%\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}
\subsection{Partielle Ableitungen und Gradient}
\begin{Definition}\label{dpA}
Sei $A \co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge, $f: A \ra \Bbb{R}$ eine
Funktion und $p = (p_{1},\ldots,p_{n}) \in A$ ein Punkt.
Wir nennen $f$ {\bf partiell differenzierbar bei $p$ nach der
$i$-ten Variablen}\index{partiell!differenzierbar} 
genau dann, wenn die Funktion $x \mapsto f
(p_{1}, \ldots , p_{i-1}, x , p_{i+1}, \ldots, p_{n})$
differenzierbar ist bei $x = p_{i}$. Die Ableitung dieser Funktion hei"st
dann die 
{\bf $i$-te partielle 
Ableitung}\index{Ableitung!partielle}\index{partiell!Ableitung} 
von $f$ und wird notiert
$$(\op{D}_i f)(p)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) \pdef \lim_{h\ra 0}
\frac{f(p_{1},\ldots, p_{i}+h, \ldots, p_{n})-f(p_{1},\ldots,p_{i},
\ldots, p_{n})}{h}$$
\end{Definition}

\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPab}\\[4mm]
\noindent 
Veranschaulichen wir uns eine reellwertige Funktion
von zwei reellen Ver"anderlichen durch ihren Graphen, 
eine \glqq h"ugelige Landschaft\grqq, im Bild etwa
$f(x,y)=\frac{1}{2}\sin((1-y)x)$,
so mag man sich die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ 
an einer Stelle denken als die Steigung an
besagter Stelle einer Stra"se, die  besagte
h"ugeliger Landschaft in Richtung der $x$-Achse durchquert.
Zum Beispiel w"are diese partielle Ableitung 
an der Stelle $(0,1/2)$ in unserem Fall die Steigung der
gestrichelt eingezeichneten Stra"se an ihrem Beginn auf der $y$-Achse.
\end{Bild}

\begin{Bemerkungl}
Diese partiellen Ableitungen sind, soweit sie existieren, wieder
reellwertige Funktionen auf $A$. Um $\frac{\partial f}{\partial
x_{i}}$ zu berechnen mu"s man sich nur vorstellen, alle $x_{j}$ mit
$j\neq i$ seien Konstanten.
Zum Beispiel berechnen wir die partiellen Ableitungen von
$f(x,y)=x \sin (xy)$ und erhalten
$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f}{\partial x} &=& \sin (xy) + xy \cos (xy)\\[2mm]
\frac{\partial f}{\partial y} &=& x^{2} \cos (xy)
\end{array}$$
Dieses Beispiel zeigt auch die Vorteile der Notation $\frac{\partial }{\partial
x}$ gegen"uber der etwas exakteren Notation $\op{D}_i$, bei der man
stets eine Reihenfolge der Variablen festlegen mu"s und schneller
in Indizes ertrinkt. Im Fall, da"s weder die Variablen 
noch die Funktion selbst bereits Indizes
tragen, benutzt man  auch die sehr konzise Schreibweise 
$$\frac{\partial f }{\partial
  x}=f_x$$ 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}\label{PaVf}
Allgemeiner definiert man ebenso 
auch partielle Ableitungen f"ur Abbildungen $f$
von einer offenen Teilmenge $A\co \DR^n$ in einen beliebigen normierten
Vektorraum. Diese partiellen Ableitungen sind dann, soweit sie 
existieren,  Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ von
$A$ in denselben normierten Vektorraum.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
Ich will an einem Beispiel erl"autern, 
aus welchem Grund es sinnvoll ist, im Fall
mehrerer Ver"anderlichen unsere
bisherige Notation $\frac{\op{d}}{\diff x}$ zu 
$\frac{\partial}{\partial x}$ abzu"andern.
Denken wir uns einen Wanderer auf einer Wanderung durch die 
Alpen, bei der schlechtes Wetter aufkommt. Der
Luftdruck $D = D (t,h)$ 
h"angt dann sowohl von der 
Zeit als auch von der H"ohe ab. Macht unser Wanderer 
zum Zeitpunkt $t=t_0$  in der H"ohe $h=h_0$ eine Pause, 
so "andert sich der Luftdruck, den sein Barometer mi"st,  mit der Rate 
$\frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h_0)$. Geht  er jedoch
zum Zeitpunkt $t=t_0$ bergab oder bergauf und gibt die Funktion 
$h(t)$ seine H"ohe zum 
Zeitpunkt $t$ an, so "andert sich der Luftdruck, 
den sein Barometer mi"st,   mit
der Rate $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} (D (t,h(t)))$. Wir
werden zeigen, da"s sich diese Rate auch ausdr"ucken l"a"st 
in der Gestalt
$\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} ( D (t,h(t)))=
\frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h(t_0)) + h^{\prime} (t_0) 
\frac{\partial D}{\partial h} (t_0, h(t_0))$.
In Kurzschreibweise gilt also
$$\frac{\diff  D}{\diff t} = \frac{\partial D}{\partial t} + 
\frac{\diff  h}{\diff t} \;\frac{\partial D}{\partial h}$$
Der Zweck der Variation unserer Notation liegt nun eben darin, 
da"s mit ihr solche Verk"urzungen
verst"andlich bleiben.
Um die behauptete Formel zu beweisen, f"uhren wir den
Begriff des Differentials ein, studieren seinen Zusammenhang
mit den partiellen Ableitungen und erhalten 
unsere Formel als Korollar \ref{GPa} der Kettenregel f"ur Differentiale.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{GrAd}
Ist $A \co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge und $f: A \ra \Bbb{R}$ eine
auf ganz $A$ nach jeder der $n$ Variablen partiell differenzierbare Funktion,
so definieren wir den {\bf Gradienten}\index{Gradient} von 
$f$ als die Abbildung\index{grad@$\op{grad}$!Gradient}
$$\begin{array}{rccl}
\op{grad} f :& A & \ra & \Bbb{R}^{n}\\
&x &\mapsto & \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x), \ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)\right)^\top
\end{array}$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{GraFF}
Man beachte, da"s in dieser Definition das Symbol $x$ f"ur ein
Element des $\DR^n$ steht und nicht wie zuvor f"ur eine reelle Zahl. 
Ich stelle mir $\op{grad} f$ meist vor als ein Vektorfeld, das also
jedem Punkt aus $A$ einen Vektor aus dem $\Bbb{R}^{n}$ zuordnet.
Das ist auch der Grund daf"ur, da"s ich in obiger Definition den Zeilenvektor
in einen
Spaltenvektor transponiert habe.
Denken wir uns im Fall $n =2$ den Graphen von $f$  als eine
H"ugellandschaft, so zeigt $\op{grad} f$ stets in die Richtung, in der
es am steilsten den Berg hinaufgeht, und  ist desto
l"anger, je steiler es hinaufgeht. Diese Anschauung wird durch 
Bemerkung \ref{Igra} formalisiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Der Begriff des Gradienten ist nur f"ur reellwertige Funktionen 
auf dem $\DR^n$ sinnvoll. Bereits  reellwertigen Funktionen auf
abstrakten endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen kann 
nicht mehr sinnvoll ein Gradient in Gestalt eines Vektorfeldes 
zugeordnet werden. 
Ich vermeide deshalb im folgenden nach M"oglichkeit 
den Begriff des Gradienten und arbeite stattdessen mit den sogenannten
\glqq Differentialen\grqq, die in sehr viel gr"o"serer Allgemeinheit sinnvoll sind.
Die Beziehung zwischen Differentialen und Gradienten  wird in \ref{JMGG} und
\ref{Grgg} besprochen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bild} 
\includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildNiL}\\[2cm]
\includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildGrF}\\[4mm]
\noindent 
Einige Niveaulinien und das Gradientenfeld eines
H"ugels, hier m"oglicherweise der Funktion $\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2-y^2}$ auf
der Kreisscheibe $x^2+y^2<\frac{1}{2}$.
\end{Bild}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Sei $R(x,y)=\sum_{i,j}c_{ij}x^iy^j$ ein Polynom in zwei Variablen
mit reellen Koeffizienten $c_{ij}\in\DR$.
Man zeige: Gibt es eine nichtleere offene Teilmenge $A\co\Bbb{R}^2$ derart,
da"s gilt  $R(p)=0\;\forall p\in A$, so ist $R$ das Nullpolynom,
in Formeln $c_{ij}=0\;\forall i,j$.
\end{Ubung}