%\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}
\subsection{Das Differential}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vom Nutzen allgemeiner normierter R"aume}]
Wir werden es  vorerst  nur mit endlichdimensionalen normierten
Vektorr"aumen zu tun haben.\label{DiffA}
 Ich arbeite dennoch hier und im folgenden mit
beliebigen normierten Vektorr"aumen, weil das zum Ersten 
in keiner Weise schwieriger ist, weil es zum Zweiten einen gr"o"seren
Abstand zum un"ubersichtlichen Gestr"upp der Koordinaten schafft,
und weil es zum Dritten bei unserer Behandlung von Differentialgleichungen
\ref{ALAW} in dieser Allgemeinheit gebraucht wird.
Noch nat"urlicher w"are es, mit Abbildungen zwischen affinen 
R"aumen $X,Y$ im Sinne von \eref{daffan}{AN1} zu arbeiten, deren  Richtungsr"aume 
$\vec{X},\vec{Y}$ jeweils
mit einer Norm versehen sind, und das Differential als eine 
lineare Abbildung zwischen diesen
 Richtungsr"aumen zu erkl"aren. 
Ich werde diesen Gesichtspunkt im folgenden nur andeuten, indem
ich 
schlicht von \glqq normierten R"aumen\grqq\  rede und Symbole 
ohne Pfeil schreibe, wenn
man ebensogut affine R"aume mit
normiertem Richtungsraum
betrachten k"onnte, Symbole dahingegen mit Pfeil schreibe, wenn
der zugeh"orige Richtungsraum  gemeint ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DeDi}
Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume,
$A \co X$ eine offene  Teilmenge, $f: A \ra Y$ eine Abbildung
und $p\in A$ ein Punkt.
Genau dann hei"st die Abbildung  $f$ 
{\bf differenzierbar} oder genauer 
{\bf Fr\'echet-differenzier\-bar 
bei}\index{differenzierbar!mehrere Ver"anderliche}  
$p$,\index{Fr\'echet-differenzier\-bar} 
wenn es eine  stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$ 
gibt derart, da"s
gilt
$$\lim_{h\ra 0}\frac{f(p +h) - f(p) - Lh}{ \|h \|}=0$$
\end{Definition}  


\begin{Bemerkungl}\label{DeDii}
Gleichbedeutend und vielleicht anschaulicher ist die
Forderung, da"s es eine  stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$
und eine $\vec{Y}$-wertige Abbildung $\varepsilon$ gibt
mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon (h) =0$ 
und $$f(p +h) = f(p) + Lh + \|h \| \varepsilon (h)$$
Hier ist implizit mit zu verstehen, da"s die Abbildung $\varepsilon$ 
definiert sein soll auf der Menge aller $h\in \vec{X}$ mit $p+h\in A$.
Weil wir in der Definition fordern, da"s $L$ stetig sein soll,
ist jede bei $p$ differenzierbare
Abbildung bei $p$ auch stetig.  Die Stetigkeit von $L$ ist im "ubrigen
sp"ater auch notwendig f"ur die G"ultigkeit der Kettenregel \ref{Kett}.
 Die lineare Abbildung $L$ ist eindeutig bestimmt,
wenn sie existiert, da man f"ur
beliebiges $v\in \vec{X}$ durch Einsetzen von $h=tv$  zur Formel
$$Lv=\lim_{t\ra 0}\frac{f(p+tv)-f(p)}{t}$$
gelangt.
Diesen Grenzwert in $\vec{Y}$ 
hinwiederum nennt man, wann immer er existiert, die
{\bf Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in Richtung}
$v$\index{Ableitung!Richtungs-}
\index{Richtungsableitung}  und k"urzt ihn ab
mit $(D_{v}f)(p)$.\index{D@$D_v$ Richtungsableitung} 
Das $D$ steht hier f"ur englisch 
{\bf directional derivative}.\index{directional derivative}
Anschaulich mi"st diese Richtungsableitung im Fall $Y=\DR$, wie schnell unsere 
Funktion w"achst bzw.\ abnimmt, wenn wir von $p$ aus in der Richtung $v$ gehen.
Es gilt allerdings zu beachten, da"s unsere Richtungsableitung keineswegs nur
von der Richtung des Vektors $v$ abh"angt, sondern durchaus auch von seiner 
L"ange.
Die
lineare Abbildung $L$ selbst hei"st das 
{\bf Differential von $f$ bei $p$}\index{Differential} und 
wird bezeichnet mit $$L=\diff _p f$$
Es mag dem Verst"andnis helfen, statt $h$ das Symbol $\delta p$ zu verwenden.
Dann liest sich unsere Definition des Differentials
$$f(p +\delta p) = f(p) + (\diff _p f)(\delta p) + 
\|\delta p \| \varepsilon (\delta p)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Sind $X,Y$ bereits selbst normierte Vektorr"aume,
so benutzt man in diesem Zusammenhang meist die kanonischen 
Identifikationen $X\sira \vec X$ und $Y\sira \vec Y$, um unser Differential
an einer Stelle $p$ 
 als eine lineare  Abbildung $\diff_p f:X\ra Y$ aufzufassen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}\label{WwW}
F"ur $f: \Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}$ 
oder allgemeiner $f: \Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}^m$ differenzierbar 
existieren insbesondere unsere partiellen
Ableitungen und sind gerade die Richtungsableitungen in Richtung der
Einheitsvektoren $\op{e}_i$, in Formeln $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)
= (D_{\op{e}_i}f) (p)$$ Dasselbe gilt  auch,
wenn $f$ nur auf einer offenen Teilmenge von $\Bbb{R}^n$ definiert ist.
Umgekehrt werden wir in 
\ref{PTD} sehen, wie man aus der Existenz und Stetigkeit der 
partiellen Ableitungen  die  Existenz des Differentials folgern kann.
\end{Beispiel}





\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDPo}\\[4mm]
\noindent 
Dies Bild soll die Bedeutung des Differentials in
der Anschauung einer Abbildung \glqq als Abbildung\grqq\  verdeutlichen.
Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung
$$
f : \Bbb{R}_{>0} \times (0,2\pi) 
 \rightarrow  \Bbb{R}^2,\quad 
(r ,  \vartheta)
\mapsto  (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)$$
wobei  verwirrender Weise die Klammern $(\;,\;)$ 
einmal ein offenes Intervall und dann wieder Elemente kartesischer
Produkte andeuten.
Ihr Differential wird beschrieben durch die Jacobi-Matrix
\begin{displaymath}
[\diff f] = {\cos \vartheta \; - r \sin \vartheta \choose
\sin \vartheta \;\;\;\;\;  r \cos \vartheta}
\end{displaymath}
Insbesondere  wird das Differential an der Stelle 
$a=(1\frac{1}{2},\frac{\pi}{2})$
beschrieben durch die Matrix
\begin{displaymath}
[\diff_p f] = {0 \; -1\frac{1}{2}  \choose
1 \;\;\;\;\; 0}
\end{displaymath}
Die Pfeile im Bild sollen zeigen, da"s das
 in der Tat diejenige lineare Abbildung $L$ ist, f"ur die
 f"ur kleines $h$
die Abbildung $p+h\mapsto f(p)+Lh$  unsere Abbildung 
$p+h\mapsto f(p+h)$ besonders gut approximiert.
\end{Bild}










\begin{Bemerkungl}\label{RaA}
Wenn das Differential $\diff _{p}f$ existiert, so existieren 
insbesondere auch alle Richtungsableitungen und es gilt
 $$(D_{v}f)(p) = (\diff _{p}f)(v)$$ f"ur alle $v\in \vec{X}$.
Nennen wir eine Abbildung einfach nur {\bf differenzierbar},
so ist die Differenzierbarkeit an jeder Stelle gemeint.  
Die Ableitung oder genauer das Differential einer differenzierbaren
Abbildung $f:U\ra\DR^m$ f"ur $U\co \DR^n$ ist nun eine Abbildung
$U\ra\op{Hom}(\DR^n,\DR^m)$, $p\mapsto \diff_pf$.
F"ur jede fest vorgegebene Stelle $p\in U$ 
ist weiter die darstellende Matrix des Differentials
$\diff_pf:\DR^n\ra \DR^m$ nach  \eref{MLA}{LA1} 
die Matrix mit den Spaltenvektoren 
$(\diff_pf)(\vec{\op{e}}_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$.
Hat unsere   Abbildung also die Gestalt $f=(f_1,\ldots, f_m)$
mit Funktionen $f_j:U\ra\DR$, 
so hat die
darstellende Matrix der linearen Abbildung $\diff_pf$ die Gestalt 
$$[\diff_pf]=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\
\cdot & &\cdot \\[-3mm]
\cdot & &\cdot \\[-3mm]
\cdot & &\cdot \\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right) $$
Diese Matrix hei"st  die {\bf Jacobi-Matrix}\index{Jacobi-Matrix}
unserer Abbildung.  
Wir denken uns in diesem Zusammenhang Vektoren stets als Spaltenvektoren
und h"atten etwas pedantisch wohl auch besser $f=(f_1,\ldots, f_m)^\top$ 
schreiben sollen, um das nocheinmal zu betonen.
F"ur die Jacobi-Matrix findet man h"aufig auch die Notation
$$\frac{\partial(f_{1},\ldots,
f_{m})}{\partial(x_{1},\ldots , x_{n})}$$
In der Literatur werden unsere differenzierbaren Abbildungen
vielfach {\bf total differenzierbar}\index{differenzierbar!total} 
genannt, um sie abzugrenzen von den
{\bf partiell differenzierbaren}\index{differenzierbar!partiell} 
Abbildungen, bei denen
nur die Existenz aller partiellen Ableitungen gefordert wird.
Unser Differential hei"st in manchen Quellen auch das {\bf totale
Differential}.\index{Differential!totales}
Wenn Ihnen die Identifikation von Matrizen mit linearen Abbildungen 
$\DR^m\ra\DR^n$ aus \eref{MLA}{LA1} und 
\eref{inA}{LA1} einmal richtig in Fleisch und Blut "ubergegangen ist, 
werden Sie sich auch nicht daran st"oren, wenn wir einmal mit
$\diff_p f$ sowohl das Differential als auch die Jacobi-Matrix 
bezeichnen sollten, was leicht  vorkommen kann.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Totales Differential und Gradient}] 
  Im Spezialfall einer reellwertigen Abbildung $f:U\ra\DR$, 
die auf einer offenen Teilmenge $U\co\DR^n$ definiert ist, 
ist die Jacobi-Matrix also eine\label{JMGG}  
Zeilenmatrix $$[\diff_pf]=\left(
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (p), \ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(p) \right) $$
und kann auch als die \glqq Transponierte des Gradienten\grqq\  verstanden werden, 
der ja als Vektor in unseren Konventionen a priori als eine Spaltenmatrix
aufzufassen ist. Im Fall des $\DR^n$ kann eben der Dualraum in nat"urlicher
Weise mit dem Raum selber identifiziert werden, so da"s 
wir die Linearform $\diff_pf$ auch als einen Vektor auffassen k"onnen
und die Zuordnung $p\mapsto \diff_pf$ auch als das Vektorfeld, das wir 
bereits in \ref{GraFF} als Gradientenfeld kennengelernt haben.
Im Fall eines abstrakten endlichdimensionalen reellen 
Vektorraums $V$ und einer reellwertigen Abbildung $f:U\ra\DR$,
die auf einer offenen Teilmenge $U\co V$ definiert ist, 
geht das jedoch nicht mehr. Die Zuordnung $p\mapsto \diff_pf$ ist dann
zwar, unter
den entsprechenden Differenzierbarkeitsannahmen, immer noch eine sinnvoll
definierte Abbildung $U\ra V^\ast$ von $U$ in den Dualraum von $V$, 
eben das Differential unserer Abbildung $f$. Diese Abbildung kann  aber nicht
mehr in nat"urlicher Weise mit  einem Vektorfeld alias einer Abbildung
$U\ra V$ identifiziert werden. Abbildungen $U\ra V^\ast$ f"ur $U\co V$ 
hei"sen im "ubrigen \glqq Kovektorfelder auf $U$\grqq\  und werden in \ref{FKF} folgende
noch ausf"uhrlich besprochen werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Unser Differenzierbarkeitsbegriff  "andert sich
nicht, wenn wir die Normen auf $\vec{X}$ und $\vec{Y}$ durch "aquivalente
Normen ersetzen. Das kann man sich ohne gro"se M"uhe
direkt "uberlegen, es wird aber auch formal aus der
Kettenregel \ref{Kett} folgen. 
Sind insbesondere $X$ und $Y$ endlichdimensional,
so ist unser Differenzierbarkeitsbegriff unabh"angig von der Wahl der
Normen.  
\end{Bemerkunge}

\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildHoO}\\
\noindent
Ein Kegelchen der Gestalt $p + [0,1]C$ in der Papierebene, f"ur
$C$ die Menge aller Richtungsvektoren, die von $p$
ins Innere der ellipsenf"ormigen Menge zeigen.
\end{figure}
\begin{Definition}\label{dho}
Eine Teilmenge $A$ eines normierten reellen Raums $X$ 
hei"st {\bf halboffen}\index{halboffen!in reellem affinen Raum} genau dann , 
wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$ 
eine nichtleere offene Teilmenge $C \co \vec{X}$ gibt
mit $p + [0,1]C \subset A$, wenn es also anschaulich gesprochen ein kleines
Kegelchen mit Spitze in $p$ gibt, das ganz in $A$ liegt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential f"ur Abbildungen mit halboffenem
Definitionsbereich}] 
Gegeben eine halboffene Teilmenge $A$ eines normierten reellen Raums $X$ 
und eine Abbildung $f:A\ra Y$ in\label{dhox} einen weiteren reellen Raum 
ist das Differential $$\diff_pf:\vec X\ra\vec Y$$
offensichtlich immer noch wohldefiniert.
Formal folgt das zum Beispiel aus
"Ubung \eref{EZOT}{AN1}, nach der ein normierter reeller
Vektorraum von jeder nichtleeren offenen Teilmenge erzeugt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Der Begriff \glqq halboffen\grqq\ kommt in der Literatur sonst nicht
  vor. Er scheint mir jedoch n"utzlich, da er hilft, Verkrampfungen
  bei der Definition der Differenzierbarkeit auf abgeschlossenen
  Halbr"aumen und dergleichen zu vermeiden.  Ein Definition in dieser
  Allgemeinheit hinwiederum ben"otigen wir bei der Verallgemeinerung
  des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf h"ohere
  Dimensionen in \eref{ASI}{AN3}.
\end{Bemerkungl}



  \begin{Bemerkunge}[\textbf{Virtuelle partielle Ableitungen}]
    Ist $A\subset \Bbb{R}^{n}$ eine halboffene Teilmenge
 und $f: A\ra \Bbb{R}$\index{partiell!Ableitung, virtuelle} 
    differenzierbar, so setzen wir\label{PaLN} 
    $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p) = (\diff_p f)(\op{e}_i) $$
    auch
    dann, wenn gewisse partielle Ableitungen bei $p$ recht eigentlich gar
    nicht gebildet werden k"onnen, etwa weil die entsprechenden Geraden durch
    $p$ die Menge $A$ nur in $p$ treffen.
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiel}
Das Differential einer stetigen affinen Abbildung ist an jeder Stelle ihr
linearer Anteil.
Ist also in Formeln $\varphi:X\ra Y$ stetig und affin,
so gilt $\diff_p\varphi=\vec\varphi$ f"ur alle $p\in X$.
% gegeben durch $f(v+h)= Lh+ w$ mit  einer
% stetigen linearen Abbildung $L:\vec{X}\ra \vec{Y}$
% und $v\in X$, $w\in Y$ fest,
% so haben wir $\diff _pf = L$ f"ur alle $p\in X$.
Insbesondere verschwindet das Differential einer konstanten Abbildung
an jedem Punkt und das Differential einer stetigen linearen Abbildung ist
an jedem Punkt die lineare Abbildung selbst.
\end{Beispiel}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIf}
\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIff}\\[4mm]
\noindent 
Anschauliche Bedeutung des Differentials einer
reellwertigen Funktion einer reellen
Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren 
Graphen nach  \ref{Lapp}.
Der Graph des  Differentials ist bis auf eine Verschiebung
gerade die Tangente.  
\end{Bild}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddpf}\\[4mm]
\noindent 
Anschauliche Bedeutung des Differentials einer
reellwertigen Funktion von zwei reellen
Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren 
Graphen nach  \ref{Lapp}.
Der Graph des  Differentials ist bis auf eine Verschiebung
gerade die Tangentialebene. Der Wert des Differentials auf dem
Vektor $h$ ist etwa der im Bild 
durch eine geschweifte Klammer 
angedeutete Abstand oder noch genauer die zugeh"orige positive reelle Zahl. 
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur das Differential}]
Im allgemeinen kann man sich $\diff _p f$
vorstellen als\label{Lapp}  
\glqq den linearen Anteil der affinen Abbildung, die 
unsere Funktion in der N"ahe der 
vorgegebenen Stelle bestm"oglich approximiert\grqq\ 
oder in anderen Worten als
\glqq diejenige lineare Abbildung $L$, f"ur die
$x\mapsto f(p)+ L(x-p)$ unsere Funktion $x\mapsto f(x)$ in
der N"ahe von $p$ am besten approximiert\grqq.
Veranschaulichen wir uns
zum Beispiel eine Funktion $f: \Bbb{R}^2 \ra \Bbb{R}$
durch ihren Graphen,
eine h"ugelige Landschaft,
so ist die
\glqq Tangentialebene\grqq\  an unsere h"ugelige Landschaft 
im Punkt $(p,f(p))$ im verschobenen Koordinatensystem mit
Ursprung $(p,f(p))$ gerade der Graph des Differentials 
$\diff _pf :\Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{DifGes}
F"ur $\gamma:\DR \ra Y$ eine Abbildung von  $\DR$ 
in einen normierten Raum $Y$ 
wird unser  $\diff _p\gamma :\Bbb{R}
\ra \vec{Y}$  gegeben  durch Multiplikation mit dem
Vektor $\gamma' (p)$ aus \eref{Gesch}{AN1},  wir haben
also in Formeln
$$\gamma' (p)=(\diff _p\gamma)(1)$$
Sp"ater werden wir derlei Feinheiten meist  ignorieren, die
durch das Auswerten bei $1$ gegebene
kanonische Identifikation $\op{Hom}(\DR, \vec{Y})\sira \vec{Y}$
nicht mehr explizit machen und 
schlicht $\gamma' (p)=\diff _p\gamma$ schreiben.
Bereits bei reellwertigen Funktionen $f$ einer reellen Ver"anderlichen
h"atten wir die Differenzierbarkeit bei $p$ mit Ableitung $b$ auch 
dadurch charakterisieren k"onnen, da"s gilt
$f(p+h)=f(p)+ bh + |h|\varepsilon(h)$
f"ur eine 
Funktion $\varepsilon$,  die stetig ist bei Null  und die dort den Wert 
Null annimmt. Dort konnten wir die Betragstriche 
um $h$ noch ohne Schaden weglassen.
Ist jedoch $h$ ein Vektor wie in unserer allgemeinen Situation, so sind 
die Betragstriche als da hei"st das Bilden der Norm unumg"anglich,
schon allein, da wir ja im allgemeinen 
gar kein Produkt von Vektoren zur Verf"ugung haben.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{DiQo}
Ist  $X$  ein eindimensionaler reeller Raum,
$x:X\sira\DR$ ein Isomorphismus affiner R"aume,
$f:X\ra Y$ eine differenzierbare Abbildung in einen normierten Raum
$Y$ und $p\in X$ ein Punkt,
so erkl"aren wir 
den {\bf Differentialquo\-tient bei}\index{Differentialquotient} $p$ 
durch die Vorschrift
$$\left.\frac{\diff f}{\diff x}\right|_{x=p}
=\diff_p f\circ (\diff_p x)^{-1}$$ 
Hier meint $(\diff_p x)^{-1}: \DR\sira \vec{X}$  die 
Umkehrabbildung zu $\diff_p x: \vec{X}\sira \DR$ 
und unser Differentialquotient ist mithin eine lineare Abbildung 
$\DR\ra \vec{Y}$, die wir meist vermittels der durch das 
Auswerten bei Eins gegebenen Identifikation 
 schlicht als einen Vektor aus  $\vec{Y}$ auffassen.
Ist $x$  die Identit"at auf $X=\DR$, so ist unser
Differentialquotient  nur eine andere Schreibweise f"ur 
die Ableitung zum Zeitpunkt $p$. Die allgemeinere
Definition zeigt jedoch, wie gut unsere neue Notation
$\diff f$ f"ur das Differential vertr"aglich ist mit
unserer alten Notation  $\frac{\diff f}{\diff x}$
f"ur die Ableitung.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkunge}
  Ist $\mathbb T$ unsere Zeitachse aus 
\eref{tempp}{LA1} und $\mathbb E$ unser Anschauungsraum aus 
\eref{ANRA}{LA1} und $\gamma:\mathbb T\ra \mathbb E$ die mathematische
Beschreibung der Flugbahn einer unsterblichen Fliege,
eine differenzierbare Abbildung zwischen besagten
reellen affinen R"aumen, so ist das Differential dieser 
Abbildung zu einem festen Zeitpunkt $t\in\mathbb T$
eine lineare Abbildung $\diff_t\gamma:\vec{\mathbb T}\ra \vec{\mathbb E}$,
die man\label{Tempo}  
als ein Element von $\op{Hom}(\vec{\mathbb T},\vec{\mathbb E})$ 
auffassen kann oder mit \eref{Ican}{LA2} auch als 
ein Element von $\vec{\mathbb E}\otimes \vec{\mathbb T}^\ast$, 
das man dann
die {\bf vektorielle Geschwindigkeit}\index{Geschwindigkeit!vektorielle}
nennt.
An dieser Stelle  m"ochte ich Sie am liebsten 
wieder einmal
davon "uberzeugen, 
da"s  das  Abstrakte das eigentlich
Konkrete ist.
\end{Bemerkunge}









\begin{Bemerkungl}
F"ur das Differential, das wir hier mit $\diff_p f$ 
bezeichnen, findet man in der Literatur auch die
Notationen $(\op{D}\!f)(p)$ und $f'(p)$. Das vorstehenden Beispiel \ref{DiQo}
erkl"art, warum ich die Notation $\diff_p f$ vorziehe.
Einen zus"atzlichen Grund  findet man in
\ref{UPPP}: Dort wird erkl"art, in welchem Sinne
das Symbol $\diff x$, das wir bisher beim Integrieren nur
benutzt haben, um die Integrationsvariable auszuzeichnen und 
die Substitutionsregel leichter zu erinnern,
eigentlich das Differential der 
Funktion $\DR\ra\DR$, $x\mapsto x$ bedeutet.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{DEX}
Das Differential bei der Nullmatrix der Exponentialabbildung 
$\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist die Identit"at,
in Formeln gilt also $\diff_0\exp=\op{id}:\op{Mat}(n;\DC)
\ra \op{Mat}(n;\DC)$.
Man zeige das und zeige es allgemeiner auch f"ur die Exponentialabbildung auf 
dem Raum der stetigen Endomorphismen eines beliebigen Banachraums,
vergleiche \eref{ExBR}{AN1}.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{KRD}
Eine Abbildung $f:\DC\ra\DC$ ist komplex differenzierbar bei $p\in\DC$  im
Sinne von \ref{DEVc} mit Ableitung $f'(p)\in \DC$ genau dann, wenn
so  $f$ bei $p$  differenzierbar ist im
Sinne von \ref{DeDi} 
und sein Differential $\diff_p f:\DC\ra\DC$ eine komplexlineare Abbildung.
In diesem Fall ist das
 Differential von $f$ gerade die Multiplikation
mit seiner komplexen Ableitung $f'(p)$ aus \ref{DEVc}, in Formeln
$\diff_p f = (f'(p)\cdot):\DC\ra\DC$. Analoges gilt, wenn $f$ nur auf
einer halboffenen Teilmenge von $\DC$ definiert ist.
\end{Ubunge}