\section{Darstellungstheorie endlicher Gruppen}


\subsection{Halbeinfachkeit von Gruppenringen}
\begin{Satz}[\defnoind{von Maschke}\index{Maschke, Satz von}]
Ist $G$ eine endliche Gruppe und $k$ ein K"orper mit $|G|k\neq 0$,
so ist jede Darstellung von $G$ "uber $k$ eine direkte Summe von
einfachen Unterdarstellungen.\label{Mas} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
 Insbesondere ist unter den
Annahmen des Satzes von Maschke  der Gruppenring halbeinfach.  
Die Bedingung $|G|k\neq 0$ bedeutet ausformuliert, da"s die
Charakteristik von $k$ nicht die Gruppenordnung $|G|$ teilt. Wir
sprechen
dann auch  vom Fall {\bf nichtteilender Charakteristik}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Im Fall der einelementigen Gruppe stimmt das schon mal: 
Jeder Vektorraum ist eine direkte Summe von eindimensionalen Teilr"aumen.
Eine Darstellung,  die eine  direkte Summe von\label{VollR} 
einfachen Unterdarstellungen ist, nennt man {\bf halbeinfach} oder  
{\bf vollst"andig reduzibel}.\index{vollst"andig reduzibel} 
Gleichbedeutend ist, da"s sie einem halbeinfachen Modul "uber dem
Gruppenring entspricht. 
Unser Satz gilt mit demselben Beweis auch f"ur einen Schiefk"orper $k$.
Beispiel \ref{BD2} zeigt, da"s er im allgemeinen nicht mehr gilt,
wenn die Charakteristik die Gruppenordnung teilt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis f"ur endlichdimensionale 
Darstellungen "uber $\DR$ oder $\DC$] 
  In diesen F"allen\linebreak benutzen wir:
\begin{Lemma}\label{IsPrE}
  Gegeben eine Darstellung  $V$ "uber $\DR$ oder $\Bbb{C}$ der
  endlichen Gruppe $G$ gibt es auf $V$ ein $G$-invariantes Skalarprodukt.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $b : V \times V \ra \Bbb{C}$ irgendein Skalarprodukt, so liefert die
  Formel
  $$(v,w) = \sum_{g\in G} b(gv, gw)$$
  ein {\bf $G$-invariantes Skalarprodukt}, als da hei"st, ein Skalarprodukt
  mit der Eigenschaft $(gv, gw) = (v,w)\; \forall g \in G$.
\end{proof}\noindent
Ist nun $W \subset V$ eine endlichdimensionale 
Unterdarstellung, so ist auch ihr orthogonales
Komplement $W^{\bot}\subset V$ unter einem invarianten Skalarprodukt eine
Unterdarstellung und wir haben $V = W \oplus W^{\bot}$
nach \eref{OKn}{LA2}. Induktiv zeigt man so,
da"s jede endlichdimensionale 
Darstellung $V$ in eine direkte Summe von einfachen
Unterdarstellungen zerf"allt.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis im allgemeinen]%$\;$\\ \noindent
Wir m"ussen nur  zeigen, da"s es f"ur jede Unterdarstellung $W\subset V$
einer endlichdimensionalen Darstellung $V$ von $G$ ein 
Komplement gibt, als da hei"st eine Unterdarstellung
$D\subset V$  mit $V=W\oplus D$. Dann 
sind wir fertig mit vollst"andiger
Induktion "uber die Dimension im endlichdimensionalen Fall
und mit der entsprechenden Charakterisierung \ref{HEE} halbeinfacher
Moduln im allgemeinen.
Ist nun $i: W \hookrightarrow V$ eine Unterdarstellung, so finden
wir nach \eref{HRi}{LA1} eine $k$-lineare Abbildung $\pi : V \ra W$ mit $\pi
\circ i = \op{id}_{W}$.
Die lineare Abbildung 
$$\psi 
=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} g\circ \pi\circ g^{-1}$$
in $\op{Hom}(V,W)$  ist dann sogar  ein Homomorphismus von Darstellungen $\psi : V \ra W$ mit
$\psi
\circ i = \op{id}_{W}$. Ihr Kern $\ker \psi$ ist folglich
 eine Unterdarstellung von
$V$ mit $V =W \oplus \ker \psi$.
\end{proof}


% \begin{Bemerkungl}
% Man mag sich im Lichte dieses Beweises fragen, ob  auch umgekehrt
% in einer Darstellung, die sich als direkte Summe einfacher 
% Unterdarstellungen schreiben l"a"st, jede Unterdarstellung ein
% Komplement haben mu"s. Das ist in der Tat richtig und wird sich
% als einfache Folgerung aus \ref{HEE} ergeben.
% \end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Ich will den vorhergehenden Beweis nocheinmal von einem anderen Standpunkt
aus diskutieren 
und dazu neue Konzepte einf"uhren, die uns  auch
an anderer Stelle noch n"utzlich sein werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sind $V, W$  Darstellungen einer Gruppe $G$ "uber
einem K"orper $k$, so machen wir den\label{opHn} %\label{opH} 
Raum $\op{Hom}_{k} (V,W)$ aller $k$-linearen Abbildungen von $V$ nach $W$
selbst zu einer Darstellung vermittels der Vorschrift $(gf)(v) =
g(f(g^{-1}v))$ oder, anders geschrieben, $$gf = g\circ f
\circ g^{-1}$$
Wir nennen diese Operation der Gruppe auf dem Hom-Raum die
\defnoind{Operation durch
  Konjugation}.\index{Operation!durch Konjugation}
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
  Man sieht sofort, da"s die Invarianten im Raum aller linearen Abbildungen von
  einer Darstellung $V$ in eine Darstellung $W$ unter der Operation durch
  Konjugation genau die Homomorphismen von Darstellungen sind, in Formeln
  $$\op{Hom}_k(V,W)^{G} = \op{Hom}_{k G} (V,W)$$
Im vorhergehenden Beweis haben wir schlicht "uber die Bahn 
von  $\pi$ im Hom-Raum gemittelt und so einen $G$-invarianten Homomorphismus 
von Vektorr"aumen alias einen Homomorphismus von Darstellungen erhalten.
Analoga dieser Konstruktionen gibt es in
jeder Schmelzkategorie, vergleiche \ref{ihD}. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkunge}
Ist noch allgemeiner $V$ eine Darstellung einer Gruppe $G$ und $W$
eine Darstellung einer Gruppe $H$, so erhalten wir eine
nat"urliche Operation von $G \times H$ auf $\op{Hom}_{k} (V,W)$
durch die Vorschrift 
$$(g,h)f = \rho_{W} (h) \circ f \circ \rho_{V}
(g^{-1})=h \circ f \circ 
g^{-1}$$
Unsere Definition ergibt sich im Fall $H=G$ durch Einschr"anken
der $(G\times G)$-Operation auf dem $\op{Hom}$-Raum vermittels der
diagonalen Einbettung $G \hookrightarrow G \times G$, $g \mapsto
(g,g)$.
Wir nennen sie  pr"aziser die 
Operation durch Konjugation auf dem
$\op{Hom}$-Raum, um sie zu unterscheiden von der \defnoind{Operation
durch Nachschalten}\index{Operation!durch Nachschalten} 
$g : f \mapsto \rho_{W} (g) \circ f$ und der
\defnoind{Operation durch Vorschalten}\index{Operation!durch Vorschalten}  
$g : f \mapsto f \circ
\rho_{V} (g^{-1})$.
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zerlegung in isotypische Anteile}]
Seien $G$ eine endliche Gruppe, $k$ ein K"orper nichtteilender
Charakteristik,
$M$ 
eine Darstellung von   $G$ und $\op{irr}_k(G)$
ein Repr"asentantensystem f"ur die 
Isomorphieklassen einfacher $kG$-Moduln.
So liefert die Einbettung der isotypischen Anteile
nach \ref{ITy} einen Isomorphismus\label{hity} 
$$\bigoplus_{E \in \op{irr}_k(G)} M_{E}\sira M$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
 Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ operiert die symmetrische Gruppe $\mathcal S_n$ auf 
$V^{\otimes n}$ durch die Permutation von Tensoren.
Die Zerlegung in isotypische Komponenten
\begin{equation*}
 V^{\otimes n} = \bigoplus_{\lambda \in \op{irr} \mathcal S_n} (V^{\otimes n})_\lambda
\end{equation*}
ist dann sogar eine Zerlegung in Unterdarstellungen von $\op{GL}(V)$.
 Ist $W$ ein weiterer komplexer Vektorraum, so liefert das Tensorieren beider Zerlegungen
eine Zerlegung
\begin{equation*}
 (V\otimes W)^{\otimes n} = \bigoplus_{\lambda, \mu \in \op{irr} \mathcal S_n} (V^{\otimes n})_\lambda
\otimes (W^{\otimes n})_\mu
\end{equation*}
in eine Summe von unter $\op{GL}(V) \times \op{GL} (W)$ stabilen Teilr"aumen.
Betrachten wir auf beiden Seiten nur die unter $\mathcal S_n$ alternierenden Tensoren,
so erhalten wir mit dem ersten Isomorphismus
nach \eref{AAAT}{LA2} eine Zerlegung der "au"seren Potenzen
\begin{equation*}
\bigwedge^n (V\otimes W) \overset{\sim}{\leftarrow} (V \otimes W)^{\otimes n}_{\op{sgn}} = \bigoplus_{\lambda \in \op{irr}
\mathcal S_n} (V^{\otimes n})_\lambda \otimes (W^{\otimes n})_{\lambda \otimes \op{sgn}}
\end{equation*}
Diese Zerlegung hei"st auch die 
{\bf Binet-Cauchy-Identit"at}.\index{Binet-Cauchy-Identit"at}
Sie kann mithilfe unserer Erkenntnisse 
\ref{EDSy} "uber einfache Darstellungen von
symmetrischen Gruppen auch  noch konkreter ausgeschrieben werden.
\end{Bemerkunge}

\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Ist $G$ eine endliche Gruppe und $k$ ein K"orper, dessen Charakteristik
die Gruppenordnung teilt, so besitzt die Unterdarstellung der konstanten
Funktionen im Gruppenring kein $G$-invariantes Komplement. 
Hinweis: Der zu solch einer Zerlegung geh"orige Projektor w"are nach
\eref{RHO}{KAG} die Rechtsmultiplikation mit einem Element $a$ des
Gruppenrings, das einerseits einer von Null verschiedenen 
konstanten Funktion 
entsprechen m"u"ste und andererseits der
Formel $a^2=a$ zu gen"ugen h"atte. F"ur die konstante Funktion $a\in kG$ 
mit dem einzigen Funk\-tions\-wert $c\in k$ gilt 
jedoch $a^2=|G|ca$.
\end{Ubung}


\subsection{Gruppenringe endlicher Gruppen}
\begin{Bemerkungl} 
Gegeben eine endliche Gruppe $G$ nennen wir einen
K"orper $k$ einen {\bf Spaltungsk"orper 
f"ur $G$},\index{Spaltungsk"orper!einer endlichen Gruppe} 
wenn alle
einfachen Darstellungen von $G$ "uber $k$  au"ser Skalaren
keine weiteren Endomorphismen haben.
Nach dem Dichtesatz ist dazu gleichbedeutend, da"s der Gruppenring
surjektiv auf den Ring der $k$-linearen Endomorphismen jeder einfachen
Darstellung abbildet. 
Nach dem Schur'schen Lemma ist jeder algebraisch abgeschlossene K"orper
ein Spaltungsk"orper.
 Da Ringe von quadratischen 
Matrizen unter K"orpererweiterung Ringe von quadratischen 
Matrizen bleiben, ist jede Erweiterung eines Spaltungsk"orpers 
auch selbst ein Spaltungsk"orper. Offensichtlich besitzt 
 jeder
K"orper eine endliche Erweiterung zu einem Spaltungsk"orper,
indem wir etwa alle Matrixeintr"age von Repr"asentanten der
einfachen Darstellungen "uber dem algebraischen Abschlu"s
adjungieren. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s wir uns in \ref{FuM} vorgenommen hatten,
  auch auf einer endlichen Gruppe $G$ sorgf"altig zwischen
  Funktionen und Ma"sen aus $kG=\op{Ma"s}_!(G)$ 
  zu unterscheiden. Ich notiere $\zeta\in \op{Ma"s}_!(G)$
  das Z"ahlma"s, so da"s die Verkn"upfung
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  \op{Ens}(G,k)\ar[r]^-{\circ\op{inv}} &\op{Ens}(G,k)\ar[r]^-{\cdot\zeta}&\op{Ma"s}_!(G)
}
\end{displaymath}
ein mit den nat"urlichen Operationen von $G\times G^{\op{opp}}$ vertr"aglicher
Isomorphismus ist. Er ist die Umkehrabbildung des in \ref{FuM} betrachtenen
Homomorphismus $\op{inz}$, den wir sogar f"ur nicht notwendig endliche Gruppen
erkl"art hatten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Fouriertransformation f"ur endliche Gruppen}]
Seien $G$ eine
endliche Gruppe,
$k$ ein Spaltungsk"orper von $G$ und\label{HSD}
 $L_{1}, \ldots, L_{r}$ die einfachen Darstellungen
von $G$ "uber $k$ bis auf Isomorphismus.
\begin{enumerate}
  \item
Im Fall nichtteilender  Charakteristik 
 liefert die Ope\-ra\-tion einen
Ring\-iso\-mor\-phis\-mus
$$\rho: k G \;\;\sira\;\; 
(\op{End}_{k} L_{1}) \times \ldots \times (\op{End}_{k} L_{r})$$
\item
  Unter der Umkehrabbildung wird f"ur $A\in {\op{End}}_k L$ das Tupel
  $[A:L]$ mit einem $A$ an der $i$-ten Stelle f"ur $L=L_i$ und Nullen sonst 
  abgebildet auf  $({\op{dim}}L)(c_A\circ\op{inv})\zeta/{|G|}\in kG$ mit  $c_A: g\mapsto \op{tr}\big(\rho_{L}(g)A|L\big)$;
  \item
Teilt die Charakteristik die Gruppenordnung,
so ist $\rho$ zumindest noch ein  surjektiver
Ringhomomorphismus. 
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Der Gruppenring einer endlichen Gruppe "uber einem Spaltungsk"orper einer
die Gruppenordnung nichtteilenden
  Charakteristik ist also in Worten
isomorph vermittels der durch die Operation gegebenen
  Abbildung zum Produkt der Endomorphismenringe der einfachen
  Darstellungen. Insbesondere ist er isomorph zu einem Produkt von
  Matrixringen. Gegeben $B\in\op{Mat}(d;k)$ und $E_{ij}$ eine Basismatrix
  finden wir $\op{tr}(B E_{ij})=B_{ji}$.
  Aus diesem Grund hei"st 
  unsere Funktion $c_A$ aus Teil 2  ein {\bf Matrixkoeffizient
  der Darstellung $L$}.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
  Der $k G$-Modul $L_{1} \oplus \ldots \oplus L_{r}$ hat,
  da wir $k$ als Spaltungsk"orper annehmen, 
den
Endomorphismenring $k \times \ldots \times k$. 
Die Surjektivit"at folgt damit
aus dem Dichtesatz \ref{JaDi}, angewandt auf
den $k G$-Modul $L_{1} \oplus \ldots \oplus L_{r}$ mit seinem
Endomorphismenring $k \times \ldots \times k$. 
Formal mag man "Ubung \eref{PHRI}{KAG} zu Homomorphismen von Moduln
"uber einem Produkt von Ringen anwenden.  
Um die
Injektivit"at zu zeigen bemerken wir, da"s ja im Fall nichtteilender
Charakteristik nach Maschke $k G$
selbst eine Summe
von einfachen Unterdarstellungen ist. Liegt also 
ein Element $a \in k  G$ im Kern
unserer Abbildung, so ist die Linksmultiplikation mit $a$ die
Null\-abbildung auf $k G$ und es folgt $a=0$.
 Im Fall  nichtteilender Charakteristik
 folgt das auch unmittelbar aus der Halbeinfachkeit des
Gruppenrings nach Maschke und 
der Strukturtheorie halbeinfacher Ringe
\ref{SHER}. Die zuvor gegebene Argumentation hat jedoch den
Vorteil, ohne den Dichtesatz auszukommen. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen,
beachten wir,
da"s alle Multiplikationen mit vom neutralen Element verschiedenen Gruppenelementen spurfreie Endomorphismen des Gruppenrings liefern, wohingegen
die Multiplikation mit dem neutralen Element alias die
Identit"at auf dem Gruppenring die Spur $|G|$ hat. F"ur $c=\sum c(x)\delta_x\in kG$ folgt die erste Identit"at der Gleichungskette 
$$|G|c(g^{-1})=\op{tr}\big((\delta_g c \cdot)|kG\big)=
\op{tr}\big((\rho(\delta_g c) \cdot)|P\big)$$
Die zweite Identit"at folgt, indem wir 
dieselbe Spur
auf der anderen Seite unseres Iso\-mor\-phis\-mus von $k$-Ringalgebren
$\rho:kG\sira P$ berechnen mit
der Abk"urzung $P$ f"ur das Produkt der Endomorphismenringe
der einfachen Darstellungen. 
Unsere Identit"aten gelten  speziell
auch, wenn wir einen Index $i$ w"ahlen und  $L=L_i$
setzen und $A\in\op{End}(L)$ w"ahlen und dasjenige 
 Element $c_A\in kG$ betrachten  mit $\rho:c_A\mapsto [A;L]$. 
So erhalten wir die Identit"at 
$$|G|c_A(g^{-1})=\op{tr}\big((\rho_{L}(g)A \cdot)|{\op{End}_kL}\big)$$
Gegeben eine Matrix $M\in \op{Mat}(d;k)$ haben wir aber
offensichtlich $$\op{tr}\big((M\cdot)| \op{Mat}(d;k)\big)=d\op{tr}(M)$$
Es folgt $|G|c_A(g^{-1})=(\op{dim}L)\op{tr}\big(\rho_{L}(g)A |L\big)$
und die Behauptung.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Isotypische Komponenten von links und rechts}] 
Im Fall nichtteilender Charakteristik zeigt der Satz,
da"s f"ur jede einfache Darstellung $L$ einer endlichen Gruppe $G$ die
$L$-isotypische Komponente des Gruppenrings $kG$ in seiner Eigenschaft
als Linksmodul zusammenf"allt mit 
 der
$L^\ast$-isotypischen Komponente des Gruppenrings $kG$ in seiner Eigenschaft
als Rechtsmodul, f"ur die hoffentlich offensichtliche Struktur als Rechtsmodul
auf dem Dualraum 
$L^\ast$. Das zeigen wir in \ref{IGTRn} allgemeiner  f"ur jede
endlichdimensionale einfache Darstellung $L$ einer beliebigen
Gruppe $G$ "uber einem beliebigen K"orper $k$. 
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zur Fouriertransformation der Analysis}]
Ist $G$ eine endliche und kommutative Gruppe, so ist jede einfache komplexe
Darstellung von $G$ eindimensional und die Isomorphieklassen
komplexer einfacher Darstellungen von $G$ entsprechen eineindeutig den
Gruppenhomomorphismen $G\ra S^1$ in die Kreisgruppe.
Die Menge dieser Gruppenhomomorphismen hatten wir in der Analysis
$\hat G$ notiert und 
unser Isomorphismus aus dem Satz entspricht so der kanonischen 
Fouriertransformation 
$$\op{M}(G)\ra \op{Ens}(\hat{G},\DC)$$
von komplexen Ma"sen auf $G$ zu Funktionen auf $\hat{G}$,
die wir in \eref{kFt}{AN3} im allgemeineren
Fall einer Fouriergruppe eingef"uhrt hatten.
Da"s wir in unserem Satz einen Ringhomomorphismus erhalten,
verallgemeinert sich in diesem Fall zu
Proposition \eref{FTF}{AN3} aus der Fouriertheorie, nach der 
unter der Fouriertransformation
die Faltung zweier Ma"se in das punktweise Produkt ihrer 
Fouriertransformierten "ubergeht.
\end{Bemerkunge}
  
\begin{Beispiel}[\textbf{Fouriertransformation f"ur zyklische Gruppen}]
Ist $G = \mathbb Z/n \mathbb Z$ zyklisch, so finden wir unsere
diskrete Fouriertransformation bereits im chinesischen Restsatz 
wieder. Das wird im folgenden Diagramm ausgef"uhrt. Wir
diskutieren es im Anschlu"s, vergleiche auch \ref{GrEW}.
\begin{displaymath}
\xymatrix{
k [X]  \ar[drr]\ar@{->>}[d]&&\\
k [X]/ \langle X^{n}-1 \rangle \ar^-{\sim}[rr]\ar[d]^-{\wr} & 
&kG \ar[d]^-{\wr}\\
\prod_{\{\zeta\mid \zeta^n = 1\}} k[X]/\langle X - \zeta \rangle \ar[rr]^-{\sim} &&
\prod_{L \in \op{irr}_k G} \op{End}_k L
 \\
 &{\underbrace{k \times \ldots \times k}_{\text{$n$ Faktoren}}} 
 \ar[ur]^-{\sim}\ar[ul]^-{\sim}&
}
\end{displaymath}
Die  universelle Eigenschaft des 
Polynomrings liefert sicher einen Homomorphismus von
$k$-Kringen $k[X] \rightarrow kG$ mit $X \mapsto \op{e}^{\bar{1}}$ 
in der Notation
\ref{NotE}. Sicher liegt $X^{n}-1$ im Kern und die universelle Eigenschaft des
Restklassenrings induziert so die obere Horizontale unseres Diagramms.
Die Basis $X^0, X^1, \ldots, X^{n-1}$ des 
Restklassenrings geht dabei in die Standardbasis
des Gruppenrings "uber, so da"s unsere obere Horizontale  ein Isomorphismus
sein mu"s.
Ist $k = \bar{k}$ algebraisch abgeschlossen 
und $\op{char} k$ kein Teiler
von $n$, so hat $X^n -1$ nach \eref{AVN}{AL} genau $n$ 
paarweise verschiedene Nullstellen
$\zeta_1, \ldots \zeta_n$ in $k$ und die 
Faktorisierung $X^n -1 = (X- \zeta_1)
\ldots (X - \zeta_n)$ zusammen mit dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL}
liefert den Isomorphismus in der linken Vertikale. Die rechte Vertikale ist
dahingegen unsere Fouriertransformation \ref{HSD}.
Da nun nach \ref{irrA} jede einfache Darstellung 
unserer abelschen Gruppe $G$
"uber $k$ eindimensional ist, entsprechen diese 
einfachen Darstellungen eineindeutig
den Gruppenhomomorphismen $\mathbb Z/n \mathbb Z \rightarrow k^\times$
alias nach \eref{GZm}{LA2} den $n$-ten Einheitswurzeln 
$\zeta_1, \ldots \zeta_n$.
Die Kommutativit"at unseres Diagramms folgt aus den Definitionen.
In diesem Sinne reduziert sich unser Satz \ref{HSD} 
"uber die diskrete Fouriertransformation
also im Fall zyklischer Gruppen auf einen
Spezialfall des chinesischen Restsatzes.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Der erste Teil in unserem Satz gilt analog f"ur jede endlichdimensionale
 halbeinfache Ringalgebra "uber
einem algebraisch abgeschlossenen K"orper.
Die Fouriertransformation im Fall endlicher zyklischer Gruppen 
l"auft meist unter der Bezeichnung 
{\bf diskrete Fouriertransformation}.\index{Fouriertransformation!diskrete}
\end{Bemerkungl}



% \begin{Bemerkunge}[\textbf{Struktur halbeinfacher Ringe}]
% Allgemeiner\label{SHER} besitzt jeder halbeinfache Ring nach \ref{HEDi} bis
% auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln,
% und ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die  
% Isomorphieklassen einfacher Moduln und sind
% $D_i=\op{End}_R L_i$ ihre Endomorphismenringe, die ja nach 
% \ref{EM} alle Schiefk"orper sein m"ussen, so erhalten wir 
% mit denselben Argumenten wie im Beweis von \ref{HSD}, 
% da"s die kanonische Abbildung
% einen Ringisomorphismus 
% $$R \sira (\op{End}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times (\op{End}_{D_r} L_{r})$$
% liefert. Man erkennt nun zus"atzlich, da"s alle $L_i$
% endliche Dimension "uber $D_i$ haben m"ussen, da sonst 
% $R$ mit einer Argumentation wie in \ref{BRNN} einen 
% von Null verschiedenen Modul $M$ 
% bes"a"se mit $M\cong M^2$, im Widerspruch zu \ref{HEDi}.
% Jeder halbeinfache Ring ist also isomorph zu einem endlichen Produkt
% von Ringen endlicher quadratischer Matrizen $\op{Mat}(n_i\times n_i;D_i)$
%  mit
% Eintr"agen in Schiefk"orpern $D_i$. Umgekehrt kann man 
% auch leicht zeigen, da"s
% alle Ringe dieser Gestalt halbeinfach sind.
% \end{Bemerkunge}
\begin{Korollar}\label{DEDa}
Gegeben $G$ eine
endliche Gruppe,
 $k$ ein Spaltungsk"orper nichtteilender 
 Charakteristik und $L_{1}, \ldots, L_{r}$ die einfachen Darstellungen
von $G$ "uber $k$ bis auf Isomorphismus gilt
$$|G| = (\dim L_{1})^{2} + \ldots + (\dim L_{r})^{2}$$
Lassen wir die Einschr"ankung an die Charakteristik fallen,
so gilt zumindest noch die Absch"atzung $\leq$. 
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Offensichtlich mit dem Isomorphismus \ref{HSD} der diskreten 
Fouriertransformation. 
\end{proof}

\begin{Korollar}
Gegeben eine
endliche Gruppe $G$ 
und ein Spaltungsk"orper $k$ nichtteilender Charakteristik\label{ZaI} 
 gibt es bis auf Isomorphismus genausoviele einfache Darstellungen
unserer Gruppe "uber besagtem K"orper  wie Konjugationsklassen in 
unserer Gruppe, in Formeln
$$|\op{irr}_k(G)|=|G/\op{int}(G)|$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Das Zentrum eines Gruppenrings $k G$ besteht  offensichtlich genau aus den
Funktionen $G \ra k$, 
die mit allen Gruppenelementen kommutieren, und damit 
aus den
Funktionen,
die konstant sind auf Konjugationsklassen.
Man nennt sie  \defnoind{Klassenfunktionen}\index{Klassenfunktion}.
Das Zentrum der anderen Seite in Satz
\ref{HSD} ist aber nach den beiden anschlie"senden "Ubungen
\ref{ZEK} und \ref{ZePo} offensichtlich isomorph 
als $k$-Vektorraum zu 
einem Produkt von $r$ Kopien
des Grundk"orpers
$k \times \ldots \times k$.
\end{proof}


\begin{Korollar}[\textbf{Dimension 
einfacher Darstellungen und Charakteristik}]
Gegeben ein Spaltungsk"orper
nichtteilender Charakteristik  $k$ f"ur eine endliche Gruppe $G$
teilt besagte Charakeristik nie die  Dimension einer einfachen
Darstellung von $G$ "uber $k$.\label{NVN} 
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungw} 
  In \ref{deD} zeigen wir, da"s gegeben ein Spaltungsk"orper der
  Charakteristik Null die Dimension jeder einfachen Darstellung
  die Gruppenordnung teilt, und aus der Unabh"angigkeit der Dimensionen
  von der Charakteristik \ref{dirD} folgt das dann auch
  f"ur jeden Spaltungsk"orper
  nichtteilender Charakteristik. 
  Das ist eine wesentlich st"arkere Aussage.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
  Das folgt sofort aus unserer expliziten Beschreibung der
  inversen Abbildung zur diskreten Fouriertransformation in \ref{HSD},
  die zeigt, da"s alle Matrixkoeffizienten jeder einfachen Darstellung $L$
  unter unseren Annahmen 
  in $(\op{dim}L)kG$ liegen.   
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Seien $G$ eine
endliche Gruppe
und $k$ ein Spaltungsk"orper nichtteilender
Charateristik. Sei $L$ eine einfache Darstellung von $G$.
Nach dem Satz zur diskreten Fouriertransformation 
\ref{HSD} gibt es genau ein Element ${\op{e}}_L\in k G$ derart, da"s
${\op{e}}_L$ durch die Identit"at auf $L$ operiert und durch Null auf jeder
einfachen Darstellung $M$ von $G$, die nicht isomorph ist zu $L$,
in Formeln
$$
({\op{e}}_L\cdot:M\ra M)=\left\{
\begin{array}{rl}\op{id}:M\ra M&\text{ falls }M\cong L;\\
0:M\ra M&\text{ falls }M\text{ einfach, }M\not\cong L.
\end{array}\right.$$
Dies Element ${\op{e}}_L$ nennen wir den \defind{Projektor} zu $L$.
Die Summe der Projektoren zu allen einfachen Darstellungen,
betrachtet bis auf Isomorphismus, ist per definitionem die Eins
des Gruppenrings.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Die Gruppe $\DZ/2\DZ$ hat "uber jedem K"orper $k$ der 
Charakteristik ungleich Zwei die beiden einfachen Darstellungen $k_+$ und
$k_-$. Die zugeh"origen Projektoren sind
${\op{e}}_{k_+}=(\delta_{\bar{0}}+\delta_{\bar{1}})/2$ und 
${\op{e}}_{k_-}=(\delta_{\bar{0}}-\delta_{\bar{1}})/2$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} 
Der Projektor zur Einsdarstellung $k$ hat stets die Gestalt
${\op{e}}_k=|G|^{-1}\sum_{g\in G}\delta_g$. In der Tat operiert dieses Element des\label{PrEis}  
Gruppenrings auf der Einsdarstellung als die Identit"at und
auf allen anderen einfachen Darstellungen als Null, da diese au"ser
der Null keinen unter $G$ invarianten Vektor besitzen k"onnen.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkunge}
  Die Projektoren zu den einfachen Darstellungen 
einer endlichen Gruppe $G$ im Fall nichtteilender Charakteristik lassen sich im
   Gruppenring $k G$  auch allein 
aus der Ringstruktur heraus beschreiben als
  die \glqq primitiven zentralen Idempotenten\grqq\ im Sinne von \ref{zIdP}.
\end{Bemerkunge}


  
\begin{Definition}
  Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ einer  Gruppe $G$  
  "uber einem K"orper $k$ definiert man  ihren
  {\bf Charakter}\index{Charakter!einer Darstellung|main} 
$\chi_{V} : G \ra k$ durch die 
Vorschrift\index{chi@$\chi_V$ Charakter von $V$}  
$$\chi_{V} (g)  \pdef \op{tr} (g|V)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Ich bestehe darauf, da"s dieser Charakter eine Funktion
  $\chi_V\in\op{Ens}(G,k)$ auf unserer
  Gruppe ist
  und nicht ein Element des Gruppenrings $kG=\op{Ma"s}_!(G;k)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Da nach \eref{KTr}{LA1} konjugierte Matrizen
    dieselbe Spur haben, sind Charaktere stets Klassenfunktionen.  Das Bild der
    Dimension einer Darstellung  unter dem
    eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\DZ\ra k$ 
    ist offensichtlich gerade der Wert ihres
    Charakters beim neutralen Element $e\in G$, in Formeln
    $$(\op{dim}_kV)_k=\chi_V(e)$$
    Die 
Charaktere der einfachen Darstellungen hei"sen die
\defnoind{einfachen 
Charaktere}\index{einfach!Charakter}\index{Charakter!einfacher} 
oder auch abk"urzend die {\bf Charaktere} unserer Gruppe.
Im Fall komplexer Darstellungen einer abelschen Gruppe 
sind das genau die
Gruppenhomomorphismen $G\ra \DC^\times$, 
weshalb unsere Terminologie hier
mit der in \eref{ChFou}{AN3} eingef"uhrten 
Terminologie vertr"aglich ist.
  \end{Bemerkungl}

 

\begin{Korollar}[\textbf{Charakter-Projektor-Formel}]
F"ur jede
endliche Gruppe $G$  
und jeden Spaltungsk"orper\index{Charakter-Projektor-Formel}  $k$ nichtteilender Charakteristik
liefert der Charakter einer einfachen Darstellung $L$ ihren  Projektor
vermittels der Identit"at\label{CPF} 
$${\op{e}}_{L}=\frac{\dim L}{|G|} ({\chi}_{L}\circ\op{inv})\zeta$$
\end{Korollar}

\begin{Beispiel}
  Der Charakter der Einsdarstellung ist die konstante Funktion Eins auf unserer Gruppe. Den zugeh"origen Projektor
  kennen wir bereits aus \ref{PrEis} und in diesem Fall  pr"uft
  man unsere Formel leicht explizit.
\end{Beispiel}
   \begin{proof}
     Wir m"ussen nur unsere allgemeine Formel f"ur die Umkehrabbildung
     zur diskreten Fouriertransformation aus \ref{HSD} auf den Fall des
     Identit"atsendomorphismus
     einer einfachen Darstellung anwenden.     
 \end{proof}

  




\begin{Korollar*}
Seien $G$ eine endliche Gruppe, $k$ ein 
Spaltungsk"orper nichtteilender Charakteristik
 und $a\in kG$ ein Element des
Gruppenrings. Ist  das von $a$ erzeugte Linksideal 
$L\pdef (kG)a$ eine einfache Darstellung von $G$, so gilt $\op{dim}_k(aL)=1$
und  $aM=0$ f"ur alle einfachen Darstellungen $M$ 
mit $M\not\cong L$.\label{projL} 
\end{Korollar*}
\begin{Bemerkungl}
 Sind wir 
in der Situation unseres Satzes \ref{ZduP}
zu dualen Paaren und gilt $L\cong E_\nu$, so erhalten wir
einen nat"urlichen Isomorphismus $aM\sira F_\nu$ von Darstellungen von $H$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Unter der diskreten Fouriertransformation $\rho$ 
kann $\rho(a)$ nur in $\op{End}_kL$ einen von Null
verschiedenen Anteil haben, da es zur $L$-isotypischen Komponente
von $kG$ geh"ort. Wenden wir auf
diesen Anteil "Ubung \ref{EZYK} an, so 
sehen wir, da"s er ein Endomorphismus vom Rang Eins sein mu"s.
Das Korollar folgt. 
\end{proof}


\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{ZEK}
Das Zentrum des Endomorphismenrings eines Vektorraums 
besteht genau aus allen Multiplikationen mit Skalaren 
aus dem K"orper.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{ZePo}
Das Zentrum eines Produkts von Ringen ist das Produkt
ihrer Zentren.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Gegeben eine endliche Gruppe und  ein 
Spaltungsk"orper nichtteilender Charakteristik
 zeige man: Genau dann ist die Gruppe
kommutativ, wenn alle ihre einfachen Darstellungen 
"uber besagtem K"orper eindimensional sind.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung} Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und ein K"orper $k$
  nichtteilender Charakteristik und $L_1, \ldots, L_r$
  die einfachen Darstellungen bis auf Isomorphismus
  und $D_i$ deren Endomorphismenschiefk"orper
  ist $\sum \op{dim}_k {\op{Z}}(D_i)$ das Bild in $k$ der
  Zahl der Konjukationsklassen von $G$. Hinweis: \ref{zMsK}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man zeige, da"s jede nichtkommutative Gruppe der
Ordnung Acht "uber $\DC$ bis auf Isomorphismus 
genau vier eindimensionale 
Darstellungen und genau eine einfache zweidimensionale
Darstellung und keine weiteren einfachen Darstellungen hat.
Man bestimme sie im Fall der Bierdeckelgruppe und 
im Fall der Quaternionengruppe.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Die Quaternionengruppe 
 $Q\pdef \{\pm 1,\pm \op{i},\pm \op{j},  \pm \op{k}\}$
im Quaternionenring aus  \eref{QuatG}{AL} hat "uber $\DR$ bis auf
Isomorphismus vier eindimensionale
Darstellungen und  nur noch eine weitere einfache Darstellung,
n"amlich die offensichtliche Darstellung $\mathbb H$. Die Strukturtheorie halbeinfacher Ringe \ref{SHER} liefert so einen Isomorphismus
$$\DR Q\sira \DR\times\DR\times\DR\times\DR\times\mathbb H$$
Analoges gilt "uber $\DQ$. 
Hinweis: Man untersuche den Quotienten $Q/\{\pm 1\}$.
\end{Ubung}
































\subsection{Orthogonalit"atsrelationen}

  \begin{Satz}[\textbf{Orthonormalit"at einfacher Charaktere}] 
    Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und ein Spaltungsk"orper $k$ nichtteilender
    Charakteristik bilden die  einfachen Charaktere eine
    Orthonormalbasis des Raums der Klassenfunktionen\label{orc}
    in Bezug auf die symmetrische Bilinearform
$(\varphi,\psi)\pdef|G|^{-1}\sum \varphi(g^{-1})\psi(g)$.
  \end{Satz}

  \nichtfinal{Besser Invertieren in den Vertikalen? Auch allgemein bei
    Fouriertransformationsdiagramm? Weil Ma"se andere Varianz
    haben als Funktionen?} 
  
  \begin{proof}\label{GrKDn}
    Bezeichne
    $\hat G$ die Menge der Isomorphieklassen 
    einfacher Darstellungen "uber $k$.
    Wir k"onnen  Satz \ref{HSD} "uber die diskrete Fouriertransformation
    ausschreiben zur Aussage, da"s im im Anschlu"s erkl"arten Diagramm 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{Ma"s}_!(G;k)\ar[rr]^-{\rho}_-\sim &&\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_k L\ar[d]^{\cdot\op{diag}(\op{dim}L)}_\wr\\
\op{Ens}(G,k)\ar[u]^{|G|^{-1}\zeta\cdot }_\wr && 
\bigoplus_{L\in \hat G}{\op{End}}_k L
\ar[ll]_-{ c}^-\sim
}
\end{displaymath}
das \glqq einmal im Kreis herumgehen\grqq\ an jeder Stelle die
Identit"at induziert. Zun"achst sei bemerkt, da"s auf der rechten Seite das
endliche Produkt und Koprodukt durchaus "ubereinstimmen und ich sie nur
aus ideologischen Gr"unden verschieden notiert habe. Dassselbe gilt auf der linken Seite, auch dort gibt es im Fall der endlichen Menge $G$ keinen Unterschied zwischen kompakt getragenen Ma"sen und Funktionen. 
Ich notiere 
f"ur $L\in\hat G$ und $A\in \op{End}_kL$ auf der rechten Seite  im folgenden
$$[A;L]\pdef (0,\ldots,0,A,0,\ldots,0)$$
das Tupel mit $A$ an der Stelle mit dem Indes $L$ und Null sonst.
Die obere Horizontale bildet ein Element
$g\in G$ ab auf das Tupel $(\rho_L(g))_{L\in \hat G}$ und in der neuen
Notation auf die Summe $\sum_{L\in\hat G} [\rho_L(g);L]$.
Die rechte Vertikale schickt $[A;L]$ auf $\op{dim}_kL[A;L]$.
Die untere Horizontale schlie"slich schickt $[A;L]$ auf
die Funktion $c([A;L]):g\mapsto \op{tr}\big(\rho_L(g^{-1})A|L\big)$.
Insbesondere finden wir
 per definitionem $c([\op{id}_L;L])(g)=\chi_L(g^{-1})$. 
 Die Spurform \ref{SpFFO} auf $\op{Ma"s}_!(G;k)$ wird gegeben durch
$(\varphi,\psi)_{\op{tr}}=\op{Tr}(\varphi\psi)=|G|\sum \varphi[g^{-1}]\psi[g]$
 mit eckigen Klammern  um die Punkte, auf deren durch die
 eckigen Klammern notierten charakteristischen Funktionen
 die jeweiligen Ma"se ausgewertet werden.
 Diese Spurform  entspricht unter
der oberen Horizontale wie unter jedem Ring\-al\-ge\-bren\-iso\-mor\-phis\-mus
 der Spurform auf unserem Produkt von
 Endomorphismenringen $$((A_L),(B_L))_{\op{tr}}
 =\op{Tr}((A_L)(B_L))=\sum_{L\in \hat G}(\op{dim}L)\op{tr}(A_LB_L|L)$$
 Unter der unteren Horizontale entspricht mithin
die Bilinearform $$(\varphi,\psi)\pdef|G|^{-1}\sum \varphi(g^{-1})\psi(g)$$
auf $\op{Ens}(G,k)$ der Bilinearform $((A_L),(B_L))
\pdef\sum_{L\in \hat G}(\op{dim}L)^{-1}\op{tr}(A_LB_L|L)$
auf dem Produkt von Endomorphismenringen. So erhalten wir insbesondere
f"ur einfache Darstellungen $M,L\in\hat G$ die  Orthonormalit"atsrelation
$(\chi_L,\chi_M)=\delta_{L,M}$.
Ein Dimensionsvergleich zeigt dann, da"s sie sogar eine Basis des Raums der
Klassenfunktionen bilden. 
  \end{proof}

\begin{Bemerkunge} 
  Im Fall einer    kommutativen Gruppe $G$ und einem Spaltungsk"orper nichtteilender
      Charakteristik $k$ k"onnen wir das symmetrischer schreiben.
      Wir erkl"aren dazu wie in der Fouriertheorie\label{SYF} 
      eine {\bf Charakterpaarung} endlicher kommutativer Gruppen
      als einen Bimorphismus $a:G\times H\ra k^\times$
      notiert $\llangle g,h\rrangle_a$, der Bijektionen 
      $G\sira \op{Ab}(H,k^\times)$ und  $H\sira \op{Ab}(G,k^\times)$
      induziert.
      Dann erkl"aren wir die {\bf Fouriertransformation}
      $$\mathcal F_a:\op{Ma"s}_!(G;k)\ra \op{Ens}(H,k)$$
      durch die Vorschrift
      $(\mathcal F_a\mu)(h)=\int_G\llangle g,h\rrangle_a\mu[ g]
      =\sum_{g\in G} \llangle g,h\rrangle_a\mu[ g]$.
      Erkl"aren wir nun die 
      {\bf duale Charakterpaarung} $b:H\times G\ra k^\times$
      durch die Vorschrift 
      $b(h,g)\pdef a(g,h)^{-1}$, so 
      spezialisiert unser Diagramm zu einem 
      Diagramm der Gestalt 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{Ma"s}_!(G;k)\ar[r]^-{\mathcal F_a}_-\sim &\op{Ens}(H,k)\ar[d]^{\cdot \beta}_\wr\\
\op{Ens}(G,k)\ar[u]_{\cdot \alpha}^\wr & 
\op{Ma"s}_!(H;k)
\ar[l]_-{\mathcal F_b}^-\sim
}
\end{displaymath}
mit $\alpha\pdef |G|^{-1}\zeta_G$ und $\beta\pdef \zeta_H$
geeigneten Vielfachen der 
jeweiligen Z"ahlma"se $\zeta_G,\zeta_H$.
Auch hier ist
\glqq einmal im Kreis herumgehen\grqq\ an jeder Stelle die Identit"at.
\end{Bemerkunge}



  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dimension des Endomorphismenrings einer Darstellung}]
  Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und eine
  endlichdimensionale Darstellung $L$ "uber
  einem K"orper $k$ nichtteilender Charakteristik liefern unsere Orthonormalit"atsrelationen
  \ref{orc}   f"ur die $k$-Dimension ihres
  Endomorphismenrings 
  die Formel $$(\op{dim}_k({\op{End}}_{kG} L))_k =(\chi_L,\chi_L)$$
  Hierf"ur m"ussen wir noch nicht einmal annehmen, da"s $k$ ein
  Spaltungsk"orper ist, da wir uns durch Erweiterung der Skalare
  auf diesen Fall zur"uckziehen k"onnen. 
\end{Bemerkungl}
  
  \begin{Korollar}[\textbf{Orthonormalit"at komplexer einfacher Charaktere}] 
    Gegeben eine endliche Gruppe $G$  bilden die komplexen  einfachen Charaktere eine
    Orthonormalbasis des Raums der komplexen Klassenfunktionen
    in Bezug auf das\label{orcC} 
    \emph{\bf Standardskalarprodukt}\index{Standardskalarprodukt!auf komplexem Gruppenring}
$\langle\varphi,\psi\rangle\pdef|G|^{-1}\sum \overline{\varphi(g)}\psi(g)$.
  \end{Korollar}
  \begin{proof}
Das folgt sofort aus \ref{orc}, wenn man  bemerkt,
da"s alle Eigenwerte von $\rho_L(g)$ Einheitswurzeln sind, so da"s
gilt $$\chi_L(g^{-1})=\op{tr}(\rho_L(g)^{-1})=\overline{\op{tr}(\rho_L(g))}=\overline{\chi_L(g)}\qedhere$$
  \end{proof}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung von Multiplizit"aten}]
   Gegeben eine endlichdimensionale komplexe Darstellung $V$ 
einer endlichen Gruppe "uber einem
     k"onnen wir also die Vielfachheit, mit der eine vorgegebene einfache
    Darstellung $L$ in einer Zerlegung unserer Darstellung $V$ als direkte
    Summe einfacher Darstellungen auftritt, berechnen als 
den Wert $$[V:L]=\langle\chi_L,\chi_V\rangle$$ unseres
Skalarprodukts auf den Charakteren.
  \end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}
    Wir k"onnen die Orthonormalit"at einfacher komplexer Charaktere
    auch direkter einsehen, indem wir das Argument von oben
    etwas umschreiben.  Gegeben eine endliche Gruppe  $G$
    betrachten wir dazu das Diagramm 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{Ma"s}_!(G;\DC)\ar[r]^-{\rho}_-\sim &\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L\ar[d]^{\cdot\op{diag}(\op{dim}L)}_\wr\\
\op{Ens}(G;\DC)^\leftrightarrow\ar[u]^{|G|^{-1}\zeta\cdot}_\wr & 
\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L
\ar[l]_-{c^*}^-\sim
}
\end{displaymath}
mit der unteren Horizontale abgewandelt
zu $A\mapsto c^*_A$ mit $c^*_A: g\mapsto \op{tr}\big(\rho_L(g)^*A:L\ra L\big)$,
wobei das Sternchen oben den Adjungierten in Bezug auf ein und jedes $G$-invariante Skalarprodukt auf $L$ bezeichnet. Der obere Index $\leftrightarrow$ erinnert uns daran, da"s wir die \glqq vertauschte\grqq\ $G$-Operation auf dem Funktionenraum betrachten m"ussen, wenn wir erreichen wollen, da"s unser Diagramm aus "aquivarianten Abbildungen besteht.
Wegen $(\rho_L(g^{-1}))=(\rho_L(g)^{-1})=(\rho_L(g)^*)$ kommutiert auch
dieses Diagramm.
Wird unter der oberen Horizontale $g\in G\subset \DC G$ auf das
Tupel von Endomorphismen $(\rho_L(g))$ abgebildet, so
geht $g^{-1}$ auf das Tupel $(\rho_L(g^{-1}))=(\rho_L(g)^{-1})=(\rho_L(g)^*)$ der adjungierten Endomorphismen.
Die Abbildung $\DC G\ra \DC G$ mit $\varphi\mapsto \varphi^*\pdef \overline{\op{inv}_*\varphi}$ entspricht unter $\rho$ also dem
komponentenweise Adjungieren, das wir auch mit einem Stern notieren.
Jetzt erinnere ich aus \ref{SpFFO} die Spur $\op{Tr}(a)\pdef \op{Tr}\big((a\cdot):A\ra A\big)$ einer endlichdimensionalen Algebra
und die Formeln $\op{Tr}(\varphi)=|G|\varphi[e]$ f"ur den Gruppenring einer endlichen Gruppe 
sowie $\op{Tr}(A)=d\op{tr}(A)$ f"ur die Ringalgebra der $(d\times d)$-Matrizen.
Indem wir die offensichtliche Identit"at 
$$\op{Tr}(\varphi^*\psi)=\op{Tr}(\rho(\varphi^*\psi))=\op{Tr}(\rho(\varphi^*)\rho(\psi))
=\op{Tr}(\rho(\varphi)^*\rho(\psi))$$
ausschreiben, erhalten wir die {\bf Skalarproduktvertr"aglichkeit der Fouriertransformation} 
$$|G|\sum_{g\in G} \overline{\varphi[g]}\;\psi[g]=
\sum_{L\in\hat G}(\op{dim}_\DC L)\op{tr}\big(\rho_L(\varphi)^*\rho_L(\psi)\big)$$
f"ur $\rho_L(\varphi)^*\in{\op{End}}_\DC L$ der zu $\rho_L(\varphi)$ adjungierte
Endomorphismus in Bezug auf ein und jedes $G$-invariante
Skalarprodukt auf $L$. Das
liefert einen weiteren Beweis f"ur die
Orthonormalit"at der einfachen Charaktere.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkunge}
Um die Analogie zur In\-ver\-sions\-for\-mel der
Fouriertheorie \eref{FhD}{AN3} herauszuarbeiten, betrachten wir schlie"slich
auch noch die Erweiterung unseres Diagramms zum  Sechseck\label{fhde} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  &\DC G\ar[r]^-\rho_-\sim&\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L
  \ar[dr]^{\;\cdot\op{diag}(\sqrt{\op{dim}L})}_-\sim&\\
  \DC G\ar[ur]^{
    {|G|^{-1/2}}\cdot }_-\sim && &\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L\ar[dl]^{\;\cdot\op{diag}(\sqrt{\op{dim}L})}_-\sim\\
&\DC G\ar[ul]^{ {|G|^{-1/2}}\cdot}_-\sim & 
\prod_{L\in \hat G}{\op{End}}_\DC L
\ar[l]_-{c^*}^-\sim&
}
\end{displaymath}
und verwenden dabei  die eigentlich \glqq falsche\grqq\ Identifikation des Gruppenrings mit dem Raum der Funktionen auf unserer Gruppe, in Formeln die Identifikation 
$\op{Ens}(G;\DC)^\leftrightarrow \sira \op{Ma"s}_!(G;\DC)$ mit
$[g]\mapsto \delta_g$. Betrachten wir nun
in der mittleren Horizontale auf beiden Seiten die Skalarprodukte,
die gegeben werden durch $
\sum_{g\in G} \overline{\varphi(g)}\psi(g)$ auf dem Gruppenring
und $\langle A,B\rangle\pdef \op{tr}(A^*B)$ auf dem Produkt der Endomorphismenringe, f"ur
$A,B\in{\op{End}}_\DC L$ und $A^*$ die adjungierte Abbildung zu $A$ in Bezug auf
ein und jedes $G$-invariante Skalarprodukt auf $L$, so bedeutet unsere
Skalarproduktvertr"aglichkeit, da"s die  Morphismen unseres Diagramms
zueinander inverse unit"are Isomorphismen zwischen beiden R"aumen
auf der mittleren Horizontale induzieren. Ein Analogon f"ur kompakte Hausdorffgruppen diskutieren wir in \eref{sedk}{TM}.
  \end{Bemerkunge}


\begin{Proposition}[\textbf{Orthonormalit"at komplexer Matrixkoeffizienten}]
Bilden gewisse $\rho_{L} :G \ra \op{U} (d_L)$ 
ein Repr"asentantensystem\label{Uke} f"ur die
einfachen unit"aren Darstellungen einer endlichen Gruppe $G$, 
so bilden die renormalisierten
Matrixkoeffizienten 
$\sqrt{\op{dim}_L} \!\;(\rho_{L})_{ij}$ eine 
Orthonormalbasis von $\op{Ens}( G;\DC)$ in Bezug auf das Standardskalarprodukt
$\langle \varphi,\psi\rangle\pdef
|G|^{-1}\sum_{g\in G} \overline{\varphi(g)}\psi(g)$.
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Die Matrizen $E_{ij}$ bilden eine Orthonormalbasis von
  $\op{Mat}(d;\DC)$ f"ur das durch $\langle A,B\rangle=\op{tr}(A^* B)$ gegebene Skalarprodukt. Schieben wir diese Orthonormalbasis in unserem Sechseck nach links unten, so ergibt sich die Behauptung.
\end{proof}
 
  \begin{Bemerkungl}
  Aus der Orthonormalit"at komplexer Matrixkoeffizienten
  \ref{Uke} und der Erkenntnis $\chi_L=\sum_{i=1}^{\op{dim}L}(\rho_L)_{ii}$  folgt auch ein weiteres Mal die Orthonormalit"at der einfachen Charaktere
  in Bezug auf das Standardskalarprodukt.
  \end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkungl}
Die wesentlichen Informationen "uber die komplexen Darstellungen einer
endlichen Gruppe werden meist in Form einer \defind{Charaktertafel} dargeboten. 
Die Spalten solch einer Tafel sind indiziert durch Repr"asentanten 
der Konjugationsklassen,
die Zeilen durch die einfache Darstellungen bis auf Isomorphismus, 
und in der 
Tafel stehen die Werte des Charakters
der entsprechenden einfachen Darstellung auf Elementen 
der entsprechenden Konjugationsklasse.
"Uber den Konjugationsklassen wird meist in einer eigenen 
Zeile ihre Kardinalit"at 
angegeben, damit auch das Skalarprodukt auf dem Raum 
Klassenfunktionen aus der Tafel hervorgeht.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Die einfachen Darstellungen der symmetrischen 
Gruppe $\mathcal{S}_3$ sind die Einsdarstellung $\op{eins}$, die Signumsdarstellung\label{Bs3}  
$\op{sgn}$ und die Darstellung $\op{spieg}$ als
zweidimensionale Spiegelungsgruppe, bei der die 
drei ungeraden Permutationen operieren
als Spiegelungen an drei Geraden durch den Ursprung, 
die paarweise den Winkel 
$60^\circ$ einschlie"sen. Zeichnen wir zwei ungerade 
Permutationen $s, t \in \mathcal{S}_3$ aus,
so k"onnen wir die Elemente von $\mathcal{S}_3$ 
aufz"ahlen als $\mathcal{S}_3 = \{e,s,t, sts, ts, st\}$
und die Charaktertafel hat die Gestalt

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}
& $e$ & $s,t,sts$ & $ts, st$ \\ \hline
$\op{eins}$ & $1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
$\op{sgn}$ & $1$ &$-1$ & $1$ \\ \hline
$\op{spieg}$ & $2$ & $0$ & $-1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
%\end{displaymath}
%\begin{displaymath}
\vspace{0,5cm}
\noindent
Um die unterste Zeile zu pr"ufen bemerkt man, 
da"s jede ebene lineare Spiegelung Spur
Null hat, jede ebene Drehung um 
$120^\circ$ jedoch Spur $\zeta + \bar{\zeta} = -1 $ f"ur
$\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Orthogonalit"atsrelationen in der Charaktertafel}] 
 Seien $G$ eine endliche Gruppe und $\chi_1,\ldots, \chi_r$ die
einfachen komplexen Charaktere von $G$. Bilden $x_1,\ldots,x_r$ ein 
Repr"asentantensystem f"ur die\label{OCT} 
Konjugationsklassen und bezeichnet $\hat x\subset G$ 
die Konjugationsklasse von $x\in G$, so lauten die Orthogonalit"atsrelationen
$$
\delta_{ij}=\frac{1}{|G|} \sum_k |\hat x_k|\; \overline{\chi_i (x_k)}\chi_j(x_k)$$
Wegen der Bahnformel $|\hat x_k| \cdot|\op{Z}_G(x_k)|=|G|$ ist also die Matrix 
mit den Eintr"agen $|\op{Z}_G(x_k)|^{-1/2}\chi_i (x_k)$ unit"ar. Dasselbe gilt a forteriori 
f"ur ihre transponierte Matrix und zeigt 
$$
\delta_{ij}|\op{Z}_G(x_i)|= \sum_k \overline{\chi_k (x_i)} 
\chi_k (x_j)$$
Insbesondere k"onnen wir also aus der Charaktertafel 
auch die Gruppenordnung $|G|=|\op{Z}_G(e)|$ und die Ordnungen der 
Konjugationsklassen $|\hat x_k|=|G|/|\op{Z}_G(x_k)|$ ablesen.
Wenn wir mithin die Spalten durch die einfachen Darstellungen indizieren, so sind die Spaltenvektoren paarweise orthogonal
und ihre quadrierte L"ange ist die Kardinalit"at des Zentralisators
der jeweiligen Konjugationsklasse.
\end{Bemerkungl}






\subsubsection*{"Ubungen}
 \begin{Ubung}[\textbf{Charaktere von Permutationsdarstellungen}] 
    Gegeben eine Gruppe $G$ und eine endliche $G$-Menge $X$ 
und ein K"orper $k$ zeige man
f"ur den Charakter der zugeh"origen Permutationsdarstellung 
$V\pdef \op{Ens}(X,k)$ nach \ref{PerD} die Formel
$$\chi_V(g)=|X^g|$$
In Worten ist also der Wert des Charakters bei $g$ die
als Element von $k$ zu verstehende  Zahl der 
Fixpunkte von $g$ in $X$.  
  \end{Ubung}

\begin{Ubung}
Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe 
nennen wir die Darstellung $V^{\ast} = \op{Hom} (V,k)$
auch die\label{ChKo} {\bf kontragradiente  
Darstellung}\index{Darstellung!kontragradiente, von Gruppe}.
Man zeige, da"s
der Charakter der kontragredienten Darstellung gegeben wird durch
die Formel
$\chi_{V^{\ast}}(g) = {\chi}_{V}(g^{-1})$.
Weiter zeige man $\chi_{V\oplus W} = \chi_{V} + \chi_{W}$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und eine
  komplexe Darstellung $\rho:G\ra \op{GL}(L)$ von $G$ 
  folgt aus $|\chi_L(g)|=\chi(e)$ bereits, da"s
   $\rho(g)$ ein
  Vielfaches der Identit"at ist. Hinweis: $\rho(g)$ ist
  diagonalisierbar und alle seine Eigenwerte sind Einheitswurzeln.
\end{Ubung}

\nichtfinal{\begin{Bemerkungl}
F"ur Amador.  Ich schlage vor, den Projektor 
  $P : \DC [G] \ra \DC [G]$ auf den Raum der Klassenfunktionen
 zu betrachten, der gegeben wird durch
 $$(Pf)(x) \pdef |G|^{-1}\sum_{g\in G} f (g^{-1}x g)$$
 Ist $f$ ein Matrixkoeffizient einer endlichdimensionalen
 Darstellung von $G$, so gilt das auch f"ur alle $f (g^{-1}x g)$
 und damit f"ur $Pf$. Jetzt m"ussen wir uns "uberlegen, da"s
 die Matrixkoeffizienten einer irreduziblen Darstellung $L$ unter
 $P$ auf die Gerade  $\DC\chi_L$ abgebildet werden. Das mag man aus dem
 Schur'schen Lemma folgern. So ergibt sich, da"s das Bild von $P$ erzeugt
 wird von den $\chi_L$.
\end{Bemerkungl}}


\subsection{Charaktere und algebraische Zahlen*}
\begin{Bemerkungl}
  In diesem Abschnitt werden verschiedene
  weiterf"uhrende Aussagen der Charaktertheorie diskutiert, deren Beweise
  grundlegende Kenntnisse der kommutativen Algebra ben"otigen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Dimension einfacher Darstellungen}]
Gegeben eine
endliche Gruppe und dazu ein Spaltungsk"orper der\label{deD} 
Charakteristik  Null ist die Dimension jeder einfachen Darstellung 
ein Teiler der
Gruppenordnung.
\end{Satz}
\begin{proof} %[Erster Beweis]
Seien $k$ unser K"orper, $G$ unsere endliche Gruppe und
$L$ unsere einfache Darstellung.
Wir gehen aus von der Gleichung ${\op{e}}_{L} \ast {\op{e}}_{L} = {\op{e}}_{L}$ im Gruppenring.
Mit der Charakter-Projektor-Formel \ref{CPF} folgt f"ur $\zeta$ das Z"ahlma"s 
$${\chi}_{L} \zeta\ast  {\chi}_{L}\zeta =
\frac{|G|}{\dim L} {\chi}_{L}\zeta$$
Per definitionem ist $\chi_{L} (g)$ die Summe der Eigenwerte von $g: L \ra
L$. Wegen $g^{n} =1$ f"ur $n = |G|$ sind diese Eigenwerte
$n$-te Einheitswurzeln.
Ist also $\beta \in k$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so nehmen
alle Charaktere Werte in $\DZ [\beta]$ an. Bezeichnet $I\subset
\DZ[\beta]$ das von den Werten des Charakters ${\chi}_{L}$
erzeugte Ideal, so folgern wir im K"orper $k$ die Inklusionsrelation
$$I\supset \frac{|G|}{\dim L} I $$
Nun ist $\DZ[\beta]$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe,
erzeugt etwa von den Potenzen $1,\beta,\beta^2,\ldots \beta^{n-1}$.
Foglich
ist  
mit \eref{ee}{LA2} auch  $I$ eine endlich erzeugte
abelsche Gruppe. Zus"atzlich ist $I$ offensichtlich torsionsfrei  und mit \eref{tt}{LA2} dann sogar frei "uber $\DZ$,
in Formeln
$I\cong \DZ^r$
f"ur geeignetes $r\in\DN$.
Zusammen mit der Erkenntnis $I\neq 0$ impliziert unsere
Inklusion oben nun $({|G|}/{\dim L})\in \DZ$ wie gew"unscht.
\end{proof}

\begin{Satz*}[\textbf{Dimensionen einfacher Darstellungen und Grundk"orper}] 
  Die Dimensionen der einfachen Darstellungen einer endlichen Gruppe $G$ bilden "uber jedem Spaltungsk"orper nichtteilender Charakteristik dieselbe Multimenge.\label{dirD}
\end{Satz*}
\begin{Bemerkungl}
  Am Schlu"s des Beweises dieses Satzes
  zeigen wir unter den Annahmen des Satzes zus"atzlich,
  da"s salopp gesprochen auch \glqq die einfachen Charaktere
  nicht vom Grundk"orper abh"angen\grqq. Diese Idee mu"s man jedoch
  erst noch zu einer pr"azisen Aussage machen, denn es ist a priori nicht klar, wie man Funktionen mit Werten in verschiedenen K"orpern "uberhaupt sollte vergleichen k"onnen.
\end{Bemerkungl}
   \begin{Bemerkungl}
F"ur diesen Satz brauchen wir etwas mehr Kenntnisse in
kommutativer Algebra und insbesondere den Begriff \eref{proM}{KAG} eines
projektiven Moduls und den Begriff 
  \eref{raPM}{KAG} des Ranges eines endlich erzeugten
  projektiven Moduls "uber einem Integrit"atsbereich.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Sei $\DC$ der K"orper der komplexen Zahlen oder allgemeiner irgendein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik Null.  Die Charakter-Projektor-Formel \ref{CPF} zusammen mit elementaren Erkenntnissen  aus dem vorhergehenden Beweis von Satz \ref{deD} "uber die Dimension
  einfacher Darstellungen 
 zeigt, da"s die
  Projektoren ${\op{e}}_i\in\DC G$ zu den einfachen Darstellungen mit der Notation $n\pdef|G|$ f"ur die Gruppenordnung  Koeffizienten im Teilring
  $R\pdef \DZ[\sqrt[n]{1}, n^{-1}]\subset\DC$ haben.
Wenn wir diese Projektoren  f"ur alle einfachen Darstellungen aufaddieren,
gilt offensichtlich ${\op{e}}_1+\ldots+{\op{e}}_r=1$ und
$e_i\in {\op{Z}}(RG)$. Andererseits haben wir ${\op{e}}_i{\op{e}}_j=\delta_{ij}{\op{e}}_i$.
Wir folgern
eine Zerlegung des Gruppenrings $RG$ der Gestalt
$$RG={\op{e}}_1RG\oplus \ldots\oplus{\op{e}}_rRG$$
 Hier ist klar, da"s ${\op{e}}_iRG$
ein projektiver $R$-Modul sein mu"s und da"s dieser
projektive $R$-Modul im Sinne von \eref{raPM}{KAG} den Rang $\op{rg}_R({\op{e}}_iRG)=(\op{dim}_\DC L_i)^2$ haben mu"s. 
  F"ur jeden K"orper $k$
  nichtteilender Charakteristik, in dem es eine  $n$-te
  Einheitswurzel der Ordnung $n$ gibt, also eine Nullstelle des $n$-ten Kreisteilungspolynoms $\Phi_n\in\DZ[X]$, finden wir nun einen
  Ringhomomorphismus $R\ra k$, da n"amlich $R$ durch formales Invertieren
  des Elements $n$
 aus dem Restklassenring $\DZ[X]/\langle\Phi_n(X)\rangle$ entsteht.
  Die Bilder der Projektoren ${\op{e}}_i$
  unter dem induzierten
  Ringhomomorphismus $RG\ra kG$ sind dann offensichtlich
  paarweise orthogonale Idempotente $\bar{\op{e}}_i\in kG$
  mit der Summe Eins, also $\bar{\op{e}}_1+\ldots+\bar{\op{e}}_r=1$ und  $\bar{\op{e}}_i\bar{\op{e}}_j=\delta_{ij}\bar{\op{e}}_i$. Weiter gilt offensichtlich 
  $$\op{dim}_k(\bar{\op{e}}_i kG)=\op{rg}_R({\op{e}}_iRG)=(\op{dim}_\DC L_i)^2$$
  Weil wir aber bereits wissen, da"s es "uber $k$ nicht mehr einfache Darstellungen geben kann als "uber $\DC$, n"amlich h"ochstens soviele wie
  Konjugationsklassen in unserer Gruppe, sind die $\bar{\op{e}}_i$ notwendig die Projektoren zu den einfachen Darstellungen von
  $G$ "uber $k$. Die Charakter-Projektor-Formel \ref{CPF} zeigt nun
  sogar, da"s wir die einfachen Charaktere von $G$ "uber $k$
  erhalten, indem wir von den einfachen Charakteren von $G$ "uber $\DC$ ausgehen, beachten, da"s sie
  Werte in $R$ annehmen m"ussen, und
  dann  die so erhaltenen  Abbildungen $\chi_i:G\ra R$ 
  noch mit einem fest gew"ahlten  Ringhomomorphismus $R\ra k$ verkn"upfen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Man beachte, da"s die im vorhergehenden Beweis konstruierte Identifikation $\op{irr}_\DC(G)\sira \op{irr}_k(G)$  von der Wahl eines Ringhomomorphismus  $R\ra k$ entscheidend abh"angt.
  Das ist bereits im Fall der zyklischen Gruppen gut
  zu sehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung Ganzheitsringen}]
  Gegeben eine endliche Gruppe $G$ entstehen alle einfachen
  Darstellungen "uber $\DC$ durch Erweiterung der
  Skalare aus einfachen Darstellungen "uber $\bar\DQ$. Das zeigt der
  vorhergehende Satz \ref{dirD} gleich mit. Weiter l"a"st sich jede
  einfache Darstellung "uber $\bar\DQ$ offensichtlich bereits "uber einem
  Zahlk"orper $K$ realisieren, sagen wir als Darstellung in Automorphismen
  von $K^d$ f"ur $d$ die Dimension. Die Summe
  $L\pdef \sum_{g\in G} g(\mathfrak o_K^d)$
  ist dann ein torsionsfreier endlich erzeugter und damit nach \eref{MueD}{KAG}
  projektiver $\mathfrak o_K$-Modul, offensichtlich vom Rang $d$, der
  von der Operation unserer Gruppe stabilisiert wird. Man "uberlegt sich
  "ahnlich wie oben, da"s f"ur jeden Ringhomomorphismus $\mathfrak o_K\ra k$
  zu einem K"orper nichtteilender Charakteristik auch
  $L\otimes_{\mathfrak o_K}k$ eine irreduzible Darstellung von $G$ "uber $k$ ist.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
F"ur den Rest dieses Abschnitts setzen  wir Kenntnisse "uber ganze
  Kringerweiterungen im Umfang von \eref{GZwei}{KAG}
  voraus. Wir m"ussen wissen, da"s
  die "uber $\DZ$ ganzen komplexen Zahlen einen Teilring von $\DC$ bilden,
  der alle Einheitswurzeln enth"alt und
  dessen Schnitt mit $\DQ$ schlicht $\DZ$ selber ist.
  Weiter m"ussen wir wissen, da"s jeder Teilring von $\DC$, der
  als additive abelsche Gruppe endlich erzeugt ist, bereits aus
  "uber $\DZ$ ganzen Zahlen besteht.
 \end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Ganzheitseigenschaften von Charakteren}] 
  Gegeben eine endliche Gruppe $G$ ist f"ur jeden einfachen komplexen Charakter
  $\chi$ von $G$ und jedes Element $g\in G$ mit Konjugationsklasse $\hat g$
  der Quotient $\chi(g)|\hat g|/\chi(e)$ ganz "uber $\DZ$.\label{GHC} 
\end{Satz}
\begin{proof}
 Die Projektoren ${\op{e}}_1, \ldots, {\op{e}}_r$ zu den einfachen
komplexen Darstellungen bilden eine Basis des Zentrums des Gruppenrings $Z \pdef {\op{Z}} (\mathbb C G)$.
Entwickeln wir  $z \in Z$ als
$
 z = \sum^r_{i=1} \omega_i (z) {\op{e}}_i
$,
so sind die $\omega_i$ Ringhomomorphismen $\omega_i : Z \rightarrow \mathbb C$.
Bezeichnet $\hat g$ die Konjugationsklasse von $g \in G$ und $[\hat g]$
ihre Indikatorfunktion und $\zeta$ das Z"ahlma"s, so erzeugen die Ma"se 
$[\hat g]\zeta$ einen Teilring $Z_{\mathbb Z} \subset Z$.
Sein Bild $\omega_i (Z_{\mathbb Z}) \subset \mathbb C$ ist dann ein Teilring, der modulendlich
 ist "uber $\mathbb Z$ und der damit nach \eref{EKG}{KAG} aus "uber $\mathbb Z$ ganzen
Elementen von $\mathbb C$ bestehen mu"s.
Insbesondere sind die $\omega_i ([\hat g]\zeta)$ stets ganz "uber $\mathbb Z$.
Nun finden wir aber durch Umindizieren obiger Gleichung zu $j$ und Multiplikation mit ${\op{e}}_i$ unmittelbar 
$$\omega_i (z) {\op{e}}_i=z{\op{e}}_i$$ Auf einer einfachen Darstellung $L$ mit
${\op{e}}_i=\op{id}:L\ra L$ operiert die linke Seite durch einen Endomorphismus
der Spur $\omega_i (z)\op{dim}L=\omega_i (z)\chi_L(e)$.
Im Fall $z=[\hat g]\zeta$ operiert andererseits die rechte Seite
durch einen Endomorphismus
der Spur $\chi_L(g)|\hat g|$. Es folgt $\omega_i ([\hat g]\zeta)=\chi_L(g)|\hat g|/\chi_L(e)$ und so die Behauptung.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Notwendige Nullstellen von Charakteren}] 
  Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und eine
  einfache komplexe Darstellung $\rho:G\ra \op{GL}(L)$
   und ein Element $g\in G$, dessen Konjugationsklasse $\hat g$
  eine zu $\chi_L(e)=\op{dim}_\DC L$  teilerfremde Kardinalit"at hat, gilt
  $\rho(g)\in\DC^\times\op{id}_L$ oder $\chi_L(g)=0$.\label{cghj} 
\end{Satz}
\begin{proof} Wir setzen $\chi\pdef\chi_L$ schreiben $1=a\chi(e) + b|\hat g|$ mit $a,b\in \DZ$.
  Teilen wir diese Gleichung durch $\chi(e)$ und multiplizieren sie mit
  $\chi(g)$, so folgt  aus \ref{GHC}, da"s $\alpha\pdef \chi(g)/\chi(e)$
  ganz ist "uber $\DZ$.
  Nun ist aber $\chi(g)$ eine Summe von $\chi(e)$ Einheitswurzeln
  und es folgt $|\alpha|=|\chi(g)/\chi(e)|\leq 1$. Sicher liegt $\chi(g)$ in einem Unterk"orper $K\subset \DC$, der endlich und Galois ist "uber $\DQ$, und f"ur $\gamma\in \op{Gal}(K/\DQ)$ finden wir ebenso $|\alpha^\gamma|\leq 1$. Das Produkt aller $\alpha^\gamma$ liegt dann
  in $\DQ$ und ist ganz "uber $\DZ$, liegt also in $\DZ$, und mu"s
  also Null sein, wenn es nicht den Betrag Eins hat. Wenn es aber den Betrag Eins hat, so m"ussen alle Eigenwerte von $\rho(g)$ dieselbe Einheitswurzel
  gewesen sein. 
\end{proof}



\begin{Satz}
  Hat eine endliche Gruppe $G$ eine Konjugationsklasse, deren Kardinalit"at
  eine echte Primzahlpotenz ist, so ist unsere Gruppe nicht einfach.\label{Krti} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einer echten Primzahlpotenz verstehen wir hier wie immer eine
  Primzahl hoch einer positiven Zahl.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Seien $p$ eine Primzahl und $g\in G$ mit $|\hat  g|=p^l>1$.
  Sei $\rho:G\ra\op{GL}(L)$  eine einfache Darstellung von $G$ mit Charakter $\chi$.
  Aus $p\nmid\chi(e)$ folgt mit \ref{cghj}
  schon mal  $\rho(g)\in\DC^\times \op{id}_L$ oder $\chi(g)=0$.
  Im ersten Fall liegt $g$ im Normalteiler $\rho^{-1}(\DC^\times \op{id}_L)$,
  der damit die ganze Gruppe sein mu"s, so da"s wir eine eindimensionale
  Darstellung vor uns haben. Diese  mu"s notwendig trivial sein, wenn $G$ 
  einfach sein will.
  Wenn also $G$ einfach ist, so folgt
  $\chi(g)=0$ f"ur jeden nichttrivialen einfachen Charakter $\chi$ mit
  $p\nmid\chi(e)$. In  $\op{Ens}( G;\DC)$  gilt jedoch
  $|G|[e]
  =\sum_\chi \chi(e)\chi$
   mit der Summe "uber alle einfachen Charaktere. Das Auswerten
  bei
  $g$ liefert $$0=1+\sum_{p|\chi(e)}\chi(e)\chi(g)$$
  mit dem ersten Summanden f"ur den trivialen Charakter.
  Das aber impliziert, da"s $1/p$ ganz ist "uber $\DZ$, und dieser
  Widerspruch beendet den Beweis.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{$p$-$q$-Satz von Burnside}]
  Eine Gruppe, deren Kardinalit"at nur durch h"ochstens zwei
  Primzahlen teilbar ist, ist stets aufl"osbar.\label{Bur} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Jede Gruppe mit $30$ Elementen ist aufl"osbar nach "Ubung
  \eref{dra}{AL}. Jede Gruppe mit $42$ Elementen hat genau eine $7$-Sylow
  nach den Sylows"atzen \eref{SaSy}{AL} und
  diese ist folglich ein Normalteiler.
Jede Gruppe mit weniger als $60$ Elementen ist mithin aufl"osbar.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Seien sonst $p\neq q$ Primzahlen und $G$ eine  Gruppe
  mit $|G|=p^aq^b$ und $a\geq 1$. Wir w"ahlen eine $p$-Sylow $P\subset G$.
  Nach \eref{NTZ}{AL} finden wir 
   ein nichttriviales Element  $g\neq 1$ im Zentrum von $P$.
  Dann gilt ${\op{Z}}_G(g)\supset P$ und folglich 
  ist die Kardinalit"at $|\hat g|$ der Konjugationsklasse $\hat g$ von $g$ eine
  $q$-Potenz. Im Fall $|\hat g|>1$ ist $G$ nicht einfach nach \ref{Krti} und
   wir
   kommen mit vollst"andiger Induktion zum Ziel,
   da ja eine Gruppe aufl"osbar ist, wenn sie einen
   aufl"osbaren Normalteiler hat derart, da"s der
   Quotient danach auch aufl"osbar ist.
   Im Fall $|\hat g|=1$ hat $G$  nichttriviales Zentrum wegen $g\in{\op{Z}}(G)$
   und wir
  kommen auch mit vollst"andiger Induktion zum Ziel.
\end{proof}




\subsection{Matrixkoeffizienten und isotypische Komponenten*}
\begin{Bemerkungl}
  In diesem Abschnitt erkl"aren wir, warum in Gruppenringen "uber
  einem beliebigen K"orper und jede endlichdimensionale einfache Darstellung
  $E$ die $E$-isotypische Komponente des Gruppenrings zusammenf"allt mit der
  $E^\ast$-iso\-ty\-pi\-schen Komponente des Gruppenrings als Rechtsmodul "uber sich selber, vergleiche \ref{IGTRn}. Weiter erkl"aren wir, warum 
im Gruppenring einer endlichen Gruppe "uber
  einem beliebigen K"orper das Produkt von Matrixkoeffizienten zu  nichtisomorphen einfachen Darstellungen stets verschwindet.\label{MatKl} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Kring $k$ und ein $k$-Modul $V$ bezeichnen wir im folgenden 
 den dualen $k$-Modul als $V^\ast\pdef \op{Hom}_k(V,k)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Matrixkoeffizientenabbildung eines Moduls einer Ringalgebra}] Gegeben ein Kring $k$ und eine $k$-Ringalgebra
 $A$ und ein  $A$-Modul $V$\label{Isko}  
bezeichne $S\pdef (\op{End}_A V)^{\op{opp}}$ den
Opponierten des Endomorphismenrings von $V$. 
Dann ist, wie man leicht nachrechnet, die Abbildung
$$\kappa:V\otimes_{S}V^\ast\ra  A^\ast$$ 
gegeben durch $\kappa: v\otimes\varphi\mapsto c_{\varphi,v}$
mit $c_{\varphi,v}(a)\pdef\varphi(a v)$ ein Homomorphismus von $A$-Bimoduln. 
Wir nennen sie die
{\bf Matrixkoeffizientenabbildung}.\index{Matrixkoeffizientenabbildung}  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Ist $V$ eine Darstellung einer Menge $G$ "uber einem Kring $k$, so
erkl"art man  f"ur $v \in V$ und $\varphi \in
V^{\ast}$ den 
\defnoind{Matrixkoeffizienten}\index{Matrixkoeffizient} 
$c_{\varphi,v} : G \ra k$ durch die Vorschrift
$$c_{\varphi, v} (g) \pdef \varphi (g v)$$
Ist $G$ ein Monoid und fassen wir $V$ als Modul "uber dem Monoidring
$A\pdef kG$ auf, so entspricht dies $c_{\varphi,v}\in\op{Ens}(G,k)$ dem zuvor
definierten $c_{\varphi,v}\in A^*$ unter der durch die Restriktion auf $G\subset kG$ gegebenen Bijektion $A^*\sira \op{Ens}(G,k)$.\label{mkm} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Matrixkoeffizienten und isotypische Komponenten}]
 Seien $k$ ein Kring, $A$ eine $k$-Ringalgebra,
$E$ ein einfacher $A$-Modul\label{MAKAv} und  
$S\pdef (\op{End}_A E)^{\op{opp}}$ der
Opponierte des Endomorphismenschiefk"orpers von $E$. 
So induziert die Matrixkoeffizientenabbildung 
einen Isomorphismus von $A$-Bimoduln 
$$\kappa:E\otimes_{S}E^\ast\sira  A^\ast_E$$
von $E\otimes_{S}E^\ast$ mit der \hyperref[IZY]{$E$-isotypischen Komponente}  $A^\ast_E$ des 
$A$-Linksmoduls $A^\ast$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Insbesondere erzeugen im Fall eines
einfachen $A$-Moduls  $E$ seine Matrixkoeffizienten 
die $E$-isotypische Komponente 
$ A^\ast_E$ des $A$-Linksmoduls $A^\ast$ als abelsche Gruppe.
"Uber einem K"orper $k$ folgt auch, da"s
von Null verschiedene  Matrixkoeffizienten 
zu paarweise nichtisomorphen einfachen $A$-Moduln 
linear unabh"angig sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{IGTR} 
 Ist  $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra und
$E$ ein endlichdimensionaler
 einfacher $A$-Modul, so finden wir, indem wir unseren Satz auf den $A^{\op{opp}}$-Modul $E^*$ anwenden, 
da"s das Bild der zugeh"origen Matrixkoeffizientenabbildung 
sowohl die $E$-isotypische Komponente von $A^\ast$ als 
$A$-Linksmodul ist als auch die $E^\ast$-isotypische 
Komponente von $A^\ast$ als 
$A$-Rechtsmodul. Insbesondere stimmen in dieser Situation
 diese beiden
 isotypischen Komponenten "uberein. Notieren wir
 $\op{Iso}_{R}(M;E)\pdef M_E$ die $E$-isotypische Komponente
 eines $R$-Moduls $M$ in Bezug auf einen einfachen $R$-Modul $E$ und $\op{Iso}_{-R}(N;F)$ die $F$-isotypische Komponente
 eines $R$-Rechtsmoduls $N$ in Bezug auf einen einfachen $R$-Rechtsmodul $F$,
 so haben wir also in Formeln
  $$\op{Iso}_{A}(A^*;E)=\op{Iso}_{-A}(A^*;E^*)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich bin nicht vollst"andig gl"ucklich damit, da"s in unserer Notation die
  isotypische Komponente f"ur die Linksmodulstruktur durch einen
  Index von rechts angedeutet wird, aber es schien mir auch wieder
  "ubertrieben, die allgemeine Notation am Fall der Bimoduln auszurichten.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die kanonische Beschreibung isotypischer Komponenten aus \ref{Isoko} 
liefert einen Isomorphismus 
$$\kappa:E\otimes_{S}\op{Hom}_A(E, A^\ast)\sira  A^\ast_E$$
 Gegeben ein $A$-Modul $N$ und ein $A$-Rechtsmodul $M$
induzieren weiter die  offensichtlichen 
Isomorphismen $\op{Hom}_k(N,M^\ast)\sira 
(M\otimes_k N)^\ast$
aus \eref{TDFl}{KAG}  Isomorphismen  $\op{Hom}_A(N,M^\ast)\sira 
(M\otimes_A N)^\ast$. Genauer k"onnen liefern die "ublichen Formeln nat"urliche Bijektionen beider Seiten mit der Menge der
$A$-balancierten $k$-bilinearen Abbildungen $M\times N\ra k$.
Wenden wir das auf $N=E$ und $M=A$ an, so folgt
unser Satz.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Isotypische Komponenten von Gruppenringen}] 
 Ist  $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra und
$E$ ein endlichdimensionaler einfacher $A$-Modul\label{IGTRn}  
und gibt es eine Einbettung $$A\hra A^\ast$$ von $A$-Bimoduln,
so stimmen nach \ref{FIKK} und \ref{IGTR} 
die $E$-isotypische Komponente von $A$ als 
$A$-Linksmodul und die $E^\ast$-isotypische 
Komponente von $A$ als 
$A$-Rechtsmodul "uberein. 
Eine typische Anwendung ist der Fall eines Gruppenrings $kG$,
in dem die Abbildung $kG\hra (kG)^\ast$,  unter der jedem Gruppenelement das
\glqq Bestimmen des Koeffizienten seines Inversen\grqq\  zugeordnet wird, ein
Homomorphismus von Bimoduln ist. 
\end{Bemerkungl}



  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwinden von Produkten von Matrixkoeffizienten}] 
    Gegeben eine endliche Gruppe und  ein
    K"orper haben
    Matrixkoeffizienten zu nichtisomorphen\label{PoMa}  
    %endlichdimensionalen
    einfachen Darstellungen im
    Gruppenring das Produkt Null.
In der Tat geh"oren unsere Matrixkoeffizienten nach \ref{IGTRn} dann zu verschiedenen
isotypischen Komponenten des Gruppenrings,
und diese isotypischen Komponenten sind ja 
 nach \ref{ISKI} Ideale des Gruppenrings. 
  \end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
Gegeben ein K"orper $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$ und ein
einfacher $A$-Modul $E$ unendlicher Dimension wird $E^\ast$ 
im allgemeinen nicht
einfach sein. Hat zum Beispiel $A$ abz"ahlbare Dimension, so gilt dasselbe f"ur
jeden einfachen $A$-Modul, aber der Dualraum eines einfachen 
unendlichdimensionalen $A$-Moduls hat notwendig eine
 "uberabz"ahlbare Dimension. 
Auch der Sockel des Dualen eines einfachen $A$-Moduls kann bereits
 "uberabz"ahlbare Dimension haben. Ein explizites Beispiel in der Lie-Theorie
ist ein einfacher Vermamodul, dessen Dualraum "uberabz"ahlbar viele paarweise
nicht isomorphe 
einfache Whittakermoduln enth"alt.
\end{Bemerkunge}

%\begin{Bemerkunge}
%  F"ur jeden Vektorraum $M$ haben wir eine nat"urliche Abbildung
%$$\kappa:M\otimes_kM^\ast\ra (\op{End}_kM)^\ast$$
%gegeben durch $(\kappa(v\otimes \varphi))(f)=\varphi(f(v))$. 
%Die Matrixkoeffizientenabbildung l"a"st sich auch erhalten, indem man
%zur Operation $A\ra \op{End}_kM$ die transponierte Abbildung
%$(\op{End}_kM)^\ast\ra A^\ast$ betrachtet und dies $\kappa$ davorschaltet.  
%\end{Bemerkunge}






\subsection{Erg"anzungen zu Charakteren*} 

\begin{Bemerkungl}
  Auch  bei endlichdimensionalen 
Darstellungen nicht notwendig endlicher Gruppen
"uber nicht notwendig algebraisch abgeschlossenen K"orpern 
beliebiger Charakteristik bestimmt  der Charakter
die  weitgehend Darstellung. In diesem Abschnitt werden 
verschiedene Aussagen in dieser Richtung besprochen.    
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kriterien f"ur von Null verschiedenen Charakter}] 
  Gegeben eine endlichdimensionale 
einfache Darstellung $V$ einer Gruppe 
"uber einem K"orper der Charakeristik Null oder
 einem algebraisch abgeschlossenen K"orper 
 ist ihr Charakter nicht die Nullfunktion.\label{CNiNu}
 Im ersten Fall ist bereits der Wert am neutralen Element nicht Null,
 im zweiten Fall folgt es unschwer aus dem Satz von Wedderburn \ref{WBu}. Ich erwarte, da"s das allgemeiner f"ur
vollkommene K"orper gilt, und mu"s mal in Bourbaki nachschlagen. 
F"ur allgemeine K"orper
 gilt es nicht, wie das folgende Beispiel \ref{GFDS} zeigt.
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{\begin{Bemerkunge}\label{CNiNe}
  Gegeben eine endlichdimensionale 
einfache Darstellung $V$ einer Gruppe 
"uber einem endlichen K"orper 
ist ihr Charakter nicht die Nullfunktion. In der Tat ist der
Endomorphismenring
ein endlicher Schiefk"orper, also kommutativ nach \ref{??},
also hat die durch "Ubergang zum algebraischen Abschlu"s entstehende
Darstellung keine h"oheren Multiplizit"aten. Man m"u"ste nun wissen, ob "uber
einem vollkommenen K"orper der Rang jedes Schiefk"orpers teilerfremd ist zur 
Charakteristik. Das steht in https://msp.org/pjm/1997/181-3/pjm-v181-n3-p07-s.pdf
im Beweis von 2.5 als Teil von Argumenten zur Brauergruppe. 
\end{Bemerkunge}}

\begin{Beispiel}
 Gegeben eine endliche inseparable K"orpererweiterung
$L/K$ ist $L$ eine einfache Darstellung  "uber $K$ der multiplikativen
Gruppe $L^\times$, deren Charakter nach \eref{SEN}{KAG} die Nullfunktion
 ist.\label{GFDS}
\end{Beispiel}


  \begin{Bemerkunge}
     Eine einfache Darstellung einer Gruppe
    wird bereits durch die Angabe\label{VarChar}
 einer beliebigen von Null verschiedenen
    Linearkombination ihrer Matrixkoeffizienten bis auf Isomorphismus
    eindeutig festgelegt.  In der Tat liegt nach  \ref{MAKAv} jeder Matrixkoeffizient in 
derjenigen isotypischen Komponente des Raums der Funktionen 
auf unserer Gruppe, der\label{VarChart}
 zu besagter einfacher Darstellung geh"ort.
Insbesondere wird eine 
endlichdimensionale einfache Darstellung durch ihren Charakter bis auf
    Isomorphismus eindeutig festgelegt, sofern dieser 
nicht die Nullfunktion ist.
 \end{Bemerkunge}
% \begin{Ubunge}\label{VarChar}
% Man zeige:  Eine endlichdimensionale einfache Darstellung $V$ einer 
% Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper
% wird bereits durch die Angabe einer beliebigen von Null verschiedenen
% Linearkombination ihrer Matrixkoeffizienten
% bis auf Isomorphismus eindeutig festgelegt. Insbesondere wird sie durch
% ihren Charakter bis auf Isomorphismus eindeutig festgelegt,  der ja nach
% \ref{CNiNu} nicht die Nullfunktion sein kann.
%  Hinweis: Die Darstellung $V^\ast\boxtimes V$ von $G\times G$ 
% ist notwendig die von besagter Linearkombination in $\op{Ens}(G,\DC)$
% erzeugte Unterdarstellung von $G\times G$.
% Dann beachte man \ref{EDPr}.
% \end{Ubunge}
\begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung durch Charaktere}] 
  \begin{enumerate}
  \item Endlich\-di\-men\-sio\-na\-le Darstellungen 
einer endlichen Gruppe "uber einem
    K"orper der Charakteristik Null sind isomorph genau dann, wenn sie
    denselben Charakter haben. \item  Endlichdimensionale Darstellungen einer
    beliebigen Gruppe "uber einem K"orper der Charakteristik Null haben
    dieselben Kompositionsfaktoren mit denselben Vielfachheiten genau dann,
    wenn sie denselben Charakter haben.
  \end{enumerate}\label{ChaCha} 
\end{Satz}

\begin{proof}
Nach dem Satz von Maschke \ref{Mas} sind Darstellungen einer endlichen Gruppe 
"uber einem K"orper der Charakteristik Null halbeinfach. Es reicht also, die zweite Aussage zu zeigen.
Sind aber $L_i$ diejenigen paarweise nicht\-isomorphen einfachen Darstellungen,
die als Kompositionsfaktoren in unserer Darstellung $M$ 
auftreten, und ist $m(i)$ die Vielfachheit des Auftretens von $L_i$  
 und bezeichnet
$\chi_i$ den Charakter von $L_i$, so gilt
$$\chi_M=\sum_{i=1}^r m(i)\chi_i$$ 
Da aber die $\chi_i$ in verschiedenen isotypischen Komponenten des 
Gruppenrings liegen und nicht Null sind, 
sind sie linear unabh"angig. Da wir in Charakteristik
Null arbeiten, k"onnen wir somit die Multiplizit"aten  $m(i)$  
am Charakter $\chi_M$ von $M$ ablesen. 
\end{proof}




\newpage
\section{Darstellungen der symmetrischen Gruppen}

\subsection{Einfache Darstellungen und Young-Diagramme}


  \begin{Bemerkungl}
Wir stellen zun"achst die beiden 
Haupts"atze vor, die wir beweisen wollen.
    Unter einem {\bf Young-Diagramm}\index{Young-Diagramm}  
verstehen wir wie in \eref{YD}{AL} 
 eine 
endliche Teilmenge $Y
    \subset \Bbb{N} \times \Bbb{N}$ mit der Eigenschaft
    $$\left((i,j) \in Y \text{ und } i^{\prime}\leq i \text{ und }j' \leq
      j\right) \;\;\Rightarrow \;\;(i^{\prime},j^{\prime})\in Y$$
    Die Elemente von $Y$
    nennen wir die \glqq K"astchen\grqq\  unseres Youngdiagramms und 
stellen uns ein Element $(i,j)$
    vor als das  K"astchen auf einem Rechenpapier, bei dem 
die Koordinaten der linken
    unteren Ecke gerade $(i,j)$ sind.
Zum  Beispiel stellt das Bild 
$$ 
\begin{Young} \cr&\cr&&&\cr
\end{Young}
$$
das Youngdiagramm
$\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),(3,0)\}$ 
dar. In der Praxis denke ich selber bei 
Youngdiagrammen stets an Bilder dieser Art.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen der symmetrischen Gruppen}]
 \begin{enumerate}
  \item Ge\-ge\-ben ein Youngdiagramm $Y$ besitzt die Gruppe
    $\cal{S}_Y\pdef\op{Ens}^\times Y$ aller Permutationen von $Y$ 
bis auf Isomorphismus  genau
    eine einfache komplexe Darstellung $L(Y)$ mit der Eigenschaft, da"s 
darin sowohl 
die Einsdarstellung des  Spaltenstabilisators von $Y$ 
    als auch die Signumsdarstellung des  Zeilenstabilisators von $Y$  
vorkommen; 
\item
Gegeben $n\geq 0$ 
erhalten wir 
eine Bijektion 
    $$
\begin{array}{ccc}
\cal{Y}_n&\sira& \op{irr}\DC\cal{S}_n\\
Y&\mapsto&L(Y)
\end{array}
$$
zwischen der Menge $\cal{Y}_n$ aller Youngdiagramme mit $n$ K"astchen und der
Menge aller Isomorphieklassen von einfachen  komplexen 
Darstellungen der symmetrischen
Gruppe $\cal{S}_n$, indem wir f"ur jedes Youngdiagramm $Y$ mit $n$ K"astchen
 eine Bijektion $Y\sira \{1,\ldots,n\}$ w"ahlen,
dadurch $ \cal{S}_Y$ mit $\cal{S}_n$ identifizieren,  und unsere
    einfache Darstellung $L(Y)$ aus Teil 1 
mit dieser Identifikation als Darstellung von $\cal{S}_n$ auffassen.
\end{enumerate}
\label{EDSy}%\label{EDSn}%\label{EDS}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Nach "Ubung \ref{ZIAu} ist eine Darstellung stets isomorph zu jeder
  Darstellung, die wir daraus durch R"uckzug \ref{ZIA}
  mit einem inneren Automorphismus
  erhalten. 
Insbeondrere h"angt die so erhaltene  Darstellung $L(Y)$ der Gruppe $\cal{S}_n$
bis auf Isomorphismus nicht 
von der Wahl der Bijektion $Y\sira \{1,\ldots,n\}$ ab.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Gegeben ein Youngdiagramm $Y$ mit $n$ K"astchen ist ein
\defind{Tableau} {\bf der Gestalt} $Y$ eine Bijektion 
$T: Y\sira \{1,\ldots,n\}$. Wir veranschaulichen uns solch ein Tableau,
indem wir in jedes K"astchen unseres
Youngdiagramms den Wert schreiben, den $T$ dort annimmt.
Ein \defind{Standardtableau} ist ein Tableau,
dessen Eintr"age in allen Zeilen und Spalten monoton wachsen.
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Dimensionen der einfachen Darstellungen}]
F"ur jedes Youngdiagramm $Y$
stimmt die Dimension der zugeh"origen\label{DED} einfachen 
komplexen Darstellung $L(Y)$ 
von $\cal{S}_n$ "uberein mit der Zahl der Standardtableaus der Gestalt $Y$.
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
Im Fall der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_3$ haben wir drei
Young-Diagramme mit drei K"astchen. Sie entsprechen den drei
einfachen Darstellungen nach \ref{Bs3}. Die Spiegelungsdarstellung ist
zweidimensional, was der Tatsache entspricht, da"s es f"ur das fragliche
Youngdiagramm
zwei Standardtableaus gibt.
$$ \begin{array}[c]{ccccc}
\op{triv}&\hspace{20mm}&\op{spieg}&\hspace{20mm}&\op{sgn}\\[2mm]
\begin{Young} \cr\cr\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
 \cr&\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
&&\cr
\end{Young}\\[2mm]
\begin{Young} 3\cr 2 \cr 1\cr
\end{Young}
&&
\;\;\;\begin{Young}
 3\cr 1& 2\cr
\end{Young}\hspace{5mm}
\begin{Young}
 2\cr 1& 3\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
1 &2 &3\cr
\end{Young}
\end{array}
$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Im Fall der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_4$ haben wir f"unf
Young-Diagramme mit vier K"astchen

$$ \begin{array}[c]{ccccccccc}
\begin{Young} \cr\cr\cr\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
 \cr\cr&\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
&\cr&\cr
\end{Young}
&&
\begin{Young}
\cr&&\cr
\end{Young}&&
\begin{Young}
&&&\cr
\end{Young}
\end{array}
$$
Sie entsprechen einfachen Darstellungen wie folgt: Ganz links steht die Einsdarstellung, ganz rechts die
Signumsdarstellung, in der Mitte die
zweidimensionale einfache Darstellung von $\mathcal S_3$ zur"uckgezogen
mit dem Gruppenhomomorphismus $\mathcal S_4\sra\mathcal S_3$, dessen
Kern die Doppeltranspositionen zusammen mit dem neutralen Element
bilden. Anschaulich f"arben wir die Kanten eines Tetraeders in drei
Farben so, da"s an jeder Ecke eine Kante jeder Farbe ankommt.
Jede Permutation der Ecken eines Tetraeders induziert dann eine Permutation der
Menge dieser drei Farben. Die restlichen beiden Darstellungen sind rechts die
dreidimensionale Darstellung auf dem Umgebungsraum des Tetraeders,
die von den Permutationen seiner Ecken induziert wird, und links ihr
Tensorprodukt mit der Vorzeichendarstellung.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Die Permutationsdarstellung von $\mathcal{S}_n$ auf $\mathbb{C}^n$ 
zerf"allt f"ur
$n \geq 2$ in zwei einfache
Darstellungen, n"amlich die Gerade $\langle (1, 1, \ldots, 1) \rangle$
und ihr orthogonales Komplement unter dem Standardskalarprodukt.
Da"s dieses Komplement einfach ist, erkennt man zum Beispiel, indem man
nachrechnet, da"s der Endomorphismenring unserer 
Permutationsdarstellung zweidimensional
ist: Genauer besteht er aus allen Matrizen, 
bei denen alle Eintr"age auf der Diagonalen
"ubereinstimmen und alle Eintr"age au"serhalb 
der Diagonale ebenfalls "ubereinstimmen.
Das Youngtableau f"ur den nichttrivialen Summanden hat im Fall $n=6$ die Gestalt
$$ 
\begin{Young} \cr\cr\cr\cr&\cr
\end{Young}
$$
und hat auch f"ur allgemeines $n$ nur zwei Spalten, von denen die Zweite
aus einem einzigen K"astchen besteht. In der Tat kommt in unserem orthogonalen Komplement
die Einsdarstellung von $\cal{S}_{n-1}\subset \mathcal{S}_n$ vor als die
Gerade $\langle (1,1,\ldots, 1-n)\rangle $ und die Signumsdarstellung
 von $\mathcal{S}_2\subset \mathcal{S}_n$  
als die Gerade $\langle (1,-1,0, \ldots 0)\rangle$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}\label{RIIn}
 Ist  $R$ ein Ring und $e\in R$ idempotent und
  $M$ ein $R$-Modul, so induziert  das Auswerten bei $e$ 
offensichtlich  eine
  Bijektion $\op{Hom}_R(Re,M)\sira eM$.
Das m"ogen Sie auch bereits als "Ubung \eref{RII}{KAG}
ausgef"uhrt haben. Man mag auch direkt bemerken, da"s
der Annullator von $e$ das Linksideal $R(1-e)$ ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis von \ref{EDSy}]
Wir betrachten  im Gruppenring $\DC\cal{S}_Y$ die beiden Idempotenten
$$E_Y=|S|^{-1}\sum_{g\in S}g\quad
\text{ und }\quad A_Y=|Z|^{-1} \sum_{h\in Z} \op{sgn}(h)\; h$$
Diese Idempotenten sind  genau die Projektoren zur
Einsdarstellung von $S$ und zur Signumsdarstellung von $Z$.
Wir nennen sie den {\bf Spaltenegalisator} und den {\bf Zeilenalternator}. 
Die beiden von diesen Idempotenten erzeugten Linksideale
des Gruppenrings $\DC\cal{S}_Y$ notieren wir 
$M(Y)\pdef(\DC\cal{S}_Y)E_Y$ und $N(Y)\pdef(\DC\cal{S}_Y)A_Y$.
Der 
mit Induktion von Darstellungen \ref{IKG} vertraute Leser 
wird sie nebenbei bemerkt 
 leicht identifizieren k"onnen mit den induzierten Darstellungen
zur Einsdarstellung des Spaltenstabilisators
beziehungsweise der Signumsdarstellung des Zeilenstabilisators.
In einer Darstellung $L$ von $\cal{S}_Y$ kommt nach \ref{RIIn} die
Einsdarstellung des Spaltenstabilisators vor genau dann,
wenn gilt $E_Y L\neq 0$ alias 
$\op{Hom}_{\DC\cal{S}_Y}(M(Y),L)\neq 0$.
Ebenso kommt  die
Signumsdarstellung des Zeilenstabilisators vor genau dann,
wenn gilt $A_Y L\neq 0$ alias 
$\op{Hom}_{\DC\cal{S}_Y}(N(Y),L)\neq 0$ und wegen der Halbeinfachkeit  gleichbedeutend $\op{Hom}_{\DC\cal{S}_Y}(L,N(Y))\neq 0$.
Jede einfache Darstellung $L$ von $\cal{S}_Y$ mit beiden Eigenschaften 
ist also das Bild eines Homomorphismus von Darstellungen 
$M(Y)\ra N(Y)$, und Teil 1 folgt leicht, wenn wir zeigen k"onnen, da"s gilt
\begin{equation}
\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\DC\cal{S}_Y}(M(Y),N(Y))=1\tag{$*$}
\end{equation}
In der Tat ist dann unser $L$ notwendig das Bild eines und jedes
von Null verschiedenen derartigen Homomorphismus. Nehmen wir 
speziell den durch Rechtsmultiplikation mit $A_Y$ gegebenen
Homomorphismus und beachten die im folgenden gezeigte Formel $E_YA_Y\neq 0$,
so ergibt sich f"ur diese durch $Y$ bestimmte einfache Darstellung 
$L\cong L(Y)$ sogar die explizite Formel 
$$L(Y)\cong (\DC\cal{S}_Y)E_YA_Y$$
In anderen Worten kann $L(Y)$ also beschrieben werden
als das vom sogenannten \defind{Young-Symmetrisator}
$E_YA_Y$ im Gruppenring erzeugte Linksideal.
Um nun   zu zeigen, da"s der Raum der Homomorphismen $M(Y)\ra N(Y)$ eindimensional ist, 
schreiben wir diese Behauptung
zun"achst mithilfe unserer Vorbemerkung \ref{RIIn}
und den Definitionen 
um
zur Behauptung
$$\op{dim}_\DC E_Y(\DC\cal{S}_Y)A_Y=1$$
Nun gilt ja offensichtlich $S\cap Z=1$, 
also $E_YA_Y\neq 0$, und f"ur alle $x\in SZ$ gilt
$E_Yx A_Y=\pm E_Y A_Y$. 
Es reicht also, wenn wir zus"atzlich 
f"ur alle $x\not\in SZ$ zeigen
$E_Yx A_Y=0$ oder gleichbedeutend $x^{-1} E_Yx A_Y=0$. 
Nun haben wir nat"urlich
$$|S| x^{-1} E_Yx =\sum_{g\in x^{-1}Sx}g$$
Bezeichnet $Y=Y_1\sqcup Y_2\sqcup\ldots$ die Partition des Youngdiagramms
$Y$ in seine Spalten, so ist 
$x^{-1}Sx$ gerade die Gruppe aller derjenigen Permutationen von $Y$, die
jedes St"uck der Partition $$Y=x^{-1}Y_1\sqcup x^{-1}Y_2\sqcup\ldots$$ unserer K"astchenmenge $Y$ stabilisieren.
Trifft nun jede transformierte Spalte $x^{-1}Y_i$ jede Zeile unseres
Youngdiagramms in h"ochstens einem Element, so scheint es mir
offensichtlich, da"s es ein $y$ im Zeilenstabilisator
$Z$ geben mu"s mit $yx^{-1}Y_i=Y_i$ f"ur alle $i$, 
woraus sofort folgt
$x\in SZ$. Im Fall $x\not\in SZ$ gibt es folglich eine
transformierte Spalte $x^{-1}Y_i$, die mit einer Zeile von $Y$ mindestens zwei
Elemente gemeinsam hat. Die Vertauschung dieser beiden Elemente 
ist dann eine Transposition $t\in x^{-1}Sx\cap Z$, und 
deren Existenz zeigt $E_Y x A_Y=0$, da dann ja gilt
$$(x^{-1} E_Yx)\in\DC\cal{S}_Y(t+1)\quad\text{ und } \quad  A_Y\in (t-1)\DC\cal{S}_Y$$\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZSZ}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine Permutation der K"astchen eines Youngdiagramms, bei der 
das Bild jeder Spalte h"ochstens ein K"astchen in jeder Zeile  hat,
kann durch Nachschalten eines Elements des Zeilenstabilisators in den
Spaltenstabilisator geschoben werden. %Das Bild deutet solch eine 
%Permutation an, die Wirkung der Permutation
%auf die  K"astchen der zweiten Spalte habe ich durch
%Pfeile angedeutet, bei den anderen K"astchen rechts ist nur 
%an der Textur zu sehen, aus welcher Spalte sie kommen.
\end{minipage}
\end{figure}
Damit wissen wir, da"s die Darstellungen $L(Y)$ einfach sind.
Da es offensichtlich ebensoviele Young-Diagramme mit $n$ K"astchen
gibt wie Partitionen der Zahl $n$ wie nach \eref{KKS}{AL} Konjugationsklassen in der
symmetrischen Gruppe $\cal{S}_n$, ist der erste Satz bewiesen,
sobald wir zeigen, da"s die Darstellungen $L(Y)$ paarweise
nicht isomorph sind.  Um das zu zeigen, f"uhren wir auf der Menge
$\cal{Y}_n$ aller Youngdiagramme mit $n$ K"astchen eine
Teilordnung
 ein.
\begin{Definition}\label{DoO}
Ein Youngdiagramm hei"st kleinergleich  einem anderen
in der \defind{Dominanz-Teilordnung}
genau dann, wenn es f"ur jedes $s\in\DN$ in den ersten $s$ Spalten insgesamt
h"ochstens ebensoviele K"astchen besitzt wie das andere.  
Wir notieren diese Teilordnung $Y\leq Y'$.
\end{Definition}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDOM}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.55\textwidth}\centering
Denken wir uns ein Youngdiagramm als Ger"ollhalde, 
so werden in der Dominanzteilordnung
Partitionen kleiner, wenn 
  K"astchen weiter nach unten purzeln.
\end{minipage}
\end{figure}
\noindent\emph{Fortf"uhrung des Beweises.} W"ahlen wir  irgendeine 
Bijektion $\phi:Y\sira \{1,\ldots,n\}$,  identifizieren
mit ihrer Hilfe $ \cal{S}_Y$ mit $\cal{S}_n$ und fassen mithilfe dieser
Identifikation 
die Darstellungen
$M(Y)$ und $N(Y)$ 
von $ \cal{S}_Y$ als Darstellungen von $\cal{S}_n$
auf, so erhalten wir nach \ref{ZIA} 
bis auf Isomorphismus wohldefinierte Darstellungen 
von $\cal{S}_n$.  
Gegeben ein weiteres Diagrann $Z\in\cal{Y}_n$ w"ahlen wir auch
eine Bijektion $\psi:Z\sira \{1,\ldots,n\}$ und behaupten  
$$\op{Hom}_{\DC\cal{S}_n}(M(Y),N(Z))\neq 0\;\;\RA\;\; Y \leq Z$$
Sobald das gezeigt ist, sind wir fertig, denn
dann folgt aus $L(Y)\cong L(Z)$ sofort $Y \leq Z\leq Y$
und damit $Y=Z$. 
F"ur diesen Beweis fand ich es bequem, etwas allgemeiner als im Fall
von Gruppenringen f"ur endliche Mengen $X,Y$ formale Linearkombinationen
$\DC\op{Ens}(X,Y)$ von Abbildungen von $X$ nach $Y$ zu betrachten und f"ur jede
weitere endliche Menge $Z$ die offensichtliche bilineare Verkn"upfung
$$\DC\op{Ens}(X,Y)\times\DC\op{Ens}(Y,Z)\ra \DC\op{Ens}(X,Z)$$
Ich notiere sie wie die Verkn"upfung von Abbildungen durch das Hintereinanderschreiben
in der anderen Reihenfolge $(f,g)\mapsto gf$. 
Die von $\phi$ induzierte Identifikation
$ \cal{S}_Y\sira \cal{S}_n$ hat die Gestalt $x\mapsto \phi  x\phi^{-1}$,
und den zugeh"origen Isomorphismus von Gruppenringen
k"onnen  wir mit unserer neuen Notation analog $C\mapsto \phi  C \phi^{-1}$
notieren.
Mit denselben Argumenten wie zuvor gilt es in diesen
Notationen zu zeigen %Es gilt zu zeigen 
$$Y\not\leq Z\;\;\RA\;\;(\phi  E_Y\phi^{-1}) (\DC\cal{S}_n )
(\psi A_{Z}\psi^{-1})=0$$
Es reicht dazu, f"ur jede Bijektion $\kappa:Z\sira Y$  zu zeigen 
$$Y\not\leq Z\;\;\RA\;\;  E_Y\kappa A_{Z}=0$$
Wie zuvor 
reicht es daf"ur weiter zu zeigen,
da"s f"ur 
$Y\not\leq Z$ 
unter jeder Bijektion $ Y\sira Z$ aus mindestens einer Spalte von $Y$
mindestens zwei K"astchen in derselben Zeile von $Z$ landen.
In der Tat gibt es dann ja ein $s$ derart, da"s $Y$ mehr K"astchen in den
ersten $s$ Spalten stehen hat als $Z$. Dann k"onnen wir diese 
K"astchen jedoch nicht so mit K"astchen von $Z$ identifizieren, 
da"s wir in jeder Zeile von $Z$ h"ochstens $s$ K"astchen erwischen.
Also erwischen wir in mindestens einer Zeile von $Z$ mindestens $s+1$
K"astchen und von denen m"ussen dann mindestens zwei aus derselben
Spalte von $Y$ kommen.
\end{proof}






\begin{proof}[Beweis der Dimensionsformel \ref{DED}]
Gegeben ein Youngdiagramm $Y$ operiert die Gruppe $\cal{S}_{Y}$ 
aller Permutationen
der K"astchen frei und transitiv von rechts auf der Menge $\cal{B}_{Y}\pdef
\op{Ens}^\times(Y,\{1,\ldots,n\})$ 
aller Tableaus der
Gestalt $Y$ vermittels der Vorschrift $T^{\sigma} = T\circ \sigma$ 
f"ur $$T : Y \sira \{ 1,2, \ldots , n\}$$ ein Tableau und
$\sigma : Y \sira Y$ eine Permutation.
Als $\DC\cal{S}_{Y}$-Rechtsmodul ist also $\DC\cal{S}_{Y}$
isomorph zum freien $\DC$-Vektorraum  
$\DC\cal{B}_{Y}$ 
"uber der Menge aller 
Tableaus der
Gestalt $Y$ mit seiner hoffentlich offensichtlichen Rechtsoperation von
$\DC\cal{S}_{Y}$.
Bezeichne nun $\cal{D}_{Y}\subset \cal{B}_{Y}$ die Menge aller 
Standardtableaus  der
Gestalt $Y$.
Ich behaupte, da"s die Einschr"ankung
$\op{res}: \DC\cal{B}_{Y}\ra \DC\cal{D}_{Y}$ 
einer komplexwertigen Funktion  auf die Teilmenge
aller Standardtableaus eine
Surjektion 
$$\op{res}: (\DC\cal{B}_{Y})E_YA_Y\sra \DC\cal{D}_{Y}$$
induziert. In der Tat,
wenden wir  auf ein Standardtableau $\varphi$ der Gestalt $Y$ von rechts alle
Elemente von $SZ$ an, als da hei"st eine beliebige Vertauschung der 
Eintr"age jeder Spalte
gefolgt von einer beliebigen Vertauschung der Eintr"age jeder 
Zeile, so erhalten wir zwar
eventuell au"ser $\varphi$ selbst noch weitere Stan\-dard\-ta\-bleaus,
aber f"ur diese ist 
die Folge der
Zeilensummen mit der Zeilensumme der obersten Zeile als erstem Buchstaben 
lexikographisch kleiner
%\nichtfinal{(vorher gr"o"ser, wohl falsch!)}
als bei unserem Ausgangstableau. In der Tat gibt es ja eine
oberste Zeile, in der unser Element des Spaltenstabilisators etwas "andert,
und in dieser Zeile mu"s die Zeilensumme kleiner werden, wohingegen sie in
den dar"uberliegenden Zeilen unver"andert bleibt.
Gegeben
 $\varphi\in \cal{D}_{Y}\subset \DC\cal{B}_{Y}$ 
ein Standardtableau gilt f"ur  unsere Einschr"ankung 
$\op{res}$ auf die Teilmenge
aller Standardtableaus demnach
$$\op{res}\left(\varphi E_YA_Y\right)\in |S|^{-1}|Z|^{-1}\varphi+\sum_{\varphi<\psi } \DC \psi $$
wobei die Notation $\varphi<\psi $ rechts  andeuten soll,
da"s nur "uber  Standardtableaus $\psi $ 
mit einer lexikographisch gr"o"seren Folge von Zeilensummen summiert wird. 
So ergibt sich die behauptete Surjektivit"at.
Es folgt, da"s die Zahl der Standardtableaus eine untere Schranke
f"ur die Dimension von $(\DC\cal{B}_{Y})E_YA_Y$ 
und damit auch eine untere Schranke f"ur die Dimension der einfachen Darstellung
$L (Y)$  ist.
Da"s die Zahl der Standardtableaus sogar 
mit dieser Dimension "ubereinstimmt, folgt dann aus 
der durch \ref{RoSe} bewiesenen Formel
mit der aus \ref{DEDa} spezialisierten allgemeinen Erkenntnis
\begin{equation*}
\sum_{Y\in \cal{Y}_{n}} (\op{dim}_{\Bbb{C}}L(Y))^{2} 
= |\cal{S}_{n}|\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Das Bilden der Umkehrabbildung liefert eine
Bijektion zwischen unserer Menge $\cal{B}_{Y}\pdef
\op{Ens}^\times(Y,\{1,\ldots,n\})$ und der
 Menge der Bijektionen in der Gegenrichtung
$\op{Ens}^\times(\{1,\ldots,n\},Y)$. Oft wird in der Literatur
letzere Menge als Menge der Tableaus bezeichnet. Diese  tr"agt dann in 
nat"urlicher Weise eine
Linksoperation von $\mathcal S_Y$ und eine Rechtsoperation von $\mathcal S_n$.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
Gegeben ein Youngdiagramm $Y$ tr"agt die Menge $\mathcal B_Y$ aller Tableaus 
 der Gestalt 
$Y$ auch  eine Linksoperation der $\mathcal S_n$ \glqq durch Nachschalten\grqq,
die mit der Rechtsoperation von $\mathcal S_Y$ \glqq durch Vorschalten\grqq\ 
kommutiert.
Unsere R"aume $(\DC\cal{B}_{Y})E_YA_Y$ f"ur die verschiedenen Young-Diagramme 
werden mit dieser 
Operation von $\mathcal S_n$ nach dem vorhergehenden genau die einfachen
Darstellungen von $\mathcal S_n$. 
Die Argumente von eben zeigen, da"s die 
$\psi E_YA_Y$ f"ur $\psi \in \mathcal D_Y$ 
 Standardtab\-leaus eine Basis dieser einfachen Darstellung bilden.
Dasselbe gilt f"ur die um die  Nenner bereinigten sogenannten
{\bf Specht-Vektoren}\index{Specht-Vektor}
$$v(\psi )\pdef \psi |Z||S|E_YA_Y
= \psi  \left(\sum_{g\in S}g\right)\left(\sum_{h\in Z}\op{sgn}(h)h\right)$$
Sie sind in Worten formale Linearkombinationen von
Tableaus, die zu jedem Standardtableau $\psi $ der Gestalt $Y$ gebildet werden,
 indem man erst  seine Varianten mit
in jeder Spalte  beliebig permutierten
Eintr"agen betrachtet, und dann  deren Varianten mit
in jeder Zeile  beliebig permutierten
Eintr"agen, und alle diese Tableaus aufsummiert,
jeweils gewichtet mit dem Signum der letzteren Permutation. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Seien $k$ ein beliebiger Ring und 
$Y$ ein Youngdiagramm mit $n$ K"astchen
und $\cal{B}_{Y}\pdef\op{Ens}^\times(Y,\{1,\ldots,n\})$
 die Menge der $Y$-Tableaus.
Seien weiter $Z,S\subset\op{Ens}^\times(Y)$ der Zeilenstabilisator und der
Spaltenstabilisator. 
Zum freien $k$-Modul  $k\cal{B}_{Y}$  betrachtet man 
in der modularen Darstellungstheorie
meist den Raum der sogenannten 
\glqq $Z$-Koinvarianten\grqq, also den Quotienten $(k\cal{B}_{Y})_Z$
nach dem 
von allen $a(z-1)$ f"ur $a\in k\cal{B}_{Y}$ und $z\in Z$ 
erzeugten $k$-Untermodul. 
Eine $k$-Basis dieses Quotienten
von $k\cal{B}_{Y}$ bildet die Menge der
Bilder der Tableaus. Man nennt diese
Bilder auch  {\bf Tabloide}\index{Tabloide}
und notiert sie als Tab\-leaus ohne senkrechte Striche, 
um anzudeuten, da"s
es auf die Reihenfolge der Eintr"age in den
 Zeilen nun nicht mehr ankommen soll. 
Das Tabloid alias die Nebenklasse
eines Tableaus $T$ notiert man $[T]$. 
Die Elemente des Raums der Koinvarianten fa"st man
als formale
Linearkombinationen von Tabloiden auf und nennt 
sie {\bf Polytabloide}.\index{Polytabloid} 
Dann betrachtet man den Raum der spaltenalternierenden
Elemente $(k\cal{B}_{Y})^{S\op{-sgn}}$ und das Bild der 
Verkn"upfung $$(k\cal{B}_{Y})^{S\op{-sgn}}\hra k\cal{B}_{Y}\sra (k\cal{B}_{Y})_Z$$
der offensichtlichen Homomorphismen von $\mathcal S_n$-Darstellungen.
Dieses Bild wird $L(Y)$ notiert und hei"st der
 {\bf Specht-Modul}.\index{Specht-Modul} 
Nat"urlich ist $$(k\cal{B}_{Y})^{S\op{-sgn}}=
k\cal{B}_{Y}\left(\sum_{h\in S}\op{sgn}(h)h\right)$$
ein zyklischer $k\mathcal S_n$-Modul und f"ur jedes Tableau $T\in \cal{B}_{Y}$
 ist $T\left(\sum_{h\in S}\op{sgn}(h)h\right)$ ein Erzeuger.
Das Bild dieses Erzeugers im Raum $(k\cal{B}_{Y})_Z$
der Koinvarianten notieren wir  $\llbracket T\rrbracket$
und nennen es das zu $T$ geh"orige Polytabloid.
Die Polytabloide $\llbracket T\rrbracket$ f"ur $T\in\mathcal B_Y$
erzeugen also den Spechtmodul zum Youngdiagramm $Y$ als $k$-Modul 
und jedes Polytabloid $\llbracket T\rrbracket$ erzeugt den
Spechtmodul $L(Y)$ als $k\mathcal S_n$-Modul.
\end{Bemerkunge}

 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSpV}\\[4mm]
 \noindent Die beiden Specht-Vektoren zu den beiden 
Standardtableaus 
einer gewissen vorgegebenen Gestalt mit drei K"astchen.
Das Mitteln "uber die Bilder unter dem Spaltenstabilisator 
$Z\subset \mathcal S_Y$ liefert in obigem Bild die 
Zeilensummen, das  Mitteln 
mit Vorzeichen "uber den Zeilenstabilisator dann 
die alternierenden Spaltensummen unter jedem Eintrag. 
\end{Bild}




 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLF}\\[4mm]
 \noindent 
Illustration der Hakenl"angenformel. 
Eingezeichnet sind alle Haken mit mehr als nur einem K"astchen.
Die zu diesem Young-Diagramm
geh"orige einfache Darstellung hat danach die Dimension 
$$\frac{8!}{6\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 2}=8\cdot 7\cdot2=112$$
\end{Bild}
\begin{Bemerkunge}
Operiert ein Monoid $G$ auf einer Menge $X$ und ist $k$ ein Kring,
so wird der freie $k$-Modul $kX$ in offensichtlicher Weise eine
Darstellung von $G$. Weiter erhalten  wir eine $G$-invariante
symmetrische bilineare Abbildung  $kX \times kX\ra k$ durch die Vorschrift
$(x,y)\mapsto \delta_{xy}$ f"ur $x,y\in X$. Die Basis der Tabloide liefert 
so eine symmetrische invariante Bilinearform auf  $(k\cal{B}_{Y})_Z$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
 Eine besonders sch"one Formel f"ur die Dimension der einfachen Darstellung
$L (Y)$ einer symmetrischen Gruppe ist die 
{\bf Hakenl"angenformel}\index{Hakenl"angenformel}
\begin{equation*}
 \dim_{\mathbb C} L (Y) = \frac{|Y|!}{\prod_{(i,j)\in Y} 
(\text{Hakenl"ange von } (i,j))}
\end{equation*}
Die {\bf Hakenl"ange}\index{Hakenl"ange} 
 eines K"astchens $(i,j)\in Y$ ist dabei erkl"art 
als die Zahl aller $(a,b)\in Y$ mit $a =i, b\geq j$ oder
$b = j, a \geq i$. Ich gebe hierf"ur keinen Beweis.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
"Uber die Darstellungen der symmetrischen Gruppen ist 
noch sehr viel mehr bekannt, siehe zum Beispiel
\cite{Sagan,Jam,JK,FH}. Was die Darstellungen "uber K"orpern
positiver Charakteristik angeht, ist aber auch noch vieles offen.
Selbst die Dimensionen der meisten einfachen Darstellungen sind 
in diesem Fall 
noch  nicht bekannt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Gelfand-Modell f"ur 
symmetrische Gruppen}]
Sei $I\subset \mathcal S_n$ die Menge aller Idinvolutionen
in der symmetrischen Gruppe.
Auf der Menge $I$ operiert die symmetrische Gruppe durch Konjugation.
Es gibt nun ein "aquivariantes Geradenb"undel $\mathcal L$ auf 
$I$ derart, da"s seine globalen Schnitte isomorph sind zur 
direkten Summe aller einfachen Darstellungen  der symmetrischen Gruppe
  $\mathcal S_n$, in Formeln
$$\bigoplus_{Y\in\mathcal Y_n}L(Y)\cong \Gamma(I;\mathcal L)$$
Das Geradenb"undel kann hierbei dadurch charakterisiert werden,
da"s f"ur eine Idinvolution $\tau$ die Operation der Standgruppe
von $\tau$ auf der Faser $\mathcal L_\tau$ durch den Charakter geschieht,
der durch das Signum der Operation der Elemente der Standgruppe auf der
Fixpunktmenge $\{1,\ldots,n\}^\tau$ von $\tau$ gegeben wird.
\end{Bemerkungw}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Man zeige, da"s das Tensorieren mit der 
Vorzeichendarstellung dem "Ubergang zur dualen Partition 
alias zum an der Hauptdiagonale gespiegelten
Youngdiagramm entspricht, in Formeln 
 $L(Y)\otimes \op{sgn}\cong L(\tau Y)$ f"ur $\tau$ die Vertauschung der 
beiden Koordinaten.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige in der Notation \ref{NVKFo} die beiden Implikationen 
$[M(Y):L(Y')]\neq 0\RA Y\leq Y'$ und 
$[N(Y):L(Y')]\neq 0\RA Y\geq Y'$, die beschreiben, welche einfachen
Darstellungen
als Kompositionsfaktoren von $M(Y)$ und $N(Y)$ auftreten k"onnen.
Dar"uberhinaus zeige man
$$[M(Y):L(Y)]=[N(Y):L(Y)]=1$$
\end{Ubung}
\subsection{Der Robinson-Schensted-Algorithmus}
\begin{Bemerkungl}\label{RoSe}
  Wir
erhalten eine Bijektion zwischen der Menge aller Permutationen $\sigma$
  von $\{ 1, \ldots , n\}$ und der Menge aller Paare von 
Standardtableaus mit jeweils $n$ K"astchen und gleicher Gestalt alias  gleichem 
zugrundeliegendem Youngdiagramm
vermittels des sogenannten
{\bf Robinson-Schensted-Algorithmus}.\index{Robinson-Schensted-Algorithmus}  
 Zun"achst stellen wir dazu unsere Zahlen in der durch $\sigma$
  gegebenen Reihenfolge auf als $\sigma (1)$, $\sigma (2)$, \dots, 
$\sigma (n)$.
  Dann lassen wir sie \glqq ein Young-Haus bauen und bewohnen\grqq\  
nach den folgenden
  Regeln: Im $i$-ten Schritt geht die Zahl $\sigma (i)$ von links nach rechts
  durch die erste Etage des Young-Hauses, wie es bis 
dahin bereits konstruiert ist.
  Ist sie gr"o"ser als alle Bewohnerinnen der ersten Etage, baut sie am
  Ende der ersten Etage ein K"astchen an und zieht dort ein.  
Sonst verdr"angt sie die erste
  Bewohnerin der ersten
Etage, die gr"o"ser ist als sie selber, und diese versucht es in der
  zweiten Etage. Ist sie gr"o"ser als alle Bewohnerinnen der zweiten Etage, so
  baut sie sich am Ende der zweiten Etage ein K"astchen an und zieht dort ein.
  Sonst verdr"angt sie in der zweiten Etage die erste Bewohnerin, die gr"o"ser
  ist als sie selber, und diese versucht es in der dritten Etage 
etc.  Der $i$-te
  Schritt ist fertig, wenn 
die Zahlen $\sigma (1), \sigma (2), \ldots , \sigma (i)$ 
alle wieder in einem K"astchen wohnen.
  So entsteht, wie man sich unschwer "uberlegt, ein Standardtableau $L
  (\sigma)$.  Die Reihenfolge, in der die K"astchen 
angebaut werden, erinnern wir
  in einem zweiten Standardtableau $R(\sigma)$ derselben Gestalt, bei 
dem in demjenigen
  K"astchen die Zahl $i$ steht, das im $i$-ten Schritt angebaut wurde.
Da"s wir auf diese Weise in der Tat eine Bijektion zwischen der Menge
aller Permutationen und der Menge aller Paare von Standardtableaus
gleicher Gestalt erhalten, kann der Leser 
hoffentlich ohne allzu gro"se 
Schwierigkeiten selbst einsehen. In jedem Fall denke ich, da"s es noch 
schwieriger w"are, einen in Worten aufgeschriebenen Beweis nachzuvollziehen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Es sei $\sigma (1), \sigma (2), \ldots , \sigma (5)$ die Folge
$3,1,5,4,2$. Wir erhalten der Reihe nach 
$$ \begin{array}[c]{cccccccccccc}
\begin{Young} 3\cr
\end{Young}
&
\begin{Young}
 
 1\cr
\end{Young}
&\hspace{5mm}
\begin{Young}
3 \cr
1\cr
\end{Young} &
  \begin{Young}
2\cr
1\cr
\end{Young}
&\hspace{5mm}
\begin{Young}
3 \cr
1 & 5 \cr
\end{Young}&   
 \begin{Young}
2\cr
1 & 3 \cr
\end{Young}
&\hspace{5mm}
\begin{Young}
3 & 5\cr
1 &4 \cr \end{Young} &  
    \begin{Young}
2 & 4\cr
1 & 3\cr
\end{Young}\hspace{5mm}&
\begin{Young}
5 \cr
3 &4 \cr
1 & 2\cr \end{Young} &
\begin{Young}
5\cr
2 &4 \cr
1 &3\cr \end{Young}
\end{array}
$$
Das Paar von Standardtableaus ganz am Ende 
der Zeile ist dann dasjenige, das der
Robinson-Schensted-Algorithmus unserer Permutation $\sigma$ 
zuordnet.
\end{Beispiel}

\subsection{Berechnung der Charaktere}  
\begin{Bemerkungl}
Aus dem Beweis von Satz \ref{EDSy} wissen wir insbesondere, da"s 
f"ur je zwei Young-Diagramme $Y,Y'\in\cal{Y}_n$  gilt
$$\op{Hom}_{\DC\cal{S}_n}(M(Y),N(Y'))\neq 0\;\;\RA\;\; Y \leq Y'$$
Zus"atzlich wissen wir aus demselben Beweis
$\op{dim}_\DC\op{Hom}_{\DC\cal{S}_Y}(M(Y),N(Y))=1$. 
Es ist nun f"ur das folgende bequemer, mit Partitionen 
nat"urlicher Zahlen im Sinne von \eref{ParT}{AL} zu arbeiten.
Gegeben eine Partition $\lambda\in \mathcal P_n$ alias eine
absteigende Folge $\lambda(1)\geq \lambda(2)\geq\ldots\geq \lambda(r)>0=0=0
\ldots
$ nat"urlicher 
Zahlen mit Summe $n$ bilden wir in hoffentlich offensichtlicher 
Weise die Untergruppe 
$\mathcal S_\lambda=\mathcal S_{\lambda(1)}\times \ldots \times
S_{\lambda(r)}\subset
\mathcal S_n$ der symmetrischen Gruppe und 
schreiben 
$$M(\lambda)=(\Bbb{C}\cal{S}_n)E_\lambda$$ 
mit 
$E_\lambda=|\cal{S}_\lambda|^{-1}\sum_{g\in \cal{S}_\lambda}g$
f"ur die Darstellung, die wir sp"ater auch als die 
 induzierte der Einsdarstellung $M(\lambda)=\op{ind}_{\mathcal
   S_\lambda}^{\mathcal S_n}\DC$ verstehen werden.
Wie in  \eref{zTt}{AL} erkl"art liefert das Bilden der Spaltenl"angen
eine Bijektion
$s:\mathcal Y_n\sira \mathcal P_n$ und f"ur $\lambda=s(Y)$
haben wir per definitionem $M(\lambda)=M(Y)$.
Ebenso setzen wir dann $L(\lambda)=L(Y)$
und "ubertragen die Dominanzteilordnung 
\ref{DoO} vermittels $s$ von Young-Tableaus auf Partitionen.
Notieren wir nun die Charaktere 
der induzierten Darstellung $M(\lambda)$ und
der einfachen 
Darstellung $L(\lambda)$ als 
$$\chi_{M(\lambda)}= \psi_\lambda\quad\text{und}\quad \chi_{L(\lambda)}= \chi_\lambda$$
so  
liefern unsere obigen Formeln 
$$\psi_{\lambda}= \chi_{\lambda}+\sum_{\mu>\lambda}a_{\lambda,\mu} \chi_{\mu}$$
%\quad \text{ und } \chi_{N(Y)}= \chi_{L(Y)}+\sum_{Y'<Y}b_{Y,Y'} \chi_{L(Y')}
mit  nat"urlichen Zahlen $a_{\lambda,\mu}$.% und $b_{Y,Y'}$.
Wir  k"onnen also die Charaktere $\chi_\lambda$ der einfachen
Darstellungen erhalten, indem wir auf die Basis der $\psi_{\lambda}$
mit einer Anordnung, in der die $\psi_{\lambda}$ zu gr"o"seren Indizes 
zuerst kommen, das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren anwenden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Wie zu Beginn des Beweises von \ref{EDSy} liefert das Auswerten auf dem
  Idempotenten Isomorphismen $\op{Hom}_{\Bbb{C}\cal{S}_n}
  ((\Bbb{C}\cal{S}_n) E_\lambda, (\Bbb{C}\cal{S}_n)E_\mu) \sira
  E_\lambda(\Bbb{C}\cal{S}_n) E_\mu$ und f"ur das Skalarprodukt der
  zugeh"origen Charaktere folgt sofort
  $$(\psi_{\lambda}, \psi_{\mu}) = |\cal{S}_{\lambda} \backslash \cal{S}
  \slash \cal{S}_{\mu}|$$
  Um die Kardinalit"at dieser Menge von
  Doppelnebenklassen zu berechnen, beachten wir die Bahnformel $|Gx|\cdot
  |G_{x}| = |G|$ und folgern f"ur jede endliche Menge $X$ mit der Operation
  einer endlichen Gruppe $G$ die Formel
  $$|G\backslash X| = \sum_{x \in X} \frac{1}{|Gx|} = \sum_{x\in X}
  \frac{|G_x|}{|G|}$$
  Ist speziell $X = \cal{S}_n$ und $G = \cal{S}_{\lambda}
  \times \cal{S}_{\mu}$, so spezialisiert unsere Formel zur Identit"at
  $$|\cal{S}_{\lambda}\backslash \cal{S}_n \slash \cal{S}_{\mu}| =
  \frac{1}{|\cal{S}_{\lambda}|\cdot |\cal{S}_{\mu}|} \sum_{x \in \cal{S}_n} |x
  \cal{S}_{\lambda}x^{-1}\cap \cal{S}_{\mu}|$$
  Untersuchen wir hier die Schnitte f"ur jede
  Konjugationsklasse $\cal{C}_{\nu} \subset \cal{S}_n$ separat und beachten
  f"ur den Zentralisator $Z_\nu$ eines Elements der Konjugationsklasse
  $\cal{C}_{\nu}$ die Bahnformel $|\cal{C}_{\nu}|\cdot |Z_\nu| =|\cal{S}_n|$, so
  ergibt sich
  $$|\cal{S}_{\lambda}\backslash \cal{S}_n \slash \cal{S}_{\mu}| =
  \frac{|\cal{S}_n|}{|\cal{S}_{\lambda}|\cdot|\cal{S}_{\mu}|} \sum_{\nu}
  \frac{|\cal{S}_{\lambda}\cap \cal{C}_{\nu}|\cdot |\cal{S}_{\mu}\cap
    \cal{C}_{\nu}|}{|\cal{C}_{\nu}|}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  F"ur die Gruppe $\cal{S}_{4}$ haben wir zum Beispiel die Partitionen
  $\lambda = (4)$, $(3,1)$, $ (2^{2})$, $ (2,1^{2})$, $ (1^{4})$ 
in abk"urzender Notation, wo die Hochzahlen Vielfachheiten meinen,
so da"s etwa $((2,1^{2})$ ein K"urzel w"are f"ur die Partition
$4=2+1+1$. 
Wir erhalten
  $|\mathcal{S}_{\lambda}| = 24$, $ 6$, $ 4$, $ 2$, $ 1$ und 
$|\mathcal{C}_{\lambda}|
  = 6$, $ 8$, $ 3$, $ 6$, $ 1$. Die Kardinalit"aten der Schnitte
  $|\mathcal{S}_{\lambda}\cap \mathcal{C}_{\nu}|$ werden gegeben durch
den Eintrag in der Spalte unter $\lambda$ und der Zeile neben $\nu$ in
der Tafel
  $$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}
& $4$&$3$, $1$& $2^{2}$ & $2$, $1^{2}$ & $1^{4}$\\ \hline
$4$&$ 6$&$ 0$&$ 0$&$ 0$&$ 0$\\ \hline
$3$, $1 $&$ 8 $&$ 2 $&$ 0 $&$ 0$&$ 0 $\\ \hline
$2^{2}$&$ 3 $&$ 0 $&$ 1$&$ 0$&$ 0$ \\ \hline
$2,1^{2}$ &$ 6 $&$ 3$&$ 2 $&$ 1 $&$ 0$\\ \hline
$1^{4} $&$ 1 $&$ 1 $&$1 $&$1  $&$1$\\ \hline
%& & & & &
\end{tabular}
$$
Die Matrix der $(\psi_{\lambda}, \psi_{\mu})$ ergibt sich dann zu
$$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}
 &$ 4 $&$ 3$, $1 $& $2^{2}$ & $2$ $,1^{2}$ & $1^{4}$ \\ \hline
 $4$&$ 1 $&$ 1 $&$1 $&$1 $&$1$ \\ \hline
 $3$, $1 $&$ 1 $&$ 2 $&$ 2 $&$ 3 $&$ 4$ \\ \hline
 $2^{2}$ &$ 1 $&$ 2 $&$ 3 $&$ 4 $&$ 6$\\ \hline
 $2$ $,1^{2}$ &$ 1 $&$ 3 $&$ 4$&$ 7$&$ 12$ \\ \hline
 $1^{4}$ &$ 1 $&$ 4 $&$ 6$&$ 12 $&$ 24$\\ \hline
%& & & & &
\end{tabular}
$$
Damit ergibt sich schlie"slich die Zerlegung unserer 
induzierten Darstellungen in einfache Darstellungen zu
\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\psi_{(4)} & = & \chi_{(4)}\\
\psi_{(3,1)} & = & \chi_{(3,1)}+ \chi_{(4)}\\
\psi_{(2^2)} & = & \chi_{(2^2)}+ \chi_{(3,1)} +\chi_{(4)}\\
\psi_{(2,1^2)} & = & \chi_{(2,1^2)}+\chi_{(2^2)}+ 2\chi_{(3,1)} +\chi_{(4)}\\
\psi_{(1^4)} & = &\chi_{(1^4)}+ 3\chi_{(2,1^2)}+2\chi_{(2^2)}+ 3\chi_{(3,1)} +\chi_{(4)}\\
\end{array}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
%% Nun wissen wir ja bereits um die Formel 
%% $\psi_{\lambda} = \chi_{\lambda} +\sum_{\mu < \lambda}
%% K_{\lambda, \mu} \chi_{\mu}$
%% f"ur geeignete $K_{\lambda,\mu} \in \Bbb{N}$, die die
%% Vielfachheiten der einfachen Kompositionsfaktoren $L(\mu)$ 
%% in $M (\lambda)$ z"ahlen.
%% Folglich erhalten wir die einfachen Charaktere, indem wir 
%% Gram-Schmid anwenden,
%% beginnend mit dem Charakter $\chi_{(4)} = \chi_{(4)}$ der 
%% trivialen Darstellung.


\subsection{Jucys-Murphy-Elemente} 
\begin{Definition}
 Das $j$-te {\bf Jucys-Murphy-Element}\index{Jucys-Murphy-Element} 
$\xi_j$ im Gruppenring $\mathbb Z \mathcal S_n$ der
$n$-ten symmetrischen Gruppe ist die Summe  aller Transpositionen
von $j$ mit kleineren Elementen, in Formeln
\begin{equation*}
 \xi_j = \sum_{1 \leq i < j} (i,j)
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Jucys-Murphy-Elemente kommutieren paarweise}]
Per definitionem ist $\xi_1=0$. Offensichtlich kommutiert 
das $j$-te Jucys-Murphy-Element mit allen Elementen aus
$\mathcal S_n$, die sowohl $j$ als auch die Teilmenge 
$\{1, \ldots , j-1\}$ festhalten.
Insbesondere kommutieren die Jucys-Murphy-Elemente untereinander.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
 Die elementarsymmetrischen Funktionen in den Jucys-Murphy-Elementen $\xi_j$ liegen im Zentrum des
Gruppenrings $\mathbb Z \mathcal S_n$.
\end{Lemma}
\begin{Beispiel}
 Die Summe $\xi_1 + \ldots + \xi_n$ ist die Summe aller Transpositionen 
 und folglich zentral.
\end{Beispiel}
\begin{proof}
 Wir betrachten im Polynomring "uber dem Gruppenring $(\mathbb Z \mathcal S_n) [X]$ das Produkt
\begin{equation*}
 (X + \xi_1) (X + \xi_2) \ldots (X + \xi_n)
\end{equation*}
Es reicht zu zeigen, da"s es mit allen Transpositionen $s_j\pdef (j, j+1)$
benachbarter Elemente  kommutiert.
Dazu reicht es zu zeigen, da"s $s_j$ mit
\begin{equation*}
 (X + \xi_j) (X + \xi_{j+1})
\end{equation*}
kommutiert, also mit $\xi_j + \xi_{j+1}$ und $\xi_j \xi_{j+1}$.
Wir finden ohne gro"se M"uhe 
$$
\begin{array}{ccl}
s_j \xi_j s_j &= &\xi_{j+1} - s_j\\
s_j \xi_{j+1} s_j & =& \xi_j + s_j
\end{array}
$$
und m"ussen also nur noch pr"ufen, da"s gilt
$
 \xi_j \xi_{j+1} = ( \xi_{j+1} - s_j) (\xi_j + s_j)
$
alias $s_j \xi_j +1 = \xi_{j+1} s_j$.
Hier aber rechnen wir ohne Schwierigkeiten aus, da"s beide Seiten beschrieben
werden k"onnen als eine Summe  der Identit"at mit Dreizykeln, genauer durch
den Ausdruck 
\begin{equation*}
 1+  \sum_{1 \leq i < j} (i, j+1, j)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}



\newpage

\section{Verschiedene weiterf"uhrende Resultate}
\subsection{Reeller, komplexer und quaternionaler Typ}
\nichtfinal{Umschreiben auf Mengenmoduln, un"otige Abz"ahlbarkeitsannahmen
  weglassen. Beispiel: $\DC^n$ ist eine einfache Darstellung von $\op{GL}(n;\DR)$. Ein einfacher $\Omega$-$\DR$-Modul $V$ mit Endomorphismenring $\DR$ liefert einen einfachen $\Omega$-$\DC$-Modul $\op{prod}_\DR^\DC V$,
  denn eine kurze exakte Sequenz $U\hra \op{prod}_\DR^\DC V\sra Q$ wird unter
  Restriktion eine kurze exakte Sequenz $U\hra V\oplus V\sra Q$ und
  aus $U\neq 0\neq Q$ folgte $U\cong V\cong Q$ im Widerspruch zu unserer Annahme,
  da"s $V$ den Endomorphismenring $\DR$ hat.
Ist $K/k$ endliche K"orpererweiterung,  
} 
\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern an 
die K"orper beziehungsweise Schiefk"orper $\DR\subset\DC\subset \mathbb{H}$
  der reellen Zahlen, komplexen Zahlen und Quaternionen  $\mathbb{H}$
aus \eref{DQua}{LA1} und 
bezeichnen Darstellungen
  einer Gruppe $G$ "uber den jeweiligen Ringen als reelle, komplexe und
  quaternionale Darstellungen.
Die Restriktion der Skalare macht in offensichtlicher Weise 
aus quaternionalen Darstellungen komplexe Darstellungen 
und aus komplexen Darstellungen reelle Darstellungen. 
Umgekehrt macht die Erweiterung
der Skalare aus reellen Darstellungen komplexe Darstellungen
und aus komplexen Darstellungen quaternionale Darstellungen.
In Formeln meint man  etwa f"ur $V$ eine komplexe Darstellung
mit der  durch Erweiterung der Skalare gegebene quaternionale Darstellung
die  quaternionale Darstellung $\mathbb{H}\otimes_\DC V$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\index{Typ einer Darstellung}
\begin{enumerate}
\item
Eine reelle Darstellung hei"st:
\begin{enumerate}\item 
  von {\bf quaternionalem Typ},\index{quaternionaler Typ}  wenn sie
  durch Restriktion der Skalare aus einer quaternionalen Darstellung entsteht;
  \item von {\bf komplexem Typ},\index{komplexer Typ} wenn sie durch Restriktion der
  Skalare zwar nicht aus einer quaternionalen, aber doch immerhin aus einer
  komplexen Darstellung entsteht; \item  von {\bf reellem Typ}
  sonst.\index{reeller Typ}
\end{enumerate}

\item
    Eine komplexe Darstellung hei"st:  \begin{enumerate}\item 
 von {\bf reellem Typ},\index{reeller Typ}
    wenn sie isomorph ist zu einer Darstellung, die durch Erweiterung der
    Skalare aus einer reellen Darstellung entsteht; \item von {\bf quaternionalem
      Typ},\index{quaternionaler Typ} wenn sie durch Restriktion der Skalare
    aus einer quaternionalen Darstellung entsteht; \item  von {\bf komplexem
      Typ}\index{komplexer Typ} sonst.
  \end{enumerate}

\item
Eine quaternionale Darstellung hei"st: 
\begin{enumerate}\item 
  von {\bf reellem Typ},\index{reeller Typ} wenn sie isomorph ist zu einer
  Darstellung, die durch Erweiterung der Skalare aus einer reellen Darstellung
  entsteht; \item von {\bf komplexem Typ},\index{komplexer Typ} wenn sie zwar nicht
  von reellem Typ ist, aber isomorph ist zu einer Darstellung, die durch
  Erweiterung der Skalare aus einer komplexen Darstellung entsteht; \item  von
  {\bf quaternionalem Typ} sonst.\index{quaternionaler Typ}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Typen  reeller Darstellungen und ihre  Endomorphismen}]
Gegeben eine einfache reelle Darstellung 
h"ochstens abz"ahlbarer Dimension
ist ihr Endomorphismenring nach \eref{Quatt}{AL} 
als $\mathbb R$-Ringalgebra isomorph zu
genau einem der Ringe $\mathbb R, \mathbb C $ 
oder $\mathbb H$. Offensichtlich
k"onnen wir den Typ unserer Darstellung 
in diesem Fall an ihrem Endomorphismenring
ablesen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Typen quaternionaler Darstellungen und ihre Endomorphismen}]
Gegeben eine einfache quaternionale Darstellung 
h"ochstens abz"ahlbarer Dimension
ist ihr Endomorphismenring nach \eref{Quat}{AL} 
als $\mathbb R$-Ringalgebra  isomorph zu
genau einem der Ringe $\mathbb R, \mathbb C $ 
oder $\mathbb H$. Wieder
k"onnen wir den Typ unserer Darstellung 
an ihrem Endomorphismenring
ablesen, aber diesmal ist die Beziehung umgekehrt,
der Endomorphismenring $\DR$ zeigt quaternionalen Typ an, der Endomorphismenring $\DC$ komplexen Typ  und 
der Endomorphismenring $\mathbb H$ reellen Typ. 
In der Tat liefert die Rechtsmultiplikation 
auf dem ersten Tensorfaktor 
f"ur jede reelle Darstellung
$V$ von $G$  einen
$\DR$-linearen Ringhomomorphismus 
${\mathbb H}^{\op{opp}}\ra \op{End}_{\mathbb H,G} ({\mathbb H}\otimes_\DR V)$,
und ist umgekehrt eine quaternionale Darstellung 
$W$ von $G$ mit  einem
$\DR$-linearen Ringhomomorphismus 
${\mathbb H}^{\op{opp}}\ra \op{End}_{\mathbb H,G} (W)$ gegeben,
so k"onnen wir $W$ als Modul 
"uber ${\mathbb H}\otimes_\DR {\mathbb H}^{\op{opp}}$
mit $G$-Operation auffassen, nach \ref{ccC} also als Modul
"uber $\op{End}_{-\DR}{\mathbb H}$
mit $G$-Operation und nach \eref{UbMo}{KAG} entsteht $W$ dann durch
Erweiterung der Skalare ${\mathbb H}\otimes_\DR$ aus einer reellen Darstellung 
von $G$. "Ahnlich liefert die Rechtsmultiplikation 
auf dem ersten Tensorfaktor 
f"ur jede komplexe Darstellung
$V$ von $G$  einen
$\DR$-linearen Ringhomomorphismus 
${\mathbb C}^{\op{opp}}\ra \op{End}^G_{\mathbb H} ({\mathbb H}\otimes_\DC V)$. Ist umgekehrt eine quaternionale Darstellung 
$W$ von $G$ mit  einem
$\DR$-linearen Ringhomomorphismus 
${\mathbb C}^{\op{opp}}\ra \op{End}^G_{\mathbb H} (W)$ gegeben,
so k"onnen wir $W$ als Modul "uber 
${\mathbb H}\otimes_\DR {\mathbb C}^{\op{opp}}$
mit $G$-Operation auffassen, nach "Ubung \ref{ccC} also als Modul
"uber $\op{End}_{-\DC}{\mathbb H}$
mit $G$-Operation und nach \eref{UbMo}{KAG} entsteht $W$ dann durch
Erweiterung der Skalare ${\mathbb H}\otimes_\DC$ aus einer 
komplexen Darstellung 
von $G$. 
\end{Bemerkungl}









\begin{Bemerkungl}
Auch einfache komplexe Darstellungen h"ochstens abz"ahlbarer Dimension
haben einen wohlbestimmten Typ, k"onnen also nicht gleichzeitig
durch Skalarerweiterung aus einer reellen Darstellung und
durch Restriktion aus einer quaternionalen Darstellung hervorgehen. 
Um das zu sehen, holen wir etwas weiter aus, um diese Behauptung 
dann schlie"slich in \ref{dreif} sogar etwas allgemeiner zu zeigen 
f"ur beliebige komplexe Darstellungen mit Endomorphismenring $\DC$.
\end{Bemerkungl}


  \begin{Bemerkungl}\label{KKV}
    Zu jedem komplexen Vektorraum $V$ bilden wir wie in \eref{kkVe}{LA2} den komplex
    konjugierten Vektorraum
    $\overline{V}$,\index{)6a@$\overline{V}$ konjugierter Vektorraum}
    indem\index{konjugiert!Vektorraum, komplexer}
    wir dieselbe unterliegende additive Gruppe nehmen, die Operation von
    $a\in\DC$ auf $v\in V$ jedoch "andern zu einer Opera\-tion $a\cdot v$, die
    mit der urspr"unglichen Operation $av$ verkn"upft ist durch die Formel
    $a\cdot v=\bar{a}v$.  Es ist in diesem Zusammenhang praktisch, f"ur jedes Element $v\in V$ 
 dasselbe Element in seiner Eigenschaft als Element des 
 komplex konjugierten Vektorraums $\bar{v}\in \overline{V}$ zu
 notieren, so da"s wir unseren Punkt f"ur die neue 
 Operation der Skalare gleich wieder weglassen k"onnen und
 unsere zweite Formel  besonders suggestiv in der Form
 $\bar{a}\bar{ v}=\overline{av}$
 geschrieben werden kann.
Ist $V$ eine komplexe Darstellung einer Gruppe $G$,
    so ist $\overline{V}$ mit derselben Operation von $G$ auch eine komplexe
    Darstellung, die\index{konjugiert!Darstellung!komplexe} \defnoind{komplex
      konjugierte Darstellung}.\index{Darstellung!komplex konjugierte}
  \end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}[\textbf{Typ komplexer Darstellung und Endomorphismen}]
Sei  $V$ eine komplexe Darstellung einer Gruppe $G$.\label{REQA}   
\begin{enumerate}
\item 
Genau dann ist $V$ die Komplexifizierung einer reellen Darstellung von $G$,
wenn es einen Isomorphismus von Darstellungen $J:V
\sira \overline{V}$ gibt mit $J^{2} = \op{id}_{V}$;
\item
Genau dann ist $V$ die Restriktion einer quaternionalen Darstellung von $G$,
wenn es einen Isomorphismus von Darstellungen $J:V
\sira \overline{V}$ gibt mit $J^{2} = -\op{id}_{V}$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Im ersten Fall ist $V$ isomorph zur Komplexifizierung der reellen
Unterdarstellung $V^J$ der $J$-Invarianten, vergleiche
auch \eref{Kompx}{ML}. Im zweiten Fall k"onnen wir
$V$ zu einem $\Bbb{H}$-Rechtsmodul machen, indem wir 
als Rechtsmultiplikation mit $\op{j}\in \Bbb{H}$ unser $J$ nehmen.
Der Rest des Beweises sei dem Leser "uberlassen.  
\end{proof}

\begin{Korollar}[\textbf{Typen einfacher 
komplexer Darstellungen}]
Sei  $V$ eine komplexe Darstellung einer Gruppe $G$,
deren einzige Endomorphismen die Skalare sind,\label{dreif} 
in Formeln $\op{Mod}^G_\DC V={\Bbb{C}}$.
So sind wir in genau einem der folgenden drei F"alle:
\begin{enumerate}
\item
Die Darstellung $V$ ist  von
 reellem Typ, als da hei"st, sie  entsteht aus einer reellen Darstellung
$W$ durch Komplexifizierung;
\item
Die Darstellung $V$ ist von 
 quaternionalem  Typ, als da hei"st, sie  entsteht aus einer quaternionalen Darstellung
$V$ "uber $\Bbb{H}$ durch Restriktion der Skalare; 
\item
Die Darstellung $V$ ist nicht isomorph zu ihrer komplex
konjugierten Darstellung $\overline{V}$.
\end{enumerate}
\end{Korollar}

\begin{Bemerkungl}
Per definitionem hei"st eine komplexe Darstellung von komplexem Typ, 
wenn sie weder von reellem noch von quaternionalem Typ ist.
Das Korollar impliziert, da"s diese Eigenschaft f"ur komplexe 
Darstellungen mit
Endomorphismenring $\DC$ gleichbedeutend ist zur Eigenschaft, nicht isomorph
zu sein zu ihrer konjugierten Darstellung.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Sind wir in einem der ersten beiden F"alle, so sind wir nach \ref{REQA} nicht
im dritten Fall. Sind wir umgekehrt 
nicht im dritten Fall, so gibt es  einen 
 Isomorphismus $J:V\sira \overline{V}$.
Per
definitionem gilt $$J a v = a \cdot J v = \bar{a}J v \quad \forall
a \in \Bbb{C}, v \in V$$
Unser $J$ liefert auch einen  Isomorphismus $\bar J:\overline{V}\sira V$,
f"ur den wir der Klarheit halber manchmal 
die alternative  Bezeichnung $\bar J$ verwenden, obwohl es sich rein
mengentheoretisch um dieselbe Abbildung handelt.
Nach Annahme gilt auch $\bar JJ = a\op{id}_{V}$ 
f"ur geeignetes $a\in \Bbb{C}^{\times}$,
und da $\bar JJ=J^{2}$ kommutiert mit $J$, haben wir
nach der vorhergehenden Rechnung hier sogar $a \in
\Bbb{R}^{\times}$. Aus unseren Voraussetzungen folgt nun auch
$\op{dim}\op{Hom}^G(V,\overline{V})= 1$.
"Andern wir $J$ ab um einen Skalar $z \in \Bbb{C}^\times$, so "andert
sich $\bar JJ$ um den Skalar $|z|^{2} \in \Bbb{R}_{>0}$.
Also gilt f"ur alle  $J:V\sira\overline{V}$ 
entweder $J^{2} = a\op{id}_{V}$ mit $a>0$
oder $J^{2} = a\op{id}_{V}$ mit $a<0$.
Im ersten Fall finden wir leicht ein $J$ mit $J^{2} = \op{id}_{V}$
und nach \ref{REQA} ist unsere Darstellung die Komplexifizierung einer
reellen Darstellung.
Im zweiten Fall finden wir ebensoleicht ein $J$ mit $J^{2} = -\op{id}_{V}$
und nach \ref{REQA} ist unsere Darstellung die Restriktion einer
quaternionalen Darstellung. 
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}



\begin{Ubung}
Die Abbildung $q\otimes w\mapsto (u\mapsto quw)$ induziert einen
Ringisomorphismus ${\mathbb H}\otimes_\DR {\mathbb H}^{\op{opp}}\sira 
\op{End}_\DR({\mathbb H})$.
Dieselbe Abbildung  induziert einen
Ringisomorphismus\label{ccC}
${\mathbb H}\otimes_\DR {\mathbb C}^{\op{opp}}\sira 
\op{End}_{-\DC}({\mathbb H})$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SDSK}
Gegeben eine endlichdimensionale komplexe Darstellung $V$
einer endlichen Gruppe $G$ ist die komplex konjugierte
Darstellung stets isomorph zur kontragredienten Darstellung,
in Formeln $\overline{V}\cong V^\ast$. Hinweis: \ref{IsPrE}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Gegeben eine Gruppe $G$ bezeichne 
$\op{irra}_{\mathbb K} G$\index{irra@$\op{irra}$ einfache Darstellungen
  h"ochstens abz"ahlbarer Dimension} 
die Menge
der Isomorphieklassen einfacher Darsellungen von $G$ "uber
$\mathbb K = \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H$ von h"ochstens abz"ahlbarer
Dimension und $$\op{irra}_{\mathbb K} G = \op{irra}_{\mathbb K}^{\mathbb R} G 
\;\;\amalg\;\; \op{irra}^{\mathbb C}_{\mathbb K} G\;\; \amalg\;\;
 \op{irra}^{\mathbb H}_{\mathbb K}
G$$ die Zerlegung nach reellem, komplexem und quaternionalem Typ. So liefern
die offensichtlichen durch Restriktion beziehungsweise Erweiterung der Skalare gegebenen
Abbildungen Bijektionen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccc}
\op{irra}^{\mathbb H}_{\mathbb H} G & \overset{\sim}{\longrightarrow} &
\op{irra}^{\mathbb H}_{\mathbb C} G&\overset{\sim}{\longrightarrow} &\op{irra}^{\mathbb H}_{\mathbb R}
G\\[2mm]
\op{irra}^{\mathbb R}_{\mathbb H} G & \overset{\sim}{\longleftarrow} &
\op{irra}^{\mathbb R}_{\mathbb C} G&\overset{\sim}{\longleftarrow} &\op{irra}^{\mathbb R}_{\mathbb R}
G\\[2mm]
\op{irra}^{\mathbb C}_{\mathbb H} G & \overset{\sim}{\longleftarrow} &
%\left(
\op{irra}^{\mathbb C}_{\mathbb C} G/_{(V \sim \overline{V})}%\right)
&\overset{\sim}{\longrightarrow} &\op{irra}^{\mathbb C}_{\mathbb R}
G\\
\end{array}
\end{displaymath}
In der Mitte der untersten Zeile  ist hier der Quotient nach der
"Aquivalenzrelation gemeint,
unter der eine Darstellung und ihre komplex konjugierte Darstellung
identifiziert werden. Dabei bestehen im "ubrigen nach \ref{dreif} alle 
"Aquivalenzklassen aus genau zwei Elementen.
Hinweis: Um zu zeigen, da"s einfache Darstellungen jeweils einfach bleiben,
beachte man, da"s Erweiterung der Skalare gefolgt von Restriktion der
Skalare jede reelle Darstellung $V$ zu $V\oplus V$ macht und jede
komplexe Darstellung $V$ zu $V\oplus \overline{V}$.  
F"ur die Wohldefiniertheit der Abbildung unten links mu"s der
Leser zun"achst $\mathbb H \otimes_{\mathbb C} V \cong 
\mathbb H \otimes_{\mathbb C}
\overline V$ zeigen.
Die Surjektivit"at aller Abbildungen folgt aus den Definitionen.
F"ur die Injektivit"at etwa der ersten Abbildung oben links beachte man
$\mathbb H \otimes_{\mathbb C} V \cong V \oplus V$ f"ur jede quaternionale Darstellung
$V$. Die Injektivit"at der anderen Pfeile zeigt man "ahnlich.
\end{Ubung}

\subsection{Invariante Bilinearformen auf Darstellungen}

  \begin{Proposition}\label{IBI}
    Seien $G$ eine Gruppe und $V$ eine 
endlichdimensionale
einfache Darstellung 
von $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$
mit $\op{char}k\neq 2$.
    So sind wir in genau einem der folgenden drei F"alle:
    \begin{enumerate}
    \item
Es gibt auf $V$
      eine von Null verschiedene symmetrische  $G$-invariante
      Bilinearform. Diese ist dann nichtausgeartet und bis auf 
einen Skalar eindeutig bestimmt;
\item   Es gibt auf $V$
      eine von Null verschiedene symplektische  $G$-invariante
      Bilinearform. Diese ist dann nichtausgeartet und bis auf 
einen Skalar eindeutig bestimmt;
\item 
Es gibt auf $V$
      keine von Null verschiedene  $G$-invariante
      Bilinearform.
  \end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Nach dem Schur'schen Lemma haben wir
$\op{dim}\op{Hom}_k^G(V,V^\ast)\leq 1$ und jeder von Null verschiedene
Homomorphismus ist ein Isomorphismus. 
Da unsere Identifikation $\op{Hom}(V,V^\ast)\sira \op{Bil}(V)$
aus \ref{BilH} vertr"aglich ist mit der
Operation von $G$, folgt auch f"ur den Raum der invarianten Bilinearformen
$$\op{dim}_k\op{Bil}(V)^G\leq 1$$ 
und jede von Null verschiedene invariante
      Bilinearform ist nichtausgeartet.
Ist unser Raum von Bilinearformen eindimensional, so operiert 
schlie"slich unsere durch das Vertauschen der Argumente
definierte Selbstinverse 
aus \ref{BilS}
darauf entweder als die Identit"at oder als
die Multiplikation mit $(-1)$.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Im allgemeinen definiert man 
${\op{S}}^2 V$  als den Quotienten von $V\otimes V$ nach allen
$v\otimes w-w\otimes v$ und $\bigwedge^2 V$  
als den Quotienten von $V\otimes V$ nach allen $v\otimes v$.
Ist unsere Charakteristik nicht Zwei,
so geht der Unterraum  der Invarianten unter der Vertauschung der
Faktoren unter der Projektion  isomorph nach 
${\op{S}}^2 V$ der Unterraum  der Schiefinvarianten
isomorph nach $\bigwedge^2 V$,  aber in
Charakteristik zwei ist beides nicht mehr richtig.
F"ur endlichdimensionales $V$ haben wir stets
$\op{Bil}(V)=V^\ast\otimes V^\ast$ in kanonischer Weise.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}\label{TrQa}
Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum  
und $g: V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung, so haben
wir 
\begin{equation*}
\op{tr} (g^2 | V  ) = \op{tr} (g| {\op{S}}^2 V ) - \op{tr} (g | 
{\textstyle \bigwedge^2 V } )
\end{equation*}
\end{Lemma}
\begin{proof}
Ist $g$ diagonalisierbar und 
$v_1, \ldots, v_n$ eine Basis aus Eigenvektoren zu 
Eigenwerten $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$, 
so ist $(v_i  v_j )_{i \leq j}$ 
eine Basis aus Eigenvektoren in ${\op{S}}^2 V$ und
$(v_i \wedge v_j)_{i < j}$ eine 
Basis von Eigenvektoren von $\bigwedge^2 V$ und unsere 
Behauptung reduziert sich auf die offensichtliche Identit"at
\begin{equation*}
\sum^n_{i=1} \lambda^2_i = \sum_{i \leq j} \lambda_i \lambda_j - \sum_{i < j}
\lambda_i \lambda_j
\end{equation*}
Im allgemeinen ist $g$ jedenfalls trigonalisierbar 
"uber einer geeigneten Erweiterung
des Grundk"orpers, und dann greift dasselbe Argument.
\end{proof}
\begin{Proposition}
Gegeben eine einfache Darstellung $V$ einer endlichen Gruppe $G$ 
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper 
einer von Zwei verschiedenen\label{SQA} 
Charakteristik gilt
\begin{equation*}
|G|^{-1} \sum \chi_V (g^2) = \left\{ \begin{array}{rl}
1 & \text{falls $V$ eine  symmetrische Form besitzt;}\\
0 & \text{falls $V$ keine   Form besitzt;}\\
-1 & \text{falls $V$ eine  symplektische Form besitzt.}
\end{array} \right.
\end{equation*}
Mit der Abk"urzung \glqq Form\grqq\  sind dabei
jeweils von Null verschiedene $G$-invariante
Bilinearformen
gemeint,
die dann, wie bereits gezeigt, notwendig nichtausgeartet sind.
\end{Proposition}
\begin{proof}
Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper einer von Zwei verschiedenen
Charakteristik zerf"allt
der Raum der Bilinearformen $\op{Bil} (V)$ in die Teilr"aume
\begin{equation*}
\op{Bil} (V) = \op{Sym}(V) \oplus \op{Alt} (V)
\end{equation*}
der symmetrischen beziehungsweise alternierenden Bilinearformen.
Ist $V$ eine Darstellung einer Gruppe $G$, so notieren wir die entsprechende
Darstellung
\begin{equation*}
B = S \oplus A
\end{equation*}
Die entsprechenden kanonischen Identifikationen definieren Isomorphismen von
Darstellungen ${\op{S}}^2 V^\ast \sira S$ und 
$\bigwedge^2 V^\ast \sira A$ 
und mit Lemma \ref{TrQa} erhalten wir
\begin{equation*}
\chi_{V} (g^2) = \chi_{S} (g^{-1}) - \chi_A (g^{-1})
\end{equation*}
Nun gilt ja $( \chi_S , \chi_{\op{triv}})=1 $ beziehungsweise 
$( \chi_A, \chi_{\op{triv}}) =1$ 
in Bezug auf unsere symmetrische Bilinearform aus \ref{sybi} 
genau dann, 
wenn es auf $V$ bis auf Skalar genau eine
nichtausgeartete symmetrische beziehungsweise symplektische Form gibt.
Die Proposition folgt.
\end{proof}


\begin{Definition}
Eine {\bf quaternionale Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform!quaternionale} 
 auf einem quaternionalen Vektorraum alias $\Bbb{H}$-Rechts\-mo\-dul\label{KSPn} %\label{KSP} 
$V$ 
ist eine Abbildung
$V\times V\ra\Bbb{H}$, $(v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$ derart,
da"s f"ur alle $v,w,v',w'\in V$ und $\lambda,\mu\in\Bbb{H}$ gilt:
\begin{enumerate}
\item
$\langle v+v',w\rangle=\langle v,w\rangle+\langle v',w\rangle, \;\langle  v\lambda,w\rangle=\bar{\lambda}\langle v,w\rangle$;
\item
$\langle v,w+w'\rangle=\langle v,w\rangle+\langle v,w'\rangle,\;
\langle v,w\mu \rangle=\langle v,w\rangle\mu$.
\end{enumerate}
Sie hei"st {\bf hermitesch},\index{hermitesch!quaternional} wenn zus"atzlich
gilt 
\begin{enumerate}
\item[3.]
$\langle v,w\rangle=\overline{\langle w,v\rangle}$,
\end{enumerate}
und ein {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!quaternionales} 
oder genauer ein {\bf quaternionales Skalarprodukt}, wenn au"serdem noch gilt 
\begin{enumerate}
\item[4.]
$\langle v,v\rangle\leq 0\RA v=0$.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Auf dem $\Bbb{H}^n$ erhalten wir ein quaternionales Skalarprodukt
durch die Vorschrift 
$\langle v,w\rangle=\bar{v}_1w_1+\ldots +\bar{v}_nw_n$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz invarianter quaternionaler Skalarprodukte}]
Auf jeder endlichdimensionalen 
quaternionalen Darstellung einer endlichen Gruppe 
existiert ein invariantes  quaternionales Skalarprodukt.\label{ISKQ} 
Man zeigt das wie im reellen oder komplexen Fall durch das Mitteln
eines beliebigen Skalarprodukts. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{QSPP}
Jedes $q\in \Bbb{H}$ l"a"st sich eindeutig schreiben als
$q=z+{\op{j}}w$ mit $z,w\in\DC$. Ich nenne dann $w$ den {\bf $\op{j}$-Teil} von $q$ 
und schreibe $w=\op{jot}(q)$. Man pr"uft leicht 
$\op{jot}(zq)=\bar{z}\op{jot}(q)$ f"ur $z\in\DC$ und $\op{jot}(\bar{q})=-
\op{jot}(q)$. Man rechnet m"uhelos nach, da"s gegeben ein Skalarprodukt
auf
einem quaternionalen Vektorraum sein $\op{j}$-Teil  
$(v,w)\mapsto \op{jot}\langle v,w\rangle$
 komplex-bilinear und symplektisch ist. 
\end{Bemerkungl}





  \begin{Satz}[\textbf{Formen und Typen einfacher komplexer Darstellungen}]%\label{IBI}
    Seien $G$ eine endliche Gruppe und $V$ eine einfache komplexe Darstellung 
von $G$.\label{IBIn}  
    \begin{enumerate}
    \item 
Genau dann ist $V$ von reellem Typ, wenn es auf $V$
      eine nichtausgeartete symmetrische  $G$-invariante
      Bilinearform gibt;
\item
Genau dann ist $V$  quaternionalem Typ, wenn es auf $V$
      eine nichtausgeartete symplektische $G$-invariante
      Bilinearform gibt;     
\item 
Genau dann ist $V$ von komplexem Typ, wenn $V$ nicht isomorph ist zu
      seiner eigenen kontragredienten Darstellung, $V \ncong V^{\ast}$.
  \end{enumerate}
  \end{Satz}
  
\begin{Bemerkungl}
Ich zeige zu Ende dieses Abschnitts als \ref{SYSY} auch noch eine
Variante dieser Proposition im Fall nicht notwendig 
einfacher Darstellungen. Dann schlie"sen sich die F"alle
jedoch nicht mehr gegenseitig aus.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
  1. Ist unsere Darstellung die Komplexifizierung einer 
Darstellung "uber $\DR$,
  so erhalten wir durch Komplexifizieren eines invarianten Skalarprodukts auf
  besagter Darstellung "uber $\DR$ eine invariante 
nichtausgeartete symmetrische
  Bilinearform auf unserer komplexen Darstellung. Ist umgekehrt eine invariante
  symmetrische Bilinearform $(v,w)\mapsto s(v,w)$ gegeben, so w"ahlen wir
  zus"atzlich ein invariantes Skalarprodukt $(v,w)\mapsto \langle v,w\rangle$
  und betrachten die Komposition $J$ der von unserer Bilinearform und unserem
  Skalarprodukt induzierten Isomorphismen
  $$V\sira V^\ast \sira \overline{V}$$
  Per definitionem gilt $(v,w)=\langle
  v,Jw\rangle\;\forall v,w\in V$ 
und folglich $$\langle
  v,J^2w\rangle=(v,Jw)=(Jw,v)=\langle
  Jw,Jv\rangle$$
und wir erkennen, da"s $J^2$ selbstadjungiert ist und 
nur positive Eigenwerte hat.
Aus dem Schur'schen Lemma
  folgt $J^2=a\op{id}_V$ mit $a>0$. Mit \ref{REQA} folgt dann leicht, da"s
  unsere Darstellung die Komplexifizierung einer Darstellung "uber $\DR$ ist.
  \\[2mm]
\noindent
2. Ist unsere Darstellung die Restriktion einer Darstellung "uber $\Bbb{H}$, so
ist der j-Teil im Sinne von \ref{QSPP} eines invarianten quaternionalen
Skalarprodukts im Sinne von
\ref{KSPn}, das es nach \ref{ISKQ} stets gibt, 
eine invariante nichtausgeartete symplektische Bilinearform auf
unserer komplexen Darstellung.  Ist umgekehrt eine invariante symplektische
Bilinearform gegeben, so liefert unsere Konstruktion wieder ein
komplex-schieflineares $J$, f"ur das 
$J^2$ selbstadjungiert ist und diesmal nur negative
Eigenwerte hat. Aus dem Schur'schen Lemma folgt dann 
$J^2=a\op{id}_V$ mit $a<0$ und aus 
\ref{REQA} folgt so, da"s unsere Darstellung die Restriktion einer
quaternionalen Darstellung ist.
  \\[2mm]
\noindent
3. Das ist klar nach \ref{SDSK}.
\end{proof}





\begin{Korollar}
Gegeben eine einfache komplexe Darstellung $V$ einer endlichen Gruppe $G$ 
gilt
\begin{equation*}
|G|^{-1} \sum \chi_V (g^2) = \left\{ \begin{array}{rl}
1 & \text{falls $V$ von reellem Typ ist;}\\
0 & \text{falls $V$ von komplexem Typ ist;}\\
-1 & \text{falls $V$ von quaternionalem Typ ist.}
\end{array} \right.
\end{equation*}
\end{Korollar}
\begin{proof}
Das folgt sofort, wenn man \ref{SQA} mit \ref{IBI} kombiniert.
\end{proof}





\begin{Proposition}[\textbf{Formen und Typen komplexer Darstellungen}]
Seien $G$ eine endliche Gruppe und $V$ eine endlichdimensionale komplexe  Darstellung\label{SYSY}  
von $G$. So gilt:
\begin{enumerate}
\item 
Genau dann ist $V$ isomorph zur Komplexifizierung einer reellen
Darstellung von $G$, wenn es auf $V$ eine invariante nichtausgeartete
symmetrische Bilinearform gibt;  
\item 
Genau dann ist $V$ isomorph zur Restriktion  einer quaternionalen
Darstellung von $G$, wenn es auf $V$ eine invariante nichtausgeartete
symplektische Bilinearform gibt.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Die Hinrichtung geht genauso wie im Beweis von \ref{IBI}.
F"ur die R"uckrichtung w"ahlen wir 
wie im Beweis von \ref{IBI} auf unserer 
Darstellung ein invariantes Skalarprodukt und finden wieder 
einen schieflinearen
Automorphismus $J$ unserer Darstellung derart, da"s $J^2$ selbstadjungiert ist
 und nur positive beziehungsweise negative Eigenwerte hat.
"Andern wir dann $J$ auf den Eigenr"aumen von $J^2$ durch einen geeigneten
Skalar ab, so k"onnen wir  $J^2=\op{id}$ beziehungsweise $J^2=-\op{id}$
erreichen.
\end{proof}






\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{BilH}
Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ erhalten
wir eine Bijektion
$$\op{Hom}(V,V^\ast)\sira \op{Bil}(V)$$
zwischen dem Raum der Homomorphismen von $V$ in seinen Dualraum und
dem Raum der Bilinearformen auf $V$, indem wir jedem Homomorphismus
$\varphi:V\ra V^\ast$ die Bilinearform $\hat{\varphi}$ zuordnen,
die gegeben wird durch
$\hat{\varphi}(v,w)=(\varphi(v))(w)$. Wir kennen diese  Bijektion
 bereits aus 
\eref{syasy}{AN2}, wo wir ihre Inverse $g\mapsto \op{can}_g$ notiert hatten.
\end{Ubung}
  
\begin{Ubung}\label{BilS}
Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$
haben wir auf dem Raum $\op{Bil}(V)$
der Bilinearformen  eine nat"urliche
selbstinverse Abbildung, das
\glqq Vertauschen der Argumente\grqq. Ihr Eigenraum zum Eigenwert $1$
besteht genau aus allen symmetrischen Bilinearformen,
ihr Eigenraum zum Eigenwert $(-1)$
aus allen symplektischen alias alternierenden 
Bilinearformen. Im Fall $\op{char}k\neq 2$ ist $\op{Bil}(V)$
die direkte Summe dieser Eigenr"aume.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit invarianter Sesquilinearformen}]
Je zwei invariante Sesquilinearformen auf einer irreduziblen endlichdimensionalen 
 komplexen Darstellung eines Monoids unterscheiden sich
 h"ochstens um einen  Skalar.\label{isdrN} %auch \eref{isdr}{ML} 
 Hinweis: Man beachte f"ur einen  komplexen Vektorraum mit der Notation 
 $\op{Ses}(V)$ 
f"ur die Menge der Sesquilinearformen 
$s:V\times V\ra\DC$ die Identifikation 
$$\op{Ses}(V)\sira \op{Hom}(\overline{V},V^\ast)$$ mit $s\mapsto f_s$ 
und $f_s$ gegeben durch $f_s(\bar{v}):w\mapsto s(v,w)$ mit $\overline{V}$ dem
komplex konjugierten Vektorraum nach \eref{kkVe}{LA2}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit invarianter Skalarprodukte}]
Gegeben ein invariantes Skalarprodukt auf einer irreduziblen endlichdimensionalen 
reellen  Darstellung eines Monoids ist jede weitere
invariante symmetrische Bilinearform ein
Vielfaches.\label{isdrRm} %auch \eref{isdrR}{ML} 
Hinweis: Hauptachsentransformation \eref{HaTTR}{LA2}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit quaternionaler invarianter Skalarprodukte}]
Gegeben ein invariantes quaternionales Skalarprodukt auf einer irreduziblen endlichdimensionalen 
quaternionalen  Darstellung eines Monoids $G$ ist jede weitere
invariante hermitesche quaternionale Sesquilinearform ein reelles
Vielfaches.\label{isdrRq} 
Hinweis: Unsere Formen werden durch ihren Realteil festgelegt und
der ist ein invariantes Skalarprodukt beziehungsweise eine
invariante symmetrische Bilinearform einer einfachen reellen Darstellung
des  Monoids $G\times \{\pm i,\pm j,\pm k,\pm 1\}$. 
\end{Ubung}





\subsection{Induktion und Koinduktion f"ur Monoide}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an das Konzept adjungierter Funktoren, das in
\eref{AdFu}{TF} diskutiert wird. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Adjungierte von Restriktionen}] 
Sei $\varphi : H \rightarrow G$ ein Monoidhomomorphismus.
Das Restringieren von Darstellungen alias der Funktor
$\op{res}^{H}_{G} : G\op{-Mod} \ra H\op{-Mod}$\label{IKG} 
besitzt einen Rechtsadjungierten $\op{ind}^{G}_{H}$
und einen Linksadjungierten
$\op{prod}^{G}_{H}$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ist $\varphi : H \hookrightarrow G$
die Einbettung eines Untermonoids, so
nennt man $\op{ind}^{G}_{H}$ meist die 
{\bf Induktion}\index{Induktion!von Darstellungen}
\index{induziert!Darstellung}
und $\op{prod}^{G}_{H}$ manchmal die 
{\bf Koinduktion}\index{Koinduktion!von Darstellungen}. 
Im Fall $G=1$  benutzt man die Bezeichnungen $\op{ind}_H^1 M=M^H$
sowie $\op{prod}_H^1 M=M_H$ und nennt 
diese abelschen Gruppen
 die {\bf $H$-Invarianten}\index{Invarianten!von Gruppe} und die 
{\bf $H$-Koinvarianten}\index{Koinvarianten!von Gruppe} 
von $M$. Explizit haben wir in diesem Fall $M^H=\{m\in M\mid hm=m\;\forall h\in H\}$ und $M_H=M/\langle hm-m\mid m\in M, h\in H\rangle$. Ist allgemeiner
$\varphi$ eine Surjektion $\varphi:H\sra G$ und $K$ ihr Kern,
so sind f"ur $M\in H\op{-Mod}$ die R"aume $M^K$ und $M_K$ der
Invarianten und Koinvarianten in nat"urlicher Weise Darstellungen von $G$
und wir erhalten nat"urliche Isomorphismen $\op{prod}_H^G M \sira M_K$
und $\op{ind}_H^G M \sira M^K$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben Darstellungen $M\in H\op{-Mod}$ und $N\in G\op{-Mod}$
bezeichnet man als 
{\bf Frobenius-Reziprozit"at}\index{Frobenius-Reziprozit"at!bei Gruppen}  die
kanonischen Isomorphismen\label{FrRE} 
$$\begin{array}{l}\op{Hom}^H(\op{res}_G^H N,M)
\sira \op{Hom}^G(N,\op{ind}_G^HM)\\[2mm]
\op{Hom}^H(M,\op{res}_G^H N)\sira \op{Hom}^G(\op{prod}_H^GM,N)\end{array}$$
Aus der Transitivit"at der Restriktionen folgt auch in diesem
Kontext sofort die
Transitivit"at von Induktion und Koinduktion.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Wir geben verschiedene Beweise, um diese zentralen Konstruktionen
unter verschiedenen Blickwinkeln zu beleuchten. 
\\[2mm]\noindent
1.
F"ur
jeden Ringhomomorphismus $A \ra B$ hat die Restriktion $B\op{-Mod} \ra
A \op{-Mod}$ den Rechtsadjungierten $M \mapsto \op{Hom}_{A} (B,M)$
und den Linksadjungierten $M \mapsto B \otimes_{A} M,$ siehe
\eref{F1}{KAG} und \eref{F2}{KAG}.
Identifizieren wir $ H\op{-Mod}=\DZ H\op{-Mod}$ 
und $ G\op{-Mod}=\DZ G \op{-Mod}$
und spezialisieren zum von $\varphi$ induzierten 
Ringhomomorphismus $\DZ H \ra \DZ G ,$ so
erhalten wir eine erste Beschreibung unserer adjungierten Funktoren als
$$\op{ind}^{G}_{H}M=\op{Hom}_{\DZ H} (\DZ G ,M)
\quad\text{ und }\quad\op{prod}^{G}_{H}M=\DZ 
G \otimes_{\DZ H}M$$

\noindent
2.
Alternativ k"onnen wir die induzierte Darstellung konstruieren als
$$\op{ind}^{G}_{H}M = \{ f: G \ra M \mid f(hx)=hf (x) \quad \forall
h \in H, x \in G\}$$
mit der $G$-Operation gegeben durch
$(gf) (x) = f(xg)$ f"ur alle $x,g \in G$.
Die Identifikation mit $\op{Hom}_{\DZ H} 
(\DZ G ,M)$ geschieht
durch die Einschr"ankung eines derartigen Homomorphismus
auf die Teilmenge $G \subset \DZ  G $.
\\[2mm]\noindent
3.
Die folgende Konstruktion 
induzierter und koinduzierter Darstellungen
scheint mir am anschaulichsten, sie funktioniert jedoch
nur f"ur Gruppen $H\subset G$.
Wir betrachten dazu das sogenannte balancierte Produkt
$G \times_{/H} M,$ das definiert ist als der Raum der
$H$-Bahnen in $G \times M$ unter der Operation $h(g,m) =
(gh^{-1},hm),$  und die Menge aller
Schnitte beziehungsweise aller
Schnitte mit endlichem Tr"ager der Projektion
$\pi:G \times_{/H} M \twoheadrightarrow G/H$, also
$$\begin{array}{rcl}\op{ind}^{G}_{H}M &=&\{ s : G/H \ra G\times_{/H} M
\mid \pi \circ s = \op{id}\}\\[2mm]
\op{prod}^{G}_{H}M &=&\{ s : G/H \ra G\times_{/H} M \mid \pi \circ s = \op{id},
\;|\op{supp}s|<\infty\}
\end{array}$$
\nichtfinal{Beispiel?} Die Fasern von $\pi$ sind hier abelsche Gruppen in nat"urlicher Weise,
$\pi$ ist $G$-"aqui\-variant f"ur die offensichtliche $G$-Operation
von links auf beiden R"aumen, und die Operation von $G$ induziert
Gruppenhomomorphismen zwischen den Fasern von $\pi$.
Damit erhalten wir eine Operation von $G$ auf unseren Mengen von
Schnitten durch \glqq Verschieben\grqq, $(gs)(x) = g (s(g^{-1}x)),$ und das
ist unsere dritte Konstruktion.
Um sie im Fall der induzierten Darstellung mit der vorherigen
Konstruktion zu identifizieren, bilden
wir zu einer Abbildung $f: G \ra M$ die Abbildung $\tilde{f} : G
\ra G \times M,$ $x \mapsto (x,f (x^{-1}))$ und beachten, da"s sie
f"ur unsere speziellen $f$ absteigt zu einem Schnitt
$s : G/H \ra G \times_{/H} M,$ falls $H \subset G$ eine Einbettung
ist.
Im Fall der koinduzierten Darstellung
ordnen wir einem Tensor $g \otimes m \in \DZ G  \otimes_{\DZ H} M$
den Schnitt $s$ zu mit $s(gH) = \overline{(g,m)}$.
Insbesondere gibt es im Fall $H \subset G$ stets eine nat"urliche
Einbettung $\op{prod}^{G}_{H} M \subset \op{ind}^{G}_{H} M$ und unter
der Zusatzannahme $|G/H| < \infty$ ist diese Einbettung 
sogar ein Isomorphismus.  
\end{proof}
\begin{Bemerkungw}
  Ist $H\ra G$ ein Gruppenhomomorphismus mit endlichem Kern,
  so  gibt es besondere interessante  Transformationen 
$\op{prod}_H^G\ra \op{ind}_H^G$.\label{aFdr} 
Speziell ist f"ur $H$ eine endliche Gruppe und $G$ trivial die
Multiplikation mit  $N_{H} \pdef \sum_{h\in H} h $ solch eine
Transformation von den Koinvarianten zu den Invarianten, 
und f"ur $H\subset G$ eine Einbettung von Gruppen wird eine 
derartige Transformation im vorhergehenden dritten Beweis 
von \ref{IKG} mit konstruiert. In \ref{AFdB} wird skizziert,
wie sie sich als Spezialfall allgemeinerer Konstruktionen verstehen lassen
sollten. 
\end{Bemerkungw}




\begin{Bemerkungl}
 Sei $\varphi : H \rightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus und $k$ ein K"orper und
bezeichne $d : H\op{-Mod}_{k} \rightarrow H \op{-Mod}_{k}^{\op{opp}}$ das Bilden
der kontragredienten Darstellung.
So induziert die offensichtliche Isotransformation
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 G\op{-Mod}_k \ar[r]^-{d}\ar[d]_-{\op{res}_G^H }& G \op{-Mod}^{\op{opp}}_k\ar@{=>}_-\sim[dl]\ar[d]^{(\op{res}^H_G)^{\op{opp}}}\\
H\op{-Mod}_k \ar[r]^-d& H \op{-Mod}^{\op{opp}}_k
}
\end{displaymath}
durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten eine Isotransformation
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 G\op{-Mod}_k &\ar[l]_-{d^{\op{opp}}} G \op{-Mod}^{\op{opp}}_k\ar@{=>}_-\sim[dl]\\
H\op{-Mod}_k \ar[u]^-{\op{ind}^G_H}& \ar[l]_-{d^{\op{opp}}} H \op{-Mod}^{\op{opp}}_k\ar[u]_-{(\op{prod}^G_H)^{\op{opp}}}
}
\end{displaymath}
Wir haben also k"urzer geschrieben stets nat"urliche Isomorphismen 
\begin{equation*}
 \op{ind}^G_H (dM) \sira d (\op{prod}^G_H M)
\end{equation*}
Wenden wir sie auf $M=dN$ an und schalten
 $N\ra ddN$ davor, so ergeben sich nat"urliche 
Homomorphismen $\op{ind}^G_H (N) \ra d (\op{prod}^G_H dN)$.
Dualisieren wir sie, so erhalten wir nat"urliche Homomorphismen
$\op{prod}^G_H M\ra d(\op{ind}^G_H (dM))$. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Mackey}]\label{Mac}\index{Mackey-Formel}
Sei $G$ eine Gruppe mit Untergruppen $H,L$ und sei $A$ eine
Darstellung von $H$.
Sei $X \subset G$ ein Repr"asentantensystem f"ur die
$L$-$H$-Dop\-pel\-ne\-ben\-klas\-sen.
Gegeben $x \in X$ setzen wir $U_{x} = xH x^{-1} \cap L$ und
betrachten die Einbettung $U_{x} \hookrightarrow H,$ $ u \mapsto
x^{-1} u x$.
So haben wir kanonische Isomorphismen
$$\op{res}^{L}_{G} \left(\op{prod}^{G}_{H} A\right) \;\overset{\sim}{\ra}
\;\bigoplus_{x \in X} \op{prod}^{L}_{U_{x}}
\left(\op{res}^{U_{x}}_{H} A\right) $$
$$\op{res}^{L}_{G} \left(\op{ind}^{G}_{H} A\right)\;
\overset{\sim}{\ra}\; \prod_{x \in X} \op{ind}^{L}_{U_{x}}
\left(\op{res}^{U_{x}}_{H} A\right)$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen nur den ersten Isomorphismus, der Zweite ergibt sich analog.
Auf der linken Seite steht $\Bbb{Z} G  
\otimes_{\Bbb{Z} H} A$.
Nun zerf"allt $\Bbb{Z} G $ als 
$\Bbb{Z} L $-$ \Bbb{Z} H$-Bimodul
offensichtlich in $\Bbb{Z} G 
= \bigoplus_{Q} \Bbb{Z} Q,$ wo $Q$
"uber die $L$-$H$-Doppelneben\-klassen in $G$ l"auft.
W"ahlen wir $x \in Q,$ so liefert weiter die Vorschrift
$f\otimes g\mapsto fxg$ einen
Isomorphismus von $\Bbb{Z}  L $-$\Bbb{Z} H$-Bimoduln $\Bbb{Z}  L 
\otimes_{\Bbb{Z} U_{x}} \Bbb{Z}  H \overset{\sim}{\ra} \Bbb{Z}
 Q$.
Damit ist der Satz klar.
\end{proof}

\begin{Bemerkung}
Ist im vorhergehenden Satz speziell $H=L$ ein Normalteiler von $G,$ so 
haben wir $X=G/H$ und die Summanden beziehungsweise Faktoren auf
der rechten Seite unserer Formeln sind schlicht die $H$-Moduln $A^x,$ die
man erh"alt, wenn man die Operation von $H$ auf $A$ mit der
Konjugation durch $x\in G$ vertwistet. 
\end{Bemerkung}



\begin{Korollar}
Sei $G$ eine Gruppe mit Untergruppen $H,L$ und seien $A
\in H\op{-Mod},$ $B \in L\op{-Mod}$ Darstellungen.
Sei $X \subset G$ ein Repr"asentantensystem f"ur die
$L$-$H$-Doppelnebenklassen in $G$. F"ur $x \in X$ setzen wir $U_{x}
= x H x^{-1}\cap L$ und betrachten 
die Einbettung $U_{x} \hookrightarrow H,$ $u
\mapsto x^{-1}ux$.
So haben wir einen kanonischen Isomorphismus
$$\op{Hom}^{G} (\op{prod}^{G}_{H} A, \op{ind}^{G}_{L}B)
\overset{\sim}{\ra} \prod_{x \in X} \op{Hom}^{U_{x}} 
(\op{res}^{U_{x}}_{H} A,\op{res}^{U_{x}}_{L}B)$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Klar mit dem vorhergehenden Satz von Mackey \ref{Mac} und den Adjunktionen
$(\op{prod},\op{res})$ sowie $(\op{res}, \op{ind})$.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Vertauschen wir die Rollen von $H$ und $L,$ so haben wir mit  demselben
Beweis auch einen kanonischen Isomorphismus
$$\op{Hom}^{G} (\op{prod}^{G}_{L} B, \op{ind}^{G}_{H}A)
\overset{\sim}{\ra} \prod_{x \in X} \op{Hom}^{U_{x}} 
(\op{res}^{U_{x}}_{L}B,\op{res}^{U_{x}}_{H} A)$$
\end{Bemerkunge}

\subsection*{"Ubungen} 
%\emph{Charakter einer induzierten Darstellung?}
\begin{Ubung}
  Gegeben endliche Gruppen $H\subset G$ und ein K"orper $k$ der
Charakteristik Null k"onnen wir die koinduzierte Darstellung
der Einsdarstellung von $H$ auch beschreiben als 
$$\op{prod}_H^G k\cong (kG)\left(\sum_{h\in H}h\right)$$
Dieselbe Formel gilt, wenn nur $H$ endlich ist. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Charaktere induzierter Darstellungen}]
Gegeben $H \subset G$ endliche Gruppen und $V$ eine endlichdimensionale
 komplexe Darstellung von\label{CiD} 
 $H$ gilt f"ur den
Charakter der induzierten Darstellung
 $W\pdef \op{ind}^G_H V$  die Formel
\begin{equation*}
 \chi_W (g) = \frac{1}{|H|} \sum_{x \in G} \dot\chi_V (xg x^{-1})
\end{equation*}
mit $\dot\chi_V : G \rightarrow \mathbb C$ der Ausdehnung von $\chi_V :H \rightarrow \mathbb C$ durch
Null. Bilden alternativ $x_1, \ldots, x_r$ ein Repr"asentantensystem f"ur die
Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$,
also $G = \bigsqcup^r_{i=1} x_i H$, so gilt auch
\begin{equation*}
 \chi_W (g) =\sum^r_{i=1} \dot \chi_V (x_i g x^{-1}_i)
\end{equation*}
In diesem Sinne ist es sinnvoll,  jeder Klassenfunktion $\chi : H
\rightarrow \mathbb C$ die {\bf induzierte
Klassenfunktion}\index{induziert!Klassenfunktion}\index{Induktion!von
Klassenfunktionen} 
 $\chi : H \rightarrow \mathbb C$ durch ebendiese Formel zuzuordnen.
F"ur die Standardskalarprodukte auf den R"aumen der 
Klassenfunktionen sind damit
 das Restringieren und das Induzieren von 
Klassenfunktionen adjungierte lineare Abbildungen
\begin{equation*}
 \mathcal C (H) \begin{array}{c} \op{ind}_H^G\\[-1ex] \longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow\\[-1ex] \op{res}^H_G \end{array} \mathcal C (G)
\end{equation*}
im Sinne von \eref{adAB}{LA2}.
Daher r"uhrt vermutlich die Terminologie der \glqq adjungierten Funktoren\grqq.
\end{Ubung}

\subsection{Clifford-Theorie}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Gruppe $H$ und ein K"orper $k$ 
bezeichne im folgenden $$\hat H\pdef \op{irr}_{k} H$$
 die Menge der Isomorphieklassen einfacher
Darstellungen der Gruppe $H$ "uber dem K"orper $k$.  
Gegeben eine Darstellung $V$ von $H$ und
$\chi\in \hat H$ bezeichne $V_\chi\subset V$ 
den zugeh"origen 
{\bf isotypischen Anteil}\index{isotypischer Anteil} 
alias die Summe aller Bilder von Verflechtungsoperatoren
von unserer einfachen Darstellung nach $V$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $G \supset N$ eine  Gruppe mit
einem Normalteiler induziert die Operation von $G$ auf $N$ durch Konjugation 
eine
Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $\hat N$.  
Die Standgruppe
von $\chi\in\hat N$ notieren wir  $G_\chi$. Nach \ref{ZIA} gilt stets 
$G_\chi\supset N$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen und Normalteiler}]
Gegeben $k$ ein K"or\-per  und $G \supset N$ eine Gruppe mit
 Normalteiler
liefert die Abbildung, die einer einfachen Darstellung 
$V\in\hat G$ die Menge aller Paare $(\chi, V_\chi)$ mit
$\chi\in \hat{N}$ und $V_\chi$ der zugeh"origen $N$-isotypischen Komponente
zuordnet und daraus alle Paare  $(\chi, V_\chi)$ mit $V_\chi=0$ wegl"a"st,
 eine Bijektion\label{CliT} 
\begin{equation*}
\hat G  \;\sira\; \op{Par}(G,N)/G
\end{equation*}
zwischen der Menge der Isomorphieklassen 
 einfacher Darstellungen
von $G $ und der Menge aller $G$-Bahnen auf der $G$-Menge $\op{Par}(G,N)$ 
aller Paare
$$
\op{Par}(G,N) \pdef \{ (\chi, W )\mid \chi \in \hat{N},\; 
W \in \hat G_\chi \text{ mit }W_\chi=W\}
$$
unter der offensichtlichen $G$-Operation. Die inverse Abbildung wird
gegeben durch $[(\chi, W )]\mapsto \op{prod}_{G_\chi}^G W$.
\end{Satz}
% \begin{Bemerkungl}
% Die Umkehrabbildung der Bijektion aus unserem Satz 
% kann beschrieben werden als
% $$[\chi,W]\mapsto  \op{prod}^{G \ltimes N}_{G_\chi \ltimes N} (W\otimes \DC_\chi)$$
% Hier meint  $W\otimes \DC_\chi$ die Darstellung von $G_\chi \ltimes N$, die aus
% $W$ entsteht durch die
%   Erweiterung der Wirkung von $G_\chi$ vermittels der Vorschrift,
% da"s $n \in N$
%    durch Multiplikation mit $\chi (n) \in \mathbb C^\times$
%   operieren soll.
% \end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Sei $V$ eine Darstellung von $G$.
Die Operation von $G$ auf $N$ induziert eine Operation
von $G$ auf $\hat{N}$ und f"ur alle $g \in G$ gilt offensichtlich $g: V_\chi
\rightarrow V_{g\chi}$.
Weiter ist die Summe der isotypischen 
Komponenten stets direkt nach \eref{ITy}{NAS}.
% Folglich  umfa"st $V$ die Summe 
% der isotypischen Komponenten zu $N$ als $G$-Unterdarstellung 
% \begin{equation*}
% \bigoplus_{\chi \in\hat{N}} V_{\chi}\subset V  
% \end{equation*}
Folglich bilden  f"ur jede $G$-Bahn 
$B \subset \hat{N}$ die zugeh"origen
isotypischen Komponenten eine $G$-Unterdarstellung
\begin{equation*}
V_{B} \pdef \bigoplus_{\chi \in B} V_\chi
\end{equation*}
von $V$. Ist $V$ einfach, so mu"s es demnach 
genau eine Bahn $G\chi=B = B (V)$
geben mit  $V = V_{B}$. 
Wir schreiben $kG\op{-Mod}_B$ f"ur die Kategorie aller
$G$-Moduln $V$ mit $V=V_B$ und 
behaupten f"ur alle $\chi\in \hat N$
eine
"Aquivalenz von Kategorien 
$$\begin{array}{ccc}
kG\op{-Mod}_{G\chi}&\sirra & kG_\chi\op{-Mod}_{\chi}\\[2mm]
V &  \mapsto  &V_\chi 
\end{array}$$
% $$\begin{array}{ccc}
% \left\{ \!\!\begin{array}{c}
% \text{endlichdimensionale}\\
% \text{Darstellungen $V$ von $G$}\\
% \text{mit $V=V_{G\chi}$}
% \end{array}\!\!\right\} & \sirra &
% \left\{ \!\!\begin{array}{c}
%  \text{endlichdimensionale}\\
% \text{Darstellungen $W$ von $G_\chi$}
% \\
% \text{mit $W=W_\chi$}\end{array}\!\! \right\} \\[8mm]
% V &  \mapsto  &V_\chi 
% \end{array}$$
In der Tat  k"onnen wir  den
 Funktor $R:kG\op{-Mod}\ra  kG_\chi\op{-Mod}_\chi$ 
gegeben durch
$R:V\mapsto V_\chi$ schreiben  als die Restriktion gefolgt
vom Bilden des besagten $N$-isotypischen Anteils.
Wir erhalten dazu   einen Linksadjungierten  
durch die Vorschrift 
$$L: W\mapsto  \op{prod}^{G }_{G_\chi } (W)$$
Wegen $g:V_\chi\sira V_{g\chi}$ 
 ist klar, da"s  $L$ 
bereits in $kG\op{-Mod}_{G\chi}$ landet. 
Aus demselben Grund induziert die kanonische Abbildung
$
W \rightarrow \op{prod}^{G }_{G_\chi }( W)
$
einen Isomorphismus auf die $\chi$-isotypische Komponente der rechten Seite,
als da hei"st, die Adjunktion induziert einen
Isomorphismus $W\sira RLW$.  
Es bleibt nur zu zeigen, da"s auch umgekehrt 
die Adjunktion einen Isomorphismus $LRV\sira V$ induziert, da"s also
f"ur $V\in kG\op{-Mod}_{G\chi}$  die von der Adjunktion
alias  Frobenius-Reziprozit"at 
\ref{FrRE} herkommende Abbildung
 ein Isomorphismus
\begin{equation*}
\op{prod}^{G }_{G_{\chi} } V_\chi \;\overset{\sim}{\rightarrow}
\;V
\end{equation*}
ist. 
In der Tat induziert nun unsere
Abbildung
einen Isomorphismus auf den $\chi$-isotypischen Komponenten.
 Damit haben sowohl
Kern als auch Kokern unseres Isomorphismus 
in spe h"ochstens von Null verschiedene
isotypische Komponenten an Stellen $\psi \in G\chi$. Andererseits 
 aber haben sowohl
Kern als auch Kokern Komponente Null
bei $\chi$ und folglich auch Komponenten Null bei allen $\psi \in G\chi$.
 Der Satz folgt. 
\end{proof}


% \subsection{Darstellungen semidirekter Produkte}



% \begin{Bemerkungl}
%   Wir erinnern unsere Notationen $\hat G= \op{irrf}_{\mathbb C} G$
% f"ur die Menge der Isomorphieklassen einfacher endlichdimensionaler 
% komplexer 
% Darstellungen einer Gruppe $G$.  Gegeben eine Darstellung $V$ von $G$ und
% $\chi\in \hat G$ bezeichne $V_\chi$ die zugeh"orige isotypische Komponente. 
% \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $H \ltimes N$ ein semidirektes Produkt 
zweier Gruppen induziert die Operation von $H$ auf $N$ eine
Operation der Gruppe $H$ auf der Menge $\hat N$.  Die Standgruppe
von $\chi\in\hat N$ notieren wir  $H_\chi$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Korollar}[\textbf{Darstellungen semidirekter Produkte}]
    Gegeben ein semidirektes Produkt $H \ltimes N$ einer endlichen Gruppe $H$
    mit einer abelschen Gruppe $N$ liefert die Abbildung $V\mapsto \{(\chi,
    V_\chi)\mid \chi\in \op{irrf}_{\mathbb C}N \text{ mit }V_\chi\neq 0\}$ eine Bijektion
    \begin{equation*}
      \op{irrf}_{\mathbb C} (H \ltimes N) \;\sira\; \op{Par}/H
    \end{equation*}
    zwischen der Menge der Isomorphieklassen komplexer 
einfacher Darstellungen von $H
    \ltimes N$ und der Menge der $H$-Bahnen auf der Parametermenge $\op{Par}$
    aller Paare $ \op{Par} \pdef \{ (\chi, W )\mid \chi \in \op{irrf}_{\mathbb C}N,\; W \in
    \op{irrf}_{\mathbb C} H_\chi \} $ mit der offensichtlichen $H$-Operation.
\end{Korollar} 
\begin{Bemerkungl}
Statt $\DC$ d"urfen wir hier allgemeiner
einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper nehmen.
Der Beweis bleibt derselbe.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Das folgt durch Spezialisierung aus  Clifford-Theorie \ref{CliT}.
Genauer induziert die dort gegebene Bijektion 
unter der Annahme $|G/N|<\infty$ eine Bijektion 
zwischen endlichdimensionalen Einfachen auf beiden Seiten.
Nehmen wir zus"atzlich den Grundk"orper $k$ algebraisch abgeschlossen und
$N$ abelsch an, so sind die einfachen endlichdimensionalen
$k$-Darstellungen
eindimensional und die Restriktion liefert 
f"ur alle derartigen $\chi$ eine "Aquivalenz von
Kategorien $$k(H_\chi\ltimes N)\op{-Mod}_\chi\sirra kH_\chi\op{-Mod}$$
So folgt dann das Korollar.
\end{proof} 
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Man entwickle die Charaktertafeln der Diedergruppen aus \eref{KED}{LA2}.
  Wiewiele einfache Darstellungen haben diese Gruppen?
  Was sind deren Dimensionen?
\end{Ubung}



\subsection{Darstellungen endlicher Heisenberg-Gruppen*}

\begin{Bemerkungl}
  Allgemein erkl"art man f"ur jede abelsche Gruppe $V$  mit einer
  alternierenden bilinearen Abbildung $\omega:V\times V\ra A$ in eine
  weitere abelsche Gruppe $A$ die zugeh"orige 
{\bf Heisenberg-Gruppe}\index{Heisenberg-Gruppe}
 $$\op{Heis}(V,\omega)\pdef V\times A$$
mit der Verkn"upfung $(v,\alpha)(w,\beta)\pdef (v+w, \alpha+\beta+\omega(v,w))$. 
Das Zentrum dieser Gruppe ist
die Menge aller $(v,\alpha)$ mit $2\omega(v,w)=0$ f"ur
alle $w\in V$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Darstellungen der endlichen
    Heisenberggruppen}] 
Wir untersuchen nun einfache komplexe Darstellungen der
Heisenberggruppe $G$ im Fall eines endlichdimensionalen
symplektischen Vektorraums $V$ "uber einem endlichen K"orper $k=\mathbb F_q$. 
Das Zentrum operiert auf jeder einfachen Darstellung durch einen 
multiplikativen Charakter. Ist dieser Charakter der triviale
Charakter, so kommt unsere Darstellung durch R"uckzug von einer
einfachen Darstellung der additiven Gruppe $V$ her und wir erhalten so
$q^{2n}=|V|$ paarweise nicht\-isomorphe eindimensionale Darstellungen.
 Ist dieser Charakter $\chi:\mathbb F_q\ra\DC^\times$ nicht der triviale
Charakter, so betrachten wir irgendeinen Lagrange'schen Teilraum
$L\subset V$ und den trivial fortgesetzten Charakter 
$\tilde \chi:L\times \mathbb F_q\ra\DC^\times$ mit 
$\tilde \chi(v,\alpha)=\chi(\alpha)$
und induzieren $\DC_{\tilde\chi}$ 
zu einer Darstellung $V_\chi$ unserer Heisenberggruppe.
F"ur $2n=\op{dim}V$  
erhalten wir dann eine $q^n$-dimensionale Darstellung
der Heisenberggruppe, auf der das Zentrum immer noch durch denselben
multiplikativen Charakter $\chi$ operiert.
Diese induzierten Darstellungen sind jedoch alle einfach,
denn $L\times \mathbb F_q$ ist ein Normalteiler und 
die Bahn von $\tilde\chi$ unter Konjugation hat
genau $q^n$ Elemente: Es gilt n"amlich
$$(w,0)(v,\beta)(w,0)^{-1}=(v,\beta+2\omega(w,v))$$ 
Folglich ist f"ur jede Linearform $\lambda\in L^\ast$ 
 der Charakter $(v,\alpha)\mapsto \chi(2\lambda(v)+\alpha)$ 
konjugiert zu $\tilde\chi$. Wegen $(q-1)(q^n)^2 + (q^n)^2 =|G|$ m"ussen das 
bereits alle einfachen Darstellungen gewesen sein.  
\end{Bemerkungl}







%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXNAS"
%%% End: