\section{Potenzreihen und h"ohere Ableitungen} \subsection{Funktionenfolgen und Potenzreihen} \label{FuPo} \begin{Satz}\label{KR} Sei $(a_{\nu})_{\nu\in\DN}$ eine Folge reeller Zahlen. Konvergiert f"ur eine reelle Zahl $z$ die Reihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}z^{\nu}$, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}x^{\nu}$ absolut f"ur alle reellen Zahlen $x$ mit $|x| < |z|$ . \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Dieser Satz gilt ganz genauso und mit demselben Beweis, wenn wir darin "uberall \glqq reell\grqq\ durch \glqq komplex\grqq\ ersetzen. Wir konzentrieren uns hier auf den Fall reeller Potenzreihen. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Die Glieder einer konvergenten Reihe sind beschr"ankt, unter unseren Annahmen gibt es also eine endliche Schranke $B$ mit $|a_{\nu}z^{\nu}|\leq B$ f"ur alle $\nu$. Aus $|x| < |z|$ folgt mithilfe der Konvergenz der geometrischen Reihe \ref{GR} dann \begin{equation*} \sum^{\infty}_{\nu =0} |a_{\nu}x^{\nu}| \leq\sum^{\infty}_{\nu =0}|a_{\nu}z^{\nu}| \left|{x}/{z}\right|^{\nu} \leq \sum^{\infty}_{\nu =0} B \left|{x}/{z}\right|^{\nu} < \infty\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KRp} Ein Ausdruck der Gestalt $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}x^{\nu}$ hei"st eine {\bf Potenzreihe}\index{Potenzreihe}. Eine Potenzreihe anzugeben bedeutet also nichts anderes, als die Folge $(a_\nu)_{\nu\in\DN}$ ihrer Koeffizienten anzugeben. Der {\bf Konvergenzradius}\index{Konvergenzradius!im Reellen} $r\in [0,\infty]$ einer Potenzreihe $\sum a_{\nu} x^{\nu}$ ist per definitionem das Supremum $$\textstyle r \pdef \sup \{\;|z|\; \mid \sum a_{\nu} z^{\nu} \text{ konvergiert} \}$$ Die Bezeichnung als \glqq Radius\grqq\ kommt vom Kontext komplexer Potenzreihen her. Nach \ref{KR} definiert jede Potenzreihe mit Konvergenzradius $r$ vermittels der Abbildungsvorschrift $x\mapsto \sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}x^{\nu}$ eine reellwertige Funktion auf dem Intervall $(-r,r)$ sowie eine komplexwertige Funktion auf der Kreisscheibe $|z|0$ gegebene Funktion $s:(-r,r)\ra\DR$ ist stetig, ja sogar differenzierbar, und ihre Ableitung wird an jeder Stelle $x\in (-r,r)$ gegeben durch die Potenzreihe $$s'(x)=\sum^{\infty}_{\nu =1} \nu a_{\nu}x^{\nu-1}$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Dieser Satz liefert einen zweiten Beweis f"ur die bereits in \ref{Aex} bewiesene Tatsache, da"s die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist.\end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Obiger Satz gilt auch f"ur komplexe Potenzreihen und die komplexe Ableitung. Er braucht dann aber einen anderen Beweis, den Sie in der Funktionentheorie kennenlernen k"onnen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses Satzes wird den gr"o"sten Teil dieses Abschnitts einnehmen. Wir zeigen in \ref{StPo}, da"s jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist, und zeigen die weitergehenden Aussagen in \ref{PRD}. Zun"achst jedoch m"ussen wir einige technische Hilfsmittel bereitstellen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DGKon} Seien $D$ eine Menge, $(f_{n})_{n\in\DN}$ eine Folge von auf $D$ definierten Funktionen $f_{n}:D \ra \Bbb{R}$ und $f:D \ra \Bbb{R}$ eine weitere Funktion. \begin{enumerate} \item Wir sagen, die Folge $f_{n}$ {\bf konvergiert punktweise}\index{Konvergenz!punktweise!reeller Funktionen} gegen die Funktion $f$, wenn f"ur alle $x\in D$ gilt $\lim_{n\ra \infty}f_{n}(x)=f(x)$; \item Wir sagen, die Folge $f_{n}$ {\bf konvergiert gleichm"a"sig}\index{Konvergenz!gleichm"a"sige!reeller Funktionen} gegen die Funktion $f$ und schreiben $\lim_{n\ra \infty} f_{n} =f$, wenn es f"ur beliebiges $\varepsilon >0$ ein $N =N_{\varepsilon } \in \DN$ gibt derart, da"s f"ur alle $n\geq N$ und alle $x\in D$ gilt $|f_{n}(x) - f(x)|<\varepsilon$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildPuG} \\[4mm] \noindent Bei gleichm"a"siger Konvergenz m"ussen f"ur jedes $\varepsilon >0$ fast alle $f_n$ auf dem ganzen Definitionsbereich $D$ im \glqq $\varepsilon$-Schlauch um $f$\grqq\ bleiben. \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildPuK}\\[4mm] \noindent Die punktweise aber nicht gleichm"a"sig konvergente Funktionenfolge der Funktionen $x\mapsto x^n$ aus \ref{PNG} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{PNG} Aus gleichm"a"siger Konvergenz folgt sicher punktweise Konvergenz. Das Umgekehrte gilt nicht: Die Funktionenfolge $f_{n}:[0,1]\ra \Bbb{R}$, $f_{n}(x)=x^{n}$ konvergiert punktweise aber nicht gleichm"a"sig gegen die Grenzfunktion $f:[0,1]\ra\Bbb{R}$ mit $f(x)=0$ f"ur $x\neq 1$ und $f(1)=1$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit bleibt erhalten unter gleichm"a"siger Konvergenz}] Konvergiert eine Folge von stetigen\label{GLS} reellwertigen Funktionen gleichm"a"sig gegen eine %reellwertige Grenzfunktion, so ist auch diese Grenzfunktion stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $D\subset\Bbb{R}$ der gemeinsame Definitionsbereich und seien $f_n:D\ra\Bbb{R}$ die Funktionen unserer gleich\-m"a"sig konvergenten Folge und $f:D\ra\Bbb{R}$ ihre Grenzfunktion. Es gilt, die Stetigkeit von $f$ in jedem Punkt $p \in D$ zu zeigen. Sei also $\varepsilon > 0$ vorgegeben. Sicher finden wir ein $n$ derart, da"s f"ur alle $x\in D$ gilt $$|f_{n}(x) -f(x)|<\frac{\varepsilon }{3}$$ Da $f_{n}$ stetig ist in $p$, finden wir weiter $\delta > 0$ derart, da"s f"ur alle $x \in D$ mit $|x-p|<\delta$ gilt $$|f_{n}(x)-f_{n}(p)|<\frac{\varepsilon }{3}$$ Es folgt f"ur alle $x \in D$ mit $|x-p|<\delta$ unmittelbar \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccl} |f(x)-f(p)| &\leq& |f(x)-f_{n}(x)|\\ &&\hspace{2mm}+ |f_{n}(x)-f_{n}(p)|\\ &&\hspace{7mm}+ |f_{n}(p)-f(p)|\;<\;\varepsilon\end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Gleichm"a"sige Konvergenz bei Potenzreihen}] Ist $\sum a_{\nu}x^{\nu}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $r$, so konvergiert\label{PR1} die Folge ihrer Partialsummen $ s_{n}(x) = \sum^{n}_{\nu=0} a_{\nu}x^{\nu}$ f"ur alle $\rho \in[0, r)$ gleichm"a"sig auf dem Kompaktum $D=[-\rho,\rho]$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $r$ konvergiert im allgemeinen keineswegs gleichm"a"sig auf dem ganzen Intervall $(-r,r)$. Ein Gegenbeispiel w"are etwa die Exponentialfunktion, ein anderes die geometrische Reihe. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $x \in [-\rho,\rho]$ gilt $|a_{\nu}x^{\nu}| \leq |a_{\nu}\rho^{\nu}|$ und folglich $$|s_{n}(x)-s(x)|\leq \sum^{\infty}_{\nu=n+1}|a_{\nu}\rho^{\nu}|$$ Da $\sum^{\infty}_{\nu=0}|a_{\nu}\rho^{\nu}|$ konvergiert, gibt es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $N\in\DN$ mit $$\sum^{\infty}_{\nu =N+1} |a_{\nu} \rho^{\nu}|<\varepsilon $$ F"ur $n\geq N$ und beliebiges $x\in[-\rho,\rho]$ gilt dann $|s_{n}(x)-s(x)|<\varepsilon$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Stetigkeit von Potenzreihen}] Die durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius $r>0$ auf $(-r,r)$ definierte\label{StPo} Funktion ist stetig. \end{Korollar} \begin{proof} Nach Proposition \ref{PR1} und Satz \ref{GLS} ist unsere Funktion f"ur alle $\rho \in[0, r)$ stetig auf $[-\rho,\rho]$ als gleichm"a"siger Grenzwert stetiger Funktionen. Da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, mu"s sie damit stetig sein auf ganz $(-r,r)$. \end{proof} \begin{Satz} [\textbf{Vertauschen von Integral und Grenz"ubergang}] Ist eine\label{gli} Funktion $f:[a,b] \ra \Bbb{R}$ gleich\-m"a\-"siger Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen $f_{n}:[a,b]\ra \Bbb{R}$, so gilt $$\int^{b}_{a}f = \lim_{n\ra \infty} \int^{b}_{a} f_{n}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Sehr viel st"arkere S"atze in dieser Richtung werden wir im Rahmen der Integrationstheorie von Lebesgue als Satz "uber monotone Konvergenz \eref{MKo}{AN3} und Satz "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} kennenlernen. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es $N \in \DN$ derart, da"s gilt $|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$ f"ur alle $n \geq N$ und alle $x \in [a,b]$. Es folgt $$\left| \int^{b}_{a}f - \int^{b}_{a}f_n\right|= \left| \int^{b}_{a}(f-f_{n})\right| \leq \int^{b}_{a}|f-f_{n}| \leq (b-a) \varepsilon $$ f"ur alle $n \geq N$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildGII}\\[4mm] \noindent Einige Glieder einer Funktionenfolge,\label{BildGII} die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, deren Integrale jedoch nicht gegen das Integral der Nullfunktion konvergieren. Sp"ater m"ogen Sie lernen, da"s unsere Funktionenfolge im Raum der \glqq verallgemeinerten Funktionen\grqq\ gegen die \glqq Dirac'sche $\delta$-Funktion bei Null\grqq\ konvergiert. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildGKA}\\[4mm] \noindent Einige Glieder einer Funktionenfolge vom Typ $f_n=\frac{1}{n}\op{sin}(nx)$, die gleichm"a"sig gegen die Nullfunktion konvergiert, deren Ableitungen jedoch nicht gleichm"a"sig gegen die Ableitung der Nullfunktion konvergieren. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Integration und Ableiten von Potenzreihen}] \begin{enumerate} \item Ist eine Funktion $f:(-r,r)\ra\Bbb{R}$ gegeben durch die Potenzreihe $f(x)=\sum^{\infty}_{\nu=0} a_{\nu}x^{\nu}$, so konvergiert auch die Potenzreihe $$\sum^{\infty}_{\nu =0}{ \textstyle\frac{1}{\nu +1}} a_{\nu}x^{\nu +1}$$ auf $(-r,r)$, und zwar gegen eine Stammfunktion von $f$; \item Ist eine Funktion $g:(-r,r)\ra\Bbb{R}$ gegeben durch die Potenzreihe $g(x)=\sum^{\infty}_{\nu=0} b_{\nu}x^{\nu}$, so ist $g$ differenzierbar und die Potenzreihe $$\sum^{\infty}_{\nu =1} \nu{b_{\nu}}x^{\nu -1}$$ konvergiert auf $(-r,r)$ gegen die Ableitung $g'$ unserer Funktion $g$. \end{enumerate}\label{PRD} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Man wende den vorhergehenden Satz \ref{gli} auf die Folge $f_{n}(x) = \sum^{n}_{\nu=0} a_{\nu}x^{\nu}$ der Partialsummen an. \\[2mm]\noindent 2. Wir zeigen zun"achst, da"s die Potenzreihe $\sum^{\infty}_{\nu =1} \nu b_{\nu} x^{\nu-1}$ auch auf $(-r,r)$ konvergiert. Nach dem Quotientenkriterium \ref{QuK} konvergiert schon mal die Reihe $\sum^{\infty}_{\nu =1} \nu z^{\nu -1}$ f"ur $|z| < 1$. F"ur $|x|0, \\ 0 & x\leq 0; \end{array}\right. \end{array}$$ im Nullpunkt die Ableitungen $f^{(\nu)}(0) =0 \; \forall \nu\geq 0$, aber dennoch gilt $f(x) > 0$ f"ur $x>0$. Inwiefern die Taylorreihe dennoch unsere Funktion recht gut approximiert, diskutieren wir in \ref{TE}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BPR} Die Darstellung $$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \ldots\quad\forall x \in (-1,1)$$ ergibt sich, indem wir die geometrische Reihe $(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3\ldots$ gliedweise integrieren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Mit unserer Formel $\arctan^{\prime} (t) = 1/(1+t^{2})$ f"ur die Ableitung des Arcustangens aus \ref{AbAr} erhalten wir durch gliedweises Integrieren der geometrischen Reihe \ref{GR} f"ur den Arcustangens f"ur $|t|<1$ die Reihenentwicklung $$\arctan (t) = t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^7}{7}\ldots$$ und mit dem Abel'schen Grenzwertsatz \ref{ABG} ergibt sich $$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\ldots$$ Es scheint, da"s diese Formel bereits in dem 1530 erschienenen Analysis-Buch \glqq Ganita Yuktibhasa\grqq\ des Autors Jyesthadeva zu finden ist, eines Mathematikers aus Kerala in Indien, und da"s sie auf den indischen Mathematiker Madhava zur"uckgeht. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Um die f"unfte Ableitung bei $x=0$ von $(\op{e}^{x^{2}} \op{sinh} x )$ bestimmen, rechnen wir $$\begin{array}{rcl} \op{e}^{x^{2}} &=& 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{3!} + \ldots \\[2mm] \op{sinh} x &=& x+ \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \ldots \\[2mm] \op{e}^{x^{2}} \op{sinh} x &=& x + x^{3} (\frac{1}{3!}+1) + x^{5} \left( \frac{1}{5!}+ \frac{1}{3!} + \frac{1}{2}\right) + \ldots \end{array}$$ Hier haben wir einmal unsere Erkenntnisse "uber das Produkt absolut konvergenter Reihen verwendet. Die gesuchte f"unfte Ableitung bei $x=0$ ergibt sich mit \ref{KoP} zu $$5! \left( \frac{1}{5!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{2} \right) =1 +20 +60 =81$$ \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten}] F"ur $\al \in \Bbb{R}$ und $k\in \DN$ setzen wir $${\al \choose k} \pdef \frac{\al (\al-1) \ldots (\al - k+1)} {k(k-1) \ldots 1}\text{ falls $k\geq 1$ und } {\al \choose 0} \pdef 1.$$ \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Binomische Reihe}\index{Binomische Reihe}]\label{BiRe} F"ur $|x| < 1$ und $\al\in\Bbb{R}$ gilt $$(1+x)^{\al} = \sum^{\infty}_{k=0} {\al \choose k} x^{k}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Die Proposition gilt mit demselben Beweis auch f"ur $x,\alpha\in\DC$, vergleiche \eref{UBC}{FT1}. Aus unseren "Uberlegungen in \ref{KoP} zu den Koeffizienten konvergenter Potenzreihen folgt auch unmittelbar, da"s die Koeffizienten einer Potenzreihenentwicklung von $(1+x)^{\al}$, wenn es sie denn gibt, notwendig die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sein m"ussen. Da"s es aber eine derartige Entwicklung auch wirklich gibt, mu"s noch gezeigt werden. Also an die Arbeit! \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] F"ur $\al\in\DZ_{\geq -1}$ kennen wir diese Formel schon: Im Fall $\al\in\DN$ gilt ${\al \choose k}=0$ falls $k>\al$ und wir erhalten einen Spezialfall der binomischen Formel \ref{BiFoa}. Im Fall $\al=-1$ gilt ${\al \choose k}=(-1)^k$ und wir erhalten die geometrische Reihe \ref{GR} f"ur $-x$. Unter der Annahme $\alpha\not\in \DN$ sagt uns das Quotientenkriterium, da"s die Potenzreihe rechts f"ur $|x|<1$ konvergiert, sagen wir gegen die Funktion $f: (-1,1) \ra \Bbb{R}$. Ich behaupte $(1+x) f^{\prime}(x) = \al f(x)$. Das pr"uft man durch gliedweises Differenzieren der binomischen Reihe mithilfe der Beziehung $${\al -1 \choose k}+{\al -1 \choose k-1} = {\al \choose k}$$ Diese Beziehung kann durch eine kurze Rechnung gezeigt werden. Rechenfaule k"onnen sie auch als eine Gleichheit von Polynomen in $\alpha$ verstehen, von der wir bereits wissen, da"s sie nach Einsetzen von $\alpha\in \DN_{\geq 1}$ gilt, und die folglich als Gleichheit von Polynomen gelten mu"s, da ja Polynome nur endlich viele Nullstellen haben. Aus $(1+x) f^{\prime}(x) = \al f(x)$ und $f(0)=1$ folgt aber schon $f(x) = (1+x)^{\al}$, denn setzt man $\varphi (x) = {f(x)}/{(1+x)^{\al}}$, so gilt $\varphi (0) =1$ und \begin{equation*} \varphi^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime} (x) (1+x)^{\al} - \al(1+x)^{\al-1} f(x)}{(1+x)^{2\al}} =0\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Beispiel} Aus unserer Formel $\arcsin'(x)= 1/\sqrt{1-x^2}$ nach \ref{abarcs} ergibt sich die Reihenentwicklung $$\arcsin (x) = x + \frac{1\cdot x^{3}}{2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot x^{5}}{2 \cdot 4 \cdot 5}+ \ldots\quad\forall x \in (-1,1)$$ In der Tat gilt $\arcsin (x) = \int^{x}_{0}(1-t^{2})^{-1/2} \;\diff t$, und nach der binomischen Reihe \ref{BiRe} haben wir $$(1-t^{2})^{-(1/2)} = \sum^{\infty}_{k=0} {-1/2\choose k} (-t^{2})^{k} = 1 + \frac{1}{2}\;t^{2} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\; t^{4} + \ldots$$ "Ahnlich ergibt sich die Entwicklung von $\op{arsinh}(x)$ in eine Potenzreihe, indem wir in der binomischen Reihe f"ur $(1+y)^{-1/2}$ "uberall $y$ durch $x^2$ ersetzen und die so entstehende Potenzreihe f"ur $(1+x^2)^{-1/2}$ gliedweise integrieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Formel f"ur die binomische Reihe kann umgeschrieben werden zur nun f"ur alle $y\in(0,2)$ g"ultigen Darstellung $$y^{\al} = \sum^{\infty}_{k=0} {\al \choose k} (y-1)^{k}$$ Geh"ort allgemeiner ein Punkt $p$ zum Definitionsbereich einer Funktion $f$, so bezeichnen wir eine Darstellung von $f$ der Gestalt $$f(p+h)=\sum^{\infty}_{\nu=0} a_\nu h^\nu \qquad\text{alias}\qquad f(y)=\sum^{\infty}_{\nu=0} a_\nu (y-p)^\nu$$ als eine {\bf Entwicklung von $f$ in eine Potenzreihe um den Punkt $p$}. Mit denselben Argumenten wie zuvor gilt dann $a_\nu= f^{(\nu)}(p)/\nu!$. Ist allgemeiner $f$ beliebig oft differenzierbar bei $p$, so erkl"aren wir die {\bf Taylorreihe\index{Taylorreihe!in einer Ver"anderlichen} von $f$ zum Entwicklungspunkt $p$} als die Potenzreihe $$\sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{f^{(\nu)}(p)}{\nu!}h^{\nu}$$ Auch wenn die Partialsummen dieser Reihe nicht gegen $f(p+h)$ konvergieren m"ussen, liefern sie doch die \glqq bestm"oglichen\grqq\ Approximationen von $f(p+h)$ durch Polynome in $h$ von einem vorgegebenen maximalen Grad, wie wir im folgenden Abschnitt \ref{TE} ausf"uhren werden. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $(a_{\nu})_{\nu\in\DN}$ eine Folge von von Null verschiedenen reellen Zahlen und existiert der Grenzwert $\lim_{\nu\ra\infty}|a_\nu/a_{\nu+1}|$ in $[0,\infty]$, so ist dieser Grenzwert der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}x^{\nu}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Eine Funktion, die f"ur jeden Punkt ihres Definitionsbereichs in einer Umgebung besagten Punktes durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, hei"st \defnoind{analytisch}.\index{analytisch!auf $\DR$} Wir werden erst in \eref{CHFu}{FT1} im Rahmen der Funktionentheorie zeigen, da"s Potenzreihen analytische Funktionen liefern: Dort geht es mit den Tricks der Funktionentheorie sehr elegant, wir k"onnten es aber etwas weniger elegant auch hier schon zeigen. Man zeige: Stimmen zwei auf demselbem reellen Intervall definierte analytische Funktionen auf der Umgebung eines Punktes aus unserem Intervall "uberein, so sind sie gleich. Hinweis: Man betrachte das Supremum der Menge aller Punkte, an denen unsere beiden Funktionen "ubereinstimmen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Wie lauten die ersten vier Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $\sqrt{1+x}$ ? Wie lauten die ersten vier Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $\sqrt{2+x}$ ? Gemeint ist jeweils die Entwicklung um $x=0$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Wir w"urfeln mit einem W"urfel eine unendlich lange Zahlenreihe. Anschaulich ist klar, da"s der durchschnittliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Einsen gerade Sechs sein mu"s. Betrachtet man nun die Wahrscheinlichkeiten, da"s die n"achste Eins beim n"achsten Wurf, beim "ubern"achsten Wurf etc.\ kommt, multipliziert sie jeweils mit Eins, Zwei etc.\ und summiert diese Produkte auf, so sollte sich auch dieser dieser durchschnittliche Abstand ergeben. Die Aufgabe ist nun, zu beweisen, da"s die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\frac{1}{6}$$ auch tats"achlich gegen $6$ konvergiert. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{BP} Mithilfe der Relation $\op{tan}(\pi/6)=1/2$ berechne man $\pi$ auf drei sichere Stellen hinter dem Komma. Es gibt im "ubrigen wesentlich effizientere Verfahren zur Berechnung von $\pi$, vergleiche \cite{Cou}. \end{Ubunge} \begin{Ubung} [\textbf{Vertauschen von Ableitung und Grenz"ubergang}] Ist eine Funktion $f:[a,b] \ra \Bbb{R}$ gleich\-m"a\-"si\-ger Grenzwert einer Folge stetig\label{VtAG} differenzierbarer Funktionen $f_{n}:[a,b]\ra \Bbb{R}$ und konvergieren deren Ableitungen $f_n':[a,b]\ra\DR$ gleichm"a"sig gegen eine Funktion $g$, so ist $f$ differenzierbar auf $[a,b]$ mit Ableitung $f'=g$. Hinweis: \ref{gli}. \end{Ubung} \subsection{Taylorentwicklung}\label{TE} \begin{Bemerkungl} Um im folgenden auch den Fall $n=0$ zulassen zu d"urfen, vereinbaren wir, da"s \glqq $0$-mal differenzierbar bei $p$\grqq\ zu verstehen sein soll als \glqq stetig bei $p$\grqq. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung}\index{Taylorentwicklung}]\label{TEe} % Sei $I\subset\Bbb{R}$ ein halboffenes Intervall, $p\in I$ ein Punkt und % $f: I \ra \Bbb{R}$ eine Funktion, deren % $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ auf ganz $I$ existiert % und deren $n$-te Ableitung $f^{(n)}(p)$ bei $p$ existiert. So gilt: % \begin{enumerate} % \item Es gibt genau ein Polynom $Q$ vom Grad $\;\leq \! n$ mit der Eigenschaft % $$\lim_{x\ra p} \frac{f(x)-Q(x)}{(x-p)^{n} } = 0$$ % \item Dieses Polynom $Q$ kann auch % charakterisiert werden als das eindeutig % bestimmte Polynom vom Grad $\;\leq \! n$ mit $f^{(\nu)}(p)=Q^{(\nu)}(p)$ % f"ur $0\leq\nu\leq n$. % \end{enumerate} % \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung}] Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall und $f: I \ra \Bbb{R}$ eine Funktion,\label{TEe} deren\index{Taylorentwicklung!in einer Ver"anderlichen} $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ auf ganz $I$ existiert und deren $n$-te Ableitung $f^{(n)}(p)$ an einer Stelle $p\in I$ existiert. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Polynom $Q$ vom Grad $\;\leq \! n$ mit der Eigenschaft $$f(x)=Q(x)+(x-p)^{n}\varepsilon(x-p)$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=\varepsilon(0)=0$, die also in Worten stetig ist bei Null mit Funktionswert Null; \item Dieses Polynom ist das eindeutig bestimmte Polynom $Q$ vom Grad $\leq \! n$ mit $Q^{(\nu)}(p)=f^{(\nu)}(p)$ f"ur $0\leq\nu\leq n$, dessen Funktionswert und Ableitungen bei $p$ also bis zur $n$-ten Ableitung einschlie"slich mit den entsprechenden Ableitungen bei $p$ unserer Funktion $f$ "ubereinstimmen. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSchP}\\[4mm] \noindent Eine unvollkommene Darstellung der Tangente $y=x+1$ und Schmiegeparabel $y=x^2/2+x+1$ an den Graph der Exponentialfunktion im Punkt $(0,1)$. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir nennen $Q$ das \defind{Approximationspolynom} {\bf bis zur Ordnung $n$ an die Funktion $f$ bei der Stelle $p$}. \begin{enumerate} \item Der Graph des Approximationspolynoms bis zur nullten Ordnung ist die Parallele zur $x$-Achse durch $(p,f(p))$; \item Der Graph des Approximationspolynoms bis zur ersten Ordnung hei"st die \defind{Tangente} an den Graphen von $f$ im Punkt $(p,f(p))$; \item Der Graph des Approximationspolynoms bis zur zweiten Ordnung hei"st die \defind{Schmiegeparabel} an den Graphen von $f$ im Punkt $(p,f(p))$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sicher gibt es genau ein Polynom $Q$, das die Bedingung aus Teil 2 erf"ullt, n"amlich das Polynom $$Q(x) = f(p) + f^{\prime} (p) (x-p) + \frac{f^{(2)}(p)}{2!}(x-p)^{2}+ \ldots + \frac{f^{(n)}(p)}{n!}(x-p)^{n}$$ Es besteht genau aus den ersten $n+1$ Termen der Taylorreihe von $f$ zum Entwicklungspunkt $p$. Betrachten wir f"ur dieses Polynom $Q$ die Differenz $r=f-Q$, so verschwinden der Funktionswert und die ersten $n$ Ableitungen von $r$ bei $x=p$ und wir erhalten durch wiederholte Anwendung der Regeln von de l'Hospital \ref{RHo} und mit der Definition von $r^{(n)}(p)$ im letzten Schritt in der Tat $$\lim_{x\ra p} \frac{r(x)}{(x-p)^{n} } =\ldots= \lim_{x\ra p} \frac{r^{(n-1)}(x)}{n!\;(x-p) }= \frac{r^{(n)}(p)}{n!}= 0 $$ Damit bleibt nur noch zu zeigen, da"s kein anderes Polynom $\hat{Q}$ die Bedingung aus Teil 1 erf"ullen kann. In der Tat folgt aber f"ur zwei Polynome vom Grad $\;\leq \! n$ aus $$\lim_{x\ra p} \frac{\hat{Q}(x)-Q(x)}{(x-p)^{n} } = 0$$ nach "Ubung \ref{PFKO} bereits $\hat{Q}(x)=Q(x)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen die Aussage des Satzes dahingehend umformulieren, da"s f"ur jede auf einem mehrpunktigen Intervall $I$ definierte $(n-1)$-mal differenzierbare Funktion $f$ und jeden Punkt $p\in I$, an dem sie sogar $n$-mal differenzierbar ist, gilt $$ f(p+h) = f(p) + f^{\prime} (p) h + \frac{f^{(2)}(p)}{2!}h^{2}+ \ldots + \frac{f^{(n)}(p)}{n!}h^{n} + h^{n}\varepsilon(h)\qquad\qquad$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=\varepsilon(0)=0$. Sch"arfere Absch"atzungen f"ur das Restglied unter st"arkeren Annahmen an die zu approximierende Funktion liefert die gleich folgende Proposition. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Restglieddarstellungen zur Taylorentwicklung}] Gegeben $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall, $f: I \ra \Bbb{R}$ eine $n$-mal differenzierbare Funktion\label{LFR} und $p\in I$ ein Punkt gilt: \begin{description} \item[Umformulierung der Taylorentwicklung:] Ist $f$ bei $p$ sogar $(n+1)$-mal differenzierbar, so gibt es eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=\varepsilon(0)=0$ und $$f(x) = \sum_{\nu=0}^{n}\frac{f^{(\nu)}(p)}{\nu!}(x-p)^\nu \;\;+\left(\frac{f^{(n+1)}(p)}{(n+1)!}+\varepsilon(x-p)\right)(x-p)^{n+1} \qquad$$ \item[Lagrange'sche Form des Restglieds:]\index{Restglied!Lagrange'sche Form} Ist $f$ sogar $(n+1)$-mal differenzierbar auf dem ganzen Intervall $I$, so gibt es f"ur alle $x \in I$ ein $\xi$ zwischen $p$ und $x$ mit $$f(x) = \sum_{\nu=0}^{n}\frac{f^{(\nu)}(p)}{\nu!}(x-p)^\nu \;\;+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-p)^{n+1}\qquad\qquad\qquad\qquad$$ Das gilt zus"atzlich f"ur jeden reellen Punkt $x$ im Abschlu"s von $I$, auf den die Funktion $f$ stetig fortgesetzt werden kann. \item[Integraldarstellung des Restglieds:]\index{Restglied!Integraldarstellung} Ist $f^{(n+1)} $ zus"atzlich auch noch stetig auf ganz $I$, so gilt f"ur alle $x\in I$ die Formel $$f(x) = \sum_{\nu=0}^{n}\frac{f^{(\nu)}(p)}{\nu!}(x-p)^\nu \;\;+ \frac{1}{n!} \int^{x}_{p} (x-t)^{n}f^{(n+1)} (t) \diff t\qquad\qquad\qquad$$ \end{description} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nur die zweite und dritte Darstellung des Restglieds sind noch zu zeigen. Wir k"urzen die Summe wie zuvor mit $\sum=Q(x)$ ab. F"ur den Rest $r(x)=f(x)-Q(x)$ verschwinden, wie wir bereits wissen, die ersten $n$ Ableitungen bei $x=p$, und unter unseren zus"atzlichen Voraussetzungen ist $r$ sogar $(n+1)$-mal differenzierbar auf ganz $I$ mit $r^{(n+1)} = f^{(n+1)}$. Um daraus die beiden Darstellungen des Restglieds zu erhalten, brauchen wir zwei Rechnungen. \\[2mm]\noindent 2. Mit dem verallgemeinerten Mittelwertsatz \ref{AMSl} und der Erkenntnis, da"s Nenner und Z"ahler bei $x=p$ verschwinden, erhalten wir unter der Annahme $p\neq x$ sofort $$\frac{r(x)}{(x-p)^{n+1}} = \frac{r^{\prime}(\xi_{1})}{(n+1)(\xi_{1}-p)^{n}} = \frac{r^{\prime\prime}(\xi_{2})}{n(n+1)(\xi_{2}-p)^{n-1}} = \ldots = \frac{r^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$ mit $\xi_1,\ldots,\xi$ im offenen Intervall zwischen $p$ und $x$. \\[2mm]\noindent 3. Durch wiederholtes partielles Integrieren erhalten wir $$\begin{array}[b]{lll} r(x) =\int^{x}_{p}r^{\prime}(t) \diff t = \int^{x}_{p} (x-t) r^{\prime\prime} (t) \diff t &=&\frac{1}{2} \int^{x}_{p} (x-t)^{2} r^{\prime\prime\prime} (t) \diff t \\ &=& \ldots\\ &=& \frac{1}{n!} \int^{x}_{p} (x-t)^{n}r^{(n+1)} (t) \diff t \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Diese Absch"atzungen liefern umgekehrt auch alternative Beweise f"ur den Satz \ref{TEe} "uber die Taylorentwicklung, aber eben nur unter st"arkeren Voraussetzungen an die zu entwickelnde Funktion. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Hinreichende Kriterien f"ur lokale Extrema}] Seien $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall und $f:I\ra \DR$ eine $n$-mal differenzierbare Funktion und sei $p\in I$ gegeben mit $f^{(1)}(p)=\ldots =f^{(n)}(p)=0$. Sei weiter und $f^{(n)}$ differenzierbar an der Stelle $p$. Man zeige: Ist $n$ ungerade und $f^{(n+1)}(p)> 0$ beziehungsweise $f^{(n+1)}(p)< 0$, so hat $f$ ein isoliertes lokales Minimum beziehungsweise Maximum bei $p$. Ist $I$ offen und $n$ gerade und $f^{(n+1)}(p)\neq 0$, so hat $f$ weder ein isoliertes lokales Minimum noch ein isoliertes lokales Maximum bei $p$. Hinweis: Taylorentwicklung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine differenzierbare Funktion $f$ auf einem offenen reellen Intervall $I\co\DR$, deren Ableitung bei $p\in I$ differenzierbar ist, zeige man\label{ZAb} $$f''(p)=\lim_{h\ra 0} \frac{f(p+h)+f(p-h)-2f(p)}{h^2}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Spezielles zu Potenzreihen mit nichtnegativen Koeffizienten}] Sei $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ eine Potenzreihe mit nichtnegativen Koeffizienten $a_k\geq 0$ und sei $r\in\DR_{\geq 0}$ echt kleiner als ihr Konvergenzradius. Hat die Taylorreihe um den Entwickungspunkt $r$ der durch unsere ursprüngliche Reihe gegebenen Funktion $f$ den Konvergenzradius $\rho$, so hat unsere urspr"ungliche Reihe mindestens den Konvergenzradius $r+\rho$. Hinweis: Man dr"ucke $f^{(\nu)}(r)$ durch die urspr"ungliche Reihe aus und folgere $\sum a_k(r+\varepsilon)^k<\infty$ f"ur $0\leq \varepsilon<\rho$.\label{Kovre} \end{Ubung} \subsection{Rechnen mit Approximationen} \label{ReMiA} \begin{Definition} Seien $f,g : \Bbb{R}\supset D\ra \Bbb{R}$ Funktionen und $p \in D$ ein Punkt und $n \in\DN$ eine nat"urliche Zahl. Wir sagen, {\bf $f$ und $g$ stimmen bei $p$ "uberein bis zur Ordnung $n$} \index{stimmen "uberein bis zur Ordnung} und schreiben $$f\sim^n_p\;g \qquad \text{oder genauer}\qquad f(x)\sim^n_{x=p}\;g(x) $$ wenn gilt $f(p+h)=g(p+h)+h^n\varepsilon(h)$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$, die stetig ist bei Null mit Funktionswert $\varepsilon(0)=0$ und die definiert ist auf der Menge aller $h$ mit $p+h\in D$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Notation $f\sim^n_p\; g $ scheint mir bequem und suggestiv, sie ist aber nicht "ublich. H"aufig nennt man eine Funktion, die bei $x=0$ mit der Nullfunktion "ubereinstimmt bis zur Ordnung $n$, auch ein \defind{kleines o von $x^n$} und bezeichnet so eine Funktion mit $\op{o}(x^n)$. In dieser Notation w"urde man statt $f\sim^n_{p}\; g $ schreiben $f(x)=g(x)+\op{o}((x-p)^n)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich folgt aus $f\sim^n_{p}\; g $ und $g\sim^n_{p}\; h $ schon $f\sim^n_{p}\; h $. Sind $P$ und $Q$ Polynome vom Grad $\leq n$ und ist $p$ ein H"aufungspunkt von $D$, so folgt aus $P \sim^n_{p}\; Q $ schon $P=Q$. Der Satz "uber die Taylorentwicklung \ref{TEe} liefert uns f"ur eine $n$-mal stetig differenzierbare Funktion $f$ auf einem mehrpunktigen Intervall $D$ das eindeutig bestimmte Polynom $Q$ vom Grad $\leq n$, das bei $p$ mit $f $ "ubereinstimmt bis zur Ordnung $n$. Genauer besagt dieser Satz, da"s dieses Polynom $Q$ charakterisiert werden kann durch die Bedingungen $Q^{(\nu)}(p)=f^{(\nu)}(p)$ f"ur $0\leq\nu\leq n$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item\emph{\bf (H"ohere Summen- und Produktregel).} Seien $f,g: D\ra \Bbb{R}$ zwei auf einer Teilmenge $D\subset\Bbb{R}$ definierte Funktionen. Sei $p \in D$ ein Punkt und seien $P,Q$ Polynome mit $f \sim^n_{p}\; P $ und $g\sim^n_{p}\; Q $. So folgt $$f+g\sim^n_{p}\; P +Q \;\;\;\;\;\text{ und }\;\;\;\;\; fg\sim^n_{p}\; PQ $$ \item\emph{\bf (H"ohere Kettenregel).}\index{Kettenregel!h"ohere} Seien $f: D\ra \Bbb{R}$ und $g: E\ra \Bbb{R}$ auf Teilmengen $D,E\subset\Bbb{R}$ definierte Funktionen mit $f(D) \subset E$. Sei $p \in D$ ein Punkt und seien $P,Q$ Polynome mit $f \sim^n_{p}\; P $ und $g \sim^n_{f(p)}\; Q $. So folgt $$g \circ f\sim^n_{p}\; Q\circ P $$ \end{enumerate}\label{RAP} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Fall $n=0$ spezialisiert dieser Satz zur Stetigkeit von Summen und Produkten \ref{stAF} sowie Verkn"upfungen \ref{VSte}. Im Fall $n=1$ spezialisiert er zur Summenregel \ref{APSu}, Produktregel \ref{APSu} und Kettenregel \ref{KeRe}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Alle Aussagen dieses Satzes werden sich als Konsequenzen des Approximationssatzes in mehreren Ver"anderlichen \eref{RApp}{AN2} erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] 1. Das bleibt dem Leser "uberlassen. Im Fall der Summe gilt das sogar f"ur beliebige Funktionen $P$ und $Q$. Im Fall des Produkts reicht anstelle der Polynomialit"at die schw"achere Annahme, da"s $P$ und $Q$ in einer Umgebung von $p$ beschr"ankt sind. \\[2mm]\noindent 2. Wir zeigen zun"achst $g \circ f\sim^n_{p}\; Q\circ f$ und dann $Q \circ f\sim^n_{p}\; Q \circ P$. Zum Beweis der ersten Aussage schreiben wir $g(y) = Q(y) + (y - f(p))^{n} \varepsilon (y- f(p))$ f"ur $\varepsilon$ stetig bei Null mit Funktionswert Null. Durch Einsetzen von $y=f(x)$ und Erweitern des letzten Terms mit $(x-p)^n$ erhalten wir $$(g \circ f) (x) = (Q \circ f)(x) + (x-p)^{n} \left[ \left( \frac{f(x) - f(p)}{x-p} \right)^{n} \varepsilon (f(x)- f(p))\right]$$ f"ur alle $x \neq p$. Im Fall $n\geq 1$ stimmt $f$ bei $p$ bis mindestens zur Ordnung $1$ "uberein mit dem Polynom $P$, folglich ist $f$ differenzierbar bei $p$ und der Ausdruck in eckigen Klammern strebt f"ur $x \ra p$ gegen Null. Im Fall $n=0$ stimmt $f$ bei $p$ bis zur Ordnung $0$ "uberein mit dem Polynom $P$, also ist $f$ zumindest stetig in $p$ und der Ausdruck in eckigen Klammern strebt f"ur $x \ra p$ wieder gegen Null. Wir m"ussen also nur noch f"ur jedes Polynom $Q$ zeigen $$Q \circ f\sim^n_{p}\; Q \circ P$$ Das hinwiederum folgt sofort aus Teil 1. \end{proof} \begin{Beispiel} Beim konkreten Rechnen wird man sich nach M"oglichkeit die Funktionen so zurechtlegen, da"s wir nur Approximationen an der Stelle Null zu betrachten haben. Um etwa die sechste Ableitung bei $x=0$ von $1/\op{cosh}(x)$ zu berechnen, schreiben wir das als $g\circ f$ mit $f(x)=\op{cosh}(x)-1$ und $g(y)=(1+y)^{-1}$, da dann gilt $f(0)=0$. Nun erinnern wir uns an $$\begin{array}{rcl} \op{cosh} (x) -1 &=& \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!}+\ldots \\[2mm] (1+y)^{-1}&=&1-y+y^2-y^3+y^4-y^5+y^6\ldots \end{array}$$ wo wir Gleichheitszeichen und P"unktchen geschrieben haben statt $\sim^6$ mit entsprechenden Spezifikationen. Mit unserer \glqq h"oheren Kettenregel\grqq\ \ref{RAP} erhalten wir wegen $f(0)=0$ dann sofort $$\begin{array}{rcl}1/\op{cosh}(x)&=&1-(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!}) \\[2mm] &&\;\;\;\;\;\;+(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!})^2\\[2mm] &&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!})^3 +\ldots \end{array}$$ Als Koeffizient von $x^6$ ergibt sich $$-\frac{1}{6!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{8} =\frac{1}{6!}(-1+30-90)=-\frac{61}{6!}$$ Die fragliche sechste Ableitung bei $x=0$ ist mithin $-61$. Eine andere M"oglichkeit w"are, das Approximationspolynom sechsten Grades an $1/\op{cosh}(x)$ in $x=0$ als $a_0+ a_1x+ \ldots +a_6x^6$ anzusetzen und aus der \glqq h"oheren Produktregel\grqq\ die Gleichung $$\left(1+ \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!}\right)\left(a_0+ a_1x+ \ldots +a_6x^6\right) =1+bx^8+\ldots$$ zu folgern, die es uns hinwiederum erlaubt, induktiv die $a_\nu$ zu bestimmen. Diese Rechnung kann im vorliegenden Fall zus"atzlich vereinfacht werden durch die Erkenntnis, da"s eh gilt $0=a_1=a_3=a_5=\ldots$, da unsere Funktion gerade ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Geschlossene Formel f"ur die Catalan-Zahlen}] Wir zeigen nun die in \eref{CatZa}{GR} versprochene Formel $$C_n=\frac{1}{n+1} {2n\choose n}$$ f"ur die ebendort eingef"uhrten Catalan-Zahlen $C_n$, die die Zahl der m"oglichen Verklammerungen eines\label{BCZ} Wortes in $(n+1)$ Symbolen angeben. Diese Zahlen\index{Catalan-Zahlen!Herleitung der Formel} erf"ullen offensichtlich die Rekursion \begin{equation*} C_{n+1} =\sum_{k=0}^n C_k C_{n-k} \end{equation*} Die {\bf erzeugende Funktion}\index{erzeugende Funktion!der Catalan-Zahlen} der Folge der Catalan-Zahlen alias die formale Potenzreihe $P = \sum_{n\geq 0} C_n x^n$ erf"ullt demnach im Ring der formalen Laurent\-reihen aus \eref{FRL}{LA1} die Formel $x P^2 = P-1$ alias $P^2 - \frac{1}{x} P + \frac{1}{x} =0$. Damit folgt, immer im Ring der formalen Laurentreihen, eine Identit"at der Form \begin{equation*} P= \frac{1}{2x} \pm\sqrt{\frac{1}{4x^2} -\frac{1}{x}} = \frac{1 \pm\sqrt{1-4x}}{2x} \end{equation*} falls die fragliche Wurzel im Ring der formalen Laurentreihen existieren sollte, wobei das Vorzeichen noch zu bestimmen ist. Nach \ref{TAPr} existiert diese Wurzel jedoch in der Tat und kann beschrieben werden durch die binomische Reihe \begin{equation*} \sqrt{1-4x} = \sum^\infty_{n=0} \begin{pmatrix} 1/2\\n \end{pmatrix} (-4x)^n \end{equation*} Deren konstanter Term ist Eins, so da"s f"ur unser Vorzeichen nur das Minus in Frage kommt. Damit mu"s notwendig gelten $$ P= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} $$ Die Koeffizienten unserer binomischen Reihe lassen sich vereinfachen zu \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2\\ n\end{pmatrix} (-1)^n 4^n &=& \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{2}\right) \left(\frac{-1}{2}\right) \left(\frac{-3}{2}\right) \ldots \left( \frac{-2n+3}{2} \right) (-1)^n 4^n\\[2mm] &=& -\frac{1}{n!} (1\cdot 3 \ldots (2n-3))2^n\\[2mm] &=& \frac{-2 (2(n-1))!}{(n-1)!(n-1)!} \end{eqnarray*} Die letzte Identit"at stimmt dabei nur f"ur $n \geq 1$. Setzen wir alles zusammen, so ergibt sich wie gew"unscht \begin{equation*} C_n = \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix} 2n \\ n\end{pmatrix} \end{equation*} \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TAPr} Gegeben zwei beliebig oft differenzierbare Funktionen auf einem Intervall ist die Taylorreihe ihrer Summe die Summe der Taylorreihen und die Taylorreihe des Produkts das Produkt der Taylorreihen. Hier verstehen wir Produkt und Summe von Potenzreihen im formalen Sinn, vergleiche \eref{FPR}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die Identit"aten $\op{exp}(\op{log}(x+1))=x+1$ und $\op{log}((\op{e}^x-1)+1)=x$ auch als\label{RAEP} formale Identit"aten von Potenzreihen gelten, da"s also etwa im ersten Fall f"ur $k\geq 2$ gilt $$\sum_{j(1)+\ldots+j(i)=k}\frac{1}{i!} \left(\frac{-(-1)^{j(1)}}{j(1)}\right) \ldots\left(\frac{-(-1)^{j(i)}}{j(i)} \right)=0$$ wo die Summe "uber alle $i\geq 1$ und alle Abbildungen $j:\{1,\ldots,i\}\ra\DN_{\geq 1}$ l"auft, bei denen $k$ die Summe der Werte ist, wohingegen dieselbe Summe f"ur $k=1$ gerade den Wert Eins ergibt. Allgemeiner f"uhre man aus, inwiefern die Taylorreihe der Verkn"upfung zweier unendlich oft differenzierbarer Funktionen gerade die Verkn"upfung ihrer Taylorreihen ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein Kring $k$, f"ur den ein Ringhomomorphismus $\DQ\ra k$ existiert, liefert das formale Einsetzen in formale Potenzreihen\label{logf} eine Bijektion $\op{exp}:tk\llbracket t\rrbracket\sira 1+tk\llbracket t\rrbracket$ mit der Inversen $\op{log}$ gegeben durch die Potenzreihe von $\op{log}(1+x)$. Diese Bijektion ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe $tk\llbracket t\rrbracket$ und der multiplikativen Gruppe $1+tk\llbracket t\rrbracket$. \end{Ubunge} \subsection{Der Abel'sche Grenzwertsatz*} \label{AbGr} \begin{Bemerkungl}\label{AbK} In diesem Abschnitt will ich mein Versprechen einl"osen und die Formel $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots = \log 2$$ zeigen. Wenn wir $x=1$ in die Reihenentwicklung von $\log(1+x)$ einsetzen d"urften, so folgte das sofort. Die Schwierigkeit liegt darin, da"s wir bisher nur f"ur $|x|<1$ nachgewiesen haben, da"s unsere Potenzreihe aus \ref{BPR} gegen $\log(1+x)$ konvergiert. Der folgende Satz hilft uns, diese Schwierigkeit zu "uberwinden, und wird auch in \ref{AbAr} bei der Herleitung der wunderbaren Formel $$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\ldots=\frac{\pi}{4}$$ ben"otigt. In beiden Formeln sehe aber eher sch"one Bl"uten als zentrale Inhalte. Davon abgesehen spielt der abelsche Grenzwertsatz im weiteren Verlauf dieser Vorlesung keine Rolle. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Abel'scher Grenzwertsatz}\index{Abel'scher Grenzwertsatz}] Konvergiert eine reelle Potenzreihe auch noch auf einem Randpunkt ihres Konvergenzbereichs,\label{ABG} so stellt sie bis in diesen Randpunkt hinein eine stetige Funktion dar. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} F"ur diejenigen Leser, die bereits mit komplexen Potenzreihen vertraut sind, sei bemerkt, da"s die entsprechende Aussage im Komplexen in dieser Form nicht mehr gilt. Mehr dazu finden Sie etwa in \eref{ABCo}{FT1}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $x=1$ der besagte Randpunkt des Konvergenzbereichs ist. Sei also $\sum^{\infty}_{k=0} a_{k}$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Wir m"ussen zeigen, da"s die Reihe $f(x) = \sum^{\infty}_{k=0} a_{k}x^{k}$ f"ur $x \in [0,1]$ eine stetige Funktion darstellt. Dazu schreiben wir die Differenzen der Partialsummen in der Form \begin{displaymath} \begin{array}{llcrl}\sum^m_{k=n} a_k x^k &=& &(x^n -x^{n+1} )& (a_n)\\ &&+& (x^{n+1} - x^{n+2} )&(a_n + a_{n+1}) \\ &&+& (x^{n+2}-x^{n+3} )& (a_n +a_{n+1} + a_{n+2})\\ &&&\ldots & \ldots\\ &&+& (x^{m-1} -x^m)& (a_n + \ldots\ldots\ldots + a_{m-1})\\ &&+ & x^m\;& (a_n + \ldots\ldots\ldots + a_{m-1}+ a_m) \end{array} \end{displaymath} F"ur alle $\varepsilon >0$ finden wir nun wegen der Konvergenz unserer Reihe ein $N$ derart, da"s f"ur alle $n,m$ mit $N \leq n \leq m$ gilt $|a_n + \ldots + a_m | \leq \varepsilon$. F"ur alle $n,m$ mit $N \leq n \leq m$ und alle $x\in [0,1]$ folgt daraus die Absch"atzung \begin{displaymath}\textstyle \left| \sum^m_{k=n} a_k x^k \right| \leq \left( x^n -x^m \right) \varepsilon + x^m \varepsilon\leq \varepsilon \end{displaymath} Diese Absch"atzung zeigt die gleichm"a"sige Konvergenz der Folge der Partialsummen auf $[0,1]$ und damit die Stetigkeit der Grenzfunktion. \end{proof} \begin{Bemerkungw}\label{Tau} L"a"st sich die durch eine Potenzreihe im Inneren des Kon\-ver\-genz\-in\-ter\-valls definierte Funktion stetig auf einen Randpunkt fortsetzen, so mu"s die Potenzreihe an besagtem Randpunkt keineswegs konvergieren. Nehmen wir der Einfachkeit halber an, da"s das Konvergenzintervall $(-1,1)$ ist und der fragliche Randpunkt die $1$, so folgt die Konvergenz von $\sum a_n$ jedoch aus der stetigen Fortsetzbarkeit der Funktion $\sum a_n x^n$ von $x\in [0,1)$ auf $[0,1]$ zusammen mit der \defind{Tauber-Bedingung}, da"s die Folge $na_n$ betragsm"a"sig beschr"ankt sein m"oge. Unter der st"arkeren Annahme $\lim_{n\ra\infty}na_n=0$ wurde das bereits von Tauber gezeigt. \end{Bemerkungw} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN1" %%% End: