\section{Stetigkeit, ALTE FASSUNG} \subsection{Definition und erste Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{VSTE} Abbildungen mit Werten in irgendeiner Art von Zahlen nennen wir {\bf Funktionen}.\index{Funktion} Wir erlauben hier auch Werte in $\overline{\DR}$. Wollen wir besonders betonen, da"s nur reelle Zahlen als Werte angenommen werden, so sprechen wir von {\bf reellwertigen Funktionen}. Reellwertige Funktionen auf der reellen Zahlengeraden kann man sich auf mindestens vier verschiedene Arten vorstellen: \begin{enumerate} \item In der Schule ist es "ublich, eine Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$ durch ihren Graphen $\Gamma(f)=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid y=f(x)\}$ zu veranschaulichen, also durch eine Teilmenge der Ebene $\Bbb{R}^2$. \item In der Physik ist es "ublich, sich eine Abbildung $f:\Bbb{R}\ra X$, $t\mapsto f(t)$ von $\Bbb{R}$ in irgendeine Menge $X$ vorzustellen als ein Teilchen, das sich im Raum $X$ bewegt und sich zur Zeit $t$ f"ur lateinisch \glqq tempus\grqq\ am Punkt $f(t)$ befindet. In unserem Fall h"atten wir uns also ein Teilchen vorzustellen, das sich auf der Zahlengerade $X=\Bbb{R}$ bewegt. \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAA} \\[5mm] \noindent Vier verschiedene Anschauungen f"ur eine reellwertige Funktion einer reellen Ver"anderlichen am Beispiel des Absolutbetrags $x\mapsto |x|$ \end{figure} \item Eine reellwertige Funktion auf einer beliebigen Menge kann man sich als eine Temperaturverteilung auf besagter Menge vorstellen, im vorliegenden Fall also als eine Temperaturverteilung auf der reellen Zahlengeraden. \item In der Mathematik ist es auch n"utzlich, sich eine Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$ wirklich als Abbildung der Zahlengerade auf sich selber vorzustellen. Als Beispiel betrachten wir den Absolutbetrag, der als Abbildung aufgefa"st den negativen Teil der Zahlengerade auf den positiven Teil her"uberklappt. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Beliebige Abbildungen $\DR\ra\DR$ k"onnen wild aussehen, man denke nur etwa an die Abbildung, die jeder rationalen Zahl den Betrag ihres Nenners nach vollst"andigem K"urzen zuordnet und jeder irrationalen Zahl ihre f"unfte Nachkommastelle. Wir f"uhren nun die \glqq stetigen Funktionen\grqq\ ein und zeigen insbesondere, da"s f"ur stetige auf einem Intervall definierte und injektive Funktionen auch ihr Bild ein Intervall ist und die Umkehrfunktion stetig. Das liefert uns dann viele neue Funktionen als Umkehrfunktionen bereits bekannter Funktionen. Anschaulich ist eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall stetig genau dann, wenn man \glqq ihren Graphen zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen\grqq. Diese Anschauung werden wir im Folgenden pr"azisieren. Wir erinnern an den Umgebungsbegriff aus \ref{eU}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}%\label{DeSta} Seien $D \subset \overline{\Bbb{R}}$ eine Teilmenge und $f :D \ra \overline{\Bbb{R}}$ eine Funktion. Gegeben ein Punkt $p\in D$ hei"st unsere Funktion {\bf stetig bei} $p$, wenn es f"ur\label{DeSt} jede Umgebung $U$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'$ von $p$ gibt mit $f(U'\cap D)\subset U$. Unsere Abbildung hei"st {\bf stetig}\index{stetig!f"ur Funktion auf $D\subset\overline{\DR}$} (englisch \defind{continuous}, franz"osisch \defind{continue}), wenn sie stetig ist bei jedem Punkt $p\in D$. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSTE}\\[4mm] \noindent In diesem Bild habe ich f"ur \emph{eine} Umgebung $U$ von $f(p)$ mal eine m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ eingezeichnet. Stetigkeit bei $p$ bedeutet jedoch sehr viel st"arker, da"s wir f"ur \emph{jede} Umgebung $U$ von $f(p)$ eine in der in \ref{DeSt} pr"azisierten Weise m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ finden k"onnen. Fett eingezeichnet ist auf der $x$-Achse der Definitionsbereich $D$ unserer Funktion $f$, der Punkt $p$ ist sein kleinstes Element. Auf dem Graphen von $f$ habe ich den Teil "uber $U'\cap D$ fett eingezeichnet, damit man gut sehen kann, da"s in der Tat gilt $f(U'\cap D)\subset U$. Unsere eigentlichen $U$ und $U'$ sind die Projektionen der so bezeichneten \glqq freischwebenden Intervalle\grqq\ auf die jeweiligen Koordinatenachsen, was ich versucht habe, durch die gestrichelten Linien anzudeuten. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{DeSF} Wir vereinbaren diese Definition gleich im Fall einer Teilmenge $D \subset \overline{\Bbb{R}}$ und einer Funktion $f :D \ra \overline{\Bbb{R}}$, weil so der Zusammenhang mit dem Grenzwertbegriff in \ref{UER} in voller Allgemeinheit dargestellt werden kann. Wie bei Folgen reicht es auch hier, die Existenz von $U'$ f"ur alle Umgebungen $U$ einer Umgebungsbasis von $f(p)$ zu zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{SSt} F"ur alle $D\subset\overline{\Bbb{R}}$ ist die Einbettung $i:D \hra \overline{\Bbb{R}}$, $x \mapsto x$ stetig. Der Absolutbetrag $\op{abs}: {\Bbb{R}} \ra {\Bbb{R}}$, $x \mapsto |x|$ ist stetig. F"ur jedes $c \in \overline{\Bbb{R}}$ ist die konstante Funktion $c: \overline{\Bbb{R}} \ra \overline{\Bbb{R}}$, $x \mapsto c$ stetig. Die Funktion $f:\DR\ra\DR$ gegeben durch $f(x)=1$ f"ur $x\geq 0$ und $f(x)=0$ f"ur $x<0$ ist nicht stetig bei $p=0$, ihre Einschr"ankung auf $D=\DR^\times$ ist jedoch stetig. Die Funktion $f:\DR\ra\DR$ mit $f(x)=x$ f"ur $x\in\DQ$ und $f(x)=0$ f"ur $x\not\in\DQ$ ist nur an der Stelle $p=0$ stetig. \end{Beispiele} \begin{Satz} [\textbf{Die Verkn"upfung stetiger Funktionen ist stetig}] Seien genauer\label{VSte} $D,E\subset \overline{\DR}$ Teilmengen, $f: D\ra \overline{\DR}$, $g: E \ra \overline{\DR}$ Funktionen, und es gelte $f(D) \subset E$. Ist $f$ stetig bei einem Punkt $p\in D$ und $g$ stetig bei seinem Bild $f(p)$, so ist auch $g\circ f : D \ra \overline{\DR}$, $x \mapsto g(f(x))$ stetig bei $p$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Genau genommen ist die Notation $g\circ f$ in der Formulierung von Satz \ref{VSte} im Sinne von \eref{VStea}{GR} nicht ganz korrekt: Wir m"u"sten eigentlich erst eine Abbildung $\tilde{f}:D\ra E$ definieren durch $\tilde{f}(x) = f(x)$ f"ur alle $x \in D$ und dann die Abbildung $g \circ \tilde{f}$ betrachten. Das ist nun jedoch meiner Ansicht nach ein Fall, in dem gr"o"sere Pr"azision nicht zur besseren Verst"andlichkeit beitr"agt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da $g$ stetig ist bei $f(p)$, finden wir f"ur jede Umgebung $U$ von $g(f(p))$ eine Umgebung $U'$ von $f(p)$ mit $g(U'\cap E)\subset U$. Da $f$ stetig ist bei $p$, finden wir f"ur diese Umgebung $U'$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'' $ von $p$ mit $f(U'' \cap D)\subset U'$. Damit finden wir in der Tat f"ur jede Umgebung $U$ von $(g\circ f)(p)$ eine Umgebung $U'' $ von $p$ mit $(g\circ f)(U'' \cap D)\subset U$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Einschr"ankungen stetiger Funktionen sind stetig. Ist genauer $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $f: D \ra \overline{\DR}$ stetig bei $p\in D$ und $E \subset D$ eine Teilmenge mit $p\in E$, so ist auch die Einschr"ankung $f|_{E} : E \ra \overline{\DR}$ stetig bei $p$. Das folgt einerseits sofort aus der Definition und andererseits auch aus dem vorhergehenden Satz \ref{VSte}, indem wir die Einschr"ankung als Verkn"upfung mit der nach \ref{SSt} stetigen Einbettung von $E$ schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft}] Wird eine Funktion stetig bei einem Punkt nach Einschr"ankung auf eine Umgebung des besagten Punktes, so war sie dort schon selbst stetig. Ist genauer und in Formeln $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $f: D \ra \overline{\DR}$ eine Funktion und $p\in D$ ein Punkt und gibt es eine Umgebung $U$ von $p$ derart, da"s die Einschr"ankung von $f$ auf $D \cap U$ stetig ist bei $p$, so ist auch $f: D \ra \overline{\DR}$ bereits stetig bei $p$. Um das zum Ausdruck zu bringen, sagt man dann etwas vage, die \glqq Stetigkeit sei eine lokale Eigenschaft\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium f"ur die Stetigkeit}] Sei $D\subset\DR$ eine Teilmenge, $f:D\ra\DR$ eine reellwertige Funktion und $p \in D$ ein Punkt.\label{ede} Genau dann ist $f$ stetig bei $p$, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon }) >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x\in D$ mit $|x-p| < \delta$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $. \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt sofort aus der Definition der Stetigkeit \ref{DeSt} und der Definition des Umgebungsbegriffs \ref{eU}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SK} Die Funktion $\Bbb{R}^{\times} \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ ist stetig. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist gerade die Aussage von \ref{SAMM}.\ref{SAM3}. \end{proof} %\begin{proof}[Beweis] %F"ur $p,x \in \Bbb{R}^{\times}$ gilt %$$\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{p}\right| = \frac{|p-x|}{|xp|} < %\frac{2\delta}{p^{2}}$$ falls $|p-x|< \delta < |p/2|$, denn %$|p-x| < |p/2|$ impliziert insbesondere $|x|>|p/2|$. %Gegeben $p\neq 0$ und $\varepsilon >0$ finden wir also $\delta = %\min (|p/2|, \varepsilon |p|^{2}/2 )$ derart, da"s aus $|x-p|<\delta$ %folgt $\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{p}\right| < \varepsilon $. %\end{proof} \begin{Lemma}\label{StE} Die Exponentialfunktion $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ ist stetig. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Die Stetigkeit der Exponentialfunktion k"onnen wir sp"ater auch aus dem allgemeinen Satz \ref{PR} folgern: Potenzreihen stellen auf ihrem Konvergenzbereich immer stetige Funktionen dar. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \ref{ede} an. Mit der Funktionalgleichung finden wir $$|\exp (x) - \exp (p) | = |\exp (p)| \cdot |\exp (x -p) - \exp (0)|$$ Nun beachten wir, da"s f"ur $|y| \leq 1$ gilt $$|\exp (y) -\exp (0)|=|y| \cdot \left| \sum^{\infty}_{i=1} \frac{y^{i-1}} {i!} \right| \leq|y| \cdot \sum^{\infty}_{i=1} \frac{|y|^{i-1}} {(i-1)!} \leq |y| \op{exp}(1)$$ wo wir im zweiten Schritt die Dreiecksungleichung sowie die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert verwenden und die Nenner verkleinern. Aus $|x-p| \leq 1$ folgt also $|\exp (x) - \exp (p)| \leq \exp(p)|x-p| \op{e}$ und f"ur gegebenes $\varepsilon > 0$ k"onnen wir mithin $\delta=\op{inf}\{1, \varepsilon/(\exp(p)\op{e})\}$ nehmen. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben reellwertige Funktionen $f,g:D\ra\Bbb{R}$ definieren wir die Funktionen $f+g, fg:D\ra\Bbb{R}$ durch $(f+g)(x)\pdef f(x)+g(x)$, $(fg)(x)\pdef f(x)\cdot g(x)$ $\forall x\in D$. \end{Definition} \begin{Satz} {\bf\em Summe und Produkt stetiger Funktionen sind stetig}.\label{SPSF} Ist genauer $D\subset \overline{\DR}$ gegeben und $p\in D$ ein Punkt und sind $f,g : D \ra \Bbb{R}$ stetig bei $p$, so sind auch $f+g$ und $ f g$ stetig bei $p$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Nehmen $f$ und $g$ allgemeiner Werte in $\overline{\DR}$ an und sind an jeder Stelle $x\in D$ die Summe $f(x)+ g(x)$ bzw.\ das Produkt $f(x)\cdot g(x)$ sinnvoll definiert im Sinne von \ref{GWU}, so gilt der Satz entsprechend mit fast demselben Beweis. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir zeigen das nur f"ur die Multiplikation, der Fall der Addition geht analog. Ist $W$ eine Umgebung von $f(p)g(p)$, so gibt es nach \ref{SAMM} Umgebungen $U$ von $f(p)$ und $V$ von $g(p)$ mit $U\cdot V\subset W$. Da sowohl $f$ als auch $g$ stetig sind bei $p$, gibt es weiter Umgebungen $U'$ und $V'$ von $p$ mit $f(U'\cap D)\subset U$ und $g(V'\cap D)\subset V$. Ihr Schnitt $U'\cap V'$ ist dann eine Umgebung $W'$ von $p$ mit $(fg)(W'\cap D)\subset W$. \end{proof} %\begin{proof}[Beweis] %Sei $\varepsilon >0$ beliebig vorgegeben. %Da $f$ und $g$ stetig sind bei $p$, finden wir $\delta >0$ derart, da"s gilt %$$\{ x \in D \text{ und } |x-p| < \delta\} \Rightarrow %\{ |f(x)-f(p)| < \varepsilon \text{ und } |g(x)-g(p)| < \varepsilon \}$$ %Aus $\{ x \in D \text{ und } |x-p| <\delta\}$ folgt dann weiter %$$\begin{array}{rcl} %|(f+g) (x) - (f+g)(p)| &=& |f(x)-f(p) + g(x)-g(p)|\\ %&\leq & |f(x)-f(p)|+ |g(x)-g(p)|\\ %&<& 2\varepsilon \\[4mm] % %|(fg) (x) - (fg)(p)| &=& |f(x)g(x)-f(p) g(p)|\\[2mm] %&=&|f(x)(g(x)-g(p))+(f(x)-f(p))g(p)|\\[2mm] %&\leq &|f(x)\|g(x)-g(p)|+|f(x)-f(p)\|g(p)|\\[2mm] %&<& (|f(p)|+1)\varepsilon +\varepsilon %|g(p)| \text{ falls } 0<\varepsilon <1\\[2mm] %&<& \varepsilon(|f(p)|+|g(p)|+1) \text{ falls } 0<\varepsilon <1 %\end{array}$$ %Man "uberlegt sich leicht, da"s diese Absch"atzungen die Stetigkeit von %$(f+g)$ und $fg$ bei $p$ implizieren. %\end{proof} \begin{Definition}\label{PolF} Wir nennen eine Funktion $\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ eine \defind{Polynomfunktion}, wenn es $a_0,a_{1},\ldots, a_n\in\Bbb{R}$ gibt derart, da"s unsere Funktion gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift $x\mapsto a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_0$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Jede Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n\in\DN}$, in der fast alle Folgenglieder Null sind, liefert uns eine Polynomfunktion. Nach \eref{PoFu}{LA1} %\ref{ZNP} liefern verschiedene Folgen auch stets verschiedene Funktionen. Im Licht dieser Tatsache werden wir unsere Polynomfunktionen meist k"urzer Polynome nennen, obwohl eigentlich der Begriff Polynom eher den formalen Ausdruck meint. Diese Unterscheidung ist aber erst in der Algebra wirklich von Belang. Wenn man zum Beispiel mit endlichen K"orpern arbeitet,so k"onnen verschiedene Folgen dieselbe Funktion liefern, vergleiche \eref{PoRi}{LA1}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkung}\label{WBPb} Das Wort \glqq Polynom\grqq\ kommt von der griechischen Vorsilbe \glqq poly\grqq\ f"ur \glqq viele\grqq\ und dem lateinischen Wort \glqq nomen\grqq\ f"ur \glqq Namen\grqq. Allgemeiner betrachtet man auch Polynome in mehreren Ver"anderlichen und meint damit Ausdr"ucke wie etwa $xyz+7x^2y^4 -12z+1$. Dieses Polynom ist die Summe der vier {\bf Monome}\index{Monom} $xyz$, $7x^2y^4$, $-12z$ und $1$, wobei das Wort \glqq Monom\grqq\ diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq mono\grqq\ f"ur \glqq allein\grqq\ gebildet ist. Einen Ausdruck wie $xyz+7x^2y^4$ w"urde man als {\bf Binom}\index{Binom} bezeichnen, diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq bi\grqq\ f"ur \glqq Zwei\grqq. Ein anderes Binom w"are der Ausdruck $(x+y)$, dessen Potenzen die \glqq binomische\grqq\ Formel \eref{BiFoA}{GR} explizit angibt. Es sollte klar sein, wie man aus unserer binomischen Formel auch Formeln f"ur die Potenzen eines beliebigen Binoms erh"alt. \end{Bemerkung} \begin{Korollar} Polynomfunktionen sind stetig. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das folgt induktiv aus dem vorhergehenden Satz \ref{SPSF}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Quotienten stetiger Funktionen sind stetig}] Ist genauer $D\subset \overline{\DR}$ eine Teilmenge und sind $f,g:D\ra\Bbb{R}$ stetig und hat $g$ keine Nullstelle in $D$, so ist auch die Funktion ${f}/{g}:D\ra\Bbb{R}$, $ x\mapsto {f(x)}/{g(x)}$ stetig. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $i:\Bbb{R}^{\times}\ra\Bbb{R}$ die Funktion $x\mapsto {1}/{x}$. Sie ist stetig nach \ref{SK}. Also ist auch $i\circ g:D\ra \Bbb{R},\; x\mapsto {1}/{g(x)}$ stetig, und dann auch das Produkt dieser Funktion mit der stetigen Funktion $f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Funktion, die sich als der Quotient eines Polynoms durch ein von Null verschiedenes Polynom darstellen l"a"st, hei"st eine {\bf rationale Funktion}.\index{Funktion!rationale} So eine Funktion ist a priori nat"ur\-lich nur da definiert, wo der Nenner nicht verschwindet, und ist nach dem vorhergehenden Korollar auf dem Komplement der Nullstellenmenge ihres Nenners stetig. Betrachten wir unsere rationale Funktion jedoch nicht als Abbildung, sondern als formalen Ausdruck, so verstehen wir unter ihrem Definitionsbereich die etwas gr"o"sere Menge, auf der \glqq nach maximalem K"urzen\grqq\ der Nenner keine Nullstellen hat, vergleiche \eref{DRF}{LA1}. Man beachte jedoch, da"s die hier gegebene etwas unscharfe Formulierung \glqq nach maximalem K"urzen\grqq\ eigentlich erst in \eref{PReF}{AL} gerechtfertigt wird, wo wir die Eindeutigkeit der \glqq Primfaktorzerlegung\grqq\ in Polynomringen diskutieren. Bleibt auch nach maximalem K"urzen noch ein nichtkonstantes Polynom im Nenner stehen, so spricht man von einer {\bf gebrochen rationalen Funktion}.\index{Funktion!gebrochen rationale} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SAS} Seien $I,J\subset \overline{\DR}$ Intervalle mit nichtleerem Schnitt und sei $f:(I\cup J)\ra\overline{\DR}$ eine Funktion. Man zeige: Sind die Einschr"ankungen $f|_I$ und $f|_J$ stetig, so ist auch $f$ selbst stetig. Im "ubrigen wird sich der \glqq schwierige\grqq\ Fall dieser "Ubung als Spezialfall von \ref{AbgSM} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s auf einem offenen Intervall jede konvexe Funktion stetig ist. Hinweis: Die graphische Darstellung zum Beweis von \ref{ZAK} mag helfen.\label{koste} \end{Ubung} \subsection{Umkehrfunktionen und Zwischenwertsatz} \begin{Definition}\label{MoAb} Eine Abbildung $f$ zwischen geordneten Mengen hei"st $$\begin{array}{lrrrl} \text{\bf monoton wachsend,}\index{monoton}& \text{wenn gilt} & x\leq y & \Rightarrow & f(x) \leq f(y)\\ \text{\bf streng monoton wachsend,}& \text{wenn gilt}& x< y& \Rightarrow & f(x)f(y) \end{array}$$ Eine Abbildung hei"st {\bf (streng) monoton}, wenn sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Das verallgemeinert unsere Begriffe f"ur Folgen aus \ref{MFol}. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{SUn} Seien $T\subset \overline{\Bbb{R}}$ eine Teilmenge und $g:T \ra \overline{\Bbb{R}}$ eine monotone Abbildung. Ist $g(T)$ ein Intervall, so ist $g$ stetig. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $g$ monoton wachsend. Gegeben $s\in T$ m"ussen wir f"ur jede Umgebung $U$ von $g(s)$ eine Umgebung $U'$ von $t$ finden mit der Eigenschaft $g(U'\cap T)\subset U$. Wir unterscheiden vier F"alle. \begin{enumerate} \item Ist $g(s)\in g(T)$ weder das gr"o"ste noch das kleinste Element, so umfa"st jede Umgebung $U$ von $g(s)$ ein Intervall der Gestalt $[y,z]$ mit $y0$ setzen wir\index{^@$a^x$ allgemeine Potenz} $$a^x \pdef \exp (x \log a)$$ Im Fall $x>0$ vereinbart man zus"atzlich $0^x=0$. Das f"uhrt dazu, da"s f"ur $x>0$ die Funktion $a\mapsto a^x$ sogar stetig ist auf $[0, \infty)$. Es f"uhrt allerdings auch dazu, da"s die Funktion $x\mapsto 0^x$ mit unserer Konvention $0^0=1$ zwar auf $[0, \infty)$ definiert aber bei $x=0$ \emph{nicht} stetig ist. Damit m"ussen wir nun weiterleben. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDefeax}\\[4mm] \noindent Dieses Bild stellt den unangenehm verzwickelten Bereich aller $(x,a)\in\DR^2$ dar, f"ur die $a^x$ definiert ist: Bei $x\in \DN$ sind das jeweils alle $a\in\DR$, bei ganzzahligem $x\in\DZ_{<0}$ nur alle $a\in \DR^\times$, bei reellem nichtganzen $x>0$ alle $a\geq 0$, bei reellem nichtganzen $x<0$ alle $a> 0$. Unangenehm ist die Unstetigkeitsstelle am Ursprung, auf der senkrechten Koordinatenachse ist ja nun unsere Funktion konstant Eins und auf der positiven waagerechten Koordinatenachse konstant Null. Diese Unstetigkeitsstelle ist aber auch die Einzige. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Man pr"uft ohne Schwierigkeiten die Formeln $a^0=1$, $a^{1}=a$ und $ a^{x+y} = a^{x}a^{y}$ und folgert insbesondere, da"s im Fall $a>0$ und $n\in\DZ$ oder $a\geq 0$ und $n\in \DZ_{\geq 1}$ das hier definierte $a^n$ "ubereinstimmt mit unserem $a^n$ aus der Tabelle am Ende von Abschnitt \eref{KFt}{GR}. F"ur beliebige $a,b>0$ und $ x,y\in\DR$ pr"uft man leicht die Rechenregeln $ a^{xy}=(a^{x})^{y}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und $\log(a^x)=x\log a$. Ist speziell $a=\op{e}$ die Euler'sche Zahl, so gilt $\log\op{e} =1$ und folglich $\exp (x)=\op{e}^x$. F"ur beliebige $a,b\geq 0$, $ x,y\in\DR_{>0}$ und $q\in\DN$, $q\geq 1$ pr"uft man ebensoleicht die Rechenregeln $ a^{xy}=(a^{x})^{y}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und $\sqrt[q]{a} = a^{1/q}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{LoB} Gegeben $a>0$ nennt man die Umkehrabbildung der Abbildung $x\mapsto a^x$ auch den {\bf Logarithmus zur Basis $a$} $$\log_a:(0,\infty)\ra\Bbb{R}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der nat"urliche Logarithmus ist also der Logarithmus mit der Euler'schen Zahl $\op{e}$ als Basis, in Formeln $\log=\log_{\op{e}}$. Der Logarithmus zur Basis $a$ l"a"st sich durch den nat"urlichen Logarithmus ausdr"ucken vermittels der Formel $\log_a x=\frac{\log x}{\log a}$. Man kommt deshalb meist mit dem nat"urlichen Logarithmus aus. Die Notation $\log_a$ ist konform mit der Norm ISO 31-11, in der zus"atzlich auch noch die Abk"urzung $\log_2=\op{lb}$\index{lb@$\op{lb}$} f"ur den {\bf bin"aren Logarithmus}\index{bin"arer Logarithmus} \index{Logarithmus!bin"arer} empfohlen wird. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe. Man zeige das {\bf Wurzelkriterium}:\index{Wurzelkriterium!f"ur Reihenkonvergenz} Gilt $\lim_{k\ra \infty} \sqrt[k]{|a_{k}|} <1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. Hinweis: Analog zum Beweis des Quotientenkriteriums. Meiner Erfahrung nach ist dies Kriterium in der Praxis selten von Nutzen, da es meist auf schwer zu bestimmende Grenzwerte f"uhrt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man folgere aus der Funktionalgleichung \ref{fglo} des Logarithmus die Formeln $\log (1) = 0$, $\log (x^{-1}) = -\log (x)$, $\log (x^{n}) = n\log (x)$ und $\log (\sqrt[q]{x}) = \frac{1}{q}\log (x)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $a\leq b$ aus $\overline{\DR}$ gegeben und sei $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig mit $f(b)=0$. Man zeige, da"s dann $f$ eine kleinste Nullstelle in $[a,b]$ hat. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{NUge} Jede Polynomfunktion $x\mapsto a_nx^n+\ldots + a_0$ mit $a_n\neq 0$ und $n$ ungerade besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. Ist $a_n>0$ und $a_0>0$, so besitzt sie sogar mindestens eine negative Nullstelle. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur $a>0$ die Identit"at $\lim_{n\ra \infty} n(1-\sqrt[n]{a})= \log a$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Bei einem radiokativen Material wird nach einem Tag nur noch $90\%$ der Strahlungsaktivit"at gemessen. Wie lange dauert es, bis die Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen ist? Nun, halten wir einen Referenzzeitpunkt beliebig fest, so wird die Aktivit"at nach Vergehen einer Zeitspanne $\tau$ gem"a"s "Uberlegungen wie in \ref{EEEb} gegeben durch eine Formel der Gestalt $M \op{e}^{c\tau}$ mit unbekannten $M$ und $c$. Wir k"urzen die Zeiteinheit \glqq Stunde\grqq\ ab mit dem Buchstaben $\op{h}$ f"ur lateinisch \glqq hora\grqq. Formal ist $\op{h}$ eine Basis des in \eref{ZSV}{GR} angedachten eindimensionalen reellen Vektorraums \glqq aller Zeitspannen\grqq, und formal ist auch $M$ ein Element eines gedachten eindimensionalen reellen Vektorraums \glqq aller Strahlungsaktivit"aten\grqq\ und $c$ liegt im Raum der Linearformen auf dem Raum aller Zeitspannen, in dem wir mit $\op{h}^{-1}$ dasjenige Element bezeichnen werden, das auf $\op{h}$ den Wert Eins annimmt. So formal will ich hier aber eigentlich gar nicht werden und schreibe das Auswerten solch einer Linearform auf einer Zeitspanne schlicht als Produkt. F"ur $\tau=24 \op{h}$ wissen wir nun nach unserer Messung $M \op{e}^{c \cdot 24\op{h}} = \frac{90}{100} M$ und damit $c = ((\log 9/10) / 24)\op{h}^{-1}$. Bezeichnet $t$ die Zeitspanne, nach der die Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen ist, so haben wir also $M \op{e}^{c t} = M/2$ alias $ c t =- \log 2 $ und damit $$t = -\frac{\log 2}{c } = \frac{-\log (2) \cdot 24}{\log (9/10)}\op{h} $$ \end{Beispiel} \begin{Ubunge} Das eingestrichene A liegt bei $440$ Herz. Bei wieviel Herz etwa liegt das eingestrichene F? Hinweis: Die L"osung dieser Aufgabe ben"otigt zus"atzlich zu mathematischen Kenntnissen auch physikalische und musikalische Vorkenntnisse. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Versteht man eine positive reelle Zahl als das Verh"altnis zweier gleichartiger Gr"o"sen, so sagt man f"ur den Zehnerlogarithmus besagter Zahl auch, er \glqq dr"ucke das Verh"altnis in {\bf Bel}\index{Bel} aus\grqq. Diese Sprechweise ehrt Alexander Graham Bell, der das Telephon einf"uhrte. So k"onnte man etwa sagen, das Verh"altnis von Gramm zu Kilo betrage $3$ Bel, statt von einem Verh"altnis von Eins zu Tausend alias $1$ zu $10^3$ zu reden. Das Verh"altnis von Kilo zu Tonne betr"agt nat"urlich auch $3$ Bel, und das Verh"altnis von Gramm zu Tonne folglich $6$ Bel. H"aufig redet man auch von {\bf Dezibel}\index{Dezibel} alias \glqq zehntel Bel\grqq. Das ist jedoch \glqq multiplikativ\grqq\ zu verstehen, ein Verh"altnis von $1$ Dezibel meint also ein Verh"altnis von Eins zu $\sqrt[10]{10} \approx 1,\!26$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Physikalisch beschreibt man eine Lautst"arke durch die Leistung, die sie etwa an einer Membran verrichtet. Gibt man eine Lautst"arke in Dezibel an, so ist allerdings das Verh"altnis des Quadrats dieser Leistung zum Quadrat der Leistung einer Standardlautst"arke gemeint. Diese Standardlautst"arke ist so vereinbart, da"s sie etwa bei der H"orschwelle eines menschliches Ohrs liegt. Eine Lautst"arke von Null Dezibel bedeutet also, da"s ein gesunder Mensch das Ger"ausch so gerade noch h"oren kann, und jede Erh"ohung einer Lautst"arke um zwanzig Dezibel bedeutet, da"s das Ohr zehnmal soviel Leistung aufnehmen wird. Bei einer Erh"ohung um zehn Dezibel wird das Ohr also $\sqrt{10}\approx 3$ mal soviel Leistung aufnehmen. \end{Bemerkunge} \subsection{Grenzwerte von Funktionen}\label{UER} \begin{Definition}\label{HaP} Sei $D \subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $p \in{\overline{\Bbb{R}}} $ hei"st ein {\bf H"aufungspunkt}\index{H"aufungspunkt!von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$} {\bf von $D$ in ${\overline{\Bbb{R}}}$}, wenn jede Umgebung von $p$ mindestens einen von $p$ verschiedenen Punkt mit $D$ gemeinsam hat. Diejenigen Punkte von $D$, die keine H"aufungspunkte von $D$ sind, hei"sen {\bf isolierte Punkte von} $D$.\index{isolierter Punkt} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ich finde es verwirrend, da"s ein H"aufungpunkt von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$ nicht notwendig ein Punkt von $D$ zu sein braucht. Ich will jedoch unter einem {\bf H"aufungpunkt von $D$} stets einen H"aufungpunkt von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$ verstehen, der auch tats"achlich in $D$ liegt. Wenn ich das besonders betonen will, rede ich von einem {\bf internen H"aufungpunkt von $D$}.\index{H"aufungspunkt!interner} Manche Autoren erkl"aren zus"atzlich noch die \glqq H"aufungspunkte einer Folge\grqq\ als die Punkte aus ${\overline{\Bbb{R}}}$ mit der Eigenschaft, da"s in jeder ihrer Umgebungen unendlich viele Folgenglieder liegen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Die Menge der ganzen Zahlen $\DZ$ besteht aus isolierten Punkten und hat in $\Bbb{R}$ keine H"aufungspunkte. In ${\overline{\Bbb{R}}}$ hat sie jedoch die beiden H"aufungspunkte $\pm \infty$. In einem halboffenen, d.h. nicht aus einem einzigen Punkt bestehenden Intervall von ${\overline{\Bbb{R}}}$ ist jeder Punkt ein H"aufungspunkt. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren f"ur die Differenz einer Menge $X$ und einer einpunktigen Menge $\{p\}$ die abk"urzende Schreibweise $X\backslash\{ p\} =X\backslash p$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $D \subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge. Genau dann ist $p\in {\overline{\Bbb{R}}}$ H"aufungspunkt von $D$, wenn es eine Folge reeller Zahlen $x_{n}$ in $D\backslash p$ gibt mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$. In der Tat finden wir f"ur jedes $p\in\overline\DR$ eine absteigende Folge\label{HPGW} $U_0\supset U_1\supset\ldots$ von Umgebungen von $p$ derart, da"s jede Umgebung von $p$ eine dieser Umgebungen umfa"st. Gibt es in $D\cap U_n$ jeweils einen von $p$ verschiedenen Punkt $x_n$, so bilden diese eine gegen $p$ konvergierende Folge aus $D\backslash p$. Gibt es umgekehrt eine derartige Folge, so mu"s jede Umgebung von $p$ fast alle Folgenglieder und damit mindestens einen von $p$ verschiedenen Punkt aus $D$ enthalten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLim}\\[4mm] \noindent Der Grenzwert oder Limes einer Funktion mit einer \glqq Fehlstelle\grqq\ in ihrem Definitionsbereich ist, wenn er existiert, der Wert an der fraglichen Fehlstelle der einzig m"oglichen dort stetigen Fortsetzung. \end{figure} \begin{Definition}[\textbf{Grenzwerte von Funktionen}]\label{GeFu} Sei $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in{\overline{\Bbb{R}}} $ ein H"aufungspunkt von $D$ und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. Sei $b$ ein weiterer Punkt aus ${\overline{\Bbb{R}}}$. Wir sagen, {\bf $f(x)$ strebt gegen $b$ f"ur} $x\ra p$ und schreiben $$\lim_{x\ra p} f(x) = b$$ genau dann, wenn es\index{lim@$\lim_{x\ra p}$ Grenzwert von Abbildung!von Teilmengen von $\overline{\mathbb R}$} f"ur jede Umgebung $W$ des Grenzwerts $b$ eine Umgebung $W'$ des Punktes $p$ gibt mit $f(W' \cap D\backslash p)\subset W$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man beachte, wie elegant es gelingt, hier die F"alle $\pm\infty$ mithilfe des Umgebungsbegriffs einzubinden. Nat"urlich reicht es auch hier wieder, die Existenz von $W'$ f"ur jedes $W$ aus einer Umgebungsbasis des Grenzwerts $b$ nachzuweisen. Ist $f$ auf ganz $D$ definiert, so meinen wir mit obiger Notation stets implizit den Grenzwert der Einschr"ankung von $f$ auf $D\backslash p$. Der Grund daf"ur, da"s wir Grenzwerte nur an H"aufungspunkten erkl"aren, ist das folgende Lemma. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Es gilt $\lim_{x\ra \infty} x =\infty$, wir k"onnen ja in diesem Fall schlicht $W'=W$ nehmen. F"ur eine konstante Funktion $f(x)=c$ gilt $\lim_{x\ra p} c =c$, hier k"onnen wir f"ur jedes $W$ einfach $W'=\overline{\DR}$ nehmen. F"ur $D =\DN$ und $p=\infty$ spezialisiert der eben eingef"uhrte Grenzwertbegriff zu unserem Grenzwertbegriff f"ur Folgen aus \ref{GDK}. \end{Beispiele} \begin{Lemma}[\textbf{Eindeutigkeit des Grenzwerts}] Seien $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge,\label{EGU} $p\in {\overline{\Bbb{R}}}$ ein H"aufungspunkt von $D$ und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. So folgt aus $\lim_{x\ra p} f(x) = a$ und $\lim_{x\ra p} f(x) =b$ bereits $a=b$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Durch Widerspruch. W"are $a\neq b$, so g"abe es Umgebungen $V$ von $a$ und $W$ von $b$ mit $V\cap W = \emptyset$. Wir f"anden Umgebungen $V'$ und $W'$ von $p$ mit $f(V'\cap D\backslash p)\subset V$ und $f(W'\cap D\backslash p)\subset W$, mithin g"alte $$f(V'\cap W'\cap D\backslash p) = \emptyset$$ Da aber $V'\cap W'$ eine Umgebung von $p$ ist und $p$ ein H"aufungspunkt von $D$ gilt notwendig $V'\cap W'\cap D\backslash p \neq \emptyset$. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Der Grenzwert einer Funktion f"ur $x\ra p$ h"angt nur von ihrem Verhalten in einer Umgebung von $p$ ab. Ist genauer $p\in {\overline{\DR}}$ H"aufungspunkt einer Teilmenge $D\subset{\overline{\DR}} $ und $f:D\backslash p\ra{\overline{\DR}}$ eine Funktion und $U$ eine Umgebung von $p$, so existiert $\lim_{x\ra p} f $ genau dann, wenn $\lim_{x\ra p} f|_{U\cap D\backslash p} $ existiert, und unter diesen Umst"anden stimmen die beiden Grenzwerte "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Grenzwerte und Stetigkeit}]\label{LS} Sei $D\subset{\overline{\DR}} $ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt von $D$ und $f:D\backslash p\ra{\overline{\DR}}$ eine Funktion. Genau dann gilt $\lim_{x\ra p} f (x) = b$ f"ur ein $b\in{\overline{\DR}}$, wenn die Fortsetzung von $f$ auf $D$ durch $f (p) =b$ stetig ist bei $p$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus unseren Definitionen \ref{DeSt} und \ref{GeFu}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{GSS} In anderen Worten ist eine Funktion $f:D\ra \overline{\DR}$ stetig bei einem H"aufungspunkt $p\in D$ von $D$ genau dann, wenn gilt $\lim_{x\ra p} f (x) = f(p)$. Salopp gesprochen verh"alt es sich demnach so, da"s eine Funktion mit einer einpunktigen Definitionsl"ucke an einem H"aufungspunkt ihres Definitionsbereichs auf h"ochstens eine Weise stetig in diese Definitionsl"ucke hinein fortgesetzt werden kann. Der Wert dieser an besagter Stelle stetigen Fortsetzung hei"st dann der Grenzwert unserer Funktion an besagter Stelle. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir zeigen $\lim_{x\ra \infty} 1/x =0$. In der Tat, f"ur jede Umgebung $W$ von $0$ gibt es $\varepsilon >0$ mit $(-\varepsilon, \varepsilon) \subset W$, und nehmen wir als Umgebung $W'$ von $\infty$ die Menge $W' = ({1}/{\varepsilon},\infty]$, so gilt offensichtlich $x \in W' \Rightarrow {1}/{x} \in W$. Alternativ k"onnen wir auch wie folgt argumentieren: Die Funktion $[0,\infty]\ra [0,\infty]$ mit $x\mapsto 1/x$ f"ur $00$ folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion und indem man f"ur ein logisch vollst"andiges Argument die folgende Gleichungskette von hinten nach vorne liest $$\begin{array}{ccl} \lim_{n\ra \infty}\sqrt[n]{a} &=& \lim_{n\ra \infty} \exp \left(\frac{1}{n} \log a \right)\\[2mm] &=& \exp \left( \lim_{n\ra \infty} \frac{1}{n} \log a\right)\\[2mm] &=& \exp (0) \\[2mm] &=& 1 \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{GWSt} Es gibt noch weitere M"oglichkeiten, aus dem Zusammenhang zwischen Grenzwert und Stetigkeit \ref{LS} sowie der Stetigkeit der Verkn"upfung stetiger Funktionen \ref{VSte} "ahnliche Aussagen abzuleiten. Zusammen mit der bereits als \ref{VSTF} ausf"uhrlicher besprochenen Aussage erh"alt man so insbesondere die drei Implikationen \begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \left( \lim_{x \rightarrow q} g(x) =p \text{ und $f$ stetig bei }p \right) & \Rightarrow &\lim_{x \rightarrow q} f(g(x)) =f(p)\\[2mm] \left(g \text{ stetig bei } q \text{ und } \lim_{y\rightarrow g(q)} f(y) =b\right) & \Rightarrow & \lim_{x \rightarrow q} f(g(x)) =b\\[2mm] \left( \lim_{x \rightarrow q} g(x) =p \text{ und } \lim_{y\rightarrow p} f(y) =b \right) & \Rightarrow &\lim_{x \rightarrow q} f(g(x)) =b \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{LRGr} Gegeben eine Teilmenge $D\subset\DR$, die ein nichtleeres offenes Intervall $(a,b)$ umfa"st, und eine Funktion $f:D\ra\overline{\Bbb{R}}$ verwenden wir eine spezielle Notation, wenn wir den Grenzwert f"ur $x\ra a$ oder $x\ra b$ ihrer Restriktion auf $(a,b)$ untersuchen wollen. Wir sprechen dann vom {\bf linksseitigen}\index{Grenzwert!linksseitiger Grenzwert} beziehungsweise vom {\bf rechtsseitigen Grenzwert} \index{Grenzwert!rechtsseitiger Grenzwert} und notieren diese Grenzwerte \index{lim@$\lim_{x \searrow p}$ rechtsseitiger Grenzwert} \index{lim@$\lim_{x \nearrow p}$ linksseitiger Grenzwert} $$\lim_{x\ra b}f|_{(a,b)}\pdef\lim_{x \nearrow b} f (x)\;\;\;\text{ und } \;\;\;\lim_{x\ra a}f|_{(a,b)}\pdef\lim_{x \searrow a} f (x)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Es gilt $\lim_{x \searrow 0} 1/x = \infty$ und $\lim_{x\nearrow 0} {1}/{x} = - \infty$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein ein nichtleeres offenes Intervall $(c,d)$ und ein Punkt $p\in (c,d)$ und eine Funktion $f:(c,d)\backslash p\ra\overline{\Bbb{R}}$ existiert der Grenzwert bei $p$ genau dann, wenn dort der linkseitige Grenzwert und der rechtseitige Grenzwert existieren und "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in $\DR$}]\index{Gruppenweg!in $\DR$} Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SRR} $\DR\ra\DR$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen $x\mapsto \lambda x$ f"ur beliebiges aber festes $\lambda \in \Bbb{R}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $F : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus, als da hei"st eine stetige Abbildung mit $F (x+y) = F(x) + F(y) \quad \forall x,y \in \Bbb{R}$. Es reicht zu zeigen, da"s $F$ die Gleichung $F(x) = x F(1)$ erf"ullt. Auch ohne die Stetigkeit von $F$ zu benutzen, folgern wir $F (q) = q F (1)$ zun"achst f"ur alle $q \in \DN$, dann f"ur alle $q \in \DZ$, dann f"ur alle $q \in \DQ$. Um unsere Gleichung $F(x) = x F (1)$ sogar f"ur alle $x \in \Bbb{R}$ zu zeigen, w"ahlen wir eine Folge $q_{n}$ von rationalen Zahlen mit $\lim_{n\ra \infty} q_{n} = x $ und erhalten $F(x) = \lim_{n\ra \infty} F(q_{n}) = \lim_{n\ra \infty} q_{n} F(1) = x F(1)$, also $F(x)=\lambda x$ f"ur $\lambda=F(1)$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in $\DR^\times$}]\index{Gruppenweg!in $\DR^\times$} Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SRR1alt} $\DR\ra\DR^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$ f"ur beliebiges aber festes $a\in \DR_{>0}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $G : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^\times$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus, als da hei"st eine stetige Abbildung mit $G(x+y) = G (x) G(y) \quad \forall x,y \in \Bbb{R}$, so bildet $G$ nach \eref{BNE} {GR} notwendig das neutrale Element auf das neutrale Element ab, in Formeln $G(0)=1$. Mit dem Zwischenwertsatz folgt $G(x) > 0 \quad \forall x \in \Bbb{R}$. Damit k"onnen wir den Gruppenhomomorphismus $F = \log \circ G:\DR\ra\DR$ bilden und aus \ref{SRR} folgt sofort $F(x) = x F(1)$, also $G(x) = \exp (F(x))= \exp (xF(1))=\exp (x \log G(1))$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Rechenregeln f"ur Grenzwerte}]\label{BL} Sei $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt und seien $f, g : D\backslash p \ra \Bbb{R}$ reellwertige Funktionen mit reellen Grenzwerten $\lim_{x\ra p} f (x) = b$ und $\lim_{x\ra p} g (x) = c$. So gilt $\lim_{x\ra p}(f + g)(x) = b +c$ und $ \lim_{x\ra p} (f g) (x) =bc$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Quetschlemma}]\index{Quetschlemma} \label{BL2} Sei $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt und seien $f,g,h : D\backslash p \ra \overline{\DR}$ Funktionen mit $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ f"ur alle $ x\in D\backslash p $. So folgt aus $\lim_{x\ra p}f(x) =b= \lim_{x\ra p}h(x)$ schon $\lim_{x\ra p}g(x) = b$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Aus dem Quetschlemma \ref{BL2} und der Darstellung von $\op{e}^x$ durch die Exponentialreihe folgt $\lim_{x \rightarrow \infty} \op{e}^x = \infty$. Aus \ref{LS} und \ref{SU} folgt dann $\lim_{y\rightarrow \infty} \log y = \infty$. Das Quetschlemma mit der Darstellung von $\op{e}^x$ duch die Exponentialreihe liefert auch $\lim_{x \rightarrow \infty} (x/\op{e}^x) =0$ und durch Substitution $x =\log y$ und \ref{LS} und \ref{VSte} folgt dann $\lim_{y \rightarrow \infty} (\log y/y)=0$. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{lWU} Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(x^a/b^x)=0$ f"ur alle $a\in \DR$ und $b>1$. Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(\log x/ x^c)=0$ f"ur alle $c>0$. Man zeige $\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{n}=1$. Man zeige $$\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{\frac{(5n)!}{(n!)^5}}=5^5$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert}] Sei $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt\label{EUGA} und seien $f, g : D\backslash p \ra \overline{\DR}$ zwei Funktionen, die Grenzwerte besitzen f"ur $x\ra p$. Gilt $f(x)\leq g(x)$ f"ur alle $x\in D\backslash p$, so folgt $\lim_{x\ra p} f (x) \leq\lim_{x\ra p} g (x) $. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PFKO} Gilt f"ur eine durch ein Polynom vom Grad $\leq n$ gegebene Funktion $f(x)=a_n x^n+ \ldots + a_1 x+a_0$ und ein $p\in\DR$ die Formel $\lim_{x\ra p}f(x)/(x-p)^n=0$, so folgt $a_0=a_1=\ldots =a_n=0$. Hinweis: Durch Verschieben kann man sich auf den Fall $p=0$ zur"uckziehen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{SRR2} Die monotonen Gruppenhomomorphismen $\DR\ra\DR^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die stetigen Gruppenhomomorphismen, also genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$ f"ur festes $a\in \DR_{>0}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man finde alle stetigen Funktionen $G:\Bbb{R}^\times\ra\Bbb{R}$ mit $G(xy)=G(x)+G(y)\;\;\forall x,y\in\Bbb{R}^\times$, also alle stetigen Gruppenhomomorphismen von der multiplikativen Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen in die additive Gruppe aller reellen Zahlen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die Aussage der vorhergehenden S"atze \ref{SRR} und \ref{SRR1} sogar folgt, wenn wir von unseren Gruppenhomomorphismen nur die Stetigkeit bei Null fordern. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $L\subset\DR$ eine Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen ohne reelle H"aufungspunkte. So gibt es $\alpha\in\DR$ mit $L=\DZ\alpha$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Folgenkriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}] Sei $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in D$ ein H"aufungspunkt\label{GeFuU} und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. So gilt $\lim_{x\ra p} f(x) = b$ genau dann, wenn f"ur jede Folge $x_n$ in $D\backslash p$ mit $x_n\ra p$ gilt $f(x_n)\ra b$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Cauchy-Kriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}] Sei $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in D$ ein H"aufungspunkt und $f: D\backslash p \ra {{\Bbb{R}}}$ eine reellwertige Funktion.\label{GWQ} Genau dann existiert der Grenzwert $\lim_{x\ra p} f(x)$ und ist eine reelle Zahl, wenn es f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung $U=U_\varepsilon$ von $p$ gibt mit $(a,b\in U\cap D\backslash p)\RA |f(a)-f(b)|<\varepsilon$. \end{Ubung} \subsection{Trigonometrische Funktionen}\label{eC} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExC} \\ \noindent Auch f"ur komplexes $z$ zeigt man wie in \ref{EEE} die Formel $$\exp (z) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{z}{n} \right)^{n}$$ Das obige Bild stellt unter anderem den vierten Term dieser Folge im Fall $z=\op{i}$ dar. Ich finde, man kann recht gut erkennen, wie diese Folge bei wachsendem $n$ gegen den Punkt auf der Kreislinie konvergiert, f"ur den das Segment der Kreislinie, das von ihm zur reellen Achse herunterl"auft, die L"ange Eins hat. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den K"orper $\DC=\{x+{\op{i}}y\mid x,y\in\DR\}$ der komplexen Zahlen aus \eref{CCZ}{LA1} oder \eref{KRCC}{GR}. Ich erinnere an die komplexe Konjugation, den durch $z=x+{\op{i}}y\mapsto \bar z=x-{\op{i}}y$ gegebenen K"orperautomorphismus von $\DC$, und die Norm $|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{x^2+y^2}$. Ich erinnere an Realteil $\op{Re}(x+{\op{i}}y)=x$ und Imagin"arteil $\op{Im}(x+{\op{i}}y)=y$. Ich erinnere schlie"slich an die Kreisgruppe $S^1\pdef \{x+{\op{i}}y\mid x^2+y^2=1\}$ aller komplexen Zahlen der Norm Eins. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jede komplexe Zahl $z \in \DC$ definieren wir eine weitere komplexe Zahl $\exp z \in \DC$ durch die Vorschrift $$\exp z \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} z^{k}$$ Aufgrund der Absch"atzungen $|\op{Re} z^{k}|,|\op{Im} z^{k}| \leq |z^{k}| = |z|^{k}$ konvergiert diese Reihe f"ur alle $z \in \DC$ nach dem Majorantenkriterium mit der reellen Exponen\-tialreihe als Majorante absolut in Real- und Imagin"arteil und wir erhalten folglich eine Abbildung $\exp : \DC \ra \DC,$ die {\bf komplexe Exponentialfunktion}\index{komplexe Exponentialfunktion}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion}] Man pr"uft genau wie in \ref{FdE} %\ref{APB} im Reellen auch im Komplexen\label{EKEm} die Funktionalgleichung $$\exp (z+w) = (\exp z) (\exp w)$$ In der Sprache der Algebra ausgedr"uckt ist die Exponentialabbildung also ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der komplexen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen komplexen Zahlen und man erh"alt insbesondere $\exp (-z) = (\exp z)^{-1}$. % Wie im Reellen \ref{StE} % zeigt man auch die Stetigkeit von $\exp : \DC \ra \DC$ % zun"achst im Nullpunkt "uber die Reihenentwicklung und dann % an jeder Stelle $z\in\DC$ mithilfe der Funktionalgleichung. Aus der Vertauschbarkeit der komplexen Konjugation mit Summe und Produkt folgern wir auch noch $$\exp ({\overline z}) =\overline{\exp z}\quad \forall z \in \DC$$ F"ur den Betrag von $\exp z$ erhalten wir dann $$\begin{array}{lcl} |\exp z|^{2} &=& \exp z \;{\overline{\exp z}}\\ &=& \exp z \;\exp \overline{z}\\ &=& \exp (z+\overline{z})\\ &=& \exp (2\op{Re} z) \end{array}$$ Folglich gilt $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ und speziell $|\exp (\op{i}t)| =1$ f"ur alle $t\in\Bbb{R}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in der Kreisgruppe}] Die Gruppenhomomorphismen $\DR\ra S^1$ mit stetigem Real- und Imagin"arteil von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die \hyperref[KrGr]{Kreisgruppe} sind genau die Abbildungen der Gestalt $t\mapsto \op{exp}(a{\op{i}}t)$ mit $a\in \DR$.\label{EplOO} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \ref{Metrik} definieren wir den Begriff einer stetigen Abbildung $\DR\ra\DC$, ja einer stetigen Abbildung zwischen beliebigen metrischen R"aumen. In dieser Terminologie bestimmt unser Satz alle stetigen Gruppenhomomorphismen von der reellen Zahlengeraden in die Kreisgruppe. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Aus \ref{EKEm} folgt unmittelbar, da"s $\gamma:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ ein Gruppenhomomorphismus mit Bild in der Kreisgruppe $S^1$ ist. Aus der Absch"atzung $$|\op{exp}({\op{i}}t)-\op{exp}({\op{i}}s)| =|\op{exp}({\op{i}}(t-s))-1|\leq \op{exp}(|s-t|)-1$$ folgt, da"s $\gamma$ stetigen Real- und Imagin"arteil hat. Unser Gruppenhomomorphismus ist auch nicht konstant, aus der Reihenentwicklung folgt etwa die Absch"atzung $\op{Re}(\op{exp}({\op{i}}))<1$. Aufgrund der Stetigkeit des Realteils gibt es folglich $c>0$ mit $\op{Re}\gamma(c)<1$ und $|t|\leq c \RA\op{Re}\gamma(t)>0$. Ist $\beta:\DR\ra S^1$ ein weiterer Gruppenhomomorphismus mit stetigem Realteil, so gibt es auch $b>0$ mit $|t|\leq b \RA\op{Re}\beta(t)\geq \op{Re}\gamma(c)$. Es folgt, da"s wir $g\in [-c,c]$ finden mit $\op{Re}\beta(b)=\op{Re}\gamma(g)$. Indem wir notfalls $g$ durch $-g$ ersetzen, d"urfen wir zus"atzlich $\op{Im}\beta(b)=\op{Im}\gamma(g)$ und damit $$\beta(b)=\gamma(g)$$ annehmen. Daraus aber folgt $\varphi(b/2)=\gamma(g/2)$, denn beide Seiten sind die eindeutig bestimmte Quadratwurzel aus $\beta(b)=\gamma(g)$ mit positivem Realteil. Induktiv folgt erst $\beta(b/2^n)=\gamma(g/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ und dann $\beta(mb/2^n)=\gamma(mg/2^n)$ f"ur alle $m\in \DZ$ und dann aufgrund der Stetigkeit $\beta(tb)=\gamma(tg)$ f"ur alle $t\in\DR$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bezug der komplexen Exponentialfunktion zur Kreiszahl}] Die Abbildung $\gamma:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\DR\sra S^1$\label{BezK} mit Kern $\op{ker}\gamma=2\pi\DZ$ f"ur unsere Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP}. \end{Satz} \begin{proof} Beim Beweis von \ref{EplOO} haben wir bereits gesehen, da"s alle Elemente mit Realteil nah bei Eins im Bild liegen m"ussen. Nach \eref{WeKr}{LA1} sind aber alle Elemente von $S^1$ Potenzen von Elementen mit Realteil beliebig nah bei Eins. Folglich ist $\gamma$ eine Surjektion. Setzen wir nun $\tilde\pi\pdef\op{inf}\{t>0\mid \gamma(t)=-1\}$, so gilt offensichtlich $\gamma(\tilde\pi)=\gamma(-\tilde\pi)=-1$, aber $\gamma$ nimmt auf dem offenen Intervall $(-\tilde\pi,\tilde\pi)$ den Wert $(-1)$ nicht an. So folgt $\op{ker}\gamma\cap (0,2\tilde\pi)=\emptyset$ und $2\tilde\pi\DZ\subset \op{ker}\gamma$. H"atten wir in $\op{ker}\gamma$ noch Elemente au"serhalb von $2\tilde\pi\DZ$, so m"u"sten wir darin auch Elemente aus $(0,2\tilde\pi)$ finden und erhielten einen Widerspruch. So folgt $\op{ker}\gamma=2\tilde\pi\DZ$ und es bleibt nur noch zu zeigen, da"s $\tilde\pi$ mit unserer Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP} "ubereinstimmt. Nun gilt sicher $\gamma(0)=1$ und $\gamma$ induziert eine Bijektion $\gamma:(-\tilde\pi,\tilde\pi]\sira S^1$. Der Imagin"arteil von $\gamma$ hat auf diesem Intervall also nur die beiden Nullstellen $0$ und $\tilde\pi$. Man "uberzeugt sich anhand der Reihenentwicklung, da"s gilt $\op{Im}(\gamma(t))>0$ f"ur $00}$ induziert, wissen wir bereits aus \ref{SurE}. Da nun jede von Null verschiedene komplexe Zahl $w$ sich schreiben l"a"st als Produkt $w=(w/|w|)|w|$ mit $w/|w|$ auf dem Einheitskreis und $|w|$ positiv, ist die Exponentialfunktion nach der Funktionalgleichung sogar ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\op{exp}:\DC\sra \DC^\times$. Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus, als da hei"st das Urbild des neutralen Elements $1\in \DC^\times$ besteht aufgrund unserer Gleichung $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ genau aus allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi{\op{i}}$, in Formeln $$\op{ker}(\exp)=2\pi{\op{i}}\DZ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir bestimmen mit dieser Erkenntnis die {\bf $n$-ten} {\bf Einheitswurzeln}\index{Einheitswurzel!in $\DC$}, als da hei"st die komplexen L"osungen der Gleichung $z^n=1$. Nach \ref{SurCE} hat jede L"osung die Gestalt $z=\op{e}^b$ f"ur geeignetes $b\in\DC$ und so ein $z$ l"ost unsere Gleichung genau dann, wenn gilt $z^n=\op{e}^{nb}=1$ alias $nb\in 2\pi\op{i}\DZ$. Wir erhalten so die L"osungen $\exp(2\pi\op{i}\nu/n)$ f"ur $\nu=0,1,\ldots, n-1$ und erkennen auch, da"s sie paarweise verschieden sind und es keine anderen L"osungen geben kann. In der komplexen Zahlenebene kann man sich die $n$-ten Einheitswurzeln veranschaulichen als die Ecken desjenigen in den Einheitskreis einbeschriebenen regelm"a"sigen $n$-Ecks, das als eine Ecke die $1$ hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{SHL} Der Satz von \defind{Hermite-Lindemann} sagt, da"s f"ur eine von Null verschiedene im Sinne von \ref{PiTr} algebraische komplexe Zahl $\alpha$ der Wert der Exponentialfunktion $\op{exp}(\alpha)$ stets transzendent ist. Daraus folgt sowohl, da"s die Euler'sche Zahl $\op{e}=\op{exp}(1)$ transzendent ist, als auch, da"s $2\pi\op{i}$ und damit nat"urlich auch $\pi$ transzendent sind, da n"amlich $\op{exp}( 2\pi\op{i})=1$ nicht transzendent ist. In etwas allgemeinerer Form sagt der Satz, da"s gegeben komplexe algebraische Zahlen $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$, die linear unabh"angig sind "uber $\DQ,$ die Werte der Exponentialfunktion $\op{exp}(\alpha_1),\ldots, \op{exp}(\alpha_n)$ algebraisch unabh"angig sind "uber $\DQ$ im Sinne von \eref{AlUU}{KAG}. Mehr dazu findet man etwa in \cite{Lor}. Schanuels Vermutung, wie das zu verallgemeinern sein sollte, findet man in \eref{VVS}{KAG}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} F"ur eine reelle Zahl $a>0$ und $z\in \DC$ definieren\label{EoFoUNF} wir wieder $$a^z\pdef\exp(z\log a)$$ und schreiben insbesondere auch $\exp z=\op{e}^z$ f"ur $z\in\DC$. Mit dieser Notation liest sich die Euler'sche Formel dann als $$\op{e}^{{\op{i}}t} = \cos t + {\op{i}}\sin t$$ Insbesondere erf"ullen unsere Hauptdarsteller die bemerkenswerte Identit"at $$\op{e}^{{\op{i}}\pi} =-1$$ Aus $\exp (-{\op{i}}t)= \overline{\exp ({\op{i}}t)}$ folgern wir umgekehrt f"ur alle $t\in\Bbb{R}$ die Formeln $$\cos t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+ \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2} \quad\text{und}\quad \sin t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}- \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2{\op{i}}}$$ Diese Formeln verwenden wir, um den Sinus und Cosinus zu Funktionen $\DC\ra\DC$ auszudehnen.\index{sin@$\op{sin}$ Sinus!komplexer}\index{cos@$\op{cos}$ Cosinus!komplexer} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der angels"achsischen Literatur wird manchmal auch die Abk"urzung $\op{exp}({\op{i}}z)= \op{cis}(z)$ verwendet, die wohl auf die Euler'sche Formel $\op{exp}({\op{i}}z)=c\!\op{os}z+i\; s\!\op{in}z$ zur"uckzuf"uhren ist.\index{cis@$\op{cis}$} \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{KoWu} Sei $n\in\DN$. F"ur jede komplexe Zahl $a\neq 0$ besitzt die Gleichung $z^n=a$ genau $n$ L"osungen $z\in\DC$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GHCC} Man zeige: Jeder Gruppenhomomorphismus $\DR\ra \DC^\times$ mit stetigem Real- und Imagin"arteil hat die Gestalt $t\mapsto \exp(at)$ f"ur genau eine komplexe Zahl $a\in \DC$. Hinweis: Man wiederhole den Beweis von \ref{EplOO} und beachte \ref{SurCE}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Nichtexistenz globaler komplexer Wurzeln}] Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, in stetiger Weise zu jeder komplexen Zahl eine Wurzel zu w"ahlen, da"s es also keine stetige Abbildung $w : \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$ gibt mit $w (z)^2 = z \quad \forall z \in \Bbb{C}$.\label{steW} Hinweis: Man pr"ufe, da"s die Funktion $w (\exp (z)) \exp (-z/2)$ einerseits konstant sein m"u"ste, aber andererseits nicht denselben Wert bei $0$ und $2\pi {\op{i}}$ annehmen w"urde. Die anschauliche Bedeutung der Aussage mag aus der graphischen Darstellung der Abbildung $z\mapsto z^2$ in \eref{BKOM}{LA1} klar werden. Im Rahmen der "Uberlagerungstheorie wird das der Einzeiler \eref{KWU}{TF}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Der goldene Schnitt im regelm"a"sigen F"unfeck}] In einem regelm"a"sigen F"unfeck stehen die L"angen der Diagonalen zu den L"angen der Seiten im Verh"altnis des goldenen Schnitts. Man pr"ufe diese elementargeometrisch leicht einzusehende Behauptung durch algebraische Rechnung.\label{RFE} Hinweis: Der goldene Schnitt ist die positive L"osung der Gleichung $a/1 = (1+a) /a$ alias $a^{2}-a-1 =0,$ seine geometrische Bedeutung wurde in \eref{FiFo}{GR} erkl"art. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/5}$ der Ausdruck $a =|1-\zeta^{2}|/|1-\zeta|= |1+\zeta|$ die fragliche Gleichung l"ost. Man verwende $\zeta^4=\bar{\zeta}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} In einem regelm"a"sigen Siebeneck sei $a$ der Abstand von einer Ecke zur n"achsten Ecke, $b$ der Abstand zur "ubern"achsten Ecke, und $c$ der Abstand zur "uber"ubern"achsten Ecke. Man zeige \begin{equation*} \frac{1}{a} = \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \end{equation*} In Formeln zeige man f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/7}$ die Identit"at $|1 - \zeta |^{-1} = |1-\zeta ^2|^{-1} + |1 - \zeta ^3|^{-1}$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{AExp} \emph{Verlegen!} F"ur alle $\lambda \in \Bbb{C}$ hat die Abbildung $\Bbb{R}\ra \Bbb{C},$ $ t\mapsto \op{e}^{\lambda t}$ die Ableitung $t \mapsto \lambda \op{e}^{\lambda t}$. Sp"ater kann das auch mit \ref{KRc} und \ref{AKEc} sehr schnell erledigt werden. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUbSin}\\[4mm] \noindent Die "Uberlagerung zweier Sinuswellen mit nahe beieinanderliegender Periode. Rechnerisch finden wir etwa die Identit"at $$\op{e}^{\op{i}\omega_1 t} + \op{e}^{\op{i}\omega_2 t}= \op{e}^{\op{i}(\omega_1-\omega_2)t/2}(\op{e}^{\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2} +\op{e}^{-\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2})$$ und durch Betrachtung der Imagin"arteile beider Seiten $$\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)=2\sin((\omega_1-\omega_2)t/2) \cos((\omega_1+\omega_2)t/2)$$ Liegen hier $\omega_1$ und $\omega_2$ nah beieinander, so ergibt sich f"ur diesen Ausdruck als Funktion von $t$ das obige Bild, in dem sich anschaulich gesprochen immer abwechselnd beide Sinuswellen einmal gegenseitig ausl"oschen und dann wieder addieren. Man kann das auch mit eigenen Ohren erfahren, wenn man sich von zwei Kommilitonen zwei nahe beieinanderliegende T"one vorsingen l"a"st: Es ist dann so eine Art Wummern zu h"oren, das eben mit der Frequenz $\omega_1-\omega_2$ geschieht. \end{figure} \begin{Ubunge}\emph{Verlegen!} Die Nullstellen des komplexen Sinus liegen alle auf der reellen Achse. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{WeSi} Man leite einige Formeln der nachstehenden Tabelle her. \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c} & $\sin$ & $\cos$ \\ \hline $\pi$ & $0$ & $-1$ \\[2mm] $\pi/2$ & $1$ & $0$ \\[2mm] $\pi/3$ & $\sqrt{3}/2$ & $1/2$ \\[2mm] $\pi/4$ & $1/\sqrt{2}$ & $1/\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/5$ & $\sqrt{5-\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ & $(\sqrt{5}+1)/4$ \\[2mm] $\pi/6$ & $1/2$ & $\sqrt{3}/2$ \\[2mm] $\pi/7$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/8$ & $\sqrt{\frac{1}{2} - \sqrt{2}}$ & $\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$ \\[2mm] $\pi/9$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/10$ & $(\sqrt{5}-1)/4$ & $\sqrt{5+\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/11$ & ? & ? \end{tabular} \end{center} %\\ %\noindent Man bemerkt, da"s sich f"ur $\op{cos}(\pi/5)$ gerade die H"alfte unseres \glqq goldenen Schnitts\grqq\ aus \ref{RFE} ergibt. Bei der Bestimmung der Werte f"ur $\pi/5$ und $\pi/10$ mag man von nebenstehendem Bild ausgehen, das insbesondere bei der Bestimmung von $\sin(\pi/10)$ helfen sollte. Wir zeigen in \eref{SIUU}{AL}, warum es unm"oglich ist, Formeln derselben Bauart auch f"ur $\sin(\pi/7)$ oder $\sin(\pi/9)$ oder $\sin(\pi/11)$ anzugeben. \end{Ubunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildsin}\\[4mm] \noindent Illustration zur Berechnung von $\sin(\pi/10)$ \end{figure} \begin{Ubunge}\label{sin3} Man zeige mit der Euler'schen Gleichung \ref{dsc} die Identit"at $\sin^3\vartheta=\frac{3}{4}\sin\vartheta-\frac{1}{4}\sin(3\vartheta)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{sin3n} Man zeige, da"s der Sinus keine Polynomfunktion ist. \end{Ubunge} \subsection{Stetige Funktionen auf Kompakta} \label{STK} \begin{Definition}\label{Komp} Man nennt eine Teilmenge $K \subset \overline{\DR}$ {\bf kompakt}\index{kompakt!Teilmenge von $\overline{\DR}$} oder ein {\bf Kompaktum},\index{Kompaktum} wenn jede Folge in $K$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus $K$ konvergiert. Eine kompakte Teilmenge $K \subset \DR$ hei"st ein {\bf reelles Kompaktum}.\index{Kompaktum} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit dem Satz von Bolzano-Weierstra"s \ref{HB} sieht man leicht, da"s die kompakten Intervalle in $\overline{\DR}$ genau die Intervalle der Gestalt $[a,b]$ mit $a,b\in\overline{\DR}$ sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der Begriff der \glqq Kompaktheit\grqq\ ist f"ur weite Teile der Mathematik grundlegend. Sie werden sp"ater sehen, wie er im Fall allgemeiner \glqq topologischer R"aume\grqq\ in die beiden Begriffe \glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ aufspaltet. Sie werden auch sehen, da"s es letzterer Begriff ist, der weiter tr"agt und zu \glqq kompakt\grqq\ abgek"urzt wird, obwohl ersterer Begriff die nat"urlichere Verallgemeinerung unserer obigen Definition scheint. Aber alles zu seiner Zeit! \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Extremwerte auf Kompakta}] Jede stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum nimmt das Supremum und das Infimum der Menge ihrer Funktionswerte als Funktionswert an.\label{Mm} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist in Formeln $K\neq \emptyset$ kompakt und $f:K \ra \overline{\DR}$ stetig, so gibt es demnach $p,q\in K$ mit $f(p) \leq f(x)\leq f(q) \;\;\forall x\in K$. Ist die Funktion $f$ reellwertig, so ist insbesondere ihr Bild beschr"ankt. Salopp gesprochen kann also eine stetige reellwertige Funktion auf einem Kompaktum nicht nach Unendlich streben. Man beachte, eine wie wichtige Rolle im Falle eines kompakten Itervalls die Endpunkte eines Intervalls hierbei spielen: Eine stetige reellwertige Funktion auf einem offenen Intervall kann ja durchaus nach Unendlich streben, wie etwa die Funktion $x\mapsto (1/x)$ auf dem Intervall $(0,1)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da $K$ nicht leer ist, finden wir eine Folge $x_{n}$ in $K$ mit $\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$. Diese Folge besitzt nun nach Annahme eine Teilfolge, die gegen einen Punkt $q$ aus $K$ konvergiert. Indem wir zu dieser Teilfolge "ubergehen d"urfen wir sogar annehmen, unsere Folge sei selbst schon konvergent mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} = q$. Mit \ref{FGW} folgt dann $$f(q) = \lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$$ Die Existenz von $p \in K$ mit $f(p) = \inf f(K)$ zeigt man analog. \end{proof} \begin{Definition} Sei $D\subset\DR$ eine Menge von reellen Zahlen. Eine reellwertige Funktion $f: D \ra \Bbb{R}$ hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig}\index{gleichm"a"sig stetig!reelle Funktion einer Variablen} genau dann, wenn folgende Aussage richtig ist: F"ur beliebiges $\varepsilon >0$ gibt es $\delta >0$ derart, da"s f"ur alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\delta$ gilt $|f(x) - f(y)|<\varepsilon $. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei der Definition der gleichm"a"sigen Stetigkeit kommt es wesentlich auf den Definitionsbereich $D$ an. Da wir Funktionen vielfach angeben, ohne ihren Definitionsbereich explizit festzulegen, ist es in diesem Zusammenhang oft sinnvoll, den jeweils gemeinten Definitionsbereich zu pr"azisieren. Dazu benutzen wir die Sprechweise {\bf $f$ ist gleichm"a"sig stetig auf $D$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeSe}\\[4mm] \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildGeSp}\\[4mm] \noindent Gleichm"a"sige Stetigkeit f"ur stetige Funktionen auf Intervallen kann man sich anschaulich wie folgt denken: F"ur eine beliebig f"ur ein Rechteck vorgegebene H"ohe $2\varepsilon>0$ findet man bei gleichm"a"siger Stetigkeit immer eine Breite $2\delta>0$ derart, da"s an welchen Punkt des Graphen meiner Funktion ich das Zentrum meines Rechtecks auch verschiebe, der Graph das Rechteck nie durch die Ober- oder Unterkante verl"a"st. So ist etwa die Wurzelfunktion gleichm"a"sig stetig auf $\DR_{\geq 0}$, die Quadratfunktion jedoch nicht. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit}] Ich will nun den Unterschied zur Stetigkeit diskutieren. Eine reellwertige Funktion $f: D \ra \Bbb{R}$ mit Definitionsbereich $D\subset\DR$ hei"st ja stetig bei $p\in D$ genau dann, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon },p) >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x\in D$ mit $|x-p| < \delta({\varepsilon },p)$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $. Des weiteren hei"st sie stetig, wenn sie an jeder Stelle $p\in D$ stetig ist. Gleichm"a"sige Stetigkeit bedeutet nun, da"s f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon })$ gew"ahlt werden kann, das es als $\delta({\varepsilon })=\delta({\varepsilon },p)$ f"ur alle $p\in D$ gleichzeitig tut. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Auf die Frage nach der anschaulichen Bedeutung der % gleichm"a"sigen Stetigkeit kenne ich keine "uberzeugende Antwort. % Funktionen, deren Graph \glqq nicht beliebig steil wird\grqq, % sind stets gleichm"a"sig % stetig nach \ref{ABbb}, aber auch die Wurzelfunktion % ist nach \ref{glst} % gleichm"a"sig stetig auf $[0,1]$, obwohl ihr Graph beim Ursprung % durchaus \glqq beliebig steil wird\grqq. Eine Kombination beider Argumente wird dann % sogar zeigen, da"s die Wurzelfunktion auf ganz $[0,\infty)$ % gleichm"a"sig stetig ist. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Funktion $f:\Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto x^{2}$ ist {\em nicht} gleichm"a"sig stetig auf $\DR$, denn $|x^{2}-y^{2}| = |x-y\|x+y|$ kann auch f"ur sehr kleines $|x-y|$ noch gro"s sein, wenn nur $|x+y|$ hinreichend gro"s ist. Die Einschr"ankung dieser Funktion auf ein beliebiges reelles Kompaktum ist aber daselbst gleichm"a"sig stetig nach dem anschlie"senden Satz. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}] Jede reellwertige stetige Funktion\label{glst} auf einem reellen Kompaktum ist auf besagtem Kompaktum gleich\-m"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren durch Widerspruch und zeigen, da"s eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. Sei dazu $K \subset \Bbb{R}$ unser Kompaktum und $f: K \ra \Bbb{R}$ unsere Funktion. W"are $f$ nicht gleichm"a"sig stetig, so g"abe es ein $\varepsilon > 0$, f"ur das wir kein $\delta >0$ finden k"onnten: Wir probieren alle $\delta = \frac{1}{n}$ aus und finden immer wieder Punkte $x_{n}$, $y_{n} \in K$ mit $|x_{n}-y_{n}| < \frac{1}{n}$, f"ur die dennoch gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$. Gehen wir zu einer Teilfolge "uber, so d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s die Folge der $x_{n}$ gegen einen Punkt von $K$ konvergiert, in Formeln $\lim_{n\ra \infty}x_{n} =x$ mit $x\in K$. Damit folgt nat"urlich auch $\lim_{n\ra \infty}y_{n} =x$. W"are nun $f$ stetig bei $x$, so folgte $$\lim_{n\ra \infty} f(x_{n})=f(x) = \lim_{n\ra \infty}f(y_{n})$$ und damit l"agen notwendig fast alle $f(x_{n})$ und fast alle $f(y_{n})$ im offenen Intervall $(f(x)-\varepsilon/2, f(x) + \varepsilon/2)$. Das steht jedoch im Widerspruch dazu, da"s ja nach Konstruktion gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$ f"ur alle $n$. Wir haben also gezeigt, da"s eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede endliche Vereinigung von Kompakta ist kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Das Bild eines Kompaktums unter einer stetigen Abbildung ist stets auch wieder kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jede beschr"ankte monotone stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ ist gleichm"a"sig stetig.\label{bmgs} \end{Ubung} \subsection{Integration stetiger Funktionen} \begin{Definition} Sei $[a,b] \subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres kompaktes reelles Intervall und $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ eine stetige reellwertige Funktion.\label{DefII} Wir definieren die Menge $I (f)\subset\Bbb{R}$ aller \glqq naiven Integrale zu Treppen, die unter $f$ liegen\grqq\ durch \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIu} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt ein Element von $I(f)$ dar f"ur die durch den geschwungenen Graphen dargestellte Funktion $f$. \end{figure} $$ I (f)\pdef\left\{ \sum^{n-1}_{i=0} c_{i}(a_{i+1}-a_{i})\; \begin{array}{|l}\text{ Alle m"oglichen Wahlen von } n\in\DN \\ \text{ und von Stellen } a=a_{0}\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n} =b\\ \text{ und von Werten } c_{0},\ldots , c_{n-1}\in\Bbb{R} \text{ derart,}\\ \text{ da"s gilt }\;f(x)\geq c_{i}\text{ f"ur alle } x\in [a_{i},a_{i+1}]\end{array}\right\} $$ Da $f$ stetig ist, hat es nach \ref{Mm} einen beschr"ankten Wertebereich, d.h.\ es gibt $m,M\in \DR$ mit $m \leq f(x) \leq M \quad \forall x \in [a,b]$. Daraus folgt, da"s $m (b-a)$ zu $ I (f)$ geh"ort und da"s $M(b-a)$ eine obere Schranke von $I (f)$ ist. Als nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmenge von $\Bbb{R}$ hat $I (f)$ nach \ref{AB} ein Supremum in $\Bbb{R}$. Wir nennen dies Supremum das {\bf Integral der Funktion $f$ "uber das Intervall $[a,b]$}\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompaktes Intervall} und schreiben $$\sup I (f) \defp \int^{b}_{a} f(x) \;\diff x = \int^{b}_{a} f=\int_{[a,b]}f$$ Auf\index{S@$\int$ Integral} die Bedeutung dieser Notationen gehen wir in \ref{NoIn} noch n"aher ein. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Anschaulich mi"st das Integral von $f$ die Fl"ache zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse, wobei Fl"achenst"ucke unterhalb der $x$-Achse negativ zu rechnen sind. Das Wort ist aus dem Lateinischen abgeleitet und bedeutet so etwas wie \glqq Zusammenfassung\grqq. Der folgende Satz listet einige Eigenschaften unseres Integrals auf. Man kann leicht zeigen, da"s unser Integral sogar durch diese Eigenschaften charakterisiert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integrationsregeln}] Sei $[a,b]\subset \DR$ ein nichtleeres kompaktes Intervall. \begin{enumerate} \item F"ur die konstante Funktion mit dem Wert $1 $ gilt $\int^{b}_{a}1 =b-a$; \item F"ur $f : [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig und $ z \in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a}f=\int^{z}_{a} f + \int^{b}_{z}f$; \item Seien $f,g:[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig. Gilt $f(x) \leq g(x) \quad \forall x \in [a,b]$, in Kurzschreibweise $f\leq g$, so folgt $\int^{b}_{a}f \leq \int^{b}_{a}g$; \item F"ur $f,g :[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a} (f+g) = \int^{b}_{a} f + \int^{b}_{a} g$; \item F"ur $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig und $\lambda \in \Bbb{R}$ gilt $\int^{b}_{a} \lambda f = \lambda \int^{b}_{a} f$. \end{enumerate}\label{InRe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die beiden letzten Punkte bedeuten in der Sprache der linearen Algebra, da"s das Integral eine Linearform auf dem reellen Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem kompakten Intervall ist, als da hei"st, eine lineare Abbildung in den K"orper der reellen Zahlen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir wissen ja schon, da"s aus $m=1\leq f(x)\leq 1=M$ folgt $b-a \leq \int^{b}_{a}f \leq b-a$. \\[2mm]\noindent 2. F"ur Teilmengen $A,B\subset\Bbb{R}$ definiert man eine neue Teilmenge $A+B\subset\Bbb{R}$ durch die Vorschrift $A+B=\{x+y\mid x\in A,\;y\in B\}$. Offensichtlich gilt $$I (f) = I (f|_{[a,z]})+I (f|_{[z,b]})$$ F"ur beliebige nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen $A,B \subset \Bbb{R}$ haben wir aber $\sup (A+B) = \sup A +\sup B$ nach "Ubung \ref{ABC}. \\[2mm]\noindent 3. Aus $f\leq g$ folgt offensichtlich $I (f) \subset I (g)$. \\[2mm]\noindent 4 \& 5. Um die letzten beiden Aussagen zu zeigen, m"ussen wir etwas weiter ausholen. F"ur unsere stetige Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ und beliebiges $r\in\DN$, $r\geq 1$ unterteilen wir unser Intervall \defnoind{"aquidistant},\index{"aquidistant, Unterteilung} lateinisierend f"ur \glqq mit gleichen Abst"anden\grqq, durch $$a = t_{0}\leq t_{1} \leq t_{2}\leq \ldots \leq t_{r}=b$$ Es gilt also $ t_{i} = a+ i(b-a)/r$. Wir definieren nun die {\bf $r$-te Riemann-Summe}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} $S^{r}(f) \in \Bbb{R}$ durch die Vorschrift $$S^{r}(f) \pdef \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (t_{i+1}-t_{i}) = \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (\tfrac{b-a}{r})$$ \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRs} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die f"unfte Riemannsumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar. \end{figure} In der anschlie"senden Proposition \ref{RS} werden wir zeigen $$\int^{b}_{a}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$ Damit erhalten wir dann sofort $$\begin{array}{ccl} \int^{b}_{a} (f+g)& = &\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f+g) \\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim} (S^{r}(f)+S^{r}(g))\\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim}S^{r}f +\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r}g\\ &=& \int^{b}_{a}f + \int^{b}_{a}g \end{array}$$ und "ahnlich folgt $\int^{b}_{a}\lambda f = \lambda \int^{b}_{a}f$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{RS} F"ur $a\leq b$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a}f =\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge}\label{NoIn} In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. Manchmal verwendet man auch allgemeiner f"ur eine weitere Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}$ mit guten Eigenschaften, etwa f"ur $g$ die Differenz zweier monoton wachsender Funktionen, die Notation $\int f\diff g$, und meint damit den Grenzwert der Summen $\sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (g(t_{i+1})-g(t_{i}))$, dessen Existenz in \eref{WII1}{AN2} folgende in gro"ser Allgemeinheit diskutiert wird. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildBeI} \\ \noindent In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Man mag versucht sein, die in Proposition \ref{RS} enthaltene Beschreibung gleich als Definition des Integrals zu nehmen. Ich rate davon jedoch ab, da die Existenz des fraglichen Grenzwerts nicht so leicht zu zeigen ist, und da auch die Zweite unserer Integrationsregeln \ref{InRe} aus dieser Definition sehr viel schlechter herzuleiten ist. Nun kommt das nat"urlich eigentlich nicht darauf an, wenn unsere Definitionen "aquivalent sind. Aber in Deutschland legt man ein zentrales Auslieferungslager auch besser nach Frankfurt als nach Freiburg! \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir definieren zus"atzlich zur $r$-ten Riemann-Summe die {\bf $r$-ten Untersummen}\index{Untersumme} und {\bf Obersummen}\index{Obersumme}\begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildOU} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die vierte Obersumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar, der kreuzweise schraffierte Teil ihre Untersumme. \end{figure} durch $$\underline{S}^{r}(f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0}(\inf f[t_{i},t_{i+1}])( \tfrac{b-a}{r}) \quad\text{und}\quad \overline{S}^{r} (f)\pdef \sum^{r-1}_{i=0} (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r}) $$ und behaupten die Ungleichungen $$\begin{array}{ccccc} \underline{S}^{r}(f) & \leq & S^{r}(f) &\leq&\overline{S}^{r}(f)\\ \underline{S}^{r}(f) &\leq & \int_{a}^{b} f&\leq & \overline{S}^{r}(f) \end{array}$$ Die erste Zeile ist offensichtlich. Die zweite Zeile erhalten wir zum Beispiel, indem wir aus den bereits bewiesenen Teilen 1 und 3 des Satzes die Ungleichungen $$(\inf f[t_{i},t_{i+1}])(\tfrac{b-a}{r}) \leq \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\leq (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r})$$ folgern, diese Ungleichungen aufsummieren, und die Mitte mit dem auch bereits bewiesenen Teil 2 des Satzes zu $\int_a^b f$ zusammenfassen. Damit sind beide Zeilen von Ungleichungen bewiesen. Nun ist $f$ auf $[a,b]$ gleichm"a"sig stetig, f"ur beliebiges $\varepsilon >0$ existiert also $\delta =\delta_\varepsilon > 0$ mit $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon $. W"ahlen wir $N$ mit $(\frac{b-a}{N})<\delta$ und nehmen dann $r\geq N$, so schwankt unsere Funktion $f$ auf jedem Teilintervall $[t_{i},t_{i+1}]$ h"ochstens um $\varepsilon $, mithin gilt $0 \leq \overline{S}^{r} (f) - \underline{S}^{r}(f) \leq \varepsilon (b-a)$ und damit $|S^{r}(f) - \int^{b}_{a} f | \leq \varepsilon (b-a)$. Die Proposition ist gezeigt. \end{proof} \begin{Beispiel} $\begin{array}[t]{ccl} \int^{b}_{0} x \;\diff x& = &\lim_{r\ra \infty} \left( \frac{0}{r} +\frac{b}{r} + \frac{2b} {r} + \cdots \frac{(r-1)b}{r}\right) \frac{b}{r}\\[2mm] &=& \lim_{r\ra \infty} \frac{r(r-1)}{2} \cdot \frac{b^{2}}{r^{2}} \quad\text{ nach \eref{ErF}{GR}}\\[2mm] &=& \frac{b^{2}}{2} \end{array}$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Standardabsch"atzung f"ur Integrale}] Gegeben $a\leq b$ reelle Zahlen und $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig gilt die Absch"atzung $$\left| \int^{b}_{a}f \right| \leq \int^{b}_{a} |f|$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus $-|f| \leq f\leq |f|$ folgt $-\int |f| \leq \int f \leq \int |f|$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale mit vertauschten Grenzen}] Ist $I\subset\Bbb{R}$ ein Intervall und $f:I\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion und sind $a,b\in I$ gegeben mit $a>b$, so definieren\label{IGV} wir $\int_a^b f(x)\diff x$ durch die Vorschrift $$\int_a^b f(x)\diff x\pdef -\int_b^a f(x)\diff x$$ Mit dieser Konvention gilt dann f"ur beliebige $a,b,c$ in einem reellen Intervall $I$ und jede stetige Funktion $f:I\ra\Bbb{R}$ die Formel $$\int^{c}_{a} f(x)\diff x =\int^{b}_{a} f(x)\diff x + \int^{c}_{b} f(x)\diff x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildARiS}\\[4mm] \noindent Darstellung einer Riemannsumme im Sinne von \ref{ARS}. \end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{ARS} Sei $a=a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{n} =b$ eine {\bf Unterteilung}\index{Unterteilung!von Intervall} des kompakten reellen Intervalls $[a,b]$. Gegeben eine Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ bezeichnet man die Summen $$\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i)(a_{i+1}-a_{i})$$ mit beliebigen $\zeta_i\in [a_{i},a_{i+1}]$ als die {\bf Riemann-Summen}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} von $f$ zur vorgegebenen Unterteilung. Die maximale L"ange $\sup\{a_i-a_{i-1}\mid 1\leq i\leq n\}$ eines Teilintervalls hei"st die {\bf Feinheit} der Unterteilung. Man zeige: Ist $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig, so gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ vom Integral $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Allgemeiner hei"st eine nicht notwendig stetige Funktion auf einem kompakten reellen Intervall $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ {\bf Riemann-integrierbar}\index{Riemann-integrierbar} {\bf mit Integral $\int f$}\index{integrierbar!Riemann-integrierbar} genau dann, wenn die Bedingung vom Ende der vorhergehenden "Ubung erf"ullt ist, da"s es n"amlich zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ von $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. Wir werden in diesem Text den Begriff der Riemann-Integrierbarkeit vermeiden: Sp"ater wird eh das sehr viel st"arkere Lebesgue-Inte\-gral eingef"uhrt, und bis dahin reicht unser Integrationsbegriff f"ur stetige Funktionen aus. F"ur ein vertieftes Studium der Analysis ist jedoch auch der Begriff der Riemann-Integrierbarkeit relevant. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Man zeige den \defnoind{Mittelwertsatz der Integralrechnung}: \index{Mittelwertsatz!der Integralrechnung} Gegeben ein nichtleeres kompaktes Intervall $[a,b] \subset \Bbb{R}$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int f = (b-a) f(\xi)$. Gegeben eine weitere stetige Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}_{\geq 0}$ gibt es sogar $\xi \in [a,b]$ mit $\int fg = f(\xi) \int g$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Eine Funktion $f:\DR\ra\DR$ hei"st {\bf gerade},\index{gerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=f(x)$ f"ur alle $x$, und {\bf ungerade},\index{ungerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=-f(x)$ f"ur alle $x$. Man zeige f"ur jede ungerade stetige Funktion und alle reellen $r$ die Formel $\int_{-r}^{r}f=0$. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA1" %%% End: