%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Karten und Koordinatensysteme} \begin{Proposition}[\textbf{Untermannigfaltigkeiten als Bilder}] Seien ein endlichdimensionaler\label{KKR} reeller Raum $X$ der Dimension $\dim_{\Bbb{R}} X =n$ und $k\geq 0$ gegeben. Eine Teilmenge $M \subset X$ ist eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi : W \ra X$ von einer offenen Teilmenge $W \co \Bbb{R}^{k}$ nach $X$ gibt derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $\varphi (W)$ ist enthalten in $M$ und offen in $M$ und enth"alt $p$; \item $\diff _{x} \varphi$ ist injektiv f"ur alle $x\in W$; \item $\varphi$ ist injektiv und $\varphi^{-1}:\varphi (W) \ra W$ ist stetig. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGbK}\\[4mm] \noindent Ein Beispiel einer Teilmenge $M$ der Papierebene, die keine Untermannigfaltigkeit ist und f"ur die die Bedingung aus \ref{KKR} erf"ullt w"are, wenn wir von unseren Karten nicht auch noch fordern w"urden, da"s ihre Umkehrabbildungen stetig sind. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{Karte} Ein Paar $(W,\varphi)$ wie in der Proposition nenne ich eine {\bf Karte}\index{Karte} der %berandeten Untermannigfaltigkeit $M$. Eine Karte der Stadt Freiburg kann als eine Variante dieses Begriffs verstanden werden, bei der $W$ ein Rechteck aus Papier ist und das Bild einiger Punkte des Papiers unter der Abbildung $\varphi$ in das wirkliche Freiburg durch bildliche Symbole angezeigt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall $k=0$ stellt bereits die erste Bedingung sicher, da"s jeder Punkt von $M$ offen ist in $M$, so da"s $M$ in der Tat eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit von $X$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $k$ und $( U ,g)$ eine Pl"attung von $M$, so liefert die Einschr"ankung von $g^{-1}$ auf $W=g (U) \cap (\Bbb{R}^{k}\times 0^{n-k} )$ eine Karte von $M$. Folglich hat eine Untermannigfaltigkeit um jeden Punkt mindestens eine Karte. Ist andererseits $\varphi : W \ra M\subset X$ eine Karte von $M$ um $p$ mit $W \co \Bbb{R}^{k}$, so k"onnen wir Vektoren $v_{1}, \ldots , v_{n-k} \in \vec{X}$ finden derart, da"s das Differential von $$\begin{array}{cccl} \tilde{\varphi} : &W\times \Bbb{R}^{n-k} & \ra & X\\ &(w,t_{1}, \ldots , t_{n-k}) & \mapsto & \varphi (w) + t_{1} v_{1} + \ldots + t_{n-k} v_{n-k} \end{array}$$ im Punkt $(\varphi^{-1}(p),0^{n-k})$ bijektiv ist. \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKarte}\\ \noindent Ein Bild zum Beweis von \ref{KKR} im Fall $n=k=1$ \end{figure} Nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} induziert $\tilde{\varphi}$ dann einen ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung $G \co W \times \Bbb{R}^{n-k}$ von $(\varphi^{-1} (p), 0^{n-k})$ auf eine offene Umgebung $\tilde{U}\co X$ von $p$. K"urzen wir in etwas gewagter Notation $$\{ w\in W\mid (w,0^{n-k})\in G\}= W\cap G$$ ab, so ist $W\cap G$ offen in $W$ und damit $\varphi(W\cap G)$ offen in $\varphi(W)$ und damit in $M$. Also gibt es $U_1\co X$ mit $\varphi(W\cap G)=M\cap U_1$. Dann setzen wir $U=\tilde{U}\cap U_1$ und $g= \tilde{\varphi}^{-1} : U \ra \Bbb{R}^{n}$ ist die gesuchte Pl"attung von $M$ um $p$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{LoKoM} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit. Die Umkehrabbildung $\varphi^{-1}:\varphi(W)\ra \DR^k$ zu einer Karte $\varphi:W\ra M$ von $M$ nennen wir in Verallgemeinerung von \ref{LoKorr} ein {\bf lokales Koordinatensystem von}\index{lokales Koordinatensystem} $M$ und seine Komponenten $\op{pr}_{i} \circ \varphi^{-1} :\varphi (W) \ra \Bbb{R}$ f"ur $1 \leq i \leq k$ nennen wir {\bf lokale Koordinaten auf}\index{lokale Koordinaten} $M$. Viele Autoren verwenden allerdings auch eine andere Terminologie und verstehen unter einer Karte das, was wir ein Koordinatensystem genannt haben. Lokale Koordinaten um einen Punkt der Erdoberfl"ache, der nicht gerade auf dem sogenannten \glqq Nullmeridian\grqq\ liegt, sind etwa die L"angen- und Breitengrade. Bilden Funktionen $x_1,\ldots, x_k:U\ra\DR$ ein System von lokalen Koordinaten auf einer offenen Teilmenge $U\co M$ einer Mannigfaltigkeit, und ist $f:U\ra \DR$ eine Funktion, so bezeichnen wir mit $$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$ auch die Funktion $U\ra\DR$, die unter der zugeh"origen Karte $\varphi:W\sira U$ verwandt ist zu $\frac{\partial (f\circ \varphi)}{\partial x_i}$, wenn denn $f\circ \varphi$ partiell differenzierbar ist nach der $i$-ten Variablen. Auch hier gilt es zu beachten, da"s $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ von der Wahl aller Koordinaten abh"angt, und keineswegs nur von der $i$-ten Koordinate. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DKWe} Sind $( W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$ zwei Karten einer Untermannigfaltigkeit $M$, so setzen wir $W_{\al\beta} = \varphi^{-1}_{\al}( \varphi_{\beta} (W_{\beta}))$ und nennen die Abbildung $$\varphi_{\beta\al} \pdef \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} : W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$$ den {\bf Kartenwechsel}\index{Kartenwechsel} zwischen unseren beiden Karten. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{KaWe} Kartenwechsel sind stets ${\cal{C}}^1$-Diffeomorphismen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Beweis von \ref{KKR} kann man f"ur $(W,\varphi)$ eine Karte und $p\in \varphi(W)$ einen Punkt aus ihrem Bild stets eine offene Umgebung $U$ von $p$ in $X$ finden derart, da"s $\varphi^{-1}:U\cap \varphi(W)\ra W$ die Restriktion einer Pl"attung $g:U\ra \DR^n$ unserer Mannigfaltigkeit ist. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AusDK} Man zeige: Gegeben eine Karte $(W,\varphi)$ einer Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ und ein Punkt $p\in W$ gibt es stets ein Paar $(U,g)$ bestehend aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $\varphi(p)$ und einer $\mathcal C^1$-Abbildung $g:U\ra W$ derart, da"s gilt $g(\varphi(y))=y$ f"ur alle $y\in\varphi^{-1}(U)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Doppelkegel $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=z^2\}$ ist keine Untermanngigfaltigkeit des $\DR^3$. Auch die Teilmenge aller seiner Punkte mit nichtnegativer $z$-Koordinate ist keine Untermanngigfaltigkeit des $\DR^3$. Entfernen wir aus dem Doppelkegel jedoch den Ursprung, so erhalten wir eine Untermanngigfaltigkeit des $\DR^3$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EBM} Seien $X\subset Y$ ein endlichdimensionaler reeller Raum mit einem affinen Teilraum. So ist eine Teilmenge $M\subset X$ als Teilmenge von $Y$ eine Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn $M$ als Teilmenge von $X$ eine Untermannigfaltigkeit ist. \end{Ubung}