\section{Integration und Ableitung} \subsection{Stetige Funktionen auf Kompakta} \label{STK} \nichtfinal{Sortiere die Verwendung des Begriffs der Kompaktheit!} \begin{Definition} Man nennt eine Teilmenge $K \subset \bar{\DR}^n$ {\bf kompakt}\index{kompakt!Teilmenge von $\bar{\DR}^n$} oder gleichbedeutend ein {\bf Kompaktum},\index{Kompaktum} wenn\label{Komp} jede Folge in $K$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus $K$ konvergiert.\index{Kompaktum} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Intervalle}] Der Satz von Bolzano-Weierstra"s \ref{HB} zeigt, da"s die kompakten Intervalle in $\bar{\DR}$\label{bzt} genau die Intervalle der Gestalt $[a,b]$ sind mit $a,b\in\bar{\DR}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Rechtecke}] Gegeben $a,b,c,d\in\bar \DR$ ist das Rechteck $[a,b]\times [c,a]$ kompakt. In der Tat besitzt jede Folge in diesem Rechteck nach \ref{bzt} eine Teilfolge, bei der die ersten Koordinaten der Folgenglieder eine konvergente Folge bilden, und diese hat hinwiederum eine Teilfolge, bei der auch die zweiten Koordinaten der Folgenglieder eine konvergente Folge bilden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Der Begriff der \glqq Kompaktheit\grqq\ ist f"ur weite Teile der Mathematik grundlegend. Sie werden in \eref{koTO}{AN2} folgende sehen, wie er im Fall allgemeiner \glqq topologischer R"aume\grqq\ in die beiden Begriffe \glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ aufspaltet. Sie werden auch sehen, da"s es letzterer Begriff ist, der weiter tr"agt und zu \glqq kompakt\grqq\ abgek"urzt wird, obwohl ersterer Begriff die nat"urlichere Verallgemeinerung unserer obigen Definition zu sein scheint. Aber alles zu seiner Zeit! \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Extremwerte auf Kompakta}] Jede stetige Funktion $f:K \ra \bar{\DR}$ auf einem nichtleeren Kompaktum $K$ nimmt das Supremum und das Infimum der Menge ihrer Funktionswerte als Funktionswert an.\label{Mm} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist in Formeln $K\neq \emptyset$ kompakt und $f:K \ra \bar{\DR}$ stetig, so gibt es demnach $p,q\in K$ mit $f(p) \leq f(x)\leq f(q) \;\;\forall x\in K$. Ist die Funktion $f$ reellwertig, so ist insbesondere ihr Bild beschr"ankt. Salopp gesprochen kann also eine stetige reellwertige Funktion auf einem Kompaktum nicht nach Unendlich streben. Man beachte, eine wie wichtige Rolle im Falle eines kompakten Intervalls die Endpunkte hier spielen: Eine stetige reellwertige Funktion auf einem offenen Intervall kann ja durchaus nach Unendlich streben, wie etwa die Funktion $x\mapsto (1/x)$ auf dem Intervall $(0,1)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da wir $K\neq\emptyset$ angenommen hatten, finden wir nach "Ubung \ref{supgw} eine Folge $x_{n}$ in $K$ mit $\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$. Diese Folge besitzt nun nach Annahme eine Teilfolge, die gegen einen Punkt $q$ aus $K$ konvergiert. Indem wir zu dieser Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir sogar annehmen, unsere Folge sei selbst schon konvergent mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} = q$. Durch Vertauschen der stetigen Funktion $f$ mit Folgenkonvergenz nach \ref{vvsf} folgt dann $$f(q) = \lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup f(K)$$ Die Existenz von $p \in K$ mit $f(p) = \inf f(K)$ zeigt man analog. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}] Jedes nicht konstante komplexe Polynom besitzt\label{FA} mindestens eine komplexe Nullstelle.\index{Fundamentalsatz der Algebra} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der im folgenden wiedergegebene Beweis von Jean-Robert Argand hat den Vorteil, mit besonders wenigen technischen Hilfsmitteln auszukommen. Einen "Uberblick "uber die g"angigsten alternativen Beweise mit ihren St"arken und Schw"a\-chen gebe ich in \eref{KCAA}{LA1}. Alle Beweise benutzen wesentlich analytische Methoden und das mu"s auch so sein, da ja $\DR$ und $\DC$ Objekte der Analysis sind. Merkw"urdig ist eher die Bezeichnung als \glqq Fundamentalsatz der Algebra\grqq\ f"ur ein Resultat der Analysis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgert man unschwer, da"s das Aufmultiplizieren eine Bijektion $$\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c}\text{Endliche Multimengen}\\ \text{von komplexen Zahlen} \end{array}\right\}&\sira &\left\{\begin{array}{c} \text{Komplexe Polynome}\\ \text{mit Leitkoeffizient Eins} \end{array}\right\}\\[4mm] _\mu\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}&\mapsto&(X-\lambda_1)\ldots(X-\lambda_r) \end{array} $$ liefert. Das vorgestellte $\mu$ aus der linken Seite ist ein \glqq Multimengenanzeiger\grqq, mit dem wir es uns erlauben, Elemente mit Vielfachheiten zu betrachten und anzugeben. Den Beweis "uberlassen wir der Algebra \eref{AMBk}{LA1}. Man mu"s dazu im wesentlichen nur wissen, da"s man f"ur jede Nullstelle einen Linearfaktor abspalten kann. Das hinwiederum folgt aus dem Teilen mit Rest in Polynomringen. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Sei $P\in\DC[X]$ unser Polynom. Wir zeigen zun"achst, da"s es eine Stelle $p \in \DC$ gibt, an der die Funktion $\Bbb{C} \ra \Bbb{R},$ $ z \mapsto |P(z)|$ ihr Minimum annimmt, in Formeln $|P(z)|\geq |P(p)|\;\forall z\in\DC$. Sei dazu $P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_0$. Aus $|z|>0$ folgt $$\begin{array}{lll} |P(z)|&\geq& |a_nz^n| - |a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_0|\\ &\geq&|a_n| |z|^n - |a_{n-1}| |z|^{n-1}-\ldots -|a_0|\\ &\geq& |z|^n\big(|a_n|-|a_{n-1}|/|z|-\ldots-|a_{0}|/|z|^n\big) \end{array} $$ Nun finden wir sicher $R>0$ mit $|a_{n-1}|/R+\ldots+|a_{0}|/R^n \leq |a_n|/2$. Aus $|z|>R$ folgt dann $|P(z)|\geq |z|^n(|a_n|/2)$. Nehmen wir also irgendein $u \in \DC$ her, so gibt es $R \in \Bbb{R}$ derart, da"s aus $|z| \geq R $ folgt $$ |P(z)|\geq |z|^n(|a_n|/2)\geq |P(u)|$$ Als stetige Funktion nimmt aber die Funktion $z \mapsto |P(z)|$ auf einem beliebigen kompakten Rechteck $K\subset \DC$, das die Kreisscheibe $\{z \mid |z| \leq R\}$ umfa"st, ein Minimum an, sagen wir an der Stelle $p\in K$. Das mu"s dann auch das Minimum von $|P(z)|$ auf ganz $\DC$ sein. Wir zeigen nun $P(p) =0$ durch Widerspruch und zeigen dazu: Ist $p\in\DC$ gegeben und $P$ eine nichtkonstante Polynomfunktion mit $P(p)\neq 0$, so nimmt die Funktion $z\mapsto |P(z)|$ bei $p$ nicht ihr Minimum an. Es reicht, das f"ur $p=0$ zu zeigen. Wir d"urfen auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich $P(0)=1$ annehmen. Dann hat unser Polynom die Gestalt $$P(X)=1 + bX^m + X^{m+1}Q(X)$$ mit $b\neq 0$ und $m\geq 1$ und einem weiteren Polynom $Q(X)$ und wir m"ussen zeigen, da"s $|P(z)|$ nicht minimal ist bei $z=0$. Daf"ur m"ussen wir nur eine Richtung $w\in \DC$ finden derart, da"s $|(P(z)|$ kleiner wird, wenn wir uns in dieser Richtung $w$ vom Ursprung entfernen, in Formeln $|P(tw)|<1$ f"ur hinreichend kleines $t>0$. Nach \ref{KoWu} gibt es jedoch $w\in \DC$ mit $w^mb=-1$ und f"ur solch ein $w$ finden wir $$P(tw)= 1-t^m + t^{m+1}w^{m+1}Q(tw)$$ F"ur $t\in [0,1]$ und $C>0$ eine positive obere Schranke f"ur die stetige Funktion $[0,1]\ra\DR$, $t\mapsto |w^{m+1}Q(tw)|$ folgt nach der Dreiecksungleichung $$|P(tw)|\leq 1-t^m + t^{m+1}C$$ Gilt zus"atzlich $00$ ein $\delta >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\delta$ gilt $|f(x) - f(y)|<\varepsilon$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei der Definition der gleichm"a"sigen Stetigkeit kommt es wesentlich auf den Definitionsbereich $D$ an. Da wir Funktionen vielfach angeben, ohne ihren Definitionsbereich explizit festzulegen, ist es in diesem Zusammenhang oft sinnvoll, den jeweils gemeinten Definitionsbereich zu pr"azisieren. Dazu benutzen wir die Sprechweise {\bf $f$ ist gleichm"a"sig stetig auf $D$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur Stetigkeit ist die gleichm"a"sige Stetigkeit kein sinnvoller Begriff f"ur Funktionen $f: \bar\DR^m\supset D \ra \bar\DR^n$. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeSe}\\[4mm] \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildGeSp}\\[4mm] \noindent Gleichm"a"sige Stetigkeit f"ur stetige Funktionen auf Intervallen kann man sich anschaulich wie folgt denken: F"ur eine beliebig f"ur ein Rechteck vorgegebene H"ohe $2\varepsilon>0$ findet man bei gleichm"a"siger Stetigkeit immer eine Breite $2\delta>0$ derart, da"s an welchen Punkt des Graphen meiner Funktion ich das Zentrum meines Rechtecks auch verschiebe, der Graph das Rechteck nie durch die Ober- oder Unterkante verl"a"st. So ist etwa die Wurzelfunktion gleichm"a"sig stetig auf $\DR_{\geq 0}$, die Quadratfunktion jedoch nicht. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit}] Ich will nun den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit diskutieren. Eine Funktion $f: \DR^m\supset D\ra \DR^n$ ist ja nach dem $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \ref{ede} stetig bei $p\in D$ genau dann, wenn es f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon },p) >0$ gibt derart, da"s f"ur alle $x\in D$ mit $|x-p| < \delta({\varepsilon },p)$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $. Des weiteren hei"st sie stetig, wenn sie an jeder Stelle $p\in D$ stetig ist. Gleichm"a"sige Stetigkeit bedeutet nun, da"s f"ur jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon })$ gew"ahlt werden kann, das es als $\delta({\varepsilon })=\delta({\varepsilon },p)$ f"ur alle $p\in D$ gleichzeitig tut. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine nicht gleichm"a"sig stetige Funktion}] Die Funktion $f:\Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto x^{2}$ ist nicht gleichm"a"sig stetig auf $\DR$, denn $|x^{2}-y^{2}| = |x-y\|x+y|$ kann auch f"ur sehr kleines $|x-y|$ noch gro"s sein, wenn nur $|x+y|$ hinreichend gro"s ist. Die Einschr"ankung dieser Funktion auf ein beliebiges reelles Kompaktum ist aber daselbst gleichm"a"sig stetig nach dem anschlie"senden Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}] Jede stetige Funktion\label{glst} $f:\DR^m\supset K\ra\DR^d$ auf einem Kompaktum $K\subset \DR^m$ ist auf besagtem Kompaktum gleich\-m"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren durch Widerspruch und zeigen, da"s eine Funktion auf einem Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. W"are $f$ nicht gleichm"a"sig stetig, so g"abe es ein $\varepsilon > 0$, f"ur das wir kein $\delta >0$ finden k"onnten: Wir probieren alle $\delta = 1/n$ aus und finden immer wieder Punkte $x_{n}$, $y_{n} \in K$ mit $|x_{n}-y_{n}| < 1/n$, f"ur die dennoch gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$. Gehen wir zu einer Teilfolge "uber, so d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s die Folge der $x_{n}$ gegen einen Punkt von $K$ konvergiert, in Formeln $\lim_{n\ra \infty}x_{n} =x$ mit $x\in K$. Damit folgt nat"urlich auch $\lim_{n\ra \infty}y_{n} =x$. W"are nun $f$ stetig bei $x$, so folgte $$\lim_{n\ra \infty} f(x_{n})=f(x) = \lim_{n\ra \infty}f(y_{n})$$ und damit l"agen notwendig fast alle $f(x_{n})$ und desgleichen fast alle $f(y_{n})$ im Quader $\op{B}(f(x);\varepsilon/2)$. Das steht jedoch im Widerspruch dazu, da"s ja nach Konstruktion gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$ f"ur alle $n$. Wir haben also gezeigt, da"s eine Funktion auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jeder Quader der Gestalt $[a_1,b_1]\times \ldots\times [a_n,b_n]\subset\bar\DR^n$ ist kompakt.\label{KoQ} \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede endliche Vereinigung von Kompakta $K_i\subset \bar\DR^n$ ist kompakt.\label{evK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Das Bild eines Kompaktums $K\subset \bar\DR^n$ unter einer stetigen Abbildung $K\ra \bar\DR^m$ ist stets kompakt.\label{bkk} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede beschr"ankte, monotone und stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ gleichm"a"sig stetig ist.\label{bmgs} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $K\subset \bar\DR^m$ und $L\subset \bar\DR^n$ kompakt, so ist auch $K\times L\subset \bar\DR^{m+n}$ kompakt.\label{prk} \end{Ubung} \subsection{Integration stetiger Funktionen} \label{IsF} \begin{Definition} Gegeben $f:\DR\supset [a,b]\ra \Bbb{R}$ eine stetige reellwertige Funktion auf einem nichtleeren kompakten reellen Intervall\label{DefII} erkl"aren wir die Menge ${\op{T}} (f)\subset\Bbb{R}$ aller \glqq naiven Integrale zu Treppen, die unter $f$ liegen\grqq\ durch \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIu} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt ein Element von ${\op{T}}(f)$ dar f"ur die durch den geschwungenen Graphen dargestellte Funktion $f$. \end{figure} $$ {\op{T}} (f)\pdef\left\{ \sum^{n-1}_{i=0} c_{i}(a_{i+1}-a_{i})\; \begin{array}{|l}\text{ Alle m"oglichen Wahlen von } n\in\DN \\ \text{ und von Stellen } a=a_{0}\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n} =b\\ \text{ und von Werten } c_{0},\ldots , c_{n-1}\in\Bbb{R} \text{ derart,}\\ \text{ da"s gilt }\;f(x)\geq c_{i}\text{ f"ur alle } x\in [a_{i},a_{i+1}]\end{array}\right\} $$ Da $f$ stetig ist, hat es nach \ref{Mm} einen beschr"ankten Wertebereich, als da hei"st, es gibt $m,M\in \DR$ mit $m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]$. Daraus folgt, da"s $m (b-a)$ zu $ {\op{T}} (f)$ geh"ort und da"s $M(b-a)$ eine obere Schranke von ${\op{T}} (f)$ ist. Als nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmenge von $\Bbb{R}$ hat ${\op{T}} (f)$ nach \ref{AB} ein Supremum in $\Bbb{R}$. Wir nennen dies Supremum das {\bf Integral der Funktion $f$ "uber das Intervall $[a,b]$}\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompaktes Intervall} und schreiben $$ \sup {\op{T}} (f)\pdef \int^{b}_{a} f(x) \;\diff x = \int^{b}_{a} f=\int_{[a,b]}f $$ Auf\index{S@$\int$ Integral} die Bedeutung der Notationen f"ur das Integral gehen wir in \ref{NoIn} ein. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Anschaulich mi"st das Integral von $f$ die Fl"ache zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse, wobei Fl"achenst"ucke unterhalb der $x$-Achse negativ zu rechnen sind. Das Wort ist aus dem Lateinischen abgeleitet und bedeutet so etwas wie \glqq Zusammenfassung\grqq. Der folgende Satz listet einige Eigenschaften unseres Integrals auf. Man kann leicht zeigen, da"s unser Integral sogar durch diese Eigenschaften charakterisiert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integrationsregeln}] Sei $[a,b]\subset \DR$ ein nichtleeres kompaktes Intervall. \begin{enumerate} \item F"ur die konstante Funktion mit dem Wert $1 $ gilt $\int^{b}_{a}1 =b-a$; \item F"ur $f : [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig und $ z \in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a}f=\int^{z}_{a} f + \int^{b}_{z}f$; \item Seien $f,g:[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig. Gilt $f(x) \leq g(x) \; \forall x \in [a,b]$, in Kurzschreibweise $f\leq g$, so folgt $\int^{b}_{a}f \leq \int^{b}_{a}g$; \item F"ur $f,g :[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a} (f+g) = \int^{b}_{a} f + \int^{b}_{a} g$; \item F"ur $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig und $\lambda \in \Bbb{R}$ gilt $\int^{b}_{a} \lambda f = \lambda \int^{b}_{a} f$. \end{enumerate}\label{InRe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die beiden letzten Punkte bedeuten in der Sprache der linearen Algebra, da"s das Integral eine Linearform auf dem reellen Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem kompakten Intervall ist, als da hei"st, eine lineare Abbildung in den K"orper der reellen Zahlen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir wissen ja schon, da"s aus $m=1\leq f(x)\leq 1=M$ folgt $b-a \leq \int^{b}_{a}f \leq b-a$. \\[2mm]\noindent 2. F"ur Teilmengen $A,B\subset\Bbb{R}$ definiert man eine neue Teilmenge $A+B\subset\Bbb{R}$ durch die Vorschrift $A+B=\{x+y\mid x\in A,\;y\in B\}$. Offensichtlich gilt $${\op{T}} (f) = {\op{T}} (f|_{[a,z]})+{\op{T}} (f|_{[z,b]})$$ F"ur beliebige nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen $A,B \subset \Bbb{R}$ haben wir aber $\sup (A+B) = \sup A +\sup B$ nach "Ubung \ref{ABC}. \\[2mm]\noindent 3. Aus $f\leq g$ folgt offensichtlich ${\op{T}} (f) \subset {\op{T}} (g)$. \\[2mm]\noindent 4 \& 5. Um die letzten beiden Aussagen zu zeigen, m"ussen wir etwas weiter ausholen. F"ur unsere stetige Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ und beliebiges $r\in\DN$, $r\geq 1$ unterteilen wir unser Intervall {\bf "aquidistant},\index{"aquidistante Unterteilung} lateinisierend f"ur \glqq mit gleichen Abst"anden\grqq, durch $$a = t_{0}\leq t_{1} \leq t_{2}\leq \ldots \leq t_{r}=b$$ Es gilt also $ t_{i} = a+ i(b-a)/r$. Wir definieren nun die {\bf $r$-te Riemann-Summe}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} $S^{r}(f) \in \Bbb{R}$ durch die Vorschrift $$S^{r}(f) \pdef \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (t_{i+1}-t_{i}) = \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (\tfrac{b-a}{r})$$ \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRs} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die f"unfte Riemannsumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar. \end{figure} In der anschlie"senden Proposition \ref{RS} werden wir $$\int^{b}_{a}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$ zeigen. Damit erhalten wir dann sofort $$\begin{array}{ccl} \int^{b}_{a} (f+g)& = &\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f+g) \\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim} (S^{r}(f)+S^{r}(g))\\ &=& \underset{r\ra \infty}{\lim}S^{r}f +\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r}g\\ &=& \int^{b}_{a}f + \int^{b}_{a}g \end{array}$$ und "ahnlich folgt $\int^{b}_{a}\lambda f = \lambda \int^{b}_{a}f$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{RS} F"ur $a\leq b$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gilt $\int^{b}_{a}f =\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen\label{NoIn} $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. Manchmal verwendet man auch allgemeiner f"ur eine weitere Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}$ mit guten Eigenschaften, etwa f"ur $g$ die Differenz zweier monoton wachsender Funktionen, die Notation $\int f\diff g$, und meint damit den Grenzwert der Summen $\sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (g(t_{i+1})-g(t_{i}))$, dessen Existenz in \eref{WII1}{AN2} folgende in gro"ser Allgemeinheit diskutiert wird. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildBeI} \\ \noindent In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht, bedeutet das Integralzeichen $\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Man mag versucht sein, die in Proposition \ref{RS} enthaltene Beschreibung gleich als Definition des Integrals zu nehmen. Ich rate davon jedoch ab, da die Existenz des fraglichen Grenzwerts nicht so leicht zu zeigen ist, und da auch die Zweite unserer Integrationsregeln \ref{InRe} aus dieser Definition nicht so direkt folgt. Nun kommt das nat"urlich eigentlich nicht darauf an, wenn unsere Definitionen "aquivalent sind. Aber man legt eben auch in Deutschland ein zentrales Auslieferungslager besser nach Frankfurt als nach Freiburg! \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir definieren zus"atzlich zur $r$-ten Riemann-Summe die {\bf $r$-ten Untersummen}\index{Untersumme} und {\bf Obersummen}\index{Obersumme}\begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildOU} \\ \noindent Die schraffierte Fl"ache stellt die vierte Obersumme der durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar, der kreuzweise schraffierte Teil ihre Untersumme. \end{figure} durch $$\underline{S}^{r}(f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0}(\inf f[t_{i},t_{i+1}])( \tfrac{b-a}{r}) \quad\text{und}\quad \overline{S}^{r} (f)\pdef \sum^{r-1}_{i=0} (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r}) $$ und behaupten die Ungleichungen $$\begin{array}{ccccc} \underline{S}^{r}(f) & \leq & S^{r}(f) &\leq&\overline{S}^{r}(f)\\ \underline{S}^{r}(f) &\leq & \int_{a}^{b} f&\leq & \overline{S}^{r}(f) \end{array}$$ Die erste Zeile ist offensichtlich. Die zweite Zeile erhalten wir zum Beispiel, indem wir aus den bereits bewiesenen Teilen 1 und 3 des Satzes die Ungleichungen $$(\inf f[t_{i},t_{i+1}])(\tfrac{b-a}{r}) \leq \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\leq (\sup f[t_{i},t_{i+1}]) (\tfrac{b-a}{r})$$ folgern, diese Ungleichungen aufsummieren, und die Mitte mit dem auch bereits bewiesenen Teil 2 des Satzes zu $\int_a^b f$ zusammenfassen. Damit sind beide Zeilen von Ungleichungen bewiesen. Nun ist $f$ auf $[a,b]$ gleichm"a"sig stetig nach \ref{glst}, f"ur beliebiges $\varepsilon >0$ existiert also $\delta =\delta_\varepsilon > 0$ mit $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon $. W"ahlen wir $N$ mit $(\frac{b-a}{N})<\delta$ und nehmen dann $r\geq N$, so schwankt unsere Funktion $f$ auf jedem Teilintervall $[t_{i},t_{i+1}]$ h"ochstens um $\varepsilon $, mithin gilt $0 \leq \overline{S}^{r} (f) - \underline{S}^{r}(f) \leq \varepsilon (b-a)$ und damit $|S^{r}(f) - \int^{b}_{a} f | \leq \varepsilon (b-a)$. Die Proposition ist gezeigt. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines rechtwinkligen Dreiecks als Integral}] F"ur $b\in\DR_{\geq 0}$ finden wir \begin{displaymath}\begin{array}[t]{ccl} \int^{b}_{0} x \;\diff x& = &\lim_{r\ra \infty} \left( \frac{0}{r} +\frac{b}{r} + \frac{2b} {r} + \cdots \frac{(r-1)b}{r}\right) \frac{b}{r}\\[2mm] &=& \lim_{r\ra \infty} \frac{r(r-1)}{2} \cdot \frac{b^{2}}{r^{2}} \quad\text{ nach \ref{ErFa}}\\[2mm] &=& \frac{b^{2}}{2} \end{array} \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Standardabsch"atzung f"ur Integrale}] Gegeben $a\leq b$ reelle Zahlen und $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig gilt die Absch"atzung $$\left| \int^{b}_{a}f \right| \leq \int^{b}_{a} |f|$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus $-|f| \leq f\leq |f|$ folgt $-\int |f| \leq \int f \leq \int |f|$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale mit vertauschten Grenzen}] Ist $f:\DR\supset I\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion auf einem Intervall ein Intervall $I$ und sind $a,b\in I$ gegeben mit $a>b$, so erkl"aren\label{IGV} wir $\int_a^b f(x)\diff x$ durch die Vorschrift $$\int_a^b f(x)\diff x\pdef -\int_b^a f(x)\diff x$$ Mit dieser Konvention gilt dann f"ur beliebige $a,b,c\in I$ die Formel $$\int^{c}_{a} f(x)\diff x =\int^{b}_{a} f(x)\diff x + \int^{c}_{b} f(x)\diff x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildARiS}\\[4mm] \noindent Darstellung einer Riemannsumme im Sinne von \ref{ARS}. \end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Diese "Ubung wird verwendet bei der Diskussion der Bogenl"ange.\label{ARS} Sei $a=a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{n} =b$ eine {\bf Unterteilung}\index{Unterteilung!von Intervall} des kompakten reellen Intervalls $[a,b]$. Gegeben eine Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ bezeichnet man die Summen $$\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i)(a_{i+1}-a_{i})$$ mit beliebigen $\zeta_i\in [a_{i},a_{i+1}]$ als die {\bf Riemann-Summen}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} von $f$ zur vorgegebenen Unterteilung. Die maximale L"ange $\sup\{a_i-a_{i-1}\mid 1\leq i\leq n\}$ eines Teilintervalls hei"st die {\bf Feinheit} der Unterteilung. Man zeige: Ist $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig, so gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ derart, da"s alle Riemannsummen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ vom Integral $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Allgemeiner hei"st eine nicht notwendig stetige Funktion auf einem kompakten reellen Intervall $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ {\bf Riemann-integrierbar}\index{Riemann-integrierbar} {\bf mit Integral $\int f$},\index{integrierbar!Riemann-integrierbar} wenn die Bedingung vom Ende der vorhergehenden "Ubung erf"ullt ist, da"s es n"amlich zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$ von $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. Wir werden in diesem Text den Begriff der Riemann-In\-te\-grier\-bar\-keit vermeiden: Sp"ater wird eh das sehr viel st"arkere Lebesgue-Inte\-gral eingef"uhrt, und bis dahin reicht unser Integrationsbegriff f"ur stetige Funktionen aus. F"ur ein vertieftes Studium der Analysis ist jedoch auch der Begriff der Riemann-In\-te\-grier\-bar\-keit relevant. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Man zeige den \defnoind{Mittelwertsatz der Integralrechnung}: \index{Mittelwertsatz!der Integralrechnung} Gegeben ein nichtleeres kompaktes Intervall $[a,b] \subset \Bbb{R}$ und $f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int f = (b-a) f(\xi)$. Gegeben eine weitere stetige Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}_{\geq 0}$ gibt es sogar $\xi \in [a,b]$ mit $\int fg = f(\xi) \int g$. \end{Ubunge} \subsection{Ableitung an einer Stelle}\label{Ablei} \begin{Definition}\label{dhoR} Wir nennen eine Teilmenge $D\subset\DR$ {\bf halboffen},\index{halboffen!Teilmenge von $\DR$} wenn sie mit jedem Punkt auch mehrpunktiges Intervall umfa"st, das besagten Punkt enth"alt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Halboffene Teilmengen k"onnen ziemlich absonderlich aussehen, man denke nur an irgendeine Abz"ahlung der rationalen Zahlen $q_1, q_2, \ldots$ und die Vereinigung der Intervalle $[q_i, q_i+2^{-i}]$. Unser Ziel ist nicht eine Ausdehnung des Differenzierbarkeitsbegriffs auf derartig abstruse F"alle, sondern vielmehr ein begrifflicher Rahmen, der auch noch das Differenzieren an Randpunkten kompakter Intervalle erlaubt. Das hinwiederum kommt oft vor und ist fast so wichtig wie der Beckenrand beim Schwimmbad, der ja auch dann ben"otigt wird, wenn man eigentlich nur im Wasser schwimmen will. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DEV} Eine Funktion $f: \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$ mit halboffenem Definitionsbereich $D$ hei"st\index{Ableitung!bei fester Stelle} {\bf differenzierbar bei $p\in D$ mit Ableitung $b \in \Bbb{R}$}, \index{differenzierbar!in einer Ver"anderlichen} wenn gilt $$\lim_{x\ra p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} = b$$ Wir k"urzen diese Aussage ab durch $f^{\prime}(p) = b$ oder $\frac{\diff f}{\diff x} (p) =b$ oder,\index{)6@$f'$ Ableitung}\index{)0d@$f'$ Ableitung} wenn die Funktion $x\mapsto f(x)$ durch einen gr"o"seren Ausdruck in $x$ gegeben ist, durch $$\left.\frac{\diff }{\diff x}\right|_{x=p} f(x) =b$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede nicht vertikale alias nicht zur $y$-Achse parallele Gerade in der Ebene ist die L"osungsmenge genau einer Gleichung der Gestalt $y=a+bx$. Die reelle Zahl $b$ hei"st in diesem Fall die \defind{Steigung} unserer Gerade. Anschaulich bedeutet der {\bf Differenzenquotient} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAb} \\ \noindent Eine Sekantensteigung und die Tangentensteigung der durch den gezahnten Graphen dargestellten Funktion \end{figure} $$ \frac{f(x) - f(p)}{x-p} $$ die Steigung der Gerade durch die Punkte $(p,f(p))$ und $(x,f(x))$. Diese Gerade hei"st auch eine \defind{Sekante}, lateinisch f"ur \glqq Schneidende\grqq, da sie eben den Graphen unserer Funktion in den beiden besagten Punkten schneidet. Der Grenzwert $f^{\prime}(p)$ der Sekantensteigungen bedeutet anschaulich die Steigung der \defind{Tangente}, lateinisch f"ur \glqq Ber"uhrende\grqq, an den Graphen von $f$ im Punkt $(p,f(p))$. Die Umkehrung dieser Anschauung liefert auch eine pr"azise Definition besagter Tangente als der Gerade durch den Punkt $(p,f(p))$ mit der Steigung $f^{\prime}(p)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit, Umformulierungen der Definition}] Wir geben noch zwei Umformulierungen der Definition der Differenzierbarkeit. Ist $D \subset \Bbb{R}$ eine halboffene Teilmenge, so ist nach \ref{LS} eine Funktion $f: D \ra \Bbb{R}$\label{NoA} %\label{VD} differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $f'(p)=b $ genau dann, wenn es eine Funktion $\varphi=\varphi_p : D \ra \Bbb{R}$ gibt, die stetig ist bei $p$ mit Funktionswert $\varphi (p) =b$ alias $\lim_{x\ra p}\varphi(x)=\varphi(p)=b$ derart, da"s f"ur alle $x\in D$ gilt $$ f(x) = f(p) + (x-p)\varphi (x)$$ Das bedeutet, da"s die {\bf Sekantensteigungsfunktion} $\varphi (x)\pdef(f(x)-f(p))/(x-p)$ durch die Vorschrift $\varphi (p)=b$ stetig an die Stelle $p$ fortgesetzt werden kann. In nochmals anderen Formeln ist unsere Funktion $f:D\ra \DR$ differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $f'(p)=b$ genau dann, wenn gilt $$f(p+h)=f(p)+ bh + \varepsilon(h)h$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$, die stetig ist bei Null und die dort den Wert $\varepsilon(0)=0$ annimmt, in Formeln $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=\varepsilon(0)=0$. Hierbei ist zu verstehen, da"s die Funktion $\varepsilon$ definiert sein soll auf der Menge aller $h$ mit $h+p\in D$. Diese Formulierung des Ableitungsbegriffs hat den Vorteil, besonders gut zum Ausdruck zu bringen, inwiefern f"ur festes $p$ und kleines $h$ der Ausdruck $f(p)+ bh$ eine besonders gute Approximation von $f(p+h)$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Eine konstante Funktion $\DR\ra\DR$ ist an jeder Stelle differenzierbar mit Ableitung Null. Die Funktion $\op{id}:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$, $ x\mapsto x$ hat bei jedem Punkt $p$ die Ableitung $\op{id}'(p)=\frac{\diff x}{\diff x}(p)=1$. \end{Beispiele} \begin{Lemma}\label{AK} Die Funktion $x\mapsto \frac{1}{x}$ ist differenzierbar bei jedem Punkt von $\Bbb{R}^{\times}$ und ihre Ableitung bei einer Stelle $p\in \Bbb{R}^{\times}$ ist $-\frac{1}{p^{2}}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir rechnen $\lim_{x\ra p} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{p}}{x-p} = \lim_{x\ra p} \frac{-1}{xp} = -\frac{1}{p^{2}}$ nach \ref{GSS}. \end{proof} \begin{Lemma} Ist eine Funktion $f:\DR\supset D\ra\DR$ mit halboffenem Definitionsbereich $D$ differenzierbar bei $p\in D$, so ist $f$ stetig bei $p$. \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt aus der Darstellung $f(x)=f(p) + (x-p)\varphi(x)$ mit $\varphi$ stetig bei $p$ aus \ref{NoA}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $f:(a,b)\ra\Bbb{R}$ definiert auf einem offenen Intervall um einen Punkt $p\in(a,b)$ und existieren die Grenzwerte $$\lim_{x \nearrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}\;\;\;\text{ beziehungsweise } \;\;\;\lim_{x \searrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}$$ im Sinne von \ref{LRGr}, so nennen wir sie die {\bf linksseitige}\index{Ableitung!linksseitige, rechtsseitige} beziehungsweise die {\bf rechtsseitige Ableitung} von $f$ an der Stelle $p$. Nach der Charakterisierung \ref{LRGr} eines Grenzwerts als "ubereinstimmender rechts- und linksseitiger Grenzwert ist $f$ differenzierbar bei $p$ genau dann, wenn dort die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und "ubereinstimmen. Man erkennt so zum Beispiel, da"s der Absolutbetrag $\op{abs}: \Bbb{R}\ra\Bbb{R},\; x\mapsto |x|$ nicht differenzierbar ist bei $p=0$, da dort die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung zwar existieren, aber nicht "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \subsection{Ableitungsregeln} \label{Abre} \begin{Proposition} Seien Funktionen $f,g : \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$ f"ur $D$ halboffen differenzierbar bei $p\in D$. So sind auch die Funktionen $f+g$ und\label{APSu} $fg$ differenzierbar bei $p$ und es gilt $$ (f+g)^{\prime} (p) = f^{\prime}(p) + g^{\prime}(p)\quad\text{und}\quad (fg)^{\prime}(p)= f^{\prime}(p)g(p) + f(p) g^{\prime}(p) $$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir schreiben wie in \ref{NoA} $$\begin{array}{ccccccc} f(p+h)& = & f(p) & + & f'(p)h& +&\varepsilon (h)h\\ g(p+h)& = & g(p) & + & g'(p)h &+&\hat{\varepsilon} (h)h \end{array}$$ f"ur Funktionen $\varepsilon, \hat{\varepsilon}$, die stetig sind bei Null und die dort verschwinden. Lassen wir der "Ubersichtlichkeit halber alle $(p)$ weg, so liest sich das $$\begin{array}{ccccccc} f(p+h)& = & f & + & f' h& +&\varepsilon (h)h\\ g(p+h)& = & g & + & g' h &+&\hat{\varepsilon} (h)h \end{array}$$ Durch Addieren beziehungsweise Multiplizieren dieser Gleichungen erhalten wir dann $$ \begin{array}{ccl} (f+g) (p+h) &=& (f+g)(p) + \left[f' +g' \right]h\;\; + \big(\varepsilon (h)+\hat{\varepsilon} (h)\big)h\\[3mm] (f g)(p+h) &=& (f g)(p)+ \left[f' g + f g' \right]h\\[1mm] &&+\big(\varepsilon (h)g + f \hat{\varepsilon} (h) + (f' + {\varepsilon}(h))(g' + \hat{\varepsilon} (h)) h \big)h \end{array}$$ Nach unseren Kenntnissen "uber stetige Funktionen steht aber in der letzten eckigen Klammer auf der rechten Seite jeder dieser Gleichungen eine Funktion, die stetig ist bei $h=0$ und die dort den Wert Null annimmt. \end{proof} \begin{Definition} Ist eine Funktion $f:\Bbb{R}\supset D\ra\Bbb{R}$ mit $D$ halboffen differenzierbar an jedem Punkt von $D$, so nennen wir $f$ {\bf differenzierbar auf $D$} und nennen die Funktion $f':D\ra\Bbb{R}$, $p\mapsto f'(p)$ ihre {\bf Ableitung}.\index{Ableitung!als Funktion} \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Funktion $x\mapsto 1/x$ ist differenzierbar auf $\Bbb{R}^\times$ mit Ableitung $-1/x^2$. Sind $f$ und $g$ differenzierbar, so auch $f+g$ und $fg$ und f"ur ihre Ableitungen gelten die \defind{Summenregel} und die {\bf Produktregel}\index{Produktregel!f"ur reelle Funktionen} oder {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur reelle Funktionen} $$(f+g)'=f'+g' \quad\text{und}\quad(fg)'=f'g+fg'$$ \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Ableiten ganzzahliger Potenzen}] F"ur alle $n\in\DZ$ und unter der Voraussetzung $x\neq 0$ im Fall $n\leq 0$ ist die Ableitung der Funktion $x\mapsto x^n$ die Funktion $x\mapsto nx^{n-1}$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Im Fall $n=0$ ist die Ableitung der konstanten Funktion $x^0=1$ nat"urlich "uberall definiert und Null, kann aber nur f"ur $x\neq 0$ in der Form $0x^{-1}$ geschrieben werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Man zeigt das durch vollst"andige Induktion "uber $n$ separat f"ur $n\geq 0$ und $n\leq -1$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}]\label{KeRe} Seien $D,E\subset\DR$ halboffene Teilmengen und\index{Kettenregel!in einer Ver"anderlichen!reell} $f : D \ra \Bbb{R}$ sowie $g : E \ra \Bbb{R}$ Funktionen und es gelte $f(D) \subset E$. Sei $f$ differenzierbar bei $p\in D$ und $g$ differenzierbar bei $f(p)$. So ist $g\circ f: D \ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $$(g\circ f)^{\prime}(p) = g^{\prime} (f(p)) \cdot f^{\prime}(p)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Der besseren "Ubersichtlichkeit halber benutzen wir hier Gro"sbuchstaben f"ur die Ableitungen und setzen $ f'(p)=L$ und $g'(f(p))=M$. Wir haben $$\begin{array}{rll} f(p+h)&=& f(p)+Lh+\varepsilon(h)h\\[2mm] g(f(p)+k)&=& \;\! g(f(p)) + Mk+\hat{\varepsilon} (k)k \end{array}$$ f"ur Funktionen $\varepsilon$ und $\hat{\varepsilon}$, die stetig sind bei Null und die dort verschwinden. Wir erhalten durch Einsetzen von $Lh+\varepsilon(h)h$ f"ur $k$ sofort $$\begin{array}{lll} g( f (p+h)) &=& g\big(f(p)+Lh+\varepsilon(h)h\big)\\[2mm] &=& g(f(p)) + MLh + M\varepsilon(h)h+ \hat{\varepsilon} (Lh+\varepsilon(h)h)(L+\varepsilon(h))h \end{array}$$ Es ist nun aber offensichtlich, da"s sich hier die Summe der Terme ab dem dritten Summanden einschlie"slich in der Gestalt $\eta(h)h$ schreiben l"a"st f"ur eine Funktion $\eta$, die stetig ist bei Null und die dort verschwindet, und wir erhalten \begin{equation*} (g\circ f)(p+h)=(g\circ f)(p)+MLh +\eta(h)h\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Quotientenregel}] \index{Ableitung!von Br"uchen, reell}\index{Quotientenregel} Sei $f: \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$ eine Funktion ohne Nullstelle und $D\subset\DR$ halboffen. \begin{enumerate} \item Ist $f$ differenzierbar bei $p\in D$, so ist auch $1/f : D \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto 1/{f(x)}$ differenzierbar bei $p$ und hat dort die Ableitung ${-f^{\prime}(p)}/ {f(p)^{2}}$; \item Ist zus"atzlich $g: D\ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei $p$, so ist auch ${g}/{f}$ differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $$ \left(\frac{g} {f}\right)^{\prime}(p)= \frac{g'(p)f(p) -g(p)f'(p)} {f(p)^{2}}$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Teil 1 folgt sofort aus der Formel \ref{AK} f"ur die Ableitung de Funktion $x\mapsto 1/x$ mit der Kettenregel. Teil 2 folgt aus Teil 1 mit der Produktregel. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $D\subset \DR$ halboffen und $g,f:\DR\supset D\ra\DR$ differenzierbar. Hat $f$ keine Nullstelle auf $D$, so ist auch $g/f$ differenzierbar auf $D$ mit der Ableitung $$ \left(\frac{g} {f}\right)^{\prime}= \frac{g'f -gf'} {f^{2}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Ableitung der Exponentialfunktion}] \index{Ableitung!Exponentialfunktion} Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung, in Formeln\label{Aex} $\exp^{\prime}(p)=\exp(p) \; \forall p \in \Bbb{R}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In \ref{PRD} werden wir lernen, da"s man \glqq Potenzreihen gliedweise differenzieren darf\grqq. Da wir das aber bis jetzt noch nicht wissen, m"ussen wir etwas mehr arbeiten. Wir bestimmen zun"achst die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle $p =0$ und erhalten $$\begin{array}{ccl} \exp^{\prime}(0) &=& \lim_{x\ra 0}\frac{\exp (x) -\exp (0)} {x-0}\\[2mm] &=& \lim_{x\ra 0}\sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^{i-1}}{i!}\\[2mm] &=& \lim_{x\ra 0} \left( 1+x\sum^{\infty}_{i=2} \frac{x^{i-2}}{i!}\right)\\[2mm] &=& 1 \end{array}$$ nach unseren Erkenntnissen zum Grenzwert durch Einquetschen \ref{BL2} und Grenzwert von Summe und Produkt \ref{BL}, da ja $| \sum^{\infty}_{i=2}\frac{x^{i-2}}{i!}| $ f"ur $|x|\leq 1$ beschr"ankt ist durch die Euler'sche Zahl $\op{e.}$ Um $\exp^{\prime}(p)$ f"ur beliebiges $p$ zu bestimmen, rechnen wir $$\begin{array}{ccl} \exp^{\prime}(p) &=& \lim_{h\ra 0}\frac{\exp (p+h) -\exp (p)} {h}\\[2mm] &=& \lim_{h\ra 0}\frac{\exp (h)\; -\;1} {h}\exp (p)\\[2mm] &=& \exp (p) \end{array}$$ Hier verwenden wir im letzten Schritt den schon behandelten Fall $p=0$ und formal im ersten Schritt eine der Verkn"upfungsregeln f"ur Grenzwerte aus \ref{GWSt}, um den Grenzwert $x\ra p$ in einen Grenzwert $h\ra 0$ umzuformen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableitung der trigonometrischen Funktionen}] Ganz genau wie im vorhergehenden Beweis zeigt man, da"s Sinus und Cosinus bei Null differenzierbar sind mit der Ableitung $\sin'(0)=1$ und $\cos'(0)=0$. Mit der Additionsformel $\sin(t+h)=\sin(t)\cos(h)+\cos(t)\sin(h)$ folgt $\sin'=\cos$ und mit der anderen Additionsformel $\cos'=-\sin$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ableitung von Umkehrfunktionen}\index{Ableitung!von Umkehrfunktion!reell}]\label{AU} Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall sowie $f:I \ra \Bbb{R}$ streng monoton, stetig auf $I$ und differenzierbar bei $p\in I$ mit Ableitung $f^{\prime}(p) \neq 0$. So ist die Umkehrfunktion $f^{-1}: f(I) \ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei $q=f(p)$ mit Ableitung $$(f^{-1})^{\prime} (q) =1/{f^{\prime}(f^{-1}(q))}$$ \end{Satz} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUFA} \\ \noindent Veranschaulichung der Formel \ref{AU} f"ur die Ableitung von Umkehrfunktionen \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Nach unseren Annahmen gibt es eine stetige Funktion ohne Nullstelle $\varphi : I \ra \Bbb{R}$ mit $f(x) - f(p)= (x-p) \varphi (x)$ und $\varphi (p) = f^{\prime} (p)$. Setzen wir hier $x = f^{-1}(y)$, so ist $\psi = 1/(\varphi\circ f^{-1}) :f(I) \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit $(y-q)\psi (y)= f^{-1} (y)-f^{-1}(q)$ und $\psi (q) = 1/{f^{\prime}(p)}$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die {\bf Ableitung des Logarithmus}\index{Ableitung!Logarithmus} ist mithin $$\log^{\prime} (q) = \frac{1}{\exp (\log q)} = \frac{1}{q}$$ Damit ergibt sich f"ur alle $a \in \Bbb{R}$ die {\bf Ableitung der allgemeinen Potenzen}, \index{Ableitung!allgemeiner Potenzen} also der Funktionen $(0,\infty)\ra \Bbb{R}$, $x\mapsto x^{a}$, zu $x \mapsto ax^{a-1}$. In der Tat, nach Definition gilt ja $x^{a}=\exp (a \log x)$, die Ableitung wird also $a \frac{1}{x} \exp (a \log x) = ax^{a-1}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Arcussinus ist nach \ref{AU} differenzierbar auf $(-1,1)$ und seine Ableitung ergibt sich mit unserer Regel f"ur die Ableitung einer Umkehrfunktion zu\label{abarcs} $$\begin{array}{ccl} \arcsin'(x)&=&1/(\cos(\arcsin x))\\ &=& 1/\sqrt{1-\sin^{2}(\arcsin x)}\\ &=& 1/\sqrt{1-x^2}\end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{AbAr} Die Ableitung des Tangens ergibt sich mit der Quotientenregel zu $\tan^{\prime}(x) = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2}x} {\cos^{2}x} = 1 + \tan^{2}(x)$. Die Ableitung von $\arctan$ ergibt sich mit der Regel \ref{AU} "uber die Ableitung der Umkehrfunktion zu $$\arctan^{\prime} (t) = \frac{1}{1+t^{2}}$$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{e1x} Die Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ gegeben durch $$\begin{array}{lcr} f(x) &=& \left\{\begin{array}{lr} \op{e}^{-1/x} & x>0 \\ 0&x\leq 0 \end{array} \right. \end{array}$$ ist beliebig oft differenzierbar. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten allgemeiner f"ur alle $n \in \DN$ die Funktion $f_{n} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $$\begin{array}{rcl} f_{n} (x) &=& \left\{ \begin{array}{cl} x^{-n}\op{e}^{-1/x} & x >0\\ 0 &x \leq 0 \end{array}\right. \end{array}$$ und zeigen, da"s sie differenzierbar ist mit Ableitung $f^{\prime}_{n} = -nf_{n+1} + f_{n+2}$. Damit sind wir dann nat"urlich fertig. Das einzige Problem ist die Ableitung an der Stelle $p=0$, wo wir nachweisen m"ussen, da"s die Sekantensteigungen \glqq von rechts\grqq\ auch gegen Null streben, da"s also f"ur alle $n \in \Bbb{N}$ gilt $$\lim_{x\searrow 0} x^{-n-1} \op{e}^{-1/x} =0$$ Nun wissen wir aber nach der Definition von $\exp$, da"s f"ur jedes $m\in \DN$ und $x>0$ gilt $\exp (x) > x^{m}/m!$. F"ur jedes $n\in\DN$ und $x>0$ gilt also $\exp (1/x) > x^{-n-2}/(n+2)!$ und wir folgern $00$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Eine differenzierbare Funktion mit unstetiger Ableitung}] Die Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ gegeben durch $f(x) = x^{2}\op{sin} (x^{-1})$ f"ur $x \neq 0$ und $f(0) =0$ ist differenzierbar auf $\Bbb{R}$, aber ihre Ableitung ist nicht stetig beim Nullpunkt.\label{nsdb} \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSiI}\\[4mm] \noindent Illustration zu \ref{nsdb}. Der Graph der Funktion ist zwischen zwei parabolischen Backen eingezw"angt und hat deshalb am Ursprung Null Grenzwert der Sekantensteigungen, hat aber beliebig nah am Ursprung immer wieder Stellen mit Steigung Eins. Die entsprechend durch $ x^{2}\op{sin} (x^{-2})$ gegebene Funktion wird sogar beliebig nah am Ursprung beliebig steil. \end{figure} \subsection{Folgerungen aus Eigenschaften der Ableitung}\label{FoEA} \begin{Definition}\label{Roff} Eine Teilmenge der reellen Zahlen hei"st \defnoind{offen}\index{offen!in $\DR$}, wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist. In Formeln ist demnach eine Teilmenge $U\subset\DR$ offen genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in U$ ein $\varepsilon>0$ gibt mit $(p-\varepsilon, p+\varepsilon)\subset U$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Notwendige Bedingung f"ur ein Extremum}]\label{NBM} Nimmt eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist, an einem Punkt dieser offenen Teilmenge ihr Maximum oder ihr Minimum an, und ist sie dort differenzierbar, so verschwindet an diesem Punkt ihre Ableitung. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In Formeln haben wir also $$\big(f:\DR\lco U\ra\DR\text{ diffbar bei }p\in U\text{ mit }f(x)\geq f(p)\;\forall x\in U\big)\RA f'(p)=0.$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{OBWe} Die Bedingung, unsere Teilmenge sei offen, ist an dieser Stelle wesentlich: Gegeben reelle Zahlen $ap$. Wenn der Grenzwert der Sekantensteigungen existiert, so folgt aus der Erhaltung \ref{UGG} von Ungleichungen im Grenzwert $0\leq \lim_{x\nearrow p}\varphi (x)=\lim_{x\ra p}\varphi (x)= \lim_{x\searrow p}\varphi (x)\leq 0$ und damit ist dann dieser Grenzwert Null. Nimmt $f$ ein Minimum an bei $p$, so argumentiert man analog. \end{proof} \begin{Beispiel} Das \defind{Brechungsgesetz} behauptet, da"s das Verh"altnis vom Sinus des Eintrittswinkels zum Sinus des Austrittswinkels eines Lichtstrahls beim "Ubergang zwischen zwei Medien, sagen wir Luft und Wasser, konstant ist. Wir leiten es nun ab aus dem sogenannten {\bf Fresnel'schen Prinzip}, nach dem ein Lichtstrahl\index{Fresnel'sches Prinzip} \glqq stets den schnellsten Weg nimmt\grqq. Ist sagen wir die Lichtgeschwindigkeit in Wasser das $\gamma$-fache der Lichtgeschwindigkeit in Luft, so sollte nach diesem Prinzip der Lichtstrahl mit den Bezeichnungen aus nebenstehendem Bild \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0028} \\ \noindent Zum Brechungsgesetz \end{figure} bei dem $x$ in das Wasser eintauchen, f"ur das der Ausdruck \begin{displaymath} \sqrt{a^2 + x^2} + \gamma \sqrt{b^2 +(L-x)^2} \end{displaymath} minimal wird. Ableiten liefert daf"ur die notwendige Bedingung \begin{displaymath} \frac{2x}{2\sqrt{a^2+x^2}} + \gamma \frac{-2(L-x)}{2\sqrt{b^2+(L-x)^2}} =0 \end{displaymath} und damit steht das Brechnungsgesetz $ \sin \varphi = \gamma \sin \varphi' $ auch schon da. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{von Rolle}\index{Rolle}]\label{Ro} Seien $a0 & \Rightarrow & f \text{ w"achst streng monoton}\\ f^{\prime} \geq 0& \Leftrightarrow & f \text{ w"achst monoton}\\ f^{\prime} < 0 & \Rightarrow & f \text{ f"allt streng monoton}\\ f^{\prime}\leq 0 & \Leftrightarrow & f \text{ f"allt monoton}\\ f^{\prime} = 0 & \Leftrightarrow & f \text{ ist konstant} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht, die beiden ersten Aussagen zu zeigen. W"achst $f$ nicht streng monoton, so gibt es $a0$ auch eine M"oglichkeit. Aber gut, $\DR^\times$ ist ja auch kein Intervall. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $I\subset\DR$ unser mehrpunktiges Intervall und $f: I \ra \Bbb{R}$ unsere differenzierbare Funktion mit $f=f^{\prime}$. Die Ableitung der Funktion $f(x) \op{e}^{-x}$ ergibt sich mit der Produktregel zu $f^{\prime}(x)\op{e}^{-x}- f(x)\op{e}^{-x} = 0$, mithin ist die Funktion $f(x)\op{e}^{-x}$ konstant, sagen wir mit einzigem Funktionswert $c$, und wir folgern $f(x)=c\op{e}^{x}\;\forall x\in I$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches zu Intervallen}] Ein reelles Intervall ist halboffen im Sinne unserer Definition \ref{dhoR} genau dann, wenn es nicht aus einem einzigen Punkt besteht. In der Literatur wird der Begriff \glqq halboffen\grqq\ meist abweichend verwendet f"ur Intervalle, die weder offen noch kompakt sind, also f"ur reelle Intervalle der Gestalt $(a,b]$ oder $[a,b)$. Bei uns hei"sen jedoch auch Intervalle der Gestalt $[a,b]$ mit $a0$, so besitzt $f$ ein {\bf\em isoliertes lokales Minimum} \index{isoliertes lokales Minimum} bei $p$, als da hei"st, es gibt $r>0$ derart, da"s gilt $f(q ) > f(p) $ f"ur alle $q\in I$ mit $0<|q-p| 0$. So gibt also $r >0$ mit $\varphi (q )>0$ f"ur $q\in I\cap (p-r,p+r)$, und wir folgern $f^{\prime}(q ) < 0$ f"ur $q\in I \cap(p-r,p)$ und $f^{\prime}(q )>0$ f"ur $q \in I \cap(p,p+r)$. Unseren Funktion $f$ f"allt also streng monoton auf $I \cap (p-r,p)$ und w"achst streng monoton auf $I\cap(p,p+r)$. Der andere Fall $f^{\prime\prime} (p)<0$ wird analog behandelt. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen eine Funktion $f:I\ra \Bbb{R}$ auf einem reellen Intervall $I$ {\bf konvex} \index{konvex!Funktion} beziehungsweise {\bf konkav},\index{konkave Funktion} wenn ihr Graph unter beziehungsweise "uber jeder seiner Sekanten liegt, wenn also in Formeln f"ur alle $x \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$ Nach dem Mittelwertsatz finden wir dann aber $\xi < \zeta$ mit $f^{\prime}(\xi) > f^{\prime}(\zeta)$ und bei nochmaligem Anwenden $\eta$ mit $f^{\prime\prime} (\eta) <0$. Ist umgekehrt $f$ konvex, so reicht es nach \ref{Roo} zu zeigen, da"s $f^{\prime}$ monoton w"achst. K"urzen wir die Steigung der Sekante durch $(x,f(x))$ und $(y,f(y))$ ab mit $s_{xy}\pdef\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$, so impliziert die Konvexit"at die Ungleichungskette \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildKoKa} \\ \noindent Links der Graph einer konvexen, rechts der einer konkaven Funktion \end{figure} $$s_{xy}\leq s_{xz}\leq s_{yz}$$ Hier ist $s_{xy}\leq s_{yz}$ eine direkte Konsequenz der Konvexit"at, und da sicher gilt $(x-y)s_{xy}+(y-z)s_{yz}=(x-z)s_{xz}$, liegt $s_{xz}$ als ein \glqq gewichtetes Mittel\grqq\ zwischen $s_{xy}$ und $s_{yz}$. Unsere Ungleichungskette schreiben wir aus zu $$ \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq \frac{f(x)-f(z)}{x-z}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$ Die Sekantensteigungsfunktionen $y\mapsto \frac{f(x)-f(y)}{x-y} $ und $y\mapsto \frac{f(y)-f(z)}{y-z} $ wachsen insbesondere monoton auf $(x,z]$ beziehungsweise $[x,z)$ und im Grenzwert folgt \begin{equation*} f'(x)\leq \frac{f(x)-f(z)}{x-z}\leq f'(z)\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKov} \\ \noindent Veranschaulichung unserer Ungleichungskette f"ur die Sekantensteigungen bei konvexen Funktionen aus dem Beweis von \ref{ZAK} \end{figure} \begin{Definition} Wir nennen eine Funktion $f:I\ra \Bbb{R}$ auf einem reellen Intervall $I$ {\bf streng konvex} beziehungsweise {\bf streng konkav}, wenn ihr Graph echt unter beziehungsweise echt "uber jeder Sekante liegt, wenn also in Formeln f"ur alle $x$ f"ur streng konkave Funktionen. \end{Definition} \begin{Satz} Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall und $f: I \ra \Bbb{R}$ zweimal differenzierbar. So gilt $$\begin{array}{rcll} f \text{ ist streng konvex}& \Leftarrow & f^{\prime\prime}(x) > 0 & \forall x \in I\\ f \text{ ist streng konkav} & \Leftarrow & f^{\prime\prime}(x) < 0 & \forall x \in I \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof} "Ubung. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} An welchen Stellen nimmt die Funktion $[-1,2]\mapsto \DR$ gegeben durch $x\mapsto |2-x^2|$ ihr Minimum und Maximum an? \end{Ubung} \begin{Ubunge} Bei welchem Verh"altnis zwischen Durchmesser und H"ohe umfa"st eine Konservendose mit fest vorgegebener Oberfl"ache das gr"o"stm"ogliche Volumen? \end{Ubunge} \begin{Ubung} Eine differenzierbare Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall, deren Ableitung beschr"ankt ist, ist gleichm"a"sig stetig.\label{ABbb} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine differenzierbare Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall ist das Bild des fraglichen Intervalls unter der Ableitung unserer Funktion wieder\label{AbInt} ein Intervall. Hinweis: Mittelwertsatz. Man beachte, da"s die Stetigkeit der Ableitung nicht vorausgesetzt wird. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{Le} Sei $a\in\Bbb{R}$ gegeben. Ist $f:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ differenzierbar und l"ost die Differentialgleichung $f'=a f$, so gilt $f(x)=f(0) \op{e}^{a x}$ f"ur alle $x\in\Bbb{R}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktionen, die mindestens ihre eigene Ableitung sind}] Ist eine Funktion $f:[0,b)\ra\DR$ differenzierbar mit $f'(t)\leq f(t)$ f"ur alle $t\in [0,b)$, so folgt $f(t)\leq f(0){\op{e}}^t$ f"ur alle $t\in [0,b)$. Ist allgemeiner $f:[0,b)\ra\DR$ differenzierbar und $\alpha\in \DR$ derart, da"s gilt\label{fmeA} $f'(t)\leq \alpha f(t)$ f"ur alle $t\in [0,b)$, so folgt $f(t)\leq f(0){\op{e}}^{\alpha t}$ f"ur alle $t\in [0,b)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NSTa} Seien $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall und $f:I\ra\DR$ differenzierbar mit der Eigenschaft $f(x)=0\RA f'(x)<0$. Man zeige, da"s dann $f$ in $I$ h"ochstens eine Nullstelle haben kann, und da"s $f$ links von dieser Nullstelle positiv und rechts davon negativ sein mu"s. Hinweis: Zwischen zwei verschiedenen Nullstellen mu"s es nach Voraussetzung eine Nichtnullstelle geben und dann eine kleinste Nullstelle oberhalb und eine gr"o"ste Nullstelle unterhalb dieser Nichtnullstelle. Von da aus finde man einen Widerspruch zu den Annahmen. Die "Ubung wird bei der Diskussion differentieller Ungleichungen helfen. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBrett}\\[4mm] \noindent Illustration zu "Ubung \ref{Brett}. \end{figure} \begin{Ubunge}\label{Brett} Man zeige, da"s ein Punkt $(x,y) \in (0,1)^2$ genau dann auf einem Geradensegment der L"ange Eins mit einem Ende auf der $x$-Achse und dem anderen Ende auf der $y$-Achse liegt, wenn gilt $y^{2/3} + x^{2/3} \leq 1$. Hinweis: Man halte $x$ fest und berechne f"ur alle $a \in [x,1]$ die H"ohe $h_x (a)$ an der Stelle $x$ eines Brettes der L"ange $1$, das bei $a$ auf der $x$-Achse steht und an die $y$-Achse angelehnt ist. Man bestimme das Maximum dieser H"ohen bei festem $x$ und variablem $a$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{JHU} Gegeben reelle Zahlen $a,b\geq 0$ und $p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ zeige man die {\bf Young'sche Ungleichung}\index{Young'sche Ungleichung} $ab\leq p^{-1} a^p+ q^{-1} b^q$. Hinweis: Man gehe von der Konvexit"at der Exponentialfunktion aus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HUN} Gegeben reelle Zahlen $a,b\geq 0$ und $p\geq 1$ zeige man die Ungleichung $(a+b)^p\leq 2^{p-1}( a^p+ b^p)$. Hinweis: Man gehe von der Konvexit"at der Funktion $[0,\infty)\ra\DR$, $x\mapsto x^p$ aus. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{KWPZ} F"ur $P\subset\DN$ die Menge aller Primzahlen gilt $$\sum_{p\in P}\frac{1}{p}=\infty$$ In der Tat folgt aus $\sum_{k=1}^\infty 1/k=\infty$ und der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und der Entwicklung $(1-1/p)^{-1}=(1+p^{-1}+p^{-2}\ldots)$ in eine geometrische Reihe, da"s die Menge der partiellen Produkte des unendlichen Produkts $\prod_{p\in P}(1-1/p)^{-1}$ nicht beschr"ankt sein kann. Nun wende man den Logarithmus an und sch"atze ab. \end{Ubunge} \subsection{Regeln von de l'Hospital} \begin{Satz}[\textbf{Regeln von de l'Hospital}\index{Regeln von de l'Hospital}] Seien\index{Hospital, Regeln von} $I \subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges reelles Intervall und $p$\label{RHo} ein H"aufungspunkt zu $I$ in $\bar{\Bbb{R}}$. Seien $f,g : I \ra \Bbb{R}$ differenzierbare Funktionen derart, da"s gilt $$\lim_{x\ra p} f(x) = \lim_{x \ra p} g(x) =0 \quad\text{ oder }\quad \lim_{x \ra p} |g(x)| =\infty.$$ Haben $g$ und $g^{\prime}$ keine Nullstelle auf $I\backslash p$ und existiert der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen $\lim_{x \ra p} ({f'(x)}/{g'(x)})$ in $\bar{\Bbb{R}}$, so existiert auch der Grenzwert des Quotienten der Funktionen $\lim_{x \ra p} ({f(x)}/{g(x)})$ in $\bar{\Bbb{R}}$ und diese beiden Grenzwerte stimmen "uberein, in Formeln $$\lim_{x \ra p} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \lim_{x \ra p} \left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right)$$ \end{Satz} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHop} \\ \noindent Veranschaulichung der Regel von de l'Hospital \ref{RHo} im Fall $p\in I$ unter der Annahme, da"s beide Funktionen bei $p$ nach Null streben und da"s gilt $g'(p)\neq 0$. Es scheint mir anschaulich klar, da"s der Grenzwert des Quotienten sich nicht "andert, wenn wir beide Funktionen durch ihre beste lineare Approximation bei $p$ ersetzen, und das ist auch genau die anschauliche Bedeutung der Regel von de l'Hospital in diesem Fall. \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit folgendem \begin{Lemma}[\textbf{Verallgemeinerter Mittelwertsatz}\index{verallgemeinerter Mittelwertsatz}] Seien\index{Mittelwertsatz!verallgemeinerter} $a0$ gilt $$\begin{array}{rcl} \lim_{x\ra \infty} (\log x)/x^\lambda &=& \lim_{x \ra \infty} ({1/x})/{\lambda x^{\lambda-1}}\\[2mm] &=& \lim_{x\ra \infty} {1}/{\lambda x^{\lambda}}\\[2mm] &=& 0 \end{array}$$ \end{Beispiel} \subsection{Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung} \begin{Satz}[\textbf{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}] Gegeben eine stetige Funktion $f:\DR\supset I\ra \DR$ auf einem mehrpunktigen reellen Intervall $I$\label{HSS} und ein Punkt $a\in I$ ist die Funktion $$\begin{array}{cccl} F : &I &\ra & \Bbb{R}\\ &x & \mapsto & \int^{x}_{a} f(t) \;\diff t \end{array}$$ die einzige differenzierbare Funktion $F:I\ra\DR$ mit $F^{\prime}= f$ und $F (a) =0$. \end{Satz} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHSID} \\ \noindent Veranschaulichung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung \ref{HSS}. Die kreuzweise schraffierte Fl"ache stellt $F(p)$ dar, die irgendwie schraffierte $F(x)$, die einfach schraffierte $F(x)-F(p)$. Ich hoffe, man sieht, da"s die Fl"ache unter der Kurve beim Verschieben der oberen Grenze um so st"arker w"achst, je gr"o"ser dort der Wert unserer Funktion ist. Das ist qualitativ ausgedr"uckt die anschauliche Bedeutung des Hauptsatzes. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Im Fall $x 0$ ein $\delta > 0$ derart, da"s aus $|t-p| \leq \delta $ folgt $ f(p)-\varepsilon \leq f(t)\leq f(p)+\varepsilon$. Aus $0-1$. Anschaulich gesprochen ist also die Hyperbel $x\mapsto (1/x)$ gerade der Grenzfall, in dem sowohl die Fl"ache zwischen Kurve und $x$-Achse ab jedem $x$-Wert als auch symmetrisch die Fl"ache zwischen Kurve und $y$-Achse ab jedem $y$-Wert unendlich gro"s sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{Intlog} Der {\bf Integral-Logarithmus}\index{Integrallogarithmus} $\op{Li}:(1,\infty) \rightarrow \Bbb{R}$ wird erkl"art durch die Vorschrift \begin{displaymath} \op{Li} (x) \pdef \int^x_2 \frac{\diff t}{\log t} \end{displaymath} Man zeige $\lim_{x \rightarrow \infty} (\log (x) \op{Li}(x) /x) =1$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Eine zweimal differenzierbare Funktion $f:\DR\ra\DR$ erf"ulle die Eigenschaften $|f(x)|\leq 1$ und $|f''(x)|\leq 1$ f"ur alle $x$. Man zeige $|f'(x)|\leq \sqrt{2}$ f"ur alle $x$. \end{Ubung} \subsection{Integrationsregeln} \label{IntR} \begin{Theorem}[\textbf{Integration durch Substitution}\index{Substitutionsregel}] Gegeben reelle Zahlen $a< b$ und $g :[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig\label{IdS} differenzierbar und $f : g ([a,b]) \ra \Bbb{R}$ stetig gilt $$\int^{b}_{a} f(g(x))g^{\prime}(x) \diff x = \int^{g(b)}_{g(a)} f(y) \diff y$$ Im Fall $g(b)0}$ mit $g'=g$ und $g(0)=1$, so haben wir nach der Substitutionsregel $$x=\int_0^x \diff t=\int_0^x \frac{g'(t)}{g(t)}\diff t= \int_{1}^{g(x)} \frac{1}{u}\diff u$$ Man definiert also notgedrungen eine Funktion $\op{log}: \DR_{>0}\ra\DR$ durch die Vorschrift $\op{log}(y)= \int_1^y \frac{1}{u}\diff u$ und die gesuchte Funktion $g$ mu"s deren Umkehrfunk\-tion sein. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}\label{pinr} Die Kreiszahl $\pi$ ist nicht rational, in Formeln $\pi \not\in \Bbb{Q}$. \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} Das wurde bereits 1766 von Johann Heinrich Lambert gezeigt. Der Beweis der Transzendenz von $\pi$ ist schwieriger, mir gef"allt die Darstellung in \cite{Lor}. Der hier gegebene Beweis der Irrationalit"at wirkt auf mich wie Zauberei. Ich folge der Darstellung von Stewart \cite{Ste}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Man betrachte f"ur reelles $\alpha \neq 0$ und nat"urliches $n\in\DN$ das Integral \begin{equation*} I_n = I_n (\alpha)= \int^1_{-1} (1-x^2)^n \cos (\alpha x) \diff x \end{equation*} Partielles Integrieren liefert $ \alpha^2 I_n(\alpha) = 2n (2n -1) I_{n-1} - 4 n (n-1) I_{n-2} $ f"ur $n \geq 2$. Vollst"andige Induktion zeigt dann \begin{equation*} \alpha^{2n +1} I_n = n! (P_n (\alpha) \sin \alpha + Q_n (\alpha) \cos \alpha) \end{equation*} f"ur $P_n, Q_n \in \Bbb{Z} [X]$ Polynome vom Grad $\leq 2n$. W"are nun $\pi = a/b $ mit $a, b \in \Bbb{Z}$ und setzen wir oben $\alpha = \pi$ ein, so erg"abe sich, da"s \begin{equation*} \frac{a^{2n+1}}{n!} I_n (\pi) \end{equation*} f"ur alle $n \in \Bbb{N}$ eine von Null verschiedene ganze Zahl sein mu"s. Das steht im Widerspruch dazu, da"s dieser Ausdruck f"ur $n \rightarrow \infty$ gegen Null strebt. Dasselbe Argument zeigt: Gegeben $\alpha\in\DQ^\times$ k"onnen nicht $\sin \alpha$ und $\cos \alpha$ beide rational sein. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine Funktion $f:\DR\ra\DR$ hei"st {\bf gerade},\index{gerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=f(x)$ f"ur alle $x$, und {\bf ungerade},\index{ungerade!Funktion} wenn gilt $f(-x)=-f(x)$ f"ur alle $x$. Man zeige f"ur jede ungerade stetige Funktion und alle reellen $r$ die Formel $\int_{-r}^{r}f=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde Stammfunktionen zu den Kehrwerten quadratischer Polynome, also zu Funktionen der Gestalt $x\mapsto (x^2 + ax +b)^{-1}$. Hinweis: Hat das fragliche quadratische Polynom zwei verschiedene reelle Nullstellen $\lambda \neq \mu$, so kann man unsere Funktion in der Gestalt $\alpha /(x-\lambda) + \beta /(x -\mu)$ schreiben. Sonst bringe man sie in die Form $((x+a/2)^2 + d)^{-1}$ mit $d\geq 0$ und erinnere sich an $\op{arctan}'(t)=1/(1+t^2)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde eine Stammfunktion von $\sqrt{1-t^2}$. Hinweis: Bei der Berechnung \ref{FEK} der Fl"ache des Einheitskreises haben wir das schon fast erreicht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde eine Stammfunktion f"ur den Arcustangens. Hinweis: Man wende auf das Produkt $1\cdot \op{arctan}$ partielle Integration an. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man f"uhre die partiellen Integrationen des Beweises von \ref{pinr} aus und pr"ufe die Induktionsbasis, als da hei"st die F"alle $n = 0,1$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{inhg} Man zeige $\lim_{x\ra \infty} \int^{x}_{-x} \frac{1}{1+t^{2}} \;\diff t = \pi$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PRr}%\label{PR} vormals Sei $S^1=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ der Einheitskreis. Wir konstruieren eine Bijektion $\gamma:\Bbb{R}\sira S^1\setminus (-1,0)$, indem wir jedem Punkt $t\in\Bbb{R}$ den Schnittpunkt der Gerade durch $(-1,0)$ und $(0,t)$ mit $S^1\setminus(-1,0)$ zuordnen. Man pr"ufe, da"s diese Abbildung gegeben wird durch $$\gamma(t)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)$$ Man pr"ufe $\|\gamma'(t)\|=2/(1+t^2)$ und interpretiere die vorstehende bemerkenswerte Formel aus \ref{inhg}. Der Punkt $(\cos \tau, \sin\tau)$ f"ur $\tau\in (-\pi, \pi)$ wird hierbei "ubrigends parametrisiert durch $t=\op{tan}(\tau/2)$, wie man durch Rechnung oder elementargeometrische "Uberlegungen pr"uft. Man beachte auch die "Ahnlichkeit zur Parametrisierung der Hyperbel \ref{PH}. \end{Ubung} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0015} \\ \noindent Die Abbildung $\gamma$ aus \ref{PRr} \end{figure} \begin{Bemerkunge} Die Abbildung $\gamma$ aus der vorstehenden "Ubung liefert im "Ubrigen auch eine Bijektion von $\Bbb{Q}$ auf die Punkte von $S^{1}\backslash (-1,0)$ mit rationalen Koordinaten. Diese Bijektion ist "au"serst hilfreich bei der Bestimmung aller {\bf pythagoreischen Zahlentripel}\index{phytagoreische Zahlentripel}, als da hei"st, aller Tripel $a,b,c$ von nat"urlichen Zahlen mit $a^{2}+b^{2} = c^{2}$. Die Abbildung $\gamma$ aus der vorstehenden "Ubung liefert allgemeiner sogar f"ur jeden K"orper $k$ einer von Zwei verschiedenen Charakteristik eine Bijektion von $k$ auf das Komplement des Punktes $(-1,0)$ in der L"osungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ in der Ebene $k^2=k\times k$. In der algebraischen Geometrie k"onnen Sie dann lernen, wie man das zu einer Bijektion von $\DP^1k$ mit der Quadrik $Q\subset \DP^2k$ erweitert, die durch die homogenisierte Gleichung $x^2+y^2=z^2$ definiert wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Das kleinste pythagoreische Zahlentripel ist $3,4,5$. Das zugeh"orige rechtwinklige Dreieck hat lustiger Weise einen Inkreis vom Radius Eins. Um das zu sehen, mag man dies Dreieck in der mit Ecken $(0,0), (0,3), (4,0)$ realisieren und erkennt, da"s die Winkelhalbierende zu $(0,3)$ die Strecke von $(0,-2)$ nach $(4,0)$ halbieren mu"s, da"s sie also durch $(2,-1)$ geht und den Richtungsvektor $(2,-4)$ oder auch $(1,-2)$ hat. Z"ahlen wir ihn zu $(0,3)$ dazu, so sehen wir, da"s $(1,1)$ auf zwei Winkelhalbierenden liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge}\label{UAExp} Wie k"onnte ein Autor, der den Zugang \ref{AAExp} zur Exponentialfunktion gew"ahlt hat, die Funktionalgleichung \ref{FdE} beweisen? \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{IXA} Man zeige durch Vergleich mit dem Integral der Funktion $x^{-\alpha}$, da"s f"ur jedes $\alpha>1$ die Reihe $\sum_{k= 1}^\infty k^{-\alpha}$ konvergiert. \end{Ubunge} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildshch} \\ \noindent Die Graphen von Sinus und Cosinus hyperbolicus \end{figure} \subsection{Hyperbolische trigonometrische Funktionen} \label{HytF} \begin{Definition} Mit {\bf Sinus hyperbolicus}\index{Sinus hyperbolicus}\index{sinh@$\sinh$ Sinus hyperbolicus} und {\bf Cosinus hyperbolicus}\index{cosh@$\cosh$ Cosinus hyperbolicus} \index{Cosinus hyperbolicus} bezeichnet man die Abbildungen $\sinh ,\cosh : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, die gegeben werden durch die Formeln $$\sinh x = \frac{\op{e}^{x}-\op{e}^{-x}}{2}\qquad \text{ und }\qquad \cosh x = \frac{\op{e}^{x}+ \op{e}^{-x}}{2}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Der Graph des Cosinus hyperbolicus hei"st auch die \defind{Kettenlinie}, weil er dieselbe Gestalt hat wie eine h"angende Kette. Wir zeigen das in \ref{GHK} im Anschlu"s an die Diskussion der Bogenl"ange. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich gilt $\sinh (0) = 0$, $\cosh (0) =1$, $\sinh (-x)=-\sinh (x)$, und $\cosh (-x)=\cosh (x)$, die Ableitungen unserer Funktionen sind $$\sinh^{\prime} = \cosh,\;\;\cosh^{\prime} =\sinh$$ es gelten $\cosh^{2} - \sinh^{2} =1$ und die Additionstheoreme $$\begin{array}{rcl} \sinh (a+b) &= &\sinh (a) \cosh (b) + \cosh (a)\sinh (b)\\ \cosh (a+b) &=& \cosh (a) \cosh (b) + \sinh (a) \sinh (b) \end{array}$$ Die Funktion $\cosh$ nimmt bei $x=0$ ihr Minimum an und $\sinh$ ist eine Bijektion $\sinh : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$. Die inverse Abbildung nennt man {\bf Area Sinus hyperbolicus}\index{Area Sinus hyperbolicus} und bezeichnet sie mit $\op{arsinh} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$. Sie l"a"st sich auch elementar ausdr"ucken als $\op{arsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ und f"ur die Ableitung von $\op{arsinh}$ erhalten wir $$ \op{arsinh}^{\prime} (y) = \frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} $$ In der Tat gilt $\sinh^{\prime} (x) = \cosh (x) = \sqrt{1-\sinh^{2} (x)}$, $\sinh'(\op{arsinh} y)={\sqrt{1+y^{2}}}$. "Ahnlich liefert $\cosh$ eine Bijektion $\cosh : [0,\infty) \ra [ 1,\infty )$, die inverse Abbildung {\bf Area Cosinus hyperbolicus}\index{Area Cosinus hyperbolicus} $\op{arcosh} : [ 1,\infty) \ra [0,\infty )$ kann geschrieben werden als $\op{arcosh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ und ist differenzierbar auf $(1,\infty)$ mit der Ableitung $$ \op{arcosh}^{\prime} (y) = \frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}} $$ Sehr viel seltener benutzt man den {\bf Secans hyperbolicus}\index{Secans hyperbolicus} $x\mapsto 1/\cosh(x)$, den {\bf Cosecans hyperbolicus}\index{Cosecans hyperbolicus} $x\mapsto 1/\sinh(x)$ und den {\bf Tangens hyperbolicus}\index{Tangens hyperbolicus} $\op{tanh}:x\mapsto \sinh(x)/\cosh(x)$ sowie seine Umkehrung $\op{artanh}:(-1,1)\sira\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Namen unserer Funktionen haben den folgenden geometrischen Hintergrund: F"ur $t\in \Bbb{R}$ durchl"auft der Punkt mit Koordinaten $(\cosh t, \sinh t)$ den Hyperbelast \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgsh} \\ \noindent Die geometrische Bedeutung von Sinus und Cosinus hyperbolicus \end{figure} $$\{ (x,y) \in \Bbb{R}^{2}\mid (x+y)(x-y) =1,\; x > 0\}$$ Hierbei ist $|t/2|$ gerade die Fl"ache oder lateinisch \glqq area\grqq, die von $x$-Achse, Hyperbel und dem Geradensegment von $(0,0)$ nach $(\cosh t, \sinh t)$ eingeschlossen wird. Es ist eine ausgezeichnete "Ubung, diese Behauptung nachzurechnen. Man sieht so die Verwandschaft zu den "ublichen trigonometrischen Funktionen, bei denen man nur die Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ zu ersetzen hat durch den Einheitskreis $x^{2}+y^{2}=1$. Dehnen wir die hyperbolischen trigonometrischen Funktionen in der offensichtlichen Weise zu Funktionen $\DC\ra\DC$ aus, so k"onnen wir die formale Analogie mit den gew"ohnlichen trigonometrischen Funktionen pr"azisieren zu den Formeln $\cos z=\cosh ({\op{i}}z)$ und $\sin z=-{\op{i}}\sinh ({\op{i}}z)$ f"ur alle $z\in\DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{PaR} Die L"osungsmengen in der Ebene $\DR^2$ von Gleichungen der Gestalt $ax^{2}+bxy+cy^{2} =d$ mit $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ hei"sen \defind{ebene Quadriken} oder auch \defnoind{Kegelschnitte}\index{Kegelschnitt}, da man sie erhalten kann als Schnitte r"aumlicher Ebenen mit dem {\bf Kegel}\index{Kegel!im $\DR^3$} $\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} = z^{2}\}$ bei geeigneter orthonormaler Identifikation unserer r"aumlichen Ebenen mit dem $\Bbb{R}^{2}$. Jeder Kegelschnitt ist bis auf Drehung und Verschiebung eine \defind{Ellipse} $\alpha x^{2}+\beta y^{2} =1$ mit $\alpha, \beta > 0$, eine \defind{Hyperbel} $xy = \gamma$ mit $\gamma >0$, eine \defind{Parabel} $x^{2} = \delta y$ mit $\delta >0$, ein Geradenkreuz, eine Gerade, ein Punkt oder die leere Menge. Die Bezeichnung \glqq Parabel\grqq\ kommt hier vom griechischen Wort f"ur \glqq Werfen\grqq. In der Tat beschreibt ein Wurfgeschoss unter Vernachl"assigung des Luftwiderstands stets eine \glqq parabolische\grqq\ Bahn, vergleiche \eref{WrPa}{AN2}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{PH} Sei $H \pdef \{(x,y) \in \Bbb{R}^{2} \mid x^{2} - y^{2} =1\}$ die Hyperbel. Wir konstruieren eine Bijektion $\varphi : \Bbb{R} \backslash \{\pm 1\} \overset{\sim}{\ra} H\backslash (1,0)$, indem wir jedem Punkt $t \in \Bbb{R}\backslash \{\pm 1\}$ den Schnittpunkt der Geraden durch $(0,t)$ und $(1,0)$ mit $H\backslash (1,0)$ zuordnen. Man pr"ufe, da"s diese Abbildung gegeben wird durch $$\varphi (t) = \left( \frac{t^{2} +1}{t^{2}-1}, \frac{2t}{t^{2}-1}\right)$$ Eine eng verwandte Parametrisierung des Einheitskreises wurde in \ref{PRr} besprochen. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man finde eine Stammfunktion von $\sqrt{1+t^2}$. Hinweis: Bei der Berechnung \ref{FEK} der Fl"ache des Einheitskreises haben wir fast eine Stammfunktion von $\sqrt{1-t^2}$ bestimmt. Man gehe "ahnlich vor mit der Substitution $t=\op{sinh}x$. \end{Ubung} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgph} \\ \noindent Die geometrische Bedeutung der Abbildung $\varphi$ aus \ref{PH} \end{figure} \subsection{Integration rationaler Funktionen}\label{IRFu} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Prinzip der Integration durch Partialbruchzerlegung}] Zur Integration rationaler Funktionen erinnern wir zun"achst die Partialbruchzerlegung aus \eref{PBZ}{LA1}. Danach bilden die Potenzen $(X^n)_{n\geq 0}$ mitsamt den Potenzen der Inversen der Linearfaktoren $((X-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ eine $\DC$-Basis des K"orpers der komplexen rationalen Funktionen $\DC(X)$. Wenn wir vergessen, da"s wir uns dabei in die komplexe Zahlenebene vorgewagt haben, so wird das Integrieren rationaler Funktionen sehr einfach. Es reicht damit n"amlich, Stammfunktionen f"ur die Funktionen $x\mapsto (x-\mu)^m$ mit $m\in\DZ$ anzugeben, und derartige Stammfunktionen sind f"ur $\mu\in\DR$ bekanntlich $\frac{1}{m+1}(x-\mu)^{m+1}$ im Fall $m\neq -1$ sowie $\log |x-\mu|$ im Fall $m=-1$. Im folgenden soll ausgef"uhrt werden, inwiefern diese Formeln f"ur $\mu\in\DC$ im wesentlichen genauso gelten, wenn wir sie nur richtig interpretieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es gibt auch eine Partialbruchzerlegung f"ur reelle rationale Funktionen und man kann auch mit ihrer Hilfe reelle rationale Funktionen integrieren. So kann man die komplexen Zahlen weitgehend vermeiden, erh"alt aber kompliziertere Formeln gewinnt weniger konzeptuelle Klarheit. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir bestimmen eine Stammfunktion zu $1/(x^2-1)$. Die Nullstellen des Nenners sind $\pm 1$ und der Grad des Z"ahlers ist echt kleiner als der Grad des Nenners. Wir d"urfen den Ansatz \begin{displaymath} \frac{1}{x^2-1} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} \end{displaymath} machen und finden sofort $(a+b) x - a + b =1$, also $a+b =0$ und $b -a=1$ und folglich $a = -1/2$ und $b = 1/2$. Eine Stammfunktion ist mithin \begin{displaymath} \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{2} \log |x+1| \end{displaymath} Man beachte, da"s unsere Funktion zwei Definitionsl"ucken hat und wir mit unserer Stammfunktion nur die Integrale "uber Intervalle $[a,b]$ bestimmen k"onnen, die keine der beiden Definitionsl"ucken enthalten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{BPD} Wir bestimmen zu $(x^4 + 2 x^2) / (x^2+2x +1)$ eine Stammfunktion. Die Partialbruchzerlegung haben wir bereits in \eref{BPDa}{LA1} durchgef"uhrt und erhielten \begin{displaymath} \frac{x^4+2x^2}{x^2 +2x +1} = x^2 -2x +5 - \frac{8}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2} \end{displaymath} Als Stammfunktion finden wir damit sofort \begin{displaymath} \frac{x^3}{3} -x^2 +5x -8 \log |x+1| - \frac{3}{(x+1)} \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir bestimmen eine Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$. Wir wissen zwar bereits aus \ref{AbAr}, da"s der Arcustangens $\op{arctan}(x)$ so eine Stammfunktion ist, aber diesmal geht es uns um das allgemeine Prinzip. Die Nullstellen des Nenners sind $\pm \op{i}$ und der Grad des Z"ahlers ist echt kleiner als der Grad des Nenners. Wir d"urfen deshalb den Ansatz \begin{displaymath} \frac{1}{1+x^2} = \frac{a}{x+\op{i}} + \frac{b}{x-\op{i}} \end{displaymath} machen und finden sofort $(a+b) x - \op{i}a + \op{i}b =1$, also $a+b =0$ und $a -b =\op{i}$ und folglich $a = \op{i}/2$ und $b = -\op{i}/2$. Wir d"urfen folglich die Hoffnung haben, da"s \begin{displaymath} \frac{\op{i}}{2} \log (x+\op{i}) - \frac{\op{i}}{2} \log (x-\op{i}) \end{displaymath} eine Stammfunktion ist, wenn wir diesen Ausdruck richtig interpretieren. Dazu lege ich eine Pause ein und diskutiere den komplexen Logarithmus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{clog} Aus unseren Erkenntnissen \ref{SurCE} "uber die komplexe Exponentialfunktion folgt, da"s sie eine Bijektion $$\exp : \Bbb{R} + ( - \pi, \pi ] \op{i}\;\sira \;\DC^{\times}$$ liefert. Die Umkehrfunktion $$\log : \DC^{\times} \sira \;\Bbb{R} + ( -\pi,\pi] \op{i}$$ wird auf der positiven reellen Achse gegeben durch unseren "ublichen Logarithmus $u\mapsto \log u$, auf der negativen reellen Achse durch $u\mapsto \log (-u) + {\op{i}\pi}/{2}$ und auf der oberen beziehungsweise unteren komplexen Halbebene durch die Vorschrift $$\log (u +\op{i}v) = \log \sqrt{u^{2}+v^{2}}\; \pm \op{i}\frac{\pi}{2} -\op{i}\arctan \frac{u}{v} \;\;\;\text{ f"ur }\pm v > 0$$ Diese Funktion $\log$ hei"st der {\bf Hauptzweig des komplexen Logarithmus}.\index{Hauptzweig des Logarithmus} Man beachte, da"s er nicht stetig\index{Logarithmus!Hauptzweig des komplexen} ist l"angs der negativen reellen Achse, obwohl seine Einschr"ankung auf die negative reelle Achse durchaus stetig ist: Wir haben f"ur $u<0$ genauer $$\lim_{v\searrow 0}\log (u +\op{i}v)= \log (u)=\lim_{v\nearrow 0}\log (u +\op{i}v)+2\pi\op{i}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir arbeiten weiter an unserer Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$. Interpretieren wir in unserer obigen Hoffnung $\log$ als den Hauptzweig des komplexen Logarithmus, so k"onnen wir unsere Hoffnung $ \frac{\op{i}}{2} \log (x+\op{i}) - \frac{\op{i}}{2} \log (x-\op{i}) $ auf eine Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$ umschreiben zu $$\frac{\op{i}}{2}\log \sqrt{x^{2}+1} - \frac{\op{i}}{2}\log \sqrt{x^{2}+1} - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\\ +\frac{1}{2}\arctan(x) - \frac{1}{2}\arctan(-x)$$ und erhalten als Stammfunktion $\arctan(x)-\pi/2$ in "Ubereinstimmung mit unserer Berechnung der Ableitung des Arcustangens aus \ref{AbAr}. Unsere Hoffnung war also berechtigt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Um zu erkl"aren, warum dieses Verfahren auch im allgemeinen funktioniert, diskutiere ich im folgenden einige Grundlagen der komplexen Ableitung. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Teilmenge $U\subset \DC$ hei"st {\bf offen},\index{offen!in der komplexen Zahlenebene} wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist, wenn sie also anschaulich gesprochen mit jedem Punkt ein ganzes Rechteck um diesen Punkt umfa"st. Wir schreiben $U\co\DC$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s $U$ eine offene Teilmenge von $\DC$ sein soll. \end{Definition} \begin{Definition} Eine komplexwertige Funktion $f:\DC\lco U\ra \DC$ auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene hei"st {\bf komplex differenzierbar bei $p\in U$}, wenn es $b\in\DC$ gibt mit $$\lim_{U\ni z\ra p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p} = b$$ Wir k"urzen diese Aussage auch in dieser Situation ab durch $f^{\prime}(p) = b$. Unsere Funktion hei"st {\bf komplex differenzierbar} oder gleichbedeutend {\bf holomorph},\index{holomorph} wenn sie bei jeder Stelle $p\in U$ komplex differenzierbar ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regeln f"ur die komplexe Ableitung}] Genau wie f"ur die reelle Differenzierbarkeit zeigt man auch f"ur komplexe Differenzierbarkeit die Summenregel, Produktregel und Kettenregel. Genau wie im Reellen zeigt man weiter, da"s die Ableitung jeder konstanten Funktion die Nullfunktion ist und da"s die Ableitung der Funktion $f(z)=1/z$ gegeben wird durch $f'(z)=-1/z^2$. Genau wie im Reellen folgt, da"s $(z-\mu)^n$ die Ableitung $n(z-\mu)^{n-1}$ hat f"ur alle $n\in\DZ$. Genau wie im Reellen zeigt man auch, da"s die komplexe Exponentialfunktion ihre eigene komplexe Ableitung ist, in Formeln $\exp'=\exp$. Genau wie im Reellen zeigt man schlie"slich, da"s wenn $f:\DC\lco U\ra\DC$ komplex differenzierbar und injektiv ist mit offenem Bild $V\pdef f(U)\co \DC$ und nirgends verschwindender Ableitung und wenn zus"atzlich die Umkehrfunktion $g=f^{-1}:V\ra U$ stetig ist, da"s dann auch die Umkehrfunktion $g$ komplex differenzierbar ist mit der Ableitung $$g'(z)=\frac{1}{f'(g(z))}$$ Daraus folgt, da"s unser geeignet eingeschr"ankter Hauptzweig des Logarithmus $\log:\DC\backslash \DR_{\leq 0}\ra \DC$ komplex differenzierbar ist mit der Ableitung $$\log'(z)=\frac{1}{z}$$ Nach der Kettenregel hat somit $\log(z-\mu)$ auf $\DC\backslash (\mu +\DR_{\leq 0})$ die komplexe Ableitung $(z-\mu)^{-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die Theorie holomorpher Funktionen hei"st die \glqq Funktionentheorie\grqq\ und ist der Gegenstand einer eigenen Vorlesung. Man zeigt dort zum Beispiel, da"s jede injektive holomorphe Funktion bereits offenes Bild und eine holomorphe Umkehrfunktion hat. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Eine komplexwertige Funktion $f:\DR\supset D\ra \DC$ auf einer halboffenen Teilmenge der Zahlengeraden hei"st {\bf differenzierbar} oder genauer {\bf reell-komplex differenzierbar bei $p\in D$},\index{differenzierbar!reell-komplex} wenn es $b\in\DC$ gibt mit $$\lim_{x\ra p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} = b$$ Wir k"urzen diese Aussage auch in dieser Situation ab durch $f^{\prime}(p) = b$. Nimmt hier $f$ nur reelle Werte an, ist das unsere ganz gew"ohnliche Ableitung. Nach unseren Regeln f"ur komponentenweise Grenzwerte \ref{StKg} ist $f$ in dieser Situation allgemeiner genau dann reell-komplex differenzierbar, wenn $\op{Re}f$ und $\op{Im}f$ reell differenzierbar sind,\label{Ablk} und dann gilt $$f'(p)= (\op{Re}f)'(p)+{\op{i}}(\op{Im}f)'(p)$$ Schr"anken wir anderseits eine komplex differenzierbare Funktion $h:\DC\lco U\ra \DC$ ein auf die reelle Achse zu $\underline{h}:\DR\lco D\ra \DC$ mit $D\pdef \DR\cap U$, so gilt f"ur alle $p\in D$ offensichtlich die Beziehung $$h'(p)=\underline{h}'(p)$$ zwischen der komplexen Ableitung und der reell-komplexen Ableitung der Einschr"ankung auf die reelle Achse. Eine Funktion $F:\DR\supset D\ra \DC$ mit $F'=f$ im Sinne der reell-komplexen Ableitung nennen wir wieder eine {\bf Stammfunktion von $f$} oder ausf"uhrlicher eine {\bf Stammfunktion im Sinne der reell-komplexen Ableitung}. Dann ist $\op{Re}(F)$ eine Stammfunkton von $\op{Re}f$ im urspr"unglichen Sinne. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stammfunktion durch komplexe Partialbruchzerlegung}] Wir erinnern, da"s die Potenzen $(X^n)_{n\geq 0}$ mitsamt den Potenzen der Inversen der Linearfaktoren $((X-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ eine $\DC$-Basis des K"orpers der komplexen rationalen Funktionen $\DC(X)$ bilden. Um eine Stammfunktion im Sinne der reell-komplexen Ableitung einer komplexen rationalen Funktion $P(x)/Q(x)$ anzugeben, reicht es aus, ihre Partialbruchzerlegung zu bestimmen und Stammfunktionen aller $(x^n)_{n\geq 0}$ und aller $((x-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ anzugeben. Nach unseren Vor"uberlegungen sind solche Stammfunktionen $x^{n+1}/(n+1)$ beziehungsweise $(x-\mu)^{-n+1}/(-n+1)$ falls $n>1$ beziehungsweise $\log (x-\mu)$ falls $n=1$, jeweils mit $\log$ unserem Hauptzweig des Logarithmus. Damit ist unsere Integrationsaufgabe zur"uckgef"uhrt auf die Bestimmung der Partialbruchzerlegung. Dieses Problem hinwiederum l"a"st sich algorithmisch l"osen, wenn man die Nullstellen des Nennerpolynoms kennt. F"ur die Bestimmung dieser Nullstellen jedoch gibt es nur algebraische Verfahren, wenn unser Polynom h"ochstens den Grad vier hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Problematik komplexer Potenzen}] Setzt man f"ur $a\in\DC^\times$ und $b\in\DC$ "ahnlich wie im Reellen $a^b\pdef \exp(b\log a)$ mit $\log$ dem eben definierten Hauptzweig des\label{ahb} komplexen Logarithmus, so ergibt sich $\op{i}^{\op{i}}=\exp(-\pi/2)$. Insbesondere ist in diesem Sinne also $\op{i}^{\op{i}}$ reell. Allerdings ist dann $a\mapsto a^b$ f"ur $b\in\DC\backslash \DZ$ unstetig l"angs der negativen reellen Achse und wir haben im allgemeinen $a^{bc}\neq (a^{b})^{c}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R({\op{e}}^t),R(\sqrt[n]{t})$}] Gegeben eine rationale Funktion $R =P/Q$ betrachten wir die Funktion $D \ra \Bbb{R}$, $t \mapsto R (\op{e}^{t})$ mit dem Definitionsbereich\label{Iex} $D = \{ t \in \Bbb{R} \mid Q (\op{e}^{t}) \neq 0\}$. Das Integral eines solchen rationalen Ausdrucks in $\op{e}^{t}$ kann man auf das Integral einer rationalen Funktion zur"uckf"uhren durch die Substitution $x = \op{e}^{t}$, $\diff x = \op{e}^{t}\diff t= x\diff t$. Zum Beispiel berechnen wir $$\int \frac{\diff t}{\cosh t} = \int \frac{2\diff t}{\op{e}^{t}+ \frac{1}{\op{e}^{t}}} = \int \frac{2\diff x}{x^{2}+1} =2 \op{arctan}x = 2 \op{arctan} (\op{e}^{t})$$ Das Integral eines rationalen Ausdrucks in $\sqrt[n]{t}$ f"ur eine nat"urliche Zahl $n\geq 1$ kann man "ahnlich durch die Substitution $\sqrt[n]{t}=x$, $\diff t=nx^{n-1}\diff x$ auf das Integral einer rationalen Funktion in $x$ zur"uckf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sin,\cos)$}] Das Integral eines rationalen\label{RSCI} Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ wie zum Beispiel $$\frac{\sin^3(\tau)+\cos(\tau)}{\cos(\tau)+\cos^2(\tau)}$$ kann man auffassen als Kurvenintegral im Sinne von \ref{KI} einer rationalen Funktion in zwei Ver"anderlichen, in unserem Beispiel das Integral der Funktion $$R(x,y)=\frac{y^3+x}{x+x^2}$$ "uber ein St"uck des Einheitskreises. Mit der Umparametrisierung \ref{PRr}, also mithilfe der Substitution $t=\op{tan}(\tau/2)$ und folglich $\sin(\tau)=2t/(1+t^2)$, $\cos(\tau)=(1-t^2)/(1+t^2)$, $\diff\tau=(2/(1+t^2))\diff t$ l"a"st es sich dann umwandeln in ein Integral einer rationalen Funktion einer Ver"anderlichen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sqrt{1-x^2},x)$}] Integrale "uber rationale Ausdr"ucke im Funktionenpaar $(\sqrt{1-x^2},x)$ kann man in "ahnlicher Weise als Kurvenintegral auffassen und l"osen, im Gegensatz zu eben hat nur $x\mapsto (\sqrt{1-x^2},x)$ nicht konstante absolute Geschwindigkeit $1$, sondern vielmehr die absolute Geschwindigkeit $1/\sqrt{1-x^2}$. Formal mag man auch $x=\sin t$, $\diff x=\cos t \diff t$ substituieren und sich so auf den bereits behandelten Fall eines rationalen Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ zur"uckziehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sqrt{x^2\pm 1},x)$}] Integrale von rationalen Ausdr"ucken in den Funktionenpaaren\label{INTSH} $(\sqrt{x^2+ 1},x)$ oder $(\sqrt{x^2- 1},x)$ kann man auf die bereits in \ref{Iex} behandelten Integrale rationaler Funktionen in $\op{e}^t$ zur"uckf"uhren durch die Substitution $x=\sinh t$, $\diff x=\cosh t\diff t$ beziehungsweise $x=\cosh t$, $\diff x=\sinh t\diff t$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ein geometrischer Zugang zu all diesen Integralen wird in \eref{Goe}{AN2} diskutiert. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige f"ur die reell-komplexe Ableitung differenzierbarer komplexwertiger Funktionen $f,g:\DR\supset D\ra \DC$ einer reellen Ver"anderlichen auf einer halboffenen Teilmenge $D\subset \DR$ die Summenregel $(f+g)^{\prime} = f^{\prime} + g^{\prime}$, die Produktregel $(fg)^{\prime} = f^{\prime}g + f g^{\prime}$ und die Regel f"ur die Ableitung des Kehrwerts $(1/f)^{\prime} = - f^{\prime}/f^{2}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man finde eine Stammfunktion zu $1/({1+x^{4}})$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} F"ur alle $\lambda \in \Bbb{C}$ hat die Abbildung $\Bbb{C}\ra \Bbb{C}$, $ z\mapsto \op{e}^{\lambda z}$ die komplexe Ableitung $z \mapsto \lambda \op{e}^{\lambda z}$.\label{AExp} \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN1" %%% End: