\section{Mehrfache Integrale und Ableitungen} \subsection{Integration "uber Quader}\label{IntQQ} \begin{Satz}[\textbf{"uber Integrale mit Parametern}] Gegeben ein Kompaktum $X\subset \DR^n$ und eine stetige Funktion $f: X \times [a,b] \ra \Bbb{R}$ ist auch die Funktion\label{SSkPI} $ X \ra \Bbb{R}$, $x\mapsto \int^{b}_{a} f(x,t) \diff t $ stetig. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt allgemeiner f"ur einen beliebigen metrischen Raum $X$, ja sogar in noch gr"o"serer Allgemeinheit, aber die Formulierung und der Beweis in dieser Allgemeinheit brauchen Begriffe und Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung stehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Mit $X$ ist auch $X\times [a,b]$ kompakt nach \eref{prk}{AN1} und nach \eref{glst}{AN1} ist $f$ dort gleichm"a"sig stetig. F"ur alle $\varepsilon >0$ gibt es insbesondere $\delta >0$ mit $$|x-y|<\delta\;\RA \; |f(x,t)-f(y,t)|<\varepsilon\text{ f"ur alle }t\in[a,b].$$ Aus $|x-y|<\delta$ folgt mithin $$ \left|\int^{b}_{a} f(x,t)\diff t -\int^{b}_{a}f(y,t)\diff t \right| \leq \int^{b}_{a} |f(x,t) -f(y,t)|\diff t\leq(b-a)\varepsilon $$ und das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein Produkt von $n$ Intervallen in $\DR^n$ nennen wir einen {\bf Quader}\index{Quader}. Ein kompakter Quader in $\DR^2$ ist eine Rechtecksfl"ache der Gestalt $[a,b]\times [c,d]$. Beispiele f"ur nichtkompakte Quader $H\subset \DR^n$ sind etwa ganz $\DR^n$ oder im Fall $n> 0$ der Halbraum\label{IntHQ} $\DR_{\leq 0}\times \DR^{n-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RiMV} Gegeben $Q =[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times[a_{n},b_{n}]\subset \Bbb{R}^{n}$ ein kompakter Quader in $\DR^n$ und $f:Q \ra \Bbb{R}$ stetig erkl"aren wir das {\bf Integral\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompakten Quader} von $f$ "uber $Q$}, eine reelle Zahl $\int_{Q}f\in\Bbb{R}$, durch die Formel $$\int f= \int_{Q} f \pdef \int^{b_{n}}_{a_{n}} \left( \ldots \left( \int^{b_{1}}_{a_{1}} f(x_{1},\ldots, x_{n}) \diff x_{1}\right) \ldots \right) \diff x_{n}$$ im Fall $Q\neq\emptyset$ und durch $\int_{Q} f=0$ im Fall $Q=\emptyset$. Im Fall $n=0$ interpretieren wir unsere Definition dahingehend, da"s das Integral der Funktionswert am einzigen Punkt des leeren Produkts sein soll. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Satz \ref{SSkPI} zeigt, da"s in dieser Definition alle Integranden stetig vom Integrationsparameter abh"angen, so da"s alle unsere Integrale definiert sind. Aus den Eigenschaften des Integrals von Funktionen einer reellen Ver"an\-derlichen folgt sofort die Linearit"at $\int (f+g) = \int f+\int g$, $\int (\lambda f)= \lambda \int f$ f"ur $\lambda \in \Bbb{R}$ sowie die Monotonie $f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g$ und insbesondere auch $|\int f| \leq \int |f|$. F"ur das Integral der konstanten Funktion $1$ "uber einen nichtleeren kompakten Quader $Q =[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times[a_{n},b_{n}]$ erhalten wir $\int_{Q} 1 = (b_{1}-a_{1}) \ldots (b_{n}-a_{n})$. Wir nennen diese Zahl das {\bf Volumen} des Quaders $Q$ und notieren sie $\op{vol} Q$. Anschaulich bedeutet $\op{vol} Q$ ein Volumen im Fall $n=3$, eine Fl"ache im Fall $n=2$, eine L"ange im Fall $n=1$ und die Zahl $1$ im Fall $n=0$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRiSuR} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die vierte Riemannsumme der Funktion $f(x,y)=(x+y)/2$ auf dem Einheitsquadrat mag man sich als das Volumen des hier gezeichneten r"aumlichen Gebildes denken. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} F"ur $n=2$ bedeutet $\int_Q f$ anschaulich den Rauminhalt zwischen dem Graphen der Funktion $f:Q\ra\DR$ und der $xy$-Ebene, wobei Rauminhalte unterhalb der $xy$-Ebene negativ zu z"ahlen sind. Diese Anschauung wird im folgenden formal gerechtfertigt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $Q =[a,b]\times [c,d] \subset \Bbb{R}^{2}$ ein nichtleerer kompakter zweidimensionaler Quader alias ein \defind{Rechteck} und $f: Q \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion. Bezeichne $\op{vol} Q =(b-a) (d-c)$ die Fl"ache von $Q$. F"ur $r\geq 1$ definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Funktion auf Rechteck} $S^{r}(f)$ von $f$ wie folgt: Wir betrachten die "aquidistanten Unterteilungen $$a=a_{0} \leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{r} =b$$ $$c= c_{0} \leq c_{1}\leq \ldots \leq c_{r}=d$$ der Kanten unseres Rechtecks, erhalten eine Unterteilung unseres Rechtecks in $r^{2}$ kleine Rechtecke $Q_{i,j}=[a_{i},a_{i+1}]\times [c_{j},c_{j+1}]$ mit Fl"acheninhalt $({\op{vol} Q})/{r^{2}}$, und setzen $$S^{r} (f) \pdef \sum^{r-1}_{i,j=0} f(a_{i},c_{j}) \frac{\op{vol} Q}{r^{2}} $$ \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Integral durch Riemannsummen}] Gegeben $Q \subset \Bbb{R}^{2}$ ein Rechteck und $f:Q \ra\Bbb{R}$ stetig ist das Integral\label{IVQp} von $f$ "uber $Q$ der Grenzwert unserer Riemannsummen, in Formeln $$\int_{Q}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir definieren Unter- und Obersummen durch $$\underline{S}^{r} (f) = \sum^{r-1}_{i,j=0} \inf f (Q_{i,j})\; { \frac{\op{vol} Q}{r^{2}}}\;\;\text{ und }\;\; \bar{S}^{r}(f) = \sum^{r-1}_{i,j=0} \sup f (Q_{i,j}) \; \frac{\op{vol} Q}{r^{2}}$$ Bei den Untersummen lassen wir etwa auf unseren kleinen Quadern $Q_{i,j}$ T"urmchen hochwachsen, bis sie am Graphen unserer Funktion ansto"sen, und bilden die Summe der Volumina aller dieser T"urmchen. Bei den Obersummen nehmen wir entsprechend die kleinstm"oglichen T"urmchen, aus denen unsere Funktion nicht mehr oben herausguckt. Nun behaupten wir die Ungleichungen $$\underline{S}^{r} (f) \leq S^{r}(f) \leq\bar{S}^{r} (f)$$ $$\underline{S}^{r} (f) \leq\int_{Q} f \leq \bar{S}^{r} (f)$$ Die Ungleichungen der ersten Zeile sind offensichtlich. Um die Ungleichungen der zweiten Zeile einzusehen, benutzen wir zun"achst die Regeln f"ur Integrale einer Ver"anderlichen und erkennen %\int_{Q} f= \sum^{r-1}_{i,j=0} $$ \inf f(Q_{i,j})\;\frac{\op{vol} Q}{r^{2}} \leq\;\; \int_{Q_{i,j}} f \leq\;\; \sup f(Q_{i,j})\;\frac{\op{vol} Q}{r^{2}}$$ Aus unseren Regeln f"ur Integrale einer Ver"anderlichen folgt zus"atzlich auch noch $\int_Q f=\sum_{i,j}\int_{Q_{i,j}}f$. Summieren wir dann f"ur $0\leq i,j \leq r-1$ alle unsere Ungleichungen auf, so ergibt sich die zweite Zeile oben. F"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es nun wegen der gleichm"a"sigen Stetigkeit unserer Funktion auf unserem kompakten Rechteck ein $\delta=\delta_\varepsilon>0$ mit $$|(x_{1},y_{1}) - (x,y)| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x_{1},y_{1})-f(x,y)|<\varepsilon $$ Ist $R=R_\varepsilon$ so gro"s, da"s alle Kantenl"angen unserer kleinen Rechtecke $Q_{i,j}$ bei "aquidistanter Unterteilung in $R$ St"ucke unter $\delta$ sinken, so folgt aus $r\geq R$ damit $|\bar{S}^{r} (f) - \underline{S}^{r} (f) | < (\op{vol} Q)\varepsilon$ und mit unseren beiden Zeilen von Ungleichungen ergibt sich $|\int_{Q}f- S^{r} (f) | < (\op{vol} Q)\varepsilon$. Das zeigt $\int_{Q}f=\lim_{r\ra \infty} S^{r} (f)$ wie behauptet. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Vertauschen partieller Integrationen}] Gegeben ein Rechteck $Q =[a,b] \times [c,d] \subset \Bbb{R}^{2}$ und $f : Q \ra \Bbb{R}$ stetig\index{Vertauschen!von partiellen Integrationen}\label{VI} gilt $$\int^{d}_{c}\left( \int^{b}_{a} f(x,y)\;\diff x\right) \diff y = \int^{b}_{a}\left( \int^{d}_{c} f(x,y)\;\diff y \right) \diff x$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Beide Seiten sind Grenzwert derselben Folge von Riemannsummen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Den gemeinsamen Wert dieses Integrals notieren wir dann k"urzer auch $\int_Q f(x,y)\op{d}(x,y)$ und benutzen analoge Notationen im Fall von noch mehr Ver\-"an\-der\-li\-chen. Steht dahingegen $x$ f"ur eine Ver"anderliche des $\DR^k$, so benutzen wir die Notation $\int f(x)\;\diff^k x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da das Differenzieren so in etwa der inverse Prozess zum Integrieren ist, m"ussen mit den partiellen Integralen auch die partiellen Ableitungen sowie partielle Ableitung und partielles Integral vertauschen. Diese Idee wird im Folgenden ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Vertauschen partieller Ableitungen}\index{Vertauschen!von partiellen Ableitungen}] Seien $Q \subset \Bbb{R}^{2}$ ein Rechteck mit beiden Seiten von positiver L"ange\label{VPAb} und $f:Q\ra \Bbb{R}$ eine Funktion. Existiert die gemischte partielle Ableitung $\partial_y \partial_x f$ auf $Q$ und ist dort stetig und existiert dar"uber hinaus die partielle Ableitung $\partial_y f$ auf $Q$, so existiert sogar die umgekehrte gemischte partielle Ableitung $\partial_x \partial_y f$ auf $Q$ und es gilt $$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} Eine anschauliche Interpretation dieses Korollars wird der Satz "uber die Taylorentwicklung \ref{TMV} geben: Geeignet differenzierbare reelle Funktionen von zwei Variablen besitzen lokal an jeder Stelle eine \glqq beste\grqq\ Approximation durch ein Polynom vom Grad h"ochstens zwei, in Formeln ausgedr"uckt $f(p+x,q+y)\sim f(p,q)+ \alpha x+\beta y+\gamma x^2+\delta xy+ \theta y^2$, und die gemischte partielle Ableitung unserer Funktion an besagter Stelle ist dann genau der Koeffizient $\delta$ des \glqq gemischten Terms\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Die Funktion $f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ kann durch $f(0,0)=0$ stetig auf ganz $\DR^2$ fortgesetzt werden und ist "uberall zweimal partiell differenzierbar, aber ihre beiden gemischten partiellen Ableitungen stimmen im Ursprung nicht "uberein. Das zeigt, da"s unsere Forderung der Stetigkeit an eine gemischte partielle Ableitung im vorhergehenden Korollar \ref{VPAb} notwendig ist. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir verwenden f"ur die partiellen Ableitungen nach der ersten beziehungsweise zweiten Variablen die Abk"urzungen $f_1$ und $f_2$ und schreiben $f_{12}=(f_1)_2$ f"ur die gemischte partielle Ableitung \glqq erst nach $x$, dann nach $y$\grqq. F"ur $(a,c)$ die untere linke Ecke unseres Rechtecks und $(x,y)\in Q$ beliebig finden wir $$ \begin{array}{lll} \int_a^x \int_c^y f_{12}(s,t) \;\diff t \;\diff s &=& \int_a^x f_{1}(s,y)- f_{1}(s,c) \;\diff s \\[2mm] & =& f(x,y)- f(x,c)-f(a,y)+ f(a,c) \end{array} $$ Jetzt vertauschen wir vorne die Integrationsreihenfolge, bringen hinten die drei letzten Summanden auf die andere Seite und erhalten $$\left(\int_c^y \int_a^x f_{12}(s,t) \;\diff s \;\diff t \right) + f(x,c)+f(a,y)- f(a,c)= f(x,y)$$ Die linke Seite ist hier ganz offensichtlich partiell differenzierbar erst nach $y$ und dann nach $x$ und ihre gemischte partielle Ableitung ergibt sich zu $f_{12}$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Differenzieren unter dem Integral}] \index{Differenzieren unter dem Integral} Seien $[a,b]\subset \Bbb{R}$ ein kompaktes Intervall, $I \subset \Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall\label{DUIn} und $f:[a,b]\times I\ra \Bbb{R}$, $(x,y) \mapsto f(x,y)$ stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der zweiten Variablen. So ist die Funktion $y\mapsto \int^{b}_{a} f(x,y) \diff x$ differenzierbar und man darf die Integration "uber die erste Variable mit der partiellen Ableitung nach der zweiten Variablen vertauschen, in Formeln $$\frac{\diff}{\diff y} \left( \int^{b}_{a} f(x,y) \diff x\right) = \int^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \diff x$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} Einen allgemeineren Satz zum Differenzieren unter dem Integral werden Sie in "Ubung \eref{VIPA}{AN3} im Rahmen der Lebesgue'schen Integrationstheorie herleiten. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir k"urzen wieder die partielle Ableitung von $f$ nach der zweiten Variablen mit $f_2$ ab. Dann w"ahlen wir $c\in I$ beliebig und finden $$ \int^{b}_{a} \int^{y}_{c} f_2 (x,t) \diff t \diff x= \int^{b}_{a} f (x,y) - f (x,c) \diff x$$ Vertauschen wir vorne die Integrationsreihenfolge und bringen den letzten Summanden auf die andere Seite, so ergibt sich $$\int^{y}_{c} \int^{b}_{a} f_2 (x,t)\diff x \diff t - \int^{b}_{a} f (x,c) \diff x = \int^{b}_{a} f (x,y) \diff x$$ Die linke Seite ist aber offensichtlich partiell differenzierbar nach $y$ mit Ableitung $\int^{b}_{a} f_2 (x,t)\diff x$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[{\bf L"osungen der linearen Wellengleichung}] Sei $f:\DR^2\ra \DR$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion, es sollen also $\partial^2_xf, \partial_x\partial_tf, \partial_t\partial_xf$ und $\partial^2_tf$ alle auf ganz $\DR^2$ existieren und stetig sein. Es gelte weiter $$\partial^2_xf(x,t)=\partial^2_tf(x,t)$$ Man zeige, da"s es dann zweimal stetig differenzierbare Funktionen $u,v:\DR\ra \DR$ gibt mit $$f(x,t)=u(x-t)+v(x+t)$$ und da"s diese Funktionen $u,v$ durch $f$ eindeutig bestimmt sind bis auf den "Ubergang zu $u+c, v-c$ mit einer Konstante $c\in \DR$. Hinweis: Man untersuche zun"achst\label{LlW} zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen $g:\DR^2\ra \DR$ mit $\partial_y\partial_zg(y,z)=0$ und zeige, da"s es zweimal stetig differenzierbare Funktionen $h,k:\DR\ra \DR$ gibt mit $g(y,z)=h(y)+k(z)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}[{\bf Motivation f"ur die lineare Wellengleichung}] Wir denken uns eine waagerechte Kette von reibungslos rutschenden W"urfeln der Masse $M$, die \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWeGe}\\[4mm] \centering Illustration zur Motivation der linearen Wellengleichung mit Platten statt W"urfeln. \end{figure} durch Federn verbunden sind und einen Abstand von jeweils einem Meter haben. St"oren wir dieses System und bezeichnet $f(n,t)$ die Auslenkung der $n$-ten Kugel zum Zeitpunkt $t$, so erf"ullen die Funktionen $f(n,t)$ nach den Newton'schen Bewegungsgleichungen ein System von Differentialgleichungen der Gestalt \begin{eqnarray*} M \partial^2_t f(n,t) & = & C \big((f(n+1,t) - f(n,t)) - (f(n,t)-f(n-1,t))\big)\\ & =& C\big(f(n+1,t) + f(n-1,t) -2 f(n,t)\big) \end{eqnarray*} mit einer Konstante $C$, die von der Federkonstante abh"angt. Teilen wir die Abst"ande zwischen unseren W"urfeln und die Masse unserer W"urfel durch $N$, so werden die Federn entsprechend k"urzer und die entsprechende Gleichung lautet \begin{eqnarray*} \frac{M}{N} \partial^2_t (x,t) = NC (f(x + \frac{1}{N},t) + f(x - \frac{1}{N}, t) - 2f(x,t)) \end{eqnarray*} f"ur $x\in (1/N)\DZ$. Setzen wir stattdessen $h = 1/N$, so ergibt sich \begin{eqnarray*} M \partial^2_t f(x,t) = C \frac{f(x+h,t) + f(x-h,t) - 2 f(x,t)}{h^2} \end{eqnarray*} f"ur alle $x \in h \mathbb Z$. Gehen wir schlie"slich zum Grenzwert f"ur $N \rightarrow \infty$ alias $h \rightarrow 0$ "uber, so erhalten wir nach \eref{ZAb}{AN1} die Wellengleichung \begin{eqnarray*} M \partial_t^2 f(x,t) = C \partial_x^2 f (x,t) \end{eqnarray*} \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge}\label{ADEx} Gegeben ein Vektorraum $V$ und $A\in \op{End}V$ erkl"art man die lineare Abbildung $\op{ad}A: \op{End}V \ra \op{End}V$ durch die Vorschrift $\op{ad}A:B\mapsto (AB-BA)$. Man zeige, da"s f"ur $V$ endlichdimensional und reell das Differential von $\exp : \op{End} V \rightarrow \op{End}V$ bei $A \in \op{End} V$\index{Differential!von $\exp$ auf Matrizen} gegeben wird durch die Formel \begin{displaymath} \tiff_A \op{exp} = (\cdot \op{exp} A) \circ \left( \frac{\op{exp}(\op{ad} A) -1}{ \op{ad} A} \right) \end{displaymath} Beim letzten Faktor ist gemeint, da"s $\op{ad}A$ in die Potenzreihe $\sum_{\nu \geq 0} z^\nu / (\nu +1)!$ der Funktion $(\op{exp} (z) -1) /z$ eingesetzt werden soll. Hinweis: Man wende $\partial^2 / \partial s \partial t = \partial^2 / \partial t\partial s$ an auf $\op{exp} (s (A + t B)) \exp (-sA)$, setze $t =0$ und integriere "uber $s$. \end{Ubunge} \subsection{Taylorentwicklung in mehreren Ver"anderlichen} \begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung in zwei Ver"anderlichen}] Gegeben eine $d$-mal stetig partiell differenzierbare\label{TMV}\index{Taylorentwicklung!in mehreren Ver"anderlichen} Funktion $f: \Bbb{R}^{2}\lco A \ra \Bbb{R}$ mit $(0,0)\in A$ gibt es genau ein Polynom in zwei Ver"anderlichen $P (x,y) = \sum_{i+j\leq d} c_{i,j} x^{i} y^{j}$ vom Grad $\leq d$ mit $$\lim_{(x,y)\ra (0,0)} \frac{f(x,y) - P(x,y)} {| (x,y) |^{d}} = 0$$ und die Koeffizienten $c_{i,j}$ dieses Polynoms $P$ werden gegeben durch die Formel $$c_{i,j} = \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}} (0,0)$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen das gleich in mehreren Ver"anderlichen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $f(x,y) = \sum_{i,j} a_{i,j} x^{i}y^{j}$ selbst eine Polynomfunktion, so erkennt man leicht, da"s gilt $$a_{i,j} = \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}} (0,0)$$ In diesem Fall liefert unsere Formel also $P(x,y) = \sum_{i+j \leq d} a_{i,j} x^{i}y^{j}$ und man sieht sofort, da"s dieses $P$ die geforderte Eigenschaft hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um unseren Satz auch in mehr als zwei Ver"anderlichen "ubersichtlich formulieren zu k"onnen,\label{MuIn} f"uhren wir geeignete Notationen ein. Gegeben ein {\bf Multiindex}\index{Multiindex} $\al = (\al_{1}, \ldots , \al_{m}) \in \DN^{m}$ setzen wir $$\begin{array}{lcl} |\al| &\pdef& \al_{1} + \ldots + \al_{m}\\ \al ! & \pdef& \al_{1}! \ldots \al_{m}!\\ x^{\al} &\pdef& x^{\al_{1}}_{1} \ldots x^{\al_{m}}_{m}\\ \partial^{\al}f &\pdef& \frac{\partial^{|\al|}f}{\partial x_{1}^{\al_{1}}\ldots \partial x_{m}^{\al_{m}}} \end{array}$$ F"ur die letzte Notation nehmen wir dabei an, da"s $f: \Bbb{R}^{m}\lco A\ra \Bbb{R}$ eine $|\al|$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist, so da"s es beim partiellen Ableiten nicht auf die Reihenfolge ankommt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem \defind{Polynom} {\bf in mehreren Ver"anderlichen} $x_1,x_2,\ldots,x_m$ mit reellen Koeffizienten versteht man eine \glqq endliche formale Summe\grqq\ der Gestalt $$\sum_{\alpha} c_\alpha x^\alpha=\sum_{\alpha} c_\alpha x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\ldots x_m^{\alpha_m} $$ Dabei l"auft die Summe "uber Multiindizes $\alpha\in\DN^m$ und alle Koeffizienten $c_\alpha$ sind reelle Zahlen, die dar"uber hinaus fast alle verschwinden m"ussen, wir lassen also nur endliche formale Summen zu. Mit dem {\bf Grad}\index{Grad!eines Polynoms!in mehreren Ver"anderlichen} oder genauer dem {\bf Totalgrad}\index{Totalgrad} eines Polynoms in mehreren Ver"anderlichen meint man $\op{sup}\{|\alpha|\mid c_\alpha\neq 0\}$. Das Nullpolynom hat also den Grad $-\infty$, konstante Polynome haben den Grad $0$ und $$x^4y^3-z^5y+3z^2x^2y^2$$ ist ein Polynom in den drei Ver"anderlichen $x,y,z$ vom Grad $7$. Wir werden in \ref{EDPF} zeigen, da"s verschiedene polynomiale Ausdr"ucke auch verschiedene Funktionen liefern, so da"s wir im Fall reeller Koeffizienten nicht so genau zu hinterfragen brauchen, was wir unter solch einem \glqq formalen Ausdruck\grqq\ genau verstehen wollen. Den Fall beliebiger Koeffizienten diskutieren wir in \eref{PoRi}{LA1} im Fall einer Variablen und in \eref{PoRiMV}{LA1} im allgemeinen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung}]\label{TaEn} Gegeben $f: \DR^m\lco A \ra \Bbb{R}$ eine $d$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion und $p \in A$ ein Punkt gibt es genau ein Polynom $P$ vom Grad $\;\leq \! d$ mit $$ f(p+h) = P(h) + |h|^{d}\varepsilon(h)$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\varepsilon(0)=\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ und dieses Polynom wird gegeben durch die Formel $$P(h) = \sum_{|\al| \leq d} \frac{(\partial^{\al}f) (p)}{\al!} h^{\al} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist schw"acher als unsere verschiedenen Versionen im Fall einer Variablen in \eref{TEe}{AN1} folgende. Ich denke jedoch, da"s es an dieser Stelle den Aufwand nicht wert ist, entsprechend st"arkere Versionen zu zeigen. Ich habe in einer Variablen den Aufwand auch nur getrieben, um den Aspekt der \glqq Verallgemeinerung der Ableitung durch die Taylorentwicklung\grqq\ herauszuarbeiten. In \ref{koft} deute ich an, wie der vorhergehende Satz koordinatenfrei formuliert werden kann. Ich schicke dem Beweis ein Lemma voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EDPF} Sei $R$ ein Polynom in $m$ Ver"anderlichen mit reellen Koeffizienten vom Grad $\leq d$. Gilt $\lim_{h\ra 0} {R(h)}/{|h|^{d}} =0$, so folgt $R=0$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen das durch Widerspruch. W"are $R \neq 0$, so g"abe es $v\neq 0$ mit $R (v) \neq 0$, und $t \mapsto R(tv)$ w"are ein von Null verschiedenes Polynom in einer Ver"anderlichen $t \in \Bbb{R}$ vom Grad $\leq d$ mit $\lim_{t\ra 0} {R(tv)}/{|t|^{d}} = 0$. Wir wissen aber aus \eref{PFKO}{AN1}, da"s es solch ein Polynom in einer Variablen nicht gibt. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes] Aus unserem Lemma folgt sofort die Eindeutigkeit von $P$, denn ist $\hat{P}$ ein anderes m"ogliches Approximationspolynom, so k"onnen wir das Lemma auf $R=P-\hat{P}$ anwenden. Um die Existenz der Taylorentwicklung nachzuweisen, nehmen wir ein $h\in \Bbb{R}^m$, das so klein ist, da"s sogar das ganze Geradensegment $[p,p+h]=\{p + th \mid t \in [0,1]\}$ in $A$ enthalten ist, und betrachten die Taylorentwicklung der Funktion $g=g_h:[0,1]\ra \Bbb{R}$, $t \mapsto f(p+ th)$. Wir behaupten zun"achst, da"s die h"oheren Ableitungen von $g$ gegeben werden durch $$g^{(\nu)}(t) = \sum_{|\al| = \nu}\frac{\nu !}{\al !}\;(\partial^{\al}f)(p + t h)\;{h^{\al}}$$ In der Tat gilt nach der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen \ref{GPa} schon mal $$g^{\prime} (t) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (p + t h)\cdot h_{1} + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_{m}} (p+ t h) \cdot h_{m}$$ und wir folgern induktiv $$g^{(\nu)} (t) = \sum_{i_{1},\ldots ,i_{\nu}} \frac{\partial^{\nu} f}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{\nu}}} (p+ t h)\cdot h_{i_{1}} \ldots h_{i_{\nu}}$$ wobei die Summe "uber alle m"oglichen $\nu$-Tupel aus $\{1, \ldots , m\}$ laufen soll. Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{Zaehl} gibt es aber genau $\nu !/\al !$ M"oglichkeiten, ein $\nu$-Tupel $(i_{1},\ldots , i_{\nu}) \in \{1, \ldots , m\}^{\nu}$ so zu w"ahlen, da"s unter den $i_{1},\ldots , i_{\nu}$ jedes $j$ genau $\al_{j}$-mal vorkommt. Fassen wir also gleiche Summanden zusammen, so ergibt sich die behauptete Formel f"ur die $\nu$-te Ableitung $g^{(\nu)}$ von $g$. Jetzt schreiben wir zur Funktion $g(t)$ die Taylorreihe mit der Lagrange'schen Form des Restglieds \eref{LFR}{AN1} um den Entwicklungspunkt $t=0$ hin und erhalten an der Stelle $t=1$ mit einer kleinen Umformung die Gleichung $$f(p+h) = \sum_{|\al| \leq d}\frac{(\partial^{\al}f)(p )}{\al!} {h^{\al}} + \sum_{|\al| = d}\frac{(\partial^{\al}f)(p+\xi_h h )-(\partial^{\al}f)(p )}{\al!} {h^{\al}}$$ f"ur geeignetes $\xi_h\in (0,1)$. Es reicht also, wenn wir f"ur $|\alpha|=d$ zeigen, da"s gilt $\lim_{h\ra 0} (\partial^{\al}f)(p+\xi_h h )-(\partial^{\al}f)(p )=0$, und das folgt sofort aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Zaehl} Seien $\al_{1},\ldots,\al_m\in \DN$ gegeben und sei $\nu = \al_{1} + \ldots + \al_{m}$ ihre Summe. So gibt es genau $\nu !/\al_{1} ! \ldots \alpha_{m}!$ Abbildungen von einer Menge $X$ mit $\nu$ Elementen nach $\{1,\ldots ,m\}$ derart, da"s der Wert $j$ jeweils genau $\al_{j}$-mal angenommen wird. \end{Lemma} \begin{Beispiel} Wollen wir $10$ nummerierte B"alle so anmalen, da"s $5$ B"alle blau, $3$ B"alle rot und $2$ B"alle gelb werden, so gibt es daf"ur also $10!/(5! 3! 2!)=2520$ M"oglichkeiten. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Es gibt genau $\nu !$ M"oglichkeiten, unsere Menge $X$ anzuordnen. Jede dieser M"oglichkeiten liefert eine Abbildung $i$ wie folgt: Wir bilden die ersten $\al_{1}$ Zahlen auf $1$ ab, die n"achsten $\al_{2}$ Zahlen auf $2$, und so weiter, bis wir zum Schlu"s die letzten $\al_{m}$ Zahlen auf $m$ abbilden. So erhalten wir nur Abbildungen der gew"unschten Form, genauer erhalten wir so jede der gew"unschten Abbildungen genau $(\al_{1}! \cdots \al_{m}!)$-mal. Das Lemma ist bewiesen. \end{proof} \subsection{Rechnen mit Approximationen} \begin{Definition} Eine Abbildung $P:\Bbb{R}^m\ra\Bbb{R}^n$ hei"st {\bf polynomial}\index{polynomial!Abbildung $\Bbb{R}^m\ra\Bbb{R}^n$} oder auch {\bf regul"ar},\index{regul"ar!Abbildung $\Bbb{R}^m\ra\Bbb{R}^n$} wenn sie die Gestalt $P=(P_1,\ldots,P_n)$ hat f"ur Polynome $P_1,\ldots,P_n$ in $m$ Ver"anderlichen. Haben alle unsere $P_j$ Grad $\leq d$, so sagen wir, die polynomiale Abbildung $P$ habe {\bf Grad}\index{Grad!einer polynomialen Abbildung} $\leq d$. \end{Definition} \begin{Definition}\label{ReAp} Seien $f,g : \Bbb{R}^m\supset D \ra \Bbb{R}^n$ Abbildungen, $p \in D$ ein Punkt und $d \in\DN$ eine nat"urliche Zahl. Wir sagen, $f$ und $g$ {\bf stimmen bei $p$ "uberein bis zur Ordnung $d$} \index{stimmen "uberein bis zur Ordnung} und schreiben $$f\sim^d_p\; g$$ als Abk"urzung daf"ur, da"s gilt $f(p+h)-g(p+h)=|h|^d\varepsilon(h)$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$, die stetig ist bei $h=0$ mit Funktionswert $\varepsilon(0)=0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $p \in D$ ein H"aufungspunkt von $D$, so ist das gleichbedeutend zur Forderung, da"s gilt $f(p)=g(p)$ und $$\lim_{x\ra p}\frac{f(x)-g(x)}{|x-p|^d}=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich stimmen zwei $\DR^n$-wertige Funktionen bis zu einer gewissen Ordnung "uberein genau dann, wenn alle ihre Komponenten bis zu der entsprechenden Ordnung "ubereinstimmen. Schreiben wir also $f=(f_1,\ldots,f_n)$ und $g=(g_1,\ldots,g_n)$, so gilt $$f\sim^d_p g\;\;\IFF\;\; \left( f_i\sim^d_p g_i \;\;\forall i\right)$$ Offensichtlich folgt auch aus $f\sim^d_p g$ und $g\sim^d_p h $ schon $f\sim^d_p h $. Sind weiter $P,Q:\Bbb{R}^m\lco D\ra\Bbb{R}^n$ polynomiale Abbildungen vom Grad $\leq d$, so folgt nach \ref{EDPF} aus $P\sim^d_p Q$ schon $P=Q$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Approximation und Taylorentwicklung}] Der Satz "uber die Taylorentwicklung \ref{TaEn} liefert uns f"ur $d$-mal stetig partiell differenzierbares $f$ die eindeutig bestimmte polynomiale Abbildung $P$ vom Grad $\leq d$ mit $P \sim^d_p f$. Genauer besagt unser Satz, da"s diese polynomiale Abbildung $P=(P_1,\ldots,P_n)$ dadurch charakterisiert wird, da"s die partiellen Ableitungen der Polynome $P_i$ bis zur Ordnung $d$ bei $p$ denselben Wert annehmen wie die entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktionen $f_i$. Im Fall $n=1$ w"urde in den unser Polynom $P=P_1$ hier gegeben durch $P(p+h) = \sum_{|\al| \leq d}\frac{(\partial^{\al}f)(p )}{\al!} {h^{\al}}$ alias $$P(x)=\sum_{|\al| \leq d}\frac{(\partial^{\al}f)(p )}{\al!} {(x-p)^{\al}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechnen mit Approximationen}]\label{RApp} Seien $f: \DR^m\supset D\ra \Bbb{R}^n$, $g: \Bbb{R}^n\supset E\ra \Bbb{R}^l$ Abbildungen mit $f(D) \subset E$. Gegeben $p \in D$ und polynomiale Abbildungen $P,Q$ mit $f \sim^d_p P$ und $g \sim^d_{f(p)} Q $ folgt $$g \circ f\;\sim^d_p \;Q\circ P$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{dgeq1} Im Fall $d=0$ bedeutet die Aussage schlicht die Stetigkeit der Verkn"upfung bei $p$ von punktweise stetigen Abbildungen. Es reicht also, den Satz f"ur $d\geq 1$ zu beweisen. Im Fall $d=1$ ist die Aussage des Satzes im "ubrigen "aquivalent zur Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen. Dem eigentlichen Beweis schicken wir ein Lemma voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{HiLL} Seien $f_1, f_2 :\DR^m\supset D\ra \Bbb{R}$ Funktionen. Gegeben $p \in D$ und Polynome $P_1,P_2$ mit $f_i \sim^d_p P_i$ folgt $$f_1+ f_2 \sim^d_p P_1+P_2\;\;\text{ und }\;\; f_1 f_2 \sim^d_p P_1P_2 $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dies Lemma besteht in der Tat aus zwei Spezialf"allen des Satzes, man kann n"amlich die Addition $(+):\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}$ betrachten und rechnen $f_1+ f_2 =(+)\circ (f_1, f_2 )\sim^d_p(+)\circ (P_1,P_2)=P_1+P_2$ und "ahnlich f"ur die Multiplikation. Wir brauchen jedoch einen unabh"angigen Beweis, damit wir das Lemma beim Beweis des Satzes verwenden d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Dem Leser "uberlassen. Statt $P_i$ polynomial reicht es auch, $P_i$ stetig bei $p$ anzunehmen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes] Wir zeigen nun zun"achst $g \circ f\sim^d_p Q\circ f$ und dann $Q \circ f\sim^d_p Q \circ P$. F"ur die erste Ausage schreiben wir $g(y) = Q(y) + |y - f(p)|^{d} \varepsilon (y- f(p))$ und erhalten durch Einsetzen von $y=f(x)$ und Erweitern des rechtesten Terms $$(g \circ f) (x) = (Q \circ f)(x) + |x-p|^{d} \left[ \left( \frac{|f(x) - f(p)|}{|x-p|} \right)^{d} \varepsilon (f(x)- f(p))\right]$$ f"ur alle $x \neq p$. Wir hatten uns ja bereits in \ref{dgeq1} auf den Fall $d\geq 1$ zur"uckgezogen. In diesem Fall stimmt $f$ bei $p$ bis mindestens zur Ordnung $1$ "uberein mit der polynomialen Abbildung $P$, folglich ist $f$ differenzierbar bei $p$, die vordere Klammer in den eckigen Klammern bleibt mithin beschr"ankt f"ur $x \ra p$ und der Ausdruck in eckigen Klammern strebt f"ur $x \ra p$ gegen Null. % Falls $d=0$ stimmt $f$ bei $p$ bis zur Ordnung 0 "uberein % mit dem Polynom $P$, also ist $f$ zumindest stetig bei $p$ und der % Ausdruck in eckigen Klammern % strebt f"ur $x \ra p$ wieder gegen Null. Wir m"ussen also nur noch f"ur jede polynomiale Abbildung $Q$ zeigen $$Q \circ f\sim^d_p Q \circ P$$ Es reicht sicher, das im Fall $l=1$ zu zeigen, also f"ur $Q$ ein Polynom. In diesem Fall folgt es aber sofort aus dem vorhergehenden Lemma \ref{HiLL}. \end{proof} \begin{Beispiel} Wollen wir f"ur die Funktion $f(x,y)=\sin (x\op{e}^y)$ die partielle Ableitung $\frac{\partial^3f}{\partial x (\partial y)^2}$ im Nullpunkt bestimmen, so benutzen wir unseren Satz \ref{RApp} und rechnen $$\begin{array}{rcl} \sin t &=& t- \frac{t^{3}}{3!} + \ldots \\[2mm] x\op{e}^{y} &=& x +xy + \frac{xy^2}{2} + \ldots\\[2mm] \sin (x\op{e}^y)&=& x +xy + \frac{xy^2}{2} - \frac{x^{3}}{3!} + \ldots \end{array}$$ und die gesuchte partielle Ableitung bei $x=y=0$ ergibt sich mit der Taylorreihe zu $1$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{glPR} Eine Potenzreihe in mehreren Ver"anderlichen, die an allen Stellen einer offenen Menge punktweise absolut konvergiert, stellt auf dieser offenen Menge eine beliebig oft partiell differenzierbare Funktion dar. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LFP} Man zeige die Identit"at $\log ((1 - u) (1-v)) = \log (1-u) + \log (1 - v)$ im Ring der formalen Potenzreihen in zwei kommutierenden Variablen $u,v$ mit rationalen Koeffizienten. \end{Ubung} \subsection{Maxima und Minima in mehreren Ver"anderlichen}%\label{MMMV} \begin{Definition}\index{Extrema!in mehreren Ver"anderlichen} Seien $A$ ein topologischer Raum, $f: A \ra \Bbb{R}$ eine Funktion und $p \in A$ ein Punkt. \begin{enumerate} \item Wir sagen, $f$ hat bei $p$ ein {\bf lokales Minimum},\index{Minimum!lokales} wenn es eine Umgebung $U$ von $p$ gibt mit $f(x) \geq f(p)\;\forall x\in U$; \item Wir sagen, $f$ hat bei $p$ ein {\bf isoliertes lokales Minimum}, \index{Minimum!isoliertes lokales} wenn es st"arker eine Umgebung $U$ von $p$ gibt mit $f(x) > f(p)\;\forall x\in U\backslash p$; \end{enumerate} Analog erkl"aren wir {\bf lokale Maxima}\index{Maximum!lokales} und {\bf isolierte lokale Maxima}. \index{Maximum!isoliertes lokales} \end{Definition} \begin{Proposition} Sei $f:\Bbb{R}^n\lco A \ra \Bbb{R}$ differenzierbar und $p \in A$ ein Punkt. Besitzt $f$ bei $p$ ein lokales Minimum oder Maximum, so gilt $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)=0$ f"ur alle $i$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung, $A$ sei offen, ist in diesem Zusammenhang wesentlich, wie wir bereits im Fall einer Ver"anderlichen in \eref{OBWe}{AN1} diskutiert hatten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur beliebiges $i$ und hinreichend kleines $\varepsilon>0$ betrachten wir das parametrisierte Geradensegment $g : (-\varepsilon,\varepsilon) \ra A$, $t \mapsto p+ t\op{e}_i$. Nat"urlich mu"s auch $f \circ g : (-\varepsilon, \varepsilon)\ra \Bbb{R}$ ein lokales Minimum oder Maximum bei $t =0$ haben, also gilt $(f\circ g)^{\prime} (0) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)=0$. \end{proof} \begin{Definition} Sei $f:\Bbb{R}^n\lco A \ra \Bbb{R}$ eine reellwertige Funktion. Verschwinden alle ersten partiellen Ableitungen unserer Funktion an einer Stelle $p\in A$, so sagt man, die Funktion habe bei $p$ eine {\bf kritische Stelle}\index{kritische Stelle}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ist allgemeiner $A$ eine halboffene Teilmenge eines normierten reellen Vektorraums und $f:A\ra \DR$ eine reellwertige Funktion und verschwindet ihr Differential an einem Punkt $p\in A$, in Formeln $\diff_pf=0$, so sagt man auch, die Funktion habe bei $p$ eine {\bf kritische Stelle}\index{kritische Stelle}. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildpqr} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Summe der Abst"ande zu drei vorgegebenen Punkten, die nicht auf einer Gerade liegen und ein Dreieck bilden, in dem kein Winkel gr"osergleich $120^\circ$ ist, wird minimal an der Stelle, an der die Halbgeraden zu den Ecken jeweils den Winkel $120^\circ$ einschlie"sen. Ist dahingegen ein Winkel gr"o"sergleich $120^\circ$, so liegt das Minimum bei der fraglichen Ecke selbst. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel} Gegeben drei Punkte $p, q, r \in \mathbb R^2$ suchen wir die Punkte $x \in \mathbb R^2$, f"ur die die Summe der Abst"ande \begin{equation*} S(x) = \| x - p \| + \| x - q\| + \| x-r\| \end{equation*} kleinstm"oglich wird. Sicher gilt $\lim_{\|x\| \rightarrow \infty} S(x) = \infty$, folglich existiert ein Kompaktum $K \subset \mathbb R^2$ mit \begin{equation*} \inf_{x \in \mathbb R^2} S(x) = \inf_{x \in K} S(x) \end{equation*} und damit nimmt unsere Funktion nach \eref{Mm}{AN1} ihr Infimum auch wirklich als Funktionswert an. Unsere Funktion ist auf $\mathbb R^2 \backslash \{p,q,r\}$ stetig differenzierbar und ihr Gradient bei $x$ ergibt sich nach kurzer Rechnung zu \begin{equation*} (\op{grad} S)(x) = \frac{x-p}{\|x-p\|} + \frac{x-q}{\| x-q\|} + \frac{x-r}{\|x-r\|} \end{equation*} F"ur das Minimum kommen nach unseren Erkenntnissen nur unsere drei Punkte $p,q,r$ sowie die Nullstellen des Gradienten in Frage. Die weiteren "Uberlegungen f"uhren wir nicht mehr in formaler Strenge durch, da das von unseren formalen Kenntnissen ausgehend einen unangemessenen Aufwand bedeuten w"urde. Anschaulich scheint es mir klar, da"s unser Gradient nur dann verschwinden kann, wenn nicht alle drei Punkte $p,q,r$ auf einer Geraden liegen und $x$ im Inneren der zugeh"origen Dreiecksfl"ache alias ihrer konvexen H"ulle liegt und wenn die drei Vektoren $x-p$, $x-q$ und $x-r$ jeweils einen Winkel von $120^\circ $ alias $2\pi/3$ einschlie"sen. Das ist f"ur einen Punkt im Innern der Dreiecksfl"ache jedoch nur dann m"oglich, wenn jeder der Winkel unseres Ausgangsdreiecks kleiner ist als $120^\circ $. Nur unter den Voraussetzungen, da"s unsere drei Punkte $p,q,r$ nicht auf einer Geraden liegen und jeder der Winkel des Dreiecks mit den Ecken $p,q,r$ kleiner ist als $120^\circ $, kann also das Minimum au"serhalb der drei Punkte $\{p,q,r\}$ angenommen werden. Sind sie erf"ullt, so kann das Minimum hinwiederum nicht an einem dieser Punkte angenommen werden, da der Wert von $S(x)$ dann abnimmt, wenn wir auf einer Winkelhalbierenden ins Dreieck hineinlaufen, wie man etwa an unserer Beschreibung des Gradienten sehen kann. Folglich mu"s dann das Minimum bei der kritischen Stelle angenommen werden, die eben dadurch charakterisiert ist, da"s die Vektoren $x-p$, $x-q$ und $x-r$ jeweils einen Winkel von $120^\circ = 2\pi/3$ einschlie"sen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Um eine hinreichende Bedingung f"ur ein lokales Minimum oder Maximum zu erhalten, m"ussen wir wie im Fall einer Ver"anderlichen die zweiten Ableitungen untersuchen. Am Beispiel der Funktionen $(x,y)\mapsto x^{2} +y^{2}$ beziehungsweise $x^{2}$ beziehungsweise $x^{2} - y^{2}$ kann man sehen, was lokal um $(0,0) \in \Bbb{R}^{2}$ so alles passieren kann. Wir betrachten nun allgemeiner eine beliebige {\bf quadratische Form}\index{quadratische Form!reelle} $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})= \sum a_{ij} x_{i}x_{j}$ mit $a_{ij}\in \Bbb{R}$ wie in \eref{QuFo}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Defi} Eine quadratische Form $Q : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ hei"st $$\begin{array}{lll} \text{\bf positiv definit},\index{positiv definit}&\text{wenn gilt}& Q(x) >0 \quad \forall x \neq 0;\\ \text{\bf positiv semidefinit},\index{positiv semidefinit}&\text{wenn gilt}& Q(x) \geq 0 \quad \forall x;\\ \text{\bf negativ definit},\index{negativ definit}& \text{wenn gilt}& Q(x) < 0 \quad \forall x \neq 0;\\ \text{\bf negativ semidefinit},\index{negaiv semidefinit}&\text{wenn gilt}& Q(x) \leq 0 \quad \forall x ;\\ \text{\bf indefinit},\index{indefinit}&\text{wenn gilt}& \text{es gibt } x,y \in \Bbb{R}^{n} \text{ mit } \\ && Q(x) >0,\; Q(y) <0. \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden nachher erkl"aren, wie man f"ur eine gegebene quadratische Form entscheiden kann, welche Definitheitseigenschaften sie hat. Zun"achst diskutieren wir jedoch, inwieweit diese Eigenschaften f"ur den quadratischen Approximationsterm das lokale Verhalten einer Funktion an einer kritischen Stelle bestimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Maxima und Minima in mehreren Ver"anderlichen}] Sei $A \co \Bbb{R}^{n}$ offen, $f: A \ra \Bbb{R}$ zweimal stetig partiell differenzierbar\label{MMMV} und $p \in A$ eine kritische Stelle. Wir bilden zu unserer Funktion eine quadratische Form $\tiff^{(2)}_p\! f$ als das Doppelte der quadratischen Terme der Taylorreihe, in Formeln $$(\tiff^{(2)}_p \!f) (h) = \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(p)\; h_{i}h_{j}$$ \begin{enumerate} \item Ist unsere quadratische Form $\tiff^{(2)}_p\! f$ positiv definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist unsere quadratische Form $\tiff^{(2)}_p\! f$ negativ definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist unsere quadratische Form $\tiff^{(2)}_p\! f$ indefinit, so hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Notation $\tiff^{(2)}_p\! f$ wird in \ref{stdd} auf Ableitungen beliebigen Grades verallgemeinert. Man beachte, da"s der Satz keine Aussage f"ur die semidefiniten F"alle macht, in Verallgemeinerung der Tatsache, da"s man auch f"ur Funktionen einer Ver"anderlichen bei Verschwinden der ersten und zweiten Ableitung an einer vorgegebenen Stelle ohne weitere Informationen noch nichts "uber Maxima oder Minima aussagen kann. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden f"ur das folgende die Abk"urzung $Q\pdef\frac{1}{2}(\tiff^{(2)}_p\! f)$. Aus unseren Annahmen folgt mit der Taylor-Formel $$f(p+h) = f(p) + Q(h) + \varepsilon (h) | h|^{2}$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\varepsilon(0)=\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$. Wir behandeln nun als erstes den Fall $Q$ positiv definit. Sei $a$ das Minimum nach \eref{Mm}{AN1} von $Q$ auf der Oberfl"ache des Einheitsw"urfels, $a = \inf \{Q(h) \mid | h| =1\}$. Aus unserer Annahme folgt $a>0$. Offensichtlich gilt $Q (h) \geq a | h|^2$ f"ur alle $h \in \Bbb{R}^{n}$. Wegen $\varepsilon(0)=\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ finden wir $\delta >0$ derart, da"s aus $|h| < \delta$ folgt $|\varepsilon (h)| \leq a/2$. Damit ergibt sich f"ur $|h| < \delta$ aber $$f(p+h) \geq f(p) + (a/2) |h|^{2}$$ und $f$ hat in der Tat ein isoliertes lokales Minimum. Ist $Q$ negativ definit, so argumentieren wir entsprechend. Ist $Q$ indefinit, so finden wir zwei Geraden durch Null derart, da"s die Einschr"ankung von $Q$ auf diese Geraden au"serhalb des Nullpunkts positiv beziehungsweise negativ ist. Dann mu"s aber die Restriktion von $f$ auf die erste Gerade ein isoliertes lokales Minimum haben bei $p$, und auf der zweiten Geraden ein isoliertes lokales Maximum. Folglich hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Jeder reellen quadratischen Form $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})= \sum^{n}_{i,j=1} a_{ij} x_{i}x_{j}$ ordnen wir die symmetrische Matrix $S$ mit Eintr"agen $(a_{ij}+a_{ji})/2$ zu, so da"s gilt $Q(x)=x^\top S x$. Nach den Definitionen hat die quadratische Form $Q$ eine gewisse Definitheit im Sinne von \ref{Defi} genau dann, wenn ihre Matrix $S$ die entsprechende Definitheit hat im Sinne der linearen Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HM} Die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, die zur quadratischen Form $\tiff^{(2)}_p\! f$ aus unserem Satz geh"ort, hei"st die {\bf Hesse-Matrix}\index{Hesse-Matrix}\index{H@${\op{Hess}}(f)$ Hesse-Matrix} von $f$ bei $p$, in Formeln $${\op{Hesse}}(f)\pdef [\tiff^{(2)}_p\! f]\pdef \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$$ \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Maxima, Minima und Hessematrix}] Sei $f:\DR^n\lco A \ra \Bbb{R}$ zweimal stetig partiell differenzierbar und $p \in A$ ein kritischer Punkt. \begin{enumerate} \item Ist die Hessematrix von $f$ bei $p$ positiv definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist die Hessematrix von $f$ bei $p$ negativ definit, ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist die Hessematrix von $f$ bei $p$ indefinit, so hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof} Das ist nur eine offensichtliche Umformulierung von Satz \ref{MMMV}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um die Definitheitseigenschaften einer symmetrischen quadratischen Matrix zu bestimmen, bringt man sie am einfachsten durch Basiswechsel in Diagonalgestalt, wie im Beweis von \eref{ExO}{LA2} erkl"art. Bei kleineren Matrizen kann auch das Hauptminoren-Kriterium \eref{HuKr}{LA2} ein guter Trick sein: Danach ist eine symmetrische $(n\times n)$-Matrix positiv definit genau dann, wenn f"ur alle $k