\subsection{Integration "uber Quader} \begin{Bemerkungl} Ein Produkt von $n$ Intervallen in $\DR^n$ nennen wir einen {\bf Quader}\index{Quader}. Ein kompakter Quader in $\DR^2$ ist eine Rechtecksfl"ache der Gestalt $[a,b]\times [c,d]$. Beispiele f"ur nichtkompakte Quader $H\subset \DR^n$ sind etwa ganz $\DR^n$ oder im Fall $n> 0$ der Halbraum\label{IntHQ} $\DR_{\leq 0}\times \DR^{n-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RiMV} Ist $Q =[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times[a_{n},b_{n}]\subset \Bbb{R}^{n}$ ein nichtleerer kompakter Quader und $f:Q \ra \Bbb{R}$ stetig, so definieren wir das {\bf Integral}\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompakten Quader} von $f$ "uber $Q,$ eine reelle Zahl $\int_{Q}f\in\Bbb{R},$ durch die Formel $$\int f= \int_{Q} f \pdef \int^{b_{n}}_{a_{n}} \left( \ldots \left( \int^{b_{1}}_{a_{1}} f(x_{1},\ldots, x_{n}) \diff x_{1}\right) \ldots \right) \diff x_{n}$$ Im Fall $n=0$ interpretieren wir unsere Definition dahingehend, da"s das Integral der Funktionswert am einzigen Punkt unseres nichtleeren Quaders sein soll. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Proposition \eref{PI}{AN1} zeigt, da"s in dieser Definition alle Integranden stetig vom Integrationsparameter abh"angen, so da"s alle unsere Integrale definiert sind. Aus den Eigenschaften des Integrals von Funktionen einer reellen Ver"an\-derlichen folgt sofort $\int (f+g) = \int f+\int g,$ $\int (\lambda f)= \lambda \int f$ f"ur $\lambda \in \Bbb{R}$ und $f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g,$ insbesondere auch $|\int f| \leq \int |f|.$ Bezeichnet $\op{vol} Q \pdef (b_{1}-a_{1}) \ldots (b_{n}-a_{n})$ das Volumen des Quaders $Q,$ so erhalten wir f"ur eine konstante Funktion $c$ das Integral $\int_{Q} c = c \op{vol} Q.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRiSuR}\\[4mm] \noindent Die vierte Riemannsumme der Funktion $f(x,y)=(x+y)/2$ auf dem Einheitsquadrat mag man sich als das Volumen des hier gezeichneten r"aumlichen Gebildes denken. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} F"ur $n=2$ bedeutet $\int f$ anschaulich den Rauminhalt zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $xy$-Ebene, wobei Rauminhalte unterhalb der $xy$-Ebene negativ zu z"ahlen sind. Diese Anschauung wird im folgenden formal gerechtfertigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{VVQ} In derselben Weise erkl"aren wir von \eref{IV}{AN1} und \eref{IPVei}{AN1} ausgehend auch das Integral einer stetigen Abbildung von einem kompakten Quader in einen Banachraum. Es ist dann ein Vektor aus besagtem Banachraum, und die im Rest dieses Abschnitts erkl"arten Regeln gelten in diesem Fall entsprechend. Der Beweis der Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge mu"s allerdings umgeschrieben werden, das mag eine gute "Ubung abgeben. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Sei $Q =[a,b]\times [c,d] \subset \Bbb{R}^{2}$ ein nichtleerer kompakter zweidimensionaler Quader alias ein \defind{Rechteck} und $f: Q \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion. Bezeichne $\op{vol} Q =(b-a) (d-c)$ die Fl"ache von $Q.$ F"ur $r\geq 1$ definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Funktion auf Rechteck} $S^{r}(f)$ von $f$ wie folgt: Wir betrachten die "aquidistanten Unterteilungen $$a=a_{0} \leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{r} =b$$ $$c= c_{0} \leq c_{1}\leq \ldots \leq c_{r}=d$$ der Kanten unseres Rechtecks, erhalten eine Unterteilung unseres Rechtecks in $r^{2}$ kleine Rechtecke $Q_{i,j}=[a_{i},a_{i+1}]\times [c_{j},c_{j+1}]$ mit Fl"acheninhalt $({\op{vol} Q})/{r^{2}},$ und setzen $$S^{r} (f) = \sum^{r-1}_{i,j=0} f(a_{i},c_{j}) \frac{\op{vol} Q}{r^{2}} =\op{vol} Q\sum^{r-1}_{i,j=0} f(a_{i},c_{j}) $$ \end{Definition} \begin{Proposition} It $Q \subset \Bbb{R}^{2}$ ein Rechteck und $f:Q \ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion,\label{IVQp} so ist das Integral von $f$ "uber $Q$ der Grenzwert unserer Riemannsummen, in Formeln $$\int_{Q}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir definieren Unter- und Obersummen durch $$\underline{S}^{r} (f) = \sum^{r-1}_{i,j=0} \inf f (Q_{i,j})\; { \frac{\op{vol} Q}{r^{2}}}\;\;\text{ und }\;\; \bar{S}^{r}(f) = \sum^{r-1}_{i,j=0} \sup f (Q_{i,j}) \; \frac{\op{vol} Q}{r^{2}}$$ Bei den Untersummen lassen wir etwa auf unseren kleinen Quadern $Q_{i,j}$ T"urmchen hochwachsen, bis sie am Graphen unserer Funktion ansto"sen, und bilden die Summe der Volumina aller dieser T"urmchen, und bei der Obersumme nehmen wir entsprechend die kleinstm"oglichen T"urmchen, aus denen unsere Funktion nicht mehr oben herausguckt. Nun behaupten wir die Ungleichungen $$\underline{S}^{r} (f) \leq S^{r}(f) \leq\bar{S}^{r} (f)$$ $$\underline{S}^{r} (f) \leq\int_{Q} f \leq \bar{S}^{r} (f)$$ Die Ungleichungen der ersten Zeile sind offensichtlich. Um die Ungleichungen der zweiten Zeile einzusehen, benutzen wir zun"achst die Regeln f"ur Integrale einer Ver"anderlichen und erkennen %\int_{Q} f= \sum^{r-1}_{i,j=0} $$ \inf f(Q_{i,j})\;\frac{\op{vol} Q}{r^{2}} \leq\;\; \int_{Q_{i,j}} f \leq\;\; \sup f(Q_{i,j})\;\frac{\op{vol} Q}{r^{2}}$$ Aus unseren Regeln f"ur Integrale einer Ver"anderlichen folgt zus"atzlich auch noch $\int_Q f=\sum_{i,j}\int_{Q_{i,j}}f.$ Summieren wir dann alle unsere Ungleichungen f"ur $0\leq i,j \leq r-1,$ so ergibt sich die zweite Zeile oben. F"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es nun wegen der gleichm"a"sigen Stetigkeit unserer Funktion auf unserem kompakten Rechteck ein $\delta=\delta_\varepsilon>0$ mit $$|(x_{1},y_{1}) - (x,y)| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x_{1},y_{1})-f(x,y)|<\varepsilon $$ Ist $R=R_\varepsilon$ so gro"s, da"s alle Kantenl"angen unserer kleinen Rechtecke $Q_{i,j}$ bei "aquidistanter Unterteilung in $R$ St"ucke unter $\delta$ sinken, so folgt aus $r\geq R$ also $|\bar{S}^{r} (f) - \underline{S}^{r} (f) | < (\op{vol} Q)\varepsilon$ und mit unseren beiden Zeilen von Ungleichungen ergibt sich $|\int_{Q}f- S^{r} (f) | < (\op{vol} Q)\varepsilon.$ Das zeigt $\int_{Q}f=\lim_{r\ra \infty} S^{r} (f)$ wie im Satz behauptet. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Vertauschen partieller Integrationen}] Gegeben ein Rechteck $Q =[a,b] \times [c,d] \subset \Bbb{R}^{2}$ und $f : Q \ra \Bbb{R}$ stetig\index{Vertauschen!von partiellen Integrationen}\label{VI} gilt $$\int^{d}_{c}\left( \int^{b}_{a} f(x,y)\diff x\right) \diff y = \int^{b}_{a}\left( \int^{d}_{c} f(x,y)\diff y \right) \diff x$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Beide Seiten sind der Grenzwert $\lim_{r\ra \infty } S^{r} (f)$ derselben Folge von Riemannsummen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Den gemeinsamen Wert dieses Integrals notieren wir dann k"urzer auch $\int_Q f(x,y)\op{d}(x,y)$ und benutzen analoge Notationen im Fall von noch mehr Ver"anderlichen. Steht dahingegen $x$ f"ur eine Ver"anderliche des $\DR^k,$ so benutzen wir die Notation $\int f(x)\diff^k x.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da das Differenzieren so in etwa der inverse Prozess zum Integrieren ist, m"ussen mit den partiellen Integralen auch die partiellen Ableitungen sowie partielle Ableitung und partielles Integral vertauschen. Diese Idee wird im Folgenden ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Vertauschen partieller Ableitungen}\index{Vertauschen!von partiellen Ableitungen}] Sei $U \co \Bbb{R}^{2}$ eine offene Teilmenge\label{VPAb} und $f:U\ra \Bbb{R}$ eine Funktion. Existiert die gemischte partielle Ableitung $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)$ auf $U$ \emph{und ist dort stetig} und existiert dar"uber hinaus auch die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial y}$ auf $U,$ so existiert sogar die umgekehrte gemischte partielle Ableitung $\frac{\partial}{\partial x} ( \frac{\partial f}{\partial y})$ auf $U$ und es gilt $$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Eine anschauliche Interpretation dieses Korollars wird der Satz "uber die Taylorentwicklung \ref{TMV} geben: Geeignet differenzierbare reelle Funktionen von zwei Variablen besitzen eben lokal an jeder Stelle eine \glqq beste\grqq\ Approximation durch ein Polynom vom Grad h"ochstens zwei, also durch eine Funktion der Form $f(p+h,q+k)\sim \alpha+\beta h+\gamma k+\delta h^2+\kappa k^2+ \tau hk,$ und die gemischte partielle Ableitung unserer Funktion an besagter Stelle ist dann genau der Koeffizient $\tau$ des \glqq gemischten Terms\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Funktion $f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ kann durch $f(0,0)=0$ stetig auf ganz $\DR^2$ fortgesetzt werden und ist "uberall zweimal partiell differenzierbar, aber ihre beiden gemischten partiellen Ableitungen stimmen im Ursprung nicht "uberein. Das zeigt, da"s unsere Forderung der Stetigkeit an eine gemischte partielle Ableitung im vorhergehenden Korollar \ref{VPAb} auch notwendig ist. \end{Beispiel} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $U$ ein offenes Rechteck. Wir verwenden f"ur die partiellen Ableitungen nach der ersten bzw. zweiten Variablen die Abk"urzungen $f_x$ und $f_y$ und schreiben $f_{xy}=(f_x)_y$ f"ur die gemischte partielle Ableitung \glqq erst nach $x,$ dann nach $y$\grqq. Gegeben $(a,c)\in U$ beliebig aber fest finden wir $$ \begin{array}{lll} \int_a^x \int_c^y f_{xy}(s,t) \diff t \diff s &=& \int_a^x f_{x}(s,y)- f_{x}(s,c) \diff s \\[2mm] & =& f(x,y)- f(x,c)-f(a,y)+ f(a,c) \end{array} $$ Ich bin nicht gl"ucklich, da"s die Symbole $x$ und $y$ hier sowohl als Integrationsgrenzen als auch als Anzeiger f"ur zu bildende partielle Ableitungen vorkommen, aber ich f"urchte, eine alternative Notation wie etwa $f_1$, $f_2$, $f_{12},$ $f_{21}$ statt $f_x$, $f_y$, $f_{xy},$ $f_{yx}$ w"are wieder in anderer Weise verwirrend. Jetzt vertauschen wir vorne die Integrationsreihenfolge, bringen hinten die drei letzten Summanden auf die andere Seite und erhalten $$\left(\int_c^y \int_a^x f_{xy}(s,t) \diff s \diff t \right) + f(x,c)+f(a,y)- f(a,c)= f(x,y)$$ Die linke Seite ist hier ganz offensichtlich partiell differenzierbar erst nach $y$ und dann nach $x$ und ihre gemischte partielle Ableitung ergibt sich zu $f_{xy}$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Differenzieren unter dem Integral}] \index{Differenzieren unter dem Integral} Sei $[a,b]\subset \Bbb{R}$ ein kompaktes Intervall, $I \subset \Bbb{R}$ halboffen\label{DUIn} und $f:[a,b]\times I\ra \Bbb{R},$ $(x,y) \mapsto f(x,y)$ stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der zweiten Variablen. So ist die Funktion $y\mapsto \int^{b}_{a} f(x,y) \diff x$ differenzierbar und man darf die Integration "uber die erste Variable mit der partiellen Ableitung nach der zweiten Variablen vertauschen, in Formeln $$\frac{\diff}{\diff y} \left( \int^{b}_{a} f(x,y) \diff x\right) = \int^{b}_{a} \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) \;\diff x$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Einen allgemeineren Satz zum Differenzieren unter dem Integral werden Sie im Rahmen der Lebesgue'schen Integrationstheorie in "Ubung \eref{VIPA}{AN3} herleiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $I$ ein echtes Intervall. Wir w"ahlen $c\in I$ beliebig und finden $$ \int^{b}_{a} \int^{y}_{c} f_y (x,t) \diff t \diff x= \int^{b}_{a} f (x,y) - f (x,c) \diff x$$ Vertauschen wir vorne die Integrationsreihenfolge und bringen den letzten Summanden auf die andere Seite, so ergibt sich $$\int^{y}_{c} \int^{b}_{a} f_y (x,t)\diff x \diff t - \int^{b}_{a} f (x,c) \diff x = \int^{b}_{a} f (x,y) \diff x$$ Die linke Seite ist aber offensichtlich partiell differenzierbar nach $y$ mit Ableitung $\int^{b}_{a} f_y (x,t)\diff x.$ \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{ADEx} Gegeben ein Vektorraum $V$ und $A\in \op{End}V$ erkl"art man die lineare Abbildung $\op{ad}A: \op{End}V \ra \op{End}V$ durch die Vorschrift $\op{ad}A:B\mapsto (AB-BA).$ Man zeige, da"s f"ur $V$ endlichdimensional und reell das Differential von $\exp : \op{End} V \rightarrow \op{End}V$ bei $A \in \op{End} V$\index{Differential!von $\exp$ auf Matrizen} gegeben wird durch die Formel \begin{displaymath} \diff_A \op{exp} = (\cdot \op{exp} A) \circ \left( \frac{\op{exp}(\op{ad} A) -1}{ \op{ad} A} \right) \end{displaymath} Beim letzten Faktor ist gemeint, da"s $\op{ad}A$ in die Potenzreihe $\sum_{\nu \geq 0} z^\nu / (\nu +1)!$ der Funktion $(\op{exp} (z) -1) /z$ eingesetzt werden soll. Hinweis: Man wende $\partial^2 / \partial s \partial t = \partial^2 / \partial t\partial s$ an auf $\op{exp} (s (A + t B)) \exp (-sA)$, setze $t =0$ und integriere "uber $s$. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: