%\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}

\subsection{Die Kettenregel}

\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}]\label{Kett}
Seien $A,B,C$ halboffene 
Teilmengen\index{Kettenregel!in mehreren Ver"anderlichen}
normierter reeller R"aume $X,Y,Z$. Seien
$f:A\ra B$ und  $g: B\ra C$ Abbildungen
und $p\in A$ ein Punkt derart, da"s
$f$ differenzierbar ist bei $p$ und  $g$ differenzierbar bei 
$f(p)$. So ist auch $g \circ f$ differenzierbar bei $p$
und es gilt
$$\diff _{p}(g\circ f)= (\diff _{f(p)}g) \circ (\diff _{p}f)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Es ist anschaulich klar, da"s die bestm"ogliche affine
Approximation an die Verkn"upfung $g\circ f$ 
zweier Abbildungen $f$ und $g$ bei einer vorgegebenen Stelle 
$p$ gerade
die Verkn"upfung der bestm"oglichen affinen
Approximation an $f$
bei $p$ mit der bestm"oglichen affinen
Approximation an $g$ bei $f(p)$ sein mu"s.
Die Kettenregel formalisiert diese Anschauung f"ur die linearen Anteile
unserer bestm"oglichen affinen
Approximationen.  
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}
Sind unsere drei normierten R"aume $\DR^n,\DR^m,\DR^l$,
so bedeutet die Kettenregel  die Identit"at der 
Jacobi-Matrizen
$$[\diff _{p}(g\circ f)]= [\diff _{f(p)}g] \circ [\diff _{p}f]$$
 oder ausgeschrieben  die Identit"at
\\[4mm]
$
\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
    \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial (g\circ f)_{l}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
      (g\circ f)_{l}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right)=\hfill
$
\\[4mm]
$\hfill =\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots &
    \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{m}}(f(p))\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial g_{l}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots & \frac{\partial
      g_{l}}{\partial y_{m}} (f(p)) \end{array}\right)
\circ
\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
    \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
      f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right) $
\end{Bemerkungl}








\begin{proof}[Beweis]
Zur Vereinfachung setzen wir $q = f(p)$, $L = \diff _{p}f$ und $M=
\diff _{q}g$
und haben
$$\begin{array}{llll}
f(p+h)&=& f(p)+Lh&+\|h\|\varepsilon(h)\\[2mm]
g(q+j)&=& \;\! g(q) + Mj&+\|j\|\eta  (j)
\end{array}$$
f"ur Abbildungen $\varepsilon$ und 
$\eta $, die stetig
sind bei Null und die dort verschwinden.
Wir schreiben $$f(p+h) = q +j(h)$$
mit $j(h) = Lh+ \|h\| \varepsilon (h)$ und erhalten durch Einsetzen
$$\begin{array}{lll}
(g\circ f) (p+h) &=& g(q+j(h))\\[2mm]
&=& g(q) + Mj(h) + \|j(h)\|  \eta (j(h))\\[2mm]
&=&(g\circ f)(p) + MLh + M\|h\| \varepsilon(h) +
\|j(h)\|  \eta (j(h))
\end{array}$$
Wir sind fertig, sobald wir
zeigen $$\lim_{h\ra 0} M\varepsilon (h) =0\;\;\;\text{ und }\;\;\;
\lim_{h\ra 0} \frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \eta (j(h)) =0$$
Der erste
Grenzwert ergibt sich m"uhelos,  $h\mapsto M\varepsilon (h)$
ist eben auch stetig bei $h=0$ und nimmt dort den Wert Null an.
Um den zweiten Grenzwert zu berechnen, sch"atzen wir erst ab
$\|j(h)\| \leq \|h\| (\|L\|+ \|\varepsilon(h)\|)$ und dann
$$\frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \|\eta (j(h))\|\leq (\|L\|+
\|\varepsilon(h)\|) \| \eta (j(h))\|$$
Die rechte Seite ist wieder stetig bei $h=0$ und nimmt dort den
Wert Null an, gleichbedeutend strebt sie also f"ur $h\ra
0$ gegen Null, und nach dem Quetschlemma \eref{BL24}{AN1} strebt dann
die linke Seite erst recht gegen Null.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{Lr}
Speziell liefert die Kettenregel f"ur stetiges lineares $M=g$ die Formel
$\diff _{p}(M\circ f)= M \circ (\diff _{p}f)$,
noch spezieller folgt $\diff _{p}(\lambda f)= \lambda (\diff _{p}f)$
f"ur $\lambda\in\Bbb{R}$.
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{Asc}
Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume.
Sei $A\subset X$  halboffen und
$f:A\ra Y$ differenzierbar. 
Liegt f"ur zwei Punkte $p,q\in A$ das ganze verbindende
Geradensegment $[p,q]$ in $A$ und ist die 
Operatornorm  des Differentials von $f$ auf $[p,q]$
beschr"ankt  durch eine Konstante $K$, 
in Formeln
$\|\diff_x f\|\leq K\;\forall x\in A$, so gilt
$\|f(p)-f(q)\|\leq K\|p-q\|$. Hinweis: \eref{MWS}{AN1}.
\end{Ubung}