\section{Stetigkeit und Grenzwerte}
\subsection{Anschauung f"ur Funktionen}
\label{steT} 
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAA}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
 Vier verschiedene Anschauungen f"ur eine reellwertige
Funktion einer reellen Ver"anderlichen am Beispiel des Absolutbetrags
$x\mapsto |x|$
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Abbildungen mit Werten in irgendeiner Art von Zahlen nennen wir 
{\bf Funktionen}.\index{Funktion}  
Wollen wir besonders betonen, da"s nur reelle Zahlen als Werte 
angenommen werden, so sprechen wir von\label{VSTE}  
{\bf reellwertigen Funktionen}.  
Reellwertige Funktionen auf der reellen Zahlengeraden mag man sich
auf viele verschiedene Arten vorstellen. Gleichzeitig diskutiere ich
Anschauungen f"ur Abbildungen $\DR^m\ra \DR^n$.  
\begin{enumerate}
\item
In der Schule ist es "ublich, 
eine 
Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$ durch ihren 
Graphen
$\Gamma(f)=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid  y=f(x)\}$
zu veranschaulichen, also durch eine Teilmenge der Ebene $\Bbb{R}^2$.
\item
In der Physik ist es "ublich, sich eine Abbildung $f:\Bbb{R}\ra X$,
$t\mapsto f(t)$ von $\Bbb{R}$  in irgendeine Menge $X$ vorzustellen
als ein Teilchen, das sich im Raum $X$ bewegt und sich zur
Zeit $t$ f"ur lateinisch \glqq tempus\grqq\ am Punkt $f(t)$ befindet. 
Im Fall $X=\Bbb{R}$ 
h"atten wir uns also ein Teilchen vorzustellen, das sich auf der 
Zahlengerade bewegt. Im Fall $X=\Bbb{R}^2$ beziehungsweise  $X=\Bbb{R}^3$
k"onnen wir uns ein Teilchen vorzustellen, das sich auf der 
Koordinatenebene beziehungsweise im dreidimensionalen Raum bewegt.
\item
Eine reellwertige Funktion $X\ra\DR$ auf 
einer beliebigen Menge  kann man sich
als eine Temperaturverteilung auf besagter Menge vorstellen,
im Fall $X=\DR$ also als eine Temperaturverteilung auf 
der reellen Zahlengeraden, im Fall $X=\Bbb{R}^2$ beziehungsweise  $X=\Bbb{R}^3$
als Temperaturverteilung auf der Ebene beziehungsweise im Raum.
\item
In der Mathematik ist es auch n"utzlich, 
sich eine Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$
wirklich als Abbildung   der Zahlengerade auf 
sich selber vorzustellen. 
Als Beispiel betrachten wir den Absolutbetrag, der als Abbildung aufgefa"st
den negativen Teil der Zahlengerade auf den positiven Teil her"uberklappt.
Ebenso mag man sich eine Abbildung $f:\DR^2\ra\Bbb{R}^3$ vorstellen als eine
Beschreibung f"ur das Aufspannen eines Gummituchs im Raum.
\item
  Im Fall $m+n\leq 3$ kann man sich eine Abbildung
  $\DR^m\ra \DR^n$ auch noch durch ihren Graphen vorstellen.
  Im Fall $m=2$ w"are der Graph eine h"ugelige Landschaft, jedem Punkt der
  Ebene wird die dortige H"ohe zugeordnet. Im Fall $m=1$ w"are der Graph
  eher eine Art Draht im Raum, zum Beispiel ist der Graph von
  $t\mapsto(\sin t,\cos t)$
 ein Draht, der als Spirale um die $t$-Achse 
  liegt.
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Bereits beliebige Abbildungen $\DR\ra\DR$ k"onnen \glqq wild aussehen\grqq.
Man denke etwa an die Abbildung, die jeder rationalen Zahl den Betrag 
ihres Nenners nach vollst"andigem K"urzen zuordnet und jeder irrationalen Zahl
ihre f"unfte Nachkommastelle.
Wir f"uhren nun die  \glqq stetigen Funktionen\grqq\  ein und
zeigen insbesondere, da"s f"ur stetige auf einem Intervall definierte und
injektive Funktionen auch  ihr Bild ein Intervall ist und die Umkehrfunktion
stetig. Das liefert uns viele  Funktionen als Umkehrfunktionen
bereits bekannter Funktionen.
In der schmutzigen Anschauung ist eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall 
stetig, wenn man \glqq ihren Graphen zeichnen kann ohne den
Stift abzusetzen\grqq. Diese Anschauung werden wir im
Folgenden  pr"azisieren. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Die mit dieser Materie bereits Vertrauten
seien vorgewarnt, da"s ich im folgenden
bei der Behandlung von Grenzwerten und Stetigkeit
einen
eher ungew"ohnlichen Ansatz verfolge.
Am Anfang steht der Begriff einer Intervallumgebung eines
Punktes in den erweiterten reellen Zahlen $\bar{\DR}\pdef \DR\sqcup\{\infty,-\infty\}$
und allgemeiner eines Quaders um einen Punkt in $\bar{\DR}^n$.
Danach erkl"aren wir, wann eine Abbildung
von einer Teilmenge  $D\subset \bar{\DR}^m$ nach $\bar{\DR}^n$
stetig ist bei einem Punkt $p\in D$ und besprechen die Stetigkeit der
Verkn"upfung stetiger Abbildungen.
Die Betrachtung mehrerer Variablen scheint mir didaktisch vorteilhaft,
weil sie ausdrucksst"arkere graphische Illustrationen erlaubt
und darin Aussagen wie die Stetigkeit der Addition
und Multiplikation $\DR^2\ra \DR$ formuliert und bewiesen werden k"onnen.
Danach erst erkl"aren wir den Grenzwert
einer Funktion als den \glqq Funktionswert
der eindeutigen stetigen Fortsetzung\grqq\ und
den Grenzwert einer Folge  als den Spezialfall des Grenzwerts 
einer auf $\DN$ definierten Funktion.   Dieses Vorgehen steht im Kontrast
zu der "ubliche Vorgehensweise, bei der man mit Grenzwerten von Folgen
beginnt, bevor man von dort ausgehend zur Stetigkeit von
Funktionen und ihren Grenzwerten kommt.
\end{Bemerkungl}
\subsection{Intervalle und Stetigkeit}
\label{InUm} 

\begin{Definition}\label{Inter}
Eine Teilmenge einer teilgeordneten
Menge  hei"st ein \defind{Intervall},
wenn 
mit zwei beliebigen Punkten auch jeder Punkt dazwischen  zu unserer Teilmenge
geh"ort. 
Ist in Formeln $(X,\leq)$ eine teilgeordnete Menge, so
hei"st   
eine Teilmenge $I\subset X$  ein  {\bf Intervall in $X$}, wenn f"ur  $x,y,z\in X$ mit $x<y<z$ aus
 $x,z\in I$ folgt $y\in I$. 
\end{Definition}


\begin{Definition}
Wir erweitern die reellen Zahlen  durch  zwei
zus"atzliche 
Punkte $-\infty$ und $\infty$ 
zu der in  offensichtlicher 
Weise angeordneten Menge
der {\bf erweiterten 
reellen Zahlen}\index{erweiterte reelle Zahlen} $$\bar{\Bbb{R}}
\pdef\Bbb{R} \sqcup \{-\infty, \infty\}$$
\end{Definition}
 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Reelle Intervalle}] 
Jede Teilmenge von $\bar{\Bbb{R}}$\label{KlIn} besitzt in $\bar{\Bbb{R}}$
ein
Supremum und ein Infimum. Wir k"urzen im folgenden meist $\op{sup}_{\bar\DR} =\op{sup}$ und $\op{inf}_{\bar\DR} =\op{inf}$ ab.
F"ur ein  \hyperref[Inter]{Intervall} 
$I \subset \bar{\Bbb{R}}$ mit Supremum $a = \sup
I$ und Infimum $b = \inf I$ gibt es die Alternativen $a \in I$ oder
$a \not\in I$ und  $b \in I$ oder $b \not\in I$.
Es gibt damit vier Typen von  Intervallen in
$\bar{\Bbb{R}}$,  
f"ur die die beiden folgenden Notationen gebr"auchlich sind:
$$\begin{array}{llcll}
[a,b]&=&[a,b]&=&\{x \in \bar{\Bbb{R}} \mid a\leq x\leq b\}\\
\left]a,b\right[&=&(a,b)&=&\{x \in \bar{\Bbb{R}} \mid a<x<b\}\\
\left[a,b\right[ &=&[a,b)&=& \{x \in \bar{\Bbb{R}}\mid a \leq x < b\}\\
\left] a,b\right] &=&(a,b]&=& \{x \in \bar{\Bbb{R}} \mid a<x\leq b\}
\end{array}$$
W"ahlen wir hier  $a,b \in \bar{\Bbb{R}}$ beliebig 
mit $a<b$, so erhalten wir
genau alle  Intervalle in
$\bar{\Bbb{R}}$ mit mehr als einem Element, die
{\bf mehrpunktigen Intervalle}.\index{mehrpunktiges Intervall} 
Wir\index{Intervall!mehrpunktiges}
 benutzen die eben erkl"arten Notationen  jedoch  auch
im Fall $a\geq b$, sie bezeichnen dann manchmal eine
einpunktige Menge und meist die leere Menge.
Ein Intervall in $\DR$ nennen wir ein {\bf reelles Intervall}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
Ich hoffe, da"s der 
Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann,
wann mit $(a,b)$ ein Intervall gemeint ist 
und wann ein Paar aus $\DR^2$.
Sind $a$ und $b$ konkrete Zahlen, etwa
 $a=1$ und $b=27$, so w"are zu allem "Uberflu"s auch noch eine
dritte Lesart von $(1,27)$ als die in Klammern 
notierte Dezimalzahl $1,\!27$ denkbar. Ich hoffe, da"s der 
Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist.
Wenn man genau hinguckt, sollte auch im letzteren Fall der Abstand nach
dem Komma etwas kleiner sein.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{ORI}
Ein Intervall in $\bar{\Bbb{R}}$  hei"st  
{\bf kompakt},\index{kompakt!Intervall in $\bar{\Bbb{R}}$}
 wenn es eines unserer Intervalle  $[a,b]$ 
ist. Der Begriff \glqq kompakt\grqq\  wird in 
\ref{Komp} auf beliebige Teilmengen von $\bar{\DR}$ verallgemeinert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ein reelles Intervall hei"st 
{\bf offen},\index{offen!reelles Intervall}
wenn es eines unserer Intervalle
$(a,b)$ 
ist. Der Begriff \glqq offen\grqq\  wird in 
\ref{Roff} auf beliebige Teilmengen von $\DR$ verallgemeinert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Gegeben ein Punkt $p\in \bar{\DR}$
  verstehen wir unter einer {\bf Intervall\-umgebung von $p$}\index{Intervallumgebung}
  ein Intervall $I\subset \bar{\DR}$ mit $p\in I$, das auch einen Punkt
  $\beta >p$ enth"alt,\label{eUI} 
  falls es einen solchen Punkt in $\bar{\DR}$ gibt, sowie einen Punkt $\alpha <p$,
  falls es einen solchen Punkt in $\bar{\DR}$ gibt.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Intervallumgebungen von $p\in\DR$ sind  alle
  Intervalle der Gestalt $[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)$ mit $a<p<b$ und $a,b\in\bar \DR$.
  \end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Intervallumgebungen von $\infty$ sind  alle
  Intervalle der Gestalt $[a,\infty]$ oder $(a,\infty]$ mit
  $a\in\bar \DR, a\neq \infty$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Intervallumgebungen von $-\infty$  sind  alle
  Intervalle der Gestalt $[-\infty,b]$ oder $[-\infty,b)$ mit $b\in\bar \DR, b\neq -\infty$.
  \end{Beispiel}
\begin{Definition}
 Gegeben ein Punkt $p=(p_1,\ldots,p_n)\in \bar{\DR}^n$\label{eU} 
   verstehen wir
   unter einer {\bf Quaderumgebung von $p$}\index{Quaderumgebung!in $\bar{\DR}^n$} oder kurz einem {\bf Quader um $p$} 
 eine Teilmenge $Q\subset \bar{\DR}^n$ der Gestalt 
  $Q=  I_1\times\ldots\times I_n$ mit $I_\nu$ jeweils einer
  Intervallumgebung von $p_\nu$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Ein Datum bestehend aus einer Menge $X$, einer Teilmenge $D\subset X$ und einer Abbildung
  $f:D\ra Y$ in eine weitere Menge $Y$
  notieren wir im folgenden abk"urzend\index{$f:X\supset D\ra Y$}
  $$f:X\supset D\ra Y$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine Abbildung $f:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$
  hei"st {\bf stetig an einer Stelle $p\in D$},
    wenn es f"ur jeden Quader $Q$ um $f(p)$ einen Quader\label{DeSt}  
    $Q'$ um $p$ gibt mit%\linebreak
    $$f(Q'\cap D)\subset Q$$ Eine Abbildung $f:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$, die stetig ist
    an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs $D$, hei"st {\bf stetig}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Auf Englisch sagt man f"ur stetig \defind{continuous}, auf
  Franz"osisch \defind{continue}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Aufschneiden der Ebene}]
Die Abbildung $f:\DR^2\ra\DR^2$ gegeben durch
  $(x,y)\mapsto (x,y)$ f"ur $x<0$ und $(x,y)\mapsto (x+1,y)$
f"ur $x\geq 0$ bedeutet anschaulich, da"s wir
  die Ebene l"angs der $y$-Achse aufschneiden
  und den rechten Teil, dem wir auch die $y$-Achse selbst zuschlagen, um Eins
  nach rechts schieben.
  Sie ist nicht stetig an allen Punkten der $y$-Achse,
  ist jedoch stetig an allen Punkten au"serhalb
  der $y$-Achse. An dieser Stelle m"oge
  als Argumentation  ein Bild gen"ugen.  
\end{Beispiel}

 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSMV}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Illustration zur Stetigkeit in mehreren Ver"anderlichen.
Dargestellt ist ein Geradenst"uck $D$ in der Ebene nebst einer
Abbildung $f:D\ra\DR^2$, die es in die Ebene abbildet und es dabei an
einer Stelle $p\in D$ zerrei"st. Dargestellt ist weiter ein Quader
  $Q=U$ um $f(p)$, f"ur den es keinen Quader $Q'=U'$ um $p$
gibt mit $f(Q')\subset Q$, so da"s in der Tat $f$ an dieser
Aufrei"sstelle $p$ nicht stetig ist.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit konstanter Funktionen}] Konstante Abbildungen $c:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$ sind stetig.\label{kfs}
  In diesem Fall gilt
  f"ur alle $p\in D$ und jeden Quader $Q$ um $c(p)$ und
  jeden beliebigen Quader $Q'$ um $p$
  bereits $c(Q'\cap D)\subset Q$. 
 \end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit von Einbettungen}]
Eine beliebige Einbettungsabbildung $i:\bar\DR^m\supset D\ra \bar\DR^m$ gegeben durch $x\mapsto x$
  ist stetig.\label{SSt}  In diesem Fall ist f"ur jedes $p\in D$ und 
   jeden Quader $Q$ um $p=i(p)$ bereits $Q'\pdef Q$  selbst
  ein Quader um $p$
  mit $i(Q'\cap D)\subset Q$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} 
 Gegeben $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \DR^n$ erkl"aren wir $|x|\pdef \op{max}\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}$
 als das Maximum der Absolutbetr"age der Koordinaten von $x$.
Gegeben $p\in\DR^n$ und  $\varepsilon >0$ erkl"aren wir 
den {\bf $\varepsilon$-Quader um $p$}\label{Qudd}
durch die Vorschrift $$\op{B}(p;\varepsilon)\pdef \{x\in\DR^n\mid 
 |p-x|<\varepsilon \}$$  Die Notation $\op{B}$ f"ur unseren
 Quader bedeutet \glqq Ball\grqq\ und ist die "ubliche Bezeichnung
 f"ur dieses Konzept im Kontext
 allgemeiner \glqq metrischer R"aume\grqq.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}  Offensichtlich ist f"ur $p\in\DR^n$
  und $\varepsilon >0$ der  $\varepsilon$-Quader um $p$ in der Tat ein
  Quader um $p$.
  Offensichtlich umf"a"st weiter jeder Quader um $p\in\DR^n$ f"ur hinreichend kleines $\varepsilon >0$ den 
  $\varepsilon$-Quader um $p$. Wenn \glqq nirgends $\pm\infty$ vorkommt\grqq,
  k"onnen wir die Stetigkeit auch mit diesen speziellen Quadern charakterisieren,
  wie im folgenden Lemma ausgef"uhrt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium f"ur Stetigkeit}]
  Seien $f:\DR^m\supset D\ra\DR^n$ eine Abbildung
und $p \in D$ ein Punkt.\label{ede}
Genau dann ist $f$ stetig bei $p$, 
wenn es f"ur
jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon }) >0$ gibt 
derart, da"s f"ur alle $x\in D$
mit $|x-p| < \delta$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Ist $f$ stetig bei $p$, so gibt es f"ur jedes $\varepsilon>0$
  und den Quader $Q\pdef \op{B}(f(p),\varepsilon)$ um $f(p)$ einen
  Quader $Q'$ um $p$ mit $f(Q'\cap D)\subset Q$. F"ur diesen
  Quader $Q'$ hinwiederum gibt es $\delta>0$ mit $\op{B}(p,\delta)\subset Q'$ und dann gilt a forteriori $f(\op{B}(p,\delta)\cap D)\subset \op{B}(f(p),\varepsilon)=Q$ alias $$(|x-p| < \delta)\RA(|f(x) - f(p)| < \varepsilon)$$
  Ist umgekehrt das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium erf"ullt und
  ist $Q$ ein Quader um $f(p)$, so w"ahlen wir ein $\varepsilon>0$ mit 
  $\op{B}(f(p),\varepsilon)\subset Q$ und finden dazu ein $\delta>0$ mit
  $f(\op{B}(p,\delta)\cap D)\subset \op{B}(f(p),\varepsilon)$. Dann ist
  $Q'\pdef \op{B}(p,\delta)$ ein Quader um $p$ mit $f(Q'\cap D)\subset Q$ und
 damit ist  $f$  stetig bei $p$.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zu $\varepsilon$}] 
Wenn Sie in der Analysis die Formulierung
\glqq f"ur alle  
$\varepsilon>0$ gilt was auch immer\grqq\   antreffen,  so d"urfen
Sie erwarten, da"s dieses \glqq was auch immer\grqq, wenn es denn f"ur ein
gegebenes $\varepsilon>0$ gilt, 
f"ur alle gr"o"seren  $\varepsilon$ erst recht gilt.
Salopp gesprochen besteht also  die unausgesprochene 
"Ubereinkunft, durch die 
Verwendung des Buchstabens $\varepsilon$ 
das anzudeuten, was man umgangsprachlich 
vielleicht mit \glqq f"ur jedes  noch so kleine 
$\varepsilon>0$\grqq\  ausdr"ucken w"urde. 
Sie m"ussen nur einmal versuchen, beim Vorrechnen einer "Ubungsaufgabe
statt $\varepsilon$ den Buchstaben $M$ zu verwenden:
Auch wenn formal alles richtig sein sollte,  
wird Ihr Tutor deutlich  l"anger dar"uber nachdenken m"ussen,
ob Ihre Formulierung auch wirklich stimmt.  \glqq Sei $\varepsilon<0$\grqq\  
schlie"slich ist
ein mathematischer Witz.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Wenn wir den Beweis des $\varepsilon$-$\delta$-Kriteriums nocheinmal
  durchgehen, stellen wir fest, da"s dabei nur zwei Eigenschaften unserer
  $\varepsilon$-Quader $\op{B}(p,\varepsilon)$ eine Rolle spielen:
  Zum einen, da"s jeder $\varepsilon$-Quader $\op{B}(p,\varepsilon)$ um $p$ 
  einen Quader um $p$ umfa"st, etwa sich selber, und zum anderen, da"s
  jeder Quader $Q$ um $p\in\DR^n$ einen
   $\varepsilon$-Quader $\op{B}(p,\varepsilon)$ um $p$ umfa"st,
  f"ur geeignetes $\varepsilon>0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $p\in \bar\DR^n$ nennt man  $U\subset \bar\DR^n$
  eine {\bf Umgebung von $p$},\index{Umgebung!eines Punktes von $\bar\DR^n$}
  wenn es einen Quader $Q$ um $p$ gibt mit $p\in Q\subset U$, und erh"alt in derselben Weise ein weiteres Stetigkeitskriterium, das weniger
  eckig daherkommt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Umgebungskriterium f"ur Stetigkeit}]
  Seien $f:\bar\DR^m\supset D\ra\bar\DR^n$ eine Abbildung
und $p \in D$ ein Punkt.\label{edeu}
Genau dann ist $f$ stetig bei $p$, 
wenn es f"ur
jede Umgebung $U$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'$ von $p$ gibt mit
$f(U'\cap D)\subset U$.
\end{Lemma}
\begin{proof} Analog zum Beweis von \ref{ede} und dem Leser "uberlassen.
\end{proof}
  

\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit des Absolutbetrags}]
 Der Absolutbetrag $\op{abs}: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, 
$x \mapsto |x|$  ist stetig.
 In der Tat gilt in diesem Fall an jeder Stelle $p$  das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium mit $\delta=\varepsilon$,
 denn aus $|x-p|<\varepsilon$ folgt $||x|-|p||<\varepsilon$. 
 Sogar die Fortsetzung des Absolutbetrags zu $\op{abs}: \bar{\Bbb{R}} \ra \bar{\Bbb{R}}$ durch $|{-}\infty|=|\infty|=\infty$ ist stetig, wie der
 Leser zur "Ubung selbst zeigen mag.
\end{Beispiel}

  

\begin{Bemerkungl}
Ich will versuchen, an der Tafel einem Farbencode zu folgen,
nach dem vorgegebene Umgebungen  von Grenzwerten und dergleichen 
in gelber Farbe  dargestellt werden, dazu 
zu findende $N$ und dergleichen dahingegen in  blauer Farbe.
Rote Farbe ist an gr"unen Tafeln f"ur nicht wenige Menschen schwer zu lesen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit der Addition}]
  Die Addition ist eine stetige Abbildung
  $\op{add}:\DR^2\ra \DR, (x,y)\mapsto x+y$.
  Um das zu sehen, m"ussen wir zeigen, da"s sie stetig ist an jedem
  Punkt $p\pdef(a,b)\in\DR^2$. F"ur alle $\varepsilon >0$ gilt aber
  offensichtlich\label{stadd} $$\op{add}(\op{B}(p;\varepsilon/2))\subset \op{B}(\op{add}(p);\varepsilon)$$
Also ist an jeder Stelle $p=(a,b)$ das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium erf"ullt mit $\delta=\varepsilon /2$.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit der Multiplikation}]
  Die Multiplikation  ist eine stetige Abbildung $\op{mult}:\DR^2\ra \DR, (x,y)\mapsto xy$.
 Um das zu sehen, m"ussen wir zeigen, da"s sie stetig ist an jedem
  Punkt $p\pdef (a,b)\in\DR^2$. Wir 
  "uberlegen uns dazu zun"achst  die Absch"atzung
$$\begin{array}{lcl}
|xy-ab| &=& |(x-a)y + a(y-b)| \\
& \leq & |x-a\|y|+|a\|y-b|
\end{array}$$
Aus den beiden Ungleichungen $|x-a|< \eta$ und $|y-b|< \eta$ 
folgt zun"achst  $|y|< |b|+\eta $
und dann\label{stmult}  
$$|xy - ab| \leq \eta (|b|+ \eta + |a|)$$
F"ur jedes
  $\varepsilon>0$ gibt es also ein $\delta>0$, n"amlich $\delta=\varepsilon /(|b|+1 + |a|)$, mit
$$\op{mult}(\op{B}(p;\delta))\subset \op{B}(\op{mult}(p);\varepsilon)$$
Mithin ist das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium erf"ullt an jeder Stelle
$p=(a,b)$. Man beachte, da"s im Gegensatz zur Addition unser $\delta$ hier
nicht nur von $\varepsilon$ abh"angt, sondern auch von der auf Stetigkeit
untersuchten Stelle $p$. In einer Begrifflichkeit,
die wir sp"ater einf"uhren, kann diese Beobachtung dahingegend formalisiert
werden, da"s die Addition $\op{add}$ \glqq gleichm"a"sig stetig\grqq\ ist,
die Multiplikation $\op{mult}$ jedoch nicht. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit von Projektionen}]
  Die Projektionen $\op{pr}_\nu:\bar{\Bbb{R}}^n\ra \bar{\Bbb{R}}$ gegeben durch  $x=(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_\nu$ sind stetig. Der Einfachkeit der Notation halber
  zeigen wir das nur f"ur $\nu=1$: Ist $Q$ ein Quader um\label{stPr}  $p_1=\op{pr}_1(p)$ alias eine Intervallumgebung von $p_1$,
  so ist $Q'\pdef Q\times\bar{\Bbb{R}}^{n-1}$ ein Quader um $p$ mit
  $\op{pr}_1(Q')\subset Q$. 
\end{Beispiel}



\begin{Satz}
[\textbf{Stetigkeit der Verkn"upfung stetiger Abbildungen}]
Seien  Abbildungen\label{VSte} $f:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$ 
und $g: \bar{\DR}^n\supset E\ra \bar{\DR}^l$ 
gegeben und es gelte $f(D) \subset E$. 
Ist $f$ stetig bei  $p\in D$ und $g$ stetig bei  
$f(p)\in E$, so ist auch $g\circ f : \bar{\DR}^m\supset D \ra
\bar{\DR}^l$, $x \mapsto g(f(x))$ stetig bei $p$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Genau genommen ist die Notation $g\circ f$ 
in der Formulierung von Satz \ref{VSte} im Sinne 
von \ref{KkAa} nicht ganz korrekt:
Wir m"u"sten
eigentlich erst eine Abbildung $\tilde{f}:D\ra E$ 
definieren durch $\tilde{f}(x) = f(x)$ f"ur alle $x \in D$ und
dann die Abbildung $g \circ \tilde{f}$ betrachten. Das scheint mir jedoch ein Fall, in dem gr"o"sere Pr"azision 
nicht zu gr"o"serer Verst"andlichkeit f"uhrt.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Da $g$ stetig ist bei $f(p)$, finden wir f"ur 
jeden Quader $Q$ um $g(f(p))$ einen Quader  $Q'$ um $f(p)$ mit
$g(Q'\cap E)\subset Q$. Da $f$ stetig ist bei $p$, finden wir f"ur 
diesen Quader  $Q'$ von $f(p)$ einen Quader  $Q'' $ um $p$ mit
$f(Q'' \cap D)\subset Q'$. Damit 
finden wir in der Tat f"ur 
jeden Quader  $Q$ um $(g\circ f)(p)$ einen Quader  $Q'' $ um $p$  mit
$(g\circ f)(Q'' \cap D)\subset Q$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweisvariante]
  Idem mit Umgebungen statt Quadern und dem Umgebungskriterium f"ur Stetigkeit
  \ref{edeu}. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte von Umgebungen}] 
  Offensichtlich ist der Schnitt von zwei Intervallumgebungen von $p\in \bar\DR$ wieder eine Intervallumgebung von $p$. 
 Offensichtlich ist allgemeiner der Schnitt von zwei Quadern um $p\in \bar\DR^n$ wieder ein Quader um $p$.\label{REQ}  Offensichtlich ist  folglich  der Schnitt von zwei Umgebungen von $p\in \bar\DR^n$ wieder eine Umgebung von $p$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit als komponentenweise Stetigkeit}] 
  Eine vorgegebene Abbildung $f:\bar{\Bbb{R}}^m\supset D\ra \bar{\Bbb{R}}^n$
  ist  stetig bei $p\in D$ genau dann, wenn alle ihre Komponenten 
  $f_\nu\pdef\op{pr}_\nu\circ f:\bar{\Bbb{R}}^m\supset D\ra \bar{\Bbb{R}}$ stetig sind bei $p$ f"ur $1\leq \nu\leq n$.\label{StK}  
\end{Satz}
\begin{proof}
  Ist die Abbildung $f$ stetig bei $p$, so auch alle $\op{pr}_\nu\circ f$
  als die Verk"upfung der bei $p$ stetigen Funktion $f$ mit der nach
  \ref{stPr} "uberall stetigen Projektion $\op{pr}_\nu$.
  Seien umgekehrt alle $f_\nu$ stetig bei $p$ und sei $Q$
  ein Quader um $f(p)$. Per definitionem finden wir Intervallumgebungen
  $I_\nu$ von $f_\nu(p)$ mit $I_1\times\ldots\times I_n=Q$.
  Da wir $f_\nu$ stetig bei $p$ annehmen, gibt es jeweils einen Quader
  $Q'_\nu$ um $p$ mit $f_\nu(Q'_\nu\cap D)\subset I_\nu$. 
  Dann ist $Q'\pdef Q'_1\cap\ldots\cap Q'_n$ nach \ref{REQ} wieder ein
  Quader um $p$ und offensichtlich gilt 
  $f(Q')\subset Q$.
\end{proof}


\begin{Korollar}[\textbf{Summe und Produkt stetiger Funktionen sind stetig}]
  Seien Funktionen $f,g:\bar\DR^m\supset D\ra \DR$ stetig bei $p\in D$.
  So sind auch die
  Funktionen $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ und $fg:x\mapsto f(x)g(x)$ stetig
  bei $p$.\label{stAF}  
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Wir schreiben $f+g=\op{add}\circ (f,g)$ und $fg=\op{mult}\circ (f,g)$
  f"ur $(f,g):\bar\DR^m\supset D\ra \DR^2$ gegeben durch $(f,g):x\mapsto (f(x),g(x))$. Nun ist $(f,g)$ stetig bei $p$ nach \ref{StK}, denn
  seine Komponenten $f,g$ sind stetig bei $p$ nach Annahme.
  Weiter sind Addition und Multiplikation stetig nach \ref{stadd}, \ref{stmult}. Also sind auch $f+g=\op{add}\circ (f,g)$ und $fg=\op{mult}\circ (f,g)$ stetig bei $p$  nach \ref{VSte} als Verkn"upfungen 
  stetiger Abbildungen.
\end{proof}



\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit von Polynomfunktionen}]
  Eine Abbildung $f:\DR\ra \DR$, die  gegeben wird durch eine Abbildungsvorschrift
  der Gestalt $x\mapsto a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ mit konstanten $a_\nu\in\DR$, 
  hei"st eine {\bf Polynomfunktion}.\index{Polynomfunktion} Jede Polynomfunktion ist stetig, denn konstante Funktionen\label{Pols} 
  sind stetig nach \ref{kfs}, die identische Funktion $x\mapsto x$ ist stetig nach \ref{SSt} und  Produkte sowie Summen stetiger Funktionen sind stetig nach \ref{stAF}.\label{PolF}
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungw}
Jede Familie reeller Zahlen $(a_n)_{n\in\DN}$, in der 
h"ochstens endlich viele $a_n$ von Null verschieden sind,
liefert eine Polynomfunktion $\sum a_nx^n$. Nach "Ubung \ref{PFKO} oder
allgemeiner \eref{PoFu}{LA1}
liefern verschiedene Familien  auch stets
verschiedene Funktionen.
Im Licht dieser Tatsache werden wir unsere Polynomfunktionen meist k"urzer
Polynome nennen, obwohl eigentlich der Begriff Polynom eher den formalen
Ausdruck meint. 
Diese Unterscheidung ist aber erst in der Algebra
wirklich von Belang. Wenn man n"amlich mit endlichen
K"orpern arbeitet, so k"onnen verschiedene formale Ausdr"ucke $ a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ durchaus
dieselbe Funktion
liefern, vergleiche \eref{PoRi}{LA1}.    
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Das Wort \glqq Polynom\grqq\  kommt von der griechischen Vorsilbe \glqq poly\grqq\  f"ur\label{WBPb} 
\glqq viele\grqq\  und dem lateinischen Wort \glqq nomen\grqq\  f"ur \glqq Namen\grqq.
Allgemeiner betrachtet man auch Polynome in mehreren Ver"anderlichen
und meint damit Ausdr"ucke wie etwa $xyz+7x^2y^4 -12z+1$. 
Dieses Polynom ist die Summe der vier {\bf Monome}\index{Monom} 
$xyz$, $7x^2y^4$, $-12z$
und $1$, wobei das Wort \glqq Monom\grqq\ 
diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq mono\grqq\  f"ur
\glqq allein\grqq\  gebildet ist. 
Einen Ausdruck wie $xyz+7x^2y^4$ w"urde man als 
{\bf Binom}\index{Binom} bezeichnen,
diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq bi\grqq\  f"ur
\glqq Zwei\grqq. Ein anderes Binom w"are der Ausdruck $(x+y)$, dessen Potenzen
die \glqq binomische\grqq\  Formel \eref{BiFoA}{EIN} 
explizit angibt. Es sollte  klar sein,
wie man aus unserer binomischen Formel auch  Formeln f"ur 
die Potenzen eines beliebigen Binoms erh"alt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit von Einschr"ankungen}]
Ist $f: \bar\DR^m\supset E \ra \bar{\DR}^n$ stetig bei $p\in E$ und 
$D \subset E$ eine Teilmenge mit $p\in D$, 
so ist auch die Einschr"ankung\label{Eiss}
 $f|_{D} : D \ra \bar{\DR}^n$ stetig bei $p$. 
Das folgt  sofort aus der Definition oder alternativ daraus, da"s Einbettungen stetig sind nach \ref{SSt} und die Verkn"upfung stetiger Abbildungen stetig nach \ref{VSte}.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft}]
Seien $f:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$ eine 
Abbildung und $p\in D$ ein Punkt. Gibt es eine Umgebung $V$ von  $p$ 
derart, da"s die Einschr"ankung  $f: V \cap D\ra \bar{\DR}^n$
stetig ist bei $p$,
so ist  auch $f: D \ra \bar{\DR}^n$ selbst
bereits stetig bei $p$.\label{SlE}    
\end{Satz}
\begin{proof} Gegeben ein Quader $Q$ um $f(p)$ finden wegen
  der Stetigkeit der Einschr"ankung einen
  Quader $Q'_1$ um $p$ mit $f(Q'_1\cap V\cap D)\subset Q$.
  Da $V$ eine Umgebung von $p$ ist, finden wir weiter einen
  Quader $Q_2'$ um $p$ mit $Q_2'\subset V$. Ihr Schnitt $Q'\pdef Q_1'\cap Q_2'$
  ist dann der gesuchte Quader um $p$ mit $f(Q'\cap D)\subset Q$. 
\end{proof}
\begin{proof}[Beweisvariante]
Statt der Definition verwenden wir das Umgebungskriterium f"ur Stetigkeit \ref{edeu}.
  Gegeben eine Umgebung $U$ von $f(p)$ finden wegen
  der Stetigkeit der Einschr"ankung eine Umgebung  $U'$ von $p$ mit $f(U'\cap (V\cap D))\subset Q$.
  Dann ist $U'\cap V$ die gesuchte Umgebung von $p$ mit $f((U'\cap V) \cap D)\subset Q$. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Partiell stetig impliziert nicht stetig}] 
Es gibt Funktionen $f: \Bbb{R}^{2}\ra \Bbb{R}$ derart, 
da"s sowohl $x \mapsto f(x,b)$ als auch $y \mapsto
f(a,y)$ stetig sind f"ur alle $b$ beziehungsweise alle $a$, 
da"s aber dennoch 
 die Funktion $f$ selbst 
 nicht stetig ist. 
Als Beispiel betrachte man die Funktion mit $(x,y) \mapsto xy
/(x^{2}+y^{2})$ f"ur $(x,y) \neq (0,0)$ und $(0,0) \mapsto 0$.  
Sie ist nicht stetig am Nullpunkt 
nach 
\ref{VSte}, da n"amlich ihre Verkn"upfung mit $\Bbb{R} \ra
\Bbb{R}^{2}$,  $t \mapsto (t,t)$ nicht stetig ist bei $t=0$.  
Die Stetigkeit von $t\mapsto (t,t)$ hinwiederum mag man aus der
Komponentenregel \ref{StK} folgern. Der Anschauung mag
die Erkenntnis helfen, da"s unsere   merkw"urdige
Funktion, wenn man vom Ursprung selbst einmal absieht,  auf allen  
Geraden durch den Ursprung konstant ist. Auf den beiden
Koordinatenachsen ist unsere Funktion konstant Null, auf allen
anderen  Geraden durch den Ursprung jedoch nimmt sie nur am Ursprung den
Wert Null an und sonst konstant einen von Null verschiedenen Wert.
\end{Bemerkungl}




\subsubsection*{"Ubungen} 

  \begin{Ubung}
    In einer teilgeordneten  Menge  ist 
jeder Schnitt von Intervallen  wieder ein Intervall.
  \end{Ubung}



\begin{Ubunge}\label{VMi}
Jede Teilmenge $Y$ einer angeordneten Menge $X$ ist die 
disjunkte Vereinigung 
aller maximalen in $Y$ enthaltenen nichtleeren Intervalle von $X$. 
Hinweis:
Hat ein System von Intervallen von $X$ nichtleeren Schnitt,
so ist auch seine Vereinigung wieder ein Intervall von $X$.
\end{Ubunge}




 \begin{Ubung}[\textbf{Eine nur im Ursprung stetige Funktion}]
Die Funktion $f:\DR\ra\DR$ mit $f(x)=x$ f"ur $x\in\DQ$ und 
$f(x)=0$ f"ur $x\not\in\DQ$ ist nur an der Stelle $p=0$  stetig.
 \end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{Addition und Multiplikation im Unendlichen}]
  Addition und Multiplikation lassen sich auf genau eine Weise
  fortsetzen zu
  stetigen Abbildungen\label{GWU}  $$\begin{array}{rlll}
    \op{add}:&
  \bar\DR^2\backslash\{(\infty,-\infty),(-\infty,\infty)\}&\ra&\bar{\DR}\\
\op{mult}:&
\bar\DR^2\backslash\{(\pm\infty,0),(0,\pm\infty)\}&\ra&\bar{\DR}
  \end{array}
  $$
  und zwar durch
  $$\begin{array}{ll}
    a+\infty=\infty+a=\infty&\text{falls }a\neq -\infty;\\
    a+(-\infty)=(-\infty)+a=-\infty&\text{falls }a\neq \infty;\\
    a\cdot\infty=\infty\cdot a=\infty&\text{falls }a>0;\\ a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty&\text{falls }a<0;\\
a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=-\infty&\text{falls }a>0;\\ a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty&\text{falls }a<0. 
  \end{array}$$
  Sie lassen sich nicht weiter stetig fortsetzen auf die oben ausgeschlossenen
  Punkte $(\infty,-\infty),(-\infty,\infty)$ f"ur die Addition beziehungsweise
  $(\pm\infty,0),(0,\pm\infty)$ f"ur die Multiplikation.
  \end{Ubung}
 



\begin{Ubung}\label{StKg}
  Gegeben  $f:\bar{\Bbb{R}}\supset D\ra \bar{\Bbb{R}}$ stetig bei $p\in D$  
  und $g:\bar{\Bbb{R}}\supset E\ra \bar{\Bbb{R}}$ stetig bei $q\in E$ ist $f\times g:D\times E\ra \bar{\Bbb{R}}^2$ stetig bei $(p,q)$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit durch Einquetschen}]
  Gegeben  $f,g,h:\bar{\Bbb{R}}^m\supset D\ra \bar{\Bbb{R}}$
  mit $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\;\forall x\in D$ und $f,h$ stetig bei $p\in D$
  mit $f(p)=h(p)$ ist auch $g$ stetig bei $p$.\label{QueL}
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit durch Verkleben}]
Seien $I,J\subset \bar{\DR}$ Intervalle mit nichtleerem Schnitt
$I\cap J\neq\emptyset$ und sei $f:(I\cup J)\ra\bar{\DR}$ eine Funktion. Man zeige:\label{SAS}
Sind die Einschr"ankungen $f|_I$ und $f|_J$ stetig,
so ist auch $f$ selbst stetig. Im "ubrigen wird sich der \glqq schwierige  Fall\grqq\ 
dieser "Ubung als Spezialfall von \eref{AbgSM}{AN2} erweisen.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Man zeige, da"s auf einem offenen reellen Intervall $I\co\DR$ jede
konvexe reelle Funktion stetig ist. 
Hinweis: Die graphische Darstellung 
zum Beweis von \ref{ZAK} mag helfen.\label{koste}  Eine Funktion hei"st {\bf konvex},\index{konvex!Funktion}
wenn f"ur alle $x,z\in I$ gilt
$$f(tx+(1-t)z)\leq tf(x)+(1-t)f(z)\;\;\forall t\in[0,1]$$
Anschaulich bedeutet das, da"s unsere Funktion \glqq unter jeder
ihrer Sekanten liegt\grqq. Die Stetigkeit durch Einquetschen \ref{QueL}
mag helfen.
\end{Ubung}

\subsection{Zwischenwertsatz und Umkehrfunktionen}\label{ZwiUm}

\begin{Definition}\label{MoAb}
Eine  Abbildung $f$ zwischen teilgeordneten Mengen hei"st
$$\begin{array}{lrrrl}
\text{\bf monoton wachsend,}\index{monoton}& \text{wenn gilt} & x\leq y & \Rightarrow & f(x) \leq f(y)\\
\text{\bf streng monoton wachsend,}& \text{wenn gilt}& x< y& \Rightarrow & f(x)<f(y)\\
\text{\bf monoton fallend,}& \text{wenn gilt}&x\leq y& \Rightarrow & f(x) \geq f(y)\\
\text{\bf streng monoton fallend,}& \text{wenn gilt}&x<y&\Rightarrow &f(x)>f(y)
\end{array}$$
Eine Abbildung 
hei"st {\bf  monoton}, wenn sie monoton
wachsend oder fallend ist. Eine Abbildung 
hei"st {\bf streng monoton}, wenn sie streng monoton
wachsend oder fallend ist.
%Das verallgemeinert unsere Begriffe f"ur 
%Folgen aus \ref{MFol}.
\end{Definition}
\begin{Proposition}[\textbf{Stetigkeit monotoner Surjektionen auf  Intervalle}] 
Es sei
$f:\bar{\Bbb{R}}\supset D  \ra \bar{\Bbb{R}}$ eine monotone Abbildung.
Ist ihr Bild $f(D)$ ein Intervall in $\bar{\Bbb{R}}$, so ist $f$ stetig.\label{SUn} 
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f$ monoton wachsend.
 Gegeben $p\in D$ gilt es, f"ur jeden Quader $Q$ um $f(p)$
einen Quader  $Q'$ um $p$ zu finden mit  $f(Q'\cap D)\subset Q$.
Wir setzen $I\pdef f(D)$ und unterscheiden vier F"alle.
  \begin{enumerate}
    \item
 Ist $f(p)\in I$ weder das gr"o"ste
    noch das kleinste Element von $I$,
    so umfa"st jeder Quader  $Q$ um $f(p)$ ein Intervall
der Gestalt $[\alpha,\beta]$ mit $\alpha<f(p)<\beta$ und $\alpha,\beta\in I$, also $\alpha=f(a)$  und $\beta=f(b)$ mit $a,b\in D$ und $a<p<b$. Dann 
k"onnen wir $Q'=[a,b]$ nehmen;
\item
Ist $f(p)\in I$ das gr"o"ste aber nicht das kleinste Element von $I$,
so umfa"st jeder Quader  $Q$ um $f(p)$ ein Intervall
der Gestalt $[\alpha,f(p)]$ mit $\alpha<f(p)$ und $\alpha\in I$, also $\alpha=f(a)$ mit $a\in D$ und $a<p$. Dann  k"onnen wir
$Q'=[a,\infty]$ nehmen;
\item
  Ist $f(p)\in I$ das kleinste  aber nicht das gr"o"ste Element von $I$,
  so argumentieren wir analog;
  \item
  Ist $f(p)\in I$ das kleinste  und  das gr"o"ste alias das einzige Element von $I$,
  so ist $f$ konstant und wir k"onnen $Q'=[-\infty,\infty]$ nehmen.
  \qedhere\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit des Invertierens}]
Die Funktion $\Bbb{R}^{\times} \ra \Bbb{R}$, 
$x \mapsto \frac{1}{x}$ ist stetig. In der Tat reicht es
aufgrund der Lokalit"at der Stetigkeit \ref{SlE}
zu zeigen, da"s ihre Einschr"ankung auf $\DR_{>0}$ und auf $\DR_{<0}$\label{SK} 
jeweils stetig ist. Diese Einschr"ankungen sind jedoch beide monoton und
haben als Bildmenge jeweils ein Intervall. Damit folgt die Stetigkeit unserer
Einschr"ankungen aus
Proposition \ref{SUn}.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Stetigkeit des erweiterten nichtnegativen Invertierens}] 
  Die Abbildung\label{StI}
  $${\op{i}}{\overline{\op{nv}}}^{\scriptscriptstyle +}:[0,\infty]\ra [0,\infty]$$ gegeben durch
  $x \mapsto \frac{1}{x}$ f"ur $x\in (0,\infty)$ sowie
  $0\mapsto\infty$ und $\infty\mapsto 0$ ist stetig.   In der Tat ist diese Abbildung monoton und ihr Bild ist ein  Intervall und die Behauptung folgt
  aus der
  Stetigkeit monotoner Surjektionen auf Intervalle \ref{SUn}.
\end{Beispiel}




\begin{Korollar}[\textbf{Quotienten stetiger Funktionen sind stetig}]
Gegeben stetige Funktionen 
$f,g:\bar\DR^m\supset D\ra\Bbb{R}$ mit $g(x)\neq 0\;\forall x\in D$\label{QSFu} 
 ist auch die Funktion
${f}/{g}:D\ra\Bbb{R}$, $ x\mapsto {f(x)}/{g(x)}$ stetig.
\end{Korollar}

\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $i:\Bbb{R}^{\times}\ra\Bbb{R}$ die Funktion $x\mapsto {1}/{x}$.
Sie ist stetig nach \ref{SK}. Also ist auch $i\circ g:D\ra \Bbb{R},\; x\mapsto
{1}/{g(x)}$ stetig als Verkn"upfung stetiger Funktionen nach
\ref{VSte} und dann auch das Produkt dieser Funktion mit
der stetigen Funktion $f$ nach \ref{stAF}.
\end{proof}

\begin{Beispiel}
  Die Funktion
  $$x\mapsto \frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}$$
  ist stetig auf $D\pdef\DR\backslash 1$. Sie kann sogar zu einer
  stetigen Funktion auf ganz $\DR$ fortgesetzt werden, die
  gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift
  $$x\mapsto \frac{x^3 +x^2-x-1}{x^2+x+1}$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Eine Funktion, die sich als der Quotient eines  Polynoms durch ein 
von Null verschiedenes Polynom darstellen l"a"st, hei"st  eine
{\bf rationale Funktion}.\index{Funktion!rationale}
So eine Funktion ist a priori  nur da definiert, 
wo der Nenner nicht verschwindet, und ist nach dem vorhergehenden Korollar
auf dem Komplement der Nullstellenmenge ihres Nenners stetig.  
Betrachten wir unsere rationale Funktion jedoch nicht als
Abbildung, sondern als formalen Ausdruck, so verstehen wir unter
ihrem Definitionsbereich die etwas gr"o"sere Menge, auf der 
\glqq nach maximalem K"urzen\grqq\  der Nenner keine Nullstellen hat,
vergleiche \eref{DRF}{LA1}. 
Man beachte, da"s die hier gegebene etwas unscharfe 
Formulierung \glqq nach maximalem K"urzen\grqq\  eigentlich erst in 
\eref{PReF}{AL} gerechtfertigt wird, wo wir die 
Eindeutigkeit der \glqq Primfaktorzerlegung\grqq\  in Polynomringen diskutieren.
Bleibt auch nach maximalem K"urzen noch
ein nichtkonstantes Polynom im Nenner stehen, so spricht man von einer
{\bf gebrochenrationalen Funktion}.\index{Funktion!gebrochenrationale}
\end{Bemerkungl}







\begin{Satz}[\textbf{Zwischenwertsatz}\index{Zwischenwertsatz}]\label{ZWS}
F"ur $a\leq b$ aus $\bar{\Bbb{R}}$ nimmt
eine stetige Funktion $f:[a,b]\ra \bar{\Bbb{R}}$ 
jeden Wert zwischen
$f(a)$ und $f(b)$ an.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}]
  Wenn man sich eine stetige reellwertige Funktion auf einem 
  reellen Intervall vorstellt
  als eine Funktion, deren Graphen man zeichnen kann
  ohne den Bleistift abzusetzen, so ist auch der Zwischenwertsatz
  anschaulich klar: Wenn unser Graph unter einer horizontalen
  Linie anf"angt und oberhalb aufh"ort oder umgekehrt, so mu"s
  er an irgendeiner Stelle unsere horizontale Linie kreuzen.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwS}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Illustration zum Zwischenwertsatz. Im vorliegenden Fall wir 
der gegebene Zwischenwert $z$ sogar dreimal 
als Funktionswert angenommen.
Unser erster Beweis f"uhrt stets zum hier eingezeichneten 
gr"o"sten $p\in [a,b]$, an dem 
$z$ als Funktionswert angenommen wird.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{proof}
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f(a) \leq f(b)$ annehmen.
Gegeben $z \in [f(a), f(b)]$ suchen wir $p \in [a,b]$ mit $f(p) =
z$.
Wir betrachten dazu
$$p\pdef\sup\{ x\in[a,b]\mid f(x)\leq z\}$$ und behaupten
$f(p)=z$.
Um das zu zeigen f"uhren wir die Annahmen $f(p) < z$ und $  z<f (p)$
beide zum Widerspruch.
Aus $f(p)< z$ folgte zun"achst $p <b$ und dann g"abe es
aufgrund der Stetigkeit ein $q$ mit $p<q <b$ und
 $f(q)\leq z$ und $p$ w"are
gar keine obere Schranke unserer Menge gewesen.
Aus $z<f(p) $ dahingegen folgte zun"achst $a<p$ und dann
g"abe es aufgrund der Stetigkeit ein $r$ mit
$a<r<p$ und
$z<f(x)$ f"ur alle $x\in[r,p]$.
Also w"are auch $r$ schon
eine obere Schranke unserer Menge und $p$ k"onnte nicht ihre kleinste obere
Schranke gewesen sein.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis durch Intervallhalbierung]
  Wenn man bereits einiges "uber Folgen gelernt hat und
  $a,b\in\DR$ und $f:[a,b]\ra\DR$ annimmt, so kann man auch
  mit Intervallhalbierung argumentieren. Sei dazu wieder ohne
  Beschr"ankung der Allgemeinheit $f(a) \leq f(b)$.
  Man konstriert induktiv Folgen $a_n, b_n,$ indem man mit $a_0=a$ und $b_0=b$
  beginnt und den Mittelpunkt $c_0$ des Intervalls $[a_0, b_0]$ betrachtet.
  Gilt $f(c_0)\geq z$, so setzt man $a_1=a_0$ und $b_1=c_0$.
  Gilt $f(c_0)< z$, so setzt man $a_1=c_0$ und $b_1=b_0$. Nach Konstruktion
  gilt $f(a_1)\leq  z\leq f(b_1)$ und $[a_1,b_1]\subset [a_0,b_0]$ und
  $b_1-a_1=(b_0-a_0)/2$. Induktiv findet man so   Folgen $a_n, b_n$ mit
  $f(a_n)\leq  z\leq f(b_n)$ und $[a_n,b_n]\subset [a_{n-1},b_{n-1}]$ und
  $b_n-a_n=(b-a)/2^n$. Es folgt, da"s $a_n$ monoton w"achst und $b_n$
  monoton f"allt und da"s beide Folgen beschr"ankt sind und folglich
  nach \ref{mk} jeweils einen Grenzwert in $[a,b]$ haben, eben das Supremum beziehungsweise Infimum der Mengen ihrer Folgenglieder. Da ihre Differenz $(b-a)/2^n$
  nach \ref{Pot}
  gegen Null strebt, m"ussen diese Grenzwerte "ubereinstimmen. Ist nun
  $p$ dieser gemeinsame Grenzwert, so folgt aus dem Vertauschen des Grenzwerts
  mit dem Anwenden stetiger Funktionen \ref{vvsf} und  der Erhaltung
   schwacher
  Ungleichungen im Grenzwert \ref{UGG} unmittelbar 
   $f(p)=\lim_{n\ra\infty}f(a_n)\leq z$ und $f(p)=\lim_{n\ra\infty}f(b_n)\geq z$. 
 So erhalten wir schlie"slich  $f(p)=z$.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Abstrakter Zwischenwertsatz}]
Das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion
ist  ein Intervall. Ist 
also in Formeln $I\subset\bar{\DR}$ ein Intervall und\label{BI}  
$f:I\ra \bar{\DR}$ stetig, so ist auch $f(I)$ ein Intervall.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Das ist nur eine Umformulierung des Zwischenwertsatzes \ref{ZWS}.
\end{proof}










\begin{Satz}[\textbf{"uber die Umkehrfunktion}]
Ist $I \subset \bar{\DR}$ ein Intervall und 
$f: I\ra \bar{\DR}$ streng monoton und
stetig, so ist auch $f(I)\subset \bar{\DR}$\label{USS}  
ein Intervall und die Umkehrfunktion
$f^{-1}:f(I)\ra\bar{\DR}$ ist streng monoton und stetig.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{SUa}
Hier ist unsere Notation wieder nicht ganz korrekt: Wir m"u"sten
genau genommen 
eigentlich die Bijektion $\tilde{f}:I\sira f(I)$, $x\mapsto f(x)$ betrachten,
dazu die inverse Abbildung $\tilde{f}^{-1}:f(I) \sira I$ nehmen, 
und unser $f^{-1}
:f(I)\ra\bar{\Bbb{R}}$ definieren als die 
Verkn"upfung von $\tilde{f}^{-1}$ mit
der Einbettung $I\hra \bar{\Bbb{R}}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Umkehrfunktion $g\pdef f^{-1}$ ist
  offensichtlich monoton und ihr Bild ist ein Intervall, n"amlich das Intervall $I$, also ist sie 
  nach \ref{SUn} stetig.
  Da"s $f(I)$ ein Intervall ist, war die Aussage des 
 abstrakten Zwischenwertsatzes
 \ref{BI}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ darf nicht verwechselt werden mit
der Funktion $x\mapsto 1/f(x):$ Ist zum Beispiel $q:(0,\infty)\ra\DR$
gegeben durch $q(x)=x^2$, so haben wir $1/q(x)=x^{-2}$, aber
die Umkehrabbildung ist gegeben durch die Funktion
$q^{-1}(y)=\sqrt{y}$ des Ziehens der Quadratwurzel,
die Sie aus der Schule kennen
und die wir im Anschlu"s  auf ganz $[0,\infty)$ einf"uhren.
Oft mu"s man aus dem Kontext erschlie"sen,
ob mit $f^{-1}$ die Umkehrfunktion von $f$
oder vielmehr die \glqq Kehrwertfunktion\grqq\  $x\mapsto 1/f(x)$ 
gemeint ist.\index{)6aa@$f^{-1}$ Kehrwertfunktion}
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Potenz- und Wurzelfunktionen}]
  Gegeben $n \in \DN_{\geq 1}$
  ist die $n$-te Potenzfunktion $x\mapsto x^n$
  als Polynomfunktion stetig auf $\DR$ 
    nach \ref{Pols} und  streng monoton\label{QWE}
    wachsend auf  $[0,\infty)$ nach \ref{Lak}.\ref{kMu}.
      Ihr Bild ist nach dem Zwischenwertsatz
    \ref{BI} ein Intervall
    und da f"ur $a\geq 1$ gilt $a^n\geq a$ und andererseits $0^n=0$
    mu"s dies Intervall wieder $[0,\infty)$ sein.
      Wir definieren\label{qW}  die {\bf $n$-te
Wurzel}\index{Wurzel!$n$-te
Wurzel}
$$ \sqrt[n]{\rule[0mm]{0mm}{0mm}\;} : [0,\infty)\ra \Bbb{R}$$
als die Umkehrfunktion zur $n$-ten Potenzfunktion $x\mapsto x^n$.
Nach dem Satz "uber die Umkehrfunktion \ref{USS} ist $x\mapsto  \sqrt[n]{x}$ stetig. Im Fall $n=2$ verwendet man die
Abk"urzung $ \sqrt{x}\pdef \sqrt[2]{x}$.\index{)0a@$\sqrt{x}$ Wurzel} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Potenz- und Wurzelfunktionen im Unendlichen}]
 Gegeben $n\in\DN_{\geq 1}$ ist  auch
die Fortsetzung der $n$-ten Potenz durch $\infty\mapsto \infty$
zu einer Abbildung $\overline{\op{pot}}_n:[0,\infty]\ra [0,\infty]$ stetig
nach Proposition \ref{SUn}, da sie monoton
und  surjektiv ist. Aus demselben Grund ist f"ur
$n\in\DN_{\geq 1}$
die Fortsetzung
der $n$-ten Wurzel durch $\infty\mapsto \infty$
eine stetige Abbildung
$\overline{\op{wurz}}_n:[0,\infty]\ra [0,\infty]$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Die Abbildungsvorschrift $x\mapsto \sqrt{x^4+5}$
  liefert eine stetige Abbildung $\DR\ra\DR$.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkunge}
  Alle Definitionen und Ergebnisse dieses Abschnitts, die nicht Summen oder
  Produkte verwenden, bleiben g"ultig und sinnvoll, wenn wir $\bar\DR$ durch eine allgemeinere angeordnete Menge ersetzen derart, da"s zwischen je zwei
  verschiedenen Punkten stets  noch ein weiterer Punkt liegt und da"s jede nach oben beziehungsweise unten beschr"ankte
  Teilmenge in unserer Menge
  ein Supremum und beziehungsweise Infimum besitzt.
\end{Bemerkunge}


\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s die Funktion $\{(x,y)\in \DR^2\mid y\neq 0\}\ra \DR$ gegeben
  durch $(x,y)\mapsto x/y$ stetig ist. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s die Funktion $\DR^2\ra\DR$ gegeben durch $(x,y)\mapsto
  (x^2y+xy^3)/(x^2+y^2+1)$ stetig ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Seien $a\leq b$ aus $\bar{\DR}$ gegeben und
sei $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig mit $f(b)=0$. Man zeige, da"s dann
$f$ eine kleinste Nullstelle
in $[a,b]$ hat.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{NUge}
Jede Polynomfunktion  $x\mapsto a_nx^n+\ldots + a_0$ 
mit $a_n\neq 0$ und $n$ ungerade besitzt mindestens eine reelle
Nullstelle. Ist $a_n>0$ und $a_0>0$, so besitzt sie sogar 
mindestens eine negative Nullstelle. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NUU}
Gegeben ein Intervall $I\subset \bar\DR$  ist jede injektive stetige Funktion $I\ra \bar\DR$  streng monoton.  
\end{Ubung}


\subsection{Umfang des Einheitskreises}
\begin{Bemerkungl}
Bekanntlich bezeichnet $\pi$, ein kleines griechisches P f"ur 
\glqq Perimeter\grqq, das Verh"altnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises.\label{DP}\index{p@$\pi$ Kreiszahl} 
Um diese Anschauung zu formalisieren zur Definition einer reellen
Zahl im Sinne von $\ref{DRZ}$  gehen wir aus von der
anschaulichen Bedeutung von $\pi$ als
L"ange des Halbkreises $H$ mit Radius Eins 
$$H \pdef \{ (a,b) \in \Bbb{R}^{2} \mid a^{2} +b^{2} =1, \;b \geq 0\}$$
Seien  $x,y : \Bbb{R}^{2} \ra
\Bbb{R}$ die beiden Abbildungen,
die jedem Punkt der Ebene seine erste beziehungsweise zweite Koordinate
zuordnen, also $v = (x (v), y(v)) \; \forall v \in
\Bbb{R}^{2}$. Die Distanz $d(v,w)\in \DR$
zwischen zwei Punkten $v,w \in \Bbb{R}^{2}$ der Ebene erkl"aren wir
in Erinnerung an den Satz des Pythagoras
durch die Formel
$$d(v,w) \pdef \sqrt{(x(v) - x(w))^{2} + (y(v) - y(w))^{2}}$$
Die  {\bf Kreiszahl} $\pi\in \DR$ definieren  wir dann als das Supremum "uber
die \glqq L"angen aller in unseren Halbkreis 
$H$ einbeschriebenen Polygonz"uge\grqq, 
in
Formeln
$$\pi  \pdef  \op{sup}\left\{ \sum^{n}_{i=1} d(v_{i-1}, v_{i}) \left|
\begin{array}{l} n \in \Bbb{N}, \; v_{0},v_{1}, \ldots, v_{n} \in H,\\
x (v_{0}) < x (v_{1}) < \ldots < x(v_{n})
\end{array} \right\}\right. $$
\begin{figure}[htb]\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPa}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Ein einbeschriebener 
Polygonzug
\end{minipage}
\end{figure}
\\\noindent
Mithilfe der einfachen Absch"atzung $\sqrt{a^{2}+b^{2}} \leq |a| + |b|$
erkennt man, 
da"s die Zahl $4$ eine obere Schranke ist f"ur unsere
Menge von L"angen von Polygonz"ugen, mithin haben wir hier in der Tat
eine reelle Zahl $\pi \in \Bbb{R}$ definiert.
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKA}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Diese Abbildung zeigt,
warum $4$ eine obere Schranke f"ur die L"angen einbeschriebener 
Polygonz"uge ist: Die horizontalen  St"ucke und die vertikalen St"ucke
haben jeweils zusammengenommen eine Gesamtl"ange  $\leq 2$. 
\end{minipage}
 \end{figure}
Wir werden in \ref{BP} sehen, wie man diese Zahl im Prinzip bis zu einer
beliebig vorgegebenen Stelle nach dem Komma berechnen kann.
Die  Definition selbst ist  elementar. Ich habe sie nur
deshalb nicht gleich im
Zusammenhang mit der Definition der reellen Zahlen gegeben, 
weil sie die Existenz reeller Quadratwurzeln von nichtnegativen reellen Zahlen  ben"otigt, 
die erst in \ref{QWE} gezeigt wurde.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}\label{PiTr}
Die Zahl $\pi$ ist nicht rational, in Formeln $\pi \not\in \Bbb{Q}$,
wie Lambert bereits 1761 zeigen konnte.
Anders ausgedr"uckt l"a"st sich $\pi$ nicht durch einen periodischen
Dezimalbruch darstellen. Wir beweisen diese Tatsache in \ref{pinr}.
Unsere Kreiszahl $\pi$ ist noch nicht einmal 
\defnoind{algebraisch},\index{algebraisch!reelle Zahl}
als da hei"st Nullstelle eines nichttrivialen
Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Es gilt in anderen Worten keine
Gleichung der Gestalt
$$\pi^{n} + q_{n-1}\pi^{n-1} + \ldots + q_{1}\pi + q_{0}= 0\;\;\;
\text{ mit } q_{n-1},\ldots, q_{0}\in \Bbb{Q} \text{ und } n\geq 1.$$
Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, hei"sen
{\bf transzendent}\index{transzendent!reelle Zahl}, 
lateinisch f"ur \glqq "uberschreitend\grqq,
da ihre Behandlung  \glqq die Grenzen der Algebra "uberschreitet\grqq.
Die Transzendenz von $\pi$ wurde 1882 von Lindemann
in Freiburg
bewiesen. Seine  B"uste steht
im vierten Stock des Mathematischen Instituts.
Er war "ubrigends Hilbert's Doktorvater.
Johann Heinrich Lambert alias Jean-Henri Lambert wurde 1728
als Spro"s einer hugenottischen Familie
in Mulhouse geboren, das zu der Zeit mit den umgebenden Landstrichen
als unabh"angige Republik Mitglied der Eidgenossenschaft war. Er ver"offentlichte seine Arbeit zur Irrationalit"at von $\pi$ auf franz"osisch
in der \glqq Histoire de l'Academie Royale des Sciences et Belles-Lettres\grqq\
in Berlin, wo er 1763 eine Anstellung an der preu"sischen Akademie der
Wissenschaften erhielt.
\end{Bemerkunge}



\subsection{Grenzwerte}\label{UER}

\begin{Definition}\label{HaP}
Sei $D \subset \bar{\Bbb{R}}^n$ eine Teilmenge. 
\begin{enumerate}
\item
  Ein Punkt $p \in D$ hei"se ein 
{\bf H"aufungspunkt\index{H"aufungspunkt} 
 von $D$}, wenn  jede Umgebung  von $p$ in $\bar{\Bbb{R}}^n$  
mindestens einen von $p$ verschiedenen Punkt mit $D$ gemeinsam hat;
\item
  Ein Punkt
  $p\in D$ hei"se ein {\bf isolierter
    Punkt von $D$}, wenn er kein H"aufungspunkt von $D$ ist.\index{isolierter Punkt} Gleichbedeutend ist die Bedingung, da"s es eine
  Umgebung  $V$ von $p$ in $\bar{\Bbb{R}}^n$ gibt mit $V\cap D=\{p\}$. 
\item
  Ein Punkt $p \in \bar{\Bbb{R}}^n$ hei"se ein 
{\bf H"aufungspunkt\index{H"aufungspunkt} 
  zu $D$},
wenn er  ein H"aufungspunkt von $D\cup\{p\}$ ist;
\end{enumerate}
\end{Definition}
%\begin{Bemerkungl}
 %   Ich verwende hier die Bezeichnungen $p,C,D$ in der Weise,
  %  da"s a priori $p$ ein H"aufungspunkt von
   % $D$ und ein H"aufungspunkt zu $C$ ist, salopp gesprochen $D= C\cup\{p\}$,
%    so da"s also $p$ in $D$ liegen mu"s und in $C$ liegen darf.
 %   Je nach Kontext ist die eine oder die andere Konvention geschickter. 
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Die  Terminologie der
  \glqq H"aufungspunkte von und zu\grqq\ ist
  ein Versuch, die sprachlichen Schwierigkeiten
  zu vermeiden, die in der "ublichen Terminologie dadurch entstehen,
  da"s ein H"aufungspunkt einer Menge  kein Punkt besagter Menge
  zu sein braucht. %Ein H"aufungspunkt von einer Teilmenge $D\subset\bar \DR^n$ ist
  % in unserer Terminologie dasselbe wie ein nicht isolierter Punkt von $D$.
  Im folgenden nennen wir in diesem Kontext
  einen Definitionsbereich meist $D$, wenn wir $p\in D$ 
  voraussetzen wollen, und nennen ihn $C$, wenn wir nicht $p\in C$
  voraussetzen
  wollen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiele}
  Die Menge  $\DZ\subset \bar\DR$ der ganzen Zahlen
  besteht aus isolierten Punkten.
  Die Menge  $\DQ\subset \bar\DR$ der rationalen Zahlen besteht aus H"aufungspunkten. Die Menge $\DN\cup\{\infty\}\subset \bar\DR$
  hat als einzigen H"aufungspunkt den Punkt $\infty$.
  Da"s dieser Punkt in der Tat ein H"aufungspunkt ist, folgt aus der\label{IHN} 
  Archimedizit"at des angeordneten K"orpers $\DR$ der reellen Zahlen \ref{ArA}.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Komplemente einpunktiger Teilmengen}]
Wir vereinbaren  f"ur die Differenz
einer Menge $X$ und einer einpunktigen Menge $\{p\}$ die abk"urzende
Schreibweise $X\backslash p\pdef X\backslash\{ p\}$.\index{)2@$X \backslash p$ Komplement des Punktes $p$} Der Punkt $p$ mu"s dabei nicht zu $X$ geh"oren,
dann haben wir eben $X\backslash p=X$. 
\end{Bemerkungl}


 



\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit  stetiger Fortsetzungen in H"aufungspunkten}]
Seien $D\subset \bar{\Bbb{R}}^m$ eine Teilmenge,\label{ESF} $p\in D
$ ein H"aufungspunkt von $D$ 
und $f: D\backslash p \ra
\bar{\Bbb{R}}^n$ eine Abbildung.
So gibt es h"ochstens eine Fortsetzung von $f$ zu
einer Abbildung $ f:D\ra \bar{\Bbb{R}}^n$, die stetig ist bei $p$.
\end{Satz}
\begin{proof}
  W"aren sonst $f_1,f_2$ zwei stetige Fortsetzungen mit
  $ f_1(p)\neq f_2(p)$, so f"anden wir disjunkte Umgebungen
  $ U_1$ und $U_2$ der beiden Punkte $ f_1(p)$ und $ f_2(p)$ sowie
  Umgebungen  $ U'_1$ und $U'_2$ von $p$ mit
  $ f_1( U'_1\cap D)\subset  U_1$ und
  $ f_2(U'_2\cap D)\subset U_2$.
  Daraus folgte aber
  $$ f( U'_1\cap U'_2 \cap D\backslash p)\;\subset \; U_1\cap  U_2=\emptyset$$
  im Widerspruch dazu, da"s $ U'_1\cap U'_2 \cap D$ nicht nur
  aus unserem H"aufungspunkt $p$ bestehen kann, weil ja nach \ref{REQ} auch $ U'_1\cap U'_2$ eine Umgebung  von $p$ ist.
\end{proof}

\begin{Definition}%\label{GeFu}
Seien $C\subset \bar\DR^m$ eine Teilmenge, $p\in \bar\DR^m
$ ein H"aufungspunkt zu $C$\label{LS} 
und $f: C\backslash p \ra
\bar\DR^n$ eine Funktion.
Sei $b$ ein 
weiterer Punkt aus $\bar\DR^n$.
Wir sagen, 
{\bf $f(x)$ strebt gegen $b$ f"ur $x\ra p$} und schreiben
$$ \lim_{C\ni x\ra p} f(x)  = \lim_{x\ra p} f(x) = b$$
als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s  
\index{lim@$\lim_{x\ra p}$ Grenzwert von Abbildung!von Teilmengen von
  $\bar{\mathbb R}^n$}
die Fortsetzung unserer Funktion $f$ zu einer Funktion $ f:C\cup\{p\}\ra \bar{\Bbb{R}}^n$ durch
$ f(p)\pdef b$ stetig ist bei $p$. In diesem Fall nennen wir $b$
den
{\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Funktion} oder lateinisierend
{\bf Limes}\index{Limes!von Funktion} 
der Funktion $f$ f"ur $x\ra p$.
\end{Definition}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLim}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Der Grenzwert oder Limes einer Funktion
mit einer \glqq Fehlstelle\grqq\  in ihrem Definitionsbereich
 ist, wenn er existiert, 
der Wert  an der fraglichen Fehlstelle der einzig m"oglichen 
dort stetigen Fortsetzung.
\end{minipage}
 \end{figure}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit des Grenzwerts}]
  Nach der Eindeutigkeit \ref{ESF} stetiger Fortsetzungen in 
  H"aufungspunkten folgt aus
$\lim_{x\ra p} f(x) = a$ und $\lim_{x\ra p} f(x) =b$
bereits $a=b$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}\label{GSS}
Salopp gesprochen verh"alt es sich demnach so, da"s eine Funktion mit 
einer einpunktigen Definitionsl"ucke 
an einem H"aufungspunkt ihres Definitionsbereichs 
 auf h"ochstens eine Weise stetig in diese 
Definitionsl"ucke hinein  fortgesetzt werden kann. 
Der Wert  dieser an besagter Stelle
 stetigen Fortsetzung ist dann per definitionem der Grenzwert
unserer Funktion an besagter Stelle.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
Wir haben $$\lim_{x\ra 1} \frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\ra 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =\lim_{x\ra 1} x+1 =2$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Wir haben $\lim_{x\ra \infty} 1/x =0$ und $\lim_{(0,1)\ni x\ra 0} 1/x =\infty$, denn
unser erweitertes nichtnegatives Invertieren\label{lim1dx}   ${\op{i}}{\overline{\op{nv}}}^{\scriptscriptstyle +}:[0,\infty]\ra [0,\infty]$
ist stetig nach \ref{StI} mit ${\op{i}}{\overline{\op{nv}}}^{\scriptscriptstyle +}(\infty)=0$ und ${\op{i}}{\overline{\op{nv}}}^{\scriptscriptstyle +}(0)=\infty$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium f"ur Grenzwerte}]
Seien $D\subset \DR^m$ eine Teilmenge, $p\in D
$ ein H"aufungspunkt von $D$\label{LSede} 
und $f: D\backslash p \ra
\DR^n$ eine Funktion.
Sei weiter $b\in\DR^n$ gegeben.
Genau dann gilt 
$\lim_{x\ra p} f(x) = b$, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein
$\delta>0$ gibt mit $$|x-p|<\delta\RA |f(x)-b|<\varepsilon$$ Das ist
eine direkte Konsequenz des $\varepsilon$-$\delta$-Kriteriums f"ur Stetigkeit \ref{ede}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Grenzwerte f"ur $x\ra\infty$}]
Sei $f:\DR\supset C \ra \DR^n$ eine Funktion\label{LSc}
und zu $C$ sei $\infty$
ein H"aufungspunkt.
Genau dann gilt 
$\lim_{x\ra \infty} f(x) = b$ f"ur $b\in \DR^n$, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein
$N=N_\varepsilon\in\DR$ gibt mit $$x>N \RA |f(x)-b|<\varepsilon$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
Wir wenden das Umgebungskriterium f"ur Stetigkeit \ref{edeu} an und setzen $ D\pdef C\cup\{\infty\}$. Ist die Fortsetzung von $f$ zu $ f:  D\ra \DR^n$
  durch $ f(\infty)\pdef b$ stetig bei
  $\infty$, so gibt es f"ur die Umgebung  $U=\op{B}(b;\varepsilon)$ von $b= f(\infty)$ eine  Umgebung  $U'$ von $\infty$ mit $ f(U'\cap  D)\subset \op{B}(b;\varepsilon)$. Diese Umgebung  $U'$ von $\infty$
  umfa"st aber per definitionem
  eine Teilmenge der Gestalt $(N,\infty]$ mit $N\in\DR$. Wir sehen so, da"s es zu jedem 
      $\varepsilon >0$ ein $N\in \DR$ gibt mit $x>N \RA |f(x)-b|<\varepsilon$.
      Sei umgekehrt diese Bedingung erf"ullt. Es gilt zu folgern, da"s
      unsere Fortsetzung $f:D\ra \DR^d$ stetig ist bei $p\pdef\infty$. Gegeben eine Umgebung   $U$ von $b=f(\infty)$ finden wir $\varepsilon>0$ mit  $\op{B}(b;\varepsilon)\subset U$. 
      Zu diesem $\varepsilon$  finden wir dann  ein $N\in\DR$ mit
      $f((N,\infty)\cap C)\subset \op{B}(b;\varepsilon)$. Somit ist 
      $U'\pdef (N,\infty]$ die gesuchte Umgebung  von $\infty$ mit
    $ f(U'\cap D)\subset U$. 
\end{proof}
\begin{Beispiel}[\textbf{Grenzwerte konstanter Funktionen}]
Wir haben $\lim_{x\ra p} c =c$ f"ur jede konstante Funktion $c$, denn konstante Funktionen sind stetig.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Grenzwert der Identit"atsfunktion}]
Wir haben $\lim_{x\ra p} x =p$, denn die Identit"at $\op{id}$ ist  stetig.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben Mengen $A$ und $I$ 
bezeichnet man eine Abbildung $I\ra A$  ganz allgemein auch als eine 
{\bf durch $I$ indizierte} \defind{Familie} {\bf von
Elementen von $A$} und benutzt die Notation $$(a_i)_{i\in I}$$
Diese Sprechweise und Notation f"ur  Abbildungen 
verwendet man insbesondere dann,\label{FamilieA} 
wenn man der Menge $I$ eine  untergeordnete Rolle 
zugedacht hat. Im Fall $I=\emptyset$ spricht man von der
{\bf leeren Familie}\index{leer!Familie} von Elementen von $A$.
\end{Bemerkungl}  

\begin{Definition}
Eine Abbildung $\DN \ra X$, $n\mapsto a_{n}$
von den nat"urlichen Zahlen in eine Menge $X$
nennen wir eine
{\bf Folge\index{Folge} in $X$}.
Wir schreiben eine Folge meist $(a_{n})_{n\in \DN}$ oder $a_{0},
a_{1},a_{2}, \ldots $ oder auch einfach nur $(a_{n})$. Die Elemente $a_{n}$
hei"sen die {\bf Folgenglieder}. Manchmal
nennen wir
auch Abbildungen Folgen, die erst ab $n=1$ definiert sind.
\end{Definition}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoF}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Graphische Darstellung der Folge $a_n=3^{3-n}-(-2)^{4-n}$.
Die Folgenglieder sind die kleinen Kreuzchen auf der reellen 
Achse, ihre Indizes tragen sie an
immer k"urzer werdenden  Stangen.
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Folgenkonvergenz}] 
  Eine Folge $(a_n)$ in $\bar\DR^d$ ist dasselbe wie eine
  Funktion $f:\bar\DR\supset \DN\ra \bar\DR^d$, n"amlich die Funktion
  $f(n)\pdef a_n$. Der Punkt $\infty$ ist ein H"aufungspunkt zu $\DN$ in $\bar\DR$, wie wir bereits in \ref{IHN} bemerkt hatten. 
Gegeben 
$b\in\bar{\DR}^d$ 
 sagen wir, {\bf die Folge $a_{n}$ konvergiere gegen}
\index{Konvergenz!von Folgen!in $\bar{\DR}^d$} $a$, 
wenn im Sinne des allgemeinen Grenzwertbegriffs \ref{LS}
gilt $$\lim_{\DN\ni n\ra \infty} a_{n} =a$$
In diesem Fall nennen wir $a$
den
{\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Folge} oder lateinisierend
{\bf Limes}\index{Limes!von Folge}\index{lim@$\lim_{n\ra\infty}$ Grenzwert von
Folge!in $\bar{\mathbb R}^d$} 
der Folge.\label{GDK}  
\end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}
    Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur\label{ffF} 
{\bf fast alle Elemente}\index{fast alle!Menge} 
einer Menge, so soll das bedeuten, da"s
sie gilt f"ur alle Elemente bis auf h"ochstens endlich
viele Ausnahmen.
Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur
{\bf fast alle Glieder} einer Folge, so soll das bedeuten, da"s  
f"ur fast alle Indizes $n$ unsere Aussage 
f"ur das $n$-te Folgenglied gilt.
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{$\varepsilon$-$N$-Kriterium f"ur Folgenkonvergenz}] 
Gegeben eine Folge $(a_n)$ in $\DR^d$ und  
$a\in\DR^d$  ist  $\lim_{n\ra \infty}a_n=a$ nach \ref{LSc}
gleichbedeutend dazu, da"s es f"ur jedes
  $\varepsilon >0$  ein $N=N_\varepsilon\in\DR$ 
gibt mit $n> N\RA
|a_n-a|<\varepsilon$.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierung der Folgenkonvergenz}]
    Gegeben eine Folge $(a_n)$ in $\bar\DR^d$ ist 
$\lim_{n\ra \infty} a_{n} =a$
 gleichbedeutend dazu, da"s  jede Umgebung  von $a$
 fast alle Glieder unserer Folge enth"alt.
  \end{Lemma}
  \begin{proof}
Wir setzen $D\pdef \DN\cup\{\infty\}$.     Bezeichne $ \bar a:D\ra \bar\DR^d$ die Fortsetzung von
    $n\mapsto a_n$ durch $\infty\mapsto a$. Per definitionem
    ist $\lim_{n\ra \infty} a_{n} =a$ gleichbedeutend dazu, da"s $\bar a$ stetig
    ist bei $\infty$. Das ist gleichbedeutend dazu, da"s es
    f"ur jede Umgebung  $U$ von $a=\bar a(\infty)$ eine Umgebung
    $U'$ von $\infty$ gibt mit $\bar a(U'\cap D)\subset U$. 
    Das hinwiederum ist gleichbedeutend dazu,
    da"s es
    f"ur jede Umgebung  $U$ von $a$  ein $N\in\DR$ gibt mit
    $\bar a((N,\infty]\cap D)\subset U$ oder, wegen $\bar a(\infty)=a\in U$ immer noch gleichbedeutend, mit
  $\bar a((N,\infty]\cap \DN)\subset U$. 
  \end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Eine {\bf Nullfolge}\index{Nullfolge} ist eine 
Folge, die gegen Null konvergiert. Zum Beispiel
folgt aus Korollar \ref{Kop} zur Archimedizit"at der reellen Zahlen 
sofort, da"s die Folge $n\mapsto 1/n$ gegeben f"ur $n\geq 1$  eine Nullfolge ist,  in Formeln $$\lim_{n\ra \infty} 1/n =0$$
Alternativ folgt das auch durch Einschr"anken der Erkenntnis
$\lim_{x\ra \infty} 1/x =0$ aus \ref{lim1dx} auf positive nat"urliche Zahlen. Bei dieser Argumentation versteckt sich die Archimedizit"at der reellen Zahlen in
der implizit verwendeten Eigenschaft, da"s $\infty$ ein H"aufungspunkt zu $\DN$ in $\bar\DR$ ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Mit unserer Konvention f"ur die
\glqq Konvergenz gegen $\pm\infty$\grqq\  bewegen wir uns zwar im 
Rahmen des allgemeinen Begriffs 
der \glqq Konvergenz  in topologischen R"aumen\grqq\  \eref{SSGeFuA}{AN2}, aber 
au"serhalb der in der einf"uhrenden Literatur zur Analysis 
"ublichen Konventionen. "Ublicherweise wird stattdessen
die Terminologie 
\defind{bestimmte Divergenz} {\bf gegen $\pm\infty$}
verwendet. "Ublicherweise bleibt in 
anderen Worten der Begriff der konvergenten Folge
reserviert f"ur Folgen, die gegen eine reelle Zahl konvergieren.
Wir nennen solche Folgen   \defind{reell konvergent}.
Falls eine Folge nicht konvergiert,
auch nicht gegen $\infty$ oder $-\infty$, so
nennt man sie {\bf unbestimmt divergent}\index{unbestimmt divergent}.
Wir verlieren mit unserer Terminologie zwar etwas an
terminologischer Koh"arenz, da wir im weiteren \glqq Reihen\grqq\  
aus wieder anderen Gr"unden nur dann
konvergent nennen werden, wenn die Folge ihrer Partialsummen
\emph{reell} konvergent ist. Das schien mir jedoch ein kleineres "Ubel,
als es eine unn"otig einschr"ankende oder in F"alle
aufspaltende Formulierung von Aussagen wie %\ref{QeLe} oder
\ref{TeFo} w"are.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalit"at des Grenzwerts}]
Der Grenzwert einer Funktion f"ur $x\ra p$ h"angt nur von ihrem Verhalten
in einer Umgebung  von $p$ ab. Ist genauer\label{LokG} 
$p\in D$  H"aufungspunkt einer Teilmenge
$D\subset\bar\DR^m $ und  
$f:D\backslash p\ra\bar\DR^n$ 
eine Funktion und $V$ eine Umgebung  von $p$, so existiert 
$\lim_{x\ra p} f(x) $ genau dann, wenn $\lim_{x\ra p} (f|_{V\cap D\backslash p})(x) $
existiert, und unter diesen Umst"anden gilt 
$$\lim_{(V\cap D)\ni x\ra p} f(x)=\lim_{D\ni x\ra p} f(x) $$
Das folgt unmittelbar aus der Lokalit"at der Stetigkeit \ref{SlE}.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Grenzwerte von Einschr"ankungen}]
  Gegeben $C\subset E\subset \bar\DR^m$ und $p\in \bar\DR^m$ ein H"aufungspunkt zu $C$ und $f:E\backslash p\ra\bar\DR^n$ haben wir
  $$\lim_{C\ni x\ra p} f(x)=\lim_{E\ni x\ra p} f(x)$$
  wenn der rechte Grenzwert existiert, denn Einschr"ankungen stetiger  Funktionen sind stetig nach \ref{Eiss}.\label{GvE}
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Man beachte den Unterschied zwischen der
  Lokalit"at des Grenzwerts  \ref{LokG}, 
  die  ein  Kriterium f"ur die Existenz eines Grenzwerts angibt,
  und der Aussage \ref{GvE} "uber Grenzwerte von Einschr"ankungen,
  die nur Eigenschaften von Grenzwerten behauptet,
  deren Existenz bereits bekannt ist.
\end{Bemerkungl}





%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwerte von Verkn"upfungen}]
 %   Die Definition des Grenzwerts \ref{LS} als Wert der eindeutigen
%  stetigen Fortsetzung 
%zusammen mit der Stetigkeit der Verkn"upfung stetiger Funktionen \ref{VSte}
%liefern
%f"ur den Grenzwert einer Verkn"upfung die  drei Implikationen\label{GWSt}
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lcl}
%\left( \lim_{x \rightarrow p} f(x) =q \text{ und $g$  stetig bei }q \right) 
%& \Rightarrow  &\lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =g(q)\\[2mm]
%\left(f \text{ stetig bei } p \text{ und } \lim_{y\rightarrow f(p)} 
%g(y) =c\right) &
%\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =c\\[2mm]
%\left( \lim_{x \rightarrow p} f(x) =q \text{ und } \lim_{y\rightarrow q}
%g(y) =c \right) & \Rightarrow  &\lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =c
%\end{array}
%\end{displaymath}
%Wir sagen, Limites {\bf vertauschen mit dem Nachschalten stetiger Funktionen}, sie {\bf  "andern sich nicht beim Vorschalten einer stetigen Funktion}  
%und sie {\bf  lassen sich iterieren}. Im folgenden f"uhren wir das genauer aus.
%Die Terminologie \glqq Limites\grqq\ meint hier 
%das \glqq Bilden von Grenzwerten\grqq\ und soll zum Ausdruck bringen,
%da"s eben nicht der Grenzwert selbst die fraglichen Eigenschaften hat,
%sondern vielmehr  das Bilden von Grenzwerten.
%\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwerte von Verkn"upfungen}]
    Die Definition des Grenzwerts \ref{LS} als Wert der eindeutigen
  stetigen Fortsetzung 
zusammen mit der Stetigkeit der Verkn"upfung stetiger Funktionen \ref{VSte}
liefern
f"ur den Grenzwert einer Verkn"upfung die folgenden drei Implikationen.\label{GWSt} Die Terminologie \glqq Limites\grqq\ meint hier 
das \glqq Bilden von Grenzwerten\grqq\ und soll zum Ausdruck bringen,
da"s eben nicht der Grenzwert selbst die fraglichen Eigenschaften hat,
sondern vielmehr  das Bilden von Grenzwerten.
\begin{description}
\item[Limites vertauschen mit dem Nachschalten stetiger Funktionen:] 
 $$\left( \lim_{x \rightarrow p} f(x) =q \text{ und $g$  stetig bei }q \right) 
 \Rightarrow  \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =g(q)$$
\item[Limites bleiben gleich beim Vorschalten  stetiger Funktionen:] 
$$\left(f \text{ stetig bei } p \text{ und } \lim_{y\rightarrow f(p)} 
g(y) =c\right) 
\Rightarrow  \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =c$$
\item[Limites lassen sich iterieren:]
$$\left( \lim_{x \rightarrow p} f(x) =q \text{ und } \lim_{y\rightarrow q}
  g(y) =c \right) \Rightarrow  \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) =c$$
\end{description}
Im folgenden f"uhren wir das genauer aus. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Limites vertauschen mit dem Nachschalten stetiger Funktionen}] 
  Wir schreiben die erste Eigenschaft nach \ref{GWSt} nocheinmal mit allen
  Voraussetzungen und den entsprechenden Notationen
  aus. Seien gegeben  $C\subset \bar{\DR}^m$ 
und\label{VSTF}  
 $p\in \bar{\DR}^m$ ein 
H"aufungspunkt zu $C$ und $f:C\backslash p\ra \bar{\DR}^n$ 
eine Funktion mit Bild in $E\subset\bar{\DR}^n$. 
Gilt $\lim_{x\ra p} f (x)=q$
und  $q\in E$ und ist $g:E\ra \bar{\DR}^l$ stetig bei $q$, so folgt
$$\lim_{x\ra p} g(f (x))=g(q)$$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Folgenkonvergenz und Nachschalten stetiger Funktionen}] 
Gegeben eine Funktion $g:\bar\DR^k\supset E\ra \bar{\DR}^l$, die stetig
ist bei einer Stelle\label{vvsf}  
 $a\in E$, und eine Folge $(a_n)$ in $E$ mit  $\lim_{n\ra \infty} a_n=a$
gilt  $$\lim_{n\ra \infty} g(a_n)=g(a)$$
Das zeigen wir, indem wir unsere Erkenntnisse aus \ref{VSTF}
zum Vertauschen von Limites mit dem  Nachschalten stetiger Funktionen  
 anwenden auf $C\pdef \DN$ und den H"aufungspunkt $p\pdef \infty$
und  $a_n$ statt $f(x)$ schreiben. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} Wenden wir unsere Erkenntnisse \ref{vvsf} zur Vertauschung von Folgenkonvergenz und stetigen Funktionen nach einer geschickten Umformung auf die
  Funktion $f(x)\pdef\frac{5+x^2}{3+x}$ und die Folge $a_n\pdef 1/n$ an, so erhalten wir
$$\lim_{n\ra\infty}\frac{5n^3+n}{3n^3+n^2}=
  \lim_{n\ra\infty}\frac{5+(1/n)^2}{3+(1/n)}=\frac{5}{3}$$
\end{Beispiel}


\begin{Definition}
Sei $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots$ eine Folge.
Ist $0\leq n_{0}<n_{1}<n_{2} < \ldots$ eine streng monoton wachsende Folge nat"urlicher Zahlen, so nennen
wir die Folge $(b_{n_{k}})_{k\in \DN}$ mit Gliedern $$b_{n_{0}}, b_{n_{1}},
b_{n_{2}}, \ldots$$ eine {\bf Teilfolge}\index{Teilfolge} 
der Folge $b_{n}$.
Schreiben wir eine Folge in $X$ als eine Abbildung $b :\DN \ra X$, $ n \mapsto
b(n)=b_{n}$, so ist eine Teilfolge von $b$ demnach eine Abbildung der Gestalt
$b\circ a$ f"ur eine streng monoton wachsende 
Folge  $a:\DN \ra \DN$ gegeben durch $a(k)\pdef n_k$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Konvergenz von Teilfolgen}]
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert, und zwar gegen
denselben Grenzwert wie die urspr"ungliche Folge.\label{TeFo} 
In der Tat liegen in jeder Umgebung  des Grenzwerts fast alle Glieder unserer
Folge und a forteriori auch fast alle Glieder jeder Teilfolge. Alternativ
ist es auch eine formale Konsequenz aus der Regel f"ur iterierte
Limites nach \ref{GWSt}, die wir spezialisieren k"onnen zu 
$$\textstyle \left( \lim_{k \rightarrow \infty} n_k =\infty \text{ und } \lim_{n\rightarrow \infty}
b_n =b \right) \Rightarrow  \lim_{k \rightarrow \infty} b_{n_k} =b$$
Nach unseren Annahmen ist hier $\lim_{k \rightarrow \infty} n_k =\infty$
offensichtlich.  Formal folgt es auch aus der Regel f"ur den Grenzwert durch
Einquetschen \ref{hochque}.
\end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwert als komponentenweiser Grenzwert}] 
  Sei $C\subset\bar{\Bbb{R}}^m$ und $p\in \bar{\Bbb{R}}^m$ ein H"aufungspunkt zu $C$ und
  $f=(f_1,\ldots, f_n):C\backslash p\ra \bar{\Bbb{R}}^n$ eine Abbildung
  und $b=(b_1,\ldots, b_n)\in \bar{\Bbb{R}}^n$ ein Punkt.
  So gilt\label{StKg}  
  $$\lim_{x\ra p}f(x)=b \;\;\IFF \;\; \lim_{x\ra p}f_\nu(x)=b_\nu \;\forall \nu$$
  In der Tat folgt das unmittelbar aus unserer Erkenntnis \ref{StKg}, da"s
  Stetigkeit gleichbedeutend ist zu komponentenweiser Stetigkeit.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwert von Summe,  Produkt und Quotient}]
Seien $C\subset\bar{\DR}^m$ eine Teilmenge\label{BL}  
und $p\in \bar{\DR}^m$ ein H"aufungspunkt zu $C$
 und seien 
$f, g : C\backslash p  \ra \Bbb{R}$ reellwertige Funktionen mit 
reellen Grenzwerten
$\lim_{x\ra p}
f (x) = b$ und $\lim_{x\ra p}
g (x) = c$.
So folgt aus der
  Stetigkeit von Summe und Produkt stetiger Funktionen \ref{stAF}  unmittelbar $\lim_{x\ra p}(f + g)(x) = b +c$ und
  $ \lim_{x\ra p} (f  g) (x) =bc$. Ebenso folgt aus der
  Stetigkeit des Quotienten \ref{QSFu} unter
  der zus"atzlichen Annahme, da"s $g$ keine Nullstelle hat und der Grenzwert $c$ nicht Null ist, auch 
  $ \lim_{x\ra p} f(x) / g (x) =b/c$.
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwert durch Einquetschen}]
\label{BL2}
Seien $C\subset\bar{\DR}^m$ eine Teilmenge 
und $p\in \bar{\DR}^m$ ein H"aufungspunkt zu $C$ 
und  $f,g,h : C\backslash p  \ra \bar{\DR}$ 
Funktionen mit $$f(x)\leq g(x)\leq h(x) \quad\text{f"ur alle } x\in C\backslash p .$$
So folgt aus $\lim_{x\ra p}f(x) =b= \lim_{x\ra p}h(x)$ schon 
$\lim_{x\ra p}g(x) = b$. In der Tat gibt es unter diesen Annahmen f"ur jede Intervallumgebung
$I$ von $b$ Umgebungen  $U,W$ von $p$ mit $f(U\cap C\backslash p)\subset I$ und
$h(W\cap C\backslash p)\subset I$. Dann aber ist $V\pdef U\cap W$ offensichtlich
eine Umgebung  von $p$ mit $g(V\cap C\backslash p)\subset I$. Alternativ folgt das auch sofort aus unserer "Ubung zur Stetigkeit durch Einquetschen  \ref{QueL}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Aus $\lim_{x\ra p}f(x) =\infty$ und $f(x)\leq g(x) \;\forall x$
  folgt durch
  Einquetschen $\lim_{x\ra p}g(x)=\infty$. In diesem Fall k"onnen
  wir als \glqq obere Quetschfunktion\grqq\ 
  $h$ die konstante Funktion $h(x)=\infty  \;\forall x$ w"ahlen.\label{hochque} 
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}[\textbf{Erhaltung schwacher Ungleichungen im Grenzwert}]
Seien $C\subset\bar{\DR}^m$ eine Teilmenge 
und $p$ ein H"aufungspunkt zu $C$\label{UGG} 
 und  $f,g : C\backslash p  \ra \bar{\DR}$ 
Funktionen mit $f(x)\leq g(x)$ f"ur alle $ x\in C\backslash p $.
Existieren die Grenzwerte von $f$ und $g$ f"ur $x\ra p$, so gilt
 $$\lim_{x\ra p}f(x) \leq  \lim_{x\ra p}g(x)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Man beachte den Unterschied zum  Grenzwert durch Einquetschen \ref{BL2}.
  Er gibt ein hinreichendes Kriterium f"ur die Existenz eines Grenzwerts,
  wohingegen Lemma \ref{UGG} "uber die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert
  nur Eigenschaften von Grenzwerten behauptet,
  deren Existenz bereits bekannt ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Durch Widerspruch. Sei $a$ der Grenzwert von $f$ und $b$ der
  Grenzwert von $g$.
H"atten wir $a>b$ alias $b<a$, so 
f"anden wir $k$ mit $b<k<a$. Dann w"are $[-\infty,k)$ eine Umgebung  von $b$
und $(k,\infty]$ eine Umgebung  von $a$. 
Es g"abe also  Umgebungen  $U$ und $V$ von $p$ mit
$f(U\cap C\backslash p)\subset (k,\infty]$ und $g(V\cap C\backslash p)\subset [-\infty,k)$.
        Da $p$ H"aufungspunkt zu $C$ ist, w"are $U\cap V\cap C\backslash p$
        nicht leer. F"ur jeden Punkt $x$ aus dieser Menge g"alte
    aber    $f(x)>g(x)$ im Widerspruch zu unserer Annahme.
\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Grenzwerte von Potenzen}] 
Die folgende Tabelle beschreibt das Konvergenzverhalten
der Folge $(x^{n})_{n\in \DN}$ der Potenzen von $x$ in Abh"angigkeit von $x$:
$$\begin{array}{r@{\extracolsep{4mm}}l}
x > 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} = \infty;\\
x=1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =1 ;\\
|x| < 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =0 ;\\
x\leq -1 & \text{Die Folge $x^{n}$ divergiert unbestimmt.}
\end{array}$$\label{Pot}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Im Fall $x > 1$ schreiben wir $x = 1 + y$ mit $y >0$ und erhalten
mit der binomischen Formel
$$x^{n} = (1+y)^{n} \geq 1 + ny$$
Die Folge $n\mapsto 1+ny$ strebt aber gegen $\infty$ und nach
\ref{hochque} strebt dann die Folge $x^n$ auch gegen $\infty$.
Im Fall $x =1$ ist die Folge konstant $1$ und es ist nichts zu zeigen.
Falls $0<x < 1$ gilt nach dem Vorhergehenden $\lim_{n\ra \infty}
{1}/{x^{n}}=\infty$ und daraus folgt 
$\lim_{n\ra \infty} x^{n}=0$ durch Anwenden der stetig von
$(0,\infty)$ auf $[0,\infty]$ fortgesetzten
Funktion $t\mapsto 1/t$ aus \ref{StI}.
F"ur $-1<x \leq  0$ folgt die Behauptung dann wegen
$-|x|^n\leq x^n\leq |x|^n$ durch Einquetschen \ref{BL2}. 
Im Fall $x\leq -1$ gilt $|x^{n}-x^{n+1}|
\geq 2$ f"ur alle $n$. Also kann die Folge nicht 
gegen eine reelle Zahl $a$ konvergieren, denn
dann m"u"ste
gelten $|a-x^n|<1$ f"ur fast alle $n$ und dann nach der Dreiecksungleichung 
$|x^{n}-x^{n+1}|
< 2$ f"ur fast alle $n$.
Die Folge kann in diesem Fall aber auch nicht gegen
$\infty$ oder $-\infty$  konvergieren,
da die Folgenglieder immer abwechselnd positiv und negativ sind.
\end{proof}











\begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in 
$\DR$}]\index{Gruppenweg!in 
$\DR$}
Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SRR} $\DR\ra\DR$ 
der additiven Gruppe der reellen Zahlen
  in sich selber sind genau die Abbildungen 
$x\mapsto \lambda x$ f"ur beliebiges aber festes 
  $\lambda \in \Bbb{R}$. 
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $f : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ ein stetiger
Gruppenhomomorphismus, als da hei"st eine stetige Abbildung
mit $f (x+y) = f(x) + f(y) \;
\forall x,y \in \Bbb{R}$.
Es reicht zu zeigen, da"s $f$ die Gleichung $f(x) = x f(1)$
erf"ullt.
Auch ohne die Stetigkeit von $f$ zu benutzen, folgern wir $f (q) =
q f (1)$ zun"achst f"ur alle $q \in \DN$, dann f"ur alle $q \in
\DZ$, dann f"ur alle $q \in \DQ$.
Um unsere Gleichung $f(x) = x f (1)$ sogar f"ur alle $x \in \Bbb{R}$
zu zeigen,
nutzen wir die Erkenntnis, da"s nach \ref{Kop}
jede reelle Zahl $x$ ein H"aufungspunkt zu $\DQ$ ist.
F"ur alle $x\in \DR$ gilt also
$$f(x)=\lim_{\DQ\ni q\ra x}f(q)=\lim_{\DQ\ni q\ra x}qf(1)=xf(1)$$
und so folgt wie gew"unscht  $f(x)=\lambda x$ f"ur $\lambda\pdef f(1)$.
\end{proof}













\begin{Bemerkungl}\label{LRGr}
Gegeben eine Teilmenge $C\subset\bar \DR$ und ein Punkt $p\in  \DR$,
der H"aufungspunkt  sowohl zu $C\cap  \DR_{<p}$ als auch zu $C\cap  \DR_{>p}$ ist, 
 sprechen wir vom
{\bf linksseitigen}\index{Grenzwert!linksseitiger Grenzwert} beziehungsweise {\bf rechtsseitigen Grenzwert}
\index{Grenzwert!rechtsseitiger Grenzwert} einer Funktion $f:C\backslash p\ra\bar{\Bbb{R}}$,
wenn wir den Grenzwert ihrer Einschr"ankung 
auf diese beiden Teilmengen untersuchen wollen, 
und notieren diese Grenzwerte wenn sie denn existieren 
\index{lim@$\lim_{x \searrow p}$ rechtsseitiger Grenzwert}  
\index{lim@$\lim_{x \nearrow p}$ linksseitiger Grenzwert}
$$\lim_{x \nearrow p} f (x)\pdef\lim_{x\ra p}f|_{C\cap \DR_{<p}}\;\;\;\text{ und }
\;\;\;\lim_{x \searrow p} f (x)\pdef\lim_{x\ra p}f|_{C\cap  \DR_{>p}}$$
Ofensichtlich 
existiert in dieser Situation
der Grenzwert bei $p$ genau dann, wenn der linkseitige
Grenzwert und der rechtseitige Grenzwert existieren und "ubereinstimmen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
Es gilt $\lim_{x \searrow 0} 1/x = \infty$ und $\lim_{x\nearrow 0}
{1}/{x} = - \infty$.
\end{Beispiel}




\begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit als Folgenstetigkeit}]
Seien
$f:\bar{\DR}^m\supset D\ra \bar{\DR}^n$ eine Funktion und $a \in D$
ein Punkt. So sind gleichbedeutend:\label{FGW}
\begin{enumerate}
\item
$f$ ist stetig bei $a$;
\item
 F"ur jede Folge $a_{0},a_{1},\ldots $ von Punkten 
aus $D$ mit $\lim_{i\ra \infty}a_{i}=a$
 gilt bereits $\lim_{i\ra \infty}f(a_{i})=f(a)$.
 \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz ist f"ur uns bis auf weiteres nicht relevant.
  Soweit ich sehen kann, ben"otigen wir ihn im hier verfolgten
  Aufbau der Theorie erst in Analysis 3, um zu zeigen,
  da"s die Fouriertransformierte einer integrierbaren Funktion stetig ist.
  Allerdings kann es leicht passieren, da"s Sie in einer Pr"ufung danach gefragt werden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
$1\Rightarrow 2$
haben wir schon in  \ref{vvsf} erledigt. Wir konzentrieren uns 
deshalb auf 
$ 2\Rightarrow 1$. Das zeigen wir durch 
Widerspruch. F"ur unser $a\in \bar{\DR}^n$ finden wir nach "Ubung \ref{AbFun}
eine absteigende Folge von Umgebungen  
$V_0\supset V_1\supset V_2\supset\ldots$ derart, da"s jede Umgebung  $V$ 
von $a$ fast alle $V_i$ umfa"st.
Ist $f$ nicht stetig bei $a$, so gibt es eine Umgebung  $U$ von
$f(a)$ derart, da"s f"ur kein $i$ gilt $f(V_i\cap D)\subset U$.
F"ur jedes $i$ finden wir also 
$a_i\in V_i\cap D$ mit
$f(a_i)\not\in U$. Die $a_i$ bilden dann eine Folge in $D$ mit
$\lim_{i\ra \infty}a_{i}=a$, f"ur die nicht gilt
$\lim_{i\ra \infty}f(a_{i})=f(a)$.
\end{proof}







\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Sei $C\subset \DR$ eine Teilmenge derart, da"s $\infty$
ein H"aufungspunkt zu $C$ ist,\label{LScc} 
und sei $f: C \ra \bar\DR$ eine Funktion. Man zeige, da"s 
genau dann gilt 
$\lim_{x\ra \infty} f(x) = -\infty$, wenn es f"ur jedes $M \in \DR$ ein
$N=N_M\in\DR$ gibt mit $$x>N \RA f(x)<M$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{AbFun}
  F"ur jedes $a\in \bar{\DR}^n$ gibt es eine absteigende
  Folge von Umgebungen  $V_0\supset V_1\supset V_2\supset\ldots$ derart, da"s
  jede Umgebung  von $a$ fast alle der $V_i$ umfa"st.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ist $A\subset \bar{\DR}$ eine nichtleere  Teilmenge, so
ist $\sup A$ das gr"o"ste Element in der Menge $G$ 
aller Punkte aus den erweiterten 
reellen Zahlen, die Grenzwerte von Folgen aus $A$ sind.\label{supgw}
Diese "Ubung wird verwendet f"ur die Herleitung des Satzes
"uber Extrema auf Kompakta. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung} Sei $C \subset \bar\DR$ eine Teilmenge. 
Genau dann ist $p\in \bar\DR$ H"aufungspunkt zu $C$, 
wenn es eine Folge reeller Zahlen\label{HPGW} 
$x_{n}$ in $C\backslash p$ gibt mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{absG}
Aus $\lim_{n \ra \infty} a_{n} = a$ folgt $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}| = |a|$.
Umgekehrt folgt aus $\lim_{n \ra \infty} |a_{n}|=0$  bereits
$\lim_{n \ra \infty} a_{n}=0$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{RFNu}
Ist $(a_n)$ eine  Folge reeller Zahlen, die gegen eine reelle
Zahl  konvergiert, so gilt
$\lim_{n\ra\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Folgenkriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}]
Sei $C\subset \bar\DR$ eine Teilmenge, $p$ ein H"aufungspunkt\label{GeFuU} 
zu $C$ und $f: C\backslash p \ra
\bar\DR$ eine Funktion. So gilt
$\lim_{x\ra p} f(x) = b$
genau dann, wenn f"ur jede Folge $x_n$ in $C\backslash p$ mit $x_n\ra p$ gilt
$f(x_n)\ra b$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Seien $C\subset \bar\DR^m$ eine Teilmenge, $p
$ ein H"aufungspunkt zu $C$ und\label{GeFB} 
$f: C\backslash p \ra
\bar\DR$ eine Funktion.
So gilt
$$\lim_{x\ra p} f(x) = 0 \;\IFF\; \lim_{x\ra p} |f(x)|=0$$
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Polynomiale Funktionen als formale Ausdr"ucke}]
Man zeige: Gilt f"ur
eine durch ein Polynom vom Grad $\leq n$ 
gegebene Funktion $f(x)=a_n x^n+ \ldots + a_1 x+a_0$
und ein $p\in\DR$ die Formel $\lim_{x\ra p}f(x)/(x-p)^n=0$,
so folgt $a_0=a_1=\ldots =a_n=0$. Insbesondere liefert ein Polynom\label{PFKO} 
mit reellen Koeffizienten nur dann die Nullfunktion, wenn alle seine Koeffizienten Null sind. Wir nennen es dann das {\bf Nullpolynom}. Hinweis: Durch Verschieben kann man 
sich auf den Fall $p=0$ zur"uckziehen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Rationale Funktionen als formale Ausdr"ucke}]
  Seien  Polynome mit reellen Koeffizienten $P_1,P_2, Q_1,Q_2$ gegeben
  und seien
  $Q_1,Q_2$ nicht das Nullpolynom. Man zeige: Gilt f"ur alle $x\in \DR$ mit
  $Q_1(x)\neq 0\neq Q_2(x)$\label{PFKOv} die Gleichheit von reellen Zahlen
  $P_1(x)/Q_1(x)=P_2(x)/Q_2(x)$, so folgt die Gleichheit von Polynomen
  $P_1Q_2=P_2Q_1$. Hinweis: "Ubung \ref{PFKO}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SCFR} 
Man zeige: 
Die Regeln zum Vertauschen von Grenzwertbildung mit
Addition und Multiplikation 
gelten auch noch, wenn wir $a,b \in \bar{\Bbb{R}}$
zulassen und $a+b$ beziehungsweise $ a b$ sinnvoll definiert sind
im Sinne von "Ubung \ref{GWU}. 
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Sei $L\subset\DR$ eine Untergruppe der additiven Gruppe
der reellen Zahlen, die keine H"aufungspunkte in $\DR$ hat. So gibt es 
$\alpha\in\DR$ mit $L=\DZ\alpha$.
\end{Ubunge}



\subsection{Vollst"andigkeit der reellen Zahlen}
\label{VrZ}
\begin{Definition}
Eine Menge von reellen Zahlen hei"st 
{\bf beschr"ankt},\index{beschr"ankt!Menge reeller Zahlen} 
 wenn sie in $\DR$ eine obere und eine untere
Schranke  besitzt. Eine Folge von reellen Zahlen 
hei"st beschr"ankt, wenn die Menge der 
Folgenglieder beschr"ankt ist. Allgemeiner hei"st eine reellwertige Funktion  {\bf beschr"ankt}, wenn
  die Menge ihrer Funktionswerte beschr"ankt ist.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Jede reell konvergente Folge von reellen Zahlen 
ist beschr"ankt.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $x\in\DR$ der Grenzwert unserer Folge, so liegen fast alle Folgenglieder
in $[x-1, x+1]$. Die endlich vielen Ausnahmen k"onnen wir durch 
eine hinreichend gro"se obere und untere Schranke
 auch noch einfangen.
\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Konvergenz monotoner reeller Folgen}]
Jede monoton wachsende Folge in $\bar{\DR}$ konvergiert
gegen das Supremum der Menge ihrer Folgenglieder.\label{mk}
Jede monoton fallende Folge in $\bar{\DR}$ konvergiert
gegen das Infimum der Menge ihrer Folgenglieder.
Jede monotone beschr"ankte Folge von reellen Zahlen konvergiert
gegen eine reelle Zahl.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
 Wir zeigen nur die erste Aussage, die Zweite zeigt man analog und die
Dritte ist eine offensichtliche Konsequenz.
Sei  $s$ das Supremum alias 
die kleinste obere Schranke der Menge aller Folgenglieder.
Kein $p$ mit $p<s$ ist dann  eine obere Schranke der Menge aller Folgenglieder,
folglich liegen f"ur jedes $p<s$ ein und damit
wegen der Monotonie fast alle $x_n$ in $(p,s]$.
Damit liegen in jeder Umgebung  von $s$ fast alle
Folgenglieder.
\end{proof}


\begin{Lemma}\label{MT}
Jede Folge in einer angeordneten Menge besitzt eine monotone
Teilfolge.
\end{Lemma}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAuP}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Bei der Folge $(-1)^n 6/n$ ist jedes zweite Folgenglied ein
Ausichtspunkt im Sinne des Beweises von Lemma \ref{MT}.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Hier m"ogen Sie sich an unsere Sprachregelung \eref{SPR}{GR}
erinnern. Gemeint ist demnach: Jede  
Folge in einer angeordneten Menge besitzt \emph{mindestens} eine monotone
Teilfolge.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir nennen ein Folgenglied $x_n$ oder pr"aziser seinen Index $n$
einen \glqq Aussichtspunkt\grqq\  der Folge,
wenn alle sp"ateren Folgenglieder kleiner sind,
in Formeln $x_n>x_m$ f"ur alle $m>n$.
Besitzt unsere Folge unendlich viele Aussichtspunkte, so bilden diese 
eine streng monoton fallende Teilfolge.
Sonst gibt es einen letzten Aussichtspunkt $x_n$. Dann
finden wir aber
eine monoton wachsende Teilfolge, die mit $x_{n+1}$
beginnt, denn ab dem Index $n+1$ kommt dann nach jedem Folgenglied
noch ein anderes, das mindestens ebenso gro"s ist.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Bolzano-Weierstra"s}\index{Bolzano-Weierstra"s}]\label{HB}
Jede Folge in 
$\bar{\DR}$ besitzt eine in $\bar{\DR}$  
konvergente Teilfolge. 
Jede beschr"ankte Folge von reellen Zahlen besitzt eine reell
konvergente Teilfolge.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Jede Folge in 
$\bar{\DR}$ besitzt nach \ref{MT} 
eine monotone Teilfolge, und diese ist nach \ref{mk} konvergent
in $\bar{\DR}$. 
Ist unsere Folge beschr"ankt,
so ist auch jede solche Teilfolge beschr"ankt und konvergiert folglich
gegen eine reelle Zahl. 
\end{proof}

\begin{Definition}
Eine Folge $(x_{n})_{n\in \DN}$ in einem angeordneten K"orper
hei"st eine {\bf Cauchy-Folge},\index{Cauchy-Folge} 
wenn es f"ur jedes $\varepsilon  >0$ ein
$N = N_{\varepsilon } \in \DN$ gibt derart, da"s gilt
$|x_{n}-x_{m} | < \varepsilon  $ falls $n,m \geq N$.\label{CF}
\end{Definition}
\begin{Satz}\label{CFB}
Eine Folge reeller Zahlen  konvergiert gegen eine reelle Zahl genau dann,
wenn sie
eine Cauchy-Folge ist.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Da"s jede reell konvergente Folge Cauchy sein mu"s,
ist leicht zu sehen: Aus $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =x$ folgt, da"s es
f"ur alle $\varepsilon  > 0$  ein $N \in \DN$ gibt mit
$|x_{n}-x| < \varepsilon /2$ f"ur $n\geq N$.
Daraus folgt dann $|x_{n}-x_{m}| < \varepsilon $ f"ur
$n,m \geq N$.
Wir zeigen nun umgekehrt, da"s auch jede 
Cauchy-Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert.
Eine Cauchy-Folge $x_{n}$ ist sicher  beschr"ankt, 
denn w"ahlen wir f"ur $\varepsilon=1$
ein $N=N_\varepsilon$, so liegen fast alle Folgenglieder im Intervall
$(x_N-1,x_N+1)$, und die endlich vielen Ausnahmen
k"onnen wir durch eine hinreichend gro"se Schranke auch noch einfangen.
Unsere Cauchy-Folge besitzt
daher nach \ref{HB} eine reell konvergente Teilfolge $x_{n_{k}}$, sagen
wir $\lim_{k\ra \infty} x_{n_{k}} =x$.
Wir behaupten, da"s dann auch die Folge $x_{n}$ selbst gegen $x$
konvergiert.
In der Tat gibt es f"ur alle $\varepsilon > 0$ 
ein $N_\varepsilon$ mit $n,m \geq
N_\varepsilon \Rightarrow |x_{n} -x_{m}| < \varepsilon$.
Aus $n\geq N_\varepsilon$ folgt damit
insbesondere $|x_{n}-x_{n_{k}}| < \varepsilon$ f"ur
fast alle $k$ und dann  im Grenzwert $|x_{n}-x|\leq \varepsilon$
, da ja die Ungleichungen $-\varepsilon \leq x_{n}-
x_{n_{k}} \leq \varepsilon$ bestehen bleiben beim Grenz"ubergang
$k\ra\infty$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Ein angeordneter K"orper, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert,
hei"st {\bf vollst"andig}\index{vollst"andig!angeordneter K"orper}. 
Dieser Begriff ist Teil einer
alternativen Charakterisierung der reellen Zahlen,
die wir im folgenden als "Ubung formulieren.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Gegeben ein angeordneter K"orper sind gleichbedeutend:
(1)
Jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke besitzt eine
gr"o"ste untere Schranke;
(2)
Der K"orper ist archimedisch angeordnet und vollst"andig.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[{\bf
Intervallschachtelungsprinzip}]
Gegeben eine absteigende Folge von nichtleeren kompakten reellen 
Intervallen\index{Intervallschachtelungsprinzip}
 $\DR\supset I_0\supset I_1\supset I_2\ldots$ ist auch ihr Schnitt
$\bigcap_{\nu\in \DN} I_\nu$ nicht leer.\label{ISP}  
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Cauchy-Kriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}] 
Sei $C\subset \bar\DR$ eine Teilmenge, $p$ ein H"aufungspunkt zu $C$ 
und $f: C\backslash p \ra
{{\Bbb{R}}}$ eine reellwertige Funktion.\label{GWQ} 
 Genau dann  existiert 
der Grenzwert $\lim_{x\ra p} f(x)$ und ist eine reelle Zahl, 
wenn es f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung  
$U=U_\varepsilon$ von $p$ gibt mit 
$(a,b\in U\cap C\backslash p)\RA  |f(a)-f(b)|<\varepsilon$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{UGF}
Ich erinnere an
 die Fibonacci-Folge und den goldenen Schnitt aus \eref{FiFo}{EIN}.
  Man zeige, da"s der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder der
  Fibonacci-Folge gegen den goldenen
  Schnitt strebt, da"s also in Formeln gilt 
  $$\lim_{i\ra\infty}\frac{x_{i+1}}{x_i}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
f"ur unsere Fibonacci-Folge
  $x_0,x_1,x_2,\ldots$ aus \eref{FiFo}{EIN}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben zwei reelle Zahlen $a,b\in \DR$ definiert man ihr
{\bf arithmetisches Mittel}\index{arithmetisches Mittel} als
die Zahl $(a+b)/2$. Gegeben zwei nichtnegative reelle 
Zahlen $a,b\in \DR_{\geq 0}$ 
definiert man ihr\label{GeoM}  
{\bf geometrisches Mittel}\index{geometrisches Mittel} 
als
die Zahl $\sqrt{ab}$. 
Anschaulich ist das die Kantenl"ange eines Quadrats, das dieselbe Fl"ache
hat wie das Rechteck mit den Seitenl"angen $a$ und $b$, 
und daher kommt vermutlich auch die Terminologie. 
Man zeige f"ur je zwei positive
reelle Zahlen die Ungleichung $\sqrt{ab}\leq (a+b)/2$ zwischen
geometrischem und arithmetischen Mittel und zeige, da"s Gleichheit 
nur gilt im Fall $a=b=0$. 
\end{Ubung}

\subsection{Algorithmisches Wurzelziehen*}
\label{LaW} 


\begin{Bemerkungl} Gegeben eine reelle
  Zahl $a\geq 0$ geben wir ein Verfahren zur
  Berechnung der nichtnegativen Quadratwurzel von $a$ an.
Wir konstruieren dazu eine Folge und beginnen mit
$x_{0}\pdef\max (1,a)$. Dann gilt sicherlich schon einmal $x^{2}_{0} \geq a$.
Gegeben $x_{n}>0$ mit $x^{2}_{n} \geq a$ machen wir den Ansatz
$(x_{n}-\varepsilon )^{2}=a$ und erhalten
$\varepsilon  = ({x^{2}_{n}+\varepsilon ^{2}-a})/{2x_{n}}.
$
Nun vernachl"assigen wir  $\varepsilon^2/2x_n$, vergessen unseren Ansatz 
und setzen 
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{x^{2}_{n}-a}{2x_{n}}=\frac{x^{2}_{n}+a}{2x_{n}} $$
Man sieht sofort, da"s aus 
 $x^{2}_{n} \geq a$ und $x_{n}>0$ folgt
$x^{2}_{n+1} \geq a$ und  $x_{n} \geq x_{n+1}> 0$. 
Da die Folge der $x_n$ monoton f"allt und durch 
Null nach unten beschr"ankt ist,
besitzt sie einen Grenzwert $x\geq 0$.
Aus der Gleichung
$$2x_{n} x_{n+1} =  x^{2}_{n} +a$$
folgt dann $x^{2}=a$ durch "Ubergang zum Grenzwert 
f"ur $n\ra\infty$ auf beiden Seiten.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPK}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Graphische Darstellung unserer induktiven Formel f"ur die
Glieder der Folge $x_n$ mit Grenzwert $\sqrt{a}$ aus dem Beweis von \ref{QWE}
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}\label{NTV}
Die Ungleichungen ${a}/{x_{n}} \leq \sqrt{a}
<x_{n}$ erlauben uns sogar abzusch"atzen, wie gut unsere Approximation
$x_{n}$ mindestens sein mu"s.
Machen wir f"ur den Fehler den Ansatz
$x_n=\sqrt{a}(1+f_n)$, so ergibt sich mit etwas Rechnen
$$f_{n+1}=\frac{f_n^2}{2(1+f_n)}$$
und indem wir im Nenner die 1 beziehungsweise $f_n$ verkleinern zu Null
erhalten wir die Absch"atzung $f_{n+1}\leq \frac{1}{2}\min(f_n,f_n^2)$.
Wenn also $x_n$ so nah bei $\sqrt{a}$ ist, da"s gilt $f_n<1$, so \glqq verdoppelt
sich die Anzahl der richtigen Stellen beim "Ubergang von $x_n$ zu $x_{n+1}$\grqq.
Man spricht unter diesen Umst"anden auch von
{\bf quadratischer Konvergenz}.
Anschaulich erh"alt man $x_{n+1}$, indem man von $x_n$ senkrecht
hochgeht zum Graph der Funktion $y=x^{2}-a$ und dann auf der Tangente
an diesen Graphen wieder herunter auf die $x$-Achse.
Es ist damit auch anschaulich klar, da"s unser Verfahren sehr
schnell konvergieren sollte. 
Dieses Verfahren kann auch zur Bestimmung der Nullstellen 
allgemeinerer Funktionen anwenden. 
Es hei"st das \defind{Newton-Verfahren}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Intervallhalbierungsverfahren}]
  Sei $f:[a,b]\ra\DR$ eine stetige Funktion. 
Der Einfachkeit halber nehmen wir zus"atzlich  $f(a) \leq f(b)$ an.
Gegeben $z \in [f(a), f(b)]$ suchen wir $p \in [a,b]$ mit $f(p) =
z$.
Dazu nehmen wir den Mittelpunkt $m_0$ unseres Intervalls
her und werten unsere Funktion dort aus.
Gilt $f (m_0) \geq z$, so setzen wir $a_1= a$ und $b_1 =m_0$.
Sonst setzen wir $a_1 =m_0$ und $b_1 = b$. In jedem Fall
gilt $f(a_1) \leq z \leq f (b_1)$. Anschlie"send nehmen wir den Mittelpunkt
$m_1$ des nur noch halb so gro"sen Intervalls $[a_1, b_1]$ her und 
verfahren genauso. Auf diese Weise erhalten wir eine monoton wachsende
Folge $a=a_0, a_1, \ldots$ und eine monoton fallende Folge
$b=b_0, b_1, \ldots$ mit $b_n -a_n = 2^{-n} (b-a)$ 
und $f(a_n) \leq z \leq f(b_n)$
und  f"ur alle $n$.
Unsere beiden Folgen m"ussen also konvergieren, und zwar gegen denselben
Grenzwert $p\in [a,b]$. Aus der Stetigkeit von $f$ und der Erhaltung von
Ungleichungen im Grenzwert nach \ref{VSTF} folgt dann
\begin{equation*}
f(p) = \lim_{n\rightarrow \infty} f (a_n) \;\;\leq \;\; z \;\;\leq\;\; 
\lim_{n \rightarrow \infty} f(b_n)
= f(p)
\end{equation*}
und damit $z = f(p)$. 
\end{Bemerkungl}

\newpage
\section{Exponentialfunktion}
\subsection{Konvergenz von Reihen}\label{GVR}
\begin{Definition}
  Sei $(a_{k})_{k\in \DN}$ eine Folge reeller Zahlen.
  Der Ausdruck\index{S@$\sum$ Reihe}
$$\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$$ bezeichnet sowohl die Folge $(s_n)$ der {\bf
Partialsummen}\index{Partialsumme}
$s_{n}\pdef\sum^{n}_{k=0} a_{k}$ als auch, falls die Folge der
Partialsummen konvergiert, ihren Grenzwert $s=\lim_{n\ra \infty} s_{n}$.
Wir sagen dann, die {\bf Reihe} $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ 
{\bf konvergiere gegen}\index{Konvergenz!von reellen Reihen} $s$. 
Nennen wir eine Reihe {\bf konvergent},\index{konvergent!reelle Reihe} 
so meinen wir stets,
da"s unsere Reihe gegen eine reelle Zahl
konvergiert und nicht etwa gegen $\pm\infty$. 
Die $a_k$ hei"sen die
{\bf Reihenglieder}\index{Reihenglieder}.  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Andern endlich vieler Reihenglieder}] 
 Es spielt  f"ur das Konvergenzverhalten einer Reihe offensichtlich keine
Rolle, wenn wir  endlich viele ihrer Glieder ab"andern. Das beeinflu"st
nur den Grenzwert und "andert ihn eben um die Summe unserer 
endlich vielen "Anderungen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Es w"are terminologisch koh"arenter gewesen, wie bei Folgen
auch bei Reihen 
von \glqq reell konvergenten Reihen\grqq\  zu sprechen.
Das schien mir jedoch ungeschickt,
da man den Begriff dann nicht als Verb verwenden kann:
 \glqq Die Reihe reell-konvergiert\grqq\  klingt einfach zu holprig,
und Sprechweisen wie 
\glqq die Reihe konvergiert absolut\grqq\  sind oft praktisch.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel} Dies Beispiel illustriert den oft n"utzlichen
{\bf Teleskopsummentrick}.\index{Teleskopsumme} 
$$\begin{array}{ccl}
\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k(k+1)}& =&\lim_{n\ra \infty} \sum^{n}_{k=1} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\[2mm]
&=& \lim_{n\ra \infty} (1-\frac{1}{n+1})\\[2mm]
&=& 1
\end{array}$$  
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Geometrische Reihe}\index{Geometrische Reihe}]\label{GR}
Sei  $|x|<1$. So gilt $$\sum^{\infty}_{k=0}x^{k}= \frac{1}{1-x}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sicher gilt $(1-x)(1+x+\ldots + x^{n}) =1 -x^{n+1}$, die Partialsummen
unserer Reihe ergeben sich also zu
$$ 1 + x + \ldots +x^{n} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x\;\;}$$ und streben f"ur
$n \ra \infty$ wie gew"unscht gegen $\frac{1}{1-x}$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}]
  Die Folgen der Gestalt $ax^n$ hei"sen 
{\bf geometrische Folgen},\index{geometrische Folge}\index{Folge!geometrische} 
da bei ihnen zumindest im Fall $a>0, x>0$ jedes Folgenglied nach dem ersten 
das geometrische Mittel im Sinne von \ref{GeoM} seines Vorg"angers und seines
Nachfolgers ist. Die geometrische Reihe hinwiederum erbt ihren Namen von der
geometrischen Folge. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Es gilt $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \ldots = 2$
und
$$0,\!999\ldots = \frac{9}{10} \sum^{\infty}_{k=0}  \frac{1}{10^k}
  =1$$  
\end{Beispiel}


\begin{Satz}
Sind $\sum a_{k}$ und $\sum b_{k}$ konvergente Reihen, so konvergieren auch
die Reihen $\sum (a_{k}+b_{k})$ und $\sum \lambda a_{k}$ und es gilt:
$$\begin{array}{rcl}
\sum (a_{k}+b_{k}) &=& \sum a_{k} +\sum b_{k}\\
\sum \lambda a_{k} & =& \lambda \sum a_{k}
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Das folgt, indem man die Vertauschbarkeit \ref{BL}
  von Summen und Produkten mit Grenzwerten  
auf die Folgen der Partialsummen
anwendet.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Eine Reihe kann nur dann  konvergieren, wenn die Folge der Reihenglieder
gegen Null strebt.
In der Tat folgt das sofort, wenn wir "Ubung \ref{RFNu} auf die Folge der 
Partialsummen anwenden. Diese "Ubung besagte, nur zur Erinnerung, da"s die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder einer reell konvergenten Folge stets eine Nullfolge bilden.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Konvergenz beschr"ankter nichtnegativer Reihen}]
Eine Reihe, die aus nichtnegativen Gliedern besteht, konvergiert genau dann,
wenn die Folge ihrer Partialsummen beschr"ankt ist.\label{bk}  
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Ist kein Reihenglied negativ, so w"achst die Folge der
Par\-tial\-summen monoton. Ist diese Folge auch noch beschr"ankt,
so mu"s  die Folge der
Par\-tial\-summen  nach \ref{mk} reell konvergent sein. Die Umkehrung ist eh klar.
\end{proof}
\begin{Beispiel} \label{harm}
Die {\bf harmonische Reihe}\index{harmonische Reihe}
$\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k}$ konvergiert nicht,
da ja gilt
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBau}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Die Divergenz der harmonischen Reihe \ref{harm} zeigt, da"s man
mit hinreichend vielen identischen Baukl"otzen einen beliebig weit
neben seinem Grundklotz endenden Turm bauen kann. Obiges Bild zeigt etwa,
wie weit man mit vier Kl"otzen so gerade eben mal kommen kann.
\end{minipage}
\end{figure}
$$\begin{array}{rcl}
\frac{1}{2} & \geq &\frac{1}{2}\\[2mm]
\frac{1}{3}+\frac{1}{4} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm]
\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ \frac{1}{8} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm]
\text{und}&\text{so} &\text{weiter.}
\end{array}$$
Jedoch konvergieren die Reihen
$\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^{s}}$ f"ur $s=2,3,4, \ldots$, 
da f"ur jede dieser Reihen die Folge der Partialsummen beschr"ankt ist durch
$1 + \sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{k(k-1)}=2$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw} In der Funktionentheorie k"onnen Sie lernen, 
da"s diese Reihen sogar eine au"serordentlich
interessante Funktion $\zeta (s)$ definieren, die sogenannte {\bf Riemann'sche
$\zeta$-Funktion}\index{Riemann!$\zeta$-Funktion}.\index{Z@$\zeta$-Funktion!Riemann'sche} 
Wir werden in \eref{WRZ}{FT1}  
zeigen, da"s zum Beispiel gilt $\zeta (2) = \frac{\pi^{2}}{6}$,
$\zeta (4) = \frac{\pi^{4}}{90}$, $\zeta (6) = \frac{\pi^{6}}{945}$ und nach
 \eref{WRZa}{FT1} haben wir 
sogar ganz allgemein $\zeta (2n)\in \DQ\pi^{2n}$ f"ur beliebige 
nat"urliche Zahlen $n\geq 1$. Alle diese Formeln sind ber"uhmte Resultate 
des 1707 in Basel geborenen Mathematikers {\bf Leonhard} \defind{Euler}.
Als "Ubung \ref{KWPZ} werden Sie im "ubrigen zeigen, da"s auch  die
Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen bereits divergiert.
F"ur diejenigen unter Ihnen, die  die komplexen
Zahlen bereits kennen, sei erw"ahnt, da"s es
mit etwas gr"o"serem Aufwand sogar gelingt, $\zeta (s)$ zu definieren
f"ur jede komplexe Zahl $s\neq 1$, 
vergleiche etwa \eref{AZFc}{FT1}. Die
vielleicht ber"uhmteste Vermutung der
Mathematik, die 
{\bf Riemann'sche Vermutung},\index{Riemann!Riemann'sche Vermutung} besagt,
da"s alle Nullstellen der Riemann'schen $\zeta$-Funktion, die nicht
auf der reellen Achse liegen,
Realteil $1/2$ haben
m"ussen. Ein Beweis dieser Vermutung h"atte weitreichende
Konsequenzen f"ur unser Verst"andnis der  Verteilung der Primzahlen,
wie der Beweis des Primzahlsatzes \eref{PZS}{FT1}  illustriert. 
Die Riemann'sche Vermutung ist "ubrigends
der Kern des {\bf achten Hilbert'schen 
Problems}.\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 8} 
\end{Bemerkungw}

\begin{Definition}
Wir sagen, eine Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ {\bf konvergiere
absolut},\index{absolut konvergente Reihe} 
 wenn die Reihe der Absolutbetr"age der Reihenglieder 
konvergiert, wenn also in Formeln gilt $\sum^{\infty}_{k=0} |a_{k}|<\infty$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel} Die sogenannte \defind{alternierende harmonische Reihe}
$$\sum^{\infty}_{k=1} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}=1-\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+ \ldots $$ konvergiert, aber nicht absolut.
Da"s die Reihe nicht absolut konvergiert, 
hatten wir schon in \ref{harm} gesehen.
Um zu zeigen, da"s unsere Reihe dennoch konvergiert, beachten wir, da"s
f"ur die Folge $s_{n}$ der Partialsummen gilt
$$s_{2}\leq s_{4} \leq s_6\leq \ldots s_{5} \leq s_{3} \leq s_{1}$$
Folglich existiert $S = \sup \{s_{2},s_{4},\ldots\}$.
Da aber gilt $s_{2k} \leq S \leq s_{2k +1}$ f"ur alle $k$ erhalten wir
$|S- s_{n}| \leq \frac{1}{n}$ und folglich $\lim_{n\ra \infty} s_{n}
=S$. Wir werden in \ref{AbK} sehen, da"s genauer gilt
$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots = \log 2$.
\end{Beispiel}


\begin{Satz}
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.\label{AkK} 
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ unsere absolut konvergente Reihe.
Seien
$$s_{n} = \sum^{n}_{k=0} a_{k},\;\; S_{n} = \sum^{n}_{k=0} |a_{k}|$$
die Partialsummen der Reihe selbst und der Reihe der Absolutbetr"age. Nach
Annahme konvergiert die Folge der $S_{n}$ in $\DR$  und
ist also eine Cauchy-Folge.
Da aber 
f"ur $n>m$ gilt $|s_{n}-s_{m}| =|\sum^{n}_{k=m+1} a_{k}|
\leq \sum^{n}_{k=m+1} |a_{k}|=S_{n}-S_{m}$,
ist dann auch $s_{n}$ eine Cauchy-Folge und konvergiert 
in $\DR$ nach \ref{CFB}.
\end{proof}



\begin{Proposition}[\textbf{Majorantenkriterium}\index{Majorantenkriterium}]
Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe.\label{MajK} 
Gibt es f"ur unsere Reihe eine konvergente {\bf\em Majorante}\index{Majorante},
als da hei"st eine konvergente Reihe
$\sum b_{k}$ mit $|a_{k}| \leq b_{k}$ f"ur fast alle $k$, so konvergiert
unsere Reihe $\sum a_{k}$ absolut.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s 
$|a_{k}| \leq b_{k} $ sogar f"ur alle $k$ gilt. 
Die Reihe $\sum |a_{k}|$ besteht nun aus nichtnegativen Gliedern und
die Folge ihrer Partialsummen ist  beschr"ankt durch $\sum b_{k}$.
Aus der Konvergenz beschr"ankter nichtnegativer Reihen
\ref{bk} folgt damit die Konvergenz der Reihe $\sum |a_{k}|$.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Quotientenkriterium}\index{Quotientenkriterium}]
Sei $(a_{k})$ eine Folge. Gibt es
$\theta < 1$ mit $|a_{k+1}| \leq \theta|a_{k}|$ f"ur\label{QuK}  
fast alle  $k$, so konvergiert
die Reihe $\sum a_{k}$ absolut.
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Gilt $a_k\neq 0$, so kann man die Bedingung zu $|a_{k+1}/a_k| \leq \theta$ umschreiben, deshalb die Bezeichnung als Quotientenkriterium.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Bei diesem Kriterium ist wesentlich, da"s $\theta$ nicht von $k$ abh"angt.
Die Ungleichungen $|a_{k+1}/a_{k}| < 1$ gelten
ja auch f"ur die divergente harmonische Reihe.
Es gibt jedoch auch
Reihen wie $\sum\frac{1}{k^2}$,
die absolut konvergieren, obwohl sie unser Kriterium nicht
dazu zwingt.  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s 
$|a_{k+1}| \leq \theta|a_{k}|$ sogar f"ur alle $k$ gilt. 
Daraus folgt induktiv $|a_{k}| \leq |a_{0}| \theta^{k}$ 
f"ur alle $k$. Mithin ist die nach \ref{GR} konvergente
geometrische Reihe $\sum |a_{0}|\theta^{k}$ eine Majorante unserer Reihe
und wir k"onnen das Majorantenkriterium \ref{MajK} anwenden.
\end{proof}
\begin{Korollar}\label{KQK}
Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern.
Gilt $\lim_{k\ra \infty} |a_{k+1}/a_{k}|
<1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Klar nach dem Quotientenkriterium \ref{QuK}.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Umordnungssatz}\index{Umordnungssatz}]\label{US}
Ist $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ eine absolut konvergente Reihe
und $u:\DN \ra \DN$ eine Bijektion, so ist auch $\sum^{\infty}_{k=0}
a_{u(k)}$ eine absolut konvergente Reihe und es gilt
$$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} = \sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Da $\sum |a_k|$ konvergiert, finden wir schon mal 
f"ur jedes $\varepsilon  > 0$ ein $N$ mit $\sum^{\infty}_{k=N+1}|a_{k}|
\leq \varepsilon $.
Ist $M$ so gro"s, da"s gilt $  u (\{1,\ldots ,
M\})\supset \{1,\ldots , N\}$, so erhalten wir daraus
f"ur alle $n\geq N$ die Absch"atzung
$$\left| \sum^{M}_{k=0} a_{u(k)} - 
\sum^{n}_{k=0} a_k\right| \leq \varepsilon $$
Diese Absch"atzung gilt nach der Erhaltung \ref{UGG} von Ungleichungen
im Grenzwert 
und der Vertauschbarkeit \ref{VSTF} von stetigen Funktionen und insbesondere der Betragsfunktion mit Grenzwerten
dann auch im Grenzwert $n\ra\infty$
und zeigt, da"s die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe
konvergiert und
denselben Grenzwert hat wie die Folge der Partialsummen der urspr"unglichen
Reihe. Wenden wir diese Erkenntnis auf die Reihe der Absolutbetr"age an,
so folgt auch die absolute Konvergenz der umgeordneten Reihe.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Problematik der Umordnung nicht absolut konvergenter Reihen}]
Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen,
die nicht absolut konvergiert, so gibt es f"ur
jedes $x\in\bar{\Bbb{R}}$ eine Umordnung $u:\DN\sira\DN$ 
mit $\sum_{k=0}^\infty a_{u(k)}=x$. 
In der Tat divergieren in diesem Fall die Reihen ihrer positiven und
ihrer negativen Terme jeweils f"ur sich genommen.
Die Strategie im Fall $x\in \DR$ 
ist nun, erst nur positive Reihenglieder
zu nehmen, bis man
oberhalb von $x$ ist, dann nur negative, bis man wieder drunterrutscht,
und immer so weiter. F"ur $x=\pm\infty$ mu"s man diese Strategie noch etwas
verfeinern.
\end{Bemerkungl}




  \begin{Definition*}\label{BAKo}%\label{BUS}
    Gegeben eine  Familie  von reellen Zahlen   $(a_i)_{i\in I}$ und
    $s\in\bar{\DR}$ schreiben wir
    $$\sum_{i\in I} a_i=s$$
    als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s es f"ur jede
    Umgebung  $U$ von $s$ eine endliche 
Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, 
   da"s f"ur jede endliche Teilmenge $J\subset I$ mit 
$ I_U\subset J$ gilt
    $\sum_{i\in J} a_i\in U$.
Es ist klar, da"s hier $s$ eindeutig bestimmt ist, wenn es existiert.
Ist zus"atzlich $s$ reell, so nennen wir unsere Familie von reellen Zahlen
{\bf summierbar}.\index{summierbar!Familie reeller Zahlen} 
\end{Definition*} 
\begin{Bemerkungl}
  Mir gef"allt am Konzept der Summierbarkeit, da"s
darin von einer Reihenfolge der Summanden erst gar nicht 
die Rede ist.  Sp"ater, wenn wir auch in \glqq normierten\grqq\ Vektorr"aumen
unendlicher Dimension summieren,
sind Summierbarkeit und absolute Konvergenz nicht mehr
gleichbedeutend, und dann
erweist sich  das Analogon der Summierbarkeit 
\ref{BAKo} als der
n"utzlichere Begriff.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Satz*}[\textbf{Summierbarkeit und absolute Konvergenz}]
    Eine Familie $(a_i)_{i\in I}$ von reellen Zahlen ist genau dann summierbar,
    wenn entweder  $I$ endlich ist oder es eine
    Injektion $z:\DN\hra I$ gibt mit\label{SuFa} 
    $(a_i\neq 0\RA i\in z(\DN))$  derart, da"s $\sum_{k=0}^\infty a_{z(k)}$ absolut konvergiert. In diesem Fall gilt dann
     $$\sum_{i\in I} a_i= \sum_{k=0}^\infty a_{z(k)}$$ 
   \end{Satz*}
  \begin{proof}
    Bei einer summierbaren Familie kann es offensichtlich f"ur alle
    $n\in \DN_{\geq 1}$ h"ochstens endlich viele Indizes $i$ geben mit
    $a_i\geq 1/n$ und ebenso h"ochstens endlich viele Indizes $i$ mit
    $a_i\leq -1/n$. Ist $I$ unendlich, so finden wir demnach
    eine Injektion $z:\DN\hra I$ mit $(a_i\neq 0\RA i\in z(\DN))$.
    Weiter m"ussen  bei einer
    summierbaren Familie die  Werte endlicher Teilsummen offensichtlich
    eine beschr"ankte Menge von reellen Zahlen bilden. Das gilt insbesondere
    f"ur alle  endlichen Teilsummen aus positiven $a_i$ ebenso wie
    f"ur alle  endlichen Teilsummen aus negativen $a_i$ und zeigt
    die absolute Konvergenz 
    $\sum_{k=0}^\infty |a_{z(k)}|<\infty$.  Setzen wir nun  $s\pdef \sum_{k=0}^\infty a_{z(k)}$ und ist $U$ eine Umgebung  von $s$, so finden wir  $\varepsilon>0$  mit
    $(s-\varepsilon, s+\varepsilon)\subset U$ und wegen der absoluten Konvergenz weiter $N$ gibt mit $\sum_{k=N}^\infty |a_{z(k)}|< \varepsilon$.
    Nehmen wir also $I_U\pdef z(\{0,1,\ldots,N-1\})$, so folgt
    f"ur  endliches $J\subset I$ aus
    $J\supset I_U$ bereits
    $\sum_{i\in J}a_i \in U$
    und damit 
    $$\sum_{i\in I}a_i =s =\sum_{k=0}^\infty a_{z(k)}$$
    Da"s umgekehrt aus absoluter Konvergenz die Summierbarkeit folgt wie
    im Satz behauptet, zeigt dieses Argument gleich mit.
 \end{proof}
    
  



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{RPP}
Genau dann l"a"st sich eine reelle Zahl durch einen periodischen
Dezimalausdruck darstellen, wenn sie rational ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{LK}
Man zeige das  {\bf Leibniz'sche Konvergenzkriterium}\index{Leibniz'sches Konvergenzkriterium}:
Ist $a_{k}$ eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe
$\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^{k} a_{k}$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen und $u:\DN\sira\DN$ 
eine Umordnung mit der Eigenschaft, da"s $|u(k)-k|$ beschr"ankt ist,
so konvergiert auch die umgeordnete Reihe $\sum a_{u(k)}$ und zwar
gegen denselben Grenzwert. F"ur derartige Umordnungen erh"alt  man also
die Aussage des Umordnungssatzes auch ohne absolute Konvergenz.
\end{Ubunge}




\begin{Ubunge}
  Gegeben eine summierbare Familie von reellen Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ zeige
  man,\label{RMKo} da"s auch f"ur eine beliebige Teilmenge $J\subset I$ 
die Familie $(a_i)_{i\in J}$ summierbar ist und da"s f"ur eine beliebige
  Zerlegung $I=\coprod_{k\in K}I(k)$ von $I$ in eine Vereinigung von paarweise
  disjunkten Teilmengen $I(k)$ gilt $$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{k\in
    K}\left(\sum_{i\in I(k)} a_i\right)$$ Weiter zeige man f"ur jede aufsteigende Folge
  von Teilmengen $I_0\subset I_1\subset \ldots$ mit Vereinigung $I$ die Formel
  $\sum_{i\in I} a_i=\lim_{n\ra\infty}\sum_{i\in I_n}a_i$. Diese Aussagen
  werden sich
  im "ubrigen als Speziallf"alle des Satzes von Fubini \eref{Fuba}{AN3} und des Satzes
  "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} aus der Theorie des
  Lebesgue-Integrals erweisen.
\end{Ubunge}


\subsection{Wachstum und Zerfall}\label{Exp}

\begin{Definition}\label{DEx}
F"ur alle reellen Zahlen $x\in\DR$  setzen wir 
$$\exp (x) \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!}
=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+
\ldots$$
und erhalten so eine Abbildung $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, die
 {\bf Exponentialfunktion}\index{Exponentialfunktion}.  
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Die fragliche Reihe konvergiert f"ur alle $x\in\DR$ 
nach dem Quotientenkriterium oder 
noch besser seinem Korollar \ref{KQK}, und sie
konvergiert sogar au"serordentlich schnell. Von einem formalen
Standpunkt aus betrachtet ist
unsere Definition also v"ollig unproblematisch
und von einem rechentechnischen Standpunkt aus betrachtet ist
sie sogar ziemlich geschickt.
Sie hat nur den Nachteil, da"s aus der
Definition heraus weder klar wird, 
warum gerade diese Funktion den Namen
Exponentialfunktion verdienen sollte, noch warum sie 
"uberhaupt von Belang ist.
Ich erl"autere das in den gleich anschlie"senden Bemerkungen \ref{EEED}
und \ref{EEEb}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Exponentialfunktion als Grenzwert von Potenzen}]
  \label{EEE}
Es gilt $$\exp (x) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{x}{n}
\right)^{n}$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Mit der binomischen Formel \ref{BiFoAa} ergibt sich
$$
\left( 1+ \frac{x}{n}\right)^{n} = \sum^{n}_{k=0}{n \choose k}
\left(\frac{x}{n}\right)^{k}
 = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}
 {n\;\cdot\; n\cdot\;\hfill\ldots\hfill \cdot\; n\;\;\;\;\;}
$$
F"ur beliebige $M,n\in\DN$ mit $n\geq 1$ gilt also
$$\begin{array}{cl}
\left|\exp (x) - \left( 1+\frac{x}{n}\right)^{n} \right| \leq &
\left| \exp (x) -\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \right| \\[4mm]
& + \left|\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} - \sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}
{k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right| \\[4mm]
& + \left| \sum^{\infty}_{k=M+1} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1) \ldots
(n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right|
\end{array}$$
Da die Exponentialreihe f"ur vorgegebenes $x$ absolut konvergiert, 
gibt es f"ur jedes $\varepsilon
>0$ ein $M=M_\varepsilon$ derart, da"s f"ur jedes $n$ 
der erste und der letzte Term rechts beschr"ankt sind durch
$\varepsilon $. 
F"ur dies feste $M$ geht der mittlere Term bei $n \ra \infty$ gegen
Null,  es gibt also $N =N_{\varepsilon }$ derart, da"s er
f"ur dies feste $M$ 
kleiner wird als $\varepsilon $ falls $n\geq N$. Damit gilt
$\left| \exp (x) - \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right| \leq 3 \varepsilon $
falls $n \geq N$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{expnk} 
  Aus unserer Proposition \ref{EEE} folgt unmittelbar f"ur alle $k\in \DN_{\geq 1}$ die Formel $\op{exp}(kx)=(\op{exp}x)^k$ vermittels der Rechnung
  $$\op{exp}(kx)=\lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{kx}{n}
\right)^{n}\!=\lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{kx}{kn}
\right)^{kn}\!=\lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{x}{n}
\right)^{nk}\!=(\op{exp}x)^k$$
Mit der Notation ${\op{e}}\pdef \op{exp}(1)$ erhalten wir insbesondere
$\op{exp}(k)={\op{e}}^k$ und dann auch ${\op{e}}=\op{exp}(k/k)=(\op{exp}(1/k))^k$ alias $\op{exp}(1/k)=\sqrt[k]{{\op{e}}}$ und zusammen f"ur alle $p,q\in \DN_{\geq 1}$
die Formel $\op{exp}(p/q)=(\sqrt[q]{{\op{e}}})^p$. Alternativ folgt das alles auch 
aus der Funktionalgleichung \ref{FdE}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialfunktion und Wachstum}] 
Die Darstellung der Exponentialfunktion als Grenzwert von Potenzen
 \ref{EEE}  kann man dahingehend interpretieren,
da"s $\exp (x)$ das Kapital ist, das in $x$\label{EEEb} 
Jahren aus einem Euro entsteht bei einer \glqq kontinuierlichen Verzinsung
mit einem Zinssatz von $100\%$\grqq.
Legen wir das Geld zum Beispiel f"ur ein Jahr an, so haben wir bei j"ahrlicher
Verzinsung am Ende des Jahres zwei Euro auf dem Konto. 
Bei monatlicher Verzinsung
ergeben sich mit Zinseszinsen 
schon $(1+\frac{1}{12})^{12}$ Euro, und bei kontinuierlicher
Verzinsung $\op{e} \pdef \exp (1) = 2,\!781 \ldots$ Euro.
Man nennt $\op{e}$  
die {\bf Euler'sche Zahl}\index{Euler'sche Zahl}.
In der Schule haben Sie m"oglicherweise $\op{e}^{x}$ statt $\exp (x)$
geschrieben, aber wir erlauben uns das erst ab
\ref{APo}, wo wir f"ur beliebiges 
$a>0$  die Abbildung  $\DZ\ra\DR$, $n\mapsto a^n$
zu einer Abbildung $\DR\ra\DR$, $b\mapsto a^b$ fortsetzen und zwar nach
\ref{SRR2} auf die einzig m"ogliche Weise, bei der
die Funktion $b\mapsto a^b$ 
 monoton  ist und die
\glqq Funktionalgleichung\grqq\  $a^{b+c}=a^b a^c$ erf"ullt.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildexp}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Der Graph der Exponentialfunktion in zwei Ma"sst"aben.
Man erkennt unschwer, da"s ein konstantes Wirtschaftswachstum "uber
l"angere Zeitr"aume in einer Katastrophe enden mu"s.
   In derselben Weise entwickelt sich im "Ubrigen auch 
die Geschwindigkeit einer Vorlesung unter der Annahme,
    da"s die Stoffmenge, die in einer Stunde vermittelt werden kann,
    proportional ist zur Menge des Stoffes, 
den die Zuh"orer bereits kennen\dots
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
In einem Ausdruck der Gestalt $a^b$ nennt man 
f"ur gew"ohnlich $a$ die {\bf Basis} und 
 $b$ den {\bf Exponenten}, weil er eben exponiert oben
an die Basis  geschrieben wird. Daher r"uhrt\label{EEED} 
auch die Bezeichnung  als \glqq Exponentialfunktion\grqq.
Ich w"urde unsere Funktion viel lieber ihrer Natur nach die
\glqq Funktion des nat"urlichen Wachstums\grqq\  oder 
die \glqq Wachstumsfunktion\grqq\  nennen, 
aber die aus der  Schreibweise abgeleitete
Bezeichnung hat sich nun einmal durchgesetzt,
mag sie auch aus historischen
Zuf"allen  entstanden sein: H"atte sich f"ur
die Bezeichnung des Quadrats einer Zahl $a$  statt der Notation $a^2$ 
die
Notation $a_2$ eingeb"urgert, so w"urde in Anbetracht
dieses Schemas der Begriffsbildung
unsere Exponentialfunktion heute 
vielleicht \glqq Pe\-des\-tal\-funk\-tion\grqq\  
hei"sen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Didaktische Gedanken zur Einf"uhrung der Exponentialfunktion}] 
Eine infinitesimale Formulierung der in
\ref{EEEb} erl"auterten Bedeutung der
Exponentialfunktion gibt
Korollar \ref{KEe},  in dem die
 Exponentialfunktion charakterisiert wird als
die eindeutig bestimmte differenzierbare Funktion von den reellen
Zahlen in sich selber, die mit ihrer eigenen Ableitung 
"ubereinstimmt und  bei Null den Wert Eins annimmt.
Gehen wir von dieser Charakterisierung aus, so f"uhrt uns
der Formalismus der Taylorreihen
\ref{TEe} ganz nat"urlich zu der Reihe, die 
wir in 
\ref{DEx} haben vom Himmel fallen lassen.
Ein anderer Zugang zur Exponentialfunktion
besteht darin, von der Funktion $x\mapsto \int_1^x(1/t)\diff t$ auszugehen,
von der man unschwer zeigt, da"s sie einen stetigen Gruppenisomorphismus
$\DR^\times\sira \DR$ liefert, und dann die Exponentialfunktion als
deren Umkehrfunktion zu erhalten. Das bedeutet jedoch, da"s man mit
der Einf"uhrung der Exponentialfunktion
die Konstruktion des Integrals abwarten mu"s.   
Eigentlich will ich es ja nach M"oglichkeit vermeiden,
 Formeln vom Himmel fallen zu lassen. In diesem Fall
schienen mir  aber  die didaktischen Vorteile der 
dadurch erm"oglichten  fr"uhzeitigen Einf"uhrung dieser
au"serordentlich wichtigen Funktion
zu "uberwiegen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Die Exponentialfunktion w"achst ungeheuer schnell.
Eine gewisse Vorstellung davon mag die Erkenntnis \ref{GHK} geben,
nach der der Graph der Funktion $(\op{exp}(x)+\op{exp}(-x))/2$, 
in einem jeweils der speziellen Situation angepa"sten Ma"sstab
auf die Wand gemalt, genau
die Gestalt einer
zwischen zwei N"ageln durchh"angenden Kette hat. Ist die
Kette zwanzigmal so lang ist wie der Abstand der 
beiden N"agel, so  stellt sie unsere Funktion in etwa auf 
dem Intervall von $-2,\!3$ bis $2,\!3$ dar. Ist die Kette
zweihundertmal so lang wie der Abstand der 
beiden N"agel, so erhalten wir unsere Funktion in etwa auf dem Intervall
von $-4,\!6$ bis $4,\!6$. Und eine Zwei-Meter-Kette h"angt zwischen zwei im
Abstand von einem knappen Zentimeter eingeschlagenen N"ageln schon recht steil!
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} In \ref{GsSs} habe ich erkl"art, wie man mit einem
  Blatt Papier auf den Mond kommt und wie auch der Fortgang dieser Vorlesung
   exponentiellen Charakter hat. In der Wirtschaft ist es nicht anders.
  Ein j"ahrliches Wirtschaftswachstum von 3\% bedeutet wegen $(1,\!03)^{25}>2$ etwas mehr als eine Verdopplung der Wirtschaftsleistung in 25 Jahren und mu"s
  auf die Dauer unweigerlich in einer Katastrophe enden.
\end{Bemerkungl}


  
\begin{Satz}[\textbf{Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}]
Die Exponentialfunktion ist ein\label{FdE}
Monoidhomomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen
in das multiplikative Monoid der reellen Zahlen.
In Formeln ausgedr"uckt gilt also $\exp(0)=1$ und
$$\exp (x+y) = \exp (x) \exp(y)\quad \forall x,y\in\DR
$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Unsere Formel $\op{exp}(kx)=(\op{exp}x)^k$ aus \ref{expnk} k"onnen wir
  auch unschwer mit Induktion "uber $k$ aus der Funktionalgleichung herleiten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Stellen wir uns $\exp (x)$ vor als das Verm"ogen, da"s in $x$ Jahren
aus einem Euro entsteht bei kontinuierlicher 
Verzinsung mit $100\%$, so erhalten wir
offensichtlich gleichviel, ob wir unser Verm"ogen 
$\exp (x)$ nach $x$ Jahren gleich wieder f"ur
$y$ Jahre anlegen, oder ob wir unseren Euro gleich von Anfang an $x+y$ Jahre
arbeiten lassen. Das ist die Bedeutung der Funktionalgleichung.
Nach \ref{muga} induziert jeder Monoidhomomorphismus $(\DR,+)\ra (\DR,\cdot)$ einen
Gruppenhomomorphismus $\DR\ra\DR^\times$.
In \ref{SRR2} werden Sie zeigen, da"s die Gruppenhomomorphismen
$\varphi:\DR\ra\DR^\times$ mit der Eigenschaft
 $x<y\RA \varphi(x)<\varphi(y)$ genau die Abbildungen
$\varphi(x)=\op{exp}(ax)$ sind mit $a>0$.
In \ref{SurE} werden wir zeigen,
da"s die Exponentialfunktion sogar einen Isomorphismus zwischen
der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der 
multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen liefert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Der gleich folgende Beweis der Funktionalgleichung 
gef"allt mir nicht besonders. 
Ein anderer aber in seiner Weise auch etwas verwickelter
Beweis wird in \ref{FGEX} vorgestellt.
Ein mehr konzeptueller Zugang zur 
Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung
 wird in \ref{AAExp} und \ref{UAExp} 
skizziert. Er ben"otigt jedoch 
Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung stehen.
Er l"a"st auch nicht so einfach auf den Fall von komplexen Zahlen 
verallgemeinern, der f"ur uns bei der 
Diskussion von Sinus und Cosinus eine wesentliche Rolle spielen
wird. Aus diesen Gr"unden gebe ich f"ur die
Funktionalgleichung zun"achst den algebraisch-formalen Beweis. 
Wir schicken dem eigentlichen Beweis einige
allgemeine Betrachtungen voraus.
\end{Bemerkunge}








\begin{Satz}[\textbf{Produkt von Reihen}\index{Produkt!von Reihen}]
Sind $\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}$ und $\sum^{\infty}_{j=0} b_{j}$
absolut konvergente Reihen, so\label{PvR}
 konvergiert auch f"ur jede Bijektion $(u,v):\DN\sira\DN \times \DN $ die Summe der Produkte
$a_{u(k)}b_{v(k)}$  absolut 
und es gilt
 $$\sum_{k=0}^\infty  a_{u(k)}b_{v(k)} = \left(\sum^{\infty}_{i=0}
a_{i}\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} b_{j}\right)
$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich haben wir
$$\sum^{n}_{k=0} |a_{u(k)} b_{v(k)}| \leq \left( \sum^{\infty}_{i=0} |a_{i}|
\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} |b_{j}| \right)$$
und das zeigt bereits die absolute Konvergenz der Reihe
$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} b_{v(k)}$. Nach dem Umordnungssatz
\ref{US} ist ihr Grenzwert also unabh"angig von der Wahl der Bijektion $(u,v):\DN\sira\DN \times \DN $. Nun k"onnen wir diese Bijektion sicher so w"ahlen, da"s sie Bijektionen
$$\{0,\ldots,N^2-1\}\sira  \{0,\ldots,N-1\}\times \{0,\ldots,N-1\}$$
induziert. Dann gilt offensichtlich
$$\sum^{N^2-1}_{k=0} a_{u(k)} b_{v(k)} = \left( \sum^{N-1}_{i=0} a_{i}
\right) \left( \sum^{N-1}_{j=0} b_{j} \right)$$
Im Limes f"ur $N\ra \infty$ und unter Verwendung der Erkenntnisse,
da"s jede absolut konvergene Reihe konvergent ist und da"s
jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Genzwert
konvergiert, folgt die Behauptung.
\end{proof}




\begin{proof}[Beweis der Funktionalgleichung \ref{FdE}]
Wir rechnen
$$\begin{array}{ccl}
\hspace{0.5cm}\exp (x+y) &=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!}(x+y)^{k}\\
&=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \left(\sum_{i+j=k} \frac{k!}{i!j!}
x^{i}y^{j}\right)\\
&=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j=k} \frac{x^{i}}{i!} \frac{x^{j}}
{j!}\right)
\end{array}$$
Hier verwenden wir im zweiten Schritt die binomische Formel und der
Index $i+j=k$ an einer Summe bedeutet, da"s wir "uber alle
Paare $(i,j) \in \DN \times \DN$ mit $i+j =k$ summieren.
Andererseits erhalten wir mit unserem Satz "uber das Produkt von
Reihen  \ref{PvR} bei einer geeigneten Wahl der Bijektion $(u,v): \DN \sira \DN \times \DN$
und nach "Ubergang zu einer Teilfolge der Folge der Partialsummen  auch
$$\begin{array}[b]{ccl}
\exp (x) \exp (y) & =& \left( \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{i}}{i!}\right)
\left(\sum_{j=0}^\infty \frac{y^{j}}{j^{!}}\right)\\[2mm]
 &=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j =k} \frac{x^{i}}{i!}
 \frac{y^{j}}{j!}\right)
\end{array}$$
Die Identit"at $\exp(0)=1$ ist offensichtlich.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{StE}
Die Exponentialfunktion $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ ist stetig.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungw}
Die Stetigkeit der Exponentialfunktion k"onnen wir sp"ater
auch aus dem allgemeinen Satz \ref{PR} folgern, der besagt, da"s Potenzreihen
auf ihrem Konvergenzbereich immer stetige Funktionen darstellen.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}[Beweis]
Wir wenden das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \ref{ede} an.
Mit der Funktionalgleichung finden wir
$$|\exp (x) - \exp (p) | = |\exp (p)| \cdot |\exp (x -p) - \exp (0)|$$
Nun beachten wir, da"s f"ur $|y| \leq 1$ gilt
$$|\exp (y) -\exp (0)|=|y| \cdot \left| \sum^{\infty}_{i=1} \frac{y^{i-1}}
{i!} \right| \leq|y| \cdot  \sum^{\infty}_{i=1} \frac{|y|^{i-1}}
{(i-1)!}  \leq  |y| \op{exp}(1)$$
wo wir im zweiten Schritt die Dreiecksungleichung sowie die Erhaltung von 
Ungleichungen im Grenzwert verwenden und 
die Nenner verkleinern. 
Aus $|x-p| \leq 1$ folgt also $|\exp (x) - \exp (p)| 
\leq \exp(p)|x-p| \op{e}$ und
f"ur gegebenes $\varepsilon > 0$ k"onnen wir 
mithin
$\delta=\op{inf}\{1, \varepsilon/(\exp(p)\op{e})\}$ nehmen.
\end{proof}



\begin{Korollar*}[\textbf{Produkt summierbarer Familien}\index{Produkt!von Reihen}]
Sind $(a_i)_{i\in I}$ und $(b_j)_{j\in J}$
summierbare Familien reeller Zahlen, so\label{PvRv} bilden 
 auch ihre Produkte
eine summierbare Familie $(a_ib_j)_{(i,j)\in I\times J}$ 
und es gilt
 $$\sum_{(i,j)\in I\times J} a_{i}b_{j} = \left(\sum_{i\in I}
a_{i}\right) \left( \sum_{j\in J} b_{j}\right)
$$
\end{Korollar*}
\begin{proof} Wir wissen aus \ref{SuFa}, da"s die
  Summierbarkeit einer Familie reeller Zahlen im
  wesentlichen gleichbedeutend ist zu absoluter Konvergenz.  
  Damit erweist sich das Korollar als eine Umformulierung des
  vorhergehenden Satzes. 
\end{proof}



\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Man folgere aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
\ref{FdE} die Formeln
$\exp(-x)=\exp(x)^{-1}$,
$\exp(x)>0\;\forall x\in\Bbb{R}$, $\exp(n)=\op{e}^n$, 
$\exp(nx)=(\exp x)^n\;\forall n\in\DZ$ sowie
$\exp(x/2)=\sqrt{\exp(x)}$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Der "Ubersichtlichkeit halber k"urzen wir hier im Vorgriff auf \ref{APo}
schon $\op{exp}(x)=\op{e}^x$ ab. Man zeige, da"s f"ur alle
$i, N \in \DN$ gilt
$$\lim_{n \ra \infty} {nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^i
\left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}= \frac{N^{i}\op{e}^{-N}}{i!} $$
Dieses Resultat ist in der Stochastik wichtig, wie ich im folgenden
ausf"uhren will.
Gegeben $\lambda \in \Bbb{R}$ hei"st die Funktion $i \mapsto
\lambda^{i}\op{e}^{-\lambda} /i!$ ganz allgemein 
die {\bf Poisson-Verteilung}\index{Poisson-Verteilung} mit
Parameter $\lambda$.
Sie hat die folgende Bedeutung: Knetet man in einen gro"sen Teig
genau $nN$ Rosinen ein und teilt ihn dann in $n$
Rosinenbr"otchen,
so ist $\left(
\frac{1}{n}\right)^{i}$ $ \left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die
Wahrscheinlichkeit, da"s $i$ vorgegebene
Rosinen in einem fest gew"ahlten Br"otchen landen
und die
restlichen Rosinen in den anderen Br"otchen.
Mithin ist ${nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^{i}
\left(1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die Wahrscheinlichkeit,
da"s in einem  fest gew"ahlten Br"otchen
genau $i$ Rosinen landen.
Ist
unser Br"otchen klein im Vergleich zum ganzen Teig, so liegt diese
Wahrscheinlichkeit also nahe bei $N^{i}\op{e}^{-N}/i!$ oder allgemeiner bei
$\lambda^{i}\op{e}^{-\lambda}/i!$ mit $\lambda$ der durchschnittlichen Zahl von
Rosinen in dem Teigvolumen, das man f"ur ein Br"otchen braucht.
Genau genommen stimmt das allerdings nur f"ur punktf"ormige Rosinen, 
denn sonst liefert die Gr"o"se des Br"otchens eine obere Schranke f"ur
die m"oglichen Anzahlen der darin verbackenen Rosinen.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man berechne die Euler'sche Zahl $\op{e}$ bis auf $5$ sichere Stellen
hinter dem Komma.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}\label{eNr}
Die Euler'sche Zahl $\op{e}$ ist nicht rational. Man zeige dies,
indem man von ihrer Darstellung als Reihe ausgeht und durch
geeignete Absch"atzungen nachweist, da"s $q!\!\op{e}$ 
f"ur $q\in \DN$ mit $q\geq 2$ nie eine ganze
Zahl sein kann.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{FGEX}
In dieser "Ubung sollen Sie einen anderen Zugang zur Funktionalgleichung der
Exponentialfunktion ausarbeiten, den ich in einer Arbeit von Martin Kneser
kennengelernt habe: Man zeige, indem man den Beweis
von \ref{EEE} verallgemeinert, da"s f"ur jede Folge reeller Zahlen
$x_n\in\DR$ aus
$\lim_{n \ra \infty}x_n= x$ folgt  
$ \lim_{n \ra \infty}  \left(1+ \frac{x_n}{n}
\right)^{n}= \exp (x)$. 
Mithilfe der  Identit"at 
$$\left(1+ \frac{x}{n}
\right)\left(1+ \frac{y}{n}
\right)=\left(1+ \frac{x+y+(xy/n)}{n}
\right)$$ folgere man dann die Funktionalgleichung.
\end{Ubunge}
\subsection{Logarithmus und allgemeine Potenzen}
\label{loAP} 

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Monotonie der Exponentialfunktion}]
  Die Exponentiafunktion w"achst streng monoton. In der Tat erhalten wir $(0\leq x<y)\RA (1\leq \op{exp}(x)<\op{exp}(y))$ direkt aus der
  Definition 
  und 
  $(z<w\leq 0)\RA (\op{exp}(z)<\op{exp}(w)\leq 1)$ folgt mit  der Identit"at $\op{exp}(-x)=\op{exp}(x)^{-1}$.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Definition}\label{SurE}
Aus dem Zwischenwertsatz folgt $\exp (\Bbb{R}) = (0,\infty)$, denn wir
haben offensichtlich $\lim_{n\ra \infty} \exp (n) = \infty$ und
damit $\lim_{n\ra -\infty} \exp (n) =0$  nach \ref{StI}.
Wir k"onnen also den 
{\bf nat"urlichen Logarithmus}\index{Logarithmus!nat"urlicher} oder kurz
{\bf Logarithmus}
einf"uhren als
die Umkehrfunktion\index{log@$\log$ Logarithmus}
$$\log : (0,\infty) \ra \Bbb{R}$$
der Exponentialfunktion, $\log (\exp (x))=x$, und erhalten aus
Satz \ref{USS} die Stetigkeit des Logarithmus. In der franz"osischen Literatur 
bezeichnet man diese Funktion auch als 
{\bf logarithme 
n\'{e}p\'{e}rien}\index{logarithme
n\'{e}p\'{e}rien}\index{n\'{e}p\'{e}rien, logarithme} in Erinnerung an
den schottischen Mathematiker John Napier, der die ersten 
Logarithmentafeln aufstellte. 
\end{Definition}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExLo}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Die Graphen von Logarithmus und Exponentialfunktion gehen wie
immer bei Umkehrfunktionen durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen
$x=y$ auseinander hervor.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
  Die Exponentialfunktion liefert nach \ref{FdE} und 
\ref{SurE} 
einen Isomomorphismus zwischen der additiven Gruppe der
  reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe aller positiven reellen Zahlen.
Daraus  folgt sofort\label{fglo}
$$
\log (xy) = \log x + \log y \text{ und }
\log (\op{e})  = 1.$$
Die erste Formel mag man die 
{\bf Funktionalgleichung des 
Logarithmus}\index{Funktionalgleichung!des Logarithmus} nennen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Die Notation \glqq $\op{log}$\grqq\  ist leider nicht universell. Auf vielen
Taschenrechnern und auch in "alteren B"uchern wird unsere Funktion
\glqq $\log$\grqq\  notiert als \glqq $\op{ln}$\grqq\ \index{ln@$\op{ln}$ {\it logarithmus naturalis}}  f"ur
\glqq logarithmus naturalis\grqq\  oder 
\glqq logarithme n\'eperien\grqq\  und das K"urzel \glqq $\log$\grqq\  
steht f"ur den \glqq Logarithmus zur Basis $10$\grqq, den wir in \ref{LoB} 
einf"uhren und
mit $\log_{10}$ bezeichnen werden.
Der Logarithmus zur Basis $10$ wird 
in manchen Quellen auch der 
\glqq Brigg'sche Logarithmus\grqq\  genannt und mit \glqq $\op{lg}$\grqq\ \index{lg@$\op{lg}=\op{log}_{10}$}
bezeichnet. 
Die Norm ISO 31-11 empfiehlt die Notationen \glqq $\op{ln}$\grqq\  und \glqq $\op{lg}$\grqq.
Wir verwenden jedoch $\log$ statt $\op{ln}$, weil das in der
reinen Mathematik so "ublich ist und wir damit der 
Konvention folgen, spezielle Funktionen nach M"oglichkeit mit
K"urzeln aus drei Buchstaben zu notieren.
\glqq Logarithmus\grqq\  ist das griechische Wort f"ur
\glqq Rechnung\grqq, und f"ur das Rechnen waren die Logarithmentafeln, in denen 
die Werte des Logarithmus zur Basis Zehn aufgelistet wurden,
auch au"serordentlich praktisch: Mit ihrer Hilfe konnte man n"amlich
Divisionen in Subtraktionen verwandeln und Wurzelziehen in Divisionen,
wie wir gleich n"aher ausf"uhren. Die Entdeckung der Logarithmen und
die ersten Logarithmentafeln von Napier bedeuteten f"ur die 
damalige Wissenschaft eine ungeheure Arbeitserleichterung und  wurden 
 begeistert begr"u"st.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}[\textbf{Allgemeine Potenzen}]\label{APo}
Gegeben $a,x\in \DR $ mit $a>0$ setzen\index{allgemeine Potenzen} 
wir\index{)8bb@$a^x$ allgemeine Potenz} 
$$a^x \pdef \exp (x \log a)$$
Im Fall $x>0$ vereinbart man zus"atzlich $0^x=0$. Das f"uhrt dazu, da"s
f"ur $x>0$ die Funktion $a\mapsto a^x$ sogar stetig ist auf $[0, \infty)$. 
Es f"uhrt allerdings auch dazu, da"s die Funktion
$x\mapsto 0^x$ mit unserer  Konvention
$0^0=1$ zwar auf $[0, \infty)$ definiert aber bei $x=0$ \emph{nicht} stetig ist.
Damit m"ussen wir nun weiterleben.
\end{Definition}
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDefeax}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Der unangenehm verzwickelte
 Bereich aller $(x,a)\in\DR^2$ dar, f"ur die
$a^x$ definiert ist. 
Besonders schlimm ist die Unstetigkeitsstelle am Ursprung. 
Diese Unstetigkeitsstelle ist aber auch die Einzige.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der allgemeinen Potenzen}] 
Man pr"uft ohne Schwierigkeiten die
Formeln $a^0=1$, $a^{1}=a$ und $ a^{x+y} = a^{x}a^{y}$ und 
folgert insbesondere,
da"s im Fall $a>0$ und $n\in\DZ$ 
oder $a\geq 0$ und $n\in \DZ_{\geq 1}$ 
das hier definierte $a^n$ "ubereinstimmt
mit unserem $a^n$ aus \ref{imn}. 
F"ur beliebige $a,b>0$ und $ x,y\in\DR$ 
pr"uft man leicht die Rechenregeln
$ a^{xy}=(a^{x})^{y}$,
$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und $\log(a^x)=x\log a$.
Ist speziell $a=\op{e}$ die Euler'sche Zahl, so gilt $\log\op{e} =1$
und folglich $\exp (x)=\op{e}^x$.  
F"ur beliebige $a,b\geq 0$, $ x,y\in\DR_{>0}$ und $q\in\DN$, $q\geq 1$ 
pr"uft man ebensoleicht  die Rechenregeln
$ a^{xy}=(a^{x})^{y}$,
$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und 
$\sqrt[q]{a} = a^{1/q}$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einige Grenzwerte mit Exponentialfunktion und Logarithmus}] 
Aus dem Quetschlemma \ref{BL2} und der 
Darstellung von $\op{e}^x$ durch die Exponentialreihe
folgt
$\lim_{x \rightarrow \infty} \op{e}^x = \infty$.
Aus \ref{LS} und \ref{SUn} folgt dann 
$\lim_{y\rightarrow \infty} \log y = \infty$.
Das Quetschlemma mit der Darstellung von $\op{e}^x$ 
duch die Exponentialreihe liefert auch 
$\lim_{x \rightarrow \infty} (x/\op{e}^x) =0$ und durch 
Substitution $x =\log y$ und \ref{LS}
und \ref{VSte} folgt dann $\lim_{y \rightarrow \infty} (\log y)/y=0$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in 
$\DR^\times$}]\index{Gruppenweg!in $\DR^\times$}
Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SRR1} 
$\DR\ra\DR^\times$ von der additiven
  Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null
  verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$  
f"ur beliebiges aber festes $a\in \DR_{>0}$.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Ist $G : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^\times$ ein stetiger
Gruppenhomomorphismus,  so 
bildet $G$
notwendig das neutrale Element auf das neutrale
Element ab, in Formeln  $G(0)=1$. 
Mit dem Zwischenwertsatz folgt $G(x) > 0 \; \forall x \in \Bbb{R}$.
Damit k"onnen wir den
Gruppenhomomorphismus $F = \log \circ G:\DR\ra\DR$ bilden und aus
\ref{SRR} folgt sofort
$F(x) = x F(1)$, also $G(x) = \exp (F(x))= \exp (xF(1))=\exp (x \log G(1))$.
\end{proof}

\begin{Definition}
Gegeben  $a>1$ nennt man
die Umkehrabbildung der streng monoton wachsenden Abbildung $x\mapsto a^x$ auch
den {\bf Logarithmus zur Basis $a$}\label{LoB} $$\log_a:(0,\infty)\ra\Bbb{R}$$ 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Der nat"urliche Logarithmus ist also der
Logarithmus mit der Euler'schen Zahl $\op{e}$ als Basis, 
in Formeln $\log=\log_{\op{e}}$.
Der Logarithmus zur Basis $a$ l"a"st sich durch den nat"urlichen Logarithmus
ausdr"ucken vermittels der Formel $\log_a x=\frac{\log x}{\log a}$. Man kommt
deshalb meist mit dem nat"urlichen Logarithmus aus. Die Notation
$\log_a$ ist konform mit der Norm ISO 31-11, in der zus"atzlich 
auch noch die 
Abk"urzung $\log_2=\op{lb}$\index{lb@$\op{lb}$} 
f"ur den {\bf bin"aren Logarithmus}\index{bin"arer Logarithmus}
\index{Logarithmus!bin"arer} empfohlen wird. In Logarithmentafeln wird
"ublicherweise der Logarithmus zur Basis $10$ tabelliert, weil ja gilt
$\op{log}_{10}(10\cdot x)=1+ \op{log}_{10}(x)$ und man sich so auf Dezimalausdr"ucke $x$
mit einer Null vor dem Komma und keiner Null nach dem Komma
beschr"anken kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
F"ur alle $a >0$ folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion und 
indem man f"ur ein logisch vollst"andiges Argument die folgende
Gleichungskette von hinten nach vorne liest
$$\begin{array}{ccl}
\lim_{n\ra \infty}\sqrt[n]{a} &=& \lim_{n\ra \infty} \exp \left(\frac{1}{n}
\log a \right)\\[2mm]
&=& \exp \left( \lim_{n\ra \infty} \frac{1}{n} \log a\right)\\[2mm]
&=& \exp (0) \\[2mm]
&=& 1
\end{array}$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Aus dem Quetschlemma \ref{BL2} und der 
Darstellung von $\op{e}^x$ durch die Exponentialreihe
folgt
$\lim_{x \rightarrow \infty} \op{e}^x = \infty$.
Aus \ref{LS} und \ref{SUn} folgt dann weiter
$\lim_{y\rightarrow \infty} \log y = \infty$.
Das Quetschlemma mit der Darstellung von $\op{e}^x$ 
duch die Exponentialreihe liefert auch 
$\lim_{x \rightarrow \infty} (x/\op{e}^x) =0$ und durch 
Substitution $x =\log y$ und \ref{LS}
sowie \ref{VSte} folgt  $\lim_{y \rightarrow \infty} (\log y)/y=0$.
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}
Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe.
Man zeige das {\bf Wurzelkriterium}:\index{Wurzelkriterium}
Gilt $\lim_{k\ra \infty} \sqrt[k]{|a_{k}|}
<1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. Hinweis:
Analog zum Beweis des Quotientenkriteriums. Meiner Erfahrung nach ist 
dies Kriterium in der Praxis selten von Nutzen, da es meist auf 
schwer zu bestimmende Grenzwerte f"uhrt.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung} Man folgere aus der Funktionalgleichung \ref{fglo} des 
Logarithmus die Formeln 
$\log (1)  = 0$,
$\log (x^{-1})  = -\log (x)$,
$\log (x^{n})  = n\log (x)$
und $\log (\sqrt[q]{x})  = \frac{1}{q}\log (x)$.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
  Man zeige f"ur $a>0$ die Identit"at $\lim_{n\ra \infty} n(1-\sqrt[n]{a})=
\log a$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{lWU}
Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(x^a/b^x)=0$ f"ur alle $a\in \DR$
und $b>1$.
Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(\log x/ x^c)=0$ f"ur alle $c>0$.
Man zeige $\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{n}=1$. Man zeige
$$\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{\frac{(5n)!}{(n!)^5}}=5^5$$
\end{Ubung}

\begin{Beispiel}
Bei einem radiokativen Material wird nach einem Tag nur noch $90\%$ der 
Strahlungsaktivit"at gemessen.
Wie lange dauert es, bis die Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen ist?
Nun, halten wir einen Referenzzeitpunkt beliebig fest, so wird
die Aktivit"at nach Vergehen einer Zeitspanne $\tau$ gem"a"s
"Uberlegungen wie in \ref{EEEb} gegeben
durch eine Formel der Gestalt
$M \op{e}^{c\tau}$ mit unbekannten $M$ und $c$. 
Wir k"urzen die Zeiteinheit 
\glqq Stunde\grqq\  ab mit dem Buchstaben  $\op{h}$ f"ur lateinisch \glqq hora\grqq.
Formal ist  $\op{h}$ eine Basis des in \eref{ZSV}{EIN} angedachten eindimensionalen reellen 
Vektorraums \glqq aller Zeitspannen\grqq, und formal ist auch $M$ ein Element
eines gedachten eindimensionalen reellen 
Vektorraums \glqq aller Strahlungsaktivit"aten\grqq\  und $c$ 
liegt im Raum der Linearformen
auf dem Raum aller Zeitspannen, in dem wir mit
 $\op{h}^{-1}$ dasjenige Element bezeichnen werden, das auf $\op{h}$ den
Wert Eins annimmt.
So formal will ich hier aber eigentlich gar nicht werden
und schreibe das Auswerten solch einer Linearform auf einer 
Zeitspanne schlicht als Produkt.
F"ur $\tau=24 \op{h}$ wissen wir nun nach unserer Messung
$M \op{e}^{c \cdot 24\op{h}} = \frac{90}{100} M$
und damit $c = ((\log 9/10) / 24)\op{h}^{-1}$.
Bezeichnet $t$ die Zeitspanne, nach der die 
Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen
ist, so haben wir also 
$M \op{e}^{c  t} =  M/2$ alias $
c  t  =- \log 2 $ und damit
$$t = -\frac{\log 2}{c } = \frac{-\log (2) \cdot 24}{\log (9/10)}\op{h}
$$
\end{Beispiel}

\begin{Ubunge}
Das eingestrichene A liegt bei $440$ Herz. Bei wieviel
Herz  etwa liegt das eingestrichene F? Hinweis: Die
L"osung dieser Aufgabe
ben"otigt zus"atzlich zu mathematischen Kenntnissen
auch  physikalische und musikalische
Vorkenntnisse.
\end{Ubunge}
\begin{Bemerkunge}
Versteht man eine positive reelle Zahl als das Verh"altnis zweier 
gleichartiger Gr"o"sen, so sagt man f"ur den
Zehnerlogarithmus besagter Zahl auch, er \glqq dr"ucke das Verh"altnis in
{\bf Bel}\index{Bel} aus\grqq. 
Diese Sprechweise ehrt Alexander Graham Bell, der das Telephon 
einf"uhrte.
So k"onnte man etwa sagen,
das Verh"altnis von Gramm zu Kilo betrage
$3$ Bel, statt von einem Verh"altnis von Eins zu Tausend alias $1$
zu $10^3$ zu reden. 
Das  Verh"altnis von Kilo zu Tonne  betr"agt 
nat"urlich auch $3$ Bel, und das Verh"altnis von Gramm zu Tonne
folglich $6$ Bel. H"aufig redet man 
auch von  {\bf Dezibel}\index{Dezibel} alias \glqq zehntel Bel\grqq.
Das ist jedoch \glqq multiplikativ\grqq\  zu verstehen,
ein Verh"altnis von $1$ Dezibel meint also ein 
Verh"altnis von Eins zu $\sqrt[10]{10} \approx 1,\!26$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
  Physikalisch beschreibt man eine Lautst"arke durch die Leistung, die sie
  etwa an einer Membran verrichtet. Gibt man eine Lautst"arke in Dezibel an,
  so ist allerdings das Verh"altnis des Quadrats dieser Leistung zum Quadrat
  der Leistung einer Standardlautst"arke gemeint. Diese Standardlautst"arke
  ist so vereinbart, da"s sie etwa bei der H"orschwelle eines menschliches
  Ohrs liegt.  Eine Lautst"arke von Null Dezibel bedeutet also, da"s ein
  gesunder Mensch das Ger"ausch so gerade noch h"oren kann, und jede Erh"ohung
  einer Lautst"arke um zwanzig Dezibel bedeutet, da"s das Ohr zehnmal soviel
  Leistung aufnehmen wird. Bei einer Erh"ohung um zehn Dezibel wird das Ohr
  also $\sqrt{10}\approx 3$ mal soviel Leistung aufnehmen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubunge}\label{SRR2} 
Die monotonen Gruppenhomomorphismen
$\DR\ra\DR^\times$ von der additiven
  Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null
  verschiedenen reellen Zahlen sind genau die 
stetigen Gruppenhomomorphismen, also genau
die Abbildungen $x\mapsto a^x$  
f"ur  festes $a\in \DR_{>0}$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man finde alle stetigen Funktionen $G:\Bbb{R}^\times\ra\Bbb{R}$ mit
$G(xy)=G(x)+G(y)\;\;\forall x,y\in\Bbb{R}^\times$, also alle stetigen 
Gruppenhomomorphismen von der multiplikativen Gruppe der von Null
verschiedenen reellen Zahlen in die additive Gruppe aller reellen Zahlen.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man zeige, da"s die Aussage der vorhergehenden S"atze
\ref{SRR} und \ref{SRR1}  sogar folgt, wenn
wir von unseren Gruppenhomomorphismen nur die Stetigkeit bei Null fordern.
\end{Ubunge}


\subsection{Komplexe Zahlen}\label{AKoZa}
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0018}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Anschauung f"ur das Quadrieren komplexer Zahlen in ihrer
anschaulichen Interpretation als Punkte der
komplexen Zahlenebene
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
  Viele mathematische Zusammenh"ange werden
 bei einer Behandlung  im Rahmen der sogenannten \glqq komplexen 
Zahlen\grqq\   besonders transparent.  Ich denke hier etwa an die
  Integration rationaler Funktionen  \ref{IRFu} oder die L"osung der
  Schwingungsgleichung \ref{GeDa}.  Die abschreckenden Bezeichnungen
  \glqq komplexe Zahlen\grqq\  oder auch \glqq imagin"are Zahlen\grqq\  f"ur diesen ebenso
  einfachen wie konkreten K"orper haben historische Gr"unde: Als Mathematiker in
  Italien bemerkten, da"s man polynomiale Gleichungen der Grade Drei und
  Vier l"osen kann, wenn man so tut, als ob man aus $(-1)$ eine Quadratwurzel ziehen
  k"onnte, gab es noch keine Mengenlehre und erst recht nicht den abstrakten
  Begriff eines K"orpers \ref{defK}.  Das Rechnen mit Zahlen, die keine
  konkreten Interpretationen als L"ange oder Guthaben oder zumindest als
  Schulden haben, schien eine \glqq imagin"are\grqq\  Angelegenheit, ein blo"ser
  Trick, um zu reellen L"osungen reeller Gleichungen zu kommen.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Der {\bf K"orper der komplexen Zahlen} $(\DC,+,\cdot)$
  ist  die Menge
  $\DC\pdef \DR^2$ mit Addition und Multiplikation definiert durch
$$\begin{array}{ccc}
(a,b) + (c,d) & \pdef& (a+c, b+d)\\
(a,b) \cdot (c,d) &\pdef& (ac -bd, ad + bc)
\end{array}$$ Diese Struktur ist nach "Ubung \ref{KK2a} ein K"orper und
die Abbildung $\kappa:\DR \ra \DC$, $a \mapsto (a,0)$ ist  
ein K"orperhomomorphismus.
K"urzen wir $\kappa(a)$ zu $a$ ab und setzen $\op{i}\pdef (0,1)$, so gilt
$\op{i}^{2} = -1$ und $(a,b) = a + b\op{i}$. Wenn wir die Vorstellung von $\DC$
als die Menge aller Punkte der Koordinatenebene evozieren wollen, sprechen wir von der {\bf komplexen Zahlenebene}. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}\label{ABKOM}
  Ich hoffe, Sie werden schnell merken, da"s sich viele Fragestellungen bei
  Verwendung dieser sogenannt komplexen Zahlen sehr viel leichter l"osen
  lassen und da"s die komplexen Zahlen auch der Anschauung ebenso zug"anglich
  sind wie die reellen Zahlen.  Fr"uher schrieb man \glqq complex\grqq, deshalb die
  Bezeichnung $\DC$. Unser $\op{i}$ ist eine \glqq Wurzel aus $(-1)$\grqq, und weil es
  so eine Wurzel in den reellen Zahlen nicht geben kann, notiert man sie
  $\op{i}$ wie \glqq imagin"ar\grqq. 
\end{Bemerkungl}

 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildQCo}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Dies Bild soll zus"atzliche Anschauung f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ 
der komplexen Zahlenebene auf sich selbst vermitteln.
Es stellt diese Abbildung dar als die Komposition
einer Abbildung der Einheitskreisscheibe auf eine r"aumliche
sich selbst durchdringende Fl"ache, 
gegeben in etwa durch eine Formel der Gestalt
 $z\mapsto (z^2,\varepsilon(\op{Im}z))$ in $\DC\times \DR\cong
\DR^3$ f"ur geeignetes monotones und in einer Umgebung von Null streng
monotones $\varepsilon$, 
gefolgt von einer
senkrechten Projektion auf die ersten beiden Koordinaten. 
Das hat den Vorteil, da"s im ersten Schritt nur Punkte der
reellen Achse identifiziert werden, was man sich
leicht wegdenken kann,
und da"s der zweite Schritt eine sehr anschauliche Bedeutung hat,
eben die senkrechte Projektion.
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}
F"ur $w\in\DC$ bedeutet die
Additionsabbildung
$(w +) : \DC \ra \DC$, $z \mapsto w + z$ anschaulich die Verschiebung
um den Vektor $w$. Die 
Multiplikationsabbildung $(w\cdot) : \DC \ra \DC$, $z \mapsto wz$
dahingegen bedeutet anschaulich diejenige Drehstreckung der komplexen Zahlenebene, die $(1,0)$ in $w$
"uberf"uhrt.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{ADNcc}
Gegeben eine komplexe Zahl $z = x+y\op{i}$ nennt man $x$ ihren {\bf
Realteil}\index{Realteil!bei komplexen Zahlen}
$\op{Re} z \pdef x$ und $y$ ihren 
{\bf Imagin"arteil}\index{Imagin"arteil!bei komplexen Zahlen} 
$ \op{Im} z \pdef y$. Wir haben
damit zwei Funktionen
$$\op{Re}, \op{Im} : \DC \ra \Bbb{R}$$
definiert und es gilt $z = \op{Re} z + \op{i}\op{Im} z$ 
f"ur alle $z \in \DC$.
Man definiert weiter die {\bf Norm}\index{Norm!einer komplexen Zahl} $| z| $ 
einer komplexen Zahl $z = x+y\op{i}\in
\DC$ durch $$| z|  \pdef \sqrt{x^{2}+y^{2}} \in \Bbb{R}_{\geq 0}$$  
Im Fall einer reellen Zahl $x\in\DR$ 
ist diese Norm genau unser Absolutbetrag aus \ref{AbsB}, 
in Formeln $|x|=|x|$.
In der Anschauung der
 komplexen Zahlenebene bedeutet die Norm einer komplexen Zahl
ihren Abstand vom Ursprung. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Bedeutungen von $|z|$}] 
  Hier ist unsere Notation nicht vollst"andig konsistent, da wir f"ur $(x,y)\in\DR^2$
  bereits $|(x,y)|=\op{max}(|x|,|y|)$ vereinbart hatten und nun
  $|x+{\op{i}}y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ setzen. 
  F"ur Stetigkeitsbetrachtungen spielt diese Verwirrung keine Rolle,
  da stets gilt $$|(x,y)|\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq \sqrt{2}\;|(x,y)|$$
  Bei der Betrachtung komplexer Zahlen hat bei uns $|z|$ a priori die
  eben in \ref{ADNcc} eingef"uhrte Bedeutung als \glqq komplexe Norm\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Bei rechtem Lichte besehen scheint mir an dieser Terminologie 
absonderlich, da"s der Imagin"arteil einer komplexen Zahl 
darin eine
reelle Zahl ist, aber so hat es sich  nun einmal eingeb"urgert. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Stellen wir uns $| z| $ vor als den Streckfaktor der Drehstreckung
$(z \cdot)$, so wird anschaulich klar, da"s f"ur
alle $z,w\in\DC$ gelten mu"s $$| zw| =| z| |w| $$
Besonders bequem rechnet man diese Formel nach, indem man zun"achst
f"ur $z = x + y\op{i}\in \DC$ die {\bf konjugierte komplexe
Zahl}\index{konjugierte komplexe Zahl}
$\bar{z} = x-y\op{i}\in \DC$ einf"uhrt.
Im Bild der komplexen Zahlenebene bedeutet das komplexe
Konjugieren anschaulich die Spiegelung an der reellen Achse.
Nun pr"uft man durch explizite Rechnung unschwer die Formeln
$$\begin{array}{rcl}
\overline{z + w} &=& \bar{z} + \bar{w}\\
\overline{z \cdot w}&=& \bar{z} \cdot \bar{w} \\
{| z| }^{2}& =& z\bar{z}
\end{array}$$
Dann rechnet man einfach
$$| zw| ^{2} = zw \overline{z}\overline{w} = z \bar{z}w \bar{w}=
| z| ^{2} | w| ^{2}$$
Nach dem vorhergehenden ist $z\mapsto \bar{z}$ ein 
K"orperisomorphismus $\DC\ra\DC$, die {\bf komplexe Konjugation}.  Offensichtlich gilt auch 
$\bar{\bar{z}}=z$ und ebenso offensichtlich gilt $|z|=|\bar z|$.  
\end{Bemerkungl}
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0017}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Anschauung f"ur das Invertieren komplexer Zahlen
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Wir k"onnen  den Realteil und den Imagin"arteil von $z \in \DC$
mithilfe der konjugierten komplexen Zahl ausdr"ucken als 
$$\op{Re} z = \frac{z + \bar{z}}{ 2}\qquad \op{Im} z =
\frac{z-\bar{z}}{2\op{i}}$$
Weiter gilt offensichtlich\label{AKrGr} 
$
z= \overline{z} \Leftrightarrow  z \in \Bbb{R} $ und
f"ur komplexe Zahlen $z$ der Norm $| z| =1$ ist 
die konjugierte komplexe
Zahl
genau das Inverse, 
in Formeln $| z| =1\Rightarrow  \bar{z}=z^{-1}$.  
Im Bild der komplexen Zahlenebene 
 kann man das Bilden des Inversen einer von Null verschiedenen
komplexen Zahl anschaulich interpretieren als die
\glqq Spiegelung\grqq\  oder pr"aziser \defind{Inversion} am Einheitskreis 
$z\mapsto z/|z|^2$ gefolgt von der Spiegelung an der reellen Achse
$z\mapsto\bar{z}$. Der Einheitskreis $S^1\pdef\{z\in\DC^\times\mid
|z|=1\}$\index{S@$S^1$ Einheitskreis} ist insbesondere eine
Untergruppe der multiplikativen Gruppe des K"orpers der
komplexen Zahlen und die Multiplikation liefert einen 
Gruppenisomorphismus $\DR_{>0}\times S^1\sira \DC^\times$. 
Wir nennen $S^1$ die {\bf Kreisgruppe}.\index{Kreisgruppe} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
F"ur unsere Norm komplexer Zahlen aus \ref{ADNcc} gilt 
offensichtlich
$$| z| =0 \Leftrightarrow z=0$$
Da in einem Dreieck eine einzelne Seite nicht l"anger sein kann als
die beiden anderen zusammengenommen,
%und formal etwa nach \eref{ENNo}{LA2}.\ref{ENNo2}
erwarten wir weiter die
{\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!f"ur komplexen 
Absolutbetrag}
$$| z+ w|  \leq | z| +| w| $$  
Formal mag man sie pr"ufen, indem man
beide Seiten quadriert, wodurch die "aquivalente Behauptung
$(z +w)(\bar z +\bar w)\leq z\bar z +2| z|| w|+w\bar w $
entsteht, und dann vereinfacht zu immer noch "aquivalenten Behauptung
$2\op{Re}(z\bar w)\leq 2| z\bar w|$.  
Die Absch"atzungen $\op{Re}(u)\leq |u|$ und 
$\op{Im}(u)\leq |u|$ sind aber f"ur jede komplexe Zahl $u$
auch
formal offensichtlich.
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Gegeben eine 
komplexe Zahl $z\neq -1$ 
vom Betrag $|z|=1$ zeige man, da"s sie genau eine 
Wurzel $w$ mit positivem Realteil hat und da"s diese
gegeben wird durch $w=(1+z)/|1+z|$.  
K"onnen Sie auch die geometrische Bedeutung 
 dieser Formel erkl"aren? Man folgere, da"s 
f"ur beliebiges  $a<1$\label{WeKr}   
jedes Element von $S^1$ eine Potenz eines Elements $z$ mit
Realteil $\op{Re}(z)>a$ ist.
\end{Ubung}


\subsection{Trigonometrische Funktionen}\label{eC}
 \begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExC}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Auch f"ur komplexes $z$ zeigt man wie in \ref{EEE}
die Formel $$\exp (z) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{z}{n}
\right)^{n}$$ Dies Bild stellt  Fall $z=\op{i}, n=4$ dar.
Anschaulich erkennt man, wie diese Folge gegen den Endpunkt des
auf $\DR$ beginnenden Kreissegments
der L"ange Eins strebt.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Definition}
  Eine Reihe $\sum_{k\in\DN}a_k$ komplexer Zahlen hei"st
  {\bf absolut konvergent}, wenn die Reihe der Absolutbetr"age
  konvergiert, in Formeln $\sum_{k\in\DN}|a_k|<\infty$.
\end{Definition}

\begin{Lemma}
  Jede absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert,
  als da hei"st, die Folge ihrer Partialsummen konvergiert gegen eine
  komplexe Zahl.\label{kiuz}  
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Sei $\sum_{k=0}^\infty a_k$ unsere Reihe. Aus $\sum_{k=0}^\infty |a_k|<\infty$
  folgt zun"achst einmal $\sum_{k=0}^\infty |\op{Re}a_k|<\infty$ und nach \ref{AkK} konvergiert dann auch 
  $\sum_{k=0}^\infty \op{Re}a_k$.
  Ebenso sehen wir, da"s  $\sum_{k=0}^\infty \op{Im}a_k$ konvergiert,
  und damit konvergiert $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nach unserer Beschreibung des Grenzwerts als komponentenweiser Grenzwert \ref{StKg}, nur eben gegen eine komplexe Zahl. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Der Umordnungssatz \ref{US} gilt analog f"ur absolut konvergente
  Reihen komplexer Zahlen. Das folgt, indem wir\label{USC} den
  reellen Umordnungssatz \ref{US} auf Real- und Imagin"arteil anwenden. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
F"ur jede komplexe Zahl $z \in \DC$ 
erkl"aren wir eine weitere komplexe Zahl $\exp (z)
\in \DC$ durch die Vorschrift
$$\exp (z) \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} z^{k}$$  
Diese Reihe konvergiert f"ur alle $z \in \DC$ nach \ref{kiuz}, da  sie absolut konvergiert. 
Wir erhalten so
eine Abbildung $\exp : \DC \ra \DC,$ die {\bf komplexe
Exponentialfunktion}\index{komplexe Exponentialfunktion}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionalgleichung der komplexen
Exponentialfunktion}] 
Man
pr"uft genau wie in 
    \ref{FdE}  %\ref{APB} 
im Reellen auch im Komplexen\label{EKEm}  
die Funktionalgleichung
$$\exp (z+w)
= (\exp z) (\exp w)$$ 
Dazu gehen wir den Beweis im reellen Fall nochmal durch und m"ussen insbesondere
pr"ufen, da"s der Satz \ref{PvR} "uber das Produkt absolut konvergenter
Reihen auch im Komplexen gilt. In der Tat funktioniert derselbe Beweis auch in
diesem Fall.   Offensichtlich gilt immer noch $\exp(0)=1$.
  In der Sprache der Algebra ausgedr"uckt ist die Exponentialabbildung
 also ein Monoidhomomorphismus
$\exp:(\DC,+)\ra (\DC,\cdot)$ und induziert damit nach \ref{muga} einen
 Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der komplexen
Zahlen in die multiplikative  Gruppe der von Null verschiedenen 
komplexen
Zahlen.  Man erh"alt  insbesondere  
$\exp (-z) = (\exp
z)^{-1}$. Wie im Reellen \ref{StE} 
 zeigt man auch die Stetigkeit von $\exp : \DC \ra \DC$
 zun"achst im Nullpunkt "uber die Reihenentwicklung und dann
 an jeder Stelle $z\in\DC$ mithilfe der Funktionalgleichung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe Exponentialfunktion und Konjugation}] 
Aus  der Stetigkeit der komplexen Konjugation und 
ihrer Vertauschbarkeit mit Summe und Produkt folgern wir
$$\exp ({\bar z}) =\overline{\exp z}\quad \forall z \in \DC$$
F"ur den Betrag von $\exp z$ erhalten wir dann
$$\begin{array}{lcl}
|\exp z|^{2} &=& (\exp z) (\overline{\exp z})\\
&=& \exp (z)\exp (\bar{z})\\
&=& \exp (z+\bar{z})\\
&=& \exp (2\op{Re} z)
\end{array}$$ Folglich gilt $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ und
speziell  $|\exp (\op{i}t)| =1$ f"ur alle $t\in\Bbb{R}$.   
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
 Ich nenne
$u:\DR\ra S^1, t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ die {\bf Umlaufabbildung}. Sie beschreibt 
salopp gesprochen
einen Punkt, der \glqq mit konstanter Geschwindigkeit Eins
im Gegenuhrzeigersinn auf dem
Einheitkreis $S^1$ uml"auft und sich zum Zeitpunkt $t=0$ an der Stelle $u(0)=1$ befindet\grqq. In den folgenden S"atzen \ref{EplOO} und
\ref{BezK} will ich diese Anschauung rechtfertigen.
Aus der Funktionalgleichung  \ref{EKEm} folgt unmittelbar,
da"s unsere Umlaufabbildung
ein Gruppenhomomorphismus von der Zahlengeraden zur Kreisgruppe ist.
Aus der Absch"atzung
$$|\op{exp}({\op{i}}t)-\op{exp}({\op{i}}s)|
=|\op{exp}({\op{i}}(t-s))-1|=\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{({\op{i}}(t-s))^k}{k!}\right|\leq \op{exp}(|s-t|)-1$$ 
oder auch direkt aus der Stetigkeit der komplexen Exponentialfunktion
folgt, da"s die Umlaufabbildung $u$
stetig ist.
\end{Bemerkungl}
%\begin{Bemerkungl}
%  Gegeben eine 
%  Abbildung $f:\DR\ra\DC$ vereinbaren wir ad hoc, da"s 
%  $f$ {\bf stetig} hei"sen soll, wenn $\op{Re}f$ und $\op{Im}f$
%  stetig sind. Das wird sich im weiteren Verlauf dieser Vorlesung als
%  ein Spezialfall der allgemeinen Definition \ref{Metrik} der
%  \glqq Stetigkeit von Abbildungen metrischer R"aume\grqq\ erweisen.
%\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in der Kreisgruppe}] 
Die stetigen Gruppenhomomorphismen  $\DR\ra S^1$
 von der additiven Gruppe
der reellen Zahlen in die \hyperref[KrGr]{Kreisgruppe} sind genau alle
Abbildungen der Gestalt $t\mapsto \op{exp}(a{\op{i}}t)$
mit $a\in \DR$.\label{EplOO}    
\end{Satz}

\begin{proof}
Unsere Umlaufabbildung $u$ ist nicht konstant, 
aus der Reihenentwicklung folgt genauer die Absch"atzung 
$\op{Im}(\op{exp}({t\op{i}}))>0$ f"ur $t\in (0,1]$. Aufgrund der Stetigkeit  
 gibt es folglich $c>0$ mit $\op{Re}u(c)<1$ und 
$$(t\in[-c,c] \RA\op{Re}u(t)>0)$$
Ist
$\gamma:\DR\ra S^1$ ein weiterer 
Gruppenhomomorphismus mit
stetigem
Realteil, so gibt es auch $b>0$ mit
$(t\in[-b,b]  \RA\op{Re}\gamma(t)\geq \op{Re}u(c))$.
Es folgt, da"s wir $g\in [-c,c]$ finden mit
$\op{Re}\gamma(b)=\op{Re}u(g)$. Indem wir notfalls
$g$ durch $-g$ ersetzen, d"urfen wir zus"atzlich 
 annehmen, da"s auch gilt $\op{Im}\gamma(b)=\op{Im}u(g)$ und damit 
 $$\gamma(b)=u(g)\quad\! \text{und}\quad\! (|s|\leq b\RA \op{Re}\gamma(s)>0)
\quad\!  \text{sowie}\quad\!  (|t|\leq g\RA \op{Re}u(t)>0).$$ 
Daraus aber folgt 
$\gamma(b/2)=u(g/2)$, denn beide Seiten sind die 
 eindeutig bestimmte Quadratwurzel
aus $\gamma(b)=u(g)$ mit
positivem Realteil. Induktiv folgt erst
$\gamma(b/2^n)=u(g/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ 
und dann $\gamma(mb/2^n)=u(mg/2^n)$ f"ur alle
$m\in \DZ$ und dann  aufgrund der Stetigkeit $\gamma(tb)=u(tg)$
f"ur alle $t\in\DR$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
 Ich erinnere daran, da"s in der Algebra  der {\bf Kern} $\op{ker}\gamma$ eines Gruppenhomomorphismus $\gamma:G\ra H$ erkl"art wird als  die Menge  $\op{ker}\gamma\pdef \gamma^{-1}({\op{e}}_H)$ aller Elemente von $G$, die auf das neutrale Element von $H$ abgebildet werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Komplexe Exponentialfunktion und Kreiszahl}] 
Die   Umlaufabbildung $u:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$
ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $u:\DR\sra S^1$\label{BezK} 
mit Kern $\op{ker}(u)=2\pi\DZ$ f"ur unsere Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP}.  
\end{Satz}

\begin{Bemerkungw}
  Wir "uberlegen uns in \ref{SurCE}, da"s
  der Gruppenhomomorphismus $\DC\ra \DC^\times$ gegeben durch dieselbe Formel
  $z\mapsto \op{exp}({\op{i}}z)$ immer noch
  denselben Kern hat, mit dem $\op{i}$ an anderer Stelle geschrieben 
  $\op{ker}(\op{exp}(\DC\ra \DC^\times))=2\pi{\op{i}}\DZ$.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
Beim Beweis von \ref{EplOO} haben wir bereits gesehen,
da"s es $a<1$ gibt derart, da"s
alle Elemente der Kreislinie mit Realteil $>a$ im Bild
von $u$ liegen m"ussen. Nach "Ubung 
\ref{WeKr} sind aber alle Elemente von
$S^1$ Potenzen derartiger Elemente.
Folglich ist
$u$  eine Surjektion. Mit $$\kappa\pdef\op{inf}\{t>0\mid u(t)=-1\}$$
gilt offensichtlich $u(\kappa)=u(-\kappa)=-1$, aber
$u$ nimmt auf dem offenen Intervall $(-\kappa,\kappa)$ den Wert
$(-1)$ nicht an. So folgt 
$(\op{ker}u)\cap (0,2\kappa)=\emptyset$ und 
$2\kappa\DZ\subset \op{ker}u$. 
H"atten wir in $\op{ker}u$ noch 
Elemente au"serhalb von $2\kappa\DZ$,
so m"u"sten wir darin auch Elemente aus $(0,2\kappa)$ finden und
erhielten einen Widerspruch.
So folgt $\op{ker}u=2\kappa\DZ$ und es bleibt nur noch zu zeigen
$$\kappa=\pi$$ f"ur unsere Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP}.
Dieser Teil des Beweises
  wird sich in \ref{KLI} als ein Spezialfall unserer S"atze "uber die sogenannte
  \glqq Bogenl"ange\grqq\ erweisen, aber hier argumentieren wir
  noch \glqq zu Fu"s\grqq. Sicher gilt $u(0)=1$  und
  $u$ induziert eine Bijektion $u:(-\kappa,\kappa]\sira S^1$, denn das Bild ist
dasselbe wie das Bild von $\DR=(-\kappa,\kappa] +2\kappa\DZ$ und aus $u(t)=u(s)$
folgt $t-s\in 2\kappa\DZ$. 
Der Imagin"arteil von $u$ hat auf diesem Intervall also nur die beiden
Nullstellen $0$ und $\kappa$. Wir wissen schon vom Beginn des vorhergehenden Beweises, da"s gilt $\op{Im}(u(t))>0$ f"ur $t\in (0,1]$.
Also induziert $u$ eine Bijektion 
$$u:[0,\kappa]\sira \{z\in S^1\mid \op{Im}(z)\geq 0\}$$ 
und $\op{Re}u$ mu"s auf diesem Intervall nach "Ubung \ref{NUU}
streng monoton fallen.
Diese Erkenntnis liefert f"ur unsere Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP}
die alternative Beschreibung
 $$\pi  = \op{sup}\left.\left\{\sum^{n}_{i=1} |u(t_i)-u(t_{i-1})| \; \right|
0\leq t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n}\leq\kappa
\right\} $$
Im Anschlu"s leiten  wir f"ur $t\geq 0$ die Absch"atzungen 
$t-t^2\leq |u(t)-1|\leq t$ her. F"ur $t>s$ folgt aus der oberen Absch"atzung
$|u(t)-u(s)|\leq t-s$ und damit sofort $\pi\leq\kappa$.
Verwenden wir andererseits
f"ur $n\geq 1$ die "aquidistante Unterteilung 
mit $0=t_0$ und $t_n=\kappa$, so folgt aus der unteren Absch"atzung  
$$\pi\geq \sum^{n}_{i=1} |u(t_i)-u(t_{i-1})|\geq \kappa -n(\kappa/n)^{2}$$
und im Grenzwert $n\ra\infty$ erhalten wir auch umgekehrt $\pi\geq\kappa$, also
zusammen
$$\pi=\kappa$$
Es bleibt, f"ur $t\geq 0$  unsere Absch"atzungen $t-t^2\leq |u(t)-1|\leq t$
herzuleiten. 
Nun erhalten wir
f"ur $|t|\leq 2$ leicht die Absch"atzung 
$$|u(t)-1|^{2}=2-2\op{Re}u(t)=t^{2}-2t^{4}/4!+2t^{6}/6!-
\ldots\quad\leq t^{2}$$
und in der Wurzel unsere obere Absch"atzung, da ja $|u(t)-1|\leq 2$ eh klar ist
f"ur alle $t$.
Andererseits zeigt die 
Reihenentwicklung auch
$$u(t)-1={\op{i}}t - t^2\sum_{\nu=2}^\infty ({\op{i}}t)^{\nu -2}/\nu!$$
und so die untere Absch"atzung
$|u(t)-1|\geq t-t^{2}$, erst f"ur $t\in [0, 1]$
 wegen  $1=\sum_{\nu=2}^\infty 1/2^{\nu-1}\geq \sum_{\nu=2}^\infty 1/\nu!$, dann
aber aus offensichtlichen Gr"unden sogar f"ur alle $t$.
\end{proof}

\begin{Definition}\label{dsc}
Wir nennen den Real- beziehungsweise Imagin"arteil der
Umlaufabbildung $u:t\mapsto \exp ({\op{i}}t)$ 
 den \defind{Cosinus} beziehungsweise den \defind{Sinus}
 $\cos, \sin : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$.
In Formeln werden die Funktionen Sinus und Cosinus bei uns also definiert durch die
sogenannte {\bf Euler'sche Gleichung}\index{Euler'sche Gleichung} 
$$\exp ({\op{i}}t) = \cos t +  {\op{i}}\sin t$$
\end{Definition}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0008}
\\ \noindent Sinus und Cosinus am Einheitskreis
\end{figure}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildsinB}
\\ \noindent Die Graphen vom Sinus als durchgezogene Linie
 und vom Cosinus als gestrichelte Linie. 
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Das Wort \defind{Trigonometrie} bedeutet so etwas wie 
\glqq Dreiwinkelmessung\grqq. Die 
Wurzel \glqq gon\grqq\  taucht auch im deutschen Wort \glqq Knie\grqq\ 
auf und bedeutet im Griechischen 
sowohl \glqq Knie\grqq\  als auch im "ubertragenen Sinne 
\glqq Winkel\grqq.
In der Linearen Algebra \eref{Wigh}{LA2} f"uhre ich
die \glqq abstrakte Winkelgruppe\grqq\ $\mathbb W$ ein sowie in \eref{KGIp}{LA2} 
den \glqq Stan\-dard\-iso\-mor\-phis\-mus\grqq\
$$\op{kw}:\mathbb W\sira S^1$$
der  Winkelgruppe mit der Kreisgruppe $S^1\subset\DC^\times$.
Ich schlage vor, zu unterscheiden zwischen einerseits dem
{\bf geometrischen Cosinus}, den ich in \eref{nmgec}{LA2} 
einf"uhre als die Abbildung $$\op{cos}_{\op{g}}\pdef \op{Re}\circ \op{kw}:\mathbb W\ra\DR$$
der \glqq Winkelgruppe\grqq\ in die reellen Zahlen,
die durch die Regel \glqq Ankathete durch Hypothenuse\grqq\ beschrieben
wird, und andererseits dem hier erkl"arten
{\bf analytischen Cosinus} $\op{cos}=\op{cos}_{\op{a}}:\DR\ra\DR$,
der sich
daraus ergibt durch das Vorschalten der 
Umlaufabbildung $u:\DR\ra S^1$ gefolgt vom invertierten Standardisomorphismus
als 
$$\op{cos}=\op{cos}_{\op{a}}=\op{cos}_{\op{g}}\circ \op{kw}^{-1}\circ u=\op{Re}\circ u$$
Analog mag man f"ur die anderen Winkelfunktionen vorgehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zum Bogenma"s}] 
Dieselbe Argumentation wie beim vorhergehenden Beweis zeigt
f"ur alle $ t\geq 0$ die Formel\label{Bsin} 
$$t  = 
\op{sup}\left.\left\{\sum^{n}_{i=1} |u(t_i)-u(t_{i-1})| \; \right|
0\leq t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n}\leq t
 \right\} $$
Anschaulich bedeutet mithin $t$ die L"ange des 
Kreisbogens von $1$ bis $\exp({\op{i}}t)$.
Auf Taschenrechnern mu"s man, um die 
hier definierten Funktionen $\sin$ und $\cos$
zu erhalten, meist noch spezifizieren, da"s  die Eingabe im
Bogenma"s, auf 
englisch  \glqq Radians\grqq\  oder 
abgek"urzt \glqq rad\grqq,\index{rad!Radian} 
zu verstehen sein soll. 
Auf lateinisch bedeutet 
Sinus "ubrigends \glqq Bodenwelle\grqq\  und  \glqq Busen\grqq, wortverwandt 
ist franz"osisch \glqq le sein\grqq.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften von Sinus und Cosinus}]
Aus der Definition \ref{dsc} von Sinus und Cosinus folgen unmittelbar 
eine ganze Reihe von Eigenschaften.\label{EgSC} 
\begin{enumerate}
\item
Aus den Definitionen folgt sofort die Identit"at $\sin^2+\cos^2=1$.
Diese Formel wird oft nach {\bf Pythagoras} benannt. Hier  haben wir
$(\sin t)^2=\sin^2 t$  und $(\cos t)^2=\cos^2 t$  abgek"urzt.
Diese Abk"urzungen sind auch "ublich f"ur alle anderen Potenzen und alle anderen
trigonometrischen beziehungsweise
hyperbolischen trigonometrischen Funktionen, 
denn
das spart Klammern und die
alternativ m"oglichen Bedeutungen $\sin^2 t=\sin(\sin t)$ und dergleichen 
kommen
nie vor. F"ur die Umkehrfunktionen vereinbaren wir bald die Notation
$\op{arcsin}$ sowie $\op{arccos}$ und verwenden auch f"ur negative obere Indizes
die Notationen $\op{sin}^{-1}(x)\pdef 1/\op{sin}(x)$ sowie $\op{cos}^{-1}(x)\pdef 1/\op{cos}(x)$. Man findet f"ur diese Funktionen auch die Bezeichnung als  
\defind{Secans} $\sec(x)\pdef 1/\cos(x)$ beziehungsweise  
 \defind{Cosecans} $\op{cosec}(x)\pdef 1/\sin(x)$.
\item  
Die {\bf Symmetrie-Eigenschaften} $\sin(-t)=-\sin t$ und 
$\cos(-t)=\cos t$ folgen aus $\exp(\bar z)=\overline{\exp z}$.
\item
F"ur alle $a,b\in\Bbb{R}$\index{Additionsformeln!f"ur 
$\sin$ und $\cos$}\label{AdFF} 
folgen die {\bf Additionsformeln}
$$\begin{array}{ccccc}
\cos (a+b) &=& \cos a \cos b &-& \sin a \sin b\\
\sin (a+b) &=& \cos a \sin b &+& \sin a \cos b
\end{array}$$
  aus der Funktionalgleichung
$\op{exp}({\op{i}}(a+b))=\op{exp}({\op{i}}a)\op{exp}({\op{i}}b)$.
\item
Die {\bf Periodizit"aten} $\sin(t)=\sin(t+2\pi)$ und $\cos(t)=\cos(t+2\pi)$
folgen unmittelbar aus der Beschreibung des Kerns von $t\mapsto \exp({\op{i}}t)$ in \ref{BezK}.
\item
Da"s der Cosinus eine streng monoton fallende 
Bijektion  $\cos:[0,\pi]\sira [-1,1]$ ist, wissen wir bereits aus dem Beweis 
von \ref{BezK}. Die Formel des
Pythagoras zeigt dann, da"s $\pi$ die kleinste positive
Nullstelle von $\sin$ ist. Zusammen mit $\sin(0)=0$ und der Periodizit"at
folgt, da"s die {\bf Nullstellen des Sinus} genau die ganzzahligen
Vielfachen von $\pi$ sind. 
\item
Mit den Additionsformeln erhalten wir  $\sin(t+\pi)=-\sin t$ und ebenso 
$\cos(t+\pi)=-\cos t$ und damit $\cos(\pi/2)=0$ und 
$\cos t=\sin (t+\pi/2)$ und $\sin t=-\cos (t+\pi/2)$.
Die {\bf Nullstellen des Cosinus} sind folglich genau die Elemente von
$2\pi\DZ+\pi/2$.
\item
Unsere Funktionen $\cos$ und $\sin$ werden, wie sofort aus \ref{dsc} folgt, 
dargestellt durch die
absolut konvergenten Reihen\label{RESC} 
$$\begin{array}{lclcl}
\cos t & =& \sum^{\infty}_{k=0} (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k)!}&=&
1-\frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!}- \ldots\\[2mm]
\sin t &=& \sum^{\infty}_{k =0}(-1)^{k}\frac{t^{2k+1}}{(2k +1)!}&
=& t-\frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!}-\ldots
\end{array}$$
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Wir wissen  bereits aus dem Beweis 
von \ref{BezK}, da"s der Cosinus eine stetige streng monoton fallende 
Bijektion\label{arcc}  $\cos:[0,\pi]\sira [-1,1]$ ist. Deren Umkehrabbildung ist nach \ref{USS} auch stetig.
Sie hei"st der 
\defind{Arcuscosinus} und  wird notiert als 
$$\op{arccos}:[-1,1]\sira[0,\pi]$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Der Sinus w"achst wegen \ref{arcc} und der zuvor gezeigten Identit"at 
$\sin t=-\cos (t+\pi/2)$
  streng monoton auf $[-\pi/2, \pi/2]$ und
definiert folglich eine Bijektion $\sin :[-\pi/2, \pi/2] \sira
[-1,1]$. Deren Umkehrabbildung ist nach \ref{USS} auch stetig.
Sie hei"st der 
\defind{Arcussinus} und  wird notiert als
$$\arcsin : [-1,1] \sira [-\pi/2,\pi/2]$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die Bezeichnungen \glqq arcussinus\grqq\ und  \glqq arcuscosinus\grqq\
  kommen von lateinisch \glqq arcus\grqq\  f"ur \glqq Bogen\grqq.
In der Tat bedeutet $\arcsin b$ f"ur $b\in[0,1]$
die L"ange des Kreisbogens,
der vom Punkt $(1,0)$ bis zum Punkt $(\sqrt{1-b^{2}},b)$
der H"ohe $b$ auf dem Einheitskreis reicht, wie der Leser
zur "Ubung nachrechnen mag. 
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0016}
\\[3mm] \noindent
Der Arcussinus
\end{figure}
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
F"ur alle $x \in \Bbb{R}$ mit $\cos x \neq 0$ definieren wir den
{\bf Tangens}\index{Tangens} von $x$ durch $$\tan x \pdef
 \frac{\sin x}{\cos x}$$ 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Anschaulich bedeutet $\tan(x)$  f"ur $x\in (0,\pi/2)$
die H"ohe, in der der Strahl durch den Nullpunkt
und den Punkt des Einheitskreises, der mit dem Punkt 
$(1,0)$ ein Kreissegment der L"ange $x$ begrenzt, die 
Tangente an unseren Einheitskreis im Punkt $(1,0)$ trifft.
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0019}
\\ \noindent Der Tangens
\end{figure}
Man benutzt auch den {\bf Cotangens}\index{Cotangens}
$$\cot(x)\pdef\frac{\cos x}{\sin x}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Der Tangens w"achst streng monoton auf dem Intervall 
$(-\pi/2,
\pi/2)$. Wegen $\tan (-t)=-\tan(t)$  reicht es, das auf
$[0,\pi/2)$ zu pr"ufen, und dort sind  Sinus und Cosinus 
nichtnegativ und der Sinus  w"achst streng monoton, wohingegen der
Cosinus streng monoton f"allt.   
Da der Tangens an den Grenzen sogar gegen $\pm \infty$ strebt, liefert
der Tangens eine Bijektion $\tan : (-\pi/2, \pi/2)\ra \Bbb{R}$.
Die Umkehrfunktion hei"st der 
{\bf
Arcustangens}\index{Arcustangens}\index{arctan@$\arctan$ Arcustangens}
$$\arctan : \Bbb{R} \ra (-\pi/2, \pi/2)$$
In derselben Weise erkl"art man den {\bf
  Arcuscotangens}\index{Arcuscotangens} $\op{arccot} : \Bbb{R} \ra (0, \pi)$
als\index{Arcustangens}\index{arccot@$\op{arccot}$ Arcuscotangens} die
Umkehrfunktion des Kotangens $\op{cot} : (0, \pi) \sira \Bbb{R}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
\includegraphics[width=7cm]{SkriptenBilder/Bild0021}
\hfill\includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/Bild0020}
\\[2mm] 
\noindent
Die Bilder ausgew"ahlter Teile der komplexen Zahlenebene unter 
der komplexen Exponentialfunktion. Die Vertikalen werden zu Kreislinien
aufgewickelt, die Horizontalen in vom Nullpunkt ausgehende Strahlen
transformiert. Anschaulich mag man sich die komplexe Exponentialfunktion
denken als Abbildung, bei der die komplexe Zahlenebene zun"achst in 
horizontaler Richtung verzerrt und ganz
auf die Halbebene mit positivem Realteil her"ubergeschoben wird 
mit $x+{\op{i}}y\mapsto \op{exp}(x)+{\op{i}}y$, gefolgt von einer 
Aufwicklung dieser Halbebene zu einer Wendeltreppe 
$a+ {\op{i}}y\mapsto (a\op{cos}y,a\op{sin}y,y) $ in den Raum 
gefolgt von einer 
senkrechten Projektion dieser Wendeltreppe auf die Ebene alias dem
Weglassen der letzten Koordinate.
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kern und Bild der komplexen Exponentialfunktion}] 
Nach \ref{BezK} induziert die Exponentialfunktion eine Surjektion
der imagin"aren Geraden ${\op{i}}\DR$ auf den Einheitskreis
$S^1=\{ z\in\DC\mid |z|=1\}$.  Da"s die Exponentialfunk\-tion\label{SurCE} 
eine Bijektion $\DR\sira \DR_{>0}$ 
induziert, wissen wir bereits aus \ref{SurE}. Da sich nun jede von Null 
verschiedene komplexe Zahl $w$ schreiben l"a"st als Produkt 
$w=(w/|w|)|w|$
mit $w/|w|$ auf dem Einheitskreis und $|w|$ positiv, ist
die Exponentialfunktion nach der Funktionalgleichung sogar ein 
surjektiver  Gruppenhomomorphismus $\op{exp}:\DC\sra \DC^\times$. 
Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus, als da hei"st das Urbild
des neutralen Elements $1\in \DC^\times$,  besteht aufgrund unserer
Gleichung  $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ 
aus allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi{\op{i}}$, in Formeln
$$\op{ker}(\exp)=2\pi{\op{i}}\DZ$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Wir bestimmen mit dieser Erkenntnis die
{\bf $n$-ten} {\bf Einheitswurzeln}\index{Einheitswurzel!in $\DC$}, 
als da hei"st die
komplexen L"osungen der Gleichung $z^n=1$.  Nach \ref{SurCE} hat
jede L"osung die Gestalt $z=\op{e}^b$ f"ur geeignetes $b\in\DC$
und so ein $z$ l"ost unsere Gleichung genau dann, wenn gilt
$z^n=\op{e}^{nb}=1$ alias $nb\in 2\pi{\op{i}}\DZ$.  Wir erhalten so 
die  L"osungen $\exp(2\pi{\op{i}}\nu/n)$ f"ur $\nu=0,1,\ldots, n-1$ 
und erkennen auch, da"s sie paarweise verschieden sind und es 
keine anderen L"osungen geben kann. 
In der komplexen Zahlenebene kann man sich  die  $n$-ten Einheitswurzeln
veranschaulichen als die Ecken desjenigen
in den Einheitskreis einbeschriebenen regelm"a"sigen $n$-Ecks, das
als eine Ecke die $1$ hat.\label{ntE} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}\label{SHL}
Der Satz von \defind{Hermite-Lindemann} besagt, da"s f"ur 
eine von Null verschiedene im Sinne von \ref{PiTr} algebraische
komplexe Zahl $\alpha$
der Wert der Exponentialfunktion $\op{exp}(\alpha)$ stets transzendent ist. 
Daraus folgt sowohl, da"s die Euler'sche Zahl $\op{e}=\op{exp}(1)$ 
transzendent ist,
als auch, da"s $2\pi{\op{i}}$ 
und damit nat"urlich 
auch $\pi$ transzendent sind, da n"amlich  $\op{exp}( 2\pi{\op{i}})=1$
nicht transzendent ist. 
In etwas allgemeinerer Form sagt der Satz, da"s gegeben komplexe 
algebraische Zahlen
$\alpha_1,\ldots, \alpha_n$, die linear unabh"angig sind "uber $\DQ,$
die Werte der Exponentialfunktion 
$\op{exp}(\alpha_1),\ldots, \op{exp}(\alpha_n)$
algebraisch unabh"angig sind "uber $\DQ$ im Sinne von \eref{AlUU}{KAG}.
Mehr dazu findet man etwa in \cite{Lor}.
Schanuels Vermutung, wie das zu verallgemeinern sein sollte, 
findet man in \eref{VVS}{KAG}.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Potenzen mit komplexen Exponenten}]
F"ur eine reelle Zahl $a>0$ und $z\in \DC$ setzen\label{EoFo} 
wir wieder $$a^z\pdef\exp(z\log a)$$ und schreiben insbesondere
auch $\exp z=\op{e}^z$ f"ur $z\in\DC$. 
Mit dieser Notation liest sich die  Euler'sche
Formel dann als 
$\op{e}^{{\op{i}}t} = \cos t + {\op{i}}\sin t$.
Insbesondere 
erf"ullen unsere Hauptdarsteller
die bemerkenswerte Identit"at
$\op{e}^{{\op{i}}\pi} =-1$.
Aus $\exp (-{\op{i}}t)= \overline{\exp ({\op{i}}t)}$ 
folgern wir umgekehrt f"ur alle $t\in\Bbb{R}$
die Formeln
$$\cos t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+ \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2}
\quad\text{und}\quad \sin t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}-
\op{e}^{-{\op{i}}t}}{2{\op{i}}}$$
Diese Formeln verwenden wir, um den Sinus und Cosinus zu Funktionen
$\DC\ra\DC$ auszudehnen.\index{sin@$\op{sin}$ Sinus!komplexer}\index{cos@$\op{cos}$ Cosinus!komplexer}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Potenzen komplexer Zahlen mit komplexen Exponenten}]
  Die Frage, inwieweit auch Ausdr"ucke wie ${\op{i}}^{\op{i}}$ sinnvoll
  als komplexe Zahlen interpretiert werden k"onnen, stellen wir zur"uck bis
  zu ersten Anwendungen in \ref{ahb}.
\end{Bemerkungw}
% \begin{Bemerkunge}
% In der angels"achsischen  
% Literatur wird manchmal auch die Abk"urzung $\op{exp}({\op{i}}z)=
% \op{cis}(z)$ verwendet, die wohl auf die Euler'sche Formel
% $\op{exp}({\op{i}}z)=c\!\op{os}z+i\;
% s\!\op{in}z$ zur"uckzuf"uhren ist.\index{cis@$\op{cis}$}
% \end{Bemerkunge}







\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{KoWu}
Sei $n\in\DN$.  F"ur jede komplexe Zahl $a\neq 0$ besitzt
die Gleichung $z^n=a$ genau $n$ L"osungen $z\in\DC$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{GHCC}
Man zeige: Jeder Gruppenhomomorphismus 
$\DR\ra \DC^\times$ mit stetigem Real- und Imagin"arteil
hat die Gestalt $t\mapsto \exp(at)$ f"ur genau eine komplexe Zahl $a\in \DC$.
Hinweis: Man wiederhole den Beweis  von \ref{EplOO} 
und beachte \ref{SurCE}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Unm"oglichkeit globaler stetiger komplexer Wurzelfunktionen}] 
 G"abe es eine stetige Funktion $w :\DC\ra \DC$ mit $w(z)^2=z$ f"ur alle $z$, so folgte $w(z^2)=\pm z$ f"ur alle $z$ und damit w"are $\varepsilon: z\mapsto w(z^2)/z$ eine stetige Funktion
  $\varepsilon:\DC^\times\ra \{1,-1\}$ mit\label{steW} 
  $\varepsilon(-z)=-\varepsilon(z)$. Man f"uhre das zum Widerspruch. Hinweis: Zwischenwertsatz. 
\end{Ubung}
%\begin{Ubunge}[\textbf{Problematik komplexer Wurzelfunktionen}]
%Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, in stetiger Weise zu
%jeder komplexen Zahl eine Wurzel zu w"ahlen, da"s es also keine
%stetige Abbildung $w : \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$ gibt mit
%$w (z)^2 = z \; \forall z \in \Bbb{C}$.\label{steW} 
%Hinweis: Man pr"ufe, da"s die Funktion $w (\exp (z)) \exp (-z/2)$ einerseits 
%konstant sein m"u"ste, aber andererseits nicht denselben Wert bei $0$ und 
%$2\pi {\op{i}}$ annehmen w"urde. Die anschauliche 
%Bedeutung der Aussage mag aus der graphischen Darstellung der Abbildung 
%$z\mapsto z^2$ in \eref{BKOM}{LA1} klar werden. Im Rahmen der
%"Uberlagerungstheorie wird das der Einzeiler \eref{KWU}{TF}.
%\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}[\textbf{Der goldene Schnitt im regelm"a"sigen F"unfeck}]
In einem regelm"a"sigen F"unfeck stehen die L"angen der Diagonalen
zu den L"angen der Seiten im Verh"altnis des goldenen Schnitts.
Man pr"ufe diese elementargeometrisch leicht einzusehende Behauptung
durch algebraische Rechnung.\label{RFE} 
Hinweis: Der  goldene Schnitt
ist die positive L"osung der Gleichung
$a/1 = (1+a) /a$ alias $a^{2}-a-1 =0,$
seine geometrische Bedeutung wurde in \eref{FiFo}{EIN} erkl"art.
Es gilt zu zeigen, da"s f"ur
$\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/5}$ der Ausdruck $a =|1-\zeta^{2}|/|1-\zeta|=
|1+\zeta|$ 
die fragliche Gleichung l"ost.
Man verwende $\zeta^4=\bar{\zeta}$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
In einem regelm"a"sigen Siebeneck sei $a$ der Abstand von einer Ecke zur n"achsten Ecke, $b$ der Abstand
zur "ubern"achsten Ecke, und $c$ der Abstand zur "uber"ubern"achsten Ecke.
Man zeige
\begin{equation*}
\frac{1}{a} = \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}
\end{equation*}
In Formeln zeige man f"ur $\zeta  = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/7}$ die Identit"at
$|1 - \zeta |^{-1} = |1-\zeta ^2|^{-1} + |1 - \zeta ^3|^{-1}$.
\end{Ubunge}



\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUbSin}\\[4mm]
\noindent 
Die "Uberlagerung zweier Sinuswellen mit nahe beieinanderliegender
Periode. Rechnerisch finden wir etwa die Identit"at
$$\op{e}^{\op{i}\omega_1 t} + \op{e}^{\op{i}\omega_2 t}=
\op{e}^{\op{i}(\omega_1-\omega_2)t/2}(\op{e}^{\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2}
+\op{e}^{-\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2})$$
und durch Betrachtung der Imagin"arteile beider Seiten
$$\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)=2\sin((\omega_1-\omega_2)t/2)
\cos((\omega_1+\omega_2)t/2)$$
Liegen hier $\omega_1$ und $\omega_2$ nah beieinander, so ergibt sich
f"ur diesen Ausdruck als Funktion von $t$ 
das obige Bild, in dem sich anschaulich gesprochen immer abwechselnd beide
Sinuswellen einmal gegenseitig ausl"oschen und dann wieder 
addieren. Man kann das auch mit eigenen Ohren 
erfahren, wenn man sich von zwei Kommilitonen
zwei nahe beieinanderliegende T"one vorsingen l"a"st: Es ist dann
so eine Art Wummern zu h"oren, das eben mit der Frequenz $\omega_1-\omega_2$
geschieht.
\end{figure}
\begin{Ubunge}
Die Nullstellen des komplexen Sinus liegen alle auf der reellen Achse.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{WeSi}
Man leite einige Formeln der nachstehenden Tabelle her. 

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
  & $\sin$ & $\cos$ \\ \hline
  &&\\
$\pi$ & $0$ & $-1$ \\[2mm]
$\pi/2$ & $1$ & $0$ \\[2mm]
$\pi/3$ & $\sqrt{3}/2$ & $1/2$ \\[2mm]
$\pi/4$ & $1/\sqrt{2}$ & $1/\sqrt{2}$ \\[2mm]
$\pi/5$ & $\sqrt{5-\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ & $(\sqrt{5}+1)/4$ \\[2mm]
$\pi/6$ & $1/2$ & $\sqrt{3}/2$ \\[2mm]
$\pi/7$ & ? & ? \\[2mm]
$\pi/8$ & $\sqrt{\frac{1}{2} - \sqrt{2}}$ & 
$\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$ \\[2mm]
$\pi/9$ & ? & ? \\[2mm]
$\pi/10$ & $(\sqrt{5}-1)/4$ & $\sqrt{5+\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ \\[2mm]
$\pi/11$ & ? & ? 
\end{tabular}
\end{center}
%\\
%\noindent
Man bemerkt, da"s sich f"ur $\op{cos}(\pi/5)$ gerade die
H"alfte unseres \glqq goldenen Schnitts\grqq\  aus \ref{RFE} ergibt.
Bei der Bestimmung der Werte f"ur $\pi/5$ und $\pi/10$ mag 
man von
nebenstehendem Bild ausgehen, das insbesondere bei der Bestimmung von 
$\sin(\pi/10)$ helfen sollte. 
Wir zeigen in \eref{SIUU}{AL}, warum 
es unm"oglich ist,
 Formeln derselben Bauart auch f"ur $\sin(\pi/7)$ oder $\sin(\pi/9)$
oder $\sin(\pi/11)$  anzugeben. 
\end{Ubunge}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildsin}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zur Berechnung von $\sin(\pi/10)$
\end{figure}
\begin{Ubunge}\label{sin3}
  Man zeige mit der Euler'schen Gleichung \ref{dsc} die Identit"at
  $\sin^3\vartheta=\frac{3}{4}\sin\vartheta-\frac{1}{4}\sin(3\vartheta)$.  
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{sin3n}
  Man zeige, da"s der Sinus keine Polynomfunktion ist. 
\end{Ubunge}






%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN1"
%%% End: