\section{Galoistheorie}\label{GalT} \subsection{Galoiserweiterungen} \begin{Definition} Ein Isomorphismus von einem K"orper zu sich selbst hei"st auch ein {\bf Automorphismus} unseres K"orpers.\index{Automorphismus!eines K"orpers} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"st die Gruppe aller K"or\-per\-automorphismen von $L$, die $K$ punktweise festhalten, die {\bf Galoisgruppe}\index{Galoisgruppe} $\op{Gal} (L/K)$ der K"orpererweiterung $L/K$. \end{Definition} %\begin{Bemerkungl} % Sprechen wir von der {\bf Galoisgruppe eines Polynoms}\index{Galoisgruppe!eines Polynoms} oder genauer von der % Galoisgruppe "uber einem K"orper $K$ eines Polynoms $P\in K[T]$,\index{Gal@$\op{Gal} % (L/K)$ Galoisgruppe} so meinen wir die Galoisgruppe seines % Zerf"allungsk"orpers $L/K$. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Bezeichnet $\op{Ring}$ die Kategorie der Ringe und $\op{Ring}^K$ die Kategorie der Ringe unter $K$, so k"onnen wir die Galoisgruppe in kategorientheoretischer Notation schreiben als $\op{Gal} (L/K)=(\op{Kring}^K)^\times(L)$ und im Fall einer endlichen Erweiterung als $\op{Gal} (L/K)=\op{Kring}^K(L,L)$, da dann alle K"orperhomomorphismen "uber $K$ von $L$ in sich selber bereits injektiv und durch Vergleich der $K$-Dimensionen sogar Isomorphismen sind. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} $\op{Gal} (\Bbb{C} /\DR)$ ist eine Gruppe mit zwei Elementen, der Identit"at und der komplexen Konjugation. Betrachten wir in $\DR$ die dritte Wurzel $\sqrt[3]{2}$ von $2$, so besteht $\op{Gal} (\DQ (\sqrt[3]{2})/\DQ)$ nur aus der Identit"at, denn jeder K"orperhomomorphismus $\DQ (\sqrt[3]{2}) \ra \DQ (\sqrt[3]{2})$ mu"s die einzige L"osung der Gleichung $x^{3} =2$ in diesem K"orper auf sich selbst abbilden. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Der Grad einer K"orpererweiterung ist eine obere Schranke f"ur die Kardinalit"at\label{GAB} ihrer Galoisgruppe. Ist also in Formeln $L/K$ unsere K"orpererweiterung, so gilt in $\DN\sqcup\{\infty\}$ die Ungleichung $$|\op{Gal} (L/K)| \leq [L:K]$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus Satz \ref{ZFK}, nach dem sogar die Zahl der K"orperhomomorphismen "uber $K$ von $L$ in einen beliebigen weiteren K"orper $M$ "uber $K$ beschr"ankt ist durch der Erweiterunggrad $|\op{Ring}^K(L,M)|\leq [L:K]$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{GaFq} Ist $q$ eine echte Primzahlpotenz und $r \geq 1$, so ist die Galoisgruppe $\op{Gal} (\Bbb{F}_{q^{r}} /\Bbb{F}_{q})$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $r$, erzeugt vom {\bf\em Fro\-be\-nius-Ho\-mo\-mor\-phis\-mus} oder kurz {\bf\em Frobenius} \index{Frobenius}\index{Frobeniushomomorphismus} $$F : \Bbb{F}_{q^{r}} \sira \Bbb{F}_{q^{r}},\;\; a \mapsto a^{q}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In \eref{Frob}{LA1} hatten wir bereits einen Frobeniushomomorphismus eingef"uhrt. Der Frobeniushomomorphismus hier ist seine $l$-te Potenz f"ur $l$ gegeben durch $q=p^l$ mit $p$ prim. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sicher erzeugt $F$ in der Galoisgruppe eine zyklische Untergruppe der Ordnung $r$. Nach dem vorhergehenden Satz \ref{GAB} hat die Galoisgruppe jedoch h"ochstens $r$ Elemente. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Wir w"ahlen zur Entwicklung der Galoistheorie % einen Zugang, der auf dem folgenden recht unscheinbar % wirkenden % Lemma aufbaut. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"st eine {\bf Galoiserweiterung}\index{Galoiserweiterung} oder kurz {\bf Galois}, wenn sie \hyperref[normal]{normal} und \hyperref[DefS]{separabel} ist.\label{DeGA} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Operiert eine Gruppe $G$ auf einer Menge $X$, so schreiben wir ganz allgemein $X^G$ f"ur die Menge der Fixpunkte. Ist speziell $X$ ein K"orper $L$ und $G$ eine Gruppe von K"orperautomorphismen von $L$, so ist $L^G\subset L$ offensichtlich ein Unterk"orper von $L$. Er hei"st der {\bf Fixk"orper\index{Fixk"orper} von $G$}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen}] Seien $L$ ein K"or\-per, $G$ eine endliche Gruppe\label{ZH} von Automorphismen von $L$ und $ L^G$ der Fixk"orper von $G$. So gilt: \begin{enumerate} \item Jedes Element $\al \in L$ ist algebraisch "uber $L^G$ und sein Minimalpolynom "uber $L^G$ wird gegeben durch die Formel $$\op{Irr}(\alpha,L^G)=\prod_{\beta \in G\al} (X - \beta)$$ \item Die K"orpererweiterung $L/L^G$ ist eine endliche Galoiserweiterung vom Grad $[L:L^G]=|G|$ mit Galoisgruppe $\op{Gal}(L/L^G)=G$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Wir setzen $K\pdef L^G$. Schreiben wir $\prod_{\beta \in G\al} (X - \beta)=\sum a_iX^i$, so gilt f"ur jedes Element $\sigma\in G$ die von der Mitte her zu entwickelnde Gleichungskette $$\sum \sigma(a_i)X^i= \prod_{\beta \in G\al} (X - \sigma(\beta)) = \prod_{\beta \in G\al} (X - \beta)=\sum a_iX^i$$ Also geh"ort unser Produkt zu $K[X]$. Es teilt das Minimalpolynom $\op{Irr}(\al, K)$, da mit $\al$ auch alle $\sigma (\al)$ f"ur $\sigma \in G$ Nullstellen des besagten Minimalpolynoms sein m"ussen. Es wird aber auch vom fraglichen Minimalpolynom geteilt, da es bei $\alpha$ verschwindet. Da unser Produkt und das Minimalpolynom beide normiert sind, m"ussen diese beiden Polynome "ubereinstimmen und der erste Punkt ist erledigt. Per definitionem ist dann $L/K$ normal und separabel, also Galois. Als n"achstes zeigen wir die Identit"at $$ [L:K]= |G |$$ Wir bemerken dazu, da"s es nach Proposition \ref{OKLI} "uber die Unterscheidung von K"orperhomomorphismen ein $\alpha\in L$ gibt mit $|G\alpha|=|G|$. Unsere Beschreibung des Minimalpolynoms von $\alpha$ "uber $K$ zeigt dann $[ K(\alpha):K]=|G|$. F"ur $\beta\in L$ ist aber auch $K(\alpha,\beta)$ eine endliche separable Erweiterung von $K$ und nach dem Satz vom primitiven Element \ref{PE} gibt es $\gamma$ mit $K(\alpha,\beta)=K(\gamma)$. Aus $\op{grad}(\op{Irr}(\gamma,K))\leq |G|$ folgt dann $K(\gamma)=K(\alpha)$ und damit $\beta\in K(\alpha)$. Insgesamt folgt $K(\alpha)=L$ und $[L:K]=[K(\alpha):K]= |G |$. Mit dieser Erkenntnis bewaffnet folgern wir schlie"slich die Gleichheit $G=\op{Gal}(L/K)$ mit der Absch"atzung $\op{Gal}(L/K)|\leq[ L:K]$ nach \ref{GAB} aus der Ungleichungskette \begin{equation*} |G|\leq|\op{Gal}(L/K)|\leq[ L:K]= |G|\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{proof}[Alternative zum Beweis der Absch"atzung ${[ L:L^G]\leq |G|}$] Wir k"onnen hier alternativ auch durch Widerspruch mit dem Satz "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren argumentieren. Nehmen wir an, die Elemente von $G$ seien $\sigma_1,\ldots,\sigma_r$ und es gebe in $L$ eine um Eins gr"o"sere "uber $K\pdef L^G$ linear unabh"angige Familie $x_0,\ldots, x_r$. In der Matrix der $\sigma_i(x_j)$ sind dann notwendig die Spalten $\sigma_\ast(x_j)$ linear abh"angig, wir finden also $y_0, \ldots, y_r$ in $L$ nicht alle Null mit $\sum_j y_j\sigma_i(x_j)=0 \;\forall i$. Durch Umnummerieren der $x_j$ d"urfen wir hier ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $y_0\neq 0$ annehmen, und indem wir von $y_0, \ldots, y_r$ zu $yy_0, \ldots, yy_r$ "ubergehen, finden wir sogar eine lineare Relation unserer Spaltenvektoren f"ur beliebig vorgegebenes $y_0=z\in L$. Schreiben wir das um zu $\sum_j \sigma_i^{-1}(y_j)x_j=0 \;\forall i$ und summieren diese Gleichungen, so ergibt sich $$\sum_j \lambda_j x_j=0$$ f"ur $\lambda_j=\sum_i\sigma_i^{-1}(y_j)$. Sicher gilt auch $\lambda_j\in K$ f"ur alle $j$, und aus der linearen Unabh"angigkeit der $x_j$ folgt so $\lambda_j=0$ f"ur alle $j$ und insbesondere $\lambda_0=0$. Nach der linearen Unabh"angigkeit von Charakteren \ref{LUC}, angewandt auf die Homomorphismen $\sigma_i:L^\times\ra L^\times$, gibt es jedoch ein $z\in L^\times$ mit $\sum_i\sigma_i^{-1}(z)\neq 0$. Das ist der gesuchte Widerspruch. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verfeinerung der Absch"atzung \ref{GAB}}] Aus Satz \ref{ZH} "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen folgt, da"s bei einer endlichen K"orpererweiterung die Kardinalit"at der Galoisgruppe stets den Grad der K"orpererweiterung teilen mu"s, in Formeln $$|\op{Gal} (L/K)| \;|\; [L:K]$$ In der Tat folgt f"ur $G\pdef \op{Gal} (L/K)$ sowohl $|G|=[L:L^G]$ als auch $L^G\supset K$, also $|G|[L^G: K]=[L:K]$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Ist $L/K$ eine endliche Galois-Erweiterung, so ist $\alpha\in L$ nach dem ersten Beweis von \ref{ZH} ein primitives Element genau dann, wenn es von keinem Element der Galoisgruppe festgehalten wird. Wir k"onnen sogar stets ein $\alpha\in L$ so w"ahlen, da"s es mit seinen Galois-Konjugierten eine $K$-Basis von $L$ bildet: Das sagt uns der {\bf Satz von der Normalbasis} \ref{SNB}. Diese sch"arfere Aussage stimmt keineswegs f"ur jedes primitive Element, wie das Beispiel $L=\DC$, $K=\DR$, $\alpha=\op{i}$ zeigt. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\defnoind{Charakterisierung endlicher Galoiserweiterungen}] Seien $L/K$ eine endliche K"orpererweiterung\label{CG} und $G =\op{Gal} (L/K)$ ihre Galoisgruppe. So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $L/K$ ist eine Galoiserweiterung; \item Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt "uberein mit dem Grad der K"or\-per\-erweiterung, in Formeln $|G|=[L:K]$; \item Der Unterk"orper $K$ stimmt "uberein mit dem Fixk"orper der Galoisgruppe, in Formeln $K =L^G$. %% \item %% F"ur alle $\al \in L$ wird das Minimalpolynom von $\al$ "uber $K$ gegeben %% durch die Formel %% $$\op{Irr}(\al,K)=\prod_{\beta \in G \al} (X - %% \beta)$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit 1$ \Rightarrow $2. Nach \ref{Kose} gibt es f"ur $L$ endlich, separabel und normal "uber $K$ genau $[L:K]$ K"orperhomomorphismen $L\ra L$ "uber $K$. Als K"orperhomomorphismen sind diese nat"urlich injektiv und wegen der Gleichheit der $K$-Dimensionen sind sie dann auch surjektiv, also Elemente der Galoisgruppe. Zur Implikation 2$ \Rightarrow $3 erinnern wir die Gleichheit $|G|= [L:L^G]$ aus \ref{ZH}. Gilt au"serdem $|G|= [L:K]$ f"ur einen Unterk"orper $K\subset L^G$, so erhalten wir aus der Turmregel $[L^G:K]=1$ und damit $L^G=K$. Zur Implikation 3$\Rightarrow $1 m"ussen wir nur aus \ref{ZH} erinnern, da"s $L/L^G$ stets eine endliche Galoiserweiterung ist. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Auch f"ur eine beliebige algebraische K"orpererweiterung gilt noch, da"s sie genau dann Galois ist, wenn der Unterk"orper der Fixk"orper der Galoisgruppe ist. Hier folgt die eine Implikation aus \ref{EGGP}, und die andere aus \ref{AdVV}.\label{LCGa} \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{GaQa} Unter der Voraussetzung $\op{char} K \neq 2$ ist jede quadratische K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung $L$ von $K$ Galois mit Galoisgruppe $\DZ /2\DZ$ und die Elemente $\alpha\in L\backslash K$ mit $\alpha^2\in K$ sind genau diejenigen von Null verschiedenen Elemente von $L$, die vom nichttrivialen Element der Galoisgruppe auf ihr Negatives geschickt werden. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Operation einer Gruppe auf einer Menge hei"st {\bf treu},\index{treu!Gruppenwirkung} englisch {\bf faithful}\index{faithful}, franz"osisch {\bf fid\`ele},\index{fid\`ele} wenn nur das neutrale Element jedes Element der Menge festh"alt. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Operation einer Gruppe auf einer Menge hei"st {\bf transitiv},\index{transitiv!Gruppenwirkung} wenn unsere Menge nicht leer ist und je zwei ihrer Elemente durch ein geeignetes Gruppenelement ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen. %\eref{DGWb}{LA2} \end{Definition} \begin{Satz}[\defnoind{Operation der Galoisgruppe auf Nullstellen}] Gegeben $L/K$ eine K"orpererweiterung und $P \in K [X]$ ein Polynom\label{TO} betrachte man die Operation der Galoisgruppe $\op{Gal} (L/K)$ auf der Menge $\{ \al \in L \mid P (\al) =0\}$ der Nullstellen von $P$ in $L$. \begin{enumerate} \item Ist $P$ ein $K$-irreduzibles Polynom, das in $L$ zerf"allt, und ist $L/K$ endlich und normal, so ist die Operation der Galoisgruppe auf den $L$-Nullstellen von $P$ transitiv; \item Ist $P\in K[X]$ ein von Null verschiedenes Polynom und $L$ sein Zerf"allungsk"orper, so ist die Operation der Galoisgruppe auf den $L$-Null\-stel\-len von $P$ treu; \item Ist $L$ der Zerf"allungsk"orper eines $K$-irreduziblen Polynoms $P\in K[X]$, so operiert die Galoisgruppe $\op{Gal}(L/K)$ treu und transitiv auf der Menge der Nullstellen von $P$ in $L$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Die erste Aussage gilt auch ohne da"s wir $[L:K]<\infty$ annehmen. In diesem Fall folgt sie unmittelbar aus \ref{AdVV}. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] F"ur je zwei Nullstellen $\alpha,\beta\in L$ von $P$ gibt es nach unserer Proposition \ref{AuuD} "uber das Ausdehnen auf primitive Erweiterungen einen K"orperhomomorphismus $K(\alpha)\ra L$ "uber $K$ mit $\alpha\mapsto\beta$, der sich dann nach Proposition \ref{FSS} zur Ausdehnbarkeit bei zerfallenden Minimalpolynomen weiter ausdehnen l"a"st zu einem K"orperhomomorphismus $L\ra L$ "uber $K$. Treu ist die Operation in Teil 2, da der Zerf"allungsk"orper eines Polynoms per definitionem bereits von den Nullstellen des besagten Polynoms erzeugt wird. Die dritte Aussage folgt aus den beiden anderen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grundfrage der Galoistheorie}] Die Grundfrage der Galoistheorie ist, welche Permutationen der Nullstellenmenge eines vorgegebenen $K$-irreduziblen Polynoms denn nun von einem Automorphismus seines Zerf"allungsk"orpers $L/K$ herkommen. Man nennt die Galoisgruppe $\op{Gal}(L/K)$ die {\bf Galoisgruppe unseres irreduziblen Polynoms}. \index{Galoisgruppe!eines Polynoms} Hierzu gebe ich gleich drei Beispiele. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein kubisches Polynom mit Galoisgruppe $\mathcal S_3$}] Ist $L$ der Zerf"allungsk"orper von $X^3-2$ "uber $\DQ$, so kommen alle Permutationen der Nullstellenmenge unseres Polynoms von Elementen der Galoisgruppe her und wir haben folglich $\op{Gal}(L/\DQ)\cong\cal{S}_3$. In der Tat ist $L/\DQ$ normal als Zerf"allungsk"orper und sogar Galois, da in Charakteristik Null jede K"orpererweiterung separabel ist. Damit folgt insbesondere $[L:\DQ]=|\op{Gal}(L/\DQ)|$. Jetzt realisieren wir $L$ als einen Teilk"orper $$L=\DQ(\sqrt[3]{2},\zeta \sqrt[3]{2},\zeta^2 \sqrt[3]{2})\subset \Bbb{C}$$ der komplexen Zahlen mit $\sqrt[3]{2}\in\DR$ der reellen dritten Wurzel von $2$ und $\zeta=\exp(2\pi\op{i}/3)$ einer dritten Einheitswurzel. Diese Darstellung zeigt $L\neq \DQ(\sqrt[3]{2})$, da ja $L$ nicht in $\DR$ enthalten ist. In $\DQ(\sqrt[3]{2})[X]$ zerf"allt unser Polynom $X^3-2$ also in einen linearen und einen irreduziblen quadratischen\label{GQW2} Faktor, folglich ist $L$ eine quadratische Erweiterung von $\DQ(\sqrt[3]{2})$. Zusammen ergibt sich $[L:\DQ]=6$ und mithin $|\op{Gal}(L/\DQ)|= 6$. Die Operation von $\op{Gal}(L/\DQ)$ auf der Menge $\{\sqrt[3]{2},\zeta \sqrt[3]{2},\zeta^2 \sqrt[3]{2}\}$ liefert nun nach der Treue \ref{TO} der Operation eine Einbettung $\op{Gal}(L/\DQ)\hra\cal{S}_3$. Da beide Seiten gleichviele Elemente haben, mu"s diese Einbettung ein Isomorphismus sein. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein kubisches Polynom mit zyklischer Galoisgruppe}] Ist $L$ der Zerf"allungsk"orper von $X^3+X^2-2X-1$ "uber $\DQ$, so kommen genau die zyklischen Permutationen der\label{bsS} Nullstellenmenge unseres Polynoms von Elementen der Galoisgruppe her und wir haben folglich $\op{Gal}(L/\DQ)\cong\DZ/3\DZ$. In der Tat k"onnen wir mit $\zeta=\exp(2\pi{\op{i}}/7)$ einer siebten Einheitswurzel die drei komplexen Nullstellen unseres Polynoms schreiben als $\alpha=\zeta+\bar{\zeta}$, $\beta=\zeta^2+\bar{\zeta}^2$ sowie $\gamma=\zeta^3+\bar{\zeta}^3$, wie man leicht nachrechnet. Ich bin im "ubrigen den umgekehrten Weg gegangen und habe mein Polynom aus den Linearfaktoren zu diesen drei Nullstellen zusammenmultipliziert. Wie dem auch sei besitzt unser Polynom keine ganzzahligen Nullstellen, $\alpha,\beta,\gamma\not\in \DZ$ pr"uft man leicht, also nach \eref{NUQ}{LA1} auch keine Nullstellen in $\DQ$, und ist als Polynom vom Grad $3$ folglich irreduzibel "uber $\DQ$. Unsere Nullstellen erf"ullen nun jedoch die Relationen $\alpha^2=\beta+2$, $\beta^2=\gamma+2$ und $\gamma^2=\alpha+2$, woraus unmittelbar die Behauptung folgt. In \ref{MeGa} geben wir im "ubrigen ein Kriterium an, das es erlaubt, die Galoisgruppe einer kubischen Gleichung ganz mechanisch zu bestimmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein kubisches Polynom mit trivialer Galoisgruppe}] Man betrachte den Funktionenk"orper $\mathbb F_3(T)$ "uber dem K"orper mit drei Elementen und dar"uber das Polynom $X^3-T$. Es hat nur eine einzige Nullstelle in seinem Zerf"allungsk"orper, die aber eben eine dreifache Nullstelle ist. Seine Galoisgruppe ist folglich trivial. Im "ubrigen ist ein Zerf"allungsk"orper hier die K"orpererweiterung $\mathbb F_3(T)\hra \mathbb F_3(U)$ mit $T\mapsto U^3$ und darin zerf"allt unser Polynom als $X^3-T=X^3-U^3=(X-U)^3$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Bruchk"orper eines Invariantenrings}] Operiert eine endliche Gruppe $G$ auf einem kommutativen Integrit"atsbereich $R$,\label{PIU} so liefert die offensichtliche Einbettung einen Isomorphismus $$\op{Frac} (R^{G}) \sira (\op{Frac} R)^{G}$$ des Bruchk"orpers seines Invariantenrings mit den Invarianten seines Bruchk"orpers. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Jeden Bruch $f/h \in (\op{Frac} R)^{G}$ k"onnen wir mit $\prod_{\sigma \in G\setminus 1} \sigma (h)$ erweitern zu einem Bruch, dessen Nenner im Invariantenring $R^{G}$ liegt, da er ja das Produkt aller $\sigma (h)$ mit $\sigma\in G$ ist und bei diesem Produkt die Gruppenoperation nur die Faktoren permutiert. So ein Bruch kann aber nur dann $G$-invariant sein, wenn auch sein Z"ahler in $R^{G}$ liegt. \end{proof} \begin{Beispiel}\label{StU} F"ur jeden K"orper $k$ ist nach \ref{ZH} und \ref{PIU} in den Notationen von \ref{SyP} die Erweiterung $$k('s_{1}, \ldots, s_{n}) = k ('X_{1},\ldots, X_{n})^{\cal{S}_{n}} \subset k ('X_{1}, \ldots, X_{n})$$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\cal{S}_{n}$. Unsere Erweiterung ist nat"urlich auch ein Zerf"allungsk"orper der \defnoind{allgemeinen Gleichung}\index{allgemeine Gleichung} $$T^{n} + s_{1}T^{n-1} + \ldots + s_{n-1}T + s_{n}$$ Hier fassen wir die $s_i$ schlicht als algebraisch unabh"angige Variablen des Funktionenk"orpers $k('s_{1}, \ldots, s_{n})$ "uber $k$ auf. Nach unserer Konvention sollten wir hier vielleicht sogar gro"se Buchstaben vom Ende des Alphabets benutzen, zum Beispiel $Y_i$ statt $s_i$. Insbesondere ist die allgemeine Gleichung nach \ref{ZH} irreduzibel, da ja alle ihre Wurzeln einfach sind und zueinander konjugiert unter der Galoisgruppe. Die Irreduzibilit"at dieses Polynoms kann aber auch bereits aus "Ubung \ref{GPi} abgeleitet werden. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine endliche separable K"orpererweiterung\label{nhg} ist ihre normale H"ulle Galois. Mutigere zeigen dasselbe, ohne die Endlichkeit vorauszusetzen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GZE} Gegeben $n\geq 1$ zeige man, da"s $\DC(X^n)\subset \DC(X)$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ ist mit zyklischer Galoisgruppe. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{JZV} Man zeige, da"s sich jede endliche Erweiterung eines vollkommenen K"orpers zu einer endlichen Galoiserweiterung vergr"o"sern l"a"st. Man zeige, da"s sich wie in \eref{jzv}{LA2} behauptet jeder Endomorphismus $x$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem vollkommenen K"orper auf genau eine Weise zerlegen l"a"st als $x = x_{\op{s}} + x_{\op{n}}$ mit $x_{\op{s}}$ halbeinfach, $x_{\op{n}}$ nilpotent und $x_{\op{s}} x_{\op{n}} = x_{\op{n}} x_{\op{s}}$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ und zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome in $K[X]$ kann kein Element der Galoisgruppe eine Nullstelle des einen Polynoms in eine Nullstelle des anderen Polynoms "uberf"uhren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper der Charakteristik $p>0$ und $\lambda\in k^\times$ und $t=t_\lambda:k(X)\sira k(X)$ der K"orperautomorphismus "uber $k$ mit $X\mapsto X+\lambda$. Man zeige, da"s der K"orper der Invarianten genau das Bild derjenigen Einbettung $k(Y)\hra k(X)$ ist, die durch $Y\mapsto X^p-\lambda^{p-1}X$ gegeben wird. Man zeige, da"s auch die induzierte Einbettung $k[Y]\hra k[X]$ einen Isomorphismus auf den Ring der $t$-Invarianten von $k[X]$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{NGre} Jede normale K"orpererweiterung mit trivialer Galoisgruppe ist rein inseparabel im Sinne von \ref{reii}. F"ur jede normale K"orpererweiterung $K/k$ mit Galoisgruppe $G$ ist $K^G/k$ rein inseparabel. Hinweis: \ref{PP}. Im Fall unendlicher Erweiterungen verwende man \ref{Ad}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Satz von Gilmer}] Man zeige,\index{Gilmer!Satz von} da"s eine algebraische K"orpererweiterung $L/K$ derart, da"s jedes Polynom aus $K[X]$ in $L$ eine Nullstelle hat, ein algebraischer Abschlu"s von $K$ sein mu"s. Hinweis: Man beginne mit dem Fall der Charakteristik Null. Jede endliche K"orpererweiterung von $K$ besitzt dann nach \ref{PE} ein primitives Element und l"a"st sich folglich in $L$ einbetten. Gegeben ein Polynom $P\in L[X]$ gilt das insbesondere f"ur seinen Zerf"allungsk"orper "uber dem von seinen Koeffizienten in $L$ erzeugten Teilk"orper "uber $K$. Im Fall positiver Charakteristik argumentiere man erst mit dem separablen Abschlu"s von $K$ in unserem Zerf"allungsk"orper und dann mit \ref{reii}. %Jedes Polynom aus $L[X]$ kann man mit seinen Galoiskonjugierten %multiplizieren und zu einer geeigneten Potenz erheben und landet dann %nach \ref{NGre} und \ref{reii} bei einem Polynom in $K[X]$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms $X^4-5$ "uber $\DQ$ und "uber $\DQ[\op{i}]$. %Adjungiere reelle vierte Wurzel aus 5, Grad vier. Dann noch $\op{i}$, Grad acht. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{EGGP} Ist $L/K$ eine algebraische, aber nicht notwendig endliche K"orpererweiterung und $G\subset\op{Gal}(L/K)$ eine beliebige, nicht notwendig endliche Untergruppe, so ist $L/L^G$ immer noch eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe jedoch nicht mit $G$ "ubereinzustimmen braucht. Zum Beispiel erzeugt der Frobenius-Homomor\-phis\-mus nicht die Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}_p/\mathbb F_p)$, aber der Fixk"orper seines Erzeugnisses ist dennoch $\mathbb F_p$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Galoistheorie quadratischer Erweiterungen}] Man zeige: Jede K"orpererweiterung $L/K$ von Grad zwei in Charakteristik zwei ist Galois mit Galoisgruppe $\Gamma\cong \DZ/2\DZ$ und f"ur $\gamma\in \Gamma$ das nichttriviale Element der Galoisgruppe gilt $$\{\alpha\in L\backslash 0\mid \gamma(\alpha)=-\alpha\} =\{\alpha\in L\backslash K\mid \alpha^2\in K\}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ in Charakteristik ungleich zwei und $\alpha,\beta\in L\backslash K$ mit $\alpha^2,\beta^2\in K$ zeige man $\alpha\in K(\beta)\IFF\alpha\in K\beta$. Hinweis: \ref{GaQa} oder \ref{uaWu}. Gegeben paarweise teilerfremde\label{QaWN} quadratfreie nat"urliche Zahlen $a_1,\ldots,a_n$ zeige man, da"s $a_n$ kein Quadrat ist in $\DQ (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_{n-1}})$. Hinweis: Andernfalls g"abe es ein k"urzestm"ogliches Gegenbeispiel, und dann w"are $\DQ (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_{n-2}})$ mit $a_{n-1}a_n$ ein noch k"urzeres Gegenbeispiel. Schlie"slich zeige man, da"s die K"orpererweiterung $\DQ (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})$ "uber $\DQ$ Galois ist mit Galoisgruppe $(\DZ/2\DZ)^n$. Diese Aussage kann auch als Spezialfall der sogenannten Kummertheorie \ref{KuTe} verstanden werden. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Artin-Schreier-Erweiterungen}] Gegeben ein K"orper $F$ positiver Charakteristik $p>0$ betrachten wir f"ur $a\in F$ das Polynom $X^p-X-a$. Ist $\beta$ eine Nullstelle dieses Polynoms in einer K"orpererweiterung $L/K$, so sind die anderen Nullstellen $\beta+\lambda$ f"ur $\lambda\in\mathbb F_p$. Insbesondere ist $F(\beta)$ bereits der Zerf"allungsk"orper von $X^p-X-a$ und alle irreduziblen Faktoren von $X^p-X-a$ in $F[X]$ haben denselben Grad, a forteriori den Grad Eins oder den Grad $p$. Hat unser Polynom keine Nullstelle in $F$, so ist $F(\beta)/F$ mithin eine Galoiserweiterung vom Grad $p$ mit zyklischer Galoisgruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ ist die {\bf Spurabbildung}\index{Spurabbildung} $\op{S}_L^K:L\ra K$ gegeben durch $$ x\mapsto \sum_{\sigma\in \op{Gal}(L/K)}\sigma(x)$$ eine $K$-lineare von Null verschiedene Abbildung\label{SpurA1} und die {\bf Spurform}\index{Spurform} $L\times L\ra K$ gegeben durch $(x,y)\mapsto \op{S}_L^K(xy)$ ist eine nichtausgeartete Bilinearform auf dem $K$-Vektorraum $L$. Hinweis: Lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \ref{LUC}. In \eref{Dns}{KAG} wird die Spur auf beliebige endliche K"orperwerweiterungen verallgemeinert. \end{Ubung} \subsection{Anschauung f"ur die Galoisgruppe*} \begin{Bemerkungl} Formal ist der nun folgende Abschnitt f"ur die logische Koh"arenz dieser Vorlesung nicht von Belang. Es wird darin auch nichts bewiesen. Ich denke jedoch, da"s die im folgenden erkl"arten Ideen bei der historischen Entwicklung der Theorie von zentraler Bedeutung waren und hoffe, da"s sie Ihnen beim Verst"andnis helfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reelle Nullstellen einer Familie reeller Polynome}] Zum Aufw"armen betrachten wir zun"achst einmal ein normiertes Polynom $P \in \mathbb R (t) [X]$ mit Koeffizienten im Funktionenk"orper $\mathbb R (t) = \op{Frac} \mathbb R [t]$ "uber dem K"orper der reellen Zahlen. Sei $E=E_P \subset \mathbb R$ die endliche Menge der Polstellen der Koeffizienten von $P$. An jeder anderen Stelle $\lambda \in \mathbb R \backslash E$ k"onnen wir die Koeffizienten von $P$ bei $t = \lambda$ auswerten und erhalten so ein Polynom $P_\lambda \in \mathbb R [X]$. Die Punkte $\lambda\in \DR\backslash E$ nennen wir \glqq die Parameter $\lambda$, f"ur die $P_\lambda$ definiert ist\grqq. Die reellen Nullstellen der Polynome $P_\lambda$ h"angen dann vom Parameter $\lambda$ ab. Ein Bild der {\bf simultanen Nullstellenmenge} $$\mathcal Z\pdef \{(\lambda, \alpha) \in \mathbb R^2 \mid \lambda \not\in E, \;P_\lambda (\alpha) =0\}$$ als Teilmenge der Ebene $\DR^2$ vermittelt eine gewisse Anschauung f"ur diese Abh"angigkeit. Ist etwa $P=X^2-(1/t)$, so ist $P_\lambda$ definiert f"ur $\lambda\neq 0$ und wir haben $\mathcal Z=\{(\lambda, \alpha)\mid \lambda\neq 0,\; \alpha^2-(1/\lambda)=0\}$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAaT} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Graphische Darstellung der Menge $$\{(\lambda, \alpha)\in\DR^2\mid \lambda\neq 0,\; \alpha^2-1/\lambda=0\}$$ Das Bild ist noch falsch, die linke H"alfte mu"s weg. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Nullstellen einer Familie komplexer Polynome}] Nun betrachten wir analog ein normiertes Polynom $P \in \mathbb C (z) [X]$ mit Koeffizienten im Funktionenk"orper $\mathbb C (z) = \op{Frac} \mathbb C [z]$ "uber dem K"orper der komplexen Zahlen. Sei wieder $E =E_P\subset \mathbb C$ die endliche Menge der Polstellen der Koeffizienten von $P$. An jeder anderen Stelle $\lambda \in \mathbb C \backslash E$ k"onnen wir die Koeffizienten von $P$ bei $z = \lambda$ auswerten und erhalten so ein Polynom $P_\lambda \in \mathbb C [X]$. Die Punkte $\lambda\in \DC\backslash E$ nennen wir die \glqq Parameter $\lambda$, f"ur die $P_\lambda$ definiert ist\grqq. Die komplexen Nullstellen der Polynome $P_\lambda$ h"angen dann vom Parameter $\lambda$ ab und wir betrachten analog die {\bf simultane Nullstellenmenge} $$\mathcal Z\pdef \{(\lambda, \alpha) \in \mathbb C^2 \mid \lambda \not\in E, \;P_\lambda (\alpha) =0\}$$ Ist etwa zur Abwechslung diesmal $P=X^2-z$, so ist $P_\lambda$ definiert f"ur alle $\lambda$ und wir haben $\mathcal Z=\{(\lambda, \alpha)\mid \alpha^2-\lambda=0\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung im komplexen Fall}] Um eine gewisse Anschauung f"ur derartige simultane Nullstellenmengen im komplexen Fall zu erhalten, zeichnen wir in der komplexen Zahlenebene einen kleinen Kreis um jeden Punkt $\lambda$, an dem unser Polynom $P_\lambda$ nicht definiert ist oder mehrfache Nullstellen hat, w"ahlen au"serdem einen festen zus"atzlichen Punkt und\label{BIGAnn} zeichnen einen Weg von jedem unserer Kreise zu diesem festen Punkt. Das Urbild des so entstehenden {\bf Kreisgebildes} $C\subset \DC\backslash E$ unter der Projektion der simultanen Nullstellenmenge auf die $\lambda$-Koordinate l"a"st sich in einfachen F"allen gut bildlich darstellen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSKK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Das normierte Polynom $X^2-z\in \DC(z)[X]$ ist "uberall definiert und nur bei $\lambda=0$ hat $P_0$ eine mehrfache Nullstelle. Unser Kreisgebilde $C$ ist also ein Kreis um die Null und dessen Urbild $\pi^{-1}(C)$ unter der Projektion $\pi:\mathcal Z\ra \DC$ ist hier bildlich darsgestellt. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $p:Z\ra C$ von metrischen oder topologischen R"aumen verstehen wir unter einer {\bf stetigen Selbstabbildung "uber $C$} eine stetige Abbildung $f:Z\ra Z$ mit $p\circ f=p$. Das Monoid der Selbstabbildungen von $Z$ "uber $C$ notieren wir abk"urzend $$\op{Top}_{C}(Z)= \op{Top}_{C}(Z,p)$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSKK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Es gibt im Fall dieser stetigen Abbildung $Z\ra C$ genau zwei stetige Selbstabbildungen von $Z$ "uber $C$, die Identit"at und die Abbildunng, die in jeder Faser die beiden Punkte der jeweiligen Faser vertauscht. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Galoisgruppe und stetige Selbstabbildungen}] Sei $P\in \mathbb C (z)[X]$ ein normiertes irreduzibles Polynom.\label{GsSe} Der K"orper $L\pdef \DC(z)[X]/\langle P(X)\rangle$ ist dann mit dem offensichtlichen Homomorphismus $\DC(z)\ra L$ eine primitive K"orpererweiterung $$L/\DC(z)$$ und entsteht durch formale Adjunktion einer Nullstelle $\alpha$ des Polynoms $P$. Die versprochene Anschauung f"ur die Galoisgruppe leistet nun ein Monoidisomorphismus $$\op{Gal}(L/\DC(z))\;\sira \; \op{Top}_{C}(\pi^{-1}(C))$$ f"ur $C$ ein zum parameterabh"angigen Polynom $P$ geh"origes Kreisgebilde und $\pi:\mathcal Z\ra \DC$ die Projektion der simultanen Nullstellenmenge auf die Parameterkoordinate. \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSKK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Im Fall des irreduziblen Polynoms $P(X)=X^2-z$ in $\DC(z)[X]$ entsteht durch Adjunktion einer formalen Wurzel dieses Polynoms zu $\DC(z)$ eine quadratische Erweiterung $L/\DC(z)$ und deren Galoisgruppe ist $\DZ/2\DZ$ und stimmt mit der Gruppe der stetigen Selbstabbildungen von $Z\ra C$ im Bild links "uberein. \end{minipage} \end{figure} Ich erkl"are im folgenden nur, wie man den fraglichen Monoidhomomorphismus konstruiert. Die Nebenklassen der Potenzen $\bar X^n$ f"ur $0\leq n<\op{grad}(P)$ bilden eine $\DC(z)$-Basis von $L$ und die Elemente der Galoisgruppe $\Gamma$ werden in dieser Basis durch Matrizen dargestellt. Sicher finden wir $u\in \DC(z)\backslash 0$ derart, da"s alle diese Matrizen bereits Eintr"age in $\DC[z, u^{-1}]\subset \DC(z)$ haben. Dann stabilisiert $\Gamma$ das Bild $L_0\subset L$ von $\DC[z, u^{-1}][X]$. Nehmen wir zus"atzlich an, da"s auch $P$ Koeffizienten in $\DC[z, u^{-1}]$ hat, so ist $L_0\subset L$ ein Teilring und der offensichtliche Ringhomomorphismus induziert sogar einen Isomorphismus $$\DC[z, u^{-1}][X]/\langle P(X)\rangle \sira L_0$$ mit $\langle P(X)\rangle$ das von $P(X)$ in diesem kleineren Ring erzeugte Ideal. Dann erhalten wir nach der universellen Eigenschaft von Faktorringen eine Bijektion $$\op{Kring}^\DC(L_0,\DC) \;\sira \;\mathcal Z_u\pdef \{(\lambda,\alpha)\in\DC^2\mid u(\lambda)\neq 0, P_\lambda(\alpha)=0\}$$ durch die Vorschrift $\varphi\mapsto (\varphi(z),\varphi(\bar X))$. Die Operation von $\Gamma$ auf $L_0$ induziert durch Vorschalten eine Rechtsoperation von $\Gamma$ auf $\op{Kring}^\DC(L_0,\DC)$ und vermittels unserer Bijektion eine Rechtsoperation von $\Gamma$ auf $\mathcal Z_u$. Diese Operation h"alt die erste Koordinate fest und geschieht durch stetige Selbstabbildungen und liefert so einen Homomorphismus $\Gamma\ra \op{Top}_{C}(\pi^{-1}(C))$. Den Nachweis, da"s das sogar ein Isomorphismus ist, kann ich hier nicht f"uhren und verweise dazu auf Vorlesungen "uber Riemann'sche Fl"achen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZyk} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Im Fall des irreduziblen Polynoms $P(X)=X^3-z$ in $\DC(z)[X]$ entsteht durch Adjunktion einer formalen Wurzel dieses Polynoms zu $\DC(z)$ eine Galoiserweiterung $L/\DC(z)$ vom Grad Drei, das normal und separabel. Die Galoisgruppe ist $\DZ/3\DZ$ und das ist auch der Gruppe der stetigen Selbstabbildungen von $Z\ra C$ im Bild. Anschaulich ist die Erweiterung Galois, da je zwei Punkte ein- und derselben Faser durch eine stetige Selbstabbildung von $Z$ "uber $C$ ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wenn wir versuchen, f"ur ein allgemeines normiertes Polynom $P\in \DC(z)[X]$ die obigen Konstruktionen durchf"uhren, so scheitern wir zun"achst daran, da"s die Menge der Parameter $\lambda$, bei denen $P_\lambda$ definiert ist und keine mehrfachen Nullstellen hat, keine endliche Menge zu sein braucht. Und selbst wenn diese Menge doch endlich ist, so braucht doch $\pi^{-1}(C)$ nicht zusammenh"angend zu sein und $L$ kein K"orper und unsere Aussage gilt so nicht mehr. Es ist aber bereits eine nichttriviale Erkenntnis, da"s f"ur $P$ irreduzibel unser $\pi^{-1}(C)$ stets zusammenh"angend sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir beweisen den oben behaupteten Satz hier nicht. Ich h"atte gerne einmal einen Studenten, der mir einen Beweis ausschreibt. Feinere Aussagen der algebraischen Geometrie \cite[Théorème 10.11]{SGA1} zeigen, da"s f"ur $u$ das Produkt des Hauptnenners der Koeffizienten von $P$ mit dem Z"ahler der Diskriminante von $P$ der Teilring $L_0\subset L$ bereits unter der Galoisgruppe stabil sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb]\label{DBL} \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUPK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Bildliche Darstellung einer K"orpererweiterung vom Grad $3$ mit trivialer Galoisgruppe, die also insbesondere nicht normal und nicht Galois ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkunge} Wir zeigen im folgenden noch, da"s unsere Rechtsoperation durch stetige Abbildungen "uber $\DC$ geschieht, aber nicht, da"s sie einen Isomorphismus liefert. Gegeben $\gamma \in\Gamma$ haben wir sicher $\gamma(\bar X)= c_0 + c_1 \bar X + \ldots + c_{n-1} \bar X^{n-1}$ f"ur gewisse $c_\nu\in \DC[z, u^{-1}]$. Bezeichnet $(\lambda,\alpha)\mapsto \varphi_{(\lambda,\alpha)}$ die Umkehrabbildung unserer Bijektion $\varphi\mapsto (\varphi(z),\varphi(\bar X))$, so finden wir $(\varphi_{(\lambda,\alpha)}\circ \gamma)(\bar X)= c_0(\lambda) + c_1(\lambda) \alpha + \ldots + c_{n-1}(\lambda) \alpha^{n-1}$. Die Rechtsoperation von $\gamma\in \Gamma$ auf $\mathcal Z_u$ wird also in Formeln gegeben durch die Vorschrift $$(\lambda,\alpha)\mapsto (\lambda, c_0(\lambda) + c_1(\lambda) \alpha + \ldots + c_{n-1}(\lambda) \alpha^{n-1})$$ und geschieht insbesondere durch stetige Selbstabbildungen "uber $\DC$.\label{AffG} Das l"ost unser Versprechen ein. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Statt \glqq Funktionen mit Parametern\grqq\ betrachtet man auch in der Algebra besser \glqq Funktionen in mehreren Variablen\grqq. Diese Sichtweise k"onnen Sie in der Algebraischen Geometrie kennenlernen. Der dort als \eref{FKKn}{KAG} bewiesene Satz "uber \glqq K"orper und ihre Kurven\grqq\ ist eine Variante der obigen Aussagen f"ur einen beliebigen algebraischen Grundk"orper statt $\DC$. Einen Beweis der oben gegebenen Behauptungen wird man jedoch eher in einer Vorlesung "uber Riemann'sche Fl"achen finden, die sich an eine Vorlesung zur Funktionentheorie anschlie"st. \end{Bemerkungw} \subsection{Zwischenk"orper durch Untergruppen} \begin{Satz}[\defind{Galoiskorrespondenz}] Gegeben eine endliche Galoiser\-wei\-te\-rung $L/K$ mit Galoisgruppe $G=\op{Gal} (L/K)$ liefern das Bilden der Galoisgruppe $M\mapsto \op{Gal}(L/M)$ und das Bilden des Fixk"orpers $H\mapsto L^H$ zueinander inverse\label{GK} inklusionsumkehrende Bijektionen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Zwischenk"orper $M$}\\ \text{unserer K"orpererweiterung}\\ K \subset M \subset L \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\leftrightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Untergruppen $H$}\\ \text{ihrer Galoisgruppe}\\ H \subset G \end{array} \right\}\\[8mm] M &\overset{\phi}{\mapsto} & H\pdef \op{Gal}(L/M)\\ M\pdef L^{H} & \overset{\psi}{\mapsfrom} & H \end{array}$$ Unter dieser Bijektion entsprechen die Normalteiler $H$ von $G$ genau denjenigen Zwischenk"orpern $M$, die normal sind "uber $K$. In diesen F"allen liefert das Einschr"anken von Elementen der Galoisgruppe einen Isomomorphismus von Gruppen $G/H \sira \op{Gal} (L^{H}/K)$ alias eine kurze exakte Sequenz $$\op{Gal}(L/M)\hra \op{Gal}(L/K)\sra \op{Gal}(M/K)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Galoiskorrespondenz als "Aquivalenz von Kategorien}] In der Sprache der Kategorientheorie ausgedr"uckt liefert f"ur $L/K$ eine endliche Gal\-ois\-er\-wei\-te\-rung mit Galoisgruppe $G$ der Funktor $\op{Kring}^{K}(\;,L)$ der $K$-linearen K\"{o}rperhomomorphismen nach $L$ eine \"{A}quivalenz von Kategorien $$ \left\{ \begin{array}{c}\text{K"orpererweiterungen von }K,\\ \text{die sich in $L$ einbetten lassen } \end{array}\right\} \;\sirra\; \left\{ \begin{array}{c}\text{transitive}\\ \text{$G$-Mengen} \end{array}\right\}^{\op{opp}} $$ Das folgt aus obigem Satz mit einfachen Zusatz"uberlegungen, sobald man die Sprache der Kategorientheorie gelernt hat. Umgekehrt kann man obigen Satz auch leicht aus dieser Aussage folgern. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Nach der Definition der Normalit"at und Separabilit"at ist f"ur jeden Zwischenk"orper $M$ auch $L/M$ normal und separabel, also Galois. Damit folgt $\psi \circ \phi =\op{id}$ aus unserer Erkenntnis \ref{CG}, da"s bei jeder endlichen Galoiserweiterung der Grundk"orper der Fixk"orper der Galoisgruppe ist. Ohne alle Schwierigkeiten folgt umgekehrt $\phi \circ \psi =\op{id}$ aus unserer Erkenntnis \ref{ZH}, da"s das Bilden des Fixk"orpers zu einer endlichen Gruppe von K"orperautomorphismen stets eine Galoiserweiterung mit besagter Gruppe als Galoisgruppe liefert. Das zeigt die erste Behauptung. Man pr"uft nun leicht $g (L^{H}) = L^{gHg^{-1}}$ f"ur alle $g \in G$ und $H\subset G$, das gilt sogar f"ur eine beliebige Operation einer beliebigen Gruppe $G$ auf einer beliebigen Menge $L$. %In Worten entspricht unter unserer Galoiskorrespondenz also das %Verschieben von Zwischenk"orpern %mit einem Element der Galoisgruppe $g\in G$ der Konjugation von Untergruppen %mit besagtem Element $g\in G$. Insbesondere ist $L^{H}$ invariant unter $G$ alias $g(L^H)=L^H\;\forall g\in G$ genau dann, wenn $H$ in $G$ ein Normalteiler ist alias $gHg^{-1}=H\;\forall g\in G$. %Da aber $G$ nach \ref{TO} transitiv operiert auf den Wurzeln der Minimalpolynome %aller Elemente von $L$, ist $L^{H}$ invariant unter $G$ genau %dann, wenn es normal ist "uber $K$. %Schlie"slich faktorisiert dann die durch Einschr"anken von %K"orperhomomorphismen gegebene Abbildung %$G \ra \op{Gal} (L^{H}/K)$ "uber $G/H$ und liefert eine Injektion $G/H %\hookrightarrow \op{Gal} (L^{H}/K)$, die mit einem Abz"ahlargument %bijektiv sein mu"s. Nach Proposition \ref{biNE} "uber Bilder normaler K"orpererweiterungen haben wir f"ur $M/K$ normal stets $g(M)=M\;\forall g\in G$, also gilt dann $M=L^H$ f"ur $H$ ein Normalteiler von $G$. Ist umgekehrt $H\subset G$ ein Normalteiler, so stabilisiert $G$ den Unterk"orper $L^H$ und die Einschr"ankung der Operation $G= \op{Gal}(L/K)\ra \op{Gal}(L^H/K)$ hat den Kern $H$, weil ja keine gr"o"sere Untergruppe von $G$ denselben Fixk"orper haben kann. Unsere Verkn"upfung faktorisiert mithin "uber einen injektiven Gruppenhomomorphismus $$G/H\hra \op{Gal}(L^H/K)$$ Offensichtlich ist hierbei aber auch $K$ der Fixk"orper des Bildes von $G/H$, also ist nach Satz \ref{ZH} "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen einerseits unsere Inklusion ein Isomorphismus $G/H\sira \op{Gal}(L^H/K)$ und andererseits $L^H/K$ Galois und insbesondere normal. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Unterk"orper endlicher K"orper mit Galoistheorie}] Nach \ref{GaFq} ist f"ur jede Potenz $q=p^r$ mit $r\geq 1$ einer Primzahl $p$ die Galoisgruppe $\op{Gal}(\Bbb{F}_{q} /\Bbb{F}_{p})$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $r$,\label{EKGa} erzeugt vom Frobenius-Homomor\-phis\-mus $a\mapsto a^p$. Die Untergruppen dieser Gruppe $\DZ/\DZ r$ sind nach \eref{EO9}{LA2} genau die Gruppen $\DZ d/\DZ r$ f"ur Teiler $d$ von $r$. Das liefert im Licht der Galoiskorrespondenz \ref{GK} einen neuen Beweis unserer Klassifikation \ref{EEK} aller Unterk"orper eines endlichen K"orpers. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"st \defind{biquadratisch}, wenn sie den Grad $[L:K] =4$ hat und erzeugt wird von zwei Elementen $\al, \beta \in L$ mit $\al^{2}, \beta^{2} \in K$. \end{Definition} \begin{Beispiel} $\DQ (\sqrt{3},\sqrt{5})$ ist biquadratisch "uber $\DQ$, denn $(a+ b \sqrt{5})^{2} = a^{2} + 2ab \sqrt{5} + 5b^{2}$ kann nie 3 sein, weder f"ur $a =0$ noch f"ur $b=0$ und erst recht nicht f"ur $a \neq 0$, $b\neq 0$. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBiQ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Dies Bild ist wie in \ref{BIGAnn} zu verstehen und stellt eine biquadratische Erweiterung des Funktionenk"orpers $\DC(z)$ dar, etwa durch die Adjunktion von Quadratwurzeln aus $(z\pm 1)$, wo die beiden Punkte $\pm 1$ in den beiden Kreisen unten zu denken sind. \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htb] \includegraphics[height=0.2\textheight]{SkriptenBilder/BildGaKo}\\[4mm] \noindent \centering Links die f"unf Untergruppen der Klein'schen Vierergruppe, rechts die ihnen unter der Galoiskorrespondenz entsprechenden f"unf Zwischenk"orper einer biquadratischen Erweiterung im Fall einer von Zwei verschiedenen Charakteristik. \end{figure} \begin{Lemma}\label{BiQ} Jede biquadratische Erweiterung in einer von Zwei verschiedenen Charakteristik ist Galois und ihre Galoisgruppe ist die Klein'sche Vierergruppe $\DZ/2\DZ \times \DZ/ 2 \DZ$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $L=K(\alpha,\beta)$ mit $\alpha^2,\beta^2\in K$ unsere biquadratische Erweiterung. F"ur die nichttrivialen Elemente $\sigma \in \op{Gal} (L/K (\al))$ , $\tau \in \op{Gal} (L/K(\beta))$ haben wir $$\begin{array}{ccc} \sigma : \left\{ \begin{array}{lcr} \al &\mapsto &\al\\ \beta& \mapsto& -\beta \end{array}\right. & &\tau : \left\{ \begin{array}{lcr} \al& \mapsto &-\al \\ \beta &\mapsto & \beta \end{array} \right. \end{array}$$ In der Tat kann etwa $\beta$ unter $\sigma$ nicht auch noch festgelten werden und mu"s mithin auf die andere Nullstelle seines Minimalpolynoms gehen. Wir finden so eine vierelementige Teilmenge $\{ \op{id}, \sigma , \tau , \sigma \tau\} \subset \op{Gal} (L/K)$. Das mu"s dann aber schon die ganze Galoisgruppe sein, denn unsere Erweiterung hat Grad vier. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PrQ} Die Klein'sche Vierergruppe $\DZ/2\DZ \times \DZ/ 2 \DZ\cong \Bbb{F}^{2}_{2}$ hat f"unf Untergruppen: Den Nullpunkt, drei Geraden, und die ganze Gruppe. Sie entsprechen in unserer biquadratischen Erweiterung aus \ref{BiQ} den Unterk"orpern $$L \supset K (\al), K(\beta), K(\al\beta) \supset K$$ Eine $K$-Basis von $L$ besteht aus $1,\al, \beta, \al\beta$, wie die simultane Eigenraumzerlegung von $L$ unter $\sigma$ und $\tau$ zeigt. Ein primitives Element ist zum Beispiel $\al + \beta$, da es von keinem nichttrivialen Element der Galoisgruppe festgehalten wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}] Der K"orper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.\label{FSAA} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Alternative Beweise diskutieren wir in \eref{KCAA}{LA1}. Als "Ubung d"urfen Sie zeigen, da"s aus einem beliebigen angeordneten K"orper $R$, in dem jedes Polynom ungerader Ordnung eine Nullstelle hat und jedes positive Element eine Quadratwurzel, durch Adjunktion einer Quadratwurzel von $(-1)$ bereits ein algebraisch abgeschlossener K"orper entsteht. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $L/\DR$ eine endliche normale K"orpererweiterung von $\DR$. Sei $G \pdef \op{Gal} (L/\DR)$ ihre Galoisgruppe und $S \subset G$ eine $2$-Sylow von $G$, die in unseren Konventionen auch die triviale Gruppe sein darf. So haben wir $[L:\DR]=|G|$ und $[L:L^S]=|S|$. Folglich ist $L^{S}/\DR$ eine Erweiterung von ungeradem Grad. Da jedes Polynom aus $\DR [X]$ von ungeradem Grad nach dem Zwischenwertsatz \eref{ZWS}{AN1} eine reelle Nullstelle hat, folgt $L^{S} = \DR$. Mithin haben wir $S = G$ und $G$ ist eine $2$-Gruppe. Nach Satz \ref{AL} "uber die Struktur von $p$-Gruppen besitzt sie Folge von Untergruppen, bei der jede Index Zwei in der n"achsten hat. Nach der Galoiskorrespondenz entsteht die K"orpererweiterung $L$ aus $\DR$ durch sukzessive K"orpererweiterungen vom Grad $2$, also nach \ref{QK} durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln. Haben wir $L\neq \DR$, so gibt es insbesondere einen Zwischenk"oper $M/\DR$ vom Grad zwei, der also durch Adjunktion einer Quadratwurzel entsteht. Es folgt $\op{Ring}^{\DR}(M,\DC)\neq\emptyset$, denn jede reelle Zahl hat bereits eine Quadratwurzel in $\DC$. Jeder solche Homomorphismus ist ein Isomorphismus $M\sira \DC$, denn wir wissen $[\DC:\DR]=2$. In $\Bbb{C}$ hinwiederum und damit auch in $M$ hat jedes Element schon eine Quadratwurzel und daraus folgt $L=M$. Also kann $M$ keine keine nichttrivialen algebraischen K"orpererweiterungen besitzen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{GrZK} Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ und zwei Untergruppen $I\subset H$ ihrer Galoisgruppe zeige man f"ur den Grad der Erweiterung der zugeh"origen Fixk"orper die Formel $$[L^I:L^H]=|H/I|$$ Hinweise: \ref{CG}, Turmregel \ref{et}, \eref{UGL}{LA2}, \ref{GK}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man dr"ucke $\sqrt{3}$ aus als Polynom in $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ mit rationalen Koeffizienten: Das mu"s m"oglich sein, da dies Element nach \ref{PrQ} primitiv ist in $\DQ(\sqrt{3},\sqrt{5})$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $L/K$ eine endliche K"orpererweiterung und $K_{1}, K_{2} \subset L$ zwei Zwischen\-k"or\-per mit $K_{i}/K$ Galois und $K_{1} \cap K_{2} = K$. So ist auch der von $K_{1}$ und $K_{2}$ erzeugte Unterk"orper $K_{1}K_{2} \subset L$ Galois "uber $K$ und es gilt $\op{Gal} (K_{1}K_{2}/K) \sira \op{Gal} (K_{1}/K) \times \op{Gal} (K_{2}/K)$ vermittels der Restriktionen. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 %\begin{Ubung} %Man zeige, da"s jede endliche separable K"orpererweiterung nur endlich %viele Zwischenk"orper besitzen kann. Man gebe des weiteren auch %eine endliche K"orpererweiterung %mit unendlich vielen Zwischenk"orpern an. %\end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{DefNo} Sei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$ und sei $H\subset G$ eine Untergruppe. Man konstruiere einen Isomorphismus zwischen $\op{Gal}(L^H/K)$ und dem Quotienten $N/H$ nach $H$ des {\bf Normalisators}\index{Normalisator!von Untergruppe}\index{N@${\op{N}}_G(H)$ Normalisator} $N={\op{N}}_G(H)\pdef\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ von $H$ in $G$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{GRA} Man zeige: F"ur jeden K"orper $k$, dessen Charakteristik kein Teiler von $n$ ist, hat der Zerf"allungsk"orper des Polynoms $$T^{n} + a_{2}T^{n-2} + \ldots + a_{n-1}T + a_{n}$$ mit Koeffizienten im Funktionenk"orper $k('a_{2}, \ldots, a_{n})$ in $n-1$ algebraisch unabh"angigen Ver"anderlichen als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe $\cal{S}_{n}$. Hinweis: Man gehe aus von \ref{StU}; Die Galoisgruppe eines Polynoms "uber einem K"orper $K$ "andert sich nicht unter Substitutionen des Typs $T=Y+\lambda$ f"ur $\lambda\in K;$ die Galoisgruppe "andert sich nicht beim "Ubergang zu Funktionenk"orpern $\op{Gal}(L/K)=\op{Gal}(L(X)/K(X))$. Die Irreduzibilit"at folgt bereits aus \ref{GPi}. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Bei der Behandlung kubischer Gleichungen in \ref{CaHe} werden wir sehen, da"s auch im Fall eines K"orpers $k$ der Charakteristik Drei das Polynom $T^3+pT+q$ "uber $k('p,q)$ die volle symmetrische Gruppe als Galoisgruppe hat. Andererseits ist im Fall eines K"orpers $k$ der Charakteristik Zwei das Polynom $T^2+p$ "uber $k('p)$ inseparabel und seine Galoisgruppe ist trivial und ist nicht die volle symmetrische Gruppe. \end{Bemerkunge} \subsection{Galoisgruppen von Kreisteilungsk"orpern} \begin{Bemerkungl} Gegeben $n\geq 1$ interessieren wir uns nun f"ur den Zerf"al\-lungsk"orper "uber $\DQ$ des Polynoms $X^{n}-1$. Dieser Zerf"al\-lungsk"oper hei"st der $n$-te {\bf Kreisteilungsk"orper}\index{Kreisteilungsk"orper} und wird unter Mi"sbrauch der Notation bezeichnet mit $\DQ (\sqrt[n]{1})$.\index{Q@$\DQ (\sqrt[n]{1})$ Kreisteilungsk"orper} Er ist normal als Zerf"allungsk"orper und separabel "uber $\DQ$ wegen Charakteristik Null und mithin eine Galois-Erweiterung von $\DQ$. Ich stelle mir als $n$-ten Kreisteilungsk"orper meist konkret den Unterk"orper $\DQ (\zeta) \subset \Bbb{C}$ vor mit $\zeta = \op{e}^{2\pi{\op{i}}/n}$. Auch ohne R"uckgriff auf den K"orper der komplexen Zahlen wissen wir nach \eref{MZ}{LA2}, da"s die $n$-ten Einheitswurzeln in $\DQ (\sqrt[n]{1})$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$ bilden. Die Erzeuger dieser Gruppe hei"sen die \defnoind{primitiven $n$-ten Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzel}. Nach unserer Definition der Kreisteilungspolynome in \ref{DKTr} sind sie gerade die Nullstellen des $n$-ten Kreisteilungspolynoms $$\Phi_{n} = \prod_{\op{ord} \zeta =n} (X - \zeta)$$ Wir hatten schon in \ref{DKTr} mit Induktion "uber $n$ gezeigt, da"s dieses Polynom Koeffizienten in $\DQ$ und sogar in $\DZ$ hat, und \ref{EKP} besagte, da"s f"ur $n=p$ prim das $p$-te Kreisteilungspolynom $\Phi_{p}$ irreduzibel ist in $\DQ [X]$. Nun zeigen wir ganz allgemein, da"s f"ur alle $n\geq 1$ das $n$-te Kreisteilungspolynom $\Phi_{n}$ irreduzibel ist in $\DQ [X]$. Nach \ref{PFR} ist das ganz allgemein f"ur normierte Polynome in $\DZ[X]$ gleichbedeutend dazu, irreduzibel zu sein in $\DZ [X]$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Galoisgruppen der Kreisteilungsk"orper}] \begin{enumerate} \item Die Kreis\-tei\-lungs\-po\-ly\-no\-me $\Phi_{n} (X)$ sind irreduzibel in $\DQ [X]$; \item Bezeichnet $\mu_n$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln im $n$-ten Kreisteilungsk"orper $\DQ (\sqrt[n]{1})$ und $\op{Aut}(\mu_n)$ ihre Automorphismengruppe, so liefern die offensichtichen Abbildungen Isomorphismen $$\op{Gal}(\DQ (\sqrt[n]{1})/\DQ)\sira\op{Aut}(\mu_n) \stackrel{\sim}{\leftarrow} (\DZ /n\DZ)^{\times}$$ Auf diese Weise erhalten wir einen Isomorphismus zwischen der Galoisgruppe des $n$-ten Kreisteilungsk"orpers und der Einheitengruppe des Restklassenrings $\DZ/n\DZ$; \item Gegeben zwei primitive $n$-te Einheitswurzeln $\zeta, \xi \in \DQ (\sqrt[n]{1})$ existiert genau ein K"orperhomomorphismus $\sigma : \DQ (\sqrt[n]{1}) \ra \DQ (\sqrt[n]{1})$ mit $\sigma (\zeta) = \xi$. \end{enumerate}\label{GKT} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/ZEW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die zw"olften Einheitswurzeln in $\DC$, eingekringelt die vier primitiven zw"olften Einheitswurzeln \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Die Irreduzibilit"at der Kreisteilungspolynome f"ur prime Einheitswurzeln haben wir bereits in \ref{EKP} gezeigt. In diesem Fall vereinfacht sich der Beweis entsprechend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SFCu} W"ahlt man eine Einbettung des $n$-ten Kreisteilungsk"orpers $\DQ (\sqrt[n]{1})$ nach $\DC$, so ist das Bild stets der von $\DQ$ und $\op{e}^{2\pi{\op{i}}/n}$ in $\DC$ erzeugte Teilk"orper. Von den Automorphismen unseres Kreisteilungsk"orpers l"a"st sich jedoch au"ser der Identit"at nur ein einziger stetig auf $\DC$ fortsetzen, und dieser Automorphismus ist f"ur jede Wahl der Einbettung derselbe und kann beschrieben werden als der Automorphismus, der jede Einheitswurzel auf ihr multiplikatives Inverses wirft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich schicke dem Beweis einige allgemeine Betrachtungen zu zyklischen Gruppen voraus. F"ur $n\geq 1$ liefert ja sicher die Multiplikation einen Isomorphismus $(\DZ/n\DZ)^\times\sira \op{Aut}(\DZ/n\DZ)$ zwischen der Einheitengruppe unseres Restklassenrings und der Automorphismengruppe seiner zyklischen Gruppe. Die Umkehrabbildung kann angegeben werden durch die Abbildungsvorschrift $\psi\mapsto \psi(1)$ f"ur jeden Automorphismus $\psi$. Ist allgemeiner $C$ irgendeine additiv notierte zyklische Gruppe der Ordnung $n$, so erhalten wir folglich einen Isomorphismus $(\DZ/n\DZ)^\times\sira \op{Aut}(C)$ durch die Abbildungsvorschrift $a\mapsto (c\mapsto ac)$, und ist $\mu$ irgendeine multiplikativ notierte zyklische Gruppe der Ordnung $n$, so erhalten wir ebenso einen Isomorphismus $(\DZ/n\DZ)^\times\sira \op{Aut}(\mu)$ durch die Abbildungsvorschrift $a\mapsto (\zeta\mapsto \zeta^a)$. Des weiteren gibt es f"ur je zwei Erzeuger einer zyklischen Gruppe genau einen Automorphismus, der den einen in den anderen "uberf"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Ist $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so sind alle anderen primitiven $n$-ten Einheitswurzeln von der Form $\zeta^{a}$ f"ur $a \in \DZ$ mit $a$ teilerfremd zu $n$ alias mit $\langle a,n\rangle =\langle 1\rangle$. Sei nun $\Phi_{n} = fg$ eine Zerlegung in $\DZ [X]$ mit $f$ dem Minimalpolynom von $\zeta$. Sicher sind dann alle Nullstellen von $f$ auch primtive $n$-te Einheitswurzeln. Sicher ist auch $g$ normiert. Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jede Nullstelle $\zeta\in\DC$ von $f$ und $p\in\DN$ prim mit $p\nmid n$ auch $\zeta^{p}$ eine Nullstelle von $f$ ist, denn dann sind alle Wurzeln von $\Phi_{n}$ schon Wurzeln von $f$ und es folgt $\Phi_{n}=f$. Aber sei sonst $p$ prim mit $p\nmid n$ und $g(\zeta^{p})=0$. Nach Annahme teilt dann $f$ das Polynom $g(X^{p})$ in $\DQ[X]$ und nach Gau"s sogar in $\DZ[X]$ und nach "Ubergang zu $\Bbb{F}_{p} [X]$ ist $\bar{f}$ Teiler von $\bar{g} (X^{p})={\bar g}^{p}$. Dann haben aber $\bar{f}$ und $\bar{g}$ eine gemeinsame Nullstelle im Zerf"allungsk"orper von $X^{n}-1$ "uber $\Bbb{F}_{p}$ und das steht im Widerspruch dazu, da"s nach \ref{VN} das Polynom $X^{n}-1$ "uber $\Bbb{F}_{p}$ f"ur $p\nmid n$ keine mehrfachen Nullstellen in seinem Zerf"allungsk"orper hat, da seine Ableitung nur bei $X=0$ verschwindet. \\[2mm]\noindent 2. Sicher wird $\Bbb{Q}(\sqrt[n]{1})$ erzeugt von jeder primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$, und da $\Phi_{n}$ nach Teil 1 ihr Minimalpolynom ist und da der Grad des Minimalpolynoms nach \ref{Irr} der Grad der von einer Nullstelle erzeugten K"orpererweiterung ist, folgt $$[\Bbb{Q} (\sqrt[n]{1}) : \Bbb{Q}]=\op{deg}\Phi_{n} = |(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})^{\times}|$$ Sicher liefert die Operation der Galoisgruppe auf den $n$-ten Einheitswurzeln weiter eine Einbettung $\op{Gal} (\DQ (\sqrt[n]{1})/\DQ) \hookrightarrow \op{Aut}(\mu_{n})$ und nach \eref{MuI}{LA2} erhalten wir einen Isomorphismus $(\DZ /n\DZ)^{\times} \sira \op{Aut} (\mu_{n})$ durch $a\mapsto (\zeta\mapsto \zeta^a)$. Da diese drei Gruppen alle gleichviele Elemente haben, folgt der Satz. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Man erkl"art die {\bf Euler'sche $\varphi$-Funktion} \index{f@$\varphi$, Euler'sche $\varphi$-Funktion} $\varphi : \DZ_{\geq 1}\ra \DZ_{\geq 1}$ durch\label{BGRj} die Vorschrift $$\begin{array}{rcl} \varphi (n) & =& \text{Zahl der zu $n$ teilerfremden $d \in \DN$ mit $1\leq d \leq n$}\\ & =& \text{Zahl der Erzeuger der Gruppe $\DZ/n\DZ$}\\ & =& |\{x \in \DZ/n\DZ \mid \op{ord} (x) = n\}|\\ &=& |(\DZ / n \DZ)^{\times}| \end{array}$$ Wir haben etwa $\varphi(1)=\varphi(2)=1$, $\varphi(3)=\varphi(4)=2$, $\varphi(5)=4$, $\varphi(6)=2$ und so weiter. Nach \ref{GKT} haben wir auch $\varphi (n) = \deg \Phi_{n}= [\Bbb{Q} (\sqrt[n]{1}) : \Bbb{Q}]$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Konstruierbarkeit regelm"a"siger $n$-Ecke}] Genau\index{Konstruierbarkeit regelm"a"siger $n$-Ecke} dann ist das regelm"a"sige $n$-Eck konstruierbar\label{KRN} mit Zirkel und Lineal, wenn der Wert der Euler'schen $\varphi$-Funktion $\varphi (n)=|(\DZ / n \DZ)^{\times}|$ an der Stelle $n$ eine Zweierpotenz ist. \end{Satz} %\begin{Bemerkungl} Wir werden im folgenden sehen, da"s %die Zahlen $n$ mit %\end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Ist $\varphi (n) = [\DQ (\zeta) : \DQ]$ keine Zweierpotenz, so kann $\zeta$ nicht konstruierbar sein nach \ref{ZP}. Ist $\varphi (n)$ eine Zweierpotenz, so ist $G = \op{Gal} (\DQ (\zeta)/\DQ)$ eine $2$-Gruppe. Nach \ref{AL} oder einfacher induktiv nach \eref{ZABc}{LA2} gibt es dann in $G$ eine Kette von Normalteilern von $G$ der Gestalt $$G = G_{r} \supset G_{r-1}\supset \ldots \supset G_{0} =1$$ mit $G_{i}/G_{i-1} \cong \DZ/2\DZ \text{ f"ur } 1 \leq i\leq r$. Deren Fixk"orper bilden eine Kette $$\;\;\;\;\;\;\DQ = K_{r} \subset K_{r-1} \subset \ldots \subset K_{0} = \DQ (\zeta)$$ von Teilk"orpern mit $[K_{i-1} : K_{i}] =2 \text{ f"ur } 1 \leq i \leq r$. Diese Kette hinwiederum zeigt mit dem Konstruierbarkeitskriterium \ref{Kons}, da"s $\zeta$ konstruierbar ist. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Rechenregeln f"ur die Euler'sche $\varphi$-Funktion}] \begin{enumerate} \item Sind positive nat"urliche Zahlen $n$ und $m$ teilerfremd, so gilt $\varphi (nm) = \varphi (n) \varphi (m)$; \item F"ur $p $ eine Primzahl und $r\geq 1$ beliebig gilt $\varphi (p^{r}) = p^{r-1}(p-1)$. \end{enumerate}\label{BEFI} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Der Isomorphismus $\DZ / n m \DZ \cong \DZ / n \DZ \times \DZ/ m \DZ$ von Ringen induziert einen Isomorphismus $(\DZ/ n m \DZ)^{\times} \cong (\DZ/ n \DZ)^{\times} \times (\DZ/ m \DZ)^{\times}$ der zugeh"origen Einheitengruppen. \\[2mm]\noindent 2. Es gibt $p^{r-1}$ Vielfache $n$ von $p$ mit $1 \leq n \leq p^{r}$, also gilt \begin{equation*} \varphi (p^{r}) = p^{r}-p^{r-1} = p^{r-1} (p-1)\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Zahlen $n$ mit $\varphi (n)$ eine Zweierpotenz}] Damit $\varphi (n)$ eine Zweierpotenz ist, darf nach den eben erkl"arten Rechenregeln \ref{BEFI} nur der Primfaktor $2$ in $n$ mehrfach vorkommen und alle anderen Primfaktoren m"ussen die Gestalt $2^{r}+1$ haben. Nur dann kann aber $2^{r}+1$ eine Primzahl sein, wenn $r$ selbst eine Zweierpotenz ist, denn sonst w"are $r =st$ mit $t > 1$ ungerade und wir k"onnten die Gleichung $$(1-X^{t})= (1-X) (1+X + \ldots + X^{t-1})$$ spezialisieren zu $X =-2^{s}$ und so $1+2^{r}$ nichttrivial faktorisieren. Genau dann ist also $\varphi (n)$ eine Zweierpotenz, wenn alle Primfaktoren von $n$ Fermat'sche Primzahlen im Sinne der folgenden Bemerkung sind und keine Primfaktoren au"ser der Zwei mehrfach vorkommen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Zahlen $F_{k}\pdef 1 + 2^{2^{k}}$ hei"sen \defind{Fermat'sche Zahlen}. $F_{0}$, $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ sind prim, aber $F_{5} = 1 + 2^{32} = 641\cdot 6700417$ ist nach Euler nicht prim. Es ist nicht bekannt, ob es au"ser den $5$ Ersten noch weitere Fermat'sche Zahlen gibt, die prim sind. Bekannt ist, da"s die Fermat'schen Zahlen $F_{k}$ f"ur $5 \leq k\leq 32$ nicht prim sind, jedenfalls habe ich das 2020 mit Zitat in Wikipedia gelesen. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl}\label{BGRj} % Allgemeiner bezeichnet man f"ur $m\geq 1$ mit % $\varphi(m)$ die Zahl der zu $m$ teilerfremden Zahlen $i$ mit % $1\leq i\leq m$ und nennt die so definierte Funktion $\varphi$ % die {\bf Euler'sche $\varphi$-Funktion}.\index{Euler'sche $\varphi$-Funktion} % \index{f@$\varphi$-Funktion, Euler'sche} % Wir haben etwa $\varphi(1)=\varphi(2)=1$, $\varphi(3)=\varphi(4)=2$, % $\varphi(5)=4$, $\varphi(6)=2$ und so weiter. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wie gesagt kann $\varphi(m)$ auch interpretiert werden als die Ordnung der Einheitengruppe des Restklassenrings $\DZ/m\DZ$, in Formeln $$\varphi(m) =|(\DZ/m\DZ)^\times|$$ Wenden wir auf diese Gruppe unsere Erkenntnis \eref{GOL}{LA2} an, da"s die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe die Gruppenordnung teilt, so erhalten wir f"ur $b$ teilerfremd zu $m$ insbesondere die sogenannte {\bf Euler'sche Kongruenz}\index{Euler'sche Kongruenz} $$b^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m$$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Wenn man die Eulersche $\varphi$-Funktion einf"uhrt, so darf die witzige Identit"at $$n = \sum_{d\mid n} \varphi (d)$$ nicht fehlen. Um sie zu zeigen bemerke man, da"s auch f"ur jedes Vielfache $n=cd$ einer Zahl $d$ schon gilt $\varphi (d) =|\{x \in \DZ/n\DZ \mid \op{ord} (x) = d\}|$. In der Tat liefert n"amlich die Multiplikation mit $c$ eine Einbettung $\DZ / d\DZ\hra \DZ / n\DZ$, deren Bild genau aus allen $x \in \DZ / n\DZ$ besteht, deren Ordnung $d$ teilt. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s man aus einem regelm"a"sigen $7$-Eck mit Zirkel und Lineal ein regelm"a"siges $35$-Eck konstruieren kann. Hinweis: Man verwende \ref{KonsA}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele zu $140000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit $1\leq a\leq 140000$ gibt es? \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Konstruierbarkeitskriterium}] Man zeige: Eine komplexe algebraische Zahl ist konstruierbar genau dann,\label{HNKo} wenn der Grad des Zerf"allungsk"orpers ihres Minimalpolynoms "uber $\DQ$ eine Zweierpotenz ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Einheitswurzeln des $n$-ten Kreisteilungsk"orpers f"ur gerades $n$ genau die $n$-ten Einheitswurzeln sind und f"ur ungerades $n$ genau die $2n$-ten Einheitswurzeln. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur die Euler'sche $\varphi$-Funktion und alle $n\geq 1$ die Identit"at $\varphi(n^2)=n\varphi(n)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $m,n\geq 1$ nat"urliche Zahlen und $k$ ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. Man zeige $\DQ(\sqrt[n]{1},\sqrt[m]{1}) = \DQ(\sqrt[k]{1})$ f"ur beliebige entsprechende primitive Einheitswurzeln Hinweis: Ist $k=an=bm$ mit $(a,b)=1$, so gibt es $x,y$ mit $ax+by=1$ alias $\zeta_k=(\zeta_k^a)^x(\zeta_k^b)^y$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $n>2$ zeige man, da"s im Kreisteilungsk"orper $\DQ(\sqrt[n]{1})=\DQ(\zeta)$ f"ur $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel gilt $[\DQ(\zeta):\DQ(\zeta + \zeta^{-1})]=2$ und $[\DQ(\zeta + \zeta^{-1}):\DQ]=\varphi(n)/2$. Man folgere $\Phi_n(X)=X^{\varphi(n)}\Phi_n(X^{-1})$. \end{Ubung} \subsection{Quadratisches Reziprozit"atsgesetz} \begin{Bemerkungl} Gegeben ganze Zahlen $a,b \in \mathbb Z$ stellen wir uns nun die Frage, ob es ganze Zahlen $x,y \in \mathbb Z$ gibt mit \begin{equation*} a = x^2 + by \end{equation*} Ist das der Fall, so nennt man $a$ einen {\bf quadratischen Rest modulo $b$}.\index{quadratischer Rest} Gleichbedeutend k"onnen wir auch fragen, ob eine Restklasse $\bar x \in \mathbb Z / b \mathbb Z$ existiert mit $\bar a = \bar x^2$, ob also $\bar a$ ein Quadrat ist in $\mathbb Z / b \mathbb Z$. Es mag a priori nicht klar sein, ob diese Frage derart wichtig ist, da"s ihre Behandlung einen eigenen Abschnitt verdient. A posteriori hat sich die Untersuchung dieser Frage und ihrer Verallgemeinerungen jedoch als derart fruchtbar erwiesen, da"s es mir angemessen scheint, sie hier zu diskutieren. Zun"achst reduzieren wir unsere Frage im folgenden auf den Fall $b$ prim und erkl"aren dann, wie sie in diesem Fall durch das sogenannte \glqq quadratische Reziprozit"atsgesetz\grqq\ gel"ost wird. Es gibt verschiedene Beweise des quadratischen Reziprozit"atsgesetzes, dessen verbl"uffende Aussage viele Mathematiker fasziniert hat. Wir geben hier einen Beweis mit den Methoden der Galoistheorie. Er ist vielleicht nicht der elementarste Beweis, aber in meinen Augen doch der Beweis, bei dem am wenigsten \glqq gezaubert\grqq\ wird. Dar"uber hinaus weist er eine Richtung, in der es interessante Verallgemeinerungen gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion auf $b=p^n$ eine Primzahlpotenz}] Gegeben $b_1, b_2 \in \mathbb Z$ teilerfremd ist $a$ ein Quadrat modulo $b_1b_2$ genau dann, wenn es ein Quadrat ist modulo $b_1$ und ein Quadrat modulo $b_2$. Das folgt unmittelbar aus unserem Ring\-isomorphismus $$\mathbb Z / b_1b_2 \mathbb Z \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb Z / b_1 \mathbb Z \times \mathbb Z/b_2 \mathbb Z$$ alias dem chinesischen Restsatz \eref{CDR}{LA2}. Nach dieser Bemerkung werden wir uns bei der Untersuchung unserer urspr"unglichen Frage auf den Fall be\-schr"an\-ken, da"s $b$ eine echte Primzahlpotenz ist. F"ur Zahlen $b$, deren Primfaktorzerlegung wir nicht kennen, ist uns damit zwar wenig geholfen, aber f"ur diese $b$ ist nun einmal schlicht kein schnelles Verfahren bekannt, mit dem die Frage entschieden werden k"onnte, ob ein gegebenes $a$ quadratischer Rest modulo $b$ ist oder nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion auf $a$ teilerfremd zu $b=p^n$}] Sei nun also $b$ eine echte Primzahlpotenz, sagen wir $b=p^n$. Ist dann $a= p^r \alpha$ die Darstellung von $a$ als Produkt mit $\alpha$ teilerfremd zu $p$, so ist die Gleichung \begin{equation*} a = p^r \alpha = x^2 + y p^n \end{equation*} f"ur $ r\geq n$ bereits mit $x=0$ l"osbar. Haben wir dahingegen $ r+t = n$ mit $t >0$, so folgt aus der Identit"at $ p^r \alpha = x^2 + y p^r p^t $, da"s die maximale $p$-Potenz, die die rechte Seite teilt, entweder gerade ist oder mindestens $p^{r+1}$. Diese Gleichung ist also f"ur $t>0$ nur unter der Annahme $r$ gerade l"osbar und unter dieser Annahme genau dann, wenn die Gleichung $$\alpha= \tilde x^2 + y p^t$$ l"osbar ist alias wenn $\alpha$ ein Quadrat ist modulo $p^t$. Auf diese Weise k"onnen wir uns bei der Untersuchung unserer urspr"unglichen Frage auf den Fall zur"uckziehen, da"s $b$ eine echte Primzahlpotenz ist und zus"atzlich $a$ teilerfremd zu $b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion von $b=p^n$ auf $b=p$ f"ur $p\neq 2$}] Ist $p$ eine ungerade Primzahl und $a$ teilerfremd zu $p$, so ist $a$ ein Quadrat modulo $p^n$ f"ur $n \geq 2$ genau dann, wenn $a$ ein Quadrat ist modulo $p$. Das folgt leicht aus \eref{RKII}{LA2} oder besser seinem Beweis, wo Sie gezeigt haben, da"s die Projektion $(\DZ/p^n\DZ)^\times\sra (\DZ/p\DZ)^\times$ faktorisiert "uber einen Isomorphismus mit der Projektion als zweitem Pfeil in der Form $$(\DZ/p^n\DZ)^\times \sira \DZ/p^{n-1}\DZ \times (\DZ/p\DZ)^\times\sra (\DZ/p\DZ)^\times$$ Da die Zwei teilerfremd ist zu $p$, ist nun jedes Element von $\DZ/p^{n-1}\DZ$ das Doppelte von einem anderen, und das beendet auch bereits unsere Reduktion. Durch Induktion "uber $n$ kann man sogar explizit eine L"osung finden: Gegeben $\tilde x, \tilde y \in \mathbb Z$ mit $a = \tilde x^2 + \tilde y p^n$ machen wir zur L"osung der Gleichung $a= x^2 + yp^{n+1} $ den Ansatz $x = \tilde x + \lambda p^n$ und finden f"ur $\lambda $ die Gleichung \begin{equation*} a = \tilde x^2 + 2\lambda p^n \tilde x + \lambda^2p^{2n} + y p^{n+1} \end{equation*} Wegen $a - \tilde x^2 = \tilde y p^n$ kann sie umgeschrieben werden zu \begin{equation*} 2 \lambda \tilde x = \tilde y - \lambda^2 p^n - yp \end{equation*} Da nun nach Annahme $ 2$ und $ a$ und damit auch $\tilde x$ invertierbar sind in $\mathbb Z / p \mathbb Z$, hat diese Gleichung stets eine L"osung $\lambda$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion von $b=2^n$ auf $b=8$}] Eine ungerade Zahl ist ein quadratischer Rest modulo $2^n$ f"ur $n\geq 3$ genau dann, wenn sie ein quadratischer Rest ist modulo $8$ alias kongruent zu $1$ modulo $8$. Da"s diese Bedingung notwendig ist, scheint mir offensichtlich. Um zu zeigen, da"s sie auch hinreichend ist, erinnern wir wieder aus \eref{RKII}{LA2} oder besser seinem Beweis, da"s sich die offensichtliche Surjektion $(\DZ/2^n\DZ)^\times\sra (\DZ/8\DZ)^\times$ als rechte Vertikale in ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccccc} (\DZ/2^n\DZ)^\times & \sira& \DZ/2^{n-2}\DZ \times (\DZ/4\DZ)^\times&\sira& \DZ/2^{n-2}\DZ \times\DZ/2\DZ\\ \da&&\da&&\da\\ (\DZ/8\DZ)^\times & \sira& \DZ/2\DZ \times (\DZ/4\DZ)^\times&\sira &\DZ/2\DZ \times\DZ/2\DZ \end{array} $$ mit den offensichtlichen Surjektionen in den Vertikalen einbetten l"a"st. Aus diesem Diagramm ist die Behauptung dann unmittelbar ersichtlich. Um eine explizite L"osung zu finden, machen wir wieder Induktion "uber $s$ und gehen also aus von einer L"osung der Gleichung $ a = x^2 + y2^s $ mit $ s \geq 3. $ Ist $y$ gerade, also $y = 2 \tilde y$, so steht unsere L"osung f"ur $s + 1$ schon da. Sonst ersetzen wir $x$ durch $x+ 2^{s-1}$ und finden so auch eine L"osung mit $y$ gerade. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit diesen "Uberlegungen haben wir also unsere urspr"ungliche Frage zur"uckgef"uhrt auf die Frage, welche Zahlen quadratische Reste sind modulo ungerader Primzahlen und modulo $8$. Ganz allgemein wissen wir seit \eref{QuDr}{LA1}, wiewiele Elemente eines endlichen K"orpers $\mathbb F$ Quadrate sind, n"amlich im Fall der Charakteristik Zwei alle und im Fall einer von $2$ verschiedenen Charakteristik knapp "uber die H"alfte, genauer $(|\mathbb F|+1)/2$ Elemente. Aber welche? In \ref{JacSy} erkl"aren wir, wie diese Frage f"ur endliche Primk"orper durch das Zusammenwirken von quadratischem Reziprozit"atsgesetz \ref{QuR} und Erg"anzungssatz \ref{ErgS} effizient gel"ost werden kann. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Zur Erinnerung: % Gegeben $a, b \in \DZ$ ganze Zahlen % sagen wir, % $a$ sei ein Quadrat % modulo $b$ genau dann, % wenn die Gleichung $a=x^2+by$ % eine L"osung in ganzen Zahlen % $x,y \in \DZ$ besitzt. Der zentrale Satz in diesem % Zusammenhang lautet wie folgt: % \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quadratisches Reziprozit"atsgesetz}\index{Reziprozit"atsgesetz!quadratisches}] Seien $p$ und $q$ verschiedene ungerade Primzahlen.\label{QuR} \begin{enumerate} \item Ist $p$ oder $q$ kongruent zu $1$ modulo $4$, so ist $p$ ein Quadrat modulo $q$ genau dann, wenn $q$ ein Quadrat ist modulo $p$; \item Sind $p $ und $q$ kongruent zu $3$ modulo $4$, so ist $p$ ein Quadrat modulo $q$ genau dann, wenn $q$ kein Quadrat ist modulo $p$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier werden die Buchstaben $p,q$ anders verwendet als im Zusammenhang mit endlichen K"orpern "ublich. Dort bezeichnet meist $q$ eine Potenz von $p$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten $p=7$ und $q=103$. Wir finden $103\equiv 5\pmod 7$ und durch Ausprobieren sehen wir, da"s $0,1,2,4$ die einzigen Quadrate im K"orper mit $7$ Elementen sind. Insbesondere ist $103$ kein Quadrat modulo $7$. Unsere Primzahlen sind nun beide kongruent zu $3$ modulo $4$, und Teil zwei des quadratischen Reziprozit"atsgesetzes sagt uns dann, da"s $7$ notwendig ein Quadrat modulo $103$ sein mu"s. Ausprobieren liefert in der Tat $25^2=625=6\times 103 +7$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeines zu zyklischen Gruppen}] Wir schicken dem Beweis einige allgemeine "Uberlegungen zu zyklischen Gruppen voraus. \label{ghff} Ich erinnere zun"achst daran, da"s nach \eref{GHFF}{LA2} jede nichttriviale zyklische Gruppe $G$ gerader Ordnung $2n$ genau eine Untergruppe der Ordnung $2$ und genau eine Untergruppe vom Index $2$ hat. F"ur den in additiver Notation geschriebenen Gruppenhomomorphismus $$(n\cdot):G\ra G$$ ist das Bild die einzige Untergruppe der Ordnung $2$ und der Kern die einzige Untergruppe vom Index $2$. F"ur den in additiver Notation geschriebenen Gruppenhomomorphismus $$(2\cdot):G\ra G$$ ist dahingegen das Bild die einzige Untergruppe vom Index $2$ und der Kern die einzige Untergruppe der Ordnung $2$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall der additiven Gruppe $\mathbb Z/2n \mathbb Z$ ist $\{\bar 0, \bar n\} =n \mathbb Z / 2n \mathbb Z$ die einzige zweielementige Untergruppe und $2 \mathbb Z / 2n \mathbb Z$ die einzige Untergruppe vom Index $2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s die multiplikative Gruppe eines endlichen K"orpers stets zyklisch ist. Im Fall der multiplikativen Gruppe $\mathbb F^\times_p$ f"ur $p$ eine ungerade Primzahl ist entsprechend $\{1,-1\}$ die einzige zweielementige Untergruppe\label{LeSS} und $(\mathbb F_p^\times)^2$ die einzige Untergruppe vom Index $2$ und das Potenzieren mit $(p-1)/2$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\mathbb F_p^\times \twoheadrightarrow \{1,-1\}$ mit Kern $(\mathbb F_p^\times)^2$. Wir f"uhren nun f"ur $p$ prim und $a \in \DZ$ das sogenannte {\bf Legendre-Symbol}\index{Legendre-Symbol} \index{)5)@$(\frac{a}{p})$ Legendre-Symbol} ein durch die Vorschrift $$ \left(\frac{a}{p}\right) \pdef \left\{\begin{array}{rl} 0 & a \text{ ist ein Vielfaches von } p;\\ 1 & a \text{ ist ein Quadrat modulo $p$, aber kein Vielfaches von $p$} ;\\ -1 & \text{sonst.} \end{array} \right. $$ F"ur $p$ eine ungerade Primzahl erhalten wir damit die Kongruenz \begin{equation*} \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} \end{equation*} In der Tat folgt das f"ur $ a$ teilerfremd zu $p$ aus den vorhergehenden "Uberlegungen dieses Unterpunktes und in den anderen F"allen ist es eh klar. Des weiteren h"angt auch f"ur beliebige Primzahlen $p$ das Legendresymbol nur von der Restklasse modulo $p$ ab und es gilt die Multiplikativit"at \begin{equation*} \left(\frac{ab}{p}\right) =\left(\frac{a}{p}\right) \left(\frac{b}{p}\right) \end{equation*} In der Tat folgt das f"ur $ a$ und $b$ teilerfremd zu $p$ aus den vorhergehenden "Uberlegungen dieses Unterpunktes und in den anderen F"allen ist es eh klar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quadratische Teilerweiterungen in Galoiserweiterungen}] Seien $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung und $G\pdef \op{Gal}(L/K)$ ihre Galoisgruppe. Gegeben eine Untergruppe $H\subset G$ der Galoisgruppe vom Index $2$ ist nach der Galoiskorrespondenz oder auch bereits nach \ref{ZH} ihr\label{QTGm} Fixk"orper $L^H$ eine quadratische Erweiterung von $K$. Ist die Charakteristik kein Teiler von $|H|$, so kann dieser Fixk"orper offensichtlich beschrieben werden durch die Formel $$L^{H}=\left.\left\{\sum_{\sigma\in H} \sigma(\gamma)\right| \gamma\in L\right\}$$ Die Bedingung an die Charakteristik wird dabei f"ur die Inklusion $\subset$ ben"otigt, weil man damit $\alpha\in L^H$ schreiben kann als $\alpha=|H|^{-1}\sum_{\sigma\in H} \sigma(\alpha)$. Gilt zus"atzlich $\op{char}K\neq 2$, so sind die Elemente $\alpha\in L^{H}\backslash K$ mit $\alpha^2\in K$ genau die Eigenvektoren zum Eigenwert $(-1)$ des nichttrivialen Elements $\tau$ der zweielementigen Gruppe $\op{Gal}(L^{H}/K)\cong G/H$. Man "uberlegt sich leicht, da"s dieser Eigenraum beschrieben werden kann als $$\op{Eig}(\tau|L^{H};-1)=\left.\left\{\sum_{\sigma\in H} \sigma(\gamma)- \sum_{\sigma\ \in G\backslash H} \sigma(\gamma)\right| \gamma\in L\right\}$$ Gegeben $\gamma\in L$ gilt f"ur $\alpha\pdef \sum_{\sigma\in H} \sigma(\gamma)- \sum_{\sigma\ \in G\backslash H} \sigma(\gamma)$ auch ohne Vorausetzungen an die Charakteristik stets $\alpha\in L^H$ und $\tau(\alpha)=-\alpha$ f"ur $\tau\in G\backslash H$ und damit $\alpha^2\in K$ sowie unter den zus"atzlichen Annahmen $\alpha\neq 0$ und $\op{char}(K)\neq 2$ zus"atzlich $L^{H}=K(\alpha)=K+K\alpha$.\label{alGA} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quadratwurzeln in primen Kreisteilungsk"orpern}] Gegeben $p$ eine ungerade Primzahl gilt $$\begin{array}{rll}\pm\sqrt{ p}\in\DQ(\sqrt[p]{1})&\text{falls}&p\equiv 1\pmod{4}\\[1mm] \pm\sqrt{ -p}\in\DQ(\sqrt[p]{1})&\text{falls}&p\equiv 3\pmod{4} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Explizit pr"uft man f"ur eine von Null verschiedene dritte Einheitswurzel $\zeta$ leicht $(\zeta-\zeta^2)^2=-3$ und damit $\pm\sqrt{-3}\in \DQ(\sqrt[3]{1})$. Die Beziehung zwischen regelm"a"sigem F"unfeck und goldenem Schnitt \eref{RFE}{AN1} liefert $\sqrt{5}\in \DQ(\sqrt[5]{1})$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir erinnern unseren Isomorphismus $\mathbb F_p^\times\sira \op{Gal}(\DQ(\sqrt[p]{1}),\DQ)$ aus \ref{GKT} und die Erkenntnis aus \eref{MZ}{LA2}, da"s $\mathbb F_p^\times$ eine zyklische Gruppe ist. Nach \ref{ghff} hat die Galoisgruppe genau eine Untergruppe vom Index Zwei. Nach der Galoiskorrespondenz liegt damit in $\DQ(\sqrt[p]{1})$ genau eine quadratische Erweiterung von $\DQ$ und nach \ref{QTGm} und \ref{LeSS} hat f"ur $\zeta\in \DQ (\sqrt[p]{1})$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel das Element $$\al \pdef\sum_{a \in \mathbb F_p^\times} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a$$ die Eigenschaft $\alpha^2\in\DQ$. Dies Element $\alpha$ erzeugt folglich, wenn es nicht Null ist, die fragliche quadratische Erweiterung. Wir zeigen nun genauer durch explizite Rechnung die Formel\label{QaK} $$\al^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p$$ In der Tat, beachten wir $(\frac{ab^2}{p})= (\frac{a}{p})$ f"ur $b\in \mathbb F_p^\times$, so ergibt sich durch Substitution von $ab$ f"ur $a$ die zweite Gleichung der Kette $$ \al^{2} = \sum_{a,b \in \Bbb{F}_{p}^{\times}} \left(\frac{ab}{p}\right)%\chi (ab) \zeta^{a+b} = \sum_{a \in \Bbb{F}^{\times}_{p}} \left(\frac{a}{p}\right)%\chi (a) \sum_{b \in \Bbb{F}_{p}^{\times}} (\zeta^{a+1})^{b} $$ Bei $a = -1$ ergibt sich ganz rechts der Beitrag $(\frac{-1}{p}) (p-1)$. Bei $a \neq -1$ beachten wir, da"s f"ur $\eta= \zeta^{a+1}$ wie f"ur jede von Eins verschiedene $p$-te Einheitswurzel die Relation $$1+ \eta + \eta^{2} + \ldots +\eta^{p-1} = 0$$ erf"ullt ist, so da"s die Summanden mit $a \neq -1$ jeweils den Beitrag $-(\frac{a}{p})%\chi (a) $ liefern. Da nun die Summe der $(\frac{a}{p}) $ "uber alle $a \in \Bbb{F}^{\times}_{p}$ verschwindet, und erst daf"ur brauchen wir $p\neq 2$, liefern alle Summanden mit $a \neq -1$ zusammen den Beitrag $(\frac{-1}{p}) $ und mit \ref{LeSS} folgern wir $$\textstyle \al^{2} = (\frac{-1}{p}) (p-1) + (\frac{-1}{p})=(\frac{-1}{p})p= (-1)^{\frac{p-1}{2}}p\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkunge} Im "ubrigen folgt im vorhergehenden Beweis $\alpha^2\in \DZ$ auch ohne alle Rechnung aus der Identit"at $\DQ\cap\DZ[\zeta]=\DZ$. Um sie einzusehen, bemerkt man, da"s $\DZ[\zeta]$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist, der Schnitt ist mithin nach \eref{ee}{LA2} auch eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Andererseits aber ist er auch ein Teilring von $\DQ$, und diese beiden Eigenschaften zusammen zeigen nach "Ubung \ref{ZEQ} bereits, da"s unser Schnitt $\DZ$ sein mu"s. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis des quadratischen Reziprozit"atsgesetzes] Sei wie zuvor $p$ eine ungerade Primzahl. Wir betrachten die eindeutige quadratische Teilerweiterung unseres $p$-ten Kreisteilungsk"orpers, die wir in \ref{QaK} bestimmt hatten zu $\DQ(\zeta)\supset \DQ(\alpha)\supset\DQ$ mit $\alpha^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p$. Die Teilringe $$\DZ[\zeta]\supset \DZ[\alpha]\supset\DZ$$ sind offensichtlich stabil unter der Galoisgruppe $\op{Gal}(\DQ(\zeta)/\DQ)$ und $\DZ[\zeta]$ ist eine endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe. Jede Primzahl $q\neq p$ liefert unter $\DZ\backslash p\DZ\sra \mathbb F_p^\times \sira \op{Gal}(\DQ(\zeta)/\DQ)$ ein Element $\sigma_q$ der Galoisgruppe mit $\sigma_q(\zeta)=\zeta^q$. Sicher ist $$R\pdef \DZ[\zeta]/q\DZ[\zeta]$$ nicht der Nullring und der von diesem Element $\sigma_q$ auf $R$ induzierte Ringautomorphismus $\sigma_q:R\ra R$ ist der Frobenius $r\mapsto r^q$ zur Primzahl $q$, die in diesem Fall die Charakteristik unseres Rings ist, denn $\sigma_q$ stimmt auf $\zeta$ und $\mathbb F_q$ mit dem Frobenius "uberein und zusammen erzeugen diese Elemente unseren Ring. Das Bild von $\alpha$ in $R$ notieren wir $$\bar \alpha\in R$$ % und sehen $\sigma_q(\bar\alpha)=(\frac{q}{p})\bar\alpha$. Das Bild der offensichtlichen Einbettung $\mathbb F_q\hra R$ notieren wir kurz $\mathbb F_q\subset R$. Wir haben also $\bar \alpha^2= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \bar p$. Das Auswerten an $\bar\alpha$ induziert mithin einen surjektiven Ringhomomorphismus $\mathbb F_q[X]/\langle X^2-\bar\alpha^2\rangle\sra \mathbb F_q[\bar\alpha]\subset R$. Wir sind dann in genau einem der beiden folgenden F"alle: \begin{enumerate} \item $X^2-\bar\alpha^2$ ist nicht irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$ und $\bar\alpha^2= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \bar p$ ist ein Quadrat in $\mathbb F_q$ und es gibt, falls $q\neq 2$, nach dem chinesischen Restsatz einen surjektiven Ringhomomorphismus $\mathbb F_q\times\mathbb F_q\sra \mathbb F_q[\bar\alpha]$ und es gilt $\sigma_q(\bar\alpha)=\bar\alpha$; \item $X^2-\bar\alpha^2$ ist irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$ und $\bar\alpha^2= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \bar p$ ist kein Quadrat in $\mathbb F_q$ und $\mathbb F_q[\bar\alpha]$ ist eine quadratische K"orpererweiterung von $\mathbb F_q$ und es gilt $\sigma_q(\bar\alpha)=-\bar\alpha$. \end{enumerate} Nun haben wir $\bar \alpha^2= (-1)^{\frac{p-1}{2}} \bar p$ und zusammen mit unserer vergleichsweise banalen Erkenntnis $\sigma_q(\alpha)=(\frac{q}{p})\alpha$ und damit auch $\sigma_q(\bar\alpha)=(\frac{q}{p})\bar\alpha$ folgt unter der Annahme $q\neq 2$ unmittelbar $$\left(\frac{-1}{q}\right)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)$$ Zusammen mit unserer Erkenntnis $(\frac{-1}{q}) = (-1)^{\frac{q-1}{2}}$ aus \ref{LeSS} folgt das quadratische Reziprozit"atsgesetz. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Erg"anzungssatz}] F"ur jede ungerade Primzahl $p$ gilt\label{ErgS}\index{Erg"anzungssatz!zum Reziprozit"atsgesetz} $$\left( \frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}} = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{f"ur } p \equiv \pm 1 \pmod 8;\\ -1 & \text{f"ur } p \equiv \pm 3 \pmod 8. \end{array}\right. $$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir beginnen wie beim Beweis des Reziprozit"atsgesetzes und betrachten feiner $$\beta\pdef (\alpha - 1)/2=\sum_{a\in (\mathbb F_p^\times)^2}\zeta^a$$ Dann haben wir wieder $\DZ[\zeta]\supset \DZ[\beta]\supset \DZ$ und diese Teilringe sind stabil unter der Galoisgruppe $\op{Gal}(\DQ(\zeta)/\DQ)$ und f"ur alle zu $p$ teilerfremden ganzen Zahlen $q$ finden wir $$\sigma_q(\beta)=\left\{ \begin{array}{ll} \beta&\text{falls }(\frac{q}{p})=1;\\ \beta -\alpha&\text{falls }(\frac{q}{p})=-1. \end{array} \right.$$ Wie zuvor ist $R\pdef \DZ[\zeta]/q\DZ[\zeta]$ nicht der Nullring und der von diesem Element $\sigma_q$ auf $R$ induzierte Ringautomorphismus $\sigma_q:R\ra R$ ist im Fall einer Primzahl $q\neq p$ der Frobenius $r\mapsto r^q$. Das Bild der offensichtlichen Einbettung $\mathbb F_q\hra R$ notieren wir von nun an kurzerhand $\mathbb F_q\subset R$. Das Bild von $\beta$ in $R$ notieren wir $$\bar \beta\in R$$ Weiter finden wir $\beta^2=(\alpha^2 -2\alpha +1)/4$. Da wir stets $\alpha^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p=4u +1$ schreiben k"onnen mit $u\in\DZ$, ergibt sich $\beta^2=u-\beta$ und das Einsetzen von $\bar\beta$ f"ur $X$ induziert einen surjektiven Ringhomomorphismus $$\mathbb F_q[X]/\langle X^2+X-u\rangle\sra \mathbb F_q[\bar\beta]$$ Wir pr"ufen weiter, da"s unsere Polynome $X^2+X-u$ haben f"ur $q\neq p$ prim nie mehrfache Nullstellen haben. Im Fall $q=2$ hat die Ableitung "uberhaupt keine Nullstelle, im Fall $q\neq 2$ ist die einzige Nullstelle der Ableitung $-1/2$ und der Wert dort multipliziert mit $4$ ist $1-2-4u=-(4u+1)$ und das ist nicht Null wegen $q\neq p$. Weiter gilt auch $\bar\alpha\neq 0$ f"ur alle $q \neq p$ wegen $\bar\alpha^2=\pm \bar p\neq 0$. Wir sind also in genau einem der folgenden zwei F"alle: \begin{enumerate} \item Das Polynom $X^2+X-u$ ist reduzibel in $\mathbb F_q[X]$, es gibt einen surjektiven Ringhomomorphismus $\mathbb F_q\times \mathbb F_q\sra \mathbb F_q[\bar\beta]$, es gilt $\sigma_q(\bar\beta)= \bar\beta$ und damit gilt $\sigma_q(\beta)= \beta$ wegen $\bar\alpha\neq 0$; \item Das Polynom $X^2+X-u$ ist irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$ und es gilt $\sigma_q(\bar\beta)\neq \bar\beta$ und damit $\sigma_q(\beta)\neq \beta$. \end{enumerate} F"ur $q\neq 2$ fallen wir von hier aus auf die bereits beim Beweis des Reziprozit"atsgesetzes angestellten "Uberlegungen zur"uck. F"ur $q=2$ jedoch sind wir im ersten Fall f"ur $u$ gerade und im zweiten Fall f"ur $u$ ungerade und haben folglich $$(-1)^u=\left(\frac{2}{p}\right)$$ Die Parit"at von $u$ h"angt nun offensichtlich nur von der Restklasse von $p$ modulo $8$ ab und kurzes Durchprobieren zeigt, da"s wir so genau den Erg"anzungssatz erhalten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an unsere Untersuchungen zu Summen von zwei Quadraten \ref{eqP}. Dort war das Scharnier unserer Argumentation die Frage: \begin{quote} Ist $(X^2+1)$ irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$ f"ur eine vorgegebene Primzahl $q$? \end{quote} Die Antwort war, da"s das genau dann gilt, wenn $q\equiv 3\pmod{4}$. Beim Beweis des quadratischen Reziprozit"atsgesetzes hinwiederum waren das Scharnier unserer Argumentation die Fragen: \begin{quote} Ist $(X^2-p)$ irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$, f"ur eine Primzahl $p\equiv 1\pmod{4}$ und eine vorgegebene Primzahl $q$? \end{quote} \begin{quote} Ist $(X^2+p)$ irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$, f"ur eine Primzahl $p\equiv 3\pmod{4}$ und eine vorgegebene Primzahl $q$? \end{quote} Beide hatten f"ur $q\neq 2$ die Antwort \glqq Ja\grqq\ genau dann, wenn gilt $(\frac{q}{p})=-1$, wenn also $q$ kein Quadrat ist modulo $p$. Im Fall $q=2$ ist die Antwort dahingegen immer \glqq Ja\grqq, denn dort haben wir $(X^2-1)=(X^2+1)=(X+1)^2$, aber diese Antwort hat nichts mehr mit $(\frac{2}{p})$ zu tun. Wenn wir aber stattdessen fragen \begin{quote} Ist $(X^2+X-u)$ irreduzibel in $\mathbb F_q[X]$, f"ur eine ungerade Primzahl $p$ und $4u+1=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$ und eine vorgegebene Primzahl $q$? \end{quote} so ist die Antwort \glqq Ja\grqq genau dann, wenn gilt $(\frac{q}{p})=-1$, wenn also $q$ kein Quadrat ist modulo $p$, und das f"ur alle Primzahlen $q$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In der \glqq algebraischen Zahlentheorie\grqq\ werden gewisse Tricks der vorhergehenden Argumentation zu einer Theorie ausgebaut. Gegeben ein {\bf Zahlk"orper}\index{Zahlk"orper} alias eine endliche K"orpererweiterung $L/\DQ$ kann man ganz allgemein in $L$ einen ausgezeichneten Teilring konstruieren, der als abelsche Gruppe endlich erzeugt ist und der stabil ist unter der Galoisgruppe $G\pdef \op{Gal}(L/\DQ)$, n"amlich den sogenannten {\bf Ganzheitsring}\index{Ganzheitsring} oder {\bf Ganzzahlenring}\index{Ganzzahlenring} $$\mathfrak o_L\pdef\{ r\in L\mid r \text{ ist Nullstelle eines normierten Polynoms aus }\DZ[X]\}$$ Da"s diese Teilmenge $\mathfrak o_L\subset L$ in der Tat ein Teilring ist, zeigen wir in \eref{gAbk}{KAG}. In unserem Beispiel $\DQ(\zeta)\supset \DQ(\alpha)\supset \DQ$ sind die Ganzheitsringe gerade die Teilringe $\DZ[\zeta]\supset \DZ[\beta]\supset \DZ$, die wir beim Beweis des Erg"anzungssatzes haben vom Himmel fallen lassen. Ganz allgemein zeigt man dann, da"s f"ur $q$ eine Primzahl der Quotient $\mathfrak o_L/q\mathfrak o_L$ als $\mathbb F_q$-Vektorraum die Dimension $[L:\DQ]$ hat. Im Fall $[L:\DQ]=2$ mu"s es einen Isomorphismus $$\mathbb F_q[X]/\langle X^2+aX+b\rangle\sira \mathfrak o_L/q\mathfrak o_L$$ geben. Je nachdem, ob unser quadratisches Polynom irreduzibel ist, zwei verschiedene Nullstellen hat oder eine doppelte Nullstelle, ist die $\mathbb F_q$-Kringalgebra $\mathfrak o_L/q\mathfrak o_L$ isomorph zu $\mathbb F_{q^2}, \mathbb F_{q}\times \mathbb F_{q}$ oder $\mathbb F_{q}[T]/\langle T^2\rangle$. Das ist, was wir oben mit $\mathfrak o_L=\DZ[\beta]$ schemenhaft gesehen haben, ohne die Theorie voll zu entwickeln. \end{Bemerkungw} % \begin{proof}[Beweis des quadratischen Reziprozit"atsgesetzes, ALT] % Wir betrachten den $p$-ten Kreisteilungsk"orper $\DQ % (\sqrt[p]{1})$ und $\zeta\in \DQ % (\sqrt[p]{1})$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel und in $\DQ % (\sqrt[p]{1})$ % den Teilring $\DZ[\zeta]$ und darin das Element $$\al % \pdef\sum_{a \in % \mathbb F_p^\times} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a$$ % Nach \ref{alGA} haben wir $\alpha^2\in\DQ$. Wir haben sogar % $\alpha^2\in \DZ$ aufgrund der Identit"at % $\DQ\cap\DZ[\zeta]=\DZ$. In der Tat ist $\DZ[\zeta]$ eine endlich % erzeugte abelsche Gruppe, der Schnitt ist also nach \eref{ee}{LA2} auch eine % endlich erzeugte % abelsche Gruppe, andererseits aber auch ein Teilring von $\DQ$, und % diese beiden Eigenschaften zusammen zeigen nach "Ubung % \ref{ZEQ} bereits, da"s unser Schnitt % $\DZ$ sein mu"s. Diese Vor"uberlegungen sind jedoch % formal gesehen f"ur den Beweis unerheblich, vielmehr % machen wir hier eine explizite Rechnung % und behaupten sogar genauer die Formel % $$\al^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p$$ % In der Tat, % beachten wir % $(\frac{ab^2}{p})= (\frac{a}{p})$, so ergibt sich durch % Substitution von $ab$ f"ur $a$ die zweite Gleichung der Kette % $$ % \al^{2} = \sum_{a,b \in \Bbb{F}_{p}^{\times}} % \left(\frac{ab}{p}\right)%\chi (ab) % \zeta^{a+b} % = \sum_{a \in % \Bbb{F}^{\times}_{p}} \left(\frac{a}{p}\right)%\chi (a) % \sum_{b \in \Bbb{F}_{p}^{\times}} % (\zeta^{a+1})^{b} % $$ % Bei $a = -1$ ergibt sich ganz rechts % der Beitrag $(\frac{-1}{p}) (p-1)$. Bei $a \neq -1$ % beachten wir, da"s f"ur % $\eta= \zeta^{a+1}$ wie f"ur jede primitive $p$-te Einheitswurzel die Relation % $$1+ \eta + \eta^{2} + \ldots +\eta^{p-1} = % 0$$ % erf"ullt ist, so da"s die Summanden mit $a \neq -1$ jeweils den Beitrag % $-(\frac{a}{p})%\chi (a) % $ liefern. % Da nun die Summe der $(\frac{a}{p}) % $ "uber alle % $a \in \Bbb{F}^{\times}_{p}$ verschwindet, und erst % daf"ur brauchen wir $p\neq 2$, % liefern alle Summanden mit $a \neq -1$ zusammen den Beitrag % $(\frac{-1}{p}) % $ und mit \ref{LeSS} % folgern wir $$\al^{2} = \left(\frac{-1}{p}\right)p= % (-1)^{\frac{p-1}{2}}p$$ Ist $p$ eine ungerade Primzahl und % $\zeta$ eine primitive % $p$-te Einheitswurzel, so besitzt demnach $ (-1)^{\frac{p-1}{2}} p$ % die Quadratwurzel $\alpha=\sum_{a \in % \mathbb F_p^\times} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a$ in $ \DZ[\zeta]$. % Das quadratische Reziprozit"atsgesetz ergibt sich nun, % indem wir f"ur unsere zweite Primzahl $q$ den % K"orperhomomorphismus $\sigma_q:\DQ(\zeta)\ra \DQ(\zeta)$ mit % $\zeta\mapsto \zeta^q$ aus \ref{GKTv} oder alternativ \ref{GKT} betrachten % und das Vorzeichen, mit dem er auf $\alpha$ wirkt, % auf zwei Weisen berechnen. Ein Vergleich der % Resultate zeigt dann das Reziprozit"atsgesetz. % Einerseits erhalten wir durch Umsummieren % $$\sigma_q(\alpha)=\left(\frac{q}{p}\right)\alpha$$ % Andererseits erhalten f"ur beliebiges $\alpha=\sum c_{i} \zeta^{i}\in % \DZ[\zeta]\pdef R$ mit der Notation $\equiv$ f"ur die Gleichheit % im Restklassenring $R/qR$ unter Verwendung der Fermat'schen Kongruenz und des % Frobeniushomomorphismus % $$\sigma_q(\alpha)=\sigma_q\left(\sum c_{i} \zeta^{i}\right)=\sum c_{i} \zeta^{qi}\equiv % \sum c_{i}^q \zeta^{qi}\equiv\alpha^q\pmod{qR}$$ % Beide Formeln zusammen liefern f"ur unser spezielles $\alpha$ dann % $$\left(\frac{q}{p}\right)\alpha \equiv \alpha^q \pmod{qR}$$ % Unser Ring $R$ ist nun offensichtlich % eine endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe. Insbesondere % gilt f"ur unsere % Primzahl $q$ notwendig % $qR\neq R$ und damit $1\not\in qR$ und % damit $qR\cap \DZ=q \DZ$. % Da $\alpha^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p$ und damit auch $\alpha$ invertierbar sind % in $R/qR$, folgt % $$\left(\frac{q}{p}\right) \equiv (\alpha^2)^{\frac{q-1}{2}} % \equiv p^{\frac{q-1}{2}} (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} % \equiv \left(\frac{p}{q}\right) (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} \pmod{qR}$$ % mit \ref{LeSS} im letzten Schritt. % Hier sind jedoch beide Seiten ganze Zahlen, also % gilt diese Kongruenz auch modulo $q % \DZ$. Am Anfang und am Ende dieser Kette von % Kongruenzen stehen weiter nur die Zahlen $\pm1$ zur Auswahl, % folglich gilt dort sogar Gleichheit. % Auch wenn wir den Ausdruck $\frac{q-1}{2}$ bis hierher h"atten vermeiden % k"onnen, w"aren wir im Fall $q=2$ mit unserer Argumentation an dieser Stelle % gescheitert. % Man "uberzeugt sich nun % m"uhelos anhand der % Definitionen, da"s obige Gleichheit gerade % bedeutet, was wir in Worten als quadratisches Reziprozit"atsgesetz % formuliert hatten. % \end{proof} % \begin{Proposition}[\textbf{Erg"anzungssatz, ALT}] % F"ur jede ungerade Primzahl $q$ % gilt\label{ErgS}\index{Erg"anzungssatz!zum Reziprozit"atsgesetz} % $$\left( \frac{2}{q}\right) = (-1)^{\frac{q^{2}-1}{8}} = \left\{ % \begin{array}{rl} % 1 & \text{f"ur } q \equiv \pm 1 \pmod 8;\\ % -1 & \text{f"ur } q \equiv \pm 3 \pmod 8. % \end{array}\right. % $$ % \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % Im Fall der Primzahl $p=2$ geht die obige Argumentation % ziemlich daneben. Adjungieren wir zu $\DQ$ eine primitive % zweite Einheitswurzel, so bleiben wir bei $\DQ$. Adjungieren wir % eine primitive % vierte Einheitswurzel, so erhalten wir die quadratische Erwiterung % $\DQ(\op{i})$ und jede ungerade Primzahl liefert das nichttriviale % Element ihrer Galoisgruppe. Adjungieren wir % eine primitive % achte Einheitswurzel $\zeta= \exp (\pi % {\op{i}}/4)$, so ergibt sich als Galoisgruppe % $(\DZ/8\DZ)^\times\cong \mathbb F_2^2$ die nicht-zyklische Gruppe der % Ordnung $4$ und $\DQ(\sqrt[8]{1})/\DQ$ erweist sich als eine biquadratische % Erweiterung. Die drei quadratischen Teilerweiterungen werden erzeugt von % $\op{i}$, $\sqrt{2}=\zeta+\zeta^{-1}$ und ${\op{i}}\sqrt{2}$. Der Trick ist % diesmal, auf zwei Weisen zu berechnen, durch welches Vorzeichen $\sigma_q$ % f"ur eine ungerade Primzahl $q$ auf $\sqrt{2}$ % oder alternativ auf ${\op{i}}\sqrt{2}$ operiert. Wir w"ahlen der Einfachkeit % halber die erste Alternative. Ein Vergleich dieser beiden % Vorzeichen liefert dann unseren Erg"anzungssatz. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof}[Beweis] % Wir betrachten die primitive achte Einheitswurzel $\zeta = \exp (\pi % {\op{i}}/4)$. % Wir pr"ufen $\zeta + \zeta^{-1} = \sqrt{2}$. % Bezeichne $\sigma_q$ das Element der Galoisgruppe $\op{Gal}(\DQ(\zeta)/\DQ)$ % % mit $\zeta\mapsto \zeta^q$. % Sei $\varepsilon_{q}$ das Vorzeichen mit $\sigma_{q}(\sqrt{2}) = % \varepsilon_{q}\sqrt{2}$. % Wir rechnen im Ring $R \pdef \DZ [\zeta]$ und erhalten % $$\varepsilon_{q} \sqrt{2}=\sigma_{q}(\sqrt{2})= \zeta^{q}+\zeta^{-q} % \equiv % (\zeta + \zeta^{-1})^{q} \equiv (\sqrt{2})^{q} \pmod {qR} $$ % Es folgt $\varepsilon_{q}\equiv (\sqrt{2})^{q-1} \equiv 2^{\frac{q-1}{2}} % \pmod q $ und damit $\varepsilon_{q} = (\frac{2}{q})$. % F"ur das Vorzeichen $\varepsilon_{q}$ pr"uft man andererseits % anhand der Formel $\varepsilon_{q} (\zeta+\zeta^{-1})= \zeta^{q}+\zeta^{-q}$ % leicht explizit, % da"s es durch die im Erg"anzungssatz behauptete Formel % gegeben wird. % \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $n\mapsto (-1)^{\frac{n-1}{2}}$ von der Menge der ungeraden ganzen Zahlen in das Monoid der Vorzeichen ist die Verkn"upfung der Restklassenabbildung mit dem einzigen Gruppenisomorphismus $$2\DZ+1 \ra (\DZ/4\DZ)^\times\sira \DZ^\times$$ Insbesondere ist sie multiplikativ alias ein Monoidhomomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $n\mapsto (-1)^{\frac{n^2-1}{8}}$ von der Menge der ungeraden ganzen Zahlen in das Monoid der Vorzeichen ist die Verkn"upfung der Restklassenabbildung mit einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $$2\DZ+1 \ra (\DZ/8\DZ)^\times\sra \DZ^\times$$ Insbesondere ist sie multiplikativ alias ein Monoidhomomorphismus. In diesem Fall beachte man, da"s es sogar vier Gruppenhomomorphismen $ (\DZ/8\DZ)^\times\ra \DZ^\times$ alias $\mathbb F_2^2\ra\mathbb F_2$ gibt, von denen drei surjektiv sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{JacSy} Will man Legendre-Symbole tats"achlich ausrechnen, so erweist sich deren Erweiterung zu den sogenannten {\bf Jacobi-Symbolen}\index{Jacobi-Symbol} als praktisch. Man definiert genauer f"ur $a\in\DZ$ beliebig und $n\in\DN_{\geq 1}$ mit Primfaktorzerlegung $n=p_1p_2\ldots p_r$ das Jacobi-Symbol als Produkt von Legendre-Symbolen \index{)5)@$(\frac{a}{n})$ Jacobi-Symbol} $$\left( \frac{a}{n}\right) \pdef\left( \frac{a}{p_1}\right) \left( \frac{a}{p_2}\right)\cdots \left( \frac{a}{p_r}\right)$$ Aus den entsprechenden Eigenschaften des Legendre-Symbols folgt, da"s auch das Jacobi-Symbol nur von der Restklasse von $a$ modulo $n$ abh"angt und da"s gilt $$\left( \frac{ab}{n}\right) =\left( \frac{a}{n}\right) \left( \frac{b}{n}\right)\quad \text{und f"ur $n$ ungerade}\quad \left( \frac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}.$$ Schlie"slich folgt aus dem quadratischen Reziprozit"atsgesetz \ref{QuR}, da"s allgemeiner f"ur je zwei ungerade Zahlen $m,n\geq 1$ das {\bf Reziprozit"atsgesetz f"ur Jacobi-Symbole} \index{Reziprozit"atsgesetz!f"ur Jacobi-Symbole} \begin{equation*} \left( \frac{m}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2} \frac{m-1}{2}} \left(\frac{n}{m}\right) \end{equation*} gilt, denn auch die Vorzeichen sind multiplikativ in ungeraden $m$ und $n$, wie man durch Fallunterscheidung pr"uft. F"ur jede ungerade Zahl $n\geq 1$ folgt schlie"slich aus dem Erg"anzungssatz \ref{ErgS} m"uhelos der {\bf Erg"anzungssatz f"ur Jacobi-Symbole} \index{Erg"anzungssatz!f"ur Jacobi-Symbole} $$\left( \frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}} = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{f"ur } n \equiv \pm 1 \pmod 8;\\ -1 & \text{f"ur } n \equiv \pm 3 \pmod 8. \end{array}\right. $$ F"ur die Primzahlen $1231$ und $1549$ finden wir so etwa $$ \begin{array}{l} \left( \frac{1231}{1549}\right)= \left( \frac{1549}{1231}\right)=\left( \frac{318}{1231}\right)= \left( \frac{2}{1231}\right)\left( \frac{159}{1231}\right)= \left( \frac{159}{1231}\right)= -\left( \frac{1231}{159}\right)= -\left( \frac{118}{159}\right)=\\[2mm]= -\left( \frac{2}{159}\right)\left( \frac{59}{159}\right)= -\left( \frac{59}{159}\right)=-\left( \frac{159}{59}\right) =-\left( \frac{41}{59}\right)=-\left( \frac{59}{41}\right)= -\left( \frac{18}{41}\right)=\\[2mm]=-\left( \frac{2}{41}\right) \left( \frac{9}{41}\right)=-\left( \frac{9}{41}\right)= -\left( \frac{41}{9}\right)=-\left( \frac{5}{9}\right) =-\left( \frac{9}{5}\right)=-\left( \frac{4}{5}\right)= -\left( \frac{2}{5}\right)^2=-1 \end{array} $$ mit unserem Reziprozit"atsgesetz und Erg"anzungssatz f"ur Jacobi-Symbole. Die Zahl $1231$ ist demnach kein quadratischer Rest modulo $1549$. Alternativ h"atten wir auch den Rest von $1231^{1548/2}=1231^{774}$ modulo $1548$ ausrechnen k"onnen. Das dauert so lange auch wieder nicht, da wir zur Beschleunigung der Rechnung $774$ in eine Summe von Zweierpotenzen entwickeln k"onnen als $774=512+256+4+2$, und dann m"ussen wir nur noch neun Quadrate in $\DZ/1549\DZ$ berechnen und vier dieser Quadrate in $\DZ/1549\DZ$ multiplizieren. Ganz so schnell wie obige Rechnung geht das dann aber doch nicht. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{KQG} Sei $a\in\DZ$ fest vorgegeben. Man zeige: Ob $a$ ein Quadrat ist modulo einer Primzahl $q$ h"angt nur von der Restklasse von $q$ modulo $4a$ ab. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Im Fall $a=-1$ kennen wir das das Resultat der vorhergehenden "Ubung \ref{KQG} im "Ubrigen bereits aus \ref{eqP}. In der Sprache der algebraischen Zahlentheorie ist das eine starke Aussage "uber die Beziehungen zwischen dem \glqq Verzweigungsverhalten der Erweiterung $\DQ(\sqrt{a})/\DQ$ an verschiedenen Primstellen\grqq. Unser Beweis des Reziprozit"atsgesetzes, das erst mal den Fall $a$ prim liefert, geht aus vom explizit bekannten Verzweigungsverhalten bei Kreisteilungserweiterungen und folgert das Resultat daraus durch eine Art Galois-Abstieg. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Ein ber"uhmter {\bf Satz von Kronecker-Weber}\index{Kronecker-Weber, Satz von} besagt, da"s jede endliche Galoiserweiterung des K"orpers $\DQ$ der rationalen Zahlen mit abelscher Galoisgruppe als Unterk"orper eines Kreisteilungsk"orpers realisiert werden kann. Man zeige das f"ur alle quadratischen Erweiterungen von $\DQ$. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Man mag den Satz von Kronecker-Weber interpretieren als eine explizite Beschreibung der \glqq maximalen abelschen Erweiterung\grqq\ von $\DQ:$ Sie entsteht durch die Adjunktion aller Einheitswurzeln. {\bf Hilbert's zw"olftes Problem}\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 12} fragt nach einer "ahnlich expliziten Beschreibung der \glqq maximalen abelschen Erweiterung\grqq\ eines beliebigen Zahlk"orpers, als da hei"st, eines beliebigen K"orpers der Charakteristik Null von endlichem Grad "uber $\DQ$. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Ist $283$ ein quadratischer Rest modulo $397$? Hinweis: $397$ ist eine Primzahl. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gibt es eine Quadratzahl, deren Darstellung im Dezimalsystem mit der Ziffernfolge $39$ endet? F"ur welche Ziffern $a,b\in \{0,1,\ldots,9\}$ gibt es eine Quadratzahl, die mit der Ziffernfolge $ab$ endet? \end{Ubung} \subsection{Radikalerweiterungen}\label{RadE} \begin{Definition} Eine Galoiserweiterung mit zyklischer Galoisgruppe hei"st eine {\bf zyklische Erweiterung}.\index{zyklisch!K"orpererweiterung} \index{K"orpererweiterung!zyklische} Eine Galoiserweiterung mit abelscher Galoisgruppe hei"st eine {\bf abelsche Erweiterung}.\index{abelsch!K"orpererweiterung} \index{K"orpererweiterung!abelsche} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Zerf"allt das Polynom $X^n-1$ in einem K"orper vollst"andig in Linearfaktoren, so sagen wir, der besagte K"orper\label{eanE} \defnoind{enthalte alle $n$-ten Einheitswurzeln}. Wir sagen, eine K"orpererweiterung $L/K$ {\bf entstehe durch Adjunk\-tion einer $n$-ten Wurzel}, wenn gilt $L=K (\al)$ f"ur ein $\al \in L$ mit $\al^{n}\in K$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Zyklische Erweiterungen}]\label{ZEW} Seien $K$ ein K"orper und $n\geq 1$ eine nat"urliche Zahl derart, da"s unser K"orper alle $n$-ten Einheitswurzeln enth"alt und da"s seine Charakteristik $n$ nicht teilt. So gilt: \begin{enumerate} \item Alle zyklischen Erweiterungen von $K$ vom Grad $n$ entstehen durch die Adjunktion einer $n$-ten Wurzel; \item Adjungieren wir zu $K$ eine $n$-te Wurzel, so erhalten wir eine zyklische Erweiterung, deren Grad $n$ teilt. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZyk} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauung f"ur die durch Adjunktion einer dritten Wurzel aus $T$ entstehenden K"orpererweiterung des Funktionenk"orpers $\DC(T)$. In \ref{BIGAnn} wird erkl"art, wie dies Bild zu interpretieren ist. Ich finde, man sieht in diesem Fall auch recht anschaulich, da"s die Galoisgruppe zyklisch von der Ordnung drei sein mu"s. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{DZEW} Der Beweis des ersten Teils beschreibt die Elemente sogar genauer, deren $n$-te Potenz im Grundk"orper liegt und die unsere Erweiterung erzeugen: Es handelt sich genau um die Eigenvektoren eines beliebigen Erzeugers der Galoisgruppe mit einer primitiven $n$-ten Einheitswurzel als Eigenwert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung wissen wir das schon l"anger. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion von Einheitswurzeln und anderen Wurzeln im Vergleich}] Man beachte den fundamentalen Unterschied zwischen der Erweiterung eines K"orpers durch $n$-te Einheitswurzeln und der Erweiterung eines K"orpers mit $n$-ten Einheitswurzeln durch weitere $n$-te Wurzeln: Setzen wir der Einfachkeit halber Charakteristik Null voraus, so ist im ersten Fall nach \ref{GKT} und \ref{TS} die Ordnung der Galois-Gruppe ein Teiler von $\varphi(n)=|(\DZ/n\DZ)^\times|$ und im zweiten Fall ein Teiler von $n$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 2. Bezeichne $\mu_n\subset K^\times$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln. Unter unsere Annahme an die Charakteristik sind sie paarweise verschieden, denn die Null ist dann die einzige Nullstelle der Ableitung von $X^n-1$. Entsteht $L=K(\al)$ durch Adjunktion einer $n$-ten Wurzel aus $a=\al^n\in K$, so sind die Wurzeln des Polynoms $X^n-a$ genau alle $\zeta \al$ mit $\zeta$ den $n$-ten Einheitswurzeln und unsere Erweiterung ist folglich Galois. Weiter erhalten wir eine Injektion der Galoisgruppe in die Gruppe $\mu_n$ der $n$-ten Einheitswurzeln, indem wir jedem $\sigma\in\op{Gal}(L/K)$ diejenige Einheitswurzel $\zeta$ zuordnen mit $\sigma(\al)=\zeta\al$, also die Einheitswurzel $\sigma(\al)/\al$. An dieser Stelle verwenden wir, da"s nicht nur $L$ sondern sogar unser Grundk"orper $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enth"alt, um n"amlich zu zeigen, da"s $\sigma\mapsto \sigma(\al)/\al$ ein Gruppenhomomorphismus $\op{Gal}(L/K)\ra \mu_n$ ist. Da nach \eref{MZ}{LA2} jede endliche Gruppe von Einheitswurzeln zyklisch ist und da auch jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch ist, liefert die Adjunktion $n$-ter Wurzeln in der Tat zyklische Erweiterungen. Da"s deren Ordnung $n$ teilt, folgt aus dem injektiven Gruppenhomomorphismus $\op{Gal}(L/K)\hra \mu_n$. \\[2mm]\noindent 1. Sei umgekehrt $L/K$ eine zyklische Erweiterung vom Grad $n$. Sei $\sigma\neq\op{id}$ ein Erzeuger der Galoisgruppe $\langle\sigma\rangle= \op{Gal}(L/K)$. Wir fassen $\sigma$ auf als eine $K$-lineare Abbildung $\sigma:L \ra L$. Nach Voraussetzung gilt $\sigma^{n} = \op{id}$. Da $X^n-1$ in $K[X]$ vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt und paarweise verschiedene Nullstellen hat, ist $\sigma$ nach der im Anschlu"s bewiesenen Proposition \ref{EWVNnA} diagonalisierbar und seine Eigenwerte sind $n$-te Einheitswurzeln. Da aus $\sigma(\al)=\zeta \al$ und $\sigma(\beta)=\xi \beta $ f"ur $n$-te Einheitswurzeln $\zeta$ und $\xi$ folgt $\sigma(\al\beta)=\zeta\xi \al\beta$, bilden die Eigenwerte von $\sigma$ sogar eine Untergruppe $U\subset \mu_n$. Enthielte diese Untergruppe nicht alle $n$-ten Einheitswurzeln, so g"abe es einen Teiler $d$ von $n$ mit $d\neq n$ derart, da"s $\sigma^d$ als einzigen Eigenwert die $1$ h"atte. Dann m"u"ste aber $\sigma^d$ aufgrund seiner Diagonalisierbarkeit bereits selbst die Identit"at sein im Widerspruch zu unseren Annahmen. Also besteht $U$ aus allen $n$-ten Einheitswurzeln und es gibt ein von Null verschiedenes $\al \in L^\times$ mit $\sigma (\al) = \zeta \al$ f"ur $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Wir haben dann notwendig $\sigma(\al^{n}) = \al^{n}$, also $\al^{n} \in L^\sigma=L^{\langle \sigma\rangle}=L^{\op{Gal}}=K$, aber die Potenzen $\al,\al^2,\ldots ,\al^n$ sind linear unabh"angig "uber $K$ als Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von $\sigma$. Es folgt $[K(\al):K]=n$ und damit $L = K (\al)$. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $f$ ein Endomorphismus eines Vektorraums $V$ "uber einem K"orper $K$ und $P\in K[X]$ ein Produkt von paarweise verschiedenen Linearfaktoren $(X-\lambda_i)$, das $f$ annulliert, in Formeln $P(f)=0$. So ist $f$ diagonalisierbar und seine Eigenwerte sind Nullstellen von $P$.\label{EWVNnA} \end{Proposition} \begin{proof} Man w"ahle einen Vektor $v\in V$ und suche dazu einen normierten Teiler $Q=(X-\lambda_1)\ldots(X-\lambda_r)$ von $P$ kleinstm"oglichen Grades $r$ mit $Q(f):v\mapsto 0$. Dann ist $$E\pdef\langle v, f(v), f^2(v),\ldots f^{r-1}(v)\rangle$$ ein unter $f$ stabiler Untervektorraum von $V$. Andererseits ist $(f-\lambda_2)\ldots(f-\lambda_r)v$ nach Annahme nicht Null und folglich ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda_1$ in $E$. In derselben Weise finden wir auch Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\lambda_2,\ldots,\lambda_r$. Da Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten linear unabh"angig sind nach \eref{ewlu}{LA1}, ist damit $f|_E$ diagonalisierbar und $v$ eine Summe von Eigenvektoren von $f$. Die Proposition folgt. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wenn man bereits wei"s, da"s ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums genau dann diagonalisierbar ist, wenn sein Minimalpolynom vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt und keine mehrfachen Nullstellen hat, so bleibt im Fall eines endlichdimensionalen Raums nichts zu zeigen. Der Fall eines unendlichdimensionalen Raums ist f"ur uns aber eh nicht relevant, und man kann sich von dort auch unschwer auf den Fall eines endlichdimensionalen Raums zur"uckziehen. \end{proof} \begin{proof}[Dritter Beweis] Der chinesische Restsatz liefert einen Ringisomorphismus $$K[X]/\langle P\rangle\sira K[X]/\langle X-\lambda_1\rangle \times\ldots\times K[X]/\langle X-\lambda_n\rangle$$ f"ur $\lambda_i$ die Nullstellen von $P$. Ist $1=e_1+\ldots+e_n$ die zugeh"orige Zerlegung der Eins in die Einselemente der Faktoren und vereinbaren wir f"ur jeden Vektor $v\in V$ und $Q\in K[X]/\langle P\rangle$ die Notation $Qv= (Q(f))(v)$, so wird $v=e_1v+\ldots+e_nv$ eine Zerlegung mit $e_iv\in\op{Eig}(f;\lambda_i)$. \end{proof} \begin{Korollar}[\defnoind{Galoiserweiterungen von Primzahlgrad}] Seien $p$ eine Primzahl und $K$ ein K"orper einer\label{APW} Charakteristik $\op{char} K \neq p$, der alle $p$-ten Einheitswurzeln enth"alt. Genau dann ist eine echte Erweiterung unseres K"orpers Galois vom Grad $p$, wenn sie durch Adjunktion einer $p$-ten Wurzel entsteht. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Eine Galoiserweiterung von Primzahlgrad ist zyklisch, denn jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch. Aus der Beschreibung zyklischer Erweiterungen \ref{ZEW} folgt so, da"s unsere Erweiterung durch Adjunktion einer $p$-ten Wurzel entsteht. Adjungieren wir umgekehrt eine $p$-Wurzel zu $K$, so erhalten wir immer noch nach \ref{ZEW} eine zyklische Erweiterung, deren Grad ein Teiler von $p$ ist, mithin eins oder $p$. Ist unsere Erweiterung eine echte Erweiterung, so mu"s ihr Grad mithin $p$ sein. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben in einem K"orper $\Omega$ zwei Teilk"orper $K, L\subset \Omega$ bezeichnet $(KL)\subset \Omega$ den von $K$ und $L$ in $\Omega$ erzeugten Teilk"orper. Man nennt diesen K"orper das {\bf Kompositum\index{Kompositum} von $K$ und $L$ in $\Omega$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] F"ur das Kompositum ist die abk"urzende Notation $(KL)=KL$ "ublich. Ich verwende etwas pedantisch die Notation $(KL)$, da ja $KL$ in unseren Konventionen \eref{Verk}{GR} a priori nur die Menge aller Produkte bedeutet und man oft runde Klammern als Symbol f"ur die \glqq Erzeugung als K"orper\grqq\ verwendet. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Translationssatz der Galoistheorie}] Seien\index{Translationssatz der Galoistheorie!endlicher Fall} in einem K"orper $\Omega$ zwei Teilk"orper $K,L\subset\Omega$ gegeben.\label{TS} Ist $K/(K\cap L)$ eine endliche Galois\-er\-wei\-te\-rung, so ist auch $(KL) / L$ eine endliche Galoiserweiterung und die Restriktion liefert einen Isomorphismus von Galoisgruppen $$\op{Gal} ((KL) /L)\sira \op{Gal} (K/K\cap L)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Graphisch dargestellt gehen wir also davon aus, da"s im Diagramm $$\xymatrix{&\Omega&\\ &(KL)\ar@{-}[u]&\\ K\ar@{-}[ur]&&L\ar@{--}[ul]\\ &K\cap L\ar@{-}[ur]\ar@{--}[ul]& }$$ die untere gestrichelte Linie eine endliche Galoiserweiterung ist, und folgern dasselbe f"ur die obere gestrichelte Linie und zeigen sogar, da"s die Galoisgruppen "ubereinstimmen. Eine Darstellung dieser Art k"onnte auch die Bezeichnung als \glqq Translationssatz\grqq\ motiviert haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Insbesondere gilt dieser Situation $[K : K \cap L] =[(KL) : L]$. Ohne die Galois-Bedingung gilt das im Allgemeinen nicht. Als Gegenbeispiel betrachte man in $\Omega\pdef\DC$ die von zwei verschiedenen dritten Wurzeln aus $2$ "uber $\DQ$ erzeugten Teilk"orper $L$ und $K$. Da jeder von ihnen nur zwei Teilk"orper hat, mu"s hier gelten $K\cap L=\DQ$. Ihr Kompositum $(KL)$ hat Grad $6$ "uber $\DQ$ und damit Grad $2$ "uber $K$ und "uber $L$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der obige Translationssatz gilt auch ohne die Annahme, unsere Erweiterung sei endlich. Sogar wenn wir nur $ K \supset(K\cap L)$ normal annehmen, folgt bereits $(KL) \supset L$ normal und die Restriktion liefert einen Isomorphismus von Galoisgruppen. Wir zeigen das in \ref{TSs}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Mit $K/K\cap L$ ist auch $(KL)/L$ erzeugt von endlich vielen separablen Elementen beziehungsweise ein Zer\-f"al\-lungsk"orper. Also ist $(KL)/L$ Galois und $L$ ist nach \ref{CG} der Fixk"orper der Galoisgruppe $G=\op{Gal}((KL)/L)$, in Formeln $L=(KL)^G$. Da $K$ normal ist "uber $K\cap L$, stabilisieren alle K"orperautomorphismen von $(KL)$ "uber $L$ den Unterk"orper $K$. Die folglich durch Restriktion gegebene Abbildung zwischen den Galoisgruppen ist nun offensichtlich eine Injektion $$\rho:\op{Gal}((KL)/L)\hra \op{Gal}(K/K\cap L)$$ Der Fixk"orper des Bildes von $\rho$ ist aber genau $K^{\rho(G)}=K \cap L$. Das zeigt mit unserem Satz \ref{ZH} "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen $\rho(G)=\op{Gal}(K/K\cap L)$ und so auch die Surjektivit"at der Restriktionsabbildung $\rho$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{TRGG} Sind in einem K"orper $\Omega$ Teilk"orper $T\supset S$ sowie $M$ gegeben und ist $T\supset S$ endlich und Galois, so ist auch $(TM)\supset (SM)$ endlich und Galois und die Restriktion liefert eine Inklusion von Galoisgruppen $$\op{Gal}((TM)/(SM))\hra \op{Gal}(T/S)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Der Fall $T=M$ zeigt, da"s wir hier im allgemeinen keine Gleichheit von Galoisgruppen erwarten d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden den Translationssatz an auf $K\pdef T$ und $L\pdef (SM)$. Mit $T\supset S$ ist ja erst recht $T\supset ( (SM)\cap T)$ Galois, etwa nach der Ga\-lois\-kor\-res\-pon\-denz. Also ist nach dem Translationssatz \ref{TS} auch die K"orpererweiterung $(TM)=(T(SM))\supset (SM)$ Galois und letztere beiden Erweiterungen haben nach dem Translationssatz dieselbe Galoisgruppe. Graphisch dargestellt gehen wir also davon aus, da"s im Diagramm $$\xymatrix{&\Omega&\\ &(TM)\ar@{-}[u]&\\ T\ar@{-}[ur]&& (SM)\ar@{--}[ul]\\ &T\cap (SM)\ar@{-}[ur]\ar@{--}[ul]&\\ &S\ar@{--}[u]& }$$ die Hinternanderschaltung der unteren mit der mittleren gestrichelten Linie eine endliche Galoiserweiterung ist. Dann folgern wir dasselbe erst f"ur die mittlere gestrichelte Line und mit dem Translationssatz schlie"slich auch f"ur die obere gestrichelte Linie. \end{proof} \begin{Definition} Sei $R/K$ eine K"orpererweiterung. Wir nennen $R$ eine {\bf Ra\-di\-kal\-er\-wei\-te\-rung\index{Radikalerweiterung!eines K"orpers} von $K$}, wenn es eine K"orperkette $$R=R_{l} \supset \ldots \supset R_{1}\supset R_0 = K$$ gibt derart, da"s der n"achstgr"o"sere K"orper jeweils entsteht durch Adjunktion einer nicht notwendig quadratischen Wurzel, da"s es also in Formeln jeweils $\al_i\in R_i$ und $n_i\geq 2$ gibt derart, da"s gilt $\al_{i}^{n_{i}} \in R_{i-1}$ und $R_{i}=R_{i-1} (\al_{i})$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Wort \glqq Radikal\grqq\ ist der lateinische Ausdruck f"ur \glqq Wurzel\grqq. Unsere Radikalerweiterungen w"urde man also auf Deutsch bezeichnen als \glqq Erweiterungen, die durch sukzessives Wurzelziehen entstehen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $M/K$ eine K"orpererweiterung. Wir sagen, ein Element $\al \in M$ l"a"st sich \defnoind{darstellen durch Radikale "uber $K$}\index{Darstellung durch Radikale}, wenn sich die Erweiterung $K(\al)/K$ zu einer eine Radikalerweiterung $R/K$ von $K$ vergr"o"sern l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die folgende reelle Zahl l"a"st sich darstellen durch Radikale "uber dem K"orper $\DQ$ der rationalen Zahlen: $$\frac{\sqrt[7]{\sqrt[5]{6}+3}+13}{\sqrt[2]{3}+8}- \sqrt[17]{19876}\;+\op{sin}(\pi/7)$$ \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $K$ ein K"orper und $P \in K [X]\backslash 0$ ein von Null verschiedenes Polynom. Wir sagen, die Gleichung $P(X)=0$ l"a"st sich \defnoind{aufl"osen durch Radikale}, wenn sich alle Nullstellen des Polynoms $P$ in seinem Zerf"allungsk"orper $\op{Z}(P,K)$ durch Radikale "uber $K$ darstellen lassen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist unser Polynom irreduzibel, so l"a"st es sich offensichtlich genau dann aufl"osen durch Radikale, wenn sich eine seiner Nullstellen durch Radikale "uber $K$ darstellen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Gruppe $G$ hei"st\label{AuF} {\bf aufl"osbar}\index{aufl"osbar!Gruppe}, wenn es eine Folge von Untergruppen $1 = G_{r} \subset \ldots \subset G_{1} \subset G_{0} =G$ gibt mit $G_{i}$ normal in $G_{i-1}$ und $G_{i-1}/G_{i}$ abelsch f"ur $1 \leq i \leq r$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine endliche aufl"osbare Gruppe, so gibt es offensichtlich auch eine Folge wie in der Definition mit $G_{i-1}/G_{i}$ nicht nur abelsch, sondern sogar zyklisch von Primzahlordnung. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Radikalerweiterungen und Galoiserweiterungen}] Gegeben ein K"orper $K$ der Charakteristik $\op{char} K =0$ gilt:\label{FEWW} \begin{enumerate} \item Jede endliche Galoiserweiterung von $L/K$ mit aufl"osbarer Galoisgruppe l"a"st sich zu einer Radikalerweiterung $R/K$ vergr"o"sern; \item Jede Radikalerweiterung $R/K$ l"a"st sich zu einer endlichen Galoiserweiterung $L/K$ mit aufl"osbarer Galoisgruppe vergr"o"sern. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] % Nun, es gilt zu zeigen, da"s sich jede % Radikalerweiterung einbetten l"a"st in eine endliche % Galoiserweiterung % mit aufl"osbarer Galoisgruppe und umgekehrt, da"s % sich jede endliche % Galoiserweiterung % mit aufl"osbarer Galoisgruppe % einbetten l"a"st in eine Radikalerweiterung. % Wir beginnen mit letzterem. % \\[2mm]\noindent 1. Sei $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung mit aufl"osbarer Galoisgruppe $G = \op{Gal} (L/K)$. So gibt es eine Folge von Untergruppen $$1 = G_{r} \subset \ldots \subset G_{1} \subset G_{0} =G$$ mit $G_{i}$ normal in $G_{i-1}$ und $G_{i-1}/G_{i}$ zyklisch von Primzahlordnung f"ur $1 \leq i \leq r$. Die zugeh"orige Kette von Fixk"orpern ist eine Kette von Galoiserweiterungen von Primzahlgrad $$L=K_{r} \supset \ldots \supset K_{1}\supset K_0 = K$$ Adjungieren wir eine primitive $|G|$-te Einheitswurzel $\zeta$, so erhalten wir nach dem Translationssatz \ref{TS} oder besser seinem Korollar \ref{TRGG} und zus"atzlich unserer Diskussion von Kreisteilungserweiterungen f"ur den ersten Schritt wieder eine Kette $$L(\zeta)=K_{r}(\zeta) \supset \ldots \supset K_{1}(\zeta)\supset K_0(\zeta) \supset K$$ von Galoiserweiterungen und alle h"oheren Schritte sind entweder von Primzahlordnung oder trivial. Nach Korollar \ref{APW} "uber Galoiserweiterungen von Primzahlgrad ensteht hier, da wir nun die entsprechenden Einheitswurzeln auch mit im Boot haben, jede h"ohere Stufe durch Adjunktion einer geeigneten Wurzel aus der vorherigen Stufe. Mithin l"a"st sich $L/K$ zu einer Radikalerweiterung von $R/K$ vergr"o"sern, n"amlich der Radikalerweiterung $ L(\zeta)/K$. \\[2mm]\noindent 2. Sei $R/K$ eine Radikalerweiterung. Offensichtlich k"onnen wir $R$ auch erhalten, indem wir sukzessive Wurzeln von Primzahlordnung adjungieren. Es gibt also eine K"orperkette $$R=R_{l} \supset \ldots \supset R_{1}\supset R_0 = K$$ sowie geeignete $\al_i\in R_i$ und Primzahlen $p_i$ derart, da"s f"ur alle $i\geq 1$ gilt $R_{i}=R_{i-1} (\al_{i})$ und $\al_{i}^{p_{i}} \in R_{i-1}$. Ist $n$ das Produkt dieser $p_i$ und adjungieren wir zu $R$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$, so ist im K"orperturm $$R(\zeta)=R_{r}(\zeta) \supset \ldots \supset R_{1}(\zeta)\supset R_0(\zeta)=K(\zeta) \supset K$$ jeder Schritt eine abelsche Erweiterung. Das folgt im ersten Schritt aus dem Translationssatz der Galoistheorie oder besser seinem Korollar \ref{TRGG}, da wir ja nach \ref{GKT} bereits wissen, da"s $\DQ(\zeta)\supset \DQ$ eine abelsche Erweiterung ist. Andererseits wissen wir $ R_{i}(\zeta)= R_{i-1}(\zeta)(\alpha_i)$ mit $\alpha_i^{p_i}\in R_{i-1}(\zeta)$ und damit ist nach Korollar \ref{APW} "uber Galoiserweiterungen von Primzahlgrad diese Erweiterung eine zyklische Galoiserweiterung oder trivial. Vergr"o"sern wir nun $R(\zeta)$ zu einer normalen Erweiterung $N/K$ und betrachten darin das Kompositum $L\subset N$ aller $\varphi(R(\zeta))$ mit $\varphi\in \op{Ring}^{K}(R(\zeta),N)$, betrachten also in anderer Terminologie die normale H"ulle $L$ von $R(\zeta)$, so ist $L$ eine Galoiserweiterung von $K$ und es gibt einen K"orperturm $$L=L_{t} \supset \ldots \supset L_{1}\supset L_{0}= K$$ derart, da"s jede Stufe eine abelsche Erweiterung ist: Um solch einen K"orperturm anzugeben, z"ahlen wir unsere $\varphi$ auf als $\varphi_1,\ldots, \varphi_m$, beginnen mit $L_1=L_0(\zeta)$ und adjungieren der Reihe nach $\varphi_1(\alpha_1)$, $\varphi_1(\alpha_2)$, \dots, $ \varphi_1(\alpha_r)$, $ \varphi_2(\alpha_1)$, $\varphi_2(\alpha_2)$, \dots, $\varphi_2(\alpha_r)$, \dots, $\varphi_m(\alpha_1)$, $\varphi_m(\alpha_2)$, \dots, $ \varphi_m(\alpha_r)$. Die Galoiskorrespondenz zeigt dann, da"s die Galoisgruppe $\op{Gal}(L/K)$ aufl"osbar ist. \end{proof} % \begin{comment} % \begin{Kommentar} % Das Ende dieses Beweises mu"s noch etwas gepflegt werden. % \end{Kommentar} % \end{comment} \begin{Satz}[\textbf{Aufl"osbarkeit von Gleichungen durch Radikale}\index{Aufl"osbarkeit von Gleichungen}] Seien $K$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char} K =0$ und $P \in K [X]\backslash 0$ ein von Null verschiedenes Polynom. So sind gleichbedeutend:\label{AUF} \begin{enumerate} \item Die Gleichung $P(X)=0$ l"a"st sich aufl"osen durch Radikale; \item Die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers von $P$ "uber $K$ ist aufl"osbar. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Die Gleichung $P(X)=0$ l"a"st sich aufl"osen durch Radikale genau dann, wenn sich der Zerf"allungsk"orper $\op{Z}(P,K)$ unseres Polynoms zu einer Radikalerweiterung von $K$ vergr"o"sern l"a"st. Nach Proposition \ref{FEWW} ist das gleichbedeutend dazu, da"s sich der Zerf"allungsk"orper $\op{Z}(P,K)/K$ zu einer endlichen Galoiserweiterung $L/K$ mit aufl"osbarer Galoisgruppe vergr"o"sern l"a"st. Da $\op{Z}(P,K)/K$ schon selbst Galois ist und da seine Galoisgruppe $\op{Gal}(\op{Z}(P,K)/K)$ ein Quotient der Galoisgruppe $\op{Gal}(L/K)$ ist und da nach \ref{AFF} Quotienten aufl"osbarer Gruppen aufl"osbar sind, ist das auch gleichbedeutend dazu, da"s $\op{Z}(P,K)$ selbst eine aufl"osbare Galoisgruppe hat. \end{proof} \begin{Proposition}\label{pfg} Hat ein irreduzibles Polynom f"unften Grades aus $\DQ [X]$ genau drei reelle und zwei komplexe Nullstellen, so ist seine Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe $\cal{S}_{5}$ und ist damit nicht aufl"osbar. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die komplexe Konjugation $\tau$ vertauscht zwei Nullstellen und l"a"st die "ubrigen fest. Da die Galoisgruppe $G$ transitiv auf der $5$-elementigen Menge der Nullstellen operiert, teilt nach der Bahnformel $5$ die Gruppenordnung und es gibt nach \ref{PFGO} ein $g\in G$ von der Ordnung $\op{ord} g =5$. Man sieht etwa mit \eref{zyEE}{LA1}, da"s $g$ und $\tau$ schon ganz $\cal{S}_{5}$ erzeugen. \end{proof} \begin{Beispiel} Das Polynom $X (X^{2} +4) (X^{2}-4) = X^{5} - 16 X$ hat genau drei reelle Nullstellen und Extrema bei $X= \pm 2/ \sqrt[4]{5}$ mit Werten $\pm 32 (\frac{1}{5}-1) {1}/{\sqrt[4]{5}}$, die im Absolutbetrag gr"o"ser sind als zwei. Das Polynom $X^{5} - 16 X+2$ hat also ebenfalls genau drei reelle und zwei komplexe Nullstellen, und es ist dar"uber hinaus irreduzibel in $\DQ[X]$ nach dem Eisensteinkriterium \ref{EisK}. Seine Galoisgruppe ist nach \ref{pfg} folglich nicht aufl"osbar, und damit kann nach \ref{AUF} die Gleichung $X^{5} - 16 X+2=0$ nicht durch Radikale gel"ost werden.\label{P5g} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Polynom $X^5-2$ in $\DQ[X]$ ist irreduzibel nach dem Eisensteinkriterium \ref{EisK}. Es ist jedoch durchaus aufl"osbar durch Radikale. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion h"oherer Wurzeln}] Seien $K$ ein K"orper und $a\in K$ ein Element und $n\geq 1$. Ich will diskutieren, wie eine K"orpererweiterung $K(\alpha)$ mit $\alpha^n=a$ und der Zerf"allungsk"orper von $X^n-a$ aussehen k"onnen. Zun"achst einmal mu"s ein Polynom der Gestalt $X^n-a$ nicht irreduzibel sein, wie bereits $X^2-1=(X+1)(X-1)$ zeigt. Im Zerf"allungsk"orper von $X^n-a$ m"ussen auch keineswegs alle $n$-ten Wurzeln von $a$ isomorphe Teilk"orper erzeugen, etwa haben wir $X^4-9=(X^2+3)(X^2-3)$ und $\DQ({\op{i}} \sqrt{3})$ ist nicht isomoph zu $\DQ(\sqrt{3})$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Bemerkung \ref{A4Af} zeigt, da"s die symmetrische Gruppe $\cal{S}_4$ aufl"osbar ist. Eine nichtabelsche einfache Gruppe kann nie aufl"osbar sein. Alle Gruppen mit weniger als $60$ Elementen sind aufl"osbar und\label{IkAk} die Ikosaedergruppe alias die Gruppe der geraden Permutationen von $5$ Elementen ist bis auf Isomorphismus die einzige nichtaufl"osbare Gruppe mit $60$ Elementen. Beides werden wir aber hier nicht zeigen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Jede Gruppe der Ordnung $18$ ist aufl"osbar. In der Tat gibt es nur eine $3$-Sylow, die ist notwendig normal und wir sind fertig. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AFF}%\label{AF} Man zeige: Jede Untergruppe einer aufl"osbaren Gruppe ist aufl"osbar. Gegeben $G\supset N$ eine Gruppe mit Normalteiler ist die ganze Gruppe $G$ aufl"osbar genau dann, wenn $N$ und $G/N$ aufl"osbar sind. Hinweis: \eref{AWNe}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine Gruppe $G$ erkl"art man ihre {\bf derivierte Gruppe}\index{deriviert!Gruppe} als das Untergruppenerzeugnis der Menge aller Kommutatoren $$\mathcal DG\pdef (G,G)$$ und setzt induktiv $\mathcal D^{i+1}G\pdef \mathcal D(\mathcal D^iG)$. Man zeige, da"s eine Gruppe genau dann aufl"osbar ist, wenn ihre h"oheren derivierten Gruppen irgendwann trivial werden, wenn also in Formeln gilt $\mathcal D^iG=1$ f"ur $i\gg 0$. Man zeige weiter, da"s alle h"oheren Derivierten $\mathcal D^iG$ einer Gruppe $G$ Normalteiler von $G$ sind.\label{derGR} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper und $n\geq 1$. Man zeige, da"s die derivierte Gruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\op{GL}(n;k)$ die spezielle lineare Gruppe $$\mathcal D(\op{GL}(n;k))=\op{SL}(n;k)$$ ist, wenn wir nicht im Fall $n=|k|=2$ sind. Man zeige, da"s die derivierte Gruppe der speziellen linearen Gruppe $\op{SL}(n;k)$ die spezielle lineare Gruppe\label{DlAA} $$\mathcal D(\op{SL}(n;k))=\op{SL}(n;k)$$ ist, wenn wir nicht im Fall $n=2, |k|\in\{2,3\}$ sind. Hinweis: Wir wissen aus \eref{QpEl}{LA1}, da"s die Elementarmatrizen mit Determinante Eins bereits $\op{SL}(n;k)$ erzeugen. Nach \ref{IkAk} sind alle Gruppen mit weniger als $60$ Elementen aufl"osbar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Gruppe $G$ hei"st \defind{"uberaufl"osbar}, wenn es eine Folge $G = G_{r} \supset G_{r-1} \supset G_{r-2}\supset \ldots \supset G_{0} =1$ von Normalteilern von $G$ gibt mit $G_{i}/G_{i-1}$ zyklisch f"ur $1 \leq i \leq r$. Man zeige: Jede endliche nilpotente Gruppe ist "uberaufl"osbar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Primzahlen $p, q$ ist die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers $L$ von $X^p - q\in\DQ[X]$ isomorph zum semidirekten\label{GSP} Produkt $\mathbb F_p \rtimes \mathbb F_p^\times$ in Bezug auf die offensichtliche Wirkung von $\mathbb F^\times_p$ auf $\mathbb F_p$. Hinweis: Mit \ref{KNIU} kann man das sogar allgemeiner zeigen f"ur $q\in\DQ^\times\backslash (\DQ^\times)^p$. W"ahlt man zu einem Erzeuger von $\op{Gal}(\DQ(\sqrt[p]{1})/\DQ)$ ein Urbild $\rho\in \op{Gal}(L/\DQ)$, so ist $\sigma\pdef \rho^p$ von der Ordnung $p-1$ und restringiert zu einem Erzeuger von $\op{Gal}(\DQ(\sqrt[p]{1})/\DQ)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien\label{TSS} in einem K"orper $\Omega$ zwei Teilk"orper $L,K\subset \Omega$ gegeben. Sind $ L \supset(L\cap K)$ und $ K \supset(L\cap K)$ beide endliche Galois\-er\-wei\-te\-rungen, so ist auch $(LK) \supset (L\cap K)$ eine endliche Galoiserweiterung und die Restriktionen liefern einen Gruppenisomorphismus $$\op{Gal} ((L K) /L\cap K)\sira \op{Gal} (L/L\cap K)\times \op{Gal} (K/L\cap K)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"orper mit $n$ paarweise verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln. Sei $L/K$ eine K"orpererweiterung und seien $\alpha,\beta\in L^\times $ gegeben mit $\alpha^n, \beta^n\in K$. Man zeige, da"s genau dann gilt $K(\alpha)=K(\beta)$, wenn $\alpha/\beta$ in $K$ liegt. Hinweis: Beweis von Satz \ref{ZEW} "uber zyklische Erweiterungen. \end{Ubung} \subsection{L"osung kubischer Gleichungen}\label{LKG} \begin{Bemerkungl} Jetzt interessieren wir uns f"ur \defnoind{kubische Gleichungen}\index{kubische Gleichung}, also Gleichungen der Gestalt $$x^{3}+ ax^{2} + bx+ c=0$$ Ihre Galoisgruppen sind aufl"osbar als Untergruppen von $\cal{S}_3$, also m"ussen sich kubische Gleichungen zumindest in Charakteristik Null durch Radikale l"osen lassen. Um explizite L"osungsformeln anzugeben, bringen wir zun"achst durch die Substitution $x \pdef y-{a}/{3}$ den quadratischen Term zum Verschwinden und gehen "uber zu einer Gleichung der Gestalt $y^{3} + py +q =0$. F"ur die L"osungen derartiger Gleichungen gibt der folgende Satz eine explizite Formel. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben komplexe Zahlen $p,q$ erh"alt man genau die L"osungen der Gleichung $y^{3} + py +q =0$, wenn man in der \emph{\bf Cardano'schen Formel} \index{Cardano'sche Formeln}\label{Koko} $$y_{1/2/3} = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2} + \left(\frac{p}{3}\right)^{3}} } + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2} + \left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}$$ bei beiden Summanden dieselbe Quadratwurzel fest w"ahlt und dann die beiden Kubikwurzeln so zieht, da"s ihr Produkt gerade $-{p}/{3}$ ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{CaCo} Dasselbe gilt sogar f"ur jeden beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper einer von zwei und drei verschiedenen Charakteristik. Dieser Trick war bei den Italienern schon im 16.-ten Jahrhundert bekannt und wurde von den Experten sorgsam geheimgehalten. Diese schlagende Anwendung der komplexen Zahlen war der Ausgangspunkt ihres Siegeszugs in der h"oheren Mathematik. Selbst wenn alle drei Nullstellen unserer kubischen Gleichung reell sind, ist es nicht m"oglich, unser L"osungsverfahren ohne die Verwendung der komplexen Zahlen anzuwenden. Die Bemerkung \ref{nLRER} zeigt, da"s der "Ubergang zu komplexen Zahlen hier wirklich notwendig und nicht etwa nur unserer Ungeschicklichkeit geschuldet ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s wir auf diese Weise wirklich nur L"osungen unserer Gleichung erhalten, kann man unschwer nachrechnen. Da"s wir alle L"osungen erhalten, folgt auch recht schnell: Stimmen zwei derartige L"osungen "uberein, sagen wir $u+v=\zeta u+ \zeta^{-1} v$ f"ur vertr"agliche Wahlen $u$ und $v$ der beiden Kubikwurzeln und eine dritte Einheitswurzel $\zeta\neq 1$, so folgern wir $(1-\zeta)u=(\zeta^{-1}-1)v$, also $\zeta u=v$, also $u^3=v^3$, damit das Verschwinden der Diskriminante $27q^2+4p^3$, und damit gibt es auch nur h"ochstens zwei L"osungen nach \ref{DKu}. Stimmen alle drei so konstruierten L"osungen "uberein, so folgt zus"atzlich $\zeta^{-1} u=v$, also $u=v=0$ und $q=p=0$ und unsere Gleichung hat in der Tat als einzige L"osung $y=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wie wir sehen, ist es nicht schwer, die Cardano'sche Formel nachzupr"ufen. Ich will nun erst erkl"aren, wie man durch Galoistheorie auf diese Formel gef"uhrt wird, und anschlie"send in \ref{cfk}, warum man sie dann auch in der Situation von Satz \ref{Koko} anwenden darf, in denen diese Herleitung a priori nicht sinnvoll ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Plan zur Herleitung der Cardano'schen Formeln}] Wir gehen aus von einem K"orper $Z$ einer Charakteristik $\op{char}Z\neq 2,3$ mit einer treuen Operation der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_3$ und einer nichttrivialen dritten Einheitswurzel $\zeta\neq 1$ im Fixk"orper $K$. Die Gruppe $\mathcal S_3$ ist aufl"osbar, genauer ist das Signum eine Surjektion auf die zweielementige Gruppe und ihr Kern ist eine zyklische Gruppe $A_3$ der Ordnung drei. Nach der Galoiskorrespondenz bilden die Invarianten von $\langle \sigma\rangle=A_3$ also einen Zwischenk"orper $Q$ und in der K"orperkette\label{PHC} $$K\subset Q\subset Z$$ ist die erste Erweiterung quadratisch und die zweite zyklisch von der Ordnung drei. Sei $\sigma\in \mathcal S_3$ eine zyklische Permutation und die Bahn von $\alpha\in Z$ habe die drei Elemente $\alpha,\beta, \gamma$ mit $\sigma(\alpha)=\beta, \sigma(\beta)=\gamma,\sigma(\gamma)=\alpha$. Wir betrachten das Polynom $$(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)=X^3+rX^2+pX+q$$ und finden $r,p,q\in K$ und wollen $\alpha,\beta,\gamma$ durch durch Wurzelausdr"ucke in $r,p,q$ beschreiben. Wir konzentrieren uns auf $\alpha$. Nach dem Beweis des Satzes \ref{ZEW} "uber zyklische Erweiterungen, vergleiche auch \ref{DZEW}, gilt es daf"ur $\alpha$ zu zerlegen in Eigenvektoren unter $\sigma$ zu den Eigenwerten $1,\zeta,\zeta^2$, sagen wir $$\alpha=\alpha_1+ \alpha_\zeta + \alpha_{\zeta^2}$$ mit $\sigma(\alpha_\xi)=\xi\alpha_\xi$. Dazu brauchen wir $\zeta\in K$ und $\op{char}K\neq 3$. Wir schreiben diese Eigenwertzerlegung in neuen Notationen als $$\alpha= t + u + v$$ und finden $t, a\pdef u^3, b\pdef v^3\in Q$. Nun induziert jede Transposition $\tau\in \mathcal S_3$ denselben Automorphismus $\tau$ von $Q$ und wir zerlegen unsere drei Elemente aus $Q$ weiter in Eigenvektoren unter $\tau$ zu den Eigenwerten $\pm 1$ als $$t=t_+ + t_-\qquad a=a_++a_-\qquad b=b_++b_-$$ Dazu brauchen wir $\op{char}K\neq 2$. Dann gilt $t_+,a_+,b_+\in K$ und $t_+^2,a_+^2,b_+^2\in K$. Offensichtlich gilt f"ur das Produkt $E\pdef (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma - \alpha)$ bereits $E\in Q^\times$ und $\tau (E)=-E$. Folglich ist $Q=K\oplus KE$ die Zerlegung von $Q$ in Eigenr"aume unter $\tau$ und es gilt $$D\pdef E^2\in K$$ Jetzt gilt es nur noch, die Elemente $t_+, a_+, b_+\in K$ auszurechnen sowie die Konstanten $T,A,B\in K$ mit $t_-=TE$ und $a_-=AE$ und $b_-=BE$. Sobald das geleistet ist, finden wir als L"osungsformel $$\alpha=t + \sqrt[3]a+ \sqrt[3]b= t_+ +T\sqrt{D} + \sqrt[3]{a_+ + A\sqrt{D}} + \sqrt[3]{b_+ + B\sqrt{D}} $$ Da wir bei der Herleitung keine Eigenschaft von $\alpha$ verwendet haben, die die beiden anderen Nullstellen $\beta,\gamma$ nicht genauso haben, k"onnen wir alle L"osungen in dieser Form schreiben, indem wir eine Quadratwurzel $\sqrt{D}$ fest w"ahlen und dann verschiedene dritte Wurzeln ziehen. Wir behaupten hier nicht, da"s alle m"oglichen Wahlen von dritten Wurzeln dann Nullstellen liefern, das ist auch im allgemeinen falsch. Um unseren Rechenplan umzusetzen, erkl"are ich in einem Einschub, wie man die darin verwendeten Eigenwertzerlegungen bestimmen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenwertzerlegung unter Endomorphismus endlicher Ordnung}] Seien $K$ ein K"orper und $Z$ ein $K$-Vektorraum und $\sigma:Z\ra Z$ eine $K$-lineare Abbildung und $n\in \DN$ mit $\sigma^n=\op{id}$. Die Charakteristik $\op{char}K$ sei\label{ZEE} kein Teiler von $n$ und das Polynom $X^n-1$ zerfalle vollst"andig in $K$. Wir wissen etwa aus \ref{EWVNnA}, da"s sich jeder Vektor $z\in Z$ eindeutig als eine Summe von Elementen der Eigenr"aume von $\sigma$ zu den verschiedenen Eigenwerten darstellen lassen mu"s. Hier geben wir nun diese Darstellung ganz explizit an. Gegeben eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta\in K$ setzen wir dazu $$z_\zeta\pdef \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{-i} \sigma^i(z)$$ So gilt $\sigma(z_\zeta)=\zeta z_\zeta$ alias $z_\zeta\in\op{Eig}(\sigma;\zeta)$. Dar"uberhinaus folgt $$z=\sum_{\zeta^n=1}z_\zeta$$ aus der Erkenntnis $\sum_{i=0}^{n-1} \zeta^i=0$ f"ur jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta\neq 1$. Damit haben wir die Eigenwertzerlegung von $z$ gefunden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herleitung der Cardano'schen Formeln}] Wir "ubernehmen die Notation aus unserem Plan \ref{PHC}, ziehen uns aber auf den einfacher zu berechnenden Fall $$Y^3+pY+q= (Y-\alpha)(Y-\beta)(Y-\gamma)$$ mit $\alpha, \beta, \gamma \in Z$ zur"uck, was ja wie zuvor besprochen durch eine einfache Substitution gelingt. Das bedeutet, da"s zus"atzlich gilt $\alpha+\beta+\gamma=0$. Wir finden $$ \begin{array}{lllllll}\textstyle t&=&\alpha_1&=&\frac{1}{3}(\alpha+\sigma(\alpha)+ \sigma^2(\alpha))&=&\frac{1}{3}(\alpha + \beta + \gamma) = 0\\[2mm] u&=&\alpha_\zeta&=&\frac{1}{3}(\alpha+\zeta^{-1}\sigma(\alpha)+ \zeta^{-2}\sigma^2(\alpha))&=&\frac{1}{3}(\alpha + \zeta^2\beta + \zeta\gamma)\\[2mm] v&=&\alpha_{\zeta^2}&=&\frac{1}{3}(\alpha+\zeta^{-2}\sigma(\alpha)+ \zeta^{-4}\sigma^2(\alpha))&=&\frac{1}{3}(\alpha + \zeta\beta + \zeta^2\gamma) \end{array} $$ Wegen $\alpha+\beta+\gamma=0$ erhalten wir $$\begin{array}{lll} 3u&=&(1-\zeta)\alpha + (\zeta^2-\zeta)\beta\\ 3v&=&(1-\zeta^2)\alpha + (\zeta-\zeta^2)\beta\\\end{array} $$ Um beim Ausmultiplizieren von $a\pdef u^3$ den Rechenaufwand zu verringern, formen wir um zu $3u/(1-\zeta)=\alpha -\zeta\beta$ und beachten $(1-\zeta)^3=1-3\zeta+3\zeta^2-1=3(\zeta^2-\zeta)$ und $q=-\alpha\beta \gamma=\alpha^{2} \beta + \beta^{2}\alpha$ und $(\zeta -\zeta^2)^2=-3$ und finden $$\begin{array}{clrcc}9a/(\zeta^2 -\zeta)& =&9u^3/(\zeta^2 -\zeta)& =&\alpha^3 -3\zeta\alpha^2\beta + 3\zeta^2\alpha\beta^2 -\beta^3\\ 9\tau(a)/(\zeta^2 -\zeta)&&& =&-\alpha^3 + 3\zeta^2\alpha^2\beta-3\zeta\alpha\beta^2 +\beta^3\\[2mm] 18 a_+/(\zeta^2 -\zeta)&&& =& 3(\zeta^2 -\zeta)(\alpha^2\beta+ \alpha\beta^2)\\ a_+&&& =& -q/2 \\[2mm] 18 a_-/(\zeta^2 -\zeta)&&& =& 2\alpha^3 +3(\alpha^2\beta -\alpha\beta^2)-2\beta^3\\ a_-&&& =&(\zeta^2 -\zeta)E/18 \end{array}$$ wegen $E\pdef (\alpha-\beta)(\beta -\gamma)(\gamma-\alpha)=2\alpha^3 +3\alpha^2\beta -3\alpha\beta^2-2\beta^3$. Indem wir $\zeta$ und $\zeta^2$ vertauschen, erhalten wir f"ur $b\pdef v^3$ ebenso $b_+= -q/2$ und $b_-=(\zeta -\zeta^2)E/18$. In \ref{DKu} haben wir unter der Annahme $\alpha+\beta+\gamma=0$ bereits $$D\pdef E^2=-4p^3+-27q^2$$ gefunden. So erhalten wir schlie"slich $$\begin{array}{lll} \alpha&=&u + v\\ &=& \sqrt[3]{a_+ + a_-} + \sqrt[3]{b_++b_-}\\[2mm] &=&\sqrt[3]{a_+ + A\sqrt{D}} + \sqrt[3]{b_+ + B\sqrt{D}}\\[3mm] &=&\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \frac{\zeta^2-\zeta}{18}\sqrt{-4p^3-27q^2}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \frac{\zeta-\zeta^2}{18}\sqrt{-4p^3-27q^2}} \\[4mm]&=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2} + \left(\frac{p}{3}\right)^{3}} } + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2} + \left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}\end{array} $$ mit dem letzten Schritt wegen der bereits oben bemerkten Identit"at $(\zeta -\zeta^2)^2=-3$.\label{CaHe} Ich bemerke, da"s es hier von der Wahl der jeweiligen festen Quadratwurzel in der vorletzten und der letzten Zeile abh"angt, ob bei der letzten Gleichung der erste und zweite Summand jeweils f"ur sich genommen gleich bleiben oder ob sie vielmehr Pl"atze tauschen. Unsere Gleichungen f"ur $3u$ und $3v$ von oben liefern auch $$\begin{array}{lll}9uv&=&\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 +(\zeta +\zeta^2)(\alpha\beta +\alpha\gamma +\beta\gamma)\\ &=&(\alpha+\beta+\gamma)^2+(\zeta +\zeta^2-2)(\alpha\beta +\alpha\gamma +\beta\gamma)\\ &=&-3p \end{array} $$ alias $uv=-p/3$. Unsere Formel liefert mithin alle L"osungen sogar unter der zus"atzlichen Ma"sgabe, da"s wir die dritten Wurzeln so zu w"ahlen haben, da"s ihr Produkt $-p/3$ ist. Unter dieser Bedingung ist auch leicht einzusehen, da"s wir stets L"osungen erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Cardano'schen Formeln f"ur Kringe}] Ist unser Polynom nicht irreduzibel oder besteht seine Galoisgruppe nur aus den drei geraden Permutationen der drei Nullstellen, so funktioniert das obige Argument nur noch in mehr oder weniger stark modifizierter Form. Wir k"onnen aber ganz allgemein den Kring $k\pdef \DZ[2^{-1},3^{-1},\zeta]$ betrachten f"ur eine von Eins verschiedene dritte Einheitswurzel $\zeta$. Dann lassen wir auf dem Polynomring $$L\pdef k['\alpha,\beta,\gamma]$$ die Gruppe $\mathcal S_3$ der Permutationen der drei Variablen operieren. Der Invariantenring ist der Polynomring $K\pdef k['p,q,r]$ mit $$(Y-\alpha)(Y-\beta)(Y-\gamma)=Y^3+rY^2 +pY+q$$ Die Injektion $K\hra L$ induziert auf den Faktorringen \nichtfinal{(Quotienten)} beider Ringe nach dem von $-r=\alpha+\beta+\gamma$ erzeugt Ideal wieder eine Injektion $\bar K\hra \bar L$. Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_3$ operiert auch auf den Faktorringen und $\bar K$ ist der Invariantenring und wir haben $\bar L=k['\alpha,\beta]$ sowie $\bar K=k'[p,q]$ mit der Bezeichnung $\alpha, \beta, \gamma, p,q$ f"ur die Bilder dieser Elemente in den jeweiligen Faktorringen. In diesem Kontext bleiben alle unsere Rechnungen a posteriori sinnvoll und wir erhalten $\alpha=u+v$ mit $uv=-p/3$ und $u^3=-(q/2)+c$ sowie $v^3=-(q/2)-c$ mit $c^2=(p/3)^3 + (q/2)^2$. Hierdurch sind zwar $u$ und $v$ nicht eindeutig bestimmt, aber wenn wir eine Wahl fest treffen und dann $\alpha\pdef u+v$ sowie $\beta\pdef \zeta u+\zeta^{-1}v$ sowie $\gamma\pdef \zeta^{-1} u+\zeta v$ setzen, so pr"uft man in $\bar L$ der Tat $$(Y-\alpha)(Y-\beta)(Y-\gamma)=Y^3+pY+q$$ Alle diese Formeln bleiben nun nat"urlich richtig unter jedem Homomorphismus von $\bar L$ in einen beliebigen K"orper oder sogar beliebigen Ring und bedeuten die Cardano'schen Formeln in gro"ser Allgemeinheit. Wir haben bei der Herleitung sogar den Vorteil, da"s wir zus"atzlich den Ringautomorphismus $\kappa:k\sira k$ mit $\kappa(\zeta)=\zeta^2$ und $\kappa^2=\op{id}$ zur Verf"ugung haben. Offensichtlich gilt dann $\kappa(u)=v$ und das formalisiert die Beobachtung in obiger Rechnung, da"s \glqq f"ur $v$ alles genauso geht wie f"ur $u$, nur mit $\zeta$ und $\zeta^2$ vertauscht\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Irreduzibilit"at primer Wurzelgleichungen}] Gegeben ein K"orper $K$ und eine Primzahl $p$ ist f"ur $a\in K$ das Polynom $X^p-a$ entweder irreduzibel oder es besitzt eine Nullstelle.\label{KNIU} \end{Proposition} \begin{proof} %Sei %ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p$ eine ungerade Primzahl. Sicher zerf"allt unser Polynom in seinem Zerf"allungsk"orper f"ur eine geeignete $p$-te Einheitswurzel $\zeta$ als $X^p- a=\prod_{\nu=1}^p(X- \zeta^\nu b)$ mit $a=b^p$ wegen $p$ ungerade. Zerf"allt es nun in $K$ als $X^p- a=fg$ mit $f,g$ normiert und $00}$ beliebig und $K$ ein beliebiger K"orper und $a\in K$. Da"s es im allgemeinen nicht so einfach ist wie im primen Fall aus \ref{KNIU}, zeigt die Zerlegung $$X^{4}+4a^4=\big((X^{2}+2a^2)+ 2aX\big)\big((X^2+2a^2)- 2aX\big)$$ Dort k"onnen wir nat"urlich noch $X=T^r$ substitutieren. Weiter ist $X^{m}-a^m$ offensichtlich durch $X-a$ teilbar und auch diese Teilbarkeit bleibt bei der Substitution $X=T^r$ erhalten. Gilt also $4|n$ und $a\in -4K^4$, so ist $T^n-a$ nicht irreduzibel, und gibt es $m>1$ mit $m|n$ und $a\in K^m$, so ist $T^n-a$ auch nicht irreduzibel. Das Kriterium sagt nun, da"s wenn keine dieser beiden Bedingungen zutrifft, da"s dann unser Polynom $T^n-a$ auch in der Tat irreduzibel ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notwendigkeit des Ausgreifens in die komplexen Zahlen}] Sei eine kubische Gleichung $X^3 + pX +q=0$ mit $p,q \in \mathbb R$ gegeben, die\label{nLRER} drei reelle L"osungen besitzt, von denen jedoch keine zum Koeffizientenk"orper $K\pdef \mathbb Q (p,q) \subset \mathbb R$ geh"ort, etwa $X^3-\frac{3}{4}X+ \frac{3}{16}$ nach dem Eisensteinkriterium. Wir zeigen, da"s es dann nicht m"oglich ist, eine Kette \begin{equation*} K = K_0 \subset K_1 \subset \ldots \subset K_r \subset \mathbb R \end{equation*} von Teilk"orpern von $\mathbb R$ so zu finden, da"s unser Polynom in $K_r$ vollst"andig zerf"allt und $K_{i+1}$ jeweils durch Adjunktion der positiven $l_i$-ten Wurzel aus einem positiven Element $a_i \in K_i\cap\DR_{>0}$ entsteht, in Formeln \begin{equation*} K_{i+1} = K_i ({\sqrt[l_i]{a_i}}) \end{equation*} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir hier die $l_i$ als prim annehmen. Weiter ist das Quadrat $\Delta = - 4 p^3 - 27 q^2$ des Produkts der Differenzen der Nullstellen aus \ref{DKu} in unserem Fall notwendig positiv und wir d"urfen $K_1 = K (\sqrt{\Delta})$ annehmen. Unser irreduzibles kubisches Polynom ist dann auch irreduzibel "uber $K_1$, denn es kann erst in einer K"orpererweiterung vom Grad Drei eine Nullstelle haben. Seinen Zerf"allungsk"orper $Z$ "uber $K$ k"onnen wir in eine K"orperkette $K\subset K_1\subset Z\subset\DR$ einf"ugen und $Z/K_1$ ist dann Galois vom Grad $[Z:K_1]=3$. Gegeben eine Wurzel $\alpha\in \DR$ unseres kubischen Polynoms mit $\alpha\not\in K_s$ ist f"ur $s\geq 1$ nach dem Translationssatz \ref{TRGG} also $K_s(\alpha)/K_s$ Galois vom Grad Drei. F"ur $r$ kleinstm"oglich mit $\alpha\in K_r$ mu"s damit $[K_r : K_{r-1}]$ ein Vielfaches von Drei sein. Wegen $K_r = K_{r-1} (\sqrt[l]{a})$ mit $a=a_r$ und $l=l_r$ prim mu"s aber nach \ref{KNIU} unser Polynom $X^l -a$ irreduzibel gewesen sein in $K_{r-1} [X]$ und wir folgern $[K_r : K_{r-1}]=l$. Zusammen zeigt das $l=3$ und $K_r =K_{r-1}(\alpha)$ und damit $K_r / K_{r-1}$ Galois vom Grad drei. Dann hinwiederum mu"s $X^3 -a$ in $K_r$ vollst"andig in Linearfaktoren zerfallen und $K_r$ mu"s drei dritte Einheitswurzeln enthalten und das steht im Widerspruch zu unserer Annahme $K_r \subset \mathbb R$. Der "Ubergang ins Komplexe oder alternativ die Verwendung trigonometrischer Funktionen zu ihrer L"osung \glqq durch Radikale\grqq\ ist in anderen Worten unumg"anglich. Lateinisch spricht man bei reellen Gleichungen dritten Grades dieser Art vom {\bf casus irreducibilis}.\index{casus irreducibilis} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{irrW} Sei $n\geq 1$ und $K$ ein K"orper, der alle $n$-ten Einheitswurzeln enth"alt und dessen %erg"anzt! Charakteristik $n$ nicht teilt. %erg"anzt! Man zeige: Gegeben $a\in K$ ist das Polynom $X^n-a$ irreduzibel in $K[X]$ genau dann, wenn $a$ f"ur keinen Teiler $d>1$ von $n$ eine $d$-te Wurzel in $K$ besitzt. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{MeGa} Ein irreduzibles Polynom dritten Grades der Gestalt $Y^{3}+pY+q$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k\neq 2$ hat genau dann die Galoisgruppe $\cal{S}_3$ "uber $k$, wenn $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ kein Quadrat in $k$ ist. In unserer Terminologie ist $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ das Negative der Diskriminante unseres Polynoms, aber hier sind auch andere Konventionen verbreitet. \end{Ubung} \begin{Beispiel}\label{SADD} Das Polynom $X^3-2$ hat nach \ref{GQW2} oder \ref{MeGa} die Galoisgruppe $\cal{S}_3$ "uber $\DQ$, denn $-108=(-27)4$ ist kein Quadrat in $\DQ$. Dasselbe Polynom hat jedoch Galoisgruppe $A_3$ "uber $\DQ(\sqrt[3]{1})$ nach unserem Satz "uber Radikalerweiterungen \ref{ZEW}. Damit alles zusammenpa"st, mu"s $-108$ ein Quadrat im dritten Kreisteilungsk"orper $\DQ(\sqrt[3]{1})$ sein. Zum Gl"uck stimmt das auch, f"ur $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel gilt n"amlich $(\zeta-\zeta^{-1})^2=-3$. \end{Beispiel} \subsection{Einheitswurzeln und reelle Radikale*} \begin{Bemerkungl}\label{NSGR} Die Tabelle \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c} & $\sin$ & $\cos$ \\ \hline $\pi$ & $0$ & $-1$ \\[2mm] $\pi/2$ & $1$ & $0$ \\[2mm] $\pi/3$ & $\sqrt{3}/2$ & $1/2$ \\[2mm] $\pi/4$ & $1/\sqrt{2}$ & $1/\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/5$ & $\sqrt{5-\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ & $(\sqrt{5}+1)/4$ \\[2mm] $\pi/6$ & $1/2$ & $\sqrt{3}/2$ \\[2mm] $\pi/7$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/8$ & $\sqrt{\frac{1}{2} - \sqrt{2}}$ & $\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$ \\[2mm] $\pi/9$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/10$ & $(\sqrt{5}-1)/4$ & $\sqrt{5+\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/11$ & ? & ? \end{tabular} \end{center} aus \eref{WeSi}{AN1} zeigt einige $n\geq 1$, f"ur die $\sin (\pi/n)$ und $\cos (\pi/n)$ in geschlossener Form als \glqq reelle algebraische Ausdr"ucke\grqq\ dargestellt werden k"onnen, ohne da"s wir bei der Berechnung der besagten Ausdr"ucke den K"orper der reellen Zahlen verlassen m"u"sten. Sie zeigt auch einige Fragezeichen f"ur F"alle, in denen keine derartige Darstellung zur Verf"ugung steht. Wir zeigen im Folgenden, da"s das nicht etwa an unserer Ungeschicklichkeit liegt, sondern da"s es derartige reelle Darstellungen f"ur die meisten $n$ schlicht nicht gibt. Diese Aussage gilt es zun"achst einmal zu pr"azisieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine K"orpererweiterung $F \subset E$ definieren wir den {\bf Radikalabschlu"s}\index{Radikalabschlu"s!in K"orpererweiterung} {\bf von $F$ in $E$} als den kleinsten Zwischenk"orper $R \subset E$ derart, da"s f"ur alle $p\geq 1$ gilt $(x^p \in R) \Rightarrow (x \in R)$. Wir notieren ihn $$R=\op{rad} (F\subset E)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Die folgende reelle Zahl geh"ort zum Radikalabschlu"s des K"orpers $\DQ$ der rationalen Zahlen im K"orper $\DR$ der reellen Zahlen: $$\frac{\sqrt[7]{\sqrt[5]{6}+3}+13}{\sqrt[2]{3}+8}- \sqrt[17]{19876}$$ \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{QKEE} Gegeben eine K"orpererweiterung $F \subset E$ definieren wir den {\bf Quadratwurzelabschlu"s}\index{Quadratwurzelabschlu"s} {\bf von $F$ in $E$} als den kleinsten Zwischenk"orper $Q \subset E$ derart, da"s gilt $(x^2 \in Q) \Rightarrow (x \in Q)$. Wir notieren ihn $$Q=\op{quad} (F\subset E)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Den Quadratwurzelabschlu"s $\op{quad} ( \DQ\subset \mathbb{C} )$ der rationalen Zahlen in den komplexen Zahlen hatten wir bereits in \ref{Kons} betrachtet und gezeigt, da"s er genau aus allen konstruierbaren Zahlen besteht. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Markus Rost}]\label{Rost} Der Radikalabschlu"s der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen trifft jeden Kreisteilungsk"orper nur innerhalb des Quadratwurzelabschlusses der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen. F"ur jedes $n \in \mathbb{N}$ gilt also in Formeln \begin{equation*} \op{rad} (\DQ\subset \mathbb{R} ) \cap \DQ (\sqrt[n]{1}) \;\;\subset \;\;\op{quad} ( \DQ\subset \mathbb{R} ) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} F"ur jeden Teilk"orper $K \subset \mathbb{R}$ und jedes $n \geq 1$ gilt allgemeiner $ \op{rad} (K\subset \mathbb{R} ) \cap K (\sqrt[n]{1}) \subset \op{quad} ( K\subset \mathbb{R} ). $ Der Beweis ist im wesentlichen derselbe. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{LRER} Der Satz von Rost zeigt, da"s $\cos (2\pi/7)$ nicht zum Radikalab\-schlu"s von $\DQ$ in $\DR$ geh"oren kann. In der Tat geh"ort diese reelle Zahl zu einem Kreisteilungsk"orper und m"u"ste nach dem Satz von Rost anderfalls sogar zum Quadratwurzelabschlu"s von $\DQ$ in $\DR$ geh"oren. Das steht jedoch im Widerspruch zu unserer Erkenntnis, da"s das regelm"a"sige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Weiter ist $\cos (2\pi/7)$ nach \ref{bsS} auch eine von drei reellen Nullstellen des Polynoms $X^3+X^2-2X-1$. Wir sehen so ein weiteres Mal, da"s kubische Gleichungen mit rationalen Koeffizienten, selbst wenn sie drei reelle Nullstellen haben, im allgemeinen nicht durch \glqq algebraische Rechenoperationen im Rahmen der reellen Zahlen\grqq\ gel"ost werden k"onnen. Im "ubrigen ist $\cos (2\pi/7)$ ein Erzeuger des Schnitts des siebten Kreisteilungsk"orpers mit der reellen Achse, dieser Schnitt mu"s Grad $6/2=3$ "uber $\DQ$ haben, und besagtes Polynom ist gerade das Minimalpolynom von $\cos (2\pi/7)$ "uber $\DQ$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \label{SIUU} Genau dann geh"ort $\sin (\pi/n)$ zum Radikalabschlu"s der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen, wenn das regelm"a"sige $n$-Eck konstruierbar alias $\varphi (n)$ eine Zweierpotenz ist. In der Tat liegt $\sin (\pi/n)$ sicher in einem Kreisteilungsk"orper. Liegt $\sin (\pi/n)$ auch im Radikalabschlu"s $\op{rad} (\mathbb{Q}\subset\DR)$ der rationalen in den reellen Zahlen, so folgt $\sin (\pi/n)\in \op{quad} (\mathbb{Q}\subset\DR)$ aus dem Satz \ref{Rost} von Rost. Damit ist $\sin (\pi/n)$ aber nach \ref{Kons} konstruierbar und damit dann unschwer auch das regelm"a"sige $n$-Eck. Der Beweis der Gegenrichtung bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis des Satzes von Rost \ref{Rost}] Wir halten eine nat"urliche Zahl $n\geq 1$ f"ur den folgenden Beweis fest und vereinbaren die Abk"urzung $Q\pdef \op{quad} ( \DQ\subset \mathbb{R} )$ f"ur den Quadratwurzelabschlu"s der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen und $E\pdef \DQ (\sqrt[n]{1})$ f"ur den $n$-ten Kreisteilungsk"orper, mit einem $E$ wie Einheitswurzel. Um den Satz zu zeigen, reicht es sicher nachzuweisen, da"s f"ur jeden Teilk"orper $R\subset\DR$ mit der Eigenschaft $R \cap E \subset Q $ auch der durch Adjunktion einer primen reellen Wurzel, also durch Adjunktion eines Elements $x\in\DR$ mit $x^p\in R$ f"ur eine Primzahl $p$ entstehende Teilk"orper $R(x)\subset\DR$ diese Eigenschaft hat. Im Fall $[R (x) : R] < p$ folgt aus unseren Annahmen bereits $R(x)=R$. In der Tat haben wir f"ur $q=[R (x) : R]$ und $a=x^p$ ja $$\op{det}_R(x|R(x))^p = \op{det}_R(x^p|R(x)) = a^q$$ Es gibt also $c \in R$ mit $c^p = a^q$. Im Fall $q