\section{Stetigkeit und Grenzwerte} \subsection{Intervalle und Umgebungen} \begin{Definition} Wir erweitern die reellen Zahlen durch die zwei zus"atzlichen Punkte $-\infty$ und $\infty$ zu der in hoffentlich offensichtlicher Weise angeordneten Menge der sogenannten {\bf erweiterten reellen Zahlen}\index{erweiterte reelle Zahlen} $$\overline{\Bbb{R}} \pdef\Bbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reelle Intervalle}] Jede Teilmenge von $\overline{\Bbb{R}}$\label{KlIn} besitzt in $\overline{\Bbb{R}}$ ein Supremum und ein Infimum. F"ur ein \hyperref[Inter]{Intervall} $I \subset \overline{\Bbb{R}}$ mit Supremum $a = \sup I$ und Infimum $b = \inf I$ gibt es die Alternativen $a \in I$ oder $a \not\in I$ und $b \in I$ oder $b \not\in I$. Es gibt damit vier Typen von Intervallen in $\overline{\Bbb{R}}$, f"ur die die beiden folgenden Notationen gebr"auchlich sind: $$\begin{array}{llcll} [a,b]&=&[a,b]&=&\{x \in \overline{\Bbb{R}} \mid a\leq x\leq b\}\\ \left]a,b\right[&=&(a,b)&=&\{x \in \overline{\Bbb{R}} \mid ax$ enth"alt, falls es einen solchen Punkt gibt, sowie einen Punkt $a$ mit $a 0$ nennen wir das offene Intervall $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ die $\varepsilon$-{\bf Umgebung von $x$}. Eine Umgebung von $x\in\DR$ k"onnen wir auch charakterisieren als eine Teilmenge $W\subset \overline{\Bbb{R}}$, die f"ur mindestens ein reelles $\varepsilon > 0$ das Intervall $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ umfa"st, oder "aquivalent als eine Teilmenge, die f"ur mindestens ein reelles $\varepsilon > 0$ das Intervall $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ umfa"st. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Das kompakte Intervall $[0,1]$ ist eine Umgebung von jedem Punkt aus dem offenen Intervall $(0,1)$, aber von keinem anderen Punkt der erweiterten reellen Zahlengeraden. Die Menge $\DQ$ der rationalen Zahlen ist f"ur keinen Punkt der erweiterten reellen Zahlengeraden eine Umgebung. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{REH} Offensichtlich besitzen je zwei verschiedene Punkte der erweiterten reellen Zahlengeraden zueinander disjunkte Umgebungen. Offensichtlich ist der Schnitt von je zwei Umgebungen ein- und desselben Punktes wieder eine Umgebung des besagten Punktes. \end{Bemerkungl} \subsection{Funktionen und Stetigkeit} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAA} \\[5mm] \noindent Vier verschiedene Anschauungen f"ur eine reellwertige Funktion einer reellen Ver"anderlichen am Beispiel des Absolutbetrags $x\mapsto |x|$ \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{VSTE} Abbildungen mit Werten in irgendeiner Art von Zahlen nennen wir {\bf Funktionen}.\index{Funktion} Wir erlauben hier auch Werte in $\overline{\DR}$. Wollen wir besonders betonen, da"s nur reelle Zahlen als Werte angenommen werden, so sprechen wir von {\bf reellwertigen Funktionen}. Reellwertige Funktionen auf der reellen Zahlengeraden kann man sich auf mindestens vier verschiedene Arten vorstellen: \begin{enumerate} \item In der Schule ist es "ublich, eine Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$ durch ihren Graphen $\Gamma(f)=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid y=f(x)\}$ zu veranschaulichen, also durch eine Teilmenge der Ebene $\Bbb{R}^2$. \item In der Physik ist es "ublich, sich eine Abbildung $f:\Bbb{R}\ra X$, $t\mapsto f(t)$ von $\Bbb{R}$ in irgendeine Menge $X$ vorzustellen als ein Teilchen, das sich im Raum $X$ bewegt und sich zur Zeit $t$ f"ur lateinisch \glqq tempus\grqq\ am Punkt $f(t)$ befindet. In unserem Fall h"atten wir uns also ein Teilchen vorzustellen, das sich auf der Zahlengerade $X=\Bbb{R}$ bewegt. \item Eine reellwertige Funktion auf einer beliebigen Menge kann man sich als eine Temperaturverteilung auf besagter Menge vorstellen, im vorliegenden Fall also als eine Temperaturverteilung auf der reellen Zahlengeraden. \item In der Mathematik ist es auch n"utzlich, sich eine Funktion $f:\DR\ra\Bbb{R}$ wirklich als Abbildung der Zahlengerade auf sich selber vorzustellen. Als Beispiel betrachten wir den Absolutbetrag, der als Abbildung aufgefa"st den negativen Teil der Zahlengerade auf den positiven Teil her"uberklappt. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Beliebige Abbildungen $\DR\ra\DR$ k"onnen wild aussehen, man denke nur etwa an die Abbildung, die jeder rationalen Zahl den Betrag ihres Nenners nach vollst"andigem K"urzen zuordnet und jeder irrationalen Zahl ihre f"unfte Nachkommastelle. Wir f"uhren nun die \glqq stetigen Funktionen\grqq\ ein und zeigen insbesondere, da"s f"ur stetige auf einem Intervall definierte und injektive Funktionen auch ihr Bild ein Intervall ist und die Umkehrfunktion stetig. Das liefert uns dann viele neue Funktionen als Umkehrfunktionen bereits bekannter Funktionen. Anschaulich ist eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall stetig genau dann, wenn man \glqq ihren Graphen zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen\grqq. Diese Anschauung werden wir im Folgenden pr"azisieren. Wir erinnern an den Umgebungsbegriff aus \ref{eU}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}%\label{DeSta} Seien $D \subset \overline{\Bbb{R}}$ eine Teilmenge und $f :D \ra \overline{\Bbb{R}}$ eine Funktion. Gegeben ein Punkt $p\in D$ hei"st unsere Funktion {\bf stetig bei} $p$, wenn es f"ur\label{DeSt} jede \hyperref[eU]{Umgebung} $U$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'$ von $p$ gibt mit $f(U'\cap D)\subset U$. Unsere Funktion hei"st {\bf stetig},\index{stetig!f"ur Funktion auf $D\subset\overline{\DR}$} wenn sie stetig ist bei jedem Punkt $p\in D$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall mag man sich vorstellen als eine Funktion, deren Graphen man zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf Englisch sagt man f"ur stetig \defind{continuous}, auf Franz"osisch \defind{continue}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSTE}\\[4mm] \noindent In diesem Bild habe ich f"ur \emph{eine} Umgebung $U$ von $f(p)$ mal eine m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ eingezeichnet. Stetigkeit bei $p$ bedeutet jedoch sehr viel st"arker, da"s wir f"ur \emph{jede} Umgebung $U$ von $f(p)$ eine in der in \ref{DeSt} pr"azisierten Weise m"ogliche Umgebung $U'$ von $p$ finden k"onnen. Fett eingezeichnet ist auf der $x$-Achse der Definitionsbereich $D$ unserer Funktion $f$, der Punkt $p$ ist sein kleinstes Element. Auf dem Graphen von $f$ habe ich den Teil "uber $U'\cap D$ fett eingezeichnet, damit man gut sehen kann, da"s in der Tat gilt $f(U'\cap D)\subset U$. Unsere eigentlichen $U$ und $U'$ sind die Projektionen der so bezeichneten \glqq freischwebenden Intervalle\grqq\ auf die jeweiligen Koordinatenachsen, was ich versucht habe, durch die gestrichelten Linien anzudeuten. \end{figure} \begin{Beispiel}\label{SSt} F"ur alle $D\subset\overline{\Bbb{R}}$ ist die Einbettung $i:D \hra \overline{\Bbb{R}}$, $x \mapsto x$ stetig: In diesem Fall k"onnen wir f"ur jedes $p$ und $U$ einfach $U'=U$ nehmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Absolutbetrag $\op{abs}: {\Bbb{R}} \ra {\Bbb{R}}$, $x \mapsto |x|$ ist stetig: In diesem Fall k"onnen wir f"ur jedes $p$ und $U$ einfach $U'=U\cup(-U)$ nehmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jedes $c \in \overline{\Bbb{R}}$ ist die konstante Funktion $c: \overline{\Bbb{R}} \ra \overline{\Bbb{R}}$, $x \mapsto c$ stetig: In diesem Fall k"onnen wir f"ur jedes $p$ und $U$ einfach $U'=\overline{\DR}$ nehmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Funktion $f:\DR\ra\DR$ gegeben durch $f(x)=1$ f"ur $x\geq 0$ und $f(x)=0$ f"ur $x<0$ ist nicht stetig bei $p=0$, denn f"ur $U=(0,2)$ liegen in jeder Umgebung $U'$ von $p=0$ auch Punkte, die nach Null abgebildet werden, so da"s f"ur keine Umgebung $U'$ von $p=0$ gilt $f(U')\subset U$. Die Einschr"ankung unserer Funktion auf $D\pdef\DR^\times$ ist jedoch stetig. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Funktion $f:\DR\ra\DR$ mit $f(x)=x$ f"ur $x\in\DQ$ und $f(x)=0$ f"ur $x\not\in\DQ$ ist nur an der Stelle $p=0$ stetig: Dort kann man einfach $U'=U$ w"ahlen. Da"s sie an allen anderen Stellen unstetig ist, m"ogen Sie zur "Ubung selber zeigen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium f"ur die Stetigkeit}] Seien $D\subset\DR$ eine Teilmenge, $f:D\ra\DR$ eine reellwertige Funktion und $p \in D$ ein Punkt.\label{ede} Genau dann ist $f$ stetig bei $p$, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon }) >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x\in D$ mit $|x-p| < \delta$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $. Das folgt sofort aus der Definition der Stetigkeit \ref{DeSt} und der Definition des Umgebungsbegriffs \ref{eU}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einschr"ankungen stetiger Funktionen sind stetig. Ist genauer $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $f: D \ra \overline{\DR}$ stetig bei $p\in D$ und $E \subset D$ eine Teilmenge mit $p\in E$, so ist auch die Einschr"ankung $f|_{E} : E \ra \overline{\DR}$ stetig bei $p$. Das folgt sofort aus der Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwS}\\[4mm] \noindent Illustration zum Zwischenwertsatz. Im vorliegenden Fall wir der gegebene Zwischenwert $z$ sogar dreimal als Funktionswert angenommen. Unser erster Beweis f"uhrt stets zum hier eingezeichneten gr"o"sten $p\in [a,b]$, an dem $z$ als Funktionswert angenommen wird. \end{Bild} \begin{Satz}[\textbf{Zwischenwertsatz}\index{Zwischenwertsatz}]\label{ZWS} F"ur $a\leq b$ aus $\overline{\Bbb{R}}$ nimmt eine stetige Funktion $f:[a,b]\ra \overline{\Bbb{R}}$ jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] Wenn man sich eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall vorstellt als eine Funktion, deren Graphen man zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen, so ist auch der Zwischenwertsatz anschaulich klar: Wenn unser Graph unter einer horizontalen Linie anf"angt und oberhalb aufh"ort oder umgekehrt, so mu"s er an irgendeiner Stelle unsere horizontale Linie kreuzen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f(a) \leq f(b)$ annehmen. Gegeben $z \in [f(a), f(b)]$ suchen wir $p \in [a,b]$ mit $f(p) = z$. Wir betrachten dazu $$p=\sup\{ x\in[a,b]\mid f(x)\leq z\}$$ und behaupten $f(p)=z$. Um das zu zeigen f"uhren wir die Annahmen $f(p) < z$ und $ z\eta (|b|+1 + |a|)$ und nehmen als $U$ beziehungsweise $V$ die $\eta$-Umgebungen von $a$ beziehungsweise $b$, so gilt folglich in der Tat $U\cdot V\subset W$. \end{proof} \noindent Jetzt zeigen wir unseren Satz. Wir zeigen das nur f"ur die Multiplikation, der Fall der Addition geht analog. Ist $W$ eine Umgebung von $f(p)g(p)$, so gibt es nach \ref{SAMM} Umgebungen $U$ von $f(p)$ und $V$ von $g(p)$ mit $U\cdot V\subset W$. Da sowohl $f$ als auch $g$ stetig sind bei $p$, gibt es weiter Umgebungen $U'$ und $V'$ von $p$ mit $f(U'\cap D)\subset U$ und $g(V'\cap D)\subset V$. Ihr Schnitt $U'\cap V'$ ist dann eine Umgebung $W'$ von $p$ mit $(fg)(W'\cap D)\subset W$. \end{proof} %\begin{proof}[Beweis] %Sei $\varepsilon >0$ beliebig vorgegeben. %Da $f$ und $g$ stetig sind bei $p$, finden wir $\delta >0$ derart, da"s gilt %$$\{ x \in D \text{ und } |x-p| < \delta\} \Rightarrow %\{ |f(x)-f(p)| < \varepsilon \text{ und } |g(x)-g(p)| < \varepsilon \}$$ %Aus $\{ x \in D \text{ und } |x-p| <\delta\}$ folgt dann weiter %$$\begin{array}{rcl} %|(f+g) (x) - (f+g)(p)| &=& |f(x)-f(p) + g(x)-g(p)|\\ %&\leq & |f(x)-f(p)|+ |g(x)-g(p)|\\ %&<& 2\varepsilon \\[4mm] % %|(fg) (x) - (fg)(p)| &=& |f(x)g(x)-f(p) g(p)|\\[2mm] %&=&|f(x)(g(x)-g(p))+(f(x)-f(p))g(p)|\\[2mm] %&\leq &|f(x)\|g(x)-g(p)|+|f(x)-f(p)\|g(p)|\\[2mm] %&<& (|f(p)|+1)\varepsilon +\varepsilon %|g(p)| \text{ falls } 0<\varepsilon <1\\[2mm] %&<& \varepsilon(|f(p)|+|g(p)|+1) \text{ falls } 0<\varepsilon <1 %\end{array}$$ %Man "uberlegt sich leicht, da"s diese Absch"atzungen die Stetigkeit von %$(f+g)$ und $fg$ bei $p$ implizieren. %\end{proof} \begin{Definition}\label{PolF} Wir nennen eine Funktion $\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ eine \defind{Polynomfunktion}, wenn es $a_0,a_{1},\ldots, a_n\in\Bbb{R}$ gibt derart, da"s unsere Funktion gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift $x\mapsto a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_0$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Jede Familie reeller Zahlen $(a_n)_{n\in\DN}$, in der h"ochstens endlich viele $a_n$ von Null verschieden sind, liefert uns eine Polynomfunktion. Nach \eref{PoFu}{LA1} %\ref{ZNP} liefern verschiedene Folgen auch stets verschiedene Funktionen. Im Licht dieser Tatsache werden wir unsere Polynomfunktionen meist k"urzer Polynome nennen, obwohl eigentlich der Begriff Polynom eher den formalen Ausdruck meint. Diese Unterscheidung ist aber erst in der Algebra wirklich von Belang. Wenn man zum Beispiel mit endlichen K"orpern arbeitet,so k"onnen verschiedene Folgen dieselbe Funktion liefern, vergleiche \eref{PoRi}{LA1}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkung}\label{WBPb} Das Wort \glqq Polynom\grqq\ kommt von der griechischen Vorsilbe \glqq poly\grqq\ f"ur \glqq viele\grqq\ und dem lateinischen Wort \glqq nomen\grqq\ f"ur \glqq Namen\grqq. Allgemeiner betrachtet man auch Polynome in mehreren Ver"anderlichen und meint damit Ausdr"ucke wie etwa $xyz+7x^2y^4 -12z+1$. Dieses Polynom ist die Summe der vier {\bf Monome}\index{Monom} $xyz$, $7x^2y^4$, $-12z$ und $1$, wobei das Wort \glqq Monom\grqq\ diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq mono\grqq\ f"ur \glqq allein\grqq\ gebildet ist. Einen Ausdruck wie $xyz+7x^2y^4$ w"urde man als {\bf Binom}\index{Binom} bezeichnen, diesmal mit der griechischen Vorsilbe \glqq bi\grqq\ f"ur \glqq Zwei\grqq. Ein anderes Binom w"are der Ausdruck $(x+y)$, dessen Potenzen die \glqq binomische\grqq\ Formel \eref{BiFoA}{GR} explizit angibt. Es sollte klar sein, wie man aus unserer binomischen Formel auch Formeln f"ur die Potenzen eines beliebigen Binoms erh"alt. \end{Bemerkung} \begin{Korollar} Polynomfunktionen sind stetig. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das folgt induktiv aus dem vorhergehenden Satz \ref{SPSF}. \end{proof} \begin{Definition}\label{MoAb} Eine Abbildung $f$ zwischen geordneten Mengen hei"st $$\begin{array}{lrrrl} \text{\bf monoton wachsend,}\index{monoton}& \text{wenn gilt} & x\leq y & \Rightarrow & f(x) \leq f(y)\\ \text{\bf streng monoton wachsend,}& \text{wenn gilt}& x< y& \Rightarrow & f(x)f(y) \end{array}$$ Eine Abbildung hei"st {\bf monoton}, wenn sie monoton wachsend oder fallend ist. Eine Abbildung hei"st {\bf streng monoton}, wenn sie streng monoton wachsend oder fallend ist. %Das verallgemeinert unsere Begriffe f"ur %Folgen aus \ref{MFol}. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Stetigkeit monotoner Surjektionen auf Intervalle}] Seien $D\subset \overline{\Bbb{R}}$ eine Teilmenge und $g:D \ra \overline{\Bbb{R}}$ eine monotone Abbildung. Ist $g(D)$ ein Intervall, so ist $g$ stetig.\label{SUn} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $g$ monoton wachsend. Gegeben $s\in D$ m"ussen wir f"ur jede Umgebung $U$ von $g(s)$ eine Umgebung $U'$ von $t$ finden mit der Eigenschaft $g(U'\cap D)\subset U$. Wir unterscheiden vier F"alle. \begin{enumerate} \item Ist $g(s)\in g(D)$ weder das gr"o"ste noch das kleinste Element, so umfa"st jede Umgebung $U$ von $g(s)$ ein Intervall der Gestalt $[y,z]$ mit $y0}$ und auf $\DR_{<0}$\label{SK} jeweils stetig ist. Diese Einschr"ankungen sind jedoch beide monoton und haben als Bildmenge jeweils ein Intervall. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Quotienten stetiger Funktionen sind stetig}] Ist genauer $D\subset \overline{\DR}$ eine Teilmenge und sind $f,g:D\ra\Bbb{R}$ stetig und hat $g$ keine Nullstelle in $D$, so ist auch die Funktion ${f}/{g}:D\ra\Bbb{R}$, $ x\mapsto {f(x)}/{g(x)}$ stetig. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $i:\Bbb{R}^{\times}\ra\Bbb{R}$ die Funktion $x\mapsto {1}/{x}$. Sie ist stetig nach \ref{SK}. Also ist auch $i\circ g:D\ra \Bbb{R},\; x\mapsto {1}/{g(x)}$ stetig, und dann auch das Produkt dieser Funktion mit der stetigen Funktion $f$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Funktion $$x\mapsto \frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}$$ ist stetig auf $D\pdef\DR\backslash 1$. Sie kann sogar zu einer stetigen Funktion auf ganz $\DR$ fortgesetzt werden, die gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift $$x\mapsto \frac{x^3 +x^2-x-1}{x^2+x+1}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine Funktion, die sich als der Quotient eines Polynoms durch ein von Null verschiedenes Polynom darstellen l"a"st, hei"st eine {\bf rationale Funktion}.\index{Funktion!rationale} So eine Funktion ist a priori nat"ur\-lich nur da definiert, wo der Nenner nicht verschwindet, und ist nach dem vorhergehenden Korollar auf dem Komplement der Nullstellenmenge ihres Nenners stetig. Betrachten wir unsere rationale Funktion jedoch nicht als Abbildung, sondern als formalen Ausdruck, so verstehen wir unter ihrem Definitionsbereich die etwas gr"o"sere Menge, auf der \glqq nach maximalem K"urzen\grqq\ der Nenner keine Nullstellen hat, vergleiche \eref{DRF}{LA1}. Man beachte, da"s die hier gegebene etwas unscharfe Formulierung \glqq nach maximalem K"urzen\grqq\ eigentlich erst in \eref{PReF}{AL} gerechtfertigt wird, wo wir die Eindeutigkeit der \glqq Primfaktorzerlegung\grqq\ in Polynomringen diskutieren. Bleibt auch nach maximalem K"urzen noch ein nichtkonstantes Polynom im Nenner stehen, so spricht man von einer {\bf gebrochen rationalen Funktion}.\index{Funktion!gebrochen rationale} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber die Umkehrfunktion}] Ist $I \subset \overline{\DR}$ ein Intervall und $f: I\ra \overline{\DR}$ streng monoton und stetig, so ist auch $f(I)\subset \overline{\DR}$\label{USS} ein Intervall und die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(I)\ra\overline{\DR}$ ist streng monoton und stetig. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SUa} Hier ist unsere Notation wieder nicht ganz korrekt: Wir m"u"sten genau genommen eigentlich die Bijektion $\tilde{f}:I\sira f(I)$, $x\mapsto f(x)$ betrachten, dazu die inverse Abbildung $\tilde{f}^{-1}:f(I) \sira I$ nehmen, und unser $f^{-1} :f(I)\ra\overline{\Bbb{R}}$ definieren als die Verkn"upfung von $\tilde{f}^{-1}$ mit der Einbettung $I\hra \overline{\Bbb{R}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ darf nicht verwechselt werden mit der Funktion $x\mapsto 1/f(x):$ Ist zum Beispiel $f:(0,\infty)\ra\DR$ gegeben durch $f(x)=x^2$, so haben wir $1/f(x)=x^{-2}$, aber die Umkehrabbildung ist gegeben durch $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$. Die Notation ist hier leider nicht ganz eindeutig. Oft mu"s man aus dem Kontext erschlie"sen, ob mit $f^{-1}$ die Umkehrfunktion von $f$ oder vielmehr die \glqq Kehrwertfunktion\grqq\ $x\mapsto 1/f(x)$ gemeint ist.\index{$f^{-1}$!Kehrwertfunktion} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Umkehrfunktion $g\pdef f^{-1}$ ist offensichtlich monoton und ihr Bild ist ein Intervall, also ist sie nach \ref{SUn} stetig. Da"s $f(I)$ ein Intervall ist, war gerade die Aussage des abstrakten Zwischenwertsatzes \ref{BI}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $q \in \DN_{\geq 1}$ ist die $q$-te Potenzfunktion $x\mapsto x^q$ auf $[0,\infty)$ offensichtlich stetig und streng monoton wachsend. Ihr Bild ist also ein Intervall, und da f"ur $n\in \DN$ gilt $n^q\geq n$ und $0^q=0$ mu"s dies Intervall wieder $[0,\infty)$ sein. Wir definieren die {\bf $q$-te Wurzel}\index{Wurzel!$q$-te Wurzel} $$ \sqrt[q]{\rule[0mm]{0mm}{0mm}\;} : [0,\infty)\ra \Bbb{R}$$ als die Umkehrfunktion zur $q$-ten Potenzfunktion $x\mapsto x^q$. Nach \ref{USS} ist $x\mapsto \sqrt[q]{x}$ stetig. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} [\textbf{Die Verkn"upfung stetiger Funktionen ist stetig}] Seien genauer\label{VSte} $D,E\subset \overline{\DR}$ Teilmengen, $f: D\ra \overline{\DR}$, $g: E \ra \overline{\DR}$ Funktionen, und es gelte $f(D) \subset E$. Ist $f$ stetig bei einem Punkt $p\in D$ und $g$ stetig bei seinem Bildpunkt $f(p)$, so ist auch $g\circ f : D \ra \overline{\DR}$, $x \mapsto g(f(x))$ stetig bei $p$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Genau genommen ist die Notation $g\circ f$ in der Formulierung von Satz \ref{VSte} im Sinne von \eref{VStea}{GR} nicht ganz korrekt: Wir m"u"sten eigentlich erst eine Abbildung $\tilde{f}:D\ra E$ definieren durch $\tilde{f}(x) = f(x)$ f"ur alle $x \in D$ und dann die Abbildung $g \circ \tilde{f}$ betrachten. Das ist nun jedoch meiner Ansicht nach ein Fall, in dem gr"o"sere Pr"azision nicht zur besseren Verst"andlichkeit beitr"agt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da $g$ stetig ist bei $f(p)$, finden wir f"ur jede Umgebung $U$ von $g(f(p))$ eine Umgebung $U'$ von $f(p)$ mit $g(U'\cap E)\subset U$. Da $f$ stetig ist bei $p$, finden wir f"ur diese Umgebung $U'$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'' $ von $p$ mit $f(U'' \cap D)\subset U'$. Damit finden wir in der Tat f"ur jede Umgebung $U$ von $(g\circ f)(p)$ eine Umgebung $U'' $ von $p$ mit $(g\circ f)(U'' \cap D)\subset U$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten so ein alternatives Argument daf"ur, da"s Einschr"ankungen stetiger Funktionen stetig sind: Wir k"onnen sie n"amlich als Verkn"upfung einer stetigen Funktion mit einer nach \ref{SSt} stetigen Einbettung schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Abbildungsvorschrift $x\mapsto \sqrt{x^4+5}$ liefert eine stetige Abbildung $\DR\ra\DR$. \end{Beispiel} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item Es gibt stetige nichtkonstante Gruppenhomomorphismen $\phi:\DR\ra \DR^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen; \item Sind $\phi,\psi:\DR\ra \DR^\times$ stetige nichtkonstante Gruppenhomomorphismen, so gibt es $\lambda\in\DR^\times$ mit $\psi(x)=\phi(\lambda x)$ f"ur alle $x$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}} Der Beweis dieses Satzes wird uns bis \ref{SRR1} besch"aftigen und auf eine au"serordentlich wichtige Funktion f"uhren, die \glqq Exponentialfunktion\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{GWU} Die Addition und die Multiplikation $\Bbb{R}\times \DR\ra\DR$ lassen sich nicht so zu Abbildungen von ganz $\overline{\Bbb{R}}\times\overline{\Bbb{R}}$ nach $ \overline{\Bbb{R}}$ fortsetzen, da"s \ref{SAMM} entsprechend gilt. Alle derartigen Fortsetzungen auf Teilmengen von $\overline{\Bbb{R}}\times\overline{\Bbb{R}}$ stimmen jedoch auf dem Schnitt der jeweiligen Definitionsbereiche "uberein, so da"s es sowohl f"ur die Addition als auch f"ur die Multiplikation jeweils eine gr"o"stm"ogliche \glqq sinnvolle Fortsetzung\grqq\ gibt, die wir im Rahmen der Topologie \eref{PrTo}{ML} als die gr"o"stm"ogliche \glqq stetige Fortsetzung\grqq\ werden verstehen k"onnen. Wir beschreiben diese Fortsetzungen von Addition und Multiplikation durch Abbildungen $+, \cdot : \overline{\Bbb{R}} \times \overline{\Bbb{R}} \ra \overline{\Bbb{R}} \cup \{\ast\}$ mit einem eigenen Symbol $\ast$ f"ur \glqq nicht sinnvoll in $\overline{\Bbb{R}}$ zu definieren\grqq. Unsere Fortsetzungen werden mit dieser Konvention gegeben durch die Formeln $$\begin{array}{rcrcrcl} a+\infty & =& \infty +a & =& \infty & & \forall a \in \Bbb{R} \cup \{\infty\}\\ a+(-\infty) & =& -\infty +a &=& -\infty & & \forall a \in \Bbb{R} \cup \{-\infty\}\\ \infty +(-\infty) &=& -\infty + \infty &=& \ast & & \end{array}$$ und $$\begin{array}{rcrcrcl} a\infty &=& \infty a &=& \infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a>0\\ a \infty &=& \infty a &=& -\infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a<0\\ a(-\infty) &=& (-\infty) a &=& -\infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a>0\\ a (-\infty) &=& (-\infty) a &=& \infty & & \forall a \in \overline{\Bbb{R}}, a<0\\ 0 \infty &=& \infty 0& =& \ast &&\\ 0 (-\infty) &=& (-\infty) 0& =& \ast & & \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SAS} Seien $I,J\subset \overline{\DR}$ Intervalle mit nichtleerem Schnitt und sei $f:(I\cup J)\ra\overline{\DR}$ eine Funktion. Man zeige: Sind die Einschr"ankungen $f|_I$ und $f|_J$ stetig, so ist auch $f$ selbst stetig. Im "ubrigen wird sich der \glqq schwierige\grqq\ Fall dieser "Ubung als Spezialfall von \ref{AbgSM} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s auf einem offenen Intervall jede konvexe Funktion stetig ist. Hinweis: Die graphische Darstellung zum Beweis von \ref{ZAK} mag helfen.\label{koste} \end{Ubung} \subsection{Die Kreiszahl $\pi$} \begin{Bemerkungl}\label{DP}\index{p@$\pi$ Kreiszahl} Bekanntlich bezeichnet $\pi$, ein kleines griechisches P f"ur Perimeter, das Verh"altnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. Um diese Anschauung zu formalisieren zur Definition einer reellen Zahl im Sinne von $\ref{DRZ}$ gehen wir aus von der anschaulichen Bedeutung von $\pi$ als L"ange des Halbkreises $H$ mit Radius Eins $$H \pdef \{ (a,b) \in \Bbb{R}^{2} \mid a^{2} +b^{2} =1, \;b \geq 0\}$$ Seien $x,y : \Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$ die beiden Abbildungen, die jedem Punkt der Ebene seine erste bzw.\ zweite Koordinate zuordnen, also $v = (x (v), y(v)) \quad \forall v \in \Bbb{R}^{2}$. Die Distanz $d(v,w)\in \DR$ zwischen zwei Punkten $v,w \in \Bbb{R}^{2}$ der Ebene erkl"aren wir in Erinnerung an den Satz des Pythagoras durch die Formel $$d(v,w) \pdef \sqrt{(x(v) - x(w))^{2} + (y(v) - y(w))^{2}}$$ Die {\bf Kreiszahl} $\pi\in \DR$ definieren wir dann als das Supremum "uber die \glqq L"angen aller in unseren Halbkreis $H$ einbeschriebenen Polygonz"uge\grqq, in Formeln $$\pi \pdef \op{sup}\left\{ \sum^{n}_{i=1} d(v_{i-1}, v_{i}) \left| \begin{array}{l} n \in \Bbb{N}, \; v_{0},v_{1}, \ldots, v_{n} \in H,\\ x (v_{0}) < x (v_{1}) < \ldots < x(v_{n}) \end{array} \right\}\right. $$ Mithilfe der Absch"atzung $\sqrt{a^{2}+b^{2}} \leq |a| + |b|$ erkennt man, \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPa}\\[4mm] Ein einbeschriebener Polygonzug \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKA}\\[4mm] Diese Abbildung soll veranschaulichen, warum $4$ eine obere Schranke f"ur die L"angen einbeschriebener Polygonz"uge ist: Die horizontalen St"ucke und die vertikalen St"ucke haben jeweils zusammengenommen eine Gesamtl"ange $\leq 2$. \end{figure} da"s die Zahl $4$ eine obere Schranke ist f"ur unsere Menge von L"angen von Polygonz"ugen, mithin haben wir hier in der Tat eine reelle Zahl $\pi \in \Bbb{R}$ definiert. Wir werden in \ref{BP} sehen, wie man diese Zahl im Prinzip bis zu einer beliebig vorgegebenen Stelle nach dem Komma berechnen kann. Die Definition selbst ist sehr einfach. Ich habe sie nur deshalb nicht gleich im Zusammenhang mit der Definition der reellen Zahlen gegeben, weil sie die Existenz von Quadratwurzeln ben"otigt, die erst in \ref{QWE} gezeigt wurde. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{PiTr} Die Zahl $\pi$ ist nicht rational, in Formeln $\pi \not\in \Bbb{Q}$, wie Lambert bereits 1766 zeigen konnte. Anders ausgedr"uckt l"a"st sich $\pi$ nicht durch einen periodischen Dezimalbruch darstellen. Wir geben einen Beweis in \ref{pinr}. Unsere Kreiszahl $\pi$ ist noch nicht einmal \defnoind{algebraisch},\index{algebraisch!reelle Zahl} als da hei"st Nullstelle eines nichttrivialen Polynoms mit rationalen Koeffizienten, d.h.\ es gilt keine Gleichung der Gestalt $$\pi^{n} + q_{n-1}\pi^{n-1} + \ldots + q_{1}\pi + q_{0}= 0\;\;\; \text{ mit } q_{n-1},\ldots, q_{0}\in \Bbb{Q} \text{ und } n\geq 1.$$ Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, hei"sen {\bf transzendent}\index{transzendent!reelle Zahl}, lateinisch f"ur \glqq "uberschreitend\grqq, da ihre Behandlung \glqq die Grenzen der Algebra "uberschreitet\grqq. Die Transzendenz von $\pi$ wurde 1882 von Lindemann in Freiburg bewiesen. Seine B"uste steht im vierten Stock des Mathematischen Instituts. Er war "ubrigends Hilbert's Doktorvater. \end{Bemerkunge} \subsection{Grenzwerte}\label{UER} \begin{Definition}\label{HaP} Sei $D \subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $p \in D$ hei"se ein {\bf H"aufungspunkt\index{H"aufungspunkt!interner} von $D$}, wenn jede Umgebung von $p$ mindestens einen von $p$ verschiedenen Punkt mit $D$ gemeinsam hat. Ein Punkt von $D$, der kein H"aufungspunkt von $D$ ist, hei"se ein {\bf isolierter Punkt von $D$}.\index{isolierter Punkt} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Ich weiche mit dieser Definition des H"aufungspunkts von der in der Literatur "ublichen Terminologie ab. In der Literatur erlaubt man meist auch Punkten au"serhalb von $D$, H"aufungspunkte von $D$ zu sein, und zwar genau dann, wenn sie in unserer Terminologie H"aufungspunkte von $D\cup\{p\}$ sind. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] % In der Literatur verwendet man meist eine abweichende Konvention, % nach der ein Punkt $p\in \overline{\Bbb{R}}$ ein % \glqq H"aufungspunkt % von $D$\grqq\ oder ausf"uhrlicher ein \glqq H"aufungspunkt % von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$\grqq\ hei"st, wenn er in unserem Sinne ein % H"aufungspunkt von $D\cup\{p\}$ ist. % Ich finde es verwirrend, da"s ein H"aufungpunkt % von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$ % nicht notwendig ein Punkt von $D$ zu sein braucht. % Ich will jedoch unter einem {\bf H"aufungpunkt % von $D$} stets einen H"aufungpunkt % von $D$ in $\overline{\Bbb{R}}$ verstehen, der auch tats"achlich in $D$ % liegt. Wenn ich das besonders betonen will, rede ich von einem % {\bf internen H"aufungpunkt % von $D$}.\index{H"aufungspunkt!interner} % Manche Autoren erkl"aren zus"atzlich noch % die \glqq H"aufungspunkte % einer Folge\grqq\ % als die Punkte aus ${\overline{\Bbb{R}}}$ % mit der Eigenschaft, da"s % in jeder ihrer % Umgebungen % unendlich viele Folgenglieder liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die Menge $\DZ$ der ganzen Zahlen besteht aus isolierten Punkten. Die Menge $\DQ$ der rationalen Zahlen besteht aus H"aufungspunkten. Die Menge $\DN\cup\{\infty\}$ hat als einzigen H"aufungspunkt $\infty$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren f"ur die Differenz einer Menge $X$ und einer einpunktigen Menge $\{p\}$ die abk"urzende Schreibweise $X\backslash\{ p\} =X\backslash p$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLim}\\[4mm] \noindent Der Grenzwert oder Limes einer Funktion mit einer \glqq Fehlstelle\grqq\ in ihrem Definitionsbereich ist, wenn er existiert, der Wert an der fraglichen Fehlstelle der einzig m"oglichen dort stetigen Fortsetzung. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung}] Seien $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge,\label{ESF} $p\in D $ ein H"aufungspunkt von $D$ und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. So gibt es h"ochstens eine Fortsetzung von $f$ zu einer Funktion $\tilde f:D\ra {\overline{\Bbb{R}}}$, die stetig ist bei $p$. \end{Satz} \begin{proof} W"are sonst $\hat f$ eine weitere stetige Fortsetzung mit $\hat f(p)\neq \tilde f(p)$, so f"anden wir disjunkte Umgebungen $\hat V$ und $\tilde V$ dieser beiden Punkte und dann Umgebungen $\hat U$ und $\tilde U$ von $p$ mit $\hat f(\hat U\cap D)\subset \hat V$ und $\tilde f(\tilde U\cap D)\subset \tilde V$. Daraus folgte aber $$ f(\hat U\cap \tilde U \cap D\backslash p)\;\subset \;\hat V\cap \tilde V=\emptyset$$ im Widerspruch dazu, da"s $\hat U\cap \tilde U \cap D$ nicht nur aus unserem H"aufungspunkt $p$ bestehen darf. \end{proof} \begin{Definition}%\label{GeFu} Seien $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in D $ ein H"aufungspunkt von $D$\label{LS} und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. Sei $b$ ein weiterer Punkt aus ${\overline{\Bbb{R}}}$. Wir sagen, {\bf $f(x)$ strebt gegen $b$ f"ur $x\ra p$} und schreiben $$\lim_{x\ra p} f(x) = b$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s \index{lim@$\lim_{x\ra p}$ Grenzwert von Abbildung!von Teilmengen von $\overline{\mathbb R}$} die Fortsetzung von $f$ zu $\tilde f:D\ra {\overline{\Bbb{R}}}$ durch $\tilde f(p)\pdef b$ stetig ist bei $p$. In diesem Fall nennen wir $b$ den {\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Funktion} oder lateinisierend {\bf Limes}\index{Limes!von Funktion} der Funktion $f$ f"ur $x\ra p$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit des Grenzwerts}] Nach \ref{ESF} folgt aus $\lim_{x\ra p} f(x) = a$ und $\lim_{x\ra p} f(x) =b$ bereits $a=b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{GSS} Salopp gesprochen verh"alt es sich demnach so, da"s eine Funktion mit einer einpunktigen Definitionsl"ucke an einem H"aufungspunkt ihres Definitionsbereichs auf h"ochstens eine Weise stetig in diese Definitionsl"ucke hinein fortgesetzt werden kann. Der Wert dieser an besagter Stelle stetigen Fortsetzung hei"st dann der Grenzwert unserer Funktion an besagter Stelle. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Abbildung $\DN \ra X$, $n\mapsto x_{n}$ von den nat"urlichen Zahlen in eine Menge $X$ nennen wir eine {\bf Folge\index{Folge} in $X$}. Wir schreiben eine Folge meist $(x_{n})_{n\in \DN}$ oder $x_{0}, x_{1},x_{2}, \ldots $ oder auch einfach nur $x_{n}$. Die $x_{i}$ hei"sen die {\bf Folgenglieder}. Manchmal nennen wir allerdings auch Abbildungen Folgen, die erst ab $n=1$ definiert sind. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoF}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung der Folge $x_n=3^{3-n}-(-2)^{4-n}$, die gegen Null konvergiert, wie Sie bald werden zeigen k"onnen. Die Folgenglieder sind die kleinen Kreuzchen auf der reellen Achse, ihre Indizes tragen sie an unterschiedlich langen gestrichelt eingezeichneten Stangen. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{GDK} Ich erinnere daran, da"s $\infty$ ein H"aufungspunkt von $\DN\cup\{\infty\}$ ist. Seien nun $x_{0},x_{1},\ldots$ eine Folge in $\overline{\DR}$ und $x\in\overline{\DR}$ ein Punkt. Wir sagen, {\bf die Folge $x_{n}$ konvergiere gegen} \index{Konvergenz!von Folgen!in $\overline{\DR}$} $x$, wenn gilt $$\lim_{n\ra \infty} x_{n} =x$$ In diesem Fall nennen wir $x$ den {\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Folge} oder lateinisierend {\bf Limes}\index{Limes!von Folge}\index{lim@$\lim_{n\ra\infty}$ Grenzwert von Folge!in $\overline{\mathbb R}$} der Folge. Aufgeschl"usselt ist das gleichbedeutend dazu, da"s jede Umgebung von $x$ im Sinne der anschlie"senden Definition \glqq fast alle Glieder unserer Folge\grqq\ enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ffF} Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur {\bf fast alle Elemente}\index{fast alle!Menge} einer Menge, so soll das bedeuten, da"s sie gilt f"ur alle Elemente bis auf h"ochstens endlich viele Ausnahmen. Sagen wir, eine Aussage gelte f"ur {\bf fast alle Glieder} einer Folge, so soll das bedeuten, da"s f"ur fast alle Indizes $n$ unsere Aussage f"ur das $n$-te Folgenglied gilt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Mit unserer Konvention f"ur die \glqq Konvergenz gegen $\pm\infty$\grqq\ bewegen wir uns zwar im Rahmen des allgemeinen Begriffs der \glqq Konvergenz in topologischen R"aumen\grqq\ \ref{GFMt}, aber au"serhalb der in der einf"uhrenden Literatur zur Analysis "ublichen Konventionen. "Ublicherweise wird stattdessen die Terminologie \defind{bestimmte Divergenz} {\bf gegen $\pm\infty$} verwendet. "Ublicherweise bleibt in anderen Worten der Begriff der konvergenten Folge reserviert f"ur Folgen, die gegen eine reelle Zahl konvergieren. Wir nennen solche Folgen \defind{reell konvergent}. Falls eine Folge nicht konvergiert, auch nicht gegen $\infty$ oder $-\infty$, so nennt man sie {\bf unbestimmt divergent}\index{unbestimmt divergent}. Wir verlieren mit unserer Terminologie zwar etwas an terminologischer Koh"arenz, da wir im weiteren \glqq Reihen\grqq\ aus wieder anderen Gr"unden nur dann konvergent nennen werden, wenn die Folge ihrer Partialsummeen \emph{reell} konvergent ist. Das schien mir jedoch ein kleineres "Ubel, als es eine unn"otig einschr"ankende oder in F"alle aufspaltende Formulierung von Aussagen wie \ref{QeLe} oder \ref{TeFo} w"are. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Nullfolge}\index{Nullfolge} ist eine Folge, die gegen Null konvergiert. \end{Definition} \begin{Beispiel} $$\lim_{n\ra\infty}\frac{5n^3+n}{3n^3+n^2}= \lim_{n\ra\infty}\frac{5+(1/n)^2}{3+(1/n)}=\frac{5+0^2}{3+0}=\frac{5}{3}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$\varepsilon$-Kriterium f"ur Konvergenz}] Konvergenz gegen einen Punkt $x\in\DR$ ist gleichbedeutend dazu, da"s f"ur jedes $\varepsilon >0$ die $\varepsilon$-Umgebung von $x$ fast alle Glieder der Folge enth"alt. Im Fall einer reellen Folge $(x_n)$ ist das weiter gleichbedeutend dazu, da"s es \begin{quote} f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $N=N_\varepsilon\in\DN$ gibt mit $n\geq N\RA |x_n-x|<\varepsilon$. \end{quote} Dahingegen ist $\lim_{n\ra \infty} x_{n}=\infty$ gleichbedeutend dazu, da"s f"ur jedes $K \in \DN$ fast alle Folgenglieder oberhalb von $K$ liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zu $\varepsilon$}] Wenn Sie in der Analysis die Formulierung \glqq f"ur alle $\varepsilon>0$ gilt was auch immer\grqq\ antreffen, so d"urfen Sie erwarten, da"s dieses \glqq was auch immer\grqq, wenn es denn f"ur ein gegebenes $\varepsilon>0$ gilt, f"ur alle gr"o"seren $\varepsilon>0$ eh gilt. Salopp gesprochen besteht also die unausgesprochene "Ubereinkunft, durch die Verwendung des Buchstabens $\varepsilon$ das anzudeuten, was man umgangsprachlich vielleicht mit \glqq f"ur jedes auch noch so kleine $\varepsilon>0$\grqq\ ausdr"ucken w"urde. Sie m"ussen nur einmal versuchen, beim Vorrechnen einer "Ubungsaufgabe statt $\varepsilon$ den Buchstaben $M$ zu verwenden: Auch wenn formal alles richtig sein sollte, wird Ihr Tutor deutlich l"anger dar"uber nachdenken m"ussen, ob Ihre Formulierung auch wirklich stimmt! \glqq Sei $\varepsilon<0$\grqq\ schlie"slich ist ein mathematischer Witz. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will versuchen, in der Vorlesung einem Farbencode zu folgen, nach dem vorgegebene Umgebungen von Grenzwerten und dergleichen in gelber Farbe dargestellt werden, dazu zu findende $N$ und dergleichen dahingegen in blauer Farbe. Rote Farbe ist an gr"unen Tafeln f"ur nicht wenige Menschen kaum zu lesen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Grenzwert einer Funktion f"ur $x\ra p$ h"angt nur von ihrem Verhalten in einer Umgebung von $p$ ab. Ist genauer $p\in D$ H"aufungspunkt einer Teilmenge $D\subset{\overline{\DR}} $ und $f:D\backslash p\ra{\overline{\DR}}$ eine Funktion und $U$ eine Umgebung von $p$, so existiert $\lim_{x\ra p} f $ genau dann, wenn $\lim_{x\ra p} f|_{U\cap D\backslash p} $ existiert, und unter diesen Umst"anden stimmen die beiden Grenzwerte "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir haben $\lim_{x\ra \infty} 1/x =0$, denn die Funktion $[0,\infty]\ra [0,\infty]$ mit $x\mapsto 1/x$ f"ur $0b$ alias $bg(x)$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwert von Summe und Produkt}]\label{BL} Seien $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt und seien $f, g : D\backslash p \ra \Bbb{R}$ reellwertige Funktionen mit reellen Grenzwerten $\lim_{x\ra p} f (x) = b$ und $\lim_{x\ra p} g (x) = c$. So folgt aus der Stetigkeit von Summe und Produkt stetiger Funktionen \ref{SPSF} unmittelbar $\lim_{x\ra p}(f + g)(x) = b +c$ und $ \lim_{x\ra p} (f g) (x) =bc$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{Pot} Die folgende Tabelle beschreibt das Konvergenzverhalten der Folge $(x^{n})_{n\in \DN}$ der Potenzen von $x$ in Abh"angigkeit von $x$: $$\begin{array}{r@{\extracolsep{4mm}}l} x > 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} = \infty;\\ x=1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =1 ;\\ |x| < 1 & \lim_{n\ra \infty}x^{n} =0 ;\\ x\leq -1 & \text{Die Folge $x^{n}$ divergiert unbestimmt.} \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Im Fall $x > 1$ schreiben wir $x = 1 + y$ mit $y >0$ und erhalten mit der binomischen Formel $$x^{n} = (1+y)^{n} \geq 1 + ny$$ Die Folge $n\mapsto 1+ny$ strebt aber gegen $\infty$ und nach dem Quetschlemma angewandt auf diese Folge und die konstante Folge $n\mapsto\infty$ strebt dann die Folge $x^n$ auch gegen $\infty$. Im Fall $x =1$ ist die Folge konstant $1$ und es ist nichts zu zeigen. Falls $0x_m$ f"ur alle $m>n$. Besitzt unsere Folge unendlich viele Aussichtspunkte, so bilden diese eine streng monoton fallende Teilfolge. Sonst gibt es einen letzten Aussichtspunkt $x_n$. Dann finden wir aber eine monoton wachsende Teilfolge, die mit $x_{n+1}$ beginnt, denn ab dem Index $n+1$ kommt dann nach jedem Folgenglied noch ein anderes, das mindestens ebenso gro"s ist. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bolzano-Weierstra"s}\index{Bolzano-Weierstra"s}]\label{HB} Jede Folge in $\overline{\DR}$ besitzt eine in $\overline{\DR}$ konvergente Teilfolge. Jede beschr"ankte Folge von reellen Zahlen besitzt eine reell konvergente Teilfolge. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Jede Folge in $\overline{\DR}$ besitzt nach \ref{MT} eine monotone Teilfolge, und diese ist nach \ref{mk} konvergent in $\overline{\DR}$. Ist unsere Folge beschr"ankt, so ist auch jede solche Teilfolge beschr"ankt und konvergiert folglich gegen eine reelle Zahl. \end{proof} \begin{Definition}\label{CF} Eine Folge $(x_{n})_{n\in \DN}$ von reellen Zahlen hei"st eine {\bf Cauchy-Folge},\index{Cauchy-Folge} wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $N = N_{\varepsilon } \in \DN$ gibt derart, da"s gilt $|x_{n}-x_{m} | < \varepsilon $ falls $n,m \geq N$. Analog erkl"art man Cauchy-Folgen in beliebigen angeordneten K"orpern. \end{Definition} \begin{Satz}\label{CFB} Eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da"s jede reell konvergente Folge Cauchy sein mu"s, ist leicht zu sehen: Aus $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =x$ folgt, da"s es f"ur alle $\varepsilon > 0$ ein $N \in \DN$ gibt mit $|x_{n}-x| < \varepsilon /2$ f"ur $n\geq N$. Daraus folgt dann $|x_{n}-x_{m}| < \varepsilon $ f"ur $n,m \geq N$. Wir zeigen nun umgekehrt, da"s auch jede Cauchy-Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert. Eine Cauchy-Folge $x_{n}$ ist sicher beschr"ankt, denn w"ahlen wir f"ur $\varepsilon=1$ ein $N=N_\varepsilon$, so liegen fast alle Folgenglieder im Intervall $(x_N-1,x_N+1)$, und die endlich vielen Ausnahmen k"onnen wir durch eine hinreichend gro"se Schranke auch noch einfangen. Unsere Cauchy-Folge besitzt daher nach \ref{HB} eine reell konvergente Teilfolge $x_{n_{k}}$, sagen wir $\lim_{k\ra \infty} x_{n_{k}} =x$. Wir behaupten, da"s dann auch die Folge $x_{n}$ selbst gegen $x$ konvergiert. In der Tat gibt es f"ur alle $\varepsilon > 0$ ein $N_\varepsilon$ mit $n,m \geq N_\varepsilon \Rightarrow |x_{n} -x_{m}| < \varepsilon$. Aus $n\geq N_\varepsilon$ folgt damit insbesondere $|x_{n}-x_{n_{k}}| < \varepsilon$ f"ur fast alle $k$ und dann im Grenzwert $|x_{n}-x|\leq \varepsilon$ , da ja die Ungleichungen $-\varepsilon \leq x_{n}- x_{n_{k}} \leq \varepsilon$ bestehen bleiben beim Grenz"ubergang $k\ra\infty$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein angeordneter K"orper, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, hei"st {\bf vollst"andig}\index{vollst"andig!angeordneter K"orper}. Dieser Begriff ist Teil einer alternativen Charakterisierung der reellen Zahlen, die wir im folgenden als "Ubung formulieren. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein angeordneter K"orper sind gleichbedeutend: (1) Jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke besitzt eine gr"o"ste untere Schranke; (2) Der K"orper ist archimedisch angeordnet und vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubung}[{\bf Intervallschachtelungsprinzip}] Gegeben eine absteigende Folge von nichtleeren kompakten Intervallen\index{Intervallschachtelungsprinzip} $I_0\supset I_1\supset I_2\ldots$ ist auch ihr Schnitt $\bigcap_{\nu\in \DN} I_\nu$ nicht leer.\label{ISP} \end{Ubung} \begin{Ubung} Konvergiert eine Teilfolge einer Cauchyfolge, so konvergiert bereits die ganze Cauchyfolge, und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubung} \subsection{Grenzwerte von Reihen}\label{GVR} \begin{Definition} Sei $(a_{k})_{k\in \DN}$ eine Folge reeller Zahlen. Der Ausdruck $$\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$$ bezeichnet die Folge der {\bf Partialsummen}\index{Partialsumme} $s_{n}=\sum^{n}_{k=0} a_{k}$ und, falls die Folge dieser Partialsummen konvergiert, auch ihren Grenzwert $\lim_{n\ra \infty} s_{n}=s$. Wir sagen dann, die {\bf Reihe} $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ {\bf konvergiere gegen}\index{Konvergenz!von reellen Reihen} $s$. Nennen wir eine Reihe {\bf konvergent},\index{konvergent!reelle Reihe} so meinen wir stets, da"s unsere Reihe gegen eine reelle Zahl konvergiert und nicht etwa gegen $\pm\infty$. Die $a_k$ hei"sen die {\bf Reihenglieder}\index{Reihenglieder}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Andern endlich vieler Reihenglieder}] Es spielt f"ur das Konvergenzverhalten einer Reihe offensichtlich keine Rolle, wenn wir endlich viele ihrer Glieder ab"andern. Das beinflu"st nur den Grenzwert und "andert ihn eben um die Summe unserer endlich vielen "Anderungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Es w"are terminologisch koh"arenter gewesen, wie bei Folgen auch bei Reihen von \glqq reell konvergenten Reihen\grqq\ zu sprechen. Das schien mir jedoch ungeschickt, da man den Begriff dann nicht als Verb verwenden kann: \glqq Die Reihe reell-konvergiert\grqq\ klingt einfach zu holprig, und Sprechweisen wie \glqq die Reihe konvergiert absolut\grqq\ sind oft praktisch. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Dies Beispiel illustriert den oft n"utzlichen {\bf Teleskopsummentrick}:\index{Teleskopsumme} $$\begin{array}{ccl} \sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k(k+1)}& =&\lim_{n\ra \infty} \sum^{n}_{k=1} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})\\[2mm] &=& \lim_{n\ra \infty} (1-\frac{1}{n+1})\\[2mm] &=& 1 \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Reihe}\index{Geometrische Reihe}]\label{GR} Sei $|x|<1$. So gilt $$\sum^{\infty}_{k=0}x^{k}= \frac{1}{1-x}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sicher gilt $(1-x)(1+x+\ldots + x^{n}) =1 -x^{n+1}$, die Partialsummen unserer Reihe ergeben sich also zu $$ 1 + x + \ldots +x^{n} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x\;\;}$$ und streben f"ur $n \ra \infty$ wie gew"unscht gegen $\frac{1}{1-x}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Die Folgen der Gestalt $ax^n$ hei"sen {\bf geometrische Folgen},\index{geometrische Folge}\index{Folge!geometrische} da bei ihnen zumindest im Fall $a>0, x>0$ jedes Folgenglied nach dem ersten das geometrische Mittel im Sinne von \ref{GeoM} seines Vorg"angers und seines Nachfolgers ist. Die geometrische Reihe hinwiederum erbt ihren Namen von der geometrischen Folge. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Es gilt $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \ldots = 2$ und $$0,\!999\ldots = \frac{9}{10} \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{10^k} =1$$ \end{Beispiel} \begin{Satz} Sind $\sum a_{k}$ und $\sum b_{k}$ konvergente Reihen, so konvergieren auch die Reihen $\sum (a_{k}+b_{k})$ und $\sum \lambda a_{k}$ und es gilt: $$\begin{array}{rcl} \sum (a_{k}+b_{k}) &=& \sum a_{k} +\sum b_{k}\\ \sum \lambda a_{k} & =& \lambda \sum a_{k} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort, wenn man die Vertauschbarkeit \ref{BL} von Summen und Produkten mit Grenzwerten auf die Folgen der Partialsummen anwendet. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Reihe kann nur dann konvergieren, wenn die Folge der Reihenglieder gegen Null strebt. In der Tat folgt das sofort, wenn wir \ref{RFNu} auf die Folge der Partialsummen anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Konvergenz beschr"ankter nichtnegativer Reihen}] Eine Reihe, die aus nichtnegativen Gliedern besteht, konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschr"ankt ist.\label{bk} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist kein Reihenglied negativ, so w"achst die Folge der Par\-tial\-summen monoton. Ist diese Folge auch noch beschr"ankt, so mu"s sie nach \ref{mk} reell konvergent sein. Die Umkehrung ist eh klar. \end{proof} \begin{Beispiel} \label{harm} Die {\bf harmonische Reihe}\index{harmonische Reihe} $\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k}$ konvergiert nicht, da ja gilt \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBau} \\[4mm]\noindent Die Divergenz der harmonischen Reihe \ref{harm} zeigt, da"s man mit hinreichend vielen identischen Baukl"otzen einen beliebig weit neben seinem Grundklotz endenden Turm bauen kann. Obiges Bild zeigt etwa, wie weit man mit vier Kl"otzen so gerade eben mal kommen kann. \end{figure} $$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} & \geq &\frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{3}+\frac{1}{4} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ \frac{1}{8} &\geq & \frac{1}{2}\\[2mm] \text{und}&\text{so} &\text{weiter.} \end{array}$$ Jedoch konvergieren die Reihen $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^{s}}$ f"ur $s=2,3,4, \ldots$, da f"ur jede dieser Reihen die Folge der Partialsummen beschr"ankt ist durch $1 + \sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{k(k-1)}=2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In der Funktionentheorie k"onnen Sie lernen, da"s diese Reihen sogar eine au"serordentlich interessante Funktion $\zeta (s)$ definieren, die sogenannte {\bf Riemann'sche $\zeta$-Funktion}\index{Riemann!$\zeta$-Funktion}. Wir werden in \eref{WRZ}{FT1} zeigen, da"s zum Beispiel gilt $\zeta (2) = \frac{\pi^{2}}{6}$, $\zeta (4) = \frac{\pi^{4}}{90}$, $\zeta (6) = \frac{\pi^{6}}{945}$ und nach \eref{WRZa}{FT1} haben wir sogar ganz allgemein $\zeta (2n)\in \DQ\pi^{2n}$ f"ur beliebige nat"urliche Zahlen $n\geq 1$. Alle diese Formeln sind ber"uhmte Resultate des 1707 in Basel geborenen Mathematikers {\bf Leonhard} \defind{Euler}. Als "Ubung \ref{KWPZ} werden Sie im "ubrigen zeigen, da"s auch die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen bereits divergiert. F"ur diejenigen unter Ihnen, die die komplexen Zahlen bereits kennen, sei erw"ahnt, da"s es mit etwas gr"o"serem Aufwand sogar gelingt, $\zeta (s)$ zu definieren f"ur jede komplexe Zahl $s\neq 1$, vergleiche etwa \eref{AZFc}{FT1}. Die vielleicht ber"uhmteste Vermutung der Mathematik, die sogenannte {\bf Riemann'sche Vermutung}\index{Riemann!Riemann'sche Vermutung} besagt, da"s alle Nullstellen der Riemann'schen $\zeta$-Funktion, die nicht auf der reellen Achse liegen, Realteil $1/2$ haben m"ussen. Ein Beweis dieser Vermutung h"atte weitreichende Konsequenzen f"ur unser Verst"andnis der Verteilung der Primzahlen, wie der Beweis des Primzahlsatzes \eref{PZS}{FT1} illustriert. Die Riemann'sche Vermutung ist "ubrigends der Kern des {\bf achten Hilbert'schen Problems}.\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 8} \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Wir sagen, eine Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ {\bf konvergiere absolut},\index{absolut konvergente Reihe!reeller Zahlen} wenn die Reihe der Absolutbetr"age ihrer Reihenglieder konvergiert, wenn also in Formeln gilt $\sum^{\infty}_{k=0} |a_{k}|<\infty$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die sogenannte \defind{alternierende harmonische Reihe} $$\sum^{\infty}_{k=1} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}=1-\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \ldots $$ konvergiert, aber nicht absolut. Da"s die Reihe nicht absolut konvergiert, hatten wir schon in \ref{harm} gesehen. Um zu zeigen, da"s unsere Reihe dennoch konvergiert, beachten wir, da"s f"ur die Folge $s_{n}$ der Partialsummen gilt $$s_{2}\leq s_{4} \leq s_6\leq \ldots s_{5} \leq s_{3} \leq s_{1}$$ Folglich existiert $S = \sup \{s_{2},s_{4},\ldots\}$. Da aber gilt $s_{2k} \leq S \leq s_{2k +1}$ f"ur alle $k$ erhalten wir $|S- s_{n}| \leq \frac{1}{n}$ und folglich $\lim_{n\ra \infty} s_{n} =S$. Wir werden in \ref{AbK} sehen, da"s genauer gilt $ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots = \log 2$. \end{Beispiel} \begin{Satz} Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ unsere absolut konvergente Reihe. Seien $$s_{n} = \sum^{n}_{k=0} a_{k},\;\; S_{n} = \sum^{n}_{k=0} |a_{k}|$$ die Partialsummen der Reihe selbst und der Reihe der Absolutbetr"age. Nach Annahme konvergiert die Folge der $S_{n}$ in $\DR$ und ist also eine Cauchy-Folge. Da aber gilt $|s_{n}-s_{m}| =|\sum^{n}_{k=m+1} a_{k}| \leq \sum^{n}_{k=m+1} |a_{k}|=S_{n}-S_{m} \quad \forall n>m$, ist dann auch $s_{n}$ eine Cauchy-Folge und konvergiert in $\DR$ nach \ref{CFB}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Umordnungssatz}\index{Umordnungssatz}]\label{US} Ist $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ eine absolut konvergente Reihe und $u:\DN \ra \DN$ eine Bijektion, so ist auch $\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)}$ eine absolut konvergente Reihe und es gilt $$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} = \sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da $\sum |a_k|$ konvergiert, finden wir sicher f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $N$ mit $\sum^{\infty}_{k=N+1}|a_{k}| \leq \varepsilon $. Ist $M$ so gro"s, da"s gilt $ u (\{1,\ldots , M\})\supset \{1,\ldots , N\}$, so erhalten wir daraus f"ur alle $n\geq N$ die Absch"atzung $$\left| \sum^{M}_{k=0} a_{u(k)} - \sum^{n}_{k=0} a_k\right| \leq \varepsilon $$ Diese Absch"atzung gilt nach der Erhaltung \ref{UGG} von Ungleichungen im Grenzwert und der Vertauschbarkeit \ref{VSTF} von stetigen Funktionen mit Grenzwerten dann auch im Grenzwert $n\ra\infty$ und zeigt, da"s die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe konvergiert und denselben Grenzwert hat wie die Folge der Partialsummen der urspr"unglichen Reihe. Wenden wir diese Erkenntnis an auf die Reihe der Absolutbetr"age, so folgt auch die absolute Konvergenz der umgeordneten Reihe. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht absolut konvergiert, so gibt es f"ur jedes $x\in\Bbb{R}$ eine Umordnung $u:\DN\sira\DN$ mit $\sum_{k=0}^\infty a_{u(k)}=x$. In der Tat divergieren in diesem Fall die Reihen ihrer positiven und ihrer negativen Terme jeweils f"ur sich genommen. Die Strategie ist nun, erst nur positive Reihenglieder zu nehmen, bis man oberhalb von $x$ ist, dann nur negative, bis man wieder drunterrutscht, und immer so weiter. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Majorantenkriterium}\index{Majorantenkriterium}] Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe.\label{MajK} Gibt es f"ur unsere Reihe eine konvergente {\bf\em Majorante}\index{Majorante}, als da hei"st eine konvergente Reihe $\sum b_{k}$ mit $|a_{k}| \leq b_{k}$ f"ur fast alle $k$, so konvergiert unsere Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $|a_{k}| \leq b_{k} $ sogar f"ur alle $k$ gilt. Die Reihe $\sum |a_{k}|$ besteht nun aus nichtnegativen Gliedern und die Folge ihrer Partialsummen ist beschr"ankt durch $\sum b_{k}$. Aus der Konvergenz beschr"ankter nichtnegativer Reihen \ref{bk} folgt damit die Konvergenz der Reihe $\sum |a_{k}|$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Quotientenkriterium}\index{Quotientenkriterium}] Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern. Gibt es $\theta < 1$ mit $|a_{k+1}/a_{k}| \leq \theta$ f"ur\label{QuK} fast alle $k$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Bei diesem Kriterium ist wesentlich, da"s $\theta$ nicht von $k$ abh"angt, die Ungleichungen $|a_{k+1}/a_{k}| < 1$ gelten ja auch f"ur die divergente harmonische Reihe. Es gibt jedoch auch Reihen wie $\sum\frac{1}{k^2}$, die absolut konvergieren, obwohl sie unser Kriterium nicht dazu zwingt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Indem wir endlich viele Glieder ab"andern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $|a_{k+1}/a_{k}| \leq \theta$ sogar f"ur alle $k$ gilt. Daraus folgt induktiv $|a_{k}| \leq |a_{0}| \theta^{k}$ f"ur alle $k$, mithin ist die nach \ref{GR} konvergente geometrische Reihe $\sum |a_{0}|\theta^{k}$ eine Majorante unserer Reihe und wir k"onnen das Majorantenkriterium \ref{MajK} anwenden. \end{proof} \begin{Korollar}\label{KQK} Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern. Gilt $\lim_{k\ra \infty} |a_{k+1}/a_{k}| <1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Klar nach dem Quotientenkriterium \ref{QuK}. \end{proof} \begin{Definition}\label{BAKo}%\label{BUS} Gegeben eine Familie von reellen Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ und $s\in\overline{\DR}$ schreiben wir $$\sum_{i\in I} a_i=s$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jedes endliche $J$ mit $ I_U\subset J\subset I$ gilt $$\sum_{i\in J} a_i\in U$$ Es ist klar, da"s hier $s$ eindeutig bestimmt ist, wenn es existiert. Ist zus"atzlich $s$ reell, so nennen wir unsere Familie von reellen Zahlen {\bf summierbar}.\index{summierbar!Familie reeller Zahlen} \end{Definition} % \begin{Definition}\label{BAKo}%\label{BUS} % Eine Familie $(a_i)_{i\in I}$ von reellen Zahlen hei"st % \defnoind{summierbar}\index{summierbar!Familie reeller Zahlen} % {\bf mit Summe} $s$ % und man schreibt % $$\sum_{i\in I} a_i=s$$ % genau dann, wenn es f"ur jede % Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, % da"s f"ur jedes endliche $J$ mit % $ I_U\subset J\subset I$ gilt % $$\sum_{i\in J} a_i\in U$$ % Diese Definition ist durchaus f"ur $s\in\overline{\DR}$ sinnvoll, % wir nennen unsere Familie jedoch nur im Fall $s\in \DR$ summierbar. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mir gef"allt die letzte Definition besonders gut, da darin von einer Reihenfolge der Summanden erst gar nicht die Rede ist. In der folgenden "Ubung d"urfen Sie zeigen, da"s die in der vorhergehenden Definition erkl"arte Summierbarkeit im wesentlichen gleichbedeutend zu absoluter Konvergenz ist. Sp"ater, wenn wir auch in Vektorr"aumen summieren, sind jedoch Summierbarkeit und absolute Konvergenz nicht mehr gleichbedeutend, und dann erweist sich das Analogon \ref{ABSB} der Summierbarkeit \ref{BAKo} als der n"utzlichere Begriff. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{RPP} Genau dann l"a"st sich eine reelle Zahl durch einen periodischen Dezimalbruch darstellen, wenn sie rational ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LK} Man zeige das {\bf Leibniz'sche Konvergenzkriterium}\index{Leibniz'sches Konvergenzkriterium}: Ist $a_{k}$ eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^{k} a_{k}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen und $u:\DN\sira\DN$ eine Umordnung mit der Eigenschaft, da"s $|u(k)-k|$ beschr"ankt ist, so konvergiert auch die umgeordnete Reihe $\sum a_{u(k)}$ und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{SuFa} Man zeige, da"s in einer summierbaren Familie von reellen Zahlen nur f"ur h"ochstens abz"ahlbar viele Indizes $i\in I$ das entsprechende $a_i$ von Null verschieden sein kann. Hinweis: Sonst g"abe es ein $n\geq 1$ derart, da"s f"ur unendlich viele $i$ g"alte $|a_i|>1/n$. Man zeige dann weiter, eine Familie von reellen Zahlen summierbar ist genau dann, wenn f"ur eine und jede Abz"ahlung ihrer von Null verschiedenen Glieder die so entstehende Reihe absolut konvergiert, und da"s dann die Summe unserer Familie der Grenzwert der entsprechenden Reihe ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine summierbare Familie von reellen Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ zeige man,\label{RMKo} da"s auch f"ur eine beliebige Teilmenge $J\subset I$ die Familie $(a_i)_{i\in J}$ summierbar ist, und da"s f"ur eine beliebige Zerlegung $I=\coprod_{k\in K}I(k)$ von $I$ in eine Vereinigung von paarweise disjunkten Teilmengen $I(k)$ gilt $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{k\in K}(\sum_{i\in I(k)} a_i)$. Weiter zeige man f"ur jede aufsteigende Familie von Teilmengen $I_0\subset I_1\subset \ldots$ mit Vereinigung $I$ die Formel $\sum_{i\in I} a_i=\lim_{n\ra\infty}\sum_{i\in I_n}a_i$. Diese Aussagen werden sich im "ubrigen als Speziallf"alle des Satzes von Fubini \eref{Fuba}{AN3} und des Satzes "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} aus der Theorie des Lebesgue-Integrals erweisen. \end{Ubunge} \subsection{Wachstum und Zerfall}\label{Exp} \begin{Definition}\label{DEx} F"ur alle $x\in\DR$ setzen wir $$\exp (x) \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} =1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+ \ldots$$ und erhalten so eine Abbildung $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, die {\bf Exponentialfunktion}\index{Exponentialfunktion}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die fragliche Reihe konvergiert f"ur alle $x\in\DR$ nach dem Quotientenkriterium oder genauer seinem Korollar \ref{KQK}, und sie konvergiert sogar au"serordentlich schnell. Von einem formalen Standpunkt aus betrachtet ist unsere Definition also v"ollig unproblematisch und von einem rechentechnischen Standpunkt aus betrachtet ist sie sogar ziemlich geschickt. Sie hat nur den Nachteil, da"s aus der Definition heraus weder klar wird, warum gerade diese Funktion den Namen Exponentialfunktion verdienen sollte, noch warum sie "uberhaupt von Interesse ist. Ich erl"autere das in den gleich anschlie"senden Bemerkungen \ref{EEED} und \ref{EEEb}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{EEE} Es gilt $\exp (x) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{x}{n} \right)^{n}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Mit der binomischen Formel \eref{BiFoA}{GR} ergibt sich $$ \left( 1+ \frac{x}{n}\right)^{n} = \sum^{n}_{k=0}{n \choose k} \left(\frac{x}{n}\right)^{k} = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)} {n\;\cdot\; n\cdot\;\hfill\ldots\hfill \cdot\; n\;\;\;\;\;} $$ F"ur beliebige $M,n\in\DN$ mit $n\geq 1$ gilt also $$\begin{array}{cl} \left|\exp (x) - \left( 1+\frac{x}{n}\right)^{n} \right| \leq & \left| \exp (x) -\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} \right| \\[4mm] & + \left|\sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}}{k!} - \sum^{M}_{k=0} \frac{x^{k}} {k!} \frac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right| \\[4mm] & + \left| \sum^{\infty}_{k=M+1} \frac{x^{k}}{k!} \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{n\;\cdot\; n\;\cdot\hfill\ldots\hfill\cdot\; n\;\;\;\;\;\;} \right| \end{array}$$ Da die Exponentialreihe f"ur vorgegebenes $x$ absolut konvergiert, gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $M=M_\varepsilon$ derart, da"s f"ur jedes $n$ der erste und der letzte Term rechts beschr"ankt sind durch $\varepsilon $. F"ur dies feste $M$ geht der mittlere Term bei $n \ra \infty$ gegen Null, es gibt also $N =N_{\varepsilon }$ derart, da"s er f"ur dies feste $M$ kleiner wird als $\varepsilon $ falls $n\geq N$. Damit gilt $\left| \exp (x) - \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right| \leq 3 \varepsilon $ falls $n \geq N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialfunktion und Wachstum}] Unsere Proposition \ref{EEE} kann man dahingehend interpretieren, da"s $\exp (x)$ das Kapital ist, das in $x$\label{EEEb} Jahren aus einem Euro entsteht bei einer \glqq kontinuierlichen Verzinsung mit einem Zinssatz von $100\%$\grqq. Legen wir das Geld zum Beispiel f"ur ein Jahr an, so haben wir bei j"ahrlicher Verzinsung am Ende des Jahres zwei Euro auf dem Konto. Bei monatlicher Verzinsung ergeben sich mit Zinseszinsen schon $(1+\frac{1}{12})^{12}$ Euro, und bei kontinuierlicher Verzinsung $\op{e} \pdef \exp (1) = 2,\!781 \ldots$ Euro. Man nennt $\op{e}$ die {\bf Euler'sche Zahl}\index{Euler'sche Zahl}. In der Schule haben Sie m"oglicherweise $\op{e}^{x}$ statt $\exp (x)$ geschrieben, aber wir erlauben uns das erst ab \ref{APo}, wo wir f"ur beliebiges $a>0$ die Abbildung $\DZ\ra\DR$, $n\mapsto a^n$ zu einer Abbildung $\DR\ra\DR$, $b\mapsto a^b$ fortsetzen und zwar nach \ref{SRR2} auf die einzig m"ogliche Weise, bei der die Funktion $b\mapsto a^b$ \glqq monoton\grqq\ ist im Sinne von \ref{MoAb} und die \glqq Funktionalgleichung\grqq\ $a^{b+c}=a^b a^c$ erf"ullt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/Bildexp}%Bild0013 \\ \noindent Der Graph der Exponentialfunktion in zwei Ma"sst"aben. Man erkennt unschwer, da"s ein konstantes Wirtschaftswachstum "uber l"angere Zeitr"aume in einer Katastrophe enden mu"s. In derselben Weise entwickelt sich im "Ubrigen auch die Geschwindigkeit einer Vorlesung unter der Annahme, da"s die Stoffmenge, die in einer Stunde vermittelt werden kann, proportional ist zur Menge des Stoffes, den die Zuh"orer bereits kennen\dots \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{EEED} In einem Ausdruck der Gestalt $a^b$ nennt man $a$ die {\bf Basis} und $b$ den {\bf Exponenten}, weil er eben exponiert oben an die Basis geschrieben wird. Daher r"uhrt auch die Bezeichnung als \glqq Exponentialfunktion\grqq. Ich w"urde unsere Funktion viel lieber ihrer Natur nach die \glqq Funktion des nat"urlichen Wachstums\grqq\ oder die \glqq Wachstumsfunktion\grqq\ nennen, aber die aus der Schreibweise abgeleitete Bezeichnung hat sich nun einmal durchgesetzt, mag sie auch aus historischen Zuf"allen entstanden sein: H"atte sich f"ur die Bezeichnung des Quadrats einer Zahl $a$ statt der Notation $a^2$ die Notation $a_2$ eingeb"urgert, so w"urde in Anbetracht dieses Schemas der Begriffsbildung unsere Exponentialfunktion heute vielleicht \glqq Pedestalfunktion\grqq\ hei"sen$\ldots$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Didaktische Gedanken zur Einf"uhrung der Exponentialfunktion}] Eine infinitesimale Formulierung der in \ref{EEEb} erl"auterten Bedeutung der Exponentialfunktion gibt Korollar \ref{KEe}, in dem die Exponentialfunktion charakterisiert wird als die eindeutig bestimmte differenzierbare Funktion von den reellen Zahlen in sich selber, die mit ihrer eigenen Ableitung "ubereinstimmt und bei Null den Wert Eins annimmt. Gehen wir von dieser Charakterisierung aus, so f"uhrt uns der Formalismus der Taylorreihen \ref{TEe} ganz nat"urlich zu der Reihe, die wir in \ref{DEx} haben vom Himmel fallen lassen, um m"oglichst schnell erste substanzielle Anwendungen unserer Betrachtungen zu Folgen und Reihen geben zu k"onnen. Eigentlich will ich es ja nach M"oglichkeit vermeiden, Formeln vom Himmel fallen zu lassen. In diesem Fall schienen mir aber die didaktischen Vorteile der dadurch erm"oglichten fr"uhzeitigen Einf"uhrung dieser au"serordentlich wichtigen Funktion zu "uberwiegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Exponentialfunktion w"achst ungeheuer schnell. Eine gewisse Vorstellung davon mag die Erkenntnis \ref{GHK} geben, nach der der Graph der Funktion $(\op{exp}(x)+\op{exp}(-x))/2$, in einem jeweils der speziellen Situation angepa"sten Ma"sstab auf die Wand gemalt, genau die Gestalt einer zwischen zwei N"ageln durchh"angenden Kette hat. Ist die Kette zwanzigmal so lang ist wie der Abstand der beiden N"agel, so stellt sie unsere Funktion in etwa auf dem Intervall von $-2,\!3$ bis $2,\!3$ dar. Ist die Kette zweihundertmal so lang wie der Abstand der beiden N"agel, so erhalten wir unsere Funktion in etwa auf dem Intervall von $-4,\!6$ bis $4,\!6$. Und eine Zwei-Meter-Kette h"angt zwischen zwei im Abstand von einem knappen Zentimeter eingeschlagenen N"ageln schon recht steil! \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}] Die Exponentialfunktion ist ein\label{FdE} Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen. In Formeln ausgedr"uckt gilt f"ur alle $x,y\in\DR$ also $\exp(x)\neq 0\neq \exp(y)$ und $$\exp (x+y) = \exp (x) \exp(y)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Stellen wir uns $\exp (x)$ vor als das Verm"ogen, da"s in $x$ Jahren aus einem Euro entsteht bei kontinuierlicher Verzinsung mit $100\%$, so erhalten wir offensichtlich gleichviel, ob wir unser Verm"ogen $\exp (x)$ nach $x$ Jahren gleich wieder f"ur $y$ Jahre anlegen, oder ob wir unseren Euro gleich von Anfang an $x+y$ Jahre arbeiten lassen. Das ist die Bedeutung der Funktionalgleichung. In \ref{SRR2} werden Sie zeigen, da"s die Gruppenhomomorphismen $\varphi:\DR\ra\DR^\times$ mit der Eigenschaft $x0$. In \ref{SurE} werden wir zeigen, da"s die Exponentialfunktion sogar einen Isomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der gleich folgende Beweis der Funktionalgleichung gef"allt mir nicht besonders. Ein anderer aber in seiner Weise auch etwas verwickelter Beweis wird in \ref{FGEX} vorgestellt. Ein mehr konzeptueller Zugang zur Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung wird in \ref{AAExp} und \ref{UAExp} skizziert. Er ben"otigt jedoch Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung stehen, und er l"a"st auch nicht so einfach auf den Fall von komplexen Zahlen verallgemeinern, der f"ur uns bei der Diskussion von Sinus und Cosinus eine wesentliche Rolle spielen wird. Wir schicken dem eigentlichen Beweis einige allgemeine Betrachtungen voraus. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Produkt von Reihen}\index{Produkt!von Reihen}] Sind $\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}$ und $\sum^{\infty}_{j=0} b_{j}$ absolut konvergente Reihen, so\label{PvR} konvergiert auch die Summe der Produkte $a_ib_j$ f"ur $(i,j)\in \DN\times \DN$ im Sinne von \ref{BAKo} und es gilt $$\sum_{(i,j)\in \DN\times \DN} a_{i}b_{j} = \left(\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} b_{j}\right) $$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s f"ur irgendeine Bijektion $w : \DN \ra \DN \times \DN$, $ k \mapsto (u(k),v(k))$ die Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)} b_{v(k)}$ absolut konvergiert und da"s gilt $$\sum^{\infty}_{k=0} a_{u(k)}b_{v(k)} = \left(\sum^{\infty}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{\infty}_{j=0} b_{j}\right) $$ Nat"urlich haben wir $$\sum^{n}_{k=0} |a_{u(k)} b_{v(k)}| \leq \left( \sum^{N}_{i=0} |a_{i}| \right) \left( \sum^{M}_{j=0} |b_{j}| \right)$$ falls gilt $ N \geq \max (u(0),\ldots ,u(n))$ und $M \geq \max (v(0), \ldots, v(n))$. Damit konvergiert unsere Reihe $\sum a_{u(k)}b_{v(k)}$ absolut. Nach dem Umordnungssatz \ref{US} k"onnen wir also die Bijektion $w: \DN\ra \DN \times \DN$ nehmen, die wir wollen, um den Grenzwert zu bestimmen. Jetzt w"ahlen wir unsere Bijektion $w=(u,v)$ so, da"s sie Bijektionen $$\{0, \ldots , n^{2}-1\} \sira \{0,\ldots , n-1\} \times \{0,\ldots ,n-1\}$$ induziert, und erhalten Partialsummen $$\sum^{n^{2}-1}_{k=0} a_{u(k)}b_{v(k)} = \left( \sum^{n-1}_{i=0} a_{i}\right) \left( \sum^{n-1}_{j=0}b_{j}\right)$$ Der "Ubergang zum Grenzwert $n\ra \infty$ zeigt dann die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beweisvariante}] Das Ende des Beweises h"atte sehr viel besser ausgesehen, wenn wir unsere Reihen mit dem Index $k=1$ beginnen lie"sen, aber so sieht der Anfang des Beweises nat"urlicher aus. In Wirklichkeit zeigen wir eh f"ur beliebige im Sinne von \ref{BAKo} summierbare Familien reeller Zahlen $(a_i)_{i\in I}$ und $(b_j)_{j\in J}$, da"s auch die Familie aller Produkte $(a_i b_j)_{(i,j)\in I\times J}$ summierbar ist und da"s gilt $$\left(\sum_{i\in I}a_i\right) \left(\sum_{j\in J}b_j\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}a_ib_j$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Funktionalgleichung \ref{FdE}] Wir rechnen $$\begin{array}{ccl} \hspace{0.5cm}\exp (x+y) &=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!}(x+y)^{k}\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \left(\sum_{i+j=k} \frac{k!}{i!j!} x^{i}y^{j}\right)\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j=k} \frac{x^{i}}{i!} \frac{x^{j}} {j!}\right) \end{array}$$ wo wir im zweiten Schritt die binomische Formel verwenden und der Index $i+j=k$ an einer Summe bedeutet, da"s wir "uber alle Paare $(i,j) \in \DN \times \DN$ mit $i+j =k$ summieren. Andererseits erhalten wir mit unserem Satz "uber das Produkt von Reihen bei einer geeigneten Wahl der Bijektion $w: \DN \sira \DN \times \DN$ und nach "Ubergang zu einer Teilfolge der Folge der Partialsummen auch $$\begin{array}[b]{ccl} \exp (x) \exp (y) & =& \left( \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{i}}{i!}\right) \left(\sum^{\infty}_{j=0} \frac{y^{j}}{j^{!}}\right)\\ &=& \sum^{\infty}_{k=0} \left( \sum_{i+j =k} \frac{x^{i}}{i!} \frac{y^{j}}{j!}\right) \end{array}$$ Da sicher gilt $\exp(0)=1$, folgt $\exp(x)\exp(-x)=\exp(x+(-x))=1$ f"ur alle $x\in\DR$ und mithin $\exp(x)\neq 0$ f"ur alle $x\in\DR$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{StE} Die Exponentialfunktion $\exp : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ ist stetig. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Die Stetigkeit der Exponentialfunktion k"onnen wir sp"ater auch aus dem allgemeinen Satz \ref{PR} folgern: Potenzreihen stellen auf ihrem Konvergenzbereich immer stetige Funktionen dar. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \ref{ede} an. Mit der Funktionalgleichung finden wir $$|\exp (x) - \exp (p) | = |\exp (p)| \cdot |\exp (x -p) - \exp (0)|$$ Nun beachten wir, da"s f"ur $|y| \leq 1$ gilt $$|\exp (y) -\exp (0)|=|y| \cdot \left| \sum^{\infty}_{i=1} \frac{y^{i-1}} {i!} \right| \leq|y| \cdot \sum^{\infty}_{i=1} \frac{|y|^{i-1}} {(i-1)!} \leq |y| \op{exp}(1)$$ wo wir im zweiten Schritt die Dreiecksungleichung sowie die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert verwenden und die Nenner verkleinern. Aus $|x-p| \leq 1$ folgt also $|\exp (x) - \exp (p)| \leq \exp(p)|x-p| \op{e}$ und f"ur gegebenes $\varepsilon > 0$ k"onnen wir mithin $\delta=\op{inf}\{1, \varepsilon/(\exp(p)\op{e})\}$ nehmen. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExLo}\\[4mm] \noindent Die Graphen von Logarithmus und Exponentialfunktion gehen wie immer bei Umkehrfunktionen durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen $x=y$ auseinander hervor. \end{figure} \begin{Definition}\label{SurE} Aus dem Zwischenwertsatz folgt $\exp (\Bbb{R}) = (0,\infty)$, denn wir haben offensichtlich $\lim_{n\ra \infty} \exp (n) = \infty$ und damit $\lim_{n\ra -\infty} \exp (n) =0$ nach \ref{StI}. Wir k"onnen also den {\bf nat"urlichen Logarithmus}\index{Logarithmus!nat"urlicher} oder kurz {\bf Logarithmus} einf"uhren als die Umkehrfunktion\index{log@$\log$} $$\log : (0,\infty) \ra \Bbb{R}$$ der Exponentialfunktion, $\log (\exp (x))=x$, und erhalten aus Satz \ref{USS} die Stetigkeit des Logarithmus. In der franz"osischen Literatur bezeichnet man diese Funktion auch als {\bf logarithme n\'{e}p\'{e}rien}\index{logarithme n\'{e}p\'{e}rien}\index{n\'{e}p\'{e}rien!logarithme} in Erinnerung an den schottischen Mathematiker John Napier, der die ersten Logarithmentafeln aufstellte. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Exponentialfunktion liefert nach \ref{FdE} und \ref{SurE} einen Isomomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe aller positiven reellen Zahlen. Daraus folgt sofort\label{fglo} $$ \log (xy) = \log x + \log y \text{ und } \log (\op{e}) = 1$$ Die erste Formel mag man die {\bf Funktionalgleichung des Logarithmus}\index{Funktionalgleichung!des Logarithmus} nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Notation \glqq $\op{log}$\grqq\ ist leider nicht universell. Auf vielen Taschenrechnern und auch in "alteren B"uchern wird unsere Funktion \glqq $\log$\grqq\ notiert als \glqq $\op{ln}$\grqq\ \index{ln@$\op{ln}$} f"ur \glqq logarithmus naturalis\grqq\ oder \glqq logarithme N\'eperien\grqq\ und das K"urzel \glqq $\log$\grqq\ steht f"ur den \glqq Logarithmus zur Basis $10$\grqq, den wir in \ref{LoB} einf"uhren und mit $\log_{10}$ bezeichnen werden. Der Logarithmus zur Basis $10$ wird in manchen Quellen auch der \glqq Brigg'sche Logarithmus\grqq\ genannt und mit \glqq $\op{lg}$\grqq\ \index{lg@$\op{lg}$} bezeichnet. Die Norm ISO 31-11 empfiehlt die Notationen \glqq $\op{ln}$\grqq\ und \glqq $\op{lg}$\grqq, wir verwenden jedoch $\log$ statt $\op{ln}$, weil das in der reinen Mathematik so "ublich ist und wir damit der Konvention folgen, spezielle Funktionen nach M"oglichkeit mit K"urzeln aus drei Buchstaben zu notieren. \glqq Logarithmus\grqq\ ist das griechische Wort f"ur \glqq Rechnung\grqq, und f"ur das Rechnen waren die Logarithmentafeln, in denen die Werte des Logarithmus zur Basis Zehn aufgelistet wurden, auch au"serordentlich praktisch: Mit ihrer Hilfe konnte man n"amlich Divisionen in Subtraktionen verwandeln und Wurzelziehen in Divisionen, wie wir gleich n"aher ausf"uhren. Die Entdeckung der Logarithmen und die ersten Logarithmentafeln von Napier bedeuteten f"ur die damalige Wissenschaft eine ungeheure Arbeitserleichterung und wurden begeistert begr"u"st. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\defind{Allgemeine Potenzen}]\label{APo} Gegeben $a,x\in \DR $ mit $a>0$ setzen wir\index{^@$a^x$ allgemeine Potenz} $$a^x \pdef \exp (x \log a)$$ Im Fall $x>0$ vereinbart man zus"atzlich $0^x=0$. Das f"uhrt dazu, da"s f"ur $x>0$ die Funktion $a\mapsto a^x$ sogar stetig ist auf $[0, \infty)$. Es f"uhrt allerdings auch dazu, da"s die Funktion $x\mapsto 0^x$ mit unserer Konvention $0^0=1$ zwar auf $[0, \infty)$ definiert aber bei $x=0$ \emph{nicht} stetig ist. Damit m"ussen wir nun weiterleben. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDefeax}\\[4mm] \noindent Dieses Bild stellt den unangenehm verzwickelten Bereich aller $(x,a)\in\DR^2$ dar, f"ur die $a^x$ definiert ist: Bei $x\in \DN$ sind das jeweils alle $a\in\DR$, bei ganzzahligem $x\in\DZ_{<0}$ nur alle $a\in \DR^\times$, bei reellem nichtganzen $x>0$ alle $a\geq 0$, bei reellem nichtganzen $x<0$ alle $a> 0$. Unangenehm ist die Unstetigkeitsstelle am Ursprung, auf der senkrechten Koordinatenachse ist ja nun unsere Funktion konstant Eins und auf der positiven waagerechten Koordinatenachse konstant Null. Diese Unstetigkeitsstelle ist aber auch die Einzige. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Man pr"uft ohne Schwierigkeiten die Formeln $a^0=1$, $a^{1}=a$ und $ a^{x+y} = a^{x}a^{y}$ und folgert insbesondere, da"s im Fall $a>0$ und $n\in\DZ$ oder $a\geq 0$ und $n\in \DZ_{\geq 1}$ das hier definierte $a^n$ "ubereinstimmt mit unserem $a^n$ aus der Tabelle am Ende von Abschnitt \eref{KFt}{GR}. F"ur beliebige $a,b>0$ und $ x,y\in\DR$ pr"uft man leicht die Rechenregeln $ a^{xy}=(a^{x})^{y}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und $\log(a^x)=x\log a$. Ist speziell $a=\op{e}$ die Euler'sche Zahl, so gilt $\log\op{e} =1$ und folglich $\exp (x)=\op{e}^x$. F"ur beliebige $a,b\geq 0$, $ x,y\in\DR_{>0}$ und $q\in\DN$, $q\geq 1$ pr"uft man ebensoleicht die Rechenregeln $ a^{xy}=(a^{x})^{y}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ und $\sqrt[q]{a} = a^{1/q}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in $\DR^\times$}]\index{Gruppenweg!in $\DR^\times$} Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{SRR1} $\DR\ra\DR^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$ f"ur beliebiges aber festes $a\in \DR_{>0}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $G : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^\times$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus, als da hei"st eine stetige Abbildung mit $G(x+y) = G (x) G(y) \; \forall x,y \in \Bbb{R}$, so bildet $G$ nach \eref{BNE}{GR} notwendig das neutrale Element auf das neutrale Element ab, in Formeln $G(0)=1$. Mit dem Zwischenwertsatz folgt $G(x) > 0 \; \forall x \in \Bbb{R}$. Damit k"onnen wir den Gruppenhomomorphismus $F = \log \circ G:\DR\ra\DR$ bilden und aus \ref{SRR} folgt sofort $F(x) = x F(1)$, also $G(x) = \exp (F(x))= \exp (xF(1))=\exp (x \log G(1))$. \end{proof} \begin{Definition}\label{LoB} Gegeben $a>0$ nennt man die Umkehrabbildung der Abbildung $x\mapsto a^x$ auch den {\bf Logarithmus zur Basis $a$} $$\log_a:(0,\infty)\ra\Bbb{R}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der nat"urliche Logarithmus ist also der Logarithmus mit der Euler'schen Zahl $\op{e}$ als Basis, in Formeln $\log=\log_{\op{e}}$. Der Logarithmus zur Basis $a$ l"a"st sich durch den nat"urlichen Logarithmus ausdr"ucken vermittels der Formel $\log_a x=\frac{\log x}{\log a}$. Man kommt deshalb meist mit dem nat"urlichen Logarithmus aus. Die Notation $\log_a$ ist konform mit der Norm ISO 31-11, in der zus"atzlich auch noch die Abk"urzung $\log_2=\op{lb}$\index{lb@$\op{lb}$} f"ur den {\bf bin"aren Logarithmus}\index{bin"arer Logarithmus} \index{Logarithmus!bin"arer} empfohlen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur alle $a >0$ folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion und indem man f"ur ein logisch vollst"andiges Argument die folgende Gleichungskette von hinten nach vorne liest $$\begin{array}{ccl} \lim_{n\ra \infty}\sqrt[n]{a} &=& \lim_{n\ra \infty} \exp \left(\frac{1}{n} \log a \right)\\[2mm] &=& \exp \left( \lim_{n\ra \infty} \frac{1}{n} \log a\right)\\[2mm] &=& \exp (0) \\[2mm] &=& 1 \end{array}$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Sei $\sum a_{k}$ eine Reihe. Man zeige das {\bf Wurzelkriterium}:\index{Wurzelkriterium!f"ur Reihenkonvergenz} Gilt $\lim_{k\ra \infty} \sqrt[k]{|a_{k}|} <1$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ absolut. Hinweis: Analog zum Beweis des Quotientenkriteriums. Meiner Erfahrung nach ist dies Kriterium in der Praxis selten von Nutzen, da es meist auf schwer zu bestimmende Grenzwerte f"uhrt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man folgere aus der Funktionalgleichung \ref{fglo} des Logarithmus die Formeln $\log (1) = 0$, $\log (x^{-1}) = -\log (x)$, $\log (x^{n}) = n\log (x)$ und $\log (\sqrt[q]{x}) = \frac{1}{q}\log (x)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $a\leq b$ aus $\overline{\DR}$ gegeben und sei $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig mit $f(b)=0$. Man zeige, da"s dann $f$ eine kleinste Nullstelle in $[a,b]$ hat. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{NUge} Jede Polynomfunktion $x\mapsto a_nx^n+\ldots + a_0$ mit $a_n\neq 0$ und $n$ ungerade besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. Ist $a_n>0$ und $a_0>0$, so besitzt sie sogar mindestens eine negative Nullstelle. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur $a>0$ die Identit"at $\lim_{n\ra \infty} n(1-\sqrt[n]{a})= \log a$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Bei einem radiokativen Material wird nach einem Tag nur noch $90\%$ der Strahlungsaktivit"at gemessen. Wie lange dauert es, bis die Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen ist? Nun, halten wir einen Referenzzeitpunkt beliebig fest, so wird die Aktivit"at nach Vergehen einer Zeitspanne $\tau$ gem"a"s "Uberlegungen wie in \ref{EEEb} gegeben durch eine Formel der Gestalt $M \op{e}^{c\tau}$ mit unbekannten $M$ und $c$. Wir k"urzen die Zeiteinheit \glqq Stunde\grqq\ ab mit dem Buchstaben $\op{h}$ f"ur lateinisch \glqq hora\grqq. Formal ist $\op{h}$ eine Basis des in \eref{ZSV}{GR} angedachten eindimensionalen reellen Vektorraums \glqq aller Zeitspannen\grqq, und formal ist auch $M$ ein Element eines gedachten eindimensionalen reellen Vektorraums \glqq aller Strahlungsaktivit"aten\grqq\ und $c$ liegt im Raum der Linearformen auf dem Raum aller Zeitspannen, in dem wir mit $\op{h}^{-1}$ dasjenige Element bezeichnen werden, das auf $\op{h}$ den Wert Eins annimmt. So formal will ich hier aber eigentlich gar nicht werden und schreibe das Auswerten solch einer Linearform auf einer Zeitspanne schlicht als Produkt. F"ur $\tau=24 \op{h}$ wissen wir nun nach unserer Messung $M \op{e}^{c \cdot 24\op{h}} = \frac{90}{100} M$ und damit $c = ((\log 9/10) / 24)\op{h}^{-1}$. Bezeichnet $t$ die Zeitspanne, nach der die Aktivit"at auf die H"alfte abgeklungen ist, so haben wir also $M \op{e}^{c t} = M/2$ alias $ c t =- \log 2 $ und damit $$t = -\frac{\log 2}{c } = \frac{-\log (2) \cdot 24}{\log (9/10)}\op{h} $$ \end{Beispiel} \begin{Ubunge} Das eingestrichene A liegt bei $440$ Herz. Bei wieviel Herz etwa liegt das eingestrichene F? Hinweis: Die L"osung dieser Aufgabe ben"otigt zus"atzlich zu mathematischen Kenntnissen auch physikalische und musikalische Vorkenntnisse. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Versteht man eine positive reelle Zahl als das Verh"altnis zweier gleichartiger Gr"o"sen, so sagt man f"ur den Zehnerlogarithmus besagter Zahl auch, er \glqq dr"ucke das Verh"altnis in {\bf Bel}\index{Bel} aus\grqq. Diese Sprechweise ehrt Alexander Graham Bell, der das Telephon einf"uhrte. So k"onnte man etwa sagen, das Verh"altnis von Gramm zu Kilo betrage $3$ Bel, statt von einem Verh"altnis von Eins zu Tausend alias $1$ zu $10^3$ zu reden. Das Verh"altnis von Kilo zu Tonne betr"agt nat"urlich auch $3$ Bel, und das Verh"altnis von Gramm zu Tonne folglich $6$ Bel. H"aufig redet man auch von {\bf Dezibel}\index{Dezibel} alias \glqq zehntel Bel\grqq. Das ist jedoch \glqq multiplikativ\grqq\ zu verstehen, ein Verh"altnis von $1$ Dezibel meint also ein Verh"altnis von Eins zu $\sqrt[10]{10} \approx 1,\!26$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Physikalisch beschreibt man eine Lautst"arke durch die Leistung, die sie etwa an einer Membran verrichtet. Gibt man eine Lautst"arke in Dezibel an, so ist allerdings das Verh"altnis des Quadrats dieser Leistung zum Quadrat der Leistung einer Standardlautst"arke gemeint. Diese Standardlautst"arke ist so vereinbart, da"s sie etwa bei der H"orschwelle eines menschliches Ohrs liegt. Eine Lautst"arke von Null Dezibel bedeutet also, da"s ein gesunder Mensch das Ger"ausch so gerade noch h"oren kann, und jede Erh"ohung einer Lautst"arke um zwanzig Dezibel bedeutet, da"s das Ohr zehnmal soviel Leistung aufnehmen wird. Bei einer Erh"ohung um zehn Dezibel wird das Ohr also $\sqrt{10}\approx 3$ mal soviel Leistung aufnehmen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man folgere aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion \ref{FdE} die Formeln $\exp(-x)=\exp(x)^{-1}$, $\exp(x)>0\quad\forall x\in\Bbb{R}$, $\exp(n)=\op{e}^n$, $\exp(nx)=(\exp x)^n\;\forall n\in\DZ$ sowie $\exp(x/2)=\sqrt{\exp(x)}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Der "Ubersichtlichkeit halber k"urzen wir hier im Vorgriff auf \ref{APo} schon $\op{exp}(x)=\op{e}^x$ ab. Man zeige, da"s f"ur alle $i, N \in \DN$ gilt $$\lim_{n \ra \infty} {nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^i \left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}= \frac{N^{i}\op{e}^{-N}}{i!} $$ Dieses Resultat ist in der Stochastik wichtig, wie ich im folgenden ausf"uhren will. Gegeben $\lambda \in \Bbb{R}$ hei"st die Funktion $i \mapsto \lambda^{i}\op{e}^{-\lambda} /i!$ ganz allgemein die {\bf Poisson-Verteilung}\index{Poisson-Verteilung} mit Parameter $\lambda$. Sie hat die folgende Bedeutung: Knetet man in einen gro"sen Teig genau $nN$ Rosinen ein und teilt ihn dann in $n$ Rosinenbr"otchen, so ist $\left( \frac{1}{n}\right)^{i}$ $ \left( 1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die Wahrscheinlichkeit, da"s $i$ vorgegebene Rosinen in einem fest gew"ahlten Br"otchen landen und die restlichen Rosinen in den anderen Br"otchen. Mithin ist ${nN \choose i} \left( \frac{1}{n}\right)^{i} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{Nn-i}$ die Wahrscheinlichkeit, da"s in einem fest gew"ahlten Br"otchen genau $i$ Rosinen landen. Ist unser Br"otchen klein im Vergleich zum ganzen Teig, so liegt diese Wahrscheinlichkeit also nahe bei $N^{i}\op{e}^{-N}/i!$ oder allgemeiner bei $\lambda^{i}\op{e}^{-\lambda}/i!$ mit $\lambda$ der durchschnittlichen Zahl von Rosinen in dem Teigvolumen, das man f"ur ein Br"otchen braucht. Genau genommen stimmt das allerdings nur f"ur punktf"ormige Rosinen, denn sonst liefert die Gr"o"se des Br"otchens eine obere Schranke f"ur die m"oglichen Anzahlen der darin verbackenen Rosinen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man berechne die Euler'sche Zahl $\op{e}$ bis auf $5$ sichere Stellen hinter dem Komma. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{eNr} Die Euler'sche Zahl $\op{e}$ ist nicht rational. Man zeige dies, indem man von ihrer Darstellung als Reihe ausgeht und durch geeignete Absch"atzungen nachweist, da"s $q!\!\op{e}$ f"ur $q\in \DN$ mit $q\geq 2$ nie eine ganze Zahl sein kann. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{FGEX} In dieser "Ubung sollen Sie einen anderen Zugang zur Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ausarbeiten, den ich in einer Arbeit von Martin Kneser kennengelernt habe: Man zeige, indem man den Beweis von \ref{EEE} verallgemeinert, da"s f"ur jede Folge reeller Zahlen $x_n\in\DR$ aus $\lim_{n \ra \infty}x_n= x$ folgt $ \lim_{n \ra \infty} \left(1+ \frac{x_n}{n} \right)^{n}= \exp (x)$. Mithilfe der Identit"at $$\left(1+ \frac{x}{n} \right)\left(1+ \frac{y}{n} \right)=\left(1+ \frac{x+y+(xy/n)}{n} \right)$$ folgere man dann die Funktionalgleichung. \end{Ubunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPaa} \\ \noindent Die Parabel $y=x^2$ ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. \end{figure} \subsection{Trigonometrische Funktionen}\label{eC} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildExC} \\ \noindent Auch f"ur komplexes $z$ zeigt man wie in \ref{EEE} die Formel $$\exp (z) = \lim_{n\ra \infty} \left(1+ \frac{z}{n} \right)^{n}$$ Das obige Bild stellt unter anderem den vierten Term dieser Folge im Fall $z=\op{i}$ dar. Ich finde, man kann recht gut erkennen, wie diese Folge bei wachsendem $n$ gegen den Punkt auf der Kreislinie konvergiert, f"ur den das Segment der Kreislinie, das von ihm zur reellen Achse herunterl"auft, die L"ange Eins hat. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den K"orper $\DC=\{x+{\op{i}}y\mid x,y\in\DR\}$ der komplexen Zahlen aus \eref{CCZ}{LA1} oder \eref{KRCC}{GR}. Ich erinnere an die komplexe Konjugation, den durch $z=x+{\op{i}}y\mapsto \bar z=x-{\op{i}}y$ gegebenen K"orperautomorphismus von $\DC$, und die Norm $|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{x^2+y^2}$. Ich erinnere an Realteil $\op{Re}(x+{\op{i}}y)=x$ und Imagin"arteil $\op{Im}(x+{\op{i}}y)=y$. Ich erinnere schlie"slich an die Kreisgruppe $S^1\pdef \{x+{\op{i}}y\mid x^2+y^2=1\}$ aller komplexen Zahlen der Norm Eins. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jede komplexe Zahl $z \in \DC$ definieren wir eine weitere komplexe Zahl $\exp z \in \DC$ durch die Vorschrift $$\exp z \pdef \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} z^{k}$$ Aufgrund der Absch"atzungen $|\op{Re} z^{k}|,|\op{Im} z^{k}| \leq |z^{k}| = |z|^{k}$ konvergiert diese Reihe f"ur alle $z \in \DC$ nach dem Majorantenkriterium mit der reellen Exponen\-tialreihe als Majorante absolut in Real- und Imagin"arteil und wir erhalten folglich eine Abbildung $\exp : \DC \ra \DC,$ die {\bf komplexe Exponentialfunktion}\index{komplexe Exponentialfunktion}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion}] Man pr"uft genau wie in \ref{FdE} %\ref{APB} im Reellen auch im Komplexen\label{EKEm} die Funktionalgleichung $$\exp (z+w) = (\exp z) (\exp w)$$ In der Sprache der Algebra ausgedr"uckt ist die Exponentialabbildung also ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der komplexen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen komplexen Zahlen und man erh"alt insbesondere $\exp (-z) = (\exp z)^{-1}$. % Wie im Reellen \ref{StE} % zeigt man auch die Stetigkeit von $\exp : \DC \ra \DC$ % zun"achst im Nullpunkt "uber die Reihenentwicklung und dann % an jeder Stelle $z\in\DC$ mithilfe der Funktionalgleichung. Aus der Vertauschbarkeit der komplexen Konjugation mit Summe und Produkt folgern wir auch noch $$\exp ({\overline z}) =\overline{\exp z}\quad \forall z \in \DC$$ F"ur den Betrag von $\exp z$ erhalten wir dann $$\begin{array}{lcl} |\exp z|^{2} &=& \exp z \;{\overline{\exp z}}\\ &=& \exp z \;\exp \overline{z}\\ &=& \exp (z+\overline{z})\\ &=& \exp (2\op{Re} z) \end{array}$$ Folglich gilt $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ und speziell $|\exp (\op{i}t)| =1$ f"ur alle $t\in\Bbb{R}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in der Kreisgruppe}] Die Gruppenhomomorphismen $\DR\ra S^1$ mit stetigem Real- und Imagin"arteil von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die \hyperref[KrGr]{Kreisgruppe} sind genau die Abbildungen der Gestalt $t\mapsto \op{exp}(a{\op{i}}t)$ mit $a\in \DR$.\label{EplOO} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \ref{Metrik} definieren wir den Begriff einer stetigen Abbildung $\DR\ra\DC$, ja einer stetigen Abbildung zwischen beliebigen metrischen R"aumen. In dieser Terminologie bestimmt unser Satz alle stetigen Gruppenhomomorphismen von der reellen Zahlengeraden in die Kreisgruppe. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Aus \ref{EKEm} folgt unmittelbar, da"s $\gamma:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ ein Gruppenhomomorphismus mit Bild in der Kreisgruppe $S^1$ ist. Aus der Absch"atzung $$|\op{exp}({\op{i}}t)-\op{exp}({\op{i}}s)| =|\op{exp}({\op{i}}(t-s))-1|\leq \op{exp}(|s-t|)-1$$ folgt, da"s $\gamma$ stetigen Real- und Imagin"arteil hat. Unser Gruppenhomomorphismus ist auch nicht konstant, aus der Reihenentwicklung folgt etwa die Absch"atzung $\op{Re}(\op{exp}({\op{i}}))<1$. Aufgrund der Stetigkeit des Realteils gibt es folglich $c>0$ mit $\op{Re}\gamma(c)<1$ und $|t|\leq c \RA\op{Re}\gamma(t)>0$. Ist $\beta:\DR\ra S^1$ ein weiterer Gruppenhomomorphismus mit stetigem Realteil, so gibt es auch $b>0$ mit $|t|\leq b \RA\op{Re}\beta(t)\geq \op{Re}\gamma(c)$. Es folgt, da"s wir $g\in [-c,c]$ finden mit $\op{Re}\beta(b)=\op{Re}\gamma(g)$. Indem wir notfalls $g$ durch $-g$ ersetzen, d"urfen wir zus"atzlich $\op{Im}\beta(b)=\op{Im}\gamma(g)$ und damit $$\beta(b)=\gamma(g)$$ annehmen. Daraus aber folgt $\varphi(b/2)=\gamma(g/2)$, denn beide Seiten sind die eindeutig bestimmte Quadratwurzel aus $\beta(b)=\gamma(g)$ mit positivem Realteil. Induktiv folgt erst $\beta(b/2^n)=\gamma(g/2^n)$ f"ur alle $n\in\DN$ und dann $\beta(mb/2^n)=\gamma(mg/2^n)$ f"ur alle $m\in \DZ$ und dann aufgrund der Stetigkeit $\beta(tb)=\gamma(tg)$ f"ur alle $t\in\DR$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bezug der komplexen Exponentialfunktion zur Kreiszahl}] Die Abbildung $\gamma:t\mapsto \op{exp}({\op{i}}t)$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\DR\sra S^1$\label{BezK} mit Kern $\op{ker}\gamma=2\pi\DZ$ f"ur unsere Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP}. \end{Satz} \begin{proof} Beim Beweis von \ref{EplOO} haben wir bereits gesehen, da"s alle Elemente mit Realteil nah bei Eins im Bild liegen m"ussen. Nach \eref{WeKr}{LA1} sind aber alle Elemente von $S^1$ Potenzen von Elementen mit Realteil beliebig nah bei Eins. Folglich ist $\gamma$ eine Surjektion. Setzen wir nun $\tilde\pi\pdef\op{inf}\{t>0\mid \gamma(t)=-1\}$, so gilt offensichtlich $\gamma(\tilde\pi)=\gamma(-\tilde\pi)=-1$, aber $\gamma$ nimmt auf dem offenen Intervall $(-\tilde\pi,\tilde\pi)$ den Wert $(-1)$ nicht an. So folgt $\op{ker}\gamma\cap (0,2\tilde\pi)=\emptyset$ und $2\tilde\pi\DZ\subset \op{ker}\gamma$. H"atten wir in $\op{ker}\gamma$ noch Elemente au"serhalb von $2\tilde\pi\DZ$, so m"u"sten wir darin auch Elemente aus $(0,2\tilde\pi)$ finden und erhielten einen Widerspruch. So folgt $\op{ker}\gamma=2\tilde\pi\DZ$ und es bleibt nur noch zu zeigen, da"s $\tilde\pi$ mit unserer Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP} "ubereinstimmt. Nun gilt sicher $\gamma(0)=1$ und $\gamma$ induziert eine Bijektion $\gamma:(-\tilde\pi,\tilde\pi]\sira S^1$. Der Imagin"arteil von $\gamma$ hat auf diesem Intervall also nur die beiden Nullstellen $0$ und $\tilde\pi$. Man "uberzeugt sich anhand der Reihenentwicklung, da"s gilt $\op{Im}(\gamma(t))>0$ f"ur $00}$ induziert, wissen wir bereits aus \ref{SurE}. Da nun jede von Null verschiedene komplexe Zahl $w$ sich schreiben l"a"st als Produkt $w=(w/|w|)|w|$ mit $w/|w|$ auf dem Einheitskreis und $|w|$ positiv, ist die Exponentialfunktion nach der Funktionalgleichung sogar ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\op{exp}:\DC\sra \DC^\times$. Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus, als da hei"st das Urbild des neutralen Elements $1\in \DC^\times$ besteht aufgrund unserer Gleichung $|\exp z| = \exp (\op{Re} z)$ genau aus allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi{\op{i}}$, in Formeln $$\op{ker}(\exp)=2\pi{\op{i}}\DZ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir bestimmen mit dieser Erkenntnis die {\bf $n$-ten} {\bf Einheitswurzeln}\index{Einheitswurzel!in $\DC$}, als da hei"st die komplexen L"osungen der Gleichung $z^n=1$. Nach \ref{SurCE} hat jede L"osung die Gestalt $z=\op{e}^b$ f"ur geeignetes $b\in\DC$ und so ein $z$ l"ost unsere Gleichung genau dann, wenn gilt $z^n=\op{e}^{nb}=1$ alias $nb\in 2\pi\op{i}\DZ$. Wir erhalten so die L"osungen $\exp(2\pi\op{i}\nu/n)$ f"ur $\nu=0,1,\ldots, n-1$ und erkennen auch, da"s sie paarweise verschieden sind und es keine anderen L"osungen geben kann. In der komplexen Zahlenebene kann man sich die $n$-ten Einheitswurzeln veranschaulichen als die Ecken desjenigen in den Einheitskreis einbeschriebenen regelm"a"sigen $n$-Ecks, das als eine Ecke die $1$ hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{SHL} Der Satz von \defind{Hermite-Lindemann} sagt, da"s f"ur eine von Null verschiedene im Sinne von \ref{PiTr} algebraische komplexe Zahl $\alpha$ der Wert der Exponentialfunktion $\op{exp}(\alpha)$ stets transzendent ist. Daraus folgt sowohl, da"s die Euler'sche Zahl $\op{e}=\op{exp}(1)$ transzendent ist, als auch, da"s $2\pi\op{i}$ und damit nat"urlich auch $\pi$ transzendent sind, da n"amlich $\op{exp}( 2\pi\op{i})=1$ nicht transzendent ist. In etwas allgemeinerer Form sagt der Satz, da"s gegeben komplexe algebraische Zahlen $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$, die linear unabh"angig sind "uber $\DQ,$ die Werte der Exponentialfunktion $\op{exp}(\alpha_1),\ldots, \op{exp}(\alpha_n)$ algebraisch unabh"angig sind "uber $\DQ$ im Sinne von \eref{AlUU}{KAG}. Mehr dazu findet man etwa in \cite{Lor}. Schanuels Vermutung, wie das zu verallgemeinern sein sollte, findet man in \eref{VVS}{KAG}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} F"ur eine reelle Zahl $a>0$ und $z\in \DC$ definieren\label{EoFoUNF} wir wieder $$a^z\pdef\exp(z\log a)$$ und schreiben insbesondere auch $\exp z=\op{e}^z$ f"ur $z\in\DC$. Mit dieser Notation liest sich die Euler'sche Formel dann als $$\op{e}^{{\op{i}}t} = \cos t + {\op{i}}\sin t$$ Insbesondere erf"ullen unsere Hauptdarsteller die bemerkenswerte Identit"at $$\op{e}^{{\op{i}}\pi} =-1$$ Aus $\exp (-{\op{i}}t)= \overline{\exp ({\op{i}}t)}$ folgern wir umgekehrt f"ur alle $t\in\Bbb{R}$ die Formeln $$\cos t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}+ \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2} \quad\text{und}\quad \sin t = \frac{\op{e}^{{\op{i}}t}- \op{e}^{-{\op{i}}t}}{2{\op{i}}}$$ Diese Formeln verwenden wir, um den Sinus und Cosinus zu Funktionen $\DC\ra\DC$ auszudehnen.\index{sin@$\op{sin}$ Sinus!komplexer}\index{cos@$\op{cos}$ Cosinus!komplexer} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der angels"achsischen Literatur wird manchmal auch die Abk"urzung $\op{exp}({\op{i}}z)= \op{cis}(z)$ verwendet, die wohl auf die Euler'sche Formel $\op{exp}({\op{i}}z)=c\!\op{os}z+i\; s\!\op{in}z$ zur"uckzuf"uhren ist.\index{cis@$\op{cis}$} \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{KoWu} Sei $n\in\DN$. F"ur jede komplexe Zahl $a\neq 0$ besitzt die Gleichung $z^n=a$ genau $n$ L"osungen $z\in\DC$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GHCC} Man zeige: Jeder Gruppenhomomorphismus $\DR\ra \DC^\times$ mit stetigem Real- und Imagin"arteil hat die Gestalt $t\mapsto \exp(at)$ f"ur genau eine komplexe Zahl $a\in \DC$. Hinweis: Man wiederhole den Beweis von \ref{EplOO} und beachte \ref{SurCE}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Nichtexistenz globaler komplexer Wurzeln}] Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, in stetiger Weise zu jeder komplexen Zahl eine Wurzel zu w"ahlen, da"s es also keine stetige Abbildung $w : \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}$ gibt mit $w (z)^2 = z \quad \forall z \in \Bbb{C}$.\label{steW} Hinweis: Man pr"ufe, da"s die Funktion $w (\exp (z)) \exp (-z/2)$ einerseits konstant sein m"u"ste, aber andererseits nicht denselben Wert bei $0$ und $2\pi {\op{i}}$ annehmen w"urde. Die anschauliche Bedeutung der Aussage mag aus der graphischen Darstellung der Abbildung $z\mapsto z^2$ in \eref{BKOM}{LA1} klar werden. Im Rahmen der "Uberlagerungstheorie wird das der Einzeiler \eref{KWU}{TF}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Der goldene Schnitt im regelm"a"sigen F"unfeck}] In einem regelm"a"sigen F"unfeck stehen die L"angen der Diagonalen zu den L"angen der Seiten im Verh"altnis des goldenen Schnitts. Man pr"ufe diese elementargeometrisch leicht einzusehende Behauptung durch algebraische Rechnung.\label{RFE} Hinweis: Der goldene Schnitt ist die positive L"osung der Gleichung $a/1 = (1+a) /a$ alias $a^{2}-a-1 =0,$ seine geometrische Bedeutung wurde in \eref{FiFo}{GR} erkl"art. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/5}$ der Ausdruck $a =|1-\zeta^{2}|/|1-\zeta|= |1+\zeta|$ die fragliche Gleichung l"ost. Man verwende $\zeta^4=\bar{\zeta}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} In einem regelm"a"sigen Siebeneck sei $a$ der Abstand von einer Ecke zur n"achsten Ecke, $b$ der Abstand zur "ubern"achsten Ecke, und $c$ der Abstand zur "uber"ubern"achsten Ecke. Man zeige \begin{equation*} \frac{1}{a} = \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \end{equation*} In Formeln zeige man f"ur $\zeta = \op{e}^{2\pi {\op{i}}/7}$ die Identit"at $|1 - \zeta |^{-1} = |1-\zeta ^2|^{-1} + |1 - \zeta ^3|^{-1}$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{AExp} \emph{Verlegen!} F"ur alle $\lambda \in \Bbb{C}$ hat die Abbildung $\Bbb{R}\ra \Bbb{C},$ $ t\mapsto \op{e}^{\lambda t}$ die Ableitung $t \mapsto \lambda \op{e}^{\lambda t}$. Sp"ater kann das auch mit \ref{KRc} und \ref{AKEc} sehr schnell erledigt werden. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUbSin}\\[4mm] \noindent Die "Uberlagerung zweier Sinuswellen mit nahe beieinanderliegender Periode. Rechnerisch finden wir etwa die Identit"at $$\op{e}^{\op{i}\omega_1 t} + \op{e}^{\op{i}\omega_2 t}= \op{e}^{\op{i}(\omega_1-\omega_2)t/2}(\op{e}^{\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2} +\op{e}^{-\op{i}(\omega_1+\omega_2)t/2})$$ und durch Betrachtung der Imagin"arteile beider Seiten $$\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)=2\sin((\omega_1-\omega_2)t/2) \cos((\omega_1+\omega_2)t/2)$$ Liegen hier $\omega_1$ und $\omega_2$ nah beieinander, so ergibt sich f"ur diesen Ausdruck als Funktion von $t$ das obige Bild, in dem sich anschaulich gesprochen immer abwechselnd beide Sinuswellen einmal gegenseitig ausl"oschen und dann wieder addieren. Man kann das auch mit eigenen Ohren erfahren, wenn man sich von zwei Kommilitonen zwei nahe beieinanderliegende T"one vorsingen l"a"st: Es ist dann so eine Art Wummern zu h"oren, das eben mit der Frequenz $\omega_1-\omega_2$ geschieht. \end{figure} \begin{Ubunge}\emph{Verlegen!} Die Nullstellen des komplexen Sinus liegen alle auf der reellen Achse. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{WeSi} Man leite einige Formeln der nachstehenden Tabelle her. \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c} & $\sin$ & $\cos$ \\ \hline $\pi$ & $0$ & $-1$ \\[2mm] $\pi/2$ & $1$ & $0$ \\[2mm] $\pi/3$ & $\sqrt{3}/2$ & $1/2$ \\[2mm] $\pi/4$ & $1/\sqrt{2}$ & $1/\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/5$ & $\sqrt{5-\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ & $(\sqrt{5}+1)/4$ \\[2mm] $\pi/6$ & $1/2$ & $\sqrt{3}/2$ \\[2mm] $\pi/7$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/8$ & $\sqrt{\frac{1}{2} - \sqrt{2}}$ & $\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$ \\[2mm] $\pi/9$ & ? & ? \\[2mm] $\pi/10$ & $(\sqrt{5}-1)/4$ & $\sqrt{5+\sqrt{5}}/2\sqrt{2}$ \\[2mm] $\pi/11$ & ? & ? \end{tabular} \end{center} %\\ %\noindent Man bemerkt, da"s sich f"ur $\op{cos}(\pi/5)$ gerade die H"alfte unseres \glqq goldenen Schnitts\grqq\ aus \ref{RFE} ergibt. Bei der Bestimmung der Werte f"ur $\pi/5$ und $\pi/10$ mag man von nebenstehendem Bild ausgehen, das insbesondere bei der Bestimmung von $\sin(\pi/10)$ helfen sollte. Wir zeigen in \eref{SIUU}{AL}, warum es unm"oglich ist, Formeln derselben Bauart auch f"ur $\sin(\pi/7)$ oder $\sin(\pi/9)$ oder $\sin(\pi/11)$ anzugeben. \end{Ubunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildsin}\\[4mm] \noindent Illustration zur Berechnung von $\sin(\pi/10)$ \end{figure} \begin{Ubunge}\label{sin3} Man zeige mit der Euler'schen Gleichung \ref{dsc} die Identit"at $\sin^3\vartheta=\frac{3}{4}\sin\vartheta-\frac{1}{4}\sin(3\vartheta)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{sin3n} Man zeige, da"s der Sinus keine Polynomfunktion ist. \end{Ubunge} \subsection{Folgenstetigkeit*} \begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit als Folgenstetigkeit}] \label{FGW} Seien $D\subset \overline{\DR}$ eine Teilmenge und $f:D\ra \overline{\DR}$ eine Funktion und $a \in D$ ein Punkt. So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $f$ ist stetig bei $a$; \item F"ur jede Folge $a_{0},a_{1},\ldots $ von Punkten aus $D$ mit $\lim_{n\ra \infty}a_{n}=a$ gilt $\lim_{n\ra \infty}f(a_{n})=f(a)$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Die in diesem Satz gegebene Charakterisierung der Stetigkeit wird vielfach sogar als Definition derselben gew"ahlt. Das ist auch der Grund, aus dem ich den Satz bereits hier beweise, obwohl er im weiteren Verlauf der Vorlesung erst sehr viel sp"ater eine Rolle spielen wird. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] $1\Rightarrow 2$ haben wir schon in \ref{VSTF} erledigt, wir konzentrieren uns \ deshalb auf $ 2\Rightarrow 1$. Das zeigen wir durch Widerspruch. F"ur unser $a\in \overline{\DR}$ finden wir nach \ref{AbFun} eine absteigende Folge von Umgebungen $V_0\supset V_1\supset V_2\supset\ldots$ derart, da"s jede Umgebung $V$ von $a$ fast alle $V_n$ umfa"st. Ist $f$ nicht stetig bei $a$, so gibt es eine Umgebung $U$ von $f(a)$ derart, da"s f"ur kein $n$ gilt $f(V_n\cap D)\subset U$. F"ur jedes $n$ finden wir also $a_n\in V_n\cap D$ mit $f(a_n)\not\in U$. Die $a_n$ bilden dann eine Folge in $D$ mit $\lim_{n\ra \infty}a_{n}=a$, f"ur die nicht gilt $\lim_{n\ra \infty}f(a_{n})=f(a)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} \emph{(Verlegen, zu "Ubung umarbeiten.)} Sei $D \subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge. Genau dann ist $p\in {\overline{\Bbb{R}}}$ H"aufungspunkt von $D$, wenn es eine Folge reeller Zahlen $x_{n}$ in $D\backslash p$ gibt mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$. In der Tat finden wir f"ur jedes $p\in\overline\DR$ eine absteigende Folge\label{HPGW} $U_0\supset U_1\supset\ldots$ von Umgebungen von $p$ derart, da"s jede Umgebung von $p$ eine dieser Umgebungen umfa"st. Gibt es in $D\cap U_n$ jeweils einen von $p$ verschiedenen Punkt $x_n$, so bilden diese eine gegen $p$ konvergierende Folge aus $D\backslash p$. Gibt es umgekehrt eine derartige Folge, so mu"s jede Umgebung von $p$ fast alle Folgenglieder und damit mindestens einen von $p$ verschiedenen Punkt aus $D$ enthalten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Aus dem Quetschlemma \ref{BL2} und der Darstellung von $\op{e}^x$ durch die Exponentialreihe folgt $\lim_{x \rightarrow \infty} \op{e}^x = \infty$. Aus \ref{LS} und \ref{SU} folgt dann $\lim_{y\rightarrow \infty} \log y = \infty$. Das Quetschlemma mit der Darstellung von $\op{e}^x$ duch die Exponentialreihe liefert auch $\lim_{x \rightarrow \infty} (x/\op{e}^x) =0$ und durch Substitution $x =\log y$ und \ref{LS} und \ref{VSte} folgt dann $\lim_{y \rightarrow \infty} (\log y/y)=0$. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{lWU} Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(x^a/b^x)=0$ f"ur alle $a\in \DR$ und $b>1$. Man zeige $\lim_{x\ra\infty}(\log x/ x^c)=0$ f"ur alle $c>0$. Man zeige $\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{n}=1$. Man zeige $$\lim_{n\ra\infty}\sqrt[n]{\frac{(5n)!}{(n!)^5}}=5^5$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert}] Sei $D\subset\overline{\DR}$ eine Teilmenge und $p\in D$ ein H"aufungspunkt\label{EUGA} und seien $f, g : D\backslash p \ra \overline{\DR}$ zwei Funktionen, die Grenzwerte besitzen f"ur $x\ra p$. Gilt $f(x)\leq g(x)$ f"ur alle $x\in D\backslash p$, so folgt $\lim_{x\ra p} f (x) \leq\lim_{x\ra p} g (x) $. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PFKO} Gilt f"ur eine durch ein Polynom vom Grad $\leq n$ gegebene Funktion $f(x)=a_n x^n+ \ldots + a_1 x+a_0$ und ein $p\in\DR$ die Formel $\lim_{x\ra p}f(x)/(x-p)^n=0$, so folgt $a_0=a_1=\ldots =a_n=0$. Hinweis: Durch Verschieben kann man sich auf den Fall $p=0$ zur"uckziehen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{SRR2} Die monotonen Gruppenhomomorphismen $\DR\ra\DR^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die stetigen Gruppenhomomorphismen, also genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$ f"ur festes $a\in \DR_{>0}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man finde alle stetigen Funktionen $G:\Bbb{R}^\times\ra\Bbb{R}$ mit $G(xy)=G(x)+G(y)\;\;\forall x,y\in\Bbb{R}^\times$, also alle stetigen Gruppenhomomorphismen von der multiplikativen Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen in die additive Gruppe aller reellen Zahlen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die Aussage der vorhergehenden S"atze \ref{SRR} und \ref{SRR1} sogar folgt, wenn wir von unseren Gruppenhomomorphismen nur die Stetigkeit bei Null fordern. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $L\subset\DR$ eine Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen ohne reelle H"aufungspunkte. So gibt es $\alpha\in\DR$ mit $L=\DZ\alpha$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Folgenkriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}] Sei $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in D$ ein H"aufungspunkt\label{GeFuU} und $f: D\backslash p \ra {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Funktion. So gilt $\lim_{x\ra p} f(x) = b$ genau dann, wenn f"ur jede Folge $x_n$ in $D\backslash p$ mit $x_n\ra p$ gilt $f(x_n)\ra b$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Cauchy-Kriterium f"ur Grenzwerte von Funktionen}] Sei $D\subset {\overline{\Bbb{R}}}$ eine Teilmenge, $p\in D$ ein H"aufungspunkt und $f: D\backslash p \ra {{\Bbb{R}}}$ eine reellwertige Funktion.\label{GWQ} Genau dann existiert der Grenzwert $\lim_{x\ra p} f(x)$ und ist eine reelle Zahl, wenn es f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung $U=U_\varepsilon$ von $p$ gibt mit $(a,b\in U\cap D\backslash p)\RA |f(a)-f(b)|<\varepsilon$. \end{Ubung} %\begin{proof}[Beweis] %F"ur $p,x \in \Bbb{R}^{\times}$ gilt %$$\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{p}\right| = \frac{|p-x|}{|xp|} < %\frac{2\delta}{p^{2}}$$ falls $|p-x|< \delta < |p/2|$, denn %$|p-x| < |p/2|$ impliziert insbesondere $|x|>|p/2|$. %Gegeben $p\neq 0$ und $\varepsilon >0$ finden wir also $\delta = %\min (|p/2|, \varepsilon |p|^{2}/2 )$ derart, da"s aus $|x-p|<\delta$ %folgt $\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{p}\right| < \varepsilon $. %\end{proof} \subsection{Stetige Funktionen auf Kompakta} \label{STK} \begin{Definition}\label{Komp} Man nennt eine Teilmenge $K \subset \overline{\DR}$ {\bf kompakt}\index{kompakt!Teilmenge von $\overline{\DR}$} oder ein {\bf Kompaktum},\index{Kompaktum} wenn jede Folge in $K$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus $K$ konvergiert. Eine kompakte Teilmenge $K \subset \DR$ hei"st ein {\bf reelles Kompaktum}.\index{Kompaktum} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit dem Satz von Bolzano-Weierstra"s \ref{HB} sieht man leicht, da"s die kompakten Intervalle in $\overline{\DR}$ genau die Intervalle der Gestalt $[a,b]$ mit $a,b\in\overline{\DR}$ sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der Begriff der \glqq Kompaktheit\grqq\ ist f"ur weite Teile der Mathematik grundlegend. Sie werden sp"ater sehen, wie er im Fall allgemeiner \glqq topologischer R"aume\grqq\ in die beiden Begriffe \glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ aufspaltet. Sie werden auch sehen, da"s es letzterer Begriff ist, der weiter tr"agt und zu \glqq kompakt\grqq\ abgek"urzt wird, obwohl ersterer Begriff die nat"urlichere Verallgemeinerung unserer obigen Definition scheint. Aber alles zu seiner Zeit! \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Extremwerte auf Kompakta}] Jede stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum nimmt das Supremum und das Infimum der Menge ihrer Funktionswerte als Funktionswert an.\label{Mm} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist in Formeln $K\neq \emptyset$ kompakt und $f:K \ra \overline{\DR}$ stetig, so gibt es demnach $p,q\in K$ mit $f(p) \leq f(x)\leq f(q) \;\;\forall x\in K$. Ist die Funktion $f$ reellwertig, so ist insbesondere ihr Bild beschr"ankt. Salopp gesprochen kann also eine stetige reellwertige Funktion auf einem Kompaktum nicht nach Unendlich streben. Man beachte, eine wie wichtige Rolle im Falle eines kompakten Itervalls die Endpunkte eines Intervalls hierbei spielen: Eine stetige reellwertige Funktion auf einem offenen Intervall kann ja durchaus nach Unendlich streben, wie etwa die Funktion $x\mapsto (1/x)$ auf dem Intervall $(0,1)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da $K$ nicht leer ist, finden wir eine Folge $x_{n}$ in $K$ mit $\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$. Diese Folge besitzt nun nach Annahme eine Teilfolge, die gegen einen Punkt $q$ aus $K$ konvergiert. Indem wir zu dieser Teilfolge "ubergehen d"urfen wir sogar annehmen, unsere Folge sei selbst schon konvergent mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} = q$. Mit \ref{FGW} folgt dann $$f(q) = \lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$$ Die Existenz von $p \in K$ mit $f(p) = \inf f(K)$ zeigt man analog. \end{proof} \begin{Definition} Sei $D\subset\DR$ eine Menge von reellen Zahlen. Eine reellwertige Funktion $f: D \ra \Bbb{R}$ hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig}\index{gleichm"a"sig stetig!reelle Funktion einer Variablen} genau dann, wenn folgende Aussage richtig ist: F"ur beliebiges $\varepsilon >0$ gibt es $\delta >0$ derart, da"s f"ur alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\delta$ gilt $|f(x) - f(y)|<\varepsilon $. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei der Definition der gleichm"a"sigen Stetigkeit kommt es wesentlich auf den Definitionsbereich $D$ an. Da wir Funktionen vielfach angeben, ohne ihren Definitionsbereich explizit festzulegen, ist es in diesem Zusammenhang oft sinnvoll, den jeweils gemeinten Definitionsbereich zu pr"azisieren. Dazu benutzen wir die Sprechweise {\bf $f$ ist gleichm"a"sig stetig auf $D$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeSe}\\[4mm] \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildGeSp}\\[4mm] \noindent Gleichm"a"sige Stetigkeit f"ur stetige Funktionen auf Intervallen kann man sich anschaulich wie folgt denken: F"ur eine beliebig f"ur ein Rechteck vorgegebene H"ohe $2\varepsilon>0$ findet man bei gleichm"a"siger Stetigkeit immer eine Breite $2\delta>0$ derart, da"s an welchen Punkt des Graphen meiner Funktion ich das Zentrum meines Rechtecks auch verschiebe, der Graph das Rechteck nie durch die Ober- oder Unterkante verl"a"st. So ist etwa die Wurzelfunktion gleichm"a"sig stetig auf $\DR_{\geq 0}$, die Quadratfunktion jedoch nicht. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit}] Ich will nun den Unterschied zur Stetigkeit diskutieren. Eine reellwertige Funktion $f: D \ra \Bbb{R}$ mit Definitionsbereich $D\subset\DR$ hei"st ja stetig bei $p\in D$ genau dann, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon },p) >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x\in D$ mit $|x-p| < \delta({\varepsilon },p)$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $. Des weiteren hei"st sie stetig, wenn sie an jeder Stelle $p\in D$ stetig ist. Gleichm"a"sige Stetigkeit bedeutet nun, da"s f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon })$ gew"ahlt werden kann, das es als $\delta({\varepsilon })=\delta({\varepsilon },p)$ f"ur alle $p\in D$ gleichzeitig tut. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Auf die Frage nach der anschaulichen Bedeutung der % gleichm"a"sigen Stetigkeit kenne ich keine "uberzeugende Antwort. % Funktionen, deren Graph \glqq nicht beliebig steil wird\grqq, % sind stets gleichm"a"sig % stetig nach \ref{ABbb}, aber auch die Wurzelfunktion % ist nach \ref{glst} % gleichm"a"sig stetig auf $[0,1]$, obwohl ihr Graph beim Ursprung % durchaus \glqq beliebig steil wird\grqq. Eine Kombination beider Argumente wird dann % sogar zeigen, da"s die Wurzelfunktion auf ganz $[0,\infty)$ % gleichm"a"sig stetig ist. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Funktion $f:\Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto x^{2}$ ist {\em nicht} gleichm"a"sig stetig auf $\DR$, denn $|x^{2}-y^{2}| = |x-y\|x+y|$ kann auch f"ur sehr kleines $|x-y|$ noch gro"s sein, wenn nur $|x+y|$ hinreichend gro"s ist. Die Einschr"ankung dieser Funktion auf ein beliebiges reelles Kompaktum ist aber daselbst gleichm"a"sig stetig nach dem anschlie"senden Satz. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}] Jede reellwertige stetige Funktion\label{glst} auf einem reellen Kompaktum ist auf besagtem Kompaktum gleich\-m"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren durch Widerspruch und zeigen, da"s eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. Sei dazu $K \subset \Bbb{R}$ unser Kompaktum und $f: K \ra \Bbb{R}$ unsere Funktion. W"are $f$ nicht gleichm"a"sig stetig, so g"abe es ein $\varepsilon > 0$, f"ur das wir kein $\delta >0$ finden k"onnten: Wir probieren alle $\delta = \frac{1}{n}$ aus und finden immer wieder Punkte $x_{n}$, $y_{n} \in K$ mit $|x_{n}-y_{n}| < \frac{1}{n}$, f"ur die dennoch gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$. Gehen wir zu einer Teilfolge "uber, so d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s die Folge der $x_{n}$ gegen einen Punkt von $K$ konvergiert, in Formeln $\lim_{n\ra \infty}x_{n} =x$ mit $x\in K$. Damit folgt nat"urlich auch $\lim_{n\ra \infty}y_{n} =x$. W"are nun $f$ stetig bei $x$, so folgte $$\lim_{n\ra \infty} f(x_{n})=f(x) = \lim_{n\ra \infty}f(y_{n})$$ und damit l"agen notwendig fast alle $f(x_{n})$ und fast alle $f(y_{n})$ im offenen Intervall $(f(x)-\varepsilon/2, f(x) + \varepsilon/2)$. Das steht jedoch im Widerspruch dazu, da"s ja nach Konstruktion gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$ f"ur alle $n$. Wir haben also gezeigt, da"s eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede endliche Vereinigung von Kompakta ist kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Das Bild eines Kompaktums unter einer stetigen Abbildung ist stets auch wieder kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jede beschr"ankte monotone stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ ist gleichm"a"sig stetig.\label{bmgs} \end{Ubung} \subsection{Integration stetiger Funktionen} \begin{Definition} Sei $[a,b] \subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres kompaktes reelles Intervall und $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ eine stetige reellwertige Funktion.\label{DefII} Wir definieren die Menge $I (f)\subset\Bbb{R}$ aller \glqq naiven Integrale zu Treppen, die unter $f$ liegen\grqq\ durch \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIu} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt ein Element von $I(f)$ dar f"ur die durch den geschwungenen Graphen dargestellte Funktion $f$. \end{figure} $$ I (f)\pdef\left\{ \sum^{n-1}_{i=0} c_{i}(a_{i+1}-a_{i})\; \begin{array}{|l}\text{ Alle m"oglichen Wahlen von } n\in\DN \\ \text{ und von Stellen } a=a_{0}\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n} =b\\ \text{ und von Werten } c_{0},\ldots , c_{n-1}\in\Bbb{R} \text{ derart,}\\ \text{ da"s gilt }\;f(x)\geq c_{i}\text{ f"ur alle } x\in [a_{i},a_{i+1}]\end{array}\right\} $$ Da $f$ stetig ist, hat es nach \ref{Mm} einen beschr"ankten Wertebereich, d.h.\ es gibt $m,M\in \DR$ mit $m \leq f(x) \leq M \quad \forall x \in [a,b]$. Daraus folgt, da"s $m (b-a)$ zu $ I (f)$ geh"ort und da"s $M(b-a)$ eine obere Schranke von $I (f)$ ist. Als nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmenge von $\Bbb{R}$ hat $I (f)$ nach \ref{AB} ein Supremum in $\Bbb{R}$. Wir nennen dies Supremum das {\bf Integral der Funktion $f$ "uber das Intervall $[a,b]$}\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompaktes Intervall} und schreiben $$\sup I (f) \defp \int^{b}_{a} f(x) \;\diff x = \int^{b}_{a} f=\int_{[a,b]}f$$ Auf\index{S@$\int$ Integral} die Bedeutung dieser Notationen gehen wir in \ref{NoIn} noch n"aher ein. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Anschaulich mi"st das Integral von $f$ die Fl"ache zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse, wobei Fl"achenst"ucke unterhalb der $x$-Achse negativ zu rechnen sind. Das Wort ist aus dem Lateinischen abgeleitet und bedeutet so etwas wie \glqq Zusammenfassung\grqq. Der folgende Satz listet einige Eigenschaften unseres Integrals auf. Man kann leicht zeigen, da"s unser Integral sogar durch diese Eigenschaften charakterisiert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integrationsregeln}] Sei $[a,b]\subset \DR$ ein nichtleeres kompaktes Intervall. \begin{enumerate} \item F"ur die konstante Funktion mit dem Wert $1 $ gilt $\int^{b}_{a}1 =b-a$; \item F"ur $f : [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig und $ z \in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a}f=\int^{z}_{a} f + \int^{b}_{z}f$; \item Seien $f,g:[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig. Gilt $f(x) \leq g(x) \quad \forall x \in [a,b]$, in Kurzschreibweise $f\leq g$, so folgt $\int^{b}_{a}f \leq \int^{b}_{a}g$; \item F"ur $f,g :[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a} (f+g) = \int^{b}_{a} f + \int^{b}_{a} g$; \item F"ur $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig und $\lambda \in \Bbb{R}$ gilt $\int^{b}_{a} \lambda f = \lambda \int^{b}_{a} f$. \end{enumerate}\label{InRe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die beiden letzten Punkte bedeuten in der Sprache der linearen Algebra, da"s das Integral eine Linearform auf dem reellen Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem kompakten Intervall ist, als da hei"st, eine lineare Abbildung in den K"orper der reellen Zahlen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir wissen ja schon, da"s aus $m=1\leq f(x)\leq 1=M$ folgt $b-a \leq \int^{b}_{a}f \leq b-a$. \\[2mm]\noindent 2. F"ur Teilmengen $A,B\subset\Bbb{R}$ definiert man eine neue Teilmenge $A+B\subset\Bbb{R}$ durch die Vorschrift $A+B=\{x+y\mid x\in A,\;y\in B\}$. Offensichtlich gilt $$I (f) = I (f|_{[a,z]})+I (f|_{[z,b]})$$ F"ur beliebige nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen $A,B \subset \Bbb{R}$ haben wir aber $\sup (A+B) = \sup A +\sup B$ nach "Ubung \ref{ABC}. \\[2mm]\noindent 3. Aus $f\leq g$ folgt offensichtlich $I (f) \subset I (g)$. \\[2mm]\noindent 4 \& 5. Um die letzten beiden Aussagen zu zeigen, m"ussen wir etwas weiter ausholen. F"ur unsere stetige Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ und beliebiges $r\in\DN$, $r\geq 1$ unterteilen wir unser Intervall \defnoind{"aquidistant},\index{"aquidistant, Unterteilung} lateinisierend f"ur \glqq mit gleichen Abst"anden\grqq, durch $$a = t_{0}\leq t_{1} \leq t_{2}\leq \ldots \leq t_{r}=b$$ Es gilt also $ t_{i} = a+ i(b-a)/r$. Wir definieren nun die {\bf $r$-te Riemann-Summe}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} $S^{r}(f) \in \Bbb{R}$ durch die Vorschrift $$S^{r}(f) \pdef \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (t_{i+1}-t_{i}) = \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (\tfrac{b-a}{r})$$ \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRs} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die f"unfte Riemannsumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar. \end{figure} In der anschlie"senden Proposition \ref{RS} werden wir zeigen $$\int^{b}_{a}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$ Damit erhalten wir dann sofort $$\begin{array}{ccl} \int^{b}_{a} (f+g)& = &\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f+g) \\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim} (S^{r}(f)+S^{r}(g))\\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim}S^{r}f +\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r}g\\ &=& \int^{b}_{a}f + \int^{b}_{a}g \end{array}$$ und "ahnlich folgt $\int^{b}_{a}\lambda f = \lambda \int^{b}_{a}f$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{RS} F"ur $a\leq b$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a}f =\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge}\label{NoIn} In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. Manchmal verwendet man auch allgemeiner f"ur eine weitere Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}$ mit guten Eigenschaften, etwa f"ur $g$ die Differenz zweier monoton wachsender Funktionen, die Notation $\int f\diff g$, und meint damit den Grenzwert der Summen $\sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (g(t_{i+1})-g(t_{i}))$, dessen Existenz in \eref{WII1}{AN2} folgende in gro"ser Allgemeinheit diskutiert wird. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildBeI} \\ \noindent In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Man mag versucht sein, die in Proposition \ref{RS} enthaltene Beschreibung gleich als Definition des Integrals zu nehmen. Ich rate davon jedoch ab, da die Existenz des fraglichen Grenzwerts nicht so leicht zu zeigen ist, und da auch die Zweite unserer Integrationsregeln \ref{InRe} aus dieser Definition sehr viel schlechter herzuleiten ist. Nun kommt das nat"urlich eigentlich nicht darauf an, wenn unsere Definitionen "aquivalent sind. Aber in Deutschland legt man ein zentrales Auslieferungslager auch besser nach Frankfurt als nach Freiburg! \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir definieren zus"atzlich zur $r$-ten Riemann-Summe die {\bf $r$-ten Untersummen}\index{Untersumme} und {\bf Obersummen}\index{Obersumme}\begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildOU} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die vierte Obersumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar, der kreuzweise schraffierte Teil ihre Untersumme. \end{figure} durch $$\underline{S}^{r}(f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0}(\inf f[t_{i},t_{i+1}])( \tfrac{b-a}{r}) \quad\text{und}\quad \overline{S}^{r} (f)\pdef \sum^{r-1}_{i=0} (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r}) $$ und behaupten die Ungleichungen $$\begin{array}{ccccc} \underline{S}^{r}(f) & \leq & S^{r}(f) &\leq&\overline{S}^{r}(f)\\ \underline{S}^{r}(f) &\leq & \int_{a}^{b} f&\leq & \overline{S}^{r}(f) \end{array}$$ Die erste Zeile ist offensichtlich. Die zweite Zeile erhalten wir zum Beispiel, indem wir aus den bereits bewiesenen Teilen 1 und 3 des Satzes die Ungleichungen $$(\inf f[t_{i},t_{i+1}])(\tfrac{b-a}{r}) \leq \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\leq (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r})$$ folgern, diese Ungleichungen aufsummieren, und die Mitte mit dem auch bereits bewiesenen Teil 2 des Satzes zu $\int_a^b f$ zusammenfassen. Damit sind beide Zeilen von Ungleichungen bewiesen. Nun ist $f$ auf $[a,b]$ gleichm"a"sig stetig, f"ur beliebiges $\varepsilon >0$ existiert also $\delta =\delta_\varepsilon > 0$ mit $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon $. W"ahlen wir $N$ mit $(\frac{b-a}{N})<\delta$ und nehmen dann $r\geq N$, so schwankt unsere Funktion $f$ auf jedem Teilintervall $[t_{i},t_{i+1}]$ h"ochstens um $\varepsilon $, mithin gilt $0 \leq \overline{S}^{r} (f) - \underline{S}^{r}(f) \leq \varepsilon (b-a)$ und damit $|S^{r}(f) - \int^{b}_{a} f | \leq \varepsilon (b-a)$. Die Proposition ist gezeigt. \end{proof} \begin{Beispiel} $\begin{array}[t]{ccl} \int^{b}_{0} x \;\diff x& = &\lim_{r\ra \infty} \left( \frac{0}{r} +\frac{b}{r} + \frac{2b} {r} + \cdots \frac{(r-1)b}{r}\right) \frac{b}{r}\\[2mm] &=& \lim_{r\ra \infty} \frac{r(r-1)}{2} \cdot \frac{b^{2}}{r^{2}} \quad\text{ nach \eref{ErF}{GR}}\\[2mm] &=& \frac{b^{2}}{2} \end{array}$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Standardabsch"atzung f"ur Integrale}] Gegeben $a\leq b$ reelle Zahlen und $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig gilt die Absch"atzung $$\left| \int^{b}_{a}f \right| \leq \int^{b}_{a} |f|$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus $-|f| \leq f\leq |f|$ folgt $-\int |f| \leq \int f \leq \int |f|$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale mit vertauschten Grenzen}] Ist $I\subset\Bbb{R}$ ein Intervall und $f:I\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion und sind $a,b\in I$ gegeben mit $a>b$, so definieren\label{IGV} wir $\int_a^b f(x)\diff x$ durch die Vorschrift $$\int_a^b f(x)\diff x\pdef -\int_b^a f(x)\diff x$$ Mit dieser Konvention gilt dann f"ur beliebige $a,b,c$ in einem reellen Intervall $I$ und jede stetige Funktion $f:I\ra\Bbb{R}$ die Formel $$\int^{c}_{a} f(x)\diff x =\int^{b}_{a} f(x)\diff x + \int^{c}_{b} f(x)\diff x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildARiS}\\[4mm] \noindent Darstellung einer Riemannsumme im Sinne von \ref{ARS}. \end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{ARS} Sei $a=a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{n} =b$ eine {\bf Unterteilung}\index{Unterteilung!von Intervall} des kompakten reellen Intervalls $[a,b]$. Gegeben eine Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ bezeichnet man die Summen $$\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i)(a_{i+1}-a_{i})$$ mit beliebigen $\zeta_i\in [a_{i},a_{i+1}]$ als die {\bf Riemann-Summen}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} von $f$ zur vorgegebenen Unterteilung. Die maximale L"ange $\sup\{a_i-a_{i-1}\mid 1\leq i\leq n\}$ eines Teilintervalls hei"st die {\bf Feinheit} der Unterteilung. Man zeige: Ist $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig, so gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ vom Integral $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Allgemeiner hei"st eine nicht notwendig stetige Funktion auf einem kompakten reellen Intervall $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ {\bf Riemann-integrierbar}\index{Riemann-integrierbar} {\bf mit Integral $\int f$}\index{integrierbar!Riemann-integrierbar} genau dann, wenn die Bedingung vom Ende der vorhergehenden "Ubung erf"ullt ist, da"s es n"amlich zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ von $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. Wir werden in diesem Text den Begriff der Riemann-Integrierbarkeit vermeiden: Sp"ater wird eh das sehr viel st"arkere Lebesgue-Inte\-gral eingef"uhrt, und bis dahin reicht unser Integrationsbegriff f"ur stetige Funktionen aus. F"ur ein vertieftes Studium der Analysis ist jedoch auch der Begriff der Riemann-Integrierbarkeit relevant. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Man zeige den \defnoind{Mittelwertsatz der Integralrechnung}: \index{Mittelwertsatz!der Integralrechnung} Gegeben ein nichtleeres kompaktes Intervall $[a,b] \subset \Bbb{R}$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int f = (b-a) f(\xi)$. Gegeben eine weitere stetige Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}_{\geq 0}$ gibt es sogar $\xi \in [a,b]$ mit $\int fg = f(\xi) \int g$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Eine Funktion $f:\DR\ra\DR$ hei"st {\bf gerade},\index{gerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=f(x)$ f"ur alle $x$, und {\bf ungerade},\index{ungerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=-f(x)$ f"ur alle $x$. Man zeige f"ur jede ungerade stetige Funktion und alle reellen $r$ die Formel $\int_{-r}^{r}f=0$. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA1" %%% End: