\subsection{Maxima und Minima in mehreren Ver"anderlichen}%\label{MMMV} \begin{Definition}\index{Extrema!in mehreren Ver"anderlichen} Sei $A$ ein metrischer Raum, $f: A \ra \Bbb{R}$ eine Funktion und $p \in A$ ein Punkt. Wir sagen, $f$ hat bei $p$ ein {\bf lokales Minimum}\index{Minimum!lokales} (bzw.\ {\bf Maximum}\index{Maximum!lokales}) genau dann, wenn gilt $f(x) \geq f(p)$ (bzw.\ $f(x) \leq f(p)$) f"ur alle $x$ in einer hinreichend kleinen Umgebung von $p.$ Wir sagen, $f$ hat bei $p$ ein {\bf isoliertes lokales Minimum} \index{Minimum!isoliertes lokales} (bzw.\ {\bf Maximum}) \index{Maximum!isoliertes lokales} genau dann, wenn gilt $f(x) > f(p)$ (bzw.\ $f(x) < f(p)$) f"ur alle von $p$ verschiedenen $x$ in einer hinreichend kleinen Umgebung von $p.$ \end{Definition} \begin{Proposition} Sei $A \co \Bbb{R}^n$ offen, $f:A \ra \Bbb{R}$ differenzierbar und $p \in A$ ein Punkt. Besitzt $f$ bei $p$ ein lokales Minimum oder Maximum, so gilt $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)=0$ f"ur alle $i.$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung, $A$ sei offen, ist in diesem Zusammenhang wesentlich, wie wir bereits im Fall einer Ver"anderlichen in \eref{OBWe}{AN1} diskutiert haben. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur beliebiges $i$ und hinreichend kleines $\varepsilon>0$ betrachten wir das parametrisierte Geradensegment $g : (-\varepsilon,\varepsilon) \ra A,$ $t \mapsto p+ t\op{e}_i.$ Nat"urlich mu"s auch $f \circ g : (-\varepsilon, \varepsilon)\ra \Bbb{R}$ ein lokales Minimum oder Maximum bei $t =0$ haben, also gilt $(f\circ g)^{\prime} (0) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)=0.$ \end{proof} \begin{Definition} Sei $A\co\DR^n$ eine offene Teilmenge und $f:A\ra \DR$ eine reellwertige Funktion. Verschwinden alle ersten partiellen Ableitungen unserer Funktion an einer Stelle $p\in A,$ so sagt man, die Funktion habe bei $p$ eine {\bf kritische Stelle}\index{kritische Stelle}. Ist allgemeiner $A$ eine halboffene Teilmenge eines normierten reellen Vektorraums und $f:A\ra \DR$ eine reellwertige Funktion und verschwindet ihr Differential an einem Punkt $p\in A,$ in Formeln $\diff_pf=0,$ so sagt man auch, die Funktion habe bei $p$ eine {\bf kritische Stelle}\index{kritische Stelle}. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildpqr}\\[4mm] \noindent Die Summe der Abst"ande zu drei vorgegebenen Punkten, die nicht auf einer Gerade liegen und ein Dreieck bilden, in dem kein Winkel gr"osergleich $120^\circ$ ist, wird minimal an der Stelle, an der die Halbgeraden zu den Ecken jeweils den Winkel $120^\circ$ einschlie"sen. Ist dahingegen ein Winkel gr"osergleich $120^\circ,$ so liegt das Minimum bei der fraglichen Ecke selbst. \end{Bild} \begin{Beispiel} Gegeben drei Punkte $p, q, r \in \mathbb R^2$ suchen wir die Punkte $x \in \mathbb R^2$, f"ur die die Summe der Abst"ande \begin{equation*} S(x) = \| x - p \| + \| x - q\| + \| x-r\| \end{equation*} kleinstm"oglich wird. Sicher gilt $\lim_{\|x\| \rightarrow \infty} S(x) = \infty$, folglich existiert ein Kompaktum $K \subset \mathbb R^2$ mit \begin{equation*} \inf_{x \in \mathbb R^2} S(x) = \inf_{x \in K} S(x) \end{equation*} und damit nimmt unsere Funktion nach \eref{FKM}{AN1} ihr Infimum auch wirklich als Funktionswert an. Unsere Funktion ist auf $\mathbb R^2 \backslash \{p,q,r\}$ stetig differenzierbar und ihr Gradient bei $x$ ergibt sich nach kurzer Rechnung zu \begin{equation*} (\op{grad} S)(x) = \frac{x-p}{\|x-p\|} + \frac{x-q}{\| x-q\|} + \frac{x-r}{\|x-r\|} \end{equation*} F"ur das Minimum kommen nach unseren Erkenntnissen nur unsere drei Punkte $p,q,r$ sowie die Nullstellen des Gradienten in Frage. Die weiteren "Uberlegungen f"uhren wir nicht mehr in formaler Strenge durch, da das von unseren formalen Kenntnissen ausgehend einen unangemessenen Aufwand bedeuten w"urde. Anschaulich scheint es mir klar, da"s unser Gradient nur dann verschwinden kann, wenn nicht alle drei Punkte $p,q,r$ auf einer Geraden liegen und $x$ im Inneren der zugeh"origen Dreiecksfl"ache alias ihrer konvexen H"ulle liegt und wenn die drei Vektoren $x-p$, $x-q$ und $x-r$ jeweils einen Winkel von $120^\circ $ alias $2\pi/3$ einschlie"sen. Das ist f"ur einen Punkt im Innern der Dreiecksfl"ache jedoch nur dann m"oglich, wenn jeder der Winkel unseres Ausgangsdreiecks kleiner ist als $120^\circ $. Nur unter den Voraussetzungen, da"s unsere drei Punkte $p,q,r$ nicht auf einer Geraden liegen und jeder der Winkel des Dreiecks mit den Ecken $p,q,r$ kleiner ist als $120^\circ $, kann also das Minimum au"serhalb der drei Punkte $\{p,q,r\}$ angenommen werden. Sind sie erf"ullt, so kann das Minimum hinwiederum nicht an einem dieser Punkte angenommen werden, da der Wert von $S(x)$ dann abnimmt, wenn wir auf einer Winkelhalbierenden ins Dreieck hineinlaufen, wie man etwa an unserer Beschreibung des Gradienten sehen kann. Folglich mu"s dann das Minimum bei der kritischen Stelle angenommen werden, die eben dadurch charakterisiert ist, da"s die Vektoren $x-p$, $x-q$ und $x-r$ jeweils einen Winkel von $120^\circ = 2\pi/3$ einschlie"sen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Um eine hinreichende Bedingung f"ur ein lokales Minimum oder Maximum zu erhalten, m"ussen wir wie im Fall einer Ver"anderlichen die zweiten Ableitungen untersuchen. Am Beispiel der Funktionen $(x,y)\mapsto x^{2} +y^{2}$ bzw.\ $x^{2}$ bzw.\ $x^{2} - y^{2}$ kann man sehen, was lokal um $(0,0) \in \Bbb{R}^{2}$ so alles passieren kann. Wir betrachten nun allgemeiner eine beliebige {\bf quadratische Form}\index{quadratisch!Form, reelle} $q(x_{1},\ldots ,x_{n})= \sum a_{ij} x_{i}x_{j}$ mit $a_{ij}\in \Bbb{R}$ wie in \eref{QuFo}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Defi} Eine quadratische Form $q : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ hei"st $$\begin{array}{lll} \text{\bf positiv definit}\index{positiv definit}&\text{genau dann, wenn gilt}& q(x) >0 \quad \forall x \neq 0;\\ \text{\bf positiv semidefinit}\index{positiv semidefinit}&\text{genau dann, wenn gilt}& q(x) \geq 0 \quad \forall x;\\ \text{\bf negativ definit}\index{negativ definit}& \text{genau dann, wenn gilt}& q(x) < 0 \quad \forall x \neq 0;\\ \text{\bf positiv semidefinit}\index{positiv semidefinit}&\text{genau dann, wenn gilt}& q(x) \leq 0 \quad \forall x ;\\ \text{\bf indefinit}\index{indefinit}&\text{genau dann, wenn gilt}& \text{es gibt } x,y \in \Bbb{R}^{n} \text{ mit } \\ && q(x) >0,\; q(y) <0. \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden nachher erkl"aren, wie man f"ur eine gegebene quadratische Form entscheiden kann, welche Definitheitseigenschaften sie hat. Zun"achst diskutieren wir jedoch, inwieweit diese Eigenschaften f"ur den quadratischen Approximationsterm das lokale Verhalten einer Funktion an einer kritischen Stelle bestimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Maxima und Minima in mehreren Ver"anderlichen}] Sei $A \co \Bbb{R}^{n}$ offen, $f: A \ra \Bbb{R}$ zweimal stetig partiell differenzierbar\label{MMMV} und $p \in A$ eine kritische Stelle. Wir bilden zu unserer Funktion die quadratische Form $$Q (h) =Q_p (h) = \frac{1}{2} \sum \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(p)\; h_{i}h_{j}$$ die also gerade aus den quadratischen Termen der Taylorreihe besteht. \begin{enumerate} \item Ist unsere quadratische Form $Q$ positiv definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ negativ definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ indefinit, so hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Faktor $1/2$ stand in der Taylorformel nur vor den reinen und nicht vor den gemischten doppelten partiellen Ableitungen. In der im Satz gegebenen Darstellung erstreckt sich die Summe daf"ur "uber alle $i,j$ und nicht nur "uber $i\leq j$. Man beachte, da"s der Satz keine Aussage f"ur die semidefiniten F"alle macht, in Verallgemeinerung der Tatsache, da"s man auch f"ur Funktionen einer Ver"anderlichen bei Verschwinden der ersten und zweiten Ableitung an einer vorgegebenen Stelle ohne weitere Informationen noch nichts "uber Maxima oder Minima aussagen kann. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Aus unseren Annahmen folgt mit der Taylor-Formel $$f(p+h) = f(p) + Q(h) + \varepsilon (h) | h|^{2}$$ f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0.$ Wir behandeln nun als erstes den Fall $Q$ positiv definit. Sei $a$ das Minimum nach \eref{FKM}{AN1} von $Q$ auf der Oberfl"ache des Einheitsw"urfels, $a = \inf \{Q(h) \mid | h| =1\}.$ Aus unserer Annahme folgt $a>0.$ Offensichtlich gilt $Q (h) \geq a | h|^2$ f"ur alle $h \in \Bbb{R}^{n}.$ Wegen $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0$ finden wir $\delta >0$ derart, da"s aus $|h| < \delta$ folgt $|\varepsilon (h)| \leq a/2.$ Damit ergibt sich f"ur $|h| < \delta$ aber $$f(p+h) \geq f(p) + (a/2) |h|^{2}$$ und $f$ hat in der Tat ein isoliertes lokales Minimum. Ist $Q$ negativ definit, so argumentieren wir entsprechend. Ist $Q$ indefinit, so finden wir zwei Geraden durch Null derart, da"s die Einschr"ankung von $Q$ auf diese Geraden au"serhalb des Nullpunkts positiv bzw.\ negativ ist. Dann mu"s aber die Restriktion von $f$ auf die erste Gerade ein isoliertes lokales Minimum haben bei $p,$ und auf der zweiten Geraden ein isoliertes lokales Maximum. Folglich hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Jeder reellen quadratischen Form $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})= \sum^{n}_{i,j=1} a_{ij} x_{i}x_{j}$ ordnen wir die symmetrische Matrix zu mit Eintr"agen $(a_{ij}+a_{ji})/2.$ Nach den Definitionen hat die quadratische Form $Q$ eine gewisse Definitheit im Sinne unserer Definition \ref{Defi} genau dann, wenn ihre Matrix die entsprechende Definitheit hat im Sinne der linearen Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HM} Die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, die zum Doppelten der quadratischen Form $Q$ aus unserem Satz geh"ort, hei"st die {\bf Hesse-Matrix}\index{Hesse-Matrix}\index{H@${\op{H}}(f)$ Hesse-Matrix} ${\op{H}}(f)$ von $f,$ in Formeln $${\op{H}}(f)\pdef \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$$ \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Maxima, Minima und Hesse-Matrix}] Sei $A \co \Bbb{R}^{n}$ offen, $f: A \ra \Bbb{R}$ zweimal stetig partiell differenzierbar und $p \in A$ ein kritischer Punkt. \begin{enumerate} \item Ist die Hesse-Matrix von $f$ bei $p$ positiv definit, so hat $f$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist die Hesse-Matrix von $f$ bei $p$ negativ definit, ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist die Hesse-Matrix von $f$ bei $p$ indefinit, so hat $f$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof} Das ist nur eine Umformulierung von Satz \ref{MMMV}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um die Definitheitseigenschaften einer symmetrischen quadratischen Matrix zu bestimmen, bringt man sie am einfachsten durch Basiswechsel in Diagonalgestalt, wie im Beweis von \eref{ExO}{LA2} erkl"art. Bei kleineren Matrizen kann auch das Hurwitz-Kriterium \eref{HuKr}{LA2} ein guter Trick sein: Danach ist eine symmetrische $(n\times n)$-Matrix positiv definit genau dann, wenn f"ur alle $k