\section{Raumwertige Funktionen und Schwingungen} \subsection{Bogenl"ange und Geschwindigkeit} \begin{Bemerkungl} Gegeben $v=(v_1,\ldots, v_n)\in\DR^n$ setzen wir $$\|v\|\pdef \sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2}$$ und nennen diese Zahl die {\bf Skalarproduktnorm} oder kurz {\bf L"ange von $v$}.\index{Skalarproduktnorm}\index{L"ange} Offensichtlich haben wir $\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$ f"ur alle $\lambda\in\DR$. Auf der Schule und in der Linearen Algebra lernen Sie, inwieweit $\|v\|$ dem entspricht, was wir anschaulich die \glqq L"ange des Vektors $v$\grqq\ nennen w"urden, und da"s f"ur alle $v,w\in\DR^n$ die {\bf Dreiecksungleichung} $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[hbt]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0009} \\[4mm] \noindent Eine Approximation eines Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \begin{Definition}\label{BOLLn} Gegeben ein Intervall $I \subset \Bbb{R}$ und eine Abbildung $\gamma:I\ra \DR^n$ erkl"aren wir die \defnoind{L"ange}\index{L"ange!eines Weges}\index{L@${\op{L}}(\gamma)$ L"ange eines Weges} ${\op{L}}(\gamma) \in \bar{\Bbb{R}}$ von $\gamma$ als das Supremum "uber \glqq die L"angen aller einbeschriebenen Polygonz"uge\grqq, in Formeln $${\op{L}}(\gamma) \pdef \op{sup} \left.\left\{\sum^{r-1}_{i=0} \| \gamma (t_{i}) - \gamma (t_{i+1}) \| \right| t_{0}, \ldots, t_{r} \in I, \;t_{0}\leq \ldots \leq t_{r}\right\}$$ Man spricht in diesem Zusammenhang meist von der \defind{Bogenl"ange} und nennt eine stetige Abbildung $\gamma:\DR\supset I\ra \DR^n$ wie oben einen {\bf Weg} in $\DR^n$. \end{Definition} \begin{figure}[hbt]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBa} \\[4mm] \noindent Eine bessere Approximation desselben Weges durch einen Polygonzug \end{figure} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist die Bogenl"ange \glqq invariant unter Reparametrisierung\grqq. In Formeln haben wir st"arker sogar f"ur jede monotone Surjektion $\psi : J \ra I $\label{ILRPn} offensichtlich ${\op{L}} (\gamma \circ \psi) = {\op{L}}(\gamma)$. Unsere Definition der Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP} bedeutet in dieser Terminologie $\pi \pdef {\op{L}} (\gamma)$ f"ur $\gamma : [-1,1] \ra \Bbb{R}^{2}$, $x \mapsto (x, \sqrt{1-x^{2}})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Geschn} Seien $\gamma :\DR\supset D\ra \DR^n$ eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge der Zahlengerade nach $\DR^n$ und sei $p\in D$ ein Punkt. Wir nennen $\gamma $ {\bf differenzierbar bei $p$}, wenn es einen Vektor $v\in\DR^n$ gibt mit \begin{figure}[hbt] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0010} \\ \noindent Denken wir uns $t$ als Zeit, so mag man $\gamma'(p)$ auch den \glqq Geschwindigkeitsvektor\grqq\ nennen. Er ist stets tangential an die Bahnkurve. Seine L"ange h"angt jedoch von der Anzeige des Tachometers ab, wenn wir uns hier mal ein Auto denken, das auf einem Fu"sballfeld herumkurvt. Dieser Aspekt ist in einem Bild leider schwer darzustellen. \end{figure} $$v =\lim_{t\ra 0}\frac{\gamma (p+t)-\gamma (p)}{t} $$ Dann schreiben wir $\gamma ^{\prime} (p)\pdef v$ und nennen $\gamma ^{\prime} (p)$ die {\bf Ableitung von $\gamma$ bei $p$}\index{Ableitung!vektorwertige} oder den {\bf Ableitungsvektor}\index{Ableitungsvektor} oder, wenn wir uns $t$ als Zeit denken, den {\bf Geschwindigkeitsvektor}. Die L"ange $\|\gamma ^{\prime} (p)\|$ des Geschwindigkeitsvektors nennen wir die {\bf absolute Geschwindigkeit}.\index{Geschwindigkeit!absolute} Ist $\gamma $ differenzierbar an allen Stellen $p\in D$, so nennen wir $\gamma $ {\bf differenzierbar}\index{differenzierbar!vektorwertige Funktion} oder genauer {\bf differenzierbar auf $D$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $\gamma :\DR\supset D\ra \DR^n$ eine Abbildung von einer halboffenen Teilmenge $D\subset\DR$ nach $\DR^n$ und sei $p\in D$ ein Punkt. Nach unseren Regeln "uber komponentenweise Grenzwerte ist $\gamma=(\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$ differenzierbar bei $p$ genau dann, wenn alle $\gamma_i:D\ra\DR$ differenzierbar sind bei $p$, und dann haben wir $$\gamma'(p)=(\gamma_1'(p),\ldots,\gamma_n'(p))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur Abbildungen $\gamma :\DR\supset D\ra \DC$ stimmt unsere hier erkl"arte Ableitung "uberein mit der reell-komplexen Ableitung komplexwertiger Funktionen aus \ref{Ablk}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Lamento "uber das Arbeiten ohne Einheiten}] Eigentlich sollte man sich mehr M"uhe geben, um guten Gewissens von L"ange und Geschwindigkeit reden zu k"onnen. Ich w"urde gerne einen \glqq euklidischen Raum\grqq\ einf"uhren als einen endlichdimensionalen reellen affinen Raum $E$ mit einer ausgezeichneten Gerade von Bilinearformen auf dem zugeh"origen Richtungsraum $\vec E$, die auch Skalarprodukte enth"alt, und dazu einen orientierten eindimensionalen Vektorraum $\mathbb L=\mathbb L(\vec E)$ konstruieren, seine \glqq L"angengerade\grqq. Dann konstruiert man die \glqq L"ange\grqq\ als eine Abbildung $$\|\;\|:\vec E\ra \mathbb L$$ Danach postuliert man einen orientierten eindimensionalen affinen Raum $\mathbb T$ der \glqq Zeitpunkte\grqq, diskutiert differenzierbare Abbildungen $\gamma: \mathbb T\supset D\ra E$ und erh"alt als Geschwindigkeitsvektor bei $p\in D$ ein Element $\dot\gamma(p)\in\op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb T},\vec E )$. Die absolute Geschwindigkeit schlie"slich wird eine orientierungserhaltende lineare Abbildung $\|\dot\gamma(p)\|\in \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb T},\mathbb L)$. Das w"are aussagekr"aftiger als schlicht $E=\vec E=\DR^n$ und $\mathbb T=\vec{\mathbb T}=\mathbb L=\DR$ zu identifizieren. Dazu m"u"ste ich aber auf entsprechender Vorarbeit aus der Linearen Algebra aufbauen, und selbst wenn ich das d"urfte, w"are es zu viel Begrifflichkeit f"ur einen Abschlu"s des ersten Semesters. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0011} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine nicht konvexe Teilmenge der Ebene \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wie in \eref{DeKK}{LA1} hei"st eine Teilmenge des $\DR^n$ {\bf konvex},\index{konvex!in $\DR^n$} wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze die beiden Punkte verbindende Geradensegment enth"alt. Eine Teilmenge des $\DR^n$ hei"st {\bf offen},\index{offen!in $\DR^n$} wenn sie eine Umgebung eines jeden ihrer Punkte ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur alle $\varepsilon>0$ und $p\in\DR^n$ ist sowohl der in \ref{Qudd} eingef"uhrte Quader $\op{B}(p;\varepsilon)\pdef \{x\in\DR^n\mid |p-x|<\varepsilon \}$ als auch der {\bf euklidische Ball} $\op{B}_2(p;\varepsilon)\pdef \{x\in\DR^n\mid \|p-x\|<\varepsilon \}$ offen und konvex. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Schrankensatz}\index{Schrankensatz}] Seien $a< b$ reelle Zahlen und $\gamma : [a,b] \ra \DR^n$\label{MWSn} differenzierbar. Ist $C \co \DR^n$ eine offene konvexe Teilmenge und gilt $ \gamma '(t) \in C$ f"ur alle $t\in [a,b]$, so folgt $$\gamma (b) - \gamma (a) \in (b-a)C$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Der Satz gilt genauso f"ur $C$ konvex und \glqq abgeschlossen\grqq, da wir so ein $C$ schreiben k"onnen als den Schnitt der offenen konvexen Mengen $C=\bigcap_{\eta>0}(C+\op{B}(0;\eta))$. \end{Bemerkungw} %\begin{Bemerkungl} %Man folgert leicht eine Variante, die auch $a\geq b$ erlaubt: %Ist $I\subset \Bbb{R}$ %ein mehrpunktiges Intervall, % $\gamma : I \ra \DR^n$ eine differenzierbare Abbildung %und gilt $ \gamma '(t) \in C$ f"ur alle $t\in % I$, so folgt % $\gamma (b) - \gamma (a) \in (b-a)C\;\forall a,b\in I$. %\end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur den Schrankensatz}] Ich rede in Einheiten, weil es mir anschaulicher scheint. Sei $C$ eine Kreisscheibe im Raum der Geschwindigkeitsvektoren der Anschauungsebene mit Radius $20{\ph{km}}/{\ph{h}}$. Fahren wir mit einem Gel"andewagen um $a=14{:}00$ Uhr an einem Parkplatz los und kurven durch die Gegend und der Tacho zeigt nie mehr als $20{\ph{km}}/{\ph{h}}$ an, so sind wir um $b=17{:}00$ Uhr h"ochstens $60{\ph{km}}$ von unserem urspr"unglichen Parkplatz entfernt. Besteht $C$ dahingegen aus einem einzigen Punkt, der sagen wir die Geschwindigkeit von $20{\ph{km}}/{\ph{h}}$ in einer festen Richtung bedeutet, so besagt unser Satz: Fahren wir konstant mit $20{\ph{km}}/{\ph{h}}$ in diese Richtung, so haben wir um $17{:}00$ Uhr genau $60{\ph{km}}$ in besagte Richtung zur"uckgelegt. F"ur dieses Beispiel w"ahlen wir implizit einen Isomorphismus der Zeitachse $\mathbb T$ mit der reellen Zahlengeraden $\mathbb R$ derart, da"s jeder Stunde ein Intervall der L"ange Eins entspricht. Das bedeutet insbesondere, da"s wir implizit auch vektorielle Geschwindigkeiten mit Richtungsvektoren identifizieren. Im "ubrigen wird in \eref{Tempo}{AN2} erkl"art, wie man auch mit \glqq echten\grqq\ Geschwindigkeiten formal korrekt arbeiten kann. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen Schrankensatz und Mittelwertsatz}] Der Satz folgt im Fall $\DR^n=\DR$ leicht aus unserem\label{SchrSn} bisherigen Mittelwertsatz \ref{MiWS} und er spielt auch im allgemeinen eine "ahnliche Rolle, indem er es erlaubt, \glqq den von einem Teilchen in einem Zeitintervall $[a,b]$ gewonnenen Abstand von seinem Ausgangspunkt aus der Kenntnis seiner lokalen Geschwindigkeiten abzusch"atzen\grqq. Jedoch kann man im allgemeinen Fall des $\DR^n$ im allgemeinen keinen Zeitpunkt mehr finden, zu dem das Teilchen \glqq mittlere Geschwindigkeit\grqq\ h"atte. Es gibt in anderen Worten im allgemeinen keinen Punkt $\xi\in [a,b]$ mit $\gamma (b) - \gamma (a) = (b-a)\gamma '(\xi)$. Ein Gegenbeispiel w"are etwa der Fall, da"s unser Gel"andewagen ein Rundtour f"ahrt, bei der er zu keiner Zeit die Geschwindigkeit Null hat. Mich befriedigt deshalb die in der "alteren Literatur "ubliche Bezeichnung f"ur unseren Schrankensatz als \glqq Mittelwertsatz in mehreren Ver"anderlichen\grqq\ \index{Mittelwertsatz!in mehreren Ver"anderlichen} nicht vollst"andig. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Offensichtlich gilt f"ur eine konvexe Teilmenge $C\subset \DR^n$ und beliebige reelle $s,t\geq 0$ stets $sC+tC= (s+t)C$. Das zeigt, da"s in unserem Satz die Aussage f"ur das ganze Intervall folgt, wenn wir sie f"ur alle St"ucke einer Zerlegung in endlich viele Teilintervalle zeigen k"onnen. K"urzen wir genauer f"ur $p,q\in [a,b]$ mit $\op{S}(p,q)$ die Aussage $\gamma(q)-\gamma(p)\in (q-p)C$ ab, so gilt f"ur $a\leq p\leq q\leq r\leq b$ in Formeln ausgedr"uckt $$\big(\op{S}(p,q)\text{ und }\op{S}(q,r)\big)\RA \op{S}(p,r)$$ Da wir $C$ offen angenommen hatten, besitzt jeder Punkt $p\in [a,b]$ eine Umgebung $U_p$ mit $$q\in [a,b]\cap U_p\backslash p\;\RA\; \frac{\gamma (q) - \gamma (p)}{q-p} \in C$$ oder umgeschrieben eine Umgebung $U_p$ mit $(q\in [a,b]\cap U_p)\;\RA \;\op{S}(p,q)$. Nun setzen wir $$s\pdef \op{sup}\{c\in [a,b]\mid \text{Es gilt }\op{S}(a,x)\;\forall x\in [a,c]\}$$ Dann gilt $\op{S}(a,s)$, denn im Fall $a=s$ ist das eh klar und sonst gibt es $x\in [a,s)$, f"ur das $\op{S}(x,s)$ gilt, und $\op{S}(a,x)$ gilt nach Annahme eh f"ur alle $x\in [a,s)$. H"atten wir nun nicht $s=b$, so f"anden wir $q\in (s,b]$ mit $\op{S}(s,x)$ wahr f"ur alle $x\in [s,q]$ und damit $\op{S}(a,x)$ wahr f"ur alle $x\in [a,q]$ im Widerspruch zur Wahl von $s$. \end{proof} %\begin{proof} % Wir d"urfen also %ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $C$ offen annehmen. %Wir setzen nun %$$s \pdef \op{sup} \{q \in [a,b] %\mid \gamma (x) - \gamma (a) \in (x-a) C \;\;\forall x\in [a,q]\}$$ %und zeigen zun"achst $s = b$. %F"ur alle $p \in [a,b]$ finden wir ja eine offene Umgebung $U_{p}\co [a,b]$ mit %$$\frac{\gamma (q) - \gamma (p)}{q-p} \in C \text{ f"ur alle } q \in %U_{p}\backslash p $$ %Insbesondere folgern wir $s > a$ und m"ussen nur noch die Annahme %$s0$ mit %$[s-\varepsilon, s + \varepsilon] \subset U_{s}$ und die Aussage des %Satzes g"alte f"ur die Einschr"ankung von $\gamma $ auf die Intervalle %$[a, s-\varepsilon], [s-\varepsilon, s] $ und $[s,s + \varepsilon]$. %Daraus folgte jedoch mit unserer Vorbemerkung \ref{OBKn} die Aussage des %Satzes f"ur das Intervall $[a,s +\varepsilon]$ im Widerspruch zur Wahl von %$s$. %Mithin haben wir $s=b$. Da es aber mit denselben Argumenten %auch ein $\eta>0$ gibt derart, da"s die Aussage des %Satzes f"ur die Einschr"ankung von $\gamma $ auf $[b-\eta, b]$ gilt, %folgt die Aussage des Satzes f"ur das ganze Intervall $[a,b]$. %\end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bogenl"ange als Integral}] Die L"ange eines stetig differenzierbaren\label{BoL} Weges $\gamma:[a,b]\ra \DR^n$ stimmt "uber\-ein mit dem Integral "uber seine absolute Geschwindigkeit, in Formeln $${\op{L}}(\gamma)= \int^{b}_{a} \|\gamma' (t)\| \; \diff t$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $\varepsilon >0$ beliebig. Da $\gamma'$ nach \ref{glst} gleichm"a"sig stetig ist auf $[a,b]$, finden wir ein $\delta>0$ mit $\|\gamma'(x)-\gamma'(y)\|<\varepsilon $ falls $|x-y|\leq \delta$. Gegeben eine Unterteilung $a = a_{0}\leq a_{1} \leq \ldots \leq a_{r} = b$ einer Feinheit $\leq\delta$ folgern wir aus dem Schrankensatz \ref{MWSn} dann $$\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\in (a_{i+1}-a_{i})\op{B}(\gamma' (a_{i});\varepsilon)$$ und insbesondere $ \|\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\| \in (a_{i+1}-a_{i})\big(\|\gamma' (a_{i})\| + [-\varepsilon,\varepsilon]\big)$. Durch Aufsummieren folgt $$\left| \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\| \;\; - \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma' (a_{i})\| (a_{i+1}-a_{i})\right|\leq (b-a)\varepsilon$$ f"ur jede Unterteilung der Feinheit $\leq\delta$. Das zeigt schon mal ${\op{L}}(\gamma)<\infty$, da $\|\gamma'(t)\|$ beschr"ankt sein mu"s auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Nach "Ubung \ref{ARS} zum Riemannintegral k"onnen wir $\delta$ zus"atzlich so klein w"ahlen, da"s f"ur jede Unterteilung der Feinheit $\leq\delta$ auch noch gilt $$\qquad\qquad\qquad\qquad\left| \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma' (a_{i})\| (a_{i+1}-a_{i})-\int \|\gamma'\|\right|\leq \varepsilon$$ Da aber die L"ange approximierender Polygonz"uge beim Hinzuf"ugen von Zwischenpunkten nur gr"o"ser werden kann, finden wir eine Unterteilung dieser Feinheit mit $$\left| {\op{L}}(\gamma)- \sum^{r-1}_{i=0} \|\gamma (a_{i+1})-\gamma (a_{i})\|\right|\leq \varepsilon\qquad\qquad\qquad\qquad$$ Zusammen erhalten wir $$\left| {\op{L}}(\gamma)-\int\|\gamma'\| \right|\leq (b-a)\varepsilon+2\varepsilon$$ Da das f"ur alle $\varepsilon>0$ gilt, folgt ${\op{L}}(\gamma)=\int\|\gamma'\|$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Kreisl"ange}] Unsere Definition der Kreiszahl $\pi$ aus \ref{DP} bedeutet wie bereits ew"ahnt in der hier eingef"uhrten Terminologie\label{KLI} $\pi = {\op{L}} (\gamma)$ f"ur $\gamma : [-1,1] \ra \Bbb{R}^{2}$, $x \mapsto (x, \sqrt{1-x^{2}})$. Bezeichne andererseits $\kappa>0$ die kleinste positive Zahl mit $u(\kappa)=-1$ f"ur unsere Umlaufabbildung $u(t)\pdef\op{e}^{{\op{i}}t}$. Es gilt zu zeigen $\kappa=\pi$. Wir wissen $\op{sin}(t)>0$ f"ur $t\in (0,\kappa)$, folglich f"allt $\cos$ streng monoton auf $[0,\kappa]$ und induziert eine Bijektion $\cos:[0,\kappa]\sira [-1,1]$. Unter der Umparametrisierung mit dem Cosinus erhalten wir $\gamma(\cos t)=(\cos t, \sin t)$. Weil die L"ange sich bei monotoner Umparametrisierung nicht "andert, folgern wir $$\pi = {\op{L}} (\gamma)={\op{L}} (\gamma\circ \cos)= \int_0^\kappa \|(\gamma\circ \cos)'(t)\|\diff t=\int_0^\kappa 1 \diff t =\kappa$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Gestalt einer h"angenden Kette}]\label{GHK} Wir gehen davon aus, da"s die Gestalt einer h"angenden Kette durch den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ beschrieben wird, und zeigen, da"s diese Funktion bei Wahl einer geeigneten L"angeneinheit und eines passenden Urspungs der Cosinus hyperbolicus sein mu"s. Auf das Kettensegment "uber einem kompakten Intervall $[a,b]$ wirken die Zugkraft in der Kette von beiden Seiten sowie die Schwerkraft. Bezeichnet $L_a^b$ die L"ange des besagten Kettensegments und $v_{x}=(1,f'(x))$ den Tangentenvektor an unsere Kurve bei $(x,f (x))$ mit $1$ als erster Komponente, so impliziert das Kr"aftegleichgewicht die vektorielle Gleichung $$0=-c_a v_{a} + c_b v_{b}- D(0,L_a^b)$$ f"ur geeignete positive Zahlen $c_a,c_b$ und eine positive Konstante $D$, die \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0014} \\ \noindent Illustration zur h"angenden Kette \end{figure} von den physikalischen Konstanten unseres Problems abh"angen. Die Positivit"at von $c_a,c_b$ und $D$ wird dabei auch nur anschaulich motiviert und nicht mathematisch hergeleitet. Mathematisch w"are auch durchaus die an der $y$-Achse gespiegelte \glqq stehende Kette\grqq\ eine m"ogliche L"osung, aber eben mit negativen $c_a,c_b$. Durch Betrachtung der ersten Komponenten liefert unsere vektorielle Gleichung f"ur das Kr"aftegleichgewicht erst einmal $c_a=c_b=c$. Insbesondere ist der horizontale Anteil der Zugspannung in der Kette also an jeder Stelle derselbe. Durch Betrachtung der zweiten Komponenten folgt weiter $$ cf^{\prime}(a)-c f^{\prime}(b)= - D L_a^b = - D \int^{b}_{a} \sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}} \diff x $$ Folglich erf"ullt unsere Funktion eine Differentialgleichung der Gestalt $$f^{\prime} (a) - f^{\prime} (b) = -k \int^{b}_{a} \sqrt{1+f^{\prime} (x)^{2}}\diff x$$ f"ur positives $k\pdef D/c$, mithin gilt $f^{\prime\prime} (x) = k \sqrt{1+ f^{\prime} (x)^{2}}$. Daraus folgern wir $$\int^{b}_{a} \frac{f^{\prime\prime} (x) \diff x}{k \sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}} =b-a$$ und mit der Substitution $f'(x)=y$, $f'' (x)\diff x=\diff y$ weiter$$ \int^{f^{\prime}(b)}_{f^{\prime}(a)} \frac{\diff y}{k \sqrt{1+y^{2}}}=b-a$$ Dies Integral l"osen wir durch die Substitution $y = \op{sinh} t$, $ \diff y= \op{cosh} t \diff t$ und erhalten als Stammfunktion f"ur den Integranden $k^{-1} \op{arsinh} y$. Damit ergibt sich $ k^{-1} \op{arsinh} f^{\prime} (b) = b+m $ f"ur eine Konstante $m$ und $f^{\prime} (b) = \op{sinh} (k(b+m))$ und schlie"slich $$f(b) = k^{-1} \op{cosh} (k(b+m)) +h $$ f"ur geeignete Konstanten $k, m$ und $h$. Hier beschreibt $k$, wie \glqq steil\grqq\ die Kette h"angt, $m$ ist das Negative der $x$-Koordinate der Stelle kleinster H"ohe, und $h$ beschreibt, wie hoch unsere Kette h"angt. In Worten bedeutet das, da"s es f"ur eine vorgegebene h"angende Kette stets ein orthogonales Koordinatensystem und insbesondere eine L"angeneinheit gibt, f"ur die sie genau entlang des Graphen des Cosinus hyperbolicus h"angt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} In \eref{NocKK}{TM} skizziere ich einen Beweis daf"ur, da"s sogar ein \glqq Weg gegebener L"ange kleinster potentieller Energie\grqq\ zwischen vorgegebenen Aufh"angepunkten existiert und eindeutig bestimmt ist und unsere Kettenlinie sein mu"s. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $D\subset\Bbb{R}$ eine halboffene Teilmenge und $A:D\ra \op{Mat}(n\times m;\Bbb{R})$ sowie $B:D\ra \op{Mat}(m\times k;\Bbb{R})$ differenzierbare matrixwertige Funktionen. So ist auch das Produkt\label{MPR} $A B:t\mapsto A(t)B(t)$ differenzierbar und die Geschwindigkeit $(AB)'$ der Produktfunktion $AB:D\ra \op{Mat}(n\times k;\Bbb{R})$ wird gegeben durch die Formel $$(AB)'=A'B+AB'$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $s\in\Bbb{R}$ bezeichne $(s\cdot):\Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}^{n}$ die Multiplikation mit $s$. Sei $\gamma :I \ra \Bbb{R}^{n}$ eine Abbildung von einem Intervall nach $\Bbb{R}^{n}$. Man zeige ${\op{L}}((s\cdot)\circ\gamma)=|s|{\op{L}}(\gamma)$ f"ur $s\neq 0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jede Abbildung $\gamma : [a,b] \ra \Bbb{R}^{n}$ gilt ${\op{L}}(\gamma) \geq \|\gamma (a) - \gamma (b)\|$. Ist $\gamma$ zus"atzlich stetig, so haben wir Gleichheit genau dann, wenn $\gamma$ aus dem Weg $\phi : [0,1] \ra \Bbb{R}^{n}$, $t \ra t \gamma (a) + (1-t) \gamma (b)$ entsteht durch monotone Umparametrisierung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Abbildung von einem reellen Intervall $I$ nach $\DR^n$ hei"se {\bf nach der Bogenl"ange parametrisierend},\index{Bogenl"ange!parametrisiert nach} wenn ihre Ein\-schr"an\-kung auf jedes nichtleere kompakte Teilintervall dieselbe L"ange hat wie das Teilintervall selber. Man zeige, da"s sich eine stetige Abbildung von einem reellen Intervall nach $\DR^n$, die auf keinem mehrpunktigen Teilintervall konstant ist und deren Einschr"ankung auf jedes kompakte Teilintervall endliche L"ange hat, stets \glqq nach der Bogenl"ange parametrisieren\grqq\ l"a"st, da"s es also genauer f"ur solch eine Abbildung $\gamma:I\ra \DR^n$ stets eine stetige Bijektion $\psi:J\sira I$ von einem weiteren reellen Intervall $J$ nach $I$ gibt derart, da"s $\gamma\circ \psi$ nach der Bogenl"ange parametrisierend ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PBLm} Man zeige, da"s eine stetig differenzierbare Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall in den $\DR^n$ genau dann nach der Bogenl"ange parametrisierend ist, wenn die zugeh"orige absolute Geschwindigkeit konstant Eins ist. \end{Ubung} % \begin{Ubung} % Man zeige, da"s sich jede stetig differenzierbare Abbildung % von einem mehrpunktigen reellen Intervall % nach $\DR^n$ mit nirgends verschwindender Geschwindigkeit % \glqq nach der Bogenl"ange parametrisieren\grqq\ l"a"st, da"s % es genauer f"ur solch eine Abbildung $\gamma:I\ra \DR^n$ % stets eine % stetig differenzierbare Bijektion $\psi:J\sira I$ gibt % derart, da"s $\gamma\circ \psi$ % nach der Bogenl"ange parametrisierend ist. Das gilt auch f"ur % Wege in beliebigen normierten Vektorr"aumen, nur % ben"otigt man zum Argumentieren in dieser Allgemeinheit die % Kettenregel \eref{Kett}{AN2}, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung steht. % \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KI} Gegeben ein stetig differenzierbarer Weg $\gamma :[a,b] \ra \DR^n$ und eine stetige Funktion $f:\gamma([a,b]) \ra \Bbb{R}$ erkl"art man das {\bf Kurvenintegral\index{Kurvenintegral} von $f$ l"angs $\gamma$} als die reelle Zahl $$\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t))\;\|\gamma'(t)\|\;\diff t$$ Man zeige, da"s dies Kurvenintegral unabh"angig ist von der Parametrisierung und da"s es mit denselben Notationen wie oben geschrieben werden kann als der Grenzwert der Riemannsummen $$S^r_\gamma(f) =\sum_{i=0}^{r-1}f(\gamma(a_i))\;\|\gamma(a_{i+1})-\gamma(a_{i})\|$$ \nichtfinal{Woanders! Als K"ur definiere man allgemeiner das Kurvenintegral l"angs eines beliebigen \hyperref[rekt]{rektifizierbaren} Weges $\gamma :[a,b] \ra X$ in einem metrischen Raum $X$.} \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung zum Kurvenintegral}] Die L"ange eines stetig differenzierbaren Weges ist in dieser Terminologie das Kurvenintegral der konstanten Funktion Eins l"angs unseres Weges. Der \glqq Schwerpunkt\grqq\ eines durch eine Abbildung $\gamma :[a,b] \ra \DR^3$ beschriebenen homogenen gebogenen Drahtes m"u"ste mathematisch dadurch definiert werden, da"s seine Koordinaten die Kurvenintegrale der Koordinatenfunktionen $x,y,z$ l"angs $\gamma$ dividiert durch die L"ange unseres Weges sind. Allgemein mag man das Kurvenintegral einer Funktion "uber einen Weg verstehen als eine Art \glqq Durchschnitt der Funktionswerte auf unserem Weg multipliziert mit der L"ange des Weges\grqq. L"auft etwa unser Weg einmal um einen Kreis und kommt bei jedem Punkt des Kreises genau einmal vorbei, mit Ausnahme des Endpunktes unseres Weges, der mit dem Anfangspunkt zusammenf"allt, so gibt das Kurvenintegral einer Funktion ihren Durchschnitt auf der Kreislinie an, multipliziert mit der L"ange der Kreilinie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Das hier definierte Kurvenintegral wird oft auch als \glqq Weg\-integral\grqq\ bezeichnet. Ich will den Begriff des Wegintegrals jedoch f"ur eine andere Konstruktion reservieren, die in \eref{WII}{AN2} besprochen werden wird. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{L"ange des Graphen einer Funktion}] Gegeben eine stetig differenzierbare Funktion $f:[a,b]\ra \DR$ wird die L"ange ihres Graphen, als da hei"st die L"ange des Weges $\gamma:[a,b]\ra \DR^2$, $t\mapsto (t,f(t))$, gegeben durch das Integral ${\op{L}}(\gamma)=\int^{b}_{a} \sqrt{1+f^{\prime}(t)^{2}}\; \diff t$. \end{Ubung} \subsection{Systeme von linearen Differentialgleichungen}\label{DSSC} \begin{Bemerkungl} Wir bestimmen f"ur eine gegebene quadratische Matrix $A \in \op{Mat}( n; \Bbb{R})$ alle differenzierbaren Abbildungen $\gamma:\Bbb{R} \ra \Bbb{R}^{n}$ mit\label{DGSC} $$\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t) \quad \forall t \in \Bbb{R}$$ Bei dieser Schreibweise fassen wir implizit die Elemente des $\Bbb{R}^n$ als Spaltenvektoren auf, also $\gamma= (\gamma_1,\ldots,\gamma_n)^\top$, wo der obere Index $\top$ unsere Zeilenmatrix in eine Spaltenmatrix transponiert. Man nennt so eine Gleichung ein {\bf homogenes System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten}. Die Spezifikation \glqq mit konstanten Koeffizienten\grqq\ grenzt unsere Gleichung ab von dem noch allgemeineren Fall, bei dem auch die Matrix $A$ noch von $t$ abh"angen darf, also $A=A(t)$, und der noch au"serhalb unserer Reichweite ist. Die Spezifikation \glqq homogen\grqq\ grenzt es ab vom allgemeineren Fall einer Gleichung der Gestalt $\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t) + f(t)$ f"ur eine zus"atzlich gegebene vektorwertige Funktion $f$, den wir in \ref{IHD} diskutieren. Anschaulich gesprochen geben wir uns auf dem $\Bbb{R}^{n}$ das sehr spezielle Vektorfeld \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0012} \\ \noindent Das ebene Vektorfeld $\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$ \end{figure} $x \mapsto Ax$ vor und interessieren uns f"ur die Bahnen solcher Teilchen, die bei $x\in\Bbb{R}^n$ jeweils die Geschwindigkeit $Ax$ haben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall $n=1$ hat $A$ genau einen Eintrag $a\in\Bbb{R}$ und wir hatten schon in \ref{KEe} im Fall $a=1$ und in "Ubung \ref{Le} f"ur allgemeines $a$ gesehen, da"s alle L"osungen der Differentialgleichung $\gamma^{\prime} = a\gamma $ die Form $\gamma(t) = c \exp (at)$ haben. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{exM} Im Allgemeinen erkl"aren wir die {\bf Exponentialfunktion auf Matrizen} durch die Vorschrift $$\begin{array}{cccl} \exp : &\op{Mat}( n; \Bbb{R}) & \ra & \op{Mat}( n; \Bbb{R})\\[2mm] &A &\mapsto & \sum^{\infty}_{k =0} \frac{1}{k !}A^{k}= \op{I}+A+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{6}A^3+\ldots\end{array}$$ Hier bedeutet $A^0=\op{I}$ nach unserer Konvention \ref{imn} die Einheitsmatrix und unsere unendliche Reihe ist zu verstehen als der Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen. Wir zeigen, da"s diese Grenzwerte existieren. Bezeichnen wir dazu f"ur eine quadratische Matrix $A\in \op{Mat}(n ; \Bbb{R})$ mit $|A|$ das Maximum der Absolutbetr"age ihrer Eintr"age, so gilt offensichtlich $|AB|\leq n|A||B|$ f"ur jede weitere Matrix $B\in \op{Mat}(n ; \Bbb{R})$. Daraus folgt $|A^{k}|\leq (n|A|)^k$ und dann zeigt die Konvergenz der Exponentialreihe zu $n|A|$ die absolute Konvergenz aller Reihen von Matrixeintr"agen in der Exponentialreihe zu $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Funktionalgleichung f"ur das Exponential von Matrizen}] Die Exponentialabbildung\label{ADFG} wirft die Null auf die Identit"at, in Formeln $\exp (0) = \op{I}$. Sind $A,B$ zwei kommutierende quadratische Matrizen $AB = BA$, so gilt $$\exp (A + B) = (\exp A) (\exp B)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Insbesondere folgt $\exp (-A) = (\exp A)^{-1}$. Die Exponentialabbildung ist mithin eine Abbildung von der Menge aller quadratischen Matrizen in die Menge aller invertierbaren quadratischen Matrizen $$\exp:\op{Mat}(n;\Bbb{R})\ra \op{GL}(n;\DR)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Aus \ref{exM} wissen wir f"ur $A\in \op{Mat}(n;\Bbb{R})$ um die absolute Konvergenz $$(\op{exp}A)_{pq}=\sum^{\infty}_{k =0} \frac{1}{k !}(A^{k})_{pq}$$ der Exponentialreihe in jedem Matrixeintrag. Aus unseren Erkenntnissen "uber Umordnung und Produkt absolut konvergenter Reihen folgt dann $$\begin{array}[b]{lll} \big((\op{exp}A)(\op{exp}B)\big)_{pr}&=& \sum_{q=1}^n(\op{exp}A)_{pq}(\op{exp}B)_{qr}\\[2mm] &=&\sum_{q=1}^n\sum_{(i,j)\in\DN\times\DN} \frac{1}{i !j !}(A^{i})_{pq}(B^{j})_{qr}\\[2mm] &=&\sum_{(i,j)\in\DN\times\DN} \frac{1}{i !j !}(A^{i}B^{j})_{pr}\\[2mm] &=&\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k !}\big((A+B)^{k}\big)_{pr} \\[2mm] &=&\big(\exp(A+B)\big)_{pr}\end{array} $$ Die Annahme $AB=BA$ brauchen wir, um $(A+B)^k=\sum_{i+j=k}\frac{k!}{i!j!}A^iB^j$ verwenden zu d"urfen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Erste lineare Differentialgleichungen}] Ist $A \in \op{Mat}(n; \Bbb{R})$ eine quadratische Matrix und $c \in \Bbb{R}^{n}$ ein Spaltenvektor, so \label{dg} gibt es genau eine differenzierbare Abbildung $\gamma: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^{n}$ mit Anfangswert $\gamma(0) =c$ derart, da"s gilt\label{EKD} $\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t)$ f"ur alle $t \in \Bbb{R}$, und diese Abbildung wird gegeben durch die Vorschrift $$\gamma(t) = \exp (tA) c$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Es ist durchaus m"oglich, mithilfe dieses Satzes auch ganz konkrete Differentialgleichungen ganz konkret zu l"osen. Wir gehen darauf in den weiteren Abschnitten n"aher ein. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir behaupten zun"achst, da"s die Abbildung $g:\Bbb{R}\ra \op{Mat}(n;\Bbb{R})$, $t\mapsto \exp (tA)$ differenzierbar ist mit der Ableitung $g'(t)=A\exp (tA)$. In der Tat wissen wir nach \ref{PRD}, da"s man Potenzreihen gliedweise differenzieren darf, und unsere Formel ergibt sich, wenn wir diese Erkenntnis anwenden auf alle Eintr"age unserer Matrix. Nach der matrixwertigen Produktregel \ref{MPR} ist nun auch die Abbildung $\gamma:\Bbb{R}\ra \Bbb{R}^n$, $t\mapsto \exp (tA) c$ differenzierbar mit Ableitung $\gamma'(t)=A\exp (tA)c=A\gamma(t)$ und die Bedingung $\gamma(0)=c$ ist offensichtlich. Unsere Funktion ist damit eine L"osung der Differentialgleichung mit dem vorgegebenen Anfangswert. Ist umgekehrt $\gamma(t)$ eine beliebige L"osung unserer Differentialgleichung $\gamma'=A\gamma$, so berechnen wir die Ableitung der Funktion $t\mapsto h(t) = \exp (-t A) \gamma(t)$ mithilfe der matrixwertigen Produktregel \ref{MPR} und erhalten $$h'(t)= -A\exp (-tA)\gamma(t) + \exp (-tA) \gamma^{\prime} (t) =0$$ Die Funktion $h(t)= \exp (-tA) \gamma(t)$ ist also konstant mit Wert $\gamma(0)$ und mit der matrixwertigen Funktionalgleichung \ref{ADFG} folgt $\gamma(t)=\exp (tA) \gamma(0)$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Erste lineare Differentialgleichungen, Variante}] Ist $A \in \op{Mat}(n; \Bbb{R})$ eine quadratische Matrix und $c \in \Bbb{R}^{n}$ ein Spaltenvektor, und $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall und $t_0\in I$ ein Punkt, so \label{dgv} gibt es genau eine differenzierbare Abbildung $\gamma:I \ra \Bbb{R}^{n}$ mit Anfangswert $\gamma(t_0) =c$ derart, da"s gilt\label{EKD} $\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t)$ f"ur alle $t \in \Bbb{R}$, und diese Abbildung wird gegeben durch die Vorschrift $$\gamma(t) = \exp ((t-t_0)A) c$$ \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis ist im wesentlichen derselbe wie der Beweis von \ref{dg}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AWI} Ist $A \in \op{Mat}(n; \Bbb{R})$ eine quadratische Matrix und $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall, so bildet die Menge aller differenzierbaren Abbildungen $\gamma: I \ra \Bbb{R}^{n}$ mit $\gamma^{\prime} (t) = A \gamma (t)$ f"ur alle $t \in I$ einen Untervektorraum $L$ im Vektorraum $\op{Ens}(I,\DR^n)$ aller Abbildungen $I\ra\DR^n$, den {\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum!lineare Differentialgleichung!konstante Koeffizienten} unserer Differentialgleichung, und das Auswerten an einer beliebigen Stelle $t_0\in I$ liefert einen Vektorraumisomorphismus $L\sira \DR^n$, $ \gamma\mapsto \gamma(t_0)$, den \defind{Anfangswertisomorphismus}. All das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden Satz \ref{dgv}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine Diagonalmatrix $A=\op{diag}(a_1,\ldots, a_n)$ haben wir $\exp(A)=\op{diag}(\op{e}^{a_1},\ldots, \op{e}^{a_n})$. Analoges gilt f"ur blockdiagonale Matrizen. \end{Ubung} \subsection{Ged"ampfte Schwingungen} \begin{Bemerkungl}\index{Ged"ampfte Schwingungen}\label{GeDa} Wir interessieren uns f"ur die Bewegung eines Massepunktes, der an einer Feder aufgeh"angt ist und dessen Bewegung durch eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibung ged"ampft wird. Mi"st die Funktion $x:\DR\ra\DR,$ $t\mapsto x(t)$ seine Auslenkung von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt $t,$ so mu"s unsere Funktion aus physikalischen Gr"unden eine Differentialgleichung zweiten Grades der Gestalt $$x' =-a x' - bx$$ erf"ullen, wobei die Konstanten $a$ und $b$ die St"arke der Feder und der D"ampfung ausdr"ucken und in physikalisch relevanten F"allen nichtnegativ sind. Wir l"osen diese Differentialgleichung hier erst einmal ad hoc und erheben danach in \ref{DHG} diesen Zugang zur Methode. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{L"osung einiger Schwingungsgleichungen}] Seien reelle Zahlen $a,b\in\DR$ gegeben.\label{LSr} \begin{enumerate} \item Die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen $x:\DR\ra\DR$ mit $x'' +a x' + bx=0$ bildet einen Untervektorraum des Raums $\op{Ens}(\DR,\DR)$ aller Abbildungen $\DR\ra\DR,$ den \emph{\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum!einer Schwingungsgleichung} $L$ unserer Differentialgleichung; \item Die Abbildung $x\mapsto (x(0),x'(0))$ liefert einen Isomorphismus $L\sira \DR^2$ dieses L"osungsraums mit dem $\DR^2$, den \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}; \index{Anfangswertisomorphismus!bei reeller Schwingungsgleichung} \item Hat das Polynom $X^2 +a X + b$ zwei verschiedene reelle Nullstellen $\lambda$ und $\mu,$ so bilden die beiden Funktionen $x_1(t)=\op{e}^{\lambda t}$ und $x_2(t)=\op{e}^{\mu t}$ eine Basis des L"osungsraums. Hat es dahingegen eine doppelte reelle Nullstelle $\lambda,$ so bilden die beiden Funktionen $x_1(t)=\op{e}^{\lambda t}$ und $x_2(t)=t\op{e}^{\lambda t}$ eine Basis des L"osungsraums. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Um den Fall, da"s unser Polynom keine reelle Nullstelle hat, werden wir uns gleich noch gesondert k"ummern. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Teil 1 scheint mir offensichtlich. Um Teil 2 zu zeigen beachten wir, da"s die Vorschrift $x\mapsto (x,x')$ offensichtlich einen Isomorphismus zwischen unserem L"osungsraum $L$ und dem L"osungsraum des Systems $ \gamma'_1 = \gamma_2,$ $\gamma'_2 =-b\gamma_1 -a\gamma_2 $ induziert, das in Matrixschreibweise die Gestalt $\gamma' = A\gamma$ annimmt mit der Matrix $$A = \begin{pmatrix} 0 &1\\ -b & -a \end{pmatrix}$$ Teil 2 folgt damit aus \ref{AWI}. F"ur Teil 3 m"ussen wir folglich nur pr"ufen, da"s die beiden angegebenen Funktionen in der Tat linear unabh"angige L"osungen sind. Das kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{L"osung mithilfe des Exponentials von Matrizen}] Statt beim Beweis von Teil 3 des vorhergehenden Satzes m"ogliche L"osungen einfach zu erraten, h"atten wir uns auch daran erinnern k"onnen, da"s ja nach \ref{EKD} jede L"osung von der Form\label{MALL} $$x (t) = \gamma_{1} (t) = \op{pr}_{1} (\op{exp}(tA) c)$$ sein mu"s f"ur $c=(x(0),x'(0))$. Jetzt brauchen wir weitergehende Kenntnisse in linearer Algebra. Das charakteristische Polynom unserer Matrix $A$ ergibt sich zu $X^{2} + aX +b$. Hat es zwei verschiedene reelle Nullstellen $\lambda,\mu$ und bilden wir eine Matrix $P$ mit Eigenvektoren zu $\lambda$ und $\mu$ als Spalten, so gilt $A = P \op{diag}(\lambda, \mu) P^{-1}$ und $\op{exp} (tA) = P \op{diag} (\op{e}^{\lambda t}, \op{e}^{\mu t}) P^{-1}$ und wir erkennen auf Anhieb, da"s jede L"osung eine Linearkombination der Gestalt $x(t) = \alpha \op{e}^{\lambda t} + \beta \op{e}^{\mu t}$ sein mu"s. Im Fall einer doppelten reellen Nullstelle finden wir "ahnlich ein $P$ mit $$A =P \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 &\lambda \end{pmatrix} P^{-1}$$ und die Funktionalgleichung f"ur das Exponential von Matrizen \ref{ADFG} liefert $$\exp\begin{pmatrix} u & t\\ 0 & u \end{pmatrix} = \exp\begin{pmatrix} u & 0\\ 0 & u \end{pmatrix}\exp\begin{pmatrix} 0 & t\\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \op{e}^u &0 \\ 0 & \op{e}^{u} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \op{e}^{u} & t \op{e}^{u} \\ 0 & \op{e}^{u} \end{pmatrix} $$ Die allgemeine L"osung ergibt sich so als eine Linearkombination der Gestalt $\alpha \op{e}^{\lambda t} + \beta t \op{e}^{\lambda t}$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Im Fall der ged"ampften Schwingung hat unser Polynom $X^{2} + aX +b$ die beiden Nullstellen $$-\frac{a}{2} \pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4} -b} $$ Bei hinreichend gro"ser D"ampfung ${a^{2}}/{4} \geq b$ erhalten wir reelle nichtpositive L"osungen und unser Massepunkt kehrt mit h"ochstens einmaligem "Uberschwingen zum Ruhezustand zur"uck. Im Fall kleiner D"ampfung ${a^{2}}/{4} < b$ hat unser Polynom dahingegen keine reellen Nullstellen mehr und stattdessen die beiden komplexen Nullstellen $\pm \op{i}\omega-{a}/{2}$ mit $\omega =\sqrt{b-a^{2}/{4}}> 0$. Um hier weiterzukommen verallgemeinern wir zun"achst einmal alles bisher Gesagte ins Komplexe. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{L"osung der Schwingungsgleichung im Komplexen}] Seien komplexe Zahlen $a,b\in\DC$ gegeben.\label{GDAE} \begin{enumerate} \item Die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen $x:\DR\ra\DC$ mit $x'' +a x' + bx=0$ bildet einen komplexen Untervektorraum des Raums $\op{Ens}(\DR,\DC)$ aller Abbildungen $\DR\ra\DC$, den \emph{\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum!einer Schwingungsgleichung} $L$ unserer Differentialgleichung; \item Die Abbildung $x\mapsto (x(0),x'(0))$ liefert einen Vektorraumisomorphismus $L\sira \DC^2,$ den \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}; \index{Anfangswertisomorphismus!bei Schwingungsgleichung} \item Hat das Polynom $X^2 +a X + b$ zwei verschiedene Nullstellen $\lambda$ und $\mu,$ so bilden die beiden Funktionen $x_1(t)=\op{e}^{\lambda t}$ und $x_2(t)=\op{e}^{\mu t}$ eine Basis des L"osungsraums $L$. Hat es eine doppelte Nullstelle $\lambda,$ so bilden die beiden Funktionen $x_1(t)=\op{e}^{\lambda t}$ und $x_2(t)=t\op{e}^{\lambda t}$ eine Basis des L"osungsraums. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Der Beweis ist identisch zum Beweis im Reellen \ref{LSr}, sobald man die dazu ben"otigten Hilfsmittel ins Komplexe verallgemeinert hat. Das gelingt ohne weitere Schwierigkeiten und ich fasse es nur kurz zusammen. Man erkl"art zun"achst die Exponentialabbildung auf komplexen quadratischen Matrizen durch die Vorschrift $$\begin{array}{cccl} \exp : & \op{Mat}(n; \DC) & \ra & \op{Mat}(n; \DC)\\ & A & \mapsto & \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} A^{k} \end{array}$$ und zeigt, da"s $g:\DR\ra \op{Mat}(n; \DC)$, $g(t)=\op{exp}(tA)$ differenzierbar ist mit der Ableitung $g'(t)=A\op{exp}(tA)$. Dann zeigt man die Produktregel f"ur Abbildungen der Zahlengerade in R"aume komplexer Matrizen und folgert, da"s die Abbildung $\gamma(t) = \exp (tA) c$ eine differenzierbare Abbildung $\gamma: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}^{n}$ ist mit Anfangswert $\gamma(0) =c$ und $$\gamma' (t) = A \gamma (t)$$ f"ur alle $t \in \Bbb{R}$. Schlie"slich pr"uft man wieder mit der matrixwertigen Produktregel, da"s f"ur jede L"osung $\gamma$ dieser Differentialgleichung die Abbildung $\exp(-tA)\gamma (t)$ die Ableitung Null hat und folglich konstant ist. Daraus folgt der Anfangswertisomorphismus und die Erkenntnis, da"s die L"osungsmenge der Differentialgleichung $\gamma' (t) = A \gamma (t)$ ein $n$-dimensionaler komplexer Untervektorraum des Abbildungsraums $\op{Ens}(\DR,\DC^n)$ ist. Indem wir von unserer Differentialgleichung zweiter Ordnun zu einem System von Differentialgleichungen erster Ordnung "ubergehen, ergeben sich die beiden ersten Aussagen der Proposition. Durch explizites Rechnen folgt dann leicht der dritte Teil. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen reellen und komplexen L"osungen}] Sind in der Situation aus \ref{GDAE} die Koeffizienten $a,b$ beide reell, so bilden die reellwertigen L"osungen unseres Systems nach \ref{LSr} einen zweidimensionalen reellen Untervektorraum $L_\DR\subset \op{Ens}(\DR,\DR)$. Seine komplexwertigen L"osungen bilden dahingegen nach \ref{GDAE} einen zweidimensionalen komplexen Untervektorraum $L_\DC\subset \op{Ens}(\DR,\DC),$ der stabil ist unter dem "Ubergang zu den komplex konjugierten Funktionen, in Formeln $$f\in L_\DC\IFF \bar{f}\in L_\DC$$ Per definitionem gilt weiter $L_\DR=L_\DC\cap \op{Ens}(\DR,\DR)$. Haben wir nun Erzeuger $f_1,\ldots,f_r$ f"ur den $\DC$-Vektorraum der komplexwertigen L"osungen gefunden, so erzeugen deren Realteile und Imagin"arteile den $\DR$-Vektorraum der reellwertigen L"osungen. In der Tat schreibt sich jede L"osung $f$ als $f=c_1 f_1+\ldots+ c_r f_r$ mit $c_\nu\in\DC$, und ist $f$ reellwertig und schreiben wir $c_\nu=a_\nu+{\op{i}}b_\nu$ mit $a_\nu,b_\nu\in\DR$ und nehmen auf beiden Seiten den Realteil, so ergibt sich f"ur $f$ die Darstellung $$f=a_1\op{Re}(f_1)-b_1\op{Im}(f_1)+\ldots + a_r\op{Re}(f_r)-b_r\op{Im}(f_r)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ged"ampfte Schwingungen mit kleiner D"ampfung}] Im Fall der ged"ampften Schwingungen \ref{GeDa} mit kleiner D"ampfung und folglich komplexen Nullstellen $\pm \op{i}\omega-{a}/{2}$ erhalten wir die komplexen L"osungen $x_\pm(t)=\op{e}^{-{a}t/{2}}\op{e}^{\pm \op{i}\omega t}$ und die Eulerformel liefert, da"s die Funktionen $$x_1(t) = \op{e}^{- at/2} \cos \omega t \;\;\;\text{ und } \;\;\; x_2(t) =\op{e}^{-at/2} \sin \omega t$$ den Raum der reellwertigen L"osungen aufspannen. Die Gr"o"se $\omega$ hei"st in diesem Zusammenhang auch die \defind{Winkelgeschwindigkeit}. Die Additionstheoreme zeigen, da"s sich jede reelle Linearkombination $\al\sin (\omega t)+ \beta\cos (\omega t)$ der Funktionen $\cos (\omega t)$ und $\sin (\omega t)$ als Sinuswelle mit {\bf Amplitude}\index{Amplitude} $k$ und {\bf Phase}\index{Phase} $\phi$ in der Form $$\al\sin (\omega t)+ \beta\cos (\omega t)=k\sin(\omega t+\phi)$$ schreiben l"a"st, f"ur $k=\sqrt{\al^2+\beta^2}$ und $\phi$ einer L"osung des Gleichungssystems $k\cos\phi=\al , k\sin\phi=\beta $. Im Fall kleiner D"ampfung kann die allgemeine L"osung also geschrieben werden als $x(t)=k\op{e}^{-at/2}\sin(\omega t+\phi)$ und beschreibt eine Schwingung, deren Amplitude bei positiver D"ampfung $a> 0$ exponentiell abf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Gegeben $A,P\in \op{Mat}(n;\DC)$ mit $P$ invertierbar zeigt man leicht die Regel $\exp (PAP^{-1}) = P(\exp A)P^{-1}$. Die Berechnung des Exponentials einer beliebigen quadratischen Matrix wird Ihnen auf dieser Grundlage leicht gelingen, sobald sie in der linearen Algebra die Theorie der \glqq Jordan'schen Normalform\grqq\ \eref{JNFa}{LA2} kennengelernt haben. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $A\in \op{Mat}(n;\DR)$ eine reelle Matrix und $\gamma:\DR\ra\DC^n$ eine komplexe L"osung der Differentialgleichung $\gamma'(t)=A\gamma(t),$ so sind ihr koordinatenweise gebildeter Real- und Imagin"arteil $\op{Re}\gamma$ und $\op{Im}\gamma$ reelle L"osungen. Erzeugt eine Menge $\DC^n$-wertiger Funktionen den $\DC$-Vektorraum der $\DC^n$-wertigen L"osungen unserer Differentialgleichung, so erzeugen ihre Real- und Imagin"arteile zusammen den $\DR$-Vektorraum der $\DR^n$-wertigen L"osungen. \end{Ubung} \subsection{Differentialgleichungen h"oherer Ordnung} \begin{Bemerkungl} Die Erfahrungen, die wir bei der Behandlung ged"ampfter Schwingungen gemacht haben, fassen wir nun noch allgemeiner. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{DHG} Seien komplexe Zahlen $a_{0},\ldots, a_{n-1} \in \DC$ gegeben. \begin{enumerate} \item Die komplexwertigen $n$-mal differenzierbaren Funktionen $f: \Bbb{R} \ra \DC$ mit $f^{(n)} + a_{n-1} f^{(n-1)} + \ldots + a_{0} f =0$ bilden einen Untervektorraum im Raum aller Funktionen $\Bbb{R} \ra \DC,$ den {\bf\em L"osungsraum}\index{L"osungsraum!einer linearen Diferentialgleichung} unserer Differentialgleichung; \item Die Abbildung $f \mapsto (f(0), f^{\prime}(0), \ldots, f^{(n-1)}(0))$ ist ein Isomorphismus dieses L"osungsraums mit dem $\DC^n,$ der {\bf\em Anfangswertisomorphismus};\index{Anfangswertisomorphismus} \item Ist $\lambda \in \DC$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{n} + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_{0}$ der Vielfachheit $r,$ so sind die Funktionen $ {\op{e}}^{\lambda t}, t {\op{e}}^{\lambda t},\ldots, t^{r -1} {\op{e}}^{\lambda t}$ L"osungen unserer Differentialgleichung, und durchl"auft $\lambda$ alle Nullstellen unseres Polynoms, so bilden diese L"osungen eine Basis des L"osungsraums. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Der Satz bleibt g"ultig, wenn wir darin $\DR$ durch ein beliebiges mehrpunktiges Intervall $I\subset\DR$ ersetzen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Teil 1 ist offensichtlich. Um die in Teil 2 behauptete Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen beachten wir zun"achst, da"s unsere "Uberlegungen aus \ref{dg} ohne "Anderungen auch im Komplexen g"ultig sind. F"ur eine quadratische Matrix $A\in \op{Mat}(n; \DC)$ mit komplexen Eintr"agen haben also die differenzierbaren Funktionen $g: \Bbb{R} \ra \DC^{n},$ die die Differentialgleichung $g^{\prime} = Ag$ l"osen, die Form $g(t) = (\exp t A) g(0)$ wo wir den Anfangswert $g(0) \in \DC^{n}$ frei w"ahlen d"urfen. Insbesondere definiert die Abbildung $g \mapsto g(0)$ einen Isomorphismus vom L"osungsraum der Differentialgleichung $g^{\prime} = Ag$ mit dem $\DC^{n}$. Jetzt beachten wir, da"s die Vorschrift $f\mapsto g=(f, f^{\prime}, f^{\prime\prime}, \ldots, f^{(n-1)})^{\top}$ eine Bijektion induziert zwischen der Menge aller $n$-mal differenzierbaren Funktionen $f:\DR\ra\DC,$ die die Differentialgleichung aus dem Satz erf"ullen, und der Menge aller differenzierbaren Funktionen $g:\DR\ra\DC^n,$ die das System von Differentialgleichungen $$\begin{array}{lcl} g^{\prime}_{0} & =& g_{1}\\ g^{\prime}_{1} & =& g_{2}\\ &\vdots &\\ g^{\prime}_{n-1} &=& a_{n-1}g_{n-1}+\ldots a_{1}g_{1}+a_{0}g_{0} \end{array}$$ l"osen, wo wir etwas ungew"ohnlich $g=(g_{0}, \ldots, g_{n-1})$ indiziert haben der besseren "Ubersichtlichkeit halber. Damit folgt Teil 2 aus \ref{dg}. \\[2mm]\noindent 3. Motiviert durch unsere Erkenntnisse bei der L"osung von \ref{GDAE} beginnen wir mit dem Ansatz $f(t) = {\op{e}}^{\lambda t}$ f"ur $\lambda \in \DC$. M"ogliche $\lambda$ sind dann offensichtlich genau die Nullstellen des Polynoms $X^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_{1} X +a_{0}$. Ist $\lambda$ eine Nullstelle der Vielfachheit $r,$ so sind sogar, wieder in Verallgemeinerung unserer Erkenntnisse bei der L"osung von \ref{GDAE}, auch $t {\op{e}}^{\lambda t}, \ldots , t^{r-1}{\op{e}}^{\lambda t}$ noch L"osungen unserer Gleichung. Um das einzusehen, betrachten wir den Vektorraum ${\cal{C}}^{\infty} (\Bbb{R})$ aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen $\Bbb{R} \ra \DC$ und fassen das Ableiten auf als eine lineare Abbildung $$D : {\cal{C}}^{\infty} (\Bbb{R}) \ra {\cal{C}}^{\infty} (\Bbb{R})$$ Zerf"allt unser Polynom in Linearfaktoren $$X^{n}+ a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_{0} = (X-\lambda_{1})^{n_{1}} \ldots (X - \lambda_{{r}})^{n_{r}}$$ so k"onnen wir den Operator $D^{n}+a_{n-1} D^{n-1} + \ldots + a_{0} : {\cal{C}}^{\infty} (\Bbb{R}) \ra {\cal{C}}^{\infty} (\Bbb{R})$ auch schreiben als Verkn"upfung der Operatoren $(D-\lambda_{i})^{n_{i}},$ und es reicht folglich $(D-\lambda)^{r} t^{r-1} {\op{e}}^{\lambda t} =0$ nachzuweisen. Nun gilt aber offensichtlich $$(D-\lambda) t^{m}{\op{e}}^{\lambda t} = m t^{m-1} {\op{e}}^{\lambda t}$$ und die Behauptung folgt per Induktion. Um zu zeigen, da"s die $t^{j}{\op{e}}^{t\lambda_{i}}$ f"ur $0\leq j < n_{i}$ eine Basis des L"osungsraums bilden, reicht es deren lineare Unabh"angigkeit nachzuweisen. Beherrscht man die zugeh"orige lineare Algebra, so erkennt man leicht, da"s die $t^m {\op{e}}^{\lambda t}$ jeweils zum Hauptraum $\op{Hau}(D;\lambda)$ geh"oren und mu"s wegen \eref{Haui}{LA2} nur noch die lineare Unabh"angigkeit der $t^m {\op{e}}^{\lambda t}$ f"ur festes $\lambda$ und variables $m$ zeigen, die hinwiederum sofort aus der linearen Unabh"angigkeit der Funktionen $t^m$ folgt. Man vergleiche hierzu auch \eref{luEX}{LA2}. \\[2mm]\noindent Beherrscht man die zugeh"orige lineare Algebra noch nicht, so mu"s man mehr arbeiten. Man setzt dann etwa eine Linearkombination $\sum c_{ji} t^{j}{\op{e}}^{\lambda_{i}t} = 0$ an und mu"s zeigen, da"s alle $c_{ji}$ verschwinden. Sonst k"onnten wir aber nach eventueller Umnummerierung der Nullstellen ein $k$ finden mit $c_{k1}\neq 0$ aber $c_{j1}=0$ f"ur $j>k$. Wenden wir dann auf unsere Summe den Differentialoperator $$(D-\lambda_{1})^{k} (D-\lambda_{2})^{N} \ldots (D - \lambda_{r})^{N}$$ an f"ur hinreichend grosses $N,$ so ergibt sich $c_{k1} {\op{e}}^{t\lambda_{1}} =0$ im Widerspruch zu unserer Annahme $c_{k1} \neq 0$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Man bestimme eine Basis des komplexen sowie des reellen L"osungsraums der Differentialgleichung $f'''=f$. \end{Ubunge} \subsection{Gekoppelte Schwingungen*} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt wird mehr lineare Algebra ben"otigt, als ich im derzeitigen Studienplan voraussetzen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} An gegen"uberliegenden W"an\-den eines Zimmers ist jeweils ein W"agelchen mit einer Feder befestigt und die beiden W"agelchen sind auch untereinander durch eine Feder verbunden. Bezeichnen $x(t)$ beziehungsweise $ y(t)$ die Position des ersten beziehungsweise zweiten W"agelchens auf einer Skala, auf der $x =y=0$ den Gleichgewichtszustand bedeuten und gr"o"sere $x$ beziehungsweise $y$ einen gr"o"seren Abstand eines W"agelchens von \glqq seiner\grqq\ Wand, so gen"ugt unser System einer Differentialgleichung $$\begin{array}{ccc} x'' &=& -ax -b (x+y)\\ y'' &= &-cy - d(y+x) \end{array}$$ f"ur Konstanten $a,b,c,d >0$, in die die St"arke der Federn und die Massen der W"agelchen eingehen. Erkl"aren wir $v : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}^{2}, t \mapsto v(t) = (x(t),y(t))$ und betrachten die Matrix $$A = \begin{pmatrix} -(a+b)& -b \\ -d & -(c+d)\end{pmatrix}$$ so k"onnen wir unser System schreiben als $$v'' (t) = A v (t)$$ Der Leser mag als "Ubung zeigen, da"s der L"osungsraum vierdimensional sein mu"s. Unsere Matrix $A$ hat, wie man dem charakteristischen Polynom ansieht, negative reelle Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2}$. Also hat bereits der $\Bbb{R}^{2}$ eine Basis $v_{1},v_{2}$ aus Eigenvektoren von $A$. Dann sind die vier Funktionen $$t\mapsto \exp ((\pm \sqrt{\lambda_{i}})t) v_{i} \quad\text{ mit } i=1,2$$ offensichtlich L"osungen, und "ahnliche Argumente wie im vorhergehenden Beispiel zeigen, da"s sie sogar eine Basis L"osungsraums bilden. Setzen wir $\omega_i=\sqrt{-\lambda_i},$ so erhalten wir eine alternative Basis des L"osungsraums durch die vier Funktionen $$\op{cos} (t\omega_{i}) v_{i} \quad\text{ und }\quad \op{sin} (t\omega_{i}) v_{i} \quad\text{ mit } i=1,2.$$ Ist noch spezieller unsere Situation symmetrisch unter der Vertauschung der beiden W"agelchen, haben sie also dieselbe Masse und sind durch dieselben Federn mit den W"anden verbunden, so folgt $b=d$ und $a =c$ und wir erhalten $v_{1}= (1,1)$ mit $\lambda_{1} = -a-2b$ sowie $v_{2} =(1,-1)$ mit $\lambda_{2} = -a $. Diese Eigenvektoren entsprechen den zwei \defind{Eigenschwingungen} des Systems, bei denen beide W"agelchen zu allen Zeiten in derselben beziehungsweise in entgegengesetzten Richtungen fahren. Die Bewegung der einzelnen W"agelchen $x(t)=x_+(t)$ und $y(t)=x_-(t)$ wird dann beschrieben durch $$\op{Re} \left(c_1 {\op{e}}^{\op{i}\omega_1 t} \pm c_2 {\op{e}}^{\op{i}\omega_2 t}\right) = \op{Re}\left({\op{e}}^{\op{i}(\omega_1-\omega_2) t/2} \left(c_1{\op{e}}^{\op{i}(\omega_1+\omega_2) t/2}\pm c_2 {\op{e}}^{-\op{i}(\omega_1+\omega_2) t/2}\right)\right)$$ mit komplexen $c_i$. Nimmt man hier zum Beispiel $c_1=c_2=1,$ so ergibt sich die L"osung $$ \begin{array}{lll} x(t)&=&2\cos((\omega_1-\omega_2) t/2)\cos((\omega_1+\omega_2) t/2) \\[2mm] y(t)&=&2\sin((\omega_1-\omega_2) t/2)\sin((\omega_1+\omega_2) t/2) \end{array} $$ Ist die verbindende Feder schwach im Verh"altnis zu den Federn gegen die W"ande, in Formeln $a\gg b,$ so liegen die beiden Eigenwerte $\lambda_{1},\lambda_{2}$ und damit auch die Winkelgeschwindigkeiten $\omega_{1},\omega_{2}$ verh"altnism"a"sig nah beieinander. Im Versuch kann man in diesem Fall sch"on sehen, wie die beiden W"agelchen mit der Winkelgeschwindigkeit $(\omega_1-\omega_2)/2$ ihre Energie untereinander austauschen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Im "Ubrigen ist es auch a priori klar, da"s in der symmetrischen Situation die zweielementige Symmetriegruppe unserer Gleichung, die der Vertauschung der beiden W"agelchen entspricht, auf dem L"osungsraum operieren mu"s, da"s wir also uns schon von Anfang an h"atten darauf beschr"anken d"urfen, nur die symmetrischen und die antisymmetrischen L"osungen zu bestimmen und die allgemeine L"osung als Linearkombination solcher speziellen L"osungen zu erhalten. \end{Bemerkungl} \subsection{Angeregte Schwingungen} \begin{Bemerkungl}\label{IHD} Ist $A$ eine komplexe $(n\times n)$-Matrix und ist zus"atzlich eine stetige Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}^{n}$ vorgegeben und man sucht alle differenzierbaren $\gamma:\Bbb{R} \ra \Bbb{C}^{n},$ die das \glqq inhomogene\grqq\ System von Differentialgleichungen $$\gamma' (t) = A \gamma (t) + f(t)$$ l"osen, so r"at einem die Methode der \defind{Variation der Konstanten} zum Ansatz $$\gamma (t) = \op{exp} (tA) g(t)$$ Man erkennt leicht, da"s dieser Ansatz eine L"osung liefert, wenn $g: \Bbb{R}\ra \Bbb{C}^{n}$ differenzierbar ist und die Gleichung $f(t) = \op{exp} (tA) g' (t)$ erf"ullt, als da hei"st f"ur $$g(t) = \int^t\op{exp}(-\tau A) f(\tau ) \diff \tau $$ Hier ist $g(t)$ als unbestimmes Integral nur bis auf eine additive Konstante aus dem $\Bbb{C}^{n}$ wohldefiniert. Da"s wir mit diesem Verfahren tats"achlich auch alle L"osungen $\gamma (t)$ unseres inhomogenen Systems von Differentialgleichungen erhalten ergibt sich daraus, da"s ja ganz offensichtlich die Differenz von je zwei L"osungen unserer inhomogenen Gleichung eine L"osung der homogenen Gleichung $\gamma' = A \gamma (t)$ sein mu"s. In der Sprache der linearen Algebra bilden die L"osungen der inhomogenen Gleichung also einen affinen Teilraum des Raums aller Funktionen, dessen Raum von Richtungsvektoren der L"osungsraum der homogenen Gleichung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Angeregte Schwingungen}] Eine Lampe ist mit einer Feder an einer vibrierenden Decke aufgeh"angt. Sei $h(t)$ die Auslenkung der Decke zur Zeit $t$ und $x(t)$ die H"ohe der Lampe zur Zeit $t$, beide gemessen auf einer gegen den Boden festen Skala, auf\label{AnSc} der $h=x =0$ einen Zustand beschreibt, in dem sich die Federkraft, die die Lampe zur Decke zieht, und die Schwerkraft der Lampe die Waage halten. So gen"ugt $x (t)$ einer Differentialgleichung der Gestalt $$x'' (t) = - a (x(t) -h (t))$$ Hierbei ist $a $ positiv und h"angt von der Masse der Lampe und der Federkonstante ab. Wir schreiben das um zu einem System erster Ordnung $$\begin{array}{ccl} \gamma'_{0} & =& \gamma_{1}\\ \gamma'_{1} &=& -a \gamma_{0} + a h \end{array}$$ oder in Matrixschreibweise $$\gamma' = \begin{pmatrix}0& 1 \\-a& 0\end{pmatrix} \gamma + {0\choose ah}$$ Das charakteristische Polynom unserer Matrix $A$ ist $X^{2} + a,$ die Eigenwerte ergeben sich zu $\pm \op{i} \eta$ f"ur $\eta=\sqrt{a}$ und als zugeh"orige Eigenvektoren finden wir $(1, \pm \op{i} \eta )^{\top}$. Wir nehmen diese Eigenvektoren als Spalten einer Matrix $$P \pdef \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -\op{i} \eta & \op{i} \eta \end{pmatrix} $$ So haben wir offensichtlich $AP=PB$ alias $P^{-1}AP=B$ mit $B=\op{diag} (-\op{i} \eta , \op{i}\eta )$ einer Diagonalmatrix und $\varphi\pdef P^{-1}\gamma $ erf"ullt die Differen\-tial\-gleichung $ \varphi' (t) = B \varphi (t) + \; f (t)$ mit $$ f (t) = P^{-1} \begin{pmatrix} 0\\ ah (t) \end{pmatrix} = \frac{1}{2\op{i}\eta}\begin{pmatrix} \op{i}\eta & -1\\ \op{i} \eta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ ah (t) \end{pmatrix} =\frac{ah (t)}{2\op{i}\eta} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ % $$ % \begin{array}{rl} % \dot{\varphi} (t) = B \varphi (t)& + \; f (t)\\[2mm] % \text{mit}& f (t) = P^{-1} \begin{pmatrix} 0\\ ah (t) \end{pmatrix} % = \frac{1}{2\op{i}\eta}\begin{pmatrix} \op{i}\eta % & -1\\ \op{i} \eta & 1 \end{pmatrix} % \begin{pmatrix} 0\\ ah (t) \end{pmatrix} % =\frac{ah (t)}{2\op{i}\eta} \begin{pmatrix} -1 % \\ 1 \end{pmatrix} % \end{array} % $$ Ich betrachte von nun an diese Differen\-tial\-gleichung, da es mir "ubersichtlicher scheint, mit $\op{exp}tB$ anstelle von $\op{exp}tA=P(\op{exp}tB) P^{-1}$ zu hantieren. Nach unseren "Uberlegungen \ref{IHD} lautet die allgemeine L"osung dieser Differentialgleichung $$\varphi (t) = \op{exp}(tB) g (t)\quad\text{mit}\quad g (t) = \int^t \op{exp} (-\tau B) f(\tau ) \diff \tau $$ Nehmen wir zum Beispiel an, unsere Decke vibriere mit $h(t) = k\op{sin} (\omega t)$ f"ur $\omega >0$, so ergibt sich die erste Komponente $g_1(t)$ von $g(t)$ zu $$ \begin{array}{ccl} g_{1} (t) &=& -\frac{k a}{2\op{i}\eta} \int^t {\op{e}}^{\op{i}\tau \eta} \left(\frac{{\op{e}}^{\op{i}\tau \omega} - {\op{e}}^{-\op{i}\tau \omega}}{2\op{i}}\right) \diff \tau \\[4mm] &=& \frac{ka}{4\eta} \int^t {\op{e}}^{\op{i}\tau (\eta +\omega)} \diff \tau - \frac{ka}{4\eta} \int^t {\op{e}}^{\op{i}\tau (\eta -\omega)} \diff \tau \\[2mm] &=& \op{konst}+ \frac{ka}{4\op{i}\eta(\eta + \omega)} {\op{e}}^{\op{i}t (\eta + \omega)} - \left\{ \begin{array}{lll} \frac{ka}{4\op{i}\eta(\eta -\omega)} {\op{e}}^{\op{i}t(\eta -\omega)} &\text{ falls } &\eta \neq \omega;\\[2mm] \frac{ka}{4\eta} t &\text{ falls }& \eta =\omega. \end{array} \right. \end{array}$$ "Ahnlich berechnen wir $g_{2}(t)$ und erkennen, da"s in dem Fall, da"s die Eigenfrequenz der Lampe nahe an der Frequenz der Decke ist, also f"ur $|\eta - \omega|$ klein, die Schwingung sehr gro"s werden kann und im Fall $\eta = \omega$ die Auslenkung eventuell sogar gegen Unendlich strebt. In der Physik spricht man in diesen F"allen von \defind{Resonanz} beziehungsweise von einer \defind{Resonanzkatastrophe}. Seien nun die Eigenschwingung unseres Systems $t\mapsto {\op{e}}^{\op{i}t \eta}$ und die Anregung $t\mapsto h(t)$ oder gleichbedeutend $t\mapsto f(t)$ periodisch mit derselben Periode. Nehmen wir der Einfachkeit halber $p=2\pi$ an, so finden wir $\eta\in\DZ,$ und entwickeln wir $f$ in eine \glqq Fourierreihe\grqq, so zeigt unsere obige Formel $g (t) = \int^t \op{exp} (-\tau B) f(\tau ) \diff \tau ,$ da"s nur die Summanden $c_{\pm\eta} {\op{e}}^{\pm\op{i}t \eta}$ f"ur die Resonanz verantwortlich sind in dem Sinne, da"s alle anderen Summanden der Fourierreihe nur periodische Beitr"age zu $g (t) $ liefern. Sp"ater in \eref{FouD}{AN3} folgende werden Sie lernen, da"s $g_1(t)$ im allgemeinen bis auf eine Konstante auch interpretiert werden kann als der \glqq Wert bei $-\eta$ der Fouriertransformierten des Produkts von $f_1$ mit der charakteristischen Funktion des Intervalls $[0,t]$\grqq. \end{Beispiel} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN1" %%% End: