\section{Hintergr"unde f"ur die lokalen Langlands-\\Vermutungen} Gegeben ein lokaler K"orper $F$ interessieren wir uns noch etwas vage f"ur die \glqq Kohomologie von Variet"aten "uber $F$\grqq\ und f"ur die nat"urlichen Strukturen, die wir auf solchen Kohomologien vorfinden. Wir diskutieren getrennt den archimedischen und den nichtarchimedischen Fall. \subsection{Der nichtarchimedische Fall} \begin{Bemerkung} Ist ganz allgemein $F$ irgendein K"orper, $X$ eine Variet"at "uber $F$ und $l$ eine von der Charakteristik von $ F$ verschiedene Primzahl, so wird f"ur jeden algebraischen Abschlu"s $\bar{F}$ von $F$ die \'etale Kohomologie $$H^{\ast} ((X \times_{F}\bar{F})_{\op{\acute{e}t}}; \Bbb{Q}_{l})$$ mit Koeffizienten in $\Bbb{Q}_{l}$ eine $l$-adische Darstellung von $\Gamma=\op{Gal}(\bar{F}/F),$ d.h.\ eine endlichdimensionale Darstellung von $\Gamma,$ die stetig ist als Abbildung $\Gamma \times V \ra V$ f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die Norm-Topologie auf dem endlichdimensionalen $\Bbb{Q}_{l}$-Vektorraum $V.$ Ist $E_{\lambda}$ eine endliche Erweiterung von $\Bbb{Q}_{l},$ so wird allgemeiner $$H^{\ast}((X \times_{F} \bar{F})_{\op{\acute{e}t}}; E_{\lambda})$$ eine endlichdimensionale stetige Darstellung von $\Gamma$ "uber $E_{\lambda}.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ist $F$ ein nichtarchimedischer lokaler K"orper und $\Bbb{F}$ sein (endlicher) Restklassenk"orper, so liefert Klassenk"orpertheorie eine Surjektion $$\op{Gal} (\bar{F}/F) \twoheadrightarrow \op{Gal} (\bar{\Bbb{F}}/\Bbb{F})$$ Auf der rechten Seite gibt es insbesondere den Frobenius $\op{Fr} : a \mapsto a^{|\Bbb{F}|}.$ Das Urbild der vom Frobenius erzeugten Untergruppe hei"st die \defind{Weil-Gruppe} $W_{F}$ von $F,$ wir haben also ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccclc} W_{F}&\twoheadrightarrow & \Bbb{Z}&\ni &n\\ \cap & & \cap & &\downarrow \\ \op{Gal} (\bar{F}/F) & \twoheadrightarrow & \op{Gal}(\bar{\Bbb{F}}/\Bbb{F}) & \ni& \op{Fr}^{n} \end{array}$$ Wir versehen $W_{F}$ mit der Kofinaltopologie, die von der Krull-Topologie auf $\op{Gal}(\bar{F}/F)$ und der diskreten Topologie auf $\Bbb{Z}$ durch die Morphismen unseres Diagramms induziert wird. F"ur die obere Horizontale vereinbaren wir die Notation $w \mapsto \| w\|.$ Der Kern der unteren und damit auch der oberen Horizontalen hei"st die \defind{Tr"agheitsgruppe} und wird bezeichnet mit $I_{F}.$ Nat"urlich schr"ankt sich unsere Darstellung von $\op{Gal} (\bar{F}/F)$ ein zu einer stetigen Darstellung von $W_{F}$ "uber $E_{\lambda},$ und da die Weil-Gruppe in der Galois-Gruppe dicht liegt, geht bei dieser Einschr"ankung \glqq keine Information verloren\grqq. Jetzt bemerken wir \end{Bemerkung} \begin{Satz}\cite{Del},\cite{Tate} Sei $F$ ein nichtarchimedischer lokaler K"orper, $\Bbb{F}$ sein Restklassenk"orper, $l$ eine von $\op{char} \Bbb{F}$ verschiedene Primzahl, $E_{\lambda}$ eine endliche Erweiterung von $\Bbb{Q}_{l}$ und $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber $E_{\lambda}.$ \begin{enumerate} \item W"ahlen wir ein Urbild $\Phi \in W_{F}$ des inversen Frobenius $\op{Fr}^{-1}\in \op{Gal}(\bar{\Bbb{F}}/\Bbb{F})$ und einen nichttrivialen additiven Charakter $t_{l}: I_{F} \ra \Bbb{Q}_{l}$ (das ist stets m"oglich), so erhalten wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Operationen $\rho_{\lambda}$}\\ \text{von $W_{F}$ auf $V,$}\\ \text{die stetig sind}\\ \text{f"ur die $\lambda$-adische}\\ \text{Topologie auf $V$} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\leftrightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Paare $(\rho,N)$ bestehend aus}\\ \text{einer Operation $\rho$ von $W_{F}$}\\ \text{auf $V,$ stetig f"ur die}\\ \text{diskrete Topologie auf $V,$}\\ \text{und $N\in \op{Aut} V$ nilpotent mit}\\ \rho (w) N \rho (w)^{-1} = \|w\| N \\ \forall w \in W_{F}\end{array} \right\} \\[20mm] \rho_{\lambda} & \leftarrow & (\rho, N) \end{array}$$ durch die Vorschrift $\rho_{\lambda} (\Phi^{n} \sigma) = \rho (\Phi^{n}\sigma) \op{exp} (t_{l}(\sigma) N) \quad \forall \sigma \in I_{F}, n \in \Bbb{Z}.$ \item Die induzierte Bijektion zwischen Isomorphieklassen auf beiden Seiten h"angt nicht ab von den Wahlen von $\Phi$ und $t_{l}.$ \end{enumerate} \end{Satz} \newpage Um zur endg"ultigen Formulierung der lokalen Langlands-Vermutungen zu kommen, ben"otigen wir noch \begin{Vermutung} Die Frobenius-Elemente $\Phi \in \op{Gal}(\bar{F}/F)$ operieren halbeinfach auf $H^{\ast} ((X \times_{F} \bar{F})_{\op{\acute{e}t}} ; E_{\lambda})$ \end{Vermutung} Wenn wir diese Vermutung glauben, so erhalten wir also f"ur einen endlichdimensionalen $E_{\lambda}$-Vektorraum $V$ Einbettungen $$\begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} \text{Nat"urliche Strukturen auf $V$ von der Art,}\\ \text{wie man sie findet auf Kohomologier"aumen}\\ \text{der Gestalt }H^{\ast} ((X\times_{F}\bar{F})_{\op{\acute{e}t}} ; E_{\lambda}) \end{array}\right\} \\[2mm] \cap \\[2mm] \left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen von $\op{Gal} (\bar{F}/F)$ auf $V,$}\\ \text{stetig f"ur die Krull-Topologie auf der Galois-Gruppe}\\ \text{und die $\lambda$-adische Topologie auf $V,$}\\ \text{unter denen Frobenius-Elemente halbeinfach operieren} \end{array}\right\} \\[2mm] \cap \\[2mm] \left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen von $W_F$ auf $V,$}\\ \text{stetig f"ur die Krull-Topologie auf der Galois-Gruppe}\\ \text{und die $\lambda$-adische Topologie auf $V,$}\\ \text{unter denen Frobenius-Elemente halbeinfach operieren} \end{array}\right\} \\[2mm] \| \\[2mm] \left\{ \begin{array}{c} \text{Paare $(\rho, N)$ mit $\rho$ einer Operation von $W_{F}$ auf $V,$}\\ \text{die stetig ist f"ur unsere Topologie auf $W_{F}$}\\ \text{und die diskrete Topologie auf $V,$}\\ \text{nebst einem nilpotenten Endomorphismus $N$ von $V$}\\ \text{derart, da"s gilt $\rho (w) N \rho (w)^{-1} = \|w\| N$ f"ur alle $w$}\\ \text{und so, da"s Frobenius-Elemente halbeinfach operieren} \end{array}\right\} \end{array}$$ Auf dem Raum aller Paare $(\rho,N)$ wie eben beschrieben operiert die Gruppe $\op{GL} (V)$ durch Konjugation. Die Bahnen sollen nun laut lokaler Langlands-Vermutung in Bijektion sein zu irreduziblen zul"assigen Darstellungen von $\op{GL} (n,F)$ in $E_{\lambda}$-Vektorr"aumen, mit $n = \op{dim}_{E_{\lambda}} V.$ Weiter sollte die Geometrie der Bahnen die Struktur der Darstellungstheorie widerspiegeln. Diese Vermutungen werden allerdings meist formuliert in der Form, da"s man $E_{\lambda}$ ersetzt auf beiden Seiten durch seinen algebraischen Abschlu"s oder, gleichbedeutend (da die Topologie auf $E_{\lambda}$ ja keine Rolle mehr spielt) durch $\Bbb{C},$ aufgefa"st als abstrakten K"orper. \subsection{Verr"uckte Idee zu Langlands Mai 2024, ausprobieren} Gegeben eine abgeschlossene Immersion $X\As \mathbb A^n_\DZ$ liefert das Bewegen mit $\op{Gl}(n;\DZ)$ jede Menge andere abgeschlossene Immersionen. Jetzt kann man zum Beispiel versuchen, im Raum aller $n$-Formen die Unterdarstellung aller der $n$-Formen zu betrachten, deren Integrale "uber alle diese Untervariet"aten verschwinden. K"onnte man in dieser Richtung automorphe Darstellungen zu Variet"aten finden? \subsection{Wohin?} \begin{Definition} Eine Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $K$ hei"st {\bf separabel},\index{separabel!Ringalgebra} wenn gilt $\dim_K A < \infty$ und wenn f"ur jede K"orpererweiterung $L/K$ der Ring $L \otimes_K A$ halbeinfach ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Man kann zeigen, da"s die Bedingung $\dim_K A < \infty$ bereits aus den anderen Bedingungen folgt und damit "uberfl"ussig ist. \end{Bemerkung} \section{Schrotthalde} \subsection{Soll weggeschmissen werden} \begin{Ubunge} Eine Teilmenge von $\Bbb{C} \amalg \{\infty\}$ hei"st ein \defind{verallgemeinerter Kreis} genau dann, wenn sie entweder einen Kreis in der\label{MoeE} komplexen Zahlen\-ebene darstellt oder aber aus allen Punkten einer affinen reellen Gerade besteht, die also nicht notwendig durch den Ursprung geht, erg"anzt um den Punkt $\infty$. Man zeige, da"s unter der zuvor erkl"arten Identifikation $\Bbb{C} \amalg \{\infty\}\sira \DP^1\DC$ die verallgemeinerten Kreise gerade die Bilder in $\DP^1\DC$ der Mengen $E\backslash 0$ f"ur diejenigen reellen zweidimensionalen Unterr"aume $E\subset \DC^2$ sind, die "uber $\DC$ ganz $\DC^2$ erzeugen. Man zeige weiter, da"s so die Menge aller verallgemeinerten Kreise aus $\DC\amalg \{\infty\}$ identifiziert werden kann mit der Menge der reellen Formen auf dem $\DC^2$, und da"s die Operation von $\op{GL}(2;\Bbb{C})$ auf $\Bbb{C} \amalg \{\infty \}$ aus \ref{FEWR} verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise "uberf"uhrt. Man zeige schlie"slich, da"s die induzierte Operation von $\op{GL}(2;\Bbb{R})$ auf $\Bbb{C} \amalg \{\infty \}$ genau zwei Bahnen hat, n"amlich den verallgemeinerten Kreis $\Bbb{R} \amalg \{\infty \}$ und sein Komplement, und da"s die induzierte Operation der zusammenh"angenden Untergruppe $\op{GL}(2;\Bbb{R})^+$ aller Matrizen mit positiver Determinante genau drei Bahnen hat, n"amlich den verallgemeinerten Kreis $\Bbb{R} \amalg \{\infty \}$, den man sich als den "Aquator der Riemannschen Zahlenkugel denken mag, und, um im Bild zu bleiben, die n"ordliche und die s"udliche Hemisph"are alias die offene obere und die offene untere Halbebene im Komplement der reellen Zahlengerade in der komplexen Zahlenebene. Hinweis: F"ur den letzten Teil mag die Anschauung der $\op{GL}(2;\Bbb{C})$-Operation als M"obiustransformationen nach \ref{MoGe} helfen. \end{Ubunge} \begin{Satz}[\textbf{Maximale Elemente endlicher Mengen}] Jede nichtleere endliche teilgeordnete Menge besitzt mindestens ein maximales Element.\label{NEENk} \emph{(Ersetzt durch \eref{NEEN}{LA1}!)} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird erst im Anschlu"s an den Beweis von Lemma \ref{IIIk} gef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nach $b$ gehende Elemente}] Gegeben eine Menge $X$ und eine Abbildung $f : X \rightarrow X$ und ein Element $b \in X$ bezeichne \begin{equation*} X({\ra} b)= X({\ra} b)_f \subset X \end{equation*} die kleinste Teilmenge von $X$, die $b$ enth"alt und mit jedem Element auch alle seine Urbilder unter $f$. Eine derartige kleinste Teilmenge existiert als der Schnitt aller Teilmengen mit besagter Eigenschaft. Ihr Komplement $X\backslash X({\ra} b)$ ist offensichtlich stabil unter $f$. Weiter gilt $ X({\ra} b)=\{b\}\cup\{x\in X({\ra} b)\mid f(x)\in X({\ra} b)\}$, denn die rechte Seite w"are sonst eine noch kleinere Teilmenge von $X$ mit der definierenden Eigenschaft von $ X({\ra} b)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von $b$ erreichbare Elemente}] Gegeben eine Menge $X$ und eine Abbildung $f : X \rightarrow X$ und ein Element $b \in X$ bezeichne $$X(b{\ra})=X(b{\ra})_f \subset X$$ die kleinste Teilmenge, die $b$ enth"alt und mit jedem Element auch sein Bild unter $f$. Wie zuvor existiert eine kleinste derartige Teilmenge, und man erkennt $X(b{\ra}) = \{b\} \cup X(f(b){\ra})$, denn die rechte Seite w"are sonst eine noch kleinere Teilmenge von $X$ mit der definierenden Eigenschaft von $ X(b{\ra} )$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien eine Menge $X$ und eine Abbildung $f : X \rightarrow X$ gegeben und seien $a,b\in X$. Aus $a \not\in X({\ra} b)$ folgt\label{VVVjk} $X({\ra} b) \cap X(a{\ra}) = \emptyset$, da ja $X \backslash X({\ra} b)$ stabil ist unter $f$. Genauer zeigen wir \begin{equation*} X({\ra} b) = \{ a \in X \mid b \in X(a{\ra})\} \end{equation*} Die rechte Seite ist nach dem vorhergehenden n"amlich enthalten in $X({\ra} b)$ und enth"alt wegen $X(a{\ra}) = \{a\} \cup X(f(a){\ra})$ mit einem Element auch alle seine Urbilder. Schlie"slich enth"alt sie auch noch $b$, und damit m"ussen beide Mengen gleich sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die hohle Gasse}] Seien eine Menge $X$ und eine Abbildung\label{VVVjjk} $f : X \rightarrow X$ gegeben und seien $a,b\in X$. F"ur $a \in X({\ra} b) \backslash b$ gilt wie oben bereits diskutiert $f (a) \in X({\ra} b)$. F"ur jedes $b\in X$ ist insbesondere $X({\ra} b) \cup X({f(b)}{\ra})$ stabil unter $f$. F"ur jedes $a \in X({\ra} b)$ folgt so $$X(a{\ra}) \subset X({\ra} b) \cup X({f(b)}{\ra})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist $(X, \leq)$ eine teilgeordnete Menge und $f : X \rightarrow X$ eine streng monoton wachsende Abbildung, so induziert $f$ f"ur jedes Element $a \in X$ eine Injektion $f: X(a{\ra}) \hookrightarrow X(a{\ra})$.\label{IIIk} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich kann unsere Injektion $f: X(a{\ra}) \hookrightarrow X(a{\ra})$ hier nicht surjektiv sein, da $a$ nicht zum Bild geh"ort. Insbesondere ist in der Situation des Lemmas $X$ stets leer oder unendlich. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In der Tat gilt f"ur jedes $b \in X(a{\ra})$ nach \ref{VVVjk} und \ref{VVVjjk} von eben $a \in X({\ra}b)$ und $X(a{\ra}) \subset X({\ra}b) \cup X({f(b)}{\ra})$. Wegen der Monotonie von $f$ folgt aber $X({\ra}b) \subset \{x \in X \mid x \leq b\}$ und $X({{f(b)}\ra}) \subset \{ x \in X \mid f(b)\leq x\}$ und wegen der strengen Monotonie damit $$X({\ra}b) \cap X({{f(b)}\ra}) = \emptyset$$ Wegen $f (X({\ra}b) \backslash b) \subset X({\ra}b)$ und $f(x) > f(b) \; \forall x\geq f(b)$ folgt, da"s gilt $\{b\} = \{x \in X(a{\ra}) \mid f(x) = f(b)\}$. Damit haben wir gezeigt, da"s unser $f$ in der Tat eine Injektion $f: X(a{\ra}) \hookrightarrow X(a{\ra}) $ induzieren mu"s. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{NEENk}] Der Satz besagt, da"s jede nichtleere endliche teilgeordnete Menge $X$ mindestens ein maximales Element besitzt. In der Tat k"onnten wir sonst eine streng monoton wachsende Abbildung $f : X \rightarrow X$ konstruieren, und f"ur $a \in X$ w"are dann $X(a{\ra})$ unendlich nach \ref{IIIk}. Damit w"are aber auch $X$ selbst bereits unendlich. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich will zum Abschlu"s noch erkl"aren, wie in Satz \ref{AffG} die Galoisgruppe mit unserem Monoid von Decktransformationen identifiziert werden kann. F"ur jede Menge $Z$ und jeden Ring $k$ erkl"aren wir den Ring $\op{Ens}^{\op{f}}(Z,k)$\index{Ens@$\op{Ens}^{\op{f}}$ fast "uberall definierte Funktionen} der {\bf fast "uberall definierten Funktionen auf $Z$ mit Werten in $k$} als den Quotient des Rings $\op{Ens}(Z,k)$ nach dem Ideal aller Funktionen, die nur an endlich vielen Stellen einen von Null verschiedenen Wert annehmen. F"ur jede Abbildung $f:Y\ra Z$ mit endlichen Fasern liefert das Vorschalten von $f$ einen Ringhomomorphismus $(\circ f):\op{Ens}^{\op{f}}(Z,k)\ra \op{Ens}^{\op{f}}(Y,k)$ in die Gegenrichtung, das {\bf Zur"uckholen}\index{Zur"uckholen!von fast "uberall definierten Funktionen} fast "uberall definierter Funktionen. % Gegeben ein topologischer Raum $Z$ erkl"aren wir feiner auch % den Teilring $$\op{Topf}(Z)\subset\op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC) $$ % der fast "uberall definierten stetigen komplexwertigen Funktionen. % Ich meine damit fast "uberall definierte Funktionen, % die durch eine auf dem Komplement einer endlichen Menge stetige Funktion % repr"asentiert werden k"onnen. % F"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra Z$ mit endlichen Fasern % liefert das Vorschalten von $f$ auch einen % Ringhomomorphismus $(\circ f):\op{Topf}(Z)\ra \op{Topf}(Y)$ % in die Gegenrichtung, das {\bf Zur"uckholen} fast "uberall definierter % stetiger Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Decktransformationen als K"orperautomorphismen}] Sei nun ein normiertes Polynom $P \in \mathbb C (t) [X]$ gegeben und sei $Z=\mathcal Z(P)\subset \DC^2$ wie oben erkl"art. Die Restriktion von Polynomen in zwei Variablen zu Funktionen auf $Z$ liefert offensichtlich einen Ringhomomorphismus $\DC[t,X]\ra \op{Ens}(Z,\DC)$ in den Ring der komplexwertigen Funktionen auf $Z$. Die Verkn"upfung dieses Ringhomomorphismus mit dem offensichtlichen Ringhomomorphismus $\op{Ens}(Z,\DC)\ra \op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC)$ besitzt nun genau eine Fortsetzung zu einem Ringhomomorphismus $\DC(t)[X] \ra \op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC)$, der hinwiederum "uber einen Ringhomomorphismus\label{DaKK} $$\DC(t)[X]/\langle P\rangle \hra \op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC)$$ faktorisiert. Letzterer Ringhomomorphismus ist notwendig injektiv, da er von einem K"orper startet und in einem vom Nullring verschiedenen Ring landet. Unser Satz \ref{AffG} "uber die anschauliche Bedeutung der Galoisgruppe l"a"st sich nun dahingehend pr"azisieren, da"s die offensichtliche Operation \glqq durch Vorschalten\grqq\ des Monoids $D$ der Decktransformationen von $\op{pr}_1:Z\ra\DC$ auf dem Ring $\op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC)$ das Bild der obigen Einbettung $\DC(t)[X]/\langle P\rangle \hra \op{Ens}^{\op{f}}(Z,\DC)$ stabilisiert, und da"s die so induzierte Operation unseres Monoids auf $L=\DC(t)[X]/\langle P\rangle$ einen Isomorphismus $D\sira \op{Gal}(L/\DC(t))$ unseres Monoids mit der fraglichen Galoisgruppe liefert. Auch diese Pr"azisierung soll hier nicht bewiesen und im weiteren Verlauf nicht verwendet werden. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAL" %%% End: