\section{Folgen und Reihen, ALTE FASSUNG}\label{FoR} \subsection{Konvergenz von Folgen} \begin{Definition} Wir erweitern die reellen Zahlen durch die zwei zus"atzlichen Punkte $-\infty$ und $\infty$ zu der in hoffentlich offensichtlicher Weise angeordneten Menge der sogenannten {\bf erweiterten reellen Zahlen}\index{erweiterte reelle Zahlen} $$\overline{\Bbb{R}} \pdef\Bbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reelle Intervalle}] Jede Teilmenge von $\overline{\Bbb{R}}$\label{KlInalt} besitzt in $\overline{\Bbb{R}}$ ein Supremum und ein Infimum. F"ur ein \hyperref[Inter]{Intervall} $I \subset \overline{\Bbb{R}}$ mit Supremum $a = \sup I$ und Infimum $b = \inf I$ gibt es die Alternativen $a \in I$ oder $a \not\in I$ und $b \in I$ oder $b \not\in I$. Es gibt damit vier Typen von Intervallen in $\overline{\Bbb{R}}$, f"ur die die beiden folgenden Notationen gebr"auchlich sind: $$\begin{array}{llcll} [a,b]&=&[a,b]&=&\{x \in \overline{\Bbb{R}} \mid a\leq x\leq b\}\\ \left]a,b\right[&=&(a,b)&=&\{x \in \overline{\Bbb{R}} \mid a 0$ nennen wir das offene Intervall $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ die $\varepsilon$-{\bf Umgebung von $x$}. Eine Umgebung von $x\in\DR$ k"onnen wir auch charakterisieren als eine Teilmenge $W\subset \overline{\Bbb{R}}$, die f"ur mindestens ein reelles $\varepsilon > 0$ das Intervall $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ umfa"st, oder "aquivalent als eine Teilmenge, die f"ur mindestens ein reelles $\varepsilon > 0$ das Intervall $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ umfa"st. Eine der Motivationen f"ur unsere gro"sz"ugige Definition des Umgebungsbegriffs ist, da"s er uns durch seine gro"se Allgemeinheit dabei helfen kann, die Diskussion, ja die blo"se Erw"ahnung derartiger Nebens"achlichkeiten weitgehend zu vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Das kompakte Intervall $[0,1]$ ist eine Umgebung von jedem Punkt aus dem offenen Intervall $(0,1)$, aber von keinem anderen Punkt der erweiterten reellen Zahlengeraden. $\DQ$ ist f"ur keinen Punkt der erweiterten reellen Zahlengeraden eine Umgebung. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{REHalt} Offensichtlich besitzen je zwei verschiedene Punkte der erweiterten reellen Zahlengeraden zueinander disjunkte Umgebungen. Offensichtlich ist der Schnitt von je zwei Umgebungen ein- und desselben Punktes ist wieder eine Umgebung des besagten Punktes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Bei der Vor- und Nachbereitung dieser Vorlesung ist mir erst richtig klar geworden, ein wie gro"ser Teil der Diskussion der Begriffe Grenzwert und Stetigkeit im Rahmen der Analysis einer reellen Ver"anderlichen nur die Struktur der reellen Zahlen als angeordnete Menge betrifft. Die Resultate dieses Abschnitts mit Ausnahme der Beschreibung aller Intervalle \ref{KlIn} gelten im "Ubrigen mit unver"andertem Beweis auch allgemeiner f"ur einen beliebigen archimedisch angeordneten K"orper und zu einem guten Teil sogar f"ur einen beliebigen angeordneten K"orper. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Eine Abbildung $\DN \ra X$, $n\mapsto x_{n}$ von den nat"urlichen Zahlen in eine Menge $X$ nennen wir eine {\bf Folge\index{Folge} in $X$}. Wir schreiben eine Folge meist $(x_{n})_{n\in \DN}$ oder $x_{0}, x_{1},x_{2}, \ldots $ oder auch einfach nur $x_{n}$. Die $x_{i}$ hei"sen die {\bf Folgenglieder}. Manchmal nennen wir allerdings auch Abbildungen Folgen, die erst ab $n=1$ definiert sind. \end{Definition} \begin{Definition}\label{ffFalt} Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur {\bf fast alle Elemente}\index{fast alle!Menge} einer Menge, so soll das bedeuten, da"s sie gilt f"ur alle Elemente bis auf h"ochstens endlich viele Ausnahmen. Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur {\bf fast alle Glieder} einer Folge, so soll das bedeuten, da"s f"ur fast alle Indizes $n$ unsere Aussage f"ur das $n$-te Folgenglied gilt. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoF}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung der Folge $x_n=3^{3-n}-(-2)^{4-n}$, die gegen Null konvergiert, wie Sie bald werden zeigen k"onnen. Die Folgenglieder sind die kleinen Kreuzchen auf der reellen Achse, ihre Indizes tragen sie an unterschiedlich langen gestrichelt eingezeichneten Stangen. \end{figure} \begin{Definition}\label{altGDK} Seien $x_{0},x_{1},\ldots$ eine Folge in $\overline{\DR}$ und $x\in\overline{\DR}$ ein Punkt. Wir sagen, {\bf die Folge $x_{n}$ konvergiere gegen} \index{Konvergenz!von Folgen!in $\overline{\DR}$} $x$, wenn jede Umgebung von $x$ fast alle Glieder der Folge enth"alt. Wir schreiben in diesem Fall auch $$\lim_{n\ra \infty} x_{n} =x$$ und nennen $x$ einen {\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Folge} oder lateinisierend {\bf Limes}\index{Limes!von Folge}\index{lim@$\lim_{n\ra\infty}$ Grenzwert von Folge!in $\overline{\mathbb R}$} der Folge. Nach der im folgenden bewiesenen Eindeutigkeit des Grenzwerts \ref{EGr} d"urfen wir uns sogar den bestimmten Artikel erlauben und von \emph{dem} Grenzwert reden. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die {\bf konstante Folge} $x_{n} = x \; \forall n$ konvergiert gegen $x$. In der Tat liegen bei dieser Folge in jeder Umgebung von $x$ nicht nur fast alle, sondern sogar alle Folgenglieder. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{ErBsa} Die Folge $x_n=n$ konvergiert gegen plus Unendlich, in Formeln $$\lim_{n\ra \infty} n =\infty$$ In der Tat umfa"st jede Umgebung $U$ von $\infty$ per definitionem ein Intervall der Gestalt $(a,\infty]$ f"ur $a\in\DR$. Bereits in jedem derartigen Intervall liegen nach \ref{ArA} aber fast alle Folgenglieder. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine {\bf Nullfolge}\index{Nullfolge} ist eine Folge, die gegen Null konvergiert. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{ErBs} Die Folge $x_n=1/n$ ist eine Nullfolge, in Formeln $$\lim_{n\ra \infty} \frac{1}{n} =0$$ In der Tat umfa"st jede Umgebung $U$ von $0$ per definitionem ein Intervall der Gestalt $(-\varepsilon,\varepsilon)$ f"ur $\varepsilon>0$, und in einem derartigen Intervall liegen alle Folgenglieder mit $n>(1/\varepsilon)$, nach \ref{ArA} also jeweils fast alle Folgenglieder. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Eindeutigkeit des Grenzwerts}] \label{EGr} Ein- und dieselbe Folge kann nicht gegen zwei verschiedene Punkte konvergieren, in Formeln $$(\lim_{n\ra \infty} x_{n} = x \text{ und } \lim_{n\ra \infty} x_{n}=y) \Rightarrow (x =y)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Durch Widerspruch. Sind unsere Punkte $x$ und $y$ verschieden, so besitzen sie auch disjunkte Umgebungen $U$ und $V$. Dann k"onnen aber von unseren unendlich vielen Folgengliedern nicht fast alle in der Umgebung $U$ von $x$ und fast alle in der Umgebung $V$ von $y$ liegen, also kann unsere Folge nicht gleichzeitig gegen $x$ und gegen $y$ konvergieren. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Man beachte, wie unser Umgebungsbegriff uns bereits an dieser Stelle dabei hilft, den Beweis kurz und pr"agnant zu halten und die Diskussion von Sonderf"allen f"ur $\{x,y\}\cap \{-\infty,\infty\}\neq\emptyset$ zu vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AZU} Unter einer {\bf Umgebungsbasis} \index{Umgebungsbasis!in $\overline{\DR}$} eines Punktes versteht man ein System alias eine Menge von Umgebungen besagten Punktes derart, da"s jede Umgebung unseres Punktes mindestens eine Umgebung unseres Systems umfa"st. \end{Definition} \begin{Beispiele} Sei $x$ eine reelle Zahl. Die $\varepsilon$-Umgebungen eines Punktes $x\in\DR$ bilden eine Umgebungsbasis von $x$. Alle Intervalle $[x-3\varepsilon, x+4\varepsilon)$ mit $\varepsilon>0$ bilden eine Umgebungsbasis von $x$. Alle Intervalle $[x-1/n, x+1/n]$ mit $n\in \DN_{\geq 1}$ bilden eine Umgebungsbasis von $x$. Eine Umgebungsbasis von $\infty$ bilden etwa die Intervalle $[K,\infty]$ mit $K\in\DR$ oder auch mit $K\in\DN$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$\varepsilon$-Kriterium f"ur Konvergenz}] Um die Konvergenz einer Folge gegen einen Punkt nachzuweisen, m"ussen wir offensichtlich nur f"ur jede Umgebung aus einer fest gew"ahlten Umgebungsbasis pr"ufen, da"s fast alle Folgenglieder darin liegen. Konvergenz gegen einen Punkt $x\in\DR$ etwa ist gleichbedeutend dazu, da"s f"ur jedes $\varepsilon >0$ die $\varepsilon$-Umgebung von $x$ fast alle Glieder der Folge enth"alt. Im Fall einer reellen Folge $(x_n)$ ist das weiter gleichbedeutend dazu, da"s es \begin{quote} f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $N=N_\varepsilon\in\DN$ gibt mit $n\geq N\RA |x_n-x|<\varepsilon$. \end{quote} Dahingegen ist $\lim_{n\ra \infty} x_{n}=\infty$ gleichbedeutend dazu, da"s f"ur jedes $K \in \DN$ fast alle Folgenglieder oberhalb von $K$ liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zu $\varepsilon$}] Wenn Sie in der Analysis die Formulierung \glqq f"ur alle $\varepsilon>0$ gilt was auch immer\grqq\ antreffen, so d"urfen Sie erwarten, da"s dieses \glqq was auch immer\grqq, wenn es denn f"ur ein gegebenes $\varepsilon>0$ gilt, f"ur alle gr"o"seren $\varepsilon>0$ eh gilt. Salopp gesprochen besteht also die unausgesprochene "Ubereinkunft, durch die Verwendung des Buchstabens $\varepsilon$ das anzudeuten, was man umgangsprachlich vielleicht mit \glqq f"ur jedes auch noch so kleine $\varepsilon>0$\grqq\ ausdr"ucken w"urde. Sie m"ussen nur einmal versuchen, beim Vorrechnen einer "Ubungsaufgabe statt $\varepsilon$ den Buchstaben $M$ zu verwenden: Auch wenn formal alles richtig sein sollte, wird Ihr Tutor deutlich l"anger dar"uber nachdenken m"ussen, ob Ihre Formulierung auch wirklich stimmt! \glqq Sei $\varepsilon<0$\grqq\ schlie"slich ist ein mathematischer Witz. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will versuchen, in der Vorlesung einem Farbencode zu folgen, nach dem vorgegebene Umgebungen von Grenzwerten und dergleichen in gelber Farbe dargestellt werden, dazu zu findende $N$ und dergleichen dahingegen in blauer Farbe. Rote Farbe ist an gr"unen Tafeln f"ur nicht wenige Menschen kaum zu lesen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Mit unserer Konvention f"ur die \glqq Konvergenz gegen $\pm\infty$\grqq\ bewegen wir uns zwar im Rahmen des allgemeinen Begriffs der \glqq Konvergenz in topologischen R"aumen\grqq\ \ref{GFMt}, aber au"serhalb der in der einf"uhrenden Literatur zur Analysis "ublichen Konventionen. "Ublicherweise wird stattdessen die Terminologie \defind{bestimmte Divergenz} {\bf gegen $\pm\infty$} verwendet. "Ublicherweise bleibt in anderen Worten der Begriff der konvergenten Folge reserviert f"ur Folgen, die gegen eine reelle Zahl konvergieren. Wir nennen solche Folgen \defind{reell konvergent}. Falls eine Folge nicht konvergiert, auch nicht gegen $\infty$ oder $-\infty$, so nennt man sie {\bf unbestimmt divergent}\index{unbestimmt divergent}. Wir verlieren mit unserer Terminologie zwar etwas an terminologischer Koh"arenz, da wir im weiteren \glqq Reihen\grqq\ aus wieder anderen Gr"unden nur dann konvergent nennen werden, wenn die Folge ihrer Partialsummeen \emph{reell} konvergent ist. Das schien mir jedoch ein kleineres "Ubel, als es eine unn"otig einschr"ankende oder in F"alle aufspaltende Formulierung von Aussagen wie \ref{QeLe} oder \ref{TeFo} w"are. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{ou} F"ur jede Folge $x_n$ von von Null verschiedenen reellen Zahlen gilt $$\begin{array}{c} \lim_{n\ra \infty} x_{n} =0 \;\Leftrightarrow \;\lim_{n\ra \infty} |x_{n}^{-1}| = \infty \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $K >0$ gilt $|x_{n}^{-1}| \in (K,\infty]\; \IFF \;x_{n}\in(-K^{-1},K^{-1})$. Gilt also die rechte Seite bei vorgegebenem $K>0$ f"ur fast alle Folgenglieder, so auch die Linke. Ebenso gilt f"ur alle $\varepsilon >0$ offensichtlich $x_{n}\in(-\varepsilon,\varepsilon)\; \IFF \;|x_{n}^{-1}| \in ({\varepsilon }^{-1},\infty]$. Gilt also die rechte Seite bei vorgegebenem $\varepsilon>0$ f"ur fast alle Folgenglieder, so auch die Linke. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Vereinbaren wir $1/|\infty|=1/|{-\infty}|=0$ und $|1/0|=\infty$, so gilt diese Proposition mit demselben Beweis sogar f"ur jede Folge in $\overline{\DR}$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{Pot} Die folgende Tabelle beschreibt das Konvergenzverhalten der Folge $(x^{n})_{n\in \DN}$ der Potenzen von $x$ in Abh"angigkeit von $x$: $$\begin{array}{r@{\extracolsep{4mm}}l} x > 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} = \infty;\\ x=1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =1 ;\\ |x| < 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =0 ;\\ x\leq -1 & \text{Die Folge $x^{n}$ divergiert unbestimmt.} \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Im Fall $x > 1$ schreiben wir $x = 1 + y$ mit $y >0$ und erhalten mit der binomischen Formel $$x^{n} = (1+y)^{n} \geq 1 + ny$$ Aber nat"urlich gilt $1 + ny \geq K$ genau dann, wenn gilt $n \geq (K-1)/y$, und das gilt bei festem $K$ f"ur fast alle $n$. Im Fall $x =1$ ist die Folge konstant $1$ und es ist nichts zu zeigen. Falls $0<|x| < 1$ gilt nach dem Vorhergehenden $\lim_{n\ra \infty} |{1}/{x^{n}}|=\infty$ und daraus folgt mit Proposition \ref{ou} $\lim_{n\ra \infty} x^{n}=0$. F"ur $x=0$ gilt das nat"urlich eh. Im Fall $x\leq -1$ gilt $|x^{n}-x^{n+1}| \geq 2$ f"ur alle $n$. Also kann die Folge nicht gegen eine reelle Zahl $a$ konvergieren, denn dann m"u"ste gelten $|a-x^n|<1$ f"ur fast alle $n$ und dann nach der Dreiecksungleichung $|x^{n}-x^{n+1}| < 2$ f"ur fast alle $n$. Die Folge kann in diesem Fall aber auch nicht gegen $\pm\infty$ konvergieren, da die Folgenglieder immer abwechselnd positiv und negativ sind. \end{proof} \begin{Lemma}[\defind{Quetschlemma}]\label{QeLe} Sind in $\overline{\DR}$ drei Folgen $a_n, b_n, c_n$ gegeben mit $a_n\leq b_n\leq c_n$ f"ur alle $n$, und konvergieren $a_n$ und $c_n$ gegen denselben Grenzwert, so konvergiert auch $b_n$ gegen diesen Grenzwert. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} In der franz"osischen Literatur tr"agt dieses Lemma die hintersinnige Bezeichnung \glqq th\'eor\`eme des gendarmes\grqq.\index{gendarmes!th\'eor\`eme des} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus den Definitionen mit der Erkenntnis, da"s sich jede Umgebung eines Punktes verkleinern l"a"st zu einer Umgebung desselben Punktes, die ein Intervall ist. Es reicht ja, f"ur jede solche \glqq Intervallumgebung\grqq\ $I$ des gemeinsamen Grenzwerts von $a_n$ und $c_n$ zu zeigen, da"s fast alle $b_n$ darinliegen. Das ist aber klar, da fast alle $a_n$ und fast alle $c_n$ darinliegen. \end{proof} \begin{Beispiel}\label{AQL} Konvergiert eine Folge reeller Zahlen $a_n$ gegen $\infty$, so konvergiert jede Folge reeller Zahlen $b_n$ mit $a_n\leq b_n$ f"ur alle $n$ auch gegen $\infty$. Das folgt zum Beispiel, indem wir als $c_n$ die konstante Folge $\infty$ nehmen und das Quetschlemma anwenden. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Erhaltung von Ungleichungen}] Seien $a_{n}, b_{n}$ Folgen in $\overline{\DR}$ mit \label{GAA2}%\label{GA2} Grenzwerten $\lim_{n\ra \infty} a_{n} = a$ und $\lim_{n\ra \infty}b_n =b$. Gilt $a_n\leq b_n$ f"ur alle $n$, so folgt $a\leq b$. \end{Lemma} \begin{proof} W"are hier $bb_n$ f"ur fast alle $n$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Rechenregeln f"ur Grenzwerte}]\label{GA} Seien $a_{n}, b_{n}$ Folgen reeller Zahlen mit reellen Grenzwerten $\lim_{n\ra \infty} a_{n} = a$, $\lim_{n\ra \infty}b_n =b$. \begin{enumerate} \item\label{GA1} Die Summe bzw.\ das Produkt unserer Folgen konvergieren gegen die Summe bzw.\ das Produkt ihrer Grenzwerte, in Formeln $$\begin{array}{lcl} \lim_{n\ra \infty}(a_{n}+b_{n})& = &a +b \\ \lim_{n\ra \infty} (a_{n}b_{n}) &= &ab \end{array}$$ \item\label{GA2}%vielleicht auch {GAA2}, war doppelt Sind alle Glieder der Folge $b_n$ sowie ihr Grenzwert $b$ von Null verschieden, so gilt f"ur die Folge der Kehrwerte $$\lim_{n\ra \infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma}\label{SAMM} \begin{enumerate} \item Gegeben $a,b\in\DR$ und eine Umgebung $W$ von $a+b$ gibt es Umgebungen $U$ von $a$ und $V$ von $b$ mit $U+V\subset W$. \item Gegeben $a,b\in\DR$ und eine Umgebung $W$ von $a\cdot b$ gibt es Umgebungen $U$ von $a$ und $V$ von $b$ mit $U\cdot V\subset W$. \item\label{SAM3} Gegeben $b\in\DR^\times$ und eine Umgebung $W$ von $b^{-1}$ gibt es eine Umgebung $V\subset\DR^\times$ von $b$ mit $V^{-1}\subset W$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In Erinnerung an \eref{Verk}{GR} verstehen wir hier $U+ V=\{x+ y\mid x\in U, \;y\in V\}$ und $U\cdot V=\{x\cdot y\mid x\in U, \;y\in V\}$. In Anlehnung an \eref{BiMe}{GR} verstehen wir weiter $V^{-1}=\{x^{-1}\mid x\in V\}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $W$ sogar eine $\varepsilon$-Umgebung von $a+b$ ist. Nehmen wir dann f"ur $U$ bzw.\ $V$ die $\varepsilon/2$-Umgebung von $a$ bzw.\ $b$, so gilt in der Tat $U+V\subset W$. F"ur die zweite Formel beginnen wir mit der Absch"atzung $$\begin{array}{lcl} |xy-ab| &=& |(x-a)y + a(y-b)| \\ & \leq & |x-a\|y|+|a\|y-b| \end{array}$$ Aus den beiden Ungleichungen $|x-a|< \eta$ und $|y-b|< \eta$ folgt zun"achst $|y|< |b|+\eta $ und dann $$|xy - ab| \leq \eta (|b|+ \eta + |a|)$$ Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir nun wieder annehmen, da"s $W$ eine $\varepsilon$-Umgebung von $a\cdot b$ ist. W"ahlen wir dann ein $\eta\in (0,1)$ mit $\varepsilon >\eta (|b|+1 + |a|)$ und nehmen als $U$ bzw.\ $V$ die $\eta$-Umgebungen von $a$ bzw.\ $b$, so gilt folglich in der Tat $U\cdot V\subset W$. Um die letzte Aussage zu zeigen, nehmen wir der Einfachkeit halber $b>0$ an. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir nun $W=(a,d)$ mit $00\\ a \infty &=& \infty a &=& -\infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a<0\\ a(-\infty) &=& (-\infty) a &=& -\infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a>0\\ a (-\infty) &=& (-\infty) a &=& \infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a<0\\ 0 \infty &=& \infty 0& =& \ast &&\\ 0 (-\infty) &=& (-\infty) 0& =& \ast & & \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SCFR} Man zeige: Die Regeln \ref{GA}.\ref{GA1} zum Vertauschen von Grenzwertbildung mit Addition und Multiplikation gelten auch noch, wenn wir $a,b \in \overline{\Bbb{R}}$ zulassen und $a+b$ beziehungsweise $ a\cdot b$ sinnvoll definiert sind im Sinne der vorhergehenden Bemerkung \ref{GWU}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AbFun} F"ur jedes $x\in \overline{\DR}$ gibt es eine absteigende Folge von Umgebungen $U_0\supset U_1\supset U_2\supset\ldots$ derart, da"s jede Umgebung von $x$ fast alle der $U_n$ umfa"st. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $A\subset \overline{\DR}$ eine nichtleere Teilmenge, so ist $\sup A$ das gr"o"ste Element in der Menge $G$ aller Punkte aus den erweiterten reellen Zahlen, die Grenzwerte von Folgen aus $A$ sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{absG} Aus $\lim_{n \ra \infty} a_{n} = a$ folgt $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}| = |a|$. Umgekehrt folgt aus $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}|=0$ bereits $\lim_{n \ra \infty} a_{n}=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{RFNu} Ist $(a_n)$ eine Folge reeller Zahlen, die gegen eine reelle Zahl konvergiert, so gilt $\lim_{n\ra\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$. \end{Ubung} \subsection{Vollst"andigkeit der reellen Zahlen} \begin{Definition} Eine Menge von reellen Zahlen hei"st {\bf beschr"ankt},\index{beschr"ankt!Menge reeller Zahlen} wenn sie in $\DR$ eine obere und eine untere Schranke besitzt. Eine Folge reeller Zahlen hei"st beschr"ankt, wenn die Menge der Folgenglieder beschr"ankt ist. \end{Definition} \begin{Lemma} Jede reell konvergente Folge von reellen Zahlen ist beschr"ankt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $x\in\DR$ der Grenzwert unserer Folge, so liegen fast alle Folgenglieder in $[x-1, x+1]$. Die endlich vielen Ausnahmen k"onnen wir durch eine hinreichend gro"se obere und untere Schranke auch noch einfangen. \end{proof} \begin{Definition}\label{MFol} %\label{MFoll} multikategorisch Eine Folge $x_n$ in einer Menge mit Ordnungsrelation hei"st: {\bf monoton wachsend}, wenn gilt $x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2} \leq \ldots$ {\bf streng monoton wachsend}, wenn gilt $x_{0}< x_{1}< x_{2} < \ldots$ {\bf monoton fallend}, wenn gilt $x_{0}\geq x_{1}\geq x_{2}\geq \ldots$ {\bf streng monoton fallend}, wenn gilt $x_{0}> x_{1}> x_{2}> \ldots$ \\[3mm] \noindent Eine Folge hei"st {\bf monoton},\index{monoton} wenn sie monoton w"achst oder monoton f"allt. Eine Folge hei"st {\bf streng monoton},\index{monoton!streng} wenn sie streng monoton w"achst oder streng monoton f"allt. Diese Begriffe werden in \ref{MoAb} auf Abbildungen zwischen beliebigen angeordneten Mengen verallgemeinert. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{mk} Jede monoton wachsende Folge in $\overline{\DR}$ konvergiert gegen das Supremum der Menge ihrer Folgenglieder. Jede monoton fallende Folge in $\overline{\DR}$ konvergiert gegen das Infimum der Menge ihrer Folgenglieder. Jede monotone beschr"ankte Folge von reellen Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur die erste Aussage, die Zweite zeigt man analog und die Dritte ist eine offensichtliche Konsequenz. Sei $s$ das Supremum alias die kleinste obere Schranke der Menge aller Folgenglieder. Kein $p$ mit $px_m$ f"ur alle $m>n$. Besitzt unsere Folge unendlich viele Aussichtspunkte, so bilden diese eine streng monoton fallende Teilfolge. Sonst gibt es einen letzten Aussichtspunkt $x_n$. Dann finden wir aber eine monoton wachsende Teilfolge, die mit $x_{n+1}$ beginnt, denn ab dem Index $n+1$ kommt dann nach jedem Folgenglied noch ein anderes, das mindestens ebenso gro"s ist. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bolzano-Weierstra"s}\index{Bolzano-Weierstra"s}]\label{HB} Jede Folge in $\overline{\DR}$ besitzt eine in $\overline{\DR}$ konvergente Teilfolge. Jede beschr"ankte Folge von reellen Zahlen besitzt eine reell konvergente Teilfolge. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Jede Folge in $\overline{\DR}$ besitzt nach \ref{MT} eine monotone Teilfolge, und diese ist nach \ref{mk} konvergent in $\overline{\DR}$. Ist unsere Folge beschr"ankt, so ist auch jede solche Teilfolge beschr"ankt und konvergiert folglich gegen eine reelle Zahl. \end{proof} \begin{Definition}\label{CF} Eine Folge $(x_{n})_{n\in \DN}$ von reellen Zahlen hei"st eine {\bf Cauchy-Folge},\index{Cauchy-Folge} wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $N = N_{\varepsilon } \in \DN$ gibt derart, da"s gilt $|x_{n}-x_{m} | < \varepsilon $ falls $n,m \geq N$. Analog erkl"art man Cauchy-Folgen in beliebigen angeordneten K"orpern. \end{Definition} \begin{Satz}\label{CFB} Eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da"s jede reell konvergente Folge Cauchy sein mu"s, ist leicht zu sehen: Aus $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =x$ folgt, da"s es f"ur alle $\varepsilon > 0$ ein $N \in \DN$ gibt mit $|x_{n}-x| < \varepsilon /2$ f"ur $n\geq N$. Daraus folgt dann $|x_{n}-x_{m}| < \varepsilon $ f"ur $n,m \geq N$. Wir zeigen nun umgekehrt, da"s auch jede Cauchy-Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert. Eine Cauchy-Folge $x_{n}$ ist sicher beschr"ankt, denn w"ahlen wir f"ur $\varepsilon=1$ ein $N=N_\varepsilon$, so liegen fast alle Folgenglieder im Intervall $(x_N-1,x_N+1)$, und die endlich vielen Ausnahmen k"onnen wir durch eine hinreichend gro"se Schranke auch noch einfangen. Unsere Cauchy-Folge besitzt daher nach \ref{HB} eine reell konvergente Teilfolge $x_{n_{k}}$, sagen wir $\lim_{k\ra \infty} x_{n_{k}} =x$. Wir behaupten, da"s dann auch die Folge $x_{n}$ selbst gegen $x$ konvergiert. In der Tat gibt es f"ur alle $\varepsilon > 0$ ein $N_\varepsilon$ mit $n,m \geq N_\varepsilon \Rightarrow |x_{n} -x_{m}| < \varepsilon$. Aus $n\geq N_\varepsilon$ folgt damit insbesondere $|x_{n}-x_{n_{k}}| < \varepsilon$ f"ur fast alle $k$ und dann im Grenzwert $|x_{n}-x|\leq \varepsilon$ , da ja die Ungleichungen $-\varepsilon \leq x_{n}- x_{n_{k}} \leq \varepsilon$ bestehen bleiben beim Grenz"ubergang $k\ra\infty$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein angeordneter K"orper, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, hei"st {\bf vollst"andig}\index{vollst"andig!angeordneter K"orper}. Dieser Begriff ist Teil einer alternativen Charakterisierung der reellen Zahlen, die wir im folgenden als "Ubung formulieren. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein angeordneter K"orper sind gleichbedeutend: (1) Jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke besitzt eine gr"o"ste untere Schranke; (2) Der K"orper ist archimedisch angeordnet und vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubung}[{\bf Intervallschachtelungsprinzip}] Gegeben eine absteigende Folge von nichtleeren kompakten Intervallen\index{Intervallschachtelungsprinzip} $I_0\supset I_1\supset I_2\ldots$ ist auch ihr Schnitt $\bigcap_{\nu\in \DN} I_\nu$ nicht leer.\label{ISP} \end{Ubung} \begin{Ubung} Konvergiert eine Teilfolge einer Cauchyfolge, so konvergiert bereits die ganze Cauchyfolge, und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubung} \subsection{Vergleich von $\Bbb{Q}$ und $\Bbb{R}$} \begin{Satz} F"ur jede nichtnegative reelle Zahl $a\geq 0$ gibt es genau eine nichtnegative reelle Zahl $x\geq 0$ mit $x^{2}=a$.\label{QWE} Man bezeichnet diese Zahl $x$ mit $\sqrt{a}$ und nennt sie die {\bf\em Wurzel}\index{Wurzel!Quadratwurzel} oder genauer {\bf\em Quadratwurzel}\index{Quadratwurzel} von $a$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s es nach \ref{QQWE} keine rationale Zahl mit Quadrat Zwei gibt. Dieser Satz zeigt also bereits, da"s es reelle Zahlen gibt, die nicht rational sind. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPK}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung unserer induktiven Formel f"ur die Glieder der Folge $x_n$ mit Grenzwert $\sqrt{a}$ aus dem Beweis von \ref{QWE} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Haben wir eine L"osung $X=b$ der Gleichung $X^2-a=0$ gefunden, so gilt $X^{2}-a=(X+b) (X-b)$. In einem K"orper ist nun aber ein Produkt nur Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Folglich ist $X=-b$ dann die einzige andere L"osung. Die Eindeutigkeit der nichtnegativen L"osung ist damit klar und nur deren Existenz mu"s noch gezeigt werden. Wir konstruieren dazu eine Folge und beginnen mit $x_{0}\pdef\max (1,a)$. Dann gilt sicherlich schon einmal $x^{2}_{0} \geq a$. Gegeben $x_{n}>0$ mit $x^{2}_{n} \geq a$ machen wir den Ansatz $(x_{n}-\varepsilon )^{2}=a$ und erhalten $\varepsilon = ({x^{2}_{n}+\varepsilon ^{2}-a})/{2x_{n}}. $ Nun vernachl"assigen wir $\varepsilon^2/2x_n$, vergessen unseren Ansatz und setzen $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{x^{2}_{n}-a}{2x_{n}}=\frac{x^{2}_{n}+a}{2x_{n}} $$ Man sieht sofort, da"s aus $x^{2}_{n} \geq a$ und $x_{n}>0$ folgt $x^{2}_{n+1} \geq a$ und $x_{n} \geq x_{n+1}> 0$. Da die Folge der $x_n$ monoton f"allt und durch Null nach unten beschr"ankt ist, besitzt sie einen Grenzwert $x\geq 0$. Aus der Gleichung $$2x_{n} x_{n+1} = x^{2}_{n} +a$$ folgt dann $x^{2}=a$ durch "Ubergang zum Grenzwert f"ur $n\ra\infty$ auf beiden Seiten. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{NTV} Die Ungleichungen ${a}/{x_{n}} \leq \sqrt{a} 0, x>0$ jedes Folgenglied nach dem ersten das geometrische Mittel im Sinne von \ref{GeoM} seines Vorg"angers und seines Nachfolgers ist. Die geometrische Reihe hinwiederum erbt ihren Namen von der geometrischen Folge. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Es gilt $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \ldots = 2$ und $$0,\!999\ldots = \frac{9}{10} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{10^k} =1$$ \end{Beispiel} \begin{Satz} Sind $\sum a_{k}$ und $\sum b_{k}$ konvergente Reihen, so konvergieren auch die Reihen $\sum (a_{k}+b_{k})$ und $\sum \lambda a_{k}$ und es gilt: $$\begin{array}{rcl} \sum (a_{k}+b_{k}) &=& \sum a_{k} +\sum b_{k}\\ \sum \lambda a_{k} & =& \lambda \sum a_{k} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort, wenn man die entsprechenden Aussagen f"ur Folgen \ref{GA} auf die Folgen der Partialsummen anwendet. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die Folge der Reihenglieder gegen Null strebt. In der Tat folgt das sofort, wenn wir \ref{RFNu} auf die Folge der Partialsummen anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{bk} Eine Reihe, die aus nichtnegativen Gliedern besteht, konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschr"ankt ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist kein Reihenglied negativ, so w"achst die Folge der Par\-tial\-summen monoton. Ist diese Folge auch noch beschr"ankt, so mu"s sie nach \ref{mk} reell konvergent sein. Die Umkehrung ist eh klar. \end{proof} \begin{Beispiel} \label{harm} Die {\bf harmonische Reihe}\index{harmonische Reihe} $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k}$ konvergiert nicht, da ja gilt \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBau} \\[4mm]\noindent Die Divergenz der harmonischen Reihe \ref{harm} zeigt, da"s man mit hinreichend vielen identischen Baukl"otzen einen beliebig weit neben seinem Grundklotz endenden Turm bauen kann. Obiges Bild zeigt etwa, wie weit man mit vier Kl"otzen so gerade eben mal kommen kann. \end{figure} $$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} & \geq &\frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{3}+\frac{1}{4} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ \frac{1}{8} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm] \text{und}&\text{so} &\text{weiter.} \end{array}$$ Jedoch konvergieren die Reihen $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^{s}}$ f"ur $s=2,3,4, \ldots$, da f"ur jede dieser Reihen die Folge der Partialsummen beschr"ankt ist durch $1 + \sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{k(k-1)}=2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In der Funktionentheorie k"onnen Sie lernen, da"s diese Reihen sogar eine au"serordentlich interessante Funktion $\zeta (s)$ definieren, die sogenannte {\bf Riemann'sche $\zeta$-Funktion}\index{Riemann!$\zeta$-Funktion}. Wir werden in \eref{WRZ}{FT1} zeigen, da"s zum Beispiel gilt $\zeta (2) = \frac{\pi^{2}}{6}$, $\zeta (4) = \frac{\pi^{4}}{90}$, $\zeta (6) = \frac{\pi^{6}}{945}$ und nach \eref{WRZa}{FT1} haben wir sogar ganz allgemein $\zeta (2n)\in \DQ\pi^{2n}$ f"ur beliebige nat"urliche Zahlen $n\geq 1$. Alle diese Formeln sind ber"uhmte Resultate des 1707 in Basel geborenen Mathematikers {\bf Leonhard} \defind{Euler}. Als "Ubung \ref{KWPZ} werden Sie im "ubrigen zeigen, da"s auch die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen bereits divergiert. F"ur diejenigen unter Ihnen, die die komplexen Zahlen bereits kennen, sei erw"ahnt, da"s es mit etwas gr"o"serem Aufwand sogar gelingt, $\zeta (s)$ zu definieren f"ur jede komplexe Zahl $s\neq 1$, vergleiche etwa \eref{AZFc}{FT1}. Die vielleicht ber"uhmteste Vermutung der Mathematik, die sogenannte {\bf Riemann'sche Vermutung}\index{Riemann!Riemann'sche Vermutung} besagt, da"s alle Nullstellen der Riemann'schen $\zeta$-Funktion, die nicht auf der reellen Achse liegen, Realteil $1/2$ haben m"ussen. Ein Beweis dieser Vermutung h"atte weitreichende Konsequenzen f"ur unser Verst"andnis der Verteilung der Primzahlen, wie der Beweis des Primzahlsatzes \eref{PZS}{FT1} illustriert. Die Riemann'sche Vermutung ist "ubrigends der Kern des {\bf achten Hilbert'schen Problems}.\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 8} \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Wir sagen, eine Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ {\bf konvergiere absolut},\index{absolut konvergente Reihe!reeller Zahlen} wenn die Reihe der Absolutbetr"age ihrer Reihenglieder konvergiert, in Formeln $\sum^{\infty}_{k=0} |a_{k}|<\infty$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die sogenannte \defind{alternierende harmonische Reihe} $$\sum^{\infty}_{k=1} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}=1-\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \ldots $$ konvergiert, aber nicht absolut. Da"s die Reihe nicht absolut konvergiert, hatten wir schon in \ref{harm} gesehen. Um zu zeigen, da"s unsere Reihe dennoch konvergiert, beachten wir, da"s f"ur die Folge $s_{n}$ der Partialsummen gilt $$s_{2}\leq s_{4} \leq s_6\leq \ldots s_{5} \leq s_{3} \leq s_{1}$$ Folglich existiert $S = \sup \{s_{2},s_{4},\ldots\}$. Da aber gilt $s_{2k} \leq S \leq s_{2k +1}$ f"ur alle $k$ erhalten wir $|S- s_{n}| \leq \frac{1}{n}$ und folglich $\lim_{n\ra \infty} s_{n} =S$. Wir werden in \ref{AbK} sehen, da"s genauer gilt $ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots = \log 2$. \end{Beispiel} \begin{Satz} Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ unsere absolut konvergente Reihe. Seien $$s_{n} = \sum^{n}_{k=0} a_{k},\;\; S_{n} = \sum^{n}_{k=0} |a_{k}|$$ die Partialsummen der Reihe selbst und der Reihe der Absolutbetr"age. Nach Annahme konvergiert die Folge der $S_{n}$ in $\DR$ und ist also eine Cauchy-Folge. Da aber gilt $|s_{n}-s_{m}| =|\sum^{n}_{k=m+1} a_{k}| \leq \sum^{n}_{k=m+1} |a_{k}|=S_{n}-S_{m} \quad \forall n>m$, ist dann auch $s_{n}$ eine Cauchy-Folge und konvergiert in $\DR$ nach \ref{CFB}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Umordnungssatz}\index{Umordnungssatz}]\label{US} Ist $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ eine absolut konvergente Reihe und $u:\DN \ra \DN$ eine Bijektion, so ist auch $\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)}$ eine absolut konvergente Reihe und es gilt $$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} = \sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da $\sum |a_k|$ konvergiert, finden wir sicher f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $N$ mit $\sum^{\infty}_{k=N+1}|a_{k}| \leq \varepsilon $. Ist $M$ so gro"s, da"s gilt $ u (\{1,\ldots , M\})\supset \{1,\ldots , N\}$, so erhalten wir daraus f"ur alle $n\geq N$ die Absch"atzung $$\left| \sum^{M}_{k=0} a_{u(k)} - \sum^{n}_{k=0} a_k\right| \leq \varepsilon $$ Diese Absch"atzung gilt nach \ref{GAA2} und \ref{absG} dann auch im Grenzwert $n\ra\infty$ und zeigt, da"s die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe konvergiert und denselben Grenzwert hat wie die Folge der Partialsummen der urspr"unglichen Reihe. Wenden wir diese Erkenntnis an auf die Reihe der Absolutbetr"age, so folgt auch die absolute Konvergenz der umgeordneten Reihe. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht absolut konvergiert, so gibt es f"ur jedes $x\in\Bbb{R}$ eine Umordnung $u:\DN\sira\DN$ mit $\sum_{k=0}^\infty a_{u(k)}=x$. In der Tat divergieren in diesem Fall die Reihen ihrer positiven und ihrer negativen Terme jeweils f"ur sich genommen. Die Strategie ist nun, erst nur positive Reihenglieder zu nehmen, bis man oberhalb von $x$ ist, dann nur negative, bis man wieder drunterrutscht, und immer so weiter. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Majorantenkriterium}\index{Majorantenkriterium}] Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe.\label{MajKalt} Gibt es f"ur unsere Reihe eine konvergente {\bf\em Majorante}\index{Majorante}, als da hei"st eine konvergente Reihe $\sum b_{k}$ mit $|a_{k}| \leq b_{k}$ f"ur fast alle $k$, so konvergiert unsere Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $|a_{k}| \leq b_{k} $ sogar f"ur alle $k$ gilt. Die Reihe $\sum |a_{k}|$ besteht nun aus nichtnegativen Gliedern und die Folge ihrer Partialsummen ist beschr"ankt durch $\sum b_{k}$. Aus \ref{bk} folgt damit die Konvergenz der Reihe $\sum |a_{k}|$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Quotientenkriterium}\index{Quotientenkriterium}] Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern. Gibt es $\theta < 1$ mit $|a_{k+1}/a_{k}| \leq \theta$ f"ur\label{QuKalt} fast alle $k$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Bei diesem Kriterium ist wesentlich, da"s $\theta$ nicht von $k$ abh"angt, die Ungleichungen $|a_{k+1}/a_{k}| < 1$ gelten ja auch f"ur die divergente harmonische Reihe. Es gibt jedoch auch Reihen wie $\sum\frac{1}{k^2}$, die absolut konvergieren, obwohl sie unser Kriterium nicht dazu zwingt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $|a_{k+1}/a_{k}| \leq \theta$ sogar f"ur alle $k$ gilt. Daraus folgt induktiv $|a_{k}| \leq |a_{0}| \theta^{k}$ f"ur alle $k$, mithin ist die nach \ref{GR} konvergente geometrische Reihe $\sum |a_{0}|\theta^{k}$ eine Majorante unserer Reihe und wir k"onnen das Majorantenkriterium \ref{MajK} anwenden. \end{proof} \begin{Korollar}\label{KQK} Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern. Gilt $\lim_{k\ra \infty} |a_{k+1}/a_{k}| <1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Klar nach dem Quotientenkriterium \ref{QuK}. \end{proof} \begin{Definition}\label{BAKo}%\label{BUS} Gegeben eine Familie von reellen Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ und $s\in\overline{\DR}$ schreiben wir $$\sum_{i\in I} a_i=s$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jedes endliche $J$ mit $ I_U\subset J\subset I$ gilt $$\sum_{i\in J} a_i\in U$$ Es ist klar, da"s hier $s$ eindeutig bestimmt ist, wenn es existiert. Ist zus"atzlich $s$ reell, so nennen wir unsere Familie von reellen Zahlen {\bf summierbar}.\index{summierbar!Familie reeller Zahlen} \end{Definition} % \begin{Definition}\label{BAKo}%\label{BUS} % Eine Familie $(a_i)_{i\in I}$ von reellen Zahlen hei"st % \defnoind{summierbar}\index{summierbar!Familie reeller Zahlen} % {\bf mit Summe} $s$ % und man schreibt % $$\sum_{i\in I} a_i=s$$ % genau dann, wenn es f"ur jede % Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, % da"s f"ur jedes endliche $J$ mit % $ I_U\subset J\subset I$ gilt % $$\sum_{i\in J} a_i\in U$$ % Diese Definition ist durchaus f"ur $s\in\overline{\DR}$ sinnvoll, % wir nennen unsere Familie jedoch nur im Fall $s\in \DR$ summierbar. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mir gef"allt die letzte Definition besonders gut, da darin von einer Reihenfolge der Summanden erst gar nicht die Rede ist. In der folgenden "Ubung d"urfen Sie zeigen, da"s die in der vorhergehenden Definition erkl"arte Summierbarkeit im wesentlichen gleichbedeutend zu absoluter Konvergenz ist. Sp"ater, wenn wir auch in Vektorr"aumen summieren, sind jedoch Summierbarkeit und absolute Konvergenz nicht mehr gleichbedeutend, und dann erweist sich das Analogon \ref{ABSB} der Summierbarkeit \ref{BAKo} als der n"utzlichere Begriff. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{RPP} Genau dann l"a"st sich eine reelle Zahl durch einen periodischen Dezimalbruch darstellen, wenn sie rational ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LK} Man zeige das {\bf Leibniz'sche Konvergenzkriterium}\index{Leibniz'sches Konvergenzkriterium}: Ist $a_{k}$ eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^{k} a_{k}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen und $u:\DN\sira\DN$ eine Umordnung mit der Eigenschaft, da"s $|u(k)-k|$ beschr"ankt ist, so konvergiert auch die umgeordnete Reihe $\sum a_{u(k)}$ und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{SuFa} Man zeige, da"s in einer summierbaren Familie von reellen Zahlen nur f"ur h"ochstens abz"ahlbar viele Indizes $i\in I$ das entsprechende $a_i$ von Null verschieden sein kann. Hinweis: Sonst g"abe es ein $n\geq 1$ derart, da"s f"ur unendlich viele $i$ g"alte $|a_i|>1/n$. Man zeige dann weiter, eine Familie von reellen Zahlen summierbar ist genau dann, wenn f"ur eine und jede Abz"ahlung ihrer von Null verschiedenen Glieder die so entstehende Reihe absolut konvergiert, und da"s dann die Summe unserer Familie der Grenzwert der entsprechenden Reihe ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine summierbare Familie von reellen Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ zeige man,\label{RMKo} da"s auch f"ur eine beliebige Teilmenge $J\subset I$ die Familie $(a_i)_{i\in J}$ summierbar ist, und da"s f"ur eine beliebige Zerlegung $I=\coprod_{k\in K}I(k)$ von $I$ in eine Vereinigung von paarweise disjunkten Teilmengen $I(k)$ gilt $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{k\in K}(\sum_{i\in I(k)} a_i)$. Weiter zeige man f"ur jede aufsteigende Familie von Teilmengen $I_0\subset I_1\subset \ldots$ mit Vereinigung $I$ die Formel $\sum_{i\in I} a_i=\lim_{n\ra\infty}\sum_{i\in I_n}a_i$. Diese Aussagen werden sich im "ubrigen als Speziallf"alle des Satzes von Fubini \eref{Fuba}{AN3} und des Satzes "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} aus der Theorie des Lebesgue-Integrals erweisen. \end{Ubunge} \subsection{Wachstum und Zerfall}\label{Exp} \begin{Definition}\label{DEx} F"ur alle $x\in\DR$ setzen wir $$\exp (x) \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} =1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+ \ldots$$ und erhalten so eine Abbildung $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, die {\bf Exponentialfunktion}\index{Exponentialfunktion}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die fragliche Reihe konvergiert f"ur alle $x\in\DR$ nach dem Quotientenkriterium oder genauer seinem Korollar \ref{KQK}, und sie konvergiert sogar au"serordentlich schnell. Von einem formalen Standpunkt aus betrachtet ist unsere Definition also v"ollig unproblematisch und von einem rechentechnischen Standpunkt aus betrachtet ist sie sogar ziemlich geschickt. Sie hat nur den Nachteil, da"s aus der Definition heraus weder klar wird, warum gerade diese Funktion den Namen Exponentialfunktion verdienen sollte, noch warum sie "uberhaupt von Interesse ist. Ich erl"autere das in den gleich anschlie"senden Bemerkungen \ref{EEED} und \ref{EEEb}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{EEE} Es gilt $\exp (x) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{x}{n} \right)^{n}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Mit der binomischen Formel \eref{BiFoA}{GR} ergibt sich $$ \left( 1+ \frac{x}{n}\right)^{n} = \sum^{n}_{k=0}{n \choose k} \left(\frac{x}{n}\right)^{k} = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)} {n\;\cdot\; n\cdot\;\hfill\ldots\hfill \cdot\; n\;\;\;\;\;} $$ F"ur beliebige $M,n\in\DN$ mit $n\geq 1$ gilt also $$\begin{array}{cl} \left|\exp (x) - \left( 1+\frac{x}{n}\right)^{n} \right| \leq & \left| \exp (x) -\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \right| \\[4mm] & + \left|\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} - \sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}} {k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right| \\[4mm] & + \left| \sum^{\infty}_{k=M+1} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right| \end{array}$$ Da die Exponentialreihe f"ur vorgegebenes $x$ absolut konvergiert, gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $M=M_\varepsilon$ derart, da"s f"ur jedes $n$ der erste und der letzte Term rechts beschr"ankt sind durch $\varepsilon $. F"ur dies feste $M$ geht der mittlere Term bei $n \ra \infty$ gegen Null, es gibt also $N =N_{\varepsilon }$ derart, da"s er f"ur dies feste $M$ kleiner wird als $\varepsilon $ falls $n\geq N$. Damit gilt $\left| \exp (x) - \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right| \leq 3 \varepsilon $ falls $n \geq N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialfunktion und Wachstum}] Unsere Proposition \ref{EEE} kann man dahingehend interpretieren, da"s $\exp (x)$ das Kapital ist, das in $x$\label{EEEb} Jahren aus einem Euro entsteht bei einer \glqq kontinuierlichen Verzinsung mit einem Zinssatz von $100\%$\grqq. Legen wir das Geld zum Beispiel f"ur ein Jahr an, so haben wir bei j"ahrlicher Verzinsung am Ende des Jahres zwei Euro auf dem Konto. Bei monatlicher Verzinsung ergeben sich mit Zinseszinsen schon $(1+\frac{1}{12})^{12}$ Euro, und bei kontinuierlicher Verzinsung $\op{e} \pdef \exp (1) = 2,\!781 \ldots$ Euro. Man nennt $\op{e}$ die {\bf Euler'sche Zahl}\index{Euler'sche Zahl}. In der Schule haben Sie m"oglicherweise $\op{e}^{x}$ statt $\exp (x)$ geschrieben, aber wir erlauben uns das erst ab \ref{APo}, wo wir f"ur beliebiges $a>0$ die Abbildung $\DZ\ra\DR$, $n\mapsto a^n$ zu einer Abbildung $\DR\ra\DR$, $b\mapsto a^b$ fortsetzen und zwar nach \ref{SRR2} auf die einzig m"ogliche Weise, bei der die Funktion $b\mapsto a^b$ \glqq monoton\grqq\ ist im Sinne von \ref{MoAb} und die \glqq Funktionalgleichung\grqq\ $a^{b+c}=a^b a^c$ erf"ullt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/Bildexp}%Bild0013 \\ \noindent Der Graph der Exponentialfunktion in zwei Ma"sst"aben. Man erkennt unschwer, da"s ein konstantes Wirtschaftswachstum "uber l"angere Zeitr"aume in einer Katastrophe enden mu"s. In derselben Weise entwickelt sich im "Ubrigen auch die Geschwindigkeit einer Vorlesung unter der Annahme, da"s die Stoffmenge, die in einer Stunde vermittelt werden kann, proportional ist zur Menge des Stoffes, den die Zuh"orer bereits kennen$\ldots$ \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{EEED} In einem Ausdruck der Gestalt $a^b$ nennt man $a$ die {\bf Basis} und $b$ den {\bf Exponenten}, weil er eben exponiert oben an die Basis geschrieben wird. Daher r"uhrt auch die Bezeichnung als \glqq Exponentialfunktion\grqq. Ich w"urde unsere Funktion viel lieber ihrer Natur nach die \glqq Funktion des nat"urlichen Wachstums\grqq\ oder die \glqq Wachstumsfunktion\grqq\ nennen, aber die aus der Schreibweise abgeleitete Bezeichnung hat sich nun einmal durchgesetzt, mag sie auch aus historischen Zuf"allen entstanden sein: H"atte sich f"ur die Bezeichnung des Quadrats einer Zahl $a$ statt der Notation $a^2$ die Notation $a_2$ eingeb"urgert, so w"urde in Anbetracht dieses Schemas der Begriffsbildung unsere Exponentialfunktion heute vielleicht \glqq Pedestalfunktion\grqq\ hei"sen$\ldots$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Didaktische Gedanken zur Einf"uhrung der Exponentialfunktion}] Eine infinitesimale Formulierung der in \ref{EEEb} erl"auterten Bedeutung der Exponentialfunktion gibt Korollar \ref{KEe}, in dem die Exponentialfunktion charakterisiert wird als die eindeutig bestimmte differenzierbare Funktion von den reellen Zahlen in sich selber, die mit ihrer eigenen Ableitung "ubereinstimmt und bei Null den Wert Eins annimmt. Gehen wir von dieser Charakterisierung aus, so f"uhrt uns der Formalismus der Taylorreihen \ref{TEe} ganz nat"urlich zu der Reihe, die wir in \ref{DEx} haben vom Himmel fallen lassen, um m"oglichst schnell erste substanzielle Anwendungen unserer Betrachtungen zu Folgen und Reihen geben zu k"onnen. Eigentlich will ich es ja nach M"oglichkeit vermeiden, Formeln vom Himmel fallen zu lassen. In diesem Fall schienen mir aber die didaktischen Vorteile der dadurch erm"oglichten fr"uhzeitigen Einf"uhrung dieser au"serordentlich wichtigen Funktion zu "uberwiegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Exponentialfunktion w"achst ungeheuer schnell. Eine gewisse Vorstellung davon mag die Erkenntnis \ref{GHK} geben, nach der der Graph der Funktion $(\op{exp}(x)+\op{exp}(-x))/2$, in einem jeweils der speziellen Situation angepa"sten Ma"sstab auf die Wand gemalt, genau die Gestalt einer zwischen zwei N"ageln durchh"angenden Kette hat. Ist die Kette zwanzigmal so lang ist wie der Abstand der beiden N"agel, so stellt sie unsere Funktion in etwa auf dem Intervall von $-2,\!3$ bis $2,\!3$ dar. Ist die Kette zweihundertmal so lang wie der Abstand der beiden N"agel, so erhalten wir unsere Funktion in etwa auf dem Intervall von $-4,\!6$ bis $4,\!6$. Und eine Zwei-Meter-Kette h"angt zwischen zwei im Abstand von einem knappen Zentimeter eingeschlagenen N"ageln schon recht steil! \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}] Die Exponentialfunktion ist ein\label{FdE} Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen. In Formeln ausgedr"uckt gilt f"ur alle $x,y\in\DR$ also $\exp(x)\neq 0\neq \exp(y)$ und $$\exp (x+y) = \exp (x) \exp(y)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Stellen wir uns $\exp (x)$ vor als das Verm"ogen, da"s in $x$ Jahren aus einem Euro entsteht bei kontinuierlicher Verzinsung mit $100\%$, so erhalten wir offensichtlich gleichviel, ob wir unser Verm"ogen $\exp (x)$ nach $x$ Jahren gleich wieder f"ur $y$ Jahre anlegen, oder ob wir unseren Euro gleich von Anfang an $x+y$ Jahre arbeiten lassen. Das ist die Bedeutung der Funktionalgleichung. In \ref{SRR2} werden Sie zeigen, da"s die Gruppenhomomorphismen $\varphi:\DR\ra\DR^\times$ mit der Eigenschaft $x0$. In \ref{SurE} werden wir zeigen, da"s die Exponentialfunktion sogar einen Isomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der gleich folgende Beweis der Funktionalgleichung gef"allt mir nicht besonders. Ein anderer aber in seiner Weise auch etwas verwickelter Beweis wird in \ref{FGEX} vorgestellt. Ein mehr konzeptueller Zugang zur Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung wird in \ref{AAExp} und \ref{UAExp} skizziert. Er ben"otigt jedoch Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung stehen, und er l"a"st auch nicht so einfach auf den Fall von komplexen Zahlen verallgemeinern, der f"ur uns bei der Diskussion von Sinus und Cosinus eine wesentliche Rolle spielen wird. Wir schicken dem eigentlichen Beweis einige allgemeine Betrachtungen voraus. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Produkt von Reihen}\index{Produkt!von Reihen}] Sind $\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}$ und $\sum^{\infty}_{j=0} b_{j}$ absolut konvergente Reihen, so\label{PvR} konvergiert auch die Summe der Produkte $a_ib_j$ f"ur $(i,j)\in \DN\times \DN$ im Sinne von \ref{BAKo} und es gilt $$\sum_{(i,j)\in \DN\times \DN} a_{i}b_{j} = \left(\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} b_{j}\right) $$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s f"ur irgendeine Bijektion $w : \DN \ra \DN \times \DN$, $ k \mapsto (u(k),v(k))$ die Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} b_{v(k)}$ absolut konvergiert und da"s gilt $$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)}b_{v(k)} = \left(\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} b_{j}\right) $$ Nat"urlich haben wir $$\sum^{n}_{k=0} |a_{u(k)} b_{v(k)}| \leq \left( \sum^{N}_{i=0} |a_{i}| \right) \left( \sum^{M}_{j=0} |b_{j}| \right)$$ falls gilt $ N \geq \max (u(0),\ldots ,u(n))$ und $M \geq \max (v(0), \ldots, v(n))$. Damit konvergiert unsere Reihe $\sum a_{u(k)}b_{v(k)}$ absolut. Nach dem Umordnungssatz \ref{US} k"onnen wir also die Bijektion $w: \DN\ra \DN \times \DN$ nehmen, die wir wollen, um den Grenzwert zu bestimmen. Jetzt w"ahlen wir unsere Bijektion $w=(u,v)$ so, da"s sie Bijektionen $$\{0, \ldots , n^{2}-1\} \sira \{0,\ldots , n-1\} \times \{0,\ldots ,n-1\}$$ induziert, und erhalten Partialsummen $$\sum^{n^{2}-1}_{k=0} a_{u(k)}b_{v(k)} = \left( \sum^{n-1}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{n-1}_{j=0}b_{j}\right)$$ Der "Ubergang zum Grenzwert $n\ra \infty$ zeigt dann die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beweisvariante}] Das Ende des Beweises h"atte sehr viel besser ausgesehen, wenn wir unsere Reihen mit dem Index $k=1$ beginnen lie"sen, aber so sieht der Anfang des Beweises nat"urlicher aus. In Wirklichkeit zeigen wir eh f"ur beliebige im Sinne von \ref{BAKo} summierbare Familien reeller Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ und $(b_j)_{j\in J}$, da"s auch die Familie aller Produkte $(a_i b_j)_{(i,j)\in I\times J}$ summierbar ist und da"s gilt $$\left(\sum_{i\in I}a_i\right) \left(\sum_{j\in J}b_j\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}a_ib_j$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Funktionalgleichung \ref{FdE}] Wir rechnen $$\begin{array}{ccl} \hspace{0.5cm}\exp (x+y) &=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!}(x+y)^{k}\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \left(\sum_{i+j=k} \frac{k!}{i!j!} x^{i}y^{j}\right)\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j=k} \frac{x^{i}}{i!} \frac{x^{j}} {j!}\right) \end{array}$$ wo wir im zweiten Schritt die binomische Formel verwenden und der Index $i+j=k$ an einer Summe bedeutet, da"s wir "uber alle Paare $(i,j) \in \DN \times \DN$ mit $i+j =k$ summieren. Andererseits erhalten wir mit unserem Satz "uber das Produkt von Reihen bei einer geeigneten Wahl der Bijektion $w: \DN \sira \DN \times \DN$ und nach "Ubergang zu einer Teilfolge der Folge der Partialsummen auch $$\begin{array}[b]{ccl} \exp (x) \exp (y) & =& \left( \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{i}}{i!}\right) \left(\sum^{\infty}_{j=0} \frac{y^{j}}{j^{!}}\right)\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j =k} \frac{x^{i}}{i!} \frac{y^{j}}{j!}\right) \end{array}$$ Da sicher gilt $\exp(0)=1$, folgt $\exp(x)\exp(-x)=\exp(x+(-x))=1$ f"ur alle $x\in\DR$ und mithin $\exp(x)\neq 0$ f"ur alle $x\in\DR$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man folgere aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion \ref{FdE} die Formeln $\exp(-x)=\exp(x)^{-1}$, $\exp(x)>0\quad\forall x\in\Bbb{R}$, $\exp(n)=\op{e}^n$, $\exp(nx)=(\exp x)^n\;\forall n\in\DZ$ sowie $\exp(x/2)=\sqrt{\exp(x)}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Der "Ubersichtlichkeit halber k"urzen wir hier im Vorgriff auf \ref{APo} schon $\op{exp}(x)=\op{e}^x$ ab. Man zeige, da"s f"ur alle $i, N \in \DN$ gilt $$\lim_{n \ra \infty} {nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^i \left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}= \frac{N^{i}\op{e}^{-N}}{i!} $$ Dieses Resultat ist in der Stochastik wichtig, wie ich im folgenden ausf"uhren will. Gegeben $\lambda \in \Bbb{R}$ hei"st die Funktion $i \mapsto \lambda^{i}\op{e}^{-\lambda} /i!$ ganz allgemein die {\bf Poisson-Verteilung}\index{Poisson-Verteilung} mit Parameter $\lambda$. Sie hat die folgende Bedeutung: Knetet man in einen gro"sen Teig genau $nN$ Rosinen ein und teilt ihn dann in $n$ Rosinenbr"otchen, so ist $\left( \frac{1}{n}\right)^{i}$ $ \left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die Wahrscheinlichkeit, da"s $i$ vorgegebene Rosinen in einem fest gew"ahlten Br"otchen landen und die restlichen Rosinen in den anderen Br"otchen. Mithin ist ${nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^{i} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die Wahrscheinlichkeit, da"s in einem fest gew"ahlten Br"otchen genau $i$ Rosinen landen. Ist unser Br"otchen klein im Vergleich zum ganzen Teig, so liegt diese Wahrscheinlichkeit also nahe bei $N^{i}\op{e}^{-N}/i!$ oder allgemeiner bei $\lambda^{i}\op{e}^{-\lambda}/i!$ mit $\lambda$ der durchschnittlichen Zahl von Rosinen in dem Teigvolumen, das man f"ur ein Br"otchen braucht. Genau genommen stimmt das allerdings nur f"ur punktf"ormige Rosinen, denn sonst liefert die Gr"o"se des Br"otchens eine obere Schranke f"ur die m"oglichen Anzahlen der darin verbackenen Rosinen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man berechne die Euler'sche Zahl $\op{e}$ bis auf $5$ sichere Stellen hinter dem Komma. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{eNr} Die Euler'sche Zahl $\op{e}$ ist nicht rational. Man zeige dies, indem man von ihrer Darstellung als Reihe ausgeht und durch geeignete Absch"atzungen nachweist, da"s $q!\!\op{e}$ f"ur $q\in \DN$ mit $q\geq 2$ nie eine ganze Zahl sein kann. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{FGEX} In dieser "Ubung sollen Sie einen anderen Zugang zur Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ausarbeiten, den ich in einer Arbeit von Martin Kneser kennengelernt habe: Man zeige, indem man den Beweis von \ref{EEE} verallgemeinert, da"s f"ur jede Folge reeller Zahlen $x_n\in\DR$ aus $\lim_{n \ra \infty}x_n= x$ folgt $ \lim_{n \ra \infty} \left(1+ \frac{x_n}{n} \right)^{n}= \exp (x)$. Mithilfe der Identit"at $$\left(1+ \frac{x}{n} \right)\left(1+ \frac{y}{n} \right)=\left(1+ \frac{x+y+(xy/n)}{n} \right)$$ folgere man dann die Funktionalgleichung. \end{Ubunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPaa} \\ \noindent Die Parabel $y=x^2$ ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. \end{figure} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA1" %%% End: