\section{Darstellungen und Gruppenringe}\label{ModRi} \subsection{Darstellungen}\label{DeGru} \begin{Definition} Eine {\bf Darstellung einer Gruppe $G$\index{Darstellung!von Gruppe} "uber einem K"orper $k$} ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Gruppenhomomorphismus $$\rho : G \ra \op{GL} (V)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Allgemeines Blahblah sp"ater, Mengenmoduln, "aquivariant und multi"aquivariant, was wei"s ich!} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Darstellung eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$} ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Modul $V$ und einem Monoidhomomorphismus\label{DMr} $\rho : G \ra {\op{End}}_k(V)$.\index{Darstellung!von Monoid} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen}] Oft bezeichnen wir eine Darstellung abk"urzend mit demselben Symbol wie den zugrundeliegenden Vektorraum oder Modul. Gegeben eine Darstellung $V$ eines Monoids $G$ bezeichnet dann $\rho_{V}$ den zugeh"origen Monoidhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra {\op{End}} (V)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist unser Monoid $G$ eine Gruppe, so landet jeder Monoidhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra {\op{End}} (V)$ in der Gruppe $\op{GL} (V)$ der invertierbaren Elemente des Monoids der Endomorphismen von $V$ und ist ein Gruppenhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra \op{GL} (V)$. Eine Darstellung einer Gruppe \glqq als Monoid\grqq\ ist also dasselbe wie eine Darstellung einer Gruppe \glqq als Gruppe\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Im Fall des Vektorraums $V = k^{n}$ liefert lineare Algebra einen Ringisomorphismus ${\op{End}}_k (V) \sira\op{Mat} (n;k)$.\label{DarM} Ist unsere Darstellung $\rho : G \ra {\op{End}}_k (V)$ dann auch noch injektiv, so \glqq stellt $\rho$ die abstrakte Gruppe $G$ dar als eine konkrete Gruppe von Matrizen\grqq, daher die Bezeichnung als \glqq Darstellung\grqq. Zum Beispiel k"onnte die zweielementige Gruppe dargestellt werden, indem man ihr nichttriviales Element als Punktspiegelung auf der Ebene operieren l"a"st, oder als Spiegelung an einer Achse in der Ebene, oder als Punktspiegelung auf dem Raum, oder als Spiegelung an einer Ebene im Raum, oder auch als Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse. Das Symbol $\rho$ ist ein \glqq rho\grqq, das Analogon f"ur unser \glqq r\grqq\ im griechischen Alphabet. Es steht f"ur \glqq representation\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geschichtliche Anmerkung}] Die Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen durch komplexe Matrizen wurde parallel von Theodor Molien in Estland (April 1897), Georg Frobenius in Berlin (November 1897) und William Burnside in Greenwich (Januar 1898) entwickelt. Die wechselseitigen Beziehungen zwischen diesen Autoren wurden von Thomas Hawkins untersucht. Er kam zu dem Schlu"s, da"s die beiden erstgenannten Autoren v"ollig unabh"angig voneinander arbeiteten und da"s Burnside's Arbeit sich auf noch fr"uhrere Arbeiten von Molien und Frobenius st"utzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G$ ein Monoid und $k$ ein Ring und $V$ ein $k$-Modul induziert das Exponentialgesetz $\op{Ens}(G,\op{Ens}(V,V))\sira \op{Ens}(G\times V,V)$ %aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Darstellungen}\\G\ra{\op{End}}(V) \end{array}\right\} \;\sira \; \left\{\begin{array}{c}\text{$G$-Operationen } G\times V\ra V\\ \text{durch $k$-lineare Abbildungen} \end{array}\right\} $$ Hierbei verstehen wir unter einer \glqq $G$-Operation durch $k$-lineare Abbildungen\grqq\ eine $G$-Operation $G \times V \ra V$ %im Sinne von \rref{Wir}{LA2} mit der Eigenschaft, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G$, $\lambda \in k$ und $v,w \in V$. \end{Bemerkungl} %% \begin{Lemma} %% Sei $G$ eine Gruppe und $k$ ein K"orper. %% \begin{enumerate} %% \item %% Ist $(\rho,V)$ eine Darstellung von $G$ "uber $k$, so ist die Abbildung %% $$\begin{array}{ccc} %% G\times V& \ra & V\\ %% (g, v) & \mapsto &(\rho (g))(v) %% \end{array}$$ %% eine Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $V$. %% \item %% Ist $G \times V \ra V$ eine Operation der Gruppe $G$ auf einem %% $k$-Vektorraum $V$ derart, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda %% v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G$, $\lambda \in k$ und $v,w \in V$, so %% definiert die Formel $(\rho (g))(v) = gv$ eine Darstellung $\rho : %% G \ra \op{GL} (V)$. %% \end{enumerate} %% \end{Lemma} %% \begin{proof}[Beweis] %% Dem Leser "uberlassen. %% \end{proof} %\begin{Beispiel} %Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung des Monoids %${\op{End}} (V) $ seiner Endomorphismen % vermittels $\rho = \op{id}$. Diese Darstellung hei"st %die \defind{Standarddarstellung} {\bf von} ${\op{End}} (V) $. %\end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung seiner Automorphismengruppe $G = \op{GL} (V) $ vermittels $\rho = \op{id}$. Diese Darstellung hei"st die \defind{Standarddarstellung} {\bf von} $\op{GL} (V) $. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Monoidhomomorphismus\label{ZIA} $\varphi:H\ra G$ k"onnen wir jede Darstellung $V$ von $G$ zur"uckziehen zu einer Darstellung $\op{res}_G^H V$ von $H$, indem wir von $\rho_V$ zu $\rho_V\circ\varphi$ "ubergehen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein Ring. Jeder $k$-Modul $V$ wird eine Darstellung eines beliebigen Monoids $G$ vermittels der {\bf trivialen Operation}\index{trivial!Operation von Monoid} $\rho (g) = \op{id}_{V} \; \forall g \in G$. Der Modul $V=k$ mit der trivialen Operation hei"st die {\bf Einsdarstellung}.\index{Einsdarstellung} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $K/k$ eine K"orpererweiterung, so ist $K$ eine Darstellung "uber $k$ der Galoisgruppe $\op{Gal} (K/k)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{PerD} Ist $G\times X\ra X$ eine Operation eines Monoids $G$ auf einer Menge $X$ und $k$ ein Ring, so wird der freie $k$-Modul $kX$ "uber $X$ mit der linear fortgesetzten Operation eine Darstellung des Monoids $G$ "uber $k$. Darstellungen dieser Bauart nennt man im Fall einer Gruppe $G$ {\bf Permutationsdarstellungen}.\index{Permutationsdarstellung} Ebenso wird der Funktionenraum $\op{Ens}(X,k)$ mit der Operation \glqq durch Vorschalten\grqq\ eine Darstellung des opponierten Monoids $G^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Eine Darstellung $(V,\rho)$ des Monoids $\DN$ anzugeben bedeutet nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZv}{GR} von $(\DN,1)$ als \glqq freies Monoid "uber der einelementigen Menge\grqq\ nichts anderes, als einen Endomorphismus $A \in {\op{End}} (V)$ eines Moduls $V$ anzugeben, n"amlich dem Endomorphismus $A = \rho (1)$. Eine Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $\DZ$ anzugeben bedeutet nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZ}{GR} von $(\DZ,1)$ als \glqq freie Gruppe "uber der einelementigen Menge\grqq\ nichts anderes, als einen Automorphismus $A \in \op{GL} (V)$ eines Moduls $V$ anzugeben, n"amlich den Automorphismus $A = \rho (1)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Darstellungen der zweielementigen Gruppe}] Sei ein K"orper $k$ gegeben. Wir untersuchen die endlichdimensionalen Darstellungen der Gruppe $\DZ/2\DZ$ "uber $k$. Eine solche\label{DD22} Darstellung $(V,\rho)$ anzugeben bedeutet nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZ}{GR} von $\DZ$ und der universellen Eigenschaft des Quotienten nichts anderes, als einen Automorphismus $A \in \op{GL} (V)$ eines $k$-Vektor\-raums $V$ anzugeben mit $A^{2} = \op{id}_{V}$, n"amlich den Automorphismus $A = \rho (1)$. Wir unterscheiden zwei F"alle. \begin{description} \item[$\op{char} k \neq 2:$] In diesem Fall ist $V$ die direkte Summe $V = V^{+} \oplus V^{-}$ der Eigenr"aume von $A$ zu den Eigenwerten $\pm 1$, f"ur alle $v\in V$ gilt n"amlich $$v = \frac{1}{2} (v + Av) + \frac{1}{2} (v - Av)$$ \item[$\op{char} k = 2:$] In diesem Fall zerf"allt das charakteristische Polynom von $A$ bereits "uber $k$ und hat nur den Eigenwert $1$. In einer geeigneten Basis von $V$ hat also $A$ eine Matrix in Jordan'scher Normalform. Aus $A^{2} = \op{id}_{V}$ folgt dann, da"s hier nur Jordanbl"ocke der Gr"o"sen eins und zwei m"oglich sind. \end{description} Um die Analoga dieser Erkenntnisse f"ur eine beliebige Gruppe, ja ein beliebiges Monoid $G$ formulieren zu k"onnen, bauen wir zun"achst unseren Begriffsapparat weiter aus. \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $V,W$ Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem festen Ring $k$. Ein {\bf Homomorphismus von Darstellungen}\index{Homomorphismus!von Darstellungen} ist eine $k$-lineare Abbildung $f:V \ra W$ mit $f(gv) = gf (v)$ f"ur alle $v \in V$, $g \in G$. Wir notieren die Gruppe aller solchen Homomorphismen $$\op{Hom}_{k,G}(V,W)$$ Ein {\bf Isomorphismus von Darstellungen}\index{Isomorphismus!von Darstellungen} ist ein bijektiver Homomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Darstellungen $V$ und $W$, so schreiben wir auch $V\cong W$ und sagen, die Darstellungen $V$ und $W$ seien {\bf isomorph}.\index{isomorph!Darstellungen} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Steht der Formalismus der Kategorientheorie zur Verf"ugung, so kann man das alles auch sehr viel effizienter sagen: Die Kategorie der Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ ist die Kategorie $$\op{Cat}([G],\op{Mod}_k)$$ aller Funktoren der Einobjektkategorie zu $G$ in die Kategorie der $k$-Moduln. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Gegeben Darstellungen $V,W$ eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ definieren wir ihre \defind{direkte Summe} als den Modul $V \oplus W$ mit der Operation $g(v,w) = (gv, gw)$. "Ahnlich definieren wir auch direkte Summen von endlich oder sogar unendlich vielen Darstellungen. Die direkte Summe von $n$ Kopien einer Darstellung $V$ k"urzen wir ab mit $V^n$ oder ausf"uhrlicher $V^{\oplus n}$. F"ur den Fall $n=0$ vereinbaren wir $V^0=0$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei wieder $k$ ein K"orper. In unserer neuen Terminologie k"onnen wir die obigen Erkenntnisse wie folgt\label{BD2} zusammenfassen: \begin{description} \item[$\op{char} k \neq 2:$] Bezeichnet $k_{+}$ beziehungsweise $k_{-}$ die Einsdarstellung beziehungsweise die nichttriviale eindimensionale Darstellung der Gruppe $G=\DZ / 2 \DZ$, so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ/ 2\DZ$ "uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt $k^{n}_{+} \oplus k^{m}_{-}$ f"ur $n, m \in \DN$. \item[$\op{char} k = 2:$] Bezeichnet $k$ beziehungsweise $P$ die Einsdarstellung beziehungsweise eine zweidimensionale Darstellung mit nichttrivialer Operation von $\DZ /2\DZ$, bei der also das nichtneutrale Element durch einen Jordanblock der Gr"o"se zwei mit Eigenwert Eins operiert, so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ /2 \DZ$ "uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt $k^{n} \oplus P^{m}$ f"ur $n, m \in \DN$. \end{description} Von den in \ref{DarM} diskutierten F"allen w"are in dieser Notation die Punktspiegelung auf der Ebene $\DR_-^2$, die Spiegelung an einer Achse $\DR_+\oplus \DR_-$, die Punktspiegelung im Raum $\DR_-^3$, die Spiegelung an einer Ebene $\DR_+^2\oplus \DR_-$, und die Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse $\DR_+\oplus \DR_-^2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In \ref{FAIn} diskutieren wir die Klassifikation aller Darstellungen der zweielementigen Gruppe "uber $\DZ$, die als $\DZ$-Moduln frei und endlich erzeugt sind. Sie zeigt, da"s die Situation schnell komplizierter wird, wenn wir nicht mehr "uber K"orpern arbeiten. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Wir wollen nun "ahnliche Aussagen auch f"ur allgemeinere Monoide formulieren und bauen dazu unseren Begriffsapparat noch weiter aus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $G$ ein Monoid und $k$ ein Ring.\label{unzD} \begin{enumerate} \item Eine Teilmenge $W \subset V$ einer Darstellung $V$ von $G$ "uber $k$ hei"st eine \defnoind{Unterdarstellung},\index{Unterdarstellung!abstrakte} wenn $W$ ein unter $G$ stabiler $k$-Untermodul ist, in Formeln $g \in G$, $w \in W \Rightarrow gw \in W$; \item Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st oder \defnoind{einfach}\index{Darstellung!einfache}\index{einfach!Darstellung, Gruppe} oder \defnoind{irreduzibel}\index{Darstellung!irreduzible}\index{irreduzibel!Darstellung, Gruppe}, wenn sie genau zwei Unterdarstellungen hat, als da hei"st, wenn $V$ nicht der Nullraum ist, aber $0$ und $V$ die einzigen Unterdarstellungen von $V$ sind. Die Menge der Isomorphieklassen einfacher Darstellungen von $G$ "uber $k$ notiere ich\index{irr@$\op{irr}(k,G)$ irreduzible Darstellungen} $$\op{irr}(k,G)$$ \item Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st \defnoind{unzerlegbar},\index{Darstellung!unzerlegbare}\index{unzerlegbar!Darstellung} wenn $V$ nicht der Nullraum ist und es keine zwei von Null verschiedenen Unterdarstellungen $W_{1},W_{2}\subset V$ gibt mit $W_{1} \oplus W_{2}\sira V$ unter dem von den Einbettungen induzierten Homomorphismus; \item Ein Element $v\in V$ einer Darstellung von $G$ hei"st \defnoind{zyklisch},\index{Element!zyklisches}\index{zyklisch!Element} wenn $V$ selbst die einzige Unterdarstellung von $V$ ist, die das Element $v$ enth"alt. Arbeiten wir "uber einem K"orper, so hei"st solch ein Element auch ein\index{Vektor!zyklischer in Darstellung} {\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor!in abstrakter Darstellung} Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st \defnoind{zyklisch},\index{Darstellung!zyklische}\index{zyklisch!Darstellung} wenn sie ein zyklisches Element besitzt. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} Jede eindimensionale Darstellung "uber einem K"orper $k$ ist einfach. In einer einfachen Darstellung ist jedes von Null verschiedene Element zyklisch. Unsere Darstellung $P$ aus \ref{BD2} ist zwar unzerlegbar und zyklisch, aber nicht einfach. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Schranke f"ur die Zahl einfacher Darstellungen}] Ein endliches Monoid $G$ hat "uber jedem K"orper $k$ bis\label{EVI} auf Isomorphismus h"ochstens soviele einfache Darstellungen wie Elemente, in Formeln $$|\op{irr}(k,G)|\leq |G|$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis als Vorschau] Zum Beweis der Proposition entwickeln wir im folgenden allgemeine Begriffe und Methoden, die Ihnen auch in anderen Kontexten st"andig begegnen werden. Genauer k"onnen wir unsere Darstellungen mit \ref{MGru} als Moduln "uber dem Monoidring $k G$ auffassen. Die Proposition folgt dann aus dem Korollar \ref{NAEK} zum Satz von Jordan-H"older f"ur Moduln. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Eine Gruppe mit vielen unzerlegbaren Darstellungen}] Proposition \ref{EVI} gilt nicht analog, wenn wir darin \glqq einfach\grqq\ durch \glqq unzerlegbar\grqq\ ersetzen: Bereits f"ur die Klein'sche Vierergruppe gibt es "uber dem K"orper mit zwei Elementen unzerlegbare Darstellungen beliebig gro"ser Dimension. %, siehe \cite{Ben}, 4.3. In der Tat ist der Gruppenring in dem Fall isomorph zu $\mathbb F_2[a,b]$ mit $a^2=b^2=0$ und wir zeigen nun f"ur jeden K"orper $k$, da"s der Ring $k[a,b]/\langle a^2, b^2\rangle$ unzerlegbare Moduln jeder ungeraden Dimension hat. Dazu betrachten wir die Moduln $V\pdef k^{2n+1}$ mit $a:\op{e}_{2i}\mapsto \op{e}_{2i+1}$ und $b:\op{e}_{2i}\mapsto \op{e}_{2i-1}$ f"ur $1\leq i\leq n$ und $a,b:\op{e}_{2i+1}\mapsto 0$ f"ur $0\leq i\leq n$. Dann gilt $\op{ker}a=\op{ker}b$ und wir k"onnen folglich $$\phi:a(V)\ra V$$ definieren durch $\phi:v\mapsto b(a^{-1}(v))$. Man erkennt $a(V)= \langle \op{e}_3, \op{e}_5, \ldots, \op{e}_{2n+1}\rangle$ und $\phi(\op{e}_{2i+1})=\op{e}_{2i-1}$ f"ur $1\leq i\leq n$. Insbesondere ist $\phi$ injektiv und die Kodimension von $\phi(a(V))\cap a(V)$ in $a(V)$ ist Eins. Aus $V=U\oplus W$ folgt $a(V)=a(U)\oplus a(W)$ und so $\phi(a(U))\subset U$ und $\phi(a(W))\subset W$. Mit dem Vorhergehenden folgt weiter $$\phi(a(U))\cap a(U)=a(U)\quad\text{oder}\quad \phi(a(W))\cap a(W)=a(W).$$ Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit gelte Ersteres. Wegen der Injektivit"at von $\phi$ folgt daraus $\phi(a(U))=a(U)$. Das impliziert $a(U)=0$, denn sonst g"abe es ein kleinstes $i$ mit $a(U)\subset \langle \op{e}_3, \op{e}_5, \ldots, \op{e}_{2i+1}\rangle$ im Widerspruch zu $\phi(a(U))=a(U)$. Wir haben also $U\subset \op{ker}a=\op{ker}b$ und damit $a(U)=b(U)=0$. Wegen $a(V)+b(V)=\op{ker}a=\op{ker}b$ folgt daraus $a(W)+b(W)=\op{ker}a=\op{ker}b$ und wegen $\big(a(W)+b(W)\big)\cap U=0$ schlie"slich $U=0$. \end{Bemerkunge} %Damit erhalten wir eine Filtrierung %auf $\op{im}a$ durch %$$\op{im}a \supset \phi^{-1}(\op{im}a)\supset %\ldots \supset \phi^{-n}(\op{im}a)=0$$ %mit eindimensionalen Subquotienten. Das aber zeigt, da"s %f"ur jede Zerlegung unserer Darstellung %in zwei direkte Summanden $V=U\oplus W$ f"ur einen Summanden $W$ gilt %$\op{im}(a|W)=0$ und damit %$W\subset \langle\op{e}_{2i+1}\mid 0\leq i\leq n\rangle$. %Es ist aber explizit %klar, da"s es einen derartigen Summanden nicht geben kann. %\end{Bemerkunge} \begin{Beispielg}[\textbf{Schwingungen eines Methanmolek"uls}] Ein Methanmolek"ul k"onnen wir uns als einen Tetraeder denken mit jeweils einem Wasserstoffatom an jeder der vier Ecken und einem Kohlenstoffatom in der Mitte. Wir denken uns im folgenden diese Atome durch eine Art Federn verbunden und beschreiben den Zustand unseres Molek"uls durch eine Abbildung $$\varphi:\{0,1,2,3,4\}\ra\mathbb E$$ in den Anschauungsraum, einen dreidimensionalen affinen euklidischen Raum $\mathbb E$, mit der Konvention, da"s $\varphi(0)$ die Position des Kohlenstoffatoms angeben m"oge und die anderen $\varphi(i)$ die Positionen der vier Wasserstoffatome. Die Menge aller derartigen Abbildungen $\varphi$ notieren wir $M$. In der in \eref{neS}{AN2} eingef"uhrten Terminologie ist $M$ der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems. Das Vorschalten einer Permutation $\sigma\in\mathcal S_4$, fortgesetzt auf $\{0,1,2,3,4\}$ durch $0\mapsto 0$, induziert eine Rechtsoperation von $\mathcal S_4$ auf $M$ und a forteriori eine Rechtsoperation von $\mathcal S_4$ auf seinem Geschwindigkeitsphasenraum $\tT M={\op{T}}M\langle 1/\ph{s}\rangle$, wie er in \eref{GPR}{AN2} eingef"uhrt wird. Andererseits operiert die Gruppe ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)$ der orthogonalaffinen Automorphismen des Anschauungsraums durch Nachschalten von links auf unserem Konfigurationsraum $M$ und a forteriori auf seinem Geschwindigkeitsphasenraum $\tT M$. Diese beiden Operationen kommutieren und liefern durch "Ubergang zur Linksoperation der inversen Permutation eine Operation von ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)\times \mathcal S_4$ auf $M$ und $\tT M$. Offensichtlich sind sowohl die Potentialfunktion $V$ als auch die Funktion der kinetischen Energie $K$ invariant unter der Operation von ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)\times \mathcal S_4$. Bei jedem Methanmolek"ul in Ruhe $p\in M\subset \tT M$ verschwindet die kinetische Energie $K$ und das Potential $V:M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ nimmt ein lokales Minimum an. Die Isotropiegruppe von $p$ ist in diesem Fall eine diagonal eingebettete Kopie von $\mathcal S_4$. Unter dem Isomorphismus ${\op{T}}_pM\sira M, \vec v\mapsto p+\vec v$ entspricht in diesem Fall die das Potential $V$ bei $p$ approximierende Quadrik bis auf eine additive Konstante einer energiewertigen homogenen quadratischen Form auf ${\op{T}}_pM$ und die kinetische Energie einer energiewertigen positiv definiten homogenen quadratischen Form auf $\tT_p M={\op{T}}_pM\langle 1/\ph{s}\rangle$ alias einer positiv definiten quadratischen Form auf ${\op{T}}_pM$ mit Werten in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$. Beide Formen sind invariant unter $\mathcal S_4$, folglich sind auch die Eigenr"aume nach \eref{EREW}{LA2} des quadratischen Anteils der potentiellen Energie in Bezug auf die durch die kinetische Energie gegebene euklidische Struktur stabil unter $\mathcal S_4$ und damit Darstellungen von $\mathcal S_4$. Die zugeh"origen Eigenwerte sind Elemente von $\langle {\ph{s}}^{-2}\rangle$ und deren Wurzeln sind nach \eref{KlSw}{AN2} die Frequenzen der \glqq kleinen Schwingungen\grqq\ unseres Molek"uls. Die Symmetrien unseres Systems erzwingen Vielfachheiten von Eigenwerten \nichtfinal{(genauer erkl"aren!)}. Gewisse Spektrallinien werden also in mehrere nah beieinander liegende Linien aufspalten, sobald man die Symmetrie bricht, etwa durch das Anlegen eines Magnetfeldes. \end{Beispielg} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Darstellungen in Charateristik $p$ von $p$-Gruppen}] Gegeben eine Primzahl $p$ besitzt jede $p$-Gruppe $G$ "uber einem K"orper der Charakteristik $p$ bis auf Isomorphismus nur eine einzige einfache Darstellung, in Formeln $$(|G|=p^n\text{ und }{\op{char}}k=p)\;\RA\; |\op{irr}(k,G)|=1$$ Hinweis:\label{pGD} Man beginne mit dem Fall zyklischer Gruppen und verwende dann Satz \eref{AL}{AL} "uber die Struktur von $p$-Gruppen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Zur"uckziehen mit inneren Automorphismen}] Man zeige, da"s wir beim Zur"uckziehen nach \ref{ZIA} einer Darstellung eines Monoids $G$ mit einem inneren Automorphismus,\index{innerer Automorphismus!eines Monoids} also einem durch die Konjugation mit einem inveriertbaren Element gegebenen Automorphismus\label{ZIAu} $G\ra G$, eine zur urspr"unglichen Darstellung isomorphe Darstellung erhalten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Im Fall der Operation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$ liefert die offensichtliche Einbettung $kX\hra \op{Ens}(X,k)$ einen Homomorphismus von Darstellungen, wenn man die Operation rechts mit dem durch das Invertieren gegebenen Isomorphismus $\op{inv}:G\sira G^{\op{opp}}$ zu einer Operation von $G$ zur"uckzieht. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Stabilisiert eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums ein Gitter alias den $\DZ$-Spann einer Basis, so nennt man sie \defind{kristallographisch}. Gleichbedeutend ist nach \ref{ZForm} die Forderung, da"s sie bez"uglich einer geeigneten Basis durch Matrizen mit rationalen Eintr"agen dargestellt wird. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ "uber $\DQ$ eines endlichen Monoids $G$\label{ZForm} gibt es stets eine {\bf $\DZ$-Form}\index{Z-Form@$\DZ$-Form!einer Darstellung}, als da hei"st, ein unter $G$ stabiles Gitter $V_\DZ\subset V $. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben eine Darstellung $(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ erhalten wir eine Darstellung $(V^\ast,\rho^\ast)$ auf dem Dualraum durch die Vorschrift\label{KGD} $\rho^\ast(g)\pdef(\rho(g^{-1}))^\top$. Sie hei"st die {\bf kontragrediente Darstellung}\index{kontragredient!Darstellung von Gruppe} zur Darstellung $(V,\rho)$. Man zeige, da"s eine endlichdimensionale Darstellung einfach ist genau dann, wenn die zugeh"orige kontragrediente Darstellung einfach ist. Man gebe ein Beispiel f"ur eine eindimensionale Darstellung, die nicht zu ihrer kontragredienten Darstellung isomorph ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Dimension einer zyklischen und erst recht einer einfachen Darstellung eines Monoids "uber einem K"orper ist beschr"ankt durch die Kardinalit"at des dargestellten Monoids. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Quaternionen aufgefa"st als reeller Vektorraum eine einfache Darstellung\label{BsQ} der achtelementigen Quaternionengruppe bilden, wie sie in \eref{QuatG}{AL} eingef"uhrt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele Unterdarstellungen hat die Darstellung $\DR_+\oplus \DR_-$ der Gruppe $\DZ/2\DZ$? Ist sie zyklisch? Was ist die Dimension des Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe alle Unterdarstellungen der Darstellung $\DR_+^2\oplus \DR_-$ der Gruppe $\DZ/2\DZ$ an. Ist diese Darstellung zyklisch? Was ist die Dimension des Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Dimension des Raums der Homomorphismen von Darstellungen $(\DR_+^n\oplus \DR_-^m)\ra (\DR_+^a\oplus \DR_-^b)$. \end{Ubung} \subsection{Darstellungen als Moduln "uber dem Gruppenring}\label{DMGR} \begin{Bemerkungl}\label{GruR} Gegeben ein Ring $k$ und ein Monoid $G$ erkl"aren wir den \defind{Monoidring} $$k G$$ des Monoids $G$ "uber $k$ wie folgt: Als abelsche Gruppe ist $k G$ wie in \eref{kX}{LA1} die Menge aller Abbildungen $f: G \ra k$, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte annehmen. So eine Abbildung schreiben wir als eine formale Linearkombination $\sum f(g) g$ von Elementen aus $G$ mit Koeffizienten aus $k$. Die Multiplikation $\ast$ in $k G$, manchmal auch {\bf Konvolution}\index{Konvolution!Multiplikation eines Monoidrings} oder {\bf Faltung}\index{Faltung!Multiplikation eines Monoidrings} genannt, erkl"aren wir durch die Vorschrift $$\left(\sum_{g\in G} a_{g} g\right) {\ast} \left(\sum_{h \in G}b_{h}h\right) = \sum_{x \in G} \left(\sum_{gh=x} a_{g}b_{h}\right)x$$ Die\index{)8a@$*$ Faltung!in Gruppenring} innere Summe rechts l"auft dabei "uber alle Paare $(g,h)\in G\times G$ mit $gh=x$. Offensichtlich erhalten wir so einen Ring mitsamt einem Ringhomomorphismus $k\hookrightarrow k G$, $a\mapsto ae$ f"ur $e\in G$ das neutrale Element und einem Monoidhomomorphismus $G \ra k G$, $g\mapsto 1g$ in das multiplikative Monoid des Rings $kG$. Ist $k$ ein K"orper, so ist dieser Monoidhomomorphismus, wenn wir ihn als eine durch $G$ indizierte Familie von Elementen von $kG$ auffassen, offensichtlich eine Basis von $k G$ "uber $k$. F"ur Ringe gilt dasselbe mit dem auf Moduln erweiterten Basisbegriff aus \eref{BMoo}{KAG}. Wir schreiben meist kurz $ae=a$ und $1g=g$, auch wenn wir eigentlich Elemente des Monoidrings meinen, und notieren die Faltung oft ohne $*$ schlicht durch Hintereinanderschreiben. Ist unser Monoid eine Gruppe, so nennt man unseren Monoidring auch den {\bf Gruppenring}.\index{Gruppenring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsvarianten f"ur Monoidringe}] H"aufig wird der Monoidring in der Literatur $k[G]$\index{)5]@$k[G]$ Monoidring} notiert. Zu dem in diesem Text befolgten Notationsschema pa"st das nicht, da ich mir ja in \eref{NfE}{AL} vorgenommen hatte, eckige Klammern vorzugsweise f"ur die Erzeugung als Ring \glqq durch kommutierende Erzeuger\grqq\ zu verwenden. Um dieser Konvention zu folgen, sollten wir hier besser $k\lfloor G\rfloor$ schreiben. Stattdessen benutze ich gerne die alternative Notation $k\langle G\rangle$, denn als $k$-Modul ist der Monoidring in der Tat erzeugt, ja sogar frei erzeugt von $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialnotation f"ur Monoidringe}] Die eben eingef"uhrte Notation f"ur Monoidringe ist nur im Fall multiplikativ notierter Monoide praktisch. Im Fall additiv notierter Monoide ist bereits der Ausdruck $g+h$ zweideutig, es k"onnte damit entweder\label{NotE} die Summe im Monoid $1(g+h)$ oder die Summe im Monoidring $1g+1h$ gemeint sein. Aus diesem Grund schreibt man im Fall additiv notierter Monoide Elemente des Monoidrings lieber in der Form $\sum a_g \op{e}^g$, wobei die Notation $\op{e}^g$ rein formale Bedeutung hat. Dann gilt etwa im Monoidring $\op{e}^{g+h}=\op{e}^g\op{e}^h\neq \op{e}^g+\op{e}^h$ und man kann wieder ganz intuitiv rechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Polynomring als Monoidring}] Wir erhalten einen Isomorphismus $k \langle\DN\rangle\sira k[T]$ zwischen dem\label{MoiR} Monoidring des Monoids $ \DN$ "uber einem Ring $k$ und dem Polynomring $k[T]$ mit Koeffizienten in $k$ durch die Vorschrift $\sum a_n \op{e}^n\mapsto \sum a_n T^n$. In diesem Fall ist die Exponentialnotation im Sinne von \ref{NotE} eher ungew"ohnlich und l"adt zu Mi"sverst"andnissen ein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Ring der Laurentpolynome als Gruppenring}] Wir erhalten einen Isomorphismus $k \langle\DZ\rangle\sira k[T,T^{-1}]$ zwischen dem\label{MoiR} Gruppenring der Gruppe $ \DZ$ "uber einem Ring $k$ und dem Ring $k[T,T^{-1}]$ der Laurentpolynome mit Koeffizienten in $k$ durch die Vorschrift $\sum a_n \op{e}^n\mapsto \sum a_n T^n$. Im Fall der additiven Gruppe $\DZ$ ist die Exponentialnotation im Sinne von \ref{NotE} eher ungew"ohnlich und l"adt zu Mi"sverst"andnissen ein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Moduln "uber dem Monoidring}] Seien $G$ ein Monoid und $k$ ein Ring. Sei weiter $M$ eine abelsche\label{MGru} Gruppe. Das Einschr"anken einer Abbildung $kG\times M\ra M$ zu Abbildungen $k\times M\ra M$ und $G\times M\ra M$ liefert dann die vertikale Bijektion im Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{$kG$-Modulstrukturen}\\kG\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\}&&\\[2mm] \da\wr&&\\[2mm] \left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \\ \text{zusammen mit $G$-Operation}\\G\times M\ra M\\ \text{durch $k$-lineare Abbildungen} \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \\ \text{zusammen mit einem}\\ \text{Monoidhomomorphismus}\\G\ra {\op{End}}_k( M) \end{array}\right\} \end{array} $$ wobei die horizontale Bijektion wie so oft schon wieder einmal von unserer Bijektion $\op{Ens}(G\times M,M)\sira \op{Ens}(G,\op{Ens}(M,M))$ aus \eref{ABBK}{GR} herkommt und ${\op{End}}_k( M)$ das multiplikative Monoid des Rings ${\op{End}}_k( M)$ meint. Des weiteren haben wir f"ur je zwei Darstellungen $V,W$ eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ die Gleichheit $$\op{Hom}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_{kG}(V,W)$$ von Homomorphismen von Darstellungen und Homomorphismen von Moduln. In diesem Sinne ist eine Darstellung eines Monoids $G$ "uber $k$ also \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $kG$-Modul. Wir werden einen guten Teil der Darstellungstheorie von Gruppen aus der Spezialisierung von Resultaten f"ur Moduln "uber Ringen erhalten, die hinwiederum durch die Methoden der linearen Algebra f"ur Moduln "uber K"orpern alias Vektorr"aume motiviert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe nennen wir ein {\bf Gitter}.\index{Gitter} In anderen Zusammenh"angen versteht man unter einem \glqq Gitter\grqq\ abweichend eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $X$ zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $X\times X\ra \DZ$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Gitter mit Involution}] Jedes Gitter mit\label{FAIn} Involution $(X,\sigma)$ ist isomorph als Darstellung der zweielementigen Gruppe "uber $\DZ$ zu einer endlichen direkten Summe von Kopien von $(\DZ,{\op{id}})$, $(\DZ,-{\op{id}})$ und $(\DZ^2, \tau)$ f"ur $\tau$ die Vertauschung der beiden Eintr"age. Die Zahl der jeweiligen Summanden ist dabei wohlbestimmt. \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Ein Student k"onnte mal versuchen, unzerlegbare Darstellungen anderer kleiner Gruppen "uber $\DZ$ zu klassifizieren. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $X^\pm\pdef \{\lambda\in X\mid \sigma(\lambda)=\pm\lambda\}$. Die Existenz einer Zerlegung der %in der Proposition beschriebenen Art ist klar im Fall $X=X^++X^-$. Gibt es dahingegen $\lambda\in X$ mit $\lambda\not\in (X^++X^-)$, so haben wir $2\lambda=(\lambda+\sigma(\lambda))+(\lambda-\sigma(\lambda))$, also $2\lambda=\mu^++\mu^-$ mit $\mu^\pm\in X^\pm\backslash 0$. Wir pr"ufen nun, da"s $$Z=Z(\lambda)\pdef\{\nu\in X\mid \exists m\in\DZ_{\neq 0} \text{ mit }m\nu\in \DZ\mu^++\DZ\mu^-\}$$ ein unter $\sigma$ stabiles zu $(\DZ^2,\tau)$ isomorphes Untergitter ist. Dazu pr"ufen wir sun"achst einmal $$Z^++Z^-\supsetneq 2Z \supsetneq 2Z^++2Z^-$$ Die Inklusionen gelten hierbei f"ur jedes unter $\sigma$ stabile Untergitter. Nur da"s sie echt sind, mu"s noch gezeigt werden. Wegen $2\lambda=\mu^+ + \mu^-$ gilt $\lambda \in Z$. Andererseits gilt nach Annahme $\lambda \not\in Z^++Z^-$, ja sogar $\lambda \not\in X^++X^-$. So folgt $Z\supsetneq Z^+ + Z^-$ und dann auch $2Z\supsetneq 2Z^+ + 2Z^-$. Andererseits haben wir offensichtlich $\mu^+\in Z^+$, aber $\mu^+\not\in 2Z$, da sonst wegen $2\lambda\in 2Z$ folgte $\mu^-\in 2Z$ und $\lambda=\mu^+/2 + \mu^-/2$ l"age doch in $ X^++X^-$ im Widerspruch zu unserer Annahme. also gilt auch $Z^++Z^-\supsetneq 2Z$ und zusammen $Z^++Z^-\supsetneq 2Z \supsetneq 2Z^++2Z^-$ wie gew"unscht. Ein zweidimensionaler $\mathbb F_2$-Vektorraum hat nun nur genau drei eindimensionale Untervektorr"aume und folglich kommen f"ur das Bild von $2Z$ in $(Z^++Z^-)/(2Z^+ + 2Z^-)$ nur die drei Unterr"aume in Betracht, die von den Bildern von $\nu^+, \nu^-$ und $\nu^++ \nu^-$ erzeugt werden f"ur $\nu^\pm\in Z^\pm$ jeweils Erzeuger dieser abelschen Gruppen. In den beiden ersten F"allen h"atten wir aber $Z=Z^+ + Z^-$ im Widerspruch zu unseren Annahmen, also m"uusen wir im letzten Fall sein und $(Z, \sigma)$ ist isomorph zu $(\DZ^2,\tau)$. Nach Konstruktion ist nun $X/Z$ auch ein Gitter. Bilden wir zur kurzen exakten Sequenz $Z\hra X\sra X/Z$ durch Anwenden von $\op{Hom}_\DZ(\;,\DZ)$ die duale Sequenz, so erhalten wir wieder eine kurze exakte Sequenz $(X/Z)^*\hra X^*\sra Z^*$. Diese mu"s aber spalten als Sequenz von Moduln "uber dem Gruppenring $\DZ[\sigma]/\langle \sigma^2-1\rangle$, da $Z^*$ ebenso wie $Z$ frei zyklisch ist "uber dem Gruppenring alias isomorph zu unserem Ring als Modul "uber sich selber. Damit spaltet auch die urspr"ungliche Sequenz und wir k"onnen den Beweis der Existenz einer Zerlegung der beschriebenen Art mit Induktion zu Ende bringen. Die Zahl der jeweiligen Summanden wird eindeutig festgelegt durch die Dimensionen der $\sigma$-Eigenr"aume in $\op{Hom}(X,\DQ)$ und die Dimension des $\mathbb F_2$-Vek\-torraums $X/(X^++X^-)$. Da"s dieser Quotient auch in der Tat ein Vektorraum "uber $\mathbb F_2$ ist, folgt aus der Identit"at $2\lambda=(\lambda+\sigma(\lambda))+(\lambda-\sigma(\lambda))$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Meines Wissens ist derzeit (2020) nicht bekannt, ob der Gruppenring jeder torsionsfreien Gruppe "uber jedem kommutativen Integrit"atsbereich auch selbst ein Integrit"atsring ist. Im Fall von Koeffizienten in einem K"orper ist das die sogenannte {\bf Nullteilervermutung von Kaplansky}.\index{Kaplansky!Nullteilervermutung}\index{Nullteilervermutung} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Dirac-Notation f"ur Monoidringe}] Gegeben ein Kring $k$ induziert jede Abbildung $X_1\times\ldots\times X_n\ra Y$ von Mengen eine $k$-multilineare Abbildung $$kX_1\times\ldots\times kX_n\ra kY$$ in nat"urlicher Weise. Interpretiert man im Fall $k=\DR$ oder $k=\DC$ die Elemente von $kX$ als kompakt getragene endliche Ma"se auf dem diskreten Raum $X$, so kann unsere $k$-multilineare Abbildung als das Bilden des Bildma"ses zum Produktma"s beschrieben werden. Die Multiplikation des Monoidrings ergibt sich dann aus der Verkn"upfung des zugrundeliegenden Monoids als das Bildma"s $$\mu\ast\nu=\op{mult}_*(\mu\boxtimes\nu)$$ des Produktma"ses unter der Verkn"upfungsabbildung $\op{mult}:G\times G\ra G$. Im Fall $n=0$ wird jeder Abbildung $\{*\}\ra Y$ aus dem leeren Produkt mit $*\mapsto y$ eine Abbildung $\{*\}\ra kY$ zugeordnet und das Bild von $*$ entspricht dem Diracma"s $\delta_y$, das dem Punkt $y$ das Ma"s $1$ gibt und allen anderen Punkten das Ma"s Null. Ich will, auch wenn $k$ nicht $\DR$ oder $\DC$ ist, Elemente von Monoidringen vorzugsweise als eine Art von Ma"sen auffassen und verwende auch in dieser Allgemeinheit die Notation $\delta_y\in kY$ entsprechend. Insbesondere ist f"ur $e\in G$ das neutrale Element damit $\delta_e$ die Eins des Monoidrings. Mehr dazu wird in \eref{skfh}{TSK} besprochen, wo wir auch die alternative Notation $\op{Ma"s}_!(X;k)=kX$ einf"uhren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Funktionen und Ma"se}] Gegeben ein Kring $k$ und ein Monoid $G$ mag man auch den Kring $\op{Ens}(G,k)$ der Funktionen auf $G$ betrachten. Er tr"agt nat"urliche Operationen von $G$ von links und rechts durch $(yf)(x)\pdef f(xy)$ und $(fy)(x)=f(yx)$. Ebenso tr"agt auch der Gruppenring $\op{Ma"s}_!(G;k)=kG$ nat"urliche Operationen von $G$ von links und rechts durch $y\mu\pdef \delta_y\ast \mu$ und $\mu y \pdef \mu\ast\delta_y$. Man mag nun versucht sein, mit der Einbettung von $k$-Moduln $$\op{Ma"s}_{!}(G;k)\hra\op{Ens}(G,k)$$ zu arbeiten, die gegeben wird durch $\delta_x\mapsto [x]$ f"ur $[x]$ die charakteristische Funktion der einelementigen Menge $\{x\}$. Das ist aber keine gute Idee, da diese Abbildung weder mit der Linksoperation noch mit der Rechtsoperation von $G$ vertr"aglich ist. Nat"urlicher ist es, $\op{Ens}(G,k)$ als den Dualraum zu $\op{Ma"s}_{!}(G;k)$ aufzufassen. F"ur die entsprechende Paarung $$\langle \;,\, \rangle:\op{Ma"s}_!(G;k)\times \op{Ens}(G,k)\ra k$$ gilt $\langle y\mu,f\rangle=\langle \mu,fy\rangle$ sowie $\langle \mu y,f\rangle=\langle \mu,yf\rangle$ f"ur alle Ma"se $\mu$, Funktionen $f$ und Elemente $y\in G$. Ist $G$ eine Gruppe, so ist zus"atzlich die Abbildung\label{FuM}\index{inz@$\op{inz}$} $$\op{inz}:\op{Ma"s}_!(G;k)\hra\op{Ens}(G;k)$$ gegeben durch $\delta_x\mapsto [x^{-1}]$ vertr"aglich mit den nat"urlichen $G$-Wirkungen von rechts und links. Die Abk"urzung $\op{inz}$ meint hier \glqq durch das Z"ahlma"s teilen und das Invertieren vorschalten\grqq. Wir wollen stets $kG=\op{Ma"s}_!(G;k)$ verstehen und selbst im Fall endlicher Gruppen oder Mengen der Versuchung widerstehen, diesen Raum leichtfertig mit $\op{Ens}(G,k)$ zu identifizieren. Vern"unftig ist auch im Fall endlicher Gruppen vielmehr eine Identifikation mit besagter Abbildung $\op{inz}$, die in diesem Fall sogar ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Monoidrings}] Gegeben ein Ringhomomorphismus $\varphi: k\ra R$ und ein Monoid $G$ und Monoidhomomorphismus $\psi:G\ra (R,\cdot)$ mit der Eigenschaft $\varphi(a)\psi(g) =\psi(g)\varphi(a)\;\forall a\in k$, $g\in G$ gibt es genau einen Ringhomomorphismus $kG\ra R$, der $\varphi$ und $\psi$ fortsetzt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es f"ur jeden Ring $k$ und $G=\{e,g\}$ eine zweielementige Gruppe genau einen Ringisomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira kG$ gibt mit $\bar{X}\mapsto g$. Man folgere aus dem abstrakten chinesischen Restsatz weiter f"ur $k$ einen K"orper mit $\op{char}k\neq 2$ einen Isomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira k\times k$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GrEW} Man zeige, da"s der Gruppenring der Gruppe $\DZ/n\DZ$ "uber einem K"orper $k$ isomorph ist zum Quotienten $k[X]/\langle X^n-1\rangle$ des Polynomrings. Im Fall, da"s $X^n-1$ "uber $k$ in Linearfaktoren zerf"allt, zeige man weiter, da"s die einfachen Darstellungen alle eindimensional sind und da"s ihre Isomorphieklassen parametrisiert werden durch die Wurzeln dieses Polynoms. Unter der Annahme, da"s zus"atzlich das Bild von $n$ in $k$ nicht verschwindet, zeige man weiter, da"s dieser Gruppenring auch isomorph ist zum Produkt $k\times \ldots \times k$ von $n$ Kopien des K"orpers $k$. Im Fall $k=\DC$ liefert etwa die diskrete Fouriertransformation aus \eref{hbhc}{AN3} einen derartigen Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $G\supset N$ eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe. Man zeige, da"s $N$ genau dann ein Normalteiler ist, wenn die die $N$-linksinvarianten Elemente $\DZ[G]^N$ des Gruppenrings von $G$ einen $\DZ[G]$-Unterlinksmodul bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine {\bf Frobenius-Algebra}\index{Frobenius-Algebra} ist eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $\langle \;,\;\rangle$ derart, da"s gilt $\langle ab,c\rangle=\langle a,bc\rangle$ f"ur alle Elemente $a,b,c$ unserer Ringalgebra. Man zeige, da"s der Gruppenring einer endlichen Gruppe $G$ mit der Bilinearform $\langle h,f\rangle\pdef [e](hf)$ eine Frobenius-Algebra ist. Hier meint $[e]$ das Auswerten am neutralen Element als Linearform auf dem Gruppenring. \end{Ubung} \newpage \section{Moduln "uber Mengen} \subsection{Begrifflichkeit der Mengenmoduln} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Ein {\bf $\Omega$-Mengenmodul}\index{Mengenmodul} oder kurz {\bf $\Omega$-Modul} ist %wie in \eref{OmeM}{KAG} ein Paar $(M,\sigma)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $M$ und einer Abbildung\label{OMO} $$\sigma:\Omega\ra \op{Ab}(M)$$ von $\Omega$ in den Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. Wir verwenden in diesem Kontext die Abk"urzung $\omega m\pdef (\sigma(\omega))(m)$. \end{Definition} \begin{Beispiele} Gegeben ein K"orper $k$ ist ein $k$-Vektorraum ein $k$-Mengenmodul mit zus"atzlichen Eigenschaften. Ein $\emptyset$-Modul ist eine abelsche Gruppe. \end{Beispiele} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Eine Abbildung $f: M \ra N$ von $\Omega$-Moduln hei"st ein {\bf Modulhomomorphismus},\index{Modulhomomorphismus} wenn sie ein Homomorphismus von abelschen Gruppen ist und wenn zus"atzlich gilt $$ f(\omega m)= \omega f(m) \quad \forall m \in M, \omega \in \Omega$$ und erhalten so die Kategorie $\Omega\op{-Mod}=\op{Mod}_{\Omega}$ der $\Omega$-Moduln. \end{Definition} \begin{Beispiele} Gegeben ein K"orper $k$ ist eine $k$-lineare Abbildung von $k$-Vek\-tor\-r"au\-men dasselbe wie $k$-Modulhomomorphismus der zugrundeliegenden Mengenmoduln. Ein Homomorphismus von $\emptyset$-Moduln ist ein Homomorphismus von abelschen Gruppen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $R$ unterscheiden wir zwischen $R$-Moduln im Sinne von \eref{LM}{KAG}, die wir ausf"uhrlicher {\bf $R$-Ringmoduln}\index{Ringmodul} nennen, und $R$-Meng\-en\-mo\-duln, die wir hier eingef"uhrt haben. Homomorphismen von $R$-Ringmoduln und $R$-Mengenmoduln sind dieselben, aber es gibt f"ur gew"ohnlich mehr Moduln "uber der Menge $R$ als "uber dem Ring $R$. Ich verwende f"ur beide dieselbe Notation $R\op{-Mod}=\op{Mod}_R$ in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist. Die $R^{\op{opp}}$-Ringmoduln sind ebenfalls $R$-Meng\-en\-mo\-duln. Diese notiere ich vorzugsweise $\op{Mod-}R=\op{Mod}_{-R}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Monoid $G$ gilt es zu unterscheiden zwischen Darstellungen von $G$ "uber $\DZ$ im Sinne von \ref{DMr}, die wir auch ausf"uhrlicher {\bf $G$-Monoidmoduln}\index{Monoidmodul} nennen, und den $G$-Meng\-en\-mo\-duln, die wir hier eingef"uhrt haben. Die $G$-Mo\-noid\-mo\-duln bilden eine volle Unterkategorie der $G$-Mengenmoduln. Ich verwende f"ur beide dieselbe Notation $G\op{-Mod}=\op{Mod}_G$ in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Darstellung eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ ist ein Modul "uber der Menge $k\sqcup G$ mit gewissen Zusatzeigenschaften. Ich notiere die Kategorie dieser Darstellungen $$(G,k)\op{-Mod}=\op{Mod}_{k,G}$$ Allgemein sollen durch Kommata getrennte Aufz"ahlungen operierender Mengen bedeuten, da"s die Operationen der Elemente der verschiedenen Mengen miteinander kommutieren. Wenn in der Aufz"ahlung Monoide oder Ringe auftreten, wird a priori implizit gefordert, da"s diese auch als Ringe beziehungsweise Monoide operieren, und zwar von links, wenn sie auf der linken Seite des K"urzels $\op{Mod}$ stehen, und von rechts, wenn sie auf der rechten Seite stehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man h"atte fast Lust, im vorhergehenden $\op{Ab}$ statt $\op{Mod}$ zu schreiben, aber das habe ich mich nicht getraut. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft injektiver Modulhomomorphismen}] Injektive Modulhomomorphismen $i:U\hra M$ haben die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden Modulhomomorphismus $\varphi:X\ra M$ mit $\varphi(X)\subset U$ die induzierte Abbildung $\varphi:X\ra U$ auch ein Modulhomomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein $\Omega$-Modul. Eine Teilmenge $L\subset M$ hei"st ein {\bf $\Omega$-Untermodul} oder ausf"uhrlicher {\bf Untermengenmodul}\index{Untermengenmodul}, wenn sie eine abelsche Untergruppe ist mit der Eigenschaft $l\in L,\omega\in\Omega\RA \omega l\in L$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge eines $\Omega$-Moduls ist genau dann ein $\Omega$-Untermodul, wenn sie so mit der Struktur eines $\Omega$-Moduls versehen werden kann, da"s die Einbettung eine Modulhomomorphismus ist. Die Modulstruktur auf besagter Teilmenge ist dann eindeutig bestimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ein $k$-Untervektorraum eines $k$-Vektorraums $V$ ist dasselbe wie ein $k$-Untermengenmodul von $V$. Der Kern und das Bild jedes Homomorphismus von Mengenmoduln ist ein Untermengenmodul. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Der Schnitt "uber ein beliebiges System von Untermoduln eines Moduls ist wieder ein Untermodul. Gegeben ein $\Omega$-Modul $M$ und eine Teilmenge $T\subset M$ gibt es also einen kleinsten Untermodul $U\subset M$, der $T$ umfa"st. Wir notieren ihn $$\langle T\rangle_\Omega\pdef U$$ und nennen ihn den {\bf von $T$ erzeugten Untermodul}. Er kann explizit beschrieben werden als die von allen $\omega_r\ldots\omega_1 m$ f"ur $r\geq 0$ und $\omega_i\in \Omega$ und $m\in M$ erzeugte abelsche Untergruppe. Ein Modul hei"st {\bf endlich erzeugt}, wenn er von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird. Er hei"st {\bf zyklisch}, wenn er von einer einelementigen Teilmenge erzeugt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft surjektiver Modulhomomorphismen}] Surjektive Modulhomomorphismen $p:M\sra Q$ haben die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden Modulhomomorphismus $\varphi:M\ra Y$ mit $\op{ker}p\subset \op{ker}\varphi$ die induzierte Abbildung von abelschen Gruppen $\varphi:Q\ra Y$ ein Modulhomomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\Omega$ eine Menge, $M$ ein $\Omega$-Modul und $L\subset M$ ein Untermodul gibt es auf der Restklassengruppe $M/L$ genau eine Struktur als $\Omega$-Modul derart, da"s die Projektion $M\sra M/L$ ein Modulhomomorphismus ist. Wir nennen $M/L$ mit dieser Struktur den {\bf Quotient von $M$ nach $L$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Der Quotient eines Vektorraums nach einem Untervektorraum ist ein Beispiel f"ur einen Quotientenmodul. In diesem Fall ist der Quotient st"arker nicht nur ein Mengenmodul, sondern sogar wieder ein Vektorraum. \end{Beispiel} \subsection{Einfache Moduln und Kompositionsreihen}\label{NEMK} \begin{Definition} Gegeben ein Modul $M$ "uber einer Menge $\Omega$ definieren wir seine {\bf L"ange}\index{L"ange!eines Moduls}\index{l@$\op{l}(M)$ L"ange von $M$} $$\op{L"ange}_\Omega(M)=\op{L"ange}(M)=\op{l}_\Omega(M)=\op{l}(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$ als\index{L"ange@$\op{L"ange}(M)$ L"ange von $M$} das Supremum "uber alle $n$ derart, da"s es in $M$ eine echt absteigende Kette von Untermoduln gibt der Gestalt $M= M_n\supsetneq M_{n-1}\supsetneq\ldots \supsetneq M_0=0$, die also salopp gesprochen in $n$ Schritten vom ganzen Modul zum Nullmodul f"uhrt.\label{Lae} \end{Definition} \begin{Definition} Ein Modul hei"st {\bf einfach}\index{einfach!Modul}\index{Modul!einfacher} oder gleichbedeutend {\bf irreduzibel},\index{irreduzibel!Modul}\index{Modul!irreduzibler} wenn er nicht Null ist, aber au"ser sich selbst und Null keine Untermoduln hat. \end{Definition} \begin{Beispiel} Offensichtlich hat ein Modul die L"ange Null genau dann, wenn er der Nullmodul ist, und die L"ange Eins genau dann, wenn er einfach ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{EMKO} Die einfachen Moduln "uber einem K"orper oder allgemeiner einem Schiefk"orper sind genau die eindimensionalen Vektorr"aume. Die L"ange eines Moduls $M$ "uber einem K"orper oder allgemeiner einem Schiefk"orper $k$ ist seine Dimension, in Formeln $l_K(M)=\op{dim}_k(M)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ein $\emptyset$-Modul alias eine abelsche Gruppe alias ein $\DZ$-Ringmodul ist einfach genau dann, wenn er endlich ist von Primzahlordnung, also isomorph zu $\DZ/p\DZ$ f"ur eine Primzahl $p$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{NEMKO} Jeder von Null verschiedene Vektorraum ist einfach als Modul "uber seinem Endomorphismenring. \end{Beispiel} \begin{Beispiele}[\textbf{Einfache Kringmoduln}] Die Menge der Isomorphieklassen einfacher Moduln "uber einem Kring $R$ ist in Bijektion zur Menge $\op{Max}R$ der maximalen Ideale von $R$ vermittels der Abbildung $\mathfrak m\mapsto R/\mathfrak m$. Die Umkehrabbildung ist $E\mapsto \op{Ann}_R E$. Genauer ist der Quotient eines Krings nach einem maximalen Ideal bereits ein K"orper, vergleiche \eref{RMI}{KAG}, und unser einfacher Modul ist dann ein eindimensionaler Vektorraum "uber diesem K"orper. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}[\textbf{Einfache Ringmoduln}] Alle einfachen Ringmoduln "uber einem nicht notwendig kommutativen Ring sind isomorph zu einem Quotienten des besagten Rings nach einem maximalen Linksideal.\label{NEiMo} Bei nichtkommutativen Ringen k"onnen Quotienten nach verschiedenen maximalen Linksidealen jedoch als Moduln durchaus isomorph sein. Man denke etwa an den Matrizenring $\op{Mat}(r;k)$ mit Eintr"agen in einem K"orper $k$ und den einfachen Modul $k^r$ dieses Rings. In diesem Fall sind ja die Annullatoren verschiedener von Null verschiedener Elemente im allgemeinen durchaus verschiedene Linksideale. \end{Beispiele} \begin{Beispiele} Der Hilbert'sche Nullstellensatz \eref{KFa}{KAG} besagt, da"s alle einfachen Ringmoduln "uber einem Polynomring in endlich vielen Variablen mit Koeffizienten in einem K"orper endlichdimensional sind "uber besagtem K"orper. Ist der K"orper algebraisch abgeschlossen, so sind sie sogar eindimensional. \end{Beispiele} \begin{Lemma}[\textbf{Homomorphismen von und zu einfachen Moduln}] Seien $\Omega$ eine Menge und $E, F$ einfache $\Omega$-Moduln und $M$ ein beliebiger $\Omega$-Modul. So gilt:\label{NEM} \begin{enumerate} \item Jeder Homomorphismus $E \ra M$ ist injektiv oder Null; \item Jeder Homomorphismus $M \ra F$ ist surjektiv oder Null; \item Jeder Homomorphismus $E \ra F$ ist bijektiv oder Null; \item Der Endomorphismenring ${\op{End}}_{\Omega}E$ ist ein Schiefk"orper. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Der Kern $\ker (E \ra M)$ und das Bild $\op{im} (M \ra F)$ sind Untermoduln von $E$ beziehungsweise von $F$ und sind folglich Null oder ganz $E$ beziehungsweise ganz $F$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{ESu} Sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ als Teilring hat. So ist ein einfacher $R$-Modul, der endlichdimensional ist als $k$-Vektorraum, notwendig eindimensional als $k$-Vektorraum. \end{Korollar} \begin{proof} Die Multiplikation mit einem beliebigen Element $r\in R$ besitzt notwendig einen Eigenwert und der zugeh"orige Eigenraum ist ein von Null verschiedener Untermodul, also der ganze Modul. Mithin operiert jedes $r\in R$ durch einen Skalar, und dann kann unser Modul nur einfach sein, wenn er eindimensional ist. \end{proof} \begin{Definition} Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein $\Omega$-Modul. Eine {\bf Kompositionsreihe von}\index{Kompositionsreihe!eines Moduls} $M$ ist eine endliche Kette von Untermoduln $$M = M_{r}\supset M_{r-1} \supset \ldots\supset M_{0} =0$$ derart, da"s $M_{i}/M_{i-1}$ einfach ist f"ur $r\geq i \geq 1$. Der Modul $M_{i}/M_{i-1}$ hei"st dann der {\bf $i$-te} \defind{Subquotient} unserer Kompositionsreihe. Gegeben ein Modul $M$ "uber einer Menge $\Omega$ erkl"aren wir seine \defind{Kompositionsl"ange} $$\lambda_\Omega(M)=\lambda(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$ als die kleinstm"ogliche L"ange einer Kompositionsreihe von $M$, wenn unser Modul eine Kompositionsreihe besitzt, und setzen andernfalls $\lambda(M)=\infty$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Man "uberlegt sich leicht, da"s die L"ange und die Kompositionsl"ange eines Vektorraums beide mit seiner Dimension zusammenfallen. Der anschlie"sende Satz besagt unter anderem, da"s auch f"ur allgemeine Mengenmoduln L"ange und Kompositionsl"ange "ubereinstimmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Man "uberlegt sich, da"s ein $\emptyset$-Modul $M$ alias eine abelsche Gruppe genau dann endliche L"ange hat, wenn sie endlich ist, und da"s ihre Kompositionsl"ange und L"ange dann beide mit der Zahl der mit ihren Vielfachheiten gez"ahlten Primfaktoren von $|M|$ zusammenfallen. \end{Beispiel} % \nichtfinal{WOHIN? Bei einer endlichen echt absteigenden %Kette maximal m"oglicher L"ange ist nat"urlich stets %$M_i/M_{i-1}$ einfach f"ur $1\leq i\leq n$.} \begin{Satz}[\textbf{Jordan-H"older}] F"ur jeden Modul stimmen seine L"ange\label{NJHM} und seine Kompositionsl"ange "uberein. Weiter haben je zwei Kompositionsreihen dieselbe L"ange und bis\index{Jordan-H"older!f"ur Moduln} auf Reihenfolge isomorphe Subquotienten. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sobald der Satz bewiesen ist, wird der Begriff der \glqq Kompositionsl"ange\grqq\ "uberfl"ussig und wir sprechen nur noch von der \glqq L"ange\grqq\ eines Moduls. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In Formeln ausgedr"uckt besagt der zweite Teil unseres Satzes: Sind $M = M_{r} \supset\ldots \supset M_{0} = 0$ und $M = N_{s} \supset \ldots \supset N_{0}=0$ zwei Kompositionsreihen eines Moduls $M$, so gilt $r = s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \cal{S}_{r}$ mit $N_{i}/N_{i-1} \cong M_{\sigma (i)} /M_{\sigma(i)-1} $ f"ur alle $ i$. Diese Subquotienten oder genauer ihre Isomorphieklassen\label{NVKFo} hei"sen die {\bf Kompositionsfaktoren}\index{Kompositionsfaktor!von Modul} unseres Moduls endlicher L"ange $M$ und unser Satz sagt auch, da"s jeder Kompositionsfaktor mit einer wohlbestimmten Vielfachheit auftritt. Gegeben ein einfacher Modul $L$ notiert man die Vielfachheit von $L$ als Kompositionsfaktor von $M$ meist \index{)5]@$[M:L]$ Vielfachheit}$$[M:L]$$ Sie hei"st auch die {\bf Jordan-H"older-Multiplizit"at}\index{Jordan-H"older-Multiplizit"at} von $L$ in $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall einer endlichen abelschen Gruppe $M$ gilt die Identit"at $[M:\DZ/p\DZ]=\op{max}\{r\mid p^r\text{ teilt }|M|\}$ f"ur die Vielfachheit von $\DZ/p\DZ$ in $M$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Die erste Aussage unseres Satzes behauptet in Formeln $\op{l}(M)=\lambda(M)$. Offensichtlich ist a priori nur die Absch"atzung $\op{l}(M)\geq \lambda(M)$, die L"ange ist in Worten offensichtlich mindestens so gro"s wie die Kompositionsl"ange. Als n"achstes zeigen wir nun, da"s f"ur jeden Modul $M$ endlicher Kompositionsl"ange und jeden von Null verschiedenen Untermodul $0\neq N\subset M$ gilt $$\lambda(M/N)<\lambda(M)$$ Seien in der Tat $M = M_{r} \supset \ldots \supset M_{0} =0$ eine Kompositionsreihe von $M$ und $N \subset M$ ein Untermodul. Wir betrachten den Quotienten $\bar{M} \pdef M/N$ und die Bilder $\bar{M}_{i}$ der $M_{i}$ in $\bar{M}$ und erhalten kurze exakte Sequenzen $$(M_{i} \cap N) /( M_{i-1} \cap N) \hookrightarrow M_{i}/M_{i-1} \twoheadrightarrow \bar{M}_{i} / \bar{M}_{i-1}$$ durch explizites Nachdenken: Geht ein Element $m+M_{i-1}$ aus der Mitte rechts nach Null, landet es also in $\bar M_{i-1}$, so mu"s es aus $N+M_{i-1}$ stammen und sich folglich mit $m\in M_i\cap N$ darstellen lassen. Alternativ mag man das Neunerlemma \eref{NeuL}{LA2} auf das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {M}_{i-1}\cap N& \hookrightarrow &{M}_{i}\cap N & \twoheadrightarrow & ({M}_{i}\cap N)/ ({M}_{i-1}\cap N)\\ \downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\ M_{i-1}&\hookrightarrow &M_{i} &\twoheadrightarrow &M_{i}/M_{i-1} \\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ \bar{M}_{i-1}&\hookrightarrow &\bar{M}_{i}& \twoheadrightarrow & \bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1} \end{array}$$ anwenden. Gilt zus"atzlich $N \neq 0$, so kann nicht $M_{i} \cap N = M_{i-1}\cap N$ gelten f"ur alle $i$. Zu jeder Kompositionsreihe von $M$ haben wir also eine echt k"urzere Kompositionsreihe von $\bar{M}=M/N$ konstruiert und erkennen damit, da"s in der Tat aus $\lambda(M)<\infty$ und $N\neq 0$ folgt $\lambda(M/N) < \lambda(M)$. Man sieht so, da"s die L"ange einer beliebigen echt absteigenden Kette von Untermoduln eines Moduls endlicher Kompositionsl"ange $M$ nach oben beschr"ankt ist durch eben diese Kompositionsl"ange $\lambda(M)$ und folgert sofort $\op{l}(M)\leq \lambda(M)$. Im Fall $ \lambda(M)=\infty$ ist das eh klar und so ergibt sich schlie"slich f"ur jeden Modul $M$ die Gleichheit $$\op{l}(M)= \lambda(M)$$ Da"s je zwei Kompositionsreihen dieselbe L"ange haben, folgt sofort. Ist weiter $N\subset M$ ein einfacher Untermodul, so gibt es oben genau einen Index $j$ mit $$M_{j} \cap N=N \text{ aber }M_{j-1} \cap N =0$$ F"ur diesen Index haben wir $M_{j}/M_{j-1} \cong N$ und $\bar{M}_{j}/\bar{M}_{j-1} =0$, wohingegen f"ur die anderen Indizes $i \neq j$ gilt $M_{i}/M_{i-1} \cong \bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1}$. Nun folgt der Rest des Satzes mit Induktion. Ist genauer $M=N_r\supset\ldots\supset N_1=N$ eine weitere Kompositionsreihe, so d"urfen wir induktiv annehmen, da"s die Kompositionsfaktoren $N_k/N_{k-1}$ f"ur $k\geq 2$ von $\bar M=M/N$ bis auf Reihenfolge und Isomorphismus mit den $\bar M_{i}/\bar M_{i-1}$ f"ur $i\neq j$ "ubereinstimmen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{L"angenformel}] Gegeben $M\supset N$ ein Modul mit einem Untermodul gilt in $\DN\amalg \{\infty\}$ die Gleichheit $\op{l}(M) = \op{l}(M/N) + \op{l}(N)$.\label{NLKL} \end{Korollar} \begin{proof} F"ur jeden Untermodul $N\subset M$ sind die Ungleichungen $$ \begin{array}{ccc} \op{l}(M)&\geq& \op{l}(M/N)+\op{l}(N)\\[2mm] \lambda(M)&\leq& \lambda(M/N)+\lambda(N) \end{array} $$ offensichtlich. Da nach dem Satz \ref{NJHM} von Jordan-H"older die L"ange und die Kompositionsl"ange "ubereinstimmen, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Korollar}\label{AEK} Sei $R$ ein Ring, der einen K"orper $k$ als Teilring hat. Ist $R$ endlichdimensional als Linksmodul "uber $k$, so gibt es bis auf Isomorphismus h"ochstens $\dim_{k} R$ einfache $R$-Moduln. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist $R$ von endlicher L"ange als $R$-Modul und es gilt sogar $\op{l}(R) \leq \dim_{k} R$. Jeder einfache $R$-Modul ist aber ein Quotient von $R$ und taucht folglich in einer und damit in jeder Kompositionsreihe von $R$ als Subquotient auf. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Eine Variante zum hier gew"ahlten Zugang zum Satz von Jordan-H"older findet man etwa in \cite{JaSe}: Man zeigt, wie dort ausgef"uhrt, ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s je zwei endliche Filtrierungen eines Moduls durch das Einf"ugen geeigneter weiterer Untermoduln so verfeinert werden k"onnen, da"s die Subquotienten der beiden so enstehenden Filtrierungen bis auf Reihenfolge isomorph sind. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}\label{QuE} Jeder von Null verschiedene\label{eQu} endlich erzeugte Modul hat einen einfachen Quotienten.\label{NQuE} \end{Proposition} \begin{proof} Jedes endliche Erzeugendsystem k"onnen wir zu einem minimalen Erzeugendensystem verkleinern. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es dann f"ur jeden Erzeuger einen Untermodul, der maximal ist mit der Eigenschaft, besagten Erzeuger nicht zu enthalten. So ein Untermodul aber mu"s alle anderen Erzeuger enthalten und ist mithin maximal unter allen echten Untermoduln. \end{proof} \begin{Beispiel} Der $\DZ$-Modul $\DQ$ besitzt als $\DZ$-Modul weder einfache Untermoduln noch einfache Quotienten. Als $\DQ$-Modul ist $\DQ$ dahingegen einfach. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jeder Modul endlicher L"ange ist endlich erzeugt. Um ein endliches Erzeugendensystem anzugeben, k"onnen wir etwa eine Kompositionsreihe $M = M_{r}\supset M_{r-1} \supset \ldots\supset M_{0} =0$ w"ahlen und Elemente $m_i\in M_i\backslash M_{i-1}$ und dann ist $\{m_1,\ldots, m_r\}$ offensichtlich ein Erzeugendensystem. Jeder einfache Modul ist zyklisch und jedes von Null verschiedene Element ist darin ein Erzeuger. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Modul hei"st {\bf noethersch}\index{noethersch!Modul} nach der Mathematikerin Emmy Noether, wenn jeder Untermodul\label{Noea} endlich erzeugt ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe alias jeder endlich erzeugte $\emptyset$-Modul ist noethersch nach \eref{BNAB}{KAG}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierungen noetherscher Moduln}] Ich erinnere zwei alternative Charakterisierungen noetherscher Moduln aus \eref{KNoe}{KAG}: Ein Modul ist noethersch genau dann, wenn jedes nichtleere System von Untermoduln ein maximales Element hat, und auch genau dann, wenn jede aufsteigende Folge von Untermoduln stagniert. Man sagt dann, unser Modul \glqq erf"ullt die aufsteigende Kettenbedingung\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Modul hei"st {\bf artinsch}\index{artinsch!Modul} nach dem Mathematiker Emil Artin, wenn jede absteigende Folge von Untermoduln station"ar wird.\label{Ndear} Man sagt dann auch, unser Modul \glqq erf"ullt die absteigende Kettenbedingung\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Auf Englisch spricht man von der {\bf descending chain condition}\index{descending chain condition} oder kurz \defind{dcc} oder auch von {\bf artinian modules}. Darin liegt eine gewisse Ironie der Geschichte. Emil Artin war armenischen Ursprungs und seine Familie hatte ihren Familiennamen Artinian zu Artin eingedeutscht. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Man kann auch zeigen, da"s ein Kring genau dann endliche L"ange hat, wenn er ein {\bf artinscher Kring}\index{artinsch!Kring} alias artinsch als Modul "uber sich selber ist. Diese Erkenntnis scheint mir im Gesamtgeb"aude der Theorie eher nebens"achlich und ich selber werde stets von Kringen endlicher L"ange reden. Ich gebe dennoch einen Beweis, da die Terminologie eines artinschen Krings oft verwendet wird. Problematisch ist nur der Nachweis, da"s jeder artinsche Kring bereits von endlicher L"ange ist. Wir zeigen dazu zun"achst, da"s jedes Primideal eines artinschen Krings maximal ist. In der Tat ist der Restklassenring ein artinscher Integrit"atsbereich, und solch ein Kring mu"s ein K"orper sein: W"are sonst $x$ eine von Null verschiedene Nichteinheit, so m"uste es $n$ geben mit $\langle x^n\rangle =\langle x^{n+1}\rangle$, also $x^ny=x^{n+1}$ f"ur eine Einheit $y$, und dann folgte $x=y$ im Widerspruch zu unserer Annahme, $x$ sein keine Einheit. Weiter kann ein artinscher Kring nur endlich viele maximale Ideale haben, da wir sonst aus Schnitten von immer gr"o"seren endlichen Familien maximaler Ideale eine unendliche absteigende Folge von Idealen bilden k"onnten. Nach \ref{SPI} ist der Schnitt unserer maximalen Ideale das Nilradikal $\frak n$ unseres Krings. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s es ein $n$ gibt mit $\frak n^n=0$, so sind wir fertig mit derselben Argumentation wie oben. Sicher wird die Folge der $\frak n^n$ stabil, sagen wir $\frak n^n=\frak n^{n+1}=\ldots =\frak a$. Ist $\frak a\neq 0$, so folgt $\frak a^2=\frak a\neq 0$, und dann gibt es auch ein minimales Ideal $\frak b\subset\frak a$ mit $\frak a\frak b\neq 0$. Offensichtlich ist jedes solche minimale $\frak b$ ein Hauptideal, also $\frak b=\langle x\rangle$ mit $x\neq 0$. Andererseits gilt f"ur jedes solche minimale $\frak b$ auch $\frak a\frak b=\frak b$, zusammen also $\frak a x=\langle x\rangle$. Dann gibt es aber $y\in \frak a$ mit $yx= x$ und damit $y^rx=x$ f"ur alle $r$. Da aber $y$ nilpotent ist, steht das im Widerspruch zu $x\neq 0$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{laln} Analoges gilt mit einem umfangreicheren Beweis sogar f"ur beliebige, nicht notwendig kommutative Ringe: Jeder Ring, der als Linksmodul "uber sich selber artinsch ist, ist als Linksmodul "uber sich selber bereits von endlicher L"ange. Solche Ringe hei"sen auch {\bf linksartinsch}.\index{linksartinsch!Ring} Einen Beweis findet man zum Beispiel in \cite{JaSe}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist ein Ring einfach als Linksmodul "uber sich selbst, so ist unser Ring ein Schiefk"orper. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EnSu} In jedem Ring l"a"st sich auch jedes echte Links- beziehungsweise Rechtsideal vergr"o"sern zu einem maximalen echten Links- beziehungsweise Rechtsideal. Genau dann ist ein Linksideal maximal, wenn der Quotient danach ein einfacher Modul ist. Jeder von Null verschiedene Modul "uber einem Ring besitzt einen einfachen Subquotienten. Insbesondere besitzt jeder von Null verschiedene Ring mindestens einen einfachen Modul. Hinweis: \ref{EMI}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Modul, der sowohl artinsch als auch noethersch ist, ist von endlicher L"ange. Hinweis: Man interessiere sich f"ur maximale Untermoduln endlicher L"ange. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Quotient eines Moduls nach einem maximalen echten Untermodul ist stets ein einfacher Modul. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EMP} Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist jeder einfache $k[X]$-Modul eindimensional und isomorph zu $k[X]/\langle X-\lambda\rangle$ f"ur genau ein $\lambda\in k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Quotient eines Moduls nach einem maximalen echten Untermodul ist stets ein einfacher Modul. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ und eine ringendliche $k$-Kringalgebra $A$ ist jeder $A$-Modul von endlicher L"ange bereits endlichdimensional und seine L"ange f"allt mit seiner Dimension als $k$-Vektorraum zusammen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der einzige einfache Modul "uber dem Endomorphismenring eines endlichdimensionalen Vektorraums ist der besagte Vektorraum selber, bis auf Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ein $\DZ$-Modul $M$ ist von endlicher L"ange genau dann, wenn er endlich ist. Seine L"ange ist dann die Zahl der Primfaktoren seiner Kardinalit"at $|M|$, mit Vielfachheiten gerechnet. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s jeder Modul endlicher L"ange artinsch ist. Ein Beispiel f"ur einen artinschen $\DZ$-Modul unendlicher L"ange ist der Quotient $\DZ[2^{-1}]/\DZ$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ein Modul hei"se {\bf lokal endlich},\index{lokal endlich!Mengenmodul} wenn jedes Element in einem Untermodul endlicher L"ange enthalten ist. Man zeige durch ein Beispiel, da"s gegeben eine kurze exakte Sequenz von Moduln $M'\hra M\sra M''$ mit $M'$ und $M''$ lokal endlich die Mitte $M$ keineswegs lokal endlich sein mu"s. Hinweis: $k[x_i]/\langle x_i^2\rangle$ f"ur eine unendliche Familie von Variablen. Im Fall von Moduln "uber einem noetherschen Ring gilt die Aussage aber doch\label{milo} und wird in der kommutativen Algebra bewiesen. \end{Ubung} \subsection{Halbeinfache Moduln}\label{HeM} \begin{Definition}\label{MRHE} Ein Modul hei"st \defnoind{halbeinfach},\index{halbeinfach!Modul} wenn er die Summe\index{Modul!halbeinfacher} seiner einfachen Untermoduln ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit der Summe von Untergruppen eine abelschen Gruppe meinen wir in anderen Worten die von ihrer Vereinigung erzeugte Untergruppe. Wir fordern bei der Definition nicht, da"s unser Modul die direkte Summe seiner einfachen Untermoduln sein soll. Zum Beispiel ist jeder Vektorraum "uber einem K"orper halbeinfach, er ist ja die Summe seiner eindimensionalen Teilr"aume, aber im Fall einer Dimension Zwei oder mehr keineswegs deren direkte Summe. Der Nullmodul ist stets halbeinfach als die Summe "uber die leere Familie seiner einfachen Untermoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zwei Untermoduln $U,D\subset M$ eines Moduls hei"sen \defind{komplement"ar} und wir schreiben $M=U\oplus D$, wenn die Addition einen Isomorphismus $U\oplus D\sira M$ liefert. Hinreichend und notwendig ist daf"ur, da"s gilt $U\cap D=0$ und $U+D=M$. Wir sagen in dem Fall auch, $M$ sei die \defind{direkte Summe} von $U$ und $D$ und $D$ sei ein \defind{Komplement} von $U$ in $M$. Analoge Begriffsbildungen benutzen wir auch f"ur beliebige Familien von Untermoduln eines Moduls. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung halbeinfacher Moduln}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein $\Omega$-Modul $M$\label{HEE} sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $M$ ist halbeinfach alias die Summe seiner einfachen Untermoduln; \item $M$ ist eine direkte Summe von einfachen Untermoduln; \item Jeder Untermodul von $M$ besitzt ein Komplement in $M$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 2$\RA $1: Das ist klar. \\[2mm]\noindent 1$\RA $3: Sei $M = \sum_{i \in I} M_{i}$ das Erzeugnis einer Familie von einfachen Untermoduln $M_{i} \subset M$ und sei $U\subset M$ der Untermodul, f"ur den wir ein Komplement suchen. Gegeben $J \subset I$ setzen wir $$M_{J} \pdef\sum_{i\in J} M_{i}$$ Ist $I$ endlich, so finden wir nat"urlich unter allen Teilmengen $J \subset I$ mit $M_{J} \cap U= 0$ eine bez"uglich Inklusion maximale Teilmenge. Ist $I$ unendlich, so folgt die Existenz eines solchen maximalen $J$ mit dem Zorn'schen Lemma. In jedem Fall behaupten wir f"ur solch ein maximales $J$, da"s gilt $M_{J}\oplus U=M$. In der Tat, aus $M_{J} +U \neq M$ folgt, da"s es ein $i \in I$ gibt mit $M_{i} \not\subset (M_{J} + U)$, also $M_{i} \cap (M_{J} +U)=0$ da $M_{i}$ einfach ist. Dann folgt aber $(M_{i} + M_{J}) \cap U=0$ und $J$ war nicht maximal. \\[2mm]\noindent 3$\RA $2: Wir bemerken zun"achst, da"s sich die Eigenschaft 3 auf Untermoduln vererbt: Sind n"amlich $U\subset N\subset M$ Untermoduln und ist $V$ ein Komplement von $U$ in $M$, so ist notwendig $V\cap N$ ein Komplement von $U$ in $N$. Jetzt finden wir mithilfe des Zorn'schen Lemmas eine maximale Menge von einfachen Untermoduln derart, da"s ihre Summe in $M$ direkt ist. W"are diese Summe $S$ nicht ganz $M$, so f"anden wir ein von Null verschiedenes Komplement $D$ von $S$ in $M$. In diesem Komplement $D$ g"abe es einen von Null verschiedenen zyklischen Untermodul $Z\subset D$, und der h"atte nach "Ubung \ref{NQuE} seinerseits einen einfachen Quotienten $Z\sra Q$. Nun hat diese Surjektion einen Kern $K\subset Z$ und dieser Kern hat ein Komplement $E\subset Z$ und wegen $E\cong Q$ ist $E$ einfach. Das aber steht im Widerspruch zur Maximalit"at von $S$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Beim Nachweis der Implikation 1$\RA $3 im vorhergehenden Beweis h"atten wir auch gleich mit der Familie aller einfachen Untermoduln arbeiten k"onnen. Ich hoffe jedoch, da"s man anhand des oben gegebenen Arguments besser nachvollziehen kann, in welchen F"allen das Zorn'sche Lemma ben"otigt wird. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar} Jeder Quotient und jeder Untermodul eines halbeinfachen Moduls ist halbeinfach.\label{QHUU} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist jeder Quotient eine Summe einfacher Untermoduln und ist damit halbeinfach nach \ref{HEE}. Weiter besitzt nach \ref{HEE} jeder Untermodul ein Komplement und ist damit auch isomorph zu einem Quotienten unseres Moduls, n"amlich zu dem Quotienten nach besagtem Komplement. Alternativ kann man sich daran erinnern, da"s wir beim Beweis von 3$\RA$1 in \ref{HEE} bereits gezeigt hatten, da"s sich die Eigenschaft 3 auf Untermoduln vererbt. \end{proof} \begin{Definition}\label{ITY} Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein $\Omega$-Modul. Gegeben ein einfacher $\Omega$-Modul $E$ nennen wir die Summe aller zu $E$ isomorphen Untermoduln von $M$ den \defnoind{$E$-isotypischen Anteil}\index{isotypisch!Anteil} {\bf von $M$} und notieren diesen Untermodul $$M_{E} \subset M$$ \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Eigenraum als isotypischer Anteil}] Gegeben ein K"orper $k$ und eine einelementige Menge $\{*\}$ ist jeder $k$-Vektorraum $V$ mit einem Endomorphismus $f:V\ra V$ ein Modul "uber der Menge $\Omega\pdef \{*\}\sqcup k$. Betrachten wir f"ur $\lambda\in k$ den einfachen $\Omega$-Modul $k_\lambda$ gegeben durch $(\lambda\cdot):k\ra k$, so ist der zugeh"orige isotypische Anteil von $V$ der $\lambda$-Eigenraum, in Formeln $$V_{k_\lambda}=\op{Eig}(f|V;\lambda)$$ \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Zerlegung in isotypische Anteile}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein\label{ITy} $\Omega$-Modul $M$ liefert die Einbettung der isotypischen Anteile eine Einbettung ihrer direkten Summe $$\bigoplus_{E \in \op{irr}(\Omega)} M_{E}\hra M$$ mit der Notation $\op{irr}(\Omega)$ f"ur die Menge der Isomorphieklassen einfacher $\Omega$-Moduln. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das Bild dieser Einbettung ist offensichtlich der gr"o"ste halbeinfache Untermodul von $M$. Er hei"st der {\bf Sockel\index{Sockel}} $\op{soc}M$\index{soc@$\op{soc}$ Sockel} von $M$. Insbesondere zerf"allt jeder halbeinfache Modul in die direkte Summe seiner isotypischen Anteile, die in diesem Fall auch seine {\bf isotypischen Komponenten} hei"sen.\index{isotypische Komponente} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da"s das Bild unserer Abbildung der gr"o"ste halbeinfache Untermodul ist, scheint mir klar. Es mu"s also nur noch gezeigt werden, da"s die Summe der isotypischen Komponenten direkt ist. Nach \eref{Kds}{KAG} reicht es also zu zeigen, da"s f"ur alle $E$ gilt $$M_E\cap \sum_{F\neq E}M_F=0$$ Dazu hinwiederum brauchen wir nur zu zeigen, da"s jeder einfache Untermodul einer Summe von einfachen Untermoduln zu einem der Summanden isomorph ist. Da aber besagte Summe halbeinfach ist, ist unser einfacher Untermodul auch ein Quotient dieser Summe und damit notwendig auch ein Quotient eines Summanden und folglich isomorph zu diesem Summanden. \end{proof} \subsection{Externes Tensorieren} \begin{Lemma}[\textbf{Kompaktheit endlich erzeugter Moduln}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein endlich erzeugter $\Omega$-Modul $M$ ist der Funktor $$\op{Hom}_\Omega(M,\;): \op{Mod}_\Omega \ra \op{Ab}$$ vertr"aglich mit beliebigen Koprodukten.\label{KeeM} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Allgemein hei"st ein Objekt einer additiven Kategorie kompakt, wenn der zugeh"orige kovariante Hom-Funktor mit beliebigen Koprodukten vertauscht, daher die Bezeichnung f"ur unser Lemma. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Auch ohne irgendwelche Annahmen an $M$ ist klar, da"s unser Funktor vertr"aglich ist mit beliebigen Produkten. Die Morphismen eines endlich erzeugten Moduls in eine direkte Summe m"ussen aber bereits in einer Teilsumme von endlich vielen Summanden landen. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Beschreibung der isotypischen Komponenten}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isoko} ein einfacher $\Omega$-Modul $E$ mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ liefert f"ur jeden weiteren $\Omega$-Modul $M$ das Einsetzen einen Isomorphismus von $\Omega$-Moduln $$\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_{S} E\sira M_E$$ \end{Proposition} \begin{proof} Offensichtlich liefert die Einbettung unserer isotypischen Komponente einen Isomorphismus $\op{Hom}_\Omega(E,M_E)\sira \op{Hom}_\Omega(E,M)$. Wir d"urfen also $M=M_E$ annehmen und dann auch, da"s $M=\bigoplus_{i\in I}E$ eine direkte Summe von Kopien von $E$ ist. Da das Tensorprodukt mit direkten Summen vertauscht und nach der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM} auch $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$, d"urfen wir sogar $M=E$ annehmen. In diesem Fall aber ist die Behauptung klar. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Halbeinfache Moduln als Modulkategorie}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isokov} ein einfacher $\Omega$-Modul $E$ mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$ induziert das Darantensorieren eine "Aquivalenz von Kategorien $$\otimes_S E: \mathfrak U\!\op{Mod-}S\sirra \Omega{\op{-}}\mathfrak U\!\op{Mod}_{(E)}$$ zwischen der Kategorie der $S$-Rechtsmoduln und der Kategorie der $\Omega$-Moduln $M$ mit $M=M_E$, die jeweils eine Grundmenge aus $\mathfrak U$ haben. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Statt mit Universen zu arbeiten, kann man sich alternativ die Aussage dahingehend pr"azisiert denken, da"s mit dem im Beweis angegebenen adjungierten Funktor in die Gegenrichtung die Einheit und die Koeinheit der Adjunktion aus Isomorphismen bestehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten den rechtsadjungierten Funktor $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$ und wissen aus \ref{Isoko}, da"s die Koeinheit der Adjunktion f"ur alle $M\in \Omega\op{-Mod}_{(E)}$ ein Isomorphismus $\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_S E\sira M$ ist. Ebenso ist f"ur jeden $S$-Rechtsmodul $N$ die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $N\sira \op{Hom}_\Omega(E,N\otimes_SE)$, denn das gilt f"ur $N=S$ und beide Seiten sind vertr"aglich mit Koprodukten aufgrund der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM}. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Proposition*}[\textbf{Additives Erzeugnis als Kategorie freier Moduln}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isokpp} ein endlich erzeugter $\Omega$-Modul $E$ mit Endomorphismenring $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ und ein Mengensystem $\mathfrak U$ induziert das Darantensorieren eine "Aquivalenz von Kategorien $$\otimes_S E: \op{add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra \op{add}_{\mathfrak U}(E)$$ zwischen der Kategorie aller freien $S$-Rechtsmoduln der Gestalt $S^{\oplus U}$ f"ur $U\in \mathfrak U$ und der Kategorie aller $\Omega$-Moduln $M$ der Gestalt $E^{\oplus U}$ f"ur $U\in \mathfrak U$. \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Besteht $\mathfrak U$ nur aus endlichen Mengen, so gilt die Proposition mit demselben Beweis sogar ohne die Annahme, $E$ sei endlich erzeugt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten den rechtsadjungierten Funktor $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$ und wissen nach der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM}, da"s er mit beliebigen Koprodukten vertauscht. Um zu zeigen, da"s die Koeinheit der Adjunktion f"ur $M=E^{\oplus U}$ stets ein Isomorphismus $\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_S E\sira M$ ist, reicht es also, das f"ur $M=E$ zu zeigen, und in dem Fall ist es klar. Ebenso ist f"ur jeden $S$-Rechtsmodul der Gestalt $N=S^{\oplus U}$ die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $N\sira \op{Hom}_\Omega(E,N\otimes_SE)$, denn das gilt f"ur $N=S$ und beide Seiten sind vertr"aglich mit Koprodukten aufgrund der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM}. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalenzen mit Operationen}] Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein einfacher $\Omega$-Modul $E$ und $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ sein Endomorphismenschiefk"orper und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$ und eine weitere Menge $\Theta$ liefert die "Aquivalenz aus \ref{Isokov} offensichtlich auch eine "Aquivalenz $$\otimes_{S} E: \Theta\op{-}(\mathfrak U\!\op{Mod-}S)\sirra \Theta\op{-}(\Omega\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod}_{(E)})$$ zwischen den Kategorien der jeweiligen Objekte mit $\Theta$-Operation. Ist zus"atzlich $\Theta$ ein Ring, so induziert sie ebenso auch eine "Aquivalenz zwischen den jeweiligen Unterkategorien der Objekte, die sogar Ringmoduln sind in Bezug auf $\Theta$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Externe Tensorprodukte mit einfachen Moduln}] Gegeben eine Menge $\Omega$, ein Kring $k$, ein einfacher $\Omega$-$k$-Modul $E$ mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_{\Omega,k} E$ und eine $k$-Ringalgebra $B$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$ liefert das Tensorprodukt eine "Aquivalenz $$\otimes_{S} E: \mathfrak U\!\op{Mod-}(S\otimes_kB)\sirra \Omega\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod_{(E)}-}B$$ zur Kategorie derjenigen $\Omega$-$B$-Moduln, deren Restriktion zu $(\Omega,k)$ isomorph ist zu einer Summe von Kopien von $E$.\label{AlOK} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $B$-Rechtsmodul $M$ ist insbesondere $E\otimes_kM$ einfach beziehungsweise halbeinfach als $\Omega$-$B$-Modul genau dann, wenn $S\otimes_kM$ einfach beziehungsweise halbeinfach ist als $S\otimes_kB$-Rechtsmodul. Der Fall $S=k$ war "Ubung \ref{itiA}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein Kring $k$ und ein einfacher $\Omega$-$k$-Modul $E$ und $S\pdef {\op{End}}_{\Omega,k} E$ sein Endomorphismenschiefk"orper mit dem offensichtlichen Ringhomomorphismus $k\ra \op{Z}(S)$ ist die "Aquivalenz $$\otimes_{S} E: \op{Mod-}S\sirra \Omega\op{-Mod-}_{(E)}k$$ aus \ref{Isokov} offensichtlich vertr"aglich mit den nat"urlichen $k$-Modulstrukturen auf den Morphismenr"aumen. Ist zus"atzlich $A$ eine $k$-Ringalgebra, so induziert unsere "Aquivalenz folglich eine "Aquivalenz zwischen den Kategorien der $A$-Moduln auf beiden Seiten, deren Objekte wir erkl"aren als Paare $(X,\varphi)$ aus einem Objekt $X$ der jeweiligen Kategorie mit einem Homomorphismus $\varphi:A\ra \op{End}X$ von $k$-Ringalgebren. Wir notieren diese "Aquivalenz $$\otimes_{S} E: A\op{-}(\op{Mod-}S)\sirra A\op{-}(\Omega\op{-}k\op{-Mod}_{(E)})$$ Mit $B\pdef A^{\op{opp}}$ erhalten wir die "Aquivalenz aus der Proposition. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Skalarerweiterung bei einfachen Mengenmoduln}] Gegeben eine K"orpererweiterung $K/k$ und eine Menge $\Omega$ und ein einfacher $(\Omega,k)$-Modul $E$ mit Endomorphismenring $k$ ist $K\otimes_kE$ ein einfacher $(\Omega,K)$-Modul mit Endomorphismenring $K$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukte von K"orpern und Schiefk"orpern}] Die Resultate dieses Abschnitts liefern besonders interessante Aussagen, wenn man mehr "uber Tensorprodukte von K"orpern und Schiefk"orpern wei"s. Ich zitiere hierzu insbesondere \eref{TPES}{AL}, da"s und wie gegeben $T/k$ eine K"orpererweiterung und $S/k$ eine endliche separable K"orpererweiterung das Tensorprodukt $T\otimes_k S$ ein Produkt von endlich vielen endlichen separablen K"orpererweiterungen von $T$ ist. Weiter wird in \ref{suEK} unter anderem gezeigt, da"s in Charakteristik Null das Tensorprodukt "uber einem K"orper $k$ zweier Schiefk"orper, die endlichdimensionale $k$-Ringalgebren sind, zumindest eine halbeinfache $k$-Ringalgebra ist, also ein endliches Produkt von Matrixringen "uber Schiefk"orpern. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Externes Tensorieren einfacher Moduln}] Gegeben ein K"orper $k$ und Mengen $\Omega,\Theta$ und\label{Isokod} einfache Moduln $E,F$ "uber $(\Omega,k)$ beziehungsweise $(\Theta,k)$ mit Endomorphismenschiefk"orpern $S,T$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E,F\in \mathfrak U$ liefert das Tensorieren eine "Aquivalenz von Kategorien $$\otimes_{(T\otimes_k S)}(F\otimes_kE):\mathfrak U\!\op{Mod-}(T\otimes_kS)\;\sirra\; \mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,\Omega,k)_{(F,E)}$$ zur Kategorie aller $k$-Vektorr"aume mit kommutierenden Operationen von $\Theta$ und $\Omega$ derart, da"s die Restriktion zu $(k,\Omega)$ beziehungsweise $(k,\Theta)$ isomorph ist zu einer Summe von Kopien von $E$ beziehungsweise $F$. \end{Satz} \begin{proof} Wir arbeiten mit dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathfrak U\!\op{Mod-}(T\otimes_kS)\ar[dr]^\approx\ar[dl]_\approx&\\ \mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,S)_{(F)}\ar[dr]^\approx\ar@{=>}^\sim[rr]&&\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}\ar[dl]_\approx\\ &\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}\ar@{^(->}[d]&\\ &\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)&} \end{displaymath} Hier meint $\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,S)_{(F)}$ die Kategorie derjenigen $\Theta$-$S$-Rechtsmoduln, die als $\Theta$-$k$-Moduln isomorph sind zu einer Summe von Kopien von $F$. Wir wissen bereits aus \ref{AlOK}, da"s $\otimes_TF$ eine "Aquivalenz von Kategorien induziert wie der Pfeil oben links andeutet. Ebenso liefert $\otimes_{S}E$ die "Aquivalenz oben rechts. Da"s $\otimes_{S}E$ einen volltreuen Funktor von links nach ganz unten induziert, wissen wir bereits aus \ref{Isokov}. Analog induziert $\otimes_{T}F$ einen volltreuen Funktor von rechts nach ganz unten und eine Isotransformation zwischen beiden verkn"upften Funktoren von ganz oben nach ganz unten ist auch schnell angegeben. Nun ist $T$ ein Schiefk"orper und $\otimes_TF$ gefolgt vom Vergessen der $\Theta$-Operation bildet offensichtlich $\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}$ nach $\mathfrak U\!\op{Mod-}(k,\Omega)_{(E)}$ ab. Dasselbe gilt auf der anderen Seite und so landen unsere unteren Funktoren in der Tat in $\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}$ wie behauptet. Ausf"uhrlicher haben wir nach \ref{Isokov} eine "Aquivalenz $$\otimes_TF: \mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)\sirra\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F)}$$ und offensichtlich bildet $\otimes_TF$ ein Objekt genau dann nach $\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}$ ab, wenn es zu $\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}$ geh"ort. Folglich induziert unsere "Aquivalenz auch eine "Aquivalenz \begin{displaymath}\otimes_TF: \mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}\sirra\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F,E)} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Halbeinfachkeit externer Tensorprodukte}] Gegeben $k$ ein K"orper und $\Omega,\Theta$ Mengen und\label{Isokoe} $E,F$ jeweils ein einfacher $k$-Mengenmodul und $S,T$ deren Endomorphismenschiefk"orper gilt: \begin{enumerate} \item Genau dann ist $F\otimes_kE$ einfach, wenn $S\otimes_kT$ ein Schiefk"orper ist; \item Genau dann ist $F\otimes_kE$ halbeinfach, wenn $S\otimes_kT$ ein halbeinfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das kann man auch bei Bourbaki \cite{BouSemi} nachlesen, der im wesentlichen denselben Beweis gibt, aber die Sprache der Kategorientheorie vermeidet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir erinnern unsere "Aquivalenz \ref{Isokod}. Nach diesem Satz ist $F\otimes_kE$ genau dann einfach, wenn $S\otimes_kT$ ein einfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist, und genau dann halbeinfach, wenn $S\otimes_kT$ ein halbeinfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $k$ ein K"orper und $\Omega,\Theta$ Mengen. Gegeben ein $(\Omega,k)$-Modul $M$ und ein endlichdimensionaler $(\Theta,k)$-Modul $N$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{EndBT} $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\sira \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Der gleich folgende Satz \ref{EnAP} zeigt dieselbe Aussage unter schw"acheren Annahmen. Das Lemma bereitet nur den Beweis dieses Satzes vor. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Zun"achst liefert lineare Algebra einen Isomorphismus $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{k}N\sira \op{End}_{\Omega,k}(M\boxtimes N)$$ In der Tat liefert jede Wahl einer Basis von $N$ einen Isomorphismus von $M\otimes N$ mit einer direkten Summe von $\op{dim}_kN$ Kopien von $M$. Dann pr"uft man, da"s dieser Isomorphismus den gew"unschten Isomorphismus induziert. Es reicht ja sogar, da"s f"ur $\Theta$ bestehend aus nur einem Element $\theta$ zu pr"ufen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Endomorphismenringe externer Produkte}] Seien $k$ ein K"orper und $\Omega,\Theta$ Mengen. Gegeben ein $(\Omega,k)$-Modul $M$ und ein endlich erzeugter $(\Theta,k)$-Modul $N$ mit $S\pdef \op{End}_{\Theta,k}N$ endlichdimensional "uber $k$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{EnAP} $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\sira \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Es w"are nett, Gegenbeispiele zu haben f"ur F"alle, in denen die Bedingungen im Satz verletzt sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da wir $N$ endlich erzeugt annehmen, liefert f"ur jedes Mengensystem $\mathfrak U$ der Funktor $\otimes_S N$ eine "Aquivalenz von Kategorien $\op{add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra \op{add}_{\mathfrak U}(N)$ nach \ref{Isokpp}. Das induziert eine "Aquivalenz zwischen den Kategorien $\Omega\op{-add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra \Omega\op{-add}_{\mathfrak U}(N)$ der Objekte der jeweiligen Kategorien mit $\Omega$-Operation. Unter diesem Funktor finden wir $M\boxtimes S\mapsto M\boxtimes N$ und erhalten so den oberen Isomorphismus eines kommutativen Diagramms $$\xymatrix{\op{End}_{\Omega,{\op{-}}S, k}(M\boxtimes S)\ar[r]^\sim& \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)\\ \op{End}_{\Omega, k}M\otimes \op{End}_{{\op{-}}S}(S)\ar[u]^\wr\ar[r]^\sim& \op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\ar[u]}$$ Hier ist die linke Seite ein Isomorphismus nach \ref{EndBT} und die untere Horizontale ein Isomorphismus wegen $\op{End}_{\Theta,k}N=S\sira \op{End}_{{\op{-}}S}(S)$ und der Satz folgt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \nichtfinal{Noch durchgehen! Mengenmoduln von Ringmoduln separieren!} \begin{Ubung} Gegeben $m\geq 1$ ist $\DZ/m\DZ$ ein halbeinfacher $\emptyset$-Modul alias eine halbeinfache abelsche Gruppe genau dann, wenn kein Primfaktor in $m$ mehrfach vorkommt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein $\DC[X]$-Ringmodul $M$ ist halbeinfach genau dann, wenn der durch Multiplikation mit $X$ gegebene Endomorphismus des $\DC$-Vektor\-raums $M$ diagonalisierbar ist, als da hei"st,\label{HEMP} wenn $M$ eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Dasselbe gilt im Fall von $k[X]$-Ringmoduln f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$. Hinweis: \eref{EMP}{KAG}. Ist $k$ ein vollkommener K"orper und $\bar{k}$ ein algebraischer Abschlu"s, so ist ein $k[X]$-Ringmodul halbeinfach genau dann, wenn der durch Erweiterung der Skalare entstehende $\bar{k}[X]$-Modul halbeinfach ist. Ist $k$ nicht vollkommen, so gilt das nicht mehr. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FIKK} Gegeben ein Homomorphismus $\varphi:M\ra N$ von $\Omega$-Moduln und $E$ ein einfacher $\Omega$-Modul bildet $\varphi$ den entsprechenden isotypischen Anteil in den entsprechenden isotypischen Anteil ab, in Formeln $\varphi(M_E)\subset N_E$. Ist $U\subset M$ ein Untermodul, so haben wir sogar $U_E=U\cap M_E$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Sequenz $M^{\prime} \rightarrow M \rightarrow M^{\prime\prime}$ von halbeinfachen Moduln ist exakt genau dann, wenn f"ur alle einfachen Moduln die induzierte Sequenz $M^{\prime}_{E} \ra M_{E} \ra M_{E}^{\prime\prime}$ exakt ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe eine halbeinfache abelsche Gruppe mit genau tausend Elementen an. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die isotypischen Komponenten der abelschen Gruppe $\DZ/30\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man erkl"are, inwiefern die Zerlegung eines halb\-einfachen Moduls in isotypische Komponenten die Eigenraumzerlegung eines Vektorraums unter einem diagonalisierbaren Endomorphismus verallgemeinert. Hinweis: \ref{HEMP}. \end{Ubung} \subsection{Mengenmoduln und K"orpererweiterungen} \begin{Lemma}[\textbf{Skalarerweiterung und Homomorphismen}] Seien $\Omega$ eine Menge und $k$ ein K"orper und $K$ eine $k$-Ringalgebra. Seien $\Omega$-$k$-Moduln $M, N$ gegeben mit $\op{dim}_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M,N)< \infty$. So ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{hos} $$K\otimes_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M,N)\sira\op{Hom}_{K,\Omega}(K\otimes_kM,K\otimes_kN)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Unter einer der Annahmen $\op{dim}_kK<\infty$ oder $\op{dim}_kM<\infty$ gilt das auch ohne unsere Zusatzannahme $\op{dim}_k\op{Hom}<\infty$, vergleiche \eref{EwSk}{LA2}. Ich habe die Aussage in der hier gegebenen Allgemeinheit nicht in der Literatur gefunden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Erweiterung der Skalare liefert einen Isomorphismus $$\op{Hom}_{k,\Omega}(M,K\otimes_kN)\sira \op{Hom}_{K,\Omega}(K\otimes_kM, K\otimes_kN)$$ Sei $(\alpha_i)_{i\in I}$ eine $k$-Basis von $K$. Bezeichne $\alpha^i:K\ra k$ die Koordinatenfunktionen unserer Basis und $\tilde\alpha^i\in \op{Hom}_{\Omega,k}(K\otimes_kN,N)$ die davon induzierten Homomorphismen. Gegeben $\psi\in \op{Hom}_{\Omega,k}( M, K\otimes_kN$ gilt dann $$\tilde\alpha^i\circ \psi \in \op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$$ Nun finden wir induktiv $v_1,\ldots,v_d\in M$ mit $d\pdef \op{dim}_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$ derart, da"s f"ur $\phi\in \op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$ aus $\phi(v_1)=\ldots=\phi(v_d)=0$ folgt $\phi=0$. Nun kann es aber f"ur jedes $j$ nur h"ochstens endlich viele $i$ geben mit $(\tilde\alpha^i\circ \psi)(v_j)\neq 0$. Also kann es "uberhaupt nur h"ochstens endlich viele $i$ geben mit $\tilde\alpha^i\circ \psi\neq 0$ und dann ist $\psi$ das Bild von $\sum \alpha_i\otimes (\tilde\alpha^i\circ \psi)$ und unser Isomorphimus in spe ist schon mal surjektiv. Die Injektivit"at folgt aus \eref{TVIn}{LA2}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Skalarerweiterung und einfache Moduln}] Seien $\Omega$ eine Menge und $K/k$ eine K"orpererweiterung und $M$ ein einfacher $\Omega$-$k$-Modul, der au"ser den Skalaren keine weiteren Endomorphismen hat, in Formeln $$\op{End}_{k,\Omega}(M)= k\op{id}$$ So ist auch $K\otimes_k M$ ein einfacher $\Omega$-$K$-Modul mit $\op{End}_{K,\Omega}(K\otimes_k M)= K\op{id}$. \end{Proposition} \begin{proof} Die letzte Aussage $\op{End}_{K,\Omega}(K\otimes_k M)= K\op{id}$ folgt sofort aus der Vertr"aglichkeit von Homomorphismen und Skalarerweiterungen \ref{hos}. Es gilt damit nur noch zu zeigen, da"s $K\otimes_k M$ einfach ist. Zun"achst einmal ist sicher $\op{res}_K^k(K\otimes_k M)$ ein halbeinfacher $\Omega$-$k$-Modul, ja eine direkte Summe von Kopien von $M$. Jede kurze exakte Sequenz $U\hra K\otimes_kM\sra Q$ induziert also eine kurze exakte Sequenz von $K$-Moduln $$\op{Hom}_{k,\Omega}(M,U)\hra \op{Hom}_{k,\Omega}(M,K\otimes_kM)\sra \op{Hom}_{k,\Omega}(M,Q)$$ Nun ist die Mitte eindimensional "uber $K$ nach der bereits bewiesenen Teilaussage. Folglich steht rechts oder links eine Null und es folgt $U=0$ oder $Q=0$. \end{proof} \newpage \section{Moduln "uber Ringen} \subsection{Einfache Moduln "uber Ringen} \begin{Definition} Ein {\bf Ring von endlicher L"ange}\index{Ring!von endlicher L"ange} ist ein Ring, der sowohl als Linksmodul als auch als Rechtsmodul "uber sich selber von endlicher L"ange ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zahl einfacher Ringmoduln}] Sei $R$ ein Ring. Die Menge der Isomorphieklassen von einfachen $R$-Moduln notieren wir $\op{irr}(R)$. F"ur jeden Ring folgt aus dem Satz von Jordan-H"older in $\DN\sqcup\{\infty\}$ die Absch"atzung $$|\op{irr}(R)|\leq \op{l}_R(R)$$ In der Tat ist jeder einfache $R$-Modul ein Quotient von $R$ und tritt folglich in einer und jeder Kompositionsreihe von $R$ als Subquotient auf. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Zahl einfacher Ringmoduln und Dimension}] Sei $R$ ein Ring, der einen K"orper $k$ als Teilring hat.\label{NAEK} Ist $R$ endlichdimensional als Linksmodul "uber $k$, so gibt es bis auf Isomorphismus h"ochstens $\dim_{k} R$ einfache $R$-Moduln, in Formeln gilt also $$|\op{irr}(R)|\leq {\op{dim}}_kR$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich gilt $|\op{irr}(R)|\leq \op{l}_R(R)$ und $\op{l}_R(R)\leq {\op{dim}}_kR$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{Nlaln} Jeder Ring, der als Linksmodul "uber sich selber artinsch ist, ist als Linksmodul "uber sich selber bereits von endlicher L"ange. Solche Ringe hei"sen auch {\bf linksartinsch}.\index{linksartinsch!Ring} Einen Beweis findet man zum Beispiel in \cite{JaSe}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist ein Ring einfach als Linksmodul "uber sich selbst, so ist unser Ring ein Schiefk"orper. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NEnSu} In jedem Ring l"a"st sich auch jedes echte Linksideal vergr"o"sern zu einem maximalen echten Linksideal. Genau dann ist ein Linksideal maximal, wenn der Quotient danach ein einfacher Modul ist. Jeder von Null verschiedene Modul "uber einem Ring besitzt einen einfachen Subquotienten. Insbesondere besitzt jeder von Null verschiedene Ring mindestens einen einfachen Modul. Hinweis: \eref{EMI}{KAG}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NEMP} Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist jeder einfache $k[X]$-Modul eindimensional und isomorph zu $k[X]/\langle X-\lambda\rangle$ f"ur genau ein $\lambda\in k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der einzige einfache Modul "uber dem Endomorphismenring eines endlichdimensionalen Vektorraums ist der besagte Vektorraum selber, bis auf Isomorphismus. Dasselbe gilt f"ur\label{modEn} endlichdimensionale Vektorr"aume "uber Schiefk"orpern. Hinweis: Jordan-H"older. Von einem h"oheren Standpunkt mag man das auch als Konsequenz der Morita-"Aquivalenz \eref{MorBs}{NAS} verstehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Isotypische Komponenten als Ideale}] Ist $R$ ein Ring und $E$ ein einfacher $R$-Modul, so ist die\label{ISKI} $E$-iso\-ty\-pi\-sche Komponente $R_E$ des $R$-Mo\-duls $R$ ein beidseitiges Ideal von $R$. Ist $F$ ein weiterer einfacher $R$-Modul mit $E\not\cong F$, so gilt f"ur das Produkt der isotypischen Komponenten insbesondere $R_E R_F=0$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukte einfacher Moduln}] Gegeben Ring\-al\-ge\-bren $A,B$ "uber einem K"orper $k$ und ein einfacher $A$-Modul $E$ mit Endomorphismenring $\op{End}_AE=k\op{id}_E$ liefert die Vorschrift $F\mapsto E\otimes_kF$ eine Bijektion $$\op{irr}(B)\sira\{M\in \op{irr}(A\otimes_kB)\mid \op{Hom}_A(E,M)\neq 0\}$$ In der Tat liefert der Funktor $F\mapsto E\otimes_kF$ sogar eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Mod}_B\sirra \{M\in \op{Mod}_{A\otimes_kB}\mid M=M_E\}$$ zwischen der Kategorie aller $B$-Moduln und der Kategorie aller der $(A\otimes_kB)$-Moduln,\label{itiA} die als $A$-Moduln mit ihrer $E$-isotypischen Komponente zusammenfallen. Um das einzusehen, erinnere man die kanonische Beschreibung isotypischer Komponenten \ref{Isoko} und pr"ufe, da"s die Vorschrift $M\mapsto \op{Hom}_A(E,M)$ einen quasiinversen Funktor liefert. Das ist im wesentlichen der Fall $S=k$ von \ref{AlOK}. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Einfache Moduln "uber Tensorproduktalgebren}] Im allgemeinen wird es selbst im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers $k=\bar k$ f"ur $k$-Ringalgebren $A,B$ auch einfache Moduln "uber $A\otimes_k B$ geben, die weder als $A$-Moduln noch als $B$-Moduln einfache Untermoduln besitzen und die mithin nicht von der Gestalt $E\otimes_kF$ sind. Das einfachste Beispiel, das mir einf"allt,\label{ggBl} arbeitet mit den Ringen von algebraischen Differentialoperatoren $A=B=\DC\lfloor X,\partial\rfloor=A_1$, wie sie in \eref{Weya}{DM} folgende besprochen werden. F"ur die diagonale Einbettung $i:\Delta\hra \DC^2$ liefert dann $i_+\mathcal O(\Delta)$ nach dem Einbettungssatz von Kashiwara \eref{KaEE}{DM} einen einfachen Modul "uber $A_2\cong A_1\otimes_\DC A_1$, von dem man unschwer einsieht, da"s er kein Tensorprodukt einfacher $A_1$-Moduln sein kann. \end{Bemerkunge} \subsection{Endomorphismen gewisser einfacher Moduln} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein Ring $k$ verstehen wir unter einem {\bf $(\Omega,k)$-Modul} einen $k$-Ringmodul $M$ mit einer Operation von $\Omega$ durch $k$-Endomorphismen von $M$. \end{Definition} \begin{Satz} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper\index{Schur, Lemma von|main} $k=\bar k$ eine Menge $\Omega$ und und ein einfacher $(\Omega,k)$-Modul $E$\label{SLII} endlicher $k$-Dimension ${\op{dim}}_k E<\infty$ liefert die offensichtliche Einbettung $\lambda\mapsto \lambda\op{id}_E$ einen Isomorphismus\label{SchuL} $$k\sira {\op{End}}_{(\Omega,k)}E$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach Annahme gilt $E\neq 0$. Jedes $\varphi\in \op{Mod}_{(\Omega,k)}E$ besitzt also einen Eigenwert, sagen wir $\lambda$, und der zugeh"orige Eigenraum ist offensichtlich ein von Null verschiedener $(\Omega,k)$-Untermodul $\op{Eig}(\varphi;\lambda)=\op{ker}(\varphi-\lambda\op{id})$. Wenn $E$ einfach ist, mu"s er schon ganz $E$ sein und wir folgern $\varphi=\lambda\op{id}_E$. \end{proof} \begin{Beispiel} Ist $k\subset L$ ein K"orpererweiterung, so wird $E\pdef L$ ein einfacher Modul "uber $( L,k)$-Modul. In diesem Fall haben wir offensichtlich ${\op{End}}_{( L,k)}E=L\op{id}_E$. Im allgemeinen kann nat"urlich $k\neq L$ gelten, aber eben nur dann, wenn entweder gilt ${\op{dim}}_kL=\infty$ oder wenn $k$ nicht algebraisch abgeschlossen ist. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\defnoind{Schur'sches Lemma}] Gegeben eine endlichdimensionale einfache Darstellung eines Monoids\label{irrA} $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ sind die Skalare ihre einzigen Endomorphismen. \end{Korollar} \begin{proof} Eine einfache Darstellung ist insbesondere ein einfacher $(G,k)$-Modul. Die Behauptung folgt so aus \ref{SchuL}. \end{proof} \begin{Korollar} Jede endlichdimensionale einfache Darstellung eines kommutativen Monoids\label{irrA} "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ist eindimensional. \end{Korollar} \begin{proof} Jedes Element unseres Monoids operiert in diesem Fall durch einen Endomorphismus unserer Darstellung, also nach dem Lemma von Schur durch ein Vielfaches der Identit"at. Dann aber ist jeder Untervektorraum bereits eine Unterdarstellung und unsere Darstellung kann nur einfach sein, wenn sie eindimensional ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die nun folgende Variante von \ref{SLII} ist f"ur die Darstellungstheorie endlicher Gruppen ohne Bedeutung. Ihr Beweis ben"otigt st"arkere Resultate der Mengenlehre. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*} Gegeben eine Ringalgebra $R$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper\index{Schur, Lemma von|main} $k=\bar k$ und ein einfacher $R$-Modul $E$, dessen Dimension als $k$-Vektorraum echt kleiner ist als die Kardinalit"at von $k$, liefert die offensichtliche Einbettung $\lambda\mapsto \lambda\op{id}_E$ einen Isomorphismus\label{VaSL} $$k\sira {\op{End}}_RE$$ \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} Insbesondere besitzt eine einfache Darstellung eines Monoids "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper, deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers, au"ser den Skalaren keine Endomorphismen. Wie zuvor folgt auch, da"s eine einfache Darstellung eines kommutativen Monoids "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper, deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers, eindimensional sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Hilbert'sche Nullstellensatz \eref{KFa}{KAG} oder auch \eref{MIi}{KAG} liefert die verwandte Aussage, da"s gegeben eine ringendliche Kringalgebra $R$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ jeder einfache $R$-Modul eindimensional ist "uber $k$. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Das Anwenden auf ein beliebiges von Null verschiedenes Element unseres einfachen $R$-Moduls $E$ liefert nat"urlich eine Injektion $({\op{End}}_R E)\hra E$. Die Dimension des Endomorphismenrings von $E$ "uber $k$ ist folglich h"ochstens so gro"s wie die Dimension von $E$ "uber $k$. W"are unser Endomorphismenring echt gr"o"ser als $k$, so m"u"ste er den Funktionenk"orper $k(X)$ umfassen, in dem die Familie der $\left((X-\lambda)^{-1}\right)_{\lambda\in k}$ etwa nach \eref{PBZ}{LA1} linear unabh"angig ist "uber $k$. Das steht jedoch im Widerspruch zu unseren Voraussetzungen an die Kardinalit"aten. \end{proof} %% \begin{Ubung} %% Die Dimension einer einfachen Darstellung einer Gruppe %% "uber einem vorgegebenen Grundk"orper %% ist h"ochstens so gro"s wie die Kardinalit"at der Gruppe. %% \end{Ubung} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Jede einfache Darstellung einer abelschen Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper, deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers, ist eindimensional. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ist eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ein Schiefk"orper, so f"allt sie mit unserem algebraisch abgeschlossenen K"orper zusammen. \end{Ubung} \subsection{Dichtesatz und Anwendungen} \begin{Satz}[\textbf{Jacobson's Dichtesatz}] Gegeben ein Ring $R$\index{Dichtesatz!von Jacobson} und ein halbeinfacher $R$-Modul $M$ ist das\index{Jacobson's Dichtesatz} Bild des offensichtlichen\label{JaDi} Ringhomomorphismus $$R \rightarrow {\op{End}}_{({\op{End}}_{R}M)} M$$ dicht in folgendem Sinne:\index{Dichtesatz von Jacobson} Gegeben $f\in {\op{End}}_{({\op{End}}_{R} M)} M$ und endlich viele Elemente $m_{1},\ldots , m_{r} \in M$ existiert stets ein $x \in R$ mit $ xm_{i}=f(m_{i}) $ f"ur $1\leq i\leq r$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Jeder Modul ist nach \eref{MER}{KAG} auch ein Modul "uber seinem eigenen Endomorphismenring. Ist unser Modul der Ring $R$ selber, so liefert nach \eref{ENRj}{KAG} sogar ohne alle weitere Voraussetzungen und f"ur jeden beliebigen Ring $R$ die Multiplikation einen Isomorphismus $R\sira {\op{End}}_{({\op{End}}_{R} R)} R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $E$ mit Verkn"upfung alias ein Magma und eine Teilmenge $T\subset E$ erkl"art man den {\bf Kommutator}\index{Kommutator!einer Teilmenge} {\bf von $T$ in $E$} durch die Formel $T'\pdef\{x\in E\mid xt=tx\;\forall t\in T\}$. Der Kommutator $T'' $ des Kommutators $T'$ von $T$ hei"st der \defind{Bikommutator} {\bf von} $T$ und umfa"st $T$, in Formeln $$T\subset T''$$ Unser Satz sagt in dieser Terminologie, da"s gegeben ein halbeinfacher Modul $M$ "uber einem Ring $R$ das Bild $D\subset {\op{End}}_\DZ M$ von $R\ra{\op{End}}_\DZ M$ in der oben ausgef"uhrten Weise \glqq dicht\grqq\ liegt in seinem Bikommutator $D''\subset {\op{End}}_\DZ M$. Im "ubrigen f"allt\label{MaDF} der \glqq Trikommutator\grqq\ stets mit dem Kommutator zusammen, in Formeln $$T^{\prime\prime\prime}=T'$$ In der Tat, $T'' \supset T$ impliziert $T^{\prime\prime\prime}\subset T'$ und $T^{\prime\prime\prime}\supset T'$ folgt durch Anwenden der Regel $S'' \supset S$ auf $S\pdef T'$. Man mag das auch als Spezialfall unserer allgemeinen Erkenntnisse \eref{IZDS}{KAG} im Zusammenhang mit Inzidenzstrukturen auffassen, angewandt auf die Inzidenzstruktur $K\subset E\times E$ aller kommutierenden Paare. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hier ein Gegenbeispiel. Man betrachte den Ring $R\subset\op{Mat}(2;k)$ der oberen Dreiecksmatrizen mit Eintr"agen in einem K"orper $k$ und seinen Modul $M\pdef k^2$ der Spaltenvektoren. Der Kommutator $D'\subset\op{End}_\DZ k^2$ von $D=R\subset\op{End}_\DZ k^2$ besteht nur aus Skalaren $D'=k\op{id}\subset\op{End}_\DZ k^2$ und sein Bikommutator ist folglich der ganze Matrixring $D''=\op{Mat}(2;k)\subset\op{End}_\DZ k^2$. Offensichtlich liegt also $D$ nicht dicht in $D''$. Zum Gl"uck ist hier auch $M$ kein halbeinfacher $R$-Modul. Dies Beispiel zeigt jedoch, da"s der Dichtesatz nicht ohne alle Voraussetzungen gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hier kommt ein weiteres Gegenbeispiel. Man betrachte den Ring der dualen Zahlen $ D\pdef \DZ[\varepsilon]$ mit $\varepsilon^2=0$ und den injektiven Endomorphismus dieses Rings mit $\varepsilon\mapsto n\varepsilon$ f"ur $n\geq 1$. Sein Bild ist ein Teilring $R\subset D$. Betrachten wir $M\pdef D$ als $R$-Modul, so gilt der Dichtesatz nicht, wie der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen mag. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit dem Fall $r=1$ und betrachten zu $m = m_{1}$ ein Komplement $N$ des Untermoduls $Rm \subset M$, so da"s also gilt $$M = R m \oplus N$$ Da die Projektion $\pi : M \twoheadrightarrow Rm \hookrightarrow M$ l"angs unserer Zerlegung in ${\op{End}}_{R} M$ liegt, und da gilt $ f\circ \pi = \pi \circ f$ nach Annahme, folgt $f(m) \in Rm$. Es gibt also in anderen Worten $x \in R$ mit $f(m) = x m$. Den allgemeinen Fall f"uhren wir auf den Fall $r =1$ zur"uck, indem wir das Element $(m_{1}, \ldots, m_{r}) \in M^{\oplus r}$ betrachten und die Abbildung $f\times \ldots \times f$. Sie entspricht unter dem Isomorphismus $${\op{End}}_{\DZ}(M^{\oplus r}) \sira \op{Mat} (r ; {\op{End}}_{\DZ} M)$$ gegeben durch $\varphi\mapsto (\op{pr}_j\circ \varphi\circ\op{in}_i)_{ij}$ einer Diagonalmatrix $\op{diag}(f,\ldots,f)$ und kommutiert in der Tat mit allen Elementen von ${\op{End}}_{R}(M^{\oplus r})$, da diese unter unserem Isomorphismus den Matrizen aus $ \op{Mat} (r ; {\op{End}}_{R} M)$ entsprechen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Satz von Burnside}]\index{Burnside} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ und $A\subset \op{Mat}(n ; k)$\label{WBu} eine $k$-Unterringalgebra derart, da"s $k^{n}$ einfach ist als $A$-Modul, gilt bereits $A=\op{Mat}(n; k)$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das Beispiel des Quaterionenschiefk"orpers $\mathbb H\cong \DC^2$ mit seiner komplexen Vektorraumstruktur durch Multiplikation mit komplexen Skalaren von rechts und seiner offensichtlichen Struktur als Linksmodul "uber den Quaternionen $A=\mathbb H$ zeigt, da"s das Korollar nicht f"ur einen beliebigen Teilring gilt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst gilt ${\op{End}}_{A}k^{n} =k$, da alle Eigenr"aume von Elementen $\varphi \in {\op{End}}_{A} k^{n}$ in Bezug auf $A$ Untermoduln sind und jeder Untermodul entweder Null ist oder ganz $k^n$. Dann folgt $A ={\op{End}}_{k}k^{n}$ aus dem Dichtesatz \ref{JaDi}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Man mag den Satz von Burnside auch koordinatenfrei formulieren: Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und $A\subset {\op{End}}_k V$ eine $k$-Unterringalgebra derart, da"s $V$ einfach ist als $A$-Modul, so gilt bereits $A={\op{End}}_k V$. In dieser Sprache l"a"st sich die Notwendigkeit der Bedingung $k=\bar k$ besonders gut einsehen: Sind $k\subset L$ K"orper und betrachten wir den Teilring $L\subset {\op{End}}_kL$, so ist ja $L$ ein einfacher $L$-Modul, aber im Fall $k\neq L$ gilt $L\neq {\op{End}}_kL$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Aus dem Satz von Burnside folgt insbesondere, da"s f"ur jede einfache Darstellung $V$ eines endlichen Monoids $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ gilt $({\op{dim}}_kV)^2\leq |G|$. St"arkere Aussagen in dieser Richtung werden wir in \ref{DEDa} kennenlernen. "Uber allgemeineren K"orpern gilt diese Absch"atzung im allgemeinen nicht mehr, wie \ref{BsQ} zeigt. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition} Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$ besteht das Zentrum von $\op{Mat}(n;D)$ genau aus allen Diagonalmatrizen\label{zMsK} $\op{diag}(z,\ldots, z)$ mit $z\in {\op{Z}}(D)$. \end{Proposition} \begin{proof} Man kann das durch explizite Rechnung pr"ufen. Alternativ liefert der Dichtesatz einen Isomorphismus $D^{\op{opp}}\sira \op{End}_{\op{Mat}(n;D)}D^n$ durch $d^\circ\mapsto (\cdot d)$ und so einen Homomorphismus $\varphi:{\op{Z}}(\op{Mat}(n;D)) \hra D^{\op{opp}}$ mit $z\circ\vec v= \vec v \cdot \varphi(z)$ f"ur alle $\vec v\in D^n$. Das zeigt unmittelbar die Behauptung. \end{proof} \subsection{Moduln "uber Tensorproduktalgebren} \begin{Bemerkungl} Gegeben Ringalgebren $A,B$ "uber einem Kring $k$ und Moduln $M$ "uber $A$ und $N$ "uber $B$ k"onnen wir $M\otimes_kN$ zu einem Modul "uber der Ringalgebra $A\otimes_k B$ machen, indem wir setzen $(a\otimes b)(m\otimes n)=am\otimes bn$. Ich schlage f"ur diesen Modul die Notation\label{bpM} $$M\boxtimes N=M\boxtimes_k N$$ vor und nenne ihn das {\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Moduln}\index{Produkt!"au"seres!von Moduln} oder {\bf Boxprodukt}\index{Boxprodukt!von Moduln} von $M$ und $N$. \index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Moduln} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ bezeichne $$\op{irrf}_k(A)$$ die Menge aller\index{irrf@$\op{irrf}_k(A)$ einfache endlichdimensionale Moduln} Isomorphieklassen einfacher und "uber $k$ endlichdimensionaler $A$-Moduln. Der Buchstabe $\op{f}$ steht hier f"ur \glqq finite\grqq\ oder \glqq fini\grqq. Die f"ur einen deutschen Text naheliegende Notation $\op{irre}$ h"atte zu merkw"urdig ausgesehen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Moduln "uber Tensorproduktalgebren}] Gegeben Ringalgebren $A,B$ "uber einem algebraisch\label{EDPr} abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ induziert das Boxprodukt eine Bijektion $$(\op{irrf}_k{A}) \times (\op{irrf}_k{B}) \sira \op{irrf}_k({A\otimes_k B})$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Ist $k$ nicht algebraisch abgeschlossen, so ist das im allgemeinen falsch. Zum Beipiel ist $\DC$ ein einfacher Modul "uber der $\DR$-Ringalgebra $\DC$, aber $\DC\boxtimes_\DR\DC$ ist kein einfacher Modul "uber der $\DR$-Ringalgebra $\DC\otimes_\DR\DC$. Zum Beispiel ist der Kern der durch die Multiplikation gegebenen Surjektion $\DC\otimes_\DR\DC\sra \DC $ ein von Null verschiedener echter Untermodul. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} St"arkere und allgemeinere Aussagen m"ogen Sie bereits als "Ubung \ref{itiA} gezeigt haben. Noch allgemeinere Aussagen werden in \ref{Isokod} und \ref{Isokoe} gezeigt. Ein Gegenbeispiel im Fall unendlicher Dimension wird in \ref{ggBl} gegeben. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $E\in A\op{-Mod}$ und $F \in B\op{-Mod}$ einfach und endlichdimensional "uber $k$ ist auch $E\boxtimes F \in (A\otimes B)\op{-Mod}$ einfach, da nach dem Satz von Burnside \ref{WBu} die Operationen Surjektionen $A\sra {\op{End}}_kE$ und $B\sra {\op{End}}_kF$ liefern und damit auch eine Surjektion von $A\otimes B\sra{\op{End}}_k(E\otimes F)$. Die im Satz angegebene Abbildung ist also sinnvoll definiert. Ist $T$ ein "uber $k$ endlichdimensionaler $A\otimes B$-Modul, so besitzt $T$ als $A$-Modul einen einfachen Untermodul $E \subset T$. Die offensichtliche Abbildung $E \boxtimes \op{Hom}_A(E,T) \ra T$ ist dann nach \ref{IHo} ein injektiver $(A\otimes B)$-Homomorphismus f"ur die Operation durch Nachschalten von $B$ auf dem $\op{Hom}$-Raum. Ist $T$ einfach, so mu"s diese Abbildung auch surjektiv sein und der $\op{Hom}$-Raum mu"s ein einfacher $B$-Modul $F$ sein. Die im Satz angegebene Abbildung ist also surjektiv. Den Nachweis ihrer Injektivit"at kann der Leser ohne M"uhe aus dem Nachweis der Surjektivit"at extrahieren. \end{proof} \begin{Lemma}\label{IHo} Gegeben $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra und $M$ ein $A$-Modul und $E$ ein einfacher $A$-Modul mit Endomorphismenring ${\op{End}}_{A} E =k\op{id}_E$ induziert das Auswerten eine Inklusion $$E \otimes_{k} \op{Hom}_{A} (E,M) \hookrightarrow M$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Eventuell haben Sie bereits eine st"arkere Aussage als "Ubung \ref{Isoko} gezeigt. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $M$ eine Summe und dann auch eine direkte Summe ist von zu $E$ isomorphen Untermoduln ist, und in diesem Fall ist das Lemma explizit klar. \end{proof} \begin{Definition} Seien $A,B$ Ringe und $M$ ein Modul "uber $A \otimes_\DZ B$.\label{duaP} Man nennt $(A,B)$ ein {\bf duales Paar\index{duales Paar} vermittels} $M$, wenn die offensichtlichen Abbildungen Surjektionen $B\sra {\op{End}}_A M$ sowie $A\sra {\op{End}}_B M$ liefern. \end{Definition} \begin{Proposition*}[\textbf{Zerlegung unter dualen Paaren}] Sind zwei Ringalgebren $A,B$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ ein duales Paar vermittels eines "uber $k$ endlichdimensionalen $(A\otimes_k B)$-Moduls $M$ und ist $M$ halb\-einfach als $A$-Modul, so\label{ZduP} gibt es einfache paarweise nicht isomorphe $A$-Moduln $E_{1}, \ldots , E_{r}$ sowie einfache paarweise nicht isomorphe $B$-Moduln $F_{1}, \ldots, F_{r}$ derart, da"s $M$ unter $A \otimes_k B$ zerf"allt als $$M \cong \bigoplus^{r}_{\nu =1} E_{\nu} \boxtimes_k F_{\nu}$$ \end{Proposition*} \begin{proof}[Beweis] Mit \ref{IHo} finden wir schon einmal eine derartige Zerlegung mit allen $E_{\nu}$ einfach und paarweise nicht isomorph. Dann liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $\prod^{r}_{\nu = 1} {\op{End}}_{k} F_{\nu} \sira {\op{End}}_{A} M$. Folglich sind die $F_{\nu}$ einfache Moduln f"ur ${\op{End}}_AM$ und damit nach Annahme f"ur $B$. Damit ist $M$ auch als $B$-Modul halbeinfach. Lassen wir nun dasselbe Argument andersherum laufen, so folgt zus"atzlich, da"s die $F_\nu$ paarweise nicht isomorph sind. \end{proof} \subsection{Halbeinfache Ringe} \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defnoind{halbeinfach},\index{halbeinfach!Ring} wenn er halbeinfach ist als Linksmodul "uber sich selber. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{GRhe} Aus dem Satz "uber die Struktur halbeinfacher Ringe \ref{SHER} wird folgen, da"s ein Ring halbeinfach ist genau dann, wenn der opponierte Ring halbeinfach ist. In Teilen der Literatur wird aus mir unerfindlichen Gr"unden von einem halbeinfachen Ring zus"atzlich gefordert, da"s er nicht der Nullring sein darf. Der Gruppenring einer endlichen Gruppe "uber einem K"orper oder sogar Schiefk"orper, dessen Charakteristik die Gruppenordnung nicht teilt, ist halbeinfach nach dem Satz von Maschke \ref{Mas}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defnoind{einfach},\index{einfach!Ring} wenn er nicht Null ist und au"ser Null und sich selber keine weiteren zweiseitigen Ideale besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache halbeinfache Ringe}] Ein einfacher Ring $R$, der einen einfachen Untermodul $L\subset R$ besitzt, mu"s halbeinfach sein. In der Tat ist in jedem Ring $R$ die Summe aller einfachen Untermoduln $S\subset R$ offensichtlich ein zweiseitiges Ideal. Ist es nicht Null und unser Ring einfach, so haben wir notwendig $S=R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Einfache nicht halbeinfache Ringe}] Im allgemeinen brauchen einfache Ringe keineswegs halbeinfach zu sein. Zum Beispiel erh"alt man einen einfachen Ring, wenn man in ${\op{End}}(\DC[X])$ den Teilring betrachet, der von den Multiplikationen mit Polynomen und der Operation $\partial$ des Ableitens erzeugt wird. Er wird $\DC\lfloor X,\partial\rfloor$ notiert, hei"st die \glqq Algebra der algebraischen Differentialoperatoren auf $\DC$\grqq\ oder auch \glqq Weyl-Algebra in einer Ver"anderlichen\grqq, und wir zeigen in \eref{WeyE}{DM}, da"s er einfach ist. Als weiteres Beispiel erh"alt man auch einen einfachen Ring, wenn man den Quotienten des Endomorphismenrings eines Vektorraums abz"ahlbarer Dimension nach dem Ideal aller Endomorphismen endlichen Ranges betrachtet, wie der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen mag. Dieser Ring $E$ ist jedoch als Linksmodul "uber sich selber mit denselben Argumenten wie in \eref{BRNN}{KAG} isomorph zu $E^{\oplus 2}$, folglich kann er nach \ref{HEDi} nicht halbeinfach sein. In der Literatur wird auch oft unter einem \glqq einfachen Ring\grqq\ das verstanden, was in der hier gew"ahlten Terminologie ein \glqq halbeinfacher einfacher Ring\grqq\ hei"st. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Struktur halbeinfacher Ringe}] \label{HEDi} \begin{enumerate} \item Der Ring ${\op{End}}_D L$ der Endomorphismen eines endlich erzeugten Moduls $L$ "uber einem Schiefk"orper $D$ ist stets halbeinfach. Unter der zus"atzlichen Annahme $L\neq 0$ ist er auch einfach und hat bis auf Isomorphismus $L$ als einzigen einfachen Modul; \item Jedes endliche Produkt von halbeinfachen Ringen ist halbeinfach; \item Jeder halbeinfache Ring besitzt bis auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln und ist selbst eine direkte Summe von endlich vielen einfachen Untermoduln alias Linksidealen; \item Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem endlichen Produkt von Ringen quadratischer Matrizen "uber Schiefk"orpern; \item Der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings ist stets auch wieder halbeinfach; \item Jeder einfache Modul "uber einem halbeinfachen Ring ist endlichdimensional als Modul "uber seinem Endomorphismenschiefk"orper; \item Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die Isomorphieklassen von einfachen Moduln eines halbeinfachen Rings $R$ und sind $D_i\pdef{\op{End}}_R L_i$ deren Endomorphismenschiefk"orper, so liefert die offensichtliche Abbildung einen Ring\-isomorphismus $$R \sira ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$ \end{enumerate} \label{SHER} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man mag zur "Ubung zeigen, da"s die Faktoren rechts im letzten Teil dieses Satzes unter unserem Isomorphismus den isotypischen Komponenten des $R$-Moduls $R$ entsprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbeinfache endlichdimensionale Ringalgebren}] Eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper ist insbesondere genau dann halbeinfach, wenn sie isomorph ist zu einem endlichen Produkt von Matrixringen in endlichdimensionalen Schiefk"orpern "uber besagtem K"orper. Eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ist damit genau dann halbeinfach, wenn sie isomorph ist zu einem endlichen\label{heMR} Produkt von Matrixringen "uber besagtem K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Halbeinfache endlichdimensionale reelle Ringalgebren}] Wir wissen aus \eref{Quat}{AL}, da"s es bis auf Isomorphismus nur drei endlichdimensionale $\DR$-Ring\-al\-ge\-bren gibt, die Schiefk"orper sind, n"amlich $\DR,\DC$ und den Schiefk"orper $\mathbb H$ der Quaternionen. Jede halbeinfache endlichdimensionale $\DR$-Ring\-al\-ge\-bra ist also isomorph zu einem endlichen Produkt von Matrizenringen in diesen drei $\DR$-Ring\-al\-ge\-bren. Ein typisches Beispiel f"ur eine endlichdimensionale halbeinfache $\DR$-Ringalgebra w"are etwa $$\op{Mat}(2;\DR)\times \op{Mat}(7;\DC)\times \op{Mat}(2;\DC)\times \op{Mat}(5;\mathbb H)$$ \end{Beispiel} \begin{proof} 1. Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$ ist der Matrizenring $\op{Mat}(n;D)$ einfach und halbeinfach. In der Tat sieht man leicht ein, da"s das von einer beliebigen von Null verschiedenen Matrix erzeugte zweiseitige Ideal bereits der ganze Matrizenring sein mu"s und da"s der Linksmodul $D^n$ der Spaltenvektoren ein einfacher Modul "uber unserem Matrizenring ist. Der Matrizenring $\op{Mat}(n;D)$ ist nun als Linksmodul "uber sich selber isomorph zu einer direkten Summe von $n$ Kopien dieses einfachen Moduls, etwa den Untermoduln aller Matrizen, bei denen h"ochstens eine vorgegebene Spalte von Null verschieden ist. Folglich ist er auch halbeinfach. Nun zeigt der Satz von Jordan-H"older \ref{NJHM} oder alternativ die Zerlegung in isotypische Komponenten \ref{ITy}, da"s $D^n$ im Fall eines Schiefk"orpers $D$ bis auf Isomorphismus der einzige einfache Modul von $\op{Mat}(n;D)$ ist. \\[2mm]\noindent 2. Da"s jedes endliche Produkt halbeinfacher Ringe wieder halbeinfach ist, folgt unmittelbar aus den Definitionen. \\[2mm]\noindent 3. Jeder halbeinfache Ring zerf"allt in eine direkte Summe von einfachen Untermoduln. Seine Eins mu"s dabei wie jedes Element bereits in einer Summe von endlich vielen dieser einfachen Untermoduln liegen, und diese Summe ist dann notwendig bereits der ganze Ring. Da jeder einfache Modul Quotient unseres Rings ist und damit in einer isotypischen Zerlegung unseres Rings auftreten mu"s, besitzt unser Ring bis auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln. \\[2mm]\noindent 4. Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die Isomorphieklassen einfacher Moduln und $m_i$ deren jeweilige Vielfachheit im $R$-Modul $R$, so haben wir nach 3 einen Isomorphismus von $R$-Linksmoduln $R\cong L_1^{m_1}\oplus \ldots \oplus L_r^{m_r}$. Sind $D_i\pdef{\op{End}}_R L_i$ die Endomorphismenringe unserer einfachen Moduln, so erhalten wir nach \eref{ENRj}{KAG} und \eref{SVK}{KAG} Ring\-isomorphismen $$R^{\op{opp}}\sira {\op{End}}_R R\sila \op{Mat}(m_1;D_1)\times\ldots \times \op{Mat}(m_r;D_r)$$ Das Transponieren von Matrizen liefert dann auch einen Ringisomorphismus $$R\sira \op{Mat}(m_1;D_1^{\op{opp}})\times\ldots \times \op{Mat}(m_r;D_r^{\op{opp}})$$ Jeder halbeinfache Ring ist also isomorph zu einem endlichen Produkt von Ringen endlicher quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in Schiefk"orpern. \\[2mm]\noindent 5. Aus 1 und 2 folgt, da"s alle endlichen Produkte von Ringen endlicher quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in Schiefk"orpern halbeinfach sind. Nach 4 ist folglich der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings stets wieder halbeinfach. \\[2mm]\noindent 6. Nach 4 ist jeder halbeinfache Ring $R$ isomorph zu einem endlichen Produkt von Ringen endlicher quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in Schiefk"orpern. Gegeben ein einfacher $R$-Modul $L$ operieren alle Faktoren dieses Produkts bis auf einen durch Null. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $R=\op{Mat}(m;D)$ annehmen f"ur einen Schiefk"orper $D$ und $m\geq 1$ und nach 1 auch $L=D^m$ den Modul der Spaltenmatrizen. Der Endomorphismenring dieses Moduls ist nun offensichtlich $D^{\op{opp}}$ operierend durch Rechtsmultiplikation auf Spaltenvektoren und f"ur diese Operation ist $L$ endlich erzeugt. \\[2mm]\noindent 7. Sicher liefert die offensichtliche Abbildung einen injektiven Homomorphismus $$R \hra ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$ Teil 6 zusammen mit dem Dichtesatz zeigt, da"s er ein Isomorphismus sein mu"s. Im R"uckblick folgern wir zus"atzlich $m_i={\op{dim}}_{D_i}L_i$. In Worten stimmt also die Multiplizit"at eines einfachen Linksideals in $R$ "uberein mit seiner Dimension "uber dem jeweiligen Endomorphismenschiefk"orper. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jeder Linksmodul\label{zhity} "uber einem halbeinfachen Ring halbeinfach ist.\label{LMHE} \end{Ubung} \begin{Ubung} Besitzt ein Ring einen endlich erzeugten halbeinfachen Modul mit verschwindendem Annulator, so ist er halbeinfach.\label{Modehe} \end{Ubung} %\begin{Ubunge} % Besitzt ein einfacher Ring ein Linksideal, das als Linksmodul %einfach ist, so mu"s unser Ring keineswegs halbeinfach sein: %Der Endomorphismenring jedes\label{ERHE} %Vektorraums unendlicher Dimension ist ein Gegenbeispiel. FALSCH! %\end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein Modul "uber einem Schiefk"orper sind die einzigen zentralen Idempotenten seines Endomorphismenrings die Null und die Identit"at. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen von Matrizenringen "uber Schiefk"orpern}] Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und ein zentraler Unterk"orper $k\subset D$ und ein endlich erzeugter $D$-Modul $L$ ist jeder $k$-lineare Ringautomorphismus $\varphi:{\op{End}}_D(L)\sira {\op{End}}_D(L)$ die Konjugation mit einem Element $g\in({\op{End}}_k L)^\times$ und dessen Nebenklasse modulo $k^\times{\op{id}}_L$ ist wohlbestimmt und wir erhalten so einen injektiven Gruppenhomomorphismus $$\op{Ralg}^\times_k({\op{End}}_D(L))\hra ({\op{Aut}}_k L)/k^\times{\op{id}}_L$$ Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $L\neq 0$ annehmen. Der mit $\varphi$ zur"uckgezogene ${\op{End}}_D(L)$-Modul $\varphi_*^\circ L$ ist dann ebenfalls einfach als ${\op{End}}_D(L)$-Modul und folglich isomorph zu $L$ "uber $k$.\label{AutEE} \end{Ubung} \begin{Beispiel} Ist $K/k$ eine K"orpererweiterung und $D=K=L$, so finden wir ${\op{End}}_D L=K$ und $\op{Ralg}^\times_k({\op{End}}_D(L))=\op{Gal}(K/k)$ und die Inklusion in "Ubung \ref{AutEE} ist meist echt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Automorphismen von Matrizenringen}] Gegeben $k$ ein K"orper und $n\in \DN$ induziert die Konjugation einen Isomorphismus\label{AutM} $$\op{GL}(n;k)/k^\times{\op{I}}\;\sira\; \op{Ralg}^\times_k(\op{Mat}(n;k))$$ Das ist ein Spezialfall von "Ubung \ref{AutEE}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Der Satz von Skolem-Noether \cite{JaSe} IX.6.3 besagt unter anderem, da"s allgemeiner gegeben ein K"orper $k$ und eine einfache endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$ mit $k=\op{Z}(R)$ alle Ringalgebrenautomorphismen von $A$ durch Konjugation mit einer Einheit gegeben werden. Die Operation durch Konjugation liefert dann mithin einen Isomorphismus $$A^\times/k^\times\;\sira\; \op{Ralg}^\times_k(A)$$ \end{Bemerkungw} \begin{Ubung} Gegeben ein endlich erzeugter halbeinfacher Modul $M$ "uber einem Ring $R$ zeige man, da"s sein Endomorphismenring ${\op{End}}_RM$ halbeinfach ist, da"s die $R$-isotypischen Komponenten von $M$ mit den ${\op{End}}_RM$-isotypischen Komponenten von $M$ zusammenfallen, und da"s jeder einfache Modul von ${\op{End}}_RM$ isomorph ist zu einem Untermodul von $M$. Wir erhalten mithin eine Injektion $\op{irr}({\op{End}}_RM)\hra \op{irr}(R)$, deren Bild aus allen Isomorphieklassen von einfachen $R$-Moduln besteht, die in $M$ vorkommen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein zentrales Idempotentes $z\in R$ eines Rings hei"st {\bf primitiv},\index{primitiv!zentrales Idempotentes}\index{Idempotentes!zentrales primitives} wenn es nicht Null ist und es keine von Null verschiedenen zentralen Idempotenten $z_1,z_2$ gibt mit $z_1+z_2=z$ aber $z_1z_2=0$. Man zeige:\label{zIdP} Gegeben von Null verschiedene Vektorr"aume $L_1,\ldots,L_r$ "uber Schiefk"orpern $D_1\ldots,D_r$ sind die primitiven zentralen Idempotenten des Produktrings $$R\pdef ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$ genau die Tupel mit der Identit"at an einer Stelle und sonst nur Nullen. Insbesondere ist in einem halbeinfachen Ring stets die Eins die Summe der primitiven zentralen Idempotenten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Selbst in einem kommutativen aber nicht halbeinfachen Ring mu"s im allgemeinen die Eins keineswegs die Summe der primitiven zentralen Idempotenten sein. Man gebe ein Gegenbeispiel. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MRee} Jeder Ring $\op{Mat}(n;D)$ von endlichen quadratischen Matrizen mit Koeffizienten in einem Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$ ist einfach, und jeder halbeinfache einfache Ring ist isomorph zu einem derartigen Matrizenring f"ur genau ein $n$ und einen bis auf Isomorphismus wohlbestimmten Schiefk"orper $D$, seinen \defind{Goldie-Schiefk"orper}.\index{Schiefk"orper!Goldie-Schiefk"orper} Das fragliche $n$ hei"st dann der \defind{Goldie-Rang}\index{Rang!Goldie-Rang} unseres halbeinfachen einfachen Rings. \end{Ubung} % Hinweis: \ref{HEDi}, \ref{HEE}, \ref{ITy}, \ref{ENRj}, \ref{SVK}. % Wer spickeln will, kann auch in \ref{SHER} nachsehen. \begin{Ubung} Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und ein endlich erzeugter $D$-Modul $V$ und\label{EZYK} ein Endomorphismus $a\in E\pdef {\op{End}}_DV$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Das von $a$ erzeugte Linksideal $Ea$ ist ein einfacher $E$-Modul; \item Das von $a$ erzeugte Rechtsideal $aE$ ist ein einfacher $E$-Rechtsmodul; \item Unser Endomorphismus $a$ hat den Rang Eins alias $aV\cong D$ als $D$-Modul; \item Unser $D$-Modul $V$ besitzt eine Basis derart, da"s die Matrix von $a$ in Bezug auf diese Basis genau einen von Null verschiedenen Eintrag hat. \end{enumerate} Hinweis: Sind zwei Spalten unserer Matrix $a$ linear unabh"angig, so h"atte $Ea$ eine zu gro"se Dimension. Dann beachte man, da"s Zeilenrang gleich Spaltenrang auch f"ur Matrizen mit Eintr"agen in Schiefk"orpern gilt. \end{Ubung} \subsection{Jacobsonradikal und Spurradikal*} \begin{Bemerkungl} Sei $R$ ein Ring. Der Schnitt ${\op{J}}(R)=\op{Jac}(R)$\index{Jac@$\op{Jac}(R)$ Jacobson-Radikal} aller\index{J@$\op{J}(R)$ Jacobson-Radikal} Annullatoren einfacher $R$-Moduln hei"st das {\bf Jacobson-Radikal\index{Jacobson-Radikal} von} $R$.\index{Radikal!Jacobson-Radikal}\label{JacRn} Im Fall des Nullrings ist der Schnitt "uber die leere Familie von Teilmengen von $R=0$ ganz $R$, also $\op{Jac}(0)=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal "uber Rechtsannullatoren}] Das Jacobsonradikal von $R$ ist auch der Schnitt aller Annulatoren einfacher $R$-Rechtsmoduln, in Formeln gilt also ${\op{J}}(R)={\op{J}}(R^{\op{opp}})$. Um das einzusehen bemerkt man zun"achst\label{JRA} $${\op{J}}(R)=\{x\in R\mid 1-rx \text{ besitzt f"ur alle $r\in R$ ein Linksinverses}\}.$$ In der Tat finden wir f"ur $x\not\in{\op{J}}(R)$ einen einfachen $R$-Modul $E$ und $e\in E$ mit $xe\neq 0$ und insbesondere $e\neq 0$ und dann ein $r\in R$ mit $rxe=e$ alias $(1-rx)e=0$ und dann kann $(1-rx)$ kein Linksinverses haben. Gibt es umgekehrt $r\in R$ so da"s $(1-rx)$ kein Linksinverses hat, so liegt es in einem maximalen Linksideal, annulliert also einen einfachen $R$-Linksmodul $E$ und dann kann $rx$ und a forteriori $x$ nicht zum Annulator von $E$ geh"oren. Nun folgern wir st"arker $${\op{J}}(R)=\{x\in R\mid 1-rxs\; \text{ ist f"ur alle $r,s\in R$ invertierbar}\}$$ Die Inklusion $\supset$ ist hier eh klar. Andererseits impliziert $x\in {\op{J}}(R)$ bereits $xs\in{\op{J}}(R)$ f"ur alle $s\in R$ und es gibt folglich $u$ mit $u(1-rxs)=1$ alias $1+urxs=u$. Andererseits gibt es dann auch $v$ mit $v(1+urxs)=1=vu$. Aus $vu=1$ und $ua=1$ folgt aber direkt $v=a$ und so die Invertierbarkeit von $a$. Das wenden wir auf $a=1-rxs$ an und folgern, da"s dies Element invertierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quelle der Nakayama-Lemmata}] Gegeben ein Ring $R$ und ein endlich erzeugter $R$-Modul $M$ mit\label{lvayn} $(\op{Ann}_RE) M=M$ f"ur alle einfachen $R$-Moduln $E$ gilt $M=0$. \end{Proposition} \begin{proof} Durch Widerspruch. H"atten wir $M\neq 0$, so h"atte $M$ nach \ref{eQu} einen maximalen echten Untermodul $N\subsetneq M$. Dann w"are $E\pdef M/N$ einfach und wir h"atten $(\op{Ann}_RE) M \subset N\subsetneq M$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Lemma von Nakayama}] Gegeben ein Ring $R$ und ein endlich erzeugter $R$-Modul $M$ mit $\op{Jac}(R)M=M$ gilt $M=0$.\label{nkLvN}\index{Nakayama, Lemma von!nichtkommutatives} \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt sofort aus der Quelle \ref{lvayn}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Fall kommutativer Ringe kann man verschiedene Varianten dieser Aussage auch ohne das Zorn'sche Lemma zeigen, vergleiche \eref{lvay}{KAG} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar} Seien $R$ ein Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $T\subset M$ eine Teilmenge, deren Bild $\bar T$ den Quotienten $M/\op{Jac}(R)M$ erzeugt. So erzeugt $T$ bereits $M$ selbst. \end{Korollar} \begin{proof} Wir setzen $J\pdef \op{Jac}(R)$. Sei $N\subset M$ der von $T$ erzeugte Untermodul. Es folgt erst $N+ J M=M$ und dann $J M\sra M/N$ und schlie"slich $J (M/N)=M/N$ und so $M/N=0$ alias $M=N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal eines Rings endlicher L"ange}] Sei $R$ ein Ring, der von endlicher L"ange ist als Linksmodul "uber sich selber.\label{JREL} So ist ${\op{J}}(R)$ offensichtlich ein nilpotentes zweiseitiges Ideal, in Formeln ${\op{J}}(R)^n=0$ f"ur $n\gg 0$, ja f"ur $n\geq l_R(R)$. Umgekehrt mu"s jedes Linksideal $J$, das aus nilpotenten Elementen besteht, jeden einfachen Modul annullieren, denn aus $JL\neq 0$ folgt erst die Existenz von $x\in J$ und $m\in L$ mit $xm\neq 0$ und dann die Existenz von $r\in R$ mit $(rx)m=m$ im Widerspruch zu $(rx)\in J$. Mithin ist in diesem Fall ${\op{J}}(R)$ da"s gr"o"ste Linksideal von $R$, das aus nilpotenten Elementen besteht, und nach \ref{JRA} dann nat"urlich auch das gr"o"ste Rechtsideal, das aus nilpotenten Elementen besteht. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Ringe endlicher L"ange mit Jacobsonradikal Null}] Ein Ring $R$, der von endlicher L"ange ist als Linksmodul\label{JKHE} "uber sich selber, ist genau dann halbeinfach, wenn sein Jacobsonradikal verschwindet. \end{Proposition} \begin{proof} Verschwindet das Jacobsonradikal, so findet man Elemente einfacher Moduln $m_1\in L_1,\ldots, m_t\in L_t$ derart, da"s das Daranmultiplizieren an $(m_1,\ldots, m_t)\in L_1\oplus\ldots\oplus L_t$ eine Injektion $R\hra L_1\oplus\ldots\oplus L_t$ induziert. Damit ist $R$ nach \ref{QHUU} halbeinfach als Untermodul eines halbeinfachen Moduls. Ist umgekehrt $R$ halbeinfach, also eine Summe einfacher Untermoduln, so ist der Schnitt der Annullatoren der Summanden offensichtlich das Nullideal. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal und Erweiterung der Skalare}] Ist $K/k$ ein K"orpererweiterung und $A$ eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra, so induziert die Multiplikation eine Injektion\label{JzT} $${\op{Jac}}(A)\otimes_kK \hra {\op{Jac}}(A\otimes_kK)$$ In der Tat ist ${\op{Jac}}(A)$ ein nilpotentes zweiseitiges Ideal und folglich ist auch das Bild von ${\op{Jac}}(A)\otimes_kK$ ein nilpotentes zweiseitiges Ideal in $A\otimes_kK$ und folglich enthalten im Jacobson-Radikal ${\op{Jac}}(A\otimes_kK)$. Ist also $A\otimes_kK$ halbeinfach, so mu"s $A$ selbst bereits halbeinfach gewesen sein. Aus $A$ halbeinfach folgt jedoch im allgemeinen keineswegs $A\otimes_kK$ halbeinfach, wie wir im folgenden diskutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Spurform und ihre Eigenschaften}] Sei $k$ ein K"orper. Auf jeder endlichdimensionalen $k$-Algebra $A$ k"onnen wir die Linearform $$ \begin{array}{cccl} \op{Tr} :& A &\rightarrow &k\\ &a &\mapsto &\op{tr} ((a \cdot) | A) \end{array} $$ betrachten und die {\bf Spur-Form}\index{Spurform} $A\times A\mapsto k$ erkl"aren durch\label{SpFFO} \begin{equation*} (a,b)_{\op{tr}} \pdef \op{tr} \big((a\cdot)\circ (b\cdot)|A\big) \end{equation*} Man pr"uft leicht $(a,b)_{\op{tr}} = (b,a)_{\op{tr}} $. Ist unsere Algebra assoziativ, so haben wir $(a,b)_{\op{tr}}=\op{Tr}(ab)$ und $(ax, b)_{\op{tr}} = (a, xb)_{\op{tr}}$ f"ur alle $a,b, x \in A$. Daraus folgt, da"s das Radikal $$\op{Rad}_{\op{tr}}(A)=\op{Rad}_{k}(A)$$ der Spurform einer endlichdimensionalen assoziativen Algebra "uber einem K"orper $k$ stets ein zweiseitiges Ideal ist. Wir nennen es das {\bf Spur-Radikal}.\index{Spurradikal} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Spurradikal f"ur Matrixringe}] Sei $k$ ein K"orper. Auf der $k$-Algebra $A=\op{Mat}(n;k)$ wird die Spur nach \eref{FT}{LA1} beschrieben durch die Formel $\op{Tr}(M)= n\op{tr}(M)$ f"ur die "ubliche Spur $\op{tr}:\op{Mat}(n;k)\ra k$ aus der linearen Algebra. In diesem Fall ist das Spurradikal Null beziehungsweise der ganze Matrizenring je nachdem, ob $n$ in $k$ verschwindet, in Formeln $$\op{Rad}_{k}(\op{Mat}(n;k))=\left\{\begin{array}{cl}0&n_k\neq 0;\\ \op{Mat}(n;k))&n_k=0. \end{array}\right. $$\label{SpfMa} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Im Fall endlichdimensionaler Liealgebren spezialisiert unsere Spurform zur sogenannten Killingform \eref{Kiln}{HL}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Etwas allgemeiner gelingt die Definition von Spurform und Spur auch noch f"ur Ringalgebren "uber allgemeineren Kringen $k$, die endlich erzeugt und projektiv sind als $k$-Moduln. Wir diskutieren das in \eref{SPPa}{VAL}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Auf jeder endlichdimensionalen Algebra $A$ "uber einem K"orper $k$ k"onnten wir zus"atzlich zur Linearform $\op{Tr} :a \mapsto \op{tr} ((a \cdot) : A \rightarrow A) $ a priori auch noch die Linearform $a \mapsto \op{tr} ((\cdot a ) : A \rightarrow A) $ betrachten und so eine Variante der Spurform erhalten. Ich kenne jedoch keinen Fall, in dem man mit dieser Variante einen Zusatznutzen erzielen k"onnte. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Jacobsonradikal als Spurradikal}] Gegeben eine endlichdimensionale\index{Spurkriterium} Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ gilt\label{gjRs} $$\op{Jac}(A)\subset \op{Rad}_{\op{tr}}(A)$$ und "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char} k=0$ sogar $$\op{Jac}(A)=\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Da die Spur nilpotenter Endomorphismen Null ist und da das Jacobsonradikal einer endlichdimensionalen Ringalgebra nach \ref{JREL} aus nilpotenten Elementen besteht, mu"s im Fall einer endlichdimensionalen Ring\-al\-ge\-bra $A$ das Jacobsonradikal ${\op{Jac}}(A)$ stets im Spurradikal enthalten sein. Nach \eref{SpP}{AL} ist andererseits ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper der Charakteristik Null nilpotent genau dann, wenn die Spuren aller seiner echten Potenzen verschwinden. F"ur $x \in\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$ gilt nun aber sicher $(x^n,x)_{\op{tr}}=0$ f"ur $n\geq 0$ und damit ist $\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$ in unserem Fall ein Linksideal aus nilpotenten Elementen und mu"s mithin im Jacobsonradikal enthalten sein. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ und eine K"orpererweiterung $K/k$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $${\op{Jac}}(A)\otimes_kK \sira {\op{Jac}}(A\otimes_kK)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{gjRs} f"allt in Charakteristik Null das Jacobsonradikal mit dem Spurradikal zusammen. Da das Spurradikal eh unver"andert bleibt unter K"orpererweiterungen, gilt dasselbe f"ur das Jacobsonradikal. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Spurkriterium f"ur Halbeinfachkeit}] Eine endlichdimensionale\index{Spurkriterium} Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist genau dann halb\-ein\-fach, wenn ihre\label{SpuK} Spurform nichtausgeartet ist. \end{Korollar} \begin{proof} Ein Ring endlicher L"ange ist nach \ref{JKHE} genau dann halbeinfach, wenn sein Jacobsonradikal verschwindet. Das Korollar folgt unmittelbar aus der Gleichheit \ref{gjRs} von Jacobsonradikal und Spurradikal unter den Annahmen des Korollars. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist eine halbeinfache endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null halbeinfach genau dann, wenn sie unter einer und jeder K"orpererweiterung\label{suEK} des Grundk"orpers halbeinfach wird. In Formeln ist also $A$ halbeinfach genau dann, wenn $K\otimes_k A$ halbeinfach ist f"ur $K/k$ eine beliebige K"orpererweiterung und $\op{char}k=0$. Ebenso folgt, da"s gegeben zwei halbeinfache endlichdimensionale Ringalgebren $A,B$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik Null auch die Ringalgebra $A\otimes_kB$ halbeinfach ist, denn Orthogonalbasen der jeweiligen Algebren bez"uglich der Spurform liefern unmittelbar eine Orthogonalbasis ihres Tensorprodukts. Ein Gegenbeispiel in positiver Charakteristik gibt \eref{PSKe}{AL}, wo wir eine endliche K"orpererweiterung $L/K$ angeben derart, da"s der Ring $L\otimes_K L$ von Null verschiedene nilpotente Elemente hat. \nichtfinal{Es wäre naheliegend, zu erwarten, da"s "uber vollkommenen K"orpern alles gilt wie in Charakteristik Null. Ich mu"s dazu einmal die Literatur befragen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Moduln und Erweiterung des Grundk"orpers}] Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine Ringalgebra "uber $k$ und $L$ ein einfacher $A$-Modul. Gegeben eine K"orpererweiterung $K/k$ mu"s $L_K\pdef L\otimes_kK$ kein einfacher, ja noch nicht einmal ein halbeinfacher Modul "uber $A_K\pdef A\otimes _kK$ sein, wie das Beispiel \eref{PSKe}{AL} zeigt. Ist jedoch $L$ endlichdimensional "uber $k$, so ist das Bild $B\subset \op{End}_kL$ von $A$ halbeinfach nach \ref{Modehe} und sind wir zus"atzlich in Charakteristik Null, so ist auch $B_K$ halbeinfach nach \ref{suEK} und damit ist $L_K$ halbeinfach als $B_K$-Modul und a forteriori als $A_K$-Modul.\label{emEG} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Moduln und Galoiserweiterungen}] Seien $A$ eine Ring\-al\-ge\-bra "uber einem K"orper $k$ und $K/k$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$. Sei weiter $L$ ein einfacher $A$-Modul derart, da"s $L_K$ ein halbeinfacher $A_K$-Modul ist. So ist operiert $\Gamma$ durch\label{emG} $k$-lineare Ringautomorphismen auf $A_K$ und f"ur $\gamma\in\Gamma$ %auf $L_K$ ist $\op{id}\otimes\gamma^{-1}:L_K\sira L_K$ ein Isomorphismus $${\op{res}}^\gamma L_K\sira L_K$$ zwischen dem mit $\op{id}\otimes\gamma:A_K\ra A_K$ restringierten $A_K$-Modul $L_K$ und $L_K$ selbst. Ist der einfache $A_K$-Modul $E$ ein direkter Summand von $L_K$, so ist folglich auch ${\op{res}}^\gamma E$ ein direkter Summand von $L_K$ und kommt mit derselben Vielfachkeit vor wie $E$. Dar"uberhinaus m"ussen alle einfachen Summanden des $A_K$-Moduls $L_K$ gewisse ${\op{res}}^\gamma E$ f"ur unser festes $E$ sein, da die Summe aller zugeh"origen isotypischen Komponenten von $L_K$ ein $\Gamma$-stabiler $A_K$-Untermodul ist, der nach \eref{defKk}{AL} durch Erweiterung der Skalare aus einem $A$-Untermodul von $L$ hervorgehen mu"s. Als $A_K$-Modul besitzt $L_K$ mithin eine Zerlegung der Gestalt $$L_K\cong E_1^{\oplus n}\oplus E_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus E_r^{\oplus n}$$ mit $n,r\geq 1$ und einfachen $A_K$-Moduln $E_i$ derart, da"s es f"ur beliebige $i,j$ mindestens ein Element $\gamma$ der Galoisgruppe gibt mit $E_i\cong {\op{res}}^\gamma E_j$. Nehmen wir nun zus"atzlich $\op{dim}_kL<\infty$ an, so ist $L$ auch endlichdimensional "uber seinem Endomorphismenschiefk"orper $D\pdef \op{End}_AL$ und f"ur $m\pdef \dim_DL$ und $d\pdef \op{dim}_kD$ finden wir $dm=\op{dim}_kL$ sowie $\op{End}_DL\cong\op{Mat}(m;D)^{\op{opp}}$. F"ur $D_i\pdef {\op{End}}_{A_K}E_i$ der Endomorphismenschiefk"orper von $E_i$ finden wir durch Erweiterung der Skalare weiter $$\begin{array}{lll}D_K\cong {\op{End}}_{A_K}L_K&\cong& {\op{End}_{A_K}}E_1^{\oplus n}\times \ldots\times {\op{End}_{A_K}}E_r^{\oplus n} \\[2mm]&\cong& \op{Mat}(n;D_1)\times \ldots\times\op{Mat}(n;D_r) \end{array} $$ Sicher haben alle $D_i$ dieselbe $K$-Dimension $d_1\pdef \op{dim}_KD_1$ und damit gilt dann $d=\op{dim}_KD_K=rn^2d_1$ sowie $m=(\op{dim}_kL)/rn^2d_1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?} Seien $k$ ein K"orper der Charakteristik Null und $A$ eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra derart, da"s $A/{\op{Jac}}(A)=D_1\times\ldots\times D_r$ ein Produkt von Schiefk"orpern ist. Die einfachen $A$-Moduln sind also gewisse $L_1,\ldots,L_r$ und deren Endomorphismenschiefk"orper sind die $D_i$ und sind $P_i\sra L_i$ projektive Decken der $L_i$, so gibt es einen nicht eindeutigen Isomorphismus $A\sira P_1\oplus\ldots\oplus P_r$ von $A$-Moduln, der hinwiederum einen Isomorphismus $$A^{\op{opp}}\sira \op{End}_A(P_1\oplus\ldots\oplus P_r)$$ induziert. Unter Erweiterung der Skalare, angegeutet durch einen Querstrich, wird er ein Isomorphismus $$\bar A^{\op{opp}}\sira \op{End}_{\bar A}(\bar P_1\oplus\ldots\oplus \bar P_r)$$ und $\bar P\sra \bar L$ ist auch eine projektive Decke. Im Fall einer Galoiserweiterung wissen wir aus \ref{emG}, da"s $\bar L$ "uber $\bar A$ eine Zerlegung der Gestalt $$\bar L\sira E_1^{\oplus n}\oplus E_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus E_d^{\oplus n}$$ hat mit $n,d\geq 1$ und einfachen $\bar A$-Moduln $E_i$ derart, da"s es f"ur beliebige $i,j$ mindestens ein Element $\gamma$ der Galoisgruppe gibt mit $E_i\cong {\op{res}}^\gamma E_j$. Wir finden eine endliche Galoiserweiterung derart, da"s alle $E_i$ den K"orper $K$ als Endomorphismenring haben. Dann finden wir auch einen Lift zu einem Isomorphismus von $\bar A$-Moduln $$\bar P\sira Q_1^{\oplus n}\oplus Q_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus Q_d^{\oplus n}$$ mit $Q_i\sra E_i$ jeweils einer projektiven Decke, und auch der ist unkanonisch. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben $A\supset I$ eine endlichdimensionale Algebra mit einem Ideal stimmt die Spurform von $I$, aufgefa"st als eigenst"andige Algebra, "uberein mit der Einschr"ankung der Spurform von $A$ auf $I$.\label{ResSP} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen $\DZ/2\DZ$-graduierten $k$-Vektorraums alias {\bf Supervektorraums}\index{Supervektorraum} $V=V_0\oplus V_1$ erkl"art man die {\bf Superspur}\index{Superspur} $\op{str}:{\op{End}}(V)\ra k$ in hoffentlich selbsterkl"arender Notation durch die Formel $$\op{str}(A)\pdef\op{tr}(A_{0}^{0})- \op{tr}(A_{1}^{1})$$ Man zeige, da"s auch eine endlichdimensionale $\DZ/2\DZ$-graduierte $k$-Ringalgebra $A$ mit nichtausgearteter Superspurform $(a,b)\mapsto \op{str}(ab:A\ra A)$ halbeinfach ist als Ring.\label{spF} Hinweis: Man kopiere das Argument aus \ref{SpFFO}. Im "ubrigen ist die Superspurform nicht symmetrisch, sondern \glqq supersymmetrisch\grqq. F"ur ein systematisches Verst"andnis dieser Vorzeichen mag man mit der \glqq Multikategorie der Supervektorr"aume\grqq\ \eref{Str}{TS} arbeiten. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung} Eine endlichdimensionale $\DZ/2\DZ$-graduierte Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist halbeinfach als Ring genau dann, wenn ihre Superspurform nicht ausgeartet ist. Hinweis: Mithilfe von \ref{SpuK} d"urfen wir uns auf den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers zur"uckziehen. ??????? \end{Ubung}} \subsection{Erzeugende und Relationen f"ur Ringalgebren**} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ und eine Menge $I$ definiert man die {\bf freie $k$-Ring\-al\-ge\-bra} \index{Ringalgebra!freie} $\op{Ralg}_k\frei I$ "uber $I$ als den Monoidring "uber $k$ nach \ref{MoiR} des freien Monoids "uber $I$ nach \eref{FrMo}{TF}, in Formeln\label{FRiA} \begin{equation*} \op{Ralg}_k\frei I \pdef k \langle\op{Mon}\frei I\rangle \end{equation*} Salopp gesprochen kann man diese freie Ringalgebra verstehen als einen \glqq Polynomring in den nicht-kommu\-tierenden Variablen $(X_i)_{i \in I}$\grqq. Wir notieren sie auch $$k\lfloor' X_1, X_2,\ldots,X_n\rfloor=k\lfloor X_1, X_2,\ldots,X_n\rfloor$$ im Fall endlich vieler Variablen oder $k\lfloor' X_i|i\in I\rfloor= k\lfloor'_! I\rfloor$ im allgemeinen. Die unfertigen Klammern sollen andeuten, da"s nichtkommutierende Variablen gemeint sind. Das \glqq Freiheitsstrichlein\grqq\ bedeutet wie in \eref{NfE}{KAG} vereinbart die Freiheit der Erzeuger. Die kanonische Einbettung $\op{can} : I \rightarrow \op{Ralg}_k\frei I$ hat dann die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jede weitere $k$-Ringalgebra $B$ das Vorschalten von $\op{can}$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Ralg}_k (\op{Ralg}_k\frei I, B) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (I,B) \end{equation*} zwischen Homomorphismen von $k$-Ringalgebren und Abbildungen von Mengen induziert. Jede Abbildung von der Menge $I$ in eine $k$-Ringalgebra $B$ faktorisiert also eindeutig "uber einen Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\op{Ralg}_k\frei I \rightarrow B,$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ I \ar[r]^-{\op{can}}\ar[dr]^{\varphi} &\op{Ralg}_k\frei I\ar@{-->}[d]^{\tilde{\varphi}}\\ &B\\ } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ErAA} Gegeben ein Kring $k$, eine Menge $I$ und eine Teilmenge $R \subset \op{Ralg}_k\frei I$ der freien $k$-Ringalgebra "uber $I$ bezeichnen wir den Quotienten \index{Algebra!Erzeuger und Relationen} \begin{equation*} (\op{Ralg}_k\frei I) / \langle R \rangle \end{equation*} nach dem von $R$ erzeugten Ideal auch als die {\bf von der Menge $I$ mit den Relationen $R$ erzeugte $k$-Ringalgebra}. In der Literatur spricht man meist etwas unscharf von der \glqq von der Menge $I$ mit den Relationen $R$ erzeugten $k$-Algebra\grqq. Oft schreibt man Relationen auch in der Form $a = b$ mit Elementen $a,b \in \op{Ralg}_k\frei I$. Damit ist gemeint, da"s die Differenz $a-b$ unserer beiden Elemente zu $R$ geh"oren soll. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $k$ ein K"orper und $B\subset V$ eine Basis eines $k$-Vektorraums $V$, so kann die "au"sere Algebra $\bigwedge V$ von $V$ aus \eref{APRR}{LA2} beschrieben werden als die von der Menge $B$ mit den Relationen $b^2 =0$ erzeugte $k$-Ringalgebra. Genauer induziert die Abbildung $B\ra \bigwedge V,$ $b\mapsto b\in \bigwedge^1 V$ einen Isomomorphismus von $k$-Ringalgebren $$(\op{Ralg}_k\frei B)/\langle b^2\mid b\in B\rangle\sira \bigwedge V$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Polynomring "uber einem Kring $k$ in Variablen $X_1,\ldots, X_n$ ist die von den Variablen $X_i$ mit den Relationen $X_iX_j=X_jX_i$ erzeugte $k$-Ringalgebra. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{FRAk} Gegeben eine Menge $I$ und ein K"orper $k$ ist unser Monoidring $k\langle\op{Mon}\frei I\rangle$ zum freien Monoid $\op{Mon}\frei I$ "uber $I$ aus \eref{FrMo}{TF} isomorph zur Tensoralgebra ${\op{T}}(k\langle I\rangle)$ "uber dem freien Vektorraum "uber $I$ im Sinne von \eref{TeAl}{LA2}. Genauer haben die offensichtlichen Abbildungen $I\ra k\langle\op{Mon}\frei I\rangle$ und $I\ra {\op{T}}(k\langle I\rangle)$ beide dieselbe universelle Eigenschaft: F"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ induziert ihr Vorschalten Bijektionen $$\op{Ralg}_k( k\langle\op{Mon}\frei I\rangle, A)\sira \op{Ens}(I,A)\quad\text{und}\quad \op{Ralg}_k( {\op{T}}(k\langle I\rangle), A)\sira \op{Ens}(I,A)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Freier Ring "uber einer Menge unter einem gegebenen Ring}] Gegeben ein Ring $R$ mag man die Kategorie $\op{Ring}^R$ der \glqq Ringe unter $R$\grqq\ betrachten. Objekte sind Ringe $A$ mit einem ausgezeichneten Ringhomomorphismus $R\ra A$. Auch f"ur diese Kategorie hat das Bilden der zugrundeliegenden Menge\label{frk} $\op{Ring}^R\ra\op{Ens}$ einen Linksadjungierten. Ein m"ogliche Konstruktion dieses Linksadjungierten besteht darin, f"ur jedes Wort in $I$ der L"ange $l$ die $(l+1)$-te Tensorpotenz von $R$ "uber $\DZ$ zu betrachten und die direkte Summe aller dieser Tensorpotenzen zu bilden, in Formeln die abelsche Gruppe\index{)5floor@$R{\mid}I\rfloor$ freier Ring} $$R|I\rfloor\pdef \bigoplus_{n=0}^\infty\bigoplus_{(i_1,\ldots, i_n)\in I^n}R^{\otimes (n+1)}$$ Als Produkt zweier Tensoren erkl"art man das Zusammentensorieren "uber $R$ in der Tensorpotenz zum verkn"upften Wort. Mit dem Ringhomomorphismus $R\ra R|I\rfloor$ gegeben durch Interpretation eines Ringelements als Tensor zu $n=0$ und der Abbildung $I\ra R|I\rfloor$ gegeben durch $i\mapsto (1\otimes 1)$ im Summanden zum Index $i\in I$ hat dann $R|I\rfloor$ die gew"unschte universelle Eigenschaft. Ein Tensor $r_1\otimes r_{2}\otimes \ldots\otimes r_{n+1}$ zum Index $(i_1,\ldots, i_n)$ ist dann in $R|I\rfloor$ das Produkt $r_1i_1r_2 \ldots i_n r_{n+1}$, wobei wir genau genommen unter den Faktoren die Bilder der $r_\nu$ und $i_\nu$ in $R|I\rfloor$ verstehen. Die Notation $R| I\rfloor$ soll andeuten, da"s im Gegensatz zu $R\lfloor I\rfloor$ die Variablen noch nicht einmal mit den Ringelementen kommutieren m"ussen. \end{Ubung} \subsection{Tensorkalk"ul f"ur Darstellungen*} \begin{Bemerkungl} F"ur manche Allgemeinheiten erweist es sich als sinnvoll, die noch allgemeinere Situation eines Moduls $V$ "uber einem Ring $k$ mitsamt einer Abbildung $\rho:\Omega\ra {\op{End}}_k(V)$ einer beliebigen Menge $\Omega$ in seinen Endomorphismenring zu betrachten.\label{DaMeRi} Solch ein Paar $(V,\rho)$ hei"st eine\index{Darstellung!einer Menge} {\bf Darstellung der Menge $\Omega$ "uber dem Ring $k$}. Man "uberlegt sich leicht, da"s das dasselbe ist wie eine Darstellung "uber $k$ des freien Monoids $\op{Mon}\frei\Omega$ "uber der Menge $\Omega$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Darstellungstheorie von Gruppen, Monoiden oder Mengen ist zum Teil das Studium der Moduln "uber speziellen Ringen, eben den entsprechenden Gruppenringen, Monoidringen oder Monoidringen des freien Monoids "uber einer gegebenen Menge. Die Begriffe einfach, halbeinfach, isotypische Komponente, isotypische Zerlegung, L"ange und viele mehr bleiben so auch f"ur Darstellungen von Gruppen, Monoiden und sogar Mengen sinnvoll. Zus"atzlich k"onnen wir f"ur Darstellungen von Monoiden "uber kommutativen Ringen jedoch multilineare Abbildungen erkl"aren und erhalten so die viel reichhaltigere Struktur einer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen, ja im Fall einer Gruppe sogar mit Multihom. Das soll im folgenden ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $r\geq 0$ und Darstellungen $W_1,\ldots, W_r,V$ eines Monoids oder gar einer Menge $G$ "uber einem Kring $k$ verstehen wir unter einer {\bf Verschmelzung von Darstellungen}\index{Verschmelzung!von Darstellungen} eine multilineare Abbildung\label{DarMKv} $\varphi:W_1\times\ldots\times W_r\ra V$, die $G$-\"{a}quivariant ist in dem Sinne, da"s gilt $\varphi(gw_1,\ldots,gw_r)=g\varphi(w_1,\ldots,w_r)$ f"ur alle $w_i\in W_i$ und $g\in G$. Wir verwenden f"ur die Gesamtheit aller derartigen Abbildungen wie in \eref{Mulin}{LA2} die beiden Notationen $$\op{Mod}_{k,G}(W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_r,V)= \op{Hom}_{k,G}^{(r)}(W_1\times\ldots\times W_r,V)$$ Insbesondere liefert im Fall $r=0$ das Auswerten auf dem einzigen Punkt $\ast$ des leeren Produkts eine Bijektion $\op{Mod}_{k,G}(\curlyvee,V)= \op{Hom}_{k,G}(\ast,V)\sira V^G$ alias eine Bijektion zwischen den Mengen der $G$-"aquivarianten $0$-linearen Abbildungen in eine Darstellung und der Menge der $G$-invarianten Vektoren unserer Darstellung. Unsere Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen \eref{MuliV}{LA2} induziert eine Multiverkn"upfung von Verschmelzungen von Darstellungen. Unsere universellen Verschmelzungen $$\tau: W_1\times\ldots\times W_r\ra W_1\otimes\ldots\otimes W_r$$ aus \eref{TeKorM}{LA2} im Fall eines K"orpers $k$ und aus \eref{TPro}{TS} im Allgemeinen werden $G$-"aquivariant mit derjenigen $G$-Operation auf dem Tensorprodukt, die f"ur $g\in G$ gegeben wird durch $g(w_1\otimes\ldots\otimes w_r)\pdef gw_1\otimes\ldots\otimes gw_r$ im Fall $r\geq 1$ und durch die triviale Operation auf dem leeren Tensorprodukt $k$ im Fall $r=0$. Es ist dann klar, da"s diese Verschmelzungen von Darstellungen $\tau$ in das Tensorprodukt in der Weise universell sind, da"s das Vorschalten von $\tau$ f"ur jede weitere Darstellung $V$ eine Bijektion $$\op{Mod}_{k,G}(W_1\otimes\ldots\otimes W_r,V) \sira \op{Mod}_{k,G}(W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_r,V) $$ liefert. Im Fall $r=0$ spezialisiert das unter unseren ganzen Identifikationen zu der durch das Auswerten bei $1\in k$ gegebenen Bijektion $\op{Mod}_{k,G}(k,V) \sira V^G$. In anderen Worten ist unsere Einsdarstellung $k$ versehen mit der durch $\ast\mapsto 1$ erkl"arten Leerverschmelzung das Einsobjekt unserer Schmelzkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom von Gruppendarstellungen}] Seien $k$ ein Kring und $G$ eine Gruppe und $U,V,W$ Darstellungen von $G$ "uber $k$. Erkl"aren wir eine Operation von $G$ auf $\op{Hom}_k(V,W)$ durch die Vorschrift\label{ihD} $gf\pdef \rho_W(g)\circ f\circ\rho_V(g^{-1})$ f"ur $g\in G$ und $f \in \op{Hom}_k(V,W)$, so induziert die offensichtliche Bijektion $\op{Mod}_k(U\curlyvee V,W) \sira \op{Mod}_k(U,\op{Hom}_k(V,W))$ eine Bijektion $$\op{Mod}_{k,G}(U\curlyvee V,W) \sira \op{Mod}_{k,G}(U,\op{Hom}_k(V,W))$$ Die definitorische Gleichheit $\op{Mod}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_k(V,W)^G$ von Homomorphismen von Darstellungen und $G$-Invarianten in der Darstellung auf dem Raum aller linearen Abbildungen kann man dann auch als die Verkn"upfung von kanonischen Isomorphismen $$\op{Mod}_{k,G}(V,W) \sira \op{Mod}_{k,G}(k,\op{Hom}_k(V,W))\sira \op{Hom}_k(V,W)^G$$ verstehen, von denen der Erste von \eref{MUMU}{LA2} herkommt und der Letzte von \ref{DarMKv}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Darstellungen als Schmelzkategorie}] In der in \eref{smkk}{TS} eingef"uhrten Terminologie kann man die vorhergehenden Bemerkungen dahingehend zusammenfassen, da"s\label{Dmk} die Darstellungen eines Monoids, ja einer Menge $G$ "uber einem Kring $k$ eine Schmelzkategorie $\op{Mod}_{k,G}$ mit stabil universellen Verschmelzungen bilden. Ist unser Monoid $G$ eine Gruppe, so hat unsere Schmelzkategorie zus"atzlich internes Hom im Sinne von \eref{Muhom}{TS}. Die definitorische Gleichheit $\op{Mod}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_k(V,W)^G$ wird dann ein Spezialfall der nat"urlichen Bijektion $\mathcal M(V,W)\sira \mathcal M(\curlywedge,V{\Rrightarrow}W)$ aus \eref{stMH}{TS} zwischen Einsverschmelzungen und Leerverschmelzungen in das interne Hom-Objekt. \end{Bemerkungw} \subsection{Vertwistete Monoidringe*} \begin{Bemerkungl} Seien $A$ ein Ring und $G$ ein Monoid, das durch Ringhomomorphismen auf $A$ operiert. Formal nehmen wir also an, da"s wir einen Monoidhomomorphismus $\sigma : G \ra \op{Ring}( A)$ ausgezeichnet haben. Unter diesen Annahmen erkl"aren wir die Kategorie\label{GqeA} $$\op{Mod}_{A,\sigma,G}=A\op{-Mod}^{G}=A\op{-Mod}^{(G,\sigma)}$$ der {\bf $G$-"aquivarianten $A$-Moduln}\index{Modul!"aquivarianter!f"ur Monoidoperation} als die Kategorie aller Paare $(M,\tau)$, die bestehen aus einem $A$-Modul $M$ und einer $G$-Operation $\tau:G\ra \op{Ab}(M)$ auf der abelschen Gruppe $M$ mit der Eigenschaft, da"s die Multiplikation mit Skalaren eine $G$-"aquivariante Abbildung $$A\times M\ra M$$ ist. In Formeln fordern wir also $^x\!(am)={^x\! a}\!\;{^x\! m}$ f"ur alle $x\in G$, $a\in A$ und $m\in M$ und verwenden dabei die Notationen ${^x\! a}\pdef (\sigma(x))(a)$ und ${^x\! m}\pdef (\tau(x))(m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{"Aquivariante Moduln als Schmelzkategorie}] Gegeben ein Kring $A$ mit der Operation eines Monoids $G$ erhalten wir auf diese Weise sogar eine Schmelzkategorie im Sinne von \eref{smkk}{TSK} mit multilinearen $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-ten Abildungen als Verschmelzungen. Der mit dieser Begrifflichkeit vertraute Leser wird unschwer zeigen k"onnen, da"s diese Schmelzkategorie stabil universelle Verschmelzungen hat und, wenn $G$ eine Gruppe ist, sogar internes Hom. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{HIDN} Ist $K$ ein K"orper und $\Gamma\subset \op{Aut}(K)$ eine endliche Untergruppe seiner Automorphismengruppe und $k\pdef K^\Gamma$ deren Fixk"orper, so liefert das Bilden der $\Gamma$-Invarianten eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien $$K\op{-Mod}^\Gamma\sirra k\op{-Mod}$$ Das ist im wesentlichen die Aussage von Hilbert's Satz 90 aus \eref{HS90}{AL} und gilt immer noch nach \eref{HS90}{AL} sogar st"arker f"ur beliebige Galoiserweiterungen $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$, wenn wir die Galoisgruppe mit ihrer Krulltopologie versehen und nur solche "aquivarianten Moduln $M$ betrachten, f"ur die die Operation $\Gamma\times M\ra M$ stetig ist in Bezug auf die Krulltopologie auf $\Gamma$ und die diskrete Topologie auf $M$. \end{Beispiel} % und $N$ ein zweiter solcher % $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Modul, so ist auch ihr Tensorprodukt % $M \otimes_{A} N$ ein $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Modul % in nat"urlicher Weise. Erkl"aren wir Multimorphismen von % $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Moduln als $G$-"aquivariante % $A$-multilineare Abbildungen, so erhalten wir % auf $A^{\sigma}\!\langle G\rangle\op{-Mod}$ die Struktur einer % Multikategorie, f"ur die der offensichtliche Multimorphismus % $M\times N\ra M \otimes_{A} N$ universell ist. Nullmorphismen % nach $M$ versteht man in diesem Kontext als Invarianten alias % Elemente von $M^G$. Ein universeller Nullmorphismus ist % in diesem Fall die $1$ in $A$. % ein Monoidhomomorphismus. Moduln "uber $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$ sind % dasselbe wie $A$-Moduln $M$ mit einer Operation % von $G$, f"ur die die Multiplikation $A\times M \ra M$ "aquivariant ist % in Bezug auf die $G$-Operation. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VTGR} Operiert ein Monoid $G$ auf einem Ring $A$, geben wir also einen Monoidhomomorphismus $\sigma : G \ra \op{Ring}( A)$ vor, so bilden wir den \defnoind{vertwisteten Monoidring}\index{Monoidring!vertwistet}\index{vertwistet!Monoidring} $$A^\rtimes \!\langle G\rangle =A^{\sigma}\!\langle G\rangle=A^{\sigma} \!\langle'_! G\rangle$$ Als additive Gruppe nehmen wir dem "ublichen Monoidring. Er besteht mithin aus allen Abbildungen $G\ra A$ mit endlichem Tr"ager oder besser kompakt getragenen Ma"sen, die wir schreiben als formale Linearkombinationen $\sum_y a_y y$ mit $a_y\neq 0$ f"ur h"ochstens endlich viele $y\in G$. Um die Multiplikation zu erkl"aren, vereinbaren wir f"ur die Operation unseres Monoids die Notation ${^x\! a}\pdef (\sigma(x))(a)$ und erkl"aren die Multiplikation durch die Vorschrift $(ax)(by)\pdef (a\;\!{^x\! b})(xy)$ f"ur $a,b\in A$ und $x,y\in G$. Es ist leicht zu sehen, da"s wir einen Isomorphismus von Kategorien $$A^\rtimes \!\langle G\rangle\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}^{(G,\sigma)}$$ zwischen der Kategorie der Moduln "uber dem vertwisteten Monoidring und der Kategorie der $G$-"aquivarianten $A$-Moduln erhalten, indem wir die Operation von $A^\rtimes \!\langle G\rangle$ einschr"anken zu Operationen von $A$ und von $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In \eref{KaII}{AL} erkl"aren wir f"ur jede endliche Galoiserweiterung $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$ einen Isomorphismus von $k$-Ringalgebren $$K^\rtimes \langle \Gamma\rangle\sira {\op{End}}_kK$$ In \eref{UbMo}{KAG} diskutieren wir eine "Aquivalenz $k\op{-Mod}\sirra \op{Mat}(n;k)\op{-Mod}$ von Kategorien, die in unserer Situation und in koordinatenfreier Schreibweise zu einer "Aquivalenz $k\op{-Mod}\sirra ({\op{End}}_kK)\op{-Mod}$ mit $M\mapsto K\otimes_kM$ spezialisiert. Unsere "Aquivalenzen aus \ref{HIDN} und \ref{VTGR} f"ugen sich in diesem Fall zusammen zu einem bis auf eine nat"urliche Isotransformation kommutativen Viereck $$\xymatrix{ K\op{-Mod}^\Gamma \ar[r]^{\approx} \ar[d]^{\wr}&k\op{-Mod}\ar@{=>}[dl]_{\sim}\ar[d]^{\wr\wr}\\ K^\rtimes \langle \Gamma\rangle\op{-Mod}\ar[r]^{\sim} &({\op{End}}_kK)\op{-Mod} & }$$ aus Isomorphismen und "Aquivalenzen von Kategorien. Die fragliche Isotransformation bilden dabei die durch Multiplikation gegebenen Isomorphismen $K\otimes_kM^\Gamma\sira M$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Viele Autoren bezeichnen unseren ver\-twisteten Gruppenring als {\bf Smashprodukt}\index{Smashprodukt!der Ringtheorie} und notieren ihn $A\# \DZ[G].$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} Man schreibe Beweise zu den in diesem Abschnitt aufgestellten Behauptungen aus. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXNAS" %%% End: %xdvi -q -linkstyle 2 -editor 'emacsclient --no-wait' XXNAS.dvi & %makeindex -g -s german.ist XXNAS %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{XXNAS}" %scp XXNAS.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/XXNAS.pdf %scp XXNAS.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/XXNAS.pdf