\section{Gew"ohnliche Differentialgleichungen} \subsection{Grundlegende Definitionen und Eigenschaften} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterscheidung in gew"ohnliche und partielle Differentialgleichungen}] Ganz allgemein versteht man unter einer {\bf gew"ohnlichen Differentialgleichung}\index{Differentialgleichung!gew"ohnliche} eine Gleichung,\label{DGLg} in der die Ableitungen einer zu bestimmenden Funktion \emph{einer} Ver"anderlichen zueinander und mit der Ver"anderlichen selbst in Beziehung gesetzt werden. Ein Beispiel ist die Gleichung $$(f'' (t))^2f'(t) + tf(t)=t^2$$ f"ur eine zu bestimmende zweimal differenzierbare Funktion $f:\DR\ra\DR$. Im Gegensatz dazu steht terminologisch der allgemeinere Fall der {\bf partiellen Differentialgleichungen},\index{Differentialgleichung!partielle} bei denen die partiellen Ableitungen einer Funktion \emph{mehrerer} Ver"anderlichen auftreten. Ein Beispiel ist die Gleichung $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$$ f"ur eine zweimal partiell differenzierbare Funktion $f:\DR^2\ra\DR.$ Auf Englisch benutzt man die Abk"urzungen {\bf ODE}\index{ODE ordinary differential equation} f"ur {\bf ordinary differential equation}\index{differential equation!ordinary} und {\bf PDE}\index{PDE partial differential equation} f"ur {\bf partial differential equation}.\index{differential equation!partial} Wir besprechen in diesem Abschnitt nur gew"ohnliche Differentialgleichungen. Rein formal ist dieser Abschnitt unabh"angig von der Behandlung linearer gew"ohlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in \eref{EKD}{AN1} folgende. Ich denke jedoch, da"s eine gewisse Vertrautheit mit diesen einfachsten und wichtigsten Spezialf"allen es sehr erleichtern kann, die im folgenden zu entwickelnde allgemeine Theorie zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterscheidung in explizite und implizite Differentialgleichungen}] Die Ordnung der h"ochsten in einer gew"ohnlichen Differentialgleichung auftretenden Ableitung\label{KJH} hei"st die {\bf Ordnung}\index{Ordnung!einer gew"ohnlichen Differentialgleichung} unserer Differentialgleichung. Von einer {\bf expliziten}\index{explizit!gew"ohnliche Differentialgleichung} Gleichung spricht man, wenn in unserer Gleichung die Ableitung h"ochster Ordnung \glqq explizit durch die tieferen Ableitungen ausgedr"uckt wird\grqq. Andernfalls spricht man von einer {\bf impliziten}\index{implizit!gew"ohnliche Differentialgleichung} Gleichung. Bei unserem obigen Beispiel handelt es sich also um eine implizite Gleichung. Wir werden uns im folgenden jedoch nur mit expliziten gew"ohnlichen Differentialgleichungen besch"aftigen. Eine derartige explizite Gleichung der Ordnung $n$ hat, wenn wir von der Spezifikation allgemeinstm"oglicher Definitionsbereiche einmal absehen, die Gestalt \begin{equation*} f^{(n)} (t) = C (t, f(t), f^\prime (t), \ldots, f^{(n-1)} (t)) \end{equation*} mit einer Abbildung $ C : \mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R $. Gesucht sind alle Funktionen $f : \mathbb R\supset I \rightarrow \mathbb R$ auf mehrpunktigen reellen Intervallen $I$, die $n$-mal differenzierbar sind und eben diese Gleichung erf"ullen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion auf Systeme erster Ordnung}] Etwas allgemeiner betrachten wir zugleich auch {\bf Systeme von gew"ohnlichen Differentialgleichungen}, bei denen vektorwertige Funktionen $f=(f_1,\ldots, f_k):\DR\supset I\ra \DR^k$ gesucht werden derart, da"s eine Gleichung der obigen Gestalt gilt, die nun aber eine vektorwertige Gleichung meint mit einer fest vorgegebenen vektorwertigen Abbildung $C: \mathbb R^{kn+1} \rightarrow \mathbb R^k $, die auf $(n+1)$-Tupeln bestehend aus einer reellen Zahl und $n$ Vektoren definiert ist. Die Betrachtung von \emph{Systemen} gew"ohnlicher Differentialgleichungen erlaubt uns zumindest f"ur Fragen des allgemeinen L"osungsverhaltens die Beschr"ankung auf den Fall erster Ordnung.\label{REO} Um zu zeigen, wie diese Reduktion funktioniert, betrachten wir beispielhaft den Fall einer Gleichung dritter Ordnung \begin{equation*} f^{\prime\prime\prime} (t) = C (t, f(t), f^\prime (t), f^{\prime\prime} (t)) \end{equation*} mit $C:\DR^4\ra \DR$. Jede L"osung $f:\DR\supset I\ra\DR $ liefert sicher eine Abbildung $\phi : \mathbb R \rightarrow \mathbb R^{3}$ vermittels der Vorschrift $\phi (t) = ( f(t), f^\prime (t), f^{\prime\prime}(t))$ und nat"urlich gilt dann \begin{eqnarray*} \phi_1^\prime (t) &=& \phi_2(t)\\ \phi_2^\prime (t) &=& \phi_3 (t)\\ \phi_3^\prime (t) &=& C (t, \phi_1 (t) , \phi_2 (t), \phi_3 (t)) \end{eqnarray*} Erkl"aren wir nun also eine neue Abbildung $B : \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3$ durch die Vorschrift $B(t, x,y,z) = (y,z,C(t,x,y,z)),$ so ist unser $\phi$ eine L"osung des Systems von Differentialgleichungen \begin{equation*} \phi' (t) = B (t, \phi (t)) \end{equation*} Umgekehrt zeigt man leicht, da"s f"ur jede L"osung $\phi:\DR\ra\DR^3$ dieses Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung die erste Komponente $\phi_1 (t) = f(t)$ eine L"osung unserer urspr"unglichen Gleichung dritter Ordnung liefert. In derselben Weise kann auch im Allgemeinen die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit der L"osungen von Systemen gew"ohnlicher Differentialgleichungen h"oherer Ordnung auf den Fall von Systemen erster Ordnung zur"uckgef"uhrt werden. Anschaulich mag man sich dann $B$ als ein zeitabh"angiges Vektorfeld auf dem $\DR^n$ denken, das jedem Ort $x\in \DR^n$ zu jedem Zeitpunkt $t\in\DR$ einen Vektor $B(t,x)\in\DR^n$ zuordnet. In dieser Anschauung beschreibt eine L"osung $\phi:\DR\ra\DR^n$ die Bewegung eines Teilchens, das zu jedem Zeitpunkt $t$ die f"ur seinen Ort $\phi(t)$ zu diesem Zeitpunkt durch unser zeitabh"angiges Vektorfeld $B$ vorgegebene Geschwindigkeit $\phi'(t)=B(t,\phi(t))$ hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reduktion auf den zeitunabh"angigen Fall}] Gegeben $B: \DR^{n+1}\ra \DR^n$ l"ost eine differenzierbare Abbildung $ \phi:\DR\ra\DR^n$ unsere Differentialgleichung \begin{equation*} \phi' (t) = B (t, \phi (t)) \end{equation*} genau dann, wenn die Abbildung $ \gamma:\DR\ra\DR^{n+1},$ $t\mapsto (t,\phi(t))$ die Differen\-tialgleichung \begin{equation*} \gamma' (t) = A ( \gamma (t)) \end{equation*} l"ost f"ur $A:\DR^{n+1}\ra \DR^{n+1}$ gegeben durch $A(t,x)\pdef(1,B(t,x)).$ In diesem Sinne k"onnen wir uns also stets auf den Fall zeitunabh"angiger Felder zur"uckziehen. Eine graphische Darstellung dieser Erkenntnis geben wir in \ref{DGSF}. Allerdings erh"alt man f"ur zeitabh"angige Felder bei einer eigenst"andigen Betrachtung etwas sch"arfere Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen, weshalb dieser Fall insbesondere in einigen Erg"anzungen weiter betrachtet werden wird. Zun"achst konzentrieren wir uns nun jedoch auf den zeitunabh"angigen Fall und besprechen seine geometrische Bedeutung in einer koordinatenfreien Sprache. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VFKFn} Unter einem {\bf Vektorfeld}\index{Vektorfeld!auf affinem Raum} auf einer Teilmenge $U\subset X$ eines affinen Raums $ X$ verstehen wir eine Abbildung $A:U\ra\vec X$ von $U$ in den Richtungsraum von $X$. Statt $A(p)$ schreiben wir in diesem Kontext auch oft $A_p$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{InKk} Seien $X$ ein normierter reeller Raum und $A:X\supset U \rightarrow \vec{X}$ ein Vektorfeld. Ein \defind{Flu"sweg} unseres Vektorfelds ist eine differenzierbare Abbildung $\gamma:\Bbb{R}\supset I \rightarrow U$ von einem mehrpunktigen reellen Intervall $I$ nach $U$ mit der Eigenschaft, da"s physikalisch gesprochen zu jedem Zeitpunkt $t\in I$ die Geschwindigkeit unseres Flu"swegs zum Zeitpunkt $t$ der durch das Vektorfeld vorgegebene Richtungsvektor an der Stelle $\gamma(t)$ ist, in Formeln \begin{equation*} \gamma' (t) = A (\gamma (t)) \quad \forall t \in I \end{equation*} Ist $p \in U$ gegeben, so verstehen wir unter einem \defnoind{Flu"sweg mit Anfangswert $p$}\index{Anfangswert!von Flu"sweg} oder kurz einem \defnoind{Flu"sweg zu $p$} einen Flu"sweg $(\gamma, I)$ mit $0\in I$ und $\gamma (0) =p$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auf der Menge aller Flu"swege eines Vektorfelds erkl"aren wir eine Teilordnung durch die Vorschrift, da"s ein Flu"sweg kleinergleich einem anderen ist, wenn er aus ihm durch Einschr"ankung des Definitionsbereichs hervorgeht. Die maximalen Elemente dieser Menge nennen wir {\bf maximale Flu"swege}.\index{maximal!Flu"sweg}\index{Flu"sweg!maximaler} Ein maximaler Flu"sweg ist also ein Flu"sweg, der nicht zu einem auf einem echt gr"o"seren reellen Intervall definierten Flu"sweg erweitert werden kann. Mit dem Zorn'schen Lemma sieht man unmittelbar, da"s jeder Flu"sweg zu einem maximalen Flu"sweg erweitert werden kann. Das gr"o"ste Element in der Menge aller Flu"swege zu einem vorgegebenem Anfangswert nennen wir dahingegen, wenn es denn existiert, den {\bf gr"o"sten Flu"sweg}\index{Flu"sweg!gr"o"ster} zu dem vorgegebenen Anfangswert. Das ist dann nat"urlich auch ein maximaler Flu"sweg unseres Vektorfelds und sogar der einzige maximale Flu"sweg zum vorgegebenen Anfangswert. Es kann aber durchaus vorkommen, da"s es zu einem vorgegebenen Anfangswert zwar Flu"swege gibt, aber keinen gr"o"sten Flu"sweg, sondern stattdessen mehrere maximale Flu"swege. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur hei"sen unsere Flu"swege meist {\bf Integralkurven}.\index{Integralkurve} Das pa"st aber schlecht zu unserer Terminologie, nach der Kurven gewisse Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume und allgemeiner eindimensionale Mannigfaltigkeiten bezeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist unser Vektorfeld konstant, so laufen seine Flu"swege auf den Geraden mit diesem konstanten Vektor als Richtungsvektor und mit der durch diesen Vektor vorgegebenen konstanten Geschwindigkeit. Ist unser Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $X=V$ gegeben durch eine lineare Abbildung $A\in\op{End}V$ oder genauer durch $\op{trans}\circ A$, so haben wir bereits in \eref{dg}{AN1} gezeigt, da"s seine maximalen Flu"swege genau die Abbildungen $\DR\ra V, t\mapsto \op{exp}(tA)c$ sind mit $c\in V$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrische Interpretation im zeitabh"angigen Fall}] Gegeben ein normierter reeller Raum $X$ fassen wir eine Abbildung $A:(\DR\times X)\supset W\ra \vec{X}$\label{DGSF} gerne als ein {\bf zeitabh"angiges Vektorfeld} auf und veranschaulichen uns die L"osungen der Differentialgleichung $$\gamma'(t)=A(t,\gamma(t))$$ in dieser Weise. Unter einem {\bf Flu"sweg} verstehen wir in diesem Fall eine differenzierbare Abbildung $\gamma:\DR\supset I\ra X$ von einem mehrpunktigen reellen Intervall $I$ nach $X$ mit $(t,\gamma(t))\in W\;\forall t\in I$ derart, da"s obige Gleichung erf"ullt ist f"ur alle $t\in I$. Gegeben $(s,p)\in W$ verstehen wir unter einem \defnoind{Flu"sweg mit Anfangswert $p$ zum Startzeitpunkt $s$}\index{Anfangswert!von Flu"sweg} einen Flu"sweg $(\gamma, I)$ mit $s\in I$ und $\gamma (s) =p$. Dieselbe Terminologie verwenden wir auch f"ur zeitunabh"angige Vektorfelder $A:X\supset U\ra\vec X$, die wir als Spezialfall mit $W=\DR\times U$ auffassen und bei denen wir a priori den Startzeitpunkt $s=0$ w"ahlen. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Wohin? Wie?} %Der Fall eines zeitabh"angigen Vektorfelds $A$ kann leicht %auf den Fall des zeitunabh"angigen Vektorfelds %$(1,A):W\ra \DR\times \vec{X}$ zur"uckgef"uhrt werden: %In der Tat ist $\gamma$ ein Flu"sweg unseres zeitabh"angigen %Vektorfelds genau dann, wenn $(\op{id},\gamma)$ %ein Flu"sweg des zeitunabh"angigen Vektorfelds %$(1,A)$ ist, und jede Flu"sweg von $(1,A)$ %ist etwa nach \ref{VhD} bis auf eine Zeitverschiebung von dieser Gestalt. %Allerdings gelingt es im Fall zeitabh"angiger Felder, % die %Existenz und Eindeutigkeit der L"osung bei einer direkten Betrachtung %unter schw"acheren Annahmen %zu zeigen, und das f"uhrt insbesondere bei der Behandlung linearer %Differentialgleichungen zu einfacheren Aussagen. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zeitverschiebung}] Gegeben ein Vektorfeld auf einer halboffenen Teilmenge eines normierten reellen Raums und ein Flu"sweg $(\gamma, I)$ ist f"ur alle $c\in\DR$ auch die Abbildung $t\mapsto \gamma(t+c)$ ein Flu"sweg, der nun eben definiert ist auf dem verschobenen Intervall $I-c.$ Das gilt im Fall zeitabh"angiger Vektorfelder allerdings nicht mehr. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Vektorfeldern}] Gegeben halboffene Teilmengen normierter affiner R"aume $U\subset X$ und $ V\subset Y$ sowie Vektorfelder $A:U\ra\vec X$ und $ B:V\ra \vec Y$ sowie eine differenzierbare Abbildung $\phi:U\ra V$ schreiben wir $$\phi:A\leadsto B$$ und sagen, unsere Vektorfelder seien {\bf verwandt unter $\phi$}, wenn f"ur alle $p\in U$ gilt $\tiff_p\phi:A(p)\mapsto B(\phi(p))$. Ist $\phi$ ein Diffeomorphismus, so hat jedes Vektorfeld $A$ auf $U$ genau einen Vorw"artsverwandten $B$ auf $V$ und jedes Vektorfeld $B$ auf $V$ genau einen R"uckw"artsverwandten $A$ auf $U$. Im allgemeinen m"ussen weder Vorw"artsverwandte noch R"uckw"artsverwandte existieren und wenn sie existieren, m"ussen sie im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sein.\label{VhD} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit von Flu"swegen}] Offensichtlich haben verwandte Vektorfelder verwandte Flu"swege. Ist genauer unter einer differenzierbaren Abbildung $\phi$ ein Vektorfeld $A$ verwandt zu einem Vektorfeld $B$, so ist f"ur jeden Flu"sweg $\gamma$ von $A$ auch $\phi\circ\gamma$ ein Flu"sweg von $B$. Ist insbesondere ein Vektorfeld $A$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung $\phi $ verwandt zum Nullfeld, in Formeln $\phi :A\leadsto 0$, und ist $\gamma$ ein Flu"sweg von $A$, so ist $\phi \circ \gamma$ ein Flu"sweg des Nullfelds und mithin konstant. In anderen Worten ist dann die Funktion $\phi $ konstant auf jedem Flu"sweg von $A$. Eine reellwertige derartige Funktion $\phi $ hei"st ein {\bf erstes Integral}\index{Integral!erstes, einer Differentialgleichung} unserer Differentialgleichung. In physikalischen Modellen liefern oft Energie, Impuls und Drehimpuls solche ersten Integrale. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man gebe ein glattes Vektorfeld auf $\DR$ an, das keine auf ganz $\DR$ definierten Flu"swege besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jedes Vektorfeld $A:\DR^n\ra \DR^n$ mit der Eigenschaft $A(p)\perp p\;\forall p\in\DR^n$, da"s seine Flu"swege $\gamma$ auf Sph"aren mit Zentrum im Ursprung verlaufen m"ussen, in Formeln $\|\gamma(t)\|$ konstant. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $A:X\lco U\ra\vec X$ ein Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines affinen Raums und $f:U\ra\DR$ differenzierbar. Man zeige: Gilt f"ur die Richtungsableitungen $({\op{D}}_{A(p)}f)(p)\geq 0\;\forall p\in U$, so ist $f(\gamma(t))$ monoton wachsend f"ur alle Flu"swege $\gamma$ unseres Vektorfelds. Gilt $({\op{D}}_{A(p)}f)(p)> 0\;\forall p\in U$, so ist $f(\gamma(t))$ analog streng monoton wachsend. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $A:X\lco U\ra\vec X$ ein Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines affinen Raums und $f:U\ra\DR$ differenzierbar und sei die Null ein regul"arer Wert von $f$, so da"s $M\pdef f^{-1}(0)$ eine Hyperfl"ache ist. Gilt $(\tiff_pf)(A(p))<0\;\forall p\in M$ und ist $\gamma:\DR\supset I\ra U$ ein Flu"sweg von $A$, so folgt aus $f(\gamma(t))\leq 0$ f"ur ein $t\in I$ bereits $f(\gamma(s))<0$ f"ur alle $s\in I$ mit $s\geq t$. Anschaulich gesprochen kann also ein Flu"sweg die Hyperfl"ache $M$ nur h"ochstens einmal kreuzen und mu"s dabei von der Seite $f>0$ auf die Seite $f<0$ wechseln. Hinweis: \eref{NSTa}{AN1}. \end{Ubung} \subsection{Beispiele und Gegenbeispiele} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of}] \begin{enumerate}\item Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines reellen Raums endlicher Dimension gibt es zu jedem Anfangswert einen gr"o"sten Flu"sweg; \item Dieser gr"o"ste Flu"sweg hat als Defini\-tions\-bereich ein offenes Intervall, und ist dieses Intervall nach oben beschr"ankt, so verl"a"st der fragliche Flu"sweg f"ur positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer offenen Teilmenge irgendwann einmal endg"ultig. \end{enumerate} \label{PiLi} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen diesen Satz als \ref{PiLin} sogar unter noch etwas schw"acheren Voraussetzungen. Der letzte Teil der zweiten Aussage besagt salopp formuliert, da"s der Grund daf"ur, da"s sich ein Flu"sweg nicht beliebig weit in Richtung positiver Zeiten fortsetzen l"a"st, nur darin liegen kann, da"s er bereits in endlicher Zeit \glqq aus dem Definitionsbereich des Vektorfeldes hinausl"auft\grqq. Entsprechendes gilt in Richtung negativer Zeiten, was man durch Betrachtung des mit $(-1)$ multiplizierten Vektorfelds auch formal leicht folgern kann. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[bth] \begin{center} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIKL} \\ \noindent Das ebene stetige aber nicht stetig differenzierbare Vektorfeld aus Beispiel \ref{NEIK} mit einem seiner Flu"swege \end{center} \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein Fall mit nicht eindeutigen Flu"swegen}] Bei Vektorfeldern,\label{NEIK} die nicht stetig differenzierbar sind, kann es durchaus vorkommen, da"s zu einem vorgegebenen Anfangswert kein gr"o"ster Flu"sweg existiert, weil etwa mehrere maximale Flu"swege mit ein und demselben Anfangswert existieren, die auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche nicht "ubereinstimmen. Betrachten wir zum Beispiel auf $\Bbb{R}^2$ das Vektorfeld $A$, f"ur das s"amtliche verschobenen Kubiken $\gamma_c (t) = (t +c, t^3)$ Flu"swege sind. Wir haben $\gamma'_c(t) = (1,3t^2)$ und damit $A(x,y) = (1,3|y|^{2/3})$. Maximale Flu"swege sind in diesem Fall nicht nur die verschobenen Kubiken $\gamma_c$, sondern auch alle Wege, die l"angs einer verschobenen Kubik auf die $x$-Achse hochsteigen und dann eine Weile auf der $x$-Achse entlanglaufen bevor sie auf einer anderen verschobenen Kubik weitersteigen. In diesem Fall existieren zwar maximale Flu"swege zu jedem Punkt, von Eindeutigkeit kann aber keine Rede sein. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Fall eindimensionaler Felder ohne Nullstellen}] Gegeben ein stetiges Vektorfeld\label{EXPp} ohne Nullstellen auf einer offenen Teilmenge eines eindimensionalen Raums gibt es zu jedem Anfangswert genau einen maximalen Flu"sweg. In diesem Fall brauchen wir also von unserem Vektorfeld nicht einmal stetige Differenzierbarkeit zu fordern. In der Tat sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $U \co \Bbb{R}$ ein Intervall und unser stetiges Vektorfeld ohne Nullstellen zeige in Richtung der positiven $x$-Achse, als da hei"st, es werde gegeben durch $a: U \rightarrow \Bbb{R}_{>0} .$ Flu"swege sind auf mehrpunktigen Intervallen $I \subset \Bbb{R}$ definierte differenzierbare Funktionen $\gamma : \Bbb{R}\supset I \rightarrow U$ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = a (\gamma (t)) \quad \forall t \in I \end{equation*} Aus dieser Gleichung folgt f"ur alle $s,t \in I$ sofort \begin{equation*} t - s = \int^t_s \frac{\gamma' (\tau)\diff \tau}{a (\gamma (\tau))} = \int^{\gamma (t)}_{\gamma(s)} \frac{ \diff x}{a(x)} = G(\gamma (t)) - G(\gamma (s)) \end{equation*} f"ur $G: U \rightarrow \Bbb{R}$ eine Stammfunktion von $1/a$. Nun w"achst $G$ sicher streng monoton und hat folglich als Bild ein offenes Intervall $J \co \Bbb{R}$ und f"ur unsere Flu"swege folgt $ \gamma (t) = G^{-1} (t+c) $ mit der Konstanten $c = G (\gamma (s)) -s$. In anderen Worten ist $$G^{-1} : J \sira U$$ bis auf Zeitverschiebung der einzige maximale Flu"sweg. So ist etwa $a(x) =x$ ein stetiges Vektorfeld ohne Nullstellen auf $U\pdef \Bbb{R}_{>0}$ und $G(x) = \log x$ ist eine Stammfunktion von $1/x$ und jeder maximale Flu"sweg ist von der Gestalt $\gamma : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}_{>0}$, $\gamma (t) = \exp (t+c)$ mit einer Konstanten $c \in \Bbb{R}$. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStF} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Im Fall eindimensionaler Felder mag man sich die L"osung der entsprechenden Differentialgleichung durch ihren im Bild gestrichelt eingezeichneten Graphen veranschaulichen und das Vektorfeld als eine Vorschrift, die diesem Graphen in jeder H"ohe $x$ eine Steigung $a(x)$ vorschreibt. \nichtfinal{Ich sollte das Steigungsfeld erg"anzen um die vorgeschriebenen Punkte auf den vorgegebenen Tangentenst"ucken.} \end{minipage} \end{figure} %\begin{figure}[htb] % \begin{center} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStF} % \\ % \noindent %Im Fall eindimensionaler Felder mag man sich die L"osung der %entsprechenden Differentialgleichung durch ihren %im Bild gestrichelt eingezeichneten Graphen %veranschaulichen und das Vektorfeld als eine Vorschrift, die %diesem Graphen in jeder H"ohe $x$ eine Steigung $a(x)$ vorschreibt. \nichtfinal{Ich sollte das Steigungsfeld % erg"anzen um die vorgeschriebenen % Punkte auf den vorgegebenen Tangentenst"ucken.} %\end{center} %\end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildxalpha} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering M"ogliche L"osungsfunktionen mit positiven Werten der Differentialgleichung $\dot{\gamma} (t) = (\gamma (t))^{\alpha}$ f"ur verschiedene Werte von $\alpha\in\DR.$ Alle anderen L"osungsfunktionen mit positiven Werten erh"alt man durch horizontales Verschieben der entsprechenden Graphen. Im Fall $\alpha>1$ \glqq l"auft unsere L"osung in endlicher Zeit nach Unendlich\grqq, was die gestrichelt eingezeichnete vertikale Asymptote andeuten soll. Im Fall $1>\alpha>0$ kann man, wie gestrichelt angedeutet, die L"osung zu einer L"osung von $\dot{\gamma} (t) = |\gamma (t)|^{\alpha}$ ins Negative fortsetzen, aber eben auf vielerlei Weisen. Das war im wesentlichen auch unser Gegenbeispiel \ref{NEIK}. \end{minipage} \end{figure} %\begin{figure}[htb] % \begin{center} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildxalpha} % \\ % \noindent %M"ogliche L"osungsfunktionen mit positiven Werten der Differentialgleichung %$\dot{\gamma} (t) = (\gamma (t))^{\alpha}$ %f"ur verschiedene Werte von $\alpha\in\DR.$ %Alle anderen L"osungsfunktionen mit positiven Werten erh"alt man %durch horizontales Verschieben der entsprechenden Graphen. %Im Fall $\alpha>1$ \glqq l"auft unsere L"osung in endlicher Zeit nach Unendlich\grqq, %was die gestrichelt eingezeichnete vertikale Asymptote %andeuten soll. %Im Fall $1>\alpha>0$ kann man, wie gestrichelt angedeutet, die L"osung %zu einer L"osung von $\dot{\gamma} (t) = |\gamma (t)|^{\alpha}$ %ins Negative fortsetzen, aber eben auf vielerlei Weisen. Das war %im wesentlichen auch unser Gegenbeispiel \ref{NEIK}. %\end{center} %\end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Spezielle eindimensionale Felder mit Nullstellen}] Gegeben ein stetiges Vektorfeld mit Nullstellen auf einer offenen Teilmenge eines eindimensionalen Raums liegen die Verh"altnisse komplizierter als im Fall ohne Nullstellen \ref{EXPp}. Wir suchen etwa f"ur $\alpha \in \Bbb{R}$ Flu"swege des Vektorfelds $a(x) = x^\alpha$ auf $\Bbb{R}_{>0}$ alias auf einem mehrpunktigen Intervall $I \subset \Bbb{R}$ definierte Funktionen $\gamma : \DR\supset I \rightarrow \Bbb{R}_{>0} $ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = (\gamma (t))^{\alpha} \quad \forall t \in I \end{equation*} Auf $\DR_{>0}$ hat unser Feld keine Nullstellen und die in \ref{EXPp} entwickelte Theorie sagt uns, da"s unsere Flu"swege gerade die Umkehrfunktionen zu Stammfunktionen von $x^{-\alpha} $ sind. Den Fall $\alpha =1$ kennen wir bereits aus \ref{EXPp}. Im Fall $\alpha \neq 1$ erhalten wir als Stammfunktion $G(x) =x^{1-\alpha}/(1-\alpha)$. Im Unterfall $\alpha > 1$ induziert nun $G$ eine Bijektion $G:\Bbb{R}_{>0} \sira \Bbb{R}_{<0}$ und im Unterfall $\alpha <1$ eine Bijektion $G: \Bbb{R}_{>0} \sira \Bbb{R}_{>0}$, aber die Umkehrfunktion wird jedesmal durch dieselbe Formel gegeben und wir erhalten die Flu"swege \begin{equation*} \gamma (t) = ((1-\alpha)t)^{(1-\alpha)^{-1}} \end{equation*} Im Fall $\alpha =2$ etwa ergibt sich $\gamma (t) = -1/t$ und unser Flu"swege \glqq laufen in endlicher Zeit nach $+\infty$, brauchen aber, wenn wir die Zeit r"uckw"arts laufen lassen, unendlich lange bis zum Ursprung\grqq. Dasselbe gilt in allen F"allen mit $\alpha >1$. Im Fall $\alpha =0$ dahingegen ergibt sich $\gamma (t) =t$ und unser Flu"sweg \glqq l"auft f"ur alle positiven Zeiten, braucht aber, wenn wir die Zeit r"uckw"arts laufen lassen, nur endlich viel Zeit bis zum Ursprung\grqq. Dasselbe gilt in allen F"allen mit $\alpha <1$. In den F"allen mit $0\leq \alpha$ k"onnen wir unser Vektorfeld stetig auf $\DR$ fortsetzen durch die Vorschrift $a(x)=|x|^\alpha$ und f"ur $0<\alpha$ hat diese Fortsetzung eine Nullstelle bei Null. In den F"allen $0<\alpha<1$ gibt es nun auch Flu"swege, die in endlicher Zeit aus dem Negativen nach Null laufen und dort eine Weile stehenbleiben, bevor sie ins Positive weiterlaufen. Erkl"aren wir etwa auf $\DR$ ein stetiges Vektorfeld durch $a(x) = \sqrt[3]{x^2}$, so ist $\gamma (t) = t^3/27$ ein Flu"sweg, aber auch die Abbildung $\psi:\DR\ra\DR,$ die gegeben wird durch die Vorschrift \begin{eqnarray*} \psi (t) & =& \left\{ \begin{array}{rl} t^3/27 & t \leq 0;\\ 0\;\;\; & 0\leq t\leq 1;\\ (t-1)^3/27 & 1\leq t; \end{array}\right. \end{eqnarray*} ist ein Flu"sweg. Im R"uckblick ist unser Beispiel \ref{NEIK} im wesentlichen dasselbe, nur in trivialer Weise um eine Dimension erweitert, damit es besser bildlich dargestellt werden kann. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verhalten unter L"angen"anderungen}] "Andern wir bei einem Vektorfeld ohne Nullstellen nur die L"angen seiner Vektoren,\label{Lae} durchaus auch in Abh"angigkeit vom Ort, so bleiben die Flu"swege offensichtlich bis auf Reparametrisierung dieselben. Ist also in Formeln $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $U \co X$ offen, $A :U \rightarrow \vec{X}$ ein Vektorfeld ohne Nullstellen und $c : U \rightarrow \Bbb{R}$ eine stetige Funktion ohne Nullstellen und ist $\gamma : I \rightarrow U$ ein Flu"sweg von $A$, so finden wir mit dem Ansatz $\psi (t) =\gamma (r(t))$ eine L"osung der Differentialgleichung % \begin{equation*} \psi' (t) = c (\psi (t)) A (\psi (t)) \end{equation*} % In der Tat liefert diese Gleichung n"amlich f"ur die Reparametrisierung $r$ die Gleichung % \begin{equation*} r' (t) \gamma' (r(t)) = c (\gamma (r(t))) A (\gamma (r(t))) \end{equation*} % und damit $r'(t) = (c \circ \gamma)(r(t))$. Diese Gleichung aber haben wir bereits in \ref{EXPp} l"osen gelernt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Felder mit separierten Variablen}] Gegeben endlichdimensionale reelle R"aume $X,Y$ und\label{SeVar} offene Teilmengen $U \co X$ sowie $V\co Y$ und Vektorfelder $A:U \rightarrow \vec{X}$ sowie $B:V \rightarrow \vec{Y}$ sind die Flu"swege des Vektorfelds $(A \times B): U\times V \rightarrow \vec{X} \times \vec{Y}$ genau die Abbildungen $(\gamma,\psi)$ mit $\gamma :I \rightarrow U$ einem Flu"sweg von $A$ und $\psi: I \rightarrow V$ einem Flu"sweg von $B$ mit demselben Definitionsbereich. In dieser Situation spricht man von einer Differentialgleichung mit getrennten Ver"anderlichen oder lateinisierend {\bf separierten Variablen}.\index{Separation der Variablen} Man beachte die enge Beziehung zur \glqq Verwandtschaftsvertr"aglichkeit von Flu"swegen\grqq\ \ref{VhD}. Die in \ref{SepV} erl"auterte Methode der \glqq Separation der Variablen\grqq\ mag man auffassen als das "Uberf"uhren einer Differentialgleichung in eine Gleichung mit separierten Variablen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStFZ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Im Fall zeitabh"angiger eindimensionaler Felder mag man sich ein Vektorfeld als ein \glqq Steigungsfeld\grqq\ veranschaulichen, bei dem die jeweils vorgeschriebene Steigung $a(t,y)$ von beiden Koordinaten abh"angen darf, und die L"osung der entsprechenden Differentialgleichung durch ihren im Bild gestrichelt eingezeichneten Graphen, der dann eben an jeder Stelle tangential an das dort vorgegebene Steigungsfeld sein soll. \nichtfinal{Ich sollte das Steigungsfeld erg"anzen um die vorgeschriebenen Punkte auf den vorgegebenen Tangentenst"ucken.} \end{minipage} \end{figure} %\begin{figure}[htb] % \begin{center} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStFZ} % \\ % \noindent %Im Fall zeitabh"angiger eindimensionaler Felder mag man sich %ein Vektorfeld als ein \glqq Steigungsfeld\grqq\ veranschaulichen, bei dem %die jeweils vorgeschriebene Steigung $a(t,y)$ von %beiden Koordinaten abh"angen darf, und %die L"osung der %entsprechenden Differentialgleichung durch ihren %im Bild gestrichelt eingezeichneten Graphen, %der dann eben an jeder Stelle tangential an das dort vorgegebene %Steigungsfeld sein soll. \nichtfinal{Ich sollte das Steigungsfeld % erg"anzen um die vorgeschriebenen % Punkte auf den vorgegebenen Tangentenst"ucken.} %\end{center} %\end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStFZP} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering In \ref{DGSF} habe ich ausgef"uhrt, wie die Untersuchung der Flu"swege zeitabh"angiger Felder auf einem Raum $X$ auf die Untersuchung der Flu"swege zeitunabh"angiger Felder auf dem Raum $\DR\times X$ zur"uckgef"uhrt werden kann. Dieses Bild zeigt im Spezialfall $X=\DR$ das zeitunabh"angige Vektorfeld auf $\DR^2,$ dessen Flu"swege den Flu"swegen des durch das Bild dar"uber dargestellten zeitabh"angigen Feldes auf $\DR$ entsprechen. \end{minipage} \end{figure} %\begin{figure}[htb] % \begin{center} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStFZP} % \\ % \noindent %In \ref{DGSF} habe ich ausgef"uhrt, wie %die Untersuchung der Flu"swege zeitabh"angiger Felder auf %einem Raum $X$ %auf die Untersuchung der Flu"swege zeitunabh"angiger Felder %auf %dem Raum $\DR\times X$ zur"uckgef"uhrt werden kann. %Dieses Bild zeigt im Spezialfall $X=\DR$ % das zeitunabh"angige Vektorfeld auf $\DR^2,$ dessen %Flu"swege den Flu"swegen des durch das Bild dar"uber %dargestellten zeitabh"angigen Feldes auf $\DR$ entsprechen. %\end{center} %\end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Eindimensionale zeitabh"angige Felder}] Gegeben eine Funktion $a:\DR^2\lco W\ra\DR$ interessieren wir uns f"ur L"osungen der Gleichung $$y'=a(t,y)$$ Unter einer \glqq L"osung\grqq\ versteht man hierbei ein Paar $(\gamma,I)$ mit $I\subset \DR$ einem mehrpunktigen Intervall und $\gamma:I\ra \DR$ einer differenzierbaren Funktion, deren Graph in $U$ enthalten ist und f"ur die gilt $$\;\;\;\;\;\;\;\gamma'(t) = a (t,\gamma(t)) \quad\forall t\in I$$ Ich habe hier L"osungen als $\gamma(t)$ und nicht als $y(t)$ geschrieben, wie es die Gleichung suggeriert, in der Hoffnung, da"s das zum besseren Verst"andnis beitr"agt. H"angt $a(t,y)$ gar nicht von $y$ ab, also $a(t,y)=a(t)$, so sind die L"osungen unserer Differentialgleichung nat"urlich genau die Stammfunktionen von $a$. H"angt $a(t,y)$ dahingegen nicht von $t$ ab, also $a(t,y)=a(y)$, so sind die L"osungen unserer Differentialgleichung nichts anderes als die Flu"swege des auf einer geeigneten Teilmenge von $\DR$ definierten Vektorfelds $a(y)$, die wir bereits in \ref{EXPp} diskutiert hatten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{SepV} Seien $a: \Bbb{R}\lco U \rightarrow \Bbb{R}$ und $\alpha :\Bbb{R}\lco J \rightarrow \Bbb{R}$ stetig. Differentialgleichungen der Gestalt \begin{equation*} y'(t) = \alpha(t) a (y(t)) \end{equation*} f"ur Funktionen $y=y(t)$ bedeuten geometrisch die Suche nach Flu"swegen eines zeitabh"angigen Vektorfelds auf $U\co\DR$, das die spezielle Gestalt $A(t,y)=\alpha(t) a(y)$ hat. Ich schreibe $y(t)$ statt $\gamma(t)$, weil wir ja nur eine reellwertige Funktion suchen, also $X=\DR$. Sie lassen sich oft mit der Methode der \defind{Separation der Variablen} oder auf deutsch \defind{Variablentrennung} l"osen. Ich f"uhre zun"achst dieses Verfahren vor und erkl"are dann, inwiefern wir dabei implizit unsere Gleichung in eine Gleichung mit separierten Variablen im Sinne von \ref{SeVar} transformieren. Wir nehmen an, $a$ habe keine Nullstelle und $U$ sei ein Intervall. Gegeben eine L"osung $y : I \rightarrow \Bbb{R}$ kann die Gleichung $y'(t) = \alpha(t) a (y (t)) $ dann auch geschrieben werden als \begin{equation*} \frac{y'(t)}{a(y (t))} = \alpha(t) \end{equation*} Ist nun $G$ eine Stammfunktion von $1/a$ und $B$ eine Stammfunktion von $\alpha$, so folgt f"ur alle $s,t \in I$ sofort \begin{equation*} G(y (t)) - G(y (s)) = \int^{y (t)}_{y (s)} \frac{\diff y}{a(y)} = \int^t_s \frac{y'(\tau)} {a(y (\tau))}\diff \tau = \int^t_s \alpha(\tau) \diff \tau = B(t) - B(s) \end{equation*} Hier ist $G$ sicher streng monoton. Folglich hat es offenes Bild $G(U) \co \Bbb{R}$. F"ur die Umkehrabbildung $G^{-1} : G(U) \rightarrow \Bbb{R}$ folgt \begin{equation*} y (t) = G^{-1} (B(t) +c) \qquad \forall t \in I \end{equation*} mit der Konstante $c = G (y (s)) - B (s)$. Umgekehrt pr"uft man auch ohne Schwierigkeiten, da"s f"ur $(s,u) \in J \times U$ die obige Formel f"ur $c = G(u) - B(s)$ und $t \in I + B^{-1} (G(U) -c)$ die gr"o"ste L"osung unserer Differentialgleichung mit $y (s) =u$ liefert. Um den Zusammenhang mit der Situation separierter Variablen im Sinne von \ref{SeVar} herzustellen, interpretieren wir unsere Gleichung wie in \ref{DGSF} als die Suche nach Flu"swegen des ebenen Vektorfelds $(x,y) \mapsto (1,\alpha(x)a(y))$ und kommen unter der zus"atzlichen Annahme, da"s auch $\alpha$ keine Nullstelle hat, mit der in \ref{Lae} erl"auterten L"angen"anderung um $c (x,y)\pdef \alpha(x)^{-1}$ zum Vektorfeld $(x,y) \mapsto (\alpha(x)^{-1}, a(y))$. In dieser Weise landen wir dann bei der Suche nach den Flu"swegen eines Vektorfelds mit separierten Variablen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Strikte differentielle Ungleichungen}] Sei eine Funktion $K:\DR^2\supset U\ra \DR$ gegeben und seien $f,g:[a,b)\ra \DR$ differenzierbare Funktionen mit Graph in $U$ derart, da"s\label{ABLo} an jeder Stelle $t\in [a,b)$ gilt $$f'(t)\geq K(t,f(t))\quad\text{und}\quad g'(t)0$. Eine L"osung der Differentialgleichung $f'(t)=f(t)+\varepsilon$ mit Anfangswert $f(0)=g(0)$ ist $f(t)=(g(0)+\varepsilon){\op{e}}^t -\varepsilon$ und wir folgern $$g(t)< (g(0)+\varepsilon){\op{e}}^t -\varepsilon\quad \forall t\in (0,b)$$ Im Grenzwert f"ur $\varepsilon\ra 0$ folgt dann die Behauptung. Das ist auch schon fast das Lemma von Gronwall, wie es im Anschlu"s bewiesen wird. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Lemma von Gronwall}] \begin{enumerate} \item Gegeben Konstanten $L>0$ und $C$\index{Gronwall!Lemma von} sowie $b>0$ und eine differenzierbare Funktion $g:[0,b)\ra\DR$ mit $g(0)\leq 0$ und $g'(t)\leq Lg(t)+C$ f"ur alle $t\in [0,b)$ gelten f"ur alle $t\in (0,b)$ die Absch"atzungen $$g(t)\leq (C/L){\op{e}}^{Lt}-(C/L) \quad\text{und}\quad g'(t)\leq C{\op{e}}^{Lt}.$$ \item Ist $b \in \Bbb{R}_{> 0}$ und $h :[0,b)\rightarrow \DR$ stetig und gibt es Konstanten $L,C$ mit $L\geq 0$ und \begin{equation*} h(t) \leq L \int^t_0 h(\tau) \diff \tau + C \end{equation*} f"ur alle $t\in [0,b)$, so erf"ullt $h$ die Absch"atzung $ h(t) \leq C \op{e}^{Lt} $. \end{enumerate}\label{Gronwall} \end{Korollar} \begin{proof} Man beachte, da"s die Differentialgleichung $f'(t)=Lf(t)+C$ f"ur $L\neq 0$ die L"osung $f(t)=(C/L){\op{e}}^{Lt}-(C/L)$ mit Anfangswert $f(0)=0$ hat. F"ur jedes $\varepsilon >0$ folgt aus unseren Annahmen $g'(t)0$, damit sich die erste Ungleichung bei der Multiplikation mit $L$ nicht umdreht. Da"s die zweite Ungleichung im ersten Teil auch noch f"ur $L=0$ gilt, ist eh klar. Wenden wir sie auf $g(t)\pdef\int_0^t h(\tau)\diff \tau$ an, ergibt sich der zweite Teil. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine F"ulle an weiteren Beispielen und L"osungsmethoden zu gew"ohnlichen Differentialgleichungen findet man etwa in \cite{MV2}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Gr"o"sere Felder haben schnellere Flu"swege}] Gegeben $U\subset \DR$ halboffen und $a,b:U\ra\DR$ stetig ohne Nullstelle mit $a\leq b$ und $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall und $\gamma, \kappa:I\ra U$ differenzierbar mit $\dot{\gamma}(t)=a(\gamma(t))$ und $\dot{\kappa}(t)=b(\kappa(t))$ f"ur alle $t\in I$ folgt aus $\gamma(t_0)\leq \kappa(t_0)$ f"ur ein $t_0\in I$ bereits dieselbe Aussage f"ur alle $t\in I$ mit $t\geq t_0.$ \end{Ubung} \subsection{Integration von vektorwertigen Funktionen}\label{IvwF} \begin{Bemerkungl} Wir zimmern in diesem Abschnitt einen begrifflichen Rahmen, der nicht nur das Integrieren komplexwertiger Funktionen als Spezialfall umfa"st, sondern auch in nat"urlicher Weise unsere "Uberlegungen zum Differenzieren vektorwertiger Funktionen erg"anzt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $[a,b]\subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres kompaktes Intervall, $V$ ein reeller Vektorraum und $f:[a,b] \ra V$ eine Abbildung. Wir betrachten f"ur $ r \geq 1$ die "aquidistante Unterteilung $a = t_{0} \leq t_{1} \leq \ldots \leq t_{r} = b$ und definieren die {\bf $r$-te Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur vektorwertige Funktion} $S^r (f)\in V$ durch $$S^{r} (f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0} (t_{i+1}-t_{i}) f(t_{i}) = \left(\frac{b-a} {r}\right) \sum^{r-1}_{i=0} f(t_{i})$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen}] Gegeben eine stetige Abbildung von einem\label{IVb} nichtleeren kompakten Intervall in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum $f:[a,b]\ra V$ existiert der Grenzwert der zugeh"origen Riemannsummen. Das als dieser Grenzwert erkl"arte \emph{\bf Integral}\index{Integral!stetige vektorwertige Funktion!"uber kompaktes Intervall} $$\int f = \int^{b}_{a} f = \int^{b}_{a} f(t) \;\diff t \pdef \lim_{r\ra \infty} S^{r} (f)$$ ordnet jedem $f$ einen Vektor $(\int f)\in V$ zu und hat die folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item F"ur alle $c\in [a,b]$ gilt $\int^{b}_{a} f=\int^{c}_{a}f + \int^{b}_{c}f$; \item Ist $f=v$ konstant ein $v \in V,$ so gilt $\int^{b}_{a} f(t) \;\diff t = \int^{b}_{a} v \; \diff t= (b-a)v$; \item Ist $\Lambda : V \ra W$ eine lineare Abbildung in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Vektorraum $W$, so gilt $$\int (\Lambda \circ f) = \Lambda \left(\int f\right)$$ \item\label{No} Gegeben eine Norm $\|\;\|$ auf $V$ gilt f"ur die Norm des Integrals die Absch"atzung $\|\int f\| \leq \int \|f\|$; \item Im Fall $V=\DR$ reellwertiger Funktionen erhalten wir unser Integral aus \eref{DefII}{AN1} zur"uck. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Dieser Satz gilt genauso f"ur Banachr"aume $V,W$. Der Beweis braucht dann aber zus"atzliche Argumente. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Linearit"at des Integrals}] Sie m"ogen in diesem Satz die Regeln $\int \lambda f=\lambda\int f$ sowie $\int(f+g)=\int f+\int g$ f"ur stetige vektorwertige Funktionen $f,g$ und $\lambda\in\DR$ vermi"st haben. Sie folgen jedoch formal aus Teil 3. In der Tat d"urfen wir dort $\Lambda=(\lambda\cdot):V\ra V$ nehmen und auch $\Lambda:V\times V\ra V$ die Addition sowie die beiden Projektionen. So ergibt sich f"ur die $V\times V$-wertige Funktion $(f,g)$ zun"achst\label{lII} $\op{pr}_1 \int (f,g)=\int f$ und $\op{pr}_2 \int (f,g)=\int g$ und damit $\int (f,g)=(\int f,\int g)$ und durch Anwenden der Addition dann $\int(f+g)=\int f+\int g$. Etwas allgemeiner folgt die \glqq Komponentenregel\grqq\ $\int (f,g)=(\int f,\int g)$ auch f"ur $f,g$ mit Werten in verschiedenen endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkunge} % Sind allgemein $\mathcal A$ eine additive Kategorie und % $F,G:\mathcal A\ra \op{Ab}$ additive Funktoren % und $v:\op{Ab}\ra\op{Ens}$ der Vergi"sfunktor % und $\tau:vF\RA vG$ eine Transformation, so m"ussen alle % $\tau_M:vFM\ra vGM$ bereits Gruppenhomomorphismen sein, % als da hei"st, wir haben $\tau=v\tilde\tau$ f"ur eine wohlbestimmte % Transformation $\tilde\tau:F\RA G$. Sind zus"atzlich $k$ ein Kring % und $\mathcal A$ eine additive $k$-lineare Kategorie % und $F,G:\mathcal A\ra \op{Mod}_k$ additive $k$-lineare Funktoren und $v:\op{Mod}_k\ra\op{Ens}$ der Vergi"sfunktor, so % haben wir analog $\tau=v\tilde\tau$ f"ur eine wohlbestimmte % Transformation $\tilde\tau:F\RA G$. Das Argument ist dasselbe % wie oben im Spezialfall $\mathcal A=\op{Mod}_k$ und $F:V\mapsto \mathcal C([a,b],V)$ und $G:V\mapsto V$ % und $\tau=\int$. %\end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrFr}\\[4mm] \noindent Der Graph einer reellwertigen Treppenfunktion. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrfr}\\[4mm] \noindent Der Graph einer reellwertigen Funktion $f$ und der zugeh"origen Treppenfunktion $f_7$ aus dem nebenstehenden Beweis, mit $I(f_7)$ der siebten Riemannsumme von $f$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V=\DR^n$. Dann erweist sich unser Integral schlicht das \glqq komponentenweise Integral\grqq\ und alle Aussagen des Satzes sind offensichtlich mit Ausnahme der Absch"atzung $\|\int f\| \leq \int \|f\|$. Diese Absch"atzung ist jedoch offensichtlich f"ur die Riemannsummen und folgt im Grenzwert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wie im Fall reellwertiger Funktionen verwenden wir auch im Fall vektorwertiger Funktionen die Konvention $\int_{b}^{a} f=-\int^{b}_{a} f$. Ist dann $f:I\ra V$ eine stetige Abbildung von einem reellen Intervall in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum, so gilt f"ur beliebige $a,b,c \in I$ die Formel $\int^{b}_{a} f=\int^{c}_{a}f + \int^{b}_{c}f$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vektorwertige Variante des Hauptsatzes}] Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \Bbb{R}$, ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$, eine stetige Funktion $f:I\ra V$ und\label{VHSS} ein Punkt $a\in I$ ist die Funktion $$\begin{array}{cccl} F : &I &\ra & V\\ &x & \mapsto & \int^{x}_{a} f(t) \;\diff t \end{array}$$ die einzige differenzierbare Funktion $F:I\ra V$ mit $F^{\prime}= f$ und $F (a) =0$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $V=\DR^n$ annehmen und k"onnen uns so auf den Fall reellwertiger Funktionen zur"uckziehen. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] "Ahnlich zum Beweis f"ur reellwertige Funktionen \eref{HSS}{AN1} und dem Leser zur "Ubung "uberlassen. Man verwende die Absch"atzung aus \ref{IVb} f"ur die Norm des Integrals und den Schrankensatz \eref{MWSn}{AN1}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Integrieren mit Stammfunktionen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $a0$ gibt mit $d(f(x),f(y))\leq L d(x,y)$ f"ur alle $x,y$ im Ausgangsraum. Eine Abbildung zwischen metrischen R"aumen hei"st {\bf lokal lipschitzstetig},\index{lipschitzstetig!lokal} wenn jeder Punkt des Ausgangsraums eine Umgebung besitzt, auf der unsere Funktion lipschitzstetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLiSt} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Restriktion auf die negative $x$-Achse der hier dargestellten Funktion ist lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $1$, da sie an jeder Stelle den schraffierten Bereich des entsprechend verschobenen Doppelkegels vermeidet. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{SDLi} Nach \ref{Asc} ist jedes stetig differenzierbare Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines normierten Raums lokal lipschitzstetig, deshalb folgt der Satz "uber die Existenz und Eindeutigkeit im Fall stetig differenzierbarer Vektorfelder \ref{PiLi} unmittelbar aus der Fassung f"ur lokal lipschitzstetige Vektorfelder, die wir im folgenden als \ref{PiLin} beweisen. Die Hauptlast des Beweises tr"agt das folgende Lemma \ref{HlLll}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Lokale Existenz und Eindeutigkeit}] Gegeben ein endlichdimensionaler normierter reeller Raum $X$ und ein beschr"anktes lipschitzstetiges Vektorfeld $A: X\lco U \rightarrow \vec{X}$\label{HlLll} existieren zu jedem Anfangswert $p\in U$ Flu"swege von $A$ mit offenem Definitionsbereich und je zwei Flu"swege $\gamma : I \rightarrow U$ sowie $\phi : J \ra U$ mit demselben Anfangswert stimmen f"ur hinreichend kleines $\varepsilon>0$ auf $I \cap J\cap [-\varepsilon,\varepsilon]$ "uberein. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Gegeben metrische R"aume $X,Y,Z$ hei"st eine Abbildung $f:X\times Y\ra Z$ {\bf partiell lipschitzstetig in der zweiten Variable},\index{lipschitzstetig!partiell} wenn es $L\in \DR$ gibt mit $$d(f(x,y_1),f(x,y_2))\leq Ld(y_1,y_2)\;\forall x\in X, y_1,y_2\in Y$$ Das ist st"arker, als nur zu fordern, da"s f"ur jedes $x\in X$ die Abbildung $y\mapsto f(x,y)$ lipschitzstetig sein soll, denn dann br"auchten wir nur f"ur jedes $x\in X$ jeweils eine Konstante $L_x$ mit der entsprechenden Eigenschaft zu finden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{plp} Allgemeiner gilt der Satz "uber die lokale Existenz und Eindeutigkeit auch f"ur stetige beschr"ankte zeitabh"angige Vektorfelder $A: (-a,a)\times U \rightarrow \vec{X}$, die partiell lipschitzstetig sind im Ort. Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe. Diese Variante ist insofern st"arker, als unser Lemma beim "Ubergang \ref{DGSF} von zeitabh"angigen zu zeit\-un\-ab\-h"an\-gi\-gen Vektorfeldern dieselbe Folgerung nur liefert unter der st"arkeren Annahme, da"s $A: (-a,a)\times U \rightarrow \vec{X}$ voll lipschitzstetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten f"ur ein beliebiges mehrpunktiges kompaktes reelles Intervall $K \subset \Bbb{R}$ mit $0\in K$ den affinen Raum $$\mathcal{C}_p (K,X)$$ aller stetigen Wege $\gamma : K \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$ und versehen seinen Richtungsraum $\mathcal{C}_0 (K,\vec{X})$ mit der Norm $ \|\; \|_\infty $ der gleichm"a"sigen Konvergenz. Nach "Ubung \ref{VSuN} erhalten wir so einen vollst"andigen normierten Vektorraum. Nun betrachten wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge $\mathcal{C}_p (K,U)$ aller in $U$ verlaufenden Wege und die Abbildung $$\begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R}\times \mathcal{C}_p (K,U) & \rightarrow & \Bbb{R}\times \mathcal{C}_p(K,X)\\ &(\rho\;,\; \gamma) \;\;\;&\mapsto & \left(\rho, \gamma - \rho \int (A\circ \gamma)\right) \end{array}$$ Hierbei sei $\int:\mathcal{C}(K,\vec{X})\ra \mathcal{C}_0(K,\vec{X})$ gegeben durch $(\int \psi)(t)\pdef\int_0^t\psi(\tau)\diff \tau$ mit unserem vektorwertigen Integral aus \ref{IVb}. Bezeichne $\kappa$ den konstanten Weg bei $p.$ Unter unserer Abbildung geht aufgrund der vektorwertigen Variante \ref{VHSS} des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung $(\rho, \gamma)$ nach $(\rho,\kappa )$ genau dann, wenn $\gamma : K\rightarrow U$ ein Flu"sweg des reskalierten Feldes $\rho A$ ist. Insbesondere haben wir $(0,\kappa) \mapsto (0,\kappa)$. Wir wenden nun den Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} an und zeigen genauer, da"s f"ur $\eta>0$ hinreichend klein und $K\subset [-1/4S,1/4S]$ mit $S>0$ einer oberen Schranke der Normen der Vektoren unseres Vektorfelds $A$ die Restriktion von $F\!-\!\op{id}$ auf $(-\eta,\eta)\times \mathcal{C}_p (K,U)$ kontrahierend ist. Dazu rechnen wir \begin{eqnarray*} \| (F\! -\!\op{id}) (\sigma,\psi) - (F\!-\! \op{id}) (\rho,\gamma)\| & =& \left\| \sigma \int A \psi - \rho \int A \gamma \right\|_\infty\\ &\leq & |\sigma - \rho | \left\| \int A \psi \right\|_\infty \!+ |\rho | \left\|\int A\psi - A \gamma \right\|_\infty\\ &\leq & |\sigma - \rho | (S/4S) + (\eta L /4S) \| \psi - \gamma \|_\infty\\[2mm] &\leq & |\sigma - \rho|/4 + \| \psi -\gamma\|_{\infty}/4\\[2mm] &\leq & (1/2) \| (\rho - \sigma, \gamma - \psi)\| \end{eqnarray*} falls im vorletzten Schritt $\eta > 0$ so klein ist, da"s gilt $\eta L / S < 1$. % In der Tat haben wir wegen der Absch"atzung % $\|A(\gamma(s))-A(\psi(s))\|\leq L\|\gamma(s)-\psi(s)\|$ % n"amlich % $$\left\|\rho\int(A\circ\gamma)-\rho\int(A\circ\psi)\right\|_\infty % \leq \rho L k \|\gamma-\psi\|_\infty$$ % f"ur $L$ die Lipschitzkonstante von $A$ und $k$ dem Supremum der % Betr"age der Elemente von $K,$ und wir m"ussen folglich % nur $\eta$ so klein w"ahlen, da"s gilt $\eta L k<1.$ Dann liefert uns der Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} wegen $F:(0, \kappa) \mapsto(0, \kappa) ,$ da"s es f"ur $\rho>0$ hinreichend klein genau ein Urbild $(\rho, \gamma_\rho)$ von $(\rho, \kappa)$ unter $F$ gibt, also genau einen Flu"sweg $\gamma_\rho:K\ra U$ des reskalierten Vektorfelds $\rho A$. Gehen wir etwa von $K=[-\beta,\beta]$ aus, so ist dann $\gamma(t)\pdef\gamma_\rho(\rho^{-1}t)$ ein auf $(-\rho\beta,\rho\beta)$ definierter Flu"sweg des Vektorfelds $A$ zu $p$ und die Existenzaussage des Lemmas ist gezeigt. Seien andererseits $\gamma : I \rightarrow U$ und $\phi : J \ra U$ Flu"swege mit demselben Anfangswert. Besteht $I\cap J$ nur aus dem Nullpunkt, so ist die Behauptung eh klar. Sonst gibt es $\alpha>0$ mit $I\cap J\cap[-\alpha,\alpha]$ mehrpunktig und kompakt und in $[-1/4S,1/4S]$ enthalten. F"ur alle $\rho\in[0,1]$ sind dann die Abbildungen $t\mapsto \gamma(\rho t)$ und $t\mapsto \phi(\rho t)$ auf $I\cap J\cap[-\alpha,\alpha]$ definierte Flu"swege mit Anfangswert $p$ des reskalierten Vektorfelds $\rho A$. F"ur hinreichend kleines $\rho>0$ gibt es aber nach dem, was wir gezeigt haben, nur einen derartigen Flu"sweg, und damit folgt auch die zweite Behauptung des Lemmas. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Beim Beweis des Umkehrsatzes f"ur eine stetige Abbildung $f$ hatten wir Urbilder von $y$ unter $f$ konstruiert als Fixpunkte der kontrahierenden Abbildung $k_y :x \mapsto x - f(x) + y$. Hier bedeutet das, da"s wir L"osungen auf $K$ f"ur das mit betragsm"a"sig hinreichend kleinem $\sigma$ reskalierte Feld konstruieren als Fixpunkte der kontrahierenden Abbildung $$\textstyle k_{(\sigma,\kappa)} :(\rho,\gamma) \mapsto \left(\sigma, \kappa+ \rho \int A\circ \gamma\right)$$ und, wenn wir den ersten Term der Iteration weglassen und das $\sigma$ vorne in der Klammer desgleichen, als Fixpunkte der kontrahierenden Abbildung $$\textstyle \gamma \mapsto \kappa+ \sigma \int A\circ \gamma$$ Das hei"st die {\bf Picard-Iteration}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die allgemeinere Aussage \ref{plp} "uber lokale Existenz und Eindeutigkeit der Flu"swege f"ur stetige beschr"ankte im Ort partiell lipschitzstetige zeitabh"angige Vektorfelder folgt analog mithilfe der Abbildung $$\textstyle F:(\rho,\gamma)\mapsto (\rho, \gamma - \rho \int A(\rho \tau,\gamma(\tau))\diff \tau)$$ mit dem Integral als Abk"urzung f"ur die Abbildung $t\mapsto \int_0^t A(\rho \tau,\gamma(\tau))\diff \tau$. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of}] \begin{enumerate}\item Gegeben ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen normierten reellen Raums gibt es zu jedem Anfangswert einen gr"o"sten Flu"sweg; \item Dieser gr"o"ste Flu"sweg hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall, und ist besagtes Intervall nach oben beschr"ankt, so verl"a"st er f"ur positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer offenen Teilmenge irgendwann endg"ultig. \end{enumerate} \label{PiLin} \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein gr"o"ster Flu"sweg, dessen Definitionsbereich nach oben beschr"ankt ist und die so jedes Kompaktum wie etwa $K$ oder $L$ irgendwann einmal endg"ultig verl"a"st. In diesem Fall w"are der Definitionsbereich nach unten unbeschr"ankt und unser Flu"sweg w"urde f"ur negative Zeiten gegen eine Nullstelle unseres Vektorfeldes konvergieren, die im Zentrum der Spirale liegt. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fl"usse von Vektorfeldern mit kompaktem Tr"ager}] Ein Flu"sweg eines lokal lipschitzstetigen Vektorfelds, der durch eine Nullstelle unseres Feldes geht, ist offensichtlich konstant. Jeder Flu"sweg, der durch eine Nichtnullstelle unseres Feldes geht, bleibt also f"ur alle Zeiten seines Definitionsbereichs in den Nichtnullstellen. Jeder Flu"sweg, der durch einen Punkt im Tr"ager unseres Feldes geht, bleibt mithin f"ur alle Zeiten seines Definitionsbereichs im Tr"ager unseres Feldes. Verschwindet speziell unser Vektorfeld au"serhalb von einem Kompaktum, so ist jeder maximale Flu"sweg auf ganz $\DR$ definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VfVf} Beim Beweis zeigen wir st"arker als in Teil 2 formuliert: Ist das Defini\-tionsintervall unseres gr"o"sten Flu"swegs nach oben beschr"ankt, so kann er nicht ab irgendeinem Zeitpunkt ganz innerhalb irgendeiner in unserem affinen Raum abgeschlossenen Teilmenge bleiben, die im Definitionsbereich unseres Vektorfelds enthalten ist und auf der unser Vektorfeld beschr"ankt ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s je zwei Flu"swege $\gamma,\psi$ mit demselben Anfangswert $p$ und demselben Definitionsintervall $I$ "ubereinstimmen. Wir zeigen nur, da"s sie auf $I\cap [0,\infty)$ "ubereinstimmen, f"ur $I\cap (-\infty,0]$ argumentiert man analog. Stimmen aber unsere Wege auf $I\cap [0,\infty)$ nicht "uberein, so w"are das Supremum $s$ "uber alle $t\in I$ mit $\gamma|[0,t]=\psi|[0,t]$ nicht das Supremum von $I.$ Wir h"atten also $s\in I$ und wegen der Stetigkeit der Flu"swege g"alte $\gamma(s)=\psi(s),$ und nach der Eindeutigkeitsaussage in Lemma \ref{HlLll} mu"s dann auch gelten $\gamma|[0,s+\eta]=\psi|[0,s+\eta]$ f"ur ein positives $\eta$ im Widerspruch zur Wahl von $s$. Folglich stimmen je zwei Flu"swege mit Anfangswert $p$ auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche "uberein und es gibt unter allen Flu"swegen mit Anfangswert $p$ einen gr"o"sten, dessen Definitionsbereich eben die Vereinigung der Definitionsbereiche aller Flu"swege zu $p$ ist. W"are dieser Definitionsbereich nicht offen, so enthielte er sein Supremum oder sein Infimum. Dann k"onnten wir jedoch um die Bilder dieser Grenzpunkte auch wieder Flu"swege mit offenem Definitionsbereich finden und \glqq ankleben\grqq\ und unser Flu"sweg w"are nicht maximal gewesen. Dieser Widerspruch zeigt, da"s unser gr"o"ster Flu"sweg offenen Definitionsbereich hat. Bezeichne schlie"slich $A$ unser Vektorfeld und $U\co X$ seinen Definitionsbereich. Ist $\gamma : [0,b) \rightarrow U$ ein Flu"sweg von $A$, dessen Bild in einem Kompaktum $M \subset U$ landet, so ist wegen $\dot{\gamma} (t) = A(\gamma (t))$ seine Geschwindigkeit $\| \dot{\gamma} (t)\|$ beschr"ankt auf $[0,b)$, mithin ist $\gamma$ lipschitzstetig und besitzt nach \ref{GSFo} eine stetige Fortsetzung $\tilde{\gamma} : [0,b] \rightarrow M$. Die Integralform unserer Differentialgleichung zeigt dann sofort, da"s auch $\tilde{\gamma}$ ein Flu"sweg von $A$ sein mu"s. Mithin kann ein Flu"sweg mit nach oben beschr"anktem Definitionsbereich, der ganz in einem Kompaktum $M\subset U$ verl"auft, schon einmal nicht maximal sein. Wir erkl"aren nun noch, warum ein maximaler Flu"sweg mit nach oben beschr"anktem Definitionsbereich ab einem gewissen Zeitpunkt auch nicht mehr in ein vorgegebenes Kompaktum $M\subset U$ zur"uckkehren darf. Dazu bemerken wir zun"achst, da"s wir $r>0$ finden k"onnen derart, da"s f"ur $$N\pdef \{x\in X\mid d_M(x)\leq r\}$$ gilt $N\subset U$. In der Tat ist das klar im Fall $U=X$ und folgt sonst, indem wir $2r=\op{inf}d_{X\backslash U}(M)$ setzen. Nun ist aber auch $N$ kompakt und die Norm unseres Vektorfelds ist folglich beschr"ankt auf $N$ und wir finden mit derselben Argumentation wie zuvor $\varepsilon >0$ derart, da"s f"ur jeden Flu"sweg $\gamma:I\ra U$ und $t\varepsilon$. Es ist deshalb nicht m"oglich, da"s ein maximaler Flu"sweg mit nach oben beschr"anktem Definitionsbereich unendlich oft abwechselnd einen Punkt aus $M$ und dann wieder einen Punkt aus $U\backslash N$ durchl"auft. Da wir aber bereits wissen, da"s er oberhalb jedes Zeitpunkts einmal $N$ verlassen mu"s, kann er dann nicht oberhalb jedes Zeitpunkts auch wieder nach $M$ zur"uckkehren. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of, zeitabh"angiger Fall}] \begin{enumerate}\item Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und $A:(\DR\times X)\lco W\ra \vec X$ ein stetiges und im Ort lokal partiell lipschitzstetiges zeitabh"angiges Vektorfeld gibt es f"ur jedes $(s,p)\in W$ unter allen Flu"swegen unseres Feldes mit Anfangswert $p$ zum Startzeitpunkt $s$ einen gr"o"sten; \item Dieser gr"o"ste Flu"sweg $\gamma$ hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall, und ist besagtes Intervall nach oben beschr"ankt, so verl"a"st $(t,\gamma(t))$ f"ur positive Zeiten jedes Kompaktum aus $W$ irgendwann endg"ultig. \end{enumerate} \label{plpp} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit {\bf lokal partiell lipschitzstetig} ist gemeint, da"s jeder Punkt von $W$ eine offene Umgebung in $W$ besitzen soll, auf der $A$ im Sinne von \ref{plp} partiell lipschitzstetig ist.\label{lppp} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Mutatis mutandis derselbe wie f"ur zeitunabh"angige Vektorfelder \ref{PiLin}, man mu"s sich nur abweichend auf die Variante \ref{plp} des lokalen Existenz-und Eindeutigkeitssatzes st"utzen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld $A:\DR^3\ra \DR^3$ mit $A(p)\in \DR^2\times 0\;\forall p\in \DR^2\times 0$ liegt jede Flu"skurve, die die $xy$-Ebene $\DR^2\times 0$ trifft, bereits ganz in der $xy$-Ebene. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld $A:X\lco U\ra \vec X$ auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums und eine Mannigfaltigkeit $M\subset X$ mit $M\As U$ und $A(p)\in{\op{T}}_pM\;\forall p\in M$ verl"auft jeder Flu"sweg von $A$, der $M$ trifft, bereits ganz in $M$. \end{Ubung} \subsection{Lineare Differentialgleichungen} \begin{Satz}[\textbf{Homogene lineare Differentialgleichungen}] Gegeben ein mehrpunktiges Intervall $I\subset \Bbb{R}$, ein endlichdimensionaler\label{LLDa} reeller Vektorraum $ V $ und eine stetige Abbildung $M: I \rightarrow \op{End} V $ bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = M(t) \gamma (t) \quad \forall t \in I \end{equation*} einen Untervektorraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$, den \emph{\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum!einer linearen Differentialgleichung!allgemeiner Fall} unserer Differentialgleichung. Weiter ist f"ur jedes $t_0 \in I$ das Auswerten bei $t_0$ ein Vektorraumisomorphismus $\mathcal{L} \overset{\sim} {\rightarrow} V ,$ $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, der \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Es ist unmittelbar klar, da"s unter der Annahme, $M$ sei $k$-mal stetig differenzierbar, unsere L"osungen $\gamma$ sogar $(k+1)$-mal stetig differenzierbar sein m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Der Satz gilt mit fast demselben Beweis auch im Fall eines beliebigen Banachraums $V,$ wenn man statt dem Raum $\op{End} V$ aller Endomorphismen von $V$ den normierten Raum $\cal{B}(V)$ aller stetigen Endomorphismen von $V$ betrachtet. Wir m"ussen dann nur am Schlu"s des Beweises etwas sorgf"altiger argumentieren, etwa in dem Sinne, da"s ein auf $[0,b)$ definierter Flu"sweg nach den Absch"atzungen im Beweis gleichm"a"sig stetig w"are und sich nach \ref{GSFo} stetig auf $[0,b]$ fortsetzen lie"se. Das Bild dieser stetigen Fortsetzung ist in diesem Fall wieder das gesuchte Kompaktum, das nicht verlassen wird, im Widerspruch zu \ref{plpp}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Explizite L"osung im eindimensionalen Fall}] Im eindimensionalen Fall $\op{dim}V=1$ oder der Einfachkeit halber noch besser $V=\DR$ haben wir in \ref{SepV} schon allgemeinere Differentialgleichungen explizit gel"ost. In diesem Fall ist $M$ eine reellwertige Funktion. Bezeichnen wir sie statt mit $M$ mit $h:I\ra\DR$ und bezeichnet $H:I\ra\DR$ eine Stammfunktion von $h$, so sind die L"osungen unserer Differentialgleichung $\gamma'(t)=h(t)\gamma(t)$ insbesondere schlicht die Funktionen $\gamma(t)=c\op{exp}(H(t))$ f"ur $c\in \DR$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Da"s unser L"osungsraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$ ein Untervektorraum ist und das Auswerten bei $t_0$ linear scheint mir beides offensichtlich. Es bleibt nur, Injektivit"at und Surjektivit"at des Auswertens zu zeigen. %Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir dazu $t_0 =0$ annehmen. Falls $I$ nicht offen ist, w"ahlen wir eine stetige Fortsetzung von $M$ auf ein offenes Intervall $J\supset I.$ Nun erf"ullt $\gamma : J\rightarrow V $ nach \ref{DGSF} unsere Differentialgleichung genau dann, wenn es ein Flu"sweg des zeitabh"angigen Vektorfelds $(t,v) \mapsto M(t) v$ auf $J \times V $ ist. Dies zeitabh"angige Vektorfeld ist lokal partiell lipschitzstetig im Sinne von \ref{lppp}, also gibt es nach \ref{plpp} zu jedem $(t_0,v_0)$ mit $t_0\in J$ und $v_0\in V$ unter allen Flu"swegen $\gamma$ mit $\gamma(t_0)=v_0$ einen gr"o"sten und insbesondere im Fall $t_0\in I$ h"ochstens einen derartigen auf $I$ definierten Flu"sweg. Das zeigt die Injektivit"at. F"ur den Beweis der Surjektivit"at reicht es zu zeigen, da"s der gr"o"ste Flu"sweg des zeitabh"angigen Vektorfelds $(t,v)\mapsto M (t) v$ mit $\gamma(t_0)=v_0$ auf ganz $J$ definiert ist. Sicher reicht es zu zeigen, da"s er bis zum oberen Ende von $J$ definiert ist. Sonst g"abe es aber $b \in J$ derart, da"s die L"osung nicht in positiver Richtung "uber $[t_0,b)$ hinaus fortgesetzt werden k"onnte. Es gibt jedoch $L$ mit $\| M(t)\| \leq L$ f"ur alle $t \in [t_0,b],$ daraus folgt f"ur $t\in [t_0,b)$ erst \begin{equation*} \| \gamma (t)\| = \left\| v_0 + \int_{t_0}^t M (\tau) \gamma (\tau) \diff \tau \right\| \leq \| v_0\| + L \int^t_{t_0} \|\gamma (\tau)\| \diff\tau \end{equation*} und dann $\| \gamma (t)\| \leq \| v_0\| \op{e}^{L(t-t_0)}$ nach dem Lemma von Gronwall \ref{Gronwall}. Dann w"are aber $\| \gamma (t)\|$ beschr"ankt auf $t\in [t_0,b)$, n"amlich durch $\|v_0\| \op{e}^{L(b-t_0)}$, im Widerspruch zur letzten Aussage im Satz "uber die Existenz und Eindeutigkeit \ref{PiLin} oder genauer ihrer Verallgemeinerung \ref{plpp} auf den Fall zeitabh"angiger Vektorfelder. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Inhomogene lineare Differentialgleichungen}] Gegeben $I\subset \Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall\label{LLD}, $ V $ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sowie stetige Abbildungen $M: I \rightarrow \op{End} V $ und $f:I\ra V$ bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \gamma' (t) = M(t) \gamma (t) +f(t)\quad \forall t \in I \end{equation*} einen affinen Teilraum $\mathcal{L}_{\op{i}}\subset \op{Ens} (I, V )$ mit dem L"osungsraum der zugeh"origen linearen Gleichung als Raum von Richtungsvektoren. F"ur jedes $t_0 \in I$ definiert weiter das Auswerten bei $t_0$ eine Bijektion $\mathcal{L}_{\op{i}} \overset{\sim}{\rightarrow} V ,$ $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, den \emph{\bf Anfangs\-wert\-isomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Dies Korollar gilt wieder mit fast demselben Beweis auch im Fall eines beliebigen Banachraums $V$, wenn man statt dem Raum $\op{End} V$ aller Endomorphismen von $V$ den normierten Raum $\cal{B}(V)$ aller stetigen Endomorphismen von $V$ betrachtet. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Die Differenz von je zwei L"osungen der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der zugeh"origen homogenen Gleichung, und die Summe einer L"osungen der homogenen und einer L"osung der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der inhomogenen Gleichung. Damit bleibt nur zu zeigen, da"s die inhomogene Gleichung "uberhaupt eine L"osung besitzt. Das folgt "ahnlich wie im homogenen Fall und ohne weitere Schwierigkeiten aus unseren allgemeinen Prinzipien. Wir geben nun aber sogar eine L"osungsmethode an, die Methode der \defind{Variation der Konstanten}. Dazu w"ahlen wir eine Basis $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ des L"osungsraums der homogenen Gleichung und fassen sie zusammen zu einer L"osung $X: I\ra V^n=\op{Hom}(\DR^n,V)$ der homogenen linearen Differentialgleichung $$X' (t) = M(t) X (t)$$ f"ur Funktionen $I\ra \op{Hom}(\DR^n,V).$ Da die Werte von $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ an jeder Stelle eine Basis von $V$ bilden, ist $X (t)$ an jeder Stelle ein Vektorraumisomorphismus. Nun machen wir f"ur die L"osung unserer inhomogenen Gleichung den Ansatz $\gamma(t)=X (t)c(t)$ mit $c:I\ra \DR^n$ differenzierbar alias $\gamma(t)=c_1(t)\gamma_1(t)+\ldots +c_n(t)\gamma_n(t)$ und finden $$ \begin{array}{lll} \gamma' (t) &= &X' (t)c(t)+X (t)c'(t)\\[2mm] &= & M(t) X (t)c(t) +X (t)c'(t)\\[2mm] &= &M(t)\gamma (t) +X (t)c'(t) \end{array} $$ Unser Ansatz f"uhrt also zu einer L"osung der inhomogenen Gleichung genau dann, wenn gilt $X (t)c'(t)=f(t)$ alias $c'(t)=X^{-1} (t)f(t).$ Ein $c$ mit dieser Eigenschaft existiert aber ganz offensichtlich, eben das Integral der rechten Seite. \end{proof} % \begin{Ubung} % Man berechne die Entwicklung um den Nullpunkt bis zu % den Termen dritten Grades einschlie"slich f"ur die L"osung % mit Anfangswert ?? der Differentialgleichung ??. % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verhalten benachbarter Flu"swege}] Sei $A :X\lco U \rightarrow \vec{X}$ ein lipschitzstetiges\label{VbeNN} Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen Raums mit Lipschitzkonstante $L$. Sind $\gamma_p, \gamma_q :[0,b] \rightarrow U$ Flu"swege zu Anfangswerten $p, q \in U$, so finden wir f"ur alle $t \in [0,b]$ die Absch"atzung \begin{eqnarray*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t) \| &=& \left\| p+ \int^t_0 A (\gamma_p (\tau) ) \diff \tau \;-q - \int^t_0 A (\gamma_q (\tau)) \diff \tau \right\|\\ &\leq & \| p-q\| + L \int^t_0 \| \gamma_p (\tau)- \gamma_q (\tau)\| \diff \tau \end{eqnarray*} und das Lemma von Gronwall \ref{Gronwall} liefert f"ur alle $t \in [0,b]$ die Absch"atzung \begin{equation*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t)\| \leq \| p-q\| \op{e}^{Lt} \end{equation*} Salopp gesprochen besagt diese Absch"atzung, da"s zwei Flu"swege eines lipschitzstetigen Vektorfelds \glqq h"ochstens exponentiell auseinanderlaufen k"onnen\grqq. Das Argument vom Schlu"s des Beweises des Satzes "uber homogene lineare Differentialgleichungen \ref{LLDa} mag man vergr"obernd dahingehend zusammenfassen, da"s sich in diesem Fall eine beliebige L"osung h"ochstens exponentiell von der Null-L"osung entfernt und insbesondere nicht in endlicher Zeit ins Unendliche entweichen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{L"osungswachstum f"ur lineare Differentialgleichungen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $M:[b,c)\ra \op{End}V$ stetig. Bezeichne $\|\;\|$ eine Norm auf $V$ und die\label{LwDD} zugeh"orige Operatornorm auf $\op{End}V$. Erf"ullt $M$ die Absch"atzung $\|M(t)\|\leq S(t)$ f"ur ein stetiges $S: [b,c)\ra \DR_{>0}$ und ist $h:[b,c)\ra \DR$ eine L"osung der Differentialgleichung $h'(t)= S(t)h(t)$ zum Anfangswert $h(b)=1$, so gilt f"ur alle L"osungen $\gamma: [b,c)\ra V$ der Differentialgleichung $\gamma'(t)=M(t)\gamma(t)$ die Absch"atzung $$\|\gamma(t)\|\leq h(t) \|\gamma(b)\| \quad\forall t\in [b,c)$$ \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Die Aussage gilt allgemeiner und mit demselben Beweis, wenn $V$ ein beliebiger reeller Banachraum ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unsere Differentialgleichung kann umgeschrieben werden zur Integralgleichung \begin{equation*} \gamma (t) = \gamma (b) + \int^t_b M (\tau) \gamma (\tau) \diff \tau \end{equation*} So erhalten wir die Absch"atzung \begin{equation*} \| \gamma (t) \| < C + \int^t_b S(\tau)\| \gamma (\tau) \| \diff \tau \end{equation*} f"ur alle $t \in [b,c)$ und alle $C$ mit $ \| \gamma (b) \|0$ und $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $M:(0,b]\ra \op{End}V$ stetig. Bezeichne $\|\;\|$ eine Norm auf $V$ und die zugeh"orige Operatornorm auf $\op{End}V$. Erf"ullt $M$ die Absch"atzung $\|M(t)\|0}$, so gilt f"ur alle L"osungen $\gamma(t)$ der Differentialgleichung $\gamma'(t)=M(t)\gamma(t)$ die Absch"atzung $$\|\gamma(t)\|\leq \|\gamma(b)\| (b/t)^N$$ \end{Korollar*} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Nahe lineare Differentialgleichungen haben nahe L"osungen}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler normierter $\DR$-Vektorraum und $b>0$. Seien $A,B:[0,b]\ra \op{End}V$ stetig mit durch $M>0$ beschr"ankter Operatornorm. F"ur L"osungen $\phi,\psi:[0,b]\ra V$ der Differentialgleichungen $\phi'(t)=A(t)\phi(t)$ und $\psi'(t)=B(t)\psi(t)$ mit demselben Anfangswert $v=\phi(0)=\psi(0)$ zeige\label{NDGF} man die Absch"atzung $$\|\phi(t)-\psi(t)\|\leq \op{exp}(t\|A-B\|_\infty\cdot \|v\| {\op{e}}^{Mb})$$ Hinweis: Man finde zun"achst mit \ref{VbeNN} Schranken f"ur die L"osungen und dann durch nochmalige Anwendung eine Schranke f"ur ihre Differenz. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bestimmen Sie alle L"osungen der linearen Differentialgleichung $y' + y\sin (x) = \cos (x)\sin (x)$. \end{Ubung} \subsection{L"osungen als Funktionen ihres Anfangswerts*} \begin{Definition} Ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ besitzt nach \ref{PiLi} zu jedem Anfangswert $q\in U$ einen\label{DFlu} gr"o"sten Flu"sweg $\gamma_q:I_q\ra U$. Wir erkl"aren seinen {\bf Flu"s}\index{Flu"s!von Vektorfeld} als die Abbildung $$\Phi:(t,q)\mapsto \gamma_q(t)$$ von der Menge $\tilde{U}\pdef\{(t,q)\in \DR\times U\mid t\in I_q\},$ dem {\bf Definitionsbereich des Flusses}, in den Definitionsbereich $U$ unseres Vektorfelds. Allgemeiner vereinbaren wir dieselbe Definition f"ur jedes Vektorfeld, das zu jedem Anfangswert einen gr"o"sten Flu"sweg besitzt. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{L"osungen als Funktionen ihres Anfangswerts}] Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{ALAW} auf einer offenen Teilmenge eines %vollst"andigen normierten endlichdimensionalen reellen Raums hat sein Flu"s offenen Definitionsbereich und ist ebenfalls glatt. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Auch dieser Satz gilt mit fast demselben Beweis allgemeiner f"ur jeden\label{ALAWk} Banachraum. Beim Beweis zeigen wir sogar, da"s f"ur jedes $\mathcal C^k$-Vektorfeld mit $k\geq 1$ sein Flu"s einen offenen Definitionsbereich hat und auch von der Klasse $\mathcal C^k$ ist. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Gegeben ein %vollst"andiger normierter endlichdimensionaler reeller Raum $X$, ein $\cal{C}^k$-Vektorfeld $A :X\lco U \rightarrow \vec{X}$ mit $k\geq 1$ und ein Punkt $p \in U$ w"ahlen wir zun"achst offene Umgebungen $V \co U$ von $p$ und $W \co \vec{X}$ von Null mit $V +W \subset U.$ Weiter w"ahlen wir eine Norm auf $\vec X$. Dann betrachten wir f"ur ein mehrpunktiges kompaktes reelles Intervall $I \subset \Bbb{R}$ mit $0\in I$ den affinen Raum $$\mathcal{C}^1_p (I,X)$$ aller stetig differenzierbaren Wege $\gamma : I \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$. Seinen Richtungsraum $\mathcal{C}^1_0 (I,\vec{X})$ versehen wir mit der Norm $ \|\varphi \|_\infty + \| \varphi'\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach \ref{VSWnnc} erhalten wir so einen reellen Banachraum. Nun betrachten wir die Abbildung $$ \begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R} \times V \times \mathcal{C}^{1}_0 (I,W) &\rightarrow & \mathcal{C} (I,\vec{X})\\ &(\tau\;,\;q\;,\;\psi)\;\;\;&\mapsto & \psi'-\tau (A\circ (q+\psi)) \end{array} $$ Genau dann wird $(\tau,q,\psi)$ auf Null abgebildet, wenn $t\mapsto \gamma (t) = q + \psi (t)$ ein Flu"sweg des reskalierten Vektorfelds $\tau A$ zum Anfangswert $\gamma (0) =q$ ist. Nach Summenregel \ref{SuRe}, Produktregel \ref{PRm} und dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{SFd} ist $F$ differenzierbar mit Differential \begin{equation*} (\tiff_{(\tau, q, \psi)} F) (h,v,\alpha) = \alpha' - h (A \circ (q +\psi)) - \tau ((\tiff A) \circ (q + \psi, v +\alpha)) \end{equation*} Insbesondere gilt $(\tiff_{(0,p,0)} F) (0,0,\alpha) = \alpha'$, und da $\alpha \mapsto \alpha'$ eine stetige und stetig umkehrbare Bijektion $\mathcal{C}^{1}_0 (I,\vec{X}) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{C} (I, \vec{X})$ definiert und $F$ nach unserer Formel stetig differenzierbar ist, d"urfen wir den Satz "uber implizite Funktionen \ref{IFBR} anwenden. Er liefert uns ein Paar $(A_1, B_1)$ mit $(0,p) \in A_1 \co \Bbb{R} \times V$ und $0 \in B_1 \co \mathcal{C}^{1}_0 (I,W)$ derart, da"s es f"ur jedes $(\tau, q) \in A_1$ genau ein $\psi_{\tau,q} \in B_1$ gibt, f"ur das $\gamma_{\tau,q} = q + \psi_{\tau,q}$ ein auf $I$ definierter Flu"sweg des reskalierten Vektorfelds $\tau A$ mit Anfangswert $q$ ist. W"ahlen wir also etwa $I=[-1,1],$ so finden wir in $A_1$ eine offene Umgebung von $(0,p)$ der Gestalt $(-\eta,\eta)\times D,$ und daselbst ist dann auch der Flu"s definiert. Da Flu"swege unter Zeitverschiebung Flu"swege bleiben, zeigt das schon mal, da"s unser Flu"s einen offenen Definitionsbereich hat. Weiter ist $F$ nach obiger Formel f"ur sein Differential sogar von der Klasse $\cal{C}^k$ im Sinne von \ref{stdd}. Damit zeigt der Satz "uber implizite Funktionen mit den Resultaten und Definitionen von \ref{Habl} aber auch, da"s die Zuordnung $(\tau,q) \mapsto \gamma_{\tau,q}$ eine $\cal{C}^k$-Abbildung $(-\eta,\eta)\times D \rightarrow \mathcal{C}^{1} (I,U)$ ist. Verkn"upfen wir diese mit dem Auswerten an einer festen Stelle $t \in I\backslash 0,$ einer stetigen affinen Abbildung, und beachten $\gamma_{\tau,q}(t)= \gamma_{q}(\tau t)$, so folgt, da"s der Flu"s selbst eine $\cal{C}^k$-Abbildung ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SFd} Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A:X\lco U \rightarrow Y$ stetig differenzierbar. F"ur jedes Kompaktum $K$ ist dann auch die Abbildung $(A \circ) : \mathcal{C} (K,U) \rightarrow \mathcal{C} (K,Y)$ differenzierbar und ihr Differential pa"st in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{C} (K,U) \times \mathcal{C} (K,\vec{X})\ar[d]^\wr \ar[r]^-{\tiff(A\circ)} & \mathcal{C} (K,\vec{Y}) \ar@{=}[d]\\ \mathcal{C}(K,U \times \vec{X}) \ar[r]^-{(\tiff A)\circ} & \mathcal{C} (K,\vec{Y}) } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier verstehen wir f"ur jeden normierten Raum $Z$ den Abbildungsraum $\mathcal{C} (K,Z)$ mit seiner Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz und identifizieren den Richtungsraum unseres Abbildungsraums in der hoffentlich offensichtlichen Weise mit $\mathcal{C}(K,\vec{Z})$. In der oberen Horizontalen meinen wir die Abbildung $(\gamma,\alpha)\mapsto (\tiff_\gamma(A\circ))(\alpha)$ und in der unteren Horizontalen meint $\tiff A$ entsprechend die Abbildung $\tiff A : U \times \vec{X} \rightarrow \vec{X}$, $(x,v) \mapsto (\tiff_x A) (v)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, an jeder Stelle $\gamma \in \mathcal{C}(K,U)$ die Differenzierbarkeit zu untersuchen und das Differential $\tiff_\gamma (A \circ )$ zu bestimmen. Gegeben $\varepsilon > 0$ gibt es f"ur alle $x\in\gamma( K)$ ein gr"o"stes $\eta(x)=\eta_\varepsilon(x)\in (0,1)$ derart, da"s gilt $\op{B}(x;\eta(x))\subset U$ und \begin{equation*} \| x - z \| < \eta(x) \;\RA\; \| \tiff_x A - \tiff_z A\| \leq \varepsilon \end{equation*} Man erkennt unschwer, da"s $\eta:\gamma( K)\ra (0,1)$ stetig ist, ja sogar lipschitzstetig mit Lipschitz-Konstante Zwei. Sei $\delta=\delta_\varepsilon>0$ das Minimum von $\eta$ auf unserem Kompaktum $\gamma( K).$ F"ur $x \in \gamma(K)$ und $h \in \vec{X}$ mit $\| h\| \leq \delta$ liefert dann der Schrankensatz oder vielmehr sein Korollar \ref{Asc} die Absch"atzung \begin{equation*} \| A (x + h) - A(x) - (\tiff_x A)(h) \| \leq \| h \| \varepsilon \end{equation*} F"ur jedes $\alpha : K \rightarrow \vec{X}$ mit $\| \alpha \| \leq \delta$ gilt also \begin{equation*} \| A \circ (\gamma + \alpha) - A \circ \gamma - (\tiff A) \circ (\gamma , \alpha)\|\leq \|\alpha\|\varepsilon \end{equation*} Das war im wesentlichen die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Normalform eines Vektorfelds ohne Nullstelle}] Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{SFVV} auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, das an einer festen Stelle nicht verschwindet, ist unser Feld auf einer offenen Umgebung dieser Stelle unter einem Diffeomorphismus verwandt zu einem konstanten Feld. \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTLi} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von Satz \ref{SFVV} zur lokalen Normalform eines Vektorfelds ohne Nullstelle \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} In Koordinaten gesprochen hat also jedes Vektorfeld, da"s an einer vorgegebenen Stelle nicht verschwindet, in geeigneten lokalen Koordinaten $x_1,\ldots, x_n$ um diese Stelle die Gestalt $\frac{\partial}{\partial x_1}.$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $A:X\lco U\ra \vec{X}$ unser Vektorfeld und $p\in U$ die vorgegebene Stelle. Wir w"ahlen $\vec{Y}\subset \vec{X}$ komplement"ar zur Geraden mit Richtungsvektor $A_p$ und w"ahlen einen Isomorphismus $L:\DR^{n-1}\sira \vec{Y}.$ Gegeben ein glattes Vektorfeld $A$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen affinen Raums schreiben wir im folgenden $A^t q$ f"ur die Stelle $A^t q\in U$, an der der Punkt $q\in U$ landet, wenn er sich f"ur die Zeitspanne $t$ mit dem Flu"s des Vektorfelds $A$ treiben l"a"st. Man zeigt m"uhelos, da"s f"ur hinreichend kleines $\varepsilon>0$ und eine hinreichend kleine Umgebung $W\co \DR^{n-1}$ des Ursprungs die Abbildung $(-\varepsilon,\varepsilon)\times W\ra U,$ $(t,\vec w)\mapsto A^t(p+L\vec w)$ sinnvoll definiert und ein Diffeomorphismus der gew"unschten Art ist. \end{proof} \subsection{Erg"anzung zu differentiellen Ungleichungen*} \begin{Lemma*}[\textbf{Nicht-strikte differentielle Ungleichungen}] Seien eine stetig differenzierbare Funktion $K:\DR^2\lco U\ra \DR$ und $af(s)\}$$ zu $[a,b)$ und wir h"atten $g(t)=f(t)$. Wir setzen $y\pdef g(t)=f(t)$. F"ur jedes $(t,y)\in U$ gibt es nach Satz \ref{ALAW} "uber den Flu"s, genauer seiner Variante \ref{ALAWk} f"ur stetig differenzierbare Vektorfelder, positive $\varepsilon,\delta >0$ und $F:(t-\delta,t+\delta)\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)\ra \DR$ stetig differenzierbar mit $(s,F(s, z))\in U$ f"ur alle $(s,z)$ aus dem Definitionsbereich von $F$ und $k_z:s\mapsto F(s,z)$ einer L"osung der Differentialgleichung $k_z'(s)=K(s,k_z(s))$ mit Anfangswert $k_z(t)=z$ f"ur alle $z\in (y-\varepsilon, y+\varepsilon)$. Indem wir, um uns zus"atzliches Nachdenken zu ersparen, m"oglicherweise $\varepsilon$ und $\delta$ noch verkleinern, d"urfen wir sogar annehmen, da"s die Abbildung $\bar F:(s,z)\mapsto (s, F(s,z))$ offenes Bild $V\co U$ und eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion $\bar H:V\sira (t-\delta,t+\delta)\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)$ hat, die wir nat"urlich als $\bar H(s,u)=(s,H(s,u))$ schreiben k"onnen mit $H:V\ra\DR$. Nun k"onnen wir $\delta>0$ sogar so klein w"ahlen, da"s gilt $(s,f(s)),(s,g(s))\in V$ f"ur alle $s\in [t,t+\delta)$. Offensichtlich gilt $\partial_uF>0$ und dann auch $\partial_u H>0$ auf den jeweiligen Definitionsbereichen. Wir erreichen also bereits den gesuchten Widerspruch, wenn wir $H(s, g(s))\leq H(s,k_y(s))\leq H(s,f(s))$ zeigen f"ur $s\in [t,t+\delta)$. Es reicht, die erste Ungleichung zu zeigen. Nach Konstruktion von $H$ gilt $z=H(s,k_z(s))$ f"ur alle $(s,z)$. Damit m"ussen wir einerseits nur noch $H(s, g(s))\leq y$ zeigen f"ur $s\in [t,t+\delta)$, und andererseits erhalten wir $$0=\frac{\diff}{\diff s}H(s,k_z(s)) = \frac{\partial H}{\partial s}(s,k_z(s))+ \frac{\partial H}{\partial u}(s,k_z(s))k_z'(s)% = $$ alias $0=\frac{\partial H}{\partial s}(s,u)+ \left(\frac{\partial H}{\partial u}(s,u)\right)K(s,u)$ f"ur alle $(s,u)\in V$. Insbesondere haben wir $$ \begin{array}{lll} \frac{\diff}{\diff s}H(s,g(s)) &=& \frac{\partial H}{\partial s}(s,g(s))+ \frac{\partial H}{\partial u}(s,g(s))g'(s) \\[2mm]&\leq& \frac{\partial H}{\partial s}(s,g(s))+ \left(\frac{\partial H}{\partial u}(s,g(s))\right)K(s,g(s))=0 \end{array} $$ Daraus folgt aber sofort $H(s, g(s))\leq y$ f"ur $s\in [t,t+\delta)$. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: