\section{Mehr zu algebraischen Variet"aten} \subsection{Torische Variet"aten} \begin{Definition} Seien $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $T$ ein algebraischer Torus "uber $k$. Eine {\bf torische $T$-Variet"at}\index{torische Variet"at}\index{Variet"at!torische} ist eine irreduzible $T$-Variet"at mitsamt einer $T$-"aquivarianten offenen Einbettung des Torus $T$ in unsere Variet"at. Ein {\bf Morphismus von torischen Variet"aten} "uber einem festen Torus $T$ ist ein Morphismus von Variet"aten, der mit der jeweiligen Einbettung von $T$ vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Affine Variet"aten mit dichter Torusbahn}] Sei $T$ ein Torus. F"ur jede $T$-Variet"at $X$ mit dichter Bahn liefert das Anwenden auf einen beliebigen Punkt $x$ dieser Bahn einen dominanten Morphismus\label{GRBB} $ T \ra X.$ Der Komorphismus dazu ist folglich eine Injektion $ \cal{O}(X)\hra \cal{O}(T) $ und die Operation von $T$ auf $\cal{O}(X)$ liefert dann eine isotypische Zerlegung $ \cal{O} (X) = \bigoplus_{\chi \in \frak{X} (T)} \cal{O} (X)_{\chi} $. Bezeichnet nun $$\op{P}( \cal{O} (X))\pdef \{ \chi \in \frak{X} (T) \mid \cal{O} (X)_\chi \neq 0\}$$ die Menge der Gewichte von $\mathcal O(X)$, so liefert nach dem Vorhergehenden die Vorschrift $(X,x) \mapsto \op{P} (\cal{O} (X))$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{punktierte affine $T$-Variet"aten}\\ \text{$(X,x)$ mit $\overline{Tx}=X$} \end{array} \right\} \sirra \left\{ \begin{array}{c} \text{endlich erzeugte}\\ \text{Untermonoide von $\frak{X} (T)$} \end{array} \right\} ^{\op{opp}} $$ mit Inklusionen von Untermonoiden als Morphismen rechts. Zum Beispiel entspricht hier die $T$-Variet"at $T$ dem ganzen Monoid $\frak{X} (T)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Affine Variet"aten mit dichter freier Torusbahn}] Gegeben ein Torus $T$ und eine punktierte affine $T$-Variet"at $(X,x)$ mit $\overline{Tx}=X$ liefert das Anwenden von $t\in T$ auf $x$ einen Isomorphismus des Torus mit der dichten Bahn $Tx\subset X$ genau dann, wenn die Operation von $T$ auf $\cal{O} (X)$ treu ist, und das hinwiederum gilt genau dann, wenn das Untermonoid $\op{P}( \cal{O} (X))$ die abelsche Gruppe $\frak{X} (T)$ erzeugt. Wir erhalten damit eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{affine torische}\\ \text{Variet"aten zu $T$} \end{array} \right\} \sirra \left\{ \begin{array}{c} \text{endlich erzeugte Untermonoide}\\ \text{ $M\subset \frak{X} (T)$ mit $\langle M\rangle_\DZ=\frak{X} (T)$}\\ \end{array} \right\}^{\op{opp}} $$ Der quasiinverse Funktor kann hier auch leicht angegeben werden: Er ordnet jedem Untermonoid $M$ das Maximalspektum $\op{Max}kM$ seines Monoidrings $kM$ im Sinne von \eref{MoiR}{NAS} zu. Unsere allgemeinen Argumente liefern in diesem Fall auch explizite Bijektionen $\op{Mon}(M,k)\sila \op{Kring}^k(kM,k)\sira \op{Max}kM$ durch die Restriktion auf $M$ und das Bilden des Kerns eines Ringhomomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Untermonoid $K$ einer freien abelschen Gruppe $N$ nennen wir \defnoind{ges"attigt},\index{ges"attigt!Untermonoid} wenn jedes Element von $N$, von dem ein positiv-ganzzahliges Vielfaches in $K$ liegt, bereits selbst in $K$ liegt. \end{Definition} \begin{Proposition} Gegeben ein Torus $T$ induziert unsere "Aquivalenz von Kategorien $X\mapsto \op{P}(\mathcal O(X))$ aus \ref{GRBB} eine "Aquivalenz von Kategorien\label{natV} $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{normale affine torische}\\ \text{Variet"aten zu $T$} \end{array} \right\} \sirra \left\{ \begin{array}{c} \text{ges"attigte endlich erzeugte Untermo-}\\ \text{-noide $M\subset \frak{X} (T)$ mit $\langle M\rangle_\DZ=\frak{X} (T)$}\\ \end{array} \right\}^{\op{opp}} $$ \end{Proposition} \begin{proof} Da"s hier jede normale torische Variet"at ein ges"attigtes Untermonoid liefert, ist eh klar. F"ur die Umkehrung erinnern wir an den Begriff eines Kegels aus \eref{DeKe}{LA1}. Nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma von Gordan \ref{LvG} gilt f"ur unser Monoid $M=\frak{X} (T)\cap C$ f"ur einen endlich erzeugten Kegel $C\subset \frak{X} (T)\otimes_\DZ\DQ$. Nun ist nach \eref{HLU}{LA1} jeder endlich erzeugte Kegel der Schnitt aller ihn umfassenden Halb\-r"aume. Nun ist offensichtlich jeder Schnitt normaler Teilringe eines Integrit"atsbereichs auch selbst wieder normal. Der zu so einem Halbraum geh"orende $k$-Kring ist normal als Lokalisierung $k[Y_1, Y^{\pm 1}_2, \ldots, Y^{\pm 1}_n]$ eines normalen Krings, wenn unser Halbraum durch eine $\DZ$-Linearform gegeben wird, die Teil einer Basis des dualen Gitters ist. Sonst k"onnen wir unser Gitter so vergr"o"sern, da"s das gilt, und dann wieder mit dem Gruppenring des urspr"unglichen Gitters schneiden, der ja auch normal ist. Zusammen folgt, da"s jedes ges"attigte Monoid auch umgekehrt eine normale Variet"at liefert. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{von Gordan}] Gegeben eine abelsche Gruppe $N$ und ein K"orper $K$ vereinbaren wir die Notation $N_K\pdef N\otimes_\DZ K$. F"ur jede freie endlich erzeugte abelsche Gruppe $N$ liefert dann das Schneiden mit $N$\label{LvG} eine Bijektion\index{Gordan!Lemma von} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{endlich erzeugte}\\ \text{Kegel in }N_\Bbb{Q} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{ges"attigte endlich erzeugte}\\ \text{Untermonoide von $N$} \end{array}\right\} \end{array} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben ein endlich erzeugter Kegel $C$ in $N _\Bbb{Q}$ seien $v_1, \ldots, v_r \in N$ Erzeuger von $C.$ Dann ist in $N_\Bbb{R}$ die Menge $[0,1]v_1 + \ldots + [0,1]v_r$ kompakt und trifft die abgeschlossene diskrete Teilmenge $N$ in einer endlichen Menge $E$, die $C \cap N$ als Monoid erzeugt, ja wir k"onnen sogar jeden Punkt von $C \cap N$ durch Addition endlich vieler $v_i$ zu Punkten aus $E$ erhalten. Also landet unsere Abbildung da, wo sie landen soll. Die Surjektivit"at scheint mir offensichtlich, die Injektivit"at ebenso. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben ein Torus $T$ und $\frak{Y} (T)\pdef \frak{X}^\ast (T)$ das Gitter seiner Kocharaktere erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{normale affine torische}\\ \text{Variet"aten zu $T$} \end{array}\right\} &\sirra & \left\{ \begin{array}{c} \text{spitze endlich erzeugte}\\ \text{Kegel in $\frak{Y} (T)_\DQ$} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} durch die Vorschrift, da"s wir unserer Variet"at $X$ erst wie in \ref{natV} das Monoid $M\pdef \op{P}(\mathcal O(X))$ zuordnen, diesem Monoid den nach dem Lemma von Gordan \ref{LvG} zugeh"origen Kegel $C\subset \mathfrak X(T)_\DQ$, und diesem den dualen Kegel $C^\circ \subset \mathfrak Y(T)_\DQ$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Hier entspricht der $T$-Variet"at $T$ der einpunktige Kegel. Wir notieren die torische Variet"at zu einem spitzen endlich erzeugten Kegel $\sigma\subset \frak{Y} (T)_\DQ$ als $$X_\sigma$$ Das folgende Beispiel zeigt, da"s Einbettungen von Kegeln keineswegs Einbettungen von torischen Variet"aten zu entsprechen brauchen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir verkn"upfen den "Ubergang zum Monoid der Gewichte \ref{natV} mit der Bijektion aus dem Lemma von Gordan \ref{LvG} und dem "Ubergang zum dualen Kegel im Sinne von \eref{PK}{LA1}. Es gilt nur zu beachten, da"s nach \eref{PK}{LA1} der duale Kegel auch endlich erzeugt ist und da"s nach \eref{GeK}{LA1} ein endlich erzeugter Kegel den ganzen Raum aufspannt genau dann, wenn der duale Kegel keine Gerade umfa"st, wenn er also im Sinne von \eref{DeKe}{LA1} ein spitzer Kegel ist. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir betrachten $T = (\Bbb{C}^\times)^2$ mit der offensichtlichen Identifikation $\frak{Y} (T)_{\Bbb{Q}} \cong \Bbb{Q}^2$. Ist $\sigma$ der abgeschlossene positive Quadrant, so erhalten wir $X_\sigma = \Bbb{C}^2$. Ist $\tau = \Bbb{Q}_{\geq 0} (1,1)$ der Diagonalstrahl, so wird $X_\tau$ das Spektrum von $\Bbb{C} [x,y,x^{-1}y,y^{-1}x]$. Schreiben wir $z = x^{-1}y$, so wird das identifiziert mit $\{ (x,y,z \mid z \neq 0, xy =y\}$ und kann verstanden werden als die Aufblasung von $\Bbb{C}^2$ am Ursprung, aus der man den Abschlu"s der $x$-Achse und der $y$-Achse entfernt hat. Der von der Einbettung $\tau \subset \sigma$ induzierte Morphismus $X_\tau \rightarrow X_\sigma$ ist also nicht injektiv und hat noch nicht einmal offenes Bild. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Gegeben $C \subset V$, $C^\prime \subset V^\prime$ Kegel in Vektorr"aumen "uber einem angeordneten K"orper gilt $(C \times C^\prime)^\ast = C^\ast \times C^{\prime\ast}$ in $(V \times V^\prime)^\ast = V^\ast \times V^{\prime\ast}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Tori $T, T^\prime$ und spitze polyedrische Kegel $\sigma \subset \frak{Y}(T)_{\mathbb{Q}}$ sowie $\sigma^\prime \subset \frak{Y} (T^\prime)_{\mathbb{Q}}$ l"a"st sich die Identit"at auf $T \times T^\prime$ auf genau eine Weise fortsetzen zu einem Isomorphismus von torischen Variet"aten \begin{displaymath} X_\sigma \times X_{\sigma^\prime} \;\;\overset{\sim}{\rightarrow}\;\; X_{\sigma \times \sigma^\prime} \end{displaymath} \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s nach \ref{FacPO} eine Teilmenge eines %endlichdimensionalen affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper ein {\bf Polyeder} hei"st, wenn sie als der Schnitt endlich vieler abgeschlossener Halbr"aume dargestellt werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Begriff einer Facette wurde in \ref{Facet} eingef"uhrt. Der Abschlu"s einer Facette wurde in \ref{AbFa} definiert. Ein Konvexkegel in einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper ist nach \eref{polyKK}{LA1} genau dann ein Polyeder, wenn er endlich erzeugt ist. Einen Konvexkegel, der auch ein Polyeder ist, nennen wir ganz allgemein nach \ref{POKK} einen polyedrischen Kegel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die bez"uglich Inklusion maximalen Facetten in einem Polyeder bilden eine Partition des besagten Polyeders. Die Abschl"usse dieser maximalen Facetten hei"sen die {\bf Seiten}\index{Seite!von Polyeder} %oder englisch {\bf faces}\index{face!von Polyeder} des Polyeders. Diese Seiten bilden bez"uglich Inklusion eine teilgeordnete Menge, in der der Polyeder selbst das gr"o"ste Element ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist der Schnitt von zwei Seiten eines Polyeders nicht leer, so ist er wieder eine Seite von besagtem Polyeder. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s unser Polyeder beschrieben wird durch das Ungleichungssystem $\alpha_1 \geq 0, \ldots,$ $\alpha_n \geq 0$ mit $\alpha_1,\ldots, \alpha_1$ affinen Abbildungen unseres affinen Raums in den Grund\-k"orper. Die Seiten unseres Polyeders sind dann genau die nichtleeren Mengen, die man erh"alt, wenn man einige dieser Ungleichheiten zu Gleichungen versch"arft. Bei jeder solchen Versch"arfung bleibt im "ubrigen die Seite entweder gleich, oder sie wird die leere Menge, oder die Dimension ihres Tr"agers f"allt um genau Eins. \end{proof} \begin{Definition} Ein \defind{F"acher} in einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper ist eine Menge $\sum$ von spitzen polyedrischen Kegeln derart, da"s gilt \begin{enumerate} \item Jede Seite eines Kegels aus $\sum$ geh"ort auch selbst zu $\sum$. \item Der Schnitt von je zwei Kegeln aus $\sum$ ist eine Seite von beiden. \end{enumerate} Ein F"acher darf durchaus auch aus unendlich vielen Kegeln bestehen. \end{Definition} \begin{Proposition} Ist $T$ ein Torus und $\sigma$ ein spitzer polyedrischer Kegel in $\mathfrak Y(T)_\DQ$ und $\tau \subset \sigma$ eine Seite\label{oEE} von $\sigma$, so ist die induzierte Abbildung eine offene Einbettung $X_\tau \hra X_\sigma$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir finden nach \eref{HLU}{LA1} und \eref{PK}{LA1} Linearformen $\alpha, \beta,\ldots , \gamma$ mit $$\sigma =\left\{ v \mid \alpha (v) \geq 0,\beta (v) \geq 0, \ldots , \gamma (v) \geq 0\right\}$$ Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\tau =\left\{ v \in \sigma \mid \alpha (v) =0 \right\}$. Nach \eref{HLU}{LA1} wird der duale Kegel $\sigma^\vee$ erzeugt von $\alpha, \beta, \ldots, \gamma$ und der duale Kegel $\tau^\vee$ von denselben erg"anzt um $-\alpha$. Folglich gilt $\mathcal{O} (X_\tau) = \mathcal{O} (X_\sigma)\left[ \chi^{-1}\right]$ f"ur ein und jedes ganze $\chi$ aus $\Bbb{Q}_{>0}\alpha$. \end{proof} \begin{Definition}\emph{Unausgegoren!} Gegeben ein endlicher F"acher $\sum$ in einem endlichdimensionalen $\DQ$-Vektorraum erkl"aren wir die torische Variet"at $X_\Sigma$ als den Kolimes $$X_\Sigma=\col_{\sigma\in\Sigma} X_\sigma$$ in der Kategorie $\op{Ger}_k$ der $k$-geringten R"aume. Explizit kann man diesen Kolimes konstruieren, indem man von der disjunkten Vereinigung der $X_\sigma$ ausgeht, darauf die kleinste "Aquivalenzrelation betrachtet, f"ur die bei $\tau\subset\sigma$ stets $x\in X_\tau$ "aquivalent ist zu seinem Bild in $X_\sigma,$ und die Menge der "Aquivalenzklassen mit der finalen Struktur versieht. Nach \ref{oEE} ist dieser Kolimes eine Pr"avariet"at. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert-Mumford-Kriterium f"ur Darstellungen von Tori}]\nichtfinal{Wohin?} Seien $V$ eine endlichdimensionale algebraische Darstellung eines Torus $T$ und $V =\bigoplus_{\chi \in \mathfrak X (T)} V_{\chi} $ ihre Gewichtsraumzerlegung. Gegeben $v \in V$ erkl"aren wir seinen \emph{\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!bei Darstellung eines Torus} als $$\op{supp}v \pdef\{\chi \in \mathfrak X (T) \mid \op{pr}_{\chi}(v) \neq 0\}$$ So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Tv$ von $v$; \item Jede Invariante positiven Grades verschwindet an der Stelle $v$; \item Der Nullcharakter in $\mathfrak X (T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$ geh"ort nicht zur konvexen H"ulle des Tr"agers $\op{supp} v$ von $v$; \item Es gibt einen Homomorphismus von algebraischen Gruppen $\rho:k^\times\ra T$ mit $\lim_{\lambda\ra 0}\rho(\lambda)v=0$ in dem Sinne, da"s sich der Morphismus $k^\times \ra V$ mit $\lambda \mapsto \rho(\lambda)v$ durch $0\mapsto 0$ zu einem Morphismus $k \ra V$ fortsetzen l"a"st. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} $1\Leftrightarrow 2.$ Das gilt allgemein f"ur jede Darstellung einer linearen algebraischen Gruppe, vergleiche \ref{GAQ}. \\[2mm]\noindent $2 \IFF 3.$ Ist $e_{1}, \ldots, e_{n}$ eine Basis von $V$ mit $te_{i} = \chi_{i} (t) e_{i}$ f"ur geeignete Gewichte $\chi_{1}, \ldots, \chi_{n} \in \mathfrak X (T)$ und sind $x_{i} : V \ra \Bbb{C}$ die zugeh"origen Koordinaten, so bilden die Monome $x^{\alpha}$ mit $\alpha_{1}\chi_{1} + \ldots + \alpha_{n}\chi_{n}=0$ eine Basis des Invariantenrings. Schreiben wir $v = a_{1}e_{1} + \ldots + a_{n}e_{n},$ so haben wir $\op{supp} v = \{\chi_{i}\mid a_{i} \neq 0\}$. Genau dann verschwindet also mindestens eine Invariante positiven Grades nicht auf $v$, wenn mindestens eine Invariante der Gestalt $x^{\alpha}$ mit $\alpha\neq 0$ nicht auf $v$ verschwindet. Das hinwiederum ist der Fall genau dann, wenn sich der Nullcharakter in nichttrivialer Weise als positive Linearkombination der Charaktere aus dem Tr"ager von $v$ schreiben l"a"st, als da hei"st, wenn der Nullcharakter in $\mathfrak X(T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$ zur konvexen H"ulle von $(\op{supp} v)$ geh"ort. \\[2mm]\noindent $4 \RA 1.$ Das ist klar. \\[2mm]\noindent $3 \RA 4.$ Liegt der Nullcharakter nicht in der konvexen H"ulle in $\mathfrak X(T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$ des Tr"agers $\op{supp}v$, so gibt es nach dem Hauptsatz "uber affine Ungleichungen \eref{SHr}{HLUa} eine Linearform auf $\mathfrak X(T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$, die positiv ist auf $\op{supp}v$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s diese Linearform auf $\mathfrak X(T)$ ganzzahlige Werte annimmt. Unter der "Aquivalenz von Kategorien \eref{diaG}{AAG} entspricht dieser Homomorphismus von abelschen Gruppen $ \mathfrak X(T)\ra \DZ$ dann einem Homomorphismus von algebraischen Gruppen $\rho:k^\times\ra T$ mit der gew"unschten Eigenschaft. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert-Mumford-Kriterium f"ur Darstellungen}]\nichtfinal{Hat so keine Chance. Bei Kraft und Mumford spickeln!} Seien $V$ eine endlichdimensionale algebraische Darstellung einer affinen algebraischen Gruppe $G$. Gegeben ein Vektor $v\in V$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Gv$ von $v$, in Formeln $0\in\overline{Gv}$; \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Bv$ von $v$ unter jeder Borel'schen $B\subset G$, in Formeln $0\in\overline{Bv}\;\forall B$; \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Bv$ von $v$ unter einer Borel'schen $B\subset G$, in Formeln $\exists B$ mit $0\in\overline{Bv}$; \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Tv$ von $v$ unter mindestens einem maximalen Torus $T\subset G$; \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} $1 \RA 2.$ Wir erinnern aus \eref{BPAg}{AAG}, da"s f"ur jede parabolische Untergruppe $P\subset G$ und jede abgeschlossene $P$-stabile Teilmenge $Y$ einer $G$-Variet"at $X$ auch $GY$ abgeschlossen ist. Aus $0\not\in \overline{Pv}$ f"ur eine Parabolische $P$ folgt also, da $G\overline{Pv}$ abgeschlossen ist und folglich gilt $\overline{Gv}=G\overline{Pv}$, auch $0\not\in Gv$. Da nun jede Borel parabolisch ist, folgt die Behauptung. \\[2mm]\noindent $2 \RA 3.$ Das ist klar. \\[2mm]\noindent $3 \RA 4.$ Wir betrachten einen maximalen Torus $T\subset B$ und die Tori $b^{-1}Tb\subset B$ f"ur $b\in B$. Liegt der Nullvektor f"ur kein $b\in B$ im Abschlu"s $\overline{b^{-1}Tbv}$ alias im Abschlu"s $\overline{Tbv}$, so liegt f"ur jedes $b\in B$ der Nullcharakter von $T$ in der konvexen H"ulle von $\op{supp}bv)$ in $\mathfrak X(T)_\DQ$. Nun h"angt $\op{supp}bv)$ offensichtlich in der Weise stetig von $b$ ab, da"s jeder Punkt $b\in B$ eine offene Umgebung besitzt, auf der besagter Tr"ager sich nicht "andert. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bahnen-Facetten-Korrespondenz}] Sei $X$ eine affine torische $T$-Variet"at. Die $T$-stabilen abgeschlossenen Teilmengen von $X$ entsprechen eineindeutig den $T$-stabilen Radikalidealen von $\mathcal O(X)$ und diese den ges"attigten Idealen $N$ des Monoids $M\pdef {\op{P}}(\mathcal O(X))$ der Gewichte den Rings der regul"aren Funktionen alias den Teilmengen $N\subset M$, die stabil sind unter der Addition von Elementen von $M$ und die mit $a\chi$ f"ur $a\in\DN_{\geq 1}$ auch $\chi$ selber enthalten. \end{Bemerkungl}} \subsection{Modulgarben} Sollte: Definition $\cal{O}_X$-Moduln, quasikoh"arente $\cal{O}_X$-Moduln, koh"arente $\cal{O}_X$-Moduln; \ref{GloQ}. % \subsection{Projektive Variet"aten, ALT} % \begin{Definition}\label{USMe} % Ein Morphismus von Pr"avariet"aten $X\ra Y$ hei"st eine % \defind{universelle Submersion}\index{Submersion!universelle} genau dann, % wenn f"ur jede weitere Pr"avariet"at $Z$ der induzierte % Morphismus $X\times Z\ra Y\times Z$ eine Submersion ist, also ein % surjektiver offener finaler Morphismus. Es reicht nach \eref{lsSn}{ML} % im "ubrigen, % diese Bedingung f"ur alle affinen $Z$ zu pr"ufen. % \end{Definition} % \begin{Ubung}\label{PrUS} % Besitzt ein Morphismus einen Schnitt, d.h.\ ein Rechtsinverses, % so ist er eine universelle Submersion. Ist $\varphi:X\ra Y$ ein % Morphismus und ist $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung von $Y$ derart, % da"s die induzierten Morphismen $\varphi^{-1}(V)\ra V$ f"ur alle % $V\in\cal{V}$ universelle Submersionen sind, so ist auch $\varphi$ selbst % eine universelle Submersion. % Der konstante Morphismus von einer beliebigen nichtleeren % Variet"at auf einen Punkt ist % eine universelle Submersion. % Die kanonische Projektion $(k^{n+1} \backslash 0)\ra \DP^n k$ % ist eine universelle Submersion. % \end{Ubung} % \begin{Definition}\label{DPVa} % Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. % Eine \defind{projektive $k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der % isomorph ist zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines $\DP^n k.$ % Eine \defind{quasiprojektive $k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der % isomorph ist zu einer offenen Teilmenge einer projektiven $k$-Variet"at. % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Da es eine offene Immersion % $k^n\hra \DP^n k$ gibt, ist insbesondere % jede quasiaffine Variet"at auch quasiprojektiv. % \end{Bemerkungl} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \begin{Bemerkungl} % Hier sollte auch bewiesen werden, da"s das Produkt projektiver % Variet"aten stets wieder eine projektive % Variet"at ist. % \end{Bemerkungl} % \begin{Definition} % Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper % und $X$ eine Variet"at "uber $k.$ % Eine algebraische Operation $k^{\times}\times X\ra X$ von % $k^{\times}$ auf $X$ hei"st % {\bf kontrahierend}\index{kontrahierend!algebraische Operation von $k^\times$} % genau % dann, % wenn sie sich zu einem Morphismus $k\times X \ra X$ fortsetzen l"a"st, der % auf % $0\times X$ einwertig ist. % Diesen einen Wert nennt man dann das % \defnoind{Zentrum der Kontraktion}.\index{Zentrum!einer Kontraktion} % \end{Definition} % \begin{Proposition}[\textbf{Projektive Variet"aten zu graduierten Ringen}] % Sei $X$ eine affine Variet"at "uber einem algebraisch abgeschlossenen % K"orper $k$ mit einer kontrahierenden % algebraischen Operation von $k^{\times}$ und sei $X^\circ\subset X$ % das Komplement des Zentrums % dieser Kontraktion. So gilt: % \begin{enumerate} % \item Mit seiner finalen Struktur ist $X^\circ/k^{\times}$ eine projektive % $k$-Variet"at. % \item Ist $Y\hra X$ die Einbettung einer $k^\times$-stabilen % abgeschlossenen Teil\-menge, so ist % $Y^\circ/k^{\times}\hra X^\circ/k^{\times}$ % eine abgeschlossene Immersion. % \end{enumerate} % \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % Die Variet"at der % $k$-wertigen Punkte des Schemas $\op{Proj}(A)$ von Grothendieck ist im Fall % $A={\cal{O}}(X)$ genau unsere Quotientenvariet"at. % Gewisse Argumente des anschlie"senden Beweises k"onnen auch als % Spezialfall der allgemeineren Resultate % \ref{GAQ} aus der Invariantentheorie aufgefa"st werden. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Im Fall eines Polynomrings $A=k[T_1,\ldots, T_n],$ der graduiert ist % durch die Vorschrift $\op{grad}(T_i)=w_i$ mit positiven nat"urlichen % Zahlen $w_1,\ldots, w_n $ hei"st die zugeh"orige Quotientenvariet"at % ein {\bf gewichteter projektiver Raum}\index{projektiver Raum!gewichteter} % und wird $\DP(w_1,\ldots, w_n)$ notiert. % \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel} Man pr"uft, da"s der gewichtete % projektive Raum $\mathbb P (1,1,2)$ eine offene "Uberdeckung % durch affine Untervariet"aten % $\mathbb P (1,1,2) = U_0 \cup U_1 \cup U_2$ hat mit % \begin{eqnarray*} % U_0 &=&\op{Max} \mathbb C [y/x , z/x^2]\cong \mathbb C^2,\\ % U_1 & =&\op{Max} \mathbb C [{x}/{y}, {z}/{y^2}] \cong \mathbb C^2,\\ % U_2 &=& \op{Max} \mathbb C [{x^2}/{z}, {xy}/{z}, {y^2}/{z} % ] % \text{ singul"ar.} % \end{eqnarray*} % \end{Beispiel} % \begin{proof} % Sei $A={\cal{O}}(X)$ mit der durch die $k^\times$-Operation % gegebenen $\DZ$-Gradu\-ierung versehen. % Man "uberlegt sich, da"s die Operation % auf einen Fixpunkt kontrahiert genau dann, wenn gilt $A^{0} = k$ und $A^{i} % =0$ f"ur $i<0$. F"ur jedes $f \in A^{i}$ mit $i>0$ ist dann $X\backslash % Z(f)$ eine % $k^{\times}$-stabile affine offene Teilmenge mit $A[f^{-1}]$ als % Ring von regul"aren Funktionen. % Wir behaupten nun, da"s % $$\op{Max}(A[f^{-1}])\ra \op{Max}(A[f^{-1}]^0)$$ % eine Submersion ist, deren Fasern gerade die Bahnen von % $k^\times $ sind. % Sicher induziert das Herunterschneiden eine Bijektion % zwischen der Menge aller homogenen Ideale in % $A[f^{-1}]$ und der Menge aller Ideale in $A[f^{-1}]^0.$ % Also entsprechen die maximalen unter den homogenen Iealen % den maximalen Idealen und die Fasern unseres Morphismus % sind genau die $k^\times$-Bahnen, die ja alle dieselbe Dimension % haben und deshalb abgeschlossen sein m"ussen. Ebenso % folgt, da"s unser Morphismus eine topologische Submersion ist. % Damit sieht man dann schnell, da"s er auch eine Submersion von % $k$-geringten R"aumen sein mu"s. % Die besagten offenen Teilmengen % "uberdecken aber $X^\circ$ und das zeigt, da"s % $X^\circ/k^{\times}$ mit seiner kofinalen Struktur eine Pr"avariet"at ist. % Die Aussage "uber abgeschlossene Immersionen bleibe dem Leser zur % "Ubung, wir verwenden sie jedoch sofort um zu % zeigen, % da"s wir hier sogar projektive Variet"aten erhalten. % Dazu reicht es n"amlich nun, den Spezialfall $A = % k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ mit $x_{i} \in A^{d(i)}$ f"ur geeignete % $d(i) >0$ zu betrachten. % Nehmen wir aber statt $A$ den $k$-Unterkring $B=A^{0} \oplus % A^{d}\oplus A^{2d} \oplus \ldots$ f"ur irgendein $d>0$, so erhalten wir % denselben Quotienten, aus abstrakten Gr"unden und auch, weil der "Ubergang zu % $B$ geometrisch den Quotienten nach der endlichen Gruppe der $d$-ten % Einheitswurzeln meint, zumindest falls % $d$ nicht Null ist in $k$. Ist $n$ ein % gemeinsames Vielfaches aller $d(i)$ und ist ein Monom vom Grad $\geq nN$ % gegeben, so enth"alt unser Monom mindestens eine $x_{i}$-Potenz vom Grad $N$. % F"ur $d = nN$ wird also $B$ als $k$-Unterkring von $A^{d}$ erzeugt % und ist damit graduierter Quotient eines Polynomrings, bei dem % alle Variablen denselben Grad haben. % \end{proof} \subsection{Analytifizierung algebraischer Variet"aten} \begin{Definition} Ein ${\mathbb C}$-geringter Raum $X$ hei"st {\bf analytisch ges"attigt} genau dann, wenn f"ur jede offene Teilmenge $U \co X$ und beliebige regul"are Funktionen \[ f_1,\dots,f_n \colon U \to {\mathbb C} \] die induzierte Abbildung $U \to {\mathbb C}^n$ ein Morphismus nach ${\mathbb C}^n$ mit seiner komplex-analytischen Struktur im Sinne von \eref{BspM}{ML} ist. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein ${\mathbb C}$-geringter Raum $(X,{\mathcal O}_X)$ bezeichnen wir mit $(X^{\op{an}}, {\mathcal O}_X^{\op{an}})$ die Menge $X$ mit der kleinsten Struktur eines ${\mathbb C}$-geringten Raums, die gr"o"sergleich der urspr"unglichen Struktur ist und die analytisch ges"attigt ist. \end{Definition} % \subsection{Eigenschaften von Morphismen, ALT} % \begin{Definition} % Diejenigen Teilmengen eines topologischen Raums, die % in der von den offenen Teilmengen % erzeugten Mengenalgebra liegen, hei"sen die % \defnoind{konstruktiblen Teilmengen}\index{konstruktibel!Teilmenge} % unseres topologischen Raums. % \end{Definition} % \begin{Ubung}\label{UKZ} % Die konstruktiblen Teilmengen eines topologischen % Raums sind genau alle endlichen % Vereinigungen von lokal abgeschlossenen Teilmengen. % Jede konstruktible Teilmenge eines noetherschen topologischen % Raums umfa"st eine dichte offene Teilmenge ihres Abschlusses. % \end{Ubung} % \begin{Satz}\label{BiKon} % Das Bild einer konstruktiblen Teilmenge einer % algebraischen Variet"at unter einem % Morphismus von Variet"aten ist stets konstruktibel. % \end{Satz} % \begin{proof}[Beweis] % Wir zeigen das durch Induktion "uber die Dimension der Variet"at, % von der unser Morphismus ausgeht. % Sicher reicht es, wenn wir im Induktionsschritt im Fall eines dominanten % Morphismus irreduzibler Variet"aten zeigen k"onnen, % da"s sein Bild konstruktibel ist. % Dann ist aber nach der im folgenden bewiesenen Proposition % \ref{BiO} das Bild mindestens einer offenen dichten Teilmenge offen, % mithin konstruktibel, % und das Bild ihres Komplements ist nach Induktionsannahme auch konstruktibel. % \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ hei"st \defind{universell offen} % genau dann, wenn f"ur jede weitere Variet"at $Z$ der induzierte Morphismus % $X\times Z\ra Y\times Z$ offen ist. % \end{Bemerkungl} % \begin{Proposition}\label{BiO} % Ist $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen % Varit"aten, so gibt es eine offene nichtleere Teilmenge % $U \co X$ derart, da"s die Restriktion von $\varphi$ auf $U$ offen % und sogar universell offen ist. % \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % In diesem Abschnitt werden wir die etwas technische % Eigenschaft, % universell offen zu sein, noch nicht ben"otigen. % Bei der Diskussion von Quotienten wird sie jedoch % eine wesentliche Rolle spielen. % \end{Bemerkungl} % \begin{comment} % \begin{Kommentar} % Gibt es auch $V\co Y$ derart, da"s % die Restriktion $\varphi^{-1}(V)\ra V$ % universell offen ist? % \end{Kommentar} % \end{comment} % \begin{proof}[Beweis] % Nach "Ubergang zu geeigneten offenen Teilmengen d"urfen wir % $X$ und $Y$ affin annehmen. % Gilt unsere Proposition f"ur $\varphi : X \ra Y$ und $\psi : Y \ra Z,$ so % auch f"ur die Komposition $\psi \circ \varphi : X \ra Z.$ % Es reicht also, die Proposition zu zeigen im Fall $ \cal{O}(X)=\cal{O}(Y) [f]$ % f"ur ein $f \in \cal{O}(X).$ % Ist $f$ nicht Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms % mit Koeffizienten in $\cal{O}(Y),$ so gilt $\cal{O}(X) \cong \cal{O}(Y) [T],$ % also haben wir ein kommutatives Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % X & \cong & Y \times k\\ % \varphi \downarrow\;\;\;& &\;\;\;\; \downarrow \op{pr}_{1}\\ % Y &=&Y % \end{array}$$ % Die Projektionen von einem Produkt sind jedoch stets offen, da % das Bild einer Teilmenge % $M\subset Y\times k$ ja beschrieben werden kann als Vereinigung der % \glqq horizontalen Schnitte\grqq\ $M_\lambda=\{y\in Y\mid (y,\lambda)\in M\}.$ % Ist $f$ dahingegen Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms % mit Koeffizienten in $\cal{O}(Y),$ so ist $f$ algebraisch % "uber dem Quotientenk"orper % $\cal{M}(Y)=\op{Quot} \cal{O}(Y)$ und wir betrachten sein Minimalpolynom $P % \in \cal{M}(Y)[T].$ % Sicher finden wir $s \in \cal{O}(Y)$ mit $s \neq 0$ % und $s P \in \cal{O}(Y)[T].$ % Betrachten wir nun die Lokalisierungen $ \cal{O}(Y)_s$ und $\cal{O}(X)_s,$ % die durch formales Invertieren von $s$ entstehen, so haben wir % $\cal{O}(Y)_s [T]/\langle P\rangle \cong \cal{O}(X)_s$ und % damit f"ur $V = \{y\in Y \mid s(y) \neq 0\} \co Y$ ein % kommutatives Diagramm % \begin{Bild} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRSu}\\[4mm] % \noindent % Dieses Bild stellt einen Morphismus affiner % Variet"aten $\varphi:X\ra Y$ dar im Fall, da"s % Fall, da"s $\cal{O}(X)$ "uber $\cal{O}(Y)$ erzeugt ist von einem Element $f,$ % das nicht algebraisch unabh"angig ist "uber $\cal{O}(Y).$ % Hier etwa ist $Y$ die gezackte Linie und $X$ besteht aus den % geschwungenen Linien, und $\varphi$ meint die Restriktion der % orthogonalen Projektion. Wenn wir zu einer geeigneten nichtleeren % offenen Teilmenge $V=\{s\neq 0\}\co Y$ "ubergehen, so % k"onnen wir sogar % annehmen, da"s $\varphi^{-1}V$ identifiziert werden kann mit der % Nullstellenmenge $U\As V\times k$ eines normierten Polynoms % $P\in \cal{O}(V)[T].$ % \end{Bild} % $$\begin{array}{ccccccc} % X &\lco & \varphi^{-1}(V) & \overset{\sim}{\leftarrow}& % \{(y,\lambda) \mid P(y,\lambda)=0\} & \hookrightarrow &V \times % k\\ % \varphi \downarrow \;\;\;& &\varphi\downarrow \;\;\;& & \downarrow & & % \;\;\;\;\;\downarrow \op{pr}_{1}\\ % Y & \lco & V & = % &V&=& V % \end{array}$$ % wo wir $P(T) = T^{n}+ a_{n-1}T^{n-1} + \ldots a_{1} T+ a_{0}$ auffassen als % Funktion auf $V \times k$ vermittels $P (y,\lambda) = \lambda^{n} % + a_{n-1}(y)\lambda^{n-1}+\ldots + a_{1}(y) \lambda + a_{0} (y).$ % Es reicht also, die Aussage der Proposition % f"ur die zweite Vertikale von rechts zu % zeigen. % Damit reicht es zu zeigen, da"s f"ur jede affine Variet"at $V$ % und jedes normierte Polynom % $P \in \cal{O} (V) [T]$ die Projektion auf den % ersten Faktor eine offene Abbildung % \begin{displaymath} % W =\{ (y,\lambda) \in V \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; V % \end{displaymath} % induziert. Dazu brauchen wir nur, da"s f"ur % jedes $Q \in \cal{O} (V \times k) % =\cal{O} (V)[T]$ das Bild von $\{(y,\lambda) \in W % \mid Q (y,\lambda)\neq 0\}$ offen % ist. Dieses Bild besteht aber gerade aus allen $y \in V$ % derart, da"s nicht alle Nullstellen % von $Q (y,T)$ auch Nullstellen von $P (y,T)$ sind, % also aus allen $y\in V$ derart, % da"s im Polynomring $k[T]$ das Polynom % $P (y,T)$ kein Teiler von $Q (y,T)^{n}$ % ist, f"ur $n$ wie oben der Grad in $T$ des Polynoms $P(y,T)$. % Den Nachweis, da"s diese % Bedingung an $y$ offen ist, k"onnen wir getrost dem Leser "uberlassen. % \end{proof} % \begin{Korollar}[\textbf{"uber Bilder von Morphismen}]\label{BMD} % Bei einem Morphismus von algebraischen Variet"aten % umfa"st das Bild stets eine offene % dichte Teilmenge seines Abschlusses. % \end{Korollar} % \begin{proof}[Erster Beweis] % Das Bild ist konstruktibel nach \ref{BiKon} und % umfa"st nach \ref{UKZ} folglich eine offene % dichte Teilmenge seines Abschlusses. % \end{proof} % \begin{proof}[Zweiter Beweis] % Sei $\varphi : X \ra Y$ unser Morphismus. Es gilt zu zeigen, % da"s $\varphi (X)$ eine offene dichte Teilmenge von % $\overline{\varphi (X)}$ umfa"st. % Wir d"urfen dazu $X$ irreduzibel annehmen und $Y$ durch % $\overline{\varphi (X)}$ ersetzen. % Nach \ref{BIr} ist dann auch $Y$ irreduzibel und $\varphi : X \ra % Y$ ist ein dominanter Morphismus von irreduziblen Variet"aten. % Der Satz folgt dann aus \ref{BiO}. % \end{proof} % \begin{Proposition}[\textbf{"uber Fasern von Morphismen}] % Ist $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen % Varit"aten, so gibt es eine offene nichtleere Teilmenge % $U \co X$ derart, da"s f"ur jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge % $Y'\As Y$ und jede irreduzible Komponente $U'\As U$ ihres Urbilds % unter der Einschr"ankung $\varphi : U \ra Y$ unseres Morphismus gilt % $$\op{codim}(U'\subset U)=\op{codim}(Y'\subset Y)$$ % \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % Es gibt sogar $V\co Y$ % derart, da"s f"ur die Restriktion % $\varphi^{-1}(V)\ra V$ das Urbild jeder irreduziblen abgeschlossenen % Teilmenge aus irreduziblen Komponenten derselben Kodimension besteht, % wie % man auch mit \glqq Flachheit\grqq\ zeigen kann. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof} % Im Wesentlichen gilt es, den Beweis von \ref{BiO} nochmal % durchzugehen und zu pr"ufen, da"s er auch diese Aussage liefert. % Die einzige Schwierigkeit hierbei ist dann, die Aussage % zu zeigen im Fall einer affinen Variet"at $Y$ % mit einem normierten Polynom % $P \in \cal{O} (Y) [T]$ f"ur die Projektion auf den % ersten Faktor % \begin{displaymath} % X =\{ (y,\lambda) \in Y \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; Y % \end{displaymath} % In diesem Fall folgt unsere Aussage jedoch aus % dem Going-up-Theorem \ref{GuRi} sogar f"ur $U=X.$ % \end{proof} % \begin{Ubung}\label{FDiM} % Man zeige, da"s ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ mit % $\op{dim}X>\op{dim}Y$ mindestens eine unendliche Faser haben mu"s. % \end{Ubung} % \begin{Definition} % Unter dem % \defind{Separabilit"atsgrad} $[L:K]_s$ einer % algebraischen K"orpererweiterung % verstehen wir den Grad "uber $K$ der maximalen separablen % Teilerweiterung nach \eref{MSZ}{AL}. % \end{Definition} % \begin{Proposition}[\textbf{"uber Kardinalit"aten von Fasern}] % Ist $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen % Varit"aten gleicher Dimension und % $r=[\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_s$ der Separabilit"atsgrad der % zugeh"origen K"orpererweiterung, so gibt es eine offene nichtleere Teilmenge % $U \co X$ derart, da"s jede nichtleere % Faser der Einschr"ankung $\varphi : U \ra Y$ genau $r$ Elemente hat. % \end{Proposition} % \begin{comment} % \begin{Kommentar} % Gibt es auch $V\co Y$ derart, da"s jede Faser "uber $y\in V$ % genau $r$ Elemente hat? % \end{Kommentar} % \end{comment} % \begin{proof} % Die einzige Schwierigkeit hierbei ist wieder, die Aussage % zu zeigen im Fall einer affinen Variet"at $Y$ % mit einem in $\cal{M} (Y) [T]$ irreduziblen normierten Polynom % $P \in \cal{O} (Y) [T]$ f"ur die Projektion auf den % ersten Faktor % \begin{displaymath} % X =\{ (y,\lambda) \in Y \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; Y % \end{displaymath} % Indem wir erst alle separablen Elemente adjungieren und dann die % anderen d"urfen wir sogar annehmen, da"s $P$ entweder separabel ist in % $\cal{M} (Y) [T]$ oder von der Gestalt $T^p-a$ f"ur $p$ die Charakteristik. % Der zweite Fall ist unproblematisch. % Im ersten Fall ist die Diskriminante unseres Polynoms nicht % Null in $\cal{M} (Y),$ also nicht % die Nullfunktion in $\cal{O} (Y),$ und nehmen wir als $U$ das Urbild % des Komplements des Nullstellengebildes dieser Diskriminante, % so hat es die geforderte Eigenschaft. % \end{proof} \subsection{Endliche Morphismen} \begin{Definition} Ein Morphismus von Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ hei"st {\bf endlich},\index{endlich!Morphismus von Variet"aten} wenn f"ur jede offene affine Teilmenge $V\co Y$ auch ihr Urbild affin ist und die regul"aren Funktionen $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))$ auf diesem Urbild einen endlich erzeugten $\mathcal{O}(V)$-Modul bilden. \end{Definition} \begin{Proposition} Ein Morphismus von affinen Variet"aten $\varphi :X \ra Y$ ist endlich genau dann, wenn $\mathcal{O}(X)$ endlich erzeugt ist als $\mathcal{O}(Y)$-Modul. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die Bedingung ist sicher notwendig. Um zu zeigen, da"s sie auch hinreichend ist, betrachten wir eine beliebige offene affine Teilmenge $V \co Y$. Ist $V$ das Komplement der Nullstellenmenge einer regul"aren Funktion $f \in \mathcal{O}(Y)$, so haben wir $\mathcal{O}(V) =\mathcal{O}(Y)_f$ und $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))= \mathcal{O}(X)_{f\varphi}$ und sehen, da"s $\varphi^{-1}(V)$ affin ist und $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))$ endlich "uber $\mathcal{O}(V)$. Sonst k"onnen wir $V$ "uberdecken mit endlich vielen offenen Teilmengen $V_f=Y_f$ von $V$ der Gestalt $\{ y\in Y \mid f(y) \neq 0\}$ f"ur $f \in \mathcal{O}(Y)$. Die Urbilder $\varphi^{-1}(V_f)=X_{f\varphi}$ sind dann jeweils affin in $X$ mit $\mathcal{O} (\varphi^{-1}(V_f))=\mathcal{O}(X)_{f\varphi}$ endlich als Modul "uber $\mathcal{O}(V_f) = \mathcal{O}(Y)_f$. Nun wenden wir das Affinit"atskriterium \ref{AfKr} an. Ist etwa $V$ die Vereinigung der $Y_{f_i}$ f"ur $f_1, \dots, f_r \in \mathcal{O}(Y),$ so ist das von den $f_i$ in $\mathcal{O}(V)$ erzeugte Ideal bereits der ganze Ring, da ja $V$ affin ist und unsere $f_i$ dort keine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist aber das von den $f_i\varphi$ in $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))$ erzeugte Ideal auch bereits der ganze Ring, und wir folgern mit dem Affinit"atskriterium \ref{AfKr}, da"s $\varphi^{-1}(V)$ affin ist. Schlie"slich behaupten wir noch, da"s $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))$ als Modul "uber $\mathcal{O}(V)$ erzeugt ist von jeder Teilmenge, die jeweils ein Erzeugendensystem von $\mathcal{O}(\varphi^{-1}(V))_{f\varphi}$ als Modul "uber $\mathcal{O}(V)_f$ liefert. \emph{Hier m"ussen eigentlich die Lokalisierung von Moduln und gewisse lokal-global-Prinzipien zur Verf"ugung stehen.} \end{proof} \subsection{Morphismen in projektive R"aume} \emph{Ben"otigt Geradenb"undel} \begin{Satz}[\textbf{Morphismen in projektive R"aume}] Gegeben eine Variet"at $X$ erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \op{Var}_k (X, \Bbb{P}^n_k) \sira \left\{ \begin{array}{c} \text{Geradenb"undel $\cal{L}$ auf $X$ mit }\\ \text{ausgezeichneten Schnitten } s_0 , \ldots , s_n \\ \text{ohne simultane Nullstelle}\\ % \text{vertr"aglichen Isomorphismus} \end{array} \right\}/\cong \end{displaymath} durch die Abbildung, die jedem Morphismus $\varphi : X \ra \Bbb{P}^n_k$ das zur"uckgeholte B"undel $\cal{L} = \varphi^{(\ast)} \cal{O} (1)$ zuordnet mitsamt den Zur"uckgeholten der kanonischen Schnitte $x_0, \ldots, x_n$ von $\cal{O} (1)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die auf der rechten Seite herausgeteilte "Aquivalenzrelation ist dabei dadurch erkl"art, da"s gilt $(\mathcal{L}; s_0, \ldots, s_n)\cong (\mathcal{L}'; s'_0, \ldots, s'_n)$ genau dann, wenn es einen Isomorphismus von Geradenb"undeln $\mathcal{L}\sira \mathcal{L}'$ gibt mit $s_i\mapsto s'_i$ f"ur $0\leq i\leq n.$ Mit der Bedingung \glqq ohne simultane Nullstelle\grqq\ meinen wir in Formeln, da"s es kein $x \in X$ gibt, f"ur das alle $s_i$ in $\mathfrak{m}_x \mathcal{L}_x$ liegen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Variet"at $X$ erhalten wir eine Injektion \begin{displaymath} \op{Var}_k (X, \Bbb{P}^n_k) \hookrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{Geradenb"undel $\cal{L}$ auf $X$ mit aus-}\\ \text{-gezeichneten Schnitten } s_0 , \ldots , s_n% \\ \end{array} \right\}/\cong \end{displaymath} indem wir jedem Morphismus $\varphi : X \ra \Bbb{P}^n_k$ das zur"uckgeholte B"undel $\cal{L} = \varphi^{(\ast)} \cal{O} (1)$ zuordnen mitsamt den Zur"uckgeholten der kanonischen Schnitte $x_0, \ldots, x_n$ von $\cal{O} (1)$. In der Tat k"onnen wir aus dem B"undel $\cal{L}$ mitsamt den Schnitten $s_0, \ldots, s_n$ den Morphismus zur"uckgewinnen durch die Abbildungsvorschrift $\varphi (x) = \langle s_0 (x), \dots, s_n (x) \rangle$. Es ist klar, da"s unter dieser Relation "aquivalente Daten auch in der Tat denselben Morphismus liefern, so da"s unsere Abbildung in die Gegenrichtung auch auf "Aquivalenzklassen wohldefiniert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere Injektion landet offensichtlich in der Menge aller Daten der Gestalt $(\mathcal{L}; s_0, \ldots, s_n)$ derart, da"s es kein $x \in X$ gibt, f"ur das alle $s_i$ in $\mathfrak{m}_x \mathcal{L}_x$ liegen. Diese Bedingung beschreibt sogar genau das Bild unserer Injektion. In der Tat, gegeben solche Daten erkl"art man eine Abbildung $\varphi : X \ra \Bbb{P}^n$, indem man an jeder Stelle $x \in X$ eine Identifikation $u_x : \mathcal{L} \overset{\sim}{\rightarrow} k$ w"ahlt und dann setzt $\varphi(x) = \langle u_x (s_0), \ldots, u_x (s_n) \rangle$. Ganz offensichtlich ist $\varphi (x)$ unabh"angig von der Wahl von $u_x$ und wir erhalten so eine wohldefinierte Abbildung $\varphi : X \ra \Bbb{P}^n$. Um zu zeigen, da"s sie ein Morphismus ist, d"urfen wir nach "Ubergang zu geeigneten offenen Teilmengen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s gilt $\cal{L} = \mathcal{O}_X$ und da"s $s_0$ keine Nullstelle hat auf $X$. Dann aber k"onnen wir $\varphi$ beschreiben durch $\varphi (x) = \langle 1, s_1 (x)/s_0 (x), \ldots , s_n (x)/s_0 (x) \rangle$ und sehen so explizit, da"s es ein Morphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Geradenb"undel auf einer Variet"at hei"st \defind{sehr ampel}\index{ampel!sehr ampel} (englisch \defind{very ample},\index{ample!very ample} franz"osisch \defind{tr\`{e}s ample}), wenn man darin Schnitte $s_0, \ldots, s_n$ finden kann, die nirgends simultan verschwinden und die eine lokal abgeschlossene Immersion $X \hookrightarrow \Bbb{P}^n k$ liefern. Ein Geradenb"undel $\cal{L}$ hei"st \defind{ampel} oder englisch\label{ampel} \defind{ample} genau dann, wenn f"ur mindestens ein $n\geq 1$ seine Tensorpotenz $\cal{L}^{\otimes n}$ sehr ampel ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Terminologie kommt von lateinisch \glqq amplus\grqq\ f"ur \glqq breit, ger"aumig\grqq\ und ist in der Weise zu verstehen, da"s ein amples B"undel und erst recht ein sehr amples B"undel \glqq so breit ist, da"s viele Schnitte darin Platz haben\grqq. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Vermischtes} \subsection{Anf"ange "uber GAGA} \begin{Lemma} Eine komplex-analytische Funktion $f: \Bbb{C}^n \ra \Bbb{C}$ ist algebraisch genau dann, wenn sie h"ochstens polynomial w"achst, wenn es also in Formeln $k \in \Bbb{N}$ und $c \in \Bbb{R}$ gibt mit $|f(w)| \leq c + |w|^k$ f"ur alle $w \in \Bbb{C}^n$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{??} wird unsere Funktion auf ganz $\Bbb{C}^n$ durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt. Wir zeigen nun genauer, da"s eine Absch"atzung wie oben nur gelten kann, wenn in unserer Reihe keine Terme $z^{\alpha}$ mit $|\alpha| > k$ auftreten. Sonst k"onnten wir wegen \ref{??} n"amlich nach linearem Koordinatenwechsel ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit das Auftreten eines Terms $az^n_1$ mit $n > k$ und $a \neq 0$ annehmen, und das st"unde im Widerspruch zur Cauchy-Formel \ref{??} f"ur die Koeffizienten der Potenzreihe der Einschr"ankung von $f$ auf die $Z_1$-Ebene. \end{proof} \subsection{Der Tangentialraum in der Sprache der Schemata} Gegeben ein kommutativer Ring $k$ bilden wir den Ring der dualen Zahlen $k[T]/\langle T^{2}\rangle$ und schreiben ihn $k[\epsilon]$ mit $\epsilon =\overline{T}.$ Die offensichtliche Abbildung $k[\epsilon] \ra k$ macht $k[\epsilon]$ zu einem Objekt der Kategorie $\op{Kring}_{k}$ der kommutativen Ringe "uber $k$ und wir behaupten, da"s es darin ein Gruppenobjekt wird mit dem offensichtlichen Morphismus $k \ra k[\epsilon]$ als neutralem Element, der Verkn"upfung $k[\epsilon]\times_{k} k[\epsilon] \ra k[\epsilon]$ gegeben durch $(a+ b\epsilon, a+c\epsilon) \mapsto a +(b+c) \epsilon$ und dem Inversen $k[\epsilon] \ra k[\epsilon], \epsilon \mapsto -\epsilon.$ Ist $A$ ein kommutativer Ring "uber $k$ oder allgemeiner $X$ ein Schema mit einem ausgezeichneten $k$-wertigen Punkt $x \in X (k),$ so wird $\op{Kring}_{k} (k[\epsilon],A)$ beziehungsweise $\op{Schema}^{k} (X, \op{Spec} k [\epsilon])$ damit in nat"urlicher Weise eine kommutative Gruppe, die man den Kotangentialraum an $X$ in $x$ nennt und mit ${\op{T}}_{x}^{\ast} X$ bezeichnet. Weiter erhalten wir eine Operation unseres Rings $k$ auf unserem Gruppenobjekt, indem wir jedem $a\in k$ den Homomorphismus $k[\epsilon]\ra k[\epsilon]$ mit $\epsilon\mapsto a\epsilon$ zuordnen, und auf diese Weise erh"alt unser Kotangentialraum die Struktur eines $k$-Moduls. \subsection{Topologie algebraischer Variet"aten} \begin{Satz} Gegeben eine irreduzible algebraische Variet"at "uber $\DC$ ist der zugeh"orige topologische Raum in seiner metrischen Topologie zusammenh"angend. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wo steht's? GAGA? Shafarevic! \end{proof} \subsection{Zetafunktionen} \begin{comment} \emph{Dieser Abschnitt mu"s noch mit Konvergenzbetrachtungen angereichert werden.} \end{comment} \begin{Bemerkungl} Eine m"ogliche Definition f"ur die {\bf Zetafunktion}\index{Zetafunktion}\index{@@$\zeta_A$ Zetafunktion} $\zeta_{A}$ eines endlich erzeugten Hauptidealrings oder allgemeiner eines endlich erzeugten Dedekindrings $A$ ist $$\zeta_{A} (s) = \sum_{I} |A/I|^{-s}$$ mit der Summe "uber alle Ideale $I \subset A$ mit endlichem Restklassenring $|A/I|<\infty$. Hier ist $\zeta_{A} (s)\in\DC$ a priori nur definiert f"ur diejenigen $s\in\DC,$ f"ur die unsere Summe absolut konvergiert. Im Fall $A = \Bbb{Z}$ erhalten wir dann als $\zeta_{\DZ}$ gerade die Riemann'sche $\zeta$-Funktion aus \eref{RZF}{FT1}. Ist allgemeiner $A$ ein endlich erzeugter Kring, so ist jeder einfache $A$-Modul endlich und ein vern"unftiges Analogon scheint mir die Funktion $$\zeta_{A}(s) = \sum_{M} {|M|^{-s}}$$ mit der Summe "uber alle Isomorphieklassen von endlich erzeugten halbeinfachen $A$-Moduln $M$. Da jeder halbeinfache Modul in eindeutiger Weise Summe einfacher Moduln ist und da diese hinwiederum die Quotienten von $A$ nach seinen maximalen Idealen sind, erhalten wir f"ur solch eine Zetafunktion ganz allgemein die Darstellung als ein \defind{Eulerprodukt} $$ \zeta_{A}(s)= \prod_{\frak{m}\in\op{Max}A} (1-|A/\frak{m}|^{-s})^{-1} $$ In der Literatur findet man meist diese Darstellung als Definition. Ist allgemeiner $X$ ein Schema von endlichem Typ "uber $\Bbb{Z},$ so verallgemeinert sich unsere Formel zu $$\zeta_{X}(s) = \sum_{M} {|\Gamma M|^{-s}}$$ mit der Summe "uber alle Isomorphieklassen von halbeinfachen koh"arenten $\cal{O}_{X}$-Moduln und der Notation $|\Gamma M|$ f"ur die Kardinalit"at des Raums ihrer globalen Schnitte. Wir erhalten dann genauso die Produktdarstellung $$\zeta_{X}(s) =\prod_x (1- |k(x)|^{-s})^{-1}$$ mit dem Produkt "uber alle abgeschlossenen Punkte $x$ von $X$ und der Notation $k(x) \pdef \cal{O}_{X,x}/\frak{m}_{x}$ f"ur den Restklassenk"orper an der Stelle $x$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Mit Hilfe des anschlie"senden Lemmas \ref{Zzete} finden wir f"ur den affinen Raum $\mathbb A^n_p\pdef \op{Spec}\mathbb F_p[X_1,\ldots , X_n]$ "uber $\mathbb F_p$ etwa etwa $$\zeta_{\mathbb A^n_p}(s) = \frac{1}{1-p^{n-s}}$$ und f"ur $\mathbb A^n=\op{Spec}\mathbb Z[X_1,\ldots , X_n]$ ergibt sich $\zeta_{\mathbb A^n}=\prod_p\zeta_{\mathbb A^n_p}$ als das Produkt dieser Ausdr"ucke "uber alle Primzahlen $p\in\DN$. \end{Beispiel} \begin{Lemma} %[\textbf{Zetafunktionen und Z"ahlen von Punkten}] Bilden wir f"ur ein Schema $X$ von\label{Zzete} endlichem Typ "uber $\Bbb{F}_{q}$ die formale Potenzreihe $Z (X;t)\pdef \op{exp} \left(\sum^{\infty}_{r=1} |X (\Bbb{F}_{q^r})|\; {t^{r}}/{r}\right),$ so k"onnen wir die Zetafunktion von $X$ schreiben in der Form $$\zeta_{X}(s) = Z (X;q^{-s})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In der Tat, bilden wir auf beiden Seiten der behaupteten Gleichung den Logarithmus, so verwandelt sich die Aussage des Lemmas in die Behauptung $$\sum_{x} - \op{log} (1-|k(x)|^{-s}) = \sum^{\infty}_{r=1} |X(\Bbb{F}_{q^r})|\;{q^{-rs}}/{r}$$ Jetzt beachten wir die Entwicklung $-\op{log} (1-t) = \sum_{k\geq 1}t^{k}/k $ und k"onnen unsere Behauptung umschreiben zu $$\sum_{x}\sum_{n\geq 1} |k(x)|^{-ns}/n = \sum^{\infty}_{r=1} |X (\Bbb{F}_{q^r})|\; {q^{-rs}}/{r}$$ Nun liefert aber jeder abgeschlossene Punkt $x \in X$ mit $k(x) \cong \Bbb{F}_{q^{r}}$ genau $r$ Punkte in $X (\Bbb{F}_{q^{ar}})$ f"ur $a \in\DZ_{\geq 1} $. Folglich sind hier unten beide Seiten gleich und wir k"onnen wieder hochsteigen zu unserer urspr"unglichen Behauptung $\zeta_{X}(s) = Z (X;q^{-s}).$ \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EWKO} Ist $X$ glatt und projektiv "uber $\Bbb{F}_q$ und sind $\lambda_{1,i},\ldots,\lambda_{b_i,i}$ die Eigenwerte des Frobenius auf seiner $i$-ten \'etalen Kohomologie, aufgef"uhrt mit ihren jeweiligen Vielfachheiten, so folgt aus dem Lefschetz'schen Fixpunktsatz $$|X (\Bbb{F}_{q^r})| =\sum_{i=0}^{2\dim X}\sum_{\nu=1}^{b_i} (-1)^i\lambda_{\nu,i}^r$$ Mit der allgemeinen Formel $\exp\left(\sum_{r=1}^\infty \lambda^r t^r/r\right)=(1-\lambda t)^{-1}$ im Ring $k(\!(t)\!)$ der formalen Potenzreihen "uber einem beliebigen K"orper $k$ der Charakteristik Null folgt $$Z (X;t)=\prod_{i=0}^{2\dim X}\prod_{\nu=1}^{b_i} (1-\lambda_{\nu,i} t)^{-(-1)^i}$$ So erkennen wir, da"s $\zeta_X(s)$ seine Nullstellen beziehungsweise Polstellen genau bei den $s$ mit $q^{-s}\lambda_{\nu,i}=1$ f"ur $i$ ungerade beziehungsweise $i$ gerade haben mu"s. Die \defind{Weil-Vermutungen} besagen nun in vager Analogie zur Riemann'schen Vermutung unter anderem, da"s die Eigenwerte des Frobenius auf der $i$-ten Kohomologie alle den Absolutbetrag $q^{i/2}$ haben sollten, so da"s zum Beispiel die durch die Eigenwerte der ersten Kohomologie verursachten Nullstellen von $\zeta_X(s)$ genau bei $\op{Re}(s)=1/2$ liegen sollten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Ausdruck $ \prod_{\nu=1}^{b_i} (1-\lambda_{\nu,i} t)$ aus der Formel in \ref{EWKO} kann auch verstanden werden als $t^{b_i}\chi_{\op{Fr}}(t^{-1})$ und ist also im wesentlichen das charakteristische Polynom des Frobenius auf der $i$-ten Kohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Konvergenzbereich der Logarithmusreihe}] Die Taylorreihe des Logarithmus um den Entwicklungspunkt Eins konvergiert an allen von Null verschiedenen Stellen auf dem Rand ihres Konvergenzbereichs, als da hei"st $\sum_{r\geq 1} z^r/r$ konvergiert f"ur alle $z\in\DC$ mit $|z|\leq 1$ und $z\neq 1.$ Ist allgemeiner $a_n$ eine reelle monoton fallende Nullfolge, so konvergiert\label{TLog} $\sum a_n z^n$ f"ur alle von $1$ verschiedenen komplexen $z$ auf dem Einheitskreis.\begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKnK}\\[4mm] \noindent Illustration zum Konvergenzbereich der Logarithmusreihe \ref{TLog}\end{Bild} Der Fall $z=-1$ ist hier das Leibniz'sche Konvergenzkriterium \eref{LK}{AN1}. Im Fall $z\neq\pm 1$ argumentieren wir wie folgt: Wir nehmen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit an, da"s alle $a_n$ von Null verschieden sind, bezeichnen mit $s_n$ die Partialsummen unserer Reihe und mit $K_n$ die Kreisscheiben, deren Randkreise jeweils durch die Punkte $s_{n-1}=s_{n}-a_n z^{n},$ $s_{n}$ und $s_{n}+a_n z^{n+1}$ gehen. Offensichtlich gilt nun $s_{n+1}\in K_n$ und $K_1\supset K_{2}\supset\ldots,$ genauer ber"uhrt der Rand von $K_n$ den Rand von $K_{n-1}$ in $s_{n-1}$ und hat h"ochstens denselben Radius wie $K_{n-1}.$ Der Rest dieses Arguments kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{Bemerkunge} \subsection{Elliptische Kurven} \begin{Bemerkungl} In der abstrakten Terminologie der algebraischen Geometrie ist eine {\bf elliptische Kurve}\index{elliptische Kurve} "uber einem K"orper $k$ eine glatte eigentliche Kurve "uber $k$ vom Geschlecht Eins mit einem ausgezeichneten "uber $k$ definierten Punkt. Konkret ist es unter der Zusatzannahme $\op{char} k \neq 2$ eine Gleichung der Gestalt $$y^{2} = x^{3} + px +q$$ mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s das Polynom in $x$ auf der rechten Seite keine mehrfachen Nullstellen hat selbst im algebraischen Abschlu"s $\bar{k}$ von $k$, was nach \eref{DKu}{AL} gerade die Bedingung $4p^{3} +27 q^{2} \neq 0$ bedeutet. Anschaulich besagt diese Bedingung, da"s die L"osungsmenge unserer Gleichung in $\bar{k}^2$ glatt ist, denn der Gradient von $$F(x,y) = x^{3} + px+q -y^{2}$$ kann nur bei $y=0$ verschwinden und ist dort gerade die partielle Ableitung $F_{x}$. Der Zariski-Abschlu"s von $\{F(x,y) =0\}$ in der projektiven Ebene mit homogenen Koordinaten $(x;y;z)$ enth"alt als einzigen zus"atzlichen Punkt $(0;1;0)$ und man pr"uft, da"s der Abschlu"s unserer Kurve in diesem Punkt stets glatt ist. Die $k$-wertigen Punkte der so vervollst"andigten Kurve k"onnen nun mit der Struktur einer abelschen Gruppe versehen werden derart, da"s der unendlich ferne Punkt das neutrale Element alias die Null wird und da"s drei Punkte unserer Kurve sich zu Null addieren genau dann, wenn sie auf einer Geraden liegen. Beim expliziten Addieren ist zu beachten, da"s au"ser der unendlich fernen Geraden, die mit unserer Kurve einen einzigen Schnittpunkt dritter Ordnung hat, nur die vertikalen Geraden durch die Null alias den unendlich fernen Punkt laufen und die Kurve dort transversal schneiden. Das bedeutet, da"s der R"uckzug des Geradenb"undels $\mathcal O(1)$ auf $\mathbb P^2 k$ aus \ref{GpR} auf unsere Kurve isomorph ist zu dem Geradenb"undel, das zu dem Divisor auf der Kurve geh"ort, der das dreifache des im Unendlichen hinzugef"ugten Punktes ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Elliptische Kurven sind nicht isomorph zu $\mathbb P^1k$}] Unsere elliptischen Kurven besitzen eine Involution $\tau: (x,y)\mapsto (x,-y)$ mit genau vier Fixpunkten, darunter der unendlich ferne Punkt. Die projektive Gerade besitzt keinen derartigen Automorphismus, jeder Automorphismus von $\mathbb P^1k$ mit drei Fixpunkten ist nach \ref{??} vielmehr die Identit"at. Mithin sind unsere elliptischen Kurven nicht isomorph zur projektiven Gerade.\label{ENIP} Das bedeutet, da"s f"ur $Q$ der unendlich ferne Punkt und $P$ ein beliebiger Punkt die Geradenb"undel $\mathcal O(P-Q)$ paarweise nichtisomorph sind, denn andernfalls g"abe es verschiedene Punkte $P_1\neq P_2$ mit $\mathcal O(P_1-P_2)$ das triviale Geradenb"undel und unsere elliptische Kurve w"are nach \ref{EPEN} isomorph zur projektiven Geraden, was sie aber eben gerade nicht ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Picardgruppen elliptischer Kurven}] Gegeben eine elliptische Kurve $E$ \nichtfinal{(eingebettet? abstrakt? kl"aren!)} erhalten wir f"ur jeden Punkt $Q\in E$ eine Bijektion $E\sira \op{Pic}^0(E)$ durch $P\mapsto \mathcal O_E(P-Q)$. \nichtfinal{Sollte diskutieren, da"s so $E$ eine algebraische Gruppe mit neutralem Element $Q$ wird. Zwei Punkte mit verschiedener $x$-Koordinate addieren ist algebraisch, schreibe Geradengleichung und darauf kubisches Polynom und die bekannten Nullstellen wegteilen und mu"s gehen!} \end{Satz} \begin{proof} Wir denken uns $E$ eingebettet in $\mathbb P^2 k$. F"ur je zwei Punkte $P_1, P_2\in E$ gibt es offensichtlich genau eine projektive Gerade $L\subset \mathbb P^2 k$ durch $P_1$ und $P_2$ im Fall $P_1\neq P_2$ beziehungsweise tangential zu $E$ im Punkt $P_1=P_2$ sonst. Ist $_\mu\{P_1, P_2, P_3\}$ die Multimenge der Schnittpunkte von $L$ mit $E$ nach B\'{e}zout, so ist $P_1+P_2+P_3-3Q$ ein Hauptdivisor wegen $\mathcal O(L)\cong\mathcal O(H)$ als Geradenb"undel auf $\mathbb P^2 k$ nach \ref{GpR} und damit sind auch die Restriktionen dieser Geradenb"undel auf $E$ isomorph. Es folgt $\mathcal O_E(P_1+P_2-2Q) \cong \mathcal O_E(P_3-Q)$ und so die Surjektivit"at unserer Abbildung. Die Injektivit"at haben wir bereits in \ref{ENIP} gezeigt. \nichtfinal{Es sollte klar sein, da"s es dann auch f"ur andere Punkte gilt.} \end{proof} \begin{Bemerkunge} Etwas allgemeiner versteht man unter einer {\bf hyperelliptischen Kurve}\index{hyperelliptisch!Kurve} eine glatte eigentliche Kurve "uber $k$, die einen dominanten Morphismus vom Grad Zwei auf die projektive Gerade besitzt. Insbesondere ist also jede elliptische Kurve auch hyperelliptisch. In Hartshorne findet man ein Beispiel f"ur eine nicht hyperelliptische Kurve. \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\emph{Wohin?} Eine elliptische Kurve $X$ "uber einem K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$ hei"st \defind{supersingul"ar}, wenn der absolute Frobenius $\op{Fr}$ auf der koh"arenten Kohomologie ${\op{H}}^1(X;\cal{O}_X)$ die Null\-abbildung induziert. Gemeint ist hier das Zur"uckholen auf der Kohomologie nach \ref{ZHKo} gefolgt von der Abbildung auf der Kohomologie, die von der Einbettung $\op{Fr}^\circ\cal{O}_X\hra \cal{O}_X $ induziert wird. Unsere Kurve mu"s deshalb noch lange nicht singul"ar sein! \end{Definition} \subsection{Drinfeld-Moduln} \begin{Definition} Gegeben ein Ring $A$ und ein Kring $R$ verstehen wir unter einem \defnoind{Drinfeld-$A$-Modul "uber $R$}\index{Drinfeldmodul} ein zum additiven Gruppenschema $\Bbb{G}_{\op{a},R}$ "uber $R$ isomorphes Gruppenschema $M$ "uber $R$ mitsamt einem Ringhomomorphismus \begin{eqnarray*} \varphi : A \rightarrow \op{Ab-Sch}_{R} (M) \end{eqnarray*} von $A$ in den Endomorphismenring unseres Gruppenschemas $M.$ Ein {\bf Morphismus von Drinfeldmoduln} $M\ra N$ ist ein Homomorphismus von Gruppenschemata "uber $R$, der mit der Operation von $A$ vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Es w"are wohl bereits an dieser Stelle sinnvoll, auch solche Gruppenschemata $M$ "uber $R$ zuzulassen, die nur lokal auf $\op{Spec}R$ zum additiven Gruppenschema "uber $R$ isomorph sind, oder vielleicht sogar beliebige kommutative Gruppenschemata "uber $R$? Das w"urde jedenfalls die Analogie zum Fall gew"ohnlicher $A$-Moduln nahelegen, die ja bekanntlich definiert werden als eine kommutative Gruppe $M$ mitsamt einem Ringhomomorphismus $\varphi :A\ra\op{Ab}(M)$ von $A$ in ihren Endomorphismenring. Drinfeld selbst betrachtet nur den Fall, da"s $R$ ein K"orper ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Varianten}] Ist etwas allgemeiner $k$ ein Ring, meist ein endlicher K"orper, und sind Ringhomomorphismen mit zentralem Bild $k\ra A$ und $k\ra R$ gegeben, so operiert mit $R$ auch $k$ durch Multiplikation auf unserem Gruppenschema $M$ und wir haben einen Ringhomomorphismus von $k$ in den Ring aller mit $k$ kommutierenden Endomorphismen unseres Gruppenschemas $\op{Ab}_k\op{-Sch}_{R} (M).$ Unter einem \defnoind{$k$-linearen Drinfeld-$A$-Modul "uber $R$} verstehen wir dann einem Ringhomomorphismus \begin{eqnarray*} \varphi : A \rightarrow \op{Ab}_k\op{-Sch}_{R} (M) \end{eqnarray*} unter $k.$ Bei der Arbeit "uber einem festen Grundring $k$ wird die $k$-Linearit"at auch oft implizit mitverstanden und nicht mehr explizit erw"ahnt. Allgemeiner definiert man {\bf abelsche $A$-Moduln "uber $R$}\index{abelsch!$A$-Modul "uber $R$} und {\bf $k$-lineare abelsche $A$-Moduln "uber $R$}, indem man auch solche Gruppenschemata $M$ "uber $R$ betrachtet, die isomorph sind zu endlichen Produkten von Kopien von $\Bbb{G}_{\op{a},R}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wieder w"are es wohl bereits an dieser Stelle sinnvoll, auch solche Gruppenschemata $M$ "uber $R$ zuzulassen, die nur lokal auf $\op{Spec}R$ zu einer endlichen diekten Summe von Kopien des additiven Gruppenschemas "uber $R$ isomorph sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $R=K$ ein K"orper der Charakteristik Null, so definiert f"ur ein zum additiven Gruppenschema $\Bbb{G}_{\op{a},K}$ "uber $K$ isomorphes Gruppenschema $M$ die Multiplikation einen Isomorphismus $\Bbb{F}\sira \op{Ab-Sch}_{K} (M) $ und unser Drinfeldmodul $\varphi$ ist schlicht ein Ringhomomorphismus $\varphi : A \rightarrow K.$ Im allgemeinen liefert die Multiplikation $R\ra \op{Ab-Sch}_{R} (M) $ keinen Isomorphismus, aber der "Ubergang zum Differential am neutralen Element eines Endomorphismus von Gruppenschemata liefert stets eine kanonische Spaltung $\diff: \op{Ab-Sch}_{R} (M) \ra R$ des durch Multiplikation gegebenen Homomorphismus. Der von einem Drinfeldmodul $\varphi$ induzierte Ringhomomorphismus $\diff\circ \varphi : A \rightarrow R$ hei"st seine {\bf Charakteristik}.\index{Charakteristik!eines Drinfeldmoduls} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EndRX} Wir bestimmen nun den Endomorphismenring des additiven Gruppenschemas "uber Kringen unter endlichen K"orpern. Sei zun"achst ganz allgemein $R$ ein Kring. Nach der universellen Eigenschaft von Polynomringen \eref{EiP}{LA1} sind die Morphismen von $R[X]$ zu sich selbst in der Kategorie der kommutativen Ringe unter $R$ parametrisiert durch Polynome aus $R[X],$ genauer liefert das Auswerten eines Ringhomomorphismus bei $X\in R [X]$ eine Bijektion \begin{eqnarray*} \op{Kring}^R (R [X],R [X] ) &\overset{\sim}{\rightarrow} & R[X]\\ f\;\;\;\;\;\;\;\; &\mapsto & f(X) \end{eqnarray*} Die Verkn"upfung von Morphismen entspricht hierbei dem vertauschten In\-ein\-ander-Einsetzen von polynomialen Ausdr"ucken. Gehen wir nun zu Schemata "uber und setzen $\op{Spec}R[X]={\Bbb{G}}_{\op{a},R},$ so "ubersetzt sich unsere Erkenntnis in einen Isomorphismus von Monoiden $$ \op{Sch}_R ({\Bbb{G}}_{\op{a},R},{\Bbb{G}}_{\op{a},R}) \;\;\overset{\sim}{\rightarrow}\;\; R[X] $$ wobei die Verkn"upfung auf der rechten Seite das Ineinander-Einsetzen von polynomialen Ausdr"ucken ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur jeden Kring $R$ "uber einem Primk"orper $\Bbb{F}_p$ identifiziert der Isomorphismus aus der vorhergehenden Bemerkung \ref{EndRX} die Endomorphismen des abelschen Gruppenschemas ${\Bbb{G}}_{\op{a},R}$ "uber $R$ mit dem von den $X^{p_\nu}$ f"ur $\nu\in\DN$ erzeugten $R$-Untermodul des Polynomrings, in Formeln haben wir also $$ \op{Ab-Sch}_R ({\Bbb{G}}_{\op{a},R}) \;\;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\; \langle X, X^p, X^{p^{2}}, \ldots \rangle_{R} $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s die Verkn"upfung auf der linken Seite hier dem Ineinander-Einsetzen von polynomialen Ausdr"ucken entspricht. Der durch $t^\nu\mapsto X^{p^\nu}$ gegebene $R$-Modulisomorphismus von $R[t]$ mit unserem Untermodul von $R[X]$ liefert einen Isomorphismus zwischen dem Ring der Endomorphismen des Gruppenschemas und dem im Sinne von \ref{VTGR} vertwisteten Monoidring $R\{ t\} $ mit $t x = x^p t $ f"ur alle $x \in R.$ Manche Autoren notieren die linke Seite der Einfachkeit halber als $\op{End}{\Bbb{G}}_{\op{a},R},$ aber das will ich vermeiden, da $\op{End}$ bereits f"ur Tensorkategorien eine feste Bedeutung hat. Ich k"urze stattdessen die linke Seite ab zu $\op{Ab-Sch}_R ({\Bbb{G}}_{\op{a},R})$ und das Lemma liefert dann einen Isomorphismus $$\op{Ab-Sch}_R ({\Bbb{G}}_{\op{a},R})\;\;\sira\;\; R\{ t\} $$ Das Vergessen aller Terme h"oherer Ordnung liefert einen Ringhomomorphismus $R\{ t\}\ra R,$ der auf der linken Seite dem Bilden des Differentials entspricht, also formal dem "Ubergang zur Operation auf $R=\op{Der}_R(R[X],R)$ wo $R$ vermittels $X=0$ als $R[X]$-Modul aufzufassen ist. Ist $R$ ein Integrit"atsring, so erhalten wir f"ur die Automorphismen unseres Gruppenschemas eine Bijektion $$\op{Ab-Sch}_R^\times ({\Bbb{G}}_{\op{a},R})\;\;\sira\;\; R^\times$$ Ist $R$ kein Integrit"atsring, so kann es mehr Automorphismen geben. Zum Beispiel gilt etwa in $R\{ t\}$ unter der Voraussetzung $b^{p+1}=0$ offensichtlich die Formel $(1+bt)(1-bt)=1.$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zum Rechnen scheint mir die Sprache der Ringe besser geeignet. Sicher ist ja $R[X]$ ein Kogruppenobjekt von $\op{Kring}^R $ mit Komultiplikation $$\begin{array}{cccccc} \Delta :& R [X] & \rightarrow & R[X] \otimes_R R[X] &\sira&R [X, Y]\\ &X & \mapsto &X\otimes 1 + 1 \otimes X &\mapsto& X + Y \end{array}$$ und der Endomorphismus zu einem Polynom $\varphi\in R[X]$ ist vertr"aglich mit dieser Komultiplikation genau dann, wenn im Ring $R [X,Y]$ gilt $\varphi( X+Y) = \varphi (X) + \varphi (Y)$. Polynome $\varphi$ mit dieser Eigenschaft nennen wir \defnoind{additive Polynome "uber $R$}.\index{additiv!Polynom}\index{Polynom!additives} Und jetzt gilt es halt, ordentlich zu rechnen und zu zeigen, da"s die additiven Polynome genau das Erzeugnis der $X^{p^\nu}$ sind. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Dar"uber hinaus fordert man manchmal, da"s $\varphi (a)$ f"ur von Null verschiedenes $a$ im Sinne der folgenden Bemerkung als Leitkoeffizient eine Einheit von $R$ hat. Diese Bedingung entspricht einer Familie von elliptischen Kurven \glqq mit guter Reduktion\grqq. Weiter schlie"st man oft den Fall aus, da"s $A$ schlicht vermittels $i:A\ra R$ operiert. Das ist nat"urlich ein recht einfacher Drinfeld-Modul, aber mir scheint es unnat"urlich, ihm das Existenzrecht abzusprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das additive Gruppenschema selbst mit der Struktur eines Drinfeld-$A$-Moduls zu versehen bedeutet also schlicht, einen Ringhomomorphismus \begin{eqnarray*} \varphi : A \rightarrow R \{t \} \end{eqnarray*} anzugeben, und die Homomorphismen zwischen zwei derartigen Drinfeldmoduln $\varphi$ und $\psi$ entsprechen eineindeutig den Elementen $c\in R\{t\}$ mit $c\varphi(a)=\psi(a)c$ f"ur alle $a\in A.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $R$ ein Integrit"atsring, so mu"s auf einem Drinfeldmodul jede Einheit $a\in A^\times$ durch Multiplikation mit $i (a)\in R^\times$ operieren, denn das ist dann der einzige Automorphismus unseres Gruppenschemas mit dem vorgeschriebenen Differential. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unser Isomorphismus von eben induziert in dieser Situation einen Isomorphismus $$\op{Ab_{\Bbb{F}}-Sch}_R ({\Bbb{G}}_{\op{a},R})\; \; \sira\;\; R\{\tau\}$$ zwischen den mit dieser $\Bbb{F}$-Operation kommutierenden Endomorphismen unseres Gruppenschemas "uber $R$ und dem Teilring $R\{ \tau\}\subset R\{ t\},$ der erzeugt wird von $\tau=t^r$ f"ur das $r$ mit $q=p^r$ und $p$ prim und der alternativ auch beschrieben werden kann als der Schiefpolynomring $R\{ \tau\}$ mit $\tau x = x^q\tau $ f"ur alle $x \in R.$ Das additive Gruppenschema selbst im Falle eines $\Bbb F$-Krings $A$ mit der Struktur eines Drinfeld-$A$-Moduls zu versehen bedeutet also, einen $\Bbb{F}$-linearen Ringhomomorphismus \begin{eqnarray*} \varphi : A \rightarrow R \{\tau \} \end{eqnarray*} anzugeben derart, da"s f"ur jedes $a \in A$ das Polynom $\varphi (a)$ konstanten Term $i(a)$ hat, und die Homomorphismen zwischen zwei derartigen Drinfeldmoduln $\varphi$ und $\psi$ entsprechen eineindeutig den Elementen $c\in R\{\tau\}$ mit $c\varphi(a)=\psi(a)c$ f"ur alle $a\in A.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein push-out-Diagramm von $\Bbb{F}$-Kringen \begin{displaymath} \xymatrix{ A^\prime \ar[r] &R^\prime \\ A\ar[u]^i \ar[r] & R\ar[u]_g } \end{displaymath} und ein Drinfeld-Modul $\varphi : A \rightarrow R \{\tau\}$ mag man die Menge aller Drinfeld-Moduln $\varphi^\prime :A'\rightarrow R^\prime \{\tau\}$ betrachten mit $\varphi^\prime \circ i = g \circ \varphi : A \rightarrow R^\prime \{\tau \},$ wobei $g$ eigentlich den von $g$ induzierten Ringhomomorphismus $R \{\tau \}\rightarrow R^\prime \{\tau \}$ meint. Gegeben ein Diagramm von $\Bbb{F}$-Kringen \begin{displaymath} \xymatrix{ A^\prime & \\ A\ar[u]^i \ar[r] & R} \end{displaymath} und ein Drinfeld-Modul $\varphi : A \rightarrow R \{\tau\}$ ist die Zuordnung, die jedem $R'$ diese Menge von Drinfeld-Moduln $\varphi'$ zuordnet, ein Funktor von der Kategorie der Kringe $R'$ "uber $A'\otimes_A R$ in die Kategorie der Mengen. F"ur dieselben Daten ist weiter auch die Zuordnung ein Funktor, die jedem $R'$ die Menge aller der Isomorphieklassen von Drinfeld-$A'$-Moduln $\varphi'$ "uber $R'$ zuordnet, deren Einschr"ankung auf $A$ isomorph ist zur Erweiterung von $\varphi$ nach $R',$ in Formeln $\varphi^\prime \circ i \cong g \circ \varphi$ als Drinfeld-$A$-Moduln "uber $R'.$ Die Diplomarbeit von Herrn Hendler geht nun der Frage nach, inwieweit diese beiden Funktoren darstellbar sind. Interessant ist diese Frage insbesondere in dem Fall, da"s $A\ra A'$ von einem endlichen Morphismus glatter Kurven herkommt. Im wesentlichen zeigt Herr Hendler nun, da"s in diesem Zusammenhang der erste unserer Funktoren darstellbar ist, und der zweite zwar im Allgemeinen nicht, aber unter speziellen Annahmen an unsere Ausangssituation doch. Weiter zeigt er, da"s beide Funktoren \glqq formal eigentlich\grqq\ sind. Allgemeiner betrachtet er auch analoge Fragen, auf die man gef"uhrt wird, wenn man zu Schemata "ubergeht und statt der affinen Schemata $\op{Spec}(R)$ und $\op{Spec}(R')$ beliebige Schemata zul"a"st. Die zu unseren Drinfeld-Moduln analogen Objekte hei"sen dann \glqq elliptische Garben\grqq\ und er kl"art die oben erl"auterten Fragen sogar noch allgemeiner f"ur sogenannte \glqq abelsche Garben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Primzahl $p$ und ein $\Bbb{F}_p$-Kring $A$ und ein $A$-Kring $i:A\ra R$ verstehen wir unter einem \defnoind{abelschen $A$-Modul "uber $R$} ein abelsches alias kommutatives Gruppenschema $M$ "uber $R,$ das isomorph ist zu einem endlichen Produkt von sagen wir $d$ Kopien des additiven Gruppenschemas "uber $R,$ mitsamt einem Ringhomomorphismus \begin{eqnarray*} \varphi : A \rightarrow \op{Ab-Sch}_{R}(M) \end{eqnarray*} von $A$ in seinen Endomorphismenring derart, da"s f"ur alle $a\in A$ die Differenz des Differentials von $\varphi (a)$ beim Nullpunkt mit dem Differential der Multiplikationsabbildung $(i(a)\cdot)$ nilpotent ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Fall $d=1$ erhalten wir unter der Annahme, da"s $R$ ein Integrit"atsring ist, genau unsere Drinfeld-Moduln. Vielfach wird speziell der Fall $A=\Bbb{F}_p[t]$ betrachtet, in dem man statt einem Ringhomomorphismus $\varphi$ wie oben gleichbedeutend einen Endomorphismus des Gruppenschemas $M$ angeben mag, n"amlich eben den Endomorphismus $\varphi(t).$ Man spricht dann von einem {\bf abelschen $t$-Modul}.\index{t-Modul@$t$-Modul} Auch hier stellt man gerne noch Zusatzbedingungen, die ich jedoch nicht diskutieren will. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben Kring $ R$ mag man auch einfach ganz allgemein die Kategorie $\op{Ab-Sch}_{R}$ aller abelschen Gruppenschemata "uber $R$ betrachten. Diese Kategorie ist "ahnlich aber doch verschieden von der Kategorie der $R$-Moduln. Wir erhalten einen Funktor $$R\op{-Mod}\ra \op{Ab-Sch}_{R}^{\op{opp}}$$ durch die Zuordnung, die jedem Modul $M$ das Spektrum der symmetrischen Algebra \end{Definition} \subsection{Komplexe Multiplikation} \emph{Ungeputzt!} \begin{Satz}[\textbf{"uber komplexe Multiplikation}] Sei $K \subset \mathbb C$ ein imagin"arqudratischer Zahlk"orper und $\frak a \subset K$ ein $\mathbb Z$-Gitter. Ist $\sigma \in \op{Gal} (\mathbb C /K)$ gegeben und $s \in \mathbb A^x_K$ ein Idel, das das Bild von $\sigma$ in $\op{Gal} (\overline{K}/K)^{\op{ab}}$ repr"asentiert, so existiert ein Isomorphismus $\mathbb C/s^{-1}\frak a \overset{\sim}{\longrightarrow} (\mathbb C /\frak a)^\sigma$ derart, da"s kommutiert \begin{displaymath} \xymatrix{ K/\mathfrak a \ar[dd]_{s^{-1}}\ar@{^{(}->}[r] & \mathbb C/\mathfrak a \ar[dr]^{\sigma}&\\ & &(\mathbb C /\mathfrak a)^\sigma\\ K/s^{-1} \mathfrak a \ar@{^{(}->}[r] &\mathbb C/s^{-1} \mathfrak a \ar[ur]^{\wr} & } \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Vertikale verwendet $K/\frak a \overset{\sim}{\longrightarrow} \prod^\prime K_p /\mathfrak a_p$ und so ist auch $s^{-1} \mathfrak a$ gemeint. Der Quotient $\mathbb C/\mathfrak a $ ist als kompakte Riemann'sche Fl"ache kanonisch eine algebraische Variet"at "uber $\mathbb C$. Mit $(\mathbb C /\mathfrak a)^\sigma$ ist die Variet"at $\mathbb C /\mathfrak a \rightarrow \op{Spec} \mathbb C \overset{\sigma^{-1}}{\rightarrow} \op{Spec} \mathbb C$ gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Sei $K \subset \mathbb C$ ein imagin"ar-quadratischer Zahlk"orper und $\mathfrak a \subset K$ ein $\mathbb Z$-Gitter. So gilt f"ur die $j$-Invariante der elliptischen Kurve $\mathbb C / \mathfrak a$ notwendig $j(\mathbb C / \mathfrak a) \in K^{\op{ab}}$ und $j(\mathbb C/ s^{-1}\mathfrak a) = j(\mathbb C /\mathfrak a)^{[s,K]}$ f"ur alle Idele $s \in \mathbb A^\times_K$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das bedeutet, da"s $K^{\op{ab}}$ erzeugt wird von den Werten geeignet normalisierter Koordinaten auf den Punkten endlicher Ordnung in $\mathbb C / \mathfrak a$. \end{Bemerkungl} \subsection{Vandiver-Vermutung} F"ur jede ungerade Primzahl $p$ besitzt die $p$-Sylow der Idealklassengruppe des zyklotomischen K"orpers $\DQ(\sqrt[p]{1})$ keine nichttrivialen unter der komplexen Konjugation invarianten Elemente. Die Idealklassengruppe ist, nur zur Erinnerung, die Gruppe der Isomorphieklassen projektiver $\DZ[\sqrt[p]{1}]$-Moduln vom Rang Eins, d.h.\ der Geradenb"undel auf dem Spektrum von $\DZ[\sqrt[p]{1}].$ \subsection{Verschwindungss"atze} \emph{Noch ungeputzt, Mitschrift von H"oring.} \begin{Satz}[\textbf{Verschwindungssatz von Serre}] Gegeben eine projektive Variet"at $X$\index{Serre!Verschwindungssatz} "uber einem beliebigen K"orper,\index{Verschwindungssatz!Serre} ein koh"arenter $\mathcal O_X$-Modul $\mathcal F$ und ein amples Geradenb"undel $\mathcal L$ gibt es $N \in \mathbb N$ derart, da"s gilt \begin{equation*} {\op{H}}^i (X; \mathcal F \otimes \mathcal L^{\otimes n}) = 0 \quad \forall i > 0, n>N \end{equation*} \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Verschwindungssatz von Kodaira}] Gegeben $X$ eine glatte projektive komplexe Variet"at \index{Kodaira!Verschwindungssatz} mit dualisierender Garbe $\omega_X$\index{Verschwindungssatz!Kodaira} und $\mathcal L$ ein amples Geradenb"undel gilt \begin{equation*} {\op{H}}^i (X; \mathcal L \otimes \omega_X) = 0 \quad \forall i > 0 \end{equation*} \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Norimatsu's Lemma}] Gegeben $X$ eine glatte projektive komplexe Variet"at und $A$ ampel und $E$ ein effektiver Divisor, dessen Tr"ager streng normal kreuzt, gilt \begin{equation*} {\op{H}}^i (X; A+E) =0 \quad \forall i >0 \end{equation*} \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Verschwindungssatz von Karamata-Vieweg}] Sei $X$ eine glatte projektive komplexe Variet"at. Ist ein Geradenb"undel $\mathcal L$ auf $X$ \glqq big und nef\grqq, so gilt \begin{equation*} {\op{H}}^i (X; \mathcal L \otimes \omega_X) =0 \quad \forall i >0 \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} nef steht f"ur \glqq numerisch effektiv\grqq. Big meint $\dim_{\mathbb C} {\op{H}}^0 (X;\mathcal L^{\otimes n}) \sim (\dim X)^n$ f"ur $n\ra\infty$. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: