%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Untermannigfaltigkeiten reeller R"aume}\label{EMF} \begin{Bemerkungl} Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir Formeln herleiten f"ur die Oberfl"ache einer Kugel oder eines Ellipsoids oder eines Torus alias Schwimmrings im $\DR^3$ und allgemeiner Maxima und Minima von Funktionen auf derartigen Gebilden untersuchen. Sp"ater werden wir dar"uber hinaus Funktionen "uber derartige Gebilde integrieren. Um alle diese Formeln in angemessener Allgemeinheit diskutieren zu k"onnen, f"uhren wir hier den Begriff der Untermannigfaltigkeit einer endlichdimensionalen reellen Raums ein und erkl"aren, wie man mit diesem Begriff umgeht. Anschlie"send diskutieren wir dann Extremwertaufgaben. % Die Integration % "uber Untermannigfaltigkeiten % besprechen wir erst in \ref{OFLM} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLPK}\\[4mm] \noindent Der Einheitskreis ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit der Ebene $M\subset \DR^2$. Eine Pl"attung um beliebige Punkte aus der oberen Halbebene $U$ wird etwa gegeben durch $g(x,y)=(x,\sqrt{x^2+y^2}-1)$. In diesem Fall besteht $g(U)$ aus dem schraffierten Bereich, also aus allen Punkten oberhalb des Graphen der Funktion $x\mapsto |x|-1$. \end{figure} \begin{Definition}\label{MFoR} Sei $X$ ein reeller Raum endlicher Dimension und $k\geq 0$ eine nat"urliche Zahl. Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine {\bf $k$-dimensionale ${\cal{C}}^1$-Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit}\index{Mannigfaltigkeit!Untermannigfaltigkeit von affinem Raum} oder kurz {\bf Untermannigfaltigkeit}\index{Untermannigfaltigkeit!von affinem Raum} von $X$ genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein Paar $(U,g)$ gibt bestehend aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $p$ und einem ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ von $U$ auf eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$ derart, da"s gilt: $$ g(U\cap M)=\{z\in g(U) \mid z_{k+1}=\ldots=z_n=0\} $$ Ein derartiges Paar $(U,g)$ hei"st eine \defind{Pl"attung} von $M$ um $p$. Na\-t"ur\-lich gilt hier notwendig $n=\dim_{\Bbb{R}} X$. Auf der rechten Seite unserer Gleichung h"atte ich auch k"urzer $g(U)\cap (\Bbb{R}^{k}\times 0^{n-k})$ schreiben k"onnen, wobei die $0^{n-k}$ f"ur die einelemen\-tige Menge $\{0\}\subset \Bbb{R}^{n-k}$ steht. In vergleichbaren Situationen werde ich von nun an diese abgek"urzte Darstellung bevorzugen. Im Grenzfall $k=n=\dim_{\Bbb{R}} X$ ist insbesondere eine Untermannigfaltigkeit dasselbe wie eine offene Teilmenge. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Autoren fordern von Mannigfaltigkeiten zus"atzlich, da"s sie zusammenh"angend sein sollen. Andere Autoren, zum Beispiel Warner \cite{Warner}, verwenden den Begriff einer Untermannigfaltigkeit in einer anderen Bedeutung: Unsere Untermannigfaltigkeiten im Sinne der vorhergehenden Definition w"urden diese Autoren als \glqq eingebettete Untermannigfaltigkeiten\grqq\ bezeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{LoKorr} Sei $X$ ein reeller Raum endlicher Dimension. Einen ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphis\-mus $g$ von einer offenen Umgebung $U$ eines Punktes $p\in X$ auf eine offene Teilmenge $g(U)$ eines $\DR^n$ nennt man auch ein {\bf lokales} \defind{Koordinatensystem} um den Punkt $p$ und die Komponenten $g_1,\ldots ,g_n$ von $g$ hei"sen die \defind{Koordinaten} $g_i:U\ra \DR$ unseres Koordinatensystems. Ein typisches Beispiel sind etwa die Polarkoordinaten auf offenen Teilmengen von $X=\DR^2$, bei denen man statt $(g_1,g_2)$ meist $(r, \vartheta)$ schreibt. In dieser Terminologie kann etwa eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension Eins beschrieben werden als eine Teilmenge $M\subset X$ derart, da"s es um jeden Punkt $p\in M$ ein lokales Koordinatensystem von $X$ gibt, unter dem $M$ einer Koordinatenachse entspricht. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Jeder affine Teilraum $Y\subset X$ ist eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $\op{dim}Y$. Der Graph jeder $\cal{C}^1$-Funktion $f:\DR^2\ra\DR$ ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des $\DR^3$, als Pl"attung mag man $g :\DR^3\sira \DR^3$ mit $g(x,y,z)=(x,y,z-f(x,y))$ nehmen. Der Einheitskreis ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des $\DR^2$. Eine Untermannigfaltigkeit der Dimension Null ist dasselbe wie eine diskrete Teilmenge im Sinne von \ref{DiTMm}. \end{Beispiele} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildBorr}\hfill \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildKno}\\[4mm] \noindent Die links abgebildete Verschlingung ist besonders bemerkenswert dadurch, da"s je zwei der Ringe getrennt werden k"onnten, wenn eben der Dritte nicht w"are. Sie hei"st die Verschlingung der \defnoind{Borrom"aischen Ringe}\index{Borrom"aische Ringe} nach einer italienischen Familie, die diese Ringe in ihrem Wappen f"uhrte. Rechts ein Beispiel f"ur einen Knoten. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=8cm]{SkriptenBilder/BildMUB}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis des Satzes \ref{MN} "uber Mannigfaltigkeiten als Urbilder. Dick gezackelt eine Niveaulinie einer Funktion $f:U\ra\DR$ mit $U\co\DR^2$. Liegt $p$ auf dieser Niveaulinie und ist $\diff_pf$ surjektiv alias nicht null, so l"a"st sich $f$ durch eine lineare Abbildung, im Bild die Abbildung $y$, zu einem lokalen Koordinatensystem erg"anzen, und der Umkekrsatz \ref{UKA} liefert dann die gesuchte lokale Pl"attung unserer Niveaulinie. \end{figure} \begin{Bemerkunge}\label{VeSC} Eine kompakte Untermannigfaltigkeit der Dimension Eins in $\DR^3$ hei"st eine \defind{Verschlingung} und, wenn sie zus"atzlich wegzusammenh"angend ist, ein \defind{Knoten}. Zwei Verschlingungen hei"sen \defnoind{isotop}\index{isotop!Verschlingungen} genau dann, wenn sie durch einen ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus $\DR^3\sira \DR^3$ mit "uberall positiver Funktionaldeterminante ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen. Die \glqq Knotentheorie\grqq\ versucht, Kriterien daf"ur zu entwickeln, wann zwei gegebene Verschlingungen isotop sind. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{DimI} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Sp"atestens mit \ref{KaWe} wird klar, da"s f"ur $k,l\in\DN$ eine Teilmenge $M\subset X$ nur dann sowohl eine $k$-di\-men\-sio\-na\-le als auch eine $l$-dimensionale Untermannigfaltigkeit sein kann, wenn entweder gilt $k=l$ oder aber $M=\emptyset$. Jede nichtleere Untermannigfaltigkeit hat also eine wohlbestimmte Dimension. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Rand} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Eine Untermannigfaltigkeit der Dimension Eins von $X$ hei"st eine {\bf Kurve}\index{Kurve!in reellem Raum} in $X$ und eine Untermannigfaltigkeit der Dimension Zwei eine \defind{Fl"ache}. Gegeben $k\leq \op{dim}X$ versteht man unter einer Untermannigfaltigkeit der {\bf Kodimension}\index{Kodimension!einer Untermannigfaltigkeit} $k$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $(\op{dim}X) -k$. Eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension Eins hei"st eine {\bf Hyperfl"ache}.\index{Hyperfl"ache!Untermannigfaltigkeit} Jede offene Teilmenge einer Untermannigfaltigkeit ist selbst eine Untermannigfaltigkeit derselben Dimension. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Untermannigfaltigkeiten als Urbilder}] Seien $X$ und $Y$ endlichdi\-mensionale\label{MN} reelle R"aume, $U\co X$ eine offene Teilmenge und $f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit "uberall surjektivem Differential. So ist f"ur alle $c\in Y$ das Urbild $M=f^{-1}(c)$ eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $X=\DR^n$ und $Y=\DR^m$ annehmen und haben dann $f= (f_{1}, \ldots, f_{m})$. F"ur jedes $p\in M$ finden wir sicher lineare Abbildungen $l_{m+1}, \ldots, l_{n} : X \ra \Bbb{R}$ derart, da"s das Differential von $g = ( f_{1}, \ldots, f_{m},l_{m+1}, \ldots , l_{n})$ in $p$ bijektiv ist. Nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} gibt es dann $U^{\prime} \co U$ mit $p \in U^{\prime}$ derart, da"s $g$ einen ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus $U^{\prime} \sira g(U^{\prime}) \co \Bbb{R}^{n}$ induziert, und nach Konstruktion gilt $g(U^{\prime} \cap M) = g (U^{\prime}) \cap ( \{c\}\times\Bbb{R}^{n-m} )$. Damit erh"alt man dann leicht die gesuchte Pl"attung von $M$ um $p$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die {\bf Sph"aren}\index{S@$S^{n}$ die $n$-Sph"are} $S^{n} = \{ x \in \Bbb{R}^{n+1}\mid x^{2}_{1} + \ldots + x^{2}_{n+1} = 1 \}$ sind $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten in $\Bbb{R}^{n+1}$, denn das Differential von $x \mapsto x_1^2+\ldots +x_{n+1}^2$ verschwindet nirgends auf der Sph"are $S^{n}$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Jede Untermannigfaltigkeit ist lokal ein Graph}] Gegeben eine $k$-dimensionale Untermanngifaltigkeit $M\subset\DR^n$ gibt es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine offene Umgebung $U\co \DR^n$ und eine Permutation $\sigma\in\cal S_n$ derart, da"s $M\cap U$ unter der entsprechenden Permutation der Koordinaten dem Graph einer $\cal C^1$-Abbildung $V\ra \DR^{n-k}$ entspricht, die auf einer offenen Teilmenge $V\co \DR^k$ definiert ist. Zum Beispiel ist jede eindimensionale Untermannigfaltigkeit der Ebene $\DR^2$ lokal entweder Graph einer reellwertigen $\cal C^1$-Funktion der $x$-Koordinate oder der an der Hauptdiagonalen gespiegelte Graph einer reellwertigen $\cal C^1$-Funktion der $y$-Koordinate. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{UBOR} In der Situation von \ref{MN} ist allgemeiner auch f"ur jede Untermannigfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=f^{-1}(C)$ eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ und $c\neq 0$ eine reelle Konstante, so ist $\{v\in V\mid \langle v,v\rangle=c$ eine Hyperfl"ache in $V$. \end{Ubung}