bbb{F}_{p}} \Bbb{F}=[\Bbb{F}:\Bbb{F}_p]$ gilt dann offensichtlich $|\Bbb{F}| = p^{r}$. Das zeigt, da"s die Kardinalit"at eines endlichen K"orpers stets eine Primzahlpotenz ist. Es gibt keine K"orper mit nur einem Element, also liefert die Kardinalit"at schon mal eine Abbildung wie behauptet. Es gilt nun noch zu zeigen, da"s sie injektiv und surjektiv ist. An dieser Stelle unterbrechen wir den Beweis durch einen Satz und zwei Lemmata, um die n"otigen Hilfsmittel bereitzustellen. \end{proof} \begin{Satz}[\defnoind{Zerf"allung von Polynomen in K"orpererweiterungen}] Gegeben ein K"orper $K$ \label{ZPK} und ein von Null verschiedenes Polynom $P \in K[X]$ gibt es eine endliche K"orpererweiterung $L$ von $K$ derart, da"s $P$ als Element von $L[X]$ in Linearfaktoren zerf"allt. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit Induktion aus dem anschlie"senden Lemma \ref{AdNs} zur Adjunktion von Nullstellen. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Nat"urlich folgt obiger Satz auch unmittelbar aus der Existenz eines algebraischen Abschlusses \ref{AaA}. Diese Argumentation ist jedoch zumindest im Rahmen der hier gegebenen Darstellung unzul"assig, da unser Satz selbst einen wesentlichen Baustein beim Beweis der Existenz algebraischer Abschl"usse darstellt. Zumindest um das folgende Lemma kommt meines Wissens kein Beweis f"ur die Existenz algebraischer Abschl"usse herum. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma}[\textbf{Adjunktion von Nullstellen}] Gegeben ein K"orper $K$ und ein nichtkonstantes Polynom $P \in K[X]\backslash K$ gibt es stets einen\label{AdNs} K"orperhomomorphismus $i:K\ra L$ derart, da"s unter der von $i$ auf den Polynomringen induzierten Abbildung $ i_{[X]}:K[X]\ra L[X]$ sein Bild $i_{[X]}(P)$ eine Nullstelle in $L$ hat. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{RHKI}{LA1} jeder K"orperhomomorphismus injektiv ist. Die Adjunktion von Quadratwurzeln haben Sie m"oglicherweise bereits sozusagen zu Fu"s als "Ubung \eref{KK2}{GR} ausgearbeitet, um die komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen zu gewinnen. Das Verfahren aus dem Beweis unseres Lemmas wird in manchen Quellen als die {\bf Kronecker-Konstruktion} bezeichnet.\index{Kronecker-Konstruktion} Es ist eine gute "Ubung, im Fall der Adjunktion einer Quadratwurzel einen expliziten Isomorphismus zwischen der hier konstruierten und der in \eref{KK2}{GR} beschriebenen K"orpererweiterung anzugeben. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $P$ irreduzibel in $K[X]$. Dann ist $L \pdef K [X]/\langle P\rangle$ als Faktorring eines Hauptidealrings nach einem irreduziblen Element ein K"orper, vergleiche \ref{Ubb}. Wir notieren $\bar{Q}\in L=K [X]/\langle P\rangle$ die Nebenklasse eines Polynoms $Q\in K [X]$. Jetzt betrachten wir den offensichtlichen K"orperhomomorphismus $$i : K \rightarrow L = K [X]/\langle P\rangle$$ mit $i(a)=\bar{a}$ der Nebenklasse des konstanten Polynoms $a$ und behaupten, da"s die Nebenklasse $\bar{X} \in L$ von $X\in K [X]$ eine Nullstelle des Polynoms $i_{[X]}(P)\in L[X]$ ist. In der Tat finden wir f"ur unser Polynom $P = a_{n} X^{n} + \ldots + a_1 X+ a_{0}$ mit Koeffizienten $a_{\nu} \in K$ erst $i_{[X]}(P)=\bar{a}_{n} {{X}}^{n} + \ldots +\bar{a}_{1}{{X}}+ \bar{a}_{0}$ und dann \begin{displaymath} \begin{array}[b]{lllllll} (i_{[X]}(P)) (\bar{X}) &=& \bar{a}_{n} {\bar{X}}^{n} + \ldots +\bar{a}_{1}{\bar{X}}+ \bar{a}_{0}&&&&\\[2mm] &=& \overline{a_{n}X^{n}+\ldots +a_1 X+ a_{0}}&=&\bar P&=&0 \end{array} \qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $K$ und ein Polynom $P\in K[X]$ und eine K"orpererweiterung $K\subset L$ und eine Nullstelle $\alpha\in L$ unseres Polynoms $P$ sagen wir auch, der K"orper $K(\alpha)\subset L$ entstehe aus $K$ durch {\bf Adjunktion einer Nullstelle von $P$}. \index{Adjunktion!einer Nullstelle} Ist $P\in K[X]$ irreduzibel, so induziert das Einsetzen von $\alpha$ f"ur $X$ einen K"orperisomorphismus $$K [X]/\langle P\rangle\sira K(\alpha)$$ In diesem Sinne darf man also auch an die linke Seite denken, wenn von der \glqq Adjunktion einer Nullstelle eines Polynoms zu einem K"orper\grqq\ die Rede ist, sofern besagtes Polynom irreduzibel ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In $\mathbb F_5$ sind $0$ und $\pm 1$ die einzigen Quadrate. Wir erhalten also einen K"orper $\mathbb F_{25}$ mit $25$ Elementen, indem wir zu $\mathbb F_5$ eine Wurzel aus $2$ adjungieren, und k"onnen alle Elemente dieses K"orpers dann eindeutig schreiben in der Form $a+b\sqrt{2}$ mit $a,b\in \mathbb F_5$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{ZFke} Seien $p$ eine Primzahl, $q=p^r$ mit $r\geq 1$ eine echte Potenz von $p$ und $L$ ein K"orper der Charakteristik $p$. Zerf"allt das Polynom $X^{q} -X$ "uber dem K"orper $L$ vollst"andig in Linearfaktoren, so bilden die Nullstellen unseres Polynoms in $L$ einen Unterk"orper der Kardinalit"at $q$. \end{Lemma} \begin{proof} Nach \eref{Frob}{LA1} ist die Abbildung $F: L \ra L$, $a\mapsto a^q$ ein K"orperhomomorphismus, eben unser Frobeniushomomorphismus. Ist $L$ endlich, so mu"s er ein K"orperautomorphismus sein. Die Nullstellen unseres Polynoms sind nun genau die Fixpunkte dieses K"orperautomorphismus, und als Fixpunkte eines K"orperautomorphismus bilden sie damit einen Unterk"orper $\Bbb{F}$ von $L$. Um zu zeigen, da"s dieser Unterk"orper $\Bbb{F}$ genau $q$ Elemente hat, m"ussen wir nachweisen, da"s das Polynom $X^q-X$ nur einfache Nullstellen hat. Ist aber $a$ eine Nullstelle, so gilt im Polynomring $\Bbb{F}_p[X]$ die Gleichheit $X^q-X=(X-a)^q-(X-a)=\left((X-a)^{q-1}-1\right)(X-a)$. Also ist jede Nullstelle unseres Polynoms einfach. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{KeK}, Fortsetzung] Jetzt k"onnen wir zeigen, da"s es zu jeder echten Potenz $q$ einer Primzahl $p$ auch tats"achlich einen K"orper mit genau $q$ Elementen gibt. Wir finden ja nach \ref{ZPK} eine K"orpererweiterung $L$ von $\Bbb{F}_p$, in der das Polynom $X^{q} -X \in \Bbb{F}_{p} [X]$ vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt, und nach \ref{ZFke} bilden die Nullstellen dieses Polynoms in $L$ dann einen Unterk"orper der Kardinalit"at $q$. Schlie"slich m"ussen wir, um unsere Klassifikation der endlichen K"orper abzuschlie"sen, noch zeigen, da"s je zwei endliche K"orper derselben Kardinalit"at isomorph sind. % Wir st"utzen uns dabei auf die Erkenntnis \ref{MZ}, da"s % die multiplikative Gruppe $\Bbb{F}^{\times}$ % eines endlichen K"orpers $\Bbb{F}$ % stets zyklisch ist. Ist $\Bbb{F}$ ein endlicher K"orper mit $|\Bbb{F}|=q =p^{r}$ Elementen, so gilt $a^{q-1} =1$ f"ur alle $a \in \Bbb{F}^{\times}$ nach \eref{GOL}{LA2}, also haben wir $a^{q} -a=0$ f"ur alle $a \in \Bbb{F}$. Insbesondere sind die Minimalpolynome der Elemente von $\Bbb{F}$ "uber $\Bbb{F}_p$ genau die $\Bbb{F}_p$-irreduziblen Faktoren des Polynoms $X^{q} -X \in \Bbb{F}_{p} [X]$. Die Erzeuger der K"orpererweiterung $ \Bbb{F}$ sind damit genau die Nullstellen der $\Bbb{F}_p$-irreduziblen Faktoren $P$ vom Grad $r$ unseres Polynoms $X^{q} -X$. Da nach \eref{MZ}{LA2} die multiplikative Gruppe eines endlichen K"orpers zyklisch ist, gibt es solche Erzeuger und damit auch solche Faktoren und mit \ref{Irr} folgt $$\Bbb{F}\cong \Bbb{F}_p[X]/\langle P\rangle $$ f"ur einen und jeden $\Bbb{F}_p$-irreduziblen Faktor $P$ vom Grad $r$ des Polynoms $X^q-X$. Das zeigt, da"s ein endlicher K"orper durch die Zahl seiner Elemente bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt ist. Das Argument zeigt nebenbei bemerkt auch, wie man in endlichen K"orpern explizit rechnen kann. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Teile dieses Beweises lassen sich mithilfe der allgemeinen Theorie, sobald wir sie einmal entwickelt haben, auch schneller erledigen: Die Eindeutigkeit erh"alt man aus dem Satz \ref{EZK} "uber die Eindeutigkeit von Zerf"allungsk"orpern. Die Existenz folgt wie oben daraus, da"s $X^q-X$ keine mehrfachen Nullstellen hat, aber das kann man nach \ref{VN} auch daraus folgern, da"s die Ableitung dieses Polynoms keine Nullstellen hat. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Unterk"orper endlicher K"orper}] Gegeben ein endlicher K"orper $ F$ liefert die Kardinalit"at eine Bijektion\label{EEK} $$\begin{array}{ccc} \{ \text{Unterk"orper } K\subset F\} & \sira & \{q\in\DN\mid\exists d\in\DN\text{ mit }q^d=| F|\}\\[2mm] K&\mapsto&|K| \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei endliche K"orper l"a"st sich insbesondere der eine in den anderen einbetten genau dann, wenn die Kardinalit"at des einen eine Potenz der Kardinalit"at des anderen ist. Mit den Methoden der Galois-Theorie werden wir dies Resultat in \ref{EKGa} sehr viel m"uheloser einsehen k"onnen als im folgenden Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur den Grad $d=[F:K]$ unserer K"orpererweiterung gilt sicher $|F| = |K|^{d}$, also liefert die Kardinalit"at jedenfalls eine Abbildung zwischen den im Satz beschriebenen Mengen. Weiter mu"s unser Unterk"orper $K$, wenn es ihn denn gibt, genau aus den $(|K|-1)$-ten Einheitswurzeln von $F$ mitsamt der Null bestehen. Das zeigt die Injektivit"at unserer Abbildung. F"ur den Nachweis ihrer Surjektivit"at "uberlegen wir uns zun"achst, da"s es in $\mathbb F_{q^d}$ stets genau $(q-1)$ Elemente der Ordnung $q-1$ gibt. Das ist klar, da $\mathbb F_{q^d}^\times$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $q^d-1$ ist und da gilt $(q-1)|(q^d-1)$, genauer $(q-1)(q^{d-1}+q^{d-2}+\ldots+q+1)=(q^d-1)$. Also gibt es in $\mathbb F_{q^d}$ genau $q$ L"osungen der Gleichung $X^q-X$ und nach \ref{ZFke} bilden diese einen Unterk"orper von $\Bbb{F}_{q^{d}}$ mit $q$ Elementen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ein endlicher K"orper kann nie algebraisch abgeschlossen sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Geben Sie einen K"orperisomorphismus $\mathbb F_5(\sqrt{2})\sira \mathbb F_5(\sqrt{3})$ an als $\mathbb F_5$-lineare Abbildung in Bezug auf die Basen $1,\sqrt{2}$ links und $1,\sqrt{3}$ rechts. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Partialbruchzerlegung}] Ist $k$ ein K"orper, so wird eine $k$-Basis des Funktionenk"orpers $k(X)$ gebildet\label{pbzz} von erstens den $(X^n)_{n\geq 1}$ mitsamt zweitens den $$(X^dP^{-n})_{n\geq 1,\; \op{grad}P>d\geq 0}$$ f"ur $P\in k[X]$ normiert und irreduzibel % und $0\leq d<\op{grad}P$ zuz"uglich drittens der $1$ aus $k(X)$. F"ur den Fall $k$ algebraisch abgeschlossen vergleiche man \eref{PBZ}{LA1}. Sonst ziehe man sich f"ur den Beweis der linearen Unabh"angigkeit mit \ref{ZPK} auf den Fall von in Linearfaktoren zerfallenden Nennern zur"uck. %Hierbei mag \ref{KEPP} helfen. ???????????? \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man bestimme die Partialbruchzerlegung, also die Darstellung in der Basis aus \ref{pbzz}, von $(1+x^4)^{-1}$ in $\DR(X)$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es im Polynomring "uber einem endlichen K"orper irreduzible Polynome von jedem positiven Grad gibt. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Geben Sie Verkn"upfungstafeln f"ur die Addition und die Multiplikation eines K"orpers mit vier Elementen an. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben eine Primzahl $p$ und $r\geq 1$ das Produkt der irreduziblen normierten Polynome in $\mathbb F_p[X]$, deren Grad $r$ teilt, gerade $X^{q}-X$ ist f"ur $q\pdef p^r$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es gegeben eine Primzahl $p>2$ und $r\geq 1$ stets einen endlichen K"orper der Charakteristik $p$ gibt, dessen multiplikative Gruppe ein Element der Ordnung $2^r$ hat. \end{Ubung} \subsection{Zerf"allungsk"orper} \begin{Definition} Seien $K$ ein K"orper und $P\in K[X]\backslash 0$ ein von Null verschiedenes Polynom. Unter einem \defnoind{minimalen Zerf"allungsk"orper}\index{minimaler Zerf"allungsk"orper} oder k"urzer {\bf Zerf"allungsk"orper\index{Zerf"allungsk"orper!eines Polynoms} von $P$} verstehen wir eine K"orpererweiterung $M/K$ derart, da"s (1) das Polynom $P$ in $M [X]$ vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt und da"s (2) der K"orper $M$ "uber $K$ erzeugt wird von den Nullstellen von $P$. Mit einem Zerf"allungsk"orper meint man also eigentlich eine K"orpererweiterung und sollte deshalb besser von einer {\bf Zerf"allungserweiterung}\index{Zerf"allungserweiterung!eines Polynoms} reden, aber das tut kein Mensch. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur den Extremfall eines konstanten von Null verschiedenen Polynoms vereinbaren wir explizit, die Eigenschaft des \glqq Zerfallens in Linearfaktoren\grqq\ als erf"ullt anzusehen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit von Zerf"allungsk"orpern}] Seien $K$ ein K"orper und $P\in K[X]\backslash 0$ ein von Null verschiedenes Polynom. So existieren Zerf"allungsk"orper von $P$, und sind $M/K$ und $M'/K$ zwei Zerf"allungsk"orper von $P$,\label{EZK} so gibt es einen K"orperisomorphismus $M\sira M'$, der auf $K$ die Identit"at induziert. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis der Existenz] Die Existenz eines Zerf"allungsk"orpers folgt leicht aus Satz \ref{ZPK}, nach dem es f"ur jedes Polynom eine K"orpererweiterung gibt, in der es in Linearfaktoren zerf"allt: Wir m"ussen darin dann nur noch den von besagten Nullstellen erzeugten Teilk"orper betrachten. Die Eindeutigkeit zeigen wir erst nach den Beweis von \ref{FSS}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fragen der Eindeutigkeit und Terminologie}] Da ein Zerf"allungsk"orper f"ur ein Polynom damit in gewisser Weise eindeutig ist, spricht man auch oft von \emph{dem} Zerf"allungsk"orper eines Polynoms. Das ist jedoch auch wieder irref"uhrend: Im allgemeinen gibt es n"amlich zwischen zwei Zerf"allungsk"orpern $M,M'$ desselben Polynoms durchaus verschiedene Isomorphismen $M \sira M^{\prime}$, und das auch dann noch, wenn wir die naheliegende Forderung stellen, da"s unsere Isomorphismen auf $K$ die Identit"at induzieren sollen. Zerf"allungsk"orper eines vorgegebenen Polynoms sind in diesem Sinne \glqq wohlbestimmt bis auf nicht eindeutigen Isomorphismus\grqq. Sie sollten bereits einige Strukturen kennen, die wohlbestimmt sind bis auf nicht eindeutigen Isomorphismus: Mengen mit zwei Elementen, Gruppen mit drei Elementen, eindimensionale Vektorr"aume "uber einem gegebenen K"orper, etc. Beispiele f"ur Strukturen, die wohlbestimmt sind bis auf eindeutigen Isomorphismus, w"aren dahingegen: Mengen mit einem Element, Gruppen mit zwei Elementen, der Ring der ganzen Zahlen, der K"orper der rationalen Zahlen, der K"orper der reellen Zahlen. Eigentlich br"auchte man eben zum Schreiben "uber Mathematik au"ser dem bestimmten und dem unbestimmten Artikel noch ein Zwischending f"ur \glqq wohlbestimmt bis auf nicht eindeutigen Isomorphismus\grqq, aber es w"are wohl vermessen, die deutsche Grammatik dahingehend erweitern zu wollen. Wir sind mit unseren beiden Arten von Artikeln verglichen etwa mit dem Russischen sogar schon gut bedient. Sie werden das merken, sobald Sie mathematische Artikel lesen, die aus dieser Sprache "ubersetzt sind: Oft sind dann in der "Ubersetzung ohne Verstand bestimmte oder unbestimmte Artikel gew"ahlt worden, was man dann beim Lesen erst im Geiste korrigieren mu"s, damit sich ein sinnvoller Text ergibt. Um diese Ph"anomene der \glqq Wohlbestimmtheit bis auf nicht eindeutigen Isomorphismus\grqq\ im vorliegenden Fall begrifflich zu fassen, f"uhren wir zun"achst einmal eine geeignete Terminologie ein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HHKE} Sei $K$ ein Kring. Unter einem {\bf $K$-Kring}\index{Kring@$K$-Kring|main} verstehen wir ein Paar $(L,i)$ bestehend aus einem Kring $L$ und einem Ringhomomorphismus $i:K\ra L$. Ist $(M,j)$ ein weiterer $K$-Kring, so verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von $K$-Kringen}\index{Homomorphismus!von $K$-Kringen} $L\ra M$ einen Kringhomomorphismus ${\varphi}:L\ra M$ mit ${\varphi}\circ i=j$. Alternativ sprechen wir auch von einem \defnoind{Homomorphismus "uber $K$}.\index{Homomorphismus!"uber Grundring} Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir\index{Kring@$\op{Kring}^{K}$} $$\op{Kring}^{K}(L,M)$$ Einen bijektiven Ringhomomorphismus "uber $K$ nennen wir auch einen \defnoind{Isomorphismus von $K$-Kringen} oder einen \defnoind{Isomorphismus "uber $K$}. \end{Definition} \begin{Beispiel} Satz \eref{EiP}{LA1} "uber das Einsetzen in Polynome kann in dieser Terminologie dahingehend formuliert werden, da"s f"ur jeden Kring $K$ und jeden $K$-Kring $(R,i)$ das Auswerten $\varphi\mapsto \varphi(X)$ bei $X$ eine Bijektion\label{EinHj} $$\op{Kring}^K(K[X],R)\;\sira \; R$$ liefert. Die Umkehrabbildung ordnet jedem Element $b\in R$ den durch das Einsetzen von $b$ %nach \eref{EiPv}{LA1} erkl"arten Ringhomomorphismus $K[X]\ra R$ zu. Dasselbe gilt allgemeiner f"ur jede $K$-Ringalgebra $R$. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{KEnn} Ist $K$ ein K"orper, so bezeichnen wir einen $K$-Kring, der seinerseits ein K"orper ist, auch als eine {\bf K"orpererweiterung von $K$}. Das hatten wir bereits in \ref{KEAH} angedeutet. Wenn wir pedantisch sein wollen, sprechen wir von einer \glqq K"orpererweiterung im verallgemeinerten Sinne\grqq.\index{K"orpererweiterung!im verallgemeinerten Sinne} Unsere Homomorphismen und Isomorphismen von $K$-Kringen nennen wir in diesem Kontext {\bf Homomorphismen} beziehungsweise {\bf Isomorphismen von K"orpererweiterungen}.\index{Homomorphismus!von K"orpererweiterungen}\index{Isomorphismus!von K"orpererweiterungen} Fassen wir $i:K\hra L$ auf als die Einbettung eines Unterk"orpers $K\subset L$ und ist $j:K\ra M$ ein weiterer K"orperhomomorphismus, so nennen wir einen K"orperhomomorphismus $L\ra M$ "uber $K$ auch eine \defind{Ausdehnung} von $j$ auf $L$ und benutzen Notationen wie zum Beispiel $\tilde{\jmath}:L\ra M$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Terminologische Kompatibilit"aten}] Wir erinnern daran, da"s wir in \eref{RAlg}{LA2} eine $K$-Kringalgebra erkl"art hatten als einen $K$-Vektorraum $A$ mit einer $K$-bilinearen Abbildung $A\times A\ra A$ derart, da"s $(A,+)$ mit dieser Abbildung als Multiplikation eine Kring ist. Gegeben ein K"orper $K$ wird jeder $K$-Kring $(A,i)$ im Sinne der vorhergehenden Definition \ref{HHKE} eine $K$-Kringalgebra in diesem Sinne, wenn wir die abelsche Gruppe $(A,+)$ durch die Abbildung $K\times A\ra A, (\lambda,a)\mapsto i(\lambda)a$ zu einem $K$-Vektorraum machen. Jede $K$-Kring\-al\-ge\-bra $A$ wird umgekehrt durch den einzigen Homomorphismus $K\ra A$ von $K$-Kring\-al\-ge\-bren zu einem $K$-Kring. Diese beiden Konzepte sind also "aquivalent. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Ausdehnungen auf primitive Erweiterungen}] Gegeben eine K"orpererweiterung $j:K\hra M$ und eine primitive algebraische Erweiterung $K(\al)$ von $K$\label{AuuD} liefert das Auswerten an $\al$ eine Bijektion $$\begin{array}{rcl}\op{Kring}^{\!K}(K(\al),M)&\sira& \{\beta\in M\mid \op{Irr} (\al,K)(\beta)=0\}\\ \varphi\;\;\;\;&\mapsto&\;\;\;\;\varphi(\al)\end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In Worten werden also die Ausdehnungen von $j:K\hra M$ zu einer Einbettung ${\tilde{\jmath}}:K (\al) \hookrightarrow M$ parametrisiert durch die Nullstellen in $M$ des Minimalpolynoms von $\al$ "uber $K$. In der Formulierung dieser Proposition haben wir beim Auswerten des Polynoms $ \op{Irr} (\al,K)\in K[X]$ auf $\beta\in M$ stillschweigend die Elemente von $K$ mit ihren Bildern in $M$ unter $j$ identifiziert, in der Notation aus \eref{EiPv}{LA1} ist also $\op{Irr} (\al,K)(\beta)\pdef {\op{E}}_{j,\beta}(\op{Irr} (\al,K))$ gemeint. Die Proposition gilt unver"andert und mit demselben Beweis f"ur jeden $K$-Kring $M$, ja f"ur jede $K$-Ringalgebra $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir haben im Fall $K=\DQ$, $M=\DC$, $\alpha=\op{i}$ etwa $$\begin{array}{rcl}\op{Kring}^{\!\DQ}(\DQ(\op{i}),\DC) &\sira& \{\beta\in \DC\mid \beta^2+1=0\}\\ \varphi\;\;\;\;&\mapsto&\;\;\;\;\varphi(\op{i})\end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir setzen $P\pdef \op{Irr}(\al,K)$ und etablieren der Reihe nach die Bijektionen \begin{displaymath}\begin{array}{lll ll} \op{Kring}^K(K[X],M)&\sira & M &\;\;\;\;\varphi\mapsto \varphi(X)\\[1mm] \op{Kring}^K(K[X]/\langle P\rangle,M)&\sira & \{\beta\in M\mid P(\beta)=0\}&\;\;\;\;\varphi\mapsto \varphi(\bar X)\\[1mm] \op{Kring}^K(K(\alpha),M)&\sira & \{\beta\in M\mid P(\beta)=0\}&\;\;\;\;\varphi\mapsto \varphi(\alpha) \end{array} \end{displaymath} Die erste Bijektion gilt f"ur jeden Kring $K$ und jeden $K$-Kring $M$ und wurde eben in \ref{EinHj} wiederholt. Die zweite Bijektion gilt f"ur jeden Kring $K$ und jeden $K$-Kring $M$ und jedes Polynom $P\in K[X]$ und folgt aus der universellen Eigenschaft des Faktorrings, da f"ur $\varphi$ gegeben durch $\varphi(X)=\beta$ die Bedingung $\varphi(P)=0$ gleichbedeutend ist zu $P(\beta)=0$. Die dritte Bijektion folgt, da unter den Annahmen der Proposition das Einsetzen von $\alpha$ einen Isomorphismus $ K [X]/\langle P\rangle \sira K (\alpha) $ induziert. \end{proof} \begin{Proposition}[\defind{Ausdehnen bei zerfallenden Minimalpolynomen}] Seien $M/K$ sowie $L/K$ K"orpererweiterungen\label{FSS} und seien $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in L$ algebraisch "uber $K$ derart, da"s alle ihre Minimalpolynome $\op{Irr}(\al_i,K)$ in $M[X]$ vollst"andig in Linearfaktoren zerfallen. So la"st sich der K"orperhomomorphismus $K\ra M$ zu einem K"orperhomomorphismus $K(\al_1,\ldots,\al_n)\ra M$ ausdehnen wie angedeutet durch den gestrichelten Pfeil im Diagramm %\begin{displaymath} %\xymatrix{ % K \ar[r]\ar[d]&K(\al_1,\ldots,\al_n)\ar@{-->}[dl]\\ % M& %} %\end{displaymath} \begin{displaymath} \xymatrix{L&\\ K(\al_1,\ldots,\al_n)\ar[u] \ar@{-->}[r]&M\\ K\ar[u]\ar[ur]& } \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt induktiv aus dem Ausdehnen aus primitive Erweiterungen \ref{AuuD}, wenn wir wissen, da"s das Minimalpolynom $\op{Irr}(\alpha_1;K)$ in $M$ eine Nullstelle $\beta_1\in M$ hat und $\op{Irr}(\alpha_2;K(\alpha_1))$ in $M$ eine Nullstelle $\beta_2\in M$ und $\op{Irr}(\alpha_3;K(\alpha_1,\alpha_2))$ in $M$ eine Nullstelle $\beta_3\in M$ et cetera. Weil aber alle diese Minimalpolynome Teiler der jeweiligen Minimalpolynome $\op{Irr}(\alpha_\rho;K)$ sind, folgt das aus unserer Annahme des vollst"andigen Zerfallens aller dieser Polynome in $M[X]$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die Proposition gilt genauso f"ur eine beliebige Familie $(\alpha_i)_{i\in I}$ von Elementen von $L$ oder, einfacher gesagt, eine beliebige Teilmenge $A\subset L$ von $L$ bestehend aus Elementen mit zerfallenden Minimalpolynomen. In dieser Allgemeinheit findet man mit dem Zorn'schen Lemma unter allen Paaren $(B,\varphi)$ mit $B\subset A$ und $\varphi\in \op{Kring}^K(K(B),M)$ und der offensichtlichen Teilordnung auf der Menge dieser Paare ein maximales Paar und zeigt mit dem Ausdehnen auf primitive Erweiterungen, da"s f"ur maximales Paar bereits $B=A$ gelten mu"s.\label{ADZM} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis der Eindeutigkeit von Zerf"allungsk"orpern \ref{EZK}] Seien $K$ ein K"orper und $K\hra M$ und $K\hra M'$ Zerf"allungsk"orper desselben Polynoms $P\in K[X]$, also $M=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ f"ur die Nullstellen $\alpha_i$ einer Faktorisierung von $P$ in Linearfaktoren und analog f"ur $M'$. Proposition \ref{FSS} "uber das Ausdehnen bei zerfallenden Minimalpolynomen liefert uns Injektionen $M\hra M'$ und $M'\hra M$ "uber $K$. Da beide Seiten endlichdimensionale Vektorr"aume sind "uber $K$ und da unsere Injektionen beide $K$-linear sind, m"ussen sie beide Isomorphismen sein. \end{proof} % \begin{Satz}[\textbf{Maximalzahl von Ausdehnungen}]%\label{ZF} % Ist $L/K$ eine endliche K"or\-per\-erweiterung und $j : K % \hookrightarrow M$ eine Einbettung von $K$ in einen weiteren K"orper $M$, % so gibt es h"ochstens $[L:K]$ Fortsetzungen unserer Einbettung $j$ zu einer % Einbettung $\tilde{\jmath} : L \hookrightarrow M$, in Formeln\label{ZFK} % $$|\op{Ring}^{\!K}(L,M)|\leq [L:K]$$ % \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Maximalzahl von Ausdehnungen}]%\label{ZF} Gegeben eine K"orpererweiterung ist die Zahl der Ausdehnungen auf den Erweiterungsk"orper eines Homomorphismus des Grundk"orpers in irgendeinen weiteren K"orper beschr"ankt durch den Grad unserer K"orpererweiterung. Ist also in Formeln $L/K$ eine endliche K"or\-per\-erweiterung und $j : K \hookrightarrow M$ ein K"orperhomomorphismus, so gilt\label{ZFK} $$|\op{Kring}^{\!K}(L,M)|\leq [L:K]$$ \end{Satz} \begin{proof}[Erster Beweis] Gibt es einen Zwischenk"orper $L^{\prime}$ mit $K \subset L^{\prime} \subset L$ aber $K \neq L^{\prime} \neq L$, so folgt der Satz mit vollst"andiger Induktion "uber den Grad unserer K"orpererweiterung. Sonst gilt $L= K(\al)$ f"ur ein $\al \in L$, und die Erweiterungen von $j$ zu einer Einbettung von $K(\al)$ in $M$ werden nach \ref{AuuD} parametrisiert durch die Nullstellen in $M$ des Minimalpolynoms von $\al$ "uber $K$. Dieses Polynom hat aber den Grad $[K(\al):K]$ und h"ochstens ebensoviele Nullstellen in $M$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Seien $\sigma_1,\ldots, \sigma_r$ paarweise verschiedene $K$-lineare K"orperhomomorphismen $L\ra M$. Nach Satz \ref{LUC} "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren, den wir im Anschlu"s beweisen, sind sie linear unabh"angig im $M$-Vektorraum $\op{Ens}_K(L^\times, M)$ und a forteriori im $M$-Vektorraum $\op{Hom}_K(L, M)$. Gegeben eine $K$-Basis $B\subset L$ von $L$ bleiben ihre Restriktionen offensichtlich linear unabh"angig im $M$-Vektorraum $\op{Ens}(B, M)$ und es folgt $r\leq |B|$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Lineare Unabh"angigkeit von Charakteren}] Die Menge aller Homomorphismen von einer Gruppe\label{LUC} in die multiplikative Gruppe eines K"orpers ist stets linear unabh"angig im Vektorraum aller Abbildungen von besagter Gruppe in besagten K"orper. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit demselben Beweis allgemeiner auch f"ur die Menge aller Homomorphismen von einem Monoid in die multiplikative Gruppe eines K"orpers. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnen wir unsere Gruppe mit $G$ und unserem K"orper mit $M$, so behaupten wir in Formeln, da"s $\op{Grp} (G,M^{\times})$ eine linear unabh"angige Teilmenge des $M$-Vektorraums $\op{Ens}(G,M)$ ist. Sei in der Tat sonst $$a_{1}\chi_{1} + a_{2}\chi_{2} + \ldots + a_{n}\chi_{n}=0$$ eine nichttriviale lineare Relation k"urzestm"oglicher L"ange mit $a_i\in M$ und $\chi_i:G\ra M^\times$ paarweise verschiedenen Gruppenhomomorphismen. Wegen $\chi (1) =1$ f"ur alle Charaktere $\chi$ haben wir notwendig $n\geq 2$. Wegen $\chi_{1} \neq \chi_{2}$ finden wir $g \in G$ mit $\chi_{1} (g) \neq \chi_{2} (g)$. Unsere Gleichung impliziert nun aber f"ur jedes und insbesondere auch f"ur dieses $g\in G$ durch Substituieren von $gh$ f"ur $h$ beziehungsweise Multiplizieren mit $\chi_1(g)$ die Gleichungen $$ \begin{array}{c} a_{1}\chi_{1} (g) \chi_{1} + a_{2} \chi_{2} (g) \chi_{2} + a_{n} \chi_{n} (g) \chi_{n} =0\\ a_{1} \chi_{1} (g) \chi_{1} + a_{2}\chi_{1}(g) \chi_{2} + a_{n} \chi_{1}(g) \chi_{n} =0 \end{array} $$ Deren Differenz w"are dann eine k"urzere und wegen $\chi_{1} (g) \neq \chi_{2} (g)$ nichttriviale Linearkombination im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Definition} Eine K"orpererweiterung hei"st {\bf algebraisch},\index{algebraisch!K"orpererweiterung} wenn\index{K"orpererweiterung!algebraische} alle Elemente der Erweiterung algebraisch sind "uber dem Grundk"orper.\label{AlKE} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede endliche K"orpererweiterung ist also nach \ref{ae} auch algebraisch. Genauer ist nach \ref{ae} eine K"orpererweiterung algebraisch genau dann, wenn sie eine Vereinigung von Teilerweiterungen ist, die jeweils endlich sind "uber dem Grundk"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine K"orpererweiterung $N/K$ hei"st {\bf normal},\index{normal!K"orpererweiterung} wenn\index{K"orpererweiterung!normale} sie algebraisch ist und wenn f"ur alle Elemente $\alpha\in N$ das Minimalpolynom $\op{Irr}(\alpha,K)$ in $N[X]$ bereits vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt.\label{normal} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der "alteren Literatur, zum Beispiel in \cite{Artin}, wird der Begriff \glqq normal\grqq\ manchmal auch abweichend definiert als diejenige Eigenschaft einer K"orpererweiterung, die wir sp"ater mit \glqq Galois\grqq\ bezeichnen werden. Ich finde die Begriffsbildung in beiden Varianten ungeschickt: Normalerweise ist eine K"orpererweiterung n"amlich keineswegs normal im mathematischen Sinne, oder um es anders auszudr"ucken: Normal zu sein ist f"ur K"orpererweiterungen etwas ganz Besonderes. Aber gut, ein Psychologe ist vermutlich durchaus auch der Ansicht, da"s es f"ur einen Menschen etwas ganz Besonderes ist, normal zu sein, und f"ur eine K"orpererweiterung erst recht: So fern vom umgangssprachlichen Wortsinn ist unsere mathematische Terminologie also auch wieder nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} $\DQ (\sqrt{2})$ ist normal "uber $\DQ$, aber $\DQ (\sqrt[3]{2})$ ist nicht normal "uber $\DQ$, denn wir k"onnen $\DQ (\sqrt[3]{2})$ einbetten in $\DR$ und die beiden anderen Wurzeln des in $\DQ[X]$ irreduziblen Polynoms $X^{3}-2$ sind nicht reell. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Bilder normaler Erweiterungen}] Gegeben eine normale K"orpererweiterung $N/K$ und eine beliebige K"orpererweiterung $L/K$\label{biNE} haben alle K"orperhomomorphismen $\varphi,\psi\in \op{Kring}^K(N,L)$ dasselbe Bild $$\varphi(N)=\psi(N)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir k"onnen diese Unterk"orper von $L$ beide beschreiben als die Menge aller Nullstellen in $L$ von Minimalpolynomen "uber $K$ von Elementen von $N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Besonders oft wird obige Proposition \ref{biNE} "uber Bilder normaler Erweiterungen im Fall eines K"orperturms $K\subset N\subset L$ angewandt. Dann liefert sie f"ur $N/K$ normal und $\varphi\in \op{Kring}^K(N,L)$ beliebig $\varphi(N)=N$. In der Tat k"onnen wir ja dann als $\psi$ die Einbettung $\psi:N\hra L$ mit $\psi(N)=N$ w"ahlen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Charakterisierung normaler Erweiterungen}] F"ur eine endliche K"orpererweiterung $N/K$ sind gleichbedeutend:\label{CaNo} \begin{enumerate} \item $N/K$ ist normal; \item $N$ ist der Zerf"allungsk"orper eines Polynoms $P\in K[X]$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1$\Rightarrow$2. Ist $N$ normal "uber $K$ und erzeugt von $\al_1,\ldots,\al_r$, so ist $N$ ein Zerf"allungsk"orper f"ur das Produkt der Minimalpolynome $\op{Irr}(\al_i,K)$ der $\al_i$ "uber $K$. F"ur die andere Implikation machen wir einen Umweg und zeigen zus"atzlich die "Aquivalenz zu der folgenden technischen Aussage: {\em \begin{enumerate} \item[3.] F"ur jede beliebige K"orpererweiterung $L/K$ %ein Polynom $Q\in K[X]$ und ein Zerf"allungsk"orper $L$ von $Q$ haben alle K"orperhomomorphismen $\varphi,\psi\in\op{Ring}^K(N,L)$ dasselbe Bild $\varphi(N)=\psi(N)$. \end{enumerate}} \noindent %Die Implikation Um 2$\Rightarrow $3 zu zeigen bemerken wir, die Teilk"orper $\varphi(N), \psi(N)$ beide von allen Nullstellen von $P$ in $L$ erzeugt werden. Schlie"slich zeigen wir noch 3$ \Rightarrow $1. Sei dazu $\al \in N$ gegeben. Wir erg"anzen $\al$ zu einem endlichen Erzeugendensystem von $N$ "uber $K$, sagen wir $N=K(\al, \alpha_1,\ldots,\alpha_r)$, und betrachten das Produkt $Q$ der Minimalpolynome "uber $K$ unserer Erzeuger und dessen Zerf"allungsk"orper $L/K$. F"ur jede Nullstelle $\beta \in L$ von $\op{Irr}(\alpha,K)$ k"onnen wir unsere Einbettung $K \hookrightarrow L$ zun"achst nach dem Ausdehnen auf primitive Erweiterungen \ref{AuuD} fortsetzen zu einer Einbettung $K(\al) \hookrightarrow L$ mit $\al \mapsto \beta$ und dann nach Proposition \ref{FSS} "uber das Ausdehnen bei zerfallenden Minimalpolynomen weiter zu einer Einbettung $\varphi:N \hookrightarrow L$. Jede Nullstelle von $\op{Irr}(\alpha,K)$ in $L$ liegt also in $\varphi (N)$ f"ur ein und damit nach Annahme f"ur jedes $\varphi\in\op{Kring}^K(N,L)$. Also zerf"allt unser Polynom $\op{Irr}(\alpha,K)$ bereits in $\varphi(N)$ und a forteriori in $N$ vollst"andig in Linearfaktoren. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Es ist von der Logik her im Prinzip fragw"urdig, wie in der technischen Aussage oben etwas f"ur alle K"orper zu fordern, weil es ja etwa die Menge aller Mengen gar nicht gibt. Wir k"onnten uns bei unserer technischen Aussage aber auch auf Zerf"allungsk"orper von Polynomen aus $K[X]$ beschr"anken, damit halten wir sicheren Abstand zu den Abgr"unden der Mengenlehre. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\defnoind{Vergr"o"sern zu normaler Erweiterung}] Jede endliche K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung \label{VNE} l"a"st sich zu einer endlichen normalen K"orpererweiterung vergr"o"sern. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $L/K$ behaupten wir in Formeln, da"s es stets eine endliche Erweiterung $N/L$ gibt, f"ur die $N/K$ normal ist. Um das zu zeigen, nehmen wir Erzeuger $\al_1,\ldots,\al_r$ von $L$ "uber $K$ und konstruieren $N$ als Zerf"allungsk"orper "uber $L$ des Produkts ihrer Minimalpolynome. Dies $N$ ist dann nat"urlich auch Zerf"allungsk"orper des besagten Produkts "uber $K$ und damit normal "uber $K$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s eine algebraische K"orpererweiterung eines unendlichen K"orpers stets dieselbe Kardinalit"at hat wie der Ausgangsk"orper.\label{KAKo} Diese Erkenntnis wird bei der Konstruktion des algebraischen Abschlusses ben"otigt werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es sei $K$ ein K\"orper, $P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $L/K$ der Zerf\"allungsk\"orper von $P$. Zeigen Sie die Absch"atzung $[L{:}K]\leq n!$. Mutige zeigen st"arker $[L{:}K]| n!$. Hinweise: Induktion "uber den Grad $n$ von $P$. Man beachte $n!m!|(n+m)!$ nach der Formel f"ur die Binomialkoeffizienten im Fall eines nicht irreduziblen Polynoms. Im Fall eines irreduziblen Polynoms entsteht durch Adjunktion einer Nullstelle eine K"orpererweiterung vom Grad $n$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NTKo} Es seien $M/L$ und $L/K$ endliche oder allgemeiner algebraische K\"orpererweiterungen. Man zeige: Ist $M/K$ normal, so ist auch $M/L$ normal. Sind $L_1$ und $L_2$ normale K\"orpererweiterungen von $K$ und $L_1, L_2 \subset M$, so ist $L_1\cap L_2$ normal \"uber $K$. Geben Sie ein Beispiel f"ur K"orper $M\supset L\supset K$ an, bei dem $M/L$ und $L/K$ jeweils normal sind, $M/K$ jedoch nicht normal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man formuliere pr"azise und zeige, da"s es bis auf nichteindeutigen Isomorphismus genau ein minimales $N$ wie in Proposition \ref{VNE} gibt. Dies $N$ hei"st die\label{NoNu} {\bf normale H"ulle\index{normal!normale H"ulle} von $L$ "uber} $K$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KERe} Jede endliche K"orpererweiterung von $\DR$ ist isomorph als $\DR$-Kring zu $\DR$ oder $\DC$. Hinweis: $\DC$ ist bekanntlich algebraisch abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $k$ ein K"orper und $a\in k^\times$ und $n\geq 1$. Man zeige, da"s im Zerf"allungsk"orper des Polynoms $X^n-a$ auch das Polynom $X^n-1$ stets in Linearfaktoren zerf"allt, da"s aber umgekehrt im Zerf"allungsk"orper des Polynoms $X^n-1$ ein Polynom $X^n-a$ nicht notwendig in Linearfaktoren zerfallen mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $K\subset L$ zeige man, da"s jedes Polynom aus dem Polynomring $L[X]$ Teiler eines Polynoms aus dem Polynomring $K[X]$ ist.\label{TPRK} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GKTv} Man zeige: Gegeben eine Primzahl $p$ und zwei primitive $p$-te Einheitswurzeln $\zeta,\xi\in \DC$ gilt $\DQ(\zeta)=\DQ(\xi)$ und es gibt genau einen K"orperhomomorphismus $\DQ(\zeta)\ra \DQ(\zeta)$ mit $\zeta\mapsto\xi$. Hinweis: Irreduzibilit"at des $p$-ten Kreisteilungspolynoms \ref{EKP}. \end{Ubung} \subsection{Vielfachheit von Nullstellen} \begin{Bemerkungl} Ist $K$ ein K"orper, $P \in K [X]$ ein Polynom und $\lambda\in K$ eine Nullstelle von $P$, so nennen wir das Supremum "uber alle $n\in\DN $ mit $(X-\lambda)^n|P$ die \defnoind{Vielfachheit der Nullstelle $\lambda$}\index{Vielfachheit!einer Nullstelle} oder auch ihre {\bf Ordnung}.\index{Ordnung!einer Nullstelle} In der Notation aus \ref{pBew} ist diese Ordnung die Bewertung $$v_{(X-\lambda)}(P)$$ Das Nullpolynom hat insbesondere an jeder Stelle eine Nullstelle der Vielfachheit $\infty$ und gar keine Nullstelle bei $\lambda$ ist dasselbe wie eine \glqq Nullstelle der Vielfachheit Null\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf mehrfachen Nullstelle}\index{mehrfache Nullstelle}\index{Nullstelle!mehrfache} eines Polynoms mit Koeffizienten in einem K"orper oder allgemeiner einem kommutativen Integrit"atsbereich verstehen wir eine Nullstelle der Vielfachheit mindestens Zwei. Sagen wir, unser Polynom habe \glqq mehrfache Nullstellen\grqq, so ist gemeint, da"s es mindestens eine mehrfache Nullstelle haben soll. Eigentlich w"are es gem"a"s unserer allgemeinen Konventionen \eref{SPR}{GR} pr"aziser, zu sagen, es habe \glqq eine mehrfache Nullstelle\grqq, aber das ist un"ublich. M"oglicherweise r"uhrt das daher, da"s man sich eine mehrfache Nullstelle gerne denkt als \glqq mehrere Nullstellen, die zusammenfallen\grqq. Das Nullpolynom hat stets mehrfache Nullstellen, bei ihm haben ja sogar alle Nullstellen die Vielfachheit $\infty$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Mehrfache Nullstellen bei Irreduzibilit"at "uber Teilk"orper}] Seien $K \subset L$ K"orper. Gilt $\op{char} K =0$ oder ist $K$ endlich, so hat ein $K$-irreduzibles\label{MNS} Polynom $P \in K[X]$ keine mehrfachen Nullstellen in $L$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir werden in \ref{PP} und \ref{S} sogar noch etwas allgemeinere Aussagen zeigen. Das braucht jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein $K$-irreduzibles Polynom mit mehrfachen $L$-Nullstellen}] In positiver Charakteristik\label{Wcp} k"onnen irreduzible Polynome "uber einem K"orper durchaus mehrfache Nullstellen in einem Erweiterungsk"orper haben. Um ein Beispiel anzugeben, beachten wir zun"achst, da"s f"ur $K$ ein K"orper positiver Charakteristik $\op{char} K = p>0$ jedes Element $a \in K$ h"ochstens eine $p$-te Wurzel in $K$ hat. In der Tat folgt aus $b^{p} =a$ leicht $(X^{p}-a) = (X-b)^{p}$, mithin ist $b$ die einzige Nullstelle des Polynoms $X^p-a$. Wir betrachten nun den K"orper $K \pdef\Bbb{F}_{p} (T)$. Nach dem Eisensteinkriterium \ref{EisKF} sind die Polynome $X^n-T$ f"ur $n\geq 1$ irreduzibel in $K[X]$. Das Polynom $X^p-T\in K[X]$ ist also $K$-irreduziblel und hat in seinem Zerf"allungsk"orper mehrfache Nullstellen, genauer eine einzige Nullstelle $\sqrt[p]{T}$ der Vielfachheit $p$. \end{Beispiel} \begin{Definition} F"ur ein Polynom $P =a_{n} X^{n} + \ldots + a_2 X^2 + a_1 X+ a_{0}$ mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring $R$ erkl"aren wir seine \defnoind{ Ableitung}\index{Ableitung!formale} oder genauer \defnoind{formale Ableitung}\index{Ableitung!formale} $P^{\prime} \in R[X]$ durch die Vorschrift\label{FoAb} $$P^{\prime} \pdef n a_{n} X^{n-1} + \ldots + 2a_2 X + a_{1}$$ \end{Definition} \begin{Lemma}[\defnoind{Ableitungsregeln}] Auch f"ur das formale Ableiten gelten die Summenregel\label{ABre} $(P+Q)^{\prime} = P^{\prime} + Q^{\prime}$ und die Produktregel $(PQ)^{\prime} = P^{\prime} Q + PQ^{\prime}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Summenregel ist offensichtlich. Bei der Produktregel sind mithin beide Seiten additiv in $P$ und $Q$ und wir d"urfen uns deshalb auf den Fall $P=aX^i$ und $Q=bX^j$ zur"uckziehen. In diesem Fall pr"uft man die Formel leicht explizit. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ableitung und mehrfache Nullstellen}] Gegeben $K$ ein K"orper, $g \in K [X]$ ein\label{AVN} Polynom und $\al \in K$ eine Nullstelle von $g$ ist $\al$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von $g$, wenn auch die Ableitung $g'$ von $g$ bei $\al$ verschwindet. \end{Lemma} \begin{Beispiel} Sei $p$ eine Primzahl. Unser Polynom $P\pdef X^{p}-T$ mit Koeffizienten in $\Bbb{F}_{p} (T)$ hat, wie in \ref{Wcp} diskutiert, in seinem Zerf"allungsk"orper $\Bbb{F}_{p} (\sqrt[p]{T})$ nur eine einzige Nullstelle $\alpha=\sqrt[p]{T}$ der Vielfachheit $p$. Nach unserem Lemma mu"s also gelten $P'(\alpha)=0$. In unserem Fall ist sogar st"arker $P'=0$ selbst das Nullpolynom. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Aus $g= (x -\al)^{2}f$ folgt mit der Produktregel \ref{ABre} leicht $g^{\prime} (\al) =0$. Gilt umgekehrt $g (\al) = g^{\prime} (\al) =0$ und schreiben wir $g = (x-\al)h$, so folgt wieder mit der Produktregel \ref{ABre} aus $g^{\prime} (\al) =0$ unmittelbar $h(\al) =0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $K$ und Polynome $f,g\in K[X]$, die nicht beide Null sind, gibt es genau ein normiertes Polynom $d\in K[X]$, das das von $f$ und $g$ erzeugte Ideal erzeugt, in Formeln $$\langle f,g\rangle=\langle d\rangle$$ Per definitionem gilt $d|f$ und $d|g$ und es gibt $a,b\in K[X]$ mit $d=af+bg$. Insbesondere folgt f"ur ein Polynom $c$ aus $c|f$ und $c|g$ bereits $c|d$. Mithin ist $d$ der eindeutig bestimmte normierte gemeinsame Teiler gr"o"stm"oglichen Grades von $f$ und $g$. Wir nennen $d$ den {\bf gr"o"stgradigen gemeinsamen normierten Teiler} \index{normiert!gr"o"stgradiger gemeinsamer Teiler} von $f$ und $g$\label{ggtP} und notieren ihn\index{ggnT@$\op{ggnT}$ gr"o"stgradiger gemeinsamer normierter Teiler} $$d=\op{ggnT}(f,g)=\op{ggnT}_K(f,g)$$ Man kann ihn, analog wie in \eref{EukA}{LA1} im Fall der ganzen Zahlen erkl"art, mit dem euklidischen Algorithmus unschwer explizit berechnen. Der Index $K$ zeigt im Fall einer K"orpererweiterung $K\subset L$ an, ob unser $\op{ggnT}$ in $K[X]$ oder in $L[X]$ zu verstehen ist. Wir zeigen als n"achstes, da"s dieser Index "uberfl"ussig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Analog finden wir, da"s jede Menge von Polynomen in einer Ver"anderlichen mit Koeffizienten einem K"orper, die mindestens ein von Null verschiedenes Polynom enth"alt, genau einen gr"o"stgradigen gemeinsamen normierten Teiler besitzt. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{K"orpererweiterungen und Polynomdivision}] Seien $K \subset L$ K"orper und $f,g\in K[X]$ Polynome mit $g\neq 0$. So gilt:\label{ggTP} \begin{enumerate} \item Das Teilen mit Rest von $f$ durch $g$ f"uhrt zum selben Resultat unabh"angig davon, ob wir es in $K [X]$ oder in $L[X]$ durchf"uhren; \item Genau dann ist $g$ ein Teiler von $f$ in $L[X]$, wenn dasselbe gilt in $K[X]$; \item Der gr"o"stgradige gemeinsame normierte Teiler von $f$ und $g$ in $K[X]$ ist auch der gr"o"stgradige gemeinsame normierte Teiler von $f$ und $g$ in $L[X]$, in Formeln $$\op{ggnT}_K(f,g)=\op{ggnT}_L(f,g)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 1. Schreiben wir $f = q g + r$ mit $\op{grad} r < \op{grad} g$, so sind $q$ und $r$ schon eindeutig bestimmt. Insbesondere ist die L"osung in $K[X]$ auch die einzig m"ogliche L"osung in $L[X]$. \\[2mm]\noindent 2. Das ist der Spezialfall von Teil 1 mit Rest $r=0$. \\[2mm]\noindent 3. Seien dazu $d_{K}$ beziehungsweise $d_{L}$ der gr"o"stgradige gemeinsame normierte Teiler von $f$ und $g$ in $K[X]$ beziehungsweise in $L[X]$ nach \ref{ggtP}. Nat"urlich ist $d_K$ auch ein gemeinsamer Teiler in $L[X]$, also gilt $d_{K} | d_{L}$ nach \ref{ggtP}. Andererseits haben wir eine Darstellung $d_{K} = q f + pg$ mit $q, p \in K [X]$, also gilt auch umgekehrt $d_{L}|d_{K}$. Zusammen folgt $d_{L} =d_{K}$. \\[2mm]\noindent 3. Alternativ kann man argumentieren, da"s der $\op{ggnT}$ mit dem euklidischen Algorithmus berechnet werden kann und da"s nach Teil 1 bei diesem Algorithmus dasselbe herauskommt, egal ob wir ihn in $K[X]$ oder $L[X]$ durchf"uhren. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Teilerfremde Polynome}] Ich erinnere an unsere Definition \eref{DeEi}{LA1}: Zwei Elemente eines Krings oder allgemeiner die Elemente einer beliebigen Teilmenge eines Krings hei"sen {\bf teilerfremd},\index{teilerfremd} wenn sie au"ser Einheiten keine gemeinsamen Teiler haben. Im Fall eines Hauptidealrings ist das offensichtlich gleichbedeutend dazu, da"s das von unseren Elementen erzeugte Ideal der ganze Ring ist. Gegeben eine K"orpererweiterung $K\subset L$ und Polynome $f,g\in K[X]$ sind unsere Polynome nach \ref{ggTP} teilerfremd in $K[X]$ genau dann, wenn sie teilerfremd sind in $L[X]$, denn sind sie beide Null, so sind sie nicht teilerfremd, und andernfalls gilt\label{tfp} nach \ref{ggTP} insbesondere $$\op{ggnT}_K(f,g)=1 \;\;\IFF \;\;\op{ggnT}_L(f,g)=1$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Gemeinsame Nullstellen und gemeinsame Teiler}] Gegeben ein K"orper $K$ haben zwei Polynome $f,g\in K[X]$ genau dann eine gemeinsame Nullstelle in mindestens einem Erweiterungsk"orper $L/K$, wenn sie nicht teilerfremd sind als Elemente von $K[X]$. \end{Lemma} \begin{proof} Gibt es eine K"orpererweiterung $L/K$ und $\alpha\in L$ mit $f(\alpha)=g(\alpha)=0$, so folgt $(X-\alpha)|f$ und $(X-\alpha)|g$ und $f$ und $g$ sind nicht teilerfremd in $L[X]$ und dann nach \ref{tfp} auch nicht in $K[X]$. Haben umgekehrt $f$ und $g$ einen gemeinsamen Teiler positiven Grades, so hat dieser Teiler in mindestens einer K"orpererweiterung $L/K$ eine Nullstelle und diese ist dann auch eine gemeinsame Nullstelle von $f$ und $g$ in $L$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ableitung und Existenz mehrfacher Nullstellen}] F"ur ein nicht konstantes %von Null verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper sind gleichbedeutend:\label{VN} \begin{enumerate} \item Das Polynom hat mehrfache Nullstellen in seinem Zerf"allungsk"orper; \item Das Polynom hat mehrfache Nullstellen in mindestens einer Erweiterung seines Koeffizientenk"orpers; \item Das Polynom und seine Ableitung sind nicht teilerfremd. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Bei der Bedingung \glqq teilerfremd\grqq\ kommt es wegen \ref{tfp} nicht darauf an, ob wir sie in unserem urspr"unglichen Polynomring oder im Polynomring mit Koeffizienten in einem beliebigen Erweiterungsk"orper verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Seien $K$ unser K"orper und $P\in K[X]\backslash K$ unser Polynom. \\[2mm]\noindent 1 $\RA$ 2. Das ist offensichtlich. \\[2mm]\noindent 2 $\Rightarrow$ 3. Ist $\al$ eine mehrfache Nullstelle des Polynoms $P$ in einer K"orpererweiterung $L$ von $K$, so ist $\alpha$ eine gemeinsame Nullstelle von $P$ und $P^{\prime}$ in $L$. Damit sind $P$ und $P'$ nicht teilerfremd, da sie beide von $(X-\alpha)$ geteilt werden. \\[2mm]\noindent 3 $\Rightarrow$ 2. Es gibt eine K"orpererweiterung $M/K$, in der sowohl $P$ als auch $P'$, falls es nicht eh verschwindet, in Linearfaktoren zerfallen. Sind $P$ und $P'$ nicht teilerfremd, haben sie in $M$ eine gemeinsame Nullstelle $\al$ und damit ist $\al$ eine mehrfache Nullstelle von $P$ in $M$ nach \ref{AVN}. Dann ist $\al$ auch eine mehrfache Nullstelle im von den Nullstellen von $P$ erzeugten Teilk"orper von $M$, und der ist ein Zerf"allungsk"orper von $P$ und damit, wie in \ref{EZK} diskutiert, der bis auf nichteindeutigen Isomorphismus "uber $K$ eindeutig bestimmte Zerf"allungsk"orper. \end{proof} \begin{Definition}[\textbf{Separable Polynome}] Ein Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper, das in keiner K"orpererweiterung seines Koeffizientenk"orpers mehrfache Nullstellen hat, hei"st {\bf separabel}.\index{separabel!Polynom} Offensichtlich gleichbedeutend ist die Bedingung, da"s unser Polynom in seinem Zer\-f"al\-lungs\-k"or\-per keine mehrfachen\label{sepP} Nullstellen hat. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Separabilit"at irreduzibler Polynome}] Seien $K$ ein K"orper und $P \in K [X]$ ein $K$-irreduzibles Polynom. So sind gleichbedeutend:\label{PP} \begin{enumerate} \item Das Polynom $P$ ist nicht separabel; \item Die Ableitung $P^{\prime}$ von $P$ ist das Nullpolynom; \item Es gilt $\op{char} K = p >0$ und es gibt $Q \in K [X]$ mit $P (X) = Q (X^{p})$; \item Jede Nullstelle unseres Polynoms in einer beliebigen Erweiterung seines Koeffizientenk"orpers ist ein mehrfache Nullstelle. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1 $\Rightarrow$ 2. Hat $P$ mehrfache Nullstellen, so ist es nach \ref{VN} nicht teilerfremd zu seiner Ableitung. Wenn aber ein irreduzibles Polynom nicht teilerfremd ist zu einem weiteren Polynom echt kleineren Grades, mu"s dieses weitere Polynom das Nullpolynom sein. \\[2mm]\noindent 2 $\IFF$ 3. Das scheint mir offensichtlich f"ur ein beliebiges Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper $K$. \\[2mm]\noindent 2 $\Rightarrow$ 4. Ist die Ableitung das Nullpolynom, so ist jede Nullstelle unseres Polynoms auch eine Nullstelle seiner Ableitung, mithin nach \ref{AVN} eine mehrfache Nullstelle unseres Polynoms. \\[2mm]\noindent 4 $\RA$ 1. Das scheint mir offensichtlich. \end{proof} \begin{Definition}[\textbf{Separable K"orpererweiterungen}] Eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"st {\bf separabel},\index{separabel!K"orpererweiterung} wenn\index{K"orpererweiterung!separable} sie algebraisch ist und wenn f"ur alle $\alpha\in L$ das Minimalpolynom $\op{Irr}(\alpha,K)$ bei $\alpha$ keine mehrfache Nullstelle hat.\label{DefSep} \end{Definition} \begin{Definition}[\textbf{Separable Elemente von K"orpererweiterungen}] Ein Element $\al\in L$ einer K"orpererweiterung $L/K$ hei"st {\bf separabel\index{separabel!K"orpererweiterung!Element von} "uber} $K$,\label{DefS} wenn es algebraisch ist und eine einfache Nullstelle seines Minimalpolynoms $\op{Irr}(\alpha,K)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Per definitionem ist also eine K"orpererweiterung $L/K$ separabel genau dann, wenn alle ihre Elemente separabel sind "uber dem Unterk"orper $K$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ ist ein Element $\al\in L$ separabel "uber $K$ genau dann, wenn sein Minimalpolynom $\op{Irr}(\alpha,K)$ separabel ist "uber $K$ im Sinne von \ref{sepP}. In der Tat ist ja das Minimalpolynom irreduzibel und ein $K$-irreduzibles Polynom hat nach \ref{PP} eine mehrfache Nullstelle in einer Erweiterung von $K$ genau dann, wenn jede seiner Nullstellen in einer beliebigen Erweiterung von $K$ eine mehrfache Nullstelle ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{bser} In Charakteristik Null ist jede algebraische K"orpererweiterung separabel nach Satz \ref{PP} zur Separabilit"at irreduzibler Polynome. Nicht separabel ist $\Bbb{F}_{p} (\sqrt[p]{T})$ "uber $\Bbb{F}_{p} (T)$, denn nach \ref{Wcp} ist $(X-\sqrt[p]{T})^p=X^p-T$ ein $\Bbb{F}_{p} (T)$-irreduzibles Polynom. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein K"orper hei"st {\bf vollkommen},\index{vollkommen!K"orper} wenn er entweder\label{voKO} die Charakteristik Null hat oder aber f"ur $p\pdef\op{char} K>0$ die Abbildung $x\mapsto x^p$ eine Surjektion $K\sra K$ ist. \end{Definition}\begin{Bemerkunge} F"ur \glqq vollkommen\grqq\ sagt man in diesem Zusammenhang auf Englisch {\bf perfect}\index{perfect field}\index{K"orper!vollkommener} und auf Fran\-z"o\-sisch {\bf parfait}.\index{parfait, corps} \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Endliche K"orper sind vollkommen}] Jeder endliche K"orper vollkommen, denn jeder\label{EKV} K"orperhomomorphismus und damit insbesondere der Frobeniushomomorphismus ist injektiv und folglich im Fall eines endlichen K"or\-pers auch surjektiv. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Irreduzible Polynome "uber vollkommenen K"orpern}] Jedes irreduzible Polynom\label{S} "uber einem vollkommenen K"orper ist separabel. Jede algebraische Erweiterung eines vollkommenen K"orpers ist separabel. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $K$ unser vollkommener K"orper. Im Fall $\op{char} K=0$ ist nach \ref{PP} jedes $K$-irreduzible Polynom separabel. Sei also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\op{char} K=p>0$ und $P\in K[X]$ irreduzibel. W"are $P$ nicht separabel, so h"atte $P$ nach \ref{PP} die Form $P = b_{n} (X^{p})^{n} + \ldots+b_{1}X^{p} + b_{0}$. Nehmen wir aber nun $a_{n}, \ldots, a_{0} \in K$ mit $a^{p}_{i}=b_{i}$ und betrachten $Q = a_{n}X^{n} + \ldots + a_{0}$, so folgt $P = Q^{p}$ im Widerspruch zur Irreduzibilit"at von $P$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraische K"orpererweiterungen endlicher K"orper sind separabel}] Jede algebraische K"orpererweiterung eines endlichen K"orpers ist separabel, da jeder endliche K"orper vollkommen ist nach \ref{EKV} und folglich jede algebraische K"orpererweiterung dar"uber separabel ist nach \ref{S}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung separabler K"orpererweiterungen}] F"ur eine K"orpererweiterung $L/K$ sind\label{SE} gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $L/K$ ist separabel; \item $L$ wird erzeugt "uber $K$ von Elementen, die separabel sind "uber $K$. \end{enumerate} Ist $L/K$ endlich, so sind auch gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item[3.] F"ur jede Vergr"o"serung $N/L$ von $L$ zu einer normalen Erweiterung von $K$ gilt $|\!\op{Kring}^{\!K}(L,N)|=[L:K]$; \item[4.] Es gibt mindestens eine K"orpererweiterung $N/K$ von $K$ mit der Eigenschaft $|\!\op{Kring}^{\!K}(L,N)|=[L:K]$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSep} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{SE}, Implikation $2\RA 3$. Die durchgezogenen Pfeile ganz oben sollen m"ogliche Erweiterungen des durchgezogenen Pfeils in der Mitte andeuten. Jeder andere der $[K(\alpha):K]$ Pfeile in der Mitte besitzt genauso $[L:K(\alpha)]$ Erweiterungen nach ganz oben, nur sind diese nicht eingezeichnet. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Zeigen wir $1\IFF 2$ f"ur endliche Erweiterungen, so folgt es leicht im allgemeinen. Wir d"urfen uns also f"ur den Rest des Beweises auf den Fall $L/K$ endlich beschr"anken. $1 \Rightarrow 2$ ist klar. F"ur $ 2 \Rightarrow 3$ d"urfen wir mit Induktion "uber den Grad $[L:K]$ annehmen $L = K (\al)$. Da $\al$ separabel ist, sind die $[L:K]$ Nullstellen seines Minimalpolynoms in $N$ paarweise verschieden und liefern mit \ref{AuuD} paarweise verschiedene Erweiterungen der Einbettung $K \hookrightarrow N$ zu K"orperhomomorphismen $K(\al) \hookrightarrow N$. Die Implikation $3 \Rightarrow 4$ ist klar. F"ur $4 \Rightarrow 1$ argumentieren wir durch Widerspruch: W"are ein $\al \in L$ nicht separabel "uber $K$, so g"abe es nach \ref{AuuD} f"ur jedes $N$ weniger als $[K(\al):K]$ Ausdehnungen von $K\hra N$ zu einer Einbettung $K (\al) \hookrightarrow N$ und damit nach Satz \ref{ZFK} "uber die maximal m"ogliche Zahl von Ausdehnungen notwendig auch weniger als $[L : K]$ Ausdehnungen von $K\hra N$ zu einer Einbettung $L\hra N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $K$ ein K"orper, $L/K$ eine endliche separable Erweiterung und $N/K$ eine normale Erweiterung. So gilt\label{Kose} $$\op{Ring}^K(L,N)\neq\emptyset \;\;\RA\;\; |\op{Ring}^K(L,N)|=[L:K]$$ Das ist nur eine Umformulierung der Implikation $(1)\RA(3)$ aus dem vorhergehenden Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskriminante als Determinante}] Ich erkl"are noch eine alternative Beschreibung der Diskriminante, deren Herleitung \ref{VN} verwendet. Ich behaupte genauer f"ur die $a_i \in \mathbb Z ['\zeta_1, \ldots, \zeta_n]$, die gegeben werden\label{FoDis} durch die Identit"at $T^n + a_1 T^{n-1} + \ldots + a_n = (T+\zeta_1) \ldots (T +\zeta_n)$, da"s die Determinante der nebenstehenden Matrix $M$ gegeben wird durch die Formel \begin{equation*} \det M = \prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j) \end{equation*} und folglich genau unsere Diskriminante aus \ref{DeDia} ist. Um das zu zeigen, beachten wir zun"achst, da"s beide Seiten symmetrische Polynome sind und da"s zumindest in $\mathbb Q ['\zeta_1, \ldots , \zeta_n]$ alle $(\zeta_i -\zeta_j)$ nach \ref{VN} und \eref{HYT}{LA1} und \ref{EFRe} das Polynom $(\det M)$ teilen. Dann aber wechselt der Ausdruck $(\det M) / (\zeta_i -\zeta_j)$ unter der Vertauschung von $\zeta_i$ und $\zeta_j$ sein Vorzeichen und mu"s nach \eref{HYT}{LA1} folglich ein weiteres Mal durch $(\zeta_i - \zeta_j)$ teilbar sein. Mithin ist $\det M$ in $\mathbb Q [ '\zeta_1,\ldots , \zeta_n]$ durch $\prod_{i \neq j} (\zeta_i -\zeta_j)$ teilbar. Sicher ergibt das Wegteilen ein symmetrisches Polynom, das h"ochstens auf den Hyperebenen $\zeta_i = \zeta_j$ verschwindet. W"are dies Polynom nicht konstant, so k"onnten wir mit denselben Argumenten ein weiteres Mal einen Faktor $\prod_{i \neq j} (\zeta_i-\zeta_j)$ herausziehen. Das f"uhrt jedoch zu einem Widerspruch, wenn wir etwa erst durch $\zeta_1^{2(n-1)}$ teilen, f"ur $\zeta_2, \ldots,\zeta_n$ paarweise verschiedene rationale Zahlen einsetzen, und $\zeta_1\in\DQ$ gegen $\infty$ streben lassen: $(\det M)/\zeta_1^{2(n-1)}$ bleibt dann n"amlich beschr"ankt, wie wir sehen, indem wir alle Spalten au"ser der Ersten mit $ \zeta_1^{-1}$ multiplizieren, und $(\prod_{i \neq j} (\zeta_i-\zeta_j))/\zeta_1^{2(n-1)}$ strebt gegen eine von Null verschiedene Zahl, aber $(\prod_{i \neq j} (\zeta_i-\zeta_j))^r/\zeta_1^{2(n-1)}$ strebt f"ur $r\geq 2$ stets nach Unendlich. Es gilt also nur noch, die Konstante $c \in \mathbb Q$ zu bestimmen mit \begin{equation*} \det M = c \prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j) \end{equation*} Dazu setzen wir $\zeta_i = -\zeta^i$ mit $\zeta$ einer primitiven $n$-ten Einheitswurzel. Dann folgt $(T + \zeta_1) \ldots (T+\zeta_n) = T^n -1$ und $(\det M) = n^n (-1)^{n-1}$ und andererseits \begin{equation*} \prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j) = %(-1)^{n(n-1)} \prod^n_{i=1} \left(\zeta^i \prod_{j\neq i} (1 - \zeta^{j-i})\right) \end{equation*} Das Produkt aller $n$-ten Einheitswurzeln ist nun sicher $(-1)^{n-1}$ und das zweite Produkt kann berechnet werden als der Wert an der Stelle $t=1$ des Polynoms $(t^n -1) /(t-1) = t^{n-1} + \ldots + t+1$. So erhalten wir f"ur die gesuchte Konstante $c$ schlie"slich $ (-1)^{n-1} n^n = (-1)^{n-1} n^n c $ und damit $c =1$ wie gew"unscht. \end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDisk}\\[4mm] \noindent Die Determinante dieser Matrix stimmt "uberein mit der Diskriminante des Polynoms $T^n+a_1T^{n-1}+\ldots+a_n$, wie sie in \ref{Diskk} f"ur jedes normierte Polynom erkl"art wird. In der in \ref{DResb} eingef"uhrten Terminologie ist die Diskriminante eines normierten Polynoms $f$ vom Grad $n$ also genau die Resultante $\op{Disk}_n(f)=\op{Res}_{n,n-1}(f,f')$ unseres Polynoms mit seiner Ableitung. Das sei von nun ab auch unsere Definition der Diskriminante $\op{Disk}_n(f)$\index{Disk@$\op{Disk}_n$ Diskriminante} eines beliebigen Polynoms $f$ vom Grad $\leq n$. Man kann, wie obige Formel zeigt, von diesem Polynom $\op{Disk}_n$ sogar noch einen Faktor $a_0$ abspalten. \end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Wie oft nehmen rationale Funktionen vorgegebene Werte an}] Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so nimmt eine von Null verschiedene rationale Funktion $f\in K(X)^\times$ auf ihrem Definitionsbereich fast jeden Wert an gleichviel Stellen an. Im Fall der Charakteristik Null nimmt sie fast jeden Wert an genau $n=\op{max}(\op{grad}g,\op{grad}h)$ Stellen an\label{FRFFm} f"ur $f=g/h$ eine unk"urzbare Darstellung als Bruch zweier Polynome. In anderen Worten haben unter $f:D(f)\ra K$ fast alle Punkte $a\in K$ genau $n$ Urbilder. Hinweis: Man "uberlege sich, da"s $g-\lambda h$ f"ur beliebiges $\lambda$ nur dann eine mehrfache Nullstelle bei einem vorgegebenen $\mu\in D(f)$ haben kann, wenn $\mu$ eine Nullstelle der formalen Ableitung von $f$ oder gleichbedeutend von $g'h-h'g$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Diskriminante eines Produkts}] Gegeben normierte Polynome $f,g$ zeige man $$\op{Disk}(fg)=\op{Disk}(f)\op{Res}(f,g)\op{Res}(g,f)\op{Disk}(g)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme den normierten gr"o"stgradigen gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $X^4+X^3-2X^2+3X-15$ und $X^3-6X^2-12X+35$ in $\DQ[X]$. Haben diese Polynome in einer K"orperwerweiterung von $\DQ$ eine gemeinsame Nullstelle? \end{Ubung} \begin{Ubung} Finden Sie alle komplexen mehrfachen Nullstellen des Polynoms $X^4-4X^3+5X^2-4X+4$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige nocheinmal mit Sonderbetrachtungen in kleiner Charakteristik, da"s gegeben ein K"orper $k$ und $p,q\in k$ das Polynom $X^3+pX+q$ genau dann nicht separabel ist, wenn gilt $27q^2+4p^3=0$. %Man berechnet $\op{ggnT}(X^3+pX+q, 3X^2 +p)$ etc. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Ableitung und logarithmische Ableitung von Reihen}] Gegeben ein Ring $R$ erkl"art man die formale Ableitung einer Laurentreihe $f=\sum a_nt^n\in R(\!(t)\!)$ durch $f'\pdef \sum na_nt^{n-1}$. Wieder zeige man Summenregel und Produktregel. F"ur $f\in 1+tR\llbracket t\rrbracket$ und $\DQ\subset R$ zeige man zus"atzlich $(\op{log}f)'=f'/f$ f"ur $\op{log}f$ wie in \eref{logf}{AN1}. \index{logarithmische Ableitung!formale} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $P,Q$ nicht konstante Polynome mit Koeffizienten in einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik Null. Man zeige: Haben unsere beiden Polynome dieselben Nullstellen und dieselben \glqq Einsstellen\grqq, gelten also in Formeln f"ur die zugeh"origen Abbildungen $P,Q:k\ra k$ die Gleichheiten $P^{-1}(0)=Q^{-1}(0)$ und $P^{-1}(1)=Q^{-1}(1)$ von Teilmengen von $k$, so folgt $P=Q$. Hinweis: W"are $P\neq Q$, so w"are $ P-Q$ ein von Null verschiedenes Polynom mit $|P^{-1}(1)\cup P^{-1}(0)|$ Nullstellen und folglich mindestens diesem Grad. F"ur $d$ das Maximum der Grade unserer Polynome folgt $d\geq |P^{-1}(1)\cup P^{-1}(0)|$. F"ur $P$ vom Grad $d$ folgt, da"s $P'$ mit Vielfachheiten gerechnet zu viele Nullstellen haben mu"s und deshalb Null ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{QuaF} Man zeige: Ein Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper der Charakteristik Null ist separabel genau dann, wenn es von keinem Quadrat eines irreduziblen Polynoms geteilt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MSZ} Man zeige: Seien $M \supset L \supset K$ K"orper. Ist $M / L$ separabel und $L/K$ separabel, so ist $M/K$ separabel. Hinweis: Man ziehe sich zun"achst auf den Fall endlicher Erweiterungen zur"uck und verwende dann \ref{SE}, insbesondere $4\RA 1$, mit $N$ einer Vergr"o"serung von $M$ zu einer normalen Erweiterung von $K$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} In jeder K"orpererweiterung $M / K$ gibt es unter allen Zwischenk"orpern $L\subset M $, die separabel sind "uber $K$, einen gr"o"sten. Er hei"st der {\bf separable Abschlu"s von $K$ in $M$}.\index{separabler Abschlu"s!in K"orpererweiterung} Hinweis: Man verwende \ref{MSZ}. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Eine algebraische K"orpererweiterung derart, da"s nur die Elemente des kleinen K"orpers "uber diesem separabel sind, hei"st {\bf rein inseparabel}.\index{rein inseparabel}\index{inseparabel!rein, K"orpererweiterung} Man zeige, da"s eine algebraische\label{reii} Erweiterung $L/K$ eines K"orpers $K$ der Charakteristik $p>0$ rein inseparabel ist genau dann, wenn f"ur jedes Element von $L$ die $p^r$-te Potenz f"ur hinreichend gro"ses $r$ in $K$ liegt. Salopp gesprochen sind also rein inseparable Erweiterungen genau die Erweiterungen, die durch die sukzessive Adjunktion $p$-ter Wurzeln in Charakteristik $p$ entstehen. Hinweis: \ref{PP}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{riSS} Man zeige: Ist $M / K$ eine algebraische K"orpererweiterung und $L\subset M $ der separable Abschlu"s von $K$ in $M$, so ist die K"orpererweiterung $M/L$ rein inseparabel. Hinweis: Man verwende \ref{MSZ}. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungw} Man kann im Fall positiver Charakteristik $p>0$ auch f"ur jede K"orpererweiterung $L/K$ die Menge $L_{\op{i}}$ aller Elemente von $L$ betrachten, die unter wiederholtem Anwenden des Frobenius, also unter wiederholtem Bilden der $p$-ten Potenz irgendwann einmal in $K$ landen. Dann ist $L_{\op{i}}$ der gr"o"ste "uber $K$ rein inseparable algebraische Unterk"orper von $L$. Auch wenn $L/K$ algebraisch oder sogar endlich ist, mu"s hier $L/L_{\op{i}}$ nicht separabel sein. Das gilt jedoch, wenn zus"atzlich $L/K$ eine normale algebraische K"orpererweiterung ist, vergleiche \ref{NGre}. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}\label{KHiS} Man zeige f"ur jede rein inseparable algebraische K"orpererweiterung $L/K$ und jede weitere K"orpererweiterung $N/K$ die Absch"atzung $$|\!\op{Kring}^{\!K}(L,N)|\leq 1$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine algebraische K"orpererweiterung $L/K$ erkl"art man ihren {\bf Separabilit"atsgrad}\index{Separabilit"atsgrad} als\index{)5]@$[L:K]_{\op{s}}$ Separabilit"atsgrad} $[L:K]_{\op{s}}\pdef[S:K]$ f"ur $S\subset L$ den separablen Abschlu"s von $K$ in $L$. \begin{enumerate} \item Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $L/K$ zeige man $$[L:K]_{\op{s}}\pdef \op{sup}_{N/K}|\!\op{Kring}^{\!K}(L,N)|$$ Das Supremum der Zahl m"oglicher Homomorphismen ist dabei "uber alle K"orpererweiterungen $N/K$ zu bilden und alle Werte in $\DN\amalg\{\infty\}$ sind erlaubt. Hinweis: \ref{riSS} und \ref{KHiS}. \item Man zeige, da"s der Separabilit"atsgrad im Fall endlicher K"orpererweiterungen multiplikativ ist, da"s also f"ur $M/L/K$ endliche Erweiterungen gilt $$[M:K]_{\op{s}}=[M:L]_{\op{s}}[L:K]_{\op{s}}$$ \end{enumerate} Die beiden Identit"aten aus der vorhergehenden "Ubung gelten auch f"ur beliebige algebraische K"orpererweiterungen. Um das zu zeigen, mu"s man nur wissen, da"s sich jeder K"orper in einen algebraisch abgeschlossenen K"orper einbetten l"a"st, und mu"s sich "uberlegen, da"s f"ur jede algebraische K"orpererweiterung $L/K$ und jede algebraisch abgeschlossene K"orpererweiterung $N/K$ gilt $[L:K]_{\op{s}}= |\!\op{Kring}^{\!K}(L,N)|$.\label{SepG} \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Rein inseparable Erweiterungen eines Funktionenk"orpers}] Sei $k$ ein vollkommener K"orper positiver Charakteristik $p>0$ und $L/k(T)$ eine endliche rein inseparable Erweiterung seines Funktionenk"orpers. So ist unsere K"orpererweiterung f"ur genau ein $r\in\DN$ zur K"orpererweiterung $k(X)/k(T)$ gegeben durch $X\mapsto T^{p^r}$ isomorph. Hinweis: Man mag ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $[L:k(T)]=p$ annehmen. Dann "uberlegt man sich, da"s in\label{RIS} $k(\sqrt[p]{T})$ bereits alle Elemente von $k(T)$ eine $p$-te Wurzel haben. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein K"orper $k$ induzieren die Einbettungen $k[X]\hra k\llbracket X\rrbracket\hra k(\!(X)\!)$ einen Ringhomomorphismus und nach \eref{UEQ}{LA1} eine Einbettung $k(X)\hra k(\!(X)\!)$. Man zeige, da"s im Fall $\op{char}k=0$ diese Einbettung f"ur rationale Funktionen, die bei $X=0$ keinen Pol haben, durch ein formales Analogon der Taylorformel beschrieben werden kann. Hierbei gilt es zun"achst, die Ableitung eines Bruchs vermittels der Bruchregel zu erkl"aren. \end{Ubunge} \subsection{Satz vom primitiven Element} \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckung durch affine Teilr"aume}] Ein affiner Raum "uber einem unendlichen K"orper kann nicht durch endlich viele echte affine Teilr"aume "uberdeckt werden.\label{EU} \end{Lemma} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAFGU} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{EU} \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren durch Widerspruch und gehen von einer "Uberdeckung durch m"oglichst wenige Teilr"aume aus. Wir finden also einen Punkt, der im ersten Teilraum liegt, aber nicht in den anderen. Weiter finden wir eine Gerade durch diesen Punkt, die nicht im ersten Teilraum enthalten ist. Sie trifft dann jeden unserer Teilr"aume in h"ochstens einem Punkt, hat aber selbst unendlich viele Punkte. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckung durch Untervektorr"aume}] Ein Vektorraum kann nicht durch endlich viele Untervektorr"aume von unendlicher Kodimension "uberdeckt werden.\label{EUV} \end{Lemma} \begin{proof} Seien sonst $K$ ein K"orper und $V=U_1\cup\ldots\cup U_r$ ein Gegenbeispiel "uber $K$. Im Dualraum $V^*$ sind nach Annahme die Teilr"aume $U_i^\perp$ der auf einem $U_i$ verschwindenden Linearformen unendlichdimensional. Wir finden also induktiv $f_i\in U_i^\perp$ derart, da"s die Familie $f_1,\ldots, f_r$ linear unabh"angig ist. Das bedeutet, da"s die lineare Abbildung $V\ra K^r$ gegeben durch $v\mapsto (f_1(v),\ldots, f_r(v))$ surjektiv ist. Auf der Vereinigung der $U_i$ ist sie jedoch nicht surjektiv, diese Vereinigung wird ja nach Konstruktion in die Teilmenge aller Tupel von $K^r$ abgebildet, bei denen mindestens eine Koordinate Null ist. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Hier einige Erg"anzungen, die in dieser Vorlesung keine Rolle spielen. Aus \ref{EUV} folgert man leicht, da"s auch ein affiner Raum nicht durch endlich viele affine Teilr"aume unendlicher Kodimension "uberdeckt werden kann. Unser Argument beim Beweis von Lemma \ref{EU} zeigt feiner, da"s ein affiner Raum "uber einem K"orper $\mathbb F$ mit mehr als $n$ Elementen $|\mathbb F|>n$ nie die Vereinigung von nur $n$ echten affinen Teilr"aumen sein kann. Unser Argument beim Beweis von Lemma \ref{EUV} zeigt feiner, da"s ein Vektorraum $V$ nicht von Untervektorr"aumen $U_1,\ldots, U_r$ mit $\op{dim}(V/U_\rho)\geq \rho$ "uberdeckt werden kann. All das ist aber wie gesagt f"ur uns hier nicht wichtig. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{"Uberdeckung durch Teilk"orper}] Ein K"orper kann nicht durch endlich viele echte Teilk"orper "uberdeckt werden.\label{UTKoe} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis im Fall von Charakteristik Null] Jeder Unterk"orper ist in diesem Fall ein $\DQ$-Untervektorraum. Die Behauptung folgt so aus Lemma \ref{EU}, nach dem ein insbesondere ein Vek\-tor\-raum "uber einem unendlichen K"orper nicht durch endlich viele echte Untervektorr"aume "uberdeckt werden kann. \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Fall eines endlichen K"orpers] Ein endlicher K"orper kann nicht durch echte Teilk"orper "uberdeckt werden, da seine multiplikative Gruppe nach \eref{MZ}{LA2} zyklisch ist. \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Fall eines unendlichen K"orpers positiver Charakteristik] Seien nun $L$ ein unendlicher K"orper positiver Charakteristik $p>0$ und $K\subsetneq L$ ein echter Teilk"orper. Ist $K$ endlich, so ist der Gruppenquotient $L/K$ unendlich. Ist $K$ unendlich, so ist der Gruppenquotient $L/K$ ein nichttrivialer $K$-Vektorraum und mithin auch unendlich. Also ist $L/K$ in jedem Fall unendlich und hat damit als $\mathbb F_p$-Vektorraum unendliche Dimension. Die Behauptung folgt so aus Lemma \ref{EUV}, nach dem ein Vektorraum nicht durch endlich viele Untervektorr"aume unendlicher Kodimension "uberdeckt werden kann. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Unterscheidung von K"orperhomomorphismen}] Gegeben ein K"or\-per $L,M$ und paarweise verschiedene K"orperhomomorphismen $\sigma_1,\ldots,\sigma_r\in\op{Kring}(L,M)$ gibt es stets ein Element $\alpha\in L$,\label{OKLI} auf dem unsere K"orperhomomorphismen paarweise verschiedene Werte annehmen, in Formeln $$i\neq j\;\RA \; \sigma_i(\alpha)\neq\sigma_j(\alpha)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Sicher ist $L_{ij}\pdef \{\beta\in L\mid\sigma_i(\beta) = \sigma_j(\beta)\}$ f"ur $i\neq j$ ein echter Teilk"orper $L_{ij}\subsetneq L$. Da ein K"orper nach \ref{UTKoe} nicht durch endlich viele echte Teilk"orper "uberdeckt werden kann, gibt es stets ein $\alpha\in L\backslash \bigcup_{i\neq j}L_{ij}$. \end{proof} %\begin{proof}[Zweiter Beweis] % Die Teilmenge $\op{Grp}(L^\times, M^\times)\subset \op{Ens}(L^\times, M)$ der Gruppenhomomorphismen ist % linear unabh"angig "uber $M$ nach dem Satz % "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \ref{LUC}. %\end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Teilk"orper und Primitivit"at}] Eine K"orpererweiterung ist genau dann endlich und primitiv, wenn sie nur endlich viele Zwischenk"orper hat. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Eine endliche K"orpererweiterung, bei der es unendlich viele Zwischenk"orper gibt, beschreibt "Ubung \ref{UvZw}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} L"a"st eine K"orpererweiterung $L/K$ nur endlich viele Zwischenk"orper zu, so kann sie von ihren echten Zwischenk"orpern nach \ref{UTKoe} nicht "uberdeckt werden. Also gibt es ein $\alpha\in L$, das in keinem echten Zwischenk"orper liegt. Dann gilt notwendig $L=K(\alpha)$ und dabei kann $\alpha$ nicht transzendent sein, da sonst die $K(\alpha^n)$ eine unendliche Familie paarweise verschiedener Zwischenk"orper w"aren. Ist umgekehrt $L=K(\alpha)$ eine primitive endliche K"orpererweiterung, so betrachten wir die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Zwischenk"orper } M,\\ K\subset M\subset L \end{array}\right\} & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \text{Normierte Teiler in }L[X]\\ \text{des Minimalpolynoms }\op{Irr}(\alpha,K) \end{array}\right\}\\[6mm] M & \mapsto & \op{Irr}(\alpha, M) \end{array} \end{displaymath} Es reicht zu zeigen, da"s sie injektiv ist. In der Tat wird aber $M$ "uber $K$ bereits von den Koeffizienten des Minimalpolynoms $\op{Irr}(\alpha, M)$ erzeugt, denn f"ur den von diesen Koeffizienten "uber $K$ erzeugten Teilk"orper $M'\subset M$ gilt $[L:M']=\op{grad}(\op{Irr}(\alpha,M))=[L:M]$. Da jedes Polynom nur endliche viele normierte Teiler besitzt, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\defnoind{vom primitiven Element}\index{primitives Element}] Ist $L/K$ eine endliche separable K"or\-per\-er\-weiterung, so gibt es ein Element $\al \in L$ mit $L = K (\al)$.\label{PE} \end{Satz} % \begin{proof}[Beweis mit Galoiskorrespondenz] % Da die multiplikative Gruppe % jedes endlichen K"orpers nach \eref{MZ}{LA2} zyklisch ist, % d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit % $K$ unendlich annehmen. % Indem wir $L$ vergr"o"sern zum Zerf"allungsk"orper $N$ % der Minimalpolynome von endlich vielen Erzeugern unserer % K"orpererweiterung, k"onnen wir $L$ als Zwischenk"orper % einer endlichen Galoiserweiterung % $N/K$ realisieren. Da diese nur endlich viele Zwischenk"orper hat, % hat auch die K"orpererweiterung $L/K$ nur endlich viele Zwischenk"orper. % Die von $L$ verschiedenen Zwischenk"orper dieser K"orpererweiterung % k"onnen aber nach \ref{EU} nicht % ganz $L$ "uberdecken. % F"ur jedes Element $\alpha$ aus dem Komplement ihrer Vereinigung % gilt dann $L=K(\alpha)$. % \end{proof} \begin{proof} Nach \ref{VNE} k"onnen wir $L$ vergr"o"sern zu einer normalen Erweiterung $N$ von $K$. Wegen der Separabilit"at von $L/K$ gibt es dann nach \ref{Kose} genau $[L:K]$ K"orperhomomorphismen "uber $K$ von $L$ nach $N$, in Formeln $$|\!\op{Kring}^K(L,N)|=[L:K]$$ Nach Korollar \ref{OKLI} "uber die Unterscheidung von K"orperhomomorphismen gibt es Elemente $\alpha\in L$ derart, da"s die $\sigma(\alpha)$ f"ur $\sigma\in\op{Kring}^K(L,N)$ paarweise verschieden sind. Gegeben solch ein $\alpha$ liefert die Restriktion eine Injektion $$\op{Kring}^K(L,N)\hra\op{Kring}^K(K(\alpha),N)$$ und folglich $[L:K]=|\op{Kring}^K(L,N)|\leq [K(\alpha):K]$ und damit $L=K(\alpha)$. %Die Identit"at %$L=K(\alpha)$ folgt dann unmittelbar %aus der Kette von Gleichungen und Ungleichungen %\begin{displaymath} % [L:K]=|\!\op{Kring}^K(L,N)|\leq |\!\op{Kring}^K(K(\alpha),N)|\leq[K (\al):K]\leq [L:K]\qedhere %\end{displaymath} \end{proof} \begin{Lemma*}[\textbf{"Uberdeckung durch Nebenklassen}] Eine abelsche Gruppe kann nicht durch endlich viele Nebenklassen zu Untergruppen von unendlichem Index "uberdeckt werden.\label{UGN} \end{Lemma*} \begin{Bemerkunge} Dies Lemma ist eine gemeinsame Verallgemeinerung unserer beiden Lemmata \ref{EU} und \ref{EUV} vom Beginn dieses Abschnitts, aber abgesehen davon f"ur uns nicht von Belang. Noch st"arker gilt sogar: Eine "Uberdeckung einer Gruppe durch endlich viele Linksnebenklassen bleibt eine "Uberdeckung, wenn wir daraus alle Linksnebenklassen zu Untergruppen von unendlichem Index weglassen. Diese Aussage wird als {\bf Neumann's Lemma}\index{Neumann!Lemma} zitiert. Bernhard Neumann studierte in den drei"siger Jahren Mathematik in Freiburg und Berlin. Die Macht"ubernahme durch die Nationalsozialisten trieb ihn in die Emigration. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir argumentieren durch Widerspruch und gehen von einem Gegenbeispiel einer "Uberdeckung durch m"oglichst wenige Nebenklassen aus. Bezeichne bei so einem Gegenbeispiel $G$ unsere abelsche Gruppe und $H_0, H_1, \ldots , H_n \subset G$ unsere "uberdeckenden Nebenklassen. Die zugeh"origen Untergruppen notieren wir $\vec H_0, \vec H_1, \ldots , \vec H_n$. F"ur alle $i$ d"urfen wir $|(\vec H_0+\vec H_i)/\vec H_i|\in\{1,\infty\}$ annehmen, indem wir andernfalls f"ur alle $i$ mit $|(\vec H_0+\vec H_i)/\vec H_i|<\infty$ die Nebenklasse $H_i$ von $\vec H_i$ zur Nebenklasse $\vec H_0+ H_i$ von $\vec H_0+\vec H_i$ vergr"o"sern und beachten, da"s die Untergruppe $\vec H_0+\vec H_i$ in diesem Fall immer noch unendlichen Index in $G$ hat. Weiter k"onnen unsere Nebenklassen nicht alle Nebenklassen unter derselben Untergruppe sein, wir d"urfen also $\vec H_0\not\subset \vec H_1$ annehmen. Da wir von einem kleinsten Gegenbeispiel ausgegangen waren, finden wir $g \in H_1 \backslash \bigcup_{i\neq 1} H_i$. Wegen $g\not\in H_0$ gilt $g + \vec H_0\subset H_1\cup H_2\cup\ldots\cup H_n$ alias $$\vec H_0\subset \bigcup_{i=1}^n \left(( H_i-g)\cap \vec H_0\right)$$ Hier sind aber die $( H_i-g)\cap \vec H_0$ entweder leer oder Nebenklassen unter $\vec H_i\cap \vec H_0$, das wegen $|(\vec H_0+\vec H_i)/\vec H_i|=|\vec H_0/(\vec H_i\cap \vec H_0)|\in \{1,\infty\}$ jeweils entweder ganz $\vec H_0$ ist oder eine Untergruppe von unendlichem Index. Ersteres kann nicht passieren, da $g + \vec H_0$ in keinem der $H_i$ enthalten ist. Wir h"atten also ein noch k"urzeres Gegenbeispiel konstruiert. Dieser Widerspruch zeigt das Lemma. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Unendlich viele Zwischenk"orper}] Sei $k$ ein K"orper positiver Charkteristik $\op{char}k=p>0$. Man zeige, da"s die K"orpererweiterung $k(X,Y)\supset k(X^p,Y^p)$ den Grad $p^2$ hat und da"s die von $aX+bY$ beziehungsweise $cX+dY$ erzeugten Zwischenk"orper nur dann gleich sind, wenn $(a,b)$ und $(c,d)$ denselben Untervektorraum von $k^2$ erzeugen.\label{UvZw} \end{Ubung} \subsection{Algebraischer Abschlu"s*} \begin{Bemerkungl} In der Literatur ist es "ublich, sich bei der Entwicklung der K"orpertheorie stark auf den Satz von der Existenz eines algebraischen Abschlusses zu st"utzen. Das hat meines Erachtens den Nachteil, da"s der Beweis dieses Satzes eher mengentheoretischer Natur ist und zu den anderen Themen der Vorlesung nicht recht passen will. Um die Entwicklung der Grundlagen der Algebra von den Schwierigkeiten bei der Formalisierung der Mengenlehre zu entlasten, entwickle ich in diesem Text die Grundz"uge der K"orpertheorie unabh"angig vom Satz "uber die Existenz eines algebraischen Abschlusses. Ich diskutiere den Satz und seinen Beweis hier nur, damit weiterf"uhrende Vorlesungen darauf zur"uckgreifen k"onnen. Der folgende Abschnitt ist also f"ur die weitere Entwicklung dieser Vorlesung unerheblich und kann ohne Schaden "ubersprungen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s eine K"orpererweiterung nach \ref{AlKE} algebraisch hei"st, wenn alle Elemente der Erweiterung algebraisch sind "uber dem Grundk"orper. Ich erinnere daran, da"s eine K"orpererweiterung $L/K$ k"orperendlich hei"st, wenn der Erweiterungsk"orper "uber dem Grundk"orper als K"orper endlich erzeugt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber algebraische K"orpererweiterungen}] \begin{enumerate} \item Jede k"orper\-end\-li\-che algebraische K"orpererweiterung ist endlich; \item \label{ea2} Sei $L/K$ eine K"orpererweiterung. Diejenigen Elemente von $L$, die algebraisch sind "uber $K$, bilden einen Unterk"orper von $L$; \item\label{ea3} Seien $M\supset L \supset K$ K"orper. Ist $M$ algebraisch "uber $L$ und $L$ algebraisch "uber $K$, so ist $M$ algebraisch "uber $K$. \end{enumerate}\label{ea} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $L=K(\al_1,\ldots,\al_n)$. Sind alle $\al_i$ algebraisch "uber $K$, so sind sie erst recht algebraisch "uber $K(\al_1,\ldots,\al_{i-1})$. Wir betrachten die K"orperkette $$K\subset K(\al_1)\subset K(\al_1,\al_2)\subset\ldots \subset K(\al_1,\ldots,\al_n)=L$$ Da hier alle Schritte endlich sind nach \ref{ae}, ist auch $L/K$ endlich nach der Turmregel \ref{et}. \\[2mm]\noindent 2. Sind $\al$ und $\beta\in L$ algebraisch "uber $K$, so haben wir $[K(\al,\beta):K]<\infty$ nach Teil 1. Mithin sind alle Elemente von $K(\al,\beta)$ algebraisch "uber $K$ nach \ref{ae}. \\[2mm]\noindent 3. F"ur $\al\in M$ betrachten wir die Koeffizienten $\beta_0,\ldots,\beta_r\in L$ seines Minimalpolynoms "uber $L$. Dann ist $\al$ sogar algebraisch "uber $K(\beta_0,\ldots,\beta_r)$. Der Turm von endlichen K"orpererweiterungen $$K\subset K(\beta_0,\ldots,\beta_r) \subset K(\beta_0,\ldots,\beta_r,\al)$$ zeigt damit, da"s $\al$ algebraisch ist "uber $K$. \end{proof} \begin{Definition} Ein \defnoind{algebraischer Abschlu"s}\index{algebraisch!Abschlu"s} \index{Abschlu"s!algebraischer, von K"orper} eines K"orpers ist eine algebraische Erweiterung durch einen algebraisch abgeschlossenen K"orper. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber den algebraischen Abschlu"s}] Jeder K"orper besitzt einen algebraischen Abschlu"s und dieser algebraische Abschlu"s ist eindeutig bis auf im allgemeinen nicht eindeutigen\label{AaA} Isomorphismus von K"orpererweiterungen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wegen dieser partiellen Eindeutigkeit erlaubt man sich meist den bestimmten Artikel und eine Notation und spricht von \emph{dem} algebraischen Abschlu"s eines K"orpers $K$ und notiert ihn \index{)6a@$\bar{K}$ algebraischer Abschlu"s}$$\bar{K}$$ Ein algebraischer Abschlu"s von $\DR$ w"are etwa der K"orper $\DC$, wie wir ihn in \eref{DDC}{LA1} als Teilring des Rings der reellen $(2\times 2)$-Matrizen eingef"uhrt haben, mit der dort konstruierten Einbettung von $\DR$. Ein weiterer algebraischer Abschlu"s w"are der wie in \eref{KK2}{GR} zu $K=\DR$ durch das explizite Erkl"aren einer Multiplikation auf $\DR^2$ konstruierte K"orper, wieder mit der dort konstruierten Einbettung von $\DR$. Sicher sind diese beiden K"orpererweiterungen von $\DR$ isomorph, aber es gibt zwischen ihnen sogar genau zwei Isomorphismen, von denen keiner \glqq besser\grqq\ ist als der andere. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die gr"o"ste separable Teilerweiterung in einem algebraischen Abschlu"s eines K"orpers nennt man seinen {\bf separablen Abschlu"s}.\index{separabler Abschlu"s!eines K"orpers} \end{Bemerkunge} \begin{proof} Gegeben ein K"orper $K$ konstruiert man ohne Schwierigkeiten eine Einbettung $K\hra \Omega$ in eine Menge $\Omega$ derart, da"s es f"ur keine algebraische Erweiterung von $K$ eine surjektive Abbildung nach $\Omega$ gibt. Die Menge $\Omega=\cal{P}(K[X]\times\DN)$ w"are etwa eine M"oglichkeit: Jedes Element einer algebraischen Erweiterung $L$ von $K$ ist ja eine von endlich vielen Nullstellen eines Polynoms aus $K[X]$, so da"s wir unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms eine injektive Abbildung $L\hra K[X]\times\DN$ finden k"onnen. Die Existenz einer Surjektion $L\sra \Omega$ st"unde damit im Widerspruch zu \eref{KaPo}{GR}, wonach es keine Surjektion $K[X]\times\DN\sra \cal{P}(K[X]\times\DN)$ geben kann. Jetzt betrachte man die Menge aller Tripel $(M,s, \varphi)$ bestehend aus einer Teilmenge $M \subset \Omega$, einer Struktur $s$ eines K"orpers darauf und einem K"operhomomorphismus $\varphi : K \rightarrow M$, bez"uglich dessen $M$ algebraisch ist "uber $K$. Nach dem Zorn'schen Lemma \eref{ZLl}{LA1} existiert bez"uglich der offensichtlichen Teilordnung ein maximales derartiges Tripel. Wir zeigen nun, bei solch einem maximalen Tripel $M$ notwendig algebraisch abgeschlossen ist, und damit ist der Beweis der Existenz auch schon fertig. Andernfalls k"onnten wir n"amlich mit der Kroneckerkonstruktion \ref{AdNs} eine echte endliche Erweiterung $L/M$ von $M$ finden und die Einbettung $M\hra \Omega$ zu einer Einbettung von Mengen $L\hra\Omega$ ausdehnen -- hier verwenden wir implizit nocheinmal das Zorn'sche Lemma, nach dem es eine maximale Ausdehnung auf eine Teilmenge von $L$ geben mu"s, die aber nicht surjektiv sein kann und deshalb bereits auf ganz $L$ definiert sein mu"s. So erhielten wir ein noch gr"o"seres Tripel und dieser Widerspruch zeigt die Existenz. Seien nun $K \hra \bar{K}$ und $K \hra E$ zwei algebraische Abschl"usse von $K$. Nach Proposition \ref{Ad} "uber Ausdehnungen von K"orpereinbettungen, die wir im Anschlu"s beweisen, l"a"st sich die Identit"at auf $K$ fortsetzen zu einem K"orperhomomorphismus $\varphi : \bar{K} \ra E$. Er ist wie jeder K"orperhomomorphismus injektiv und liefert f"ur jedes Polynom $P \in K[X]$ eine Bijektion zwischen den Nullstellen von $P$ in $\bar{K}$ und den Nullstellen von $P$ in $E$. Folglich mu"s er auch surjektiv sein. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis f"ur die Existenz eines algebraischen Abschlusses]%\label{AaE} Dieser Beweis basiert auf Grundkenntnissen "uber maximale Ideale, die in dieser Vorlesung nicht behandelt wurden, genauer auf \eref{EMI}{KAG} und \eref{RMI}{KAG}. Sei $K$ unser K"orper. Wir betrachten die Menge $S = K[X] \backslash K$ aller nicht konstanten Polynome mit Koeffizienten in $K$ und bilden den riesigen Polynomring $$R = K[X_{f}]_{f \in S}$$ Hier gibt es also f"ur jedes nichtkonstante Polynom $f$ aus $K[X]$ eine eigene Variable $X_f$. In diesem riesigen Polynomring betrachten wir das Ideal $\frak{a} \subset R$, das von allen $f(X_{f})$ erzeugt wird, und zeigen $\frak{a} \neq R$. Sonst k"onnten wir n"amlich $1 \in R$ schreiben als eine endliche Summe $$ 1 = \sum_{f \in E} g_{f} f(X_{f})$$ f"ur $E \subset S$ endlich und geeignete $g_{f} \in R$. Nun gibt es nach \ref{ZPK}, angewandt auf das Produkt der $f$ aus $E$, eine K"orpererweiterung $L$ von $K$ derart, da"s alle $f$ aus $E$ in $L$ eine Nullstelle $\al_{f} \in L$ haben. F"ur die "ubrigen $f \in S$ w"ahlen wir Elemente $\al_{f} \in L$ beliebig und betrachten den Einsetzungshomomorphismus $$\begin{array}{cccc} \varphi :& R & \ra &L\\ &X_{f} & \mapsto &\al_{f} \end{array}$$ Dieser Ringhomomorphismus m"u"ste nun die Eins in $ R$ auf die Null in $L$ abbilden und das kann nicht sein. Folglich gilt $\frak{a} \neq R$ und es gibt nach \eref{EMI}{KAG}, bei dessen Beweis das Zorn'sche Lemma eingeht, ein maximales Ideal $\frak{m} \supset\frak{a}$. Dann ist $K_{1} = R /\frak{m}$ nach \eref{RMI}{KAG} ein K"orper und jedes nichtkonstante Polynom $f \in K [X] \backslash K$ hat eine Nullstelle in $K_{1}$, n"amlich die Nebenklasse von $X_{f}$. Iterieren wir diese Konstruktion, so erhalten wir ein Kette von K"orpern $$ K = K_{0} \hra K_{1} \hra K_{2} \hra \ldots $$ derart, da"s jedes nichtkonstante Polynom mit Koeffizienten in $K_{i}$ eine Nullstelle hat in $K_{i+1}$. Die aufsteigende Vereinigung $\bigcup^{\infty}_{i=0} K_{i}$ ist dann ein algebraisch abgeschlossener K"orper, der $K$ enth"alt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Eigentlich hatte ich versprochen, beliebige Vereinigungen nur zu bilden von Systemen von Teilmengen einer bereits anderweitig bekannten Menge, und recht eigentlich m"ussen unsere Inklusionen auch keine Einbettungen von Teilmengen sein. Wenn Sie es so genau nehmen, mu"s ich daran erinnern, da"s wir disjunkte Vereinigungen von beliebigen Familien von Mengen erlaubt hatten. Dann kann ich mich darauf zur"uckziehen, da"s hier eigentlich der Quotient der disjunkten Vereinigung $\coprod^{\infty}_{i=0} K_i$ nach derjenigen "Aquivalenzrelation gemeint sein soll, die erzeugt wird durch die Bedingung, da"s f"ur alle $i$ jedes $x\in K_i$ "aquivalent sein soll zu seinem Bild in $K_{i+1}$. Formal ist diese Konstruktion ein Spezialfall der allgemeinen Konstruktion eines \glqq Kolimes in der Kategorie der Mengen\grqq, wie Sie ihn in \eref{Kolim}{TS} in voller Allgemeinheit kennenlernen k"onnen. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Ausdehnung von K"orpereinbettungen}] Eine Einbettung eines K"orpers in einen algebraisch\label{Ad} abgeschlossenen K"orper l"a"st sich auf jede algebraische Erweiterung unseres urspr"unglichen K"orpers ausdehnen. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{AdVV} Ist also in Formeln $K \hra L$ eine algebraische K"orpererweiterung, so l"a"st sich jede Einbettung $K \hookrightarrow F$ von $K$ in einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $F$ ausdehnen zu einer Einbettung $L \hookrightarrow F$. Es reicht hier sogar, wenn wir von $F$ nur fordern, da"s die Minimalpolynome $\op{Irr}(\alpha,K)$ aller Elemente $\alpha$ irgendeines Erzeugendensystems von $L$ "uber $K$ vollst"andig in Linearfaktoren zerfallen, sobald wir sie als Polynome in $F[X]$ betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $K\subset L$ annehmen. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es unter allen Zwischenk"orpern $M$ mit $K \subset M \subset L$, auf die sich unsere Einbettung $K \hookrightarrow F$ fortsetzen l"a"st, mindestens einen Maximalen. Ich behaupte $M = L$. Sonst g"abe es n"amlich $\al \in L \backslash M$, und dies $\al$ w"are algebraisch "uber $M$, mit Minimalpolynom $f \in M[X]$. Die Minimalpolynom h"atte eine Nullstelle $\beta \in F$, und nach Proposition \ref{AuuD} "uber das Ausdehnen auf primitive Erweiterungen k"onnten wir dann $M \hookrightarrow F$ fortsetzen zu einer Einbettung $ M(\al) \ra F$ durch $ \al \mapsto \beta $ im Widerspruch zur Maximalit"at von $M$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Der algebraische Abschlu"s des K"orpers $\DQ$ der rationalen Zahlen ist abz"ahlbar nach \ref{KAKo}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Algebraischer Abschlu"s endlicher K"orper}] Einen algebraischen Abschlu"s eines endlichen Primk"orpers $\mathbb F_p$ k"onnen wir wie folgt konstruieren: Wir w"ahlen eine Folge $r(0),r(1),\ldots$ von nat"urlichen Zahlen so, da"s jeweils gilt $r(i)|r({i+1})$ und da"s jede nat"urliche Zahl eines unserer Folgenglieder teilt.\label{AABF} Dann gibt es nach \ref{EEK} Einbettungen $\mathbb F_{p^{r(i)}}\hra \mathbb F_{p^{r{(i+1)}}}$. Wir w"ahlen nun jeweils eine derartige Einbettung und bilden mit ihrer Hilfe die aufsteigende Vereinigung $$\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{i=0}^\infty \mathbb F_{p^{r(i)}}$$ Das ist dann offensichtlich ein algebraischer Abschlu"s von $\mathbb F_p$. Wie diese aufsteigende Vereinigung ganz genau zu verstehen ist, hatte ich bereits zu Ende des alternativen Beweises f"ur die Existenz eines algebraischen Abschlusses \ref{AaA} erl"autert. Der Nachweis, da"s wir so in der Tat einen algebraischen Abschlu"s von $\mathbb F_{p}$ erhalten, ist nicht schwer und bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an dem K"orper $\DC(\!(t)\!)$ der formalen Laurentreihen mit komplexen Koeffizienten aus \eref{FRL}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Algebraischer Abschlu"s des Laurentreihenk"orpers}] Der in hoffentlich offensichtlicher\index{Puiseux!Satz von} Weise pr"azise zu definierende K"orper $$\bigcup_{\gamma\in\DN_{\geq 1}}\DC(\!(t^{1/\gamma})\!)$$ der \emph{\bf Puiseux-Reihen mit komplexen Koeffizienten} ist algebraisch abgeschlossen und damit der algebraische Abschlu"s des K"orpers der formalen Laurentreihen $\DC(\!(t)\!)=\op{Frac}\DC\llbracket t\rrbracket$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Analoges gilt, wenn wir $\DC$ durch einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null ersetzen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{NPL}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die obige Konstruktion kann auch f"ur einen beliebigen Koeffizientenring $k$ durchgef"uhrt werden. Wir erhalten so den {\bf Ring der Puiseux-Reihen mit Koeffizienten in $k$}.\index{Puiseux-Reihe} F"ur eine formal befriedigende Definition mag man sich auf das allgemeine Konzept eines \glqq Kolimes\grqq\ aus \eref{KolM}{TS} st"utzen. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Nullstellen von Polynomen in Laurentreihen}] Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, $P\in k\llbracket t\rrbracket[X]$ ein\label{NPL} Polynom mit Koeffizienten im Potenzreihenring "uber $k$ und $\lambda\in k$ eine $n$-fache Nullstelle von seinem Bild $\bar P\in k[X]$. Wird $n$ nicht von der Charakteristik unseres K"orpers geteilt, so besitzt $P$ f"ur geeignetes $\gamma$ mit $1\leq \gamma\leq n$ eine Nullstelle in $ \lambda+ t^{1/\gamma}k\llbracket t^{1/\gamma}\rrbracket$. \end{Lemma} %\emph{Checke diese Proposition und ihren Beweis nochmal durch!} \begin{Bemerkungl} Wir erlauben hier nur Nullstellen endlicher Ordnung und machen insbesondere keine Aussage f"ur den Fall, da"s $\bar P\in k[X]$ das Nullpolynom ist. Mit dem Symbol $k\llbracket t^{1/\gamma}\rrbracket$ ist der Ring $k\llbracket s\rrbracket$ gemeint mit seiner durch $t\mapsto s^\gamma$ gegebenen Einbettung von $k\llbracket t\rrbracket$. Ich bin verbl"ufft, da"s mir der Beweis auch f"ur nicht notwendig normiertes $P$ zu gelingen scheint. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Indem wir $X$ durch $X+\lambda$ substituieren, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\lambda=0$ annehmen. Nach unseren Annahmen hat $P$ dann die Gestalt $$P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_{n}X^n+\ldots+a_{N}X^N$$ mit $a_0,\ldots,a_{n-1}\in tk\llbracket t\rrbracket$ und $a_n\in k^\times+ tk\llbracket t\rrbracket$. Wir verwenden nun die Bewertung $v:k\llbracket t\rrbracket\ra \DN\amalg\{\infty\}$, die jeder Potenzreihe $a$ den Grad ihres Terms niedrigster Ordnung $v(a)\pdef\op{sup}\{\nu\mid t^\nu|a\}$ zuordnet. Im Spezialfall $v(a_0)=1$ alias $a_0\in k^\times t+t^2k\llbracket t\rrbracket$ f"uhrt f"ur unsere Nullstelle der Ansatz $$\mu_1t^{1/n} +\mu_2t^{2/n}+\ldots$$ mit $\mu_i\in k$ zum Ziel. Ist etwa $a_0\in \tilde a_0 t+t^2k\llbracket t\rrbracket$ und $a_n\in \tilde a_n +tk\llbracket t\rrbracket$, so erhalten wir die Gleichung $\tilde a_0 +\tilde a_n\mu_1^n=0$ und k"onnen dazu eine L"osung $\mu_1$ finden, die notwendig verschieden ist von Null. Dann erhalten wir leicht induktiv eines unserer $\mu_i$ aus den Vorhergehenden: Der wesentliche Punkt ist dabei, da"s in einer Entwicklung $$(\mu_1t^{1/n} + h)^n=\mu_^^nt+(n\mu_1^{n-1}t^{(n-1)/n})h+\ldots$$ der Koeffizient des linearen Terms nicht Null ist. Im etwas allgemeineren Fall, da"s f"ur das kleinste $k1$ und halten wir einen weiteren Einheitsvektor $t$ mit $t\perp v$ fest, so ist $\mu(t,\rho(w))$ ein Einheitsvektor, der auf $w$ senkrecht steht. Man sieht leicht, da"s er stetig von $w$ abh"angt und so ein stetiges tangentiales Vektorfeld ohne Nullstelle auf der Einheitsshp"are in $V$ liefert. Mit topologischen Methoden kann man aber zeigen, da"s es derartige Vektorfelder nur auf Sph"aren der Dimensionen $1,3,7$ geben kann, da"s das also in anderer Terminologie die einzigen {\bf parallelisierbaren Sph"aren} sind. Die fraglichen Kompositionsalgebren sind $0$, $\DR$, $\DC$, $\Bbb{H}$ und die sehr merkw"urdige Struktur der sogenannten \defind{Oktaven} $\Bbb{O}$, auch genannt \defind{Oktonionen} oder {\bf Cayley'sche Zahlen},\index{Cayley'sche Zahlen} bei denen die Multiplikation nicht mehr assoziativ ist. Zur Konstruktion dieser Struktur erinnern wir aus \eref{KQua}{LA1} den dort ausgezeichneten Isomorphismus $\mathbb H\sira \mathbb H^{\op{opp}}$, $q\mapsto \bar q$ und setzen $\mathbb O\pdef\mathbb H \times \mathbb H$ mit der nicht assoziativen Multiplikation\label{Okta} $ \mu( (a,b), (x,y)) \pdef (ax - \bar y b, b \bar x + ya) $. Das Skalarprodukt ist jeweils das \glqq offensichtliche\grqq. Mehr dazu findet man etwa bei \cite{Zahlen}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Explizit gilt f"ur das Skalarprodukt auf den Oktaven $\|(a,b)\|^2=a\bar a + b\bar b$. Man zeige, da"s die Oktaven in der Tat eine Kompositionsalgebra bilden. Ich empfehle, bei der Rechnung die "ubrigen gemischten Terme zu zwei Realteilen von Quaternionen zusammenzufassen, die sich dann zu Null addieren. Man zeige weiter: Sind zwei nat"urliche Zahlen jeweils eine Summe von acht Quadraten, so auch ihr Produkt. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAL" %%% End: