\subsection{Rechnen mit Approximationen} \begin{Definition} Eine Abbildung $P:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}^m$ hei"st {\bf polynomial}\index{polynomial!Abbildung $\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}^m$} oder auch {\bf regul"ar}\index{regul"ar!Abbildung $\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}^m$} genau dann, wenn sie die Gestalt $P=(P_1,\ldots,P_m)$ hat, f"ur geeignete Polynome $P_1,\ldots,P_m$ in $n$ Ver"anderlichen. Haben alle unsere $P_j$ Grad $\leq d,$ so sagen wir auch, die polynomiale Abbildung $P$ habe {\bf Grad}\index{Grad!einer polynomialen Abbildung} $\leq d.$ \end{Definition} \begin{Definition}\label{ReAp} Seien $f,g : D\ra \Bbb{R}^m$ zwei auf einer Teilmenge $D\subset\Bbb{R}^n$ definierte Abbildungen. Sei $p \in D$ ein Punkt und $d \in\DN$ eine nat"urliche Zahl. Wir sagen, $f$ und $g$ {\bf stimmen bei $p$ "uberein bis zur Ordnung $d$} \index{stimmen ueberein bis zur Ordnung $d$} und schreiben $$f\sim^d_p\; g$$ genau dann, wenn gilt $f(p+h)-g(p+h)=|h|^d\varepsilon(h)$ f"ur eine Funktion $\varepsilon,$ die stetig ist bei $h=0$ mit Funktionswert $\varepsilon(0)=0.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} % Nat"urlich k"onnen wir gleichbedeutend auch fordern, % da"s gilt $f(x)=g(x)+|x-p|^d\varphi(x)$ f"ur % eine eine Funktion $\varphi,$ die stetig ist bei $p$ mit % Funktionswert $\varphi(p)=0.$ Ist $p \in D$ ein H"aufungspunkt von $D,$ so k"onnen wir das umschreiben zur Forderung, da"s gilt $f(p)=g(p)$ und $$\lim_{x\ra p}\frac{f(x)-g(x)}{|x-p|^d}=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich stimmen zwei $\DR^m$-wertige Funktionen bis zu einer gewissen Ordnung "uberein genau dann, wenn alle ihre Komponenten bis zu der entsprechenden Ordnung "ubereinstimmen. Schreiben wir also $f=(f_1,\ldots,f_m)$ und $g=(g_1,\ldots,g_m),$ so gilt $$f\sim^d_p g\;\;\IFF\;\; \left( f_j\sim^d_p g_j \;\;\forall j\right)$$ Offensichtlich folgt auch aus $f\sim^d_p g$ und $g\sim^d_p h $ schon $f\sim^d_p h .$ Sind weiter $P,Q:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}^m$ polynomiale Abbildungen vom Grad $\leq d$ und ist $D\co \Bbb{R}^n$ offen, so folgt aus $P \sim^d_p Q$ schon $P=Q.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz "uber die Taylorentwicklung \ref{TaEn} liefert uns f"ur $d$-mal stetig partiell differenzierbares $f$ die eindeutig bestimmte polynomiale Abbildung $P$ vom Grad $\leq d$ mit $P \sim^d_p f.$ Genauer besagt unser Satz, da"s diese polynomiale Abbildung $P=(P_1,\ldots,P_m)$ dadurch charakterisiert wird, da"s die partiellen Ableitungen der Polynome $P_j$ bis zur Ordnung $d$ bei $p$ denselben Wert annehmen wie die entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktionen $f_j.$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechnen mit Approximationen}]\label{RApp} Seien $D\subset\Bbb{R}^n,$ $E\subset\Bbb{R}^m$ Teilmengen und $f: D\ra \Bbb{R}^m,$ $g: E\ra \Bbb{R}^l$ Abbildungen mit $f(D) \subset E.$ Gegeben $p \in D$ und polynomiale Abbildungen $P,Q$ mit $f \sim^d_p P$ und $g \sim^d_{f(p)} Q $ folgt $$g \circ f\;\sim^d_p \;Q\circ P$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Fall $d=1$ ist die Aussage des Satzes "aquivalent zur Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen. Im Fall $d=0$ bedeutet sie schlicht die Stetigkeit der Verkn"upfung bei $p$, es reicht also, den Satz f"ur $d\geq 1$ zu beweisen. Dem eigentlichen Beweis geht ein Lemma voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{HiLL} Seien $D\subset\Bbb{R}^n$ eine Teilmenge und $f_1, f_2 : D\ra \Bbb{R}$ Funktionen. Gegeben $p \in D$ und Polynome $P_1,P_2$ mit $f_i \sim^d_p P_i$ folgt $$f_1+ f_2 \sim^d_p P_1+P_2\;\;\text{ und }\;\; f_1 f_2 \sim^d_p P_1P_2 $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dies Lemma besteht in der Tat aus zwei Spezialf"allen des Satzes, man kann n"amlich die Addition $(+):\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}$ betrachten und rechnen $f_1+ f_2 =(+)\circ (f_1, f_2 )\sim^d_p(+)\circ (P_1,P_2)=P_1+P_2$ und "ahnlich f"ur die Multiplikation. Wir brauchen jedoch einen unabh"angigen Beweis, damit wir das Lemma beim Beweis des Satzes verwenden d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Dem Leser "uberlassen. Statt $P_i$ polynomial reicht es auch, $P_i$ stetig bei $p$ anzunehmen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes] Wir zeigen nun zun"achst $g \circ f\sim^d_p Q\circ f$ und dann $Q \circ f\sim^d_p Q \circ P.$ F"ur die erste Ausage schreiben wir $g(y) = Q(y) + |y - f(p)|^{d} \varepsilon (y- f(p))$ und erhalten durch Einsetzen von $y=f(x)$ und Erweitern des rechtesten Terms $$(g \circ f) (x) = (Q \circ f)(x) + |x-p|^{d} \left[ \left( \frac{|f(x) - f(p)|}{|x-p|} \right)^{d} \varepsilon (f(x)- f(p))\right]$$ f"ur alle $x \neq p.$ Wir hatten uns ja bereits auf den Fall $d\geq 1$ zur"uckgezogen. In diesem Fall stimmt $f$ bei $p$ bis mindestens zur Ordnung $1$ "uberein mit der polynomialen Abbildung $P,$ folglich ist $f$ differenzierbar bei $p,$ die vordere Klammer in den eckigen Klammern bleibt beschr"ankt f"ur f"ur $x \ra p$ und der Ausdruck in eckigen Klammern strebt f"ur $x \ra p$ gegen Null. % Falls $d=0$ stimmt $f$ bei $p$ bis zur Ordnung 0 "uberein % mit dem Polynom $P,$ also ist $f$ zumindest stetig bei $p$ und der % Ausdruck in eckigen Klammern % strebt f"ur $x \ra p$ wieder gegen Null. Wir m"ussen also nur noch f"ur jede polynomiale Abbildung $Q$ zeigen $$Q \circ f\sim^d_p Q \circ P$$ Es reicht sicher, das im Fall $l=1$ zu zeigen, also f"ur $Q$ ein Polynom. In diesem Fall folgt sie aber sofort aus dem vorhergehenden Lemma \ref{HiLL}. \end{proof} \begin{Beispiel} Wollen wir f"ur die Funktion $f(x,y)=\sin (x\op{e}^y)$ die partielle Ableitung $\frac{\partial^3f}{\partial x (\partial y)^2}$ im Nullpunkt bestimmen, so benutzen wir unseren Satz \ref{RApp} und rechnen $$\begin{array}{rcl} \sin t &=& t- \frac{t^{3}}{3!} + \ldots \\[2mm] x\op{e}^{y} &=& x +xy + \frac{xy^2}{2} + \ldots\\[2mm] \sin (x\op{e}^y)&=& x +xy + \frac{xy^2}{2} - \frac{x^{3}}{3!} + \ldots \end{array}$$ und die gesuchte partielle Ableitung bei $x=y=0$ ergibt sich mit der Taylorreihe zu $1.$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{glPR} Eine Potenzreihe in mehreren Ver"anderlichen, die an allen Stellen einer offenen Menge punktweise absolut konvergiert, stellt auf dieser offenen Menge eine beliebig oft partiell differenzierbare Funktion dar. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{LFP} Man zeige die Identit"at $\log ((1 + u) (1+v)) = \log (1+u) + \log (1 + v)$ im Ring der formalen Potenzreihen in zwei kommutierenden Variablen $u,v$ mit rationalen Koeffizienten. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: