%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Algebraische Grundbegriffe} Auf der Schule versteht man unter einer \glqq reellen Zahl\grqq\ meist einen unendlichen Dezimalbruch, wobei man noch aufpassen mu"s, da"s verschiedene unendliche Dezimalbr"uche durchaus dieselbe reelle Zahl darstellen k"onnen, zum Beispiel gilt in den reellen Zahlen ja $$0,999\ldots = 1,000\ldots$$ Diese reellen Zahlen werden dann addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert ohne tiefes Nachdenken dar"uber, wie man denn zum Beispiel mit den eventuell unendlich vielen "Ubertr"agen bei der Addition und Subtraktion umgehen soll, und warum dann Formeln wie $(a+b)-c = a+(b -c)$ wirklich gelten, zum Beispiel f"ur $a=b=c=0,999\ldots.$ Dieses tiefe Nachdenken wollen wir im Folgenden vom Rest der Vorlesung abkoppeln und m"ussen dazu sehr pr"azise formulieren, welche Eigenschaften f"ur die Addition, Multiplikation und Anordnung in \glqq unseren\grqq\ reellen Zahlen gelten sollen: In der Terminologie, die in den folgenden Abschnitten eingef"uhrt wird, werden wir die reellen Zahlen charakterisieren als einen angeordneten K"orper, in dem jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke sogar eine gr"o"ste untere Schranke besitzt. Von dieser Charakterisierung ausgehend erkl"aren wir dann, welche reelle Zahl ein gegebener unendlicher Dezimalbruch darstellt, und errichten das Geb"aude der Analysis. Um die Charakterisierung verst"andlich zu machen, f"uhren wir zun"achst einige grundlegende algebraische Konzepte ein, die Ihnen im ganzen Studium noch oft begegnen werden. \subsection{Mengen mit Verkn"upfung}\label{MVk} \begin{Definition} Eine {\bf Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge $A$}\index{Verkn"upfung auf einer Menge} ist eine Abbildung $$\begin{array}{cccc} \top :& A \times A&\ra& A\\ &(a,b) &\mapsto& a \top b \end{array}$$ die also jedem geordneten Paar $(a,b)$ mit $a,b\in A$ ein weiteres Element $(a\top b)\in A$ zuordnet. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{Verk} \begin{enumerate} \item Die Addition auf den ganzen Zahlen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} + :& \DZ \times \DZ&\ra& \DZ\\ &(a,b) &\mapsto& a + b \end{array}$$ \item Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} \cdot :& \DZ \times \DZ&\ra& \DZ\\ &(a,b) &\mapsto& a \cdot b \end{array}$$ \item Die Zuordnung $\min,$ die jedem Paar von nat"urlichen Zahlen die kleinere zuordnet (wenn sie verschieden sind, man setzt sonst $\min(a,a)=a$), ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} \min :& \DN \times \DN&\ra& \DN\\ &(a,b) &\mapsto& \min(a , b) \end{array}$$ \item Sei $X$ eine Menge. Die Verkn"upfung von Abbildungen liefert eine Verkn"upfung auf der Menge $\op{Ens} (X,X)$ aller Abbildungen von $X$ in sich selber $$\begin{array}{cccc} \circ :& \op{Ens}(X,X) \times \op{Ens}(X,X)&\ra& \op{Ens}(X,X)\\ &(f,g) &\mapsto& f\circ g \end{array}$$ \item Bezeichne $\DQ^\times=\DQ\backslash\{0\}$ die Menge der von Null verschiedenen rationalen Zahlen. So ist das Teilen eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} / :& \DQ^\times \times \DQ^\times&\ra& \DQ^\times\\ &(a,b) &\mapsto& a / b \end{array}$$ \item Jede Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge induziert eine Verkn"upfung auf ihrer Potenzmenge vermittels der Vorschrift $$U\top V=\{u\top v\mid u\in U,\;v\in V\}$$ \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge $A$ hei"st {\bf assoziativ}\index{assoziativ} genau dann, wenn gilt $a \top (b\top c) = (a \top b) \top c \quad \forall a,b,c \in A.$ Sie hei"st {\bf kommutativ}\index{kommutativ} genau dann, wenn gilt $a \top b = b \top a \quad \forall a,b\in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Von unseren Beispielen sind die ersten drei assoziativ und kommutativ, das vierte ist assoziativ aber nicht kommutativ falls $X$ mehr als ein Element hat, das f"unfte ist weder assoziativ noch kommutativ. \end{Beispiele} \begin{Bemerkung} Ist eine Verkn"upfung assoziativ, so liefern Ausdr"ucke der Form $a_1\top a_2 \ldots \top a_n$ wohlbestimmte Elemente von $A,$ das Resultat ist genauer unabh"angig davon, wie wir die Klammern setzen. Um diese Erkenntnis zu formalisieren, vereinbaren wir f"ur so einen Ausdruck die Interpretation $$a_{1} \top a_{2} \ldots \top a_{n} = a_{1} \top (a_{2} \top (\ldots (a_{n-1} \top a_{n})\ldots ))$$ und zeigen \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Gegeben $(A,\top)$ eine Menge mit einer assoziativen Vern"upfung und $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots , b_{m} \in A$ gilt $$(a_{1} \top \ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})= a_{1} \top \ldots \top a_{n} \top b_{1}\top \ldots \top b_{m}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir folgern aus dem Assoziativgesetz $(a_{1}\top\ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})= a_{1}\top ((a_{2}\top \ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m}))$ und sind fertig mit vollst"andiger Induktion "uber $n.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Das Wort Lemma, im Plural Lemmata, \index{Lemma} kommt wohl von griechisch $\lambda \alpha \mu \beta\alpha \nu\epsilon\iota\nu$ \glqq nehmen\grqq\ und bezeichnet in der Mathematik meist kleinere Resultate oder auch Zwischenschritte von gr"o"seren Beweisen, denen der Author au"serhalb ihres engeren Kontexts keine gro"se Bedeutung zumi"st. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $(A,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. Ist $n \in \{1,2,\ldots \}$ eine von Null verschiedene nat"urliche Zahl und $a\in A,$ so schreiben wir $$\underset{\text{n-mal}}{\underbrace{a\top a\top \ldots\top a}} = n^{\top}a$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{muln} Ist $m$ eine zweite von Null verschiedene nat"urliche Zahl, so erhalten wir f"ur assoziative Verkn"upfungen mithilfe unseres Lemmas die Regeln $(n+m)^{\top}a = (n^{\top} a) \top (m^{\top}a)$ und $(nm)^{\top}a = n^{\top}(m^{\top}a).$ Ist unsere Verkn"upfung auch noch kommutativ, so gilt zus"atzlich $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b).$ \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $(A,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. Ein Element $e\in A$ hei"st \defind{neutrales Element} von $(A,\top)$ genau dann, wenn gilt $$e \top a=a \top e = a \quad \forall a \in A$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} In einer Menge mit Verkn"upfung $(A,\top)$ kann es h"och\-stens ein neutrales Element $e$ geben, denn f"ur jedes weitere Element $e'$ mit $e' \top a=a \top e' = a \quad \forall a \in A$ haben wir $e'=e'\top e=e.$ Wir d"urfen also den bestimmten Artikel verwenden und in einer Menge mit Verkn"upfung von {\bf dem} neutralen Element reden. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{KNeu} Ein \defind{Monoid} ist eine Menge mit einer assoziativen Verkn"upfung, in der es ein neutrales Element gibt. Ist $(A,\top)$ ein Monoid, so erweitern wir unsere Notation $n^{\top}a$ auf alle nat"urlichen Zahlen $n\in\DN,$ indem wir $0^\top a$ als das neutrale Element von $A$ verstehen, f"ur alle $a\in A.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{Moin} In Monoiden gelten die Regeln \ref{muln} f"ur alle $n,m\in\DN.$ Die nat"urlichen Zahlen bilden mit der Addition ein Monoid $(\DN,+)$ mit neutralem Element $0.$ Sie bilden auch unter der Multiplikation ein Monoid $(\DN,\cdot)$ mit neutralem Element $1.$ \end{Bemerkung} \subsection{Gruppen}\label{Gr} \begin{Bemerkung} Ich empfehle, bei der Lekt"ure dieses Abschnitts die gleich anschlie"sende Tabelle mitzulesen, die die Bedeutungen der nun folgenden Formalit"aten in den zwei gebr"auchlichsten Notationssystemen angibt. In diesen Notationssystemen sollten alle Formeln aus der Schulzeit vertraut sein. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{DeGr} \begin{enumerate} \item Ist $(A,\top)$ ein Monoid und $a\in A$ ein Element, so nennen wir ein weiteres Element $\bar{a} \in A$ \defind{invers} zu $a$ genau dann, wenn gilt $a \top \bar{a}=\bar{a} \top a=e$ f"ur $e\in A$ das neutrale Element. \item Eine \defind{Gruppe} ist ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt. \item Eine \defnoind{kommutative Gruppe} oder \defnoind{abelsche Gruppe} ist eine Gruppe, deren Verkn"upfung kommutativ ist. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Diese Terminologie \glqq abelsche Gruppe\grqq\ wurde zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Hendrik Abel eingef"uhrt und ist sehr gebr"auchlich. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Jedes Element eines Monoids besitzt h"ochstens ein Inverses. \end{Lemma} \begin{proof} Aus $a \top \bar{a}=\bar{a}\top a=e$ und $b \top a=a \top b=e$ folgt durch Anwenden von $b\top$ auf die erste Gleichung mit dem Assoziativgesetz schon $\bar{a}=b.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Wir d"urfen also den bestimmten Artikel benutzen und von {\bf dem} Inversen eines Elements einer Gruppe reden. Offensichtlich ist das Inverse des Inversen stets das urspr"ungliche Element, in Formeln $\bar{\bar{a}}=a.$ \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Sind $a$ und $b$ Elemente einer Gruppe, so wird das Inverse von $a\top b$ wird gegeben durch die Formel $\overline{(a\top b)}=\bar{b}\top\bar{a}.$ \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat rechnen wir schnell $(a\top b)\top(\bar{b}\top\bar{a})=e.$ Diese Formel ist auch aus dem t"aglichen Leben vertraut: Wenn man morgends zuerst die Str"umpfe anzieht und dann die Schuhe, so mu"s man abends zuerst die Schuhe ausziehen und dann die Str"umpfe. \end{proof} \begin{Beispiele} Von unseren Beispielen \ref{Verk} f"ur Verkn"upfungen oben ist nur $(\DZ,+)$ eine Gruppe, und diese Gruppe ist kommutativ. Ein anderes Beispiel f"ur eine kommutative Gruppe ist die Menge $\DQ^\times$ der von Null verschiedenen rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verkn"upfung. F"ur jede Menge $X$ ist auch die Menge $\op{Ens}^\times( X)$ aller Bijektionen von $X$ auf sich selbst eine Gruppe, mit der Komposition von Abbildungen als Verkn"upfung. Diese Gruppe ist f"ur $|X|>2$ nicht kommutativ und das Inverse einer Bijektion ist ihre Umkehrabbildung. Die leere Menge ist {\em keine} Gruppe, ihr fehlt ein neutrales Element. \end{Beispiele} \begin{Definition} Ist $(A,\top)$ eine Gruppe, so erweitern wir unsere Notation $n^\top a$ auf alle $n \in \DZ,$ indem wir setzen $ n^{\top} a = (-n)^{\top} \bar{a}$ f"ur $n \in \{-1,-2,\ldots\}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} In einer Gruppe gelten f"ur alle ganzen Zahlen $n \in \DZ$ die Regeln $(n+m)^{\top}a = (n^{\top} a) \top (m^{\top}a)$ und $(nm)^{\top}a = n^{\top}(m^{\top}a).$ Ist die Gruppe kommutativ, so gilt zus"atzlich $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b)$ f"ur alle $n \in \DZ.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Verkn"upfungen werden meist additiv oder multiplikativ geschrieben, wobei die additive Schreibweise kommutativen Verkn"upfungen vorbehalten ist und ebenso die Bruchnotation $1/a$ und $b/a$ bei multiplikativer Schreibweise. Bei additiv geschriebenen Gruppen nennt man das Inverse von $a$ meist das {\bf Negative}\index{Negatives} von $a.$ Bei nichtkommutativen und folglich multiplikativ notierten Gruppen benutzt man f"ur das Inverse von $a$ nur die von der allgemeinen Notation $a^n$ abgeleitete Notation $a^{-1}.$ Die Tabelle fasst die "ublichen Notationen f"ur unsere abstrakten Begriffsbildungen in diesem Kontext zusammen und gibt unsere allgemeinen Resultate und Konventionen in diesen Notationen wieder. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Sei $A$ ein Monoid und $1$ sein neutrales Element. Unser Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn es f"ur jedes $a \in A$ ein $\bar{a} \in A$ gibt mit $a\top \bar{a}=1,$ und dies Element $\bar{a}$ ist dann notwendig das Inverse von $a$ in $A.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KGr} Sind $a,b,c$ Elemente einer Gruppe, so folgt aus $a\top b=a\top c$ bereits $b=c.$ Ebenso folgt auch aus $b\top a=c\top a$ bereits $b=c.$ \end{Ubung} \begin{table} \begin{tabular}{lll} $a\top b$ & $a + b$ & $a\cdot b,$ $ab$ \\[8mm] $e$ & $0$ & $1$ \\[2mm] $\bar{b}$ & $-b$ & $1/b$ \\[2mm] $a\top\bar{b}$ & $a-b$ & $a/b$ \\[2mm] $n^{\top}a$ & $na$ & $a^{n}$\\[8mm] $e\top a=a\top e=a$& $0+a =a+0=a$ & $1\cdot a = a \cdot 1 =a$\\[2mm] $a\top \bar{a}=e$& $a+(-a) =0$ & $ a/a=1$\\[2mm] $\bar{\bar{a}}=a$ &$-(-a)=a$&$ 1/(1/a)=a$\\[2mm] $(-1)^{\top}a=\bar{a}$ &$(-1)a=-a$&$a^{-1} =1/a$ \\[2mm] $\overline{(a\top b)}=\bar{b}\top\bar{a}$ & $-(a+b)=(-b)+(-a)$& $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},$\\&& ${1}/{ab}=({1}/{b})({1}/{a})$\\[2mm] $\overline{(a\top \bar{b})}={b}\top\bar{a}$ & $-(a-b)=b-a$& $1/(a/b)=b/a$\\[2mm] $n^{\top}(m^{\top}a)=(nm)^{\top}a$ & $n(ma )=(nm)a$ & $(a^{m})^{n}=a^{nm}$\\[2mm] $(m+n)^{\top}a=(m^{\top}a)\top(n^{\top}a)$ & $(m+n)a =(ma)+(na) $ & $a^{(m+n)} =(a^{m})(a^{n})$\\[2mm] $\overline{n^{\top}a}=(-n)^\top a$&$-(na)=(-n)a$&$(a^n)^{-1}=a^{-n}$\\[2mm] $0^{\top}a=e$&$0a=0$&$a^0=1$\\[2mm] $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b)$ & $n(a+b)=(na)+(nb)$ & $(ab)^n=(a^n)(b^n)$ \end{tabular}\label{KFt} \caption{Konventionen und Formeln in verschiedenen Notationssystemen} \end{table} \newpage \subsection{K"orper} \begin{Definition}\label{KAx} Ein {\bf K"orper}\index{K"orper} $(K,+, \cdot)$ ist eine Menge $K$ mit zwei assoziativen und kommutativen Verkn"upfungen derart, da"s gilt \begin{enumerate} \item $(K,+)$ ist eine Gruppe, die {\bf additive Gruppe} des K"orpers. \item Bezeichnet $0_K\in K$ das neutrale Element der Gruppe $(K,+),$ so folgt aus $a\neq 0_K\neq b$ schon $a b\neq 0_K$ und $(K \backslash\{0_K\},\cdot)$ ist eine Gruppe, die {\bf multiplikative Gruppe} des K"orpers. \item Es gilt das {\bf Distributivgesetz}\index{Distributivgesetz} $$a\cdot (b+c)=(a\cdot b) + (a\cdot c) \quad \forall a,b,c \in K$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wenn wir mit Buchstaben rechnen,werden wir meist $a\cdot b=ab$ abk"urzen. Zus"atzlich vereinbaren wir zur Vermeidung von Klammern die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq, so da"s also zum Beispiel das Distributivgesetz k"urzer in der Form $a(b+c)=ab + ac$ geschrieben werden kann. Die multiplikative Gruppe eines K"orpers $K$ notieren wir $K^{\times}= K\backslash\{0_K\}.$ Es bezeichne $1_K \in K^{\times}$ das neutrale Element der Multiplikation. Wir k"urzen meist $0_{K}$ ab durch $0$ und $1_{K}$ durch $1$ in der Erwartung, da"s man aus dem Kontext erschlie"st, ob mit $0$ und $1$ nat"urliche Zahlen oder Elemente eines speziellen K"orpers gemeint sind. Meistens kommt es darauf im "Ubrigen gar nicht an. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} F"ur alle $a,b$ in einem K"orper und alle $n\geq 0$ gilt die binomische Formel $$(a+b)^{n} = \sum^{n}_{\nu =0} {n\choose \nu} a^{\nu} b^{n-\nu}$$ \\ Um das einzusehen pr"uft man, da"s wir bei der Herleitung nur K"orperaxiome verwandt haben. Man beachte hierbei unsere Konvention $0_K^0=1_K$ aus \ref{KNeu}. \end{Bemerkung} \begin{Beispiele} Ein Beispiel f"ur einen K"orper ist der K"orper der rationalen Zahlen $(\DQ,+,\cdot).$ Ein anderes Beispiel ist der zweielementige K"orper mit den durch die Axiome erzwungenen Rechenregeln, der fundamental ist in der Informatik. Die ganzen Zahlen $(\DZ,+,\cdot)$ bilden keinen K"orper, da $(\DZ\setminus\{ 0\},\cdot)$ keine Gruppe ist, da es n"amlich in $\DZ\setminus\{ 0\}$ nur f"ur $1$ und $-1$ ein multiplikatives Inverses gibt. \end{Beispiele} \newpage \begin{Lemma}[Folgerungen aus den K"orperaxiomen] Sei $K$ ein K"orper. So gilt \begin{enumerate} \item $a 0 = 0 \quad \forall a \in K.$ \item $a b =0 \Rightarrow a = 0 \text{ oder } b=0.$ \item $-a = (-1) a \quad \forall a \in K.$ \item $(-1) (-1) =1.$ \item $(-a)(-b)=ab\quad\forall a,b\in K.$ \item $\frac{a}{b} \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ f"ur alle $a,c\in K$ und $ b,d\in K^\times.$ \item $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ f"ur alle $ a\in K$ und $ b,c\in K^\times.$ \item $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ f"ur alle $ a,c \in K$ und $ b,d\in K^\times.$ \item $m(ab)=(ma)b\;$ f"ur alle $m\in\DZ$ und $ a,b\in K.$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] \begin{enumerate} \item Man folgert das aus $a 0 + a 0 = a (0+0) = a 0$ durch Hinzuaddieren von $-(a 0)$ auf beiden Seiten. \item In der Tat folgt aus $(a \neq 0 \text{ und } b \neq 0)$ schon $(a b \neq 0)$ nach den K"orperaxiomen. \item In der Tat gilt $a + (-1) a = 1 a + (-1) a = (1+(-1)) a = 0 a =0,$ und $-a$ ist ja gerade definiert als das eindeutig bestimmte Element von $K$ so da"s $a+ (-a) =0.$ \item In der Tat gilt nach dem Vorhergehenden $(-1) (-1) = - (-1) =1.$ \item Um das nachzuweisen ersetzen wir einfach $(-a) = (-1) a$ und $(-b) = (-1) b$ und verwenden $(-1) (-1) =1.$ \item Das ist klar. \item Das ist klar. \item Das wird bewiesen, indem man die Br"uche auf einen Hauptnenner bringt und das Distributivgesetz anwendet. \item Das folgt durch wiederholtes Anwenden des Distributivgesetzes. \end{enumerate} \end{proof} \begin{Ubung} Ist $K$ ein K"orper derart, da"s es kein $x \in K$ gibt mit $x^{2} = -1,$ so kann man die Menge $K\times K=K^{2}$ zu einem K"orper machen, indem man die Addition und Multiplikation definiert durch $$\begin{array}{ccc} (a,b) + (c,d) & =& (a+c, b+d)\\ (a,b) \cdot (c,d) &=& (ac -bd, ad + bc) \end{array}$$ Die Abbildung $K \ra K^{2},$ $a \mapsto (a,0)$ ist dann vertr"aglich mit Addition und Multiplikation. K"urzen wir $(a,0)$ mit $a$ ab und setzen $(0,1)=\op{i},$ so gilt $\op{i}^{2} = -1$ und $(a,b) = a + b\op{i}.$ \end{Ubung} \begin{Definition}\label{HIS} Gegeben Mengen mit Verkn"upfung $(A,\top)$ und $(B,\perp)$ verstehen wir unter einem \defind{Homomorphismus} von $A$ nach $B$ eine Abbildung $\varphi:A\ra B$ derart, da"s gilt $\varphi(a\top a')=\varphi(a)\perp \varphi(a')$ f"ur alle $a,a'\in A.$ Sind unsere beiden Mengen mit Verkn"upfung Gruppen, so sprechen wir von einem \defind{Gruppenhomomorphismus}. Einen bijektiven Homomorphismus nennen wir einen \defind{Isomorphismus}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Dieselben Definitionen verwenden wir auch bei Mengen mit mehr als einer Verkn"upfung. Zum Beispiel ist ein \defind{K"orperhomomorphismus} $\varphi$ von einem K"orper $K$ in einen K"orper $L$ eine Abbildung $\varphi:K\ra L$ derart, da"s gilt $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$ und $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f"ur alle $a,b\in K,$ und ein \defind{K"orperisomorphismus} ist ein bijektiver K"orperhomomorphismus. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{BNE} Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ bildet stets das neutrale Element von $G$ auf das neutrale Element von $H$ ab und vertauscht mit Inversenbildung, in Formeln $\varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}\;\forall a\in G.$ Ein K"orperhomomorphismus ist stets injektiv. \end{Ubung} \subsection{Herkunft einiger Symbole} Ich habe versucht, etwas "uber die Herkunft einiger mathematischer Symbole in Erfahrung zu bringen, die schon aus der Schule selbstverst"andlich sind. Das Gleichheitszeichen $=$ scheint auf ein 1557 von Robert Recorde publiziertes Buch zur"uckzugehen und soll andeuten, da"s das, was auf der linken und rechten Seite dieses Zeichens steht, so gleich ist wie die beiden Strichlein, die unser Gleichheitszeichen bilden. Davor schrieb man statt einem Gleichheitszeichen meist $a\!\!\;e$ f"ur \glqq "aquivalent\grqq. Das Pluszeichen $+$ ist wohl ein Auschnitt aus dem Symbol \&, das hinwiederum enstanden ist durch Zusammenziehen der beiden Buchstaben im lateinischen W"ortchen \emph{et}. Die Dezimaldarstellung der nat"urlichen Zahlen kam Mitte des vorigen Jahrtausends aus Indien "uber die Araber nach Italien. Bis dahin rechnete man in Europa in r"omischer Notation. Sie m"ussen nur versuchen, in dieser Notation zwei gr"o"sere Zahlen zu multiplizieren, um zu ermessen, welchen wissenschaftlichen und auch wirtschaftlichen Fortschritt der "Ubergang zur Dezimaldarstellung bedeutete. Das Beispiel der Dezimaldarstellung zeigt in meinen Augen auch, wie entscheidend das sorgf"altige Einbeziehen trivialer Spezialf"alle, manchmal als die \glqq Theorie der leeren Menge\grqq\ verspottet, f"ur die Eleganz der Darstellung mathematischer Sachverhalte sein kann: Sie wurde ja eben dadurch erst erm"oglicht, da"s man ein eigenes Symbol f"ur \glqq gar nichts\grqq\ erfand! Ich denke, da"s der Aufbau eines effizienten Notationssystems, obwohl er nat"urlich nicht denselben Stellenwert einnehmen kann wie die Entwicklung mathematischer Inhalte, dennoch in der Lehre ein wichtiges Ziel sein mu"s. In diesem Text habe ich mir die gr"o"ste M"uhe gegeben, unter den gebr"auchlichen Notationen diejenigen auszuw"ahlen, die mir am sinnvollsten schienen, und sie soweit wie m"oglich aufzuschl"usseln. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: