\section{Grundlegendes zu Fourierreihen} \label{GruFu} \subsection{Eindeutigkeit der Fourierreihe} \begin{Definition}\label{dP} Seien $M$ eine Menge und $p > 0$ eine positive reelle Zahl. Wir sagen, eine Abbildung $f:\Bbb{R}\ra M$ habe die {\bf Periode}\index{Periode} $p$, wenn f"ur alle $x\in\DR$ gilt $f(x + p) = f(x)$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Fourierreihe, reelle Form}] Sei $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ eine stetig\label{Fou1} differenzierbare Funktion der Periode $2\pi$. So gibt es eindeutig bestimmte $a_{\nu}, b_{\nu}, c \in \Bbb{R}$ derart, da"s gilt\index{Fourierreihe} $$f(x)= c+ \sum_{\nu =1}^{\infty} a_{\nu}\sin (\nu x)+ b_{\nu}\cos (\nu x)$$ in dem Sinne, da"s die Folge der Partialsummen gleichm"a"sig gegen unsere Funktion $f$ konvergiert. \end{Satz} \begin{Satz}[\textbf{Fourierreihe, komplexe Form}] Sei $f: \Bbb{R} \ra \DC$ eine stetig\label{Fou2} differenzierbare Funktion der Periode $2\pi$. So gibt es eindeutig bestimmte $c_{\nu}\in \DC$ derart, da"s im Sinne gleichm"a"siger Konvergenz gilt $$ f(x)=\lim_{n\ra \infty} \sum^{\nu=n}_{\nu=-n} c_{\nu} \op{e}^{{\op{i}}\nu x} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang zwischen reeller und komplexer Fourierreihe}] Sicher k"on\-nen wir in der ersten Formulierung \ref{Fou1} unseres Satzes auch komplexwertige Funktionen erlauben, wenn wir $a_{\nu },b_{\nu },c \in \DC$ zulassen. Die beiden S"atze sind dann "aquivalent, da nach der Euler'schen Formel gilt $$\begin{array}{lcl} \op{e}^{{\op{i}}\nu x}&=& \cos \nu x + {\op{i}}\sin \nu x\\ \op{e}^{-{\op{i}}\nu x} &=& \cos \nu x - {\op{i}}\sin \nu x \end{array}$$ Gegeben eine Darstellung wie in Satz \ref{Fou2} erhalten wir also eine Darstellung wie in Satz \ref{Fou1} mit $c = c_{0},\;b_{\nu } = c_{\nu }+c_{-\nu },\;a_{\nu }={\op{i}}c_{\nu }-{\op{i}}c_{-\nu }$. Umgekehrt sind diese Gleichungen sind genau dann erf"ullt, wenn gilt $$c_{0}=c, \; c_{\nu }= \frac{1}{2} (b_{\nu }-{\op{i}}a_{\nu }) \text{ und }c_{-\nu }= \frac{1}{2} (b_{\nu }+{\op{i}} a_{\nu }).$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen vorerst nur die Eindeutigkeit, der Beweis der Existenz wird in \ref{KFou} nachgeholt. Aus der Euler'schen Formel folgt, da"s die Ableitung von $f(x)=\op{e}^{{\op{i}}\nu x}=\cos\nu x + {\op{i}}\sin\nu x$ gegeben wird durch $f'(x)={\op{i}}\nu \op{e}^{{\op{i}}\nu x}=-\nu\sin\nu x + {\op{i}}\nu\cos\nu x$. Mit %\ref{AExp} und der komplexwertigen Variante des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhalten wir $\int^{2\pi}_{0}\op{e}^{{\op{i}}\nu x} \diff x= \frac{1}{{\op{i}}\nu } \op{e}^{{\op{i}}\nu x}|^{2\pi}_{0} = 0$ f"ur $\nu \in\DZ\backslash 0$ und f"ur $\nu =0$ ergibt sich $\int^{2\pi}_{0} 1 \diff x = 2\pi$. Wir folgern $$\int^{2\pi}_{0} \op{e}^{{\op{i}}\mu x} \op{e}^{-{\op{i}}\nu x} \diff x = \left\{\begin{array}{ll} 2\pi & \nu =\mu;\\ 0 &\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Indem wir die gleichm"a"sige Konvergenz mit dem Integral vertauschen und uns "uberlegen, da"s das auch f"ur komplexwertige Funktionen erlaubt ist, erhalten wir $$\int^{2\pi}_{0} f(x) \op{e}^{-{\op{i}}\nu x}\diff x = 2 \pi c_{\nu }$$ Das zeigt die Eindeutigkeit der $c_{\nu }$. Der Beweis der Existenz wird in \ref{KFou} nachgeholt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} %Ich erinnere an den Begriff der Summierbarkeit %von Familien \ref{ABSB}. Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ nennt man eine Familie $(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren aus\label{ABSBe} $V$ {\bf summierbar mit Summe}\index{summierbar!Familie in normiertem Vektorraum} $s\in V$ und schreibt $$\sum_{i\in I} v_i=s$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s es f"ur jede Umgebung $U$ von $s$ eine endliche Teilmenge $I_U\subset I$ gibt derart, da"s f"ur jede endliche Obermenge $J$ von $I_U$ in $ I$ gilt $$\sum_{i\in J} v_i\in U$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In \eref{BAKo}{AN1} haben wir die Summierbarkeit von Familien reeller Zahlen eingef"uhrt und in \eref{SuFa}{AN1} haben wir diskutiert, warum sie im Fall abz"ahlbarer Familien "aquivalent ist zu absoluter Konvergenz in Bezug auf eine und jede Durchnummerierung der Indexmenge. "Ahnlich zeigt man, da"s die Summierbarkeit im Raum $\op{Ens}^{\op{b}}(X,\DR)$ mit seiner Supremumsnorm gleichbedeutend ist zur Konvergenz der Reihe der Normen der Folgenglieder.\label{suun} In allgemeineren normierten Vektorr"aumen gilt das jedoch nicht mehr. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Summierbarkeit der Fourierreihe}]\label{Fou3} Ist $f: \Bbb{R} \ra \DC$ eine stetig differenzierbare Funktion der Periode $2\pi$, so gibt es eindeutig bestimmte $c_{\nu}\in \DC$ derart, da"s bez"uglich der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz auf $\op{Ens}^{\op{b}}(\Bbb{R},\DC)$ im Sinne der Summierbarkeit \ref{ABSBe} in normierten Vektorr"aumen gilt $$\sum_{\nu\in\DZ} c_{\nu} \op{e}^{{\op{i}}\nu x} = f(x)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich m"ussen hier die $c_{\nu}$ dieselben sein wie in der schw"acheren aber einfacher zu formulierenden Version \ref{Fou2}, so da"s die Eindeutigkeit aus dem Vorhergehenden folgt. Der Beweis dieser st"arkeren Konvergenzaussage wird in \ref{KFou} gegeben. Ich habe etwas gez"ogert, auf der rechten Seite $f(x)$ zu schreiben, wo doch schlicht die Funktion $f$ gemeint ist, aber auf der linken Seite steht ja auch $\op{e}^{{\op{i}}\nu x}$ f"ur die Funktion $x\mapsto \op{e}^{{\op{i}}\nu x}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die obigen S"atze "uber die Fourierentwicklung sind erste Vertreter eines gro"sen Theoriegeb"audes, in das wir in \eref{IVf}{AN3} folgende tiefer eindringen. Insbesondere ergibt sich die Frage, welche Abbildungen $\DZ\ra\DC$ denn nun etwa den stetig differenzierbaren oder den glatten periodischen Funktionen entsprechen. Diese Frage erweist sich als recht delikat. In \ref{ivSR} diskutieren wir, welche Fouriereihen beliebig oft differenzierbaren $2\pi$-periodischen Funktionen entsprechen. In \eref{FR}{AN3} f"uhren wir den Raum der \glqq quadratintegrierbaren Funktionen\grqq\ ein und zeigen, da"s diese unter unserer Fourierentwicklung genau denjenigen Abbildungen $\DZ\ra\DC$ entsprechen, bei denen die Summe der Betragsquadrate endlich ist. \end{Bemerkungw} \subsection{Approximationssatz von Stone-Weierstra"s} \begin{Bemerkungl} Unter einem kompakten Raum darf man in diesem Abschnitt je nach Wissensstand einen kompakten metrischen Raum oder allgemeiner einen kompakten topologischen Raum verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{RAlgv} Im folgenden verwende ich eine Begrifflichkeit, die in \eref{RAlg}{LA2} ausf"uhrlich eingef"uhrt wird, und bespreche an dieser Stelle nur das N"otigste. Gegeben ein K"orper $k$ bezeichnet man einen $k$-Vektor\-raum $A$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $A \times A \rightarrow A$ ganz allgemein als eine {\bf $k$-Algebra}.\index{Algebra} Ist die Verkn"upfung assoziativ, so spricht man von einer {\bf assoziativen Algebra}. Gibt es f"ur unsere Verkn"upfung ein neutrales Element, so spricht man von einer {\bf unit"aren Algebra} und nennt das fragliche Element das {\bf Eins-Element}.\index{Eins-Element!einer Algebra} Eine Algebra ist also genau dann assoziativ und unit"ar, wenn die zugrundeliegende Menge mit der Vektorraum-Addition als Addition und der bilinearen Verkn"upfung als Multiplikation im Sinne von \eref{Ring}{LA1} ein Ring ist. Ich nenne derartige Algebren {\bf Ringalgebren}.\index{Ringalgebra} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und eine beliebige Menge $X$ ist der $k$-Vektor\-raum $\op{Ens}(X,k)$ aller $k$-wertigen Funkionen auf $X$ mit der punktweisen Multiplikation als Verkn"upfung eine Ringalgebra mit der konstanten Funktion Eins als Eins-Element. Wir sagen, eine Teilmenge $A\subset \op{Ens}(X,k)$ {\bf trenne die Punkte von}\index{trennt die Punkte} $X$, wenn es f"ur alle $x,y \in X$ mit $x\neq y$ ein $a \in A$ gibt mit $a(x) \neq a(y)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und eine $k$-Algebra $A$ versteht man unter einer {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra} $B\subset A$ einen unter der Verkn"upfung unserer Algebra stabilen Untervektorraum. Gegeben ein K"orper $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$ verstehen wir unter einer {\bf Unterringalgebra}\index{Unterringalgebra} $B\subset A$ einen unter der Verkn"upfung unserer Ringalgebra stabilen Untervektorraum, der dar"uber hinaus das Einselement der Ringalgebra $A$ enth"alt. In anderen Worten ist eine Unterringalgebra also eine Unteralgebra, die gleichzeitig ein Teilring ist im Sinne von \eref{TeRi}{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s wir bereits wissen, da"s die stetigen reellen Funktionen auf einem topologischen Raum $X$ in der $\DR$-Ringalgebra aller reellen Funktionen eine $\DR$-Unterringalgebra $$\mathcal C(X,\DR)\subset \op{Ens}(X,\DR)$$ bilden. Des weiteren wissen wir nach \ref{SSGKom}, da"s diese Unterringalgebra stabil ist unter dem Bilden gleichm"a"siger Grenzwerte. Gegeben ein kompakter Raum $X$ bezeichne im folgenden ${\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ den reellen Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf $X$ mit seiner Supremumsnorm. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines metrischen oder auch eines topologischen Raums hei"st\label{dicht} {\bf dicht},\index{dicht!Teilmenge|main} wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist. \end{Definition} %\begin{Definition} % Ein unter Produkten stabiler % Untervektorraum $A\subset {\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ % hei"st eine {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra!im Fall stetiger Funktionen} % von ${\cal{C}}(X,\Bbb{R})$. Enth"alt unsere Unteralgebra % dar"uber hinaus die Funktion $1$, die jedem Punkt aus $X$ % den Wert $1$ zuordnet, so nennen wir sie % eine {\bf unit"are} Unteralgebra. %\end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Approximationssatz von Stone-Weierstra"s}\index{Stone-Weierstra"s}] In der Ringalgebra aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten Raum liegt jede Unterringalgebra, die die Punkte unseres\label{SW} Raums trennt, bereits dicht in Bezug auf die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Ich erw"ahne noch eine Variante dieses Satzes, die man oft in der Literatur findet, die jedoch f"ur uns hier noch nicht von Belang ist. Statt einer Unterringalgebra k"onnten wir mit einer Unteralgebra arbeiten und zus"atzlich voraussetzen, da"s es f"ur jedes $x\in X$ ein $a\in A$ gibt mit $a(x)\neq 0$. Man sagt dann, $A$ habe \glqq keine simultane Nullstelle\grqq. Unser Beweis funktioniert dann im wesentlichen immer noch, man mu"s dazu nur Lemma \ref{AW} verfeinern zur Aussage, da"s $p_\varepsilon$ sogar ohne konstanten Term gefunden werden kann, und mu"s in Schritt 3 etwas feiner argumentieren. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Approximationssatz von Weierstra"s}\index{Weierstra"s!Approximationssatz}] Ist $X \subset \Bbb{R}^{n}$ eine kompakte Teilmenge und $f: X \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion, so\label{AvW} gibt es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ eine Polynomfunktion $p \in \Bbb{R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ mit $$|p(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall x \in X$$ \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem Satz von Stone-Weierstra"s \ref{SW}. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Stone-Weierstra"s] Seien $X$ unser kompakter Raum und $A\subset {\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ unsere Unterringalgebra. Wir ziehen uns zun"achst auf den Fall zur"uck, da"s $A$ in $ {\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ abgeschlossen ist. \begin{Lemma}\label{LSW} Ist $X$ kompakt und $A\subset {\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ eine Unteralgebra, so ist auch der Abschlu"s $\bar{A}$ von $A$ eine Unteralgebra. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{AAA} ist $\bar{A}$ genau die Menge aller stetigen Funktionen $a:X\ra \Bbb{R}$ derart, da"s es eine Folge $a_n$ aus $A$ gibt, die gleichm"a"sig gegen $a$ konvergiert. Sei $b$ ein weiteres Element von $\bar{A}$ und $b_n$ eine Folge aus $A$, die gleichm"a"sig gegen $b$ konvergiert. Wir behaupten, da"s dann auch $a_n+b_n$ gleichm"a"sig gegen $a+b$ konvergiert und $a_n b_n$ gleichm"a"sig gegen $ab$. Den Beweis der ersten Aussage "uberlassen wir dem Leser. F"ur die Zweite benutze man die Absch"atzung $$ \begin{array}{ccl} \| ab-a_nb_n\| &\leq &\| a-a_n\|\cdot\| b_n\|+\| a\|\cdot\| b-b_n\|\\ &\leq& \varepsilon (\| b\| +1 +\| a\|)\end{array}$$ falls gilt $\| a-a_n\|<\varepsilon , $ $\| b-b_n\|<\varepsilon $ und $\varepsilon <1$. \end{proof}\noindent Erf"ullt also eine Unterringalgebra $A\subset {\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ die Bedingungen von Stone-Weierstra"s, so ist auch ihr Abschlu"s $\bar{A}$ eine Unterringalgebra und trennt a forteriori die Punkte von $X$. Um Stone-Weierstra"s zu beweisen reicht es demnach aus, wenn wir unter der zus"atzlichen Annahme $A$ abgeschlossen die Gleichheit ${A}={\cal{C}}(X,\Bbb{R})$ zeigen. Nun zeigen wir zun"achst einmal einen Spezialfall des Approximationssatzes von Weierstra"s durch ein direktes Argument. \begin{Lemma}\label{AW} F"ur ein beliebiges positives $\varepsilon >0$ gibt es ein Polynom $p=p_\varepsilon $ mit $|\sqrt{x}-p(x)|<\varepsilon \; \forall x\in [0,1]$. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] Sei $\varepsilon >0$ gegeben. Da $\sqrt{x}$ gleichm"a"sig stetig ist auf $[0,2]$, finden wir $\eta\in (0,1)$ mit $$|\sqrt{x}-\sqrt{x+\eta}|<\varepsilon/2 \quad \forall x\in [0,1]$$ Da die Taylorreihe von $\sqrt{x}$ um den Entwicklungspunkt $1$ nach \eref{BiRe}{AN1} auf dem Intervall $[\eta,1+\eta]$ gleichm"a"sig gegen $\sqrt{x}$ konvergiert, finden wir weiter ein Polynom $p$ mit \begin{equation*} |\sqrt{x+\eta}-p(x)|<\varepsilon/2 \quad \forall x\in [0,1]\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Bei der folgenden Alternative mu"s man etwas mehr denken, aber nichts wissen "uber die Konvergenz von Taylorreihen. Wir konstruieren induktiv eine Folge von Polynomen durch $p_{0}(x)=0$, $p_{n+1} (x) = p_{n}(x)+{(1/2)} (x-p_{n}(x)^{2})$ und behaupten, da"s diese Folge auf $[0,1]$ gleichm"a"sig gegen $\sqrt{x}$ konvergiert. In der Tat gilt ja $$p_{n+1}=p_n + (\sqrt{x}-p_n)(\sqrt{x}+p_n)/2$$ und dieser Gleichung sehen wir an, da"s f"ur $x\in[0,1]$ gilt $$p_0\leq p_1\leq\ldots\leq\sqrt{x}$$ denn es folgt induktiv $(\sqrt{x}-p_n)\geq 0$ und $(\sqrt{x}+p_n)/2\leq 1$. Andererseits folgt aus unserer Gleichung auch $$\begin{array}{ccl} (\sqrt{x}-p_{n+1})&=&(\sqrt{x}-p_{n})(2-\sqrt{x}-p_n)/2\\ &\leq&(\sqrt{x}-p_{n})(2-\sqrt{x})/2\end{array}$$ und somit konvergiert unsere Folge $p_n$ auf jedem Intervall $[a,1]$ mit $00$ gibt es $a_x \in A$ mit $a_{x}(x) = f(x)$ und $$a_{x} (y)0$ gibt es $a\in A$ mit $\| a-f\| <\varepsilon $. Sei in der Tat f"ur jedes $x \in X$ ein $a_{x}$ wie eben gew"ahlt. Dann hat jeder Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $V_{x}$ mit $f(z)-\varepsilon < a_{x}(z)0$ ein trigonometrisches Polynom $g=g_{\varepsilon}$ mit $$|f(x)-g(x)|< \varepsilon \quad \forall x\in [0,2\pi]$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $S^{1} = \{z \in \DC \mid |z| = 1\}$ der Einheitskreis in der komplexen Ebene. Wir betrachten die Abbildung $E : [0,2\pi] \ra S^{1}$, $t \mapsto \op{e}^{{\op{i}}t}$, die anschaulich gesprochen \glqq unser Intervall zu einer Kreislinie zusammenbiegt\grqq. Das Vorschalten von $E$ liefert eine Bijektion $$(\circ \;E) :\; {\cal{C}} (S^{1}) \sira \left\{f\in {\cal{C}}([0,2\pi])\mid f(0) = f(2\pi)\right\}$$ Das kann man unschwer direkt einsehen und auch formal aus dem anschlie"senden Lemma \ref{QTo} folgern. Unter unserer Bijektion entsprechen nun die trigonometrischen Polynome auf $[0,2\pi]$ genau den Funktionen der Form $\sum^{n}_{\nu=-n} d_{\nu} z^{\nu}$ auf der Kreislinie $S^{1}$. Der Satz folgt aus Korollar \ref{diKI}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{QTo} Ist $f:X\sra Y$ eine stetige Surjektion von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum, so ist eine Abbildung $g:Y\ra Z$ in einen weiteren Raum $Z$ stetig genau dann, wenn $g\circ f $ stetig ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das Problem ist nur, die Stetigkeit von $g$ aus der Stetigkeit von $g\circ f$ zu folgern. Da $f$ surjektiv ist, gilt f"ur jede Teilmenge $A\subset Z$ offensichtlich $$g^{-1}(A)=f((g\circ f)^{-1}(A))$$ Ist $A$ abgeschlossen in $Z$, so ist $(g\circ f)^{-1}(A)$ abgeschlossen in $X$ wegen der Stetigkeit von $g\circ f$, also kompakt nach \ref{aAKo}. Dann ist $f((g\circ f)^{-1}(A))$ kompakt nach \ref{BiKom} als Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung, mithin abgeschlossen nach \ref{HKA}, da $Y$ ein Hausdorffraum ist. Zusammenfassend haben wir gezeigt, da"s das Urbild $g^{-1}(A)$ einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subset Z$ abgeschlossen ist in $Y$. Daraus folgt mit \ref{SaATR} die Stetigkeit von $g$. \end{proof} \subsection{Konvergenz der Fourierreihe} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden im folgenden die Begrifflichkeit der Skalarprodukte, wie sie etwa in \eref{GEV}{LA2} eingef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DQN} Wir versehen den komplexen Vektorraum $V={\cal{C}}([0,2\pi])$ aller stetigen Funktionen $f:[0,2\pi]\ra \DC$ mit dem Skalarprodukt $$\langle f,g\rangle \pdef \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \bar{f}g$$ Die zugeh"orige Norm notiert man in diesem Fall mit $\|f\|_2\pdef \sqrt{\langle f,f\rangle} $. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unsere Formeln aus dem Beweis von \ref{Fou2} besagen genau, da"s die $\op{e}^{{\op{i}}\nu x}$ mit $\nu\in\DZ$ in diesem Raum ein Orthonormalsystem im Sinne von \eref{ons}{LA2} bilden, in Formeln $$\langle \op{e}^{{\op{i}}\nu x}, \op{e}^{{\op{i}}\mu x} \rangle = \left\{\begin{array}{rl} 1 & \nu =\mu;\\ 0 &\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Die Fourier-Koeffizienten schreiben sich nun k"urzer $c_{\nu}= \langle\op{e}^{{\op{i}}\nu x}, f\rangle$. Indem wir jeder stetigen Funktion $f:[0,2\pi]\ra\DC$ die Familie ihrer \glqq Fourierkoeffizienten\grqq\ zuordnen, in Formeln $f^\wedge(\nu)\pdef\langle\op{e}^{{\op{i}}\nu x}, f\rangle$, erhalten wir eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} \cal{C}([0,2\pi])&\ra&\op{Ens}(\DZ,\DC)\\ f&\mapsto& f^\wedge \end{array}$$ %In \eref{FR}{AN3} werden wir diese Abbildung erweitern zu einer Bijektion %zwischen geeigneten R"aumen quadrat\-integrierbarer Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quadratische Konvergenz der Fourierreihe}] Gegeben eine stetige Funktion\label{QM} $f:[0,2\pi]\ra \DC$ mit Fourierkoeffizienten $c_{\nu} \pdef \langle\op{e}^{{\op{i}}\nu x}, f\rangle$ gilt $$f=\sum_{\nu \in\DZ} c_{\nu}\op{e}^{{\op{i}}\nu x}$$ im Sinne der Summierbarkeit nach \ref{ABSBe} im komplexen Vektorraum ${\cal{C}}([0,2\pi])$ mit seiner Skalarproduktnorm $\|\;\|_2$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich betone, da"s dieser Satz keine Aussage "uber punktweise Konvergenz beinhaltet. Ich habe auf der linken Seite auch nur $f$ und nicht $f(x)$ geschrieben, um das zu betonen. Punktweise Konvergenz gilt auch gar nicht in der Allgemeinheit dieses Satzes. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\label{KQM} % Gegeben eine Folge $f_n$ stetiger Funktionen von einem kompakten % Intervall $[a,b]$ nach $\DC$ und eine weitere % stetige Funktion $f$ sagt man, die Folge der % $f_n$ {\bf konvergiere im quadratischen Mittel} % \index{Konvergenz!im quadratischen Mittel} % {\bf gegen} $f$ genau dann, % wenn gilt $$\lim_{n\ra\infty}\int_a^b|f-f_n|^2=0$$ % Aus unserem Satz folgt in dieser Terminologie, da"s entsprechenden % Partialsummen der Fourierreihe % einer stetigen Funktion im quadratischen Mittel gegen besagte % Funktion konvergiert. % Wir werden den vorhergehenden Satz in \eref{FR}{AN3} verallgemeinern % von stetigen auf % alle \glqq quadratintegrierbaren\grqq\ Funktionen. % Mit der Terminologie aus % \ref{ABSB} k"onnen wir im normierten Vektorraum ${\cal{C}}([0,2\pi])$ % aus \ref{DQN} die Aussage des Satzes auch schreiben in der Gestalt % % \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur alle endlichen Teilmengen $I\subset\DZ$ k"onnen wir $f$ nach \eref{BOZ}{LA2} zerlegen in seine Projektion auf den von allen $\op{e}^{{\op{i}}\nu x}$ mit $\nu \in I$ aufgespannten Teilraum von ${\cal{C}}([0,2\pi])$ und einen auf diesem Teilraum senkrechten Anteil, $$f=\sum_{\nu \in I} c_{\nu }\op{e}^{{\op{i}}\nu x} + \left(f-\sum_{\nu \in I} c_{\nu } \op{e}^{{\op{i}}\nu x}\right)$$ Wir nehmen nun zun"achst zus"atzlich $f(0)= f(2\pi)$ an. F"ur alle $\varepsilon > 0$ finden wir dann nach \ref{Lei} eine endliche Teilmenge $I_\varepsilon\subset\DZ$ und ein trigonometrisches Polynom $g= \sum_{\nu \in I_\varepsilon} d_{\nu } \op{e}^{{\op{i}}\nu x}$ mit $$ |f(x)-g(x)| < \varepsilon \quad \forall x$$ Es folgt sofort $\|f-g\|_{2} < \varepsilon$. Da in einem Skalarproduktraum nach \eref{BOZ}{LA2} die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen endlichdimensionalen Teilraum stets die bestm"ogliche Approximation durch Vektoren dieses Teilraums ist, folgt f"ur alle endlichen $J\supset I_\varepsilon$ erst recht $$\left\|f-\sum_{\nu\in J} c_{\nu }\op{e}^{{\op{i}}\nu x}\right\|_{2} < \varepsilon $$ Das zeigt die Behauptung im Fall $f(0) = f(2\pi) $. Im Fall $f(0) \neq f(2\pi) $ m"ussen wir noch eine zus"atzliche Verrenkung machen und zun"achst eine stetige Funktion $\tilde{f}$ finden mit $\tilde{f} (0)= \tilde{f} (2\pi)$ sowie $\|\tilde{f} - f\|_{2} < \varepsilon$. Dann gibt es wieder ein trigonometrisches Polynom $g$ mit $\|\tilde{f}-g\|_{2} < \varepsilon$, also $\| f-g\|_{2} < 2 \varepsilon$, und der Beweis kann wie zuvor zu Ende gef"uhrt werden. \end{proof} \begin{Korollar} \label{KKO} Sei $f: [0,2 \pi]\ra \Bbb{C}$ stetig und seien $c_{\nu} = \langle \op{e}^{{\op{i}}\nu x},f\rangle$ seine Fourierkoeffizienten. So gilt $\|f\|^{2}_{2} = \sum_{\nu\in\DZ} |c_{\nu}|^{2}$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die Differenz $\|f\|^{2}_{2}-\sum_{\nu=-n}^{\nu=n} |c_{\nu}|^{2}$ ist das Quadrat eines Ausdrucks, von dem wir gerade gezeigt haben, da"s er gegen Null strebt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kriterium f"ur gleichm"a"sige Konvergenz der Fourierreihe}] Gegeben eine stetig differenzierbare Funktion $f: \Bbb{R} \ra \DC$\label{KFou} der Periode $2\pi$ mit Fourierkoeffizienten $c_{\nu} \pdef \langle\op{e}^{{\op{i}}\nu x}, f\rangle$ gilt $$f=\sum_{\nu \in\DZ} c_{\nu}\op{e}^{{\op{i}}\nu x}$$ im Sinne der Summierbarkeit nach \ref{ABSBe} im komplexen Vektorraum ${\cal{C}}([0,2\pi])$ mit der Norm $\|\;\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wie in \ref{suun} diskutiert ist Summierbarkeit f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz gleichbedeutend zu absoluter Konvergenz und zu gleichm"a"siger Konvergenz der Partialsummen in Bezug auf jede Durchnummerierung der Indexmenge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch noch, wenn unsere Funktion nur \glqq st"uckweise stetig differenzierbar\grqq\ ist, wenn es also Punkte $0=a_0