%\section{Ab hier noch nicht ausgegoren}
\section{Vermischtes}



\subsection{Whitehead-Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Ring $R$ betrachten wir Einbettungen durch Anf"ugen von Einsen auf der Diagonale $\op{GL}(n;R)\hra \op{GL}(n+1;R)$ mit $A\mapsto \op{diag}(A,1)$ und bilden die Gruppe
  $$\op{GL}(R)\pdef \op{col}_n \op{GL}(n;R)$$
  Darin bezeichne ${\op{E}}(R)$ die von allen speziellen Elementarmatrizen
  $\op{I}+aE_{ij}$ mit $a\in R$ und $i\neq j$ 
  erzeugte Untergruppe.
  Nach \eref{zUOD}{LA2} liegen alle oberen oder unteren Dreiecksmatrizen aus $\op{GL}(n;R)$ mit
  Einsen auf der Diagonale in $\op{E}(R)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Whitehead}]
  Gegeben ein Ring $R$ gelten f"ur die Derivierten der soeben eingef"uhrten
  Gruppen die Identit"aten
  $$\mathcal D(\op{GL}(R))=\mathcal D({\op{E}}(R))={\op{E}}(R)$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
  In $\op{GL}(3;R)$ pr"uft man  $(\op{I}+aE_{12},\op{I}+E_{23})=\op{I}+aE_{13}$
  f"ur alle $a\in R$. Analoges folgt in $\op{GL}(n;R)$
  f"ur beliebige paarweise verschiedene Indizes $i,j,k$.
Damit erhalten wir $\mathcal D(\op{GL}(R))\supset \mathcal D({\op{E}}(R))={\op{E}}(R)$. 
  Sind nun ganz allgemein $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe und gilt $HabH=HbaH$ f"ur alle $a,b\in G$, so folgt $\mathcal D(G)\subset H$.
  In der Tat,  $ab=xbay$ f"ur $x,y\in H$ und finden weiter $z,w\in H$ mit
  $(bay)(ba)^{-1}=z(ba)^{-1}(bay)w$. So folgt
  $$aba^{-1}b^{-1}= xbay(ba)^{-1}=xz(ba)^{-1}(bay)w=xzyw\in H$$
  wie gew"unscht. Mit der abk"urzenden Notation $\sim$ f"ur \glqq haben dieselbe
  $\op{E}(R)$-Dop\-pel\-ne\-ben\-klas\-se reicht es also, f"ur alle $A,B\in \op{GL}(R)$
  die Gleichheit von Doppelnebenklassen 
  $$ AB\sim BA$$ zu
  zeigen.
   Wie beim Beweis von \eref{PEbf}{LA1} finden wir
  $$E_{ij}-E_{ji}= ({\op{I}}+E_{ij})({\op{I}}-E_{ji})({\op{I}}+E_{ij})$$
  im Fall $i\neq j$. Das Vertauschen von zwei Zeilen zusammen
  mit dem  Negativ-Machen einer
  von ihnen ist also die Linksmultiplikation mit einem Element von $\op{E}(R)$.
  Wir nennen diese Operation eine Vorzeichenzeilenvertauschung.
  Ebenso kann man durch Rechtsmultiplikation mit einem Element von
  $\op{E}(R)$ jede Vor\-zei\-chen\-pal\-ten\-ver\-tau\-schung realisieren.
  Gegeben  $A,B\in \op{GL}(n;R)$ finden wir in $\op{GL}(2n;R)$  nun die
  Gleichheiten von Doppelnebenklassen 
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix}
 AB & 0\\
0 & \op{I} 
 \end{pmatrix}
 \sim
  \begin{pmatrix}
 AB & A\\
0 & \op{I} 
 \end{pmatrix}\sim
  \begin{pmatrix}
 0 & A\\
-B & \op{I} 
 \end{pmatrix}
 \sim
  \begin{pmatrix}
 0 & A\\
-B & 0
 \end{pmatrix}\sim
  \begin{pmatrix}
 B & 0\\
0 & A
 \end{pmatrix}\sim
  \begin{pmatrix}
A & 0\\
 & B
 \end{pmatrix}
\end{displaymath}
durch Addition des $A$-linksfachen der unteren Zeile zur oberen Zeile
gefolgt von der
Substraktion des $B$-rechtsfachen der rechten Spalte von der linken Spalte
gefolgt von  der
Subtraktion  des $A^{-1}$-linksfachen der oberen Zeile von der unteren Zeile
gefolgt von geeigneten Vorzeichenvertauschungen von Zeilen
beziehungsweise, um von der vorvorletzten Stelle an die letzte Stelle
zu kommen, von Spalten.
\end{proof}



\subsection{Halbeinfaches zu Koszul}




  \begin{Bemerkungl}
    Sei $k$ ein halbeinfacher Ring und $V$ ein $k$-Bimodul, endlich erzeugt
    sowohl als Rechtsmodul als auch als Linksmodul.  So mu"s
    $\op{Hom}_{-k}(V,k)$ keineswegs endlich erzeugt sein als $k$-Rechtsmodul.
    Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, bemerken wir, da"s wir nach der
    L"osung von {\bf Artin's Problem}\index{Artin's Problem} 
aus \cite{CohnSKF} Schiefk"orper $K\subset
    L$ so finden k"onnen, da"s $L$ "uber $K$ endlich erzeugt ist als
    Linksmodul, nicht aber als Rechtsmodul.
Nehmen wir nun $k=K\times L$ und $V=L$ mit der Linksoperation
von $k$ "uber die Projektion auf $K$ und der Rechtsoperation
von $k$ "uber die Projektion auf $L,$ so ist $V$ endlich erzeugt
    sowohl als $k$-Rechtsmodul als auch als $k$-Linksmodul.
Nun erhalten wir Isomorphismen
 $$\op{Hom}_{-k}(V,k)\sira \op{Hom}_{-L}(L,L)\stackrel{\sim}{\leftarrow}L $$
gegeben durch die Komposition mit der Projektion auf den 
zweiten Faktor $k\sra L$ und die Operation durch Linksmultiplikation
von $L$ auf sich selber.
Die Rechtsoperation von $(\lambda,\mu)\in K\times L=k$ 
auf $\op{Hom}_{-k}(V,k)$ entspricht unter diesen Isomorphismen der 
Rechtsoperation von $\lambda\in K$ auf $L,$ und $L$ ist nach Annahme
kein endlich erzeugter $K$-Rechtsmodul.
  \end{Bemerkungl}




\subsection{Homomorphismen "uber Potenzreihen}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ 
kann man den $k\llbracket\lambda\rrbracket$-Modul
$V\llbracket\lambda\rrbracket$ aller formalen Potenzreihen $\sum^\infty_{i=0} v_i \lambda^i$
mit $v_i \in V$ bilden.\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
Gegeben  zwei $k$-Vektorr"aume $V,W$ liefert die offensichtliche
  Abbildung einen Isomorphismus
$$\op{Hom}_k
      (V,W) \llbracket\lambda\rrbracket \sira 
\op{Hom}_{k\llbracket\lambda\rrbracket} (V \llbracket\lambda\rrbracket, W \llbracket\lambda\rrbracket)$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Die offensichtliche Abbildung $k\llbracket\lambda\rrbracket \otimes_k V \rightarrow V
  \llbracket\lambda\rrbracket$ ist eine Injektion mit Bild dem Untermodul aller der Ausdr"ucke
  $\sum^\infty_{i=0} v_i \lambda^i$, bei denen die $v_i$ einen
  endlichdimensionalen Teilraum von $V$ aufspannen. Auf dem Kokern $\op{cok}$
  dieser Einbettung ist die Multiplikation mit $\lambda$ invertierbar, die
  $k\llbracket\lambda\rrbracket$-Operation darauf l"a"st sich also zu einer Operation des
  K"orpers $k (\!(\lambda)\!)$ fortsetzen und unser Kokern wird so ein
  $k(\!(\lambda)\!)$-Vektorraum.
  % und etwa nach \ref{UCKK} ein injektiver $k\llbracket\lambda\rrbracket$-Modul.
  Gegeben ein weiterer $k$-Vektorraum $W$ liefern die offensichtlichen
  Abbildungen ein Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{Hom}_{k\llbracket\lambda\rrbracket} (k \llbracket\lambda\rrbracket \otimes_k V, 
      W \llbracket\lambda\rrbracket) \ar[r]^-\sim & \op{Hom}_k
      (V,W) \llbracket\lambda\rrbracket\ar[dl]\\
      \op{Hom}_{k\llbracket\lambda\rrbracket} (V \llbracket\lambda\rrbracket, W \llbracket\lambda\rrbracket) \ar[u]\\
      \op{Hom}_{k\llbracket\lambda\rrbracket} (\op{cok}, W \llbracket\lambda\rrbracket)\ar@{^{(}->}[u]
    }
  \end{displaymath}
Die obere Horizontale ist ein Isomorphismus nach Basiswechsel 
und dem Vertauschen von $\op{Hom}$ mit Produkten im zweiten Argument.
  Ganz unten steht Null, da $\op{cok}$ eben ein $k (\!(\lambda)\!)$-Modul ist.  da
  folglich ist der obere vertikale Pfeil injektiv.  Da er zusammen mit dem in
  hoffentlich offensichtlicher Weise erkl"arten schr"agen Pfeil das Inverse
  des horizontalen Isomorphismus ist, mu"s der obere Vertikale auch surjektiv
  sein.  Damit erhalten wir, da"s sowohl die obere Vertikale als auch der
  schr"age Pfeil Bijektionen sind.
\end{proof}



\subsection{Witt-Vektoren}\emph{Pa"st nicht hierher!}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] 
Das Bilden des Restklassenk"orpers bildet eine "Aquivalenz von
Kategorien
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{c}\text{endliche unverzweigte} \\
\text{K"orpererweiterungen von } \mathbb{Q}_p \end{array}\right\}
\;\sirra\; \left\{ \begin{array}{c}
\text{endliche} \\
\text{K"orpererweiterungen von }  \mathbb{F}_p
\end{array} \right\}
\end{displaymath}
Ein inverser Funktor kann explizit 
konstruiert werden als \glqq nimm den Quotientenk"orper
des $p$-Wittrings\grqq, in Formeln
$\mathbb F\mapsto \op{Quot} W^{(p)}(\mathbb F)$.
\index{Wittring} Der Wittring $W^{(p)}(\mathbb F)$ selbst ist dabei 
genau der Bewertungsring
dieses K"orpers.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion der Wittringe $W^{(p)}(R)$}] 
Gegeben ein Kring $R$ und eine Primzahl $p$ betrachten wir die Abbildung
$$\begin{array}{clcl}
W = W^{(p)} : &\op{Ens} (\mathbb{N}, R) 
&\rightarrow &\op{Ens} (\mathbb{N},R)\\
&(a_0,a_1, a_2, \ldots)& \mapsto 
& (a_0,a_0^p + pa_1, a_0^{p^{2}} + pa^{p}_1 + p^2 a_2, \ldots)
\end{array}$$
Die $n$-te Komponente des Bildes einer 
Folge ist dabei allgemein gegeben  durch
\begin{equation*}
W_n (a_0, a_1, \ldots)\pdef a_0^{p^{n}} + pa_1^{p^{n-1}} + \ldots + p^na_n
\end{equation*}
Man  pr"uft leicht, da"s das Bild von $W$ ein 
Teilring von $\op{Ens} (\mathbb{N}, R)$ mit
seiner komponentenweisen Multiplikation ist.
Hat unser Kring $R$ keine $p$-Torsion, 
so ist $W$ injektiv und die komponentenweise
Ringstruktur auf der rechten Kopie von 
$\op{Ens} (\mathbb{N}, R)$ induziert eine ganz
absonderliche neue Ringstruktur auf der linken 
Kopie von $\op{Ens} (\mathbb{N},R)$,
die gegeben wird durch Formeln der Gestalt
$$\begin{array}{ccl}
(a_0,a_1, \ldots)+(b_0,b_1, \ldots) &=&(S_0 (a_0,b_0), S_1 (a_0,a_1,b_0,b_1), 
\ldots)\\
(a_0,a_1,\ldots) \cdot (b_0,b_1, \ldots) 
&=& (P_0(a_0,b_0), P_1(a_0,a_1,b_0,b_1), \ldots)
\end{array}$$
f"ur gewisse eindeutig bestimmte Polynome 
$S_n, P_n \in \mathbb{Z} [X_0,X_1, \ldots,
Y_0,Y_1, \ldots]$, die  nur von den 
jeweils ersten $n$ Variablen abh"angen.
Vermittels dieser Polynome kann man sogar f"ur 
Kringe $R$ mit $p$-Torsion eine
sinnvolle Kringstruktur auf $\op{Ens} (\mathbb{N},R)$ 
einf"uhren und erkl"art so den
{\bf Witt-Ring}\index{Wittring}\index{Will@$\op{Witt}(R)$ Wittring} 
\begin{equation*}
\op{Witt}(R) = \op{Witt}^{(p)} (R)
\end{equation*}
unseres Rings $R$. Die Elemente unseres Wittrings hei"sen 
{\bf Witt-Vektoren}.\index{Wittvektor} 
Auch im Fall eines K"orpers $k$ 
der Charakteristik $p$ hat der Witt-Ring $\op{Witt}(k)$ keine
$p$-Torsion. Ist unser K"orper perfekt, so ist der 
Wittring ein vollst"andiger 
diskreter Bewertungsring mit Restklassenk"orper $k$.
\end{Bemerkungl}







\subsection{Klassenk"orpertheorie (Nach Serre)}

\begin{Bemerkungl}
F"ur einen beliebigen nichtarchimedischen 
\hyperref[loKO]{lokalen K\"orper} $K$
definiert man den \defind{Reziprozit"atshomomorphismus}
\begin{displaymath}
\vartheta_K : K^\times \ra \op{Gal}(K)^{\op{ab}}
\end{displaymath}
seiner multiplikativen Gruppe in den Quotienten nach dem Abschlu"s
der von den Kommutatoren erzeugten Untergruppe seiner absoluten
Galoisgruppe. Er ist stetig und pa"st in ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{ker} \ar[d]_\wr \ar@{^{(}->}[r] &K^\times \ar[d] \ar[r]^v & \Bbb{Z}\ar[d]\\
\op{ker}\ar@{^{(}->}[r] &\op{Gal}(K)^{\op{ab}} \ar[r] &\widehat{\Bbb{Z}}
}
\end{displaymath}
wo die rechten Horizontalen die Bewertung beziehungsweise die durch die
Operation der Galoisgruppe auf Erweiterungen des endlichen Restklassenk"orpers
induzierten Abbildungen sind und die linke Vertikale ein Isomorphismus topologischer
Gruppen ist.
Definieren wir umgekehrt die Weilgruppe $W_K$, eine neue topologische Gruppe, durch das
kartesische Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
W_K \ar[r]\ar[d] &\Bbb{Z}\ar[d]\\
\op{Gal}(K) \ar[r] &\widehat{\Bbb{Z}}
}
\end{displaymath}
so haben wir einen kanonischen Isomorphismus von topologischen Gruppen 
$W_K^{\op{ab}} \overset{\sim}{\rightarrow} K^\times$ und damit
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{stetige Homomorphismen}\\
W^{\op{ab}}_K \ra \Bbb{C}^\times  \end{array}\right\} 
& \overset{\sim}{\leftrightarrow} &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{stetige Homomorphismen}\\
K^\times  \ra \Bbb{C}^\times  \end{array}\right\} 
\end{array}
\end{displaymath}
den wir auch lesen k"onnen als eine Bijektion
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{stetige Homomorphismen}\\
W_K^{\op{ab}} \ra \op{GL} (1;\Bbb{C})\end{array}\right\} 
\overset{\sim}{\leftrightarrow}  \left\{
\begin{array}{c}
\text{stetige irreduzible Darstellungen}\\
\text{von $\op{GL} (1;K)$ in $\DC$-Vektorr"aumen} \end{array}\right\}
\end{displaymath}
Die \glqq nichtabelsche Klassenk"orpertheorie\grqq\  sucht nun nach 
Verallgemeinerungen dieser Bijektion
in Gestalt einer nat"urlichen Abbildung mit endlichen Fasern
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{stetige Homomorphismen}\\
W_K \ra \op{GL} (n;\Bbb{C})\\
\text{bis auf Konjugation mit}\\
\text{Elementen von }\op{GL} (n;\Bbb{C})
\end{array}\right\} & 
\leftarrow  &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{stetige irreduzible Darstellungen}\\
\text{von $\op{GL} (n;K)$ in $\DC$-Vektorr"aumen} \end{array}\right\}
\end{array} 
\end{displaymath}
Genauer erwartet man, da"s hier auf der linken Seite eigentlich
der Raum $X$ aller Darstellungen einer mehr oder weniger hypothetischen
\glqq gemischten motivischen Galoisgruppe\grqq\  
durch Automorphismen des $\DC^n$ stehen sollte
und da"s die irreduziblen Darstellungen 
\glqq mit ganzem zentralen Charakter\grqq, was auch immer das genau hei"sen mag,
auf der rechten Seite
eineindeutig den einfachen "aquivarianten perversen Garben auf der
linken Seite entsprechen, also den Paaren $(Y,\tau)$ mit $Y$ 
einer $\op{GL} (n;\Bbb{C})$-Bahn in $X$ und $\tau$ einer
irreduziblen Darstellung der Komponentengruppe der Standgruppe
eines beliebigen Punktes besagter Bahn. Solch eine 
Darstellung der
gemischten motivischen Galoisgruppe durch Automorphismen des $\DC^n$ 
anzugeben sollte in etwa bedeuten, \glqq den $\DC^n$ mit  einer Struktur 
der Art zu versehen, wie man sie auf der Kohomologie einer $K$-Variet"at 
antrifft\grqq. Die Ganzheitsbedingung entspricht dann der bekannten
Eigenschaft, da"s die Eigenwerte des Frobenius nur gewisse Werte
annehmen k"onnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkung}
Ein \defind{Zahlk"orper} ist ein K"orper $k$ der Charakteristik Null, der
endlich ist "uber $\Bbb{Q}$.
Den ganzen Abschlu"s von $\Bbb{Z}$ in $k$ nennt man den 
Ring der {\bf ganzen Zahlen}\index{ganze Zahlen!eines Zahlk"orpers}
$\frak{o}_k$ des Zahlk"orpers $k$. Im Allgemeinen 
ist $\frak{o}_k$ nicht mehr faktoriell. Als Ma"s
daf"ur, wie weit diese Ringe davon entfernt sind, faktoriell 
zu sein, betrachtet man
die Menge aller sogenannten \defind{gebrochenen Ideale}, 
als da hei"st aller endlich
erzeugten von Null verschiedenen $\frak{o}_k$-Untermoduln von $k$.
Diese Menge wird eine Gruppe unter der Verkn"upfung, 
die je zwei gebrochenen Idealen
$\frak{a}, \frak{b} \subset h$ den von $\frak{a}\frak{b} $ in $k$ 
erzeugten $\frak{o}_k$-Untermodul zuordnet.
Die von einem Element $p \in k^\times$ erzeugten 
gebrochenen Ideale hei"sen 
\defnoind{Hauptideale}\index{Hauptideal!gebrochenes} und
bilden darin eine Untergruppe. Der Quotient dieser 
beiden Gruppen hei"st die \defind{Idealklassengruppe}
unseres Zahlk"orpers.
Sie ist trivial genau dann, wenn der Ring $\frak{o}_k$ der 
ganzen Zahlen von $k$ faktoriell ist.
In der Tat kann das Argument aus dem Beweis von \eref{EPf}{LA1} 
leicht auf diese Situation
"ubertragen werden. Geometrisch kann man die Idealklassengruppe 
verstehen als die Gruppe
der Isomorphieklassen von Geradenb"undeln auf $\op{Spec} \frak{o}_k$, 
also als die Picard-Gruppe
dieses Schemas.
\end{Bemerkung}







\begin{Definition}
Der {\bf Hilbert'sche Klassenk"orper}\index{Hilbert'scher Klassenk"orper}
 eines Zahlk"orpers ist die maximale
unverzweigte abelsche Erweiterung, in der alle reellen Primstellen
reell bleiben.
Man kann zeigen, da"s er bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt ist und
da"s die Galoisgruppe dieser Erweiterung kanonisch isomorph ist 
zur Idealklassengruppe
des urspr"unglichen Zahlk"orpers.
\end{Definition}
\begin{Bemerkung}
Man kann zeigen, da"s der Hilbert'sche Klassenk"orper eines 
imagin"arquadratischen
Zahlk"orpers erzeugt wird durch den Wert der $j$-Funktion an geeigneten Punkten
der oberen Halbebene, genauer an Stellen zu \glqq elliptischen 
Kurven mit komplexer Multiplikation\grqq.
Ist noch genauer $a X^2 + bXY +c Y^2$ mit $a,b,c \in \Bbb{Z}$ 
eine positiv definite
quadratische Form und $-D =b^2 - 4ac$ ihre Diskriminante, 
so kann der Hilbert'sche
Klassenk"orper zu $K \pdef \Bbb{Q} (\sqrt{-D})$
beschrieben werden als
\begin{displaymath}
K (j (\alpha)) \quad\text{ mit }\quad \alpha = \frac{-b + i \sqrt{D}}{2a}
\end{displaymath}
\end{Bemerkung}
\subsection{Schrott zur Dominanzteilordnung}
\begin{Definition}
Zwei  Partitionen
einer
Menge hei"sen {\bf unabh"angig}\index{unabh"angig!Partitionen},
wenn die Schnitte zwischen je einem St"uck der einen und
einem St"uck der anderen Partition stets h"ochstens ein Element
enthalten. 
\end{Definition}


\begin{Definition}
Gegeben eine Partition
einer
endlichen Menge  mit $n$ Elementen bilden wir zwei Youngdiagramme
mit $n$ K"astchen:
Im \defind{Spaltendiagramm}  entsprechen 
unter einer geeigneten Identifikation der 
K"astchen mit unserer  Menge   die Spalten
den St"ucken der Partition, im \defind{Zeilendiagramm}  die Zeilen.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Sind zwei Partitionen einer endlichen Menge unabh"angig,
so ist  in der Dominanzteilordnung das Spaltendiagramm der Ersten
kleinergleich
dem Zeilendiagramm der Zweiten.
\end{Lemma}

\begin{proof}
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s
unsere Menge aus den K"astchen eines Youngdiagramms besteht und
da"s die zweite Partition bereits durch die Zeilen dieses
Diagramms gegeben wird. In dieser Situation
scheint mir das Lemma im Lichte der Definition \ref{DoO} 
der Dominanzteilordnung offensichtlich.
\end{proof}











\subsection{Zentrale Ladung} 
\begin{Definition}
 Sei $\mathcal A$ eine artinsche Kategorie.
Eine {\bf zentrale Ladung\index{zentrale Ladung}\index{Ladung!zentrale} 
 auf} $\mathcal A$ ist ein Gruppenhomomorphismus
\begin{equation*}
 c : [\mathcal A] \rightarrow (\mathbb C, +)
\end{equation*}
mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle von Null verschiedenen Objekte 
$A \in \mathcal A$ ihre
Ladung $c(A)\pdef 
c ([A])$ in der Vereinigung der offenen oberen Halbebene mit der 
negativen reellen Achse 
$\bar{\mathbb H} \pdef \{ z\in \mathbb C \mid \op{Im} z > 0$ oder
$\op{Im} z = 0, \op{Re} z < 0\}$ liegt.
 Die {\bf Phase}\index{Phase!Bridgeland} 
$\Phi (A) \in (0,1]$ eines von Null verschiedenen Objekts $A \in \mathcal
A\backslash 0$ in Bezug auf unsere zentrale Ladung $c$ ist
definiert durch
\begin{equation*}
 c (A) \in \mathbb R_{>0} \op{exp}( \pi {\op{i}} \Phi (A))
\end{equation*}
 Ein Objekt $M \in \mathcal A$ hei"st {\bf stabil}\index{stabil!Bridgeland} 
genau dann, wenn f"ur jedes Unterobjekt $N \subsetneq M$ mit 
$N \not 0$ gilt $\Phi (N) < \Phi (M)$.
 Ein Objekt $M \in \mathcal A$ hei"st 
{\bf semistabil}\index{semistabil!Bridgeland} 
genau dann, wenn f"ur jedes Unterobjekt $N \subsetneq M$ mit 
$N \neq 0$ gilt $\Phi (N) \leq \Phi (M)$. 
\end{Definition}

\newpage
\section{Die Hall-Algebra}
\subsection{Definition der Hall-Algebra}


  \begin{Satz}[\textbf{Filtrierungs-Komultiplikation}]
    Gegeben ein Ring $R$ erh"alt
die freie abelsche Gruppe $\Bbb{Z} \mathcal{I}$ "uber\label{HaKo}  
der Menge $\mathcal{I}=\mathcal{I}(R)$ aller
    Isomorphieklassen endlicher $R$-Moduln 
die Struktur einer 
kounit"aren Koalgebra vermittels der Komultiplikation
    $$\begin{array}{cccl} \Delta^\ast :& \Bbb{Z} \mathcal{I} &\rightarrow &\Bbb{Z}
      \mathcal{I} \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{Z} \mathcal{I} \\[2mm]
      &\left\langle  X\right\rangle  &\mapsto &\sum_{U\subset X} 
\left\langle  U\right\rangle  \otimes
      \left\langle  X/U\right\rangle 
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Mit $\left\langle  M\right\rangle$ 
meinen wir die Isomorphieklasse eines Moduls $M$.
Die Notation $\Delta^\ast$ benutzen wir, um uns die Notation $\Delta$ 
f"ur eine weitere Komultiplikation frischzuhalten.
Mit \glqq endlichen Moduln\grqq\  meinen wir hier  Moduln,  die als Menge
  betrachtet nur endlich viele Elemente haben.  Die Summe l"auft "uber alle
  Untermoduln $U$ von $X$ und ist deshalb
sinnvoll, weil ein endlicher Modul auch nur
endlich viele
Untermoduln besitzen kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Unser  $\Delta^\ast$ ist koassoziativ, in Formeln
$
(\Delta^\ast \otimes \op{id}) \circ \Delta^\ast
= (\op{id} \otimes \Delta^\ast) \circ \Delta^\ast
$,
denn beide Seiten werden auf Erzeugern gegeben durch
\begin{equation*}
\left\langle  X \right\rangle  \mapsto \sum_{V \subset U \subset X} 
\left\langle V\right\rangle 
\otimes \left\langle  U/V\right\rangle  \otimes \left\langle  X/U\right\rangle 
\end{equation*}
mit der Summe zu verstehen "uber alle drei-Schritt-Filtrierungen von $X$.
Weiter erhalten wir 
offensichtlich eine Koeinheit 
$\varepsilon : \Bbb{Z} \mathcal{I} \rightarrow \Bbb{Z}$ von
$\Bbb{Z} \mathcal{I}$ gegeben auf der nat"urlichen Basis 
durch die Vorschrift $\left\langle 
0\right\rangle  \mapsto 1$ und $\left\langle  X
\right\rangle  \mapsto 0$ sonst. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hall-Multiplikation}]
 Sei  $R$ ein Ring 
und $\mathcal{I}=\mathcal{I}(R)$ 
die Menge aller
    Isomorphieklassen endlicher $R$-Moduln. 
 Durch das Dualisieren der Fil\-trie\-rungs-Ko\-mul\-tiplikation
 $\Delta^\ast$ aus \ref{HaKo}\label{HoAl} 
und Vorschalten der kanonischen Abbildung
$(\Bbb{Z}
      \mathcal{I})^\ast \otimes_{\Bbb{Z}} (\Bbb{Z} \mathcal{I})^\ast\ra (\Bbb{Z}
      \mathcal{I} \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{Z} \mathcal{I})^\ast$
gegeben durch $(f\otimes g)\mapsto \big((x\otimes y)\mapsto f(x)g(y)\big)$ 
 erhalten wir eine Ringstruktur auf $(\Bbb{Z}
      \mathcal{I})^\ast=\op{Ens}
  (\mathcal{I}, \Bbb{Z})$ mit der durch das  \glqq Auswerten auf 
dem Null\-modul\grqq\  erkl"arten Linearform 
als Einselement.
Auf den durch das 
Auswerten auf der Isomorphieklasse eines Modul $M$ erkl"arten
  Linearformen $\left\langle  M\right\rangle ^\ast$ 
wird unsere Multiplikation
per definitionem 
gegeben  durch die Vorschrift
$$
\left\langle  M \right\rangle ^\ast \cdot \left\langle  N \right \rangle ^\ast 
\pdef \sum c^X_{M,N} \left\langle  X \right\rangle ^\ast
$$
mit $c^X_{M,N} \pdef \op{card} \{ U \subset X \mid U \cong M,\; X/U \cong N\}$ 
und einer m"oglicherweise formal zu verstehenden  Summe 
"uber m"oglicherweise unendlich viele Isomorphieklassen 
$\langle  X \rangle$, wie zum Beispiel im 
Fall eines Polynomrings in unendlich vielen Variablen "uber einem endlichen 
K"orper.  F"ur viele Ringe $R$
gibt es jedoch zu je zwei vorgegebenen endlichen Moduln $M,N$  
auch nur endlich viele
Isomorphieklassen von Moduln $X,$ die in eine kurze exakte Sequenz 
$N\hra X\sra M$ passen,
und 
unter dieser Voraussetzung
erzeugen die $\langle M\rangle ^\ast$ in $\op{Ens}
  (\mathcal{I}, \Bbb{Z})$
einen Teilring. 
Wir 
 nennen diesen Teilring dann die 
\index{Hall-Algebra!eines Rings}{\bf Hall-Algebra 
$\mathcal H_R$ unseres Rings $R$}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Die vorhergehenden Konstruktionen funktionieren 
auch in etwas gr"o"serer Allgemeinheit. 
Per definitionem versteht man 
unter einem Unterobjekt eines Objekts $M$ 
einer abelschen Kategorie  
einen Monomorphismus $i:U\hra M,$ 
und ein weiteres Unterobjekt $i':U'\hra M$ hei"st isomorph zu
$i:U\hra M$ genau dann, wenn es einen Isomorphismus $a:U\sira U'$ gibt mit
$i=i'\circ a$.  
Die Konstruktion der Multiplikation auf $\op{Ens}
  (\mathcal I, \Bbb{Z})$
funktioniert f"ur jede abelsche
Kategorie $\mathcal A$, die 
{\bf unterobjektendlich}\index{unterobjektendlich} 
ist in dem Sinne, da"s jedes Objekt bis auf
Isomorphismus nur endlich viele
Unterobjekte besitzt. 
 Damit die $\langle M\rangle ^\ast$ in $\op{Ens}
  (\mathcal I, \Bbb{Z})$
einen Teilring bilden, m"ussen wir wie oben zus"atzlich  fordern,
da"s es zu je zwei vorgegebenen Objekten  $M,N$ bis auf
Isomorphie nur endlich viele
Objekte $X$ gibt, die in eine kurze exakte Sequenz 
$N\hra X\sra M$ passen. Wir nennen eine abelsche Kategorie 
mit dieser Eigenschaft {\bf erweiterungsendlich}.\index{erweiterungsendlich} 
 Ein typisches Beispiel ist die 
Kategorie aller endlichen abelschen $p$-Gruppen
f"ur eine vorgegebene Primzahl $p$. Im diesem Fall
wurde besagte Algebra bereits von Steinitz und Hall  untersucht 
und daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Hall-Algebra\grqq.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}
 Ganz allgemein hei"st  eine  abelsche Kategorie $\mathcal{A}$ 
{\bf finit"ar}\index{finit"ar!abelsche Kategorie} genau dann,
wenn 
alle ihre Homomorphismenr"aume und ersten Erweiterungsgruppen 
endlich sind. 
In diesem Fall ist zwar die Definition der Filtrierungskomultiplikation nicht 
mehr m"oglich, da  ein Objekt beliebig viele Unterobjekte haben k"onnte,
aber die Zahlen $c_{M,N}^X$ aus \ref{HoAl}
sind immer noch wohldefiniert und sind immer noch die Strukturkonstanten 
f"ur eine Ringstruktur
auf der freien abelsche Gruppe $\DZ\mathcal{I}$ 
"uber den Isomorphieklassen, 
wie man unschwer explizit pr"ufen kann und wie wir sp"ater auch
abstrakt nocheinmal zeigen werden. 
Dieser Ring hei"st dann die {\bf Hall-Algebra}\index{Hall-Algebra}
unserer finit"aren abelschen Kategorie $\mathcal{A}$. Wir notieren ihn 
$\mathcal H_{\mathcal{A}}$ und 
vereinbaren  die Notation 
$\langle M\rangle^\ast\in \mathcal H_{\mathcal{A}}$ 
f"ur das zu $M\in \mathcal{A}$ geh"orige Element.
\end{Bemerkungl}








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ext-Multiplikation}]
Gegeben ein  Ring mit der Eigenschaft, da"s die erste Erweiterungsgruppe
 zwischen je zwei vorgegebenen endlichen Moduln\label{MuRou} 
 endlich ist,
oder auch allgemeiner eine finit"are abelsche Kategorie,
k"onnen wir auf dem freien $\DQ$-Vektorraum "uber der Menge 
$\mathcal I$ der Isomorphieklassen $\DQ\mathcal I$ 
auch direkt eine Multiplikation erkl"aren
durch die Vorschrift
\begin{equation*}
\langle M\rangle  \ast \langle N\rangle  
= \frac{1}{|\op{Hom} (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)} \langle X (e)\rangle 
\end{equation*} 
mit $X(e)$ dem Mittelterm einer kurzen exakten Sequenz 
$M\hra X(e)\sra N,$ die die Erweiterung $e$ repr"asentiert.
 Der merkw"urdige Vorfaktor $1/|\op{Hom} (N,M)|$ sorgt f"ur die
  Assoziativit"at dieser Multiplikation und ist durch die folgende Proposition
  und ihren Beweis motiviert. 
Sp"ater werden wir ihn als Gruppoid-Kardinalit"at verstehen lernen.
\end{Bemerkungl}

 
 % Man kann ihn jedoch auch kategorientheoretisch
%   verstehen wie folgt: Es liegt nahe, die Kardinalit"at eines
%   zusammenh"angenden Gruppoids zu erkl"aren als $1/n$ f"ur $n$ die
%   Kardinalit"at der Automorphismengruppe eines und jedes Objekts. Dann kann,
%   wie im Beweis der folgenden Proposition noch deutlich werden wird, der
%   Vorfaktor $1/|\op{Hom} (N,M)|$ als die Kardinalit"at des Gruppoids aller
%   kurzen exakten Sequenzen verstanden werden, die eine gegebene Erweiterung
%   $e\in \op{Ext}^1 (N,M)$ repr"asentieren.


% \begin{Beispiel}
%   Im Spezialfall $R = \mathbb Z$ k"onnen wir f"ur jede Primzahl $p$ die
%   Teilmenge $\mathcal I_p \subset \mathcal I (\mathbb Z)$ aller $\mathbb
%   Z$-Moduln alias abelscher Gruppen betrachten, deren Kardinalit"at eine
%   $p$-Potenz ist.  Dann induziert $\Delta$ eine Komultiplikation
%   \begin{equation*}
%     \Delta : \mathbb Z \mathcal I_p \rightarrow 
% \mathbb Z \mathcal I_p \otimes \mathbb Z \mathcal I_p
%   \end{equation*}
%   und durch Dualisieren erhalten wir eine Ringstruktur auf der freien
%   abelschen Gruppe $\mathbb Z \mathcal I_p$ "uber der Menge $\mathcal I_p$
%   aller Isomorphieklassen von abelschen Gruppen mit $p$-Potenzordnung.  Dieser
%   Ring ist die urspr"ungliche Hall-Steiniz-Algebra. In unserer Terminologie
%   k"onnten wir sie auch beschreiben als die Hall-Algebra der Komplettierung $R
%   = \mathbb Z_p $ von $\mathbb Z$ an $p$.
% \end{Beispiel}


% \begin{Bemerkungl}
%   Man kann die Ext-Multiplikation auch unter noch 
% etwas schw"acheren Voraussetzungen 
% definieren und ihre Assoziativit"at pr"ufen. 
% %Das mag mal ein Bachelor tun wollen (?).
% \end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Ext-Multiplikation als Hall-Multiplikation}]
Sei $\mathcal A$ eine finit"are abelsche Kategorie und $\mathcal I$
die Menge ihrer Isomorphieklassen.  
F"ur die in \ref{MuRou} erkl"arte Ext-Multiplikation auf $\DQ\mathcal I$
gilt dann die Formel\label{HaEx} 
\begin{equation*}
\frac{\langle M\rangle}{|\op{Aut}M|}  
\ast \frac{\langle N\rangle}{|\op{Aut}N|}   
= \sum_{X\in\mathcal I}c_{M,N}^X\frac{\langle X \rangle }{|\op{Aut}X|}  
\end{equation*} 
Insbesondere hat also der Gruppenhomomorphismus $\delta$ von
unserer Hall-Al\-ge\-bra 
in unseren Raum $\DQ\mathcal I$ gegeben  durch 
die Vorschrift $$\delta: \langle M\rangle ^\ast
\mapsto \langle M\rangle/|\op{Aut}M|$$
die Eigenschaft $\delta(a\cdot b)=(\delta a)\ast (\delta b)$.
Insbesondere ist unser Raum 
$\DQ\mathcal I$  auch   mit der Ext-Multiplikation ein Ring.
\end{Proposition}

\begin{Bemerkungl}
  Wir geben zwei Beweise: Der Erste ist direkt und
wird zum Schlu"s dieses Abschnitts  
gegeben. Der Zweite folgt in \ref{BHAE}
und formuliert im wesentlichen dasselbe 
in der Sprache von Funktionen auf Gruppoiden, in der 
mir die Argumentation deutlich transparenter scheint.
Besonders "ubersichtlich wird in dieser Sprache der Beweis 
des Satzes von Green, den ich an dieser Stelle auch gleich noch erw"ahnen
will.
  Eine abelsche Kategorie hei"st 
{\bf erblich}\index{erblich!abelsche Kategorie} 
 genau dann, wenn sich die
  Eigenschaft,
projektiv zu sein, auf Unterobjekte vererbt, oder allgemeiner,
wenn alle $\op{Ext}^i$-Gruppen mit $i\geq 2$ verschwinden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Green}]
Ist $\mathcal A$ eine erbliche unterobjektendliche 
finit"are abelsche Kategorie
und $\mathcal I$ die Menge ihrer Isomorphieklassen, so
wird  $\mathbb Q \mathcal I$ mit der Filtrierungs-Komultipli\-kation
$\Delta^\ast$ aus\label{Green} 
\ref{HaKo} und der Ext-Multiplikation $\ast$ aus \ref{MuRou}
eine Hopf-Algebra. (EBEN NICHT: Vertwistete Hopf-Algebra!)
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Wir beweisen diesen Satz sogar in etwas gr"o"serer Allgemeinheit  
in \ref{BHGG}  
mithilfe eines Kalk"uls f"ur Funktionen auf Gruppoiden.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}[Elementarer Beweis f"ur \ref{HaEx}]
Wir betrachten zu  festen  $M,N,X$ die Menge 
$$E_{M,N}(X) \pdef \{ (g,f) \mid M \overset{f}{\hookrightarrow}
 X \overset{g}{\twoheadrightarrow} N \text{ ist exakt} \}$$ und ihre 
offensichtliche Abbildung
nach $\op{Ext}^1 (N,M)$.
Auf den Fasern dieser Abbildung 
operiert $\op{Aut} X$ transitiv vermittels
$\varphi (g,f) = (g \varphi^{-1}, \varphi f)$.
Die Standgruppe von $(g,f)$ besteht aus 
allen $\varphi$ mit $\varphi f = f $
und $g \varphi^{-1} = g $ alias
$(\varphi- \op{id}) f =0 = g(\varphi- \op{id})$.
Das bedeutet $(\varphi- \op{id})= f \psi g$ f"ur ein wohlbestimmtes
$\psi : N \rightarrow M$.
Umgekehrt liefert jedes $\psi : N \rightarrow M$ 
auch einen Endomorphismus $\varphi = \op{id} + f \psi
g$ von $X,$ und das ist ein Automorphismus mit 
Inversem $\varphi^{-1} = \op{id}-f \psi g$.
Folglich ist die Standgruppe von $(g,f)$ in Bijektion zu $\op{Hom} (N,M)$. 
Alle nichtleeren Fasern der offensichtlichen Abbildung
\begin{equation*}
E_{M,N}(X) \rightarrow \op{Ext}^1 (N,M)
\end{equation*}
haben mithin die Kardinalit"at
$|\op{Aut} X| / |\op{Hom} (N,M)|$.
F"ur alle Isomorphieklassen $X \in \mathcal I$  gilt demnach
\begin{equation*}
|E_{M,N}(X)|= \frac{|\op{Aut} X|}{|\op{Hom} (N,M)|}
\cdot|\{ e \in \op{Ext}^1 (N,M)\mid  X(e) \cong X\}| 
\end{equation*}
Wir k"onnen also unsere obige Formel \ref{MuRou} f"ur die Ext-Multiplikation 
umschreiben zu 
\begin{equation*}
\langle M\rangle  \ast \langle N\rangle  
= \sum_{X\in\mathcal I}\frac{|E_{M,N}(X)|}{|\op{Aut}X|}  \langle X \rangle 
\end{equation*} 
Weiter ist
offensichtlich die durch die Vorschrift 
$(f,g)\mapsto (\op{im}f)$ gegebene Abbildung 
$E_{M,N}(X) \rightarrow \{ U \subset X \mid U \cong M,$ $
X/U \cong N\}$  eine Surjektion, auf deren Fasern 
$(\op{Aut} M) \times (\op{Aut} N)$ frei und transitiv 
operiert, so da"s alle Fasern die
Kardinalit"at $|\op{Aut} M| \cdot |\op{Aut} N|$ haben.
Das liefert f"ur alle $X \in \mathcal I$ die Formel
\begin{equation*}
|E_{M,N} (X)| = c_{M,N}^X \cdot
|\op{Aut} M| \cdot |\op{Aut} N|
\end{equation*}
aus der die Proposition dann unmittelbar folgt.
\end{proof}


\subsection{Funktionen auf Mengen, NEU}\label{FuFFN}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erkl"aren den Funktor
  $\op{M}_!:\op{Ens}\ra \op{Ab}$
  durch die Vorschrift, da"s er jeder Menge
   die Gruppe
$ \op{M}_! (X)$
   aller Abbildungen mit endlichem Tr"ager $X\ra \DZ$ zuordnet
   und jeder Abbildung $f:X\ra Y$ die Summation "uber die Fasern
   $f_!:\op{M}_!(X)\ra \op{M}_!(Y)$. Wir denken uns diese Abbildungen
   als Ma"se und notieren $\delta_x$ die charakteristische Funktion von $x\in X$ alias das entsprechende Diracma"s. Unser Gruppenhomomorphismus
   $f_!$ ist in dieser Sprache das direkte
   Bild von Ma"sen, gegeben durch $f_!\delta_x=\delta_{f(x)}$.
   Wie in \eref{skfh}{TS} erkl"art wird, erhalten wir auf diese Weise
   einen
   mit universellen Verschmelzungen vertr"aglichen Schmelzfuntor
   $$\op{M}_!:\op{kEns}\ra \op{Ab}$$
   Er ordnet jedem Monoidobjekt $G$ ein Monoidobjekt $\op{M}_!(G)$ zu,
   das auch als  Monoidring bezeichnet und
   $\DZ G$ notiert wird. In \eref{dikj}{TS} wird erkl"art,
   wie man daraus den Trennfunktor der Funktionenr"aume
   $$\op{F}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$$
   erhalten kann,
   der aber seinerseits nicht in voller Allgemeinheit
   mit universellen Trennungen
   vertr"aglich ist.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Funktionen auf Mengen}\label{FuFFn}

\begin{Bemerkungl}
Dieser Abschnitt ist nur zum Aufw"armen gedacht.
Wir verallgemeinern darin \ref{FuFF} von endlichen Mengen
auf beliebige Mengen.
Gegeben eine Menge $X$ betrachten wir die Gruppen
$$ \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\subset \op{Ens} (X, \mathbb Z)$$
aller Abbildungen mit endlichem Tr"ager und "uberhaupt aller Abbildungen
jeweils
mit Werten in den ganzen Zahlen.
Die Gruppe $\op{Ens} (X, \mathbb Z)$ ist unter der punktweisen 
Multiplikation ein Ring und $ \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)$ ist darin ein Ideal.
Allgemeiner gilt f"ur beliebige $\varphi,\psi\in \op{Ens} (X, \mathbb Z)$
die
Formeln
$\op{supp}(\varphi\psi)=\op{supp}\varphi \cap \op{supp}\psi$
f"ur  $\op{supp} \eta$ der Tr"ager einer Funktion $\eta$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 F"ur jede Abbildung
  $f: X \rightarrow Y$ von  Mengen liefert 
das Vorschalten von $f$ einen Ringhomomorphismus
 $$
  f^\ast:  \op{Ens} (Y, \mathbb Z) \ra
    \op{Ens} (X,\mathbb Z)
  $$
Er wird in Formeln gegeben durch 
$f^\ast (\varphi) \pdef \varphi \circ f$ und wir haben
$\op{supp}f^\ast (\varphi)=f^{-1}(\op{supp}\varphi)$. 
In der Gegenrichtung erhalten  wir einen Gruppenhomomorphismus 
$$ f_!:  \op{Ens}_! (X, \mathbb Z) \ra
    \op{Ens}_! (Y,\mathbb Z)
 $$
    durch die Vorschrift
    $(f_!  (\psi))(y) \pdef \sum_{x \in f^{-1} (y)} \psi (x)$. Wir nennen ihn die 
{\bf Integration "uber die Fasern}\index{Integration!"uber die Fasern} 
  oder 
etwas weniger hochtrabend die {\bf  Summa\-tion "uber die Fasern}.
F"ur den Tr"ager 
 gilt $\op{supp}f_! (\psi)\subset f(\op{supp}\psi)$. 
%   \begin{displaymath}
%     \op{Ens} (X, \mathbb Z) \begin{array}{c}f_{!}\\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array}
%     \op{Ens} (Y,\mathbb Z)
%   \end{displaymath}
Hat $f$ endliche Fasern, so liefern dieselben Formeln auch Abbildungen
$$
  f^\ast:  \op{Ens}_! (Y, \mathbb Z) \ra
    \op{Ens}_! (X,\mathbb Z)
\quad\text{ und }\quad
 f_!:  \op{Ens} (X, \mathbb Z) \ra
    \op{Ens} (Y,\mathbb Z).
 $$
Noch allgemeiner ist $f_!  (\psi)$  definiert, wann immer
die Einschr"ankung der Abbildung  
$f$ auf den Tr"ager von $\psi$ endliche Fasern hat,
und dann gilt wie zuvor $\op{supp}f_! (\psi)\subset f(\op{supp}\psi)$.
Genauer setzen wir f"ur eine Abbildung $f:X\ra Y$ in Formeln 
$$\op{Ens}_f (X,\mathbb Z)\pdef\{\varphi\in \op{Ens} (X,\mathbb Z)\mid
|(\op{supp} \varphi)\cap f^{-1}(y)|<\infty \quad\forall y\in Y\}$$
Dann ist $\op{Ens}_f (X,\mathbb Z)\subset \op{Ens} (X,\mathbb Z)$
eine Untergruppe und $f_!$ liefert einen Gruppenhomomorphismus
$f_!: \op{Ens}_f (X,\mathbb Z)\ra 
\op{Ens}(Y,\mathbb Z)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben Mengen und Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ 
 haben wir stets $(g \circ f)^\ast = f^\ast \circ
  g^\ast$.
Wir  haben auch $(g\circ f)_!(\psi) = g_! ( f_!(\psi))$
f"ur alle $\psi\in  \op{Ens}_{g\circ f} (X,\mathbb Z)$.
 In kartesischen Diagrammen von Mengen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{\kart
Z \ar[r]^-{p} \ar[d]_-{g}& X \ar[d]^-{f}\\
W \ar[r]_-{q} & Y
}
\end{displaymath}
gilt schlie"slich
die {\bf Basiswechselformel}\index{Basiswechselformel} 
$q^\ast ( f_! (\psi))= g_!( p^\ast(\psi))$ f"ur alle
Funktionen $\psi\in \op{Ens}_f (X,\mathbb Z)$, also
wann immer
die Restriktion $f: \op{supp}\psi\ra Y$ endliche Fasern hat.\label{PrFF}
F"ur jede Abbildung $f:X\ra Y$  gilt weiter die
{\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel} 
$f_!(f^\ast(\varphi)\psi)=\varphi f_!(\psi)$
mit  beliebigen $\varphi\in \op{Ens} (Y, \mathbb Z)$
und 
$\psi\in \op{Ens}_f (X, \mathbb Z)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Das Produkt von Matrizen mit  
h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen 
Eintr"agen
$$\op{Ens}_!(X\times Y,\DZ)\times \op{Ens}_!(Y\times Z,\DZ)\ra 
\op{Ens}_!(X\times Z,\DZ)$$
erh"alt in diesem Formalismus die Gestalt $A\circ B=
\op{pr}_{13!}(\op{pr}_{12}^\ast(A) \op{pr}_{23}^\ast(B))$ 
f"ur $\op{pr}_{13}:X\times Y\times Z\ra X\times  Z$ die
Projektion auf die beiden "au"seren Faktoren 
und analog zu verstehende $\op{pr}_{12}, \op{pr}_{23}$. 
Im  Fall von Matrizen
mit  h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen 
Eintr"agen haben wir Gl"uck, da"s 
das Produkt 
$\op{pr}_{12}^\ast(A) \op{pr}_{23}^\ast(B)$ stets 
wieder endlichen Tr"ager hat,
obwohl
das f"ur $\op{pr}_{12}^\ast(A)$ und $ \op{pr}_{23}^\ast(B)$ ja keineswegs gilt. 
Im  Fall von Matrizen
mit m"oglicherweise unendlich vielen von Null verschiedenen 
Eintr"agen ist das im allgemeinen  falsch.
Wenn wir jedoch Matrizen mit h"ochstens endlich vielen Eintr"agen
in jeder Spalte betrachten, so gilt 
$\op{pr}_{12}^\ast(A) \op{pr}_{23}^\ast(B)\in 
\op{Ens}_{\op{pr}_{13}}(X\times Y\times Z)$ und
unsere Formeln liefern  eine Abbildung
$$\op{Ens}_{\op{pr}_1}(X\times Y,\DZ)
\times \op{Ens}_{\op{pr}_1}(Y\times Z,\DZ)\ra 
\op{Ens}_{\op{pr}_1}(X\times Z,\DZ)$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
 Wir betrachten nun die einpunktige Menge $\op{ens}$  und das Auswerten
  $$\op{Wert} : \op{Ens} (\op{ens}, \mathbb Z) \sira \mathbb Z$$
Wir betrachten weiter auf der einpunktigen Menge  die
  konstante Funktion $\underline{\op{ens}}$ mit dem Wert Eins.
  Gegeben eine endliche Menge $X$  
betrachten wir die konstante Abbildung $c = c_X : X
  \rightarrow \op{ens}$ und bezeichnen mit $\underline{X}\pdef c_X^\ast\underline{\op{ens}}$ die konstante Funktion Eins auf $X$.
Dann k"onnen die Kardinalit"at von $X$ 
schreiben als
$$ |X| = \op{Wert} (c_! \underline{X})= \op{Wert} (c_!c^\ast
  \underline{\op{ens}})$$ 
F"ur $f:X\ra Y$ eine Abbildung mit endlichen Fasern und 
 $i_y :
  \op{ens} \hookrightarrow Y$ die Einbettung mit Bild $y\in Y$ 
und $X_y = f^{-1} (y)$ die Faser "uber $y$ und $j:X_y\hra X$ ihre Einbettung 
nach $X$ haben wir feiner
 $$\op{Wert } (i_y^\ast f_! \underline{X})
= \op{Wert } (c_!j^\ast  \underline{X})
  = |X_y|$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Erkl"aren wir f"ur eine beliebige Menge $X$  eine Paarung
$\op{Ens} (X, \mathbb Z)\times \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\;\ra\;\DZ$
durch die Formel $(\varphi,\eta)\mapsto \langle \varphi,\eta\rangle
\pdef \op{Wert} (c_!(\varphi\eta)),$ so ist
$f^\ast$ adjungiert zu $f_!,$ in Formeln
$$\langle f^\ast\varphi,\psi\rangle=\langle \varphi,f_!\psi\rangle$$ 
Das ist leicht zu sehen und folgt  formal
auch unmittelbar aus der Projektionsformel \ref{PrFF}, 
die ihrerseits als eine \glqq relative Version\grqq\  dieser Adjunktion
aufgefa"st werden kann.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
% Weiter ist $f^\ast$ stets ein Ringhomomorphismus und 
% f"ur $f$ mit endlichen Fasern gilt die
% {\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel} 
% $f_!(f^\ast(\varphi)\psi)=\varphi f_!(\psi)$
% f"ur $f:X\ra Y$ und beliebige $\varphi\in \op{Ens} (X, \mathbb Z)$
% und $\psi\in \op{Ens} (Y, \mathbb Z)$.
% Erkl"aren wir $\op{Ens}_! (Y, \mathbb Z)$ als die Menge aller Abbildungen
% mit endlichem Tr"ager, so ist sogar f"ur eine beliebige Abbildung
% $f:X\ra Y$ das direkte Bild 
% $f_!:\op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\ra \op{Ens}_! (Y, \mathbb Z)$
% wohldefiniert, aber nur noch f"ur Abbildungen $f$ mit
% endlichen Fasern das Zur"uckholen
% $f^\ast:\op{Ens}_! (Y, \mathbb Z)\ra \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)$.
% Erkl"aren wir die Paarung
% $$\op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\times \op{Ens} (X, \mathbb Z)\;\ra\;\DZ$$ 
% durch $(\varphi,\psi)\mapsto \langle \varphi,\psi\rangle
% \pdef \op{Wert} (c_!(\varphi\psi)),$ so ist
% $f^\ast$ adjungiert zu $f_!,$ in Formeln
% $$\langle f^\ast\varphi,\psi\rangle=\langle \varphi,f_!\psi\rangle$$  
Erkl"aren wir f"ur $f\in \op{Ens} (X, \mathbb Z)$ und 
$g\in \op{Ens} (Y, \mathbb Z)$ die Funktion
$(f\boxtimes g)\in \op{Ens} (X\times Y, \mathbb Z)$ als
das Produkt der mittels der Projektionen zur"uckgeholten Funktionen,
so erhalten wir durch die Vorschrift $f\otimes g\;\mapsto \;f\boxtimes g$
 einen Isomorphismus 
$$ \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\otimes \op{Ens}_! (Y, \mathbb Z)
\;\;\sira\;\; \op{Ens}_! (X\times Y, \mathbb Z)$$
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkunge}
% Erkl"aren wir f"ur $f\in \op{Ens} (X, \mathbb Z)$ und 
% $g\in \op{Ens} (Y, \mathbb Z)$ die Funktion
% $(f\boxtimes g)\in \op{Ens} (X\times Y, \mathbb Z)$ als
% das Produkt der mittels der Projektionen zur"uckgeholten Funktionen,
% so erhalten wir einen Isomorphismus 
% $$ \op{Ens}_! (X, \mathbb Z)\otimes \op{Ens}_! (Y, \mathbb Z)
% \;\;\sira\;\; \op{Ens}_! (X\times Y, \mathbb Z)$$
% durch die Vorschrift $f\otimes g\;\mapsto \;f\boxtimes g$.
% \end{Bemerkunge}



\subsection{Gruppoidkardinalit"at}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern, da"s man unter einem  Gruppoid eine Kategorie versteht, in der
s"amtliche Morphismen Isomorphismen sind. Jedes Gruppoid ist "aquivalent
zu einem Gruppoid mit nur einem Objekt in jeder Isomorphieklasse, und ein
derartiges Gruppoid anzugeben l"auft darauf hinaus, eine Familie von
Gruppen anzugeben, eben die Familie der Automorphismengruppen seiner Objekte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{ptGG}
 Operiert eine  Gruppe $G$ auf einer  Menge $X$,
so bilden wir das zugeh"orige 
{\bf Wirkungsgruppoid}\index{Wirkungsgruppoid} 
 $X_G$ mit den Punkten $x \in X$ als
Objekten und den Mengen 
$X_G (x,y) \pdef \{g \in G \mid gx =y\}$ als Morphismenmengen,
paarweise disjunkt gemacht etwa durch Darankreuzen des Paares $(x,y)$.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
 Unter einem {\bf endlichen Gruppoid} verstehen 
wir ein Gruppoid mit endlich vielen Objekten und endlich vielen 
Morphismen.\index{endlich!Gruppoid}\index{Gruppoid!endliches} 
Ein Gruppoid, das zu einem endlichen Gruppoid "aquivalent ist, nennen wir
{\bf pseudoendlich}.\index{pseudoendlich!Gruppoid}\index{Gruppoid!pseudoendliches} 
\end{Definition}

\begin{Definition}
 Gegeben ein pseudoendliches Gruppoid $\mathcal G$  versteht man mit 
John Baez unter seiner
\defind{Gruppoid-Kardinalit"at} die rationale Zahl $\|\mathcal G\|\in \DQ,$
die man erh"alt als die Summe "uber alle 
Isomorphieklassen des Kehrwerts der Kardinalit"at
der Automorphismengruppe eines Vertreters, in Formeln
\begin{equation*}
 \|\mathcal G\| := \sum_{x \in \mathcal G / \cong} \frac{1}{|\mathcal G (x)|}
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierung der Gruppoid-Kardinalit"at}]
 Ich will im folgenden erkl"aren, warum diese Definition vern"unftig ist.
Zun"achst einmal hat unsere Gruppoidkardinalit"at die Eigenschaft, da"s als
Kategorien "aquivalenten Gruppoiden dieselbe Kardinalit"at zugeordnet wird,
in Formeln
\begin{equation*}
\mathcal G \cong \mathcal H \quad\Rightarrow \quad \|\mathcal G\| = \| \mathcal H\|
\end{equation*}
Dann gilt f"ur die disjunkte Vereinigung $\mathcal G \amalg \mathcal H$
zweier Gruppoide $\mathcal G, \mathcal H$ die Formel
\begin{equation*}
 \|\mathcal G \amalg \mathcal H\| = \|\mathcal G\| + \|\mathcal H\|
\end{equation*}
Ist weiter $\mathcal G \rightarrow \mathcal B$ 
ein Gruppoidfunktor im Sinne von \ref{GruFF} von pseudoendlichen
Gruppoiden  und haben alle seine 
Fasern im Sinne von \ref{FMC}  dieselbe Gruppoidkardinalit"at
$\|\mathcal G_b\| \in \mathbb Q$, so gilt f"ur ein 
und jedes Objekt der Basis $b \in \mathcal B$
die Identit"at
\begin{equation*}
 \|\mathcal G\| = \|\mathcal B\| \cdot \|\mathcal G_b\|
\end{equation*}
Und schlie"slich hat die terminale Kategorie 
$\op{cat}$ mit einem Objekt und einem
Morphismus die Gruppoidkardinalit"at
\begin{equation*}
 \|{\op{cat}}\| = 1
\end{equation*}
Umgekehrt legen diese vier Bedingungen unsere 
Gruppoidkardinalit"at auch bereits
eindeutig fest: In der Tat ist jedes endliche 
Gruppoid "aquivalent zu einer
endlichen Vereinigung von Gruppoiden mit nur 
einem Objekt, dessen Automorphismen
dann eine endliche Gruppe $G$ bilden. Es reicht also, die Behauptung  
in den Notationen von \ref{ptGG} f"ur
alle  Gruppoide $\op{ens}_G$
zu zeigen.  F"ur diese Gruppoide
ist jedoch der offensichtliche Funktor
$
 G_G \rightarrow \op{ens}_G
$
ein Gruppoidfunktor mit der diskreten Kategorie $G$ als Faser.
Wir folgern
$
\|G_G\| = \|\!\op{ens}_G\!\| \cdot \|G\|,
$
und weil $G_G$ zur terminalen Kategorie  $\op{cat}$ "aquivalent ist, 
folgt $1 = \|\!\op{ens}_G\!\| \cdot
\|G\|$.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Funktionen auf Gruppoiden}\label{CaFFn}
\begin{Bemerkungl}
  Wir verallgemeinern nun den Funktionenkalk"ul 
\ref{FuFFn} von Mengen auf Gruppoide.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
 Eine {\bf Funktion auf einem Gruppoid $X$ mit Werten in einer
   Menge $M$}\index{Funktion!auf Gruppoid}
 ist eine Abbildung $\op{Ob} X \rightarrow M$, die
konstant ist auf Isomorphieklassen. Das ist nichts anderes als ein
Funktor von $X$ in die diskrete Kategorie $M$. Wir 
m"ussen also keine neue Notation erfinden und k"onnen die
Gesamtheit aller solcher Funktionen nach \ref{GsKK} notieren als
\begin{equation*}
 \op{Cat} (X, M)
\end{equation*}
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Gruppoid $X$ betrachten wir die Gruppen, ja $\DQ$-Vektorr"aume
$$ \op{Cat}_! (X, \mathbb Q)\subset \op{Cat} (X, \mathbb Q)$$
aller $\DQ$-wertigen Funktionen mit pseudoendlichem Tr"ager
beziehungsweise "uberhaupt aller $\DQ$-wertigen Funktionen.
Die Gruppe $\op{Cat} (X, \mathbb Q)$ ist unter der punktweisen 
Multiplikation ein Ring, und $ \op{Cat}_! (X, \mathbb Q)$ ist darin ein Ideal.
Allgemeiner definieren wir den Tr"ager $\op{supp}\varphi$ von $\varphi$ 
und finden
$\op{supp}(\varphi\psi)=\op{supp}\varphi \cap \op{supp}\psi$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 F"ur jeden Funktor
  $f: X \rightarrow Y$ von  Gruppoiden liefert 
das Vorschalten von $f$ einen Ringhomomorphismus
 $$
  f^\ast:  \op{Cat} (Y, \mathbb Q) \ra
    \op{Cat} (X,\mathbb Q)
  $$
 in Formeln gegeben durch 
$f^\ast (\varphi) \pdef \varphi \circ f,$
mit $\op{supp}f^\ast (\varphi)=f^{-1}(\op{supp}\varphi)$.
In der Gegenrichtung erhalten  wir einen Gruppenhomomorphismus 
$$ f_!:  \op{Cat}_! (X, \mathbb Q) \ra
    \op{Cat}_! (Y,\mathbb Q)
 $$
mit dem Namen \glqq Integration "uber die Fasern\grqq\  oder 
etwas weniger hochtrabend \glqq Summa\-tion "uber die Fasern\grqq.
Wir beginnen diese Definition mit dem Spezialfall, da"s $Y$ 
die terminale Kategorie ist.
Gegeben eine Funktion $\varphi \in \op{Cat} (X, \DQ)$ zerf"allt ja 
$X$ in die disjunkte Vereinigung der Gruppoide $\varphi^{-1} (r)$ "uber
$ r \in \DQ$, und f"ur $c : X \rightarrow \op{cat}$ 
den konstanten Funktor
in die terminale Kategorie erkl"aren wir $c_! \varphi$ schlicht 
als die Funktion mit dem
Wert
\begin{equation*}
 (c_! \varphi)(\op{cat})=\int_{X} \varphi\pdef 
\sum_{r \in \DQ} \varphi (r) \| \varphi^{-1} (r)\|
\end{equation*}
auf dem einzigen Objekt und $\|\varphi^{-1} (r)\|$ der Gruppoidkardinalit"at des
Gruppoids $\varphi^{-1} (r)$.
Damit erhalten wir insbesondere %$\int_{X} 1 = \|X\|$ 
$\int_{X} 1 = \|X\|$ 
wie es sich geh"ort.
Um $f_!$ f"ur allgemeinere Funktoren zu erkl"aren, m"ussen wir zun"achst 
$2$-Faserprodukte diskutieren.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{2-Faserprodukt von Kategorien}]
Ist wie in \ref{KSFK}\label{KSFKn} ganz allgemein 
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \mathcal A \ar[dr]^F& & \ar[dl]_G\mathcal B\\
      &\mathcal C&
    }
  \end{displaymath}
  ein Winkeldiagramm von Kategorien und Funktoren, so konstruiert man eine
  neue Kategorie
  \begin{equation*}
    \mathcal A \times^2_{\mathcal C} \mathcal B
  \end{equation*}
  mit Objekten Tripeln $(A, B, i)$ bestehend aus einem Objekt $A \in \mathcal
  A$, einem Objekt $B \in \mathcal B$ und einem Isomorphismus $i : F(A)
  \overset{\sim}{\rightarrow} G (B)$.  Morphismen in dieser neuen 
Kategorie von
  $(A,B, i)$ nach $(A^\prime, B^\prime, i^\prime)$ sind 
per definitionem Paare von Morphismen $(f,g)$ mit $f:
  A \rightarrow A^\prime$ und $g: B \rightarrow B^\prime$ derart, da"s 
 das Diagramm  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      F(A) \ar[r]^-{i}\ar[d]_-{Ff} & G(B) \ar[d]^-{Gg}\\
      F(A^\prime)\ar[r]^-{i^\prime}&G(B^\prime)
    }
  \end{displaymath}
 kommutiert. Diese Kategorie hei"st  das
{\bf 2-Faserprodukt}\index{Faserprodukt@2-Faserprodukt!von Kategorien}
unserer beiden Kategorien $\mathcal A$ und $\mathcal B$ "uber 
$\mathcal C$ und hat zusammen mit geeigneten weiteren Daten
auch eine universelle Eigenschaft, die ich jedoch hier 
nicht ausbuchstabieren will. Ich will jedoch darauf hinweisen,
da"s es sich nicht einfach nur um ein
Faserprodukt in der Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien handelt:
Das w"are vielmehr die Kategorie 
$\mathcal A \times_{\mathcal C} \mathcal B$ mit Objekten Paaren
$(A,B)$ mit $F(A)=G(B)$ und den hoffentlich offensichtlichen Morphismen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Ist $\op{ens}_G$ das Wirkungsgruppoid einer Gruppe $G,$ die auf einem
einpunktigen Raum wirkt, so w"are das 2-Faserprodukt des
einpunktigen Gruppoids $\op{cat}$ mit sich selbst "uber 
  $\op{ens}_G$ die Menge $G,$ aufgefa"st als diskrete Kategorie. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
In der relativen Version eines Funktors $f: X \rightarrow 
Y$ 
erkl"aren wir nun
zun"achst die {\bf $2$-Faser}\index{Faser@$2$-Faser!eines Funktors} 
$f^{-2}(y)$ "uber einem Objekt $y\in Y$
als das 
$2$-Faserprodukt
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{cat}\times^2_{Y} X\ar[d] \ar[r]^-{\tilde{y}} 
& X \ar[d]^-{f}\\
\op{cat} \ar[r]^-{y} & Y
}
\end{displaymath}
im Sinne von \ref{KSFKn} und setzen also 
$f^{-2}(y)\pdef \op{cat}\times^2_{Y} X$.
Explizit sind Objekte der $2$-Faser Paare
$(x,i)$ aus einem Objekt $x\in X$ und einem Isomorphismus
$i: f(x)\sira y,$ und ein Morphismus
in der $2$-Faser  $k:(x,i)\ra (x',i')$ ist ein Morphismus $k:x\ra x'$ in $X$ mit
der Eigenschaft $i=i'\circ f(k)$.
Gegeben ein Funktor von Gruppoiden $f: X \rightarrow 
Y$ 
erkl"aren wir dann f"ur $\varphi\in \op{Cat}_! (X, \DQ)$
den Wert von $(f_! \varphi)$ an 
einer Stelle
$y \in Y$ 
als Integral unserer Funktion "uber die $2$-Faser, in Formeln 
\begin{equation*}
 (f_! \varphi)(y) 
= \int_{f^{-2}(y)} {\tilde y }^\ast (\varphi)
\end{equation*}
F"ur den Tr"ager  gilt offensichtlich 
$\op{supp}f_! (\psi)\subset f(\op{supp}\psi)$.
%   \begin{displaymath}
%     \op{Cat} (X, \mathbb Q) \begin{array}{c}f_{!}\\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array}
%     \op{Cat} (Y,\mathbb Q)
%   \end{displaymath}
Hat $f$ pseudoendliche $2$-Fasern, so liefern dieselben Formeln auch Abbildungen
$$
  f^\ast:  \op{Cat}_! (Y, \mathbb Q) \ra
    \op{Cat}_! (X,\mathbb Q)
\qquad\text{ und }\qquad
 f_!:  \op{Cat} (X, \mathbb Q) \ra
    \op{Cat} (Y,\mathbb Q).
 $$
Noch allgemeiner ist $f_!  (\psi)$  definiert, wann immer
die Einschr"ankung der Abbildung  
$f$ auf den Tr"ager von $\psi$ pseudoendliche $2$-Fasern hat,
und dann gilt wie zuvor $\op{supp}f_! (\psi)\subset f(\op{supp}\psi)$.
Genauer setzen wir f"ur $f:X\ra Y$  einen Funktor von Gruppoiden
$$\op{Cat}_f (X,\mathbb Q)\pdef\{\varphi\in \op{Cat} (X,\mathbb Q)\mid
(\op{supp} \varphi)\cap f^{-2}(y)\text{ pseudoendlich } \forall y\in Y\}$$
Dann  ist $\op{Cat}_f (X,\mathbb Q)\subset \op{Cat} (X,\mathbb Q)$
eine Untergruppe und $f_!$ liefert einen Gruppenhomomorphismus
$f_!: \op{Cat}_f (X,\mathbb Q)\ra 
\op{Cat}(Y,\mathbb Q)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
 Gegeben eine  Gruppe $G$ und eine 
$G$-Menge $X$ mit zugeh"origem Gruppoid $X_G$ nach 
\ref{ptGG}
haben wir per 
definitonem $\op{Ens}^{G} (X,\DQ) = \op{Cat} (X_G,\DQ)$. 
Die Funktionen auf dem Gruppoid $X_G$ sind also dasselbe wie $G$-invariante
Funktionen auf $X$.
Gegeben eine $G$-"aquivariante Abbildung 
in eine weitere  $G$-Menge $f: X \rightarrow Y$ 
wird $f_!$ die "ubliche Integration
l"angs der Fasern
\begin{equation*}
 (f_! \varphi) (y) = \sum_{f(x) =y} \varphi (x)
\end{equation*}
Ist dahingegen $a: H \rightarrow G$ ein Homomorphismus von endlichen
Gruppen  und
$f : X_H \rightarrow X_G$ der zugeh"orige Funktor von Gruppoiden, so
ergibt sich $$( f_! \varphi)(x) = \frac{1}{|H|} \sum_{g\in G} \varphi (gx)$$
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Mitteln "uber eine Gruppenwirkung}]
  Ist $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe von endlichem Index 
  und $X$ eine $H$-Menge, so ist die Einbettung $x\mapsto [1,x]$
  von $X$ in das balancierte Produkt
  $G\times_H X$ eine "Aquivalenz $X_H\sirra (G\times_H X)_G$
  der zugeh"origen Wirkungsgruppoide.
  Ist $X$ sogar eine $G$-Menge, so kann das Mitteln einer
  $H$-invarianten Funktion $\varphi\in\op{Ens}^H(X,\DQ)$ zur
  $G$-invarianten Funktion $\psi(x)\pdef |H|^{-1}\sum_{g\in G}\varphi(gx)$
  verstanden als das Hochziehen von $\op{Cat}(X_H,\DQ)$ nach
  $\op{Cat}((G\times_H X)_G,\DQ)$
  gefolgt vom Herunterdr"ucken unter der $G$-"aquivarianten Wirkungsabbildung
  $G\times_H X\ra X$ alias dem entsprechenden Funktor
  $(G\times_H X)_G\ra X_G$. In diesem Fall k"onnten wir auch mit
  $\DZ$-wertigen Funktionen arbeiten. Ich habemir nicht genau "uberlegt,
  wie allgemein das ginge. Na ja, beim Zur"uckziehen geht es eh, und beim
  Herunterdr"ucken geht es eben dann, wenn die $2$-Fasern "aquivalent
  zu Mengen alias diskreten Kategorien sind.
\end{Beispiel}





\begin{Bemerkungl}
 Existiert zwischen zwei Funktoren eine Isotransformation, so liefern
sie dieselben Abbildungen auf Funktionen. Insbesondere 
liefern unsere Abbildungen im Fall einer "Aquivalenz von
Gruppoiden zueinander inverse Bijektionen.
 Um die im folgenden 
behaupteten Tatsachen zu beweisen, darf man sich 
also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es in unseren
Gruppoiden in jeder Isomorphieklasse nur ein Objekt gibt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{Bgrr}
Wir haben stets $(f \circ g)^\ast = g^\ast \circ
  f^\ast,$
und wann immer die fraglichen Abbildungen 
wohldefiniert sind gilt auch
$(f\circ g)_! = f_! \circ g_!$.  
In $2$-Faserprodukt-Diagrammen 
von Gruppoiden
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X\times_Y^2 W \ar[r]^-{p} \ar[d]_-{g}& X \ar[d]^-{f}\\
W \ar[r]_-{q} & Y
}
\end{displaymath}
  gilt die {\bf Basiswechselformel}\index{Basiswechselformel} 
$q^\ast ( f_! (\psi))= g_!( p^\ast(\psi))$ f"ur alle
$\psi\in \op{Cat}_f (X,\mathbb Q)$ alias
wann immer
die Restriktion $f: \op{supp}\psi\ra Y$ pseudoendliche $2$-Fasern hat.
Dasselbe gilt allgemeiner f"ur  alle Diagramme der gegebenen
quadratischen Gestalt, die sich durch "Aquivalenzen von Kategorien und 
Isotransformationen auf derartige Diagramme zur"uckf"uhren lassen,
insbesondere also f"ur alle sogenannten \glqq $2$-kartesischen\grqq\  
Diagramme.
Besonders "ubersichtlich wird die Argumentation, wenn man sich zun"achst 
auf den Fall beschr"ankt, da"s es in unseren Kategorien in jeder 
Isomorphieklasse nur ein Objekt gibt: Dann sind n"amlich 
unsere $2$-Faserprodukte "aquivalent zu echten Faserprodukten in der 
Kategorie der Kategorien $\op{Cat}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{PrFFc}
F"ur einen beliebigen Funktor von Gruppoiden $f:X\ra Y$  gilt weiter die
{\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel} 
$f_!(f^\ast(\varphi)\psi)=\varphi f_!(\psi)$
mit  beliebigen $\varphi\in \op{Cat} (Y, \mathbb Q)$
und $\psi\in \op{Cat}_! (X, \mathbb Q)$ oder noch allgemeiner
$\psi\in \op{Cat}_f (X, \mathbb Q)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{PaQQ}
  Das Auswerten am einzigen Objekt der terminalen Kategorie $\op{cat}$
  notieren wir $\op{Wert}: \op{Cat} (\op{cat}, \DQ)\sira \DQ$. Die konstante
  Funktion Eins auf der terminalen Kategorie $\op{cat}$ notieren wir
  $\underline{\op{cat}}\in \op{Cat} (\op{cat}, \DQ)$.
Erkl"aren wir eine Paarung
$\op{Cat} (X, \mathbb Q)\times \op{Cat}_! (X, \mathbb Q)\;\ra\;\DQ$
durch die Formel $(\varphi,\eta)\mapsto \langle \varphi,\eta\rangle
\pdef \op{Wert} (c_!(\varphi\eta)),$ so ist
$f^\ast$ adjungiert zu $f_!,$ in Formeln
$$\langle f^\ast\varphi,\psi\rangle=\langle \varphi,f_!\psi\rangle$$ 
Das ist leicht zu sehen und folgt  formal
auch unmittelbar aus der Projektionsformel \ref{PrFF}, 
die ihrerseits als eine \glqq relative Version\grqq\  dieser Adjunktion
aufgefa"st werden kann.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Erkl"aren wir f"ur $f\in \op{Cat} (X, \mathbb Q)$ und 
$g\in \op{Cat} (Y, \mathbb Q)$ die Funktion
$(f\boxtimes g)\in \op{Cat} (X\times Y, \mathbb Q)$ als
das Produkt der mittels der Projektionen zur"uckgeholten Funktionen,
so erhalten wir durch die Vorschrift $f\otimes g\;\mapsto \;f\boxtimes g$
 einen Isomorphismus 
$$ \op{Cat}_! (X, \mathbb Q)\otimes \op{Cat}_! (Y, \mathbb Q)
\;\;\sira\;\; \op{Cat}_! (X\times Y, \mathbb Q)$$
\end{Bemerkungl}

\subsection{Hall-Algebren durch Funktionen auf Gruppoiden}\label{HFGr}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hall-Multiplikation von Funktionen auf Gruppoiden}]
Wir erinnern nun die Beschreibung der Hall-Multiplikation aus \cite{BHW}.
  Sei  $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal
  A^\times$ das Gruppoid mit den Isomorphismen von $\mathcal A$ als
  Morphismen. Sei weiter $\mathcal A^{\subset}$ die Kategorie aller injektiven
  Morphismen $\mathcal A^{\subset} = \{ U \hookrightarrow V \mid U, V \in
  \mathcal A\}$.  Wir betrachten das Diagramm von Kategorien und Funktoren
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      &\mathcal A&  \\
      &\mathcal A^{\subset}\ar[u]^-{t} \ar[dl]_-{u}\ar[dr]^q& \\
      \mathcal A & & \mathcal A 
    } \qquad\qquad\xymatrix{
      & V & \\
      &\ar@{|->}[dl] (U \hookrightarrow V) \ar@{|->}[u] 
      \ar@{|->}[dr]&\\
      U & &V/U
    }
  \end{displaymath}
Ist $\mathcal A$ unterobjektendlich, so 
   hat der von $t$ auf den entsprechenden Gruppoidkategorien
  induzierte Funktor pseudoendliche $2$-Fasern.  Wir k"onnen also % die
%   Hall-Algebra von $\mathcal A$ erkl"aren als die $\mathbb Q$-Algebra
%   $\mathcal H_{\mathcal A} \pdef
eine $\DQ$-bilineare Verkn"upfung auf 
  $\op{Cat} (\mathcal A^\times, \mathbb Q)$
erkl"aren durch die Vorschrift  
$\varphi \cdot \psi = t_! \left( (u^\ast \varphi) \cdot
    (q^\ast \psi)\right)$ f"ur $t, u, q$ die zwischen den jeweils zugeh"origen
  Gruppoid-Ka\-te\-gorien induzierten Funktoren.  
Das Produkt $\langle  M \rangle^\ast 
   \cdot \langle  N \rangle^\ast $ der 
charakteristischen Funktionen der
  Isomorphieklassen von $M$ und $N$ ist dann
  \begin{equation*}
    \langle  M \rangle^\ast  \cdot \langle  N \rangle^\ast  = \sum_{X\in \mathcal A/\cong} c^X_{M,N} \langle  X \rangle^\ast 
  \end{equation*}
  mit $c^X_{M,N} = \op{card} \{ U \subset X \mid U \cong M,\; X/U \cong N\}$
  wie zuvor, denn die $2$-Faser "uber $X$ geschnitten mit dem Tr"ager von
  $(u^\ast \langle  M \rangle^\ast ) 
\cdot (q^\ast \langle  N \rangle^\ast )$ ist als
  Gruppoid "aquivalent zur Kategorie aller Monomorphismen $U\hra X$ mit $U$
  isomorph zu $M$ und Kokern isomorph zu $N,$ wobei die Morphismen von
  $i:U\hra X$ nach $i':U'\hra X$ alle $f:U\ra U'$ sind mit $i'\circ f=i$.
Ist dahingegen  $\mathcal A$ finit"ar, so hat 
$(u\times q): \mathcal A^{\subset\times}\ra 
\mathcal A^{\times}\times \mathcal A^{\times}$ pseudoendliche $2$-Fasern,
$\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)$ hat als Basis die
charakteristischen Funktionen 
seiner Isomorphieklassen, und die
Komposition
$$
  \begin{array}{ccccc}
\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q) \otimes_{\mathbb Q} 
\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)&&&&\\
\da\wr&&&&\\
   \op{Cat}_!(\mathcal A^\times \times \mathcal A^\times, \mathbb Q)  &
 \overset{(u\times q)^\ast}{\longrightarrow}   & \op{Cat}_!
    (\mathcal A^{\subset\times} , \mathbb Q)& \overset{t_!}{\rightarrow}& 
    \op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)
    \\
   \end{array}
$$
entspricht unserer  Hall-Multiplikation aus \ref{HoAl} 
unter dem Isomorphismus 
$\mathcal{H}_{\mathcal A}\sira \op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q),$
der $\langle  M \rangle^\ast\in \mathcal{H}_{\mathcal A}$  
auf die charakteristische Funktion
der Isomorphieklasse von $M$ abbildet, die wir ja auch bereits 
mit $\langle  M \rangle^\ast$ bezeichnet hatten.
 Die Assoziativit"at der Hall-Algebra kann man auch in diesem Formalismus
  einsehen, das Argument scheint mir aber weniger transparent als unser
  erstes Argument. Da es sich besser verallgemeinern l"a"st, erkl"are ich es
  dennoch, aber erst in \ref{AHAh}.
% Im "ubrigen reicht f"ur unsere Konstruktion einer Multiplikation auf
% $\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)$ die  Bedingung, 
% $(u\times q)$ habe pseudoendliche $2$-Fasern 
% auf den Gruppoidkategorien: Wir m"ussen
% dann noch nicht einmal die Eigenschaft unterobjektendlich alias 
% pseudoendliche $2$-Fasern f"ur $t$ fordern. Allerdings ist 
% $\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)$ in dieser Allgemeinheit die 
% freie abelsche Gruppe "uber der Menge der Isomorphieklassen von Objekten
% mit endlicher Automorphismengruppe.
\end{Bemerkungl}




% Jede Komponente dieses Gruppoids hat die 
% Gruppoidkardinalit"at Eins, wir erhalten also die Multiplikation 
% \begin{equation*}
%  \langle M \rangle \ast \langle N \rangle 
% = \sum_{\langle V \rangle \in \mathcal I}
% d^V_{M,N} \langle V \rangle
% \end{equation*}
% mit  Strukturkonstanten den Kardinalit"aten
% $$d^V_{M,N}\pdef |\{ (\alpha, \beta) \in \mathcal A (M,V) 
% \times \mathcal A (V,N) \mid M \overset{\alpha}{\rightarrow}
% V \overset{\beta}{\rightarrow} N \text{ ist kurz exakt}\}|
% $$
\begin{Bemerkungl}
Wir gehen weiter  vom  Fall einer finit"aren 
Kategorie $\mathcal A$ aus.
Adjungiert unter unseren Paarungen \ref{PaQQ} zu unserer waagerechten Zeile 
in der Definition der Gruppoid-Multiplikation
ist dann die Komposition
$$
  \begin{array}{ccccc}
    \op{Cat} (\mathcal A^\times, \mathbb Q) &
    \overset{t^{\ast}}{\rightarrow}& \op{Cat}
    (\mathcal A^{\subset\times} , \mathbb Q)& \overset{(u\times q)_{!}}{\longrightarrow}& 
    \op{Cat}(\mathcal A^\times \times \mathcal A^\times, \mathbb Q)% \\
%     &&&&\da\wr\\
%     % \overset{\sim}{\rightarrow}
%     &&&&\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q) \otimes_{\mathbb Q} 
%     \op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)
  \end{array}
$$
% $$
%   \begin{array}{ccccc}
%     \op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q) &
%     \overset{t^{\ast}}{\rightarrow}& \op{Cat}_!
%     (\mathcal A^{\subset\times} , \mathbb Q)& \overset{(u\times q)_{!}}{\longrightarrow}& 
%     \op{Cat}_!(\mathcal A^\times \times \mathcal A^\times, \mathbb Q)\\
%     &&&&\da\wr\\
%     % \overset{\sim}{\rightarrow}
%     &&&&\op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q) \otimes_{\mathbb Q} 
%     \op{Cat}_! (\mathcal A^\times, \mathbb Q)
%   \end{array}
% $$
Um diese \glqq Gruppoid-Komultiplikation\grqq\  explizit
anzugeben, mu"s man die $2$-Faser "uber einem Paar $(M,N)$ betrachten. 
Diese $2$-Faser  ist
"aquivalent  zu der 
Kategorie, deren Objekte kurze exakte Sequenzen $M\hra E\sra N$
sind, mit denjenigen Abbildungen der Mittelterme als Morphismen, die auf den
Enden jeweils die Identit"at induzieren.
Explizit wird unsere Gruppoid-Komultiplika\-tion 
mithin gegeben durch die Vorschrift
\begin{equation*}
  \Delta:\langle  E \rangle^\ast  \mapsto \sum_{(M,N)} \;\;\;
\sum_{\substack{e\in \op{Ext}^1(N,M)\\ X(e)\cong E}}
\frac{1}{|\mathcal A ( N,M)|}
  \langle  M \rangle^\ast  \otimes 
\langle  N\rangle^\ast 
\end{equation*}
In dieser Summe entspricht jeder Summand einer Isomorphieklasse der
$2$-Faser,  $X(e)$ bezeichnet den zu einer Erweiterung geh"origen Mittelterm,
und  der Vorfaktor ist  nach dem Beginn des Beweises von \ref{HaEx} 
der Kehrwert der Automorphismengruppe 
eines Objekts alias
der Gruppe der Automorphismen von
$E$, die die Identit"at auf $N$ und $M$ induzieren.
Die erste Summe "uber alle Paare von Isomorphieklassen 
kann jedoch durchaus unendlich sein, endliche Summen erhalten wir jedoch,
wenn wir $\mathcal A$ zus"atzlich unterobjekt\-endlich annehmen.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}\label{BHAE}
Schreiben wir die Adjunktion aus, so ergibt sich
$$\langle \langle M\rangle^\ast \otimes \langle N\rangle^\ast, 
\Delta\langle E\rangle^\ast\rangle=
\langle \langle M\rangle^\ast \cdot \langle N\rangle^\ast, 
\langle E\rangle^\ast\rangle$$
Beachten wir nun, da"s nach unserer Definition unserer Paarung \ref{PaQQ} gilt
$\langle \langle  M \rangle^\ast, \langle  M \rangle^\ast\rangle
 = | \op{Aut} M|^{-1}$ und
$\langle \langle  M \rangle^\ast, \langle  N \rangle^\ast\rangle
 =0$
f"ur $\langle M \rangle \neq \langle N \rangle$, 
so liefert diese Identit"at die Gleichheit 
$$\sum_{\substack{e\in \op{Ext}^1(N,M)\\ X(e)\cong E}} 
\frac{1}{|\op{Aut}M|\cdot |\op{Aut}N|\cdot|\mathcal A (N,M)|}
 =\frac{c^E_{M,N}}{|\op{Aut}E|}
$$
und damit genau die in \ref{HaEx} behauptete   
Beziehung zwischen Hall-Multiplikation 
und $\op{Ext}$-Multiplikation.
\end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}\label{BHAE}
%  Betrachten wir die zu unserer Gruppoid-Komultiplikation duale Multiplikation
% auf dem Dualraum und schreiben sie in der dualen Basis, so erhalten wir 
% genau unsere
% $\op{Ext}$-Multiplikation
% \begin{equation*}
%  \langle  M  \rangle^\ast ^\ast \otimes \langle\! \langle N \rangle\! \rangle^\ast
% \mapsto \frac{1}{|\mathcal A (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1(N,M)} \langle  X(e)
% \rangle^\ast ^\ast
% \end{equation*}
% aus \ref{MuRou}.
% Beachten wir nun, da"s nach unserer Definition unserer Paarung \ref{PaQQ} gilt
% $\langle \langle  M \rangle\!
% \rangle, \langle  M \rangle\!
% \rangle\rangle
%  = | \op{Aut} M|^{-1}$ und
% $\langle \langle  M \rangle\!
% \rangle, \langle  N \rangle\!
% \rangle\rangle
%  =0$
% f"ur $\langle M \rangle \neq \langle N \rangle$, 
% so erhalten wir unter unserer Paarung
% $\langle   M \rangle
% ^\ast  \mapsto \langle   M \rangle
% ^\ast ^\ast / | \op{Aut} M|$.
% Die Erkenntnis, da"s unsere Gruppoid-Multiplikation und 
% -Komultiplikation bez"uglich der
% Paarung \ref{PaQQ} zueinander adjungiert sind, 
% liefert also unmittelbar unsere Formel
% \ref{HaEx} zur Beziehung zwischen Hall-Multiplikation 
% und $\op{Ext}$-Multiplikation.
% \end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Green}]
 Gegeben eine erbliche unterobjektendliche 
finit"are abelsche Kategorie $\mathcal A$ ist die
Hall-Algebra $\op{Cat}_!(\mathcal A^\times,\DQ)$ mit ihrer
Gruppoid-Multi\-plikation
und Gruppoid-Komultiplikation eine (VERTWISTETE!) Hopf-Algebra.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{BHGG}
  Nach dem Vorhergehenden liefert die Abbildungsvorschrift 
$ \op{Cat}_!(\mathcal A^\times,\DQ)$ etc etc interpoliert etc etc
Deshalb folgt aus unserem Satz auch die in \ref{Green} gegebene 
Variante.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Der Beweis der Hopfalgebraeigenschaft geht aus von folgendem 
Diagramm von Gruppoiden:
\begin{displaymath}
 \begin{array}{ccccc}
 \boxed{\xymatrix{
U&Q\\ 
&\\
V &P}} &
\leftarrow_{!} & 
\boxed{\xymatrix{ U \ar@{^{(}->}[r] & M \ar@{->>}[r]
& Q\\ 
& & \\ 
V \ar@{^{(}->}[r] & N \ar@{->>}[r] &P }}
& \rightarrow^\ast  &
\boxed{\xymatrix{ M \\ 
\\ N }} \\
\uparrow^\ast & & \uparrow^\ast & & \uparrow^\ast\\
%2 Zeile
\boxed{\xymatrix{
U & Q\\
%\twoheaduparrow & \twoheaduparrow\\
X \ar@{->>}[u]& Y \ar@{->>}[u]\\
%\hookuparrow & \hookuparrow\\
V \ar@{^{(}->}[u]& P\ar@{^{(}->}[u] }}& \leftarrow_!& \boxed{\xymatrix{
U \ar@{^{(}->}[r] &M \ar@{->>}[r] &Q\\
%\uparrow & &\uparrow & & \uparrow\\
X \ar@{->>}[u]\ar@{^{(}->}[r]& E \ar@{->>}[u] \ar@{->>}[r]& Y\ar@{->>}[u]\\
%\hookuparrow & & \hookuparrow & & \hookuparrow\\
V\ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[r]  & N \ar@{^{(}->}[u] \ar@{->>}[r]&  P\ar@{^{(}->}[u]
}}%Ende der matrix
& \rightarrow^\ast  &
\boxed{\xymatrix{ M \\ \ar@{->>}[u] E \\ \ar@{^{(}->}[u] N }}\\
\downarrow_! && \downarrow_! & & \downarrow_!\\
%3 Zeile
\boxed{ \xymatrix{
&\\
X & Y \\
&\\
}} & \leftarrow_! & \boxed{\xymatrix{
& &\\
X \ar@{^{(}->}[r] & E \ar@{->>}[r]& Y\\
& &\\ }} & \rightarrow^\ast &
\boxed{\xymatrix{ \\ E \\ \\}}
 \end{array}
\end{displaymath}
Gemeint sind jeweils die Gruppoide aller kommutativen 
Diagramme der angedeuteten Gestalt.
Das obere linke Quadrat und das untere rechte Quadrat 
sind $2$-kartesisch,
beim oberen linken Quadrat zeigen wir im Anschlu"s, wie das aus der
Erblichkeit der Kategorie folgt.
Die anderen beiden Quadrate sind kommutativ. Mit 
Basiswechsel \ref{Bgrr} in den $2$-kartesischen Diagrammen
sieht man unmittelbar, da"s die beiden Wege l"angs der 
Kanten von rechts oben nach
links unten dieselbe Selbstabbildung auf 
$\op{Cat}_! (\mathcal A, \mathbb Q)^{\otimes 2}$ liefern.  
Das zeigt f"ur $H=\op{Cat}_! (\mathcal A, \mathbb Q)^{\otimes 2}$
 mit der
Gruppoid-Multiplikation $m$ und der Gruppoid-Komultiplikation $\Delta$  
die Kommutativit"at des Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
H\otimes H \ar[d]_m \ar[r]^-{\Delta \otimes \Delta} 
& H \otimes H \otimes H \otimes H \ar[d]^{m_{13} \otimes m_{24}}\\
H \ar[r]^-{\Delta} & H \otimes H
}
\end{displaymath}
\end{proof}






\begin{proof}\emph{Hoffentlich kommt es auch raus, ich habe etwas geraten!}
Bezeichnen wir die Ext-Multiplikation mal mit
$
m : \mathbb Q \mathcal I \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \mathcal I \rightarrow
\mathbb Q \mathcal I
,$
so ist f"ur den Nachweis der Hopfalgebren-Eigenschaft mit dieser
Multiplikation $m$ und der Komultiplikation $\Delta$ aus
\ref{HaKo} 
im wesentlichen f"ur $H = \mathbb Q \mathcal I$ die Kommutativit"at von
\begin{displaymath}
\xymatrix{
H\otimes H \ar[d]_m \ar[r]^-{\Delta \otimes \Delta} 
& H \otimes H \otimes H \otimes H \ar[d]^{m_{13} \otimes m_{24}}\\
H \ar[r]^-{\Delta} & H \otimes H
}
\end{displaymath}
zu zeigen.
Ausgeschrieben haben wir
\begin{eqnarray*}
(\Delta m)(\langle M\rangle  \otimes \langle N\rangle ) &=&\frac{1}{|\op{Hom} (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1(N,M)}
\Delta \langle X (e)\rangle \\ &=&\frac{1}{|\op{Hom} (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)}
\quad\sum_{U\subset X(e)} \langle U\rangle  \otimes \langle X (e)/U\rangle 
\end{eqnarray*}

  
$$(m_{13} \otimes m_{24})(\Delta \otimes \Delta) (\langle M\rangle  \otimes
\langle N\rangle ) =$$

$$ =(m_{13} \otimes m_{24}) \sum_{V \subset M \atop W \subset N}
\langle V\rangle  \otimes \langle M/V\rangle  \otimes \langle W\rangle  \otimes \langle N/W\rangle
$$

% $$
%   =\sum_{V\subset M \atop W \subset N} \sum_{a \in \op{Ext}^1 (W,V) \atop
% b \in \op{Ext}^1 (N/W, M/V)}
% |\op{Hom} (W,V)|^{-1} | \op{Hom} (N/W, M/V)|^{-1}\langle X(a)\rangle  \otimes \langle X(b)\rangle 
% $$

$$
  =\sum_{V\subset M \atop W \subset N} \frac{1}
{|\op{Hom} (W,V)| | \op{Hom} (N/W, M/V)|}\sum_{a \in \op{Ext}^1 (W,V) \atop
b \in \op{Ext}^1 (N/W, M/V)}\langle X(a)\rangle  \otimes \langle X(b)\rangle 
$$
Es gilt also, Diagramme der Gestalt 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
M/V \ar@{^{(}->}[r] &B \ar@{->>}[r] & N/W\\
M\ar@{->>}[u]\ar@{^{(}->}[r] & X \ar@{->>}[r]\ar@{->>}[u] &N\ar@{->>}[u]\\
V\ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[r]&A \ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}[r]& W \ar@{^{(}->}[u]
}
\end{displaymath}
zu betrachten. 
Wir machen die Gesamtheit aller derartigen Diagramme mit
vorgegebenen $M$ und $N$ zu einem Gruppoid 
$\mathcal D=\mathcal D(M,N),$ indem wir als Morphismen alle 
Isomorphismen von \glqq Darstellungen des Diagramms\grqq\  zulassen,
die auf $M$ und $N$ die Identit"at sind. 
Gegeben ein Diagramm $D\in \mathcal D$ bezeichnen wir weiter
mit $D_{ij}$ das Objekt in Zeile $i$ und Spalte $j$.
Und nun behaupten wir, da"s die beiden Dinge, deren Gleichheit
zu zeigen ist, auch geschrieben werden k"onnen als
$$\sum_{D\in \mathcal D/\cong} 
\frac{\langle D_{12}\rangle\otimes \langle D_{32}\rangle}{|\op{Aut}D|}$$
wo die Summe wie angedeutet "uber die Isomorphieklassen unserer
Kategorie $\mathcal D(M,N)$ l"auft und durch die Kardinalit"at 
der Automorphismengruppe des Diagramms  $D$ in ebendieser Kategorie
geteilt wird. 
Zun"achst erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien
zwischen der analog definierten 
Kategorie aller Diagramme vom Typ \glqq inneres Kreuz mit vorgegebenen 
$M$ und $N$\grqq\ 
und unserer Kategorie, indem wir nach unten rechts durch pushout erg"anzen,
nach oben links durch pullback, und den Rest als  Kokern der oberen
Horizontale
und Kern der unteren Horizontale erg"anzen.
   \emph{Hmmmmmmmm, und jetzt?}
 innere Kreuz vorgegeben, so ist $V$ der pullback
und $M/W$ der pushout und so entsteht der Rest des Diagramms. Ist der "au"sere
Rahmen gegeben, so entsteht $X$ und damit der Rest 
des Diagramms als pushout und
pullback. Und jetzt geht es ans Z"ahlen!
\end{proof}








\begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?}
  Die Erweiterung dieser Komultiplikation auf $\DQ\cal{I}$ im erblichen Fall,
  wenn also alle $\op{Ext}^i$ f"ur $i \geq 2$ verschwinden, kann unter
  geeigneten Endlichkeitsannahmen zu einer Hopfalgebrenstruktur auf
  $\DQ\cal{I}$ erg"anzt werden durch die Multiplikation
  Diese Formel wirkt auf mich vern"unftiger als die Formel in \ref{Hallf}, und
  sie scheint auch nach Dualisieren der Formel aus [Rouquier] zu entsprechen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkung}\label{Hallf}
\emph{Vermutlich ist das hier Quatsch und \ref{MuRou} richtig! } 
Ich erwarte, da"s die Erweiterung dieser 
Komultiplikation auf $\DQ\cal{I}$  
im erblichen Fall, wenn also alle 
$\op{Ext}^i$ f"ur $i \geq 2$ verschwinden, und unter geeigneten
Endlichkeitsannahmen
zu einer Hopfalgebrenstruktur auf $\DQ\cal{I}$ erg"anzt werden kann
durch die Multiplikation
\begin{equation*}
\langle M\rangle  \cdot \langle N\rangle  
= \frac{1}{|\op{Ext}^1 (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)} \langle X (e)\rangle 
\end{equation*}
Meine Gr"unde f"ur diese Hoffnung nebst einem Ansatz f"ur einen
Beweis f"uhre ich im folgenden aus.
Wenn ich [Schiffmann: Lectures on Hall Algebras] richtig verstehe,
wissen das die Experten schon, nur schreiben sie aus Tradition 
lieber zur Definition die komplizierteren Formeln hin, die ich im 
folgenden auch angebe.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Bei Ringel-Weinert finden wir die folgende Variante:
Unter der Annahme, da"s auch alle $\op{Ext}^i (M,N)$
endlich sind und da"s sie fast alle verschwinden, bilde man
die positive rationale Zahl
\begin{displaymath}
\chi \op{ext} (M,N) =\frac{\prod_{i \text{ gerade}} \mid \op{Ext}^i (M,N)|}
{\prod_{i \text{ ungerade}} |\op{Ext}^i (M,N)|}
\end{displaymath}
Ringel betrachtet nun die Multiplikation $m_R$ gegeben durch
\begin{equation*}
m_R (\langle M\rangle ^\ast, \langle N\rangle ^\ast) = \sqrt{\chi \op{ext}(N,M)} \sum_X c^X_{M,N} \langle X\rangle ^\ast
\end{equation*} 
oder genauer die dazu opponierte Multiplikation auf $\mathbb R \mathcal I$.
Des weiteren setzt er $a_M = |\op{Aut} M|$ und betrachtet die Komultiplikation
\begin{eqnarray*}
\Delta_R : \mathbb R \mathcal I &\longrightarrow 
&\mathbb R \mathcal I \otimes_{\mathbb R}
\mathbb R \mathcal I\\
\left\langle  M \right\rangle  &\mapsto & \sum_{U\subset M} a_U a_{M/U} \sqrt{\chi \op{ext}
  (M/U,U)} \; \langle U\rangle \otimes \langle M/U\rangle 
\end{eqnarray*}
oder noch genauer ihre Opponierte.
Green behauptet nun -- oder ist es Schiffmann? -- da"s $\Delta_R$ und $m_R$ eine
Hopf-Algebren-Struktur erkl"aren. Wenn ich das richtig 
umgerechnet habe, sollte das
bedeuten, da"s mein urspr"ungliches $\Delta$ 
aus \ref{HaKo} eine Hopfalgebrenstrultur liefert, wenn
man dazu die Multiplikation $m$ mit
\begin{equation*}
\langle M\rangle  \cdot \langle N\rangle  = a_N a_M (\chi \op{ext} (N,M)) \sum \frac{c^X_{M,N}}{ a_X} \langle X\rangle 
\end{equation*}
betrachtet. Ich w"urde eigentlich erwarten, da"s das nur im erblichen Fall
funktioniert, und will zun"achst einmal die Formel umschreiben.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Andererseits ist die Abbildung 
$E_{M,N}(X) \rightarrow \{ U \subset X \mid U \cong M,
X/U \cong N\}$ offensichtlich eine Surjektion, auf deren Fasern 
$\op{Aut} M) \times (\op{Aut} N)$ frei und transitiv 
operiert, so da"s alle Fasern die
Kardinalit"at $|\op{Aut} M| \cdot |\op{Aut} N|$ haben.
Das liefert f"ur alle $X \in \mathcal I$ die Formel
\begin{equation*}
|E_{M,N} (X)| = |\{ U \subset X \mid U \cong M, X/U \cong N\}| \cdot
|\op{Aut} M| \cdot |\op{Aut} N|
\end{equation*}
Wir folgern
\begin{eqnarray*}
\sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)} \langle X (e)\rangle  &=&\sum_{X \in \mathcal I} 
\frac{|E_{M,N}(X)|\cdot |\op{Hom} (N,M)|}
{|\op{Aut} X|} \langle X\rangle  \\
&=& \sum_{X \in \mathcal I} \frac{|\op{Aut} M|\cdot |\op{Aut} N|}
{|\op{Aut} X|} |\op{Hom} (N,M)|\;
c_{M,N}^X\langle  X\rangle 
\end{eqnarray*}
und erkennen so, da"s unsere Multiplikation $m$ auch beschrieben werden kann als
\begin{equation*}
\langle M\rangle \cdot \langle N\rangle  = \frac{\chi \op{ext} (N,M)}{|\op{Hom} (N,M)|} 
\sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)}
\langle X (e)\rangle 
\end{equation*}
und im Fall eines erblichen Rings, wenn also alle 
$\op{Ext}^i$ f"ur $i \geq 2$ verschwinden,
noch einfacher als
\begin{equation*}
\langle M\rangle  \cdot \langle N\rangle  = \frac{1}{|\op{Ext}^1 (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)} \langle X (e)\rangle 
\end{equation*}
Bezeichnen wir diese Multiplikation mal mit
$
m : \mathbb Q \mathcal I \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \mathcal I \rightarrow
\mathbb Q \mathcal I
,$
so ist f"ur den Nachweis der Hopfalgebren-Eigenschaft mit dieser
Multiplikation $m$ und der Komultiplikation $\Delta$ aus
\ref{HaKo} 
im wesentlichen die Kommutativit"at von
\begin{displaymath}
\xymatrix{
H\otimes H \ar[d]_m \ar[r]^-{\Delta \otimes \Delta} 
& H \otimes H \otimes H \otimes H \ar[d]^{m_{13} \otimes m_{24}}\\
H \ar[r]^-{\Delta} & H \otimes H
}
\end{displaymath}
f"ur $H = \mathbb Q \mathcal I$ zu zeigen.
Ausgeschrieben haben wir
\begin{eqnarray*}
(\Delta m)(\langle M\rangle  \otimes \langle N\rangle ) &=&\frac{1}{|\op{Ext}^1 (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1(N,M)}
\Delta \langle X (e)\rangle \\ &=&\frac{1}{|\op{Ext}^1 (N,M)|} \sum_{e \in \op{Ext}^1 (N,M)}
\sum_{U\subset X(e)} \langle U\rangle  \otimes \langle X (e)/U\rangle 
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(m_{13} \otimes m_{24})(\Delta \otimes \Delta) (\langle M\rangle  \otimes \langle N\rangle ) &=&
(m_{13} \otimes m_{24}) \sum_{V \subset M \atop W \subset N}
\langle V\rangle  \otimes \langle M/V\rangle  \otimes \langle W\rangle  \otimes \langle N/W\rangle \\
&=& \sum_{V\subset M \atop W \subset N} \sum_{a \in \op{Ext}^1 (W,V) \atop
b \in \op{Ext}^1 (N/W, M/V)}
\frac{\langle X(a)\rangle  \otimes \langle X(b)\rangle }{|\op{Ext}^1 (W,V)|\cdot | \op{Ext}^1 (N/W, M/V)|} 
\end{eqnarray*}
Es gibt also, Neunerdiagramme
\begin{displaymath}
\xymatrix{
M/V \ar@{^{(}->}[r] &X/U \ar@{->>}[r] & N/W\\
M\ar@{->>}[u]\ar@{^{(}->}[r] & X \ar@{->>}[r]\ar@{->>}[u] &N\ar@{->>}[u]\\
V\ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[r]&U \ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}[r]& W \ar@{^{(}->}[u]
}
\end{displaymath}
zu untersuchen. 
Zun"achst sollte man wohl "ahnlich wie zuvor in allen Ecken feste
Repr"asentanten der Isomophieklassen w"ahlen und die Menge aller
m"oglichen 12-Tupel von Abbildungen betrachten, die ein Diagramm besagter
Art entstehen lassen. Ist das innere Kreuz vorgegeben, so ist $V$ der pullback
und $M/W$ der pushout und so entsteht der Rest des Diagramms. Ist der "au"sere
Rahmen gegeben, so entsteht $X$ und damit der Rest des Diagramms als pushout
 und
pullback. Und jetzt geht es ans Z"ahlen!
\end{Bemerkung}


\begin{Bemerkungl}\label{AHAh}
Wir zeigen nun noch die Assoziativit"at der Hall-Algebra
im Formalismus von Funktionen auf Gruppoiden. 
Das ist zwar weniger transparent als unser explizites Argument, 
l"a"st sich aber besser 
verallgemeinern.
Wir gehen aus vom Diagramm
  % Seite 1
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      &&\mathcal A&&\\
      &&\ar[dl]_u\mathcal A^{\subset}\ar[u]_-{t} \ar[ddddrr]^q&& \\
      &\mathcal A & & &\\
      &&\mathcal A^{\subset\subset} \ar[uu]_-{t_{2}}\ar[dl]_{u_{1}}\ar[ddrr]^-{\gamma} &&\\
      &\ar[dl]_-u\ar[uu]^-t\mathcal A^\subset\ar[dr]^q & &&\\
      \mathcal A & &\mathcal A & &\mathcal A
    }
  \end{displaymath}



  % Seite 2
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      &&W&\\
      && \ar@{|->}[dl]V \hookrightarrow W \ar@{|->}[u]\ar@{|->}[ddddrr]&\\
      &V& &\\
      &&\ar@{|->}[dl]U \hookrightarrow V \hookrightarrow W\ar@{|->}[uu]\ar@{|->}[ddrr]&\\
      &\ar@{|->}[uu] \ar@{|->}[dl] \ar@{|->}[dr]U\hookrightarrow V& &\\
      U & &V/U & &W/V
    }
  \end{displaymath}

  % Seite 3
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{cc}
      \xymatrix{
        &\mathcal A&\\
        &\ar[dl]_-{\alpha} \mathcal A^{\subset\subset}\ar[d]^-{\beta}\ar[dr]^-{\gamma}\ar[u]^-{\tau}&\\
        \mathcal A & \mathcal A &\mathcal A
      } &
      \xymatrix{
        & W &\\
        & \ar@{|->}[u]U \subset V \subset W \ar@{|->}[dl] \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[dr]&\\
        U & V/U & W/V
      }
    \end{array}
  \end{displaymath}

  Um die Assoziativit"at zu zeigen, arbeiten wir mit den vorstehenden
  Diagrammen.  Gegeben $\varphi, \psi, \xi \in \op{Cat} (\mathcal A^\times,
  \mathbb Q)$ behaupten wir, da"s sowohl $(\varphi \ast \psi) \ast \xi$ als
  auch $\varphi \ast (\psi \ast \xi)$ "ubereinstimmen mit $\mathcal T_!
  ((\alpha^\ast \varphi) \cdot (\beta^\ast \psi) \cdot (\gamma^\ast \xi))$.
  Das hinwiederum folgt durch Betrachtung der davorstehenden Diagramme.  So
  finden wir etwa
  \begin{eqnarray*}
    (\varphi \ast \psi) \ast \xi &=& t_! \left( ( u^\ast t_! \left( (u^\ast \varphi) \cdots(q^\ast \psi) \right)\cdot (q^\ast \xi)\right)\\
    &=&t_!\left( (t_{2!}u^\ast_2 \left( ( u^\ast \varphi) \cdot (q^\ast\psi)\right)\right) \cdots(q^\ast \xi))\\
    &=&t_!t_{2!}\left( (\alpha^\ast \varphi)\cdot (\beta^\ast \psi)\cdot (t^\ast_2q^\ast \xi)\right)\\
    &=&\mathcal T_!\left( ( \alpha^\ast \varphi)\cdot (\beta^\ast \psi)\cdot (\gamma^\ast \xi)\right)
  \end{eqnarray*}
  nach Basiswechsel und Projektionsformel, und die andere Identit"at zeigt man
  analog mit dem Diagramm
  \begin{displaymath} % noch zu verbessern
    \xymatrix{
      &&W&\\ %1
      &&\ar@{|->}[ddddll] U\subset W \ar@{|->}[u] \ar@{|->}[dr]&\\%2
      && & W/U\\%3
      && U\subset V \subset W \ar@{|->}[ddll]\ar@{|->}[uu]\ar@{|->}[dr] &\\%4
      && & V/U \subset W/U \ar@{|->}[uu]\ar@{|->}[dr]\ar@{|->}[dl]\\ %5
      U&&  V/U &&W/V&%6
    }
  \end{displaymath}
\end{Bemerkungl}

\subsection{Zu Drinfeld's Quantengruppe}

\begin{Definition}
 Gegeben ein $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul $M$ setze man
$
 \tilde M \pdef \varprojlim_{n} M/h^n M
$
und nenne $M$ \defind{kanonisch vollst"andig} genau dann, wenn die
kanonische Abbildung einen Isomorphismus $M \overset{\sim}{\rightarrow}
\tilde M$ liefert.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Unsere kanonisch vollst"andigen Moduln sind mit der Topologie des inversen
Limes der diskreten R"aume $M/h^n M$ versehen in der Tat vollst"andig.
Es gibt jedoch auch vollst"andige topologische $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Moduln
wie $\mathbb C (\!(h)\!)$, die nicht in unserem Sinne kanonisch vollst"andig sind.
F"ur jeden $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul $M$ ist jedoch $\tilde M$ ein kanonisch 
vollst"andiger $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul, und jeder Homomorphismus von $M$ in einem
kanonisch vollst"andigen Modul faktorisiert
eindeutig "uber $M \rightarrow \tilde M$.
In anderen Worten ist $M \mapsto \tilde M$ linksadjungiert zur Einbettung
der kanonisch vollst"andigen Moduln in alle Moduln.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Die kanonisch vollst"andigen $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Moduln bilden eine symmetrische
Tensorkategorie mit der Verkn"upfung
\begin{equation*}
 M \tilde\otimes N := \left( M \otimes_{\mathbb C \llbracket h\rrbracket } N\right)^\sim
\end{equation*}
und vom Leser zu erratendem Assoziator und Kommutator.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 F"ur jeden $\mathbb C$-Vektorraum $V$ hei"st $V \llbracket h\rrbracket := \left(V\otimes_{\mathbb C}
\mathbb C \llbracket h\rrbracket \right)^\sim$ der freie kanonisch vollst"andige $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul
"uber $V$. Der Funktor $V\mapsto V \llbracket h\rrbracket $ ist linksadjungiert zum Vergessen kanonisch
vollst"andiger Moduln zu $\mathbb C$-Vektorr"aumen.
Ein kanonisch vollst"andiger $\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul 
hei"st {\bf frei}\index{frei!kanonisch vollst"andiger 
$\mathbb C \llbracket h\rrbracket $-Modul} genau dann,
wenn er zu einem $V \llbracket h\rrbracket $ isomorph ist.
Die kanonische Abbildung liefert stets einen Isomorphismus
\begin{equation*}
 (V \otimes W)\llbracket h\rrbracket  \overset{\sim}{\longrightarrow} V \llbracket h\rrbracket  \tilde \otimes
W \llbracket h\rrbracket .
\end{equation*}

\end{Bemerkungl}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXVAL"
%%% End: