\section{Folgen und Reihen, Reste aus Umarbeitung}\label{FoR}




\subsection{Konvergenz von Folgen}




\begin{Definition}\label{AZU}
  Unter einer {\bf Umgebungsbasis}
\index{Umgebungsbasis!in $\overline{\DR}$} 
eines Punktes versteht
  man ein System alias eine 
Menge von Umgebungen besagten Punktes derart, da"s jede Umgebung
unseres Punktes
  mindestens eine Umgebung unseres Systems umfa"st.
\end{Definition}


\begin{Beispiele}
Sei $x$ eine reelle Zahl. Die $\varepsilon$-Umgebungen eines 
Punktes $x\in\DR$ bilden eine Umgebungsbasis 
von $x$. Alle 
  Intervalle $[x-3\varepsilon, x+4\varepsilon)$ mit $\varepsilon>0$  bilden eine Umgebungsbasis 
von $x$. 
  Alle Intervalle $[x-1/n, x+1/n]$ mit $n\in \DN_{\geq 1}$  bilden eine Umgebungsbasis 
von $x$.  Eine
   Umgebungsbasis von $\infty$ bilden etwa die
  Intervalle $[K,\infty]$ mit $K\in\DR$ oder auch mit $K\in\DN$. 
\end{Beispiele}









\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{SCFR} 
Man zeige: 
Die Regeln \ref{GA}.\ref{GA1} zum Vertauschen von Grenzwertbildung mit
Addition und Multiplikation 
gelten auch noch, wenn wir $a,b \in \overline{\Bbb{R}}$
zulassen und $a+b$ beziehungsweise $ a\cdot b$ sinnvoll definiert sind
im Sinne der vorhergehenden Bemerkung \ref{GWU}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{AbFun}
  F"ur jedes $x\in \overline{\DR}$ gibt es eine absteigende
  Folge von Umgebungen $U_0\supset U_1\supset U_2\supset\ldots$ derart, da"s
  jede Umgebung von $x$ fast alle der $U_n$ umfa"st.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ist $A\subset \overline{\DR}$ eine nichtleere  Teilmenge, so
ist $\sup A$ das gr"o"ste Element in der Menge $G$ 
aller Punkte aus den erweiterten 
reellen Zahlen, die Grenzwerte von Folgen aus $A$ sind.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{absG}
Aus $\lim_{n \ra \infty} a_{n} = a$ folgt $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}| = |a|$.
Umgekehrt folgt aus $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}|=0$  bereits
$\lim_{n \ra \infty} a_{n}=0$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{RFNu}
Ist $(a_n)$ eine  Folge reeller Zahlen, die gegen eine reelle
Zahl  konvergiert, so gilt
$\lim_{n\ra\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$.
\end{Ubung}





\subsection{Wurzelberechnung}

\begin{Satz}
F"ur jede nichtnegative reelle Zahl $a\geq 0$
gibt es genau eine nichtnegative reelle Zahl $x\geq 0$
mit $x^{2}=a$.\label{QWE} Man bezeichnet diese Zahl $x$  mit $\sqrt{a}$ und nennt
sie die {\bf\em Wurzel}\index{Wurzel!Quadratwurzel} oder genauer
{\bf\em Quadratwurzel}\index{Quadratwurzel}
von $a$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ich  erinnere daran, da"s es nach \ref{QQWE} keine rationale Zahl mit
Quadrat Zwei gibt. Dieser Satz zeigt also bereits, da"s es reelle Zahlen gibt,
die nicht rational sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPK}\\[4mm]
\noindent
Graphische Darstellung unserer induktiven Formel f"ur die
Glieder der Folge $x_n$ mit Grenzwert $\sqrt{a}$ aus dem Beweis von \ref{QWE}
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Haben wir  eine L"osung $X=b$ der Gleichung $X^2-a=0$ gefunden, 
so gilt $X^{2}-a=(X+b) (X-b)$. In einem K"orper ist 
nun aber ein Produkt nur  Null, wenn einer der
Faktoren Null ist. Folglich ist $X=-b$ dann die einzige andere
L"osung.
Die Eindeutigkeit der nichtnegativen L"osung ist damit klar und nur
deren Existenz mu"s noch gezeigt werden.
Wir konstruieren dazu eine Folge und beginnen mit
$x_{0}\pdef\max (1,a)$. Dann gilt sicherlich schon einmal $x^{2}_{0} \geq a$.
Gegeben $x_{n}>0$ mit $x^{2}_{n} \geq a$ machen wir den Ansatz
$(x_{n}-\varepsilon )^{2}=a$ und erhalten
$\varepsilon  = ({x^{2}_{n}+\varepsilon ^{2}-a})/{2x_{n}}.
$
Nun vernachl"assigen wir  $\varepsilon^2/2x_n$, vergessen unseren Ansatz 
und setzen 
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{x^{2}_{n}-a}{2x_{n}}=\frac{x^{2}_{n}+a}{2x_{n}} $$
Man sieht sofort, da"s aus 
 $x^{2}_{n} \geq a$ und $x_{n}>0$ folgt
$x^{2}_{n+1} \geq a$ und  $x_{n} \geq x_{n+1}> 0$. 
Da die Folge der $x_n$ monoton f"allt und durch 
Null nach unten beschr"ankt ist,
besitzt sie einen Grenzwert $x\geq 0$.
Aus der Gleichung
$$2x_{n} x_{n+1} =  x^{2}_{n} +a$$
folgt dann $x^{2}=a$ durch "Ubergang zum Grenzwert 
f"ur $n\ra\infty$ auf beiden Seiten.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{NTV}
Die Ungleichungen ${a}/{x_{n}} \leq \sqrt{a}
<x_{n}$ erlauben uns sogar abzusch"atzen, wie gut unsere Approximation
$x_{n}$ mindestens sein mu"s.
Machen wir f"ur den Fehler den Ansatz
$x_n=\sqrt{a}(1+f_n)$, so ergibt sich mit etwas Rechnen
$$f_{n+1}=\frac{f_n^2}{2(1+f_n)}$$
und indem wir im Nenner die 1 beziehungsweise $f_n$ verkleinern zu Null
erhalten wir die Absch"atzung $f_{n+1}\leq \frac{1}{2}\min(f_n,f_n^2)$.
Sobald also $x_n$ so nah bei $\sqrt{a}$ ist, da"s gilt $f_n<1$, \glqq verdoppelt
sich die Anzahl der richtigen Stellen beim "Ubergang von $x_n$ zu $x_{n+1}$\grqq.
Man spricht unter diesen Umst"anden auch von
{\bf quadratischer Konvergenz}.
Anschaulich erh"alt man $x_{n+1}$, indem man von $x_n$ senkrecht
hochgeht zum Graph der Funktion $y=x^{2}-a$ und dann auf der Tangente
an diesen Graphen wieder herunter auf die $x$-Achse.
Es ist damit auch anschaulich klar, da"s unser Verfahren sehr
schnell konvergieren sollte. 
Dieses Verfahren kann auch zur Bestimmung der Nullstellen 
allgemeinerer Funktionen anwenden. 
Es hei"st das \defind{Newton-Verfahren}. 
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{UGF}
Ich erinnere an
 die Fibonacci-Folge und den goldenen Schnitt aus \eref{FiFo}{GR}.
  Man zeige, da"s der Quotient zweier aufeinanderfolgender
  Fibonacci-Zahlen gegen den goldenen
  Schnitt strebt, da"s also in Formeln gilt 
  $$\lim_{i\ra\infty}\frac{x_{i+1}}{x_i}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
f"ur unsere Fibonacci-Folge
  $x_0,x_1,x_2,\ldots$ aus \eref{FiFo}{GR}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben zwei reelle Zahlen $a,b\in \DR$ definiert man ihr
{\bf arithmetisches Mittel}\index{arithmetisches Mittel} als
die Zahl $(a+b)/2$. Gegeben zwei nichtnegative reelle 
Zahlen $a,b\in \DR_{\geq 0}$ 
definiert man ihr\label{GeoMalt}  
{\bf geometrisches Mittel}\index{geometrisches Mittel} 
als
die Zahl $\sqrt{ab}$. 
Anschaulich ist das die Kantenl"ange eines Quadrats, das dieselbe Fl"ache
hat wie das Rechteck mit den Seitenl"angen $a$ und $b$, 
und daher kommt vermutlich auch die Terminologie. 
Man zeige f"ur je zwei positive
reelle Zahlen die Ungleichung $\sqrt{ab}\leq (a+b)/2$ zwischen
geometrischem und arithmetischen Mittel und zeige, da"s Gleichheit 
nur gilt im Fall $a=b=0$. 
\end{Ubung}





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