%\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}

\subsection{Weitere Ableitungsregeln}

\begin{Proposition}[\defind{Komponentenregel}]\label{kd}
Seien $X,Y_1,Y_2$ normierte 
R"aume, $A\subset X$ eine  halboffene Teilmenge
und $f=(f_1,f_2):A\ra Y_1\times Y_2$ eine Abbildung.
Genau dann ist $f$ differenzierbar bei $p\in A$, wenn $f_1$ und $f_2$
es sind, und dann gilt f"ur die Differentiale die Formel
$$\diff _p f=(\diff_p f_1, \diff_p f_2):\vec{X}\ra 
\vec{Y_1}\times \vec{Y_2}$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Man beachte, da"s $(\diff_p f_1, \diff_p f_2)$  
in Matrixschreibweise unter unseren 
Konventionen \eref{MaDS}{LA1}, anders als die 
Schreibweise suggerieren mag,
als Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen w"are.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Projektionen $\op{pr}_i:X\ra Y_i$ sind stetig und linear.
Ist $f$ differenzierbar bei $p$, so sind damit nach der Kettenregel
auch die $f_i=\op{pr}_i\circ f$ differenzierbar bei $p$
und die Kettenregel liefert
zus"atzlich
$\diff _p f_i=\diff _{f(p)}\op{pr}_i\circ \diff _p f
=\op{pr}_i\circ \diff _p f$,
also $\diff _p f=(\diff _p f_1, \diff _p f_2)$.
Sind umgekehrt $f_1$ und $f_2$ differenzierbar bei $p$
mit Differentialen $L_1$ und $L_2$, so k"onnen wir nach Definition
schreiben
$$f_i(p +h) = f_i(p) + L_ih + \|h \| \varepsilon_i (h)$$
f"ur geeignete Abbildungen $\varepsilon_i$, die stetig sind bei Null
und die dort den Wert
$\varepsilon_i (0) =0$ annehmen. Setzen wir $L=(L_1,L_2)$ und
$\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, so ist $L$ ist stetig linear
und $\varepsilon$
stetig bei $0$ mit Funktionswert
$\varepsilon (0) =0$ und es gilt
$$f(p +h) = f(p) + Lh + \|h \| \varepsilon (h)$$
Das bedeutet aber genau, da"s $f$ differenzierbar ist bei $p$
mit Differential $\diff _p f=L$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{KD}
Mit Induktion folgt die analoge Aussage
f"ur eine Abbildung $f:A\ra Y_1\times\ldots\times Y_m$ in ein
l"angeres kartesisches Produkt normierter R"aume.
Insbesondere ist eine Abbildung
$f=(f_1,\ldots,f_m):A\ra \Bbb{R}^m$ differenzierbar bei $p\in A$
genau dann, wenn alle $f_j$ es sind, und in diesem Fall gilt
f"ur die Differentiale  die Formel
$$\diff _p f=(\diff _p f_1,\ldots,\diff _p f_m):\vec{X}\ra\Bbb{R}^m$$
Wieder ist hier $(\diff _p f_1,\ldots,\diff _p f_m)$  
gem"a"s unseren Konventionen,
anders als die Schreibweise suggerieren mag,  als
Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Korollar}[\defind{Summenregel}]
Seien $X$ ein normierter Raum, 
$\vec{Y}$ ein normierter Vektorraum\label{SuRe} und $A\co X$ eine
halboffene Teilmenge. Sind $f,g:A\ra \vec{Y}$ differenzierbar bei $p\in A$,
so ist auch $f+g:A\ra \vec{Y}$ differenzierbar bei $p$ und es gilt
$$\diff _p(f+g)=\diff _p f +\diff _p g$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Die Addition $+:\vec{Y}\times \vec{Y}\ra \vec{Y}$,
 $(w,w')\mapsto w+w'$ ist linear und
stetig, und wir k"onnen $f+g$ schreiben als die Verkn"upfung
$f+g=+\circ (f,g)$. Das Differential von $f+g$ 
an der Stelle $p$ ergibt sich also
mit der Kettenregel zu
$\diff _p(f+g)=+\circ(\diff _p f ,\diff _p g)=\diff _p f +\diff _p g$.
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Differential bilinearer Abbildungen}]
Seien\index{Differential!von bilinearer Abbildung} 
$\vec{X},\vec{Y},\vec{Z}$ normierte Vektorr"aume\label{PRm} und sei
$\varphi:\vec{X}\times \vec{Y}\ra \vec{Z}$, $(v,w)\mapsto \varphi(v,w)$
eine stetige
bilineare Abbildung. So ist $\varphi$ differenzierbar und das
Differential von $\varphi$ im Punkt $(p,q)$ ist die lineare Abbildung
$$\begin{array}{rccl}
\diff _{(p,q)}\varphi:&\vec{X}\times \vec{Y}&\ra&\vec{Z}\\
&(h,k)&\mapsto &\varphi(h,q)+\varphi(p,k)
\end{array}$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Wir rechnen
$$\varphi(p+h,q+k)=\varphi(p,q)+\varphi(h, q)+\varphi(p, k)+\varphi(h,k)$$
und m"ussen nur noch
$\lim_{(h,k)\ra 0}\varphi(h,k)/\|(h,k)\|=0$
zeigen. Das folgt aber mit \eref{SMu}{AN1} aus der Stetigkeit von $\varphi$.
\end{proof}

\begin{Beispiel}
Die Leibnizregel \eref{APSu}{AN1} k"onnen wir aus der  Kettenregel
f"ur Differentiale
herleiten wie folgt: Gegeben $f,g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 
schreiben wir das Produkt $fg$  als die Verkn"upfung
$fg = \op{mult} \circ (f,g)$ der Funktion $(f,g) 
: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2$
mit der Multiplikation $\op{mult}: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$.
Sind $f$ und $g$ differenzierbar bei $t \in \mathbb R$, 
so nach der Komponentenregel
auch ihre Zusammenfassung $(f,g)$, und deren Jacobi-Matrix ist die Spaltenmatrix
$[\diff_t (f,g)] = (f^\prime (t), g^\prime (t))^\top$.
Andererseits ist die Multiplikation differenzierbar als 
stetige bilineare Abbildung oder auch nach \ref{PTD} 
wegen der Existenz und Stetigkeit der
partiellen Ableitungen
und ihr Differential bei $(x,y)$ hat als 
Jacobi-Matrix die Zeilenmatrix 
$[\diff_{(x,y)}\op{mult}] = (y,x)$.
Mit der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen folgt
dann 
\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
(fg)^\prime (t) &= &[\diff_t (f\circ g)]\\[2mm] 
&=& [\diff_{(f(t),g(t))} \op{mult} ]\circ [ \diff_t (f,g)]\\[2mm]
&=&(g(t), f(t))\circ (f^\prime (t), g^\prime (t))^\top \\[2mm]
&=&g(t) f^\prime (t) + f(t) g^\prime (t)
\end{array}
\end{displaymath}
\end{Beispiel}
\begin{Korollar}
Seien
$A:\DR\ra \op{Mat}(n\times m;\Bbb{R})$ und $B:\DR\ra \op{Mat}(m\times k;\Bbb{R})$
differenzierbare matrixwertige Funktionen.
So ist auch das Produkt
$A B:t\mapsto A(t)B(t)$
differenzierbar und die Geschwindigkeit $(AB)'$ der
Produktfunktion $AB:\DR\ra \op{Mat}(n\times k;\Bbb{R})$
wird gegeben durch die Formel
$$(AB)'=A'B+AB'$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Das sollten Sie zur "Ubung schon  in Koordinaten nachgerechnet haben. 
Der hier gegebene Beweis ist komplizierter und dient  in erster
Linie nicht der Herleitung des Resultats, sondern vielmehr der Illustration 
unserer allgemeinen Regeln durch ein "ubersichtliches Beispiel.
Man beachte jedoch auch, wie un"ubersichtlich dieses Beispiel wird,
sobald wir versuchen,
statt mit abstrakten Differentialen mit Jacobi-Matrizen zu arbeiten.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Matrixmultiplikation ist eine stetige bilineare
Abbildung
$$\op{Mult}: \op{Mat}(n\times m;\Bbb{R})\times \op{Mat}(m\times k;\Bbb{R})\ra \op{Mat}(n\times k;\Bbb{R})$$
und wir k"onnen $AB$ schreiben als die Verkn"upfung
$AB=\op{Mult}\circ (A,B)$. Mit der Kettenregel und der Komponentenregel ergibt
sich $$\diff _t(AB)=(\diff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})\circ (\diff _t A,\diff
_t B)$$ Wenden wir diese lineare Abbildung $\Bbb{R}\ra \op{Mat}(n\times
k;\Bbb{R})$ an auf  $1\in\Bbb{R}$, so erhalten wir mit \ref{PRm} wie gew"unscht
\begin{equation*}
\begin{array}[b]{ccl}(AB)'(t)
&=&\diff _t(AB)(1)\\[2mm]
&=&(\diff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})(A'(t),B'(t))\\[2mm]
&=&A'(t)B(t)+A(t)B'(t)
\end{array}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{DMLL}
Man zeige, da"s auch  im Kontext normierter Vektorr"aume
stetige multilineare Abbildungen stets differenzierbar sind,
und gebe ein zur Produktregel \ref{PRm} analoge Formel f"ur 
deren Differential. Hinweis: \eref{SML}{AN1}.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{DInvn}
Sei $\op{inv}: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})$ 
das Invertieren von
Matrizen, $\op{inv}(X)=X^{-1}$. 
Man zeige f"ur das Differential des Invertierens bei der Einheitsmatrix $I$
die Formel 
$\diff _I\op{inv}:H\mapsto -H$.
Man zeige allgemeiner, da"s das Differential dieser
Abbildung am Punkt $P$ in Verallgemeinerung der Ableitungsregel f"ur 
$x\mapsto 1/x$
gegeben wird durch
$$\begin{array}{rccl}
\diff _P\op{inv}: &\op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})&\ra&\op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})\\
&H&\mapsto&-P^{-1} H P^{-1}
\end{array}$$
Hinweis: Man zeige erst, da"s $\op{inv}$ differenzierbar ist.
Dann nehme man in der Gleichung
$\op{inv}(X)X=I$ auf beiden Seiten das Differential
an der Stelle $P$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{DInvN}
Gegeben ein Banachraum $V$ bilden die invertierbaren
Elemente von $\cal{B}(V)$ eine offene Teilmenge und das 
Invertieren ist darauf differenzierbar mit Differential 
$\diff _P\op{inv}: H\mapsto -P^{-1} H P^{-1}$.
Hinweis: Man beachte, da"s
  f"ur alle Endomorphismen von $V$ der Norm $<1$ 
gilt $$(I-H)(I+H+H^{2}+H^3\ldots ) = I$$
wobei \eref{BRH}{AN1} und \eref{ABSB}{AN1} die Konvergenz sicherstellen.
 Diese "Ubung verallgemeinert die 
vorhergehende "Ubung \ref{DInvn}. Wir werden dies Resultat noch 
in \ref{InGl}
im Zusammenhang
mit L"osungen gew"ohnlicher Differentialgleichungen brauchen.
\end{Ubung}



\begin{Ubunge}\label{DeRR}
Sei $B\in \op{Mat}(n;\Bbb{R})$ fest.
Das Differential der Abbildung 
$\psi: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{Mat}(n;\Bbb{R})$
gegeben durch $A\mapsto ABA^{-1}$ bei der Einheitsmatrix ist
die lineare Abbildung $H\mapsto HB-BH$.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}\label{dem}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
und $W\subset \op{End}V$ ein Untervektorraum seines 
Endomorphismenraums, der aus paarweise kommutierenden Abbildungen
besteht, 
zeige man f"ur
das Differential von $\exp : W \rightarrow \op{End}V$
bei $A \in W$
die Formel
$
\diff_A \op{exp} = (\cdot \op{exp} A):W\ra  \op{End}V$.
Idem f"ur $V$ ein Banachraum und 
$\cal{B}(V)$ statt $\op{End}V$.
Eine allgemeine Formel f"ur das 
Differential von $\exp : \op{End}V \rightarrow \op{End}V$
wird in \ref{ADEx} diskutiert.
\end{Ubunge}



\begin{Ubunge}\label{logA}
Sei $V$ ein Banachraum und $A \in \mathcal B (V)$
ein stetiger Endomorphismus von $V$ der Norm $\| A \| < 1$. Man zeige, da"s das
formale Einsetzen von $A$ in die Taylorreihe von $\log (1 + x)$, als
da hei"st, die  Reihe
\begin{equation*}
A - \frac{A^2}{2} + \frac{A^3}{3} - \ldots
\end{equation*}
gegen einen Endomorphismus $B \in \mathcal B (V)$ 
mit der Eigenschaft $\op{exp} (B) = I + A$ konvergiert. Hinweis: Man  
berechne unter Verwendung von \ref{dem}
die Ableitung der Abbildung
$f: t \mapsto \op{exp}\;(t A - \frac{t^2 A^2}{2} + \frac{t^3A^3}{3} - \ldots)$
und die Ableitung der Abbildung $t \mapsto f(t)(I+tA)^{-1}$ und zeige,
da"s letztere Funktion konstant ist.
Ein besser verallgemeinerbares Argument findet man in \eref{logAe}{FT1}.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}[\textbf{Inversionen sind konforme Abbildungen}]
 Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit 
einer symmetrischen Bilinearform $\langle \; , \;
\rangle$.
Die auf dem Komplement 
$\{v \in V \mid \langle v, v\rangle \neq 0\}$ 
des Lichtkegels erkl"arte Abbildung
$
 f: v \mapsto v/\langle v, v\rangle$
hei"st dann in Verallgemeinerung von \eref{MoGe}{LA2} eine 
{\bf Inversion}.\index{Inversion} 
Man zeige f"ur das Differential von $f$ bei $v$ die Formel\label{InKo} 
\begin{equation*}
 (\diff_v f)(h) = \frac{h}{\langle v, v \rangle} - 
\frac{2 \langle h, v\rangle v}{\langle v, v\rangle^2}
\end{equation*}
und folgere $\langle  (\diff_v f)(h), (\diff_v f)(k)\rangle 
= \langle h, k\rangle / \langle v,v\rangle^2$ f"ur alle $h,k$.
In Worten erh"alt $\diff_v f$ also f"ur alle $v$ unsere 
Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen skalaren Faktor.
Abbildungen $f$ mit dieser Eigenschaft hei"sen 
{\bf konforme Abbildungen},\index{konform!Abbildung} 
 deshalb die "Uberschrift.
\end{Ubunge}