\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Umkehrsatz} \begin{Definition} Eine im Sinne von \ref{SDi} stetig differenzierbare Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen normierter R"aume hei"st auch eine \defnoind{${\cal{C}}^1$-Abbildung}\index{C@$\cal{C}^1$-Ab\-bil\-dung}. Der Buchstabe $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ oder franz"osisch \glqq continu\grqq, zu deutsch stetig, und die hochgestellte $1$ deutet an, da"s nur die Existenz und Stetigkeit der \emph{ersten} Ableitung gefordert wird.\label{DefDif} Eine bijektive ${\cal{C}}^1$-Abbildung, deren Umkehrung auch eine ${\cal{C}}^1$-Abbildung ist, hei"st ein\index{C@$\cal{C}^1$-Diffeomorphismus} {\bf ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus}\index{Diffeomorphismus!${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus}. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Umkehrsatz}]\index{Umkehrsatz} Seien $X,Y$ endlichdimensionale reelle\label{UKA} affine R"aume und $f: X\lco U \ra Y$ stetig differenzierbar. Ist an einer Stelle $p \in U$ das Differential ein Isomorphismus $\tiff _pf: \vec{X} \sira \vec{Y}$, so induziert $f$ einen ${\cal{C}}^1$-Diffeo\-mor\-phis\-mus zwischen einer offenen Umgebung von $p$ in $U$ und einer offenen Umgebung von $f(p)$ in $Y$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In Formeln gibt es f"ur unser $p$ also $V$ mit $U\lco V\ni p$ und $Y\lco f(V)$ derart, da"s die induzierte Abbildung $f:V\sira f(V)$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNLT} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine stetig differenzierbare Abbildung $f:\DR^2\lco U\ra \DR^2$ mit "uberall injektivem Differential ist im allgemeinen nur \glqq lokal injektiv\grqq\ selbst dann, wenn $U$ \glqq wegzusammenh"angend\grqq\ ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen diesen Satz nach einigen Vorbereitungen zu Ende dieses Abschnitts. Als erste Pr"ufung f"ur unseren Umkehrsatz "uberlege man sich die G"ultigkeit der Behauptung im Spezialfall $X=Y=\Bbb{R}$. Die Kettenregel liefert im "ubrigen f"ur das Differential des Inversen eines ${\cal{C}}^1$-Diffeo\-morphis\-mus sofort die Formel $$\tiff _{f(p)} (f^{-1})=(\tiff _p f)^{-1}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{UKAa} Unser Umkehrsatz gilt auch f"ur unendlichdimensionale normierte R"aume $X$ und $Y$, wenn wir zus"atzlich annehmen, da"s sie vollst"andig sind. Der Beweis bleibt derselbe, wir m"ussen dabei nur zus"atzlich voraussetzen, da"s das Inverse des Vektorraumisomorphismus $\tiff _p f$ stetig ist. Der Satz vom offenen Bild \eref{BSU}{AN3} wird sp"ater einmal zeigen, da"s jeder stetige Vektorraumisomorphismus von vollst"andigen normierten Vektorr"aumen eine stetige Umkehrabbildung hat, aber das soll vorerst weder bewiesen noch verwendet werden. Die Allgemeinheit unendlichdimensionaler R"aume ist durchaus von Interesse, er"offnet sie doch einen direkten Zugang zum Studium von L"osungen gew"ohnlicher Differentialgleichungen. Das wird in \ref{ALAW} ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Polarkoordinaten}] Wir betrachten auf der geschlitzten Ebene die Funktionen $$r,\varphi: \DR^2\backslash (\DR_{\leq 0}\times \{0\})\ra\DR $$ gegeben durch den Abstand $r(x,y)$ des Punktes $(x,y)$ vom Ursprung, genannt {\bf Radius}, in kartesischen Koordinaten gegeben durch $r(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}$, und den orientierten {\bf Winkel} $\varphi(x,y)$ im Bogenma"s von der $x$-Achse zur Ursprungsgerade durch $(x,y)$, in kartesischen Koordinaten gegeben durch\label{PoKo} $$\varphi(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \op{arctg}(y/x)\in (-\pi/2,\pi/2)&\text{ f"ur }x>0;\\ \op{arccot}(x/y)\in (0,\pi)&\text{ f"ur }y>0;\\ \op{arccot}(x/y)\in (-\pi,0)&\text{ f"ur }y<0. \end{array}\right.$$ Diese Funktionen bilden ein lokales Koordinatensystem auf $\DR^2$ und hei"sen {\bf Polarkoordinaten}.\index{Polarkoordinaten} Genauer bilden sie zusammen einen $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus $$(r,\varphi): \DR^2\backslash (\DR_{\leq 0}\times \{0\})\sira \DR_{>0}\times (-\pi,\pi)$$ Die Umkehrabbildung ist die durch $P(r,\varphi)\pdef(r\cos\varphi, r\sin\varphi)$ gegebene Polarkoordinatenabbildung $$P:\DR_{>0}\times (-\pi,\pi) \sira \DR^2\backslash (\DR_{\leq 0}\times \{0\})$$ Man mag sie $P=(x,y)$ notieren mit $x(r,\varphi)=r\cos\varphi$ und $y(r,\varphi)=r\sin\varphi$. Die Polarkoordinatenabbildung l"a"st sich durch dieselben Formeln zu einer $\mathcal C^1$-Abbildung $P:\DR^2\ra \DR^2$ fortsetzen, diese Fortsetzung ist aber dann kein Diffeomorphismus mehr. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Punkt, der unter einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, hei"st ein \defind{Fixpunkt} besagter Abbildung. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Abbildung $f$ von metrischen R"aumen hei"st \defind{Lipschitz-stetig}, wenn es eine Konstante $\lambda>0$ gibt mit\label{LiSt} $$d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)$$ f"ur alle $x,y$ im Ausgangsraum. Wir sagen dann auch, $f$ sei {\bf lipschitzstetig zur} \defind{Lipschitz-Konstante} $\lambda$. Eine Abbildung $f$ zwischen metrischen R"aumen hei"st {\bf kontrahierend},\index{kontrahierend!Abbildung metrischer R"aume} wenn sie lipschitzstetig ist zu einer Lipschitzkonstante $\lambda<1$, wenn es also $\lambda < 1$ gibt mit $$d(f(x), f(y)) \leq \lambda d (x,y) \quad \forall x,y $$ % Jedes derartige $\lambda$ nennen wir dann einen % \defind{Kontraktionsfaktor} unserer Abbildung % und sagen dann etwa, unsere Abbildung sei \glqq kontrahierend mit % Kontraktionsfaktor $\lambda$\grqq. \end{Definition} \begin{Beispiel} Nat"urlich ist jede lipschitzstetige Abbildung stetig. Eine Abbildung $\DR\ra\DR$ ist lipschitzstetig zu einer Lipschitzkonstante $\lambda$ genau dann, wenn alle ihre Sekantensteigungen betragsm"a"sig beschr"ankt sind durch $\lambda$. Es ist hoffentlich anschaulich klar, da"s im Fall $\lambda <1$ der Graph einer derart \glqq flachen\grqq\ Funktion von $\DR$ nach $\DR$ oder auch von einem nichtleeren reellen Kompaktum $K$ in sich selber $f:K\ra K$ an genau einer Stelle die Hauptdiagonale alias den Graphen der Identit"at kreuzen mu"s. Der Cosinus ist als Abbildung $\DR\ra\DR$ nicht kontrahierend, das Supremum seiner Sekantensteigungen ist ja Eins. Allerdings ist $x\mapsto \lambda\cos(x)$ f"ur $|\lambda|<1$ kontrahierend und auch die Einschr"ankung des Cosinus zu einer Abbildung $[0,1]\ra[0,1]$ ist kontrahierend. Den im Banach'schen Fixpunktsatz versteckten Algorithmus zur Bestimmung des Fixpunktes illustriert nebenstehende Abbildung. \end{Beispiel} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0023} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Stellt man den Taschenrechner auf Bogenma"s und dr"uckt wiederholt die Taste \glqq cos\grqq, so wird die Anzeige schnell stabil. Der Cosinus liefert n"amlich eine kontrahierende Selbstabbildung des Intervalls $[0,1]$ und was wir sehen ist ein Illustration f"ur den Beweis des Fixpunktsatzes \ref{BFS}. \end{minipage} \end{figure} \begin{Theorem}[\textbf{Banach'scher Fixpunktsatz}\index{Banach'scher Fixpunktsatz}] Jede kontrahierende Selbstabbildung eines\label{BFS} vollst"andigen nichtleeren metrischen Raums besitzt genau einen Fixpunkt. \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] Seien $f: M \ra M$ unsere kontrahierende Selbstabbildung und $\lambda<1$ eine Lipschitzkonstante. Wir w"ahlen $x_0 \in M$ und betrachten die rekusiv definierte Folge $x_{n+1} = f(x_{n})$. Mit Induktion folgt $d(x_{n},x_{n+1}) \leq \lambda^{n} d(x_{0},x_{1})$ und mit der Dreiecksungleichung folgt f"ur $n \leq m$ $$d(x_{n},x_{m+1} ) \leq (\lambda^{n}+ \lambda^{n+1}+ \ldots + \lambda^{m}) d(x_{0},x_{1}) \leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_{0},x_{1})$$ Also ist unsere Folge $x_n$ eine Cauchy-Folge und konvergiert aufgrund der Vollst"andigkeit \ref{vmR} gegen einen Punkt $\lim_{n\ra \infty} x_{n} = p \in M$. Da nun eine kontrahierende Abbildung notwendig stetig ist, folgt aus der Vertauschbarkeit \ref{SSKFOm} von Grenzwerten mit dem Anwenden stetiger Abbildungen $$f(p)=\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \lim_{n\ra \infty} x_{n+1}=p$$ und wir haben einen Fixpunkt gefunden. Ist $q$ ein zweiter Fixpunkt, so folgt $d(p,q)= d(f(p), f(q)) \leq \lambda d(p,q)$ f"ur $\lambda < 1$, also $d(p,q) =0$, also $p =q$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Lassen wir in der Ungleichungskette aus obigem Beweis $m$ nach Unendlich streben, so erhalten wir f"ur den Abstand der $n$-ten Approximation $x_n$ zum Fixpunkt $p$ zus"atzlich die Absch"atzung $$d(x_{n},p ) \leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_{0},x_{1})$$ \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen}] Seien $X$ ein vollst"andiger normierter Raum und $f : X\lco V \rightarrow X$ eine Abbildung,\label{VHBa} deren Differenz zur Identit"at $$(f-\op{id}) : V \rightarrow \vec{X}$$ kontrahierend ist alias lipschitzstetig zu einer Lipschitzkonstante $\lambda <1$. So ist unsere Abbildung injektiv mit offenem Bild $f (V)\co X$ und ihre Umkehrabbildung\label{VHBaa} $f^{-1} : f(V) \rightarrow V$ ist lipschitzstetig zur Lipschitzkonstante $1/(1-\lambda)$. \end{Satz} \begin{Beispiel} In Fall einer differenzierbaren Funktion $f:V\ra\DR$ auf einem offenen Intervall $V\co\DR$ ist unsere Annahme gleichbedeutend zur Bedingung $1-\lambda\leq f'(x)\leq 1+\lambda\;\forall x\in V$ und die Folgerung ist klar aus Analysis 1. Anhand dieses Falls kann ich selber den Beweis am besten nachvollziehen. Ganz konkret mag man $f(x)\pdef \sin (x)$ auf dem Intervall $V\pdef (0,1)$ nehmen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Unter einer {\bf Norm}\index{Norm!auf abelscher Gruppe} auf einer abelschen Gruppe $X$ verstehen wir eine Abbildung\label{NabG} von unserer Gruppe in die nichtnegativen reellen Zahlen mit $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ und $\|v\|=0\RA v=0$ und $\|- v\|=\|v\|$ f"ur alle $v,w\in X$. Der Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} gilt mit demselben Beweis f"ur jede vollst"andige normierte abelsche Gruppe. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Man kann sogar zeigen, da"s jede stetige injektive Abbildung von einer offenen Teilmenge eines $\DR^n$ in den $\DR^n$ offene Teilmengen auf offene Teilmengen abbildet und folglich eine stetige Umkehrabbildung hat. Dieser \glqq Satz "uber die Invarianz von Gebieten\grqq\ gilt jedoch nur im endlichdimensionalen Kontext und sein Beweis ben"otigt st"arkere Hilfsmittel, vergleiche etwa \eref{IvG}{TS}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Der Leser mag zur "Ubung aus den Argumenten des anschlie"senden Beweises folgern, da"s unter den Annahmen des Umkehrsatzes f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} genauer gilt $${\op{B}}(p;R)\subset V\;\;\RA\;\; {\op{B}} (f(p); (1-\lambda)R)\subset f(V)$$ \end{Bemerkunge} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, $X$ sei ein vollst"andiger normierter Vektorraum. Die Injektivit"at von $f$ ergibt sich, da aus unserer Annahme $\|(f-\op{id})(x)-(f-\op{id})(y)\|\leq \lambda\|x-y\|$ sofort folgt $\|y-x\|-\|f (x)-f (y)\|\leq \lambda\|x-y\|$ alias $$ (1-\lambda)\|x-y\|\leq \|f (x)-f (y)\|$$ Durch Einsetzen von $x=f^{-1} (p)$ und $y=f^{-1} (q)$ folgt weiter ohne Schwierigkeiten $ (1-\lambda) \| f^{-1}(p) - f^{-1} (q)\| \leq \| p-q \| $ und damit sogar die Lipschitzstetigkeit der Umkehrfunktion $f^{-1}:f(V)\ra V$. Bis hierher brauchten wir weder $V$ offen noch $X$ vollst"andig anzunehmen und unsere Aussagen sind wenig mehr als ein Spezialfall der allgemeinen Resultate f"ur \glqq nicht abstandsverkleinernde\grqq\ Abbildungen metrischer R"aume aus "Ubung \ref{SSESDl}. Der wesentliche Punkt besteht darin, zu zeigen, da"s $f$ offenes Bild hat. Dazu betrachten wir f"ur alle $y \in X$ die Abbildung $$\begin{array}{cccl} k_y :& V &\rightarrow &X\\ &x & \mapsto &x - f(x) + y \end{array}$$ Offensichtlich sind die Fixpunkte von $k_y$ die Urbilder von $y$ unter $f$. Offensichtlich ist $k_y$ kontrahierend, genauer gilt \begin{equation*} \| k_y (x) - k_y (z) \| \leq \lambda \|x -z\| \quad \forall x,z \in V \end{equation*} Gegeben $p \in V$ finden wir nun einen Radius $R>0$ derart, da"s der \glqq abgeschlossene Ball\grqq\ $${\op{A}}(p;R)\pdef \{x\in X\mid \|p-x\|\leq R\}$$ ganz in $V$ enthalten ist. F"ur $y \in {\op{B}} (f(p);(1-\lambda) R)$ bildet dann $k_y$ unseren abgeschlossenen Ball ${\op{A}}(p;R)$ in sich ab, denn f"ur diese $y$ gilt $\|p-k_y (p) \|=\|f(p)-y\|<(1-\lambda)R$ und damit % \begin{eqnarray*} % \|p -x\| \leq R &\Rightarrow & \|k_y (p) - k_y (x) \| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| (p-k_y(x)) + (y - f(p))\| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| p-k_y(x) \|-\|y - f(p)\| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| p-k_y (x) \| \leq R % \end{eqnarray*} erhalten wir f"ur $x\in {\op{A}}(p;R)$ sogar \begin{eqnarray*} \|p - k_y (x) \| \leq \|p-k_y (p) \| + \|k_y (p) - k_y (x) \| < (1-\lambda)R + \lambda R = R \end{eqnarray*} Wenden wir den Banach'schen Fixpunktsatz \ref{BFS} auf die Selbstabbildung $k_y$ von $ {\op{A}}(p;R)$ an, das nach \ref{SSABVV} als abgeschlossene Teilmenge eines vollst"andigen metrischen Raums vollst"andig ist, so finden wir, da"s $k_y$ einen Fixpunkt in ${\op{A}}(p;R) $ haben mu"s. Es folgt $f({\op{A}}(p;R)) \supset {\op{B}} (f(p); (1-\lambda)R)$ und das zeigt, da"s das Bild von $f$ offen sein mu"s, in Formeln $f(V)\co X$. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUFu} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering F"ur eine Abbildung $f$ von einer offenen Teilmenge $V\co \DR$ nach $\DR$ ist $(f-\op{id})$ kontrahierend mit Kontraktionsfaktor $\lambda$ genau dann, wenn alle Sekantensteigungen von $f$ im Intervall $[1-\lambda, 1+\lambda]$ liegen. In diesem Fall sollte es anschaulich klar sein, da"s $f$ injektiv und offen ist und da"s die Sekantensteigungen der Umkehrfunktion betragsm"a"sig beschr"ankt sind durch $(1-\lambda)^{-1}$. In diesem Fall liegen alle Sekantensteigungen der Umkehrfunktion sogar im Intervall $[(1+\lambda)^{-1}, (1-\lambda)^{-1} ]$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung im Fall einer Ver"anderlichen}] Im Fall einer Ver"anderlichen kann man sich den Beweis auch anschaulich gut klarmachen. Die Annahmen bedeuten dann, da"s die Sekantensteigungen von $f$ alle im Intervall $[1-\lambda,1+\lambda]$ liegen. Die Abbildung $(x,y)\mapsto (k_y(x),y)$ bedeutet anschaulich, da"s wir von $(x,y)$ senkrecht auf den Graph der Funktion $f$ gehen und von dort parallel zur Hauptdiagonale wieder auf die Horizontale in der vorgegebenen H"ohe $y$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.6\textheight]{SkriptenBilder/BildUKS}\\[4mm] \noindent Das Verfahren aus dem Beweis von \ref{UKA} ist auch durchaus von praktischer Bedeutung: Ausgeschrieben besagt es, da"s wir eine L"osung $x$ der Gleichung $f(x)=y$ unter geeigneten Annahmen finden k"onnen als den Fixpunkt der kontrahierenden Abbildung $$\begin{array}{cccl} k_{y} :& V &\ra &X\\ &x & \mapsto & x + (\tiff_pf)^{-1} \left(y-f(x)\right) \end{array}$$ f"ur $p$ mit $f(p)$ hinreichend nah bei $y$. Es ist dem Newtonverfahren aus \eref{NTV}{AN1} eng verwandt, stimmt jedoch nicht damit "uberein: Beim Newtonverfahren etwa im Fall einer Ver"anderlichen \glqq gehen wir ja immer auf der Tangente bei $(x,f(x))$ wieder herunter zur $x$-Achse\grqq, wohingegen wir bei unserer Korrektur $k_y$ aus besagtem Beweis stattdessen auf der Parallelen durch $(x,f(x))$ zur Tangente bei $(p,f(p))$ heruntergehen, wie im Bild dargestellt. \end{figure} \begin{proof}[Beweis des Umkehrsatzes f"ur $\mathcal C^1$-Abbildungen \ref{UKA}] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit seien $X,Y$ Vektorr"aume. Sicher reicht es, wenn wir den Satz f"ur $(\tiff_p f)^{-1}\circ f$ statt f"ur $f$ zeigen. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X =Y$ und $\tiff_p f = \op{id}$ annehmen. Es folgt $\tiff_p (f-\op{id})=0$. W"ahlen wir eine Norm auf $X$ und beachten, da"s $f$ stetig differenzierbar angenommen war, so folgt leicht die Existenz eines offenen Balls $B$ um $p$ mit $\| \tiff_x (f-\op{id}) \| \leq 1/2 \; \forall x \in B$. Nach der Variante zum Schrankensatz aus "Ubung \ref{Asc} ist dann jedoch $(f-\op{id}) : B \rightarrow X$ kontrahierend mit Lipschitzkonstante $\leq 1/2$. Mit unserem Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} angewandt auf $V\pdef B$ folgt, da"s $f$ eine Injektion mit offenem Bild $f:B\hra X$ liefert, deren Umkehrung lipschitzstetig ist zur Lipschitzkonstante Zwei. Um die Differenzierbarkeit von $f^{-1}:f(B)\ra B$ an der Stelle $f(p)$ zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s gilt $p=0$ und $f(p)=0$. Da wir $f$ differenzierbar bei $p$ mit Differential $\op{id}$ angenommen hatten, k"onnen wir dann schreiben $$f(x) = x + \|x\| \varepsilon (x) $$ f"ur eine Abbildung $\varepsilon:B\ra X$, die stetig ist bei $0$ und die dort den Wert Null annimmt. Setzen wir hier $x = f^{-1} (y)$ ein mit $y\in f(B)$, so ergibt sich $$y = f^{-1} (y) + \| f^{-1}(y)\| \;\varepsilon (f^{-1}(y))$$ Nun liefert die Lipschitzstetigkeit der Umkehrfunktion f"ur unseren eben gew"ahlten offenen Ball $B$ nach dem Umkehrsatz f"ur stetige Funktionen \ref{VHBaa} aber auch f"ur alle $y\in f(B)$ die Absch"atzung $\|f^{-1} (y)\|\leq 2\|y\|$. Zusammen ergibt sich dann leicht $$\lim_{y\ra 0}\frac{f^{-1} (y)-y}{\|y\|}=0$$ Das aber besagt gerade, da"s die Umkehrabbildung $f^{-1}$ bei $y=0$ differenzierbar ist mit Differential $\op{id}$. Verkleinern wir unsere offene Umgebung von $p$ noch so weit, da"s $\tiff f$ dort "uberall invertierbar ist, so folgt die Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung an jeder Stelle des Bildes unserer verkleinerten offenen Umgebung. Die Stetigkeit des Differentials der Umkehrabbildung folgt dann leicht aus der Stetigkeit des Differentials der urspr"unglichen Abbildung und der Stetigkeit des Invertierens linearer Abbildungen. Im Fall von Banachr"aumen verwende man dazu "Ubung \ref{DInvN}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Im reellen Vektorraum $\op{Mat}(n\times m;\DR)$ aller reellen Matrizen bilden die Matrizen von vollem Rang eine offene Teilmenge. Hinweis: Man betrachte Determinanten von quadratischen Untermatrizen. Diese "Ubung geh"ort zur H"alfte in die lineare Algebra und steht nur an dieser Stelle, weil wir die Aussage demn"achst brauchen.\label{MVRO} \end{Ubung} \subsection{Mannigfaltigkeiten in reellen R"aumen}\label{EMF} \begin{Bemerkungl} Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir Maxima und Minima von Funktionen auf einer Kugel, einem Ellipsoid oder einem Torus alias Schwimmring im $\DR^3$ untersuchen. Sp"ater werden wir dar"uber hinaus Formeln f"ur die Oberfl"ache derartiger Gebilde herleiten und Funktionen "uber derartige Gebilde integrieren. Um all diese Formeln in angemessener Allgemeinheit diskutieren zu k"onnen, f"uhren wir hier den Begriff einer Mannigfaltigkeit in einem endlichdimensionalen reellen Raum ein und erkl"aren, wie man mit diesem Begriff umgeht. Anschlie"send diskutieren wir dann die entsprechenden Extremwertaufgaben. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLPK}\\[4mm] \centering Der Einheitskreis ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit der Ebene $M\subset \DR^2$. Eine Pl"attung um beliebige Punkte aus der oberen Halbebene $U$ wird etwa gegeben durch $g(x,y)=(x,\sqrt{x^2+y^2}-1)$. In diesem Fall besteht $g(U)$ aus dem schraffierten Bereich, also aus allen Punkten oberhalb des Graphen der Funktion $x\mapsto |x|-1$. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{LoKorr} Sei $X$ ein $n$-dimensionaler reeller Raum. Ein ${\cal{C}}^1$-Dif\-feo\-mor\-phis\-mus $g$ von einer offenen Umgebung $U\co X$ eines Punktes $p\in X$ zu einer offenen Teilmenge von $\DR^n$ hei"st ein {\bf lokales ${\cal{C}}^1$-Koordinatensystem von $X$\index{Koordinatensystem!lokales} um den Punkt $p$} und die Komponenten $g_1,\ldots ,g_n:U\ra\DR$ von $g$ hei"sen die \defind{Koordinaten} unseres lokalen Koordinatensystems. Typische Beispiele sind die Polarkoordinaten auf geeigneten offenen Teilmengen von $X=\DR^2$, bei denen man statt $(g_1,g_2)$ meist $(r, \varphi)$ schreibt, oder die sogenannten Kugelkoordinaten auf geeigneten offenen Teilmengen des $\DR^3$, wie wir sie gleich in \ref{KuKo} einf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{KuKo} Die \defind{Kugelkoordinaten} im Raum werden beschrieben durch eine geeignete Einschr"ankung der Abbildung $$\begin{array}{cccl} K :& \Bbb{R}^{3} & \ra &\;\;\;\Bbb{R}^{3}\\ & (r,\vartheta,\varphi ) &\mapsto & (r\cos \varphi \sin\vartheta, r \sin\varphi \sin\vartheta, r \cos \vartheta) \end{array}$$ und genauer als die Umkehrabbildung der Einschr"ankung unserer Abbildung auf $\DR_{>0}\times (0,\pi)\times (-\pi,\pi)$. Deren anschauliche Bedeutung wird im Anschlu"s erl"autert. In kartesischen Koordinaten finden wir $r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ und $\vartheta(x,y,z)=\op{arctg}(z/\sqrt{x^2+y^2})+\pi/2$ und $\varphi(x,y,z)=\varphi(x,y)$ der Winkel in Polarkoordinaten aus \ref{PoKo}. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Kugelkoordinaten \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Kugelkoordinaten}] Stellen wir uns ein Teleskop vor, das im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems auf einem waagerechten, als da hei"st, in der $xy$-Ebene liegenden Drehteller steht und\label{AKuKo} senkrecht nach oben in Richtung der $z$-Achse zeigt. Um einen Stern zu betrachten, schwenken wir zun"achst das Teleskop zur Seite in Richtung der positiven $x$-Achse um einen Winkel $\vartheta \in[0,\pi]$ und drehen dann den Drehteller um einen geeigneten Winkel, sagen wir um den \glqq Winkel $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ gegen den Uhrzeigersinn\grqq, so da"s etwa die Drehung um $\pi/2$ die positive $x$-Achse in die positive $y$-Achse "uberf"uhrt. Ist schlie"slich $r$ die Entfernung unseres Sterns, so gibt $K(r,\vartheta,\varphi)$ seine kartesischen Koordinaten an. Im Fall eines senkrecht "uber oder unter dem Teleskop befindlichen Sterns ist der Drehwinkel $\varphi$ f"ur unseren Drehteller nicht eindeutig bestimmt, und befindet sich das gedachte Teleskop bereits im Stern, so sind beide Winkel nicht eindeutig bestimmt. Die Einschr"ankung unserer Abbildung auf $r>0$, $\vartheta \in(0,\pi)$ und $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ hinwiederum ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv. Oft findet man auch eine Variante, bei der wir uns das Teleskop zu Beginn horizontal in Richtung der positiven $x$-Achse ausgerichtet denken und wo die zweite Koordinate $\theta \in[-\pi/2,\pi/2]$ den Winkel bezeichnet, um den das Teleskop nach oben beziehungsweise bei negativem Winkel nach unten geschwenkt werden mu"s. Die Formeln lauten dann abweichend $(r,\theta,\varphi ) \mapsto (r\cos \varphi \cos\theta, r \sin\varphi \cos\theta, r \sin \theta)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn wir besonders betonen wollen, da"s unsere Koordinatensysteme nicht im Sinne der linearen Algebra \eref{Kob}{LA1} gemeint sind, sprechen wir von einem {\bf lokalen System von krummlinigen Koordinaten}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $k\geq 0$.\label{MFoR} Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine {\bf $k$-Mannigfaltigkeit},\index{Mannigfaltigkeit!eingebettete} wenn es um jeden Punkt $p\in M$ ein \hyperref[LoKorr]{lokales Koordinatensystem} $(U,g)$ von $X$ gibt mit $$M\cap U= \{q\in U\mid g_{k+1}(q)=\ldots=g_n(q)=0\}$$ In Worten fordern wir also, da"s es f"ur alle $p\in M$ ein lokales Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ um $p$ gibt, in dessen Definitionsbereich $U$ die Punkte von $M$ gerade diejenigen Punkte sind, auf denen die letzten $n-k$ lokalen Koordinaten verschwinden. Wir nennen dann $(U,g)$ ein {\bf an $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem}.\index{Koordinatensystem! lokales! angepa"st an Mannigfaltigkeit} \end{Definition} \begin{Definition} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $M\subset X$ eine Teilmenge und $i:M\hra X$ die Einbettung. Gegeben ein Punkt $p\in M$ erkl"aren wir den {\bf Tangentialkegel}\index{Tangentialkegel} $${\op{K}}_pM\subset \vec X$$ an die Teilmenge $M\subset X$ als die Menge ${\op{K}}_pM$ aller Richtungsvektoren $\vec v\in \vec X$ derart, da"s es $\varepsilon>0$ und $\gamma:[0, \varepsilon)\ra M$ gibt mit $\gamma(0)=p$ und $i\circ \gamma:[0, \varepsilon)\ra X$ differenzierbar und\label{Tara} $(i\circ \gamma)'(0)= \vec v$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Tangentialr"aume einer Mannigfaltigkeit}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler Raum und $M\subset X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit und $p\in M$ ein Punkt und $(U,g)$ ein an $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem um $p$ gilt $${\op{K}}_pM=\op{ker}(\tiff_pg_{k+1})\cap\ldots\cap \op{ker}(\tiff_pg_{n})$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist der Tangentialkegel ${\op{K}}_pM\subset \vec X$ an eine $k$-Mannigfaltigkeit $M\subset X$ in einem Punkt $p\in M$ stets ein $k$-dimensionaler Untervektorraum des Richtungsraums.\label{Taka} Wir nennen ihn den {\bf Tangentialraum bei $p$}\index{Tangentialraum} an unsere Mannigfaltigkeit und notieren ihn statt ${\op{K}}_pM$ in dieser Situation "ublicherweise $${\op{T}}_pM\pdef {\op{K}}_pM\subset \vec X$$ Die Elemente des Tangentialraums hei"sen {\bf Tangentialvektoren}.\index{Tangentialvektor} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wenn wir sp"ater abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachten und besonders betonen wollen, da"s der hier erkl"arte Begriff des Tangentialraums f"ur eingebettete Mannigfaltigkeiten gemeint ist, schreiben wir ausf"uhrlicher ${\op{T}}_p^{\scriptscriptstyle\subset}M$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} In der Tat k"onnen wir bei einem Weg $\gamma:[0,\varepsilon)\ra M$ mit $\gamma(0)=p$ unser $\varepsilon$ so verkleinern, da"s er in $U$ landet. Dann ist nach Annahme $g_j\circ\gamma$ konstant und folglich $(g_j\circ\gamma)'(0)=(\tiff_pg_j)(\gamma'(0))=0$ f"ur $j=k+1,\ldots,n$. Das zeigt $\subset$. Umgekehrt folgt $\supset$, indem man die Wege $\gamma_\lambda(t)\pdef g^{-1}(t\lambda_1,\ldots,t\lambda_k,0,\ldots,0)$ betrachtet f"ur $\lambda\in\DR^k$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Tangentialraum}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler Raum und $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit in $X$ und $p\in M$ ein Punkt ist $p+{\op{T}}_pM$ in der schmutzigen Anschauung derjenige affine Teilraum von $X$, der $M$ bei $p$ anschaulich \glqq am besten approximiert\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums eine {\bf Mannigfaltigkeit}, wenn es ein $k$ gibt derart, da"s sie eine $k$-Mannigfaltigkeit ist. Ist unsere Mannigfaltigkeit nicht leer, so ist dieses $k$ wohlbestimmt als die Dimension des Tangentialraums in einem und jedem Punkt. Es hei"st die {\bf Dimension}\index{Dimension!von Mannigfaltigkeit} unserer Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kreislinie als Einsmannigfaltigkeit}] Die Kreislinie $S^1\subset \DR^2$ ist eine $1$-Mannigfaltigkeit in $\DR^2$. In der Tat bilden auf der Halbebene $U\pdef\{(x,y)\mid x>0\}$ unsere Polarkoordinaten Radius $r(x,y)\pdef\sqrt{x^2+y^2}$ und Winkel $\varphi(x,y)\pdef \op{arctan}(x/y)$ ein lokales Koordinatensystem und die Funktionen $g_1\pdef \varphi$ und $g_2\pdef r-1$ desgleichen und wir haben $$S^1\cap U=\{(x,y)\in U\mid g_2(x,y)=0\}$$ In derselben Weise finden wir auch an die Kreislinie angepa"ste lokale Koordinatensysteme auf den anderen drei Halbebenen zu den Koordinatenachsen. Diese vier offenen Halbebenen "uberdecken aber unsere Kreislinie. Mithin ist die Kreislinie in der Tat eine Einsmannigfaltigkeit in der Ebene. F"ur ihre Tangentialr"aume finden wir ${\op{T}}_{(x,y)}S^1=\langle (y,-x)\rangle$ oder ganz pedantisch ${\op{T}}_{(x,y)}S^1=\op{trans}\langle (y,-x)\rangle$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kreislinie als Einsmannigfaltigkeit, Variante}] Ein weiteres an die Kreislinie $S^1\subset\DR^2$ angepa"stes lokales Koordinatensystem w"are der Streifen $U\pdef \{(x,y)\in\DR^2\mid -10\}$ mit den beiden Koordinaten $g_1(x,y)\pdef x$ und $g_2(x,y)\pdef y-\sqrt{1-x^2}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiele}[\textbf{Graph als Mannigfaltigkeit}] Der Graph jeder $\cal{C}^1$-Funktion $f:\DR^2\ra\DR$ ist eine $2$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $\DR^3$. Als lokales Koordinatensystem mag man in diesem Fall das globale Koordinatensystem $g :\DR^3\sira \DR^3$ mit $g(x,y,z)=(x,y,z-f(x,y))$ nehmen. "Ahnlich ist der Graph $\Gamma(f)$ jeder $\cal{C}^1$-Abbildung $f:\DR^k\lco W\ra\DR^n$ eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $\DR^{k+n}$. Die Ein\-heits\-sph"a\-re $S^n\subset \DR^{n+1}$ ist eine $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $\DR^{n+1}$, weil sie \glqq lokal als Graph einer Funktion beschrieben werden kann\grqq. Eine alternative Begr"undung geben wir in \ref{spmh}. F"ur die Tangentialr"aume unserer Graphen finden wir $${\op{T}}_{(x,f(x))}\Gamma(f)=\Gamma(\tiff_xf)$$ In Worten ist also der Tangentialraum eines Graphen der Graph des Differentials, jeweils am entsprechenden Punkt. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}[\textbf{Affiner Teilraum als Mannigfaltigkeit}] Jeder $k$-di\-men\-sio\-na\-le affine Teilraum $Y\subset X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ ist eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit. F"ur seinen Tangentialraum gilt $${\op{T}}_yY=\vec Y$$ an jede Stelle $y\in Y$. Eine $0$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $X$ ist dasselbe wie eine Teilmenge $M\subset X$, die keine H"aufungspunkte in $M$ hat. So eine Teilmenge werden wir in \ref{DiTMm} eine \glqq diskrete Teilmenge\grqq\ nennen. Jeder Schnitt einer $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $X$ mit einer offenen Teilmenge $W\co X$ ist auch selbst eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in $X$. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}[\textbf{Offene Teilmenge als Mannigfaltigkeit}] Eine $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit in einem $n$-dimensionalen Raum $X$ ist dasselbe wie eine offene Teilmenge. In der Tat ist f"ur $p\in M\co X$ jeder Isomorphismus $g:X\sira \DR^n$ von affinen R"aumen bereits eine angepa"stes Koordinatensystem f"ur jeden Punkt von $M$ und andererseits folgt aus der Existenz eines an $M$ angepa"sten lokalen Koordinatensystems $(U,g)$ um $p\in M$ bereits $g(U\cap M)=g(U)$, also $U\cap M=U$, also $U\subset M$, also $M\co X$. So eine offene Teilmenge $M\co X$ hat an jeder Stelle $p\in M$ den Tangentialraum $${\op{T}}_pM=\vec X$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Wir werden im weiteren Verlauf noch weitere Varianten des Begriffs einer Mannigfaltigkeit kennenlernen. Das hier eingef"uhrte Konzept hei"st genauer eine {\bf in den affinen Raum $X$ eingebettete Mannigfaltigkeit} oder ganz ausf"uhrlich eine {\bf $k$-dimensionale ${\cal{C}}^1$-Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit von $X$ ohne Rand}.\index{Mannigfaltigkeit!Untermannigfaltigkeit von affinem Raum} Jenseits der Grundvorlesungen versteht man unter einer Mannigfaltigkeit meist abweichend eine \glqq abstrakte Mannifaltigkeit\grqq, wie wir sie in \eref{ADMa}{ML} einf"uhren werden, aber alles zu seiner Zeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}\label{VeSC} Eine kompakte $1$-Mannigfaltigkeit in $\DR^3$ hei"st eine \defind{Verschlingung} und, wenn sie zus"atzlich wegzusammenh"angend ist, ein \defind{Knoten}. Zwei Verschlingungen hei"sen \defnoind{isotop},\index{isotop!Verschlingungen} wenn sie durch einen ${\cal{C}}^1$-Dif\-feo\-mor\-phis\-mus $\DR^3\sira \DR^3$ mit "uberall positiver Funktionaldeterminante ineinander "uberf"uhrt werden k"on\-nen. Die \glqq Knotentheorie\grqq\ versucht, Kriterien daf"ur zu entwickeln, wann zwei gegebene Verschlingungen isotop sind. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.30\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKno} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.60\textwidth}\centering Ein Beispiel f"ur einen Knoten. \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.25\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBorr} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.65\textwidth}\centering Diese Verschlingung ist besonders bemerkenswert dadurch, da"s je zwei der Ringe getrennt werden k"onnten, wenn eben der Dritte nicht w"are. Sie hei"st die Verschlingung der \defnoind{Borrom"aischen Ringe}\index{Borrom"aische Ringe} nach einer italienischen Familie, die sie in ihrem Wappen f"uhrte. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{Rand} Eine $1$-Man\-nig\-fal\-tigk\-eit hei"st eine {\bf Kurve}\index{Kurve!in reellem Raum} und eine $2$-Man\-nig\-fal\-tigk\-eit eine {\bf Fl"ache}.\index{Fl"ache} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und $c\leq \op{dim}X$ versteht man unter einer {\bf Mannigfaltigkeit der Kodimension\index{Kodimension!einer Untermannigfaltigkeit} $c$} in $X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit mit $k=(\op{dim}X) -c$. Eine Mannigfaltigkeit in $X$ der Kodimension Eins hei"st eine {\bf Hyperfl"ache in $X$}.\index{Hyperfl"ache!in affinem Raum} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Mannigfaltigkeiten als Urbilder}] Seien $X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume und\label{MN} $h:X\lco A\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Differential $\tiff_ph$ an jeder Stelle $p\in A$ surjektiv ist. So ist f"ur alle $c\in Y$ das Urbild $M=h^{-1}(c)$ eine Mannigfaltigkeit mit den Tangentialr"aumen\label{trnb} $${\op{T}}_pM=\op{ker}({\tiff}_ph)$$ \end{Proposition} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.40\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMUB} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.50\textwidth}\centering Dick gezackelt die Niveaulinie einer Funktion $h:\DR^2\lco U\ra\DR$ durch $p\in U$. Ist $\tiff_ph$ surjektiv, so l"a"st sich $h$ wie beim Beweis von \ref{MN} durch eine lineare Abbildung, etwa $l(x,y)=y$, zu einem lokalen Koordinatensystem erg"anzen. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $X=\DR^n$ und $Y=\DR^m$ annehmen und haben $h= (h_{1}, \ldots, h_{m})$. F"ur jedes $p\in M$ finden wir sicher lineare Abbildungen $l_{1}, \ldots, l_{k} : X \ra \Bbb{R}$ derart, da"s das Differential von $g = (l_{1}, \ldots ,l_{k}, h_{1}, \ldots, h_{m})$ in $p$ bijektiv ist. Nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} erhalten wir so ein lokales Koordinatensystem auf einer Menge $U$ mit $p\in U \co A$. Das Tupel von Funktionen $ (l_{1}, \ldots , l_{k}, h_{1}-c_1, \ldots, h_{m}-c_m)$ ist dann ein an $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem in $X$. Die Beschreibung der Tangentialr"aume folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Beispiel} Die {\bf Sph"aren}\index{S@$S^{n}$ die $n$-Sph"are} $S^{n} = \{ x \in \Bbb{R}^{n+1}\mid x^{2}_{1} + \ldots + x^{2}_{n+1} = 1 \}$ sind $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten in $\Bbb{R}^{n+1}$, denn das Differential von $h:x \mapsto x_1^2+\ldots +x_{n+1}^2$ ist surjektiv an jeder Stelle von $\DR^{n+1}\backslash 0$.\label{spmh} An einer Stelle $p\in S^n$ ist $[{\tiff}_ph]=(2p_1, \ldots, 2p_{n+1})$ und der Kern der durch diese Zeilenmatrix gegebene Linearform ist das orthogonale Komplement zum Ortsvektor $p$ unter dem Standardskalarprodukt, in Formeln und nicht ganz pedantisch $${\op{T}}_pS^n=\{p\}^\perp$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{CEOo} Eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Raum hat offenes Bild, wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist. Ist unsere stetig differenzierbare Abbildung zus"atzlich injektiv, so ist ihre Umkehrabbildung stetig und sogar stetig differenzierbar. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{UBOR} In der Situation von \ref{MN} ist allgemeiner auch f"ur jede Mannigfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=h^{-1}(C)$ eine Mannigfaltigkeit in $X$ der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine von Null verschiedene symmetrische Bilinearform auf $V$ und $c\in\DR$ eine Konstante, so ist $M\pdef \{v\in V\backslash 0\mid \langle v,v\rangle=c\}$ eine Hyperfl"ache in $V$ mit Tangentialr"aumen ${\op{T}}_vM=\op{trans}\{w\in V\mid \langle v,w\rangle=0\}$. Unter der "ublichen Identifikation $\op{trans}:V\sira \vec{V}$ haben wir also $${\op{T}}_vM=v^\perp$$ Hinweis: Man erinnere das Differential bilinearer Abbildungen \ref{PRm}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume und $M\subset X$ sowie $N\subset Y$ Mannigfaltigkeiten, so ist auch $M\times N\subset X\times Y$ eine Mannigfaltigkeit und die linearen Anteile der Projektionen liefern einen Vektorraumisomorphismus\label{pMF} $${\op{T}}_{(p,q)}(M\times N)\sira {\op{T}}_{p}M\times{\op{T}}_{q} N$$ \end{Ubung} \subsection{Implizite Funktionen} \begin{Satz}[\textbf{"uber implizite Funktionen, geometrische Fassung}] Seien $X, Y$ endlichdimensionale R"aume und $M\subset X\times Y$ eine Mannigfaltigkeit. Induziert der lineare Anteil der Projektion auf $X$ an einer Stelle $(p,q)\in M$ einen Isomorphismus $$\vec{\op{pr}}_{ X}:{\op{T}}_{(p,q)}M\sira \vec X$$ zwischen dem Tangentialraum an $M$ und dem Richtungsraum von $X$, so gibt es $P,Q$ mit\label{igg} $p\in P\co X$ und $q\in Q\co Y$ derart, da"s $M\cap (P\times Q)$ der Graph ist zu einer $\mathcal C^1$-Abbildung $$\varphi:P\ra Q$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\varphi$ aus dem Satz hei"st dann eine \glqq durch $M$ implizit gegebene Funktion\grqq. Sobald Sie einmal den Zusammenhangsbegriff kennengelernt haben, m"ogen Sie zur "Ubung zus"atzlich zeigen, da"s im Fall von einem festem zusammenh"angenden $P$ alle m"oglichen Wahlen f"ur $Q$ dieselbe implizite Funktion $\varphi:P\ra Y$ liefern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $k$ die Dimension von $M$ und $(U,g)$ ein System von an $M$ angepa"sten lokalen Koordinaten um $(p,q)$ und $g^{-1}:g(U)\sira U$ die Umkehrabbildung, ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus von $g(U)\co \DR^{n}$ nach $U\co (X\times Y)$. Offensichtlich induziert das Differential von $g^{-1}$ bei $g(p,q)$ einen Vek\-tor\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus $$\DR^k\times 0\sira {\op{T}}_{(p,q)}M$$ Nach Annahme induziert also das Differential von $\op{pr}_X\circ g^{-1}$ bei $g(p,q)$ einen Vek\-tor\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus $\DR^k\times 0\sira \vec X$. Nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} induziert $\op{pr}_X\circ g^{-1}$ mithin einen $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus $\psi:A\sira B$ zwischen einer offenen Umgebung $A\co g(U)\cap (\DR^k\times 0)$ von $g(p,q)$ und einer offenen Umgebung $B\co X$ von $p$. Indem wir sonst $U$ geeignet verkleinern, d"urfen wir sogar $A=g(U)\cap (\DR^k\times 0)$ annehmen. F"ur alle $x\in B$ ist dann $\varphi(x)\pdef \op{pr}_Y(g^{-1}(\psi^{-1}(x)))$ das einzige $y\in Y$ mit $(x,y)\in M\cap U$. W"ahlen wir nun offene Umgebungen $P_1\co X$ von $p$ und $Q\co Y$ von $q$ mit $P_1\times Q\subset U$ und dann eine offene Umgebung $P\co P_1$ von $p$ mit $x\in P\RA \varphi(x)\in Q$, so ist $M\cap (P\times Q)$ der Graph der $\mathcal C^1$-Abbildung $\varphi:P\ra Q$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"uber implizite Funktionen in Koordinaten}] Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung $f:(\Bbb{R}^{k}\times\Bbb{R}^{m})\lco D\ra \DR^m$. Wir vereinbaren die Notation $x_1,\ldots,x_k,y_1,\ldots,y_m$ f"ur die Variablen. Ist in diesen Notationen die Matrix $$\left( \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{j}}\right)^{m}_{i,j=1}$$ nicht ausgeartet an einer Stelle $(p,q)\in D$, so gibt es $P,Q$ mit $p\in P\co \DR^k$ und $q\in Q\co \DR^m$ und $P\times Q\subset D$ derart, da"s $$\{(x,y)\in P\times Q\mid f(x,y)=f(p,q)\}$$ der Graph einer $\mathcal C^1$-Funktion $\varphi:P\ra Q$ ist. Die partiellen Ableitungen der Komponenten von $\varphi$ werden dann gegeben durch die Matrix-Gleichung $$\left(\left.\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial x_{k}}\right|_x\right)= -\left(\left. \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{j}} \right|_{(x,\varphi(x))}\right)^{-1} \left(\left.\frac{\partial f_{i}} {\partial x_{k}}\right|_{(x,\varphi(x))}\right)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In dieser Sprache ausgedr"uckt kann also ein System von $m$ Gleichungen in $m+k$ Unbekannten \glqq im allgemeinen\grqq\ und \glqq lokal\grqq\ in der Weise aufgel"ost werden, da"s wir $k$ der Unbekannten frei w"ahlen und die restlichen $m$ Unbekannten dadurch im wesentlichen eindeutig festgelegt werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Indem wir $D$ verkleinern, d"urfen wir annehmen, da"s $f$ nicht nur bei $(p,q)$, sondern an jeder Stelle von $D$ surjektives Differential hat. Damit ist $$M\pdef \{(x,y)\in D\mid f(x,y)=f(p,q)\}$$ nach \ref{MN} eine $k$-Mannigfaltigkeit. Der Tangentialraum an $M$ in $(p,q)$ ist nach \ref{Taka} der Schnitt der Kerne der $\tiff_{(p,q)}f_j$ und trifft nach Annahme den Teilraum $0\times \DR^m$ nur in Null. Da er die Dimension $k$ hat, mu"s die Projektion auf $\DR^k$ folglich einen Isomorphismus ${\op{T}}_{(p,q)}M\sira \DR^k$ induzieren und die erste Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Fassung des Satzes "uber implizite Funktionen \ref{igg}. Mit der Kettenregel folgt nun $$\tiff _{(x,\varphi(x))} f \circ {\op{id} \choose \tiff_x \varphi} = 0$$ Schreiben wir darin $\tiff _{(x,\varphi(x))} f$ als Zeilen-Block\-ma\-trix, so ergibt sich sofort die behauptete Formel f"ur das Differential. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir betrachten $f:\DR\times \DR\ra \DR$, $f(x,y)=x^2+y^2$ und $(p,q)=(0,1)$. Da $\frac{\partial f}{\partial y}$ nicht verschwindet bei $(0,1)$, sind die Voraussetzungen des Satzes erf"ullt. Ein m"ogliches Paar $(U,V)$ best"unde aus $U=(-1,1)$, $V=(0,\infty)$ und die zugeh"orige implizite Funktion ist $\varphi(x)=\sqrt{1-x^2}$. Unsere implizite Funktion sucht sich in diesem Fall f"ur jedes $x\in (-1,1)$ dasjenige positive $y=\varphi(x)$ aus, f"ur das der Punkt $(x,y)$ auf dem Einheitskreis liegt. Die Ableitung dieser impliziten Funktion ergibt sich mit unserer Regel richtig zu $$\frac{\partial \varphi}{\partial x} =-\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{-1} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{BIMP} Wir betrachten $f(x,y) = y^3 + xy^2 -3$ als eine Schar von Polynomen in $y$ mit Parameter $x$. F"ur den Parameter $x =2$ ist $y =1$ eine Nullstelle, $f(2,1) =0$. Wir wollen nun untersuchen, wie diese Nullstelle \glqq mit dem Parameter $x$ wackelt\grqq, und wenden dazu den Satz "uber implizite Funktionen an. Die partielle Ableitung nach $y$ ist $f_y = 3y^2 +2xy$, insbesondere haben wir $f_y (2,1) =7 \neq 0$ und nach dem Satz "uber implizite Funktionen gibt es folglich $\varepsilon > 0$ und $\delta >0$ derart, da"s f"ur alle $x \in (2-\varepsilon, 2+\varepsilon)$ das Polynom $f(x,\;)$ genau eine Nullstelle $y = \varphi (x) \in (1-\delta, 1+\delta)$ hat. Diese Funktion $\varphi$ ist zwar schwer explizit anzugeben, aber der Satz sagt uns, da"s sie in einer Umgebung von $x=2$ differenzierbar ist, und ihre Ableitung bei $x =2$ kennen wir auch: Wir haben n"amlich $f_x =y^2$, $ f_x (2,1) =1$ und folglich \begin{displaymath} \varphi^\prime (2) = - f_y (2,1)^{-1} f_x (2,1) = -\frac{1}{7} \end{displaymath} Betrachten wir stattdessen $h(x,y)=y^2-x$, so ist f"ur $x=0$ nat"urlich $y=0$ eine Nullstelle, aber Entsprechendes gilt keineswegs: Schieben wir $x$ etwas ins Negative, so hat $h(x,\;)$ "uberhaupt keine \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildimq} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Graphen von $h(0,\;)$, $h(-1/2,\;)$ und $h(1/2,\;)$ f"ur die Funktion $h(x,y)=y^2-x$ vom Ende des Beispiels \ref{BIMP}. Hier ist $y$ die horizontale Koordinate. %der ver"anderten Gleichung statt an Schnitte der Niveaulinie %$h(x,y)=y^2-x=0$ mit verschiedenen horizontalen Geraden. Dies Bild interpretiert diesselbe Formeln wie das vorige in der alternativen Anschauung der \glqq Abh"angigkeit der Nullstellen von den Parametern\grqq. \end{minipage} \end{figure} reelle Nullstelle mehr, schieben wir $x$ dahingegen etwas ins Positive, so werden aus unserer Nullstelle pl"otzlich zwei Nullstellen, wie das nebenstehende Bild illustriert. Das zeigt, da"s die Bedingung an die Ableitung auch wirklich notwendig ist. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{"uber implizite Funktionen in vollst"andigen R"aumen}] Gegeben seien vollst"andige normierte R"aume $X,Y$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $f:(X\times Y)\lco D\ra Y$. An einer Stelle $(p,q)\in D$ induziere das Differential einen stetigen Isomorphismus mit stetiger Umkehrabbildung\label{IFBR} $$\tiff_{(p,q)}f\circ \op{in}_{\vec{Y}}:\vec Y\sira \vec Y$$ So gibt es $P,Q$ mit $p\in P\co X$ und $q\in Q\co Y$ von $q$ mit $P\times Q\subset D$ derart, da"s $\{(x,y)\in P\times Q\mid f(x,y)=f(p,q)\}$ der Graph einer $\mathcal C^1$-Funktion $\varphi:P\ra Q$ ist. Diese Funktion hat dann bei $x\in P$ das Differential $$\tiff_x \varphi= -\left(\tiff_{(x,\varphi(x))}f \circ \op{in}_{\vec{Y}}\right)^{-1} \circ (\tiff_{(x,\varphi(x))} f \circ \op{in}_{\vec{X}})$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier k"onnen wir uns nicht mehr auf den Beweis der geometrischen Fassung st"utzen, ja der Satz in seiner geometrischen Fassung \ref{igg} gilt gar nicht mehr in dieser Allgemeinheit. Umgekehrt k"onnen wir aus dieser Fassung leicht die beiden anderen Fassungen folgern. Sie ist also st"arker, sie ist jedoch meiner Anschauung schlechter zug"anglich. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $b\pdef f(p,q)$ und betrachten die Abbildung $$\begin{array}{cccl} F\pdef (\op{pr}_X,f) :& D &\ra & \;\;\; X\times Y\\ &(x,y) & \mapsto & (x , f(x,y) ) \end{array}$$ Ihr Differential bei $(p,q)$ hat im Sinne von \eref{MaDS}{LA1} Block-Gestalt $$\left(\begin{array}{cc} \op{id}_{\vec{X}}&0\\[4mm] \tiff_{(p,q)}f\circ \op{in}_{\vec{X}}&\tiff_{(p,q)}f\circ \op{in}_{\vec{Y}} \end{array} \right) $$ und ist insbesondere invertierbar mit stetiger Umkehrabbildung. Nach der entsprechend allgemeinen Fassung des Umkehr\-satzes gibt es also $P, Q, W$ mit $p\in P\co X$ und $q\in Q\co Y$ und $F(p,q)\in W \co X\times Y $ derart, da"s gilt $P\times Q\subset D$ und da"s $F$ einen $\cal{C}^1$-Diffeomorphismus $$F : P\times Q \sira W$$ liefert. Die Umkehrabbildung $G\pdef F^{-1} : W \sira P\times Q$ hat dann offensichtlich die Gestalt $(x,y) \mapsto (x,g(x,y))$ f"ur geeignetes $g : W \ra X$. Nun ist $f(x,y) =b$ gleichbedeutend zu $F(x,y) = (x,b)$ und unter den Zusatzannahmen $(x,y)\in P\times Q$ und $(x,b)\in W$ ist das weiter gleichbedeutend zu $(x,y)=G(x,b)$ alias $x=g(x,b)$. Verkleinern wir falls n"otig $P$ derart, da"s zus"atzlich gilt $ P \times\{b\} \subset W$, so gibt es zu jedem $x \in P$ genau ein $y = \varphi(x) \in Q$ mit $f(x,y) =b$, n"amlich $\varphi(x) = g(x,b)$. Die so definierte Funktion $\varphi$ ist stetig differenzierbar nach dem Umkehrsatz. Ihre Ableitung bei $x\in U$ ergibt sich leicht, wenn man die Definitionsgleichung $f(x,\varphi(x))=b$ als Abbildung $U\ra Y$ auffa"st und auf beiden Seiten das Differential an der Stelle $x$ nimmt. Mit der Kettenregel folgt n"amlich $$\tiff _{(x,\varphi(x))} f \circ {\op{id} \choose \tiff_x \varphi} = 0$$ Zerlegen wir darin $\tiff _{(x,\varphi(x))} f=(\tiff _{(x,\varphi(x))} f \circ \op{in}_{\vec{X}}, \tiff _{(x,\varphi(x))} f \circ \op{in}_{\vec{Y}})$ als Zeilen-Block\-ma\-trix im Sinne von \eref{MaDS}{LA1}, so ergibt sich sofort die behauptete Formel f"ur das Differential. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Mannigfaltigkeiten als lokale Graphen in Koordinaten}] Gegeben eine $k$-di\-men\-sio\-na\-le Mannigfaltigkeit $M\subset\DR^n$ gibt es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine offene Umgebung $U\co \DR^n$ und eine Permutation $\sigma\in\cal S_n$ derart, da"s $M\cap U$ unter der entsprechenden Permutation der Koordinaten dem Graph einer $\cal C^1$-Abbildung $\DR^k\lco W\ra \DR^{n-k}$ entspricht. Zum Beispiel ist jede Einsmannigfaltigkeit der Ebene $\DR^2$ lokal entweder Graph einer reellwertigen $\cal C^1$-Funktion der $x$-Koordinate oder der an der Hauptdiagonalen gespiegelte Graph einer reellwertigen $\cal C^1$-Funktion der $y$-Koordinate. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Kreuz aus den beiden Koordinatenachsen in $\DR^2$ keine Mannigfaltigkeit ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir betrachten das Polynom $f(x,y,z)=x^7y^2z + xyz^5$ und finden $f(1,1,1)=2$. Man zeige, da"s es auf einem hinreichend kleinen Ball $B\subset \DR^2$ um $(1,1)$ genau eine stetige Funktion $\varphi:B\ra\DR$ gibt mit $\varphi(1,1)=1$ und $f(x,y,\varphi(x,y))=2$ und bestimme bei $(1,1)$ deren partielle Ableitungen $\varphi_x, \varphi_y$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schnitt von Mannigfaltigkeiten}] Man zeige: Gegeben in einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ zwei Mannigfaltigkeiten $M,N\subset X$ und ein Punkt $p\in M\cap N$ mit ${\op{T}}_pM+{\op{T}}_pN=\vec X$ gibt es $U$ mit $p\in U\co X$ derart, da"s $U\cap M\cap N$ eine Mannigfaltigkeit ist\label{SUM} und es gilt $${\op{T}}_p(M\cap N)={\op{T}}_pM\cap {\op{T}}_pN$$ \end{Ubung} \subsection{Karten und Koordinatensysteme} \begin{Proposition}[\textbf{Mannigfaltigkeiten als Bilder}] Seien $X$ ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler reeller Raum und $k\geq 0$.\label{KKR} Eine Teilmenge $M \subset X$ ist eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi : \Bbb{R}^{k}\lco W \ra X$ gibt derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $p\in \varphi (W)\co M$; \item $\tiff _{x} \varphi$ ist injektiv f"ur alle $x\in W$; \item $\varphi$ ist injektiv und $\varphi^{-1}:\varphi (W) \ra W$ ist stetig. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGbK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Beispiel einer Teilmenge $M$ der Papierebene, die keine Untermannigfaltigkeit ist und f"ur die die Bedingung aus \ref{KKR} erf"ullt w"are, wenn wir von unseren Karten nicht auch noch fordern w"urden, da"s ihre Umkehrabbildungen stetig sind. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{Karte} Ein Paar $(W,\varphi)$ wie in der Proposition nenne ich eine {\bf Karte}\index{Karte} der Mannigfaltigkeit $M$. Eine Karte der Stadt Freiburg kann als eine Variante dieses Begriffs verstanden werden, bei der $W$ ein Blatt Papier ist und bei der das Bild einiger Punkte unseres Blatts unter der Abbildung $\varphi$ in das wirkliche Freiburg durch bildliche Symbole auf besagtem Blatt angedeutet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen hei"st ganz allgemein ein {\bf Hom"oomorphismus},\index{Hom"oomorphismus} wenn sie stetig und bijektiv ist und auch ihre Umkehrabbildung stetig ist. In dieser Terminologie fordert Bedingung 3 oben, da"s $\varphi$ einen Hom"oomorphismus $\varphi:W\sira \varphi(W)$ induziert. Zwei topologische R"aume hei"sen {\bf hom"oo\-morph},\index{hom"oomorph} wenn es zwischen ihnen einen Hom"oomorphismus gibt.\label{homeo} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall $k=0$ stellt bereits die erste Bedingung sicher, da"s jeder Punkt von $M$ offen ist in $M$, so da"s $M$ in der Tat eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit von $X$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $M\subset X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit und $( U ,g)$ ein an $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem von $X$, sagen wir $g:U\sira g(U)\co \DR^n$. Bezeichne weiter $i:\DR^{k}\hra \Bbb{R}^{n}$ die Nullen anh"angende Abbildung. So ist f"ur $W\pdef i^{-1}(g(U))$ die Komposition $g^{-1}\circ i:W\ra M$ eine Karte von $M$. Folglich hat eine Mannigfaltigkeit um jeden Punkt mindestens eine Karte. Ist andererseits $\varphi : \Bbb{R}^{k}\lco W \ra M\subset X$ eine Karte von $M$ um $p$, so k"onnen wir Vektoren $v_{1}, \ldots , v_{n-k} \in \vec{X}$ finden derart, da"s das Differential von $$\begin{array}{cccl} \tilde{\varphi} : &W\times \Bbb{R}^{n-k} & \ra & X\\ &(w,t_{1}, \ldots , t_{n-k}) & \mapsto & \varphi (w) + t_{1} v_{1} + \ldots + t_{n-k} v_{n-k} \end{array}$$ im Punkt $(\varphi^{-1}(p),0^{n-k})$ bijektiv ist, mit $0^{n-k}$\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$!$0^d$ Null in $\DR^d$} als Abk"urzung f"ur die einelemen\-tige Menge $\{0\}\subset \Bbb{R}^{n-k}$. \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKarte}\\ \noindent Ein Bild zum Beweis von \ref{KKR} im Fall $n=k=1$ \end{figure} Nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} induziert $\tilde{\varphi}$ einen ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung $G \co W \times \Bbb{R}^{n-k}$ des Punktes $(\varphi^{-1} (p), 0^{n-k})$ mit einer offenen Umgebung $\tilde{U}\co X$ von $p$. Das lokale Koordinatensystem $(\tilde U, \tilde\varphi^{-1})$ von $X$ um $p$ k"onnen wir nun zu einem an $M$ angepa"sten lokalen Koordinatensystem von $X$ um $p$ machen, indem wir seinen Definitionsbereich so verkleinern, da"s er \glqq $M$ nicht zu oft trifft\grqq. Genauer ist $i^{-1}(G)$ offen in $W$ und damit $\varphi(i^{-1}(G))$ offen in $\varphi(W)$ und damit offen in $M$, aufgrund der Stetigkeit von $\varphi^{-1}$ und unserer Bedingung $\varphi(W)\co M$. Also gibt es $U_1\co X$ mit $\varphi(i^{-1}(G))=M\cap U_1$. Dann setzen wir $U=\tilde{U}\cap U_1$ und $g\pdef \tilde{\varphi}^{-1} : U \ra \Bbb{R}^{n}$ ist das gesuchte an $M$ angepa"ste lokale Koordinatensystem von $X$ um $p$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $M\subset X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit. Unter einem {\bf lokalen Koordinatensystem von}\index{lokales Koordinatensystem!von Mannigfaltigkeit}\label{LoKoM} $M$ verstehen wir ein Paar $(V,r)$ bestehend aus einer offenen Teilmenge $V\co M$ und einem Hom"oomorphismus $r:V\sira W$ mit einer offenen Teilmenge $W\co \DR^k$ derart, da"s $(W,r^{-1})$ eine Karte von $M$ ist. Die Komponenten $r_1, \ldots, r_k:V\ra \DR$ von $r$ nennen wir dann die {\bf lokalen Koordinaten}\index{Koordinaten!lokale} unseres Koordinatensystems. Salopp gesprochen ist also ein lokales Koordinatensystem einer Mannigfaltigkeit schlicht die Umkehrabbildung zu einer Karte. Viele Autoren verwenden allerdings auch eine andere Terminologie und verstehen unter einer Karte das, was wir ein Koordinatensystem genannt haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Arten lokaler Koordinatensysteme}] Sei $X$ ein endlichdimensionaler Raum. Wir unterscheiden zwischen einem lokalen Koordinatensystem einer Mannigfaltigkeit $M\subset X$ und einem an eine Mannigfaltigkeit $M\subset X$ angepa"sten lokalen Koordinatensystem von $X$. Im Fall der Mannigfaltigkeit $X\subset X$ fallen diese Begriffe zwar zusammen, im allgemeinen jedoch hat ein lokales Koordinatensystem einer Mannigfaltigkeit $M\subset X$ nur $\op{dim}(M)$ Koordinaten und diese sind nur Funktionen auf einer offenen Teilmenge von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Lokale Koordinaten um einen Punkt der Erdoberfl"ache, der nicht gerade auf dem sogenannten \glqq Nullmeridian\grqq\ liegt, sind etwa die L"angen- und Breitengrade. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Fall einer $n$-Mannigfaltigkeit $M$ in einem $n$-dimensionalen Raum $X$ alias einer offenen Teilmenge $M\co X$ ist ein lokales Koordinatensystem von $M$ dasselbe wie ein lokales Koordinatensystem von $X$ im Sinne von \ref{LoKorr} mit einem in $M$ enthaltenen Definitionsbereich. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Erweiterungen lokaler Koordinatensysteme}] Seien $X$ ein reeller Raum der Dimension $\op{dim}_\DR X=n$ und $M\subset X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit und $p\in M$ ein Punkt. Ist $(V,(r_1,\ldots,r_k))$ ein lokales Koordinatensystem von $M$ um $p$, so gibt es nach dem Beweis von \ref{KKR} sogar ein an $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem $(U,(g_1,\ldots,g_n))$ von $X$ um $p$ mit $(U\cap M)\subset V$ und $g_i|_{U\cap M}=r_i|_{U\cap M}$ f"ur $1\leq i\leq k$.\label{lElK} Wir sagen dann, das lokale Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ um $p$ sei eine {\bf lokale Erweiterung} unseres lokalen Koordinatensystems $(V,r)$ von $M$ um $p$ und notieren so eine lokale Erweiterung statt $(U,g)$ gerne $$(\tilde V,\tilde r)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Lokale Koordinaten um einen Punkt der Erdoberfl"ache, der nicht gerade auf dem sogenannten \glqq Nullmeridian\grqq\ liegt, sind etwa die L"angen- und Breitengrade. Wenn wir diese Funktionen in hoffentlich offensichtlicher Weise auf die Lufth"ulle und Punkte der Erdkruste nicht allzuweit unter der Erdoberfl"ache ausdehnen und die H"ohe "uber dem Meeresspiegel als dritte Koordinate hinzunehmen, so erhalten wir eine lokale Erweiterung dieses lokalen Koordinatensystems der Erdoberfl"ache zu einem lokalen Koordinatensystem des Raums. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielle Ableitungen in Bezug auf lokale Koordinaten}] Ist $M$ eine Mannigfaltigkeit und bilden Funktionen $r_1,\ldots, r_k:M\lco V\ra \DR$ ein System von lokalen Koordinaten von $M$, also $r=(r_1,\ldots, r_k):M\lco V\sira W\co \DR^k$, und ist $f:V\ra \DR$ eine weitere Funktion, so bezeichnen wir mit $$\frac{\partial f}{\partial r_i}\pdef \frac{\partial (f\circ r^{-1})}{\partial r_i}\circ r$$ die Funktion $V\ra\DR$, die unter der zugeh"origen Karte $\varphi\pdef r^{-1}:W\sira V$ der partiellen Ableitung $\frac{\partial (f\circ \varphi)}{\partial r_i}$ entspricht, wenn denn $f\circ \varphi:W\ra\DR$ partiell differenzierbar ist nach der $i$-ten Variablen. Dabei gilt es zu beachten, da"s die $i$-te partielle Ableitung, auch wenn das aus der Notation nicht direkt hervorgeht, von der Wahl aller lokalen Koordinaten abh"angt und keineswegs nur von Wahl der $i$-ten Koordinate. Im Fall einer Einsmannigfaltigkeit $M$ mit einem lokalen Koordinatensystem aus einer einzigen Koordinate $r:M\lco V\sira W\co \DR$ schreibt man statt $\frac{\partial f}{\partial r}$ f"ur gew"ohnlich $$\frac{\diff f}{\diff r}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sind $( W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$ zwei Karten einer Mannigfaltigkeit $M$, so\label{DKWe} setzen wir $W_{\al\beta} = \varphi^{-1}_{\al}( \varphi_{\beta} (W_{\beta}))$ und nennen die Abbildung $$\varphi_{\beta\al} \pdef \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} : W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$$ den {\bf Kartenwechsel}\index{Kartenwechsel} zwischen unseren beiden Karten. \end{Definition} \begin{Proposition} Seien $X,Z$ endlichdimensionale reelle R"aume und $M\subset X$ eine $k$-Mannigfaltigkeit und\label{KaWe} $(V,r)$ ein System lokaler Koordinaten von $M$. Sei $\psi:Z\supset A\ra V$ gegeben mit $A\subset Z$ halboffen und $i\circ \psi:Z\supset A\ra X$ stetig differenzierbar. So ist die Verkn"upfung von $\psi$ mit unserer Koordinatenabildung eine stetig differenzierbare Abbildung $$r\circ \psi:Z\supset A\ra \DR^k$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kartenwechsel sind Diffeomorphismen}] Insbsondere sind in den Notationen von \ref{DKWe} unsere Kartenwechsel ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismen, denn die Umkehrabbildung $\varphi_\beta^{-1}:M\lco \varphi_\beta(W_\beta)\sira W_\beta$ unserer zweiten Karte ist per definitionem ein lokales Koordinatensystem $(V,r)$ von $M$ und $\psi\pdef \varphi_\alpha: \DR^k\lco W_\alpha\ra M$ wird stetig differenzierbar beim Nachschalten der Einbettung $i:M\hra X$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Hauptschwierigkeit beim Verfolgen dieses Beweis liegt darin, da"s man sich einige Einbettungsabbildungen dazudenken mu"s. Notiert man diese Einbettungsabbildungen alle explizit, wird es aber auch schnell un"ubersichtlich. Gegeben $a\in A$ finden wir nach \ref{lElK} eine lokale Erweiterung $(\tilde V,\tilde r)$ von $(V,r)$ zu einem lokalen Koordinatensystem von $X$ um $\psi(a)$. Wir haben also $$r\circ \psi=(\tilde r_1,\ldots,\tilde r_k)\circ i\circ \psi$$ auf $\psi^{-1}(\tilde V)$ und die rechte Seite ist eine Verkn"upfung von $\mathcal C^1$-Abbildungen zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler affiner R"aume. Die Abbildung $r\circ \psi$ ist also $\mathcal C^1$ auf einer offenen Umgebung von $a$ in $A$. Da das f"ur alle $a\in A$ gilt, ist sie damit $\mathcal C^1$ auf ganz $A$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AusDK} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Gegeben eine Karte $(W,\varphi)$ einer Mannigfaltigkeit $M\subset X$ und ein Punkt $p\in W$ gibt es stets ein Paar $(U,g)$ bestehend aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $\varphi(p)$ und einer $\mathcal C^1$-Abbildung $g:U\ra W$ derart, da"s gilt $g(\varphi(y))=y$ f"ur alle $y\in\varphi^{-1}(U)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Doppelkegel $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=z^2\}$ ist keine Mannigfaltigkeit in $\DR^3$. Auch die Teilmenge aller seiner Punkte mit nichtnegativer $z$-Koordinate ist keine Mannigfaltigkeit in $\DR^3$. Entfernen wir aus dem Doppelkegel jedoch den Ursprung, so erhalten wir eine Mannigfaltigkeit in $\DR^3$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EBM} Gegeben $X\subset Y$ ein endlichdimensionaler reeller Raum mit einem affinen Teilraum ist eine Teilmenge $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit in $X$ genau dann, wenn $M$ eine Mannigfaltigkeit in $Y$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangentialr"aume durch Karten}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit und $(W,\varphi)$ eine Karte von $M$ gilt f"ur alle $x\in W$ die Identit"at\label{TpK} $${\op{T}}_{\varphi(x)}M=\op{im}(\tiff_x\varphi)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $M\subset X$ eine \hyperref[MFoR]{Mannigfaltigkeit} in einem endlichdimensionalen reellen affinen Raum hei"se eine Funktion $f:M\ra\DR$ {\bf differenzierbar},\index{differenzierbar!auf eingebetteter Mannigfaltigkeit} wenn f"ur jede Karte $\varphi$ von $M$ die Verkn"upfung $f\circ\varphi$ differenzierbar ist. Man zeige: Gegeben eine differenzierbare Funktion $f:M\ra\DR$ und ein Punkt $p\in M$ und ein Tangentialvektor $\vec v\in {\op{T}}_{p} M$ gibt es genau eine reelle Zahl $${\op{D}}_{\vec v}f$$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $\varphi$ von $M$ um $p$ und $q$ den Punkt mit $\varphi(q)=p$ und $\vec w$ den Vektor mit $\tiff_q\varphi:\vec w\mapsto \vec v$ gilt\label{RiABB} ${\op{D}}_{\vec v}f=({\op{D}}_{\vec w}(f\circ \varphi))(q)$. Diese reelle Zahl hei"st die {\bf Richtungsableitung von $f$ in Richtung $\vec v$}. \index{Richtungsableitung!auf eingebetteter Mannigfaltigkeit} \end{Ubung} \subsection{Extrema auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Satz}[\textbf{Extrema unter Nebenbedingungen}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $h: X\lco U \ra \Bbb{R}^{m}$ stetig differenzierbar\label{ExNe} und $p \in U$ ein Punkt mit $\tiff_{p}h$ surjektiv. Wir setzen $$M \pdef \{q\in U\mid h(q) = h(p)\}$$ Besitzt dann f"ur eine differenzierbare Funktion $f:U \ra \Bbb{R}$ ihre Einschr"ankung $f|_M$ ein lokales Extremum bei $p$, so gibt es $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m} \in \Bbb{R}$ mit $$\tiff _{p}f = \lambda_{1}\tiff _{p}h_{1} + \ldots + \lambda_{m}\tiff _{p}h_{m}$$ \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildLM}\\[4mm] \noindent Dies Bild soll den Satz "uber Extrema mit Nebenbedingungen veranschaulichen f"ur den Fall einer Funktion $f$ auf der Papierebene, hier angedeutet durch einige gestrichelt engezeichnete Niveaulinien, die maximiert werden soll unter einer Nebenbedingung $h$, hier angedeutet durch die fett eingezeichnete Kurve $M$ der Punkte, bei denen sie erf"ullt ist. Es scheint mir anschaulich recht offensichtlich, da"s Extrema von $f$ auf $M$ nur an Stellen $p\in M$ zu erwarten sind, an denen der Gradient von $f$ senkrecht steht auf $M$, also ein Vielfaches des Gradienten von $h$ ist. Im Bild h"atten wir etwa grob gesch"atzt $(\op{grad}f)(p)=-\frac{1}{2}(\op{grad}h)(p)$. Allerdings ist es f"ur reellwertige Funktionen auf der Papierebene streng genommen erst nach der Wahl eines Ma"sstabs sinnvoll, von Gradienten zu reden, und in allgemeineren F"allen erst nach Wahl eines Skalarprodukts auf dem Richtungsraum, weshalb ich im Satz die koordinatenfreie Formulierung mit Differentialen vorgezogen habe. \end{figure} \begin{Bemerkungl} In der Situation des Satzes nennt man ein lokales Extremum der Restriktion $f|_{M}$ auch ein {\bf lokales Extremum von $f$ unter den Nebenbedingungen}\index{Extrema!unter Nebenbedingungen} $h_{1}(q) = c_{1},\ldots,h_{m}(q) =c_{m}$ f"ur $c\pdef h(p)$. Die $\lambda_{i}$ hei"sen die {\bf Lagrange'schen Multiplikatoren}\index{Lagrange'sche Multiplikatoren}. Im Fall $X=\Bbb{R}^n$ kann man unsere Bedingung dahingehend interpretieren, da"s der Gradient der Funktion $f$ in $p$ auf $M$ senkrecht stehen mu"s, oder auch, da"s der Gradient der Funktion $f$ in $p$ eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen sein mu"s. Die Bedingung \glqq $\tiff_p h$ surjektiv\grqq\ hinwiederum kann man dahingehend interpretieren, da"s die Gradienten der $h_i$ bei $p$ linear unabh"angig sein sollen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Indem wir $U$ verkleinern, d"urfen wir nach \ref{MVRO} ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\tiff_{q}h$ surjektiv ist f"ur alle $q\in U$. Nach \ref{MN} ist dann $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit. Ist $\varphi : W \ra M$ eine Karte von $M$ um $p$ mit $p=\varphi (w)$, so hat $f|_{M\cap U}$ ein lokales Extremum bei $p$ genau dann, wenn $f \circ \varphi$ ein lokales Extremum bei $w$ hat. Nach \ref{MIKR} ist eine notwendige Bedingung daf"ur $\tiff _{w}(f\circ \varphi)=0$, als da hei"st $\tiff _{p}f\circ \tiff _{w}\varphi =0$. Andererseits haben wir $h \circ \varphi =0$, also $\tiff _{p}h\circ \tiff _{w}\varphi =0$. Aus Dimensionsgr"unden bilden die $\tiff _{p}h_{i}$ f"ur $1\leq i \leq m$ sogar eine Basis f"ur den Untervektorraum von $\vec{X}^{\ast}$ aller Linearformen, die auf dem Bild von $ \tiff _{w}\varphi$ verschwinden. Verschwindet auch $\tiff _{p}f$ auf diesem Teilraum, so mu"s es folglich als Linearkombination der $\tiff _{p}h_{i}$ geschrieben werden k"onnen. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir suchen lokale Extrema der Funktion $f:(x,y) \mapsto x+y$ auf dem Einheitskreis $M = S^{1}$ alias unter der Nebenbedingung $x^{2}+y^{2} =1$. Diese Nebenbedingung bedeutet, da"s die Funktion $h:(x,y) \mapsto x^{2}+y^{2}$ den Wert $1$ annehmen mu"s. Lokale Extrema k"onnen nach unserem Satz nur an Stellen $p\in M$ mit $\tiff _p f = \lambda \tiff_p h$ angenommen werden, also an Stellen $p=(x,y)\in S^{1}$ mit $(1,1)=\lambda(2x,2y)$. Damit kommen nur die beiden Stellen $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$ und $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ in Frage. Hier ist offensichtlich die erste ein lokales Minimum und die zweite ein lokales Maximum. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir suchen lokale Extrema der Funktion $f:(x,y,z) \mapsto ax+by+cz$ auf dem Einheitskreis $M = S^{1}\times 0$ in der $xy$-Ebene, d.h.\ unter den beiden Nebenbedingungen $h_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}=1$ und $h_2(x,y,z)=z=0$. Lokale Extrema k"onnen nach unserem Satz nur an Stellen $p\in M$ angenommen werden, f"ur die es $\lambda_1,\lambda_2\in\DR$ gibt mit $\tiff _p f = \lambda_1 \tiff _p h_1+\lambda_2 \tiff _p h_2$, also an Stellen $(x,y,z)\in M$ mit $$(a,b,c)=\lambda_1(2x,2y,0)+\lambda_2(0,0,1)$$ Daraus folgt jedoch schnell $\lambda_2=c$, und unter der zus"atzlichen Voraussetzung $(a,b)\neq (0,0)$ kommen nur die beiden Stellen $\pm(a^2 +b^2)^{-1/2}(a,b,0)$ in Frage. Wieder ist hier offensichtlich die eine ein lokales Minimum und die andere ein lokales Maximum. \end{Beispiel} \begin{Proposition*}[\textbf{Hinreichende Bedingungen f"ur Extrema}] Seien $U\co \DR^n$ offen und $h:U\ra\DR^m$ sowie $f:U\ra \DR$ zweimal stetig differenzierbar. Sei $p\in U$ gegeben mit $\tiff_ph$ surjektiv und sei $M\pdef \{q\in U\mid h(q)=h(p)\}$. Sei unsere notwendige Bedingung $\tiff _{p}f = \lambda_{1}\tiff _{p}h_{1} + \ldots + \lambda_{m}\tiff _{p}h_{m}$ f"ur ein Extremum der Restriktion $f|_M$ bei $p$ erf"ullt und sei $$Q\pdef \tiff^{(2)}_pf-\lambda_{1}\tiff^{(2)} _{p}h_{1} - \ldots - \lambda_{m}\tiff^{(2)} _{p}h_{m}$$ die quadratische Form auf $\DR^n$, die durch die angegebene Linearkombination von Hesse-Matrizen entsteht. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist unsere quadratische Form $Q$ positiv definit auf ${\op{ker}}(\tiff_ph)$, so hat $f|_M$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ negativ definit auf ${\op{ker}}(\tiff_ph)$, so hat $f|_M$ bei $p$ ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ indefinit auf ${\op{ker}}(\tiff_ph)$, so hat $f|_M$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Proposition*} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen wie beim Beweis des Satzes \ref{ExNe} "uber Extrema unter Nebenbedingungen. Indem wir $U$ verkleinern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\tiff_{q}h$ surjektiv ist f"ur alle $q\in U$. Nach \ref{MN} ist dann $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit. Es sei erw"ahnt, da"s $\op{ker}(\tiff_ph)={\op{T}}_pM$ nach \ref{MN} der Tangentialraum an unsere Mannigfaltigkeit $M$ im Punkt $p$ ist. Ist $\varphi : W \ra M$ eine Karte von $M$ um $p$ mit $p=\varphi (w)$, so hat $f|_{M\cap U}$ ein lokales Extremum bei $p$ genau dann, wenn $f \circ \varphi$ ein lokales Extremum bei $w$ hat. Nach \ref{MIKR} ist eine notwendige Bedingung daf"ur $\tiff _{w}(f\circ \varphi)=0$, als da hei"st $\tiff _{p}f\circ \tiff _{w}\varphi =0$, und wir hatten bereits gesehen, wie sich diese Bedingung "ubersetzt in die Bedingung der Existenz der Lagrange'schen Multiplikatoren. Nun approximiert die polynomiale Abbildung $$p+\vec v \mapsto f(p) + (\tiff_pf)(\vec v )+ \frac{1}{2}(\tiff^{(2)}_pf)(\vec v )$$ unsere Funktion $f$ bei $p$ bis zu zweiter Ordnung im Sinne von \ref{ReAp}. Ebenso approximiert die polynomiale Abbildung $$w+k\mapsto \varphi(w) + (\tiff_w\varphi)(k)+ \frac{1}{2}(\tiff^{(2)}_w\varphi)(k)$$ unsere Funktion $\varphi$ bei $w$ bis zu zweiter Ordnung. Nach \ref{RApp} approximieren folglich die Anteile vom Grad h"ochstens Zwei von deren Komposition alias die polynomiale Abbildung $$w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}(\tiff^{(2)}_pf)((\tiff_w\varphi)(k))+ \frac{1}{2}(\tiff_pf)((\tiff^{(2)}_w\varphi)(k))$$ unsere Funktion $f\circ\varphi$ bei $w$ bis zu zweiter Ordnung. Andererseits liefern die Bedingungen $h_i\circ\varphi=h_i(p)$ bei "Ubergang zu den Approximationen bis zum Grad Zwei bei $w$ die Identit"aten $(\tiff_p^{(2)}h_i)((\tiff_w\varphi)(k))+(\tiff_ph_i)((\tiff^{(2)}_w\varphi)(k))=0$ und damit $$(\tiff_pf)((\tiff^{(2)}_w\varphi)(k)) =-\sum_i\lambda_i (\tiff_p^{(2)}h_i)((\tiff_w\varphi)(k))$$ Auf diese Weise k"onnen wir die Approximation zur Ordnung Zwei von $f\circ\varphi$ bei $w$ umschreiben zu $$w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}(\tiff^{(2)}_pf)((\tiff_w\varphi)(k))- \frac{1}{2}\sum_i\lambda_i (\tiff_p^{(2)}h_i)((\tiff_w\varphi)(k))$$ alias $w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}Q((\tiff_w\varphi)(k))$. Wegen unserer Erkenntnis ${\op{im}}(\tiff_w\varphi)= {\op{ker}}(\tiff_ph)$ aus dem Beweis von \ref{ExNe} folgen unsere Behauptungen damit aus den Resultaten zu Extremwerten ohne Nebenbedingungen \ref{MMMV}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme die Extrema der Funktion $f(x,y)=x+y$ auf der Ellipse $x^2+2y^2=1$. An welchen Stellen werden diese Extrema angenommen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Extrema der Funktion $f(x,y,z)=x+y+z$ auf dem halben Ellipsoid $\{(x,y,z)\mid x^2+2y^2+3z^2=1, z\geq 0\}$. \end{Ubung} \subsection{Markov-Ketten*} \begin{Bemerkungl} Hier bespreche ich eine Anwendung des Banach'schen Fixpunktsatzes, die eigentlich eher in die lineare Algebra oder Wahrscheinlichkeitstheorie geh"ort. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben sei eine endliche Menge $E$, deren Elemente \defnoind{Zust"ande}\index{Zustand!bei Markovkette} hei"sen m"ogen.\index{Markovkette} Gegeben sei weiter eine $(E\times E)$-Matrix $Q$ mit Eintr"agen in $[0,1]$ und Spaltensummen Eins, in Formeln eine Abbildung $Q:E^2\ra [0,1],$ $(i,j)\mapsto Q_{ij}$ mit $\sum_{i} Q_{ij} =1$ f"ur alle $j.$ Wir nennen $Q_{ij}$ die {\bf "Ubergangswahrscheinlichkeit\index{"Ubergangswahrscheinlichkeit} vom Zustand $j$ in den Zustand $i$} und unsere Forderung $\sum_{i} Q_{ij} =1$ f"ur alle $j$ bedeutet, da"s \glqq vom Zustand $j$ aus im n"achsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit Eins wieder einer unserer Zust"ande erreicht werden soll\grqq. Das Datum $(E,Q)$ nennen wir eine {\bf Markov-Kette}.\index{Markov-Kette} Beginnen wir mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung $p$ auf $E$, also einer Abbildung $p:E \rightarrow \Bbb{R}_{\geq 0}$ mit $\sum_{i\in E} p(i) =1,$ und fassen sie als einen Spaltenvektor auf, so stellt sich nach einem Schritt die Verteilung $Q p$ ein und nach $n$ Schritten die Verteilung $Q^n p$. Wir stellen uns nun die Frage, unter welchen Umst"anden die Folge der $Q^n p$ f"ur alle $p$ konvergiert, unter welchen Umst"anden ihr Grenzwert zus"atzlich gar nicht von $p$ abh"angt, und wie schnell unsere Folge im Zweifelsfall konvergiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Zu einem endlichen K"ocher im Sinne von \eref{DKo}{LA2} mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s von jeder seiner Ecken mindestens ein Pfeil ausgeht, erhalten wir die Markov-Kette der \glqq zuf"alligen Wanderungen in unserem K"ocher\grqq\ wie folgt: Als Zust"ande nehmen wir die Ecken des K"ochers und denken uns dabei, da"s sich ein Wanderer an besagter Ecke befinden m"oge. In jedem Zeitschritt sucht sich unser Wanderer dann zuf"allig einen ausgehenden Pfeil aus und wandert auf diesem zur n"achsten Ecke. Verfeinern wir unsere Regel dadurch, da"s wir jedem Pfeil $i\leftarrow j$ noch eine Wahrscheinlichkeit $ Q_{ij}$ zuordnen, mit der er von unserem Wanderer ausgesucht wird, und fassen daf"ur alle mehrfachen Pfeile zwischen je zwei vorgegebenen Ecken zu einem einfachen Pfeil mit entsprechend h"oherer Wahrscheinlichkeit zusammen, so sind wir auch schon wieder beim allgemeinen Fall gelandet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Urnenmodell von Ehrenfest}]\index{Urnenmodell}\index{Ehrenfest!Urnenmodell} In zwei durch ein Loch verbundenen Kammern befinden sich insgesamt $N\geq 1$ nicht unterscheidbare Teilchen. Wir betrachten den Raum $E =\{0,1,\ldots, N\}$ aller \glqq Zust"ande\grqq, wobei der Zustand $i$ bedeuten m"oge, da"s sich $i$ Teilchen in der linken Kammer und die restlichen $N-i$ Teilchen in der rechten Kammer befinden. Als "Ubergangswahrscheinlichkeiten w"ahlen wir \begin{displaymath} Q_{ij} = \left\{ \begin{array}{cl} j/N & i=j-1;\\ (N-j)/N & i= j+1;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. \end{displaymath} In jedem Zeitschritt wechselt also genau ein Teilchen die Kammer, und die Wahrscheinlichkeit, da"s das ein Teilchen aus einer Kammer mit $j$ Teilchen ist, betr"agt genau $j/N$. In diesem Fall konvergiert die Folge $Q^n p$ nicht f"ur alle $p$, da sich ja in jeder Kammer immer abwechselnd erst eine gerade und dann wieder eine ungerade Anzahl von Teilchen befindet. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Konvergenz endlicher Markov-Ketten}] Ist bei einer endlichen Markovkette $(E,Q)$ die "Ubergangswahrscheinlichkeit zwischen je zwei Zust"anden positiv, in Formeln $Q_{ij} > 0 \;\forall i,j,$ so gibt es genau eine stabile Verteilung $s$ und f"ur jede Anfangsverteilung $p$ gilt\label{KEMa} \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty} Q^n p = s \end{equation*} \end{Satz} % \begin{Bemerkunge} % Es reicht auch die sch"achere Annahme, da"s % \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl} % Ich w"u"ste gerne, ob und wenn ja % wie die Beziehung zur Konvexgeometrie \ref{EWKK} % pr"azisiert werden kann. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bewertung von Seiten im Netz}] Die Bewertung von Seiten im Netz durch Suchmaschinen baut auf der Vorstellung auf, da"s ein Surfer auf einer gegebenen Seite jeden der Verweise zu weiteren Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit anklickt. Damit er nicht bei einer Seite h"angenbleiben kann, die auf gar keine weitere Seite verweist, denkt man sich dabei auf jeder Seite zus"atzlich einen Verweis angebracht, der einen beim Daraufklicken zu einer zuf"allig ausgesuchten Seite schickt, und der mit derselben Wahrscheinlichkeit angeklickt wird wie alle anderen. Die durch diese Markovkette bestimmte stabile Verteilung ist dann die gesuchte Bewertung von Seiten im Netz. Eine Seite ist damit desto h"oher bewertet, je mehr Seiten darauf verweisen, wobei Verweise von Seiten, die ihrerseits h"oher bewertet sind, entsprechend st"arker gewichtet werden. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Sicher beschreibt die Matrix $Q$ einen Endomorphismus von $\op{Ens}(E,\DR)$, der jeden Vektor der Standardbasis ins Innere des positiven Quadranten kippt und der die affine Hyperebene $ H= \{ (x_i)_{i \in E} \mid \sum x_i =1\} $ auf sich selbst abbildet. Es scheint mir damit anschaulich klar, da"s $Q$ eine Kontraktion $Q :H \ra H$ liefert und da"s der Fixpunkt dieser Kontraktion, dessen Existenz durch den Banach'schen Fixpunktsatz \ref{BFS} gesichert ist, im Innern des positiven Quadranten $\op{Ens}(E,\mathbb{R}_{>0})$ liegen mu"s. Um das zu beweisen reicht es zu zeigen, da"s $Q$ bez"uglich irgendeiner Norm kontrahierend wirkt auf der linearen Hyperebene $L$, die gegeben wird durch die Gleichung $\sum x_i =0$. Wir zeigen das bez"uglich der Norm $|x| = \sum |x_i|$. Sei $\delta$ der kleinste Eintrag von $Q$. Schreiben wir $Q = \delta U +R$ f"ur $U$ die Matrix mit einer Eins in jedem Eintrag, so hat $R$ nur nichtnegative Eintr"age. Damit erhalten wir f"ur $x\in L$ unschwer \begin{equation*} |Qx| = |Rx| = \sum_i \left|\sum_j R_{ij} x_j\right| \leq \sum_{i,j} R_{ij} |x_j| = \lambda |x| \end{equation*} f"ur $\lambda = 1 -n \delta$ die Summe der Eintr"age von $R$ in einer und jeder Spalte. Also ist $Q : H \ra H$ kontrahierend und hat genau einen Fixvektor $s,$ dessen Koordinaten alle positiv sein m"ussen. Alle anderen Eigenwerte von $Q$ m"ussen auch Eigenwerte der Einschr"ankung auf die lineare Ebene $L$ mit der Gleichung $\sum x_i =0 $ sein und sind folglich im Absolutbetrag beschr"ankt durch unsere Kontraktionskonstante $\lambda=1 -n \delta$. % , etwa nach % \eref{SPRR}{AN3} \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: