%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Extrema auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Satz}[\textbf{Extrema unter Nebenbedingungen}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $U\co X$ offen, $g: U \ra \Bbb{R}^{m}$ stetig differenzierbar\label{ExNe} und $p \in U$ ein Punkt mit $\diff_{p}f$ surjektiv. Wir setzen $$M \pdef \{q\in U\mid g(q) = g(p)\}$$ Besitzt dann f"ur eine differenzierbare Funktion $f:U \ra \Bbb{R}$ ihre Einschr"ankung $f|_M$ ein lokales Extremum bei $p$, so gibt es $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m} \in \Bbb{R}$ mit $$\diff _{p}f = \lambda_{1}\diff _{p}g_{1} + \ldots + \lambda_{m}\diff _{p}g_{m}$$ \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLM}\\[4mm] \noindent Dies Bild soll den Satz "uber Extrema mit Nebenbedingungen veranschaulichen f"ur den Fall einer Funktion $f$ auf der Papierebene, hier angedeutet durch einige gestrichelt engezeichnete Niveaulinien, die maximiert werden soll unter einer Nebenbedingung $g$, hier angedeutet durch die fett eingezeichnete Kurve $M$ der Punkte, bei denen sie erf"ullt ist. Es scheint mir anschaulich recht offensichtlich, da"s Extrema von $f$ auf $M$ nur an Stellen $p\in M$ zu erwarten sind, an denen der Gradient von $f$ senkrecht steht auf $M$, also ein Vielfaches des Gradienten von $g$ ist. Im Bild h"atten wir etwa grob gesch"atzt $(\op{grad}f)(p)=-\frac{1}{2}(\op{grad}g)(p)$. Allerdings ist es f"ur reellwertige Funktionen auf der Papierebene streng genommen erst nach der Wahl eines Ma"sstabs sinnvoll, von Gradienten zu reden, und in allgemeineren F"allen erst nach Wahl eines Skalarprodukts auf dem Richtungsraum, weshalb ich im Satz die koordinatenfreie Formulierung mit Differentialen vorgezogen habe. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Mit der Notation $g(p)=c$ mag man in dieser Situation ein lokales Extremum der Restriktion $f|_{M}$ auch ein {\bf lokales Extremum von $f$ unter den Nebenbedingungen}\index{Extrema!unter Nebenbedingungen} $g_{1}(q) = c_{1},\ldots, g_{m}(q) =c_{m}$. Die $\lambda_{i}$ hei"sen die {\bf Lagrange'schen Multiplikatoren}\index{Lagrange'sche Multiplikatoren}. Im Fall $X=\Bbb{R}^n$ kann man unsere Bedingung dahingehend interpretieren, da"s \glqq der Gradient der Funktion $f$ in $p$ auf $M$ senkrecht stehen mu"s\grqq\ oder auch, da"s \glqq der Gradient der Funktion $f$ in $p$ eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen sein mu"s\grqq. Die Bedingung \glqq $\diff_p g$ surjektiv\grqq\ hinwiederum kann man dahingehend interpretieren, da"s die Gradienten der $g_i$ bei $p$ linear unabh"angig sein sollen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Indem wir $U$ verkleinern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\diff_{q}g$ surjektiv ist f"ur alle $q\in U$. Nach \ref{MN} ist dann $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit. Ist $\varphi : W \ra M$ eine Karte von $M$ um $p$ mit $p=\varphi (w)$, so hat $f|_{M\cap U}$ ein lokales Extremum bei $p$ genau dann, wenn $f \circ \varphi$ ein lokales Extremum bei $w$ hat. Nach \ref{MIKR} ist eine notwendige Bedingung daf"ur $\diff _{w}(f\circ \varphi)=0$, als da hei"st $\diff _{p}f\circ \diff _{w}\varphi =0$. Wir haben aber eh $g \circ \varphi =0$, also $\diff _{p}g\circ \diff _{w}\varphi =0$, und aus Dimensionsgr"unden bilden die $\diff _{p}g_{i}$ f"ur $1\leq i \leq m$ sogar eine Basis f"ur den Untervektorraum von $\vec{X}^{\ast}$ aller Linearformen, die auf dem Bild von $ \diff _{w}\varphi$ verschwinden. Verschwindet auch $\diff _{p}f$ auf diesem Teilraum, so mu"s es folglich als Linearkombination der $\diff _{p}g_{i}$ geschrieben werden k"onnen. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir suchen lokale Extrema der Funktion $f:(x,y) \mapsto x+y$ auf dem Einheitskreis $M = S^{1}$, d.h.\ unter der Nebenbedingung $x^{2}+y^{2} =1$. Diese Nebenbedingung bedeutet, da"s die Funktion $g:(x,y) \mapsto x^{2}+y^{2}$ den Wert 1 annehmen mu"s. Lokale Extrema k"onnen nach unserem Satz nur an Stellen $p\in M$ mit $\diff _p f = \lambda \diff _p g$ angenommen werden, also an Stellen $p=(x,y)\in S^{1}$ mit $(1,1)=\lambda(2x,2y)$. Damit kommen nur die beiden Stellen $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$ und $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ in Frage. Hier ist offensichtlich die erste ein lokales Minimum und die zweite ein lokales Maximum. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir suchen lokale Extrema der Funktion $f:(x,y,z) \mapsto ax+by+cz$ auf dem Einheitskreis $M = S^{1}\times 0$ in der $xy$-Ebene, d.h.\ unter den beiden Nebenbedingungen $g_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}=1$ und $g_2(x,y,z)=z=0$. Lokale Extrema k"onnen nach unserem Satz nur an Stellen $p\in M$ angenommen werden, f"ur die es $\lambda_1,\lambda_2\in\DR$ gibt mit $\diff _p f = \lambda_1 \diff _p g_1+\lambda_2 \diff _p g_2$, also an Stellen $(x,y,z)\in M$ mit $$(a,b,c)=\lambda_1(2x,2y,0)+\lambda_2(0,0,1)$$ Daraus folgt jedoch schnell $\lambda_2=c$, und unter der zus"atzlichen Voraussetzung $(a,b)\neq (0,0)$ es kommen nur die beiden Stellen $\pm(a^2 +b^2)^{-1}(a,b,0)$ in Frage. Wieder ist hier offensichtlich die eine ein lokales Minimum und die andere ein lokales Maximum. \end{Beispiel} \begin{Proposition*}[\textbf{Hinreichende Bedingungen f"ur Extrema}] Seien $U\co \DR^n$ offen und $g:U\ra\DR^m$ sowie $f:U\ra \DR$ zweimal stetig differenzierbar. Sei $p\in U$ gegeben mit $\diff_pg$ surjektiv und sei $M\pdef \{q\in U\mid g(q)=g(p)\}$. Sei unsere notwendige Bedingung $\diff _{p}f = \lambda_{1}\diff _{p}g_{1} + \ldots + \lambda_{m}\diff _{p}g_{m}$ f"ur ein Extremum der Restriktion $f|_M$ bei $p$ erf"ullt und sei $$Q\pdef \diff^2_pf-\lambda_{1}\diff^2 _{p}g_{1} - \ldots - \lambda_{m}\diff^2 _{p}g_{m}$$ die quadratische Form auf $\DR^n$, die durch die angegebene Linearkombination von Hesse-Matrizen entsteht. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist unsere quadratische Form $Q$ positiv definit auf $\op{ker}\diff_pg$, so hat $f|_M$ bei $p$ ein isoliertes lokales Minimum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ negativ definit auf $\op{ker}\diff_pg$, so hat $f|_M$ bei $p$ ein isoliertes lokales Maximum; \item Ist unsere quadratische Form $Q$ indefinit auf $\op{ker}\diff_pg$, so hat $f|_M$ bei $p$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. \end{enumerate} \end{Proposition*} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen wie beim Beweis von \ref{ExNe}. Indem wir $U$ verkleinern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $\diff_{q}g$ surjektiv ist f"ur alle $q\in U$. Nach \ref{MN} ist dann $M\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit. Ist $\varphi : W \ra M$ eine Karte von $M$ um $p$ mit $p=\varphi (w)$, so hat $f|_{M\cap U}$ ein lokales Extremum bei $p$ genau dann, wenn $f \circ \varphi$ ein lokales Extremum bei $w$ hat. Nach \ref{MIKR} ist eine notwendige Bedingung daf"ur $\diff _{w}(f\circ \varphi)=0$, als da hei"st $\diff _{p}f\circ \diff _{w}\varphi =0$, und wir hatten bereits gesehen, wie sich diese Bedingung "ubersetzt in die Bedingung der Existenz der Lagrange'schen Multiplikatoren. Nun approximiert die polynomiale Abbildung $$p+h\mapsto f(p) + (\diff_pf)(h)+ \frac{1}{2}(\diff^2_pf)(h)$$ unsere Funktion $f$ bei $p$ bis zu zweiter Ordnung im Sinne von \ref{ReAp}. Ebenso approximiert die polynomiale Abbildung $$w+k\mapsto \varphi(w) + (\diff_w\varphi)(k)+ \frac{1}{2}(\diff^2_w\varphi)(k)$$ unsere Funktion $\varphi$ bei $w$ bis zu zweiter Ordnung. Nach \ref{RApp} approximieren folglich die Anteile vom Grad h"ochstens Zwei von deren Komposition alias die polynomiale Abbildung $$w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}(\diff^2_pf)((\diff_w\varphi)(k))+ \frac{1}{2}(\diff_pf)((\diff^2_w\varphi)(k))$$ unsere Funktion $f\circ\varphi$ bei $w$ bis zu zweiter Ordnung. Andererseits liefern die Bedingungen $g_i\circ\varphi=g_i(p)$ bei "Ubergang zu den Approximationen bis zum Grad Zwei bei $w$ die Identit"aten $(\diff_p^2g_i)((\diff_w\varphi)(k))+(\diff_pg_i)((\diff^2_w\varphi)(k))=0$ und damit $$(\diff_pf)((\diff^2_w\varphi)(k)) =-\sum_i\lambda_i (\diff_p^2g_i)((\diff_w\varphi)(k))$$ Auf diese Weise k"onnen wir die Approximation zur Ordnung Zwei von $f\circ\varphi$ bei $w$ umschreiben zu $$w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}(\diff^2_pf)((\diff_w\varphi)(k))- \frac{1}{2}\sum_i\lambda_i (\diff_p^2g_i)((\diff_w\varphi)(k))$$ alias $w+k\mapsto f(\varphi(w)) + \frac{1}{2}Q((\diff_w\varphi)(k))$. Wegen unserer Erkenntnis $\op{im}(\diff_w\varphi)= \op{ker}(\diff_pg)$ aus dem Beweis von \ref{ExNe} folgen unsere Behauptungen damit aus den Resultaten zu Extremwerten ohne Nebenbedingungen \ref{MMMV}. \end{proof}