\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen} \subsection{Partielle Ableitungen und Gradient} \begin{Definition}\label{dpA} Eine Funktion $f:\Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ hei"st {\bf partiell differenzierbar nach der $i$-ten Variablen} an einer Stelle $p = (p_{1},\ldots,p_{n})\in A$, \index{partiell!differenzierbar} wenn die Funktion $x \mapsto f (p_{1}, \ldots , p_{i-1}, x , p_{i+1}, \ldots, p_{n})$ differenzierbar ist bei $x = p_{i}$. Die Ableitung dieser Funktion hei"st die {\bf $i$-te partielle Ableitung}\index{Ableitung!partielle}\index{partiell!Ableitung} von $f$ und wird notiert als $$(\op{D}_i f)(p)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) \pdef \lim_{h\ra 0} \frac{f(p_{1},\ldots, p_{i}+h, \ldots, p_{n})-f(p_{1},\ldots,p_{i}, \ldots, p_{n})}{h}$$ \end{Definition} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPab} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Veranschaulichen wir uns eine reellwertige Funktion von zwei reellen Ver"anderlichen durch die H"ugellandschaft ihres Graphen, so beschreibt die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}(p)$ die Steigung bei $p$ derjenigen Stra"se durch $p$, die besagte H"ugellandschaft in Richtung der $x$-Achse durchquert. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der partiellen Ableitungen}] Unsere partiellen Ableitungen sind, soweit sie existieren, wieder reellwertige Funktionen. Um $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ zu berechnen, mu"s man sich salopp gesprochen alle $x_{j}$ mit $j\neq i$ als Konstanten denken. Zum Beispiel berechnen wir die partiellen Ableitungen von $f(x,y)=x \sin (xy)$ und erhalten $$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} &=& \sin (xy) + xy \cos (xy)\\[2mm] \frac{\partial f}{\partial y} &=& x^{2} \cos (xy) \end{array}$$ Dieses Beispiel zeigt auch die Vorteile der Notation $\frac{\partial }{\partial x}$ gegen"uber der formal exakteren Notation $\op{D}_i$, bei der man stets eine Reihenfolge der Variablen festlegen mu"s und schneller in Indizes ertrinkt. Wenn die sonstige Notation es erlaubt, benutzt man auch die sehr konzisen Schreibweisen $$\frac{\partial f }{\partial x}=\partial_x f=f_x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Ich will an einem Beispiel erl"autern, aus welchem Grund es sinnvoll ist, im Fall mehrerer Ver"anderlichen unsere bisherige Notation $\frac{\op{d}}{\diff x}$ zu $\frac{\partial}{\partial x}$ abzu"andern. Denken wir uns einen Wanderer auf einer Wanderung durch die Alpen, bei der schlechtes Wetter aufkommt. Der Luftdruck $D = D (t,h)$ h"angt dann sowohl von der Zeit als auch von der H"ohe ab. Macht unser Wanderer zum Zeitpunkt $t=t_0$ in der H"ohe $h=h_0$ eine Pause, so "andert sich der Luftdruck, den sein Barometer mi"st, mit der Rate $\frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h_0)$. Geht er jedoch zum Zeitpunkt $t=t_0$ bergab oder bergauf und gibt die Funktion $h(t)$ seine H"ohe zum Zeitpunkt $t$ an, so "andert sich der Luftdruck, den sein Barometer mi"st, mit der Rate $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} (D (t,h(t)))$. Wir werden zeigen, da"s sich diese Rate auch ausdr"ucken l"a"st in der Gestalt $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} ( D (t,h(t)))= \frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h(t_0)) + h^{\prime} (t_0) \frac{\partial D}{\partial h} (t_0, h(t_0))$ oder in Kurzschreibweise $$\frac{\diff D}{\diff t} = \frac{\partial D}{\partial t} + \frac{\diff h}{\diff t} \;\frac{\partial D}{\partial h}$$ Der Zweck der Variation unserer Notation liegt nun eben darin, da"s mit ihr solche Verk"urzungen verst"andlich bleiben. Um die behauptete Formel zu beweisen, f"uhren wir den Begriff des Differentials ein, studieren seinen Zusammenhang mit den partiellen Ableitungen und erhalten unsere Formel als Korollar \ref{GPa} der Kettenregel f"ur Differentiale. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $f: \Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ auf ganz $A$ nach jeder der $n$ Variablen partiell differenzierbar, so erkl"aren wir den {\bf Gradienten\index{Gradient} von $f$} als die Abbildung\index{grad@$\op{grad}$!Gradient}\label{GrAd} $$\begin{array}{rccl} \op{grad} f :& A & \ra & \Bbb{R}^{n}\\ &x &\mapsto & \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)\right)^\ttop \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Gradienten}] Man beachte, da"s in dieser Definition das Symbol $x$ f"ur ein Element des $\DR^n$ steht und nicht wie zuvor f"ur eine reelle Zahl. Ich stelle mir $\op{grad} f$ meist vor als ein Vektorfeld, das also jedem Punkt aus $A$ einen Vektor aus dem $\Bbb{R}^{n}$ zuordnet.\label{GraFF} Das ist auch der Grund daf"ur, da"s ich in obiger Definition den Zeilenvektor in einen Spaltenvektor transponiert habe. Denken wir uns im Fall $n =2$ den Graphen von $f$ als eine H"ugellandschaft, so zeigt $\op{grad} f$ stets in die Richtung, in der es am steilsten den Berg hinaufgeht, und $\op{grad} f$ ist desto l"anger, je steiler es hinaufgeht. Diese Anschauung wird durch Bemerkung \ref{Igra} formal gerechtfertigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abh"angigkeit des Gradienten von den Koordinaten}] Der Begriff des Gradienten ist nur f"ur reellwertige Funktionen auf dem $\DR^n$ sinnvoll. Reellwertigen Funktionen auf abstrakten endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen kann nicht mehr sinnvoll ein Gradient in Gestalt eines Vektorfeldes zugeordnet werden. Ich vermeide deshalb im folgenden nach M"oglichkeit den Begriff des Gradienten und arbeite stattdessen mit den sogenannten \glqq Differentialen\grqq, die in sehr viel gr"o"serer Allgemeinheit definiert sind. Die Beziehung zwischen Differentialen und Gradienten wird in \ref{JMGG} und \ref{Grgg} besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNiL} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrF} \end{minipage} \\[8mm] \centering Einige Niveaulinien und das Gradientenfeld eines H"ugels, hier m"oglicherweise der Funktion $\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2-y^2}$ auf der Kreisscheibe $x^2+y^2<\frac{1}{2}$. \end{figure} %\begin{Bild} %\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/}\\[8mm] %\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildGrF}\\[4mm] %\noindent %\end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $R(x,y)=\sum_{i,j}c_{ij}x^iy^j$ ein Polynom in zwei Variablen mit reellen Koeffizienten $c_{ij}\in\DR$. Man zeige: Gibt es eine nichtleere offene Teilmenge $A\co\Bbb{R}^2$ derart, da"s gilt $R(p)=0\;\forall p\in A$, so ist $R$ das Nullpolynom, in Formeln $c_{ij}=0\;\forall i,j$. \end{Ubung} \subsection{Affine R"aume} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist ein Auszug aus Abschnitt \eref{daff}{LA1} meiner Vorlesung zur linearen Algebra. Ich habe ihn hier eingef"ugt, um Unklarheiten zu vermeiden was die im weiteren verwendeten Notationen und Begriffsbildungen angeht. Meine Hoffnung ist, durch eine begriffliche Trennung von Punkten und Richtungsvektoren das Verst"andnis des Differentials zu erleichtern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{SSdaffan} Ein {\bf affiner Raum}\index{affin!Raum} oder kurz {\bf Raum}\index{Raum!affiner} "uber einem K"orper $k$ ist ein Tripel $$E=(E,\vec{E},a)$$ bestehend aus einer nichtleeren Menge $E$, einer abelschen Gruppe $\vec{E}\subset \op{Ens}^\times \! E$ von Permutationen von $E$ und einer Abbildung $a:k\times \vec{E}\ra \vec{E}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur alle $p,q\in E$ gibt es genau ein $\vec v\in\vec E$ mit $\vec v(p)=q$; \item Die Abbildung $a:k\times \vec{E}\ra \vec{E}$ ist die Multiplikation mit Skalaren einer Struktur als $k$-Vektorraum auf $\vec E$. \end{enumerate} Die Elemente von $\vec{E}$ hei"sen die {\bf Translationen}\index{Translation!von affinem Raum} oder {\bf Richtungsvektoren}\index{Richtungsvektor} unseres affinen Raums. Den Vektorraum $\vec{E}$ selbst nennen wir den {\bf Richtungsraum}\index{Richtungsraum} unseres affinen Raums $E$ und notieren ihn auch $\vec E=\op{Richt}(E)$. Die Operation von $k$ auf $\vec{E}$ mag man die {\bf Reskalierung von Translationen}\index{Reskalierung!von Translationen} nennen. Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!eines affinen Raums} unseres affinen Raums verstehen wir die Dimension seines Richtungsraums. Das Resultat der Operation von $\vec{v}\in \vec{E}$ auf $p\in E$ notieren wir $\vec{v}+p\pdef \vec{v}(p)$\index{+@$+$ Verschieben von Punkt um Richtungsvektor} oder auch $p+\vec{v}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Inkoh"arenzen der Notation}] Die eben eingef"uhrte Notation f"ur den Richtungsraum eines affinen Raums steht in Konflikt mit der Notation aus \ref{rPFf}, nach der ein Pfeil "uber dem Symbol f"ur eine Mannigfaltigkeit die Vorgabe einer Orientierung andeutet. Was jeweils gemeint ist, mu"s man aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ist $E$ ein affiner Raum, so liefert nach Annahme f"ur jedes $p\in E$ die Operation eine Bijektion $\vec{E}\sira E$, $\vec{u}\mapsto \vec{u}+p$ und es gilt $\vec{0}+p=p$ sowie $\vec{u}+(\vec{v}+p)=(\vec{u}+\vec{v})+p$ f"ur alle $\vec{u}, \vec{v}\in \vec{E}$ und $p\in E$. Flapsig gesprochen ist also ein affiner Raum ein \glqq Vektorraum, bei dem man den Ursprung vergessen hat\grqq. Gegeben $p,q\in E$ notieren wir $$\vec{u}=p-q$$ den Richtungsvektor $\vec{u}\in \vec{E}$ mit $p=\vec{u}+q$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Modellierung von Raum und Zeit}] Es scheint mir besonders sinnf"allig, den uns umgebenden Raum mathematisch als einen dreidimensionalen reellen affinen Raum $\mathbb E$ zu modellieren. Hierbei denkt man sich $\vec{\mathbb E}$ als die Gruppe aller \glqq r"aumlichen Parallelverschiebungen\grqq. "Ahnlich mag man die Zeit modellieren als einen eindimensionalen reellen affinen Raum $\mathbb T$. Hierbei denkt man sich $\vec{\mathbb T}$ als die Gruppe aller \glqq Zeitspannen\grqq\ und erlaubt auch \glqq negative Zeitspannen\grqq. Die Sekunde ist damit ein von Null verschiedener Vektor $\ph{s}\in \vec{\mathbb T}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf normierten Raum} verstehen wir im folgenden einen reellen affinen Raum $X$, dessen Richtungsraum $\vec X$ mit einer Norm versehen ist. Jeden normierten Raum fassen wir als metrischen Raum auf mit der Norm $d(x,y)\pdef \|x-y\|$ des Richtungsvektors von $y$ nach $x$ als Metrik und versehen ihn mit der zugeh"origen metrischen Topologie. "Aquivalente Normen liefern dieselbe Topologie. Insbesondere liefern auf einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ nach dem Satz \ref{SSAQN} "uber die "Aquivalenz von Normen je zwei Normen dieselbe Topologie.\label{natTop} Sie hei"st die {\bf nat"urliche Topologie auf $X$}.\index{nat"urliche Topologie!auf endlichdimensionalem reellen Raum} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein normierter Raum $X$ ist das Verschieben $\vec X\times X\ra X, (v,p)\mapsto v+p$\label{nafdt} eine stetige Abbildung. Um das einzusehen, wiederholt man den Beweis zur Stetigkeit der Addition in normierten Vektorr"aumen aus "Ubung \ref{nadt}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vom Nutzen allgemeiner normierter R"aume}] Wir werden es vorerst nur mit endlichdimensionalen normierten R"aumen zu tun haben.\label{DiffA} Ich arbeite dennoch hier und im folgenden mit beliebigen normierten R"aumen, weil das zum Ersten in keiner Weise schwieriger ist, weil es zum Zweiten einen gr"o"seren Abstand zum un"ubersichtlichen Gestr"upp der Koordinaten schafft, und weil es zum Dritten bei der Behandlung von Differentialgleichungen \ref{ALAW} in dieser Allgemeinheit gebraucht wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorr"aume als affine R"aume}] Jeder Vektorraum $V$ kann als ein affiner Raum aufgefa"st werden, indem wir als Translationen\label{SSVRARa} die durch die Addition von festen Vektoren gegebenen Abbildungen nehmen. Genauer betrachten wir den injektiven Gruppenhomomorphismus $\op{trans}: V\hra \op{Ens}^\times(V)$\index{trans@$\op{trans}$} gegeben durch $\op{trans}(v)\pdef (v+)$ und setzen in Formeln $$\vec V\pdef \op{trans}(V)$$ Die Reskalierung von Translationen erkl"aren wir dann dadurch, da"s der Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-mus $\op{trans}: V\sira \vec V$ einen Vektorraumisomorphismus auf sein Bild liefern soll. Oft schreibe ich abk"urzend $\op{trans}(v)=\vec v$. In dieser Notation bedeutet etwa $\vec 1\in\vec \DR\subset \op{Ens}^\times(\DR)$ die Verschiebung $(1+):\DR\ra\DR$. Oft wird aber die Identifikation zwischen einem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums schlicht gar nicht notiert, insbesondere f"ur $V=\DR^n$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ zwischen affinen R"aumen hei"st eine \defnoind{affine Abbildung},\index{affin!Abbildung} wenn es eine lineare Abbildung zwischen den zugeh"origen Richtungsr"aumen $\vec{\varphi}:\vec{X}\ra \vec{Y}$ gibt mit $$\varphi(p)-\varphi(q)= \vec{\varphi}(p-q)\;\;\forall p,q\in X$$ Diese lineare Abbildung $\vec{\varphi}$ ist dann durch $\varphi$ eindeutig bestimmt und hei"st der \defind{lineare Anteil} unserer affinen Abbildung. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt affiner R"aume}] Gegeben affine R"aume $X,Y$ "uber einem K"orper $k$ gibt es genau eine Struktur als affiner Raum "uber $k$ auf ihrem Produkt $X\times Y$ derart, da"s\label{PaR} die Projektionen auf $X$ und $Y$ affine Abbildungen werden. Die linearen Anteile der Projektionen induzieren dann einen Vektorraumisomorphismus $$(\vec{\op{pr}}_X,\vec{\op{pr}}_Y): \overrightarrow{X\times Y}\sira \vec X\times \vec Y$$ vom Richtungsraum des Produkts zum Produkt der Richtungsr"aume der Faktoren. Wir verwenden das Produkt affiner R"aume bei unserer Diskussion des Satzes "uber implizite Funktionen. \end{Ubung} \subsection{Differential} %\begin{Definition} %Seien $X,Y$ normierte R"aume und %$p\in A \co X$ eine bepunktete offene Teilmenge. %Eine Abbildung $f:A\ra Y$ hei"st %{\bf differenzierbar bei}\index{differenzierbar!mehrere Ver"anderliche} %$p$, %wenn es eine stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$ %gibt derart, da"s %%gilt %$$\lim_{\vec v\ra \vec 0}\frac{f(p +\vec v) - f(p) - L\vec v}{ \|\vec v \|}=\vec 0$$ %Ausf"uhrlicher sagt man\index{Frechet@Fr\'echet-differenzier\-bar} %{\bf total differenzierbar}\index{differenzierbar!total} oder {\bf Fr\'echet-differenzier\-bar}. Wir zeigen gleich, da"s die lineare Abbildung $L$ %eindeutig bestimmt ist, wenn sie existiert, und nennen dann $L$ das %{\bf Differential von $f$ bei $p$}. %\end{Definition} \begin{Definition}\label{DeDii} Seien $X,Y$ normierte R"aume. Eine Abbildung $f:X\lco A\ra Y$ hei"st {\bf differenzierbar an einer Stelle}\index{differenzierbar!mehrere Ver"anderliche} $p\in A$, wenn es eine stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$ gibt mit $$f(p +\vec v) = f(p) + L\vec v + \|\vec v \| \varepsilon (\vec v)$$ f"ur $\varepsilon$ stetig bei $\vec v=\vec 0$ mit Funktionswert $\vec 0$, in Formeln $\lim_{\vec v\ra \vec 0}\varepsilon (\vec v) =\varepsilon (\vec 0) =\vec 0$. Hier ist implizit zu verstehen, da"s die Abbildung $\varepsilon$ definiert sein soll auf der Menge aller $\vec v\in \vec{X}$ mit $p+\vec v\in A$. Ausf"uhrlicher sagt man\index{Frechet@Fr\'echet-differenzier\-bar} {\bf total differenzierbar}\index{differenzierbar!total} oder {\bf Fr\'echet-differenzier\-bar}. Wir zeigen gleich in \ref{DeDi2}, da"s die lineare Abbildung $L$ eindeutig bestimmt ist, wenn sie existiert. Sie hei"st dann das {\bf Differential} oder {\bf Tangential von $f$ bei $p$}\index{Differential}\label{DeDi} und\index{Tangential} wird notiert als $$\tiff_pf\pdef L$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] F"ur das Differential, das wir hier mit $\tiff_p f$ bezeichnen, findet man in der Literatur auch die alternativen Notationen $(\op{D}\!f)(p)$ und $f'(p)$ und $\diff_p f$. Die Notation $\tiff_p f$ hat den Vorteil, gut zu der Notation f"ur Tangentialr"aume zu passen, die wir sp"ater kennenlernen werden. Die Notation $\diff_p f$ pa"st hinwiederum besser unserer Notation $\frac{\diff y}{\diff x}$ f"ur Differenzenquotienten und der Notation $\diff x$, mit der wir beim Integral die Integrationsvariable auszeichnen. Das wird in \ref{EEWW} ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit des Differentials}] Gegeben zwei Differentiale $L,M$ derselben Abbildung an demselben Punkt haben wir $\op{lim}_{\vec v\ra\vec 0}(L-M)\vec v/\|\vec v\|=\vec 0$. Es folgt f"ur jeden Vektor\label{DeDi2} $\vec w\neq\vec 0$ durch Einsetzen von $\vec v=t\vec w$ insbesondere $$\vec 0=\op{lim}_{t\searrow 0}\frac{(L-M)(t\vec w)}{\|t\vec w\|} =\op{lim}_{t\searrow 0}\frac{(L-M)(\vec w)}{\|\vec w\|}=\frac{(L-M)(\vec w)}{\|\vec w\|} $$ Das hinwiederum zeigt $(L-M)\vec w=\vec 0\;\forall \vec w$ und insgesamt $L=M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Richtungsableitungen und Differential}] Gegeben $X,Y$ normierte R"aume und $f:X\lco A\ra Y$ differenzierbar bei $p\in A$ gilt $$(\tiff_pf)(\vec w)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(p+t\vec w)-f(p)}{t}$$ In der Tat folgt das direkt durch Einsetzen von $\vec v=t\vec w$ in der Definition des Differentials. Diesen Grenzwert in $\vec{Y}$ hinwiederum nennt man, wann immer er existiert, die {\bf Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in Richtung} $\vec w$\index{Ableitung!Richtungs-} \index{Richtungsableitung} und k"urzt ihn ab mit\index{D@${\op{D}}_{p,\vec v}$ Richtungsableitung} $${\op{D}}_{p,\vec w}(f)$$ f"ur englisch {\bf directional derivative}.\index{directional derivative} Anschaulich mi"st die Richtungsableitung im Fall $Y=\DR$, wie schnell unsere Funktion w"achst beziehungsweise abnimmt, wenn wir von $p$ aus \glqq mit der durch die L"ange von $\vec w$ gegebenen Geschwindigkeit in der Richtung $\vec w$ gehen\grqq. Unsere Richtungsableitung h"angt insbesondere nicht nur von der Richtung des Vektors $\vec w$ ab, sondern auch von seiner L"ange. Existiert das Differential von $f$ an einer Stelle $p\in A$, so existieren insbesondere auch alle Richtungsableitungen und f"ur alle Richtungsvektoren $\vec w\in \vec{X}$ gilt\label{RaA} $${\op{D}}_{p,\vec w}(f) = (\tiff _{p}f)(\vec w)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im folgenden diskutieren wir die Berechnung der Differentiale zun"achst f"ur Abbildungen $\DR^m\ra\DR$, dann f"ur Abbildungen $\DR^m\ra\DR^n$, dann f"ur Abbildungen $\DR\ra\DR^n$ und schlie"slich f"ur Abbildungen $\DR\ra\DR$. Anschlie"send diskutieren wir Anschauungen im abstrakten Kontext, etwa f"ur bewegte Teilchen alias Abbildungen $\mathbb T\ra\mathbb E$ von der Zeit in den Raum. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Partielle Ableitungen als Richtungsableitungen}] F"ur eine total differenzierbare\label{WwW} Abbildung $f: \Bbb{R}^{m}\lco A\ra \Bbb{R}$ existieren alle partiellen Ableitungen und die Translationen um diese partiellen Ableitungen sind gerade die Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren $\vec{\op{e}}_i$ des Richtungsraums des $\DR^n$, in Formeln $${\op{D}}_{p,\vec{\op{e}}_i}(f) =\op{trans}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)\right)$$ "Ublicherweise macht man bei Vektorr"aumen keinen Unterschied zwischen dem zugrundeliegenden affinen Raum und seinem Richtungsraum und schreibt diese Erkenntnis als die Identit"at $${\op{D}}_{p,{\op{e}}_i}(f) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Partielle Ableitungen als Richtungsableitungen, Variante}] F"ur $f=(f_1,\ldots,f_n)^\ttop : \Bbb{R}^{m}\lco A\ra \Bbb{R}^n$ total differenzierbar finden wir allgemeiner mit einer durch die zweite Gleichung erkl"arten vereinfachten Notation ganz rechts\label{Wse} $${\op{D}}_{p,{\op{e}}_i}(f) =\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_{i}} (p),\ldots, \frac{\partial f_n}{\partial x_{i}} (p)\right)^\ttop \defp \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Jacobimatrix}] Gegeben eine lineare Abbildung $L:\DR^m\ra\DR^n$ ist ihre darstellende Matrix nach \eref{MLA}{LA1} die Matrix $[L]$ mit den Spaltenvektoren $L({\op{e}}_i)$, in Formeln $[L]=(L({\op{e}}_1)|\ldots|L({\op{e}}_m))$. Ist speziell eine Abbildung $$f:\DR^m\lco A\ra\DR^n$$ differenzierbar bei $p$, so ist die darstellende Matrix ihres Differentials $\tiff_pf$ folglich die Matrix mit den Spaltenvektoren $(\tiff_pf)(\op{e}_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$ in der in \ref{Wse} eingef"uhrten Notation. Hat unsere Abbildung also die Gestalt $f=(f_1,\ldots, f_n)^\ttop$ mit Funktionen $f_j:A\ra\DR$, so hat die darstellende Matrix ihres Differentials $\tiff_pf$ die Gestalt $$[\tiff_pf]=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}(p)\\ \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{m}} (p) \end{array}\right) $$ Diese Matrix hei"st die {\bf Jacobi-Matrix}\index{Jacobi-Matrix} unserer Abbildung. Wir denken uns in diesem Zusammenhang Vektoren stets als Spaltenvektoren und haben unsere Abbildung $f=(f_1,\ldots, f_n)^\ttop$ geschrieben, um das zu betonen. F"ur die Jacobimatrix findet man h"aufig die Notation $$\frac{\partial(f_{1},\ldots, f_{n})}{\partial(x_{1},\ldots , x_{m})}(p)$$ Wenn Ihnen die Identifikation von Matrizen mit linearen Abbildungen $\DR^m\ra\DR^n$ aus \eref{MLA}{LA1} und \eref{inA}{LA1} einmal richtig in Fleisch und Blut "ubergegangen ist, werden Sie sich auch nicht mehr daran st"oren, wenn wir sp"ater in diesem Kontext mit $\tiff_p f$ sowohl das Differential als auch die Jacobimatrix bezeichnen sollten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Differenzierbarkeit bei stetigen partiellen Ableitungen}] In \ref{PTD} werden wir umgekehrt f"ur $f:\DR^m\lco A\ra\DR^n$ zeigen, da"s wenn alle $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ auf ganz $A$ existieren und stetig sind, da"s dann $f$ differenzierbar ist. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Gradient}] Gegeben eine reellwertige Abbildung $f:\DR^m\lco A\ra\DR$ ist ihre Jacobimatrix die\label{JMGG} Zeilenmatrix $$[\tiff_pf]=\left( \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (p), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{m}}(p) \right) $$ und stimmt "uberein mit dem Transponierten des Gradienten, der ja als Vektor in unseren Konventionen a priori als eine Spaltenmatrix aufzufassen ist, in Formeln $$[\tiff_pf]=\big((\op{grad}f)(p)\big)^\ttop$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient in Bezug auf ein Skalarprodukt}] \nichtfinal{Nicht hier!} Gegeben allgemeiner ein endlichdimensionaler Raum $X$ liefert jedes Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum $\vec X$ einen Isomorphismus $\hat{s}:\vec X\sira \vec X^\ttop$ vom Richtungsraum zu seinem Dualraum durch $\hat{s}(v)(w)\pdef s(v,w)$ und\label{Grsk} wir k"onnen f"ur eine Abbildung $f:X\lco A\ra\DR$ ihren {\bf $s$-Gradienten bei $p\in A$}, einen Richtungsvektor $(\op{grad}_sf)(p)\in \vec X$, erkl"aren durch die Vorschrift $$(\op{grad}_sf)(p)\pdef \hat{s}^{-1}(\tiff_pf)$$ Ausgeschrieben mit der Definition von $\hat s$ wird der $s$-Gradient von $f$ also charakterisiert durch die Identit"at $(\tiff_pf)(\vec w)= s\big((\op{grad}_sf)(p),\vec w\big)\;\forall \vec w$. Im Fall des Standardskalarprodukts auf $\DR^n$ erhalten wir den "ublichen Gradienten aus \ref{GrAd} zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient und Richtungsableitung}] F"ur die Richtungsableitung einer differenzierbaren reellwertigen Funktion\label{Igra} $f: \Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ am Punkt $p$ in Richtung $ \vec w$ erhalten wir speziell $${\op{D}}_{p, \vec w} (f)=(\tiff _p f)( \vec w)=\langle (\op{grad} f)(p), \vec w\rangle$$ Insbesondere wird die Richtungsableitung bei $p$ in Richtung eines Vektors $\vec w$ der L"ange Eins maximal unter allen Richtungsvektoren der L"ange Eins genau dann, wenn der Gradient von $f$ ein nichtnegatives Vielfaches von $ \vec w$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient und Richtungsableitung, Variante}] \nichtfinal{Nicht hier!} F"ur die Richtungsableitung $({\op{D}}_{ \vec w} f)(p)$ einer differenzierbaren reellwertigen Funktion\label{Igra} $f: X \ra \Bbb{R}$ auf einem endlichdimensionalen Raum am Punkt $p\in X$ in Richtung $\vec w\in \vec X$ gegeben ein Skalarprodukt $s$ auf $\vec X$ erhalten wir allgemeiner $$({\op{D}}_{ \vec w} f)(p)=(\tiff _p f)( \vec w)=s\big((\op{grad}_s f)(p), \vec w\big)$$ In dieser Allgemeinheit wird also die Richtungsableitung bei $p$ in Richtung eines Vektors $ \vec w$ der $s$-L"ange Eins maximal unter allen Vektoren der L"ange Eins genau dann, wenn der $s$-Gradient von $f$ ein nichtnegatives Vielfaches von $ \vec w$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential als physikalischer Geschwindigkeitsvektor}] Gegeben eine differenzierbare Abbildung $\gamma:\mathbb T\lco A\ra \mathbb E$ von der Zeit in den Raum ist ihr Differential $\tiff_t\gamma:\vec{\mathbb T}\ra \vec{\mathbb E}$ zu einem vorgegebenen Zeitpunkt $t\in A$ ein Element $$\tiff_t\gamma\in \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb T}, \vec{\mathbb E})$$ Die Elemente dieses Vektorraums hei"sen\label{Tempo} {\bf vektorielle Geschwindigkeiten}.\index{Geschwindigkeit!vektorielle} Man verwendet in diesem Fall meist die alternative Notation $ \dot\gamma(t)\pdef \tiff_t\gamma$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential als mathematischer Geschwindigkeitsvektor}] Gegeben eine differenzierbare Abbildung $\gamma:\DR\lco A\ra E$ von einem Teil der Zahlengerade in einen normierten Raum $E$ ist ihr Differential $\tiff_t\gamma:\vec\DR\ra \vec{ E}$ bei $t\in A$ ein Element\label{DifGes} $$\tiff_t\gamma\in \op{Hom}_\DR(\vec \DR , \vec{ E})$$ Man schreibt dann meist $\gamma'(t)\pdef (\tiff_t\gamma)(\vec 1)\in\vec{ E}$ mit $\vec 1\in \vec\DR$ wie in \ref{SSVRARa} und nennt diesen Vektor manchmal auch den {\bf Geschwindigkeitsvektor}. F"ur $E=\DR^n$ spezialisiert unser Geschwindigkeitsvektor zu dem bereits in \eref{Geschn}{AN1} eingef"uhrten Geschwindigkeitsvektor $\gamma'(t)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Ableitung}] Gegeben eine differenzierbare Abbildung $f:\DR\ra \DR$ ist insbesondere ihr Differential $\tiff_p f:\vec\DR\ra \vec\DR$ bei $p\in\DR$ die lineare Abbildung $\tiff_p f= (f'(p)\cdot)$ der Multiplikation mit der Ableitung. Ihre Jacobimatrix ist also die $(1\times 1)$-Matrix $[\tiff_p f]=(f'(p))$. \end{Beispiel} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDPo} Dies Bild soll die Bedeutung des Differentials in der Anschauung einer Abbildung \glqq als Abbildung\grqq\ verdeutlichen. Wir betrachten die {\bf Po\-lar\-ko\-or\-di\-na\-ten\-ab\-bil\-dung}\index{Polarkoordinatenabbildung} $ f : \Bbb{R}_{>0} \times (0,2\pi) \rightarrow \Bbb{R}^2$, $ (r , \vartheta) \mapsto (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)$. Ihr Differential an der Stelle $p=(r,\vartheta)=(1\frac{1}{2},\frac{\pi}{2})$ wird beschrieben durch die Jacobi-Matrix \begin{displaymath} [\tiff_p f] = {\cos \vartheta \; - r \sin \vartheta \choose \sin \vartheta \;\;\;\;\; r \cos \vartheta} = {0 \;\;\; {-}{1\frac{1}{2}} \choose 1 \;\;\;\;\;\;\; 0} \end{displaymath} Die Pfeile im Bild sollen zeigen, da"s das in der Tat diejenige lineare Abbildung $L$ ist, f"ur die f"ur kleines $h$ die Abbildung $p+h\mapsto f(p)+Lh$ unsere Abbildung $p+h\mapsto f(p+h)$ am besten approximiert. \end{figure} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDED}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll das Differential einer Abbildung $\DR\ra\DR$ veranschaulichen, genauer der Abbildung $f:\DR^\times\ra\DR$ gegeben durch $x\mapsto 2/x$ an der Stelle $x=1$. Nach der allgemeinen Theorie wird in diesem Fall das Differential gegeben durch die $(1\times 1)$-Matrix $[\tiff_pf]=(f'(p))$ mit dem einzigen Eintrag $f'(p)$. In unserem Fall h"atten wir etwa $[\tiff_1f]=(-2)$. Im Bild habe ich versucht, unsere Abbildung sowohl durch ihren Graphen als auch durch eine echte Abbildung, in unserem Fall einem \glqq Umdrehen und Verzerren der Zahlengeraden\grqq, zu veranschaulichen. Ein kleiner von $1$ ausgehender Richtungsvektor wird dann in etwa und im Grenz"ubergang ganz genau auf das Doppelte seines Negativen abgebildet. Das will unser Bild anschaulich machen. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalente Normen liefern dasselbe Differential}] Unser Differenzierbarkeitsbegriff und das Differential "andern sich nicht, wenn wir die Normen auf den beteiligten Richtungsr"aumen durch "aquivalente Normen ersetzen. Das sieht man direkt, es wird aber auch formal aus der Kettenregel \ref{Kett} folgen. Sind insbesondere $X$ und $Y$ endlichdimensional, so ist unser Differenzierbarkeitsbegriff nach dem Satz "uber die "Aquivalenz von Normen \ref{SSAQN} unabh"angig von der Wahl der Normen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.25\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHoO} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.65\textwidth} \centering Ein Kegelchen der Gestalt $p + [0,1]C$ in der Papierebene, f"ur $C$ die Menge aller Richtungsvektoren, die von $p$ ins Innere der ellipsenf"ormigen Menge zeigen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Eine Teilmenge $A$ eines normierten Raums $X$ nennen wir {\bf halboffen},\index{halboffen!in reellem affinen Raum} wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$\label{dho} eine nichtleere offene Teilmenge $C \co \vec{X}$ gibt mit $p + [0,1]C \subset A$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen ist eine Teilmenge eines normierten Raums halboffen, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$ ein kleines Kegelchen mit Spitze in $p$ gibt, das auch noch ganz in $A$ liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at}] Offensichtlich ist eine Teilmenge $D\subset \DR$ genau dann halboffen im Sinne von \eref{dhoR}{AN1}, wenn sie halboffen ist im hier erkl"arten Sinne. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential bei halboffenem Definitionsbereich}] Gegeben normierte R"aums $X,Y$ und eine Abbildung $f:X\supset A\ra Y$ \label{dhox} mit $A\subset X$ halboffen ist das Differential $$\tiff_pf:\vec X\ra\vec Y$$ offensichtlich immer noch wohldefiniert and jeder Stelle $p\in A$, wenn es denn existiert. Formal folgt das zum Beispiel aus "Ubung \ref{EZOT}, nach der ein normierter reeller Vektorraum von jeder nichtleeren offenen Teilmenge erzeugt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Der Begriff \glqq halboffen\grqq\ kommt in der Literatur sonst nicht vor. Er scheint mir jedoch n"utzlich, da er hilft, Verkrampfungen bei der Definition der Differenzierbarkeit auf abgeschlossenen Halbr"aumen und dergleichen zu vermeiden. Eine Definition in dieser Allgemeinheit hinwiederum ben"otigen wir bei der Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf h"ohere Dimensionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Virtuelle partielle Ableitung}] Gegeben $A\subset \Bbb{R}^{n}$ eine halboffene Teilmenge und $f:\Bbb{R}^{n}\supset A\ra \Bbb{R}$\index{partiell!Ableitung, virtuelle} differenzierbar bei $p\in A$ setzen wir\label{PaLN} $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p) \pdef (\tiff_p f)(\op{e}_i) $$ auch dann, wenn der Grenzwert $\lim_{t\ra 0}$ in unserer urspr"unglichen Definition einer partiellen Ableitung gar nicht gebildet werden kann, weil in $\{t\mid p+t{\op{e}}_i\in A\}$ die Null ein isolierter Punkt ist. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential affiner Abbildungen}] Das Differential einer stetigen affinen Abbildung ist an jeder Stelle ihr linearer Anteil. Sind also $X,Y$ normierte R"aume und ist $\varphi:X\ra Y$ stetig und affin, so gilt f"ur alle $p\in X$\label{Dal} in Formeln $$\tiff_p\varphi=\vec\varphi:\vec X\ra \vec Y$$ % gegeben durch $f(v+h)= Lh+ w$ mit einer % stetigen linearen Abbildung $L:\vec{X}\ra \vec{Y}$ % und $v\in X$, $w\in Y$ fest, % so haben wir $\tiff _pf = L$ f"ur alle $p\in X$. %Insbesondere ist das Differential einer konstanten Abbildung %an jedem Punkt die Nullabbildung. Sind $X,Y$ bereits selbst normierte %Vektorr"aume und ist $\varphi:X\ra Y$ stetig linear, so haben wir %$\vec\varphi\circ\op{trans}=\op{trans}\circ \varphi:X\ra \vec Y$. In diesem %Fall macht man die Unterscheidung zwischen $X$ und $\vec X$ beziehungsweise $\varphi$ und $\vec\varphi$ meist nicht explizit und schreibt etwa\label{Dal} %$\tiff_p\varphi=\varphi$ und sagt, jede lineare %Abbildung sei \glqq ihr eigenes Differential\grqq. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIf} \hfill \includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIff}\\[4mm] \centering Anschauliche Bedeutung des Differentials einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren Graphen nach \ref{Lapp}. Der Graph des Differentials ist bis auf eine Verschiebung gerade die Tangente. \nichtfinal{Notation anpassen!} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Graph des Differentials einer reellen Funktion auf der Ebene}] Im allgemeinen kann man sich $\tiff _p f$ vorstellen als\label{Lapp} \glqq den linearen Anteil der affinen Abbildung, die unsere Funktion in der N"ahe der vorgegebenen Stelle bestm"oglich approximiert\grqq\ oder in anderen Worten als \glqq diejenige lineare Abbildung $L$, f"ur die $x\mapsto f(p)+ L(x-p)$ unsere Funktion $x\mapsto f(x)$ in der N"ahe von $p$ am besten approximiert\grqq. Veranschaulichen wir uns zum Beispiel eine Funktion $f: \Bbb{R}^2 \ra \Bbb{R}$ durch ihren Graphen, eine h"ugelige Landschaft, so ist die schmutzige anschauliche Tangentialebene an unsere h"ugelige Landschaft im Punkt $(p,f(p))$ im verschobenen Koordinatensystem mit Ursprung $(p,f(p))$ der Graph des Differentials $\tiff _pf :\Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddpf}\\[4mm] \noindent Anschauliche Bedeutung des Differentials einer reellwertigen Funktion von zwei reellen Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren Graphen nach \ref{Lapp}. Der Graph des Differentials ist bis auf eine Verschiebung gerade die Tangentialebene. Der Wert des Differentials auf dem Vektor $h$ ist etwa der im Bild durch eine geschweifte Klammer angedeutete Abstand oder noch genauer die zugeh"orige positive reelle Zahl. \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Schrankensatz, Variante}] Seien $X$ ein normierter Raum und $\gamma:[a,b]\ra X$ eine differenzierbare Abbildung und $C\co \vec X$ ein offene konvexe Teilmenge. Gilt $\gamma'(t)\in C\;\forall t\in [a,b]$, so folgt $\gamma(b)-\gamma(a)\in (b-a)C$.\label{MWSan} Hinweis: Man kopiere mutatis mutandis den Beweis des Schrankensatzes \eref{MWSn}{AN1}. Unser Satz gilt genauso f"ur $C$ konvex und abgeschlossen in $\vec X$, da wir so ein $C$ schreiben k"onnen als den Schnitt der offenen konvexen Mengen $C=\bigcap_{\eta>0}(C+\op{B}(0;\eta))$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bogenl"ange als Integral, Variante}] Gegeben $\gamma:[a,b]\ra X$ eine stetig differenzierbare Abbildung in einen normierten Raum zeige man $$\int_a^b\|\gamma'(t)\|\diff t=\op{sup}\left.\left\{\sum_{i=1}^n\|\gamma(a_i)-\gamma(a_{i-1})\|\right|a=a_0\leq a_1\leq\ldots\leq a_n=b\right\}$$ Hinweis: Man orientiere sich am Spezialfall \eref{BoL}{AN1}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{DEX} Das Differential bei der Nullmatrix der Exponentialabbildung $\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist die Identit"at, in Formeln gilt also $\tiff_0\exp=\op{id}:\op{Mat}(n;\DC) \ra \op{Mat}(n;\DC)$. Man zeige das und zeige es allgemeiner auch f"ur die Exponentialabbildung auf dem Raum der stetigen Endomorphismen eines beliebigen Banachraums aus \ref{ExBR}. \end{Ubunge} %\begin{Ubunge}\label{KRD} %Eine Abbildung $f:\DC\ra\DC$ ist komplex differenzierbar bei $p\in\DC$ im %Sinne von \eref{DEVc}{AN1} mit Ableitung $f'(p)\in \DC$ genau dann, wenn %so $f$ bei $p$ differenzierbar ist im %Sinne von \ref{DeDi} %und sein Differential $\tiff_p f:\DC\ra\DC$ eine komplexlineare Abbildung. %In diesem Fall ist das % Differential von $f$ gerade die Multiplikation %mit seiner komplexen Ableitung $f'(p)$ aus \eref{DEVc}{AN1}, in Formeln %$\tiff_p f = (f'(p)\cdot):\DC\ra\DC$. Analoges gilt, wenn $f$ nur auf %einer halboffenen Teilmenge von $\DC$ definiert ist. %\end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{DPZ} Man erinnere die Polarzerlegung \eref{PZR}{LA2} einer invertierbaren Matrix $A=UP$ mit $U=U(A)$ orthogonal und $P=P(A)$ symmetrisch positiv definit. Man zeige f"ur das Differential bei der Einheitsmatrix der Abbildungen, die jeder invertierbaren Matrix ihren orthogonalen beziehungsweise positiv definiten symmetrischen Anteil zuordnen, die Formeln $\tiff_{{\op{I}}}U:D\mapsto (D-D^\ttop)/2$ und $\tiff_{{\op{I}}}P:D\mapsto (D+D^\ttop)/2$. Im allgemeineren Fall der Polarzerlegung von Automorphismen eines Skalarproduktraums zeige man dieselbe Formel, wo $D^\ttop$ den zu $D$ adjungierten Endomorphismus meint. \end{Ubunge} \subsection{Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit}] Gegeben endlichdimensionale R"aume $X,Y$ ist f"ur $A\subset X$ halboffen jede Abbildung $f:X\supset A\ra Y$, die bei $p\in A$ differenzierbar ist, dort auch stetig. In der Tat gilt ja nach Annahme $$f(p+\vec v)=f(p)+(\tiff_pf)(\vec v)+ \varepsilon (\vec v)$$ mit $\tiff_pf$ linear und $\varepsilon$ stetig bei $\vec v=\vec 0$. Dasselbe gilt auch f"ur beliebige normierte R"aume $X,Y$, weil wir ja bei der Definition der Differenzierbarkeit gefordert hatten, da"s $\tiff_pf$ eine stetige lineare Abbildung sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}] Seien $A,B,C$ halboffene Teilmengen\index{Kettenregel!in mehreren Ver"anderlichen} normierter R"aume $X,Y,Z$. Seien $f:A\ra B$ und $g: B\ra C$ Abbildungen\label{Kett} und $p\in A$ ein Punkt derart, da"s $f$ differenzierbar ist bei $p$ und $g$ differenzierbar bei $f(p)$. So ist auch $g \circ f$ differenzierbar bei $p$ und es gilt $$\tiff _{p}(g\circ f)= (\tiff _{f(p)}g) \circ (\tiff _{p}f)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Es ist anschaulich klar, da"s die bestm"ogliche affine Approximation an die Verkn"upfung $g\circ f$ zweier Abbildungen $f$ und $g$ bei einer vorgegebenen Stelle $p$ gerade die Verkn"upfung der bestm"oglichen affinen Approximation an $f$ bei $p$ mit der bestm"oglichen affinen Approximation an $g$ bei $f(p)$ sein mu"s. Die Kettenregel formalisiert diese Anschauung f"ur die linearen Anteile unserer bestm"oglichen affinen Approximationen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sind unsere drei normierten R"aume $\DR^n,\DR^m,\DR^l$, so bedeutet die Kettenregel die Identit"at von Jacobi-Matrizen $$[\tiff _{p}(g\circ f)]= [\tiff _{f(p)}g] \circ [\tiff _{p}f]$$ oder ausgeschrieben die Identit"at \\[4mm] $ \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\ \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\ \frac{\partial (g\circ f)_{l}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial (g\circ f)_{l}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right)=\hfill $ \\[4mm] $\hfill =\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots & \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{m}}(f(p))\\ \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\ \frac{\partial g_{l}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots & \frac{\partial g_{l}}{\partial y_{m}} (f(p)) \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\ \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\[-3mm] \cdot & &\cdot \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right) $ \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Zur Vereinfachung setzen wir $q = f(p)$, $L = \tiff _{p}f$ und $M= \tiff _{q}g$ und haben $$\begin{array}{llll} f(p+h)&=& f(p)+Lh&+\|h\|\varepsilon(h)\\[2mm] g(q+j)&=& \;\! g(q) + Mj&+\|j\|\eta (j) \end{array}$$ f"ur Abbildungen $\varepsilon$ und $\eta $, die stetig sind bei Null und die dort verschwinden. Wir schreiben $$f(p+h) = q +j(h)$$ mit $j(h) = Lh+ \|h\| \varepsilon (h)$ und erhalten durch Einsetzen $$\begin{array}{lll} (g\circ f) (p+h) &=& g(q+j(h))\\[2mm] &=& g(q) + Mj(h) + \|j(h)\| \eta (j(h))\\[2mm] &=&(g\circ f)(p) + MLh + M\|h\| \varepsilon(h) + \|j(h)\| \eta (j(h)) \end{array}$$ Wir sind fertig, sobald wir zeigen $$\lim_{h\ra 0} M\varepsilon (h) =0\;\;\;\text{ und }\;\;\; \lim_{h\ra 0} \frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \eta (j(h)) =0$$ Der erste Grenzwert ergibt sich m"uhelos, $h\mapsto M\varepsilon (h)$ ist eben auch stetig bei $h=0$ und nimmt dort den Wert Null an. Um den zweiten Grenzwert zu berechnen, sch"atzen wir erst ab $\|j(h)\| \leq \|h\| (\|L\|+ \|\varepsilon(h)\|)$ und dann $$\frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \|\eta (j(h))\|\leq (\|L\|+ \|\varepsilon(h)\|) \| \eta (j(h))\|$$ Die rechte Seite ist wieder stetig bei $h=0$ und nimmt dort den Wert Null an, gleichbedeutend strebt sie also f"ur $h\ra 0$ gegen Null, und durch Einquetschen \ref{SSBL24} strebt die linke Seite dann erst gegen Null. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Kettenregel beim Nachschalten affiner Abbildungen}] Gegeben normierte R"aume $X,Y,Z$ und $f:X\ra Y$ differenzierbar und $\varphi:Y\ra Z$ affin und stetig liefert die Kettenregel $\tiff_p(\varphi\circ f)=\vec\varphi\circ \tiff_pf$ nach \ref{Dal}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten}]\label{Lr} Gegeben normierte R"au\-me $Y,Z$ und $\gamma:\DR\ra Y$ sowie $g:Y\ra Z$ differenzierbar liefert die Kettenregel $\tiff_t(g\circ\gamma)=\tiff_{\gamma(t)}g \circ \tiff_t\gamma$. Mit der Beziehung \ref{DifGes} zwischen Differential und Geschwindigkeit erhalten wir daraus durch Auswerten auf $\vec 1\in\vec\DR$ sofort $$(g\circ\gamma)'(t)=(\tiff_{\gamma(t)}g)(\gamma'(t))$$ \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Spezialfall der Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten}] Gegeben seien differenzierbare Abbildungen $x_1,\ldots,x_n: \Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ und $F:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}$ differenzierbar. So ist die durch die Vorschrift\label{GPa} $t\mapsto F(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegebene Abbildung differenzierbar und ihre Ableitung an der Stelle $t=a$ wird unter Verwendung der Abk"urzung $x(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegeben durch die Formel $$\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a}F(x(t))= \frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a) +\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich gilt die Aussage auch dann noch, wenn unsere Funktionen $x_{i}$ auf einer halboffenen Teilmenge $I \subset \Bbb{R}$ definiert sind und $F$ auf einer halboffenen Teilmenge von $\Bbb{R}^n$, solange nur $x(t)$ stets im Definitionsbereich von $F$ liegt. Man schreibt diese Formel meist etwas salopp in der Form $$\frac{\diff F}{\diff t}= \frac{\partial F}{\partial x_1} \frac{\diff x_1}{\diff t} +\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n} \frac{\diff x_n}{\diff t}$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Das ist die Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten \ref{Lr} ausgeschrieben f"ur $Y=\DR^n$ und $Z=\DR$ in anderen Buchstaben. Wir betrachten $x$ als eine Abbildung $x:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}^n$. Nach Definition ist $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a} F(x(t))$ der einzige Eintrag in der Matrix $[\tiff _a(F\circ x)]$ der linearen Abbildung $\tiff _a(F\circ x):\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$. Mit der Kettenregel finden wir nun $$\begin{array}{ccl} [\tiff _a(F\circ x)] &=&[\tiff _{x(a)}F\circ \tiff _a x]\\[1mm] &=&[\tiff _{x(a)}F]\circ [\tiff _a x]\\[1mm] &=&\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a)),\ldots,\frac{\partial F}{\partial x_n} (x(a))\right)\left(\rule{0mm}{5mm}\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)),\ldots,\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)\right)^{\ttop}\\[3mm] &=&\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a) +\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)\right) \end{array}$$ wobei in der vorletzten Zeile das Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix zu verstehen ist, wie der obere Index $\ttop$ andeutet. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Partielle Ableitungen mit Einheiten}] \nichtfinal{Woanders?} Oft werden auch partielle Ableitungen in gr"o"serer Allgemeinheit verwendet als in \ref{dpA}.\label{PhNo} Sind genauer $X_1,\ldots, X_n$ eindimensionale reelle R"aume und ist $Y$ ein normierter reeller Raum und $U\co X_1\times\ldots\times X_n$ eine offene Teilmenge und $x_i:U\ra X_i$ die $i$-te Projektion und $f:U\ra Y$ eine Abbildung, so bezeichnet $$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$ das \glqq Differential der Restriktion auf $X_i$ bei festen anderen Variablen\grqq, eine Abbildung $\frac{\partial f}{\partial x_i}: U\ra \op{Hom}_\DR(\vec{X_i},\vec{Y})$. Unter der Identifikation des Richtungsraums unseres Produkts $X_1\times\ldots\times X_n$ mit dem Produkt der Richtungsr"aume und des Raums Homomorphismen von dort nach $\vec Y$ mit dem Produkt der Homomorphismenr"aume haben wir dann\index{Ableitung!partielle, mit Einheiten}\index{partiell!Ableitung, mit Einheiten} $$\tiff f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\left|\ldots\left| \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\right.\right.$$ Im Fall $Y=\DR^m$ erhalten wir speziell wieder unsere Jacobimatrix als eine Zeilenmatrix von Spaltenvektoren. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Asc} Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume. Sei $A\subset X$ halboffen und $f:A\ra Y$ differenzierbar. Liegt f"ur zwei Punkte $p,q\in A$ das ganze verbindende Geradensegment $[p,q]$ in $A$ und ist die Operatornorm des Differentials von $f$ auf $[p,q]$ beschr"ankt durch eine Konstante $K$, in Formeln $\|\tiff_x f\|\leq K\;\forall x\in A$, so gilt $\|f(p)-f(q)\|\leq K\|p-q\|$. Hinweis: Schrankensatz %\eref{MWSn}{AN1} beziehungsweise \ref{MWSan}. \end{Ubung} \subsection{Differenzierbarkeit "uber partielle Ableitungen} \begin{Proposition}[\textbf{Differenzierbarkeit bei stetigen partiellen Ableitungen}] Sei $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra \DR$ eine Abbildung.\label{PTD} Existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ und sind stetig als Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}: U \ra \DR$, so ist die Abbildung $f$ total differenzierbar. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Es folgt unmittelbar, da"s $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra \DR^n$ total differenzierbar ist, wenn alle $\frac{\partial f_i}{\partial x_{j}}$ stetig sind auf $U$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine stetige Funktion $f:\DR^2\ra\DR$, deren s"amtliche Richtungsableitungen an jeder Stelle existieren, die jedoch im Ursprung nicht total differenzierbar ist, kann man wie folgt erhalten: Man w"ahlt eine stetig differenzierbare Funktion $g:\DR\ra\DR$ mit der Eigenschaft $g(x+\pi)=-g(x)$, die nicht identisch Null ist, und setzt $f(r\cos\theta, r\sin\theta)= r g(\theta)$ f"ur $r>0$ und $f(0,0)=0$. Ist $g$ nicht die Nullfunktion und hat mehr als zwei Nullstellen auf $[0,2\pi)$, so h"angen die Richtungsableitungen am Ursprung unserer Funktion $f$ nicht linear vom Richtungsvektor ab und sie kann folglich beim Ursprung nicht total differenzierbar sein. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Es gilt, an jeder Stelle $p \in U$ die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Indem wir vor $f$ eine geeignete Verschiebung davorschalten, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p=0$ annehmen. Indem wir zu $f$ eine geeignete Konstante sowie eine geeignete lineare Abbildung addieren, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit weiter annehmen, da"s gilt $f(p) =0$ und $\frac{\partial f}{\partial x_{j}} (p) = 0 \;\forall j$. Unter diesen zus"atzlichen Annahmen m"ussen wir nun zeigen, da"s $f$ total differenzierbar ist bei $p=0$ mit Differential Null, in Formeln $\tiff_p f=0$. Gegeben $\varepsilon>0$ finden wir nun sicher $\delta= \delta_\varepsilon >0$ derart, da"s gilt $\op{B}(0;\delta)\subset U$ und da"s alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ auf diesem Ball nur Werte in $C\pdef (-\varepsilon,\varepsilon)$ annehmen. Aus dem Mittelwertsatz folgt f"ur $|h| < \delta$ schon $f (h_{1}, \ldots ,h_{j-1}, h_{j}, 0, \ldots , 0)- f(h_{1}, \ldots , h_{j-1}, 0,0, \ldots , 0) \in h_{j} C$ und insgesamt $$f(h)=f(h) - f(0) \in (h_{1} + \ldots+ h_{m})C$$ F"ur $0<|h|<\delta_\varepsilon$ gilt also $|f(h)| / |h|\leq m \varepsilon$. Da wir f"ur alle $\varepsilon>0$ so ein $\delta_\varepsilon$ finden k"onnen, folgt $\op{lim}_{h\ra 0} f(h) /|h| =0$ wie gew"unscht. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{DiEx} Man zeige, da"s die komplexe Exponentialfunktion $\exp:\DC\ra\DC$ differenzierbar ist mit Differential $$\tiff _z\exp=\big((\exp z)\cdot\big):\DC\ra\DC$$ \end{Ubunge} %\begin{Ubunge} %Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion %auf einer offenen Teilmenge der Hyperebene $0\times \DR^n$ %oder einer offenen Teilmenge des Halbraums %$\DR_{\leq 0}\times \DR^n$ l"a"st sich zu %einer stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Teilmenge des %$\DR^{n+1}$ fortsetzen. %\end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Stetig differenzierbare Fortsetzungen}] Jede stetig differenzierbare Funktion $f:\DR_{\leq 0}^{k}\times \DR^{l}\ra \DR$ l"a"st sich zu einer stetig differenzierbaren Funktion $g:\DR_{\leq 0}^{k-1}\times \DR^{l+1}\ra \DR$ fortsetzen. Im Fall $f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)=0$\label{FC1} des Verschwindens der Funktion f"ur $x_k=0$ k"onnen wir als Fortsetzung $g(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_l)\pdef f(x_1, \ldots, -x_k, \ldots, x_l)$ nehmen f"ur $x_k>0$. Andernfalls dehnen wir erst $f(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_l)-f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)$ aus und z"ahlen dann $f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)$ wieder dazu. Induktiv und analog l"a"st sich damit auch jede stetig differenzierbare Funktion $f:\DR_{\leq 0}^{k}\times \DR^{l}\lco W\ra \DR$ zu einer stetig differenzierbaren Funktion $g: \DR^{k+l}\lco V\ra \DR$ fortsetzen. \end{Ubung} \subsection{Weitere Ableitungsregeln*} \begin{Proposition}[\textbf{Komponentenregel}] Seien $X,Y_1,Y_2$ normierte R"aume und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f=(f_1,f_2):A\ra Y_1\times Y_2$ eine Abbildung. Genau dann ist $f$ differenzierbar bei $p\in A$, wenn $f_1$ und $f_2$ es sind, und dann gilt f"ur die Differentiale die Formel\label{kd} $$\tiff _p f=(\tiff_p f_1, \tiff_p f_2)^\ttop:\vec{X}\ra \vec{Y_1}\times \vec{Y_2}$$ \end{Proposition} %\begin{Bemerkungl} % Man beachte, da"s $(\tiff_p f_1, \tiff_p f_2)^\ttop$ %in Matrixschreibweise unter unseren %Konventionen \eref{MaDS}{LA1}, anders als die %Schreibweise suggerieren mag, %als Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen w"are. %\end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Projektionen $\op{pr}_i:X\ra Y_i$ sind stetig und linear. Ist $f$ differenzierbar bei $p$, so sind damit nach der Kettenregel auch die $f_i=\op{pr}_i\circ f$ differenzierbar bei $p$ und die Kettenregel liefert zus"atzlich $\tiff _p f_i=\tiff _{f(p)}\op{pr}_i\circ \tiff _p f =\op{pr}_i\circ \tiff _p f$, also $\tiff _p f=(\tiff _p f_1, \tiff _p f_2)$. Sind umgekehrt $f_1$ und $f_2$ differenzierbar bei $p$ mit Differentialen $L_1$ und $L_2$, so k"onnen wir nach Definition schreiben $$f_i(p +h) = f_i(p) + L_ih + \|h \| \varepsilon_i (h)$$ f"ur geeignete Abbildungen $\varepsilon_i$, die stetig sind bei Null und die dort den Wert $\varepsilon_i (0) =0$ annehmen. Setzen wir $L=(L_1,L_2)$ und $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, so ist $L$ ist stetig linear und $\varepsilon$ stetig bei $0$ mit Funktionswert $\varepsilon (0) =0$ und es gilt $$f(p +h) = f(p) + Lh + \|h \| \varepsilon (h)$$ Das bedeutet aber, da"s $f$ differenzierbar ist bei $p$ mit Differential $\tiff _p f=L$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KD} Mit Induktion folgt die analoge Aussage f"ur eine Abbildung $f:A\ra Y_1\times\ldots\times Y_m$ in ein l"angeres kartesisches Produkt normierter R"aume. Insbesondere ist eine Abbildung $f=(f_1,\ldots,f_m):A\ra \Bbb{R}^m$ differenzierbar bei $p\in A$ genau dann, wenn alle $f_j$ es sind, und in diesem Fall gilt f"ur die Differentiale die Formel $$\tiff _p f=(\tiff _p f_1,\ldots,\tiff _p f_m)^\ttop:\vec{X}\ra\Bbb{R}^m$$ %Wieder ist hier $(\tiff _p f_1,\ldots,\tiff _p f_m)$ %gem"a"s unseren Konventionen, %anders als die Schreibweise suggerieren mag, als %Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\defind{Summenregel}] Seien $X$ ein normierter Raum, $V$ ein normierter Vektorraum\label{SuRe} und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge. Sind $f,g:X\supset A\ra V$ differenzierbar bei $p\in A$, so ist auch $f+g:X\supset A\ra V$ differenzierbar bei $p$ und es gilt $$\tiff _p(f+g)=\tiff _p f +\tiff _p g$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die Addition $+:V\times V\ra V$, $(w,w')\mapsto w+w'$ ist linear und stetig, und wir k"onnen $f+g$ schreiben als die Verkn"upfung $f+g=+\circ (f,g)$. Das Differential von $f+g$ an der Stelle $p$ ergibt sich also mit der Kettenregel zu $\tiff _p(f+g)=+\circ(\tiff _p f ,\tiff _p g)=\tiff _p f +\tiff _p g$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Differential bilinearer Abbildungen}] Seien\index{Differential!von bilinearer Abbildung} $U,V,W$ normierte Vektorr"aume\label{PRm} und $\varphi:U\times V\ra W$, $(u,v)\mapsto \varphi(u,v)$ eine stetige bilineare Abbildung. So ist $\varphi$ differenzierbar und das Differential von $\varphi$ im Punkt $(p,q)$ ist die lineare Abbildung $$\begin{array}{rccl} \tiff _{(p,q)}\varphi:&\vec U\times \vec V&\ra&\vec W\\ &(\vec u,\vec v)&\mapsto &\op{trans}\big(\varphi( u,q)+\varphi(p, v)\big) \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wenn wir nicht so pedantisch zwischen einem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums unterscheiden, liest sich das einfacher als $ \tiff _{(p,q)}\varphi:(u,v)\mapsto \varphi( u,q)+\varphi(p, v)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir rechnen $$\varphi(p+\vec u,q+\vec v)=\varphi(p,q)+\varphi(u, q)+\varphi(p, v)+\varphi(u,v)$$ und m"ussen nur noch $\lim_{(u,v)\ra 0}\varphi(u,v)/\|(u,v)\|=0$ zeigen. Das folgt aber mit \ref{SML} aus der Stetigkeit von $\varphi$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Leibnizregel \eref{APSu}{AN1} k"onnen wir aus der Kettenregel f"ur Differentiale herleiten wie folgt: Gegeben $f,g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ schreiben wir das Produkt $fg$ als die Verkn"upfung $fg = \op{mult} \circ (f,g)$ der Funktion $(f,g)^\ttop : \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2$ mit der Multiplikation $\op{mult}: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$. Sind $f$ und $g$ differenzierbar bei $t \in \mathbb R$, so nach der Komponentenregel auch ihre Zusammenfassung $(f,g)^\ttop$, und deren Jacobi-Matrix ist die Spaltenmatrix $[\tiff_t (f,g)^\ttop] = (f^\prime (t), g^\prime (t))^\ttop$. Andererseits ist die Multiplikation differenzierbar als stetige bilineare Abbildung oder auch nach \ref{PTD} wegen der Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen und ihr Differential bei $(x,y)$ hat als Jacobi-Matrix die Zeilenmatrix $[\tiff_{(x,y)}\op{mult}] = (y,x)$. Mit der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen folgt dann \begin{displaymath} \begin{array}{lll} (fg)^\prime (t) &= &[\tiff_t (f\circ g)]\\[2mm] &=& [\tiff_{(f(t),g(t))} \op{mult} ]\circ [ \tiff_t (f,g)]\\[2mm] &=&(g(t), f(t))\circ (f^\prime (t), g^\prime (t))^\ttop \\[2mm] &=&g(t) f^\prime (t) + f(t) g^\prime (t) \end{array} \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Korollar} Gegeben $A:\DR\ra \op{M}(n\times m;\Bbb{R})$ und $B:\DR\ra \op{M}(m\times k;\Bbb{R})$ differenzierbare matrixwertige Funktionen ist auch das Produkt $A B:t\mapsto A(t)B(t)$ differenzierbar und die Geschwindigkeit $(AB)'$ der Produktfunktion $AB:\DR\ra \op{M}(n\times k;\Bbb{R})$ wird gegeben durch die Formel $$(AB)'=A'B+AB'$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das sollten Sie zur "Ubung schon in Koordinaten nachgerechnet haben. Der hier gegebene Beweis ist komplizierter und dient in erster Linie nicht der Herleitung des Resultats, sondern vielmehr der Illustration unserer allgemeinen Regeln durch ein "ubersichtliches Beispiel. Man beachte jedoch auch, wie un"ubersichtlich dieses Beispiel wird, sobald wir versuchen, statt mit abstrakten Differentialen mit Jacobi-Matrizen zu arbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Matrixmultiplikation ist eine stetige bilineare Abbildung $$\op{Mult}: \op{M}(n\times m;\Bbb{R})\times \op{M}(m\times k;\Bbb{R})\ra \op{M}(n\times k;\Bbb{R})$$ und wir k"onnen $AB$ schreiben als die Verkn"upfung $AB=\op{Mult}\circ (A,B)$. Mit der Kettenregel und der Komponentenregel ergibt sich $$\tiff _t(AB)=(\tiff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})\circ (\tiff _t A,\tiff _t B)$$ Wenden wir diese lineare Abbildung $\Bbb{R}\ra \op{M}(n\times k;\Bbb{R})$ an auf $\vec 1\in\vec{\Bbb{R}}$, so erhalten wir mit der Formel f"ur das Differential bilinearer Abbildungen \ref{PRm} wie gew"unscht \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccl}(AB)'(t) &=&\tiff _t(AB)(\vec 1)\\[2mm] &=&(\tiff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})(A'(t),B'(t))\\[2mm] &=&A'(t)B(t)+A(t)B'(t) \end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PaVf} Gegeben $Y$ ein normierter Raum und $f : \Bbb{R}^{n}\lco U \ra Y$ eine Abbildung erkl"aren wir die partiellen Ableitungen weiter als die Richtungsableitungen nach den Vektoren der Standardbasis, in Formeln $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)\pdef({\op{D}}_{\op{e}_i}f)(p)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(p+t{\op{e}_i})-f(p)}{t}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A\subset X$ halboffen. Eine Abbildung $f:A\ra Y$ hei"st {\bf differenzierbar}, wenn sie differenzierbar ist bei jedem Punkt $p\in A$. Sie hei"st {\bf stetig differenzierbar},\index{stetig differenzierbar!in mehreren Variablen} wenn sie differenzierbar ist und wenn zus"atzlich die Abbildung $A\ra \mathcal B(\vec X,\vec Y)$ gegeben\label{SDi} durch $p\mapsto \tiff_pf$ stetig ist in Bezug auf die Operatornorm \ref{SSOPn} auf dem Raum $\cal{B}(\vec{X},\vec{Y})$ der stetigen linearen Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Differenzierbarkeit "uber partielle Ableitungen, Variante}] Seien $Y$ ein normierter Raum und $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra Y$ eine Abbildung.\label{PTDv} Existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ und sind stetig als Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}: U \ra \vec{Y}$, so ist die Abbildung $f$ stetig differenzierbar. \end{Proposition} \nichtfinal{Sollte als "Ubung und gleich den superallgemeinen Fall.} \begin{proof}[Beweis] Es gilt, an jeder Stelle $p \in U$ die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Indem wir zu $f$ eine geeignete Konstante sowie eine geeignete lineare Abbildung addieren, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s gilt $f(p) =0$ und $\frac{\partial f}{\partial x_{j}} (p) = 0 \;\forall j$. Unter diesen zus"atzlichen Annahmen m"ussen wir nun zeigen, da"s $f$ total differenzierbar ist bei $p$ mit Differential Null. Indem wir vor $f$ eine geeignete Verschiebung davorschalten, d"urfen wir zus"atzlich auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p=0$ annehmen. Gegeben eine punktsymmetrische offene konvexe Umgebung $C\co \vec{Y}$ des Nullvektors von $\vec{Y}$ finden wir nun sicher $\delta= \delta_C >0$ derart, da"s alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ auf dem Ball $\op{B}(0;\delta)$ nur Werte in $C$ annehmen und da"s dieser Ball ganz in $U$ enthalten ist. Aus dem Schrankensatz \ref{MWSan} folgt f"ur $|h| < \delta$ schon $f (h_{1}, \ldots ,h_{j-1}, h_{j}, 0, \ldots , 0)- f(h_{1}, \ldots , h_{j-1}, 0,0, \ldots , 0) \in h_{j} C=|h_{j}| C$ und insgesamt $$f(h)=f(h) - f(0) \in (|h_{1}| + \ldots+ |h_{m}|)C$$ F"ur $h\neq 0$ und $|h|<\delta_C$ gilt also $f(h) / |h| \in m C$. Da wir f"ur alle $C$ so ein $\delta_C$ finden k"onnen, folgt $\op{lim}_{h\ra 0} f(h) /|h| =0$ wie gew"unscht. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{DMLL} Man zeige, da"s auch im Kontext normierter Vektorr"aume stetige multilineare Abbildungen differenzierbar sind, und gebe eine zur Produktregel \ref{PRm} analoge Formel f"ur deren Differential. Hinweis: \ref{SML}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein eindimensionaler Vektorraum $V$ hat die Abbildung $f:v\mapsto v^{\otimes n}$ bei $w\in V$ das Differential $\tiff_wf: v\mapsto nw^{\otimes {n-1}}\otimes v$. Hinweis: Differential multilinearer Abbildungen \ref{DMLL} und Kettenregel. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{DiDet} Man zeige, da"s $\det: \op{M}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$ differenzierbar ist, und da"s das Differential der Abbildung $\det$ an der Einheitsmatrix $\op{I}$ die Spur $\op{tr}$ ist, in Formeln $$\tiff _{\op{I}} \det=\op{tr}:\op{M}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$$ F"ur das Differential von $\det$ an einer beliebigen Stelle $P$ zeige man die Formel $(\tiff _P\det)(H)=\op{tr}((\det P)P^{-1}H)$. Hier meint $(\det P)P^{-1}$ den Wert bei $P$ der stetigen Fortsetzung der Abbildung $P\mapsto (\det P)P^{-1}$ vom Raum der invertierbaren Matrizen auf den Raum aller Matrizen alias die \glqq adjungierte Matrix\grqq\ $P^\sharp$ aus \eref{CraRe}{LA1}. Hinweis: Man mag mit \ref{DMLL} arbeiten, oder auch mit partiellen Ableitungen. Erinnerung: Die Spur einer Matrix ist die Summe der Eintr"age auf der Diagonalen. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{DInvn} Sei $\op{inv}: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{M}(n\times n;\Bbb{R})$ das Invertieren von Matrizen, $\op{inv}(X)=X^{-1}$. Man zeige f"ur das Differential des Invertierens bei der Einheitsmatrix $\op{I}$ die Formel $\tiff _{\op{I}}\op{inv}:H\mapsto -H$. Man zeige allgemeiner, da"s das Differential dieser Abbildung am Punkt $P$ in Verallgemeinerung der Ableitungsregel f"ur $x\mapsto 1/x$ gegeben wird durch $$\begin{array}{rccl} \tiff _P\op{inv}: &\op{M}(n\times n;\Bbb{R})&\ra&\op{M}(n\times n;\Bbb{R})\\ &H&\mapsto&-P^{-1} H P^{-1} \end{array}$$ Hinweis: Man zeige erst, da"s $\op{inv}$ differenzierbar ist. Dann nehme man in der Gleichung $\op{inv}(X)X=I$ auf beiden Seiten das Differential an der Stelle $P$. Alternativer Hinweis: Man erinnere die Darstellung des Inversen durch eine Reihe \ref{IsE} und die Identit"at $ (\cdot P^{-1})\circ\op{inv}\circ (P^{-1}\cdot)=\op{inv}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DInvN} Gegeben ein Banachraum $V$ ist das Invertieren $\op{inv}:\mathcal B(V)^\times\ra \mathcal B(V)$ differenzierbar mit dem Differential $\tiff _p\op{inv}: h\mapsto -p^{-1} h p^{-1}$ an einer Stelle $p$. Hinweis: "Ubung \ref{IsE}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{DeRR} Sei $B\in \op{M}(n;\Bbb{R})$ fest. Das Differential der Abbildung $\psi: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{M}(n;\Bbb{R})$ gegeben durch $A\mapsto ABA^{-1}$ bei der Einheitsmatrix ist die lineare Abbildung $H\mapsto HB-BH$. \end{Ubunge} \nichtfinal{\begin{Ubunge}\label{dem} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und $W\subset \op{End}V$ ein Untervektorraum seines Endomorphismenraums, der aus paarweise kommutierenden Abbildungen besteht, zeige man f"ur das Differential von $\exp : W \rightarrow \op{End}V$ bei $A \in W$ die Formel $ \tiff_A \op{exp} = (\cdot \op{exp} A):W\ra \op{End}V$. Idem f"ur $V$ ein Banachraum und $\cal{B}(V)$ statt $\op{End}V$. Eine allgemeine Formel f"ur das Differential von $\exp : \op{End}V \rightarrow \op{End}V$ wird in \ref{ADEx} diskutiert. \end{Ubunge}} \nichtfinal{ \begin{Ubunge}\label{logA} Seien $V$ ein Banachraum und $A \in \mathcal B (V)$ ein stetiger Endomorphismus von $V$ der Norm $\| A \| < 1$. Man zeige, da"s das formale Einsetzen von $A$ in die Taylorreihe von $\log (1 + x)$, als da hei"st, die Reihe \begin{equation*} A - \frac{A^2}{2} + \frac{A^3}{3} - \ldots \end{equation*} gegen einen Endomorphismus $B \in \mathcal B (V)$ mit der Eigenschaft $\op{exp} (B) = I + A$ konvergiert. Hinweis: Man berechne unter Verwendung von \ref{dem} die Ableitung der Abbildung $f: t \mapsto \op{exp}(t A - \frac{t^2 A^2}{2} + \frac{t^3A^3}{3} - \ldots)$ und die Ableitung der Abbildung $t \mapsto f(t)(I+tA)^{-1}$ und zeige, da"s letztere Funktion konstant ist. Ein besser verallgemeinerbares Argument findet man in \eref{logAe}{FT1}. \end{Ubunge}} \begin{Ubunge}[\textbf{Inversionen sind konforme Abbildungen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\langle \; , \; \rangle$. Die auf dem Komplement des Nullkegels $\{v \in V \mid \langle v, v\rangle = 0\}$ erkl"arte Abbildung $ \op{inv}: v \mapsto v/\langle v, v\rangle$ hei"st dann in Verallgemeinerung von \eref{MoGe}{EL} eine {\bf Inversion}.\index{Inversion} Die Fixpunktmenge unserer Inversion ist $\{v \in V \mid \langle v, v\rangle = 1\}$. Man zeige f"ur das Differential von $\op{inv}$ bei $v$ die Formel\label{InKo} \begin{equation*} (\tiff_v \op{inv})(h) = \frac{h}{\langle v, v \rangle} - \frac{2 \langle h, v\rangle v}{\langle v, v\rangle^2} \end{equation*} und folgere $\langle (\tiff_v \op{inv})(h), (\tiff_v \op{inv})(k)\rangle = \langle h, k\rangle / \langle v,v\rangle^2$ f"ur alle $h,k$. In Worten erh"alt $\tiff_v \op{inv}$ also f"ur alle $v$ unsere Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen skalaren Faktor. Abbildungen $\op{inv}$ mit dieser Eigenschaft hei"sen {\bf konforme Abbildungen},\index{konform!Abbildung} deshalb die "Uberschrift. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Differential "uber partielle Ableitungen, Zugabe}] Seien $X,Y,Z$ normierte R"aume,\label{PTDn} $U \co X$ sowie $V\co Y$ offene Teilmengen und $f : U\times V \ra Z$ eine Abbildung. Wir betrachten f"ur alle $x\in U$ die \glqq vertikale\grqq\ Einbettung $j_x:V\ra U\times V$, $ y\mapsto (x,y)$ und f"ur alle $y\in V$ die \glqq horizontale\grqq\ Einbettung $i_y:U\ra U\times V$, $ x\mapsto (x,y)$. Existieren f"ur alle $(x,y)\in U\times V$ die Differentiale $\tiff_x(f i_y):\vec{X}\ra \vec{Z}$ und $\tiff_y(f j_x):\vec{Y}\ra \vec{Z}$ und sind stetig als Funktionen $U\times V\ra\cal{B}(\vec{X}, \vec{Z})$ beziehungsweise $U\times V\ra\cal{B}(\vec{Y}, \vec{Z})$, so ist die Abbildung $f$ differenzierbar mit Differential $$\tiff_{(x,y)} f: (\vec v,\vec w) \mapsto \tiff_x(f i_y)(\vec v)+\tiff_y(f j_x)(\vec w)$$ Die offensichtliche Identifikation von $\vec X\times \vec Y$ mit dem Richtungsraum des Produkts $X\times Y$ haben wir hier der "Ubersichtlichkeit halber nicht explizit notiert. Hinweis: Man kopiere mutatis mutandis den Beweis der Differenzierbarkeit unter der Annahme stetiger partieller Ableitungen \ref{PTD}. Mutige m"ogen umgekehrt \ref{PTD} aus dem Ergebnis dieser "Ubung ableiten durch Induktion "uber $n$. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: