%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Umkehrsatz f"ur stetig differenzierbare Abbildungen} \begin{Definition} Eine im Sinne von \ref{SDi} stetig differenzierbare Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen normierter reeller R"aume nennt man auch eine \defnoind{${\cal{C}}^1$-Abbildung}\index{C@$\cal{C}^1$-Ab\-bil\-dung}. Der Buchstabe $\cal{C}$ steht hier f"ur englisch \glqq continous\grqq\ oder franz"osisch \glqq continu\grqq, zu deutsch stetig, und der obere Index $1$ deutet an, da"s nur die Existenz und Stetigkeit der ersten Ableitung gefordert wird.\label{DefDif} Eine bijektive ${\cal{C}}^1$-Abbildung, deren Umkehrung auch eine ${\cal{C}}^1$-Abbildung ist, hei"st ein\index{C@$\cal{C}^1$-Diffeomorphismus} {\bf ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus}\index{Diffeomorphismus!${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus}. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Umkehrsatz}]\index{Umkehrsatz} Seien $X,Y$ endlichdimensionale reelle\label{UKA} R"aume, $V \co X$ offen und $f: V \ra Y$ stetig differenzierbar. Ist an einer Stelle $p \in V$ das Differential ein Isomorphismus $\diff _pf: \vec{X} \sira \vec{Y}$, so induziert $f$ einen ${\cal{C}}^1$-Diffeo\-mor\-phis\-mus zwischen einer offenen Umgebung von $p$ in $V$ und einer offenen Umgebung von $f(p)$ in $Y$. \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNLT}\\[4mm] \noindent Eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen zusammenh"angenden Teilmenge $V\co \DR$ nach $\DR$ mit nirgends verschwindender Ableitung ist notwendig injektiv. Eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen zusammenh"angenden Teilmenge $V\co \DR^2$ in den $\DR^2$ mit "uberall injektivem Differential ist dahingegen im allgemeinen nur noch \glqq lokal injektiv\grqq\ in einer Weise, die der Umkehrsatz spezifiziert. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen diesen Satz nach einigen Vorbereitungen zu Ende dieses Abschnitts. Die Kettenregel liefert im "Ubrigen f"ur das Differential des Inversen eines ${\cal{C}}^1$-Diffeo\-morphis\-mus sofort die Formel $$\diff _{f(p)} (f^{-1})=(\diff _p f)^{-1}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{UKAa} Unser Umkehrsatz gilt auch f"ur unendlichdimensionale normierte R"aume $X,Y$, wenn wir zus"atzlich annehmen, da"s ihre Richtungsr"aume vollst"andig sind. Der Beweis bleibt derselbe, wenn wir zus"atzlich voraussetzen, da"s das Inverse des Vektor\-raumisomorphismus $\diff _p f$ stetig ist. Der Satz vom offenen Bild \ref{BSU} wird sp"ater einmal zeigen, da"s unsere zus"atzliche Voraussetzung "uberfl"ussig da automatisch erf"ullt ist, aber das soll vorerst weder bewiesen noch verwendet werden. Die Allgemeinheit unendlichdimensionaler R"aume ist durchaus auch von Interesse, er"offnet sie doch einen direkten Zugang zum Studium von L"osungen gew"ohnlicher Differentialgleichungen, wie in \ref{ALAW} ausgef"uhrt wird. Als erste Pr"ufung f"ur unseren Umkehrsatz "uberlege man sich die G"ultigkeit der Behauptung im Spezialfall $X=Y=\Bbb{R}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Punkt, der unter einer Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, hei"st ein \defind{Fixpunkt} besagter Abbildung. \end{Definition} \begin{Definition} \label{LiSt} Eine Abbildung $f$ zwischen zwei metrischen R"aumen hei"st \defind{Lipschitz-stetig} genau dann, wenn es eine Konstante $\lambda>0$ gibt mit $$d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)$$ f"ur alle $x,y$ im Ausgangsraum. Wir sagen dann auch, $f$ sei {\bf lipschitzstetig zur} \defind{Lipschitz-Konstante} $\lambda$. Eine Abbildung $f$ zwischen metrischen R"aumen hei"st {\bf kontrahierend} \index{kontrahierend!Abbildung metrischer R"aume} genau dann, wenn sie lipschitzstetig ist zu einer Lipschitzkonstante $\lambda<1$, wenn es also $\lambda < 1$ gibt mit $$d(f(x), f(y)) \leq \lambda d (x,y) \quad \forall x,y $$ % Jedes derartige $\lambda$ nennen wir dann einen % \defind{Kontraktionsfaktor} unserer Abbildung % und sagen dann etwa, unsere Abbildung sei \glqq kontrahierend mit % Kontraktionsfaktor $\lambda$\grqq. \end{Definition} \begin{Beispiel} Nat"urlich ist jede lipschitzstetige Abbildung stetig. Eine Abbildung $\DR\ra\DR$ ist lipschitzstetig zu einer Lipschitzkonstante $\lambda$ genau dann, wenn alle ihre Sekantensteigungen betragsm"a"sig beschr"ankt sind durch $\lambda$. Es ist hoffentlich anschaulich klar, da"s im Fall $\lambda <1$ der Graph einer derart \glqq flachen\grqq\ Funktion von $\DR$ nach $\DR$ oder auch von einem nichtleeren kompakten reellen Intervall in sich selber an genau einer Stelle die Hauptdiagonale alias den Graphen der Identit"at kreuzen mu"s. Der Cosinus ist als Abbildung $\DR\ra\DR$ keineswegs kontrahierend, das Supremum seiner Sekantensteigungen ist ja Eins. Die Einschr"ankung des Cosinus zu einer Abbildung $[0,1]\ra[0,1]$ ist jedoch kontrahierend, und den im Banach'schen Fixpunktsatz versteckten Algorithmus zur Bestimmung des Fixpunktes illustriert nebenstehende Abbildung. \end{Beispiel} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0023} \\ \noindent Schaltet man den Taschenrechner ein, stellt auf Bogenma"s und dr"uckt wiederholt die Taste \glqq cos\grqq, so wird man feststellen, da"s sich die Zahl in der Anzeige nach einer gewissen Zeit "uberhaupt nicht mehr "andert. Um das zu verstehen beachte man, da"s der Cosinus eine kontrahierende Selbstabbildung des Intervalls $[0,1]$ liefert, da n"amlich seine Ableitung dort betragsm"a"sig durch $\sin (1)\in (0,1)$ beschr"ankt ist. Der Beweis des Fixpunktsatzes \ref{BFS} zeigt, da"s unter diesen Umst"anden das wiederholte Anwenden stets eine Folge liefert, die gegen den Fixpunkt konvergiert. \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Banach'scher Fixpunktsatz}\index{Banach'scher Fixpunktsatz}] Jede kontrahierende Selbstabbildung eines nichtleeren\label{BFS} vollst"andigen metrischen Raums besitzt genau einen Fixpunkt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: M \ra M$ unsere kontrahierende Selbstabbildung und $\lambda<1$ eine Lipschitzkonstante. Wir w"ahlen $x_0 \in M$ und betrachten die rekusiv definierte Folge $x_{n+1} = f(x_{n})$. Mit Induktion folgt $d(x_{n},x_{n+1}) \leq \lambda^{n} d(x_{0},x_{1})$, und mit der Dreiecksungleichung folgt f"ur $n \leq m$ bereits $$d(x_{n},x_{m+1} ) \leq (\lambda^{n}+ \lambda^{n+1}+ \ldots + \lambda^{m}) d(x_{0},x_{1}) \leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_{0},x_{1})$$ Also ist unsere Folge $x_n$ eine Cauchy-Folge und konvergiert aufgrund der Vollst"andigkeit gegen einen Punkt $\lim_{n\ra \infty} x_{n} = p \in M$. Da nun eine kontrahierende Abbildung notwendig stetig ist, folgt aus der Vertauschbarkeit nach \eref{KFOm}{AN1} von Grenzwerten mit dem Anwenden stetiger Funktionen $$f(p)=\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \lim_{n\ra \infty} x_{n+1}=p$$ und wir haben schon mal einen Fixpunkt gefunden. Ist $q$ ein zweiter Fixpunkt, so folgt $d(p,q)= d(f(p), f(q)) \leq \lambda d(p,q)$ f"ur $\lambda < 1$ und damit $d(p,q) =0$, also $p =q$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Lassen wir in der Ungleichungskette aus obigem Beweis $m$ nach Unendlich streben, so erhalten wir f"ur den Abstand der $n$-ten Approximation $x_n$ zum Fixpunkt $p$ zus"atzlich die Absch"atzung $$d(x_{n},p ) \leq\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_{0},x_{1})$$ \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen}] Seien $X$ ein vollst"andiger normierter reeller Raum, $U\co X$ eine offene Teilmenge und $f : U \rightarrow X$ eine Abbildung,\label{VHBa} deren Differenz zur Identit"at $$(f -\op{id}) : U \rightarrow \vec{X}$$ kontrahierend ist, will sagen lipschitzstetig zu einer Lipschitzkonstante $\lambda <1$. So ist unsere Abbildung injektiv mit offenem Bild $f (U)\co X$ und ihre Umkehrabbildung\label{VHBaa} $f^{-1} : f(U) \rightarrow U$ ist lipschitzstetig zur Lipschitzkonstante $1/(1-\lambda)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Man kann sogar zeigen, da"s jede stetige injektive Abbildung von einer offenen Teilmenge eines $\DR^n$ in den $\DR^n$ offene Teilmengen auf offene Teilmengen abbildet und folglich eine stetige Umkehrabbildung hat. Dieser \glqq Satz "uber die Invarianz von Gebieten\grqq\ gilt jedoch nur im endlichdimensionalen Kontext und sein Beweis ben"otigt st"arkere Hilfsmittel, vergleiche etwa \eref{IvG}{TS}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Der Leser mag zur "Ubung aus den Argumenten des anschlie"senden Beweises folgern, da"s unter den Annahmen des Umkehrsatzes f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} genauer gilt $${\op{B}}(p;R)\subset U\;\;\RA\;\; {\op{B}} (f(p); (1-\lambda)R)\subset f(U)$$ \end{Bemerkunge} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, $X$ sei ein vollst"andiger normierter Vektorraum. Die Injektivit"at von $f$ ergibt sich, da aus unserer Annahme $\|(f - \op{id})(x)-(f - \op{id})(y)\|\leq \lambda\|x-y\|$ sofort folgt $\|y-x\|-\|f (x)-f (y)\|\leq \lambda\|x-y\|$ alias $$\|f (x)-f (y)\|\geq (1-\lambda)\|x-y\|$$ Durch Einsetzen von $x=f^{-1} (p)$ und $y=f^{-1} (q)$ folgt weiter ohne Schwierigkeiten $ \| p-q \| \geq (1-\lambda) \| f^{-1}(p) - f^{-1} (q)\| $ und damit sogar die Lipschitzstetigkeit der Umkehrfunktion $f^{-1}:f(U)\ra U$. Bis hierher brauchen wir weder $U$ offen noch $X$ vollst"andig anzunehmen, und unsere Aussagen sind wenig mehr als ein Spezialfall der allgemeinen Resultate f"ur \glqq nicht abstandsverkleinernde\grqq\ Abbildungen metrischer R"aume aus "Ubung \eref{ESDl}{AN1}. Der wesentliche Punkt besteht darin, zu zeigen, da"s $f$ offenes Bild hat. Dazu betrachten wir f"ur alle $y \in X$ die Abbildung $$\begin{array}{cccl} k_y :& U &\rightarrow &X\\ &x & \mapsto &x - f(x) + y \end{array}$$ Ihre Fixpunkte sind die Urbilder von $y$ unter $f$ und $k_y$ ist unter unseren Annahmen auch kontrahierend. Genauer gilt offensichtlich \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUFu}\\[4mm] \noindent F"ur eine Abbildung $f$ von einer offenen Teilmenge $U\co \DR$ nach $\DR$ ist $(f -\op{id})$ kontrahierend mit Kontraktionsfaktor $\lambda$ genau dann, wenn alle ihre Sekantensteigungen im Intervall $[1-\lambda, 1+\lambda]$ liegen. In diesem Fall sollte es anschaulich klar sein, da"s $f$ injektiv und offen ist und da"s die Sekantensteigungen der Umkehrfunktion betragsm"a"sig beschr"ankt sind durch $(1-\lambda)^{-1}:$ In diesem Fall liegen alle Sekantensteigungen der Umkehrfunktion sogar im Intervall $[(1+\lambda)^{-1}, (1-\lambda)^{-1} ]$. \end{figure} \begin{equation*} \| k_y (x) - k_y (z) \| \leq \lambda \|x -z\| \quad \forall x,z \in U \end{equation*} Gegeben $p \in U$ finden wir nun einen Radius $R>0$ derart, da"s der \glqq abgeschlossene Ball\grqq\ $${\op{A}}(p;R)\pdef \{x\in X\mid \|p-x\|\leq R\}$$ ganz in $U$ enthalten ist. F"ur $y \in {\op{B}} (f(p);(1-\lambda) R)$ bildet dann $k_y$ unseren abgeschlossenen Ball ${\op{A}}(p;R)$ in sich ab, denn f"ur diese $y$ gilt $\|p-k_y (p) \|=\|f(p)-y\|<(1-\lambda)R$ und damit % \begin{eqnarray*} % \|p -x\| \leq R &\Rightarrow & \|k_y (p) - k_y (x) \| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| (p-k_y(x)) + (y - f(p))\| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| p-k_y(x) \|-\|y - f(p)\| \leq \lambda R\\ % &\Rightarrow & \| p-k_y (x) \| \leq R % \end{eqnarray*} erhalten wir f"ur $x\in {\op{A}}(p;R)$ sogar \begin{eqnarray*} \|p - k_y (x) \| \leq \|p-k_y (p) \| + \|k_y (p) - k_y (x) \| < (1-\lambda)R + \lambda R = R \end{eqnarray*} Wenden wir den Banach'schen Fixpunktsatz \ref{BFS} auf die Selbstabbildung $k_y$ von $ {\op{A}}(p;R)$ an, das nach \eref{ABVV}{AN1} als abgeschlossene Teilmenge eines vollst"andigen metrischen Raums auch vollst"andig ist, so finden wir, da"s $k_y$ einen Fixpunkt in ${\op{A}}(p;R) $ haben mu"s. Es folgt $f({\op{A}}(p;R)) \supset {\op{B}} (f(p); (1-\lambda)R)$ und das zeigt, da"s das Bild von $f$ offen sein mu"s, in Formeln $f(U)\co X$. \end{proof} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUKS}\\[4mm] \noindent Das Verfahren aus dem Beweis von \ref{UKA} ist auch durchaus von praktischer Bedeutung: Ausgeschrieben besagt es, da"s wir eine L"osung $x$ der Gleichung $f(x)=y$ unter geeigneten Annahmen finden k"onnen als den Fixpunkt der kontrahierenden Abbildung $$\begin{array}{cccl} k_{y} :& U &\ra &X\\ &x & \mapsto & x + (\diff_pf)^{-1} \left(y-f(x)\right) \end{array}$$ f"ur $p$ mit $f(p)$ hinreichend nah bei $y$. Es ist dem Newtonverfahren aus \eref{NTV}{AN1} eng verwandt, stimmt jedoch nicht damit "uberein: Beim Newtonverfahren etwa im Fall einer Ver"anderlichen \glqq gehen wir ja immer auf der Tangente bei $(x,f(x))$ wieder herunter zur $x$-Achse\grqq, wohingegen wir bei unserer Korrektur $k_y$ aus besagtem Beweis stattdessen auf der Parallelen durch $(x,f(x))$ zur Tangente bei $(p,f(p))$ heruntergehen, wie im Bild dargestellt. \end{figure} \begin{proof}[Beweis des Umkehrsatzes f"ur $\mathcal C^1$-Abbildungen \ref{UKA}] Ohne Beschr"ankung der\linebreak\noindent Allgemeinheit seien $X,Y$ Vektorr"aume. Sicher reicht es, wenn wir den Satz f"ur $(\diff_p f)^{-1}\circ f$ statt f"ur $f$ zeigen. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X =Y$ und $\diff_p f = \op{id}$ annehmen. Es folgt $\diff_p (f-\op{id})=0$. W"ahlen wir eine Norm auf $X$ und beachten, da"s $f$ stetig differenzierbar angenommen war, so folgt leicht die Existenz eines offenen Balls $B$ um $p$ mit $\| \diff_x (f-\op{id}) \| \leq 1/2 \quad \forall x \in B$. Nach \ref{Asc} ist dann jedoch $(f-\op{id}) : B \rightarrow X$ kontrahierend mit Lipschitzkonstante $\leq(1/2)$. Mit unserem Umkehrsatz f"ur stetige Abbildungen \ref{VHBa} folgt, da"s $f$ eine Injektion mit offenem Bild $f:B\hra X$ liefert, deren Umkehrung lipschitzstetig ist zur Lipschitzkonstante Zwei. Um die Differenzierbarkeit von $f^{-1}:f(B)\ra B$ an der Stelle $f(p)$ zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s gilt $p=0$ und $f(p)=0$. Da wir $f$ differenzierbar bei $p$ mit Differential $\op{id}$ angenommen hatten, k"onnen wir dann schreiben $$f(x) = x + \|x\| \varepsilon (x) $$ f"ur eine Abbildung $\varepsilon:B\ra X$, die stetig ist bei $0$ und die dort den Wert Null annimmt. Setzen wir hier $x = f^{-1} (y)$ ein mit $y\in f(B)$, so ergibt sich $$y = f^{-1} (y) + \| f^{-1}(y)\| \;\varepsilon (f^{-1}(y))$$ Nun liefert die Lipschitzstetigkeit der Umkehrfunktion f"ur unseren eben gew"ahlten offenen Ball $B$ nach \ref{VHBaa} aber auch f"ur alle $y\in f(B)$ die Absch"atzung $\|f^{-1} (y)\|\leq 2\|y\|$. Zusammen ergibt sich dann leicht $$\lim_{y\ra 0}\frac{f^{-1} (y)-y}{\|y\|}=0$$ Das aber besagt gerade, da"s die Umkehrabbildung $f^{-1}$ bei $y=0$ differenzierbar ist mit Differential $\op{id}$. Verkleinern wir unsere offene Umgebung von $p$ noch so weit, da"s $\diff f$ dort "uberall invertierbar ist, so folgt die Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung an jeder Stelle des Bildes unserer verkleinerten offenen Umgebung. Die Stetigkeit des Differentials der Umkehrabbildung folgt dann leicht aus der Stetigkeit des Differentials der urspr"unglichen Abbildung und der Stetigkeit des Invertierens linearer Abbildungen, vergleiche im Fall von Banachr"aumen etwa \ref{DInvN}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Vorarbeit f"ur Eckfaltigkeiten}] Seien $B,A\subset \DR^n$ halboffene Teilmengen. Sei $B$ konvex und $f:B\sira A$ eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung. Ist das Differential von $f$ an jeder Stelle injektiv und ist die Umkehrabbildung $f^{-1}$ stetig, so ist die\label{VBEF} Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar. \end{Lemma} \begin{proof} Das zeigen Argumente des vorhergehenden Beweises. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\| \diff_x (f-\op{id}) \| \leq 1/2 \quad \forall x \in B$ annehmen. Nach \ref{Asc} ist dann wieder $(f-\op{id}) : B \rightarrow \DR^n$ kontrahierend mit Lipschitzkonstante $\leq(1/2)$ und $f$ verkleinert Abst"ande h"ochstens um den Faktor Zwei. Folglich vergr"o"sert $f^{-1}$ Abst"ande h"ochstens um den Faktor Zwei und wir k"onnen argumentieren wie zum Schlu"s des vorhergehenden Beweises. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{CEOo} Eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Raum hat offenes Bild, wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist. Ist unsere stetig differenzierbare Abbildung zus"atzlich injektiv, so liefert sie einen Diffeomorphismus unserer offenen Teilmenge mit ihrem Bild. \end{Ubung}