%\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}

\subsection{Differenzierbarkeit "uber partielle Ableitungen}


\begin{Proposition}\label{PTD}
Sei $U \co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge und $f : U \ra Y$
eine Abbildung von $U$ in einen normierten Raum $Y$.
Existieren alle partiellen Ableitungen und sind stetig
als Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial
x_{i}}: U \ra \vec{Y}$, so ist die Abbildung $f$ 
differenzierbar.
\end{Proposition}

  \begin{Bemerkunge}\label{SDi}
    Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume, $A \subset X$ eine halboffene
    Teilmenge und $f: A \ra Y$ eine Abbildung.  Genau dann hei"st die
    Abbildung $f$ {\bf
      stetig differenzierbar},\index{stetig differenzierbar!in mehreren Variablen} wenn $f$ differenzierbar ist und wenn
    zus"atzlich die Abbildung $p\mapsto \diff_pf$ von $A$ in den Raum der
    stetigen linearen Abbildungen $\cal{B}(\vec{X},\vec{Y})$ mit seiner
    Operatornorm aus \eref{OPn}{AN1} stetig ist. Aus den Voraussetzungen der
Proposition \ref{PTD} folgt mit demselben Beweis unmittelbar, da"s
$f$ sogar stetig differenzierbar ist.
\end{Bemerkunge}  
\begin{Beispiel}
Eine stetige Funktion $f:\DR^2\ra\DR$, deren s"amtliche Richtungsableitungen 
"uberall existieren, die jedoch im Ursprung nicht total differenzierbar
ist, kann man wie folgt erhalten: Man w"ahlt eine
$2\pi$-periodische stetig differenzierbare Funktion
$g:\DR\ra\DR$ mit der Eigenschaft %% $g(0)=g(\pi/2)=0$ und 
$g(x+\pi)=-g(x)$, die nicht identisch Null ist, und setzt 
$f(r\cos\theta, r\sin\theta)= r g(\theta)$ f"ur $r>0$ und $f(0,0)=0$.
Dann h"angen insbesondere die Richtungsableitungen am Ursprung gar nicht
linear vom Richtungsvektor ab. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt, an jeder Stelle
$p \in U$ die totale Differenzierbarkeit zu zeigen.
Indem wir zu $f$ eine geeignete Konstante sowie eine
geeignete lineare Abbildung addieren, d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s gilt $f(p) =0$ und
$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p) = 0 \quad\forall i$.
Unter diesen zus"atzlichen Annahmen m"ussen wir nun zeigen, da"s $f$ total
differenzierbar ist bei $p$ mit Differential Null.
Indem wir vor $f$ eine geeignete Verschiebung davorschalten, 
d"urfen wir zus"atzlich auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit 
$p=0$ annehmen.
Gegeben eine offene konvexe Umgebung $C\co \vec{Y}$ 
des Nullvektors von $\vec{Y}$ 
finden wir nun sicher $\delta >0$ derart, da"s alle partiellen
Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ auf dem Ball
$\op{B}(0;\delta)$ nur Werte in $C$ annehmen und da"s dieser Ball
ganz in $U$ enthalten ist.
Aus dem Schrankensatz 
\eref{MWS}{AN1} folgt f"ur $|h| < \delta$ schon $f (h_{1}, \ldots
,h_{i-1}, h_{i}, 0, \ldots , 0)- f(h_{1}, \ldots , h_{i-1}, 0,0, \ldots , 0)
\in h_{i} C$
und insgesamt
$$f(h)=f(h) - f(0) \in (h_{1} + \ldots+ h_{n})C$$
und f"ur $h\neq 0$ also  $f(h) / |h| \in n C$. Damit ergibt sich
$\op{lim}_{h\ra 0} f(h) /|h| =0$ wie
gew"unscht.
\end{proof}






\begin{Korollar}\label{GPa}
Seien
$x_1,\ldots,x_n: \Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ differenzierbare Abbildungen
und sei $F:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}$ stetig partiell differenzierbar.
So ist die durch die Vorschrift 
$t\mapsto F(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegebene Abbildung
differenzierbar und ihre Ableitung
an der Stelle $t=a$ wird unter Verwendung der Abk"urzung
$x(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegeben durch die Formel
$$\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a}F(x(t))=
\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Nat"urlich gilt die Aussage auch dann noch, wenn unsere Funktionen
$x_{i}$ auf einem echten Intervall $I \subset \Bbb{R}$ definiert sind
und $F$ auf einer
offenen Teilmenge von $\Bbb{R}^n$, solange
nur $x(t)$ stets im Definitionsbereich von $F$ liegt.
Man schreibt diese Formel meist etwas salopp in der Form
$$\frac{\diff F}{\diff t}=
\frac{\partial F}{\partial x_1} \frac{\diff x_1}{\diff t}
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n} \frac{\diff x_n}{\diff t}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten $x$ als eine Abbildung $x:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}^n$.
Nach Definition ist $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a}
F(x_1(t),\ldots,x_n(t))
=(\diff _a(F\circ x))(1)$ der einzige Eintrag in der
Matrix der linearen Abbildung $\diff _a(F\circ x):\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$.
Mit der Kettenregel finden wir nun
$$\begin{array}{ccl}
\diff _a(F\circ x)
&=&\diff _{x(a)}F\circ \diff _a x\\[1mm]
&=&\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a)),\ldots,\frac{\partial F}{\partial x_n}
(x(a))\right)\left(\rule{0mm}{5mm}\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)),\ldots,\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)\right)^{\top}\\[3mm]
&=&\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)
\end{array}$$
wobei in der vorletzten Zeile das Produkt
einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix zu verstehen ist,
wie der obere Index $\top$  andeutet.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{Igra}
F"ur die Richtungsableitung $(D_v f)(p)$ einer differenzierbaren
reellwertigen Funktion
$f: \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ am Punkt $p$ in Richtung $v$
erhalten wir speziell
$$(D_v f)(p)=(\diff _p f)(v)=\langle (\op{grad} f)(p),v\rangle$$
Insbesondere wird die Richtungsableitung bei $p$ in Richtung eines Vektors
$v$ der L"ange Eins maximal genau dann, wenn der Gradient von $f$
ein nichtnegatives Vielfaches von $v$ ist.
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Partielle Ableitungen mit Einheiten}]
Oft werden auch partielle Ableitungen in
gr"o"serer Allgemeinheit verwendet als in unserer Definition
\ref{dpA}.\label{PhNo} 
Sind genauer $X_1,\ldots, X_n$  
eindimensionale reelle R"aume und ist $E$ ein normierter
reeller Raum und $U\co X_1\times\ldots\times X_n$ 
eine offene Teilmenge und 
 $f:U\ra E$ 
eine Abbildung, so bezeichnet 
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$
auch das \glqq Differential der Restriktion
auf $X_i$ bei festen anderen Variablen\grqq, eine Abbildung 
$\frac{\partial f}{\partial x_i}: U\ra \op{Hom}(\vec{X_i},\vec{E})$. 
Unter der Identifikation des Richtungsraums unseres Produkts 
$X_1\times\ldots\times X_n$ mit dem Produkt der
Richtungsr"aume und 
des Raums Homomorphismen von dort nach $\vec E$ mit dem 
Produkt der Homomorphismenr"aume
haben wir dann\index{Ableitung!partielle, mit Einheiten}\index{partiell!Ableitung, mit Einheiten} 
$$\diff f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\left|\ldots\left|
\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\right.\right.$$
Im Fall $E=\DR^m$ erhalten wir speziell wieder unsere Jacobi-Matrix
als eine Zeilenmatrix von Spaltenvektoren.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{DiEx}
Man zeige, da"s die komplexe Exponentialfunktion
$\exp:\DC\ra\DC$ differenzierbar ist mit Differential
$$\diff _z\exp=(\exp z)\cdot:\DC\ra\DC$$
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{DiDet}
Man zeige, da"s $\det: \op{Mat}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$
differenzierbar ist, und da"s das Differential der Abbildung $\det$ an der
Einheitsmatrix $\op{I}$ die Spur $\op{tr}$
ist, in Formeln 
$$\diff _{\op{I}} \det=\op{tr}:\op{Mat}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$$ 
F"ur das Differential von $\det$ an
einer beliebigen Stelle $P$ zeige man die Formel
$(\diff _P\det)(H)=\op{tr}((\det P)P^{-1}H)$. Hier meint
$(\det P)P^{-1}$ den Wert bei $P$ der stetigen Fortsetzung der Abbildung 
$P\mapsto (\det P)P^{-1}$ vom
Raum der invertierbaren Matrizen auf den Raum aller Matrizen alias die
\glqq adjungierte Matrix\grqq\  $P^\sharp$ aus \eref{CraRe}{LA1}.
Hinweis: Man mag mit \ref{DMLL} arbeiten, 
oder auch mit partiellen Ableitungen.
Erinnerung: Die Spur einer Matrix ist die Summe der
Eintr"age auf der Diagonalen. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{FC1}
Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion 
auf einer offenen Teilmenge der Hyperebene $0\times \DR^n$ 
oder einer offenen Teilmenge des Halbraums 
$\DR_{\leq 0}\times \DR^n$ l"a"st sich zu
einer stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Teilmenge des
$\DR^{n+1}$ fortsetzen.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}[\textbf{Differential "uber partielle Ableitungen, Zugabe}]
Seien $X,Y,Z$ normierte R"aume,\label{PTDn}
$U \co X$ sowie $V\co Y$   offene Teilmengen und $f : U\times V \ra Z$
eine Abbildung. Wir betrachten f"ur alle $x\in U$ die \glqq vertikale\grqq\  Einbettung
$j_x:V\ra U\times V$, $ y\mapsto (x,y)$ und f"ur alle $y\in V$ die
\glqq horizontale\grqq\  Einbettung
$i_y:U\ra U\times V$, $ x\mapsto (x,y)$. 
Existieren f"ur alle $(x,y)\in U\times V$ die Differentiale
$\diff_x(f i_y):\vec{X}\ra \vec{Z}$ und 
$\diff_y(f j_x):\vec{Y}\ra \vec{Z}$ und sind stetig als Funktionen
$U\times V\ra\cal{B}(\vec{X}, \vec{Z})$  bzw.
$U\times V\ra\cal{B}(\vec{Y}, \vec{Z})$, 
so ist die Abbildung $f$ 
differenzierbar mit Differential
$$\diff_{(x,y)} f: (\vec v,\vec w)
\mapsto \diff_x(f i_y)(\vec v)+\diff_y(f j_x)(\vec w)$$
Die offensichtliche Identifikation von $\vec X\times \vec Y$ mit dem
Richtungsraum
des Produkts
 $X\times Y$ haben wir hier der "Ubersichtlichkeit halber nicht explizit
notiert. 
Hinweis: Man kopiere mutatis mutandis den Beweis von \ref{PTD}.
Mutige m"ogen umgekehrt \ref{PTD} aus dem Ergebnis 
dieser "Ubung ableiten durch Induktion "uber $n$.
\end{Ubunge}



















%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: