\section{Verallgemeinerungen ins Unendliche*}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ordinalzahlen}\label{OZ}




\begin{Definition}
Eine Anordnung einer Menge hei"st eine \defind{Wohlordnung}, wenn jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Die Menge der nat"urlichen Zahlen $\DN$   
ist wohlgeordnet mit ihrer "ublichen
Anordnung aus \eref{ONZ}{LA1}, wie wir in
\ref{WOZ} formal zeigen werden. 
Die Menge der rationalen Zahlen ist 
nicht wohlgeordnet mit ihrer "ublichen
Anordnung.
\end{Beispiel}

 \begin{Bemerkungl}
 Gegeben eine teilgeordnete Menge $X$ versteht man unter einem
 {\bf unmittelbaren Nachfolger}\index{Nachfolger} 
oder kurz {\bf Nachfolger} eines Elements $x\in X$ das 
 kleinste Element \glqq oberhalb von $x$\grqq,  also in Formeln  das 
 kleinste Element der Menge $\{y\in X\mid y>x\}$, wenn es denn existiert.
 Jedes Element hat h"ochstens einen unmittelbaren Nachfolger.
Ebenso versteht man unter einem
 {\bf unmittelbaren Vorg"anger}\index{Vorg"anger} 
oder kurz {\bf Vorg"anger} eines Elements $x\in X$ das 
 gr"o"ste Element \glqq unterhalb von $x$\grqq, in Formeln also das 
 gr"o"ste Element der Menge $\{y\in X\mid y<x\}$, wenn es denn existiert.
 Jedes Element hat h"ochstens einen unmittelbaren Vorg"anger.
 \end{Bemerkungl} 


\begin{Bemerkungl}
Jede nichtleere wohlgeordnete Menge besitzt ein kleinstes Element,
das wir meist mit $0$ bezeichnen. In einer 
wohlgeordneten Menge $(\Omega, \leq)$ hat weiter jedes 
Element $a$ au"ser dem gr"o"sten,
wenn  denn  ein gr"o"stes Element 
existiert, einen unmittelbaren Nachfolger, n"amlich das kleinste Element
von $\Omega_{>a}$. 
Wir notieren diesen unmittelbaren Nachfolger
$$S(a)$$ f"ur englisch \glqq successor\grqq. 
Manche Elemente besitzen auch unmittelbare 
Vorg"anger, aber keineswegs alle. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Eine Teilmenge $A$ einer wohlgeordneten Menge $\Omega$ hei"st ein 
\defind{Anfangsst"uck}, wenn  $A$ mit einem Element 
von $\Omega$ auch alle kleineren Elemente 
von $\Omega$ enth"alt. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Jedes von der ganzen Menge verschiedene 
Anfangsst"uck $A$ einer wohlgeordneten Menge $\Omega$
ist von der Gestalt $A=\Omega_{<a}$ f"ur genau ein $a\in\Omega$, 
n"amlich f"ur $a$  das kleinste Element des 
Komplements $\Omega\backslash A$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von teilgeordneten Mengen hei"st ein
 {\bf Morphismus von 
teilgeordneten Mengen},\index{Morphismus!von teilgeordneten Mengen}
 wenn gilt $x\leq x'\RA f(x)\leq f(x')$.
Ein {\bf Isomorphismus von 
teilgeordneten Mengen}\index{Isomorphismus!von teilgeordneten Mengen}
oder auch {\bf Ordnungsisomorphismus}\index{Ordnungsisomorphismus}
ist ein bijektiver Morphismus von 
teilgeordneten Mengen, dessen Inverses auch ein Morphismus von 
teilgeordneten Mengen ist. 
Zwei teilgeordnete Mengen hei"sen {\bf ordnungsisomorph},\index{ordnungsisomorph}
 wenn es zwischen ihnen einen Ordnungsisomorphismus gibt.
\end{Definition}


\begin{Satz}[\textbf{Vergleich von wohlgeordneten Mengen}]
  \begin{enumerate}
\item
Gegeben wohl\-ge\-ord\-ne\-te Mengen $(\Omega, \leq)$ und $(\Omega^\prime,
    \leq^\prime)$ gibt es h"ochstens einen
Isomorphismus von $(\Omega, \leq)$ mit einem 
Anfangsst"uck von  $(\Omega^\prime,
    \leq^\prime)$; 
  \item 
Gegeben  wohlgeordnete Mengen $(\Omega, \leq)$ und $(\Omega^\prime,
    \leq^\prime)$ ist mindestens eine von beiden 
ordnungsisomorph zu einem Anfangsst"uck
    der anderen.
\end{enumerate}\label{OZA}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere sind zwei Anfangsst"ucke einer wohlgeordneten Menge nur dann
  ordnungsisomorph, wenn sie gleich sind als Teilmengen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
1. Gegeben zwei verschiedene derartige Isomorphismen 
$f,g$ g"abe es ein  kleinstes
Element   $ b\in\Omega$, auf dem sie verschiedene Werte ann"ahmen.
Dies Element m"u"ste jedoch sowohl unter $f$ als auch unter $g$ 
auf das kleinste Element von $\Omega^\prime\backslash f(\Omega_{<b})=
\Omega^\prime\backslash g(\Omega_{<b})$ abgebildet werden. Widerspruch!
\\[2mm]\noindent
2. Wir betrachten 
das Mengensystem  aller Anfangsst"ucke  $A\subset \Omega$, 
die zu einem Anfangsst"uck von $ 
\Omega^\prime$ ordnungsisomorph sind.
Die Vereinigung "uber dieses Mengensystem ist  offensichtlich
das gr"o"ste Anfangsst"uck $A_{\op{max}}\subset \Omega$,
das zu einem Anfangsst"uck von $ 
\Omega^\prime$ ordnungsisomorph ist.
Gilt  $A_{\op{max}}=\Omega$ oder $A_{\op{max}}\cong \Omega'$,
so sind wir fertig. Sonst aber w"are  $A_{\op{max}}$ vereinigt mit
dem kleinsten Element au"serhalb auch ordnungsisomorph
zum Bild von $A_{\op{max}}$ in $\Omega'$ vereinigt mit dem kleinsten Element
au"serhalb, im Widerspruch zur Maximalit"at von $A_{\op{max}}$.
\end{proof}



\begin{Lemma}\label{EWOh}
Auf jeder Menge existiert eine Wohlordnung.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Sei $X$ unsere Menge. Wir betrachten die Menge 
$\mathcal{W}$ aller Paare $(\Omega, \leq)$ mit 
$\Omega \subset X$ einer Teilmenge und $\leq$ einer Wohlordnung auf $\Omega$.
Auf dieser Menge 
 $\mathcal{W}$ erkl"aren wir eine Teilordnung durch die Vorschrift
$(\Omega, \leq) \leq (\Omega', \leq')$ 
genau dann, wenn $(\Omega, \leq)$ ein 
Anfangsst"uck  von $(\Omega^\prime, \leq^\prime)$ ist.
Das Zorn'sche Lemma liefert die Existenz eines maximalen 
Paares $(\Omega_{\max}, \leq_{\max})
\in \mathcal{W}$. F"ur solch ein Paar gilt $\Omega_{\max} = X$, da wir sonst
$(\Omega_{\max}, \leq_{\max})$ noch vergr"o"sern k"onnten, 
indem wir ein weiteres
Element von $X$ hinzunehmen und die Anordnung dahingehend 
erweitern, da"s es das gr"o"ste
Element der dadurch neu entstehenden Menge wird.
\end{proof}



  \begin{Bemerkungl}
  Unter  einer \defind{Ordinalzahl} 
versteht man eine Isomorphieklasse von wohlgeordneten
    Mengen. Gegeben zwei Ordinalzahlen $\omega$ und $\omega^\prime$ nennen wir
    $\omega$ kleinergleich $\omega^\prime$, wenn $\omega$ isomorph ist zu einem Anfangsst"uck von
$\omega^\prime$. Wir  schreiben dann
\begin{equation*}
\omega \leq \omega^\prime
\end{equation*}
Der zweite Teil des Satzes \ref{OZA} bedeutet, da"s je zwei
Ordinalzahlen vergleichbar sind, wohingegen der zweite Teil bedeutet, 
da"s gegeben eine durch eine wohlgeordnete Menge $(\Omega,\leq)$ 
repr"asentierte Ordinalzahl die angeordnete Klasse aller
Ordinalzahlen, die echt kleiner sind als diese, isomorph ist
als angeordnete Klasse zur
angeordneten Menge $(\Omega,\leq)$ selber.
Jede Ordinalzahl besitzt  einen unmittelbaren Nachfolger.
Diejenigen Ordinalzahlen, die keinen unmittelbaren Vorg"anger
besitzen, hei"sen \index{Limeszahl}{\bf Limeszahlen}.
In diesem Sinne ist $0$ also auch eine Limeszahl. 
Problematisch ist hierbei allerdings, da"s wir uns mit unserem Begriff einer 
Isomorphieklasse in die \glqq Klasse aller Mengen\grqq\  begeben, die schon am Rande 
des Gebietes liegt, in dem ich mich  mit dem alleinigen R"ustzeug  
der  naiven Mengenlehre noch sicher f"uhle.
Man kann jedoch auch alternativ kanonische Repr"asentanten w"ahlen 
und mit von Neumann eine Ordinahlzahl definieren als eine wohlgeordnete Menge 
$\Omega$ mit der Eigenschaft, da"s jedes ihrer 
Elemente mit der Menge der kleineren Elemente,  zusammenf"allt,
in Formeln 
$$a=\{b\in \Omega\mid b<a\}\quad\forall a\in \Omega$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
  Man definiert die {\bf Addition}\index{Addition!von Ordinalzahlen} von
  Ordinalzahlen als das Hintereinandersetzen von wohlgeordneten Mengen.  Sie
  ist sicher assoziativ.  Es gilt jedoch zu beachten, da"s diese Addition
  nicht kommutativ ist, zum Beispiel haben wir f"ur die durch die
  wohlgeordnete Menge $\DN$ repr"asentierte Ordinalzahl $\omega$ die Formeln
  $1+\omega=\omega\neq \omega+1$.  Wieder eine andere Ordinalzahl w"are etwa
  $\omega+\omega$.  Man erkl"art das {\bf Produkt}\index{Produkt!von
    Ordinalzahlen} zweier Ordinalzahlen als das kartesische Produkt von
  wohlgeordneten Mengen, versehen mit der lexikographischen Ordnung, und
  h"atte f"ur $\omega$ wie eben
  etwa $$\omega\cdot\omega=\omega+\omega+\ldots$$ in hoffentlich
  verst"andlicher Schreibweise. Dieses Produkt ist sicher assoziativ, aber
  nicht kommutativ, zum Beispiel gilt $2\cdot\omega=\omega+\omega\neq
  \omega=\omega\cdot 2$.
\end{Bemerkunge}

\subsection{Wohlordnung und nat"urliche Zahlen} 
\begin{Bemerkungl}
Ich erinnere an \eref{eue}{LA1}. F"uhrt man die Mengenlehre axiomatisch ein, so 
definiert man eine Menge als {\bf unendlich},\index{unendlich!Menge}
 wenn es eine injektive aber nicht bijektive Abbildung\label{euen} 
von unserer Menge in sich selbst gibt.
Eine Menge hei"st {\bf endlich},\index{endlich!Menge} 
wenn sie nicht unendlich ist. 
 Die Existenz einer unendlichen Menge ist eines der Axiome der Mengenlehre,
wir nennen es kurz das 
{\bf Unendlichkeitsaxiom}.\index{Unendlichkeitsaxiom}
\end{Bemerkungl}

  


\begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung der nat"urlichen Zahlen}]
  Die Menge der nat"urlichen Zahlen
\label{WOZ} mit ihrer Anordnung aus \eref{ONZ}{LA1} ist die
bis auf eindeutigen Ordnungsisomorphismus eindeutig bestimmte kleinste
  unendliche
wohlgeordnete Menge.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{KEM} 
  Insbesondere ist jede endliche wohlgeordnete  Menge
  isomorph zu genau einem Anfangsst"uck der Menge der
  nat"urlichen Zahlen. Um welches Anfangsst"uck es sich dabei handelt,
  kann noch nicht einmal von der gew"ahlten Wohlordnung abh"angen,
  denn verschiedene M"oglichkeiten w"urden schnell zu einer injektiven
  nicht surjektiven Selbstabbildung unserer Menge f"uhren, die es ja wegen
  der Endlichkeit nicht geben kann. Insbesondere ist jede endliche Menge
  $X$, wie wir bereits in \eref{ZeMM}{LA1} gesehen haben,
  in Bijektion zu einer Menge der Gestalt $\{n\in\DN\mid n<a\}$
  f"ur genau ein $a\in\DN$. Diese nat"urliche Zahl nennen wir  ihre
  {\bf Kardinalit"at}\index{Kardinalit"at!einer endlichen Menge} und
  schreiben $|X|=a$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
 Nach  \ref{EWOh} und \ref{OZA} k"onnen  wir
 \glqq die kleinste unendliche Ordinalzahl\grqq\ 
bilden: Dazu w"ahlen wir mithilfe des Unendlichkeitsaxioms \ref{euen} eine
unendliche Menge, erkl"aren darauf mithilfe von \ref{EWOh} eine Wohlordnung, 
vereinigen disjunkt mit einem weiteren Element, und erweitern unsere
Wohlordnung so,
da"s das neue Element  das Gr"o"ste wird.
 In der so entstehenden unendlichen wohlgeordneten Menge $(\Omega,\leq)$ 
mit einem gr"o"sten Element betrachten  das kleinste %\label{ZcZZ}  
$b$ derart, da"s $\Omega_{<b}$ unendlich ist.
Dieses $\omega=\Omega_{<b}$ ist dann die kleinste unendliche
wohlgeordnete Menge in dem Sinne, da"s sie in jeder unendlichen
wohlgeordneten Menge als Anfangsst"uck auftritt. 
Zwischen je zwei derartigen wohlgeordneten Mengen 
gibt es nach \ref{OZA} 
genau einen Ordnungsisomorphismus. 
Es gilt nun zu zeigen, da"s $\omega$ ordnungsisomorph ist zu 
unserer in \eref{ONZ}{LA1} 
beschriebenen angeordneten Menge $\DN$. 
Die Menge $\omega$ hat sicher 
kein gr"o"stes Element, denn ein solches k"onnten wir
ihr  wegnehmen und so ein unendliches echtes Anfangsst"uck erhalten.
Mithin hat in $\omega$ jedes Element einen Nachfolger.
  Die Abbildung $S:\omega\ra\omega$, 
die jedem Element seinen Nachfolger zuordnet,
  ist injektiv, denn haben zwei Elemente $x$ und $y$ denselben Nachfolger, so
  f"uhren beide Annahmen $x<y$ und $x>y$ leicht zum Widerspruch. Offensichtlich
  geh"ort auch das kleinste Element $o\in \omega$  nicht zum Bild von $S$.
Um zu zeigen, da"s das Tripel
$(\omega,o,S)$ die definierenden Eigenschaften der nat"urlichen Zahlen nach
\eref{EDNC}{LA1} hat, m"ussen wir nur noch pr"ufen, da"s es keine echte
$S$-stabile Teilmenge $Z\subsetneq \omega $ gibt mit $o\in Z$. 
 Gegeben eine echte Teilmenge $Z\subsetneq \omega$ g"abe es aber in
$\omega\backslash Z$ ein kleinstes Element $b$.
Gilt zus"atzlich $o\in Z$, so folgt $b\neq o$.
 Jedes Element von $\omega$ au"ser der Null hat aber einen Vorg"anger, denn f"ur
    jedes $b\in \omega$ ist $\omega_{<b}$ endlich und 
im Fall $b\neq o$ nicht leer
    und hat damit als nichtleere endliche angeordnete Menge nach \eref{NEEN}{LA1} 
    ein gr"o"stes Element $a$. Aus $a\in Z$ folgt  dann aber sofort
$S(a)=b\in Z$, und das ist der gesuchte Widerspruch.
\end{proof}
 




 



\subsection{Dimension als Kardinalit"at}\label{DiKa}
\begin{Definition}\label{KaZa}
  Gibt es zwischen zwei Mengen eine Bijektion, so sagt man auch, 
sie seien {\bf gleichm"achtig}.\index{gleichm"achtig} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw}
  Unter einer \defind{Kardinalzahl} versteht man  eine "Aquivalenzklasse
  in der Klasse aller Mengen unter der "Aquivalenzrelation, die durch die
  Existenz einer Bijektion erkl"art wird. Die "Aquivalenzklasse einer
Menge hei"st dann ihre  {\bf Kardinalit"at}.\index{Kardinalit"at} 
Hier rede ich sehr vorsichtig von
  der \glqq Klasse\grqq\  aller Mengen, da wir ja bereits aus \eref{WHK}{GR} wissen,
  da"s es nicht sinnvoll ist, von der \glqq Menge aller Mengen\grqq\  zu reden. Die
  Gesamtheit aller Kardinalit"aten ist dann auch keine Menge mehr, und wir
  sto"sen hier wieder an die Grenze dessen, was im Rahmen der naiven
  Mengenlehre noch sinnvoll behandelt werden kann.
Die Gesamtheit aller Kardinalit"aten von Mengen, die Elemente
 eines gegebenen Universums \eref{defU}{LA2} sind, ist
aber durchaus noch eine wohldefinierte Teilmenge  besagten Universums.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
  Nach \eref{KaPo}{GR} ist keine Menge gleichm"achtig zu ihrer Potenzmenge.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Kardinalit"aten von Basen}]
Zwischen je zwei Basen ein- und desselben Vektorraums gibt es  eine Bijektion.
\index{Dimension!eines Vektorraums}\label{KaBa} 
\end{Satz}

\begin{proof}
Nach dem Austauschsatz \ref{ALNA} gibt es eine Injektion von jeder
Basis in jede andere Basis. Die Behauptung folgt dann mit 
dem Satz von Schr"oder-Bernstein \ref{SchB}.
\end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Austauschsatz}]
Ist $V$ ein Vektorraum, $E\subset V$ ein Erzeugendensystem und
$L \subset V$ eine  linear unabh"angige Teilmenge,
so gibt es eine Injektion $\varphi: L\hra E$\label{ALNA} derart, 
da"s auch $ (E \backslash \varphi(L)) \cup L$
ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
\end{Lemma}

\begin{proof}
In \eref{ATL}{LA1} hatten wir das  f"ur $L$ endlich bereits gezeigt.
Wir erweitern nun unseren Beweis und 
betrachten
die \glqq durch Einschr"ankung\grqq\  angeordnete Menge aller 
\glqq partiellen Austauschungen\grqq\  $(L',\varphi')$ bestehend aus
einer Teilmenge $L'\subset L$ und einer dazu 
gegebenen Injektion $\varphi':L'\hra E$
 mit der 
Eigenschaft, da"s auch $ (E \backslash \varphi'(L')) \cup L'$
ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
Dann zeigen wir, 
da"s gegeben ein angeordnetes System
$\cal{L}$ von partiellen Austauschungen auch die
Vereinigung $L^\circ$ mit dem darauf durch 
Fortsetzung definierten $\varphi^\circ$
eine partielle Austauschung ist,
da"s also $ (E \backslash \varphi^\circ(L^\circ)) \cup L^\circ$
ein Erzeugendensystem ist.
Aber w"ahlen wir f"ur einen Vektor von $V$ 
unter allen Darstellung als Linearkombination
von Vektoren aus einem $ (E \backslash \varphi'(L')) \cup L'$ 
mit $(L',\varphi')\in\cal{L}$ eine Darstellung aus, f"ur die wir 
so wenig  Vektoren 
aus $ E \backslash \varphi'(L')$ wie m"oglich brauchen, 
so ist leicht zu sehen, da"s  dabei diese 
Vektoren bereits alle 
zu $ E \backslash \varphi^\circ(L^\circ)$ geh"oren.
Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es also
eine maximale partielle Ausdehnung 
$(L_{\op{max}},\varphi_{\op{max}})$, und es
bleibt zu zeigen $L_{\op{max}}=L$. Sonst
g"abe es aber einen Vektor  $ w\in L\backslash L_{\op{max}}$,
und nach \eref{ATLL}{LA1} k"onnten wir den auch noch in unser 
Erzeugendensystem hereintauschen alias $\varphi_{\op{max}}$
ausdehnen auf $L_{\op{max}}\cup\{ w\}$, im Widerspruch zur 
Maximalit"at.
\end{proof}

\begin{fBild}[p]\centering
\includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildScB}\\[4mm]
\noindent 
Illustration der vier Typen von "Aquivalenzklassen im 
Beweis des Satzes von
Schr"oder-Bernstein
\end{fBild}


\begin{Satz}[\textbf{Schr"oder-Bernstein}]
Seien $X$ und $ Y$ zwei Mengen.\index{Schr"oder-Bernstein} 
Gibt es eine Injektion $f: X \hra Y$ und eine Injektion $g: Y \hra X$, 
so gibt es auch eine Bijektion zwischen $X$ und $Y$.\label{SchB} 
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis] 
Wir d"urfen unsere beiden Mengen $X$ und $Y$ als disjunkt annehmen, 
indem wir sie andernfalls etwa durch $X\times\{0\}$ und $Y\times\{1\}$
ersetzen.
Wir betrachten auf der  Vereinigung $X \cup
  Y$ nun die "Aquivalenzrelation $\sim$, die erzeugt wird von 
$x \sim f(x)$ und $y \sim g(y)$, und interessieren uns f"ur deren
"Aquivalenzklassen. 
Besitzt in einer derartigen 
"Aquivalenzklasse $A$ ein Element $x \in A \cap X$ 
kein Urbild unter $g$, so hat unsere "Aquivalenzklasse die Gestalt
\glqq einer in $X$ beginnenden Kette\grqq\ 
\[ A = \{x,f(x), gf(x), fgf(x),\dots\} \]
Besitzt ein Element $y \in A \cap Y$ kein Urbild 
unter $f$, so hat unsere "Aquivalenzklasse
 die Gestalt \glqq einer in $Y$ beginnenden Kette\grqq\ 
\[ A = \{y,g(y), fg(y), gfg(y),\dots\} \]
Sind wir in keinem der beiden vorhergehenden F"alle 
und ist unsere "Aquivalenzklasse endlich, so hat sie die Gestalt
\glqq einer geschlossenen Kette\grqq\ 
\[ A = \{x,f(x), gf(x), fgf(x),\dots, (gf)^{i}(x) = x\} \]
f"ur ein $i \ge 1$ und jedes $x \in A\cap X$.
Sind wir schlie"slich in keinem der drei vorhergehenden 
F"alle, so hat unsere "Aquivalenzklasse die Gestalt \glqq einer 
nach beiden Seiten unendlichen Kette\grqq\ 
$$A = \{x_{i},y_{i} \mid i \in {\mathbb Z}\}$$ mit 
$x_{i}$ und $y_{i}$ paarweise verschieden und 
$f(x_{i}) = y_{i}$, $g(y_{i}) = x_{i+1}\,\forall \, i \in {\mathbb Z}$.
Man "uberzeugt sich nun 
leicht, dass f"ur jede  "Aquivalenzklasse entweder 
$f$ oder $g$ oder beide eine Bijektion zwischen den Elementen 
aus $X$  in unserer "Aquivalenzklasse 
und den Elementen aus $Y$ in unserer "Aquivalenzklasse  liefern. 
Im Zweifelsfall w"ahlen wir hier $f$ und erhalten auf diese Weise eine 
wohlbestimmte Bijektion zwischen $X$ und $Y$.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleichbarkeit von Kardinalit"aten}] 
Gegeben zwei Mengen $X,Y$ gibt es stets entweder eine Inklusion 
$X\hra Y$ oder eine Inklusion $Y\hra X$.\label{VGK} 
In der Tat, betrachten wir auf der Menge aller Tripel
$(X',f,Y')$ mit $X'\subset X$, $Y'\subset Y$ und $f:X'\sira Y'$ einer
Bijektion die offensichtliche Teilordnung, so k"onnen
wir das Zorn'sche Lemma anwenden und ein maximales Tripel finden,
f"ur das dann offensichtlich entweder $X'=X$ oder $Y'=Y$ gilt.
Wir schreiben $|X|\leq |Y|$ falls es eine Inklusion $X\hra Y$ gibt.
Mit dem Satz von Schr"oder-Bernstein \ref{SchB} sehen wir, da"s 
 $|X|\leq |Y|\leq |X| $ bereits $|X|= |Y|$ impliziert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Es liegt nun nahe, auf der Gesamtheit aller m"oglichen Kardinalit"aten,
etwa von Mengen eines gegebenen Universums, 
eine Teilordnung einzuf"uhren durch die Vorschrift 
$|X|\leq|Y|$ genau dann, wenn  eine Injektion $X\hra Y$ existiert.
Da"s diese Teilordnung total ist, da"s also darunter je zwei
Kardinalit"aten vergleichbar sind, folgt dann aus
 \ref{VGK}.
\end{Bemerkunge}

\begin{Satz}[\textbf{Multiplikationssatz der Mengenlehre}]
F"ur\index{Multiplikationssatz!der Mengenlehre}
jede unendliche Menge ist ihr kartesisches Quadrat gleichm"achtig zur Menge
selber, in Formeln\label{MSM}
\begin{equation*}
|M \times  M|=|M|
\end{equation*}\end{Satz}
\begin{proof}
Wir zeigen zun"achst eine schw"achere Aussage.
\begin{Lemma}\label{LLMM}
F"ur jede unendliche Menge $M$  gilt $| \mathbb{N} \times  M | = |M|$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Um dies Lemma zu zeigen,  m"ussen wir nach Schr"oder-Bernstein \ref{SchB} nur die Existenz
einer Injektion $\mathbb{N} \times  M\hookrightarrow M$ nachweisen.
Dazu betrachten wir die Menge aller Paare $(A, \varphi)$ mit $A \subset M$ und
$\varphi : \mathbb{N} \times  A \hookrightarrow A$ einer Injektion. Sie ist ein offensichtlicher
Weise induktiv teilgeordnet und besitzt folglich ein maximales Element $(A_{\op{max}},
\varphi_{\op{max}})$.
Gilt $| A_{\op{\max}} | = |M|$, so haben wir schon gewonnen.
Sonst gilt nach \ref{VGK} jedoch
$|A_{\op{max}} | \neq |M|$ und 
wir finden nach \ref{UEK}
eine abz"ahlbare unendliche Menge
$Z \subset M \backslash A_{\op{max}}$. 
Dann aber k"onnen wir unsere Injektion zu einer
Injektion
$
\mathbb{N} \times  (A_{\op{max}} \cup Z)\hookrightarrow A_{\op{max}} \cup Z
$
ausdehnen, indem wir eine Injektion 
$\DN\times Z\sira Z$ w"ahlen. Widerspruch!
\end{proof}  
\noindent
Nun zeigen wir den Multiplikationssatz.
Wir betrachten dazu die Menge aller Paare $(A, \varphi)$ mit $A\subset M$
  und $\varphi : A \times  A \hookrightarrow A$ einer Injektion. Sie ist in
  offensichtlicher Weise induktiv teilgeordnet und besitzt folglich ein maximales
  Element $(A_{\op{max}}, \varphi_{\op{max}})$.  Sicher ist dann
  $A_{\op{max}}$ unendlich.  Im Fall $|A_{\op{max}}|=|M|$ haben wir schon
  gewonnen.  Sonst gilt $|A_{\op{max}} | < |M|$ nach \ref{VGK} 
und dann nach Lemma \ref{LLMM}
  sogar $|\mathbb{N} \times  A_{\op{max}}| < |M|$.  
Wir finden also eine Einbettung
  $\psi : \mathbb{N} \times  A_{\op{max}} \hookrightarrow M$, von der wir sogar
  $\psi (0,a)=a$ fordern d"urfen. W"ahlen wir nun eine Injektion $\xi :
  \mathbb{N} \times  \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{N}$ mit $\xi (0,0) =0$,
  k"onnen wir die Injektion
  $$\begin{array}{ccc}
    (\mathbb{N} \times  A_{\op{max}}) \times  (\mathbb{N} \times
    A_{\op{max}}) 
& \hookrightarrow & (\mathbb{N} \times 
    A_{\op{max}})\\[2mm]
    ((i, a) , (j,b)) & \mapsto & (\xi (i,j) , \varphi_{\op{max}}(a,b))
  \end{array}$$
  bilden. Vermittels $\psi$ erhalten wir eine Injektion $(\op{im} \psi) \times 
  (\op{im} \psi) \hookrightarrow (\op{im} \psi)$, die $\varphi_{\op{max}}$
  fortsetzt. Widerspruch zur Maximalit"at von $(A_{\op{max}},
  \varphi_{\op{max}})$ !
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
  Gegeben  Mengen $X,Y$ mit $2\leq |X|\leq |Y|$ und 
  $Y$ unendlich kann man zeigen,
  da"s gilt $|\op{Ens}(Y,X)|=|\op{Ens}(Y,\{0,1\})|=|\op{Pot}(Y)|$.
  Im allgemeinen ist die Frage nach der Kardinalit"at
  einer Menge von Abbildungen $\op{Ens}(Y,X)$ nicht so leicht zu beantworten.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{UEK}
  Lassen wir aus einer unendlichen Menge endlich viele Elemente weg, so
 erhalten wir eine gleichm"achtige Menge.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben ein von Null verschiedener 
Vektorraum abz"ahlbarer Dimension "uber einem 
unendlichen K"orper zeige man, da"s der Vektorraum dieselbe
Kardinalit"at hat wie der Grundk"orper.\label{dika} 
Gegeben ein Vektorraum unendlicher Dimension
"uber einem abz"ahlbaren K"orper zeige man, da"s die
Kardinalit"at jeder seiner Basen "ubereinstimmt mit der 
Kardinalit"at des ganzen Vektorraums. 
Jede algebraische K"orpererweiterung eines  unendlichen K"orpers hat 
dieselbe Kardinalit"at wie besagter K"orper.
Hinweis: \ref{LLMM}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein unendlichdimensionaler Vektorraum zeige man, da"s 
sein Dualraum stets eine im Sinne von Kardinalit"aten echt gr"o"sere
Dimension hat. Hinweis:\label{KaBaD} Man beginne mit der Betrachtung von Vektorr"aumen
"uber dem K"orper mit zwei Elementen und verwende \ref{dika}
sowie \eref{KaPo}{GR}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Jede unendliche Menge ist gleichm"achtig zur Menge ihrer
  endlichen Teilmengen. Gegeben eine surjektive Abbildung
  mit endlichen Fasern zwischen unendlichen Mengen sind
  unsere beiden Mengen gleichm"achtig.\label{MEFD} 
\end{Ubung}
\subsection{Anwendungen in der Analysis*}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die kleinste "uberabz"ahlbare Ordinalzahl}] 
Wir k"onnen nach  \ref{EWOh} und \ref{OZA}
insbesondere auch \glqq die kleinste "uberabz"ahlbare Ordinalzahl\grqq\ 
bilden: Dazu w"ahlen wir mit \ref{EWOh} eine Wohlordnung auf einer 
"uberabz"ahlbaren Menge, etwa auf $\DR$, und betrachten 
in der so entstehenden "uberabz"ahlbaren wohlgeordneten Menge $(\Omega,\leq)$ 
das kleinste 
$b$ derart, da"s $\Omega_{<b}$ "uberabz"ahlbar ist.
Dieses $\omega=\Omega_{<b}$ ist dann die kleinste "uberabz"ahlbare
wohlgeordnete Menge in dem Sinne, da"s sie in jeder "uberabz"ahlbaren
wohlgeordneten Menge als Anfangsst"uck auftritt.
Aber versuchen sie blo"s nicht, eine derartige kleinste "uberabz"ahlbare 
wohlgeordnete Menge explizit anzugeben! Bereits einen Repr"asentanten f"ur
die \glqq kleinste unendliche Ordinalzahl\grqq\  schreiben wir zwar
leichthin auf's Papier als $\DN=\{0,1,2,\ldots\}$, aber ob das eigentlich
eine explizite Darstellung ist, scheint mir bei n"aherem Hinsehen 
auch schon recht fragw"urdig.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}\label{AlHg}
Die kleinste "uberabz"ahlbare Ordinalzahl $(\omega, \leq)$ 
besitzt kein gr"o"stes
Element, denn ein solches k"onnten wir ihr leicht wegnehmen.
Die \defind{Alexandroff'sche Halbgerade} wird erkl"art, 
indem man $\omega\times  [0,1)$ lexikographisch anordnet 
und mit der Topologie versieht, die von allen Teilmengen
$\{x \mid x > y\} $ und $\{x \mid x < y \}$ f"ur  $y\in \omega\times  [0,1)$ 
 erzeugt wird.
L"a"st man aus $\omega\times  [0,1)$ das kleinste Element weg, 
so entsteht eine nicht
parakompakte wegzusammenh"angende eindimensionale Mannigfaltigkeit,
wie wir im folgenden zeigen werden. Zun"achst zeigen wir, da"s 
wir so eine wegzusammenh"angende eindimensionale Mannigfaltigkeit erhalten.
Genauer behaupten wir, da"s $\omega_{<a} \times [0,1)$ 
hom"oomorph ist zu $[0,1)$ f"ur
alle $a \in \omega$: Ist sonst $b$ kleinstm"oglich 
mit $\omega_{<b} \times [0,1)$ nicht
hom"oomorph zu $[0,1)$, so k"onnte $b$ keinen direkten 
Vorg"anger haben, w"are also
eine Limeszahl, wir f"anden also eine streng monoton
wachsende Folge mit Supremum $b$,
und abz"ahlbar viele $[0,1)$ zu verkleben ist unproblematisch.
Da"s unser Raum nicht parakompakt ist, zeigen wir nach einer
Vorbemerkung als \ref{AHNP}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ebenso zeigt man, da"s $\omega_{<a} \times [0,1)$ 
ordnungsisomorph ist zu $[0,1)$ f"ur\label{oisu}  
alle $a \in \omega$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
Eine Selbstabbildung einer "uberabz"ahlbaren wohlgeordneten Menge, die
das kleinste Element auf sich selbst abbildet und jedes andere Element
auf ein echt kleineres,\label{FAUb} hat mindestens eine "uberabz"ahlbare Faser.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Sei $\Omega$ unsere "uberabz"ahlbare wohlgeordnete Menge und $f : \Omega
\rightarrow \Omega$ unsere Selbstabbildung, von der wir in Formeln ausgedr"uckt
fordern $f(0) =0$ und $f(a) < a \quad \forall a \neq 0$.
Es gilt zu zeigen, da"s ein $b \in \Omega$ existiert mit $f^{-1} (b)$
"uberabz"ahlbar.
Nun mu"s f"ur alle $a \in \Omega$ die Menge $\{f^n (a) \mid n \geq 0\}$ ein
kleinstes Element besitzen, und das kann nur das 
kleinste Element $0$ unserer wohlgeordneten
Menge $\Omega$ sein.
In anderen Worten gibt es f"ur alle $a \in \Omega$ ein $n \in \mathbb{N}$ mit
$f^n (a) =0$. W"aren nun alle Fasern von $f$ abz"ahlbar, 
so w"aren auch die Mengen
$(f^n)^{-1} (0)$ abz"ahlbar f"ur alle $n \in \mathbb{N}$ und 
$\Omega$ w"are abz"ahlbar
als die Vereinigung all dieser abz"ahlbar vielen 
abz"ahlbaren Mengen. Widerspruch!
\end{proof}
\begin{Lemma}
Die Alexandroff'sche Halbgerade \ref{AlHg} ist nicht parakompakt. Dasselbe
gilt auch f"ur das Komplement des kleinsten Elements in der 
Ale\-xan\-droff'schen Halbgerade.\label{AHNP}
\end{Lemma}
\begin{proof}
Wir betrachten f"ur jedes $a \in \omega$ das offene Intervall
 $U_a$ aller Punkte, die kleiner sind als
mindestens ein Punkt von $\{a\} \times [0,1)$.
Sicher bilden diese $U_a$ eine offene "Uberdeckung, und ich behaupte,
da"s diese 
"Uberdeckung
 keine lokal endliche Verfeinerung zul"a"st. In der Tat kann
man f"ur jede Verfeinerung eine Abbildung $f: \omega \rightarrow \omega$ finden
mit $f(0) = 0$ und $f(a) < a$ falls $a \neq 0$ derart, da"s f"ur $a \neq 0$
jeweils ein $t_a \in (0,1)$ existiert, f"ur das das Intervall 
$[(f(a),t_a), (a,0)]$ ganz
in einer offenen Menge unserer Verfeinerung enthalten ist.
Diese Abbildung $f$ hat nun nach 
\ref{FAUb} eine "uberabz"ahlbare Faser. Ist etwa $f^{-1} (b)$ "uberabz"ahlbar,
so hat $f^{-1} (b)$ keine obere Schranke in $\omega$, aber es gibt nat"urlich
ein kleinstes Element $c \in f^{-1} (b)$.
Wir erkennen nun, da"s $(c,0)$ zu unendlich vielen offenen Mengen unserer
Verfeinerung geh"ort, denn f"ur alle $a \in f^{-1}(b)$ gibt es eine offene
Menge unserer Verfeinerung, die $(a,0)$ und $(c,0)$ beide enth"alt.
\end{proof}
\begin{Lemma}
  In der kleinsten "uberabz"ahlbaren
  Ordinalzahl $(\omega, \leq)$ hat  jede abz"ahlbare
  Teilmenge $T\subset \omega$
  eine kleinste obere Schranke.\label{supOH}
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Zun"achst hat jede Teilmenge $T\subset \Omega_{\leq\omega}$ eine
  obere Schranke, n"amlich $\omega$ selbst, und damit auch eine
  kleinste obere Schranke $s\leq \omega$,
  da $\Omega_{\leq\omega}$ wohlgeordnet ist.
  Nehmen wir zus"atzlich $\omega\not\in T$ an,
  so ist $\Omega_{\leq t}$ abz"ahlbar f"ur alle $t\in T$.
  Ist $T$ auch noch abz"ahlbar, so ist folglich die Menge
  $\bigcup_{t\in T}\Omega_{\leq t}=\Omega_{\leq s}$ abz"ahlbar und es folgt
  $s\neq\omega$. 
\end{proof}
\begin{Lemma}
  In der Alexandroff'schen Halbgerade \ref{AlHg} hat jede
  abz"ahlbare Teilmenge ein Supremum.\label{supAH}
\end{Lemma}
\begin{proof} Unsere Halbgerade war $\omega\times  [0,1)$ mit der
    lexikographischen Ordnung f"ur $\omega$ die kleinste "uberabz"ahlbare
    Ordinalzahl. Gegeben darin eine abz"ahlbare Teilmenge $A$ hat nach
    \ref{supOH} ihre Projektion auf $\omega$ ein Supremum $s\in\omega$.
    F"ur den zweiten Nachfolger $s+2$ gilt dann $s+2\neq \omega$
    und folglich ist die Teilmenge $\omega_{<s+2}\times  [0,1)$
      ordnungsisomorph zu $[0,1)$ nach \ref{oisu}. Andererseits ist
        klar, da"s $A\subset \omega_{<s+2}\times  [0,1)$
          die obere Schranke $(s+1,0)$ hat. Also hat es auch eine
          kleinste obere Schranke in $\omega_{<s+2}\times  [0,1)$. 
\end{proof}

\begin{Lemma}
  In der Alexandroff'schen Halbgerade \ref{AlHg} ohne ihren Anfangspunkt
  ist jeder
 lokalendliche singul"are Einszykel ein Rand.\label{ZykAH}
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Gibt es einen Punkt $p$, der nicht im Bild eines Simplex
  unseres Einszykels liegt,
  so trifft auch eine ganze Umgebung keinen dieser Simplizes.
  So sehen wir, da"s es ausreicht, die Behauptung f"ur die
  Alexandroff'sche Halbgerade mit ihrem Anfangspunkt
  und f"ur das Intervall $(0,1]$ zu zeigen. Letzteres
          bleibe dem Leser "uberlassen.
          F"ur ersteres bemerken wir, 
          da"s in einer lokal endlichen  Einskette in der
          Alexandroff'schen Halbgerade h"ochstens endlich viele
  singul"are Einssimplizes mit von Null verschiedenem Koeffizienten
  auftreten k"onnen, denn gegeben abz"ahlbar unendlich viele Einsketten
  h"atten ihre Anfangspunkte nach \ref{supAH} 
  ein Supremum $s$ und wegen der Kompaktheit von $[p,s]$
  auch einen H"aufungspunkt im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit. 
\end{proof}



\begin{Lemma}\label{KSAl}
Seien gegeben eine Menge  $X$ und darin ein  System
von Teilmengen $\cal{E} 
\subset {\cal P}(X)$. 
\begin{enumerate}
\item 
Hat $\cal{E}$ eine Kardinalit"at $\leq|\DR|$, so hat auch die
davon erzeugte $\sigma$-Algebra ${\cal
    M}({\cal{E}})$ eine Kardinalit"at $\leq|\DR|$,
in Formeln $$|\cal{E}|\leq|\DR|\;\;\; \RA \;\;\; |{\cal
    M}({\cal{E}})|\leq|\DR|$$
\item
Hat $\cal{E}$ eine Kardinalit"at $\geq|\DR|$, so hat  die
davon erzeugte $\sigma$-Algebra ${\cal
    M}({\cal{E}})$ dieselbe Kardinalit"at wie $\cal{E}$, in Formeln 
  $$|\cal{E}|\geq|\DR|\;\;\; \RA \;\;\;|{\cal M}({\cal{E}})|=|\cal{E}|$$
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich von Lebesgue-Mengen 
und Borel-Mengen}] 
  Die $\sigma$-Algebra der Borelmengen in $\DR$ kann von einem
abz"ahlbaren Mengensystem erzeugt werden, mithin gilt nach unserem Satz
\ref{KSAl} die Absch"atzung\label{EZSI}  
$|\op{Borel}(\DR)|\leq |\DR|$. Dahingegen hat die Cantormenge 
\eref{CaMe}{AN3} dieselbe Kardinalit"at wie $\DR$ und alle ihre Teilmengen
sind Lebesgue-me"sbar. Folglich stimmt wieder nach \ref{KSAl} die
Kardinalit"at der $\sigma$-Algebra der Lebesgue-Mengen in $\DR$ "uberein
mit der Kardinalit"at von $\cal{P}(\DR)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die von einem Mengensystem $\cal{E} \subset {\cal P}(X)$
  erzeugte $\sigma$-Algebra ${\cal M}({\cal{E}})$ kann wie folgt beschrieben
  werden: Wir beginnen mit der kleinsten "uberabz"ahlbaren Ordinalzahl $\omega$
  und behaupten zun"achst die Existenz und Eindeutigkeit zweier Abbildungen
  $[0,\omega] \to {\cal P}({\cal M}({\cal{E}}))$, $\alpha \mapsto \Pi_{\alpha}$
  und $\alpha \mapsto \Sigma_{\alpha}$ mit der Eigenschaft $ \Pi_{0} =
  \Sigma_{0} = \cal{E} $ und so, dass f"ur $\alpha > 0$ gilt
\begin{align*}
  \Pi_{\alpha} & = \left\{\begin{array}{c}
      \mbox{abz"ahlbare Schnitte von Mengen aus}\\
      \mbox{irgendwelchen $\Sigma_{\beta}$ mit $\beta < \alpha$}
\end{array}\right\} \\[2mm]
\Sigma_{\alpha} & = \left\{ \begin{array}{c}\mbox{abz"ahlbare
      Vereinigungen von Mengen}\\
    \mbox{aus irgendwelchen $\Pi_{\beta}$ mit $\beta < \alpha$}
\end{array}\right\}
\end{align*}
Sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit dieser Abbildungen folgt leicht
durch "`transfinite Induktion"', d.h. man betrachtet das kleinste $\alpha$, f"ur
das $\Pi_{\alpha}$ oder $\Sigma_{\alpha}$ nicht mehr mit diesen Eigenschaften
definiert werden kann oder f"ur das es verschiedene M"oglichkeiten gibt und
kommt sofort zu einem Widerspruch.  Wir behaupten nun $\Pi_{\omega} =
\Sigma_{\omega} = {\cal M}(\cal{E})$. Hier folgt offensichtlich die zweite
Gleichung aus der ersten, denn alle unsere $\Pi_{\alpha}$ sind stabil unter
abz"ahlbaren Schnitten und alle unsere $\Sigma_{\alpha}$ sind stabil unter
abz"ahlbaren Vereinigungen.  Nun haben wir aber $\Pi_{\alpha} \subset
\Sigma_{\alpha + 1}$ und $\Sigma_{\alpha} \subset \Pi_{\alpha + 1}$ per
definitionem. Ein $M \in \Pi_{\omega}$ alias eine abz"ahlbare Vereinigung
\[ M_{1} \cup M_{2} \cup \dots \]
mit $M_{i} \in \Pi_{\alpha(i)}$ und $\alpha(i) < \omega$ geh"ort also wegen
$\alpha(i) + 1 < \omega$ auch zu $\Sigma_{\omega}$ und die umgekehrte Inklusion
$\Sigma_{\omega} \subset \Pi_{\omega}$ zeigt man "ahnlich.  Geht man speziell
von einem Mengensystem der Kardinalit"at $|\cal{E}| \le |{\mathbb R}|$ aus, so
haben alle unsere $\Pi_{\alpha}$ und $\Sigma_{\alpha}$ auch h"ochstens die
Kardinalit"at $|{\mathbb R}|$ und es folgt $|{\cal M}(\cal{E})| \le |{\mathbb
  R}|$. Geht man dahingegen 
von einem Mengensystem der Kardinalit"at $|\cal{E}| \geq |{\mathbb R}|$ aus, so
haben alle unsere $\Pi_{\alpha}$ und $\Sigma_{\alpha}$   dieselbe
Kardinalit"at wie $\cal{E} $   und es folgt 
$|{\cal M}(\cal{E})| = |\cal{E}|$.
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}
  Die Alexandroff'sche Halbgerade ist folgenkompakt, aber nicht
"uberdeckungskompakt.\label{FKNU}
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
  Sei $\Omega=\Omega_\alpha$ die kleinste wohlgeordnete Menge einer
  vorgegebenen unendlichen Kardinalit"at $\alpha$ und
  $X\subset \Omega$ eine Teilmenge einer echt kleineren Kardinalit"at.
  So gibt es $\omega\in\Omega$ mit $X\subset \Omega_{<\omega}$.
  Hinweis: Eine Vereinigung einer Familie von h"ochstens $\alpha$ Mengen
  einer Kardinalit"at h"ochstens $\alpha$ hat auch selbst nur h"ochstens die
  Kardinalit"at $\alpha$ nach dem Multiplikationssatz der\label{kkk} 
  Mengenlehre \ref{MSM}.
\end{Ubung}
\newpage
\section{Erg"anzungen zur K"orpertheorie*}
\subsection{Tensorprodukte von K"orpern}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beispiele f"ur Tensorprodukte von K"orpern}]
Gegeben  K"orpererweiterungen $L/ K$ und $M/K$
mu"s $L \otimes_{K} M$ keineswegs wieder ein K"orper sein, wie\label{PSKe}
bereits das Beispiel $\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ zeigt.
Solch ein Tensorprodukt kann sogar von Null verschiedene nilpotente Elemente
enthalten: F"ur ein Beispiel sei $k$ ein K"orper positiver Charakteristik
$\op{char} k = p >0$. Betrachten wir nun den
Funktionenk"orper $K = k (T)$ und seine Erweiterung 
$L =  k(\sqrt[p]{T})=K[X]/\langle X^p-T\rangle$, so
ergibt sich $L \otimes_{K} L \cong L[X]/\langle X^p-T\rangle$
und in diesem Ring ist $X -\sqrt[p]{T}$  nilpotent und von Null
 verschieden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt mit endlicher separabler K"orpererweiterung}] Ist  $L/K$ eine endliche separable K"orpererweiterung und
$M/K$ eine beliebige K"orpererweiterung, so ist $L\otimes_{K} M$ stets
  ein Produkt von K"orpern, die ihrerseits
  endlich separabel sind "uber $M$.\label{TPES} 
Ist genauer $\alpha \in L$ ein primitives Element und $P \in K [X]$
sein Minimalpolynom, so entsprechen die Faktoren von $L \otimes_{K} M$ den 
irreduziblen Faktoren $P=Q_1\ldots Q_r$ von $P$ in $M [X]$, denn wir haben Isomorphismen 
$$L\otimes_{K} M\sira (K[X]/PK[X])\otimes_{K} M\sira M[X]/PM[X]\sira \prod_{i=1}^rM[X]/Q_iM[X]$$
F"ur den letzten Schritt verwenden wird den chinesischen Restsatz und brauchen
dazu, da"s die $Q_i$ paarweise teilerfremd sind. Das hinwiederum
folgt  aus der
Separabilit"at von $P$.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Endomorphismenring einer endlichen Galoiserweiterung}]
Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ 
mit Galoisgruppe $\Gamma$ liefert der Satz 
"uber die lineare Unabh"angigkeit von
Charakteren \ref{LUC}
 eine $L$-lineare Einbettung\label{KaII} 
$$L\Gamma \hookrightarrow \op{Hom}_{K}( L,L)$$
Hierbei soll die Operation von $L$ auf dem $\op{Hom}$-Raum 
durch Nachschalten geschehen, also $(lf)(x)= lf(x)$.
Verstehen wir genauer $L\Gamma$ als  getwisteten Gruppenring 
$L\Gamma=L^\rtimes \langle \Gamma\rangle$ 
im Sinne von \eref{VTGR}{NAS} mit der Multiplikation 
charakterisiert durch
$\gamma \cdot l = \gamma (l) \cdot \gamma$,
so wird unsere Einbettung  ein Ringhomomorphismus
$L^\rtimes \langle \Gamma\rangle \hookrightarrow \op{End}_{K}( L)$.
Ist schlie"slich unsere K"orpererweiterung auch noch endlich und Galois, so 
ist unsere Einbettung wegen der Gleichheit der
Dimensionen sogar ein Ringisomorphismus
$$L^\rtimes \langle \Gamma\rangle
 \sira \op{End}_{K} L$$
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorquadrat einer endlichen Galoiserweiterung}]
% F"ur jede endliche 
% K"orpererweiterung $L/K$ liefert die Spur eine $K$-bilineare Paarung,
% die {\bf Spurform}\index{Spurform!bei K"orpern}
% $$\begin{array}{ccc}
% L \times L & \ra & K\\
% (x,y) &\mapsto & {\op{S}}^{K}_{L} (xy)
% \end{array}$$
% Sie ist offensichtlich invariant unter der Galoisgruppe.
% F"ur $L/K$ endlich separabel ist sie nach \ref{SEN} 
% nicht ausgeartet und liefert wegen der Gleichheit 
% der Dimensionen folglich einen Isomorphismus 
%  $L \sira  \op{Hom}_{K} (L,K)$. 
% Dieser
% Isomorphismus f"uhrt dann weiter zu einem Isomorphismus
% $L \otimes_{K}L \overset{\sim}{\ra} \op{Hom}_{K}(L,L)$, $ x \otimes y \mapsto
% (z \mapsto x {\op{S}}^{K}_{L} (yz))$. 
% \end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorquadrat einer endlichen Galoiserweiterung}]
F"ur jede K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung $L/K$ mit Galoisgruppe $\Gamma$ haben wir\label{TeQm} 
 einen Ringhomomorphismus
 $$\begin{array}{ccc}
L \otimes_{K} L &\ra & \op{Ens}( \Gamma, L)\\
 x \otimes y &\mapsto
 &( \sigma\mapsto x\sigma (y))\end{array}$$
 Der Ring der Abbildungen von $\Gamma$ nach $L$ ist hierbei schlicht
 mit der punktweisen Multiplikation zu verstehen.
 Im Fall einer Galoiserweiterung ist unser Ringhomomorphismus
 injektiv, wie wir  aus der linearen Unabh"angigkeit von
 Charakteren folgern werden. Sind genauer $x_1, \ldots, x_r\in L$ linear unabh"angig
 "uber $K$, so k"onnen wir sie zu einer $K$-Basis einer endlichen
 Galoiserweiterung $E\subset L$ von $K$ erg"anzen durch
 geeignete $x_{r+1},\ldots,x_s$.
 Bilden dann $\sigma_1,\ldots,\sigma_s\in\Gamma$ ein
 Repr"asentantensystem von $G\pdef \op{Gal}(E/K)$, so
hat die Matrix der $(\sigma_i(x_j))$ vollen Rang wegen der linearen Unabh"angigkeit von Charakteren. F"ur 
 $y_j\in L$ 
 folgt aus
 $\sum_j y_j\sigma_i(x_j)=0$ f"ur alle $i$ also $y_1=\ldots =y_s=0$.
 Im Fall einer endlichen Ga\-lois\-er\-wei\-te\-rung $\op{dim}_KL<\infty$ entlarvt damit ein 
 Dimensionsvergleich unseren Homomorphismus sogar als Isomorphismus 
$$
L \otimes_{K} L \;\sira\;  \op{Ens}( \Gamma, L)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$
  mit Galoisgruppe $\Gamma$ kann man zeigen,
  da"s unsere Isomorphismen $
  L \otimes_{K} L \sira  \op{Ens}( \Gamma, L)$
  und $L^\rtimes \langle \Gamma\rangle
  \sira \op{End}_{K} L$ einander entsprechen unter dem
  von der sogenannten \glqq Spurform\grqq\ induzierten Isomorphismus $L\sira \op{Hom}_K(L,K)$ und dem davon abgeleiteten Isomorphismus 
  $L \otimes_{K} L\sira \op{End}_K(L)$. Ich f"uhre das hier nicht weiter aus.
\end{Bemerkunge}


\begin{Satz}[\textbf{"uber die Normalbasis}]
Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ mit Galoisgruppe $\Gamma $ ist $L$
ein freier $K\langle \Gamma \rangle$-Modul vom Rang Eins.\label{SNB} 
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach \ref{TeQm} ist 
$L \otimes_{K} L$
  f"ur die Operation von $\Gamma$  auf dem zweiten Tensorfaktor
  ein freier $K\langle \Gamma \rangle$-Modul
  vom Rang $[L:K]$.
Der Satz von Krull-Schmid \eref{KruS}{NAS} zeigt jedoch, da"s zwei
endlichdimensionale $K\langle \Gamma \rangle$-Moduln, 
die nach endlicher Erweiterung
der Skalare isomorph werden, schon von Anfang 
an isomorph gewesen sein m"ussen, denn
die Erweiterung der Skalare gefolgt von der Restriktion 
bedeutet schlicht, eine
direkte Summe von $[L:K]$ Kopien des Moduls zu nehmen.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}
    Gegeben eine Erweiterung endlicher K"orper kann man zeigen, da"s 
jeder Erzeuger der
    multiplikativen Gruppe des gro"sen K"orpers zusammen mit seinen Bildern
    unter der Galoisgruppe eine Basis des gro"sen K"orpers "uber dem kleinen
    K"orper bildet. Der Beweis soll hier nicht gegeben werden. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungw} Weiteres zu K"orpererwiterungen, insbesondere Norm und Spur,
  diskutieren wir in \eref{Dns}{KAG}.
\end{Bemerkungw}


\subsection{Allgemeiner Translationssatz}

\begin{Satz}[\textbf{Kompositum als Tensorprodukt}]
Gegeben Unterk"orper $K,L$ eines gemeinsamen K"orpers mit
$K$ normal "uber $K\cap L$ liefert die Multiplikation stets
einen Isomorphismus mit dem Kompositum\label{KNK}
\begin{equation*}
K \otimes_{K\cap L} L \overset{\sim}{\rightarrow} (KL)
\end{equation*}
\end{Satz}
\begin{proof}
Da $K$ algebraisch ist 
"uber $S\pdef K \cap L$, f"allt das Erzeugnis
als Ring mit dem Erzeugnis als K"orper 
zusammen, in Formeln $[KL] = (KL)$, und
unser Homomorphismus ist schon mal 
surjektiv. Es reicht also, die Injektivit"at zu zeigen,
und dazu k"onnen wir uns auf den Fall 
beschr"anken, da"s $L/S$ als K"orpererweiterung
endlich erzeugt ist.
Mit einer offensichtlichen Induktion 
k"onnen wir uns weiter beschr"anken auf den
Fall, da"s $L/S$ eine primitive 
K"orpererweiterung ist, etwa $L= S (\alpha)$.
Wir d"urfen uns sogar auf drei F"alle beschr"anken:
Erstens $\alpha$ transzendent "uber $S$,
zweitens $\alpha$ eine $p$-te Wurzel eines Elements aus $S$ f"ur
$p$ die Charakteristik, und drittens $\alpha$ 
separabel "uber $S$. Diese drei F"alle gehen
wir nun der Reihe nach durch.
Ist $\alpha$ transzendent "uber $S$, 
so auch "uber $K$, und die Multiplikation
liefert schon mal einen Ringisomorphismus
\begin{equation*}
K \otimes_S S [\alpha] \overset{\sim}{\rightarrow} K [\alpha]
\end{equation*}
Damit erhalten wir f"ur jedes von Null verschiedene Polynom 
$P \in S [\alpha] \backslash 0$ auch einen
Isomorphismus $K \otimes_S P^{-1} S [\alpha] 
\overset{\sim}{\rightarrow} P^{-1} K [\alpha]$, und
das zeigt die Injektivit"at der durch Multiplikation 
gegebenen Abbildung $K \otimes_S S(\alpha)
\rightarrow K (\alpha)$ f"ur den Fall, da"s $\alpha$ 
transzendent ist "uber $S$.
Ist $\alpha$ algebraisch "uber $S$ mit $\alpha \not\in S$, 
aber $\alpha^p \in S$ f"ur
$p >0$ die Charakteristik, so folgt $[S (\alpha) : S]=p$ 
und $[K (\alpha) : K]=p$ und die
Injektivit"at folgt durch Dimensionsvergleich.
Ist schlie"slich $\alpha$ algebraisch und 
separabel "uber $S$, so k"onnen wir, indem
wir notfalls unseren gro"sen K"orper noch 
weiter vergr"o"sern, auch einen Unterk"orper
$L^\prime$ finden, der Zerf"allungsk"orper "uber $S$ 
des Minimalpolynoms von $\alpha$
"uber $S$ ist.
Betrachten wir nun das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
&(KL)\ar@{=}[d] &\\
K \ar@{-}[r]\ar@{-}[d] &K (\alpha) \ar@{-}[r]\ar@{-}[d] 
& (KL^\prime)\ar@{-}[d]\\
K\cap L^\prime \ar@{-}[r]\ar@{-}[d]_-G
&(K\cap L^\prime) (\alpha) \ar@{-}[r]^-G\ar@{-}[d] & L^\prime\\
K \cap L \ar@{=}[d]\ar@{-}[r]&(K\cap L)(\alpha) \ar@{=}[d] & \\
S& L & 
}
\end{displaymath}
von Teilk"orpern unseres gro"sen K"orpers.
F"ur jedes in unserem Diagramm enthaltene 
Rechteck steht in der Ecke oben rechts das
Kompositum der K"orper an den beiden benachbarten Ecken.
Zus"atzlich zu den beiden mit $G$ bezeichneten 
K"orpererweiterungen ist auch noch die
ganze mittlere Horizontale $L^\prime /(K \cap L^\prime)$ offensichtlich Galois.
In den drei Rechtecken "uber diesen Galois-Erweiterungen sind 
nach dem bereits bewiesenen Translationssatz f"ur endliche
Galoiserweiterungen \eref{TS}{AL} also
gegen"uberliegende Kanten jeweils 
K"orpererweiterungen vom selben Grad, in Formeln
\begin{eqnarray*}
\left[(KL^\prime):K (\alpha)\right] &=
& \left[L^\prime : (K \cap L^\prime) (\alpha)\right]\\
\left[(K\cap L^\prime) (\alpha) : K \cap L^\prime\right] 
&=&\left[(K \cap L) (\alpha) : K \cap L\right]\\
\left[(KL^\prime) : K\right] & =& \left[L^\prime : K \cap L^\prime\right]
\end{eqnarray*}
Aus der ersten und der letzten Gleichung 
f"ur das obere gro"se Rechteck und sein rechtes
Quadrat folgt aber sofort die Identit"at 
$$[K (\alpha) : K] = [(K \cap L^\prime) (\alpha) : K \cap L^\prime]$$
in seinem linken Quadrat, und zusammen mit der 
mittleren unserer drei Gleichungen aus dem unteren
Quadrat ergibt sich schlie"slich
\begin{equation*}
[K (\alpha) : K] = [(K \cap L) (\alpha) : K \cap L]
\end{equation*}
Mithilfe dieser Identit"at erhalten wir dann die 
Injektivit"at der Multiplika\-tions\-abbildung
\begin{equation*}
K \otimes_{K\cap L} L \rightarrow (KL)
\end{equation*}
aus der Gleichheit der Dimensionen besagter $K$-Vektorr"aume.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Translationssatz der Galoistheorie}]
Seien\label{TSs}\index{Translationssatz der Galoistheorie!allgemeiner Fall} 
in einem gro"sen K"orper zwei Teilk"orper $K, L$ gegeben.
Ist $  K \supset(K\cap L)$ eine  Galoiserweiterung, 
so ist auch $(KL) \supset L$ eine 
Galoiserweiterung. Ist $  K \supset(K\cap L)$ eine  normale Erweiterung, 
so ist auch $(KL) \supset L$ eine 
normale Erweiterung. In beiden F"allen 
liefert die
Restriktion   einen Isomorphismus von Galoisgruppen
$$\op{Gal} ((K L) /L)\sira \op{Gal} (K/K\cap L)$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Ist $K$ Zerf"allungsk"orper einer Familie separabler Polynome
"uber $K\cap L$, so ist auch   
$(KL)$ Zerf"allungsk"orper derselben Familie separabler Polynome
"uber $ L$. Ist $K$ Zerf"allungsk"orper einer Familie von Polynomen
"uber $K\cap L$, so ist auch   
$(KL)$ Zerf"allungsk"orper derselben Familie von Polynomen
"uber $ L$. Das zeigt die ersten Aussagen.
Da"s der von der Restriktion induzierte Homomorphismus auf den Galoisgruppen
injektiv ist,
scheint mir offensichtlich. Da"s er auch surjektiv ist erkennt man,
indem man den 
Isomorphismus
$$K\otimes_{K\cap L}L\sira (KL)$$
aus \ref{KNK} beachtet: Wir k"onnen mit seiner Hilfe 
n"amlich  eine Spaltung unseres Homomorphismus  explizit angeben
durch die Vorschrift $\sigma\mapsto \sigma\otimes\op{id}$. 
\end{proof}






\begin{Korollar}
Sind $k \subset K \subset M$ K"orper und ist $K/k$ normal und $\alpha \in M$
algebraisch "uber $k$, so gilt f"ur die 
Minimalpolynome von $\alpha$ die Identit"at
\begin{equation*}
\op{Irr} (\alpha; k (\alpha) \cap K) = \op{Irr} (\alpha; K)
\end{equation*}
\end{Korollar}
\begin{proof}
Man wende \ref{KNK} an auf $L=k(\alpha)$.
\end{proof}


\subsection{Krull-Topologie}
\begin{Definition}
  Gegeben eine algebraische 
K"orpererweiterung $L/K$ erkl"art man auf der Galoisgruppe 
$\op{Gal}(L/K)$ die {\bf Krull-Topologie}\index{Krull-Topologie}
als die gr"obste Topologie mit der Eigenschaft, da"s
f"ur jedes Element $a\in L$ die durch das
Anwenden auf $a$ gegebene Abbildung $\op{Gal}(L/K)\ra L$
nach $L$ mit seiner diskreten Topologie stetig ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Mit ihrer KrullTopologie wird die Galoisgruppe jeder 
 algebraischen 
K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung $L/K$ eine kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppe,
und ist $L/K$ Galois, so liefern die Abbildungen der Galoiskorrespondenz 
eine eineindeutige Entsprechung zwischen
abgeschlossenen Untergruppen und Zwischenk"orpern.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nichtoffene Untergruppen von endlichem Index}] 
Untergruppen von endlichem Index in einer Galoisgruppe  m"ussen
f"ur  die Krulltopologie nicht 
abgeschlossen oder gleichbedeutend offen  sein.
  Das folgende Beispiel 
habe ich von Franziska Jahnke gelernt: 
Man betrachtet die Galoiserweiterung von $\DQ$, 
bei der man die Quadratwurzeln aller
  Primzahlen adjungiert, in Formeln die Erweiterung  
$$\DQ(\sqrt{p}\;|\; p \text{ prim})/\DQ$$ 
Die Galoisgruppe dieser Erweiterung ist ein abz"ahlbares Produkt
  von Kopien von $\DZ/2\DZ$.
 Diese Gruppe hat nur
  abz"ahlbar viele offene Untergruppen, aber "uberabz"ahlbar viele Untergruppen
  von endlichem Index. Da die Restriktionsabbildung ein offener Epimorphismus
  ist, gilt das auch f"ur $\op{Gal}(\bar\DQ/\DQ)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Eine Vermutung von Serre, nach der in jeder endlich erzeugten
profiniten Gruppe jede Untergruppe von endlichem Index offen 
sein sollte, wurde 2007 
von Segal und Nikolov gezeigt.\index{Nikolov}
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Galoiserweiterung $L/K$ mit Galoisgruppe $\Gamma$
  erhalten wir eine Bijektion
  $$L\otimes_K L\sira\op{Top}(\Gamma, L)$$
  durch die Vorschrift $p\otimes q\mapsto (\sigma\mapsto p\sigma(q))$.
  Hierbei ist die Galoisgruppe mit ihrer Krulltopologie
  zu verstehen und $L$ mit der diskreten Topologie. Das folgt aus dem Fall
  \ref{TeQm} einer endlichen Galoiserweiterung 
  durch "Ubergang zum Kolimes.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Formen von Vektorr"aumen und Algebren} 
\begin{Definition}
Seien $K/k$ eine Galoiserweiterung und $\Gamma = \op{Gal}(K/k)$ ihre 
Galoisgruppe.
Unter einer 
{\bf abstrakten galoislinearen 
Operation}\index{galoislinear!Operation, abstrakte} 
von $\Gamma$ auf einem\label{GlOP} 
$K$-Vektorraum $V$ verstehen wir eine Operation 
$\Gamma \times V\ra V, (\gamma,v)\mapsto \gamma(v)$
auf der  Menge $V$ 
derart, da"s f"ur alle
$v \in V$, $\lambda \in K$ gilt
$$\gamma (\lambda \cdot v)=\gamma (\lambda) \cdot \gamma (v)$$
Von einer 
{\bf stetigen galoislinearen 
Operation}\index{galoislinear!Operation, stetige} 
fordern wir zus"atzlich die
Stetigkeit der zugeh"origen Abbildung $\Gamma\times V\ra V$
f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die diskrete 
Topologie auf $V$.  Wenn wir ohne weitere Spezifikationen 
von einer {\bf  galoislinearen Operation} reden, meinen wir 
eine stetige galoislineare Operation. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Oft ist f"ur solch eine Operation auch die exponentielle Schreibweise 
$a^\gamma\pdef\gamma^{-1}(a)$ praktisch. Das Invertieren sorgt dabei 
f"ur die
Identit"at $a^{(\gamma\sigma)}=(a^\gamma)^\sigma$.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Sei $K/k$ eine K"orpererweiterung.
Eine {\bf $k$-Form\index{Form!von Vektorraum} 
eines $K$-Vek\-tor\-raums} $V$ ist ein
$k$-Untervektorraum $V_{k}\subset V$ derart, da"s die
Multiplikation einen Isomorphismus
$K \otimes_{k}V_{k} \sira V$ liefert.
Gleichbedeutend ist die Forderung,
da"s $V_{k}$ ganz $V$ als $K$-Vektorraum erzeugt und
da"s jede "uber $k$ linear unabh"angige Teilmenge unseres Untervektorraums
$V_{k}$ auch "uber $K$ linear unabh"angig ist in $V$.
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Formen und galoislineare Operationen bei Vektorr"aumen}] 
Seien $K/k$ eine Galoiserweiterung und $\Gamma = \op{Gal} (K/k)$ 
ihre Galoisgruppe.\label{HS90} 
 Gegeben ein $K$-Vektorraum $V$ mit einer galoislinearen Operation von
$\Gamma$ induziert die Multiplikation einen Isomorphismus
\begin{equation*}
K \otimes_k V^\Gamma \sira V
\end{equation*}
\end{Satz}
% \begin{Bemerkungl}
% Wir versehen hier $\Gamma$ mit seiner Krull-Topologie, und 
% die Stetigkeitsbedingung ist dahingehend zu verstehen, 
% da"s die durch Operation gegebene Abbildung
% $\Gamma \times V \rightarrow V$  stetig sein soll f"ur 
% die diskrete Topologie auf
% $V$.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
%   Diese Proposition ist ein enger Verwandter von 
% {\bf Hilbert's Satz 90},\index{Hilbert!Satz 90}
% den man unmittelbar als Korollar erhalten kann.  
% \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Galois-Erweiterung $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$
und ein $K$-Vektorraum $V$ erhalten wir
nach diesem Satz zueinander inverse\label{IBjb} 
Bijektionen 
$$\left\{
      \begin{array}{c}
\text{$k$-Formen}\\V_{k} \subset V
\end{array}
\right\}
 \;\overset{\sim}{\leftrightarrow}\; \left\{
      \begin{array}{c}
\text{galoislineare Operationen} \\\Gamma\times V\ra
  V
\end{array}
\right\}$$
durch die Vorschriften, da"s wir  jeder $k$-Form $V_{k}\subset V$ wir die
galoislineare Operation von $\Gamma$ zuordnen, die durch 
$\gamma : a \otimes v \mapsto \gamma(a) \otimes v \; \forall
a \in K, v \in V_{k}$ gegeben ist, und 
umgekehrt jeder galoislinearen Operation $\Gamma\times V\ra V$ 
  ihre Fixpunktmenge
$V_{k}=V^{\Gamma}$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen mit der Surjektivit"at. Gegeben $v \in V$ finden wir nach
Annahme und der Definition der Krull-Topologie eine endliche Galois'sche
Unter\-erweiterung $K_0/k$ derart, da"s die Operation von $\Gamma$ 
auf $v$ 
"uber $\Gamma_0 \pdef \op{Gal} (K_0/k)$ faktorisiert.
Sind $\sigma, \tau, \ldots ,\rho$ die Elemente von $\Gamma_0$ und ist 
$a_\sigma, a_\tau, \ldots , a_\rho$ eine Basis von $K_0$ "uber $k$, so ist
nach dem Satz "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren 
\ref{LUC}
die Matrix $\left( a^\sigma_\tau\right)_{\tau, \sigma \in \Gamma_0}$ 
invertierbar,
deren Eintr"age wie angedeutet 
durch das Anwenden der Elemente $\sigma, \tau, \ldots, \rho$
der Galoisgruppe $\Gamma_0$ auf die Elemente 
$a_\sigma, a_\tau, \ldots ,a _\rho$
des K"orpers $K_0$ entstehen.
% Es gibt also Elemente
% $b_{\rho,\sigma} \in K$ mit $\sum_\sigma 
% b_{\rho,\sigma} a^\sigma_\tau = \delta_{\rho \tau}$ f"ur alle $\rho,\tau$.
Es gibt also Elemente
$b_{\rho,\sigma} \in K$ mit $\sum_\sigma 
b_{\rho,\sigma} a_\sigma^\tau = \delta_{\rho \tau}$ f"ur alle $\rho,\tau$.
Bilden wir nun die Vektoren
\begin{equation*}
v_\sigma \pdef \sum_{\tau \in \Gamma_0} (a_\sigma v)^\tau 
= \sum_{\tau \in \Gamma_0}
a^\tau_\sigma v^\tau \in V^\Gamma,
\;\;
\text{ so erkennen wir }
\;\;
\sum_\sigma b_{1,\sigma} v_\sigma = v
\end{equation*}
f"ur $1\in\Gamma_0$ das neutrale Element.
Das zeigt die Surjektivit"at.
Nun erf"ullt der Kern $\op{ker}$ unserer Abbildung auch die 
Bedingung des Satzes,
aus $\op{ker} \neq 0$ folgt demnach mit dem, was wir schon 
wissen, sofort $\op{ker}^\Gamma \neq
0$.
Es bleibt also nur zu zeigen, da"s die $\Gamma$-Invarianten 
in $K\otimes_k V^\Gamma$ mit dem
Bild von $k\otimes_kV^\Gamma$ zusammenfallen. 
Dabei k"onnen wir uns leicht auf den Fall
$V^\Gamma =k$ einschr"anken, und in diesem Fall ist es offensichtlich.
\end{proof}




\begin{Definition}
Gegeben ein $K$-Vektorraum mit einer $k$-Form $V \supset V_{k}$
 hei"st ein $K$-Untervektorraum $W \subset V$
{\bf definiert \"{u}ber $k$},\index{Untervektorraum!definiert "uber} 
wenn es einen $k$-Untervektor\-raum $W_{k} \subset
V_{k}$ gibt derart, da"s die Multiplikation einen
Isomorphismus  $K 
\otimes_{k} W_{k} \sira W$
liefert.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $K/k$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$
und $V \supset V_{k}$ ein $K$-Vektorraum mit einer $k$-Form.
  Sei $\Gamma\times V \ra V$ die zugeh"orige galoislineare
  Operation. Offensichtlich  ist
  ein $K$-Untervektorraum $W \subset V$ genau dann definiert 
"uber $k$, wenn er  unter $\Gamma$ stabil
  ist, wenn also in Formeln gilt $\gamma(W)\subset W$ oder gleichbedeutend
  $\gamma(W)=W$ f"ur alle $\gamma\in \Gamma$.\label{defKk} 
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formen und bepunktete Torsoren}] 
Seien $K/k$ eine Galoiserweiterung, $\Gamma = \op{Gal}(K/k)$ ihre 
Galoisgruppe und $V$ ein $K$-Vektorraum.  
F"ur jede $k$-Form $\hat V\subset V$ 
erhalten wir eine  Rechtsoperation von $\Gamma$  durch Konjugation auf der 
Gruppe $\op{Mod}^{\times}_{K}(V)$ der Automorphismen des
$K$-Vektorraums $V$, in Formeln gegeben durch  $$p^\gamma\pdef
\hat\gamma^{-1}\circ p\circ \hat\gamma$$
f"ur $\hat\gamma:V\ra V$
unsere galoislineare Operation.\label{Fbpt}  
Ich notiere unsere Automorphismengruppe dann $\op{Mod}^{\times}_{K}(\hat V)$,
um anzudeuten, da"s die $\Gamma$-Operation von der Form $\hat V$ abh"angt.
Versehen wir $\op{Mod}^{\times}_{K}(\hat V)$ mit der
Topologie, in der die Fixatoren endlicher Teilmengen von $V$ eine
Umgebungsbasis des neutralen Elements bilden,  und 
versehen unsere Galoisgruppe $\Gamma$ mit der Krull-Topologie,
so ist unsere Rechtsoperation von $\Gamma$ stetig.
Gegeben eine weitere $k$-Form  $\tilde V\subset V$
liefert die offensichtliche Identifikation 
$$\op{Mod}_K^\times(\tilde V\otimes_kK, \hat V\otimes_kK)
\sira \op{Mod}_K^\times(V)$$
eine Rechtsoperation der Galoisgruppe $\Gamma$ auf dieser Menge durch die
Vorschrift $q^{(\gamma)}\pdef \hat\gamma^{-1}\circ q\circ \tilde\gamma$.
Mit ihrer  $\op{Mod}_K^\times(\hat V)$-Linksoperation durch Nachschalten 
wird unsere Menge dann ein topologischer $\Gamma$-"aquivarianter 
$\op{Mod}_K^\times(\hat V)$-Torsor im Sinne von \eref{ToET}{TG}, 
in Formeln gilt insbesondere
$$(pq)^{(\gamma)}=p^{\gamma}q^{(\gamma)}$$
Unser Torsor besitzt auch einen ausgezeichneten Punkt,
die Identit"at auf $V$. Diese Konstruktion liefert sogar
f"ur jede feste $k$-Form $\hat V\subset V$ eine Bijektion
 $$\left\{\begin{array}{c}
\text{$k$-Formen $\tilde V\subset V$}\\
\text{des $K$-Vektorraums $V$}\\\end{array}
\right\} \;\sira\; 
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Bepunktete topologische}\\
\text{$\Gamma$-"aquivariante $\op{Mod}_K^\times(\hat  V)$-Torsoren,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}
\end{array}\right\}$$
Gemeint sind rechts Isomorphismen bepunkteter Torsoren, die also
den ausgezeichneten Punkt in den ausgezeichneten Punkt "uberf"uhren.
Die Umkehrabbildung kann wie folgt beschrieben werden:
Gegeben ein bepunkteter topologischer $\Gamma$-"aquivarianter
$\op{Mod}_K^\times(\hat V)$-Torsor $(X,x)$ erhalten wir die zugeh"orige
 galoislineare $\Gamma$-Operation 
auf $V$ mit Fixpunktmenge $\tilde V$, indem wir eine Abbildung $z:\Gamma\ra \op{Mod}_K^\times(\hat V)$ 
erkl"aren durch die Identit"at 
 $x^{(\gamma)}=z(\gamma)x$ 
und daraus eine galoislineare $\Gamma$-Wirkung auf $V$ machen
vermittels der Vorschrift
$\tilde\gamma\pdef\hat \gamma \circ z(\gamma)$ und eben 
$\tilde V\subset V$ definieren als deren Fixpunktmenge. Gegeben 
$\varphi\in \op{Mod}_K^\times(\hat V)$ entspricht nun der umbepunktete
"aquivariante Torsor
 $(X,\varphi x)$ der
$k$-Form $\varphi(\tilde V)\subset V$. Da aber
je zwei $k$-Formen eines $K$-Vektorraums
$V$ durch einen Automorphismus von $V$ auseinander hervorgehen, 
gibt es insbesondere, wenn wir keinen Basispunkt auszeichnen,
 bis auf Isomorphismus nur einen einzigen
topologischen
$\Gamma$-"aquivarianten $\op{Mod}_K^\times(\hat  V)$-Torsor. 
In der Sprache der Gruppenkohomologie \eref{ToET}{TG} gilt also
${\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Mod}_K^\times(\hat  V))=0$
und insbesondere
$${\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{GL}(n;K))=0$$
f"ur die Gruppe $\op{GL}(n;K)$ mit 
ihrer offensichtlichen $\Gamma$-Operation. Diese Aussage wird meist
zitiert als 
{\bf Hilbert's\index{Hilbert's Satz 90} Satz 90}.
Hilbert selbst formuliert sie allerdings nur im Fall $n=1$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Korollar}[\textbf{Pythagoreische Zahlen\index{Pythagoreische Zahlen}}]
  Gegeben $a,b,c\in\DZ$  mit $a^2+b^2=c^2$ ist entweder $a$ oder $b$ gerade. Nehmen wir zus"atzlich an, $b$ sei gerade, so gibt es 
  $r,s,t\in \DZ$  mit   $a=(r^2-s^2)t$ und $b=2rst$ und $c=(r^2+s^2)t$.
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Modulo Vier sind Null und Eins die einzigen Quadrate. Das zeigt bereits die erste
  Aussage. 
   Im Fall der quadratischen Erweiterung $\DQ({\op{i}})/\DQ$
   liefert die Beschreibung \eref{gkzz}{TG} der nichtabelschen
   Gruppenkohomologie durch Zykel zusammen mit Hilbert's Satz 90,
   da"s jedes von Null verschiedene
   Element $p+q{\op{i}}\in \DQ({\op{i}})$ mit $(p+q{\op{i}})(p-q{\op{i}})=1$
   von der Gestalt $p+q{\op{i}}=(r+s{\op{i}})(r-s{\op{i}})^{-1}$ ist
   f"ur ein von Null verschiedenes
   Element $r+s{\op{i}}\in \DQ({\op{i}})$. Sicher d"urfen wir dabei
   annehmen, da"s gilt $r,s\in\DZ$ und $\langle r,s\rangle=1$. 
   Gegeben  $a,b,c\in \DZ$ nicht alle Null mit $$a^2+b^2=c^2$$ 
   finden wir also $r,s\in\DZ$ mit $\langle r,s\rangle=1$ und 
   $$a+b{\op{i}}=(r^2-s^2 +2rs{\op{i}})c^2/(r^2+s^2)$$
   Aus $b=2rsc^2/(r^2+s^2)\in 2\DZ$ folgt dann 
   $t\pdef c^2/(r^2+s^2)\in\DZ$. Auf diese Weise finden wir $r,s,t\in \DZ$ mit
   $a=(r^2-s^2)t$ und $b=2rst$ und $c=(r^2+s^2)t$, wenn
    $a,b,c$ nicht alle Null sind. Im Fall $a=b=c=0$ k"onnen
   wir schlicht  $t=0$ und $r,s$ beliebig nehmen.
\end{proof}



  \begin{Definition}
Sei $K/k$ eine K"orpererweiterung.
    Eine {\bf $k$-Form\index{Form!von Algebra} 
einer $K$-Al\-ge\-bra} $A$ ist eine $k$-Form
    $\hat A \subset A$ des Vektorraums $A$, die gleichzeitig 
eine\label{rFkAn} 
    $k$-Unteralgebra von $ A$ ist. 
\end{Definition} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formen von Algebren und galoislineare Operationen}] 
  Gegeben eine Galoiserweiterung $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$ und
  eine $K$-Algebra $A$ liefern
die Bijektionen aus \ref{IBjb} auch
  zueinander inverse Bijektionen
    $$\left\{
      \begin{array}{c}
        \text{$k$-Formen}\\\hat A \subset A\\
        \text{der $K$-Algebra }A
      \end{array}
    \right\} \overset{\sim}{\leftrightarrow} \left\{
      \begin{array}{c}
        \text{galoislineare Operationen} \\\Gamma\times A\ra
        A\\
        \text{auf der $K$-Algebra }A
      \end{array}
    \right\}$$ Hier fordern wir von einer Operation auf einer Algebra
    zus"atzlich, da"s sie mit der Verkn"upfung in unserer Algebra
    vertr"aglich sein soll, in Formeln $\hat \gamma(a\cdot
    b)=\hat \gamma(a)\cdot\hat \gamma( b)$ f"ur alle $a,b\in A$ und $\gamma\in
    \Gamma$.
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formen von Algebren und Torsoren}] 
  Gegeben eine Galoiserweiterung $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$ und
  eine $K$-Algebra $A$ mit einer ausgezeichneten $k$-Form $\hat A\subset A$
stabilisiert unsere $\Gamma$-Operation auf $\op{Mod}_K^\times(\hat A)$ 
aus \ref{Fbpt} die Untergruppe  $\op{Alg}_K^\times(\hat A)$ der Automorphismen 
von $K$-Algebren und unsere Bijektion aus \ref{Fbpt} induziert eine Bijektion
 $$
 \begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c}
\text{$k$-Formen $\tilde A\subset A$}\\
\text{der $K$-Algebra $A$}\\\end{array}
\right\} &\sira& 
\left\{ \begin{array}{c}
\text{bepunktete topologische}\\
\text{$\Gamma$-"aquivariante $\op{Alg}_K^\times(\hat  A)$-Torsoren,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}
\end{array}\right\}\\[7mm]
\tilde A&\mapsto&\op{Alg}_K^\times(\tilde A,\hat  A)
\end{array}
$$
Hier ist rechts zu verstehen, da"s wir beim "Ubergang vom Fall der
 Vektorr"aume zum Fall der Algebren  jedem 
bepunkteten $\op{Mod}_K^\times(\hat A)$-Torsor\label{FGKoK} 
die $\op{Alg}_K^\times(\hat  A)$-Bahn des ausgezeichneten Punktes zuordnen.  
Entspricht  die 
$k$-Form $\tilde A\subset A$ dem bepunkteten Torsor $(X,x)$ und
ist 
$\varphi\in \op{Alg}_K^\times(\hat A)$ ein Automorphismus von $K$-Algebren,
so entspricht nun der bepunktete Torsor
 $(X,\varphi x)$ der
$k$-Form $\varphi(\tilde A)\subset A$.
Insbesondere induziert unsere Bijektion eine Bijektion 
 $$\left\{\begin{array}{c}
\text{$k$-Formen $\tilde A\subset A$}\\
\text{der $K$-Algebra $A$,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}\\
\text{$k$-Algebren}\end{array}
\right\} \;\sira\; 
\left\{ \begin{array}{c}
\text{topologische}\\
\text{$\Gamma$-"aquivariante}\\
\text{$\op{Alg}_K^\times(\hat  A)$-Torsoren,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}
\end{array}\right\}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
In der Sprache der Gruppenkohomologie \ref{EGruK} lesen 
sich die obigen Bijektionen als Bijektionen
 $$
 \begin{array}{llr}
\left\{
\text{$k$-Formen der $K$-Algebra }A
\right\} &\sira&
{\op{Z}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Alg}_K^\times(\hat A))\\[2mm]
 \left\{
\text{$k$-Formen der $K$-Algebra }A
\right\}_{/\cong_k} &\sira&
{\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Alg}_K^\times(\hat A))
\end{array}
$$
Hier meint $\cong_k$, da"s wir in der zweiten Zeile  nur $k$-Formen 
bis auf Isomorphismus von $k$-Algebren betrachten, 
und der untere Index $\op{st}$ erinnert  jeweils daran,
da"s  nur stetige Einskozykel zu betrachten sind.
  \end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"orper $k$ und
  eine $k$-Ringalgebra $\hat A$ und eine Galoiserweiterung $K/k$ mit
  Galoisgruppe $\Gamma$ und $A\pdef \hat A\otimes_kK$ erh"alt man wie in \eref{FGKoK}{AL} eine
  Bijektion  $$
 \left\{
\text{$k$-Formen der $K$-Ringalgebra }A
\right\}_{/\cong_k} \sira
        {\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Ralg}_K^\times(\hat A))$$
        Rechts steht hier die Gruppe der $K$-Ringalgebrenautomorphismen
        von $A$ mit ihrer von $\hat A$ herr"uhrenden $\Gamma$-Operation.
        Ist $\hat J\subset \hat A$ ein Ideal derart, da"s $J\pdef \hat J\otimes_kK$ stabil ist unter allen Automorphismen der $K$-Ringalgebra $A$,
        so erhalten wir mit $\hat B\pdef \hat A/\hat J$ ein kommutatives Diagramm\label{hzut}  
 $$\begin{array}{ccc}
 \left\{
\text{$k$-Formen der $K$-Ringalgebra }A
\right\}_{/\cong_k} &\sira&
        {\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Ralg}_K^\times(\hat A))\\
        \da&&\da\\
   \left\{
\text{$k$-Formen der $K$-Ringalgebra }B
\right\}_{/\cong_k} &\sira&
        {\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{Ralg}_K^\times(\hat B))
        \end{array}
        $$
        Das alles sollte direkt aus der Konstruktion dieser Bijektionen folgen.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Innere Formen algebraischer Gruppen}]
Analoges gilt f"ur Koalgebren und Bialgebren und "uberhaupt sehr 
allgemein f"ur Vektorr"aume $A$ mit einer Familie ausgezeichneter 
Homomorphismen zwischen Tensorpotenzen von $A$, etwa einem
Homomorphismus $A\otimes A\ra A$ und einem weiteren
Homomorphismus $A\ra A\otimes A$. Insbesondere gilt es f"ur affine 
algebraische Gruppen $G$. In diesem Fall
induziert die Operation der Gruppe $G(K)$ durch Konjugation 
einen Gruppenhomomorphismus $\op{int}:G(K)\ra \op{GrpVar}_K^\times( G)$.
Ist $\hat G$ eine $k$-Form von $G$, so 
tr"agt $\hat G(K)\pdef \op{Ralg}_k(\mathcal O(\hat G),K)$ eine 
stetige $\Gamma$-Wirkung durch Nachschalten, die wir durch Invertieren
zu einer Rechtsoperation machen k"onnen.
Der Homomorphismus
$\op{int}:\hat G(K)\ra \op{GrpVar}_K^\times(\hat  G)$ ist
vertr"aglich mit der
 Rechtsoperation von $\Gamma$.
Die $k$-Formen von $G$, die Kohomologieklassen 
 im Bild der von $\op{int}$ induzierten
Abbildung 
$${\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\hat G(K))\ra {\op{H}}^1_{\op{st}}(\Gamma;\op{GrpVar}_K^\times(\hat G))$$
entsprechen, hei"sen dann die {\bf zu $\hat G$ inneren $k$-Formen von $G$}.
\index{innere Form}\index{Form!innere} Gegeben ein Einskozykel
alias eine stetige Abbildung $z:\Gamma\ra \hat G(K)$ mit 
$z(\gamma\beta)=z(\gamma)^\beta z(\beta)$ wie in \eref{EGruK}{TG} 
wird die Galoisoperation zur neuen Form also gegeben durch
$\tilde\gamma\pdef \hat\gamma\circ \op{int}(z(\gamma))$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Ich wollte mir "uberlegen, da"s gegeben zwei Bilinearformen auf 
einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum, die "uber $K$ isomorph
werden, die zugeh"origen Automorphismengruppen innere Formen voneinander sind.
Ich wollte mir ferner "uberlegen, da"s zueinander innere Formen isomorphe 
$k$-lineare Tensorkategorien endlichdimensionaler Darstellungen besitzen.
\end{Bemerkunge}



\subsection{Kummer-Theorie}
% \emph{Frage: Kann das Folgende als Operation von zwei Gruppen 
% auf derselben Menge verstanden werden?}
\begin{Definition}
Sei $n \in \Bbb{N}$ eine nat"urliche Zahl.
Eine K"orpererweiterung $L/K$ hei"st eine
{\bf Kummer-Erweiterung durch $n$-te Wurzeln}\index{Kummer-Erweiterung!durch $n$-te Wurzeln} oder kurz eine {\bf $n$-Kum\-mer\-er\-wei\-te\-rung}, 
wenn
(1) unser $n$ kein Vielfaches der 
Charakteristik unserer K"orper ist, (2) der K"orper
$K$ \hyperref[eanE]{alle $n$-ten Einheitswurzeln enth\"alt} und (3) der K"orper $L$
"uber $K$ erzeugt wird von $n$-ten Wurzeln von Elementen aus $K$, in
Formeln
$$L = K (\alpha \mid \alpha \in L,\; \alpha^{n} \in K)$$
Nennen wir $L/K$ eine {\bf Kummererweiterung}, so ist
gemeint, da"s es ein $n$ gibt derart, da"s $L/K$ eine
Kummererweiterung durch $n$-te Wurzeln ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  F"ur jedes multiplikativ notierte Monoid $M$ vereinbaren wir 
 die Notation $M^{\cdot n} \pdef \{
  \alpha^{n} \mid \alpha \in M \}$. 
Der kleine Punkt vor dem $n$ soll klar machen, 
da"s nicht  das kartesische Produkt von
$n$ Kopien der Menge $M$ gemeint ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Kummertheorie}]
Seien $K$ ein K"orper und  $n \in \Bbb{N}$ 
kein Vielfaches der
Charakteristik von $K$ und $K$  
enthalte alle $n$-ten Einheitswurzeln. So gilt:\label{KuTe}   
\begin{enumerate}
\item
Genau dann ist eine K"orpererweiterung $L/K$ eine
$n$-Kummererweiterung, wenn $L/K$ eine
Galois-Erweiterung ist mit abelscher Galois-Gruppe von endlichem 
 $n$ teilenden Exponenten, also mit $g^{n}=1$ f"ur alle $g\in \op{Gal} (L/K)$;
\item
Die Abbildungsvorschrift 
$L \mapsto  \Delta(L)\pdef ((L^{\times})^{\cdot n} \cap K^{\times})/(K^{\times})^{\cdot n}$ liefert  eine Bijektion 
$$
 \left\{ \begin{array}{c}
\text{$n$-Kummererweiterungen von $K$ in einem }\\
\text{festen algebraischen Abschlu"s $\bar K$ von $K$}\\
  \end{array}\right\}\sira
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Untergruppen von}\\
\text{$K^{\times}/(K^{\times})^{\cdot n} $}
\end{array}\right\}$$
Wir nennen $\Delta(L)$ die \emph{\bf Kummergruppe}\index{Kummergruppe} unserer
Kummererweiterung. Gegeben eine Untergruppe $\Delta\subset K^{\times}/(K^{\times})^{\cdot n} $ wird die zugeh"orige Kum\-mer\-er\-wei\-te\-rung $E(\Delta)$  erzeugt von den $n$-ten Wurzeln der
Repr"asentanten der Elemente von $\Delta$; 
\item
Ist $L/K$ eine $n$-Kummererweiterung  mit Kummergruppe
 $\Delta =  \Delta (L)$
und Galoisgruppe $G\pdef \op{Gal}(L/K)$ und bezeichnet $\mu_{n}$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln von $K$, so erhalten wir eine wohldefinierte 
bilineare Abbildung, die  \emph{\bf Kummerpaarung}\index{Kummerpaarung}
$$\begin{array}{rcc}
G\times  \Delta & \rightarrow & \mu_{n}\\[1mm]
(g\; , \;a) & \mapsto & g(\sqrt[n]{a})/\sqrt[n]{a}
\end{array}$$
\item
  Ist $L/K$ eine 
  $n$-Kummererweiterung, so
liefert die Kummerpaarung einen Isomorphismus
$$G \sira \op{Hom}
(\Delta, \mu_{n})$$
Insbesondere haben wir f"ur jede endliche Kummererweiterung 
einen unkanonischen Isomorphismus $G\cong  \Delta$ zwischen ihrer
Galoisgruppe und ihrer Kummergruppe;
\item
 Ist $L/K$ eine 
  $n$-Kummererweiterung, so
liefert unsere Kummerpaarung einen Isomorphismus
$$\Delta
\sira
\op{Hom}^{\op{st}} (G, \mu_{n})$$
Hierbei sind rechts stetige Gruppenhomomorphismen gemeint f"ur die
Krull-Topologie auf der Galoisgruppe und die diskrete Topologie
auf $\mu_{n}$.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Wir k"onnten im Satz statt $\mu_n$ ebensogut an jeder Stelle
  $K^\times$ schreiben, alle Abbildungen landen automatisch in $\mu_n\subset K^\times$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $K$ ein K"orper und $\bar K$ ein algebraischer Abschlu"s von $K$. Da Kummererweiterungen per definitionem Galois sind,
  ist jede Kummererweiterung von $K$ isomorph "uber $K$ zu genau einem
  Unterk"orper  von $\bar K$, der $K$ umfa"st.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel} Unsere Bestimmung der Galoisgruppe von $\DQ (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})$ "uber $\DQ$ in \ref{QaWN} mag eine erste
  Anschauung f"ur $2$-Kummererweiterungen liefern.
\end{Beispiel} 
\begin{proof}[Beweis]
3. Das ist klar. 
\\[2mm]\noindent
1.
Per definitionem ist jede Kummererweiterung ein
Zerf"allungsk"orper separabler Polynome und mithin nach \ref{zfk} Galois.
Die in Teil 3 angegebene Paarung
$G \times  \Delta \ra \mu_{n}$
liefert offensichtlich einen
injektiven Gruppenhomomorphismus $G \hookrightarrow \op{Ens}
( \Delta, \mu_{n})$ und zeigt so, da"s f"ur jede $n$-Kummererweiterung
die Galoisgruppe $G$ abelsch ist mit $g^n=1\;\forall g\in G$.
Sei andererseits $L/K$ eine Erweiterung mit abelscher Galoisgruppe von
endlichem  $n$ teilenden Exponenten.
Jedes Element von $L$ liegt schon in einem Zwischenk"orper, der
Galois und endlich ist "uber $K$.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir also $L/K$
endlich annehmen.
Dann finden wir etwa nach \eref{ezhg}{LA2} Untergruppen $H_{1}, \ldots , H_{r} \subset
\op{Gal} (L/K)$ mit trivialem Schnitt $H_{1} \cap \ldots \cap
H_{r} =1$ und zyklischen Quotienten $G/H_{i}$. Die zugeh"origen
Unterk"orper $L_{1}, \ldots , L_{r}$ erzeugen $L$ und entstehen
nach \ref{ZEW} %\eref{ZEW}{AL}
jeweils durch Adjunktion einer $n$-ten Wurzel zu $K$.
Damit ist auch 1 bewiesen.
\\[2mm]\noindent
4\&5. Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ definieren wir
ihre duale Gruppe oder Charaktergruppe als $\mathfrak X(G) \pdef\op{Hom}
(G, \Bbb{Q}/\Bbb{Z})$. Die offensichtliche Paarung $G \times
\mathfrak X(G) \ra \Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ liefert  eine nat"urliche Abbildung von $G$
in sein Biduales.
F"ur $G = \Bbb{Z}/m\Bbb{Z}$ pr"uft man $\mathfrak X(G) \cong
\Bbb{Z}/m \Bbb{Z}$ und pr"uft sogar, da"s die nat"urliche Abbildung von $G$
in sein Biduales eine Bijektion ist.
Dieselben
Aussagen  $\mathfrak X(G) \cong
G$ und $\op{ev}:G\sira \mathfrak X(\mathfrak X(G))$ folgen dann f"ur alle endlichen abelschen Gruppen $G$.
Betrachten wir nur Gruppen vom Exponenten $n$, so kann hier auch
$\mu_{n}$ den Part von $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ "ubernehmen.
Nun wissen wir bereits, da"s unsere Paarung $G \times
 \Delta \ra \mu_{n}$ eine Injektion $$G
\hookrightarrow \op{Hom} (\Delta , \mu_{n})$$
induziert.
Ebenso ist umgekehrt klar, da"s sie eine Injektion
$$ \Delta  \hookrightarrow \op{Hom} (G,
\mu_{n})$$ induziert, denn f"ur $a \in \Delta$ und $\alpha \in
L^{\times}$ mit $\alpha^{n} = a$ folgt aus $g(\alpha) = \alpha \;
\forall g \in G$ schon $\alpha \in K^{\times}$, also $a
\in (K^{\times})^{\cdot n}$.
Im Fall einer endlichen
$n$-Kummererweiterung 
zeigt die zweite Injektion, da"s $\Delta$ endlich ist, und mit
unserer Dualit"at folgt dann, 
da"s  unsere Injektionen 
beide Isomorphismen sein m"ussen. So
erhalten  wir 4 und 5 im Fall einer endlichen
Kummererweiterung. Im allgemeinen folgt dann 4 durch "Ubergang zum Limes
"uber alle endlichen Teilerweiterungen und 5 durch "Ubergang zum Kolimes
"uber alle endlichen Teilerweiterungen.
\\[2mm]\noindent
2. Sei $\bar K$ ein fester algebraischer Abschlu"s von $K$.
F"ur eine beliebige Teilmenge $D \subset K^{\times}/(K^{\times})^{\cdot n}$ k"onnen
wir eine $n$-Kummer\-er\-weiterung $E(D)\subset \bar K$ von $K$ 
bilden, indem wir zu $K$ alle $n$-ten Wurzeln von
Repr"asentanten in $K^\times$ der Elemente aus
$D$ in  $\bar K$  adjungieren.
Sicher erhalten wir dann f"ur eine $n$-Kummererweiterung $L\subset \bar K$
von $K$ unser $L$
aus seiner Kummergruppe $\Delta(L)$ zur"uck als $L = E(\Delta(L))$.
Es gilt nur noch  umgekehrt zu zeigen, da"s  f"ur jede Untergruppe $D
\subset K^{\times}/(K^{\times})^{\cdot n}$
auch gilt $D = \Delta(E(D))$.
Offensichtlich ist hier $D \subset \Delta(E(D))$.
Um Gleichheit zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
$D$ endlich annehmen. Dann ist auch $E(D)/K$ endlich. Nun bezeichne man mit
$G$ die
Galoisgruppe dieser K"orpererweiterung
und betrachte das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}G&\sira&
\op{Hom} (\Delta(E(D)), \mu_{n})\\
\|&&\da\\
G&\hookrightarrow& \op{Hom} (D, \mu_{n})
\end{array}$$
Die obere Horizontale ist bijektiv aufgrund der bereits bewiesenen Teile.
Die untere Horizontale  ist injektiv, da die $n$-ten Wurzeln
der Repr"asentanten der
Elemente von $D$ bereits $E(D)$ erzeugen. Die rechte Vertikale ist
 surjektiv als duale Abbildung zu einer Injektion.
Es folgt, da"s die rechte Vertikale  ein Isomorphismus sein mu"s.
 Dualisieren liefert schlie"slich 
$D = \Delta(E(D))$
wie gew"unscht.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Isotypische Zerlegung von Kummererweiterungen}] 
  Gegeben $n\in \DN_{\geq 1}$ und
  eine $n$-Kummererweiterung $L/K$ mit Galoisgruppe $G$ ist f"ur  jeden
  stetigen Gruppenhomomorphismus $\chi:G\ra K^\times$ die $\chi$-isotypische
  Komponente $$L_\chi\pdef \{l\in L\mid gl=\chi(g)l\;\forall g\in G\}$$
  der Darstellung $L$ von $G$ "uber $K$ eindimensional, in Formeln 
  $\op{dim}_KL_\chi=1$, und sie werden erzeugt von einer beliebigen
  $n$-ten Wurzel
  eines beliebigen Repr"asentanten des Urbilds von $\chi$ unter der im
  letzten Teil unseres Satzes \ref{KuTe} zur Kummertheorie gegebenen Bijektion. 
  Da"s die eben beschriebenen Elemente in $L_\chi\backslash 0$ liegen,
  folgt direkt aus den Definitionen. Da"s kein $L_\chi$ eine Dimension echt gr"o"ser als Eins 
  haben kann, folgt im Fall einer endlichen Kummererweiterung aus der Identit"at
  $|\mathfrak X(G)|=|G|=[L:K]$ zusammen mit
  der Zerlegung in isotypischen Komponenten
  $L=\bigoplus_{\chi\in \mathfrak X(G)}L_\chi$ aus der Darstellungstheorie.
  Alternativ kann man die Aussage aus dem Satz "uber die Normalbasis \ref{SNB}
  folgern. 
  Im Fall beliebiger Kummererweiterungen leitet man die Aussage
  leicht aus dem endlichen Fall ab.  
\end{Bemerkunge}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAL"
%%% End: