\section{Stetigkeit in abstrakten R"aumen} \subsection{Topologische R"aume und Kompatibilit"aten}\label{ToRa} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $X$ bilden wir die Menge $\cal{P}(X)$ aller Teilmengen von $X$, die {\bf Potenzmenge von $X$}. Weil es mich verwirrt, "uber Mengen von Mengen zu reden, nenne ich wie in \eref{VSMS}{LA1} Teilmengen von $\cal{P}(X)$ lieber \defnoind{Systeme von Teilmengen von $X$} \index{System von Teilmengen} und spreche im folgenden von \defnoind{Teilsystemen}, \index{Teilsystem} wenn ich Teilmengen solcher Mengensysteme meine. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen einer Menge $X$ im Sinne von \eref{Familie}{LA1} erkl"art man ihren {\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Mengenfamilie}\index{)9cap@$\cap$ Schnitt!$\bigcap$ von Mengenfamilie} und ihre {\bf Vereinigung}\index{Vereinigung!von Mengenfamilie} \index{)ucup@$\cup$ Vereinigung!$\bigcup$ von Mengenfamilie} durch die Vorschriften\label{SVMF} $$\begin{array}{lllll} \bigcap_{i\in I}X_i&=&\bigcap^X_{i\in I}X_i&\pdef&\{ x\in X\mid \text{F"ur alle } i\in I\text{ gilt } x\in X_i\}\\[2mm] \bigcup_{i\in I}X_i&=&\bigcup^X_{i\in I}X_i&\pdef&\{ x\in X\mid \text{Es existiert ein } i\in I\text{ mit } x\in X_i\} \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt und Vereinigung leerer Mengenfamilien}] Insbesondere ist der Schnitt "uber die leere Familie von Teilmengen von $X$ ganz $X$ und die Vereinigung "uber die leere Familie von Teilmengen von $X$ ist die leere Menge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{SPVb}{LA2} und \eref{SPVn}{LA2} diskutieren wir allgemeiner Produkte und \glqq disjunkte Vereinigungen\grqq\ beliebiger nicht notwendig endlicher Familien von Mengen, die dabei auch nicht als Teilmengen einer vorgegebenen Menge angenommen werden. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{DTRS} Eine {\bf Topologie\index{Topologie|main} ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$, das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen. In Formeln ausgedr"uckt fordern wir von einer Topologie $\mathcal T$ also: \begin{enumerate} \item $V_1,\ldots,V_n\in \cal{T}\RA V_1\cap\ldots\cap V_n\in \cal{T}$ f"ur $n\geq 0$ und insbesondere auch $X\in \cal{T}$ als der Spezialfall $n=0$. Gleichbedeutend dazu sind die beiden Forderungen $X\in \cal{T}$ sowie $V,W\in \cal{T}\RA V\cap W\in \cal{T};$ \item $\cal{V}\subset{\cal T}\RA\bigcup_{V\in\cal{V}}V\in {\cal T}$ und damit insbesondere auch $\emptyset\in{\cal T}$, da ja das leere Mengensystem $\cal{V}=\emptyset$ in jedem Mengensystem enthalten ist. \end{enumerate} Ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum|main} ist ein Paar $(X,{\cal T})$ bestehend aus einer Menge mitsamt einer Topologie. Statt $V \in {\cal T}$ schreiben wir meist $$V\co X$$ und\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum|main} nennen $V$ eine {\bf offene Teilmenge von}\index{offen!in topologischem Raum|main} $X$. Die Notation $\co$ ist in der Literatur jedoch un"ublich. \end{Definition} \begin{Definition}\label{UTRr} Seien $X$ ein topologischer Raum und $P\subset X$ eine Teilmenge. Eine Teilmenge $U\subset X $ hei\ss t eine {\bf Umgebung\index{Umgebung!in topologischem Raum} $U$ von $P$ in $X$}, wenn es eine offene Menge $V \co X$ gibt mit $P \subset V \subset U$. Im Fall einer einelementigen Teilmenge $P=\{p\}$ sprechen wir auch von einer {\bf Umgebung $U$ von $p$ in $X$}. \end{Definition} \begin{Definition}\label{MstT} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ zwischen topologischen R"aumen hei\ss t {\bf stetig im Punkt} $p\in X$, wenn es f"ur jede Umgebung $U$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'$ von $p$ gibt mit $f(U')\subset U$. Eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen hei\ss t {\bf stetig}\index{stetig!f"ur topologische R"aume|main} genau dann, wenn sie stetig ist in jedem Punkt. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Standardtopologie auf $\bar\DR$}] Auf der Menge $\bar{\DR}$ der erweiterten reellen Zahlen erkl"aren\label{BspT1} wir die {\bf Standardtopologie} $\mathcal T$ durch die Vorschrift, da"s eine Menge $V\subset \bar{\DR}$ zu $\mathcal T$ geh"ort genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in V$ eine Intervallumgebung $I$ von $p$ gibt mit $I\subset V$. Die in Bezug auf die Standardtopologie offenen Intervalle $V$ sind dann offensichtlich genau alle Intervalle der Gestalt $V=(a,b), [-\infty,b), (a,\infty]$ oder $ [-\infty,\infty]$ mit $a,b\in \bar{\DR}$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Kompatibilit"at unserer Umgebungsbegriffe in $\bar\DR$}] Gegeben $p\in \bar{\DR}$ ist eine Teilmenge $U\subset \bar{\DR}$ genau dann eine Umgebung von $p$ in Bezug auf die Standardtopologie, wenn $U$ eine Umgebung von $p$ ist im Sinne unserer Definition \ref{eU}. \end{Lemma} \begin{proof} Per definitionem ist jede Umgebung von $p$ in Bezug auf die Standardtopologie auch eine Umgebung im Sinne von \ref{eU}. Ist umgekehrt $U$ eine Umgebung im Sinne von \ref{eU}, gibt es also eine Intervallumgebung $I$ von $p$ mit $I\subset U$, gibt es offensichtlich auch eine offene Intervallumgebung $V\co\bar\DR$ von $p$ mit $V\subset I$ und a forteriori $V\subset U$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Standardtopologie auf $\bar\DR^n$}] Auf dem $\bar{\DR}^n$ erkl"aren\label{BspT} wir die {\bf Standardtopologie} $\mathcal T$ durch die Vorschrift, da"s eine Menge $V\subset \bar{\DR}^n$ zu $\mathcal T$ geh"ort genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p=(p_1,\ldots,p_n)\in V$ Intervallumgebungen $I_\nu$ von $p_\nu$ gibt mit $I_1\times\ldots\times I_n\subset V$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Kompatibilit"at unserer Umgebungsbegriffe in $\bar\DR^n$}] Gegeben $p\in \bar{\DR}^n$ ist eine Teilmenge $U\subset \bar{\DR}^n$ genau dann eine Umgebung von $p$ in Bezug auf die Standardtopologie, wenn $U$ eine Umgebung von $p$ ist im Sinne unserer Definition\label{rkuI} \ref{eU}. \end{Lemma} \begin{proof} Per definitionem ist jede Umgebung von $p$ in Bezug auf die Standardtopologie auch eine Umgebung im Sinne von \ref{eU}. Ist umgekehrt $U$ eine Umgebung im Sinne von \ref{eU}, gibt es also Intervallumgebungen $I_\nu$ der Koordinaten $p_\nu$ von $p$ mit $I_1\times\ldots\times I_n\subset U$, so gilt es $V\co \bar{\DR}^n$ zu finden mit $p\in V\subset U$. Wie bereits besprochen finden wir aber offene Intervallumgebungen $V_\nu$ der Koordinaten $p_\nu$ mit $V_\nu\subset I_\nu$ und dann ist offensichtlich $V\pdef V_1\times\ldots\times V_n$ offen f"ur die Standardtopologie mit $p\in V\subset U$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompatibilit"at unserer Stetigkeitsbegriffe}] Eine Abbildung $ \bar{\DR}^m\ra \bar{\DR}^n$ ist topologisch stetig f"ur die Standardtopologien im Sinne der obigen Definition \ref{MstT} genau dann, wenn sie stetig ist im Sinne unserer Definition \ref{DeSt}. Das folgt unmittelbar aus der R"uckw"artskompatibilit"at des Umgebungsbegriffs \ref{rkuI}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{IDT} Gegeben eine Teilmenge $D\subset X$ eines topologischen Raums $X$ erkl\"{a}rt man die {\bf auf $D$ induzierte Topologie}\index{induzierte Topologie|main}\index{Topologie!induzierte|main} oder {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie|main} durch die Vorschrift\label{OfOn} $$W \co D \;\;\Leftrightarrow\;\; \exists V \co X\text{ mit }W = V \cap D.$$ In Worten ist also eine Teilmenge von $D$ offen f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn sie der Schnitt von $D$ mit einer offenen Teilmenge von $X$ ist. \label{Innn} Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $D$ eines topologischen Raums $X$ als topologischen Raum mit der induzierten Topologie auf.\label{DiTM} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{InTT} Es ist klar, da"s das in \ref{Innn} beschriebene Mengensystem auf einer Teilmenge eines topologischen Raums in der Tat eine Topologie auf besagter Teilmenge liefert und da"s die Einbettungsabbildung stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompatibilit"at unserer Stetigkeitsbegriffe zum Zweiten}] Eine Abbildung $f:\bar\DR^m\supset D\ra \bar\DR^n$ ist stetig im Sinne unserer Definition \ref{DeSt} genau dann, wenn die Abbildung $f:D\ra \bar\DR^n$ stetig ist f"ur die auf $D$ induzierte Topologie. Das folgt direkt aus den Definitionen. \end{Beispiel} \subsection{Theorie der topologischen R"aume} \begin{Satz}[\textbf{Verkn"upfung stetiger Abbildungen}] Jede Verkn"upfung von stetigen Abbildungen ist stetig. Sind genauer $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ Abbildungen zwischen topologischen R"aumen und ist $p\in X$ ein Punkt und $f$ stetig bei $p$ und $g$ stetig bei $f(p)$, so ist\label{VSA} $(g\circ f)$ stetig bei $p$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $g$ stetig bei $f(p)$, so finden wir f"ur jede Umgebung $U$ von $g(f(p))$ eine Umgebung $U'$ von $f(p)$ mit $g(U')\subset U$. Ist zus"atzlich $f$ stetig ist bei $p$, finden wir f"ur diese Umgebung $U'$ von $f(p)$ weiter eine Umgebung $U'' $ von $p$ mit $f(U'')\subset U'$. Damit haben wir aber auch eine Umgebung $U'' $ von $p$ gefunden mit $(g\circ f)(U'')\subset U$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie}] Seien $f:X\ra Y$ eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen, $Z\subset Y$ eine Teilmenge mit $f(X)\subset Z$ und $p\in X$ ein Punkt. Genau dann ist $f:X\ra Y$ stetig bei $p$, wenn die induzierte Abbildung $f:X\ra Z$ stetig ist bei $p$ f"ur die auf $Z$ induzierte Topologie. \end{Lemma} \begin{proof} Es ist klar, da"s die Umgebungen $U_Z\subset Z$ eines Punktes $q\in Z$ in Bezug auf die induzierte Topologie genau die Schnitte $U_Y\cap Z$ mit $Z$ von Umgebungen $U_Y\subset Y$ von $q$ in $Y$ sind. Genau dann gibt es also f"ur jede Umgebung $U_Y$ von $f(p)$ in $Y$ eine Umgebung $U'\subset X$ von $p$ mit $f(U')\subset U_Y$, wenn es f"ur jede Umgebung $U_Z$ von $f(p)$ in $Z$ eine Umgebung $U'\subset X$ von $p$ gibt mit $f(U')\subset U_Z$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir leiten unsere Aussage \ref{VSte} "uber die Stetigkeit der Verkn"upfung auch noch aus den obigen Aussagen ab. Gegeben $f:\bar\DR^m\supset D\ra\bar\DR^n$ stetig bei $p\in D$ und $g:\bar\DR^n\supset E\ra\bar\DR^l$ mit $f(D)\subset E$ stetig bei $f(p)$ ist ja nach der universellen Eigenschaft der induzierten Topologie auch $f:D\ra E$ stetig bei $p$. Da nach Annahme $g:E\ra \bar\DR^l$ stetig ist bei $f(p)$, folgt die Stetigkeit der Verkn"upfung nach \ref{VSte} aus der Stetigkeit der Verkn"upfung nach \ref{VSA}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn wir eine Menge einfach nur \glqq offen\grqq\ nennen, so in der Hoffnung, dem Leser sei klar, in Bezug auf welchen gr"o"seren Raum $X$ dies \glqq offen\grqq\ gemeint ist. Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $M\subset Y\subset X$ Teilmengen, so meint $M\co Y$, da"s $M$ offen ist als Teilmenge des Raums $Y$ mit seiner induzierten Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierung offener Mengen durch Umgebungen}] Eine Teilmenge $Y\subset X$ eines topologischen Raums $X$ ist offen genau dann, wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist. \nichtfinal{Sp"ater!} \end{Lemma} \begin{proof} Per definitionem ist eine offene Menge eine Umgebung eines jeden ihrer Punkte. Ist umgekehrt $Y\subset X$ eine Umgebung jedes Punktes $p\in Y$, so gibt es f"ur alle $p\in Y$ eine offene Menge $V_p\co X$ mit $p\in V_p\subset Y$. Es folgt $$Y=\bigcup_{p\in Y}V_p$$ und damit ist $Y$ offen als Vereinigung offener Teilmengen von $X$. \end{proof} \subsection{Metrische R"aume} \begin{Definition}\label{Metrik} Unter einer \defind{Metrik} $d$ auf einer Menge $X$ versteht man eine Abbildung $d:X\times X\ra\DR_{\geq 0}$ derart, da\ss\ f\"{u}r alle $x,y,z \in X$ gilt: \begin{enumerate} \item $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ \item $d(x,y)=d(y,x)$ \item $d(x,y)\leq d(x,z)+ d(z,y)$ \end{enumerate} Ein \defind{metrischer Raum} ist ein Paar $X=(X,d)$ bestehend aus einer Menge $X$ und einer Metrik $d$ auf $X$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Buchstabe $d$ steht in diesem Zusammenhang vermutlich f"ur das Wort \glqq Distanz\grqq. Auf $\Bbb{R}^n$ liefert der "ubliche {\bf Skalarproduktabstand} $$d(x,y)\pdef\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots (x_n-y_n)^2}$$ eine Metrik. Die Ungleichung aus der Definition einer Metrik wird in diesem Beispiel in \eref{ENNo}{LA2} formal bewiesen und bedeutet anschaulich, da"s in einem Dreieck mit Seitenl"angen $a,b,c$ stets gilt $a\leq b+c$. Sie hei"st deshalb auch ganz allgemein die {\bf Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!bei metrischen R"aumen}. \end{Beispiel} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDrei}\\ \noindent Illustration zur Dreiecksungleichung \end{figure} \begin{Beispiel}\label{BAB} Auf dem $\Bbb{R}^n$ ist auch der {\bf Betragsabstand}\index{Betragsabstand} $$d(x,y)=\sup_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|$$ eine Metrik. Wenn nichts anderes gesagt ist, fassen wir den $\Bbb{R}^n$ stets auf als einen metrischen Raum mit dem Betragsabstand als Metrik. Diese Metrik ist zwar weniger anschaulich als der Skalarproduktabstand, l"a"st sich aber einfacher handhaben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist mit der {\bf induzierten Metrik}\index{induzierte Metrik} selbst ein metrischer Raum. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $X$ ein metrischer Raum. F\"{u}r $x\in X$ und $\varepsilon >0$ setzen wir $$\op{B}(x;\varepsilon)\pdef \{z\in X\mid d(x,z)<\varepsilon \}$$ Diese Menge hei"st der {\bf $\varepsilon$-Ball}\index{Ball} um $x$ oder\index{B@$\op{B}(x;\varepsilon)$ Ball in metrischem Raum} auch die {\bf $\varepsilon$-Kugel}\index{Kugel} um $x$ oder auch die {\bf $\varepsilon$-Umgebung}\index{Umgebung!$\varepsilon$-Umgebung} von $x$. \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur den Skalarproduktabstand im $\DR^3$ ist der Ball um $x$ mit Radius $\varepsilon$ anschaulich tats"achlich ein Ball. F"ur den Betragsabstand hat $\op{B}(x;\varepsilon)$ dahingegen die Gestalt eines W"urfels mit Mittelpunkt $x$ und Seitenl"ange $2\varepsilon$. \end{Beispiel} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBall}\\[3mm] \noindent B"alle in der Ebene f"ur den Betragsabstand und den Skalarproduktabstand \end{figure} \begin{Definition} Eine \defnoind{Umgebung}\index{Umgebung!in metrischem Raum} eines Punktes in einem metrischen Raum ist eine Teilmenge von besagtem Raum,\label{UMe} die einen ganzen Ball um unseren Punkt umfa"st. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vom Nutzen des Umgebungsbegriffs}] Die Umgebungen eines Punktes im $\DR^n$ bez"uglich des Betragsabstands sind dieselben wie seine Umgebungen bez"uglich des Skalarproduktabstands, was man unschwer explizit pr"uft und was sich auch als ein Spezialfall der \glqq "Aquivalen von Normen\grqq\ \ref{AQN} erweisen wird. Das ist der Grund daf"ur, da"s wir im Folgenden unsere Definitionen nach M"oglichkeit mithilfe von Umgebungen formulieren: F"ur so definierte Begriffe ist a priori klar, da"s im Fall des $\DR^n$ ihre Bedeutung nicht davon abh"angt, ob wir mit dem Skalarproduktabstand oder mit dem Betragsabstand arbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften von Umgebugen}] \nichtfinal{Erst bei topologischen R"amen?} Der Schnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes in einem metrischen Raum ist wieder eine Umgebung besagten Punktes.\label{vpdu} Je zwei verschiedene Punkte eines metrischen Raums besitzen disjunkte Umgebungen. Genauer sind f"ur $x,y$ mit $d(x,y)=r>0$ die $(r/2)$-B"alle um $x$ und $y$ disjunkt. In der Tat folgte f"ur $z$ aus dem Schnitt ja mit Hilfe der Dreiecksungleichung $ r=d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z) 0$ ein $ \delta =\delta_\varepsilon> 0$ gibt derart, da\ss\ gilt $f(\op{B}(p;\delta))\subset \op{B}(f(p);\varepsilon)$. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $f$ stetig bei $p$, so finden wir insbesondere f"ur die Umgebung $U\pdef\op{B}(f(p);\varepsilon)$ von $f(p)$ eine Umgebung $U'$ von $p$ mit $f(U')\subset U$, und diese Umgebung $U'$ mu"s dann ihrerseits einen Ball $\op{B}(p;\delta)$ umfassen. Gilt umgekehrt das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium und haben wir eine Umgebung $U$ von $f(p)$ gegeben, so finden wir erst ein $\varepsilon>0$ mit $\op{B}(f(p);\varepsilon)\subset U$, k"onnen dann dazu ein $\delta$ finden mit $f(\op{B}(p;\delta))\subset \op{B}(f(p);\varepsilon)$, und $U'\pdef \op{B}(p;\delta)$ schlie"slich ist die gesuchte Umgebung von $p$ mit $f(U')\subset U$. \end{proof} \begin{Beispiel} Beispiele f"ur stetige Abbildungen sind Einbettungen von einem Teilraum oder konstante Abbildungen. In diesen F"allen k"onnen wir $\delta=\varepsilon$ nehmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at der metrischen Stetigkeit}] Gegeben $D\subset \DR^m$ ist eine Abbildung $f:D\ra\DR^n$ offensichtlich stetig im hier gegebenen Sinne in Bezug auf den Betragsabstand \ref{BAB} genau dann, wenn sie stetig \label{Rkms} ist im Sinne unserer bisherigen Definition \ref{DeSt}. Die R"uckw"artskompatibilit"at des Stetigkeitsbegriffs ist damit gesichert. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{PrMe} Gegeben metrische R"aume $(X_i,d_i)$ f"ur $1\leq i\leq n$ machen wir ihr Produkt $X=X_{1}\times \ldots \times X_{n}$ zu einem metrischen Raum durch die {\bf Produktmetrik}\index{Produktmetrik} $$d(x,y)=\sup_{1\leq i\leq n} d_i(x_i, y_i)$$ f"ur $x=(x_1,\ldots, x_n)$ und $y=(y_1,\ldots, y_n)$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Betragsabstand auf $\Bbb{R}^{n+m}$ ist die Produktmetrik zu den Betragsabst"anden auf $\Bbb{R}^{n}$ und $\Bbb{R}^{m}$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Komponentenregel}] Seien $Z$ und $X_1,\ldots,X_n$ metrische R"aume und $f_i:Z\ra X_i$ Abbildungen.\label{SKo} Genau dann ist die Abbildung $f=(f_1,\ldots, f_n):Z\ra X_1\times\ldots\times X_n$ stetig, wenn alle $f_i$ stetig sind. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wenden wir diese Proposition an mit $f$ der Identit"at auf einem Produkt, so impliziert die Stetigkeit der Identit"at, da"s alle Projek\-tions\-abbildungen $\op{pr}_i:X_1\times\ldots\times X_n\ra X_i$ stetig sein m"ussen.\label{BKom} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da die Projektionen $\op{pr}_i$ Abst"ande zwischen Punkten nie vergr"o"sern, k"on\-nen wir ihre Stetigkeit direkt zeigen, indem \glqq wir jeweils $\delta=\varepsilon$ nehmen\grqq. Ist $f$ stetig, so sind folglich auch die $f_i=\op{pr}_i\circ f$ stetig als Verkn"upfungen stetiger Abbildungen. Sind umgekehrt alle $f_i$ stetig in $p$, so gibt es f"ur jedes $\varepsilon >0$ gewisse $\delta_i$ mit $d(p,z)<\delta_i\RA d_i(f_i(p),f_i(z))<\varepsilon$, wo $d_i$ die Metrik auf $X_i$ bezeichnet. Nehmen wir $\delta=\inf\delta_i$, so gilt $$d(p,z)<\delta\RA d(f(p),f(z))<\varepsilon$$ und das ist gleichbedeutend zu $f(\op{B}(p;\delta))\subset \op{B}(f(p);\varepsilon)$. \end{proof} \begin{Beispiel} Eine Abbildung $f=(f_1,\ldots,f_n):X\ra\DR^n$ aus einem metrischen Raum $X$ ist genau dann stetig, wenn alle ihre Komponenten $f_i: X\ra\DR$ stetig sind. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig}] Ist $X$ ein metrischer Raum und sind $f,g$ stetige Abbildungen $X\ra\Bbb{R}$, so sind auch $f+g$ und $fg$ stetige Abbildungen $X\ra \Bbb{R}$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir schreiben $f+g$ beziehungsweise $fg$ als die Verkn"upfung der nach der Komponentenregel \ref{SKo} stetigen Abbildung $X\ra\Bbb{R}^2$, $x\mapsto (f(x),g(x))$ mit der nach \ref{stadd} beziehungsweise \ref{stmult} stetigen Addition beziehungsweise Multiplikation $\op{add},\op{mult}:\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wir versehen den K"orper der komplexen Zahlen $\DC$ mit der Metrik $d(z,w)=|z-w|$. Man zeige, da"s das in der Tat eine Metrik ist, und da"s die Addition und die Multiplikation stetige Abbildungen $\DC\times\DC\ra\DC$ sind und das Bilden des Inversen eine stetige Abbildung $\DC^\times \ra \DC^\times$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s das Invertieren von Matrizen eine stetige Abbildung $\op{GL}(n;\DC)\ra \op{GL}(n;\DC)$ ist. Hinweis: Cramer'sche Regel \eref{CraRe}{LA1}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{ESDl} Sei $f:X\ra Y$ eine Abbildung von metrischen R"aumen, die Abst"ande nicht verkleinert, in Formeln $d(f(x),f(z))\geq d(x,z)\;\forall x,z\in X$. Man zeige, da"s $f$ injektiv ist und $f^{-1}:f(X)\ra X$ stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{lSte} Jede lineare Abbildung $f:\DR^k\ra\DR^n$ ist stetig. Jede multilineare Abbildung $f:\DR^{k(1)}\times\ldots\times \DR^{k(r)}\ra\DR^n$ ist stetig. \end{Ubung} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zur metrischen Stetigkeit}] F"ur jeden metrischen Raum bildet das System seiner im Sinne von \ref{metr} offenen Teilmengen eine Topologie, die \defind{metrische Topologie}. Wir fordern von einer Topologie {\em nicht}, da"s ein beliebiger Schnitt offener Mengen stets wieder offen sein mu"s: Sonst m\"{u}"sten ja in unserem Beispiel der metrischen R\"{a}ume alle einpunktigen Mengen offen sein, als Schnitte immer kleinerer B\"{a}lle. Da nach \ref{BaO} B"alle in metrischen R"aumen stets offen sind, ist in metrischen R"aumen eine Umgebung eines Punktes im topologischen Sinne \ref{UTRr} dasselbe wie eine Umgebung im metrischen Sinne \ref{UMe}. Insbesondere ist eine Abbildung zwischen metrischen R"aumen \glqq topologisch stetig\grqq\ im Sinne der obigen Definition \ref{MstT} genau dann, wenn sie \glqq metrisch stetig\grqq\ ist im Sinne unserer Definition \ref{Mst}. \end{Beispiel} \begin{Beispiele}\label{dTT} Es gibt auch Topologien, die unserer bis hierher entwickelten Anschauung eher ungewohnt sein m"ogen: Auf jeder Menge k"onnen wir etwa die \defind{Klumpentopologie} betrachten, die nur aus der ganzen Menge und der leeren Menge besteht, oder die {\bf diskrete Topologie}\index{diskret!Topologie}, bei der wir schlicht alle Teilmengen als offen ansehen. Einen topologischen Raum mit der diskreten Topologie nennen wir auch kurz einen \defnoind{diskreten Raum}. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}\label{zte} Jede konstante Abbildung ist stetig. Die Identit\"{a}t auf einem topologischen Raum ist immer stetig. Jede Abbildung in einen Raum mit der Klumpentopologie ist stetig. Jede Abbildung aus einem Raum mit der diskreten Topologie ist stetig. \end{Beispiele} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{De Morgan'sche Regeln}] Man verallgemeinere\index{de Morgan'sche Regeln} die Formeln aus \ref{VMRa}.\label{fDM} Genauer schreibe man in Formeln und zeige, da"s der Schnitt einer derartigen Vereinigung mit einer weiteren Menge die Vereinigung der Schnitte ist, die Vereinigung eines derartigen Schnitts mit einer weiteren Menge der Schnitt der Vereinigungen, das Komplement eines Schnitts die Vereinigung der Komplemente und das Komplement einer Vereinigung der Schnitt der Komplemente. Etwas allgemeiner zeige man f"ur zwei Familien $(A_i)_{i\in I}$ und $(B_j)_{j\in J}$ von Teilmengen einer Menge $X$ die Formeln $$\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap \left(\bigcup_{j\in J}B_j\right)=\bigcup_{(i,j)\in I\times J}(A_i\cap B_j)$$ $$\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup \left(\bigcap_{j\in J}B_j\right)=\bigcap_{(i,j)\in I\times J}(A_i\cup B_j)$$ Besonders Mutige zeigen f"ur eine durch eine Menge $A$ indizierte Familie $(X_{a})_{a\in A}$ von Teilmengen einer vorgegebenen Menge $X$ und eine beliebige Abbildung $g:A\ra J$ in eine weitere Menge $J$ die Formel $$\bigcap_{j\in J}\left(\bigcup_{g(a)=j}X_{a}\right)=\bigcup_{\substack{ s:J\ra A\\ g\circ s=\op{id}}}\left(\bigcap_{j\in J}X_{s(j)}\right)$$ Hier l"auft die Vereinigung rechts also "uber alle Schnitte $s:J\ra A$ von $g$. Durch "Ubergang zu den Komplementen folgert man die G"ultigkeit einer analogen Formel, in der $\cup$ und $\cap$ vertauscht sind. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ Abbildungen zwischen topologischen R"aumen. Ist $f$ stetig in $p\in X$ und $g$ stetig in $f(p)\in Y$, so ist $g\circ f$ stetig in $p$. Hinweis: \ref{VSA}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die durch den Betragsabstand auf $\DR^n$ gegebene Topologie f"allt zusammen mit der durch den Skalarproduktabstand gegebenen Topologie. Da nach \ref{lSte} in Bezug auf diese Topologien jede lineare, ja sogar jede multilineare Abbildung stetig ist,\label{natTop} k"onnen wir auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ seine {\bf nat"urliche Topologie} durch die Bedingung erkl"aren, da"s f"ur einen und jeden Vektorraumisomorphismus $\varphi:\DR^n\sira V$ sowohl $\varphi$ als auch $\varphi^{-1}:V\sira \DR^n$ stetig sein sollen. In derselben Weise erkl"aren wir die {\bf nat"urliche Topologie} auf jedem endlichdimensionalen reellen affinen Raum. \end{Ubung} \subsection{Grenzwerte in metrischen R"aumen} \nichtfinal{Gleich in topologischen R"aumen?} \begin{Bemerkungl} Ein Punkt $p$ eines metrischen Raums $X$ hei"st ein {\bf H"aufungspunkt von $X$}, wenn jede Umgebung von $p$ au"ser $p$ selbst auch noch weitere Punkte von $X$ enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben metrische R"aume $X,Y$ und ein H"aufungspunkt $p$ von $X$ und eine Abbildung $f:X\backslash p\ra Y$ gibt es h"ochstens eine Fortsetzung von $f$ zu einer Abbildung $\tilde f:X\ra Y$, die stetig ist bei $p$. Man zeigt das wie in \ref{ESF}. Wenn es so eine Fortsetzung gibt und sie durch den Wert $\tilde f(p)=y$ geschieht, so sagen wir, der {\bf Grenzwert von $f$ f"ur $x\ra p$ existiere in $Y$}\label{gmr} und schreiben $$\lim_{x\ra p}f(x)=y$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grenzwerte von Folgen in metrischen R"aumen}] Teilmengen von $\bar \DR$ binden wir in den Kontext des Grenzwertbegriffs \ref{gmr} f"ur metrische R"aume ein, indem wir irgendeine streng monotone Bijektion $[0,1]\sira \bar \DR$ w"ahlen und sie verwenden, um die Betragsmetrik von $[0,1]$ zu einer Metrik auf $\bar \DR$ zu "ubertragen, und uns "uberlegen, da"s Umgebungen und Grenzwerte nach der Stetigkeit von Umkehrfunktionen \ref{USS} nicht von der Wahl dieser Bijektion abh"angen. Vollst"andig befriedigend wird das erst im Kontext topologischer R"aume \ref{GeFuA}, der alle bis hierher behandelten F"alle in nat"urlicher Weise einschlie"st. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{GFM} Gegeben $\DN\ra Y$, $n\mapsto y_n$ eine Folge in einem metrischen Raum $Y$ und $y \in Y$ ein Punkt ist $$\lim_{n\ra \infty} y_{n} =y$$ dann gleichbedeutend dazu, da"s jede Umgebung von $y$ fast alle Glieder unserer Folge enth"alt. Wir sagen dann, die Folge $y_n$ {\bf strebt gegen $y$} oder {\bf konvergiert gegen $x$}\index{Konvergenz!von Folge in metrischem Raum} und nennen $y$ den {\bf Grenzwert der Folge}.\index{Grenzwert!von Folge!in metrischem Raum} Gleichbedeutend k"onnen wir auch fordern, da"s\index{lim@$\lim_{n\ra\infty}$ Grenzwert von Folge!in metrischem Raum} jeder Ball um $y$ fast alle Glieder unserer Folge enth"alt. \end{Beispiel} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoFo}\\ \noindent Illustration zur Konvergenz von Folgen. Eingezeichnet sind drei Umgebungen eines Punktes $x$, in jeder sollen fast alle Folgenglieder liegen. \end{figure} \begin{Beispiel}\label{MGK} Sei $D$ eine Menge und $X$ ein metrischer Raum. Auf dem Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,X)$\index{Ens@$\op{Ens}^{\op{b}}$ beschr"ankte Abbildungen} aller beschr"ankten Abbildungen $f:D\ra X$ kann man eine Metrik erkl"aren durch die Vorschrift $$d(f,g)=\op{sup}\{ d(f(p),g(p))\mid p\in D\}$$ im Fall $D\neq\emptyset$ und in offensichtlicher Weise im Fall $D=\emptyset$. Diese Metrik hei"st die {\bf Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz}.\index{Metrik!der gleichm"a"sigen Konvergenz} In der Tat ist f"ur $f_n,f$ im Funktionenraum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,\DR)$ mit dieser Metrik die Konvergenz $$\lim_{n\ra \infty} f_{n} =f$$ gleichbedeutend dazu, da"s die Abbildungen $f_n$ im Sinne unserer Definition \ref{DGKon} gleichm"a"sig gegen die Abbildung $f$ konvergieren. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Punktweise und gleichm"a"sige Konvergenz}] Sei $D$ eine Menge, $X$ ein metrischer Raum, $f_n:D\ra X$ eine Folge von Abbildungen und $f:D\ra X$ eine weitere Abbildung. \begin{enumerate} \item Wir sagen, die Folge der $f_n$ {\bf konvergiere punktweise} \index{Konvergenz!punktweise!von Abbildungen in metrischen Raum} gegen $f$, wenn gilt $\lim_{n\ra\infty}f_n(p)=f(p)$ f"ur alle Punkte $p\in D$. \item Wir sagen, die Folge der $f_n$ {\bf konvergiere gleichm"a"sig} \index{Konvergenz!gleichm"a"sige!von Abbildungen in metrischen Raum} gegen $f$, wenn es f"ur jedes $\varepsilon>0$ ein $N=N_\varepsilon$ gibt mit $$n\geq N\RA \left(d(f_n(p),f(p))<\varepsilon \;\forall p\in D\right)$$ \end{enumerate} \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{hh} Sei $(x_n,y_n)$ eine Folge im Produkt $X\times Y$ der metrischen R"aume $X$ und $Y$. Genau dann konvergiert unsere Folge gegen $(x,y)$, wenn $x_n$ gegen $x$ konvergiert und $y_n$ gegen $y$. Man formuliere und beweise auch die offensichtliche Verallgemeinerung auf beliebige endliche Produkte metrischer R"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur beschr"ankte Abbildungen von einer Menge $D$ in einen metrischen Raum $X$ ist auch in dieser Allgemeinheit gleichm"a"sige Konvergenz gleichbedeutend zur Konvergenz im Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,X)$ mit seiner eben erkl"arten \glqq Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KKB} F"ur jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist die Menge der Folgenglieder beschr"ankt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit als Folgenstetigkeit}]\label{KFOm} Sei $f:X\ra Y$ eine Abbildung von metrischen R"aumen. Genau dann ist $f$ stetig in $p$, wenn f"ur jede Folge $x_n$ mit\label{FGWv} $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$ gilt $\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) =f(p)$. Hinweis: \ref{FGW}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit komplexer Potenzreihen}]\label{sOm} Man zeige, da"s jede komplexe Potenzreihe eine stetige komplexwertige Funktion auf ihrer Konvergenzkreisscheibe $\{z\mid |z| 0$ mit $d(x,z)0})$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Der Schnitt von endlich vielen offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist offen. Die Vereinigung eines beliebigen Systems von offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist offen. Die leere Menge und der ganze Raum sind offen. In einem endlichen metrischen Raum ist jede Teilmenge offen und abgeschlossen. Die im Sinne unserer hier gegebenen Definition \glqq offenen\grqq\ Intervalle von $\Bbb{R}$ sind genau die Intervalle $(a,b)$ f"ur $a,b\in\bar{\Bbb{R}}$, als da hei"st, unsere \glqq offenen reellen Intervalle\grqq\ aus \ref{ORI}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AAA} Nimmt man zu einer Teilmenge $M$ eines metrischen Raums $X$ alle ihre Ber"uhrungspunkte hinzu, so erh"alt man eine abgeschlossene Menge, genauer: Die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ umfa"st. Diese Menge hei"st auch der {\bf Abschlu"s}\index{Abschlu"s!in metrischem Raum} von $M$ in $X$ und wird mit $\op{Cl}_X(M)=\op{Cl}(M) =\overline{M}$\index{Cl@$\op{Cl}_X(M)$ Abschlu"s von $M$} bezeichnet. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Diese Notation bei"st sich mit unserer Notation $\bar{\DR}$ f"ur die erweiterten reellen Zahlen, obwohl nat"urlich $\bar{\DR}$ schon auch der Abschlu"s von $\DR$ in $\bar{\DR}$ ist. Ich hoffe, da"s der Leser stets aus dem Kontext erschlie"sen kann, was im Einzelfall jeweils gemeint ist. Soweit ich es absch"atzen kann, werde ich $\bar{\DR}$ nie als Bezeichnung f"ur den Abschlu"s von $\DR$ in einem anderen Raum als eben in $\bar{\DR}$ selbst verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge} Sei $X$ ein metrischer Raum und seien $A,B \subset X$ disjunkte, abgeschlossene Teilmengen. So gibt es eine stetige Funktion $f: X \ra [0,1]$ mit $f|_A = 0$ und $f|_B =1$. Hinweis: Man betrachte $d_{A}$ wie in "Ubung \ref{dA} mache den Ansatz $f(z) = g(d_{A}(z), d_{B} (z))$ f"ur geeignetes $g: \Bbb{R}^{2} \backslash 0 \ra [0,1]$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Sei $X$ ein metrischer Raum, $z\in X$ ein Punkt, $r\in\DR$ eine reelle Zahl. So ist die Menge $\{ x\in X\mid d(x,z)\leq r\}$ abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $X$ ein metrischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge, so kann ihr Abschlu"s $\bar{A}$ in der Notation von \ref{dA} beschrieben werden\label{dAA} als die Menge $\bar{A}=\{ x\in X\mid d(x,A)=0\}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung metrischer R"aume,\label{GAbg} so ist ihr Graph eine abgeschlossene Teilmenge $\Gamma (f)\As X\times Y$. \end{Ubunge} \subsection{Nur noch "Ubungen zur Topologie} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SPTZ} Man zeige, da"s auf einer Teilmenge eines metrischen Raums die Spurtopologie zur metrischen Topologie mit der Topologie zur induzierten Metrik "ubereinstimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jeden topologischen Raum: Der Schnitt von zwei Umgebungen eines Punktes ist wieder eine Umgebung besagten Punktes. Jede Umgebung eines Punktes kann verkleinert werden zu einer offenen Umgebung desselben Punktes. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau dann, wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ROf} Sei $X$ ein topologischer Raum und $U\co X$ eine offene Teilmenge. So ist eine Teilmenge $M\subset U$ offen in $U$ genau dann, wenn sie offen ist in $X$. In Formeln gilt unter der Voraussetzung $U\co X$ f"ur Teilmengen $M\subset U$ also $(M\co U\IFF M\co X)$. \end{Ubung} \subsection{Abgeschlossene Teilmengen topologischer R"aume} \begin{Definition} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine Teilmenge $M\subset X$ gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $M$ umfa"st, n"amlich den Schnitt "uber alle\label{ToAb} abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen. Wir notieren diesen Schnitt $\op{Cl}_X(M)=\op{Cl}(M) =\bar{M}$\index{Cl@$\op{Cl}_X(M)$ Abschlu"s von $M$|main} und\index{)6a@$\bar{M}$ Abschlu"s von $M$|main} nennen sie den {\bf Abschlu"s}\index{Abschlu"s!topologischer|main} {\bf von $M$} oder genauer den {\bf Abschlu"s von $M$ in $X$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Diese Notation bei"st sich mit unserer Notation $\bar{\DR}$ f"ur die erweiterten reellen Zahlen. Ich hoffe, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist. Immerhin ist $\bar{\DR}$ auch der Abschlu"s von $\DR$ in den erweiterten reellen Zahlen mit ihrer Topologie aus \ref{BspT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SOMA} Eine Abbildung ist stetig genau dann, wenn darunter das Urbild jeder abgeschlossenen Menge\label{UA} abgeschlossen ist: Das folgt unmittelbar aus dem entsprechenden Satz \ref{SATR} f"ur offene Mengen, da das Urbild des Komplements einer Menge stets das Komplement ihres Urbilds ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir geben einen neuen Beweis f"ur die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert \ref{UGG}, der zwar nur f"ur reelle Folgen mit reellen Grenzwerten funktioniert, aber daf"ur viele M"oglichkeiten der Verallgemeinerung aufzeigt. Zun"achst ist die Menge $H=\{(x,y)\in\DR^2\mid x\leq y\}$ abgeschlossen in $\DR^2$ nach \ref{SOMA} als Urbild der abgeschlossenen Menge $[0,\infty)\As \DR$ unter der stetigen Abbildung $(x,y)\mapsto y-x$. Ist $(x_n,y_n)$ eine konvergente Folge in $H$, so liegt mithin auch ihr Grenzwert in $H$, und das bedeutet gerade die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer Teilmenge $Y$ zeige man: $A \As Y \Leftrightarrow \exists B \As X $ mit $A = B \cap Y$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ATIT} Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge. So ist eine Teilmenge $B\subset A$ abgeschlossen in $A$ unter der Spurtopologie genau dann, wenn $B$ abgeschlossen ist in $X$. In Formeln gilt unter der Voraussetzung $A\As X$ f"ur Teilmengen $B\subset A$ also $(B\As A\IFF B\As X)$. \label{OfO} %auch \label{RfO} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KOPM} Seien $X$ ein topologischer Raum und $Y,Z$ metrische R"aume. Man zeige, da"s eine Abbildung $(f,g):X\ra Y\times Z$ stetig ist\label{SPS} genau dann, wenn $f$ und $g$ stetig sind. Man zeige, da"s Produkt und Summe von stetigen reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum wieder stetig sind. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} In \eref{ProTo}{AN3} werden wir erkl"aren, wie man ganz allgemein das Produkt topologischer R"aume so mit einer Topologie versehen kann, da"s das Analogon der vorhergehenden "Ubung auch f"ur beliebige topologische R"aume $Y,Z$ gilt. \end{Bemerkungw} \newpage \section{Kompaktheit} \subsection{Kompakte metrische R\"{a}ume} \begin{Definition} Ein metrischer Raum hei\ss t {\bf kompakt},\index{kompakt!metrischer Raum} genauer {\bf folgenkompakt},\label{DMK} wenn jede Folge in unserem Raum eine konvergente Teilfolge besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Wir werden bald sehen, wie sich der Begriff der Kompaktheit im Fall allgemeiner topologischer R"aume in die beiden Begriffe \glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ aufspaltet. Im Fall metrischer R"aume fallen zwar beide Begriffe noch zusammen, aber bis zum Beweis dieser Tatsache in \ref{KO} mu"s man sie auch hier noch auseinanderhalten. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge $A$ eines metrischen Raums nennen wir kompakt oder auch ein \defind{Kompaktum}, wenn sie kompakt ist als metrischer Raum mit der induzierten Metrik, wenn also jede Folge in $A$ eine Teilfolge besitzt, die {\em gegen einen Punkt aus $A$} konvergiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompaktheit ist eine absolute Eigenschaft}] Man erliegt beim ersten Lernen leicht der Versuchung, die Begriffe \glqq offen\grqq, \glqq abgeschlossen\grqq\ und \glqq kompakt\grqq\ auf eine Stufe zu stellen. Ich will deshalb besonders betonen, da"s \glqq offen\grqq\ und \glqq abgeschlossen\grqq\ Eigenschaften sind, die ein Paar $(X\supset Y)$ bestehend aus einem metrischen Raum $X$ mit einer Teilmenge $Y$ hat oder nicht hat, wohingegen \glqq kompakt\grqq\ eine Eigenschaft ist, die ein metrischer Raum selbst hat oder nicht hat. Nat"urlich kann man Kompaktheit auch f"ur Teilmengen metrischer R"aume mit ihrer induzierten Metrik diskutieren. Die Begriffe \glqq offen\grqq\ und \glqq abgeschlossen\grqq\ dahingegen sind f"ur einen metrischen Raum allein nicht definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KMB} Jeder kompakte metrische Raum ist beschr"ankt. Ist in der Tat ein Raum nicht beschr"ankt, so finden wir darin eine Folge $x_{n}$ mit $d(x_0,x_{n}) \geq n$, und diese Folge kann nach \ref{KKB} keine konvergente Teilfolge haben. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{HH} Jedes endliche Produkt von kompakten metrischen R"aumen ist kompakt. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Der Satz von Tychonoff \eref{ST}{TM} besagt allgemeiner, da"s ein beliebiges Produkt von kompakten topolgischen R"aumen wieder kompakt ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Sei $X=X_1\times\ldots \times X_n$ mit kompakten $X_i$. Sei eine Folge in $X$ gegeben. Da $X_1$ kompakt ist, finden wir eine Teilfolge unserer Folge, die in der ersten Koordinate konvergiert. Da auch $X_2$ kompakt ist, finden wir von dieser Teilfolge hinwiederum eine Teilfolge, die auch in der zweiten Koordinate konvergiert. Indem wir so weitermachen, finden wir schlie"slich eine Teilfolge, die in jeder Koordinate konvergiert. Diese Teilfolge konvergiert dann nach \ref{hh} auch in $X$. \end{proof} \begin{Lemma} Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums ist stets abgeschlossen.\label{kba} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum und $A\subset X$ unsere Teilmenge. Ist $A$ nicht abgeschlossen, so gibt es eine Folge in $A$, die gegen einen Punkt aus $X\backslash A$ konvergiert. Solch eine Folge kann aber unm"oglich eine Teilfolge haben, die gegen einen Punkt aus $A$ konvergiert. \end{proof} \begin{Lemma} Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten metrischen Raums ist stets kompakt.\label{HHH} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum und $A\subset X$ unsere Teilmenge. Jede Folge in $A$ besitzt nach unseren Annahmen eine Teilfolge, die gegen einen Punkt aus $X$ konvergiert. Da $A$ abgeschlossen ist, mu"s dieser Punkt dann bereits in $A$ liegen. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Heine-Borel}] Eine Teilmenge des $ \Bbb{R}^{n}$ ist kompakt genau dann, wenn sie beschr\"{a}nkt und abgeschlossen ist.\label{BW} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{KMB} und \ref{kba} ist in einem metrischen Raum eine kompakte Teilmenge stets beschr"ankt und abgeschlossen. In der anderen Richtung wissen wir schon aus \ref{HB}, da"s f"ur jedes $k\geq 0$ das Intervall $[-k,k]$ kompakt ist. Falls eine Teilmenge $A\subset\Bbb{R}^{n} $ beschr"ankt ist, finden wir ein $k$ mit $A\subset[-k,k]^n$. Nach \ref{HH} ist nun $[-k,k]^n$ kompakt. Als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist nach \ref{HHH} dann auch $A$ selbst kompakt. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Menge $[0,1]\cap\DQ$ ist abgeschlossen in $\DQ$ und beschr"ankt, ist aber nicht kompakt f"ur die induzierte Metrik. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Unter einer stetigen Abbildung metrischer R"aume werden Kompakta stets auf Kompakta abgebildet.\label{bkk} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: X \ra Y$ unsere stetige Abbildung und $A \subset X$ ein Kompaktum. Ist $y_{n}$ eine Folge in $f(A)$, so finden wir eine Folge $x_{n}$ in $A$ mit $f(x_{n}) = y_{n}$. Falls $A$ kompakt ist, besitzt die Folge $x_{n}$ eine Teilfolge $x_{n_{k}}$, die gegen einen Punkt $x \in A$ konvergiert. Dann ist $y_{n_{k}}$ nach \ref{KFOm} eine Teilfolge der Folge $y_{n}$, die gegen einen Punkt von $f(A)$ konvergiert, n"amlich gegen $f(x)$. \end{proof} \begin{Korollar} Jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist beschr"ankt und nimmt, wenn unser Raum nicht leer ist, das Supremum und das Infimum der Menge\label{FKM} ihrer Funktionswerte an. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Ist also in Formeln $X$ ein nichtleerer kompakter Raum und $f:X \ra \Bbb{R}$ stetig, so gibt es $p,q\in X$ mit $f(p) \leq f(x)\leq f(q) \;\;\forall x\in X$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{bkk} ist $f(X)\subset \Bbb{R}$ kompakt, also beschr"ankt und abgeschlossen. Aus $X \neq \emptyset$ folgt weiter $f(X) \neq \emptyset$. Damit besitzt $f(X)$ ein Supremum und Infimum in $\Bbb{R}$. Da $f(X)$ kompakt, also abgeschlossen ist, folgt $\sup f(X) \in f(X)$ und $\inf f(X) \in f(X)$. Es gibt in anderen Worten $p,q \in X$ mit $\sup f(X) = f(p)$ und $\inf f(X) = f(q)$. \end{proof} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung von metrischen R"aumen hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig},\index{gleichm"a"sig stetig!bei metrischen R"aumen} wenn\index{stetig!gleichm"a"sig!bei metrischen R"aumen} es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ gibt derart, da"s f"ur beliebige Punkte $x,y$ im Definitionsbereich gilt $$d (x,y)< \delta\;\; \Rightarrow\;\; d (f(x),f(y)) <\varepsilon $$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}] Jede stetige Abbildung von\label{glsV} einem kompakten metrischen Raum in einen weiteren metrischen Raum ist gleichm"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Mutatis mutandis zeigt das der Beweis von Satz \ref{glst}. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Einen alternativen Beweis, der vom Begriff der "Uberdeckungskompaktheit \ref{koTO} ausgeht, geben wir in \eref{GSKg}{TM}. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{HHHm} Endliche Vereinigungen kompakter Teilmengen eines metrischen Raums sind stets wieder kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{Sko} Ist in einem metrischen Raum eine abz"ahlbare Familie kompakter Teilmengen $(K_n)_{n\in\DN}$ gegeben mit leerem Schnitt $\bigcap_{n\in \DN} K_n=\emptyset$, so gibt es schon ein $N$ mit $K_0\cap\ldots \cap K_N=\emptyset$. Das wird verallgemeinert auf den Fall beliebiger Familien in \ref{Skoa}. \end{Ubunge} \subsection{Affine R"aume*} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist ein Auszug aus Abschnitt \eref{daff}{LA1} der linearen Algebra. Ich habe ihn hier nur eingef"ugt, um Unklarheiten zu vermeiden was die im weiteren verwendeten Notationen und Begriffsbildungen angeht. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{daffan} Ein {\bf affiner Raum}\index{affin!Raum} oder kurz {\bf Raum}\index{Raum!affiner} "uber einem K"orper $k$ ist ein Tripel $$E=(E,\vec{E},a)$$ bestehend aus einer nichtleeren Menge $E$, einer abelschen Gruppe $\vec{E}\subset \op{Ens}^\times \! E$ von Permutationen von $E$, von der man fordert, da"s f"ur alle $p\in E$ das Anwenden auf $p$ eine Bijektion $\vec{E}\sira E$ besagter Gruppe mit unserem Raum liefert, sowie einer Abbildung $a:k\times \vec{E}\ra \vec{E}$, die die abelsche Gruppe $\vec{E}$ zu einem $k$-Vektorraum macht. Die Elemente von $\vec{E}$ hei"sen die {\bf Translationen}\index{Translation!von affinem Raum} oder {\bf Richtungsvektoren}\index{Richtungsvektor} unseres affinen Raums und den Vektorraum $\vec{E}$ selbst nennen wir den {\bf Richtungsraum}\index{Richtungsraum} unseres affinen Raums $E$. Die Operation von $k$ auf $\vec{E}$ mag man die {\bf Reskalierung von Translationen}\index{Reskalierung!von Translationen} nennen. Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!eines affinen Raums} unseres affinen Raums verstehen wir die Dimension seines Richtungsraums. Das Resultat der Operation von $\vec{v}\in \vec{E}$ auf $p\in E$ notieren wir $\vec{v}+p\pdef \vec{v}(p)$\index{+@$+$ Verschieben von Punkt um Richtungsvektor} oder manchmal auch $p+\vec{v}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Die eben eingef"uhrte Notation f"ur den Richtungsraum eines affinen Raums steht in Konflikt mit der Notation aus \eref{rPFf}{AN2}, nach der mit Pfeilen versehene Mannigfaltigkeiten orientierte Mannigfaltigkeiten andeuten sollen. Was jeweils gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $E$ ein affiner Raum, so liefert nach Annahme f"ur jedes $p\in E$ die Operation eine Bijektion $\vec{E}\sira E$, $\vec{u}\mapsto \vec{u}+p$ und es gilt $\vec{0}+p=p$ sowie $\vec{u}+(\vec{v}+p)=(\vec{u}+\vec{v})+p$ f"ur alle $\vec{u}, \vec{v}\in \vec{E}$ und $p\in E$. Flapsig gesprochen ist also ein affiner Raum ein \glqq Vektorraum, bei dem man den Ursprung vergessen hat\grqq. Gegeben $p,q\in E$ definieren wir $p-q$ als den Richtungsvektor $\vec{u}\in \vec{E}$ mit $p=\vec{u}+q$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorr"aume als affine R"aume}] Jeder Vektorraum $V$ kann als ein affiner Raum aufgefa"st werden, indem wir als Translationen\label{VRARa} die durch die Addition von festen Vektoren gegebenen Abbildungen nehmen, so da"s unsere Gruppe von Translationen das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus $V\ra \op{Ens}^\times(V)$, $v\mapsto (v+)$ wird, und die Reskalierung von Translationen dadurch erkl"aren, da"s dieser Gruppenhomomorphismus einen Vektorraumisomorphismus auf sein Bild liefern soll. Insbesondere erhalten wir damit eine kanonische Identifikation\index{trans@$\op{trans}$} $$\op{trans}:V\sira \vec{V}$$ zwischen unserem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums. Diese Identifikation scheint mir derart kanonisch, da"s ich sie von nun an in Sprache und Notation oft so behandeln werde, als seien diese beiden Vektorr"aume schlicht gleich. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Es scheint mir besonders sinnf"allig, den uns umgebenden Raum mathematisch als dreidimensionalen reellen affinen Raum zu modellieren: Hierbei denkt man sich $\vec{E}$ als die Gruppe aller \glqq Parallelverschiebungen\grqq. "Ahnlich mag man die Zeit modellieren als einen eindimensionalen reellen affinen Raum. Die leere Menge kann in meinen Konventionen nie ein affiner Raum sein, es gibt hierzu jedoch auch andere Konventionen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Meist findet man in der Literatur die begriffliche Variante eines {\bf affinen Raums "uber einem vorgegebenen Vektorraum}:\index{affin!Raum, "uber Vektorraum} Darunter versteht man dann eine Menge $E$ mit einer freien transitiven Operation des vorgegebenen Vektorraums. Ich ziehe die oben gegebene Variante vor, da sie jeden Bezug auf einen vorgegebenen Vektorraum vermeidet und den Anschauungsraum meines Erachtens besser modelliert. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Eine Abbildung $\varphi:E\ra E'$ zwischen affinen R"aumen hei"st eine \defnoind{affine Abbildung}\index{affin!Abbildung} genau dann, wenn es eine lineare Abbildung zwischen den zugeh"origen Richtungsr"aumen $\vec{\varphi}:\vec{E}\ra \vec{E}'$ gibt mit $$\varphi(p)-\varphi(q)= \vec{\varphi}(p-q)\;\;\forall p,q\in E$$ Diese lineare Abbildung $\vec{\varphi}$ ist dann durch $\varphi$ eindeutig bestimmt und hei"st der \defind{lineare Anteil} unserer affinen Abbildung. \end{Definition} % \begin{Ubung} % Jede Verkn"upfung affiner Abbildungen ist affin. Der lineare % Anteil einer Verkn"upfung affiner Abbildungen ist die % Verkn"upfung ihrer linearen % Anteile. % \end{Ubung} \subsection{Normierte R"aume} \begin{Bemerkungl}\label{reRE} Unter einem {\bf reellen Vektorraum}\index{Vektorraum!reeller}\index{reell!Vektorraum} beziehungsweise einem {\bf reellen Raum}\index{Raum!reeller}\index{reell!Raum} verstehen wir einen Vektorraum beziehungsweise einen affinen Raum "uber dem K"orper der reellen Zahlen. Wollen wir einen reellen Vektorraum beziehungsweise affinen Raum mit einer Metrik versehen, so reicht es, wenn wir jedem seiner Vektoren beziehungsweise Richtungsvektoren in geeigneter Weise eine \glqq L"ange\grqq\ zuordnen. Einen solchen abstrakten L"angenbegriff f"ur die Vektoren eines Vektorraums nennt man eine \glqq Norm\grqq. Die Details folgen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DN} Sei $V$ ein reeller Vektorraum. Eine {\bf Norm}\index{Norm!auf reellem Vektorraum} auf $V$ ist eine Abbildung $ \|\;\;\| :V \ra \Bbb{R}_{\geq 0}, v \mapsto \| v \| $ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $\| \lambda v\| = |\lambda | \cdot \| v \| \quad \forall v \in V, \lambda \in \Bbb{R} ;$ \item $ \| v \| =0 \Leftrightarrow v=0;$ \item $ \| v + w\| \leq \| v \| + \| w \| \quad \forall v,w \in V$. \end{enumerate} Unter einem {\bf normierten Vektorraum}\index{normiert!Vektorraum} versteht man ein Paar $(V,\|\;\|)$ bestehend aus einem Vektorraum $V$ und einer Norm $\|\;\|$ auf $V$. Fordert man nur die erste und dritte Bedingung, so spricht man von einer {\bf Halbnorm}.\index{Halbnorm} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} F"ur Leser, die schon mit komplexen Zahlen vertraut sind, sei noch erw"ahnt, da"s man von einer Norm auf einem komplexen Vektorraum st"arker fordert, da"s die erste Bedingung sogar f"ur alle $\lambda\in\DC$ gelten soll, wobei $|\lambda|$ als die \glqq Norm der komplexen Zahl $\lambda$\grqq\ im Sinne von \eref{DNcc}{LA1} zu verstehen ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Jeder normierte Vektorraum wird ein metrischer Raum vermittels der {\bf durch die Norm induzierten Metrik}\index{Metrik!zu Norm} $$d(v,w)=\|v-w\|$$ Zum Beispiel geh"ort unser Betragsabstand auf dem $\Bbb{R}^n$ zur Maximumsnorm. Wir d"urfen damit in normierten Vektorr"aumen "uber Stetigkeit und Konvergenz von Folgen reden. Allgemeiner verstehen wir unter einem {\bf normierten affinen Raum}\index{affin!Raum, normierter} einen reellen oder komplexen affinen Raum im Sinne von \ref{daffan}, dessen Richtungsraum mit einer Norm versehen ist. Auch jeder normierte affine Raum tr"agt eine nat"urliche Metrik, die durch dieselbe Formel beschrieben wird. Reden wir ohne n"ahere Spezifikation von einem {\bf normierten Raum},\index{normiert!Raum}\index{Raum!normierter} so meinen wir einen normierten affinen Raum. Leser, die mit dem Begriff eines affinen Raums noch nicht vertraut sind, m"ogen sich aber auch einen normierten Vektorraum denken. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Mit $v\mapsto \|v\|$ ist f"ur jedes $\al >0$ auch $v\mapsto \al \|v\| $ eine Norm. Auf dem Nullraum gibt es nur eine Norm, die eben den Nullvektor auf Null wirft. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{EuNN} Auf dem $\Bbb{R}^n$ definiert man die {\bf Skalarproduktnorm} eines Vektors $v=(v_1,\ldots ,v_n)$ durch $\| v \| =\| v \|_2= \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{v^{2}_{1}+\ldots + v^{2}_{n}}$. Wie man formal zeigt, da"s das tats"achlich eine Norm ist, wird in \eref{ENNo}{LA2} diskutiert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{SupN} Auf dem $\Bbb{R}^{n}$ f"ur $n>0$ definiert man die {\bf Maximumsnorm}\index{Maximumsnorm} von $v=(v_1,\ldots ,v_n)$ durch $| v| = \| v\|_{\infty} = \max (|v_{1}|,\ldots , |v_{n}|)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{SupN} Auf dem Raum $V=\op{Ens}^{\op{b}}(D,\DR)$ aller beschr"ankten reellwertigen Funktionen auf einer Menge $D$ haben wir die {\bf Supremumsnorm}\index{Supremumsnorm}, gegeben f"ur $D\neq \emptyset$ durch $$\| f\|_{\infty} =\sup \{|f(x)| \mid x\in D\}$$ und im Fall $D=\emptyset$ als die einzig m"ogliche Norm auf dem Nullraum. F"ur eine endliche Menge $D$ mit $n$ Punkten erhalten wir unsere Maximumsnorm auf dem $\Bbb{R}^n$ als Spezialfall der Supremumsnorm. Noch allgemeiner definieren wir f"ur jeden normierten Vektorraum $(W,|\;|)$ auf dem Raum $V=\op{Ens}^{\op{b}}(D,W)$ aller beschr"ankten Abbildungen von $D$ nach $W$ die Supremumsnorm durch $\| f\|_{\infty} =\sup \{|f(x)| \mid x\in D\}$ im Fall $D\neq \emptyset$ und im Fall $D=\emptyset$ als die einzig m"ogliche Norm auf dem Nullraum. Die zu unserer Supremumsnorm geh"orige Metrik ist in allen diesen F"allen die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sind $V_1,\ldots, V_n$ normierte Vektorr"aume, so erkl"aren wir auf ihrem Produkt $V_1\times\ldots\times V_n$ die \defind{Produktnorm} durch die Vorschrift $\|(v_1,\ldots, v_n)\|=\sup\|v_i\|$ im Fall $n>0$ und als die einzige Norm auf dem Nullraum im Fall $n=0$. Offensichtlich induziert die Produktnorm die Produktmetrik. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Stetigkeit linearer Abbildungen}] Eine lineare Abbildung zwischen normierten Vek\-tor\-r"aumen\label{SLA} $f: V\ra W$ ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante $C\geq 0$ gibt mit $$\|f(v)\|\leq C \|v\| \quad \forall v \in V$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir werden in \ref{Stg} sehen, da"s lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten reellen Vektorr"aumen immer stetig sind. Sie werden in \ref{ALST} sogar folgern, da"s lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen normierten reellen Vektorraum in einen beliebigen weiteren normierten reellen Vektorraum immer stetig sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $f$ stetig, so gibt es $\delta >0$ mit $\|v-0\| \leq\delta\Rightarrow\|f(v)-f(0)\|\leq 1$. Setzen wir $C=1/\delta$, so folgt $\|f(v)\|\leq C \|v\| $ zun"achst f"ur alle Vektoren $v$ der Norm $\|v\|=\delta$ und dann durch Multiplikation mit Skalaren f"ur alle $v\in V$. Gibt es umgekehrt ein $C>0$ mit $\|f(v)\|\leq C \|v\| \quad \forall v \in V$, so finden wir f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $\delta= \varepsilon/C > 0$ so da"s gilt \begin{equation*} \|v-w\| \leq\delta\;\;\Rightarrow\;\;\|f(v)-f(w)\| = \|f(v-w)\| \leq C \delta = \varepsilon\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Definition} Zwei Normen $\|\;\|$, $|\;|$ auf einem reellen Vektorraum $V$ hei"sen {\bf "aquivalent}\index{"aquivalent!Normen}, wenn es positive Konstanten $c,C > 0$ gibt mit $$\|v\| \leq C |v| \;\text{ und } \; |v| \leq c\|v\| \quad \forall v \in V$$ \end{Definition} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAQN}\\ \noindent Illustration zur "Aquivalenz von Normen am Beispiel der Betragsnorm und der Skalarproduktnorm auf dem $\DR^2$. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivalenz von Normen}] Auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum sind je zwei Normen "aquivalent.\label{AQN} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $V$ der $\Bbb{R}^n$ ist mit $n\geq 1$ und da"s eine unserer Normen die Maximumsnorm $|v|$ ist. Sei $\|\;\|$ eine zweite Norm. Bezeichnet ${\op{e}}_{1}, \ldots, {\op{e}}_{n}$ die Standardbasis des $\Bbb{R}^{n}$ und ist $v = v_{1}{\op{e}}_{1} + \ldots + v_{n}{\op{e}}_{n}$, so haben wir $$\begin{array}{lll} \|v\| &=& \|v_{1}{\op{e}}_{1}+ \ldots +v_{n}{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& |v_{1}| \cdot \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots +|v_{n}|\cdot \|{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& |v|\cdot C\end{array}$$ mit $C = \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots + \|{\op{e}}_{n}\|$. Insbesondere folgern wir, da"s $\| \;\| : \Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}$ eine $|\;|$-stetige Abbildung ist, also stetig f"ur die durch die Maximumsnorm $|\;|$ gegebene Metrik auf $\Bbb{R}^{n}$, denn aus $d(x,y)=|x-y|<{\varepsilon}/{C}$ folgt $|\|x\| - \|y\| | \leq \|x-y\| < \varepsilon$. Nun ist aber die Oberfl"ache $$F \pdef \{v\in \Bbb{R}^{n} \mid |v| =1\}$$ des Hyperkubus $|\;|$-kompakt nach \ref{BW} und nicht leer falls gilt $n\geq 1$. Nach \ref{FKM} nimmt folglich die Funktion $\|\;\|$ auf $F$ ein Minimum $a$ an, und da $F$ nicht den Nullvektor enth"alt, ist dies Minimum notwendig positiv, $a>0$. Wir folgern zun"achst einmal $a|v| \leq \|v\|$ f"ur alle $v \in F$. Dann gilt aber nat"urlich auch $a|\lambda v| \leq \|\lambda v\|$ f"ur alle $ \lambda \in \Bbb{R}$ und $v \in F$, also $a |w| \leq \|w\| \quad \forall w \in \Bbb{R}^{n}$. Mit $c=1/a$ gilt also $|w| \leq c\|w\| \quad \forall w \in \Bbb{R}^{n}$. \end{proof} \begin{proof}[Variante zum Schlu"s des vorhergehenden Beweises] Statt mit Kompaktheit zu argumentieren, kann man hier alternativ auch mit Induktion "uber $n$ und \glqq Vollst"andigkeit\grqq\ argumentieren, wenn man denn diesen Begriff bereits kennt. Die Argumentation verl"auft dann wie folgt: Wir betrachten die affinen Hyperebenen $ H_i=\{x\mid x_i=1\}$. Aus der Induktionsannahme k"onnen wir durch Widerspruch folgern, da"s es positive Konstanten $a_i>0$ gibt mit $$a_i \leq \|w\|\quad\forall w \in H_i$$ In der Tat g"abe es sonst in $H_i$ eine Folge $w_\nu$ mit $\|w_\nu\|\ra 0$ f"ur $\nu\ra\infty$. Diese Folge w"are im Sinne von \ref{DVEM} eine Cauchy-Folge f"ur die von $\|\;\|$ auf $H_i$ induzierte Metrik. Dann w"are sie aber wegen der "Aquivalenz der Normen nach der Induktionsannahme auch eine Cauchy-Folge f"ur die von der Maximumsnorm $|\;|$ auf $H_i$ induzierte Metrik und m"u"ste nach \ref{ABVV} konvergieren gegen einen Punkt $w\in H_i$ mit $\|w\|=0$. Widerspruch! Nun gibt es f"ur $v\in\DR^{n}\backslash 0$ stets $\lambda\in\DR$ mit $|\lambda|=|v|$ derart, da"s $\lambda^{-1} v$ in einer der affinen Hyperebenen $H_i$ liegt. Mit $a=\op{inf}(a_i)$ folgt $a \leq \|\lambda^{-1} v\|$ und $ |v|\leq c\| v\|$ f"ur $c=1/a$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{Stg} Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen normierten reellen Vektorr"aumen ist stetig. \end{Korollar} \begin{proof} Jeder Vektorraumisomorphismus zwischen endlichdimensionalen normierten reellen Vektorr"aumen ist stetig nach dem Satz "uber die "Aquivalenz von Normen \ref{AQN} und dem Kriterium f"ur die Stetigkeit linearer Abbildungen \ref{SLA}. So k"onnen wir uns beim Beweis des Korollars auf den Fall \ref{lSte} linearer Abbildungen $\DR^{n}\ra \DR^{m}$ zur"uckziehen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{RAVe} Wir nennen eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums \defnoind{offen}, wenn sie offen ist f"ur die von irgendeiner Norm auf seinem Richtungsraum induzierte Metrik. Nach unserem Satz \ref{AQN} "uber die "Aquivalenz von Normen ist sie dann notwendig offen f"ur jede von einer Norm induzierte Metrik. Die so erkl"arten offenen Teilmengen bilden die sogenannte \defnoind{nat"urliche Topologie}\index{Topologie!nat"urliche}\index{nat"urliche Topologie!auf reellen Raum} auf unserem endlichdimensionalen reellen Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{OPN} Ist $f: V\ra W$ eine stetige lineare Abbildung normierter Vektorr"aume, so hei"st die kleinstm"ogliche Konstante $C\geq 0$ wie in \ref{SLA} auch die {\bf Operatornorm}\index{Operatornorm} $\|f\|$ von $f$, in Formeln $$\|f\|=\sup \{\|f(v)\|\mid \|v\| \leq1\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{OPnn} Die stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen $V,W$ nennt man auch {\bf beschr"ankte Operatoren},\index{Operator!beschr"ankter}\index{beschr"ankt!Operator} da sie nach \ref{SLA} genau die linearen Abbildungen sind, die den Einheitsball auf eine beschr"ankte Menge abbilden. Ich notiere die Menge aller stetigen linearen Abbildungen $\cal{B} (V,W)$\index{B@$\cal{B} (V,W)$ beschr"ankte Operatoren} oder auch $\cal{B}_\DR (V,W)$, \index{B@$\cal{B}_\DR (V,W)$ beschr"ankte Operatoren} wenn ich besonders betonen will, da"s reell-lineare Abbildungen gemeint sind und nicht etwa \glqq komplex-lineare\grqq\ Abbildungen, wie wir sie sp"ater f"ur gew"ohnlich betrachten werden. Ich werde die Notation $\cal{B}$ benutzen, die Terminologie jedoch vermeiden und nach M"oglichkeit von \defnoind{stetigen Operatoren}\index{Operator!stetiger} reden, da diese ja keineswegs beschr"ankte Abbildungen im Sinne von \ref{BeAb} zu sein brauchen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein normierter Vektorraum $(V,\|\;\|)$ sind die folgenden Abbildungen stetig: Die Norm $\|\;\|:V\ra\Bbb{R}$, die Addition $V\times V\ra V$, und die Multiplikation mit Skalaren $\Bbb{R} \times V\ra V$. Ist unsere Norm die Skalarproduktnorm zu einem Skalarprodukt $V\times V\ra\Bbb{R}$, so ist auch dies Skalarprodukt stetig. Leser, die bereits mit komplexen Zahlen vertraut sind, zeigen Analoges auch f"ur komplexe Vektorr"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gruppenwege in normierten Vektorr"aumen}]\index{Gruppenweg!in normiertem Vektorraum} Die stetigen Gruppenhomomorphismen\label{AGH} von der additive Gruppe der reellen Zahlen in die additive Gruppe eines normierten reellen Vektorraums sind genau die linearen Abbildungen. Hinweis: \ref{SRR}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{EZOT} In einem normierten reellen Vektorraum ist jede nichtleere offene Teilmenge bereits ein Erzeugendensystem. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige: Jede stetige lineare Abbildung zwischen normierten Vektorr"aumen ist gleichm"a"sig stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SIn} Die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem Raum $X$ notiere ich $\cal{C}(X,\DR)$. \index{C@$\cal{C}(X,\DR)$ stetige reellwertige Funktionen auf $X$} Das $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ und franz"osisch \glqq continu\grqq. Man zeige: Versehen wir die Menge $\cal{C}([a,b],\Bbb{R})$ aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten reellen Intervall $[a,b]$ mit der Supremumsnorm, so wird das Integral $f\mapsto \int_a^b f(t)\diff t$ eine stetige Abbildung $\cal{C}([a,b],\Bbb{R})\ra\Bbb{R}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bezeichnet $\cal{C}^1([a,b],\Bbb{R})\subset \cal{C}([a,b],\Bbb{R})$ den Teilraum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen, so ist das Ableiten $f\mapsto f'$ \emph{keine} stetige Abbildung $\cal{C}^1([a,b],\Bbb{R})\ra \cal{C}([a,b],\Bbb{R})$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SML} Seien $U$, $V$, $W$ normierte Vektorr"aume. Eine bilineare Abbildung $F:U\times V\ra W$ ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt mit $\|F(u,v)\|\leq C\|u\| \|v\|$. Man formuliere und beweise die analoge Aussage auch f"ur multilineare Abbildungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Menge $D$ und ein normierter Vektorraum $V$ erkl"are man auf dem Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(D,V)$ der beschr"ankten Abbildungen $D \ra V$ eine Norm derart, da"s die zugeh"orige Metrik die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz aus \ref{MGK} wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ALST} Jede lineare Abbildung von einem endlichdimensionalen Vektorraum in einen normierten Vektorraum $W$ ist stetig. Sind allgemeiner endlichdimensionale Vektorr"aume $V_1,\ldots,V_n$ gegeben, so ist jede multilineare Abbildung $V_1\times\ldots \times V_n\ra W$ stetig. Hinweis: Das Bild liegt immer in einem endlichdimensionalen Teilraum. Man erinnere \ref{Stg} und \ref{lSte}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SMu} Sind $f:V\ra W$ und $g:W\ra X$ stetige Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen, so gilt $\|g\circ f\|\leq \|g\| \|f\|$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OPn} Man zeige: Der Raum $\cal{B} (V,W)$ aller stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen $V,W$ ist ein Untervektorraum im Raum $\op{Hom} (V,W)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$, und die in \ref{OPN} eingef"uhrte Abbildung $f \mapsto \|f\|$ ist eine Norm auf $\cal{B} (V,W)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{ALSTm} Sind normierte Vektorr"aume $V_1,\ldots,V_n$ und $W$ gegeben und ist $f:V_1\times\ldots \times V_n\ra W$ eine stetige multilineare Abbildung, so hei"st die kleinstm"ogliche Konstante $C\geq 0$ wie in \ref{SML} die {\bf Norm}\index{Norm!von multilinearer Abbildung} von $f$ und wird notiert $$\|f\|\pdef\sup \{\|f(v_1,\ldots,v_n)\|\mid \|v_i\| \leq 1\}$$ Man zeige, da"s wir so eine Norm auf dem Vektorraum $\cal{B}(V_1,\ldots, V_n; W)$ aller stetigen multilinearen Abbildungen erhalten. Weiter zeige man: Die offensichtliche Abbildung liefert einen Isomorphismus von normierten R"aumen $$\cal{B}(V_1,\cal{B}(V_2,\ldots ,V_n; W))\sira \cal{B}(V_1,\ldots , V_n; W)$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{KRNo} Seien $V$ ein komplexer Vektorraum und $\| \; \|$ eine Norm als reeller Vektorraum, also $\| \lambda v \| = | \lambda | \|v \|\; \forall \lambda \in \mathbb R$. Wir nehmen an, da"s die Multiplikation mit komplexen Skalaren $\mathbb C \times V \rightarrow V$ stetig ist. Man zeige, da"s wir dann mit dem Supremum "uber komplexen Zahlen $\alpha$ auf dem Einheitskreis $\| v \|_c \pdef\sup_{|\alpha | = 1} \|\alpha v \|$ eine Norm $\| \; \|_c$ auf $V$ als komplexer Vektorraum erhalten, und da"s diese Norm "aquivalent ist zu unserer urspr"unglichen Norm. \end{Ubung} \subsection{"Uberdeckungen kompakter metrischer R"aume} \begin{Definition} Sei $X$ eine Menge. Unter einer \defind{"Uberdeckung} von $X$ versteht man ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $X$, in Formeln ausgedr"uckt $X= \bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Unter einer \defind{Teil"uberdeckung} einer "Uberdeckung $\cal{U}$ versteht man ein Teilsystem $\cal{V}\subset \cal{U}$, das auch selbst schon eine "Uberdeckung ist. \end{Definition} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=12cm]{SkriptenBilder/BildUb}\\[4mm] \noindent Eine "Uberdeckung eines Quadrats durch vier Kreisscheiben \end{figure} \begin{Definition} Unter einer {\bf offenen "Uberdeckung}\index{offene "Uberdeckung} eines metrischen Raums oder allgemeiner eines topologischen Raums versteht man eine "Uberdeckung, die aus offenen Teilmengen besteht. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Kompaktheit und offene Mengen}] Ein metrischer Raum ist folgenkompakt genau dann, wenn jede offene "Uberdeckung unseres Raums\label{KO} eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich hoffe, da"s Sie im weiteren Verlauf dieser Vorlesung noch sehen werden, wie wichtig diese Charakterisierung der Kompaktheit ist. Im Kontext topologischer R"aume wird Satz \ref{KO} sogar die Definition der Kompaktheit. Sie ist so wichtig, da"s ich sie nicht im Flie"stext verstecken will. Eine ausf"uhrlichere Diskussion des Begriffs geben wir in \eref{aKoR}{AN3} und sehr "ahnlich auch in \eref{KoR}{TM}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} % \eref{DeKom}{ML}: Ein topologischer Raum hei"st {\bf kompakt}\index{kompakt!topologischer Raum} und manchmal auch ausf"uhrlicher {\bf "uberdeckungskompakt},\index{"uberdeckungskompakt} wenn jede offene "Uberdeckung unseres Raums\label{koTO} eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In dieser Terminologie besagt unser Satz \ref{KO}, da"s ein metrischer Raum genau dann folgenkompakt ist, wenn er "uberdeckungskompakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Nennen wir einen topologischen Raum kompakt, so meinen wir a priori "uberdeckungskompakt. Topologische R"aume mit der Eigenschaft, da"s jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, hei"sen dahingegen \defind{folgenkompakt}. In der franz"osischen Literatur ist eine abweichende Terminologie "ublich: Unsere "uberdeckungskompakten oder kurz kompakten topologischen R"aume hei"sen dort \defind{quasikompakt}, und \glqq kompakt\grqq\ meint dort \glqq "uberdeckungskompakt und Hausdorff\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ein Beispiel f"ur einen folgenkompakten aber nicht "uberdeckungskompakten topologischen Raum finden Sie in \eref{GFKl}{TM} oder \eref{FKNU}{AL}. \nichtfinal{Ein Beispiel f"ur einen "uberdeckungskompakten aber nicht folgenkompakten topologischen Raum finden Sie in \eref{GFBV}{WB}.} Besitzt ein "uberdeckungskompakter topologischer Raum die zus"atzliche Eigenschaft, da"s man f"ur jeden seiner Punkte eine Folge von Umgebungen derart finden kann, da"s jede seiner Umgebungen mindestens eine Umgebung dieser Folge umfa"st, so ist er auch folgenkompakt mit demselben Argument, wie wir es im Beweis des Satzes verwenden. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{KO}] Sei $X$ ein metrischer Raum. Ist $X$ nicht folgenkompakt, so finden wir in $X$ eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Dann besitzt jeder Punkt von $X$ eine offene Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enth"alt, und alle diese offenen Umgebungen bilden eine offene "Uberdeckung von $X$ ohne endliche Teil"uberdeckung. Das zeigt die eine Richtung. Den Beweis der anderen Richtung beginnen wir mit einem Lemma, das auch f"ur sich genommen oft hilfreich ist. \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckungssatz von Lebesgue}] Ist $X$ ein folgenkompakter metrischer Raum und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung\label{UbL} von $X$, so gibt es $\varepsilon > 0$ derart, da"s f"ur alle Punkte $x\in X$ der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um $x$ ganz in einer der "uberdeckenden offenen Mengen $U\in\cal{U}$ enthalten ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] G"abe es kein solches $\varepsilon > 0$, so k"onnten wir f"ur jedes $n\in\DN_{\geq 1}$ einen Punkt $x_n\in X$ finden derart, da"s $\op{B}(x_n;1/n)$ in keinem $U\in\cal{U}$ enthalten w"are. Durch "Ubergang zu einer Teilfolge k"onnten wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s die Folge der $x_n$ konvergiert, etwa gegen $x\in X$. Nun finden wir jedoch ein $U\in\cal{U}$ mit $x\in U$ und dazu $\rho>0$ mit $\op{B}(x;\rho)\subset U$ und dazu $N$ mit $d(x_N,x)<\rho/2$ und $1/N<\rho/2$, und dann g"alte $\op{B}(x_N;1/N)\subset\op{B}(x_N;\rho/2)\subset\op{B}(x;\rho)\subset U$ im Widerspruch zur Wahl der $x_n$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Man betrachte die Funktion $f:X\ra\DR_{>0}$ gegeben durch die Vorschrift $$f(x)\pdef\op{sup}\{r\leq 1\mid \text{Es gibt $U\in\cal{U}$ mit $\op{B}(x;r)\subset U$}\}$$ Die Dreiecksungleichung liefert $|f(x)-f(y)|\leq d(x,y)$, insbesondere ist $f$ stetig. Sicher d"urfen wir $X\neq \emptyset$ annehmen. Dann nimmt $f$ nach \ref{FKM} sein Minimum an und jede positive Zahl echt unterhalb dieses Minimums ist ein m"ogliches $\varepsilon$. \end{proof} \noindent Um die andere Implikation im Satz zu zeigen sei nun $X$ folgenkompakt und $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Es gilt zu zeigen, da"s sie eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. W"ahlen wir zu unserer "Uberdeckung $\cal{U}$ ein $\varepsilon$ wie im "Uberdeckungssatz \ref{UbL}, so reicht es auch zu zeigen, da"s es eine endliche Teilmenge $E \subset X$ gibt mit $$X = \bigcup_{x \in E} \op{B}(x;\varepsilon)$$ In der Tat liegt ja der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um ein beliebiges $x \in X$ nach Wahl von $\varepsilon$ schon in einem der $U\in\cal{U}$. G"abe es aber f"ur ein $\varepsilon > 0$ keine endliche "Uberdeckung von $X$ durch $\varepsilon$-B"alle, so k"onnten wir induktiv eine Folge $(x_{n})_{n \in \DN}$ konstruieren mit $x_{n}\not\in \bigcup_{0\leq\nu < n} \op{B}(x_{\nu};\varepsilon)$ f"ur alle $n$, also $d(x_{n},x_{m}) \geq \varepsilon$ f"ur $n \neq m$, und diese Folge k"onnte keine konvergente Teilfolge haben, im Widerspruch zur Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine Menge. Unter einer {\bf "Uberdeckung einer Teilmenge}\index{"Uberdeckung!einer Teilmenge} $Y\subset X$ durch Teilmengen von $X$ versteht man ein Mengensystem $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ mit $Y\subset\bigcup_{U\in\cal{U}} U$. Nach unseren Definitionen ist eine Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ kompakt f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn jede "Uberdeckung von $Y$ durch offene Teilmengen von $X$ eine endliche Teil"uberdeckung besitzt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtleere Schnitte in Kompakta}] Ist in einem kompakten topologischen Raum $X$ ein System abgeschlossener Teilmengen $\cal{K}\subset \cal{P}(X)$ mit\label{Skoa} leerem Schnitt $\bigcap_{K\in\cal{K}} K=\emptyset$ gegeben, so gibt es bereits ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{K}$ mit leerem Schnitt $\bigcap_{K\in \cal{E}} K=\emptyset$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Satz\index{Dini, Satz von} von Dini}] Eine monoton wachsende Folge stetiger reellwertiger Funktionen auf einem kompakten Raum,\label{Dini} die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, konvergiert sogar gleichm"a"sig. Hinweis: \ref{Skoa}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Abbildung kompakt ist f"ur die Spurtopologie. Insbesondere ist jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum beschr"ankt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{RABB} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen "Uberdeckung $\mathcal U$ zeige man: Eine Teilmenge $Y$ unseres Raums ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit jeder Teilmenge unserer "Uberdeckung abgeschlossenen Schnitt hat, in Formeln $$Y\As X\;\;\IFF \;\; (Y\cap U)\As U\;\forall U\in\mathcal U$$ Die fraglichen Schnitte sollen hierbei abgeschlossen sein in $U$, nicht in $X$. \end{Ubunge} \subsection{Integrale mit Parametern} \begin{Satz}[\defnoind{"uber Integrale mit Parametern}]\label{PI} Gegeben ein metrischer Raum $X$ und eine stetige Funktion $f: X \times [a,b] \ra \Bbb{R}$ ist auch die Funktion $ X \ra \Bbb{R}$, $x\mapsto \int^{b}_{a} f(x,t) \diff t $ stetig. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich zeige diesen Satz in gro"ser Allgemeinheit als Anwendung unserer neuen Charakterisierung der Kompaktheit und als Illustration f"ur die Kraft der allgemeinen Theorie metrischer R"aume. Ist $X$ offen oder abgeschlossen in einem $\DR^n$, so kann man auch elementarer mit der gleichm"a"sigen Stetigkeit argumentieren. Diesen Beweis gebe ich als Alternative auch noch an. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Versehen wir den Raum $\cal{C}( [a,b],\Bbb{R})$ aller stetigen reellwertigen Funktionen auf $[a,b]$ mit der Supremumsnorm, so ist nach dem gleich folgenden Satz \ref{PII} die von $f$ induzierte Abbildung $\tilde{f}:X\ra \cal{C}( [a,b],\Bbb{R})$, $x\mapsto f(x,\;)$ stetig. Nach "Ubung \ref{SIn} ist weiter das Integrieren $\int:\cal{C}( [a,b],\Bbb{R})\ra\DR$ stetig. Damit ist unsere Abbildung $\int\circ \tilde{f}:X\ra\DR$ stetig als eine Verkn"upfung stetiger Abbildungen. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis] Ist $X$ offen oder abgeschlossen in einem $\DR^n$, so kann man auch elementarer argumentieren. Zun"achst reicht es ja, die Stetigkeit an jeder Stelle $x\in X$ nachzuweisen. Mit dieser "Uberlegung k"onnen wir uns leicht auf den Fall zur"uckziehen, da"s $X$ kompakt ist. Dann ist aber auch $X\times [a,b]$ kompakt und nach \ref{glsV} ist $f$ dort gleichm"a"sig stetig. F"ur alle $\varepsilon >0$ gibt es insbesondere $\delta >0$ mit $$|x-y|<\delta\;\RA \; |f(x,t)-f(y,t)|<\varepsilon\text{ f"ur alle }t\in[a,b].$$ Aus $|x-y|<\delta$ folgt mithin $$ \left|\int^{b}_{a} f(x,t)\diff t -\int^{b}_{a}f(y,t)\diff t \right| \leq \int^{b}_{a} |f(x,t) -f(y,t)|\diff t\leq(b-a)\varepsilon $$ und das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{TopD} Den Raum aller stetigen Abbildungen von einem kompakten Raum $X$ in einen metrischen Raum $Y$, versehen mit der Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz, wird $\cal{C}(X,Y)$ notiert.\index{C@$\cal{C}(X,Y)$ Raum stetiger Abbildungen} Das $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ und franz"osisch \glqq continu\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Stetige Abbildungen in Abbildungsr"aume}] Seien $X,Y$ und $K$ metrische R"aume.\label{PII} Ist $K$ kompakt, so ist eine Abbildung $f:X\times K\ra Y$ stetig genau dann, wenn die induzierte Abbildung $\tilde{f}:X\ra \cal{C}(K,Y)$ stetig ist f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz auf $\cal{C}(K,Y)$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Da"s aus der Stetigkeit von $\tilde{f}$ die Stetigkeit von $f$ folgt, sieht man ohne weitere Schwierigkeiten. Wir zeigen nun die andere Richtung und m"ussen die Stetigkeit von $\tilde{f}$ an jeder Stelle $p \in X$ nachweisen. Sei diese Stelle $p$ ab jetzt fest gew"ahlt und sei $\varepsilon >0$ gegeben. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ gibt es f"ur jedes $s \in K$ ein $\delta_{s} > 0$ mit $$f\op{B}((p,s);\delta_{s}) \subset\op{B}( f(p,s); \varepsilon)$$ Nun gilt f"ur unsere Metrik auf $X\times K$ ja $\op{B}((p,s);\delta)=\op{B}(p;\delta)\times\op{B}(s;\delta)$ und nach \ref{KO} gibt es eine endliche Teilmenge $E\subset K$ mit $K \subset \bigcup_{s\in E} \op{B}(s;\delta_{s})$. \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildXK}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Satz \ref{PII}. Die mit gestrichelten R"andern eingezeichneten Quadrate sind so gew"ahlt, da"s unsere Abbildung $f$ auf jedem Quadrat h"ochstens um den Abstand $\varepsilon$ von ihrem Wert im Zentrum des jeweiligen Quadrats abweicht. Die gepunktelten Linien begrenzen einen Streifen der Breite $2\eta$, in dem unsere Funktion auf jeder Vertikalen h"ochstens um $2\varepsilon$ von ihrem Wert am Schnittpunkt der besagten Vertikalen mit der fett eingezeichneten Horizontalen abweicht. \end{figure} F"ur $\eta =\min_{s\in E } \delta_s$ behaupten wir dann $$x\in \op{B}(p;\eta)\; \Rightarrow\; d(f(x,t), f(p,t) )< 2\varepsilon \;\;\forall t\in K$$ In der Tat finden wir f"ur jedes $t\in K$ ein $s\in E$ mit $t \in \op{B}(s;\delta_{s})$ und f"ur dies $s$ liegen $(p,t)$ und $(x,t)$ beide in $\op{B}((p,s);\delta_{s})$. Damit ist die Stetigkeit von $\tilde{f}$ bei $p$ gezeigt. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXResteAN1" %%% End: