\section{Raumwertige Funktionen}%einer Ver"anderlichen} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0009} \\[4mm] \noindent Eine Approximation eines Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBa} \\[4mm] \noindent Eine bessere Approximation desselben Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \subsection{Bogenl"ange in metrischen R"aumen} \begin{Definition}\label{BOLL} Gegeben ein Intervall $I \subset \Bbb{R}$, ein metrischer Raum $(X,d)$ und eine Abbildung $\gamma:I\ra X$ definieren wir die \defnoind{L"ange}\index{L"ange!eines Weges}\index{L@${\op{L}}(\gamma)$ L"ange eines Weges} ${\op{L}}(\gamma) \in \overline{\Bbb{R}}$ von $\gamma$ als das Supremum "uber \glqq die L"angen aller einbeschriebenen Polygonz"uge\grqq, in Formeln $${\op{L}}(\gamma) \pdef \op{sup} \left.\left\{\sum^{r-1}_{i=0} d( \gamma (t_{i}) , \gamma (t_{i+1}) ) \right| t_{0}, \ldots, t_{r} \in I, \;t_{0}\leq \ldots \leq t_{r}\right\}$$ Man spricht in diesem Zusammenhang meist von der \defind{Bogenl"ange}. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0009} \\[4mm] \noindent Eine Approximation eines Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBa} \\[4mm] \noindent Eine bessere Approximation desselben Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \begin{Bemerkunge} Diese Definition liefert uns sogar einen L"angenbegriff f"ur eine Abbildung von einer beliebigen angeordneten Menge in einen metrischen Raum. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Eine stetige Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall in einen metrischen oder allgemeiner topologischen Raum hei"st ein {\bf Weg}\index{Weg}\label{Weg} in unserem Raum. Ist das Definitionsintervall kompakt, sprechen wir von einem {\bf kompakten Weg}\index{Weg!kompakter}. Ist das Definitionsintervall das Einheitsintervall $[0,1]$, sprechen wir von einem {\bf normierten Weg}\index{Weg!normierter}. Oft lassen wir diese Zus"atze aber auch weg und hoffen, da"s aus dem Kontext hervorgeht, was genau jeweils gemeint ist. Wir interessieren uns besonders f"ur die L"ange von kompakten Wegen im $\DR^k$ in Bezug auf die durch das Standardskalarprodukt gegebene Metrik. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Weg in einem metrischen Raum hei"st \defind{rektifizierbar}, wenn er endliche L"ange hat.\label{rekt} Eine Abbildung von einem reellen Intervall in einem metrischen Raum hei"st \defind{rektifizierbar}, wenn sie stetig ist und ihre Einschr"ankung auf jedes mehrpunktige kompakte Teilintervall endliche L"ange hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um Bogenl"angen zu berechnen benutzt man meist die Darstellung als Integral \ref{BoL}. Sie verwendet den Begriff der Ableitung \ref{Gesch} von raumwertigen Funktionen einer reellen Ver"anderlichen, mit dem wir uns nun besch"aftigen werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Ableiten von raumwertigen Funktionen} \label{BPA} \begin{Bemerkungl}\label{Gesch} Seien $\gamma :D\ra X$ eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge $D\subset\DR$ in einen normierten Raum $X$ und sei $p\in D$ ein Punkt. Wir nennen die Abbildung $\gamma $ {\bf differenzierbar bei $p$}, wenn der folgende Grenzwert existiert im Sinne von \ref{GeFuA}, und in diesem Fall nennen wir besagten Grenzwert die {\bf Ableitung\index{Ableitung!vektorwertig} von $\gamma $ bei $p$} und notieren ihn \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0010} \\ \noindent Der Geschwindigkeitsvektor ist stets tangential an die Bahnkurve. Seine L"ange h"angt jedoch von der Anzeige des Tachometers ab, wenn wir uns hier mal ein Auto denken, das auf einem Fu"sballfeld herumkurvt. Dieser Aspekt ist in einem Bild leider schwer darzustellen. \end{figure} $$\gamma ^{\prime} (p) %=\dot{\gamma }(p) \pdef\lim_{t\ra 0}\frac{\gamma (p+t)-\gamma (p)}{t} %=\lim_{q\ra p}\frac{\gamma (q)-\gamma (p)}{q-p} $$ Ist $\gamma $ differenzierbar an allen Stellen $p\in D$, so nennen wir $\gamma $ {\bf differenzierbar}\index{differenzierbar!vektorwertige Funktion} oder genauer {\bf differenzierbar auf $D$}. Die Ableitung ist der Grenzwert einer Abbildung in den Richtungsraum von $X$ und mithin selbst ein Richtungsvektor $\gamma ^{\prime} (p)\in\vec X$. Ist $X$ bereits selbst ein Vektorraum, so fassen wir die Ableitung meist als einen Vektor von $X$ auf vermittels der Identifikation $\op{trans}:X\sira \vec X$ nach \eref{VRAR}{LA1}. In diesem Sinne stimmt dann f"ur Abbildungen $D\ra\DR$ unsere hier erkl"arte Ableitung "uberein mit der Ableitung reellwertiger Funktionen aus \ref{DEV}. Weiter stimmt f"ur Abbildungen $D\ra\DC$ unsere hier erkl"arte Ableitung "uberein mit der Ableitung komplexwertiger Funktionen aus \ref{Ablk}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{pmT} Ich denke mir eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge $D\subset\DR$ in einen normierten Raum $X$ gerne als Beschreibung eines Teilchens, das sich in $X$ bewegt, und denke mir also $D$ als ein Zeitintervall. Dann nenne ich $\gamma'(p)$ auch die {\bf Geschwindigkeit}\index{Geschwindigkeit!mathematische} oder genauer den {\bf Geschwindigkeitsvektor}\index{Geschwindigkeitsvektor!mathematischer} von $\gamma $ zum Zeitpunkt $p$ und schreibe manchmal $\dot{\gamma}$\index{)6a@$\dot{\gamma}$ Ableitung} statt $\gamma'$. In physikalischen Zusammenh"angen verwende ich diese Begriffe jedoch pr"aziser nur f"ur Funktionen auf einer halboffenen Teilmenge $D\subset\mathbb T$ unseres mathematischen Modells der Zeit aus \eref{tempp}{LA1}, vergleiche \eref{KraF}{AN2}, denn eine physikalische Geschwindigkeit darf ja nicht die Einheit einer L"ange haben. Wie man f"ur Abbildungen von beliebigen eindimensionalen reellen R"aumen in normierte reelle R"aume die Ableitung definiert, besprechen wir in \eref{DeDi}{AN2} und \eref{Tempo}{AN2}. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Formal folgt die in der Definition implizit %behauptete Gleichheit der beiden Grenzwerte aus %dem Analogon der zweiten Aussage von \ref{GWSt}, %die sich wie in \ref{FGGG} kurz erw"ahnt mitsamt ihrem Beweis %ohne weitere Schwierigkeiten auf den Fall von Grenzwerten bei metrischen oder %sogar topologischen R"aumen verallgemeinern l"a"st. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich lege hier die Begrifflichkeit normierter affiner R"aume im Sinne von \ref{daffan} zugrunde. Der Leser mag sich stattdessen auch normierte Vektorr"aume oder sogar den $\DR^n$ denken. Die gew"ahlte Allgemeinheit modelliert jedoch meines Erachtens besser unsere Anschauung bewegter Teilchen, etwa im uns umgebenden Raum oder auch auf der Tafelebene. Dar"uber hinaus hoffe ich, da"s die begriffliche Trennung von Punkten einerseits und Richtungsvektoren andererseits das Verst"andnis f"ordert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Spezialfall $X=\DR$ sind unsere Definitionen, wie bereits bemerkt, im wesentlichen identisch zu unseren bisherigen Definitionen f"ur reellwertige Funktionen. Was im Fall $X=\DR^m$ passiert, zeigt das folgende Lemma. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\defind{Komponentenregel}] Sei $X=X_1\times\ldots \times X_m$ ein Produkt normierter R"aume, $D\subset \DR$ eine halboffene Teilmenge, $\gamma =(\gamma _1,\ldots,\gamma _m):D\ra X$ eine Abbildung und $p\in D$ ein Punkt. Genau dann ist $\gamma $ differenzierbar bei $p$, wenn alle $\gamma _j$ differenzierbar sind bei $p$, und dann gilt $$\gamma '(p)=\left( \gamma _1'(p),\ldots, \gamma _m'(p)\right)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus der Vertr"aglichkeit \ref{GGGP} von Genzwerten mit Produkten und sei dem Leser "uberlassen. Man beachte, da"s wir bei der Formulierung die kanonische Identifikation zwischen dem Richtungsraum eines Produkts und dem Produkt der Richtungsr"aume der Faktoren \eref{PARr}{LA1} verwendet haben. \end{proof} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0011} \\ \noindent Eine nicht konvexe Teilmenge der Ebene \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wie in \eref{DeKK}{LA1} hei"st eine Teilmenge eines reellen Raums \defnoind{konvex},\index{konvex!in affinem Raum} wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze die beiden Punkte verbindende Geradensegment enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schrankensatz}\index{Schrankensatz}] Seien $X$ ein normierter Raum, $a< b$ reelle Zahlen und $\gamma : [a,b] \ra X$\label{MWS} eine differenzierbare Abbildung. Ist $C \subset \vec{X}$ eine offene oder abgeschlossene konvexe Teilmenge und gilt $ \gamma '(t) \in C$ f"ur alle $t\in [a,b]$, so folgt $$\gamma (b) - \gamma (a) \in (b-a)C$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man folgert leicht eine Variante, die auch $a\geq b$ erlaubt: Ist $I\subset \Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall, $\gamma : I \ra X$ eine differenzierbare Abbildung und gilt $ \gamma '(t) \in C$ f"ur alle $t\in I$, so folgt $\gamma (b) - \gamma (a) \in (b-a)C\;\forall a,b\in I$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur den Schrankensatz}] Anschaulich k"onnen wir den Inhalt des Satzes interpretieren wie folgt: Sei $C$ eine Kreisscheibe im Richtungsraum der Anschauungsebene mit Radius $20\ph{km}\!/\!\ph{h}$. Fahren wir mit einem Gel"andewagen um $14{:}00$ Uhr an einem Parkplatz los und kurven durch die Gegend und der Tacho zeigt nie mehr als $20\ph{km}\!/\!\ph{h}$ an, so sind wir um $17{:}00$ Uhr h"ochstens $60\ph{km}$ von unserem urspr"unglichen Parkplatz entfernt. Besteht $C$ dahingegen aus einem einzigen Punkt, der sagen wir die Geschwindigkeit von $20\ph{km}\!/\!\ph{h}$ in einer festen Richtung bedeutet, so besagt unser Satz: Fahren wir konstant mit $20\ph{km}\!/\!\ph{h}$ in diese Richtung, so haben wir um $17{:}00$ Uhr genau $60\ph{km}$ in besagte Richtung zur"uckgelegt. F"ur dieses Beispiel w"ahlen wir implizit einen Isomorphismus der Zeitachse $\mathbb T$ mit der reellen Zahlengeraden $\mathbb R$ derart, da"s jeder Stunde ein Intervall der L"ange Eins entspricht. Das bedeutet insbesondere, da"s wir implizit auch vektorielle Geschwindigkeiten mit Richtungsvektoren identifizieren. Im "ubrigen wird in \eref{Tempo}{AN2} erkl"art, wie man auch mit \glqq echten\grqq\ Geschwindigkeiten formal korrekt arbeiten kann. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen Schrankensatz und Mittelwertsatz}] Der Satz folgt im Fall $X=\DR$ leicht aus unserem\label{SchrS} bisherigen Mittelwertsatz \ref{MiWS} und er spielt auch im allgemeinen eine "ahnliche Rolle, indem er es erlaubt, \glqq den von einem Teilchen in einem Zeitintervall $[a,b]$ gewonnenen Abstand von seinem Ausgangspunkt aus der Kenntnis seiner lokalen Geschwindigkeiten abzusch"atzen\grqq. Jedoch kann man f"ur h"oherdimensionales $X$ im allgemeinen keinen Zeitpunkt mehr finden, zu dem das Teilchen \glqq mittlere Geschwindigkeit\grqq\ h"atte, d.h.\ es gibt f"ur h"oherdimensionales $X$ im allgemeinen keinen Punkt $\xi\in [a,b]$ mit $\gamma (b) - \gamma (a) = (b-a)\gamma '(\xi)$. Man stelle sich etwa vor, da"s unser Gel"andewagen ein Rundtour f"ahrt, bei der er zu keiner Zeit die Geschwindigkeit Null hat. Mich befriedigt deshalb die in der "alteren Literatur "ubliche Bezeichnung als \glqq Mittelwertsatz in mehreren Ver"anderlichen\grqq\ \index{Mittelwertsatz!in mehreren Ver"anderlichen} nicht vollst"andig. Oft wird auch nur der Fall betrachtet, da"s $C$ ein offener Ball oder auch ein abgeschlossener Ball mit Zentrum im Ursprung ist: Aus $\|\gamma'(t)\|\leq K \;\forall t\in[a,b]$ folgt so etwa $\|\gamma(b)-\gamma(a)\|\leq (b-a)K$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{OBK} Offensichtlich ist eine Teilmenge $C$ eines reellen Vektorraums genau dann konvex, wenn f"ur beliebige reelle $s,t\geq 0$ gilt $sC+tC= (s+t)C$. Das zeigt, da"s in unserem Satz die Aussage f"ur das ganze Intervall folgt, wenn wir sie f"ur alle St"ucke einer Zerlegung in endlich viele Teilintervalle zeigen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis] Ist $C$ abgeschlossen, so schreiben wir $C$ als den Schnitt der offenen konvexen Mengen $C+\op{B}(0;\eta)$. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $C$ offen annehmen. Wir betrachten nun $$s = \op{sup} \{q \in [a,b] \mid \gamma (x) - \gamma (a) \in (x-a) C \;\forall x\in [a,q]\}$$ und zeigen zun"achst $s = b$. F"ur alle $p \in [a,b]$ finden wir ja eine offene Umgebung $U_{p}\co [a,b]$ mit $$\frac{\gamma (q) - \gamma (p)}{q-p} \in C \text{ f"ur alle } q \in U_{p}\backslash p $$ Insbesondere folgern wir $s > a$ und m"ussen nur noch die Annahme $s0$ mit $[s-\varepsilon, s + \varepsilon] \subset U_{s}$ und die Aussage des Satzes g"alte f"ur die Einschr"ankung von $\gamma $ auf die Intervalle $[a, s-\varepsilon], [s-\varepsilon, s] $ und $[s,s + \varepsilon]$. Daraus folgte jedoch mit unserer Vorbemerkung \ref{OBK} die Aussage des Satzes f"ur das Intervall $[a,s +\varepsilon]$ im Widerspruch zur Wahl von $s$. Mithin haben wir $s=b$. Da es aber mit denselben Argumenten auch ein $\eta>0$ gibt derart, da"s die Aussage des Satzes f"ur die Einschr"ankung von $\gamma $ auf $[b-\eta, b]$ gilt, folgt die Aussage des Satzes f"ur das ganze Intervall $[a,b]$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir beginnen wie beim ersten Beweis und finden Umgebungen $U_p$ wie dort, die wir sogar als Schnitte mit $[a,b]$ von offenen B"allen $\op{B}(p;\varepsilon_p)$ annehmen d"urfen. Da $[a,b]$ kompakt ist, wird es nach \ref{KO} "uberdeckt durch endlich viele solcher Umgebungen $U_p$. Seien nun $a=p_00$ beliebig. Da $\gamma'$ nach \ref{glsV} gleichm"a"sig stetig ist auf $[a,b]$, finden wir ein $\delta>0$ mit $\|\gamma'(x)-\gamma'(y)\|<\varepsilon $ falls $|x-y|\leq \delta$. Gegeben eine Unterteilung $a = a_{0}\leq a_{1} \leq \ldots \leq a_{r} = b$ einer Feinheit $\leq\delta$ folgern wir aus dem Schrankensatz \ref{MWS} dann $$\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\in (a_{i+1}-a_{i})(\gamma' (a_{i})+\op{B}(0;\varepsilon))$$ und insbesondere $ \|\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\| \in (a_{i+1}-a_{i})\|\gamma' (a_{i})\| + (a_{i+1}-a_{i})[-\varepsilon,\varepsilon]$. Durch Aufsummieren folgt $$\left| \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\| \;\; - \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma' (a_{i})\| (a_{i+1}-a_{i})\right|\leq (b-a)\varepsilon$$ f"ur jede Unterteilung der Feinheit $\leq\delta$. Das zeigt schon ${\op{L}}(\gamma)<\infty$. Nach \ref{ARS} k"onnen wir weiter $\delta$ sogar so klein w"ahlen, da"s in unserer Differenz die rechte Summe zus"atzlich einen Abstand $\leq\varepsilon$ hat vom Integral $\int\|\gamma'\|$ f"ur jede Unterteilung der Feinheit $\leq\delta$. Da aber die L"ange approximierender Polygonz"uge beim Hinzuf"ugen von Zwischenpunkten nur gr"o"ser werden kann, finden wir eine Unterteilung von dieser Feinheit, f"ur die die linke Summe von ${\op{L}}(\gamma)$ einen Abstand $\leq\varepsilon$ hat. Zusammen erhalten wir $$\left| {\op{L}}(\gamma)-\int\|\gamma'\| \right|\leq (b-a+2)\varepsilon$$ Da das f"ur alle $\varepsilon>0$ gilt, folgt ${\op{L}}(\gamma)=\int\|\gamma'\|$ wie gew"unscht. \end{proof} \subsection{Vollst"andigkeit und Exponential von Matrizen} \label{VEM} \begin{Definition} Eine Folge $(x_n)_{n\in\DN}$ in einem metrischen Raum $(X,d)$ hei"st eine \defind{Cauchy-Folge},\label{DVEM} wenn es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $N=N_\varepsilon$ gibt derart, da"s gilt $$n,m>N\;\RA\; d(x_n,x_m)\leq \varepsilon$$ Ein metrischer Raum $X$ hei"st \defnoind{vollst"andig},\index{vollst"andig!metrischer Raum} wenn jede Cauchy-Folge in $X$ konvergiert. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{ABVV} Die Zahlengerade $\DR$ ist vollst"andig nach \ref{CFB}. Weiter ist offensichtlich jede abgeschlossene Teilmenge eines vollst"andigen Raums vollst"andig. Dar"uber hinaus ist auch jedes endliche Produkt vollst"andiger metrischer R"aume vollst"andig. Insbesondere ist der $\DR^n$ vollst"andig f"ur den Betragsabstand im Sinne von \ref{BAB}. Dahingegen ist $X=\DQ$ mit dem Betragsabstand kein vollst"andiger metrischer Raum, und auch wenn wir aus der Zahlengerade einen Punkt entfernen, erhalten wir bereits einen metrischen Raum, der nicht vollst"andig ist. \end{Beispiele} \begin{Definition} Unter einem \defind{Banach-Raum} oder genauer einem {\bf reellen Ba\-nach-Raum} versteht man einen \hyperref[DVEM]{vollst\"andigen} normierten reellen Vektorraum. Sobald wir die komplexen Zahlen kennengelernt haben, werden wir auch und sogar "uberwiegend mit komplexen Banachr"aumen arbeiten. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{Baed} Jeder endlichdimensionale normierte reelle Vektorraum ist voll\-st"andig alias ein Banachraum. \end{Lemma} \begin{proof} Wir w"ahlen irgendeinen Vektorraumisomorphismus mit dem $\DR^n$. Die so induzierte Norm auf dem $\DR^n$ ist nach \ref{AQN} "aquivalent zur Maximumsnorm und liefert also dieselben Cauchyfolgen und dieselben Grenzwerte von Folgen. Die Maximumsnorm auf dem $\DR^n$ hinwiederum f"uhrt zum Betragsabstand, und f"ur diese Metrik wissen wir aus \ref{ABVV}, da"s sie den $\DR^n$ zu einem vollst"andigen metrischen Raum macht. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ nennt man eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren\label{ABSB} {\bf summierbar mit Summe}\index{summierbar!Familie in normiertem Vektorraum} $s\in V$ und schreibt $\sum_{i\in I} v_i=s$, wenn es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jede endliche Obermenge $J$ von $I_U$ in $ I$ gilt $$\sum_{i\in J} v_i\in U$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man sieht leicht, da"s die Summe einer summierbaren Familie stets eindeutig bestimmt ist. Dieselbe Definition verwenden wir sp"ater allgemeiner f"ur beliebige \glqq abelsche Hausdorffgruppen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren in einem normierten Vektorraum hei"st {\bf absolut summierbar},\index{absolut summierbare Familie} wenn die Familie ihrer Normen $(\|v_i\|)_{i\in I}$ summierbar ist. \end{Definition} \begin{Lemma} In einem Banachraum ist jede absolut summierbare Familie summierbar und die Norm der Summe kann nach oben abgesch"atzt werden durch die Summe der Normen.\label{BRak} \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{SuFa} sind bei einer absolut summierbaren Familie h"ochstens abz"ahlbar viele Vektoren von Null verschieden, so da"s wir uns auf Familien beschr"anken d"urfen, die durch $\DN$ indiziert sind. Sei also $(v_k)_{k\in\DN}$ unsere Familie. Die Partialsummen $s_n=\sum_{k=0}^{n}v_k$ bilden eine Cauchy-Folge, da f"ur $m\geq n$ ja gilt $$\|s_n-s_m\|=\left\|\sum_{k=n+1}^{m}v_k\right\|\leq \sum_{k=n+1}^{m}\|v_k\| \leq \sum_{k=n+1}^{\infty}\|v_k\|$$ Die rechte Seite wird nun offensichtlich f"ur hinreichend gro"ses $n$ beliebig klein. Sind wir in einem Banachraum, so konvergiert mithin die Folge der Partialsummen gegen einen Grenzwert $s$. Den Nachweis, da"s dieser Grenzwert auch die Summe im Sinne der Definition \ref{ABSB} sein mu"s, "uberlasse ich dem Leser. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In \ref{SuFa} hatten wir gesehen, da"s jede summierbare Familie reeller Zahlen absolut summierbar ist. Dasselbe folgt f"ur summierbare Familien in endlichdimensionalen normierten R"aumen. In beliebigen normierten R"aumen gilt es jedoch nicht mehr,\label{suak} ein typisches Gegenbeispiel ist etwa die \glqq Konvergenz im quadratischen Mittel\grqq\ in \eref{SBHR}{AN3}. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung\label{ExeBR} $A:V\ra V$ definieren wir eine weitere lineare Abbildung $\exp(A):V\ra V$ als den Grenzwert der sogenannten {\bf Exponentialreihe}\index{Exponentialreihe!eines Endomorphismus} $$ \exp(A)= \sum_{k \in\DN} \frac{A^{k}}{k !}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} W"ahlen wir eine Norm auf $V$ und versehen den Raum $\op{End}V$ aller Endomorphismen von $V$ mit der Operatornorm, so gilt offensichtlich $\|A^k\|\leq \|A\|^k$ und unsere Familie ist summierbar nach \ref{BRak}, da sie n"amlich absolut summierbar ist bez"uglich dieser und dann bez"uglich jeder Norm. F"ur eine Operatornorm wie eben erh"alt man zus"atzlich die Absch"atzung $\|\op{exp}A\|\leq \op{exp}\|A\|$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{ExBR} Ist allgemeiner $V$ ein Banachraum und $A:V\ra V$ eine stetige lineare Abbildung, so kann man in derselben Weise eine stetige lineare Abbildung $\exp(A):V\ra V$ erkl"aren. Der Grenzwert ist in diesem Fall im Banachraum $ \cal{B}(V)\pdef \cal{B}(V,V)$\index{B@$\cal{B}(V)$!beschr"ankte Operatoren auf $V$} aller stetigen linearen Abbildungen von $V$ in sich selbst aus \ref{BRH} zu bilden. Die im Folgenden bewiesenen Aussagen verallgemeinern sich ohne Schwierigkeiten auf diesen Fall. Er ist f"ur die Quantenmechanik fundamental, denn die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator $H$ wird dadurch beschrieben, da"s ein Zustand $\psi$ in der Zeitspanne $t$ in den Zustand $\op{exp}({\op{i}}tH)\psi$ "ubergeht. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Die Exponentialabbildung wirft die Null auf die Identit"at, und sind $A,B$ zwei kommutierende Endomorphismen,\label{APB} gilt also in Formeln $AB = BA$, so folgt $$\exp (A + B) = (\exp A) (\exp B)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Insbesondere folgt $\exp (-A) = (\exp A)^{-1}$, die Exponentialabbildung ist mithin eine Abbildung von der Menge der Endomorphismen in die Menge der Automorphismen $\exp:\op{End}V\ra \op{Aut}V$. Die Aussage des Lemmas gilt ganz allgemein f"ur beliebige stetige Endomorphismen von Banachr"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Genau wie bei der Diskussion des Produkts absolut konvergenter Reihen in \ref{PvR} zeigt man zun"achst $$(\exp A) (\exp B)=\sum_{(i,j)\in \DN\times \DN}\frac{A^iB^j}{i!j!}$$ Dann fa"st man, im unendlichdimensionalen Fall unter Verwendung von \ref{ZZZ}, die Terme mit $i+j=k$ zusammen und landet wegen $AB=BA$ wie beim Beweis der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion \ref{FdE} bei der Reihe f"ur $\exp (A + B)$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Es gilt auch eine koordinatenfreie Variante von \ref{EKD}. Ist genauer $V$ ein Banachraum und $A:V\ra V$ eine stetige lineare Abbildung und $c\in V$ ein Vektor, so gibt es genau eine differenzierbare Abbildung $\gamma:\Bbb{R} \ra V$ mit $\gamma(0)=c$ und $\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t) \quad \forall t \in \Bbb{R}$, und diese Abbildung wird gegeben durch die Formel $$\gamma(t)=\exp(tA)c$$ Der Beweis verl"auft v"ollig analog zum Beweis von \ref{EKD}. Problematisch ist nur, da"s die Produktregel in der ben"otigten Allgemeinheit erst in \eref{PRm}{AN2} zur Verf"ugung gestellt wird. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Konvergiert eine Teilfolge einer Cauchyfolge, so konvergiert bereits die ganze Cauchyfolge, und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine abz"ahlbare Familie ist summierbar genau dann, wenn f"ur jede Abz"ahlung die Folge der Partialsummen konvergiert und f"ur je zwei Abz"ahlungen die entsprechenden Grenzwerte "ubereinstimmen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ und eine summierbare Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren von $V$ und eine stetige lineare Abbildung $L$ von $V$ in einen weiteren normierten Vektorraum ist auch die Bildfamilie summierbar und es gilt $$\sum_{i\in I} L(v_i)=L\left(\sum_{i\in I} v_i\right)$$ Analoges gilt auch allgemeiner f"ur beliebige \glqq abelsche Hausdorffgruppen\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{biLS} Gegeben normierte Vektorr"aume $V,W,X$ und eine stetige bilineare Abbildung $b:V\times W\ra X$ und summierbare Familien $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren von $V$ und $(w_i)_{j\in J}$ von Vektoren von $W$ ist auch die durch $I\times J$ indizierte Familie der $b(v_i,w_j)$ summierbar und es gilt $$\sum_{(i,j)\in I\times J} b(v_i,w_j) =b\left(\sum_{i\in I} v_i,\sum_{j\in J} w_j\right)$$ Analoges gilt auch allgemeiner f"ur beliebige \glqq abelsche Hausdorffgruppen\grqq. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s eine summierbare Familie in einem Banachraum h"ochstens abz"ahlbar viele von Null verschiedene Summanden haben kann. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} In allgemeinen \glqq Hausdorff'schen topologischen Vektorr"aumen\grqq\ kann es auch summierbare Familien mit "uberz"ahlbar vielen von Null verschiedenen Summanden geben. Ist zum Beispiel $X$ eine "uberz"ahlbare Menge mit ihrer diskreten Topologie und $\mathcal C (X,\mathbb R)$ der Raum der reellwertigen Funktionen auf $X$ mit seiner kompakt-offenen Topologie, so ist die Familie der charakteristischen Funktionen aller Punkte von $X$ summierbar mit der konstanten Funktion Eins als Summe. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge}\label{ZZZ} Gegeben eine summierbare Familie $(v_i)_{i\in I}$ in einem Banachraum zeige man, da"s auch jede Teilfamilie summierbar ist und da"s f"ur eine beliebig vorgegebene Zerlegung $I=\coprod_{k\in K}I(k)$ von $I$ in eine Vereinigung von paarweise disjunkten Teilmengen $I(k)$ gilt $$\sum_{i\in I} v_i=\sum_{k\in K}\left(\sum_{i\in I(k)} v_i\right)$$ Hinweis: Man beginne mit dem Fall, da"s $K$ endlich ist. Die Aussage gilt allgemeiner f"ur jede \glqq vollst"andige abelsche Hausdorffgruppe\grqq. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{ExpSr} F"ur jeden Banachraum $V$ ist $\exp : \cal{B}(V) \ra \cal{B}(V) $ stetig. Hinweis: \ref{GKom}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{U66} Sind $A,B$ stetige Endomorphismen von Banachr"aumen $V,W$ und ist $P:W\ra V$ stetig linear mit $AP = PB$, so gilt $(\exp A)P = P(\exp B)$. Ist insbesondere $P$ invertierbar, so gilt $\exp (P A P^{-1}) = P (\exp A) P^{-1}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VSToo} Gegeben eine Menge $D$ und ein vollst"andiger metrischer Raum $Y$ ist auch der Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,Y)$ aller beschr"ankten Abbildungen von $D$ nach $Y$ vollst"andig f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz \ref{MGK}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VSW} Gegeben ein topologischer Raum $D$ und ein vollst"andiger metrischer Raum $Y$ ist auch der Raum $\cal{C}_{\op{b}}(D,Y)$ aller stetigen beschr"ankten Abbildungen\index{C@$\cal{C}_{\op{b}}(D,Y)$ stetige beschr"ankte Abbildungen} von $D$ nach $Y$ vollst"andig f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz \ref{MGK}. Hinweis: Man verwende \ref{GKom}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VSWnn} Gegeben ein mehrpunktiges kompaktes Intervall $I\subset \DR$ und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ ist auch der Raum $\cal{C}^{1}(I,V)$ aller einmal stetig differenzierbaren Abbildungen von $I$ nach $V$ vollst"andig f"ur die Norm $\|\gamma\|_\infty +\|\gamma'\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz der Funktion und ihrer ersten Ableitung. Hinweis: Man verallgemeinere \ref{GKom} und verwende \ref{gli}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{FKHi} Es gibt eine {\bf stetige Surjektion vom Einheitsintervall $[0,1]$ auf das Einheitsquadrat $[0,1]^2$}.\index{Hilbert-Kurve} Um diese auf den ersten Blick verbl"uffende Tatsache einzusehen, unterteile man das Einheitsintervall in neun gleiche Abschnitte und das Einheitsquadrat in vier gleiche Quadrate und w"ahle irgendeinen Weg $[0,1]\ra [0,1]^2$, der den $2i$-ten Abschnitt in das $i$-te Quadrat abbildet, f"ur irgendeine Nummerierung der vier Quadrate. Dann unterteile man die $2i$-ten Abschnitte von eben jeweils in neun gleiche Unterabschnitte und die vier Quadrate von eben jeweils in vier gleiche Unterquadrate und "andere den Weg von eben auf den $2i$-ten Abschnitten von eben so ab, da"s sie immer noch im $i$-ten Quadrat landen und zus"atzlich die $2j$-ten Unterabschnitte des $2i$-ten Abschnitts im $j$-ten Unterquadrat des $i$-ten Quadrats landen, f"ur irgendeine Nummerierung dieser Unterquadrate. Indem man immer so weitermacht, erh"alt man eine gleichm"a"sig konvergente Folge von Abbildungen. Der Grenzwert dieser Folge ist die gesuchte Surjektion. Man zeige auch, da"s sie im Sinne von \ref{BOLL} unendliche L"ange hat. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{EuF} Man zeige die Identit"at \begin{equation*} \op{exp} \begin{pmatrix} 0 & \vartheta\\ -\vartheta &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\vartheta &-\sin\vartheta\\ \sin\vartheta & \cos\vartheta \end{pmatrix} \end{equation*} Hinweis: Es mag das Eleganteste sein, unsere Einbettung $\DC\hra \op{Mat}(2;\DR)$ heranzuziehen. \end{Ubung} \subsection{Integration von vektorwertigen Funktionen}\label{IvwF} \begin{Bemerkungl} Wir zimmern in diesem Abschnitt einen begrifflichen Rahmen, der nicht nur das Integrieren komplexwertiger Funktionen als Spezialfall umfa"st, sondern auch in nat"urlicher Weise unsere "Uberlegungen zum Differenzieren vektorwertiger Funktionen erg"anzt und uns in Zukunft noch in mancherlei Weise die Arbeit erleichtern wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $[a,b]\subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres kompaktes Intervall, $V$ ein reeller Vektorraum und $f:[a,b] \ra V$ eine Abbildung. Wir betrachten f"ur $ r \geq 1$ die "aquidistante Unterteilung $a = t_{0} \leq t_{1} \leq \ldots \leq t_{r} = b$ und definieren die {\bf $r$-te Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur vektorwertige Funktion} $S^r (f)\in V$ durch $$S^{r} (f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0} (t_{i+1}-t_{i}) f(t_{i}) = \left(\frac{b-a} {r}\right) \sum^{r-1}_{i=0} f(t_{i})$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen}] Ist $f:[a,b]\ra V$ eine stetige Abbildung von einem\label{IV} nichtleeren kompakten Intervall in einen Banachraum $V$, so existiert der Grenzwert der zugeh"origen Riemannsummen. Das als dieser Grenzwert erkl"arte \emph{\bf Integral}\index{Integral!stetige vektorwertige Funktion!"uber kompaktes Intervall} $$\int f = \int^{b}_{a} f = \int^{b}_{a} f(t) \;\diff t \pdef \lim_{r\ra \infty} S^{r} (f)$$ ordnet jedem $f$ einen Vektor $(\int f)\in V$ zu und hat die folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item F"ur alle $c\in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a} f=\int^{c}_{a}f + \int^{b}_{c}f$; \item Ist $f=v$ konstant ein $v \in V,$ so gilt $\int^{b}_{a} f(t) \;\diff t = \int^{b}_{a} v \; \diff t= (b-a)v$; \item Ist $W$ ein weiterer Banachraum und $\Lambda : V \ra W$ eine stetige lineare Abbildung, so gilt $$\int (\Lambda \circ f) = \Lambda \left(\int f\right)$$ \item\label{No} F"ur die Norm des Integrals gilt die Absch"atzung $\|\int f\| \leq \int \|f\|$; \item Im Fall $V=\DR$ reellwertiger Funktionen erhalten wir unser Integral aus \eref{DefII}{AN1} zur"uck. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sie m"ogen in diesem Satz die Regeln $\int \lambda f=\lambda\int f$ sowie $\int(f+g)=\int f+\int g$ f"ur stetige vektorwertige Funktionen $f,g$ und $\lambda\in\DR$ vermi"st haben. Sie folgen jedoch formal aus Teil 3. In der Tat d"urfen wir dort $\Lambda=(\lambda\cdot):V\ra V$ nehmen und auch $\Lambda:V\times V\ra V$ die Addition sowie die beiden Projektionen. So ergibt sich f"ur die $V\times V$-wertige Funktion $(f,g)$ zun"achst\label{lII} $\op{pr}_1 \int (f,g)=\int f$ und $\op{pr}_2 \int (f,g)=\int g$ und damit $\int (f,g)=(\int f,\int g)$ und durch Anwenden der Addition dann $\int(f+g)=\int f+\int g$. Etwas allgemeiner folgt die \glqq Komponentenregel\grqq\ $\int (f,g)=(\int f,\int g)$ auch f"ur $f,g$ mit Werten in verschiedenen endlichdimensionalen normierten Vektorr"aumen. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkunge} % Sind allgemein $\mathcal A$ eine additive Kategorie und % $F,G:\mathcal A\ra \op{Ab}$ additive Funktoren % und $v:\op{Ab}\ra\op{Ens}$ der Vergi"sfunktor % und $\tau:vF\RA vG$ eine Transformation, so m"ussen alle % $\tau_M:vFM\ra vGM$ bereits Gruppenhomomorphismen sein, % als da hei"st, wir haben $\tau=v\tilde\tau$ f"ur eine wohlbestimmte % Transformation $\tilde\tau:F\RA G$. Sind zus"atzlich $k$ ein Kring % und $\mathcal A$ eine additive $k$-lineare Kategorie % und $F,G:\mathcal A\ra \op{Mod}_k$ additive $k$-lineare Funktoren und $v:\op{Mod}_k\ra\op{Ens}$ der Vergi"sfunktor, so % haben wir analog $\tau=v\tilde\tau$ f"ur eine wohlbestimmte % Transformation $\tilde\tau:F\RA G$. Das Argument ist dasselbe % wie oben im Spezialfall $\mathcal A=\op{Mod}_k$ und $F:V\mapsto \mathcal C([a,b],V)$ und $G:V\mapsto V$ % und $\tau=\int$. %\end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrFr}\\[4mm] \noindent Der Graph einer reellwertigen Treppenfunktion. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrfr}\\[4mm] \noindent Der Graph einer reellwertigen Funktion $f$ und der zugeh"origen Treppenfunktion $f_7$ aus dem nebenstehenden Beweis, mit $I(f_7)$ der siebten Riemannsumme von $f$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis] Im Fall $a=b$ sind alle Riemannsummen Null und ihr Grenzwert existiert und ist auch Null. Wir d"urfen also im folgenden $a0$ gibt mit $d(f(x),f(y))\leq L d(x,y)$ f"ur alle $x,y$ im Ausgangsraum. Eine Abbildung zwischen metrischen R"aumen hei"st {\bf lokal lipschitzstetig},\index{lipschitzstetig!lokal} wenn jeder Punkt des Ausgangsraums eine Umgebung besitzt, auf der unsere Funktion lipschitzstetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildLiSt}\\[4mm] \noindent Die Restriktion auf die negative $x$-Achse der hier durch ihren Graphen dargestellten Funktion ist lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $1$, da sie an jeder Stelle den schraffierten verbotenen Bereich der entsprechen verschobenen Figur vermeidet. Die Begrenzungslinien haben darin als Steigung die Lipschitzkonstante, in diesem Fall die Steigung $1$. Die Restriktion auf die positive $x$-Achse ist zwar lipschitzstetig, aber mit einer gr"o"seren Lipschitzkonstante. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{SDLi} Nach \ref{Asc} ist jedes stetig differenzierbare Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines normierten Raums lokal lipschitzstetig, deshalb folgt der Satz "uber die Existenz und Eindeutigkeit im Fall stetig differenzierbarer Vektorfelder \ref{PiLi} aus der Version lokal lipschitzstetiger Vektorfelder \ref{PiLin}. Die Hauptlast des Beweises tr"agt das folgende Lemma \ref{HlLll}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Lokale Existenz und Eindeutigkeit}] Gegeben $X$ ein vollst"andiger normierter reeller Raum, $U \co X$ offen und $A: U \rightarrow \vec{X}$ ein beschr"anktes lipschitzstetiges Vektorfeld\label{HlLll} existieren zu jedem Anfangswert $p\in U$ Flu"swege von $A$ mit offenem Definitionsbereich, und je zwei Flu"swege $\gamma : I \rightarrow U$ und $\phi : J \ra U$ mit demselben Anfangswert stimmen f"ur hinreichend kleines $\varepsilon>0$ auf $I \cap J\cap [-\varepsilon,\varepsilon]$ "uberein. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{plp} Allgemeiner gilt das auch f"ur stetige beschr"ankte zeitabh"angige Vektorfelder $A: (-a,a)\times U \rightarrow \vec{X}$, die nur {\bf partiell lipschitzstetig}\index{lipschitzstetig!partiell} sind in dem Sinne, da"s es eine Konstante $L$ gibt mit $\|A(t,x)-A(t,y)\|\leq L\|x-y\|$ f"ur alle $t\in(-a,a)$ und $x,y\in U.$ Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe. Diese Variante ist insofern st"arker, als das Lemma beim "Ubergang \ref{DGSF} von zeitabh"angigen zu zeitunabh"angigen Vektorfeldern dieselbe Folgerung nur liefert unter der st"arkeren Annahme, da"s $A: (-a,a)\times U \rightarrow \vec{X}$ nicht nur \glqq partiell\grqq\ sondern \glqq auch in Bezug auf die erste Variable\grqq\ lipschitzstetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten f"ur ein beliebiges mehrpunktiges kompaktes reelles Intervall $K \subset \Bbb{R}$ mit $0\in K$ den affinen Raum $$\mathcal{C}_p (K,X)$$ aller stetigen Wege $\gamma : K \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$ und versehen seinen Richtungsraum $\mathcal{C}_0 (K,\vec{X})$ mit der Norm $ \|\; \|_\infty $ der gleichm"a"sigen Konvergenz. Nach \eref{VSW}{AN1} erhalten wir so einen vollst"andigen normierten Vektorraum. Nun betrachten wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge $\mathcal{C}_p (K,U)$ aller in $U$ verlaufenden Wege und die Abbildung $$\begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R}\times \mathcal{C}_p (K,U) & \rightarrow & \Bbb{R}\times \mathcal{C}_p(K,X)\\ &(\tau\;,\; \gamma) \;\;\;&\mapsto & \left(\tau, \gamma - \tau \int (A\circ \gamma)\right) \end{array}$$ Hierbei sei $\int:\mathcal{C}(K,\vec{X})\ra \mathcal{C}_0(K,\vec{X})$ gegeben durch $(\int \psi)(t)=\int_0^t\psi(s)\diff s$ mit unserem vektorwertigen Integral aus \ref{IVb}. Bezeichne $\kappa$ den konstanten Weg bei $p.$ Unter unserer Abbildung geht aufgrund der vektorwertigen Variante \ref{VHSS} des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung $(\tau, \gamma)$ nach $(\tau,\kappa )$ genau dann, wenn $\gamma : K\rightarrow U$ ein Flu"sweg des reskalierten Feldes $\tau A$ ist. Insbesondere haben wir $(0,\kappa) \mapsto (0,\kappa)$. Wir wenden nun den Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} an und zeigen genauer, da"s f"ur $\eta>0$ hinreichend klein und $K\subset [-1/4S,1/4S]$ mit $S>0$ einer oberen Schranke der Normen der Vektoren unseres Vektorfelds $A$ die Restriktion von $F\!-\!\op{id}$ auf $(-\eta,\eta)\times \mathcal{C}_p (K,U)$ kontrahierend ist. Dazu rechnen wir \begin{eqnarray*} \| (F\! -\!\op{id}) (\sigma,\psi) - (F\!-\! \op{id}) (\tau,\gamma)\| & =& \left\| \sigma \int A \psi - \tau \int A \gamma \right\|_\infty\\ &\leq & |\sigma - \tau | \left\| \int A \psi \right\|_\infty \!+ |\tau | \left\|\int A\psi - A \gamma \right\|_\infty\\ &\leq & |\sigma - \tau | (S/4S) + (\eta L /4S) \| \psi - \gamma \|_\infty\\[2mm] &\leq & |\sigma - \tau|/4 + \| \psi -\gamma\|_{\infty}/4\\[2mm] &\leq & (1/2) \| (\tau - \sigma, \gamma - \psi)\| \end{eqnarray*} falls im vorletzten Schritt $\eta > 0$ so klein ist, da"s gilt $\eta L / S < 1$. % In der Tat haben wir wegen der Absch"atzung % $\|A(\gamma(s))-A(\psi(s))\|\leq L\|\gamma(s)-\psi(s)\|$ % n"amlich % $$\left\|\tau\int(A\circ\gamma)-\tau\int(A\circ\psi)\right\|_\infty % \leq \tau L k \|\gamma-\psi\|_\infty$$ % f"ur $L$ die Lipschitzkonstante von $A$ und $k$ dem Supremum der % Betr"age der Elemente von $K,$ und wir m"ussen folglich % nur $\eta$ so klein w"ahlen, da"s gilt $\eta L k<1.$ Dann liefert uns der Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} wegen $F:(0, \kappa) \mapsto(0, \kappa) ,$ da"s es f"ur $\tau>0$ hinreichend klein genau ein Urbild $(\tau, \gamma_\tau)$ von $(\tau, \kappa)$ unter $F$ gibt, also genau einen Flu"sweg $\gamma_\tau:K\ra U$ des reskalierten Vektorfelds $\tau A$. Gehen wir etwa von $K=[-\beta,\beta]$ aus, so ist $\gamma(t)\pdef\gamma_\tau(\tau^{-1}t)$ ein auf $(-\tau\beta,\tau\beta)$ definierter Flu"sweg des Vektorfelds $A$ zu $p$ und die Existenzaussage des Lemmas ist gezeigt. Seien andererseits $\gamma : I \rightarrow U$ und $\phi : J \ra U$ Flu"swege mit demselben Anfangswert. Besteht $I\cap J$ nur aus dem Nullpunkt, so ist die Behauptung eh klar. Sonst gibt es $\alpha>0$ mit $I\cap J\cap[-\alpha,\alpha]$ mehrpunktig und kompakt und in $[-1/4S,1/4S]$ enthalten, und f"ur alle $\tau\in[0,1]$ sind die Abbildungen $t\mapsto \gamma(\tau t)$ und $t\mapsto \phi(\tau t)$ auf $I\cap J\cap[-\alpha,\alpha]$ definierte Flu"swege zu $p$ des reskalierten Vektorfelds $\tau A.$ F"ur hinreichend kleines $\tau>0$ gibt es aber nach dem, was wir gezeigt haben, nur einen derartigen Flu"sweg, und damit folgt auch die zweite Behauptung des Lemmas. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die allgemeinere Aussage \ref{plp} "uber lokale Existenz und Eindeutigkeit der Flu"swege f"ur partiell lipschitzstetige zeitabh"angige Vektorfelder folgt analog mithilfe der Abbildung $$F:(\tau,\gamma)\mapsto \left(\tau, \gamma - \tau \int_0^t A(\tau s,\gamma(s))\diff s\right)$$ \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of}] \begin{enumerate}\item Gegeben auf einer offenen Teilmenge eines vollst"andigen normierten reellen Raums ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld gibt es zu jedem Anfangswert einen gr"o"sten Flu"sweg; \item Dieser gr"o"ste Flu"sweg hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall, und ist besagtes Intervall nach oben beschr"ankt, so verl"a"st dieser gr"o"ste Flu"sweg f"ur positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer offenen Teilmenge irgendwann einmal endg"ultig. \end{enumerate} \label{PiLin} \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIK}\\[4mm] \noindent Ein gr"o"ster Flu"sweg, dessen Definitionsbereich nach oben beschr"ankt ist und die so jedes Kompaktum wie etwa $K$ oder $L$ irgendwann einmal endg"ultig verl"a"st. In diesem Fall w"are der Definitionsbereich nach unten unbeschr"ankt und unser Flu"sweg w"urde f"ur negative Zeiten gegen eine Nullstelle unseres Vektorfeldes konvergieren, die im Zentrum der Spirale liegt. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fl"usse von Vektorfeldern mit kompaktem Tr"ager}] Ein Flu"sweg eines lokal lipschitzstetigen Vektorfelds, der durch eine Nullstelle unseres Feldes geht, ist offensichtlich konstant. Jeder Flu"sweg, der durch eine Nichtnullstelle unseres Feldes geht, bleibt also f"ur alle Zeiten seines Definitionsbereichs in den Nichtnullstellen. Jeder Flu"sweg, der durch einen Punkt im Tr"ager unseres Feldes geht, bleibt mithin f"ur alle Zeiten seines Definitionsbereichs im Tr"ager unseres Feldes. Hat speziell unser Vektorfeld kompakten Tr"ager, so ist jeder maximale Flu"sweg auf ganz $\DR$ definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VfVf} Beim Beweis zeigen wir st"arker als in Teil 2 formuliert: Ist das Defini\-tionsintervall unseres gr"o"sten Flu"swegs nach oben beschr"ankt, so kann er nicht ab irgendeinem Zeitpunkt ganz innerhalb irgendeiner in unserem affinen Raum abgeschlossenen Teilmenge bleiben, die im Definitionsbereich unseres Vektorfelds enthalten ist und auf der unser Vektorfeld beschr"ankt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{plpp} Allgemeiner gilt unser Satz auch f"ur stetige zeitabh"angige Vektorfelder $A: U \rightarrow \vec{X}$ auf $U\co \DR\times X$, die nur {\bf lokal partiell lipschitzstetig} sind in dem Sinne, da"s jeder Punkt von $U$ eine offene Umgebung besitzt, in der sie im Sinn von \ref{plp} partiell lipschitzstetig sind. Der Beweis ist derselbe, man mu"s sich daf"ur nur auf \ref{plp} st"utzen. Diese Allgemeinheit ist insbesondere bei der Behandlung linearer Differentialgleichungen von Nutzen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s je zwei Flu"swege $\gamma,\psi$ mit demselben Anfangswert $p$ und demselben Definitionsintervall $I$ "ubereinstimmen. Wir zeigen nur, da"s sie auf $I\cap [0,\infty)$ "ubereinstimmen, f"ur $I\cap (-\infty,0]$ argumentiert man analog. Stimmen aber unsere Wege auf $I\cap [0,\infty)$ nicht "uberein, so w"are das Supremum $s$ "uber alle $t\in I$ mit $\gamma|[0,t]=\psi|[0,t]$ nicht das Supremum von $I.$ Wegen der Stetigkeit der Flu"swege g"alte $\gamma(s)=\psi(s),$ und nach der Eindeutigkeitsaussage in Lemma \ref{HlLll} mu"s dann auch gelten $\gamma|[0,t+\eta]=\psi|[0,t+\eta]$ f"ur ein positives $\eta,$ im Widerspruch zur Wahl von $s.$ Folglich stimmen je zwei Flu"swege mit Anfangswert $p$ auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche "uberein und es gibt genau einen gr"o"sten Flu"sweg mit Anfangswert $p$, dessen Definitionsbereich eben die Vereinigung der Definitionsbereiche aller Flu"swege zu $p$ ist. W"are dieser Definitionsbereich nicht offen, so enthielte er sein Supremum oder sein Infimum. Dann k"onnten wir jedoch um die Bilder dieser Grenzpunkte auch wieder Flu"swege mit offenem Definitionsbereich finden und \glqq ankleben\grqq\ und unser Flu"sweg w"are nicht maximal gewesen. Dieser Widerspruch zeigt, da"s unser gr"o"ster Flu"sweg offenen Definitionsbereich hat. Bezeichne schlie"slich $A$ unser Vektorfeld und $U\co X$ seinen Definitionsbereich. Ist $\gamma : [0,b) \rightarrow U$ ein Flu"sweg von $A$, dessen Bild in einem Kompaktum $M \subset U$ landet, so ist wegen $\dot{\gamma} (t) = A(\gamma (t))$ seine Geschwindigkeit $\| \dot{\gamma} (t)\|$ beschr"ankt auf $[0,b)$, mithin ist $\gamma$ lipschitzstetig und besitzt nach \eref{GSFo}{AN1} eine stetige Fortsetzung $\tilde{\gamma} : [0,b] \rightarrow M$. Die Integralform unserer Differentialgleichung zeigt dann sofort, da"s auch $\tilde{\gamma}$ ein Flu"sweg von $A$ sein mu"s. Mithin kann ein Flu"sweg mit nach oben beschr"anktem Definitionsbereich, die ganz in einem Kompaktum $M\subset U$ verl"auft, schon einmal nicht maximal sein. Wir erkl"aren nun noch, warum ein maximaler Flu"sweg mit nach oben beschr"anktem Definitionsbereich ab einem gewissen Zeitpunkt auch nicht mehr in ein vorgegebenes Kompaktum zur"uckkehren darf. Sicher besitzt unser Kompaktum $M$ eine endliche "Uberdeckung durch offene Teilmengen von $U,$ auf denen unser Vektorfeld jeweils lipschitzstetig ist. Mit \eref{dK}{AN1} finden wir auch ein $\varepsilon>0$ derart, da"s die Menge $N$ aller Punkte von $X$ mit Abstand $\leq \varepsilon$ zu einem Punkt von $M$ in der Vereinigung der Mengen dieser endlichen "Uberdeckung enthalten ist. Da unser Vektorfeld auch auf $N$ lipschitzstetig ist, hat unser Flu"sweg dann an allen Stellen aus $N,$ die er durchl"auft, eine gleichm"a"sig beschr"ankte Geschwindigkeit. Wann immer unser maximaler Flu"sweg einen Punkt aus $M$ durchl"auft, mu"s er also noch f"ur eine gewisse von diesem Punkt unabh"angige Zeitspanne innerhalb von $N$ weiterlaufen. Sind wir n"aher als diese Zeitspanne am oberen Ende des Definitionsbereichs unseres maximalen Flu"swegs, so kann unser Flu"sweg demnach keine Punkte aus $M$ mehr durchlaufen, da er ja wegen \ref{VfVf} nicht ab einem vorgegebenen Zeitpunkt in $N$ bleiben darf, und es sonst nicht mehr schaffen k"onnte, $N$ noch zu verlassen. \end{proof} \subsection{Lineare Differentialgleichungen} \begin{Satz}[\textbf{Homogene lineare Differentialgleichungen}] Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \Bbb{R}$, ein endlichdimensionaler\label{LLDa} reeller Vektorraum $ V $ und eine stetige Abbildung $M: I \rightarrow \op{End} V $ bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = M(t) \gamma (t) \quad \forall t \in I \end{equation*} einen Untervektorraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$, den \emph{\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum!einer linearen Differentialgleichung!allgemeiner Fall} unserer Differentialgleichung. Weiter ist f"ur jedes $t_0 \in I$ das Auswerten bei $t_0$ ein Vektorraumisomorphismus $\mathcal{L} \overset{\sim} {\rightarrow} V ,$ $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, der \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Es ist unmittelbar klar, da"s unter der Annahme, $M$ sei $k$-mal stetig differenzierbar, unsere L"osungen $\gamma$ sogar $(k+1)$-mal stetig differenzierbar sein m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch im Fall eines beliebigen Banachraums $V,$ wenn man statt dem Raum $\op{End} V$ aller Endomorphismen von $V$ den normierten Raum $\cal{B}(V)$ aller stetigen Endomorphismen von $V$ betrachtet. Wir m"ussen dann nur am Schlu"s des Beweises etwas sorgf"altiger argumentieren, etwa in dem Sinne, da"s eine auf $[0,b)$ definierte Flu"sweg nach den Absch"atzungen im Beweis gleichm"a"sig stetig w"are und sich nach \eref{GSFo}{AN1} stetig auf $[0,b]$ fortsetzen lie"se. Das Bild dieser stetigen Fortsetzung ist in diesem Fall wieder das gesuchte Kompaktum, das nicht verlassen wird, im Widerspruch zu \ref{plpp}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Explizite L"osung im eindimensionalen Fall}] Im eindimensionalen Fall $\op{dim}V=1$ oder der Einfachkeit halber noch besser $V=\DR$ haben wir in \ref{SepV} schon allgemeinere Differentialgleichungen explizit gel"ost. In diesem Fall ist $M$ eine reellwertige Funktion. Bezeichnen wir sie statt mit $M$ mit $h:I\ra\DR$ und bezeichnet $H:I\ra\DR$ eine Stammfunktion von $h$, so sind die L"osungen unserer Differentialgleichung $\gamma'(t)=h(t)\gamma(t)$ insbesondere schlicht die Funktionen $\gamma(t)=c\op{exp}(H(t))$ f"ur $c\in \DR$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Da"s unser L"osungsraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$ ein Untervektorraum ist und das Auswerten bei $t_0$ linear scheint mir beides offensichtlich. Es bleibt nur, Injektivit"at und Surjektivit"at des Auswertens zu zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir dazu $t_0 =0$ annehmen. Falls $I$ nicht offen ist, w"ahlen wir eine stetige Fortsetzung von $M$ auf ein offenes Intervall $J\supset I.$ Nun erf"ullt $\gamma : J\rightarrow V $ nach \ref{DGSF} unsere Differentialgleichung genau dann, wenn es ein Flu"sweg des zeitabh"angigen Vektorfelds $(t,v) \mapsto M(t) v$ auf $J \times V $ ist. Dies zeitabh"angige Vektorfeld ist lokal partiell lipschitzstetig im Sinne von \ref{plpp}, also besitzt es nach \ref{plpp} zu jedem Anfangswert h"ochstens einen auf $I$ definierten Flu"sweg, und das zeigt die Injektivit"at. F"ur den Beweis der Surjektivit"at reicht es zu zeigen, da"s jeder maximale Flu"sweg des zeitabh"angigen Vektorfelds $(t,v)\mapsto M (t) v$ mit Anfangswert $\gamma(t_0)=v_0$ auf ganz $J$ definiert ist. Sicher reicht es zu zeigen, da"s er bis zum oberen Ende von $J$ definiert ist. Sonst g"abe es aber $b \in J$ derart, da"s die L"osung nicht in positiver Richtung "uber $[0,b)$ hinaus fortgesetzt werden k"onnte. Es gibt jedoch $L$ mit $\| M(t)\| \leq L$ f"ur alle $t \in [0,b],$ daraus folgt f"ur $t\in [0,b)$ erst \begin{equation*} \| \gamma (t)\| = \left\| v_0 + \int_0^t M (\tau) \gamma (\tau) \diff \tau \right\| \leq \| v_0\| + L \int^t_0 \|\gamma (\tau)\| \diff\tau \end{equation*} und dann $\| \gamma (t)\| \leq \| v_0\| \op{e}^{Lt}$ nach dem Lemma von Gronwall \ref{Gronwall}. Dann w"are aber $\| \gamma (t)\|$ beschr"ankt auf $t\in [0,b)$, n"amlich durch $\|v_0\| \op{e}^{Lb}$, im Widerspruch zur letzten Aussage im Satz "uber die Existenz und Eindeutigkeit \ref{PiLin} oder genauer ihrem Analogon \ref{plpp} f"ur zeitabh"angige Vektorfelder. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Inhomogene lineare Differentialgleichungen}] Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \Bbb{R}$\label{LLD}, ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $ V $ sowie stetige Abbildungen $M: I \rightarrow \op{End} V $ und $f:I\ra V$, bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = M(t) \gamma (t) +f(t)\quad \forall t \in I \end{equation*} einen affinen Teilraum $\mathcal{L}_{\op{i}}\subset \op{Ens} (I, V )$ mit dem L"osungsraum der zugeh"origen linearen Gleichung als Raum von Richtungsvektoren. F"ur jedes $t_0 \in I$ definiert weiter das Auswerten bei $t_0$ eine Bijektion $\mathcal{L}_{\op{i}} \overset{\sim}{\rightarrow} V ,$ $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, den \emph{\bf Anfangs\-wert\-isomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Dies Korollar gilt wieder mit fast demselben Beweis auch im Fall eines beliebigen Banachraum $V$, wenn man statt dem Raum $\op{End} V$ aller Endomorphismen von $V$ den normierten Raum $\cal{B}(V)$ aller stetigen Endomorphismen von $V$ betrachtet. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Die Differenz von je zwei L"osungen der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der zugeh"origen homogenen Gleichung, und die Summe einer L"osungen der homogenen und einer L"osung der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der inhomogenen Gleichung. Damit bleibt nur zu zeigen, da"s die inhomogene Gleichung "uberhaupt eine L"osung besitzt. Das folgt "ahnlich wie im homogenen Fall und ohne weitere Schwierigkeiten aus unseren allgemeinen Prinzipien. Wir geben nun aber sogar eine L"osungsmethode an, die Methode der \defind{Variation der Konstanten}. Dazu w"ahlen wir eine Basis $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ des L"osungsraums der homogenen Gleichung und fassen sie zusammen zu einer L"osung $X: I\ra V^n=\op{Hom}(\DR^n,V)$ der homogenen linearen Differentialgleichung $$\dot{X} (t) = M(t) X (t)$$ f"ur Funktionen $I\ra \op{Hom}(\DR^n,V).$ Da die Werte von $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ an jeder Stelle eine Basis von $V$ bilden, ist $X (t)$ an jeder Stelle ein Vektorraumisomorphismus. Nun machen wir f"ur die L"osung unserer inhomogenen Gleichung den Ansatz $\gamma(t)=X (t)c(t)$ mit $c:I\ra \DR^n$ differenzierbar alias $\gamma(t)=c_1(t)\gamma_1(t)+\ldots +c_n(t)\gamma_n(t)$ und finden $$ \begin{array}{lll} \dot{\gamma} (t) &= &\dot{X} (t)c(t)+X (t)\dot{c}(t)\\[2mm] &= & M(t) X (t)c(t) +X (t)\dot{c}(t)\\[2mm] &= &M(t)\gamma (t) +X (t)\dot{c}(t) \end{array} $$ Unser Ansatz f"uhrt also zu einer L"osung der inhomogenen Gleichung genau dann, wenn gilt $X (t)\dot{c}(t)=f(t)$ alias $\dot{c}(t)=X^{-1} (t)f(t).$ Ein $c$ mit dieser Eigenschaft existiert aber ganz offensichtlich, eben das Integral der rechten Seite. \end{proof} % \begin{Ubung} % Man berechne die Entwicklung um den Nullpunkt bis zu % den Termen dritten Grades einschlie"slich f"ur die L"osung % mit Anfangswert ?? der Differentialgleichung ??. % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verhalten benachbarter Flu"swege}] Sei $X$ ein endlichdimensionaler\label{VbeNN} reeller Raum, $U \co X$ eine offene Teilmenge und $A : U \rightarrow \vec{X}$ ein lipschitzstetiges Vektorfeld mit Lipschitz-Konstante $L.$ Sind $\gamma_p, \gamma_q :[0,b] \rightarrow U$ Flu"swege zu Anfangswerten $p, q \in U$, so finden wir f"ur alle $t \in [0,b]$ die Absch"atzung \begin{eqnarray*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t) \| &=& \left\| p+ \int^t_0 A (\gamma_p (\tau) ) \diff \tau \;-q - \int^t_0 A (\gamma_q (\tau)) \diff \tau \right\|\\ &\leq & \| p-q\| + L \int^t_0 \| \gamma_p (\tau)- \gamma_q (\tau)\| \diff \tau \end{eqnarray*} und das Lemma von Gronwall \ref{Gronwall} liefert f"ur alle $t \in [0,b]$ die Absch"atzung \begin{equation*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t)\| \leq \| p-q\| \op{e}^{Lt} \end{equation*} Salopp gesprochen besagt diese Absch"atzung, da"s zwei Flu"swege in einem lipschitzstetigen Vektorfeld \glqq h"ochstens exponentiell auseinanderlaufen k"onnen\grqq. Man mag das Argument vom Schlu"s des Beweises des Satzes "uber homogene lineare Differentialgleichungen \ref{LLDa} vergr"obernd dahingehend zusammenfassen, da"s sich in diesem Fall eine beliebige L"osung h"ochstens exponentiell von der Null-L"osung entfernt und folglich nicht in endlicher Zeit ins Unendliche entweichen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{L"osungswachstum f"ur lineare Differentialgleichungen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $M:[b,c)\ra \op{End}V$ stetig. Bezeichne $\|\;\|$ eine Norm auf $V$ und die\label{LwDD} zugeh"orige Operatornorm auf $\op{End}V$. Erf"ullt $M$ die Absch"atzung $\|M(t)\|\leq S(t)$ f"ur ein stetiges $S: [b,c)\ra \DR_{>0}$ und ist $h:[b,c)\ra \DR$ eine L"osung der Differentialgleichung $h'(t)= S(t)h(t)$ zum Anfangswert $h(b)=1$, so gilt f"ur alle L"osungen $\gamma: [b,c)\ra V$ der Differentialgleichung $\gamma'(t)=M(t)\gamma(t)$ die Absch"atzung $$\|\gamma(t)\|\leq h(t) \|\gamma(b)\| \quad\forall t\in [b,c)$$ \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Die Aussage gilt allgemeiner und mit demselben Beweis, wenn $V$ ein beliebiger reeller Banachraum ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unsere Differentialgleichung kann umgeschrieben werden zur Integralgleichung \begin{equation*} \gamma (t) = \gamma (b) + \int^t_b M (\tau) \gamma (\tau) \diff \tau \end{equation*} So erhalten wir die Absch"atzung \begin{equation*} \| \gamma (t) \| < C + \int^t_b S(\tau)\| \gamma (\tau) \| \diff \tau \end{equation*} f"ur alle $t \in [b,c)$ und alle $C$ mit $C > \| \gamma (b) \|$. Das Integral definiert eine Funktion $g(t)$ mit $ g^\prime (t)= S(t)\| \gamma (t) \| \| \gamma (b) \|$ gilt, folgt die Proposition. \end{proof} \begin{Korollar*}\label{AbLw} Seien $b>0$ und $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $M:(0,b]\ra \op{End}V$ stetig. Bezeichne $\|\;\|$ eine Norm auf $V$ und die zugeh"orige Operatornorm auf $\op{End}V$. Erf"ullt $M$ die Absch"atzung $\|M(t)\|0}$, so gilt f"ur alle L"osungen $\gamma(t)$ der Differentialgleichung $\gamma'(t)=M(t)\gamma(t)$ die Absch"atzung $$\|\gamma(t)\|\leq \|\gamma(b)\| (b/t)^N$$ \end{Korollar*} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Nahe lineare Differentialgleichungen haben nahe L"osungen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler normierter $\DR$-Vektorraum und $b>0$. Seien $A,B:[0,b]\ra \op{End}V$ stetig mit durch $M>0$ beschr"ankter Operatornorm. F"ur L"osungen $\phi,\psi:[0,b]\ra V$ der Differentialgleichungen $\phi'(t)=A(t)\phi(t)$ und $\psi'(t)=B(t)\psi(t)$ mit demselben Anfangswert $v=\phi(0)=\psi(0)$ zeige\label{NDGF} man die Absch"atzung $$\|\phi(t)-\psi(t)\|\leq \op{exp}(t\|A-B\|_\infty\cdot \|v\| {\op{e}}^{Mb})$$ Hinweis: Man finde zun"achst mit \ref{VbeNN} Schranken f"ur die L"osungen und dann durch nochmalige Anwendung eine Schranke f"ur ihre Differenz. \end{Ubung} \subsection{L"osungen als Funktionen ihres Anfangswerts} \begin{Definition}\label{DFlu} Ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U$ eines normierten reellen Raums $X$ besitzt nach \ref{PiLi} zu jedem Anfangswert $q\in U$ einen gr"o"sten Flu"sweg $\gamma_q:I_q\ra U$. Wir erkl"aren seinen {\bf Flu"s}\index{Flu"s!von Vektorfeld} als die Abbildung $$\Phi:(t,q)\mapsto \gamma_q(t)$$ von der Menge $\tilde{U}\pdef\{(t,q)\in \DR\times U\mid t\in I_q\},$ dem {\bf Definitionsbereich des Flusses}, in den Definitionsbereich $U$ unseres Vektorfelds. Allgemeiner vereinbaren wir dieselbe Definition f"ur jedes Vektorfeld, das zu jedem Anfangswert einen gr"o"sten Flu"sweg besitzt. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{L"osungen als Funktionen ihres Anfangswerts}] Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{ALAW} auf einer offenen Teilmenge eines %vollst"andigen normierten endlichdimensionalen reellen Raums hat sein Flu"s offenen Definitionsbereich und ist ebenfalls glatt. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Auch dieser Satz gilt mit fast demselben Beweis allgemeiner f"ur jeden\label{ALAWk} Banachraum. Beim Beweis zeigen wir sogar, da"s f"ur jedes $\mathcal C^k$-Vektorfeld mit $k\geq 1$ sein Flu"s einen offenen Definitionsbereich hat und auch von der Klasse $\mathcal C^k$ ist. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Gegeben ein %vollst"andiger normierter endlichdimensionaler reeller Raum $X,$ eine offene Teilmenge $U\co X,$ ein $\cal{C}^k$-Vektorfeld $A : U \rightarrow \vec{X}$ mit $k\geq 1$ und ein Punkt $p \in U$ w"ahlen wir zun"achst offene Umgebungen $V \co U$ von $p$ und $W \co \vec{X}$ von Null mit $V +W \subset U.$ Weiter w"ahlen wir eine Norm auf $\vec X$. Dann betrachten wir f"ur ein mehrpunktiges kompaktes reelles Intervall $I \subset \Bbb{R}$ mit $0\in I$ den affinen Raum $$\mathcal{C}^1_p (I,X)$$ aller stetig differenzierbaren Wege $\gamma : I \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$. Seinen Richtungsraum $\mathcal{C}^1_0 (I,\vec{X})$ versehen wir mit der Norm $ \|\varphi \|_\infty + \| \varphi'\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach \ref{VSWnnc} erhalten wir so einen reellen Banachraum. Nun betrachten wir die Abbildung $$ \begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R} \times V \times \mathcal{C}^{1}_0 (I,W) &\rightarrow & \mathcal{C} (I,\vec{X})\\ &(\tau\;,\;q\;,\;\psi)\;\;\;&\mapsto & \psi'-\tau (A\circ (q+\psi)) \end{array} $$ Genau dann wird $(\tau,q,\psi)$ auf Null abgebildet, wenn $t\mapsto \gamma (t) = q + \psi (t)$ ein Flu"sweg des reskalierten Vektorfelds $\tau A$ zum Anfangswert $\gamma (0) =q$ ist. Nach Summenregel \ref{SuRe}, Produktregel \ref{PRm} und dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{SFd} ist $F$ differenzierbar mit Differential \begin{equation*} (\diff_{(\tau, q, \psi)} F) (h,v,\alpha) = \alpha' - h (A \circ (q +\psi)) - \tau ((\diff A) \circ (q + \psi, v +\alpha)) \end{equation*} Insbesondere gilt $(\diff_{(0,p,0)} F) (0,0,\alpha) = \alpha'$, und da $\alpha \mapsto \alpha'$ eine stetige und stetig umkehrbare Bijektion $\mathcal{C}^{1}_0 (I,\vec{X}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{C} (I, \vec{X})$ definiert und $F$ nach unserer Formel stetig differenzierbar ist, d"urfen wir den Satz "uber implizite Funktionen \ref{IFBR} anwenden. Er liefert uns ein Paar $(A_1, B_1)$ mit $(0,p) \in A_1 \co \Bbb{R} \times V$ und $0 \in B_1 \co \mathcal{C}^{1}_0 (I,W)$ derart, da"s es f"ur jedes $(\tau, q) \in A_1$ genau ein $\psi_{\tau,q} \in B_1$ gibt, f"ur das $\gamma_{\tau,q} = q + \psi_{\tau,q}$ ein auf $I$ definierter Flu"sweg des reskalierten Vektorfelds $\tau A$ mit Anfangswert $q$ ist. W"ahlen wir also etwa $I=[-1,1],$ so finden wir in $A_1$ eine offene Umgebung von $(0,p)$ der Gestalt $(-\eta,\eta)\times D,$ und daselbst ist dann auch der Flu"s definiert. Da Flu"swege unter Zeitverschiebung Flu"swege bleiben, zeigt das schon mal, da"s unser Flu"s einen offenen Definitionsbereich hat. Weiter ist $F$ nach obiger Formel f"ur sein Differential sogar von der Klasse $\cal{C}^k$ im Sinne von \ref{stdd}. Damit zeigt der Satz "uber implizite Funktionen mit den Resultaten und Definitionen von \ref{Habl} aber auch, da"s die Zuordnung $(\tau,q) \mapsto \gamma_{\tau,q}$ eine $\cal{C}^k$-Abbildung $(-\eta,\eta)\times D \rightarrow \mathcal{C}^{1} (I,U)$ ist. Verkn"upfen wir diese mit dem Auswerten an einer festen Stelle $t \in I\backslash 0,$ einer stetigen affinen Abbildung, und beachten $\gamma_{\tau,q}(t)= \gamma_{q}(\tau t)$, so folgt, da"s der Flu"s selbst eine $\cal{C}^k$-Abbildung ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SFd} Seien $X,Y$ normierte R"aume, $U \co X$ eine offene Teilmenge und $A:U \rightarrow Y$ stetig differenzierbar. F"ur jedes Kompaktum $K$ ist dann auch die Abbildung $(A \circ) : \mathcal{C} (K,U) \rightarrow \mathcal{C} (K,Y)$ differenzierbar und ihr Differential pa"st in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{C} (K,U) \times \mathcal{C} (K,\vec{X})\ar[d]^\wr \ar[r]^-{\op{d}(A\circ)} & \mathcal{C} (K,\vec{Y}) \ar@{=}[d]\\ \mathcal{C}(K,U \times \vec{X}) \ar[r]^-{(\diff A)\circ} & \mathcal{C} (K,\vec{Y}) } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier verstehen wir f"ur jeden normierten Raum $Z$ den Abbildungsraum $\mathcal{C} (K,Z)$ mit seiner Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz und identifizieren den Richtungsraum unseres Abbildungsraums in der hoffentlich offensichtlichen Weise mit $\mathcal{C}(K,\vec{Z})$. In der oberen Horizontalen meinen wir die Abbildung $(\gamma,\alpha)\mapsto (\op{d}_\gamma(A\circ))(\alpha)$ und in der unteren Horizontalen meint $\diff A$ entsprechend die Abbildung $\diff A : U \times \vec{X} \rightarrow \vec{X}$, $(x,v) \mapsto (\diff_x A) (v)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, an jeder Stelle $\gamma \in \mathcal{C}(K,U)$ die Differenzierbarkeit zu untersuchen und das Differential $\diff_\gamma (A \circ )$ zu bestimmen. Gegeben $\varepsilon > 0$ gibt es f"ur alle $x\in\gamma( K)$ ein gr"o"stes $\eta(x)=\eta_\varepsilon(x)\in (0,1)$ derart, da"s gilt $\op{B}(x;\eta(x))\subset U$ und \begin{equation*} \| x - z \| < \eta(x) \;\RA\; \| \diff_x A - \diff_z A\| \leq \varepsilon \end{equation*} Man erkennt unschwer, da"s $\eta:\gamma( K)\ra (0,1)$ stetig ist, ja sogar lipschitzstetig mit Lipschitz-Konstante Zwei. Sei $\delta=\delta_\varepsilon>0$ das Minimum von $\eta$ auf unserem Kompaktum $\gamma( K).$ F"ur $x \in \gamma(K)$ und $h \in \vec{X}$ mit $\| h\| \leq \delta$ liefert dann der Schrankensatz oder vielmehr sein Korollar \ref{Asc} die Absch"atzung \begin{equation*} \| A (x + h) - A(x) - (\diff_x A)(h) \| \leq \| h \| \varepsilon \end{equation*} F"ur jedes $\alpha : K \rightarrow \vec{X}$ mit $\| \alpha \| \leq \delta$ gilt also \begin{equation*} \| A \circ (\gamma + \alpha) - A \circ \gamma - (\diff A) \circ (\gamma , \alpha)\|\leq \|\alpha\|\varepsilon \end{equation*} Das war im wesentlichen die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Normalform eines Vektorfelds ohne Nullstelle}] Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{SFVV} auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, das an einer festen Stelle nicht verschwindet, ist unser Feld auf einer offenen Umgebung dieser Stelle unter einem Diffeomorphismus verwandt zu einem konstanten Feld. \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTLi}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Satz \ref{SFVV} zur lokalen Normalform eines Vektorfelds ohne Nullstelle \end{figure} \begin{Bemerkungl} In Koordinaten gesprochen hat also jedes Vektorfeld, da"s an einer vorgegebenen Stelle nicht verschwindet, in geeigneten lokalen Koordinaten $x_1,\ldots, x_n$ um diese Stelle die Gestalt $\frac{\partial}{\partial x_1}.$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $X$ unser Raum, $U\co X$ unsere offene Teilmenge, $A:U\ra \vec{X}$ unser Vektorfeld und $p\in U$ die vorgegebene Stelle. Wir w"ahlen $\vec{Y}\subset \vec{X}$ komplement"ar zur Geraden mit Richtungsvektor $A_p$ und w"ahlen einen Isomorphismus $L:\DR^{n-1}\sira \vec{Y}.$ Gegeben ein glattes Vektorfeld $A$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen affinen Raums schreiben wir im folgenden $A^t q$ f"ur die Stelle $A^t q\in U$, an der der Punkt $q\in U$ landet, wenn er sich f"ur die Zeitspanne $t$ mit dem Flu"s des Vektorfelds $A$ treiben l"a"st. Man zeigt m"uhelos, da"s f"ur hinreichend kleines $\varepsilon>0$ und eine hinreichend kleine Umgebung $W\co \DR^{n-1}$ des Ursprungs die Abbildung $(-\varepsilon,\varepsilon)\times W\ra U,$ $(t,\vec w)\mapsto A^t(p+L\vec w)$ sinnvoll definiert und ein Diffeomorphismus der gew"unschten Art ist. \end{proof} \subsection{Erg"anzung zu differentiellen Ungleichungen*} \begin{Lemma*}[\textbf{Nicht-strikte differentielle Ungleichungen}] Sei $U\co \DR^2$ offen und sei $K:U\ra \DR$ eine stetig differenzierbare Funktion. Seien $af(s)\}$$ zu $[a,b)$ und wir h"atten $g(t)=f(t)$. Wir setzen $y\pdef g(t)=f(t)$. F"ur jedes $(t,y)\in U$ gibt es nach Satz \ref{ALAW} "uber den Flu"s, genauer seiner Variante \ref{ALAWk} f"ur stetig differenzierbare Vektorfelder, positive $\varepsilon,\delta >0$ und $F:(t-\delta,t+\delta)\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)\ra \DR$ stetig differenzierbar mit $(s,F(s, z))\in U$ f"ur alle $(s,z)$ aus dem Definitionsbereich von $F$ und $k_z:s\mapsto F(s,z)$ einer L"osung der Differentialgleichung $k_z'(s)=K(s,k_z(s))$ mit Anfangswert $k_z(t)=z$ f"ur alle $z\in (y-\varepsilon, y+\varepsilon)$. Indem wir, um uns zus"atzliches Nachdenken zu ersparen, m"oglicherweise $\varepsilon$ und $\delta$ noch verkleinern, d"urfen wir sogar annehmen, da"s die Abbildung $\bar F:(s,z)\mapsto (s, F(s,z))$ offenes Bild $V\co U$ und eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion $\bar H:V\sira (t-\delta,t+\delta)\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)$ hat, die wir nat"urlich als $\bar H(s,u)=(s,H(s,u))$ schreiben k"onnen mit $H:V\ra\DR$. Nun k"onnen wir $\delta>0$ sogar so klein w"ahlen, da"s gilt $(s,f(s)),(s,g(s))\in V$ f"ur alle $s\in [t,t+\delta)$. Offensichtlich gilt $\partial_uF>0$ und dann auch $\partial_u H>0$ auf den jeweiligen Definitionsbereichen. Wir erreichen also bereits den gesuchten Widerspruch, wenn wir $H(s, g(s))\leq H(s,k_y(s))\leq H(s,f(s))$ zeigen f"ur $s\in [t,t+\delta)$. Es reicht, die erste Ungleichung zu zeigen. Nach Konstruktion von $H$ gilt $z=H(s,k_z(s))$ f"ur alle $(s,z)$. Damit m"ussen wir einerseits nur noch $H(s, g(s))\leq y$ zeigen f"ur $s\in [t,t+\delta)$, und andererseits erhalten wir $$0=\frac{\diff}{\diff s}H(s,k_z(s)) = \frac{\partial H}{\partial s}(s,k_z(s))+ \frac{\partial H}{\partial u}(s,k_z(s))k_z'(s)% = $$ alias $0=\frac{\partial H}{\partial s}(s,u)+ \left(\frac{\partial H}{\partial u}(s,u)\right)K(s,u)$ f"ur alle $(s,u)\in V$. Insbesondere haben wir $$ \begin{array}{lll} \frac{\diff}{\diff s}H(s,g(s)) &=& \frac{\partial H}{\partial s}(s,g(s))+ \frac{\partial H}{\partial u}(s,g(s))g'(s) \\[2mm]&\leq& \frac{\partial H}{\partial s}(s,g(s))+ \left(\frac{\partial H}{\partial u}(s,g(s))\right)K(s,g(s))=0 \end{array} $$ Daraus folgt aber sofort $H(s, g(s))\leq y$ f"ur $s\in [t,t+\delta)$. \end{proof} \newpage \section{Andere Reste} \label{SmV} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVFe} \\[4mm] \noindent Die Darstellung der Funktion $f:\DR^2\ra\DR^2$, $(x,y)\mapsto (y/4,x/4))$ als ebenes Vektorfeld. Als Abbildung der Ebene auf sich selber beschreibt sie eine Stauchung um den Faktor $4$ gefolgt von einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen $y=x$. \end{figure} \nichtfinal{Ab hier alter Kruscht!} \begin{Beispiele} \begin{enumerate}\item Eine Teilmenge $U\subset \bar\DR$ ist eine Umgebung von $p\in\DR$ genau dann, wenn es $\varepsilon >0$ gibt mit $p\in (p-\varepsilon,p+\varepsilon)\subset U$; \item Eine Teilmenge $U\subset \bar\DR$ ist eine Umgebung von $p=\infty$ genau dann, wenn es $N\in\DR$ gibt mit $(N,\infty]\subset U$; \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Beispiele} Das kompakte Intervall $[0,1]$ ist eine Umgebung, ja sogar eine Intervallumgebung von jedem Punkt aus dem offenen Intervall $(0,1)$, aber von keinem anderen Punkt der erweiterten reellen Zahlengeraden. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt zweier Umgebungen}] Offensichtlich ist der Schnitt von zwei Umgebungen ein- und desselben Punktes wieder eine Umgebung des besagten Punktes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Disjunkte Umgebungen verschiedener Punkte}] Offensichtlich besitzen je zwei verschiedene Punkte von $\bar\DR^n$ disjunkte Umgebungen.\label{REH} Gegeben $p,q\in \bar\DR^n$ mit $p\neq q$ gibt es also in Formeln eine Umgebung $U$ von $p$ und eine Umgebung $V$ von $q$ mit $U\cap V=\emptyset$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Datum bestehend aus einer Menge $X$, einer Teilmenge $D\subset X$ und einer Abbildung $f:D\ra Y$ in eine weitere Menge $Y$ notieren wir im folgenden abk"urzend\index{$f:X\supset D\ra Y$} $$f:X\supset D\ra Y$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $f : \bar{\Bbb{R}}^m\supset D \ra \bar{\Bbb{R}}^n$ eine Abbildung. Gegeben ein Punkt $p\in D$ hei"st unsere Abbildung {\bf stetig bei} $p$, wenn es f"ur\label{DeSt} jede Umgebung $U$ seines Bildes $f(p)$ eine Umgebung $U'$ unseres Punktes $p$ selbst gibt mit $$f(U'\cap D)\subset U$$ Unsere Abbildung hei"st {\bf stetig},\index{stetig!f"ur Abbildung auf $D\subset\bar{\DR}^m$} wenn sie stetig ist bei jedem Punkt $p\in D$ ihres Definitionsbereichs. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSTE}\\[4mm] \noindent In diesem Bild habe ich f"ur \emph{eine} Umgebung $U$ von $f(p)$ mal eine m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ eingezeichnet. Stetigkeit bei $p$ bedeutet jedoch sehr viel st"arker, da"s wir f"ur \emph{jede} Umgebung $U$ von $f(p)$ eine in der in \ref{DeSt} pr"azisierten Weise m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ finden k"onnen. Fett eingezeichnet ist auf der $x$-Achse der Definitionsbereich $D$ unserer Funktion $f$, der Punkt $p$ ist sein kleinstes Element. Auf dem Graphen von $f$ habe ich den Teil "uber $U'\cap D$ fett eingezeichnet, damit man gut sehen kann, da"s in der Tat gilt $f(U'\cap D)\subset U$. Unsere eigentlichen $U$ und $U'$ sind die Projektionen der so bezeichneten \glqq freischwebenden Intervalle\grqq\ auf die jeweiligen Koordinatenachsen, was ich versucht habe, durch die gestrichelten Linien anzudeuten. \end{figure} \begin{Bemerkunge} Alle Definitionen und Ergebnisse dieses Abschnitts, die nicht Summen oder Produkte verwenden, bleiben g"ultig und sinnvoll, wenn wir $\bar\DR$ durch eine allgemeinere angeordnete Menge ersetzen derart, da"s zwischen je zwei verschiedenen Punkten stets noch ein weiterer Punkt liegt. \end{Bemerkunge} \subsection{Topologische R"aume*} \nichtfinal{Wohin? "Ubungsmaterial!} \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierung offener Mengen durch Umgebungen}] Eine Teilmenge $Y\subset X$ eines topologischen Raums $X$ ist offen genau dann, wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist. \nichtfinal{Sp"ater!? Aber wo?} \end{Lemma} \begin{proof} Per definitionem ist eine offene Menge eine Umgebung eines jeden ihrer Punkte. Ist umgekehrt $Y\subset X$ eine Umgebung jedes Punktes $p\in Y$, so gibt es f"ur alle $p\in Y$ eine offene Menge $V_p\co X$ mit $p\in V_p\subset Y$. Es folgt $$Y=\bigcup_{p\in Y}V_p$$ und damit ist $Y$ offen als Vereinigung offener Teilmengen von $X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{SSOPnn} Die stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen $V,W$ nennt man auch {\bf beschr"ankte Operatoren},\index{Operator!beschr"ankter}\index{beschr"ankt!Operator} da sie nach \ref{SSSLA} genau die linearen Abbildungen sind, die den Einheitsball auf eine beschr"ankte Menge abbilden. Ich notiere die Menge aller stetigen linearen Abbildungen $\cal{B} (V,W)$\index{B@$\cal{B} (V,W)$ beschr"ankte Operatoren} oder auch $\cal{B}_\DR (V,W)$, \index{B@$\cal{B}_\DR (V,W)$ beschr"ankte Operatoren} wenn ich besonders betonen will, da"s reell-lineare Abbildungen gemeint sind und nicht etwa \glqq komplex-lineare\grqq\ Abbildungen, wie wir sie sp"ater f"ur gew"ohnlich betrachten werden. Ich werde die Notation $\cal{B}$ benutzen, die Terminologie jedoch vermeiden und nach M"oglichkeit von \defnoind{stetigen Operatoren}\index{Operator!stetiger} reden, da diese ja keineswegs beschr"ankte Abbildungen im Sinne von \ref{SSBeAb} zu sein brauchen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} F"ur je zwei Vektoren $v,w$ eines normierten Vektorraums gilt $\|v+w\|\geq|\|v\|-\|w\||$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein normierter Vektorraum $(V,\|\;\|)$ sind die folgenden Abbildungen stetig: Die Norm $\|\;\|:V\ra\Bbb{R}$, die Addition $V\times V\ra V$, und die Multiplikation mit Skalaren $\Bbb{R} \times V\ra V$. Ist unsere Norm die Skalarproduktnorm zu einem Skalarprodukt $V\times V\ra\Bbb{R}$, so ist auch dies Skalarprodukt stetig. Leser, die bereits mit komplexen Zahlen vertraut sind, zeigen Analoges auch f"ur komplexe Vektorr"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gruppenwege in normierten Vektorr"aumen}]\index{Gruppenweg!in normiertem Vektorraum} Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SSAGH} von der additive Gruppe der reellen Zahlen in die additive Gruppe eines normierten reellen Vektorraums sind genau die linearen Abbildungen. Hinweis: \ref{SSSRR}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jede stetige lineare Abbildung zwischen normierten Vektorr"aumen ist gleichm"a"sig stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SSSIn} Die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem Raum $X$ notiere ich $\cal{C}(X,\DR)$. \index{C@$\cal{C}(X,\DR)$ stetige reellwertige Funktionen auf $X$} Das $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ und franz"osisch \glqq continu\grqq. Man zeige: Versehen wir die Menge $\cal{C}([a,b],\Bbb{R})$ aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten reellen Intervall $[a,b]$ mit der Supremumsnorm, so wird das Integral $f\mapsto \int_a^b f(t)\diff t$ eine stetige Abbildung $\cal{C}([a,b],\Bbb{R})\ra\Bbb{R}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bezeichnet $\cal{C}^1([a,b],\Bbb{R})\subset \cal{C}([a,b],\Bbb{R})$ den Teilraum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen, so ist das Ableiten $f\mapsto f'$ \emph{keine} stetige Abbildung $\cal{C}^1([a,b],\Bbb{R})\ra \cal{C}([a,b],\Bbb{R})$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Menge $D$ und ein normierter Vektorraum $V$ erkl"are man auf dem Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,V)$ der beschr"ankten Abbildungen $D \ra V$ eine Norm derart, da"s die zugeh"orige Metrik die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz aus \ref{SSMGK} wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SSSMu} Sind $f:V\ra W$ und $g:W\ra X$ stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen, so gilt $\|g\circ f\|\leq \|g\| \|f\|$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{SSALSTm} Sind normierte Vektorr"aume $V_1,\ldots,V_n$ und $W$ gegeben und ist $f:V_1\times\ldots \times V_n\ra W$ eine stetige multilineare Abbildung, so hei"st die kleinstm"ogliche Konstante $C\geq 0$ wie in \ref{SSSML} die {\bf Norm}\index{Norm!von multilinearer Abbildung} von $f$ und wird notiert $$\|f\|\pdef\sup \{\|f(v_1,\ldots,v_n)\|\mid \|v_i\| \leq 1\}$$ Man zeige, da"s wir so eine Norm auf dem Vektorraum $\cal{B}(V_1,\ldots, V_n; W)$ aller stetigen multilinearen Abbildungen erhalten. Weiter zeige man: Die offensichtliche Abbildung liefert einen Isomorphismus von normierten R"aumen $$\cal{B}(V_1,\cal{B}(V_2,\ldots ,V_n; W))\sira \cal{B}(V_1,\ldots , V_n; W)$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{SSKRNo} Seien $V$ ein komplexer Vektorraum und $\| \; \|$ eine Norm als reeller Vektorraum, also $\| \lambda v \| = | \lambda | \|v \|\; \forall \lambda \in \mathbb R$. Wir nehmen an, da"s die Multiplikation mit komplexen Skalaren $\mathbb C \times V \rightarrow V$ stetig ist. Man zeige, da"s wir dann mit dem Supremum "uber komplexen Zahlen $\alpha$ auf dem Einheitskreis $\| v \|_c \pdef\sup_{|\alpha | = 1} \|\alpha v \|$ eine Norm $\| \; \|_c$ auf $V$ als komplexer Vektorraum erhalten, und da"s diese Norm "aquivalent ist zu unserer urspr"unglichen Norm. \end{Ubung} \subsection{"Uberdeckungen kompakter metrischer R"aume*} \begin{Definition} Sei $X$ eine Menge. Unter einer \defind{"Uberdeckung} von $X$ versteht man ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $X$, in Formeln ausgedr"uckt $X= \bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Unter einer \defind{Teil"uberdeckung} einer "Uberdeckung $\cal{U}$ versteht man ein Teilsystem $\cal{V}\subset \cal{U}$, das auch selbst schon eine "Uberdeckung ist. \end{Definition} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=12cm]{SkriptenBilder/BildUb}\\[4mm] \noindent Eine "Uberdeckung eines Quadrats durch vier Kreisscheiben \end{figure} \begin{Definition} Unter einer {\bf offenen "Uberdeckung}\index{offene "Uberdeckung} eines metrischen Raums oder allgemeiner eines topologischen Raums versteht man eine "Uberdeckung, die aus offenen Teilmengen besteht. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Kompaktheit und offene Mengen}] Ein metrischer Raum ist folgenkompakt genau dann, wenn jede offene "Uberdeckung unseres Raums\label{SSKO} eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich hoffe, da"s Sie im weiteren Verlauf dieser Vorlesung noch sehen werden, wie wichtig diese Charakterisierung der Kompaktheit ist. Im Kontext topologischer R"aume wird Satz \ref{SSKO} sogar die Definition der Kompaktheit. Sie ist so wichtig, da"s ich sie nicht im Flie"stext verstecken will. Eine ausf"uhrlichere Diskussion des Begriffs geben wir in \eref{aKoR}{AN3} und sehr "ahnlich auch in \eref{KoR}{TM}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} % \eref{DeKom}{ML}: Ein topologischer Raum hei"st {\bf kompakt}\index{kompakt!topologischer Raum} und manchmal auch ausf"uhrlicher {\bf "uberdeckungskompakt},\index{"uberdeckungskompakt} wenn jede offene "Uberdeckung unseres Raums\label{SSkoTO} eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In dieser Terminologie besagt unser Satz \ref{SSKO}, da"s ein metrischer Raum genau dann folgenkompakt ist, wenn er "uberdeckungskompakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Nennen wir einen topologischen Raum kompakt, so meinen wir a priori "uberdeckungskompakt. Topologische R"aume mit der Eigenschaft, da"s jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, hei"sen dahingegen \defind{folgenkompakt}. In der franz"osischen Literatur ist eine abweichende Terminologie "ublich: Unsere "uberdeckungskompakten oder kurz kompakten topologischen R"aume hei"sen dort \defind{quasikompakt}, und \glqq kompakt\grqq\ meint dort \glqq "uberdeckungskompakt und Hausdorff\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ein Beispiel f"ur einen folgenkompakten aber nicht "uberdeckungskompakten topologischen Raum finden Sie in \eref{GFKl}{TM} oder \eref{FKNU}{AL}. \nichtfinal{Ein Beispiel f"ur einen "uberdeckungskompakten aber nicht folgenkompakten topologischen Raum finden Sie in \eref{GFBV}{WB}.} Besitzt ein "uberdeckungskompakter topologischer Raum die zus"atzliche Eigenschaft, da"s man f"ur jeden seiner Punkte eine Folge von Umgebungen derart finden kann, da"s jede seiner Umgebungen mindestens eine Umgebung dieser Folge umfa"st, so ist er auch folgenkompakt mit demselben Argument, wie wir es im Beweis des Satzes verwenden. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{SSKO}] Sei $X$ ein metrischer Raum. Ist $X$ nicht folgenkompakt, so finden wir in $X$ eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Dann besitzt jeder Punkt von $X$ eine offene Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enth"alt, und alle diese offenen Umgebungen bilden eine offene "Uberdeckung von $X$ ohne endliche Teil"uberdeckung. Das zeigt die eine Richtung. Den Beweis der anderen Richtung beginnen wir mit einem Lemma, das auch f"ur sich genommen oft hilfreich ist. \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckungssatz von Lebesgue}] Ist $X$ ein folgenkompakter metrischer Raum und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung\label{SSUbL} von $X$, so gibt es $\varepsilon > 0$ derart, da"s f"ur alle Punkte $x\in X$ der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um $x$ ganz in einer der "uberdeckenden offenen Mengen $U\in\cal{U}$ enthalten ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] G"abe es kein solches $\varepsilon > 0$, so k"onnten wir f"ur jedes $n\in\DN_{\geq 1}$ einen Punkt $x_n\in X$ finden derart, da"s $\op{B}(x_n;1/n)$ in keinem $U\in\cal{U}$ enthalten w"are. Durch "Ubergang zu einer Teilfolge k"onnten wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s die Folge der $x_n$ konvergiert, etwa gegen $x\in X$. Nun finden wir jedoch ein $U\in\cal{U}$ mit $x\in U$ und dazu $\rho>0$ mit $\op{B}(x;\rho)\subset U$ und dazu $N$ mit $d(x_N,x)<\rho/2$ und $1/N<\rho/2$, und dann g"alte $\op{B}(x_N;1/N)\subset\op{B}(x_N;\rho/2)\subset\op{B}(x;\rho)\subset U$ im Widerspruch zur Wahl der $x_n$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Man betrachte die Funktion $f:X\ra\DR_{>0}$ gegeben durch die Vorschrift $$f(x)\pdef\op{sup}\{r\leq 1\mid \text{Es gibt $U\in\cal{U}$ mit $\op{B}(x;r)\subset U$}\}$$ Die Dreiecksungleichung liefert $|f(x)-f(y)|\leq d(x,y)$, insbesondere ist $f$ stetig. Sicher d"urfen wir $X\neq \emptyset$ annehmen. Dann nimmt $f$ nach \ref{SSFKM} sein Minimum an und jede positive Zahl echt unterhalb dieses Minimums ist ein m"ogliches $\varepsilon$. \end{proof} \noindent Um die andere Implikation im Satz zu zeigen sei nun $X$ folgenkompakt und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Es gilt zu zeigen, da"s sie eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. W"ahlen wir zu unserer "Uberdeckung $\cal{U}$ ein $\varepsilon$ wie im "Uberdeckungssatz \ref{SSUbL}, so reicht es auch zu zeigen, da"s es eine endliche Teilmenge $E \subset X$ gibt mit $$X = \bigcup_{x \in E} \op{B}(x;\varepsilon)$$ In der Tat liegt ja der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um ein beliebiges $x \in X$ nach Wahl von $\varepsilon$ schon in einem der $U\in\cal{U}$. G"abe es aber f"ur ein $\varepsilon > 0$ keine endliche "Uberdeckung von $X$ durch $\varepsilon$-B"alle, so k"onnten wir induktiv eine Folge $(x_{n})_{n \in \DN}$ konstruieren mit $x_{n}\not\in \bigcup_{0\leq\nu < n} \op{B}(x_{\nu};\varepsilon)$ f"ur alle $n$, also $d(x_{n},x_{m}) \geq \varepsilon$ f"ur $n \neq m$, und diese Folge k"onnte keine konvergente Teilfolge haben, im Widerspruch zur Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine Menge. Unter einer {\bf "Uberdeckung einer Teilmenge}\index{"Uberdeckung!einer Teilmenge} $Y\subset X$ durch Teilmengen von $X$ versteht man ein Mengensystem $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ mit $Y\subset\bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Nach unseren Definitionen ist eine Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ kompakt f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn jede "Uberdeckung von $Y$ durch offene Teilmengen von $X$ eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtleere Schnitte in Kompakta}] Ist in einem kompakten topologischen Raum $X$ ein System abgeschlossener Teilmengen $\cal{K}\subset \cal{P}(X)$ mit\label{SSSkoa} leerem Schnitt $\bigcap_{K\in\cal{K}} K=\emptyset$ gegeben, so gibt es bereits ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{K}$ mit leerem Schnitt $\bigcap_{K\in \cal{E}} K=\emptyset$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Satz\index{Dini, Satz von} von Dini}] Eine monoton wachsende Folge stetiger reellwertiger Funktionen auf einem kompakten Raum,\label{SSDini} die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, konvergiert sogar gleichm"a"sig. Hinweis: \ref{SSSkoa}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Abbildung kompakt ist f"ur die Spurtopologie. Insbesondere ist jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum beschr"ankt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{SSRABB} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen "Uberdeckung $\mathcal U$ zeige man: Eine Teilmenge $Y$ unseres Raums ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit jeder Teilmenge unserer "Uberdeckung abgeschlossenen Schnitt hat, in Formeln $$Y\As X\;\;\IFF \;\; (Y\cap U)\As U\;\forall U\in\mathcal U$$ Die fraglichen Schnitte sollen hierbei abgeschlossen sein in $U$, nicht in $X$. \end{Ubunge} \subsection{Integrale mit Parametern*} \begin{Satz}[\defnoind{"uber Integrale mit Parametern}]\label{SSPI} Gegeben ein metrischer Raum $X$ und eine stetige Funktion $f: X \times [a,b] \ra \Bbb{R}$ ist auch die Funktion $ X \ra \Bbb{R}$, $x\mapsto \int^{b}_{a} f(x,t) \diff t $ stetig. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich zeige diesen Satz in gro"ser Allgemeinheit als Anwendung unserer neuen Charakterisierung der Kompaktheit und als Illustration f"ur die Kraft der allgemeinen Theorie metrischer R"aume. Ist $X$ offen oder abgeschlossen in einem $\DR^n$, so kann man auch elementarer mit der gleichm"a"sigen Stetigkeit argumentieren. Diesen Beweis gebe ich als Alternative auch noch an. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Versehen wir den Raum $\cal{C}( [a,b],\Bbb{R})$ aller stetigen reellwertigen Funktionen auf $[a,b]$ mit der Supremumsnorm, so ist nach dem gleich folgenden Satz \ref{SSPII} die von $f$ induzierte Abbildung $\tilde{f}:X\ra \cal{C}( [a,b],\Bbb{R})$, $x\mapsto f(x,\;)$ stetig. Nach "Ubung \ref{SSSIn} ist weiter das Integrieren $\int:\cal{C}( [a,b],\Bbb{R})\ra\DR$ stetig. Damit ist unsere Abbildung $\int\circ \tilde{f}:X\ra\DR$ stetig als eine Verkn"upfung stetiger Abbildungen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{SSTopD} Den Raum aller stetigen Abbildungen von einem kompakten Raum $X$ in einen metrischen Raum $Y$, versehen mit der Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz, wird $\cal{C}(X,Y)$ notiert.\index{C@$\cal{C}(X,Y)$ Raum stetiger Abbildungen} Das $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ und franz"osisch \glqq continu\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Stetige Abbildungen in Abbildungsr"aume}] Seien $X,Y$ und $K$ metrische R"aume.\label{SSPII} Ist $K$ kompakt, so ist eine Abbildung $f:X\times K\ra Y$ stetig genau dann, wenn die induzierte Abbildung $\tilde{f}:X\ra \cal{C}(K,Y)$ stetig ist f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz auf $\cal{C}(K,Y)$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da"s aus der Stetigkeit von $\tilde{f}$ die Stetigkeit von $f$ folgt, sieht man ohne weitere Schwierigkeiten. Wir zeigen nun die andere Richtung und m"ussen die Stetigkeit von $\tilde{f}$ an jeder Stelle $p \in X$ nachweisen. Sei diese Stelle $p$ ab jetzt fest gew"ahlt und sei $\varepsilon >0$ gegeben. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ gibt es f"ur jedes $s \in K$ ein $\delta_{s} > 0$ mit $$f\op{B}((p,s);\delta_{s}) \subset\op{B}( f(p,s); \varepsilon)$$ Nun gilt f"ur unsere Metrik auf $X\times K$ ja $\op{B}((p,s);\delta)=\op{B}(p;\delta)\times\op{B}(s;\delta)$ und nach \ref{SSKO} gibt es eine endliche Teilmenge $E\subset K$ mit $K \subset \bigcup_{s\in E} \op{B}(s;\delta_{s})$. \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildXK}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Satz \ref{SSPII}. Die mit gestrichelten R"andern eingezeichneten Quadrate sind so gew"ahlt, da"s unsere Abbildung $f$ auf jedem Quadrat h"ochstens um den Abstand $\varepsilon$ von ihrem Wert im Zentrum des jeweiligen Quadrats abweicht. Die gepunktelten Linien begrenzen einen Streifen der Breite $2\eta$, in dem unsere Funktion auf jeder Vertikalen h"ochstens um $2\varepsilon$ von ihrem Wert am Schnittpunkt der besagten Vertikalen mit der fett eingezeichneten Horizontalen abweicht. \end{figure} F"ur $\eta =\min_{s\in E } \delta_s$ behaupten wir dann $$x\in \op{B}(p;\eta)\; \Rightarrow\; d(f(x,t), f(p,t) )< 2\varepsilon \;\;\forall t\in K$$ In der Tat finden wir f"ur jedes $t\in K$ ein $s\in E$ mit $t \in \op{B}(s;\delta_{s})$ und f"ur dies $s$ liegen $(p,t)$ und $(x,t)$ beide in $\op{B}((p,s);\delta_{s})$. Damit ist die Stetigkeit von $\tilde{f}$ bei $p$ gezeigt. \end{proof} \subsection{Vorschl"age zur Veranschaulichung} \begin{Bemerkungl} Eine Abbildung $f: \Bbb{R}^n \ra \Bbb{R}^{m}$ schreiben wir in der Form $$(x_{1}, \ldots, x_{n})\mapsto \left(f_{1} (x_{1},\ldots , x_{n}), \ldots , f_{m} (x_{1}, \ldots , x_{n})\right)$$ oder abk"urzend $f=(f_{1},\ldots,f_{m})$. Man kann sich derartige Abbildungen auf die verschiedensten Arten vorstellen. \begin{enumerate} \item Den Fall $n =m=1$ hatten wir schon in \ref{VSTE} ausf"uhrlich behandelt und sogar etwas allgemeiner m"ogliche Interpretationen einer Abbildung von $\DR$ in einen beliebigen Raum beziehungsweise von einem beliebigen Raum nach $\DR$ besprochen. Erstere kann man sich etwa veranschaulichen als Beschreibung der Bewegung eines Teilchens in besagtem Raum, letztere als eine Temperaturverteilung auf besagtem Raum. \item Im Fall $n + m =3$ kann man sich die Abbildung $f$ "ahnlich wie im Fall $n=m=1$ durch ihren Graphen $\Gamma(f) = \{(x, f(x)) \mid x \in \DR\} \subset \Bbb{R}^{3}$ beziehungsweise $\Gamma(f) = \{(x,y, f(x,y)) \mid x,y \in \DR\} \subset \Bbb{R}^{3}$ veranschaulichen. Der Graph einer Funktion $f: \Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$ ist anschaulich eine h"ugelige Landschaft. Der Graph einer Abbildung $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^{2}$ sieht aus wie ein Draht im $\Bbb{R}^{3}$ mit genau einem Punkt f"ur jede vorgegebene $x$-Koordinate. Zum Beispiel ist der Graph jeder konstanten Abbildung $\DR\ra\DR^2$ eine Parallele zur $x$-Achse und der Graph jeder konstanten Abbildung $\DR^2\ra\DR$ eine \glqq vollst"andig platte Landschaft\grqq\ alias eine zur $(x,y)$-Ebene parallele Ebene. \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildNiveauA} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildNiveauB}\\[4mm] \noindent Die Niveaulinien und der Graph der Funktion $f:\DR^2\ra\DR$, $(x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2}$. Der Graph dieser Funktion hat die Gestalt einer Eist"ute mit dem "Offnungswinkel $90^\circ$, die mit ihrer Spitze senkrecht auf den Ursprung in der $xy$-Ebene steht. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildBSp} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildGSp}\\[4mm] \noindent Die Darstellung als bewegtes Teilchen und der Graph der Funktion $f:\DR\ra\DR^2$, $z\mapsto (\op{cos}(2\pi z/(0,4)), \op{sin}(2\pi z/(0,4)))$. Anders als im Text haben wir hier eine Funktion der $z$-Koordinate dargestellt. \end{figure} \item Eine Funktion $f:\DR^2\ra\DR$ kann man auch graphisch darstellen, indem man auf der Ebene $\DR^2$ die \defind{Niveaulinien} einzeichnet, die im Bild der H"ugellandschaft die H"ohenlinien in einer Landkarte f"ur unsere Landschaft w"aren, in Formeln die Mengen $\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}$ f"ur verschiedene, meist "aquidistant gew"ahlte $c\in \DR$. Auch eine Funktion $f:\DR^3\ra\DR$ kann man sich noch mithilfe ihrer analog definierten \defind{Niveaufl"achen} vorstellen, aber mit dem Zeichnen wird es dann schon schwierig. \item Eine Funktion $f:\DR^n\ra\DR^n$ kann man sich vorstellen als ein Vektorfeld, jedem Punkt $x \in \Bbb{R}^{n}$ wird ja in der Tat ein Vektor $f(x) \in \Bbb{R}^{n}$ zugeordnet. \item Es ist auch oft n"utzlich, sich $f$ wirklich als eine Abbildung vorzustellen. Die Abbildung $x\mapsto (x,x)$ ist in diesem Bild zum Beispiel die diagonale Einbettung der Zahlengerade in die Ebene, und $(x,y)\mapsto (y,x)$ ist die Spiegelung am Bild unserer diagonalen Einbettung. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will den Begriff der Stetigkeit nun im allgemeineren Rahmen der sogenannten \glqq metrischen R"aume\grqq\ diskutieren, bei dem die bisherige stark von Koordinaten abh"angige Darstellung von einer mehr abstrakt-geometrischen Sichtweise abgel"ost wird. Dieser koordinatenfreie Zugang ben"otigt zwar einen gr"o"seren begrifflichen Aufwand, aber ich denke, dieser Aufwand lohnt, und zwar aus den folgenden Gr"unden: Erstens umfa"st unser Rahmen so auch unendlichdimensionale R"aume wie zum Beispiel die f"ur die Quantenmechanik wichtigen Hilbertr"aume. Zweitens treten in meinen Augen auch schon im endlichdimensionalen Kontext die Zusammenh"ange bei einer koordinatenfreien Behandlung klarer hervor. Man kennt das aus der Physik: Rechnet man wie "ublich mit Einheiten, die ja mathematisch schlicht Basen eindimensionaler Vektorr"aume sind, so treten auch die Konsistenz und der Sinn physikalischer Formeln viel klarer zu Tage, als wenn man mit blo"sen Zahlen arbeitet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur die Einf"uhrung topologischer R"aume}] Der Begriffsapparat der topologischen R"aume wird erst sp"ater unumg"anglich werden, in der f"ur diese Vorlesungen vorgesehenen Entwicklung der Theorie erst bei der Diskussion von abstrakten Mannigfaltigkeiten in \eref{kGer}{ML} folgende. Da"s ich dennoch bereits hier mit einer ersten Einf"uhrung beginnen will, hat mehrere Gr"unde. Zum Ersten erlaubt dieser Begriffsapparat eine gro"se Vereinheitlichung: Zum Beispiel k"onnen in diesem Rahmen alle bisher betrachteten Grenzwertbegriffe unter einen Hut gebracht werden, wie in \ref{GFMt} ausgef"uhrt wird. Zum Zweiten erlaubt er es, den Begriff der Stetigkeit im Kontext endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume sehr direkt zu fassen, indem man eben jeden derartigen Raum mit seiner \glqq nat"urlichen Topologie\grqq\ aus \ref{RAVe} versieht. Sobald das einmal getan ist, kann man auch in diesem Kontext mit Stetigkeit arbeiten, ohne Koordinaten zu ben"otigen. Und zum Dritten scheint es mir auch unabh"angig davon wichtig, da"s Sie beizeiten mit diesem Begriffsapparat vertraut werden, der die ganze Mathematik durchdringt: Um ihn an einfachen Beispielen einzu"uben, will ich deshalb alles, was in dieser Vorlesung ohne gro"se Umwege in der Allgemeinheit topologischer R"aume formuliert und bewiesen werden kann, auch in diesem Rahmen formulieren und beweisen. Vielfach werden die Aussagen und Beweise dadurch sogar einfacher, und ich denke, dieser Vorteil wiegt zum Teil bereits die zus"atzlichen Schwierigkeiten auf, die durch das Erlernen dieses neuen Begriffsapparats und seiner Beziehungen zu den prim"aren Zielen der Vorlesung entstehen. Ich beginne mit Vor"ubungen zur Mengenlehre. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXResteAN1" %%% End: