%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Die Transformationsformel} \begin{Definition} Seien $X$ ein topologischer Raum und $f:X\ra V$ eine Abbildung in einen Vektorraum oder allgemeiner eine abelsche Gruppe.\label{Trae} Der {\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!einer Funktion} $\op{supp} f$ von $f$ (f"ur englisch und franz"osisch \defind{support}) ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, au"serhalb derer die Funktion verschwindet, in Formeln $$\op{supp} f=\overline{f^{-1}(V \backslash 0 )}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Diese Definition mu"s kleinlich genau genommen werden. Ist zum Beispiel $X=(0,1)$ ein offenes Intervall und $f$ die konstante Funktion $1$, so hat $f$ nicht kompakten Tr"ager, denn $\op{supp} f=X$ ist nicht kompakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fortsetzung durch Null}] Gegeben eine offene Teilmenge eines metrischen Raums $U\co X$ und eine stetige Funktion $f:U\ra \DR$ mit kompaktem Tr"ager $\op{supp}f$ ist die Fortsetzung durch Null eine stetige Funktion $\tilde f:X\ra \DR$. In der Tat ist $\op{supp}f$ als Kompaktum auch abgeschlossen in $X$ nach \eref{kba}{ANA1}. Folglich ist $X=U\cup(X\backslash \op{supp}f)$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Da $\tilde f$ auf\label{SFDN} diesen beiden offenen Mengen stetig ist, mu"s es nach \eref{aff}{ANA1} auf ganz $X$ stetig sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUQS}\\[4mm] \noindent Illustration zur Definition des Integrals stetiger Funktionen mit kompaktem Tr"ager \ref{DISKd}. %\ref{DISKc} Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s die Wahl des kompakten Quaders hier keine Rolle spielt, solange er nur den Tr"ager unserer Funktion umfa"st. Im Bild kommen unter vielen anderen etwa die beiden Quader $Q$ und $Q'$ in Frage. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration "uber allgemeine Quader}] Gegeben ein nichtleerer Quader $H\subset \DR^n$ und eine stetige Funktion $f:H\ra\DR$ mit kompaktem Tr"ager\label{DISKd} gibt es offensichtlich kompakte Quader $Q\subset H$ mit $\op{supp}f\subset Q$. Offensichtlich gilt weiter f"ur je zwei derartige kompakte Quader $Q,R$ die Gleichheit $\int_Q f=\int_R f$. Diese reelle Zahl\index{Integral!"uber Quader} nennen wir das {\bf Integral von $f$ "uber der Quader $H$} und notieren sie $$\int _H f=\int_H f(x_1,\ldots,x_n)\diff x_1\ldots\diff x_n$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DISK} Gegeben $U\co \DR^n$ eine offene Teilmenge und $f:U\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager definieren wir das {\bf Integral $\int_U f$ von $f$ "uber $U$}, indem wir $f$ durch Null zu einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $\DR^n$ fortsetzen und diese Fortsetzung im Sinne von \ref{DISKd} integrieren "uber ganz $\DR^n$. F"ur unser Integral vereinbaren wir die Notationen $$\int_U f =\int_U f(x_1,\dots,x_n)\diff x_1\ldots\diff x_n= \int_U f(x)\diff^n x, $$ Im Fall $n=0$ interpretieren wir unsere Formel dahingehend, da"s das Integral einfach der einzige Funktionswert der zu integrierenden Funktion ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das so definierte Integral ist offensichtlich linear, $\int f+g = \int f+ \int g$ und $\int \lambda f= \lambda \int f$ f"ur $\lambda \in \Bbb{R}$, und monoton, als da hei"st $f\leq g \Rightarrow \int f\leq \int g$. Insbesondere folgt wie im Fall einer Ver"anderlichen $|\int f| \leq\int |f|$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerungen}] In derselben Weise erkl"art man auch den Tr"ager f"ur vektorwertige Funktionen oder, noch allgemeiner, f"ur Funktionen mit Werten in einer beliebigen Gruppe, und in Fortf"uhrung von \ref{VVQ} erkl"art man f"ur jede stetige Abbildung mit kompaktem Tr"ager von $\DR^n$ in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum ihr Integral, einen Vektor aus besagtem Vektorraum. Auch die folgende Transformationsformel "ubertr"agt sich unmittelbar auf den Fall vektorwertiger Funktionen. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Transformationsformel}]\index{Transformationsformel!bei kompaktem Tr"ager} Seien $U,V \co \Bbb{R}^{n}$ offene Teilmengen und $\phi : U \sira V$ ein ${\cal{C}}^{1}$-Diffeo\-mor\-phismus.\label{TF} Bezeichne $|\! \det \diff \phi |$ die Abbildung $U\ra\DR$, $p\mapsto |\! \det \diff_p \phi |$. So gilt f"ur jede stetige Funktion $f: V \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager $$\int_V f = \int_U (f \circ \phi ) \; |\! \det \diff \phi |$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Im Rahmen der Entwicklung der Lebesgue'schen Integrationstheorie folgern wir in \eref{TFL}{AN3} eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Satzes. Eine etwas bescheidenere aber f"ur explizite Rechnungen schon ganz brauchbare Verallgemeinerung liefern die S"atze des folgenden Abschnitts. \end{Bemerkungw} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTraF}\\[4mm] \noindent Illustration zur Transformationsformel, insbesondere zu Beispiel \ref{BTR}. Das Integral einer Funktion $f$ "uber das rechte Kuchenst"uck kann angen"ahert werden, indem wir die angedeutete Unterteilung des Integrationsbereichs betrachten, in jedem der unterteilenden St"ucke den Funktionswert an einer Stelle mit der Fl"ache des entsprechenden St"ucks multiplizieren, und diese Produkte aufsummieren. Unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ entspricht nun die Unterteilung unseres Kuchenst"ucks einer Unterteilung unseres Quadrats, und die Fl"ache des Bildes eines Unterquadrats ist in etwa der Betrag der Funktionaldeterminante $|{\op{det}}P|$ an einer Stelle unseres Unterquadrats multipliziert mit der Fl"ache besagten Unterquadrats. So w"are etwa die Fl"ache des schraffierten Teils im Kuchenst"uck rechts etwas weniger als halb so gro"s wie die Fl"ache des schraffierten Unterquadrats links, und $|{\op{det}}P|=r$ nimmt auf unserem Unterquadrat Werte zwischen $1/4$ und $1/2$ an. Es wir also in etwa dasselbe herauskommen, wenn wir von der Funktion $(f\circ P)|{\op{det}}P|$ auf unserem Quadrat in jedem der Unterquadrate den Funktionswert an einer Stelle mit der Fl"ache des entsprechenden Unterquadrats multiplizieren, und diese Produkte aufsummieren. Im Grenz"ubergang f"ur immer feinere Unterteilungen kommt dann sogar nicht nur in etwa, sondern ganz genau dasselbe heraus. Das ist die anschauliche Bedeutung der Transformationsformel. \end{Bild} \begin{Beispiele} Ist $\phi:\DR^n\ra\DR^n$ eine abstandserhaltende Abbildung, also nach \eref{KrIa}{LA2} die Verkn"upfung einer orthogonalen Abbildung mit einer Translation, so liefert die Transformationsformel f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f:\DR^n\ra\DR$ die Identit"at $\int f=\int f\circ \phi$. Ist $\phi:\DR^2\ra\DR^2$ die Streckung um den Faktor $2$, so liefert die Transformationsformel die Identit"at $\int f=4 \int f\circ \phi$. Beide Aussagen sollten auch anschaulich unmittelbar einleuchten. \end{Beispiele} \begin{Beispiel}\label{BTR} Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung \begin{displaymath} \begin{array}{cccl} P :& \Bbb{R}_{>0} \times (-\pi,\pi) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \Bbb{R}^2 \backslash \text{(abgeschlossene negative $x$-Achse)}\\ &(r\; , \; \vartheta)^\top & \mapsto & (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)^\top \end{array} \end{displaymath} wobei verwirrender Weise die Klammern $(\;,\;)$ einmal ein offenes Intervall und dann wieder Elemente kartesischer Produkte andeuten, die wir anschlie"send noch zu Spaltenvektoren transponieren. Das Differential der Polarkoordinatenabbildung wird gegeben durch die Jacobi-Matrix \begin{displaymath} \diff P = {\cos \vartheta \; - r \sin \vartheta \choose \sin \vartheta \;\;\;\;\; r \cos \vartheta} \end{displaymath} mit der Determinante $\op{det} \diff P =r$. Beim Bilden des Betrags "andert sich nichts, und wir erhalten \begin{displaymath} \int_{V} f (x,y) \diff x \diff y = \int_{P^{-1}(V)} f (P(r,\vartheta))\; r \diff r \diff \vartheta \end{displaymath} f"ur stetige Funktionen auf $\DR^2$ mit kompaktem Tr"ager, der dar"uber hinaus nicht die abgeschlossene negative $x$-Achse treffen darf. Oft schreibt man kurz $f(r,\vartheta)$ statt $f (P (r,\vartheta))$ in der Erwartung, da"s schon aus der blo"sen Bezeichnung der Variablen klar wird, was gemeint ist. So ergibt sich dann eine Formel f"ur die Transformation eines Integrals auf Polarkoordinaten, die man als $$\diff x \diff y = r \diff r \diff \vartheta$$ abk"urzen mag. Leider erhalten wir besagte Formel vorerst nur f"ur sehr spezielle Funktionen. In der Praxis ist deshalb unser Satz so kaum anwendbar. F"ur die Praxis brauchbare Varianten formulieren und zeigen wir in \ref{PoLK} und \eref{TFL}{AN3}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{AnDe} Man nennt $\det \diff \phi$ die {\bf Funktionaldeterminante}\index{Funktionaldeterminante} {\bf von} $\phi$. Wir verallgemeinern die Transformationsformel in \eref{TFL}{AN3} auf beliebige \glqq integrierbare\grqq\ Funktionen $f$. Bevor wir die hier gegebene Version beweisen, wollen wir versuchen, sie mit Anschauung zu f"ullen. Wir beschr"anken uns dazu auf den Fall $n=2$. Zun"achst ist hoffentlich anschaulich klar, da"s es f"ur jede lineare Abbildung $L:\DR^2\ra\DR^2$ eine reelle Konstante $c(L)\geq 0$ gibt derart, da"s \glqq das Bild unter $L$ eines Fl"achenst"ucks $U$ der Fl"ache $\op{vol}(U)$ die Fl"ache $\op{vol}(LU)=c(L)\op{vol}(U)$ hat\grqq. Unsere Transformationsformel enth"alt nun, wenn man sie ohne R"ucksicht auf die Bedingungen des Satzes mutig auf die konstante Funktion $f=1$ auf $U$ anwendet und $\phi =L$ linear annimmt, die Erkenntnis $$c(L)=|\! \det L|$$ Das sieht man auch anschaulich leicht ein: Zun"achst sollte anschaulich klar sein, da"s \glqq eine Scherung die Fl"ache nicht "andert\grqq\ und \glqq die Streckung einer Achse die Fl"ache genau durch Multiplikation mit dem Betrag des Streckfaktors "andert\grqq, so da"s also unsere Erkenntnis anschaulich klar ist f"ur lineare Abbildungen $L$ mit Matrizen der Gestalt $$\left(\begin{array}{cc} 1 &a\\ 0 & 1 \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} a &0\\ 0 & 1 \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ 0 & a \end{array} \right), \; \left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ a & 1 \end{array} \right)$$ Anschaulich klar ist weiter $c(L\circ M)=c(L)c(M)$ und nach der Multiplikationsformel f"ur Determinanten haben wir auch $|\! \det L\circ M|= |\! \det L|\;|\! \det M|$. So rechtfertigen wir dann unsere Erkenntnis $c(L)=|\! \det L|$ im allgemeinen. Mehr dazu mag man in \eref{AnDet}{LA1} nachlesen. Das Integral von $f$ erhalten wir nun im Grenzwert, wenn wir $V$ in lauter kleine Fl"achenst"ucke $V_i$ zerlegen und die Produkte der Fl"achen dieser Fl"achenst"ucke mit einem Funktionswert an einem Punkt $y_i\in V_i$ des jeweiligen Fl"achenst"uck aufsummieren, in Formeln $$\int_V f\simeq \sum f(y_i)\op{vol}(V_i)$$ Wir betrachten nun die Urbilder $x_i=\phi ^{-1}(y_i)$ unserer Punkte $y_i$ und die Zerlegung von $U$ durch die Urbilder $U_i=\phi ^{-1}(V_i)$ unserer kleinen Fl"achenst"ucke $V_i$. Bei $x_i$ wird $\phi $ bis auf Verschiebung gut approximiert durch $\diff_{x_i}\phi $, deshalb haben die Bilder $\phi (U_i)=V_i$ dieser Fl"achenst"ucke $U_i$ in etwa die Fl"ache $\op{vol}(V_i)\simeq |\!\det\diff_{x_i}\phi |\op{vol}(U_i)$ und wir folgern $$\int_V f\simeq \sum f(y_i)\op{vol}(V_i) \simeq \sum (f\circ \phi )(x_i)\;|\!\det\diff_{x_i}\phi |\op{vol}(U_i) \simeq \int_U (f \circ \phi ) \; |\! \det \diff \phi |$$ Das beendet unsere anschauliche aber doch recht vage Argumentation und wir kommen nach einem Beispiel zum eigentlichen Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen den Satz durch vollst"andige Induktion "uber $n$. Der Fall $n=0$ ist unproblematisch und wir behandeln gleich den Fall $n=1$. In diesem Fall kann $U$ nach \eref{VMi}{AN1} als disjunkte Vereinigung von offenen Intervallen $U_i$ geschrieben werden, und deren Bilder in $V$ sind wieder Intervalle nach dem Zwischenwertsatz und offen etwa nach \ref{CEOo}.% angewandt auf $\phi ^{-1}:V\sira U$ und \ref{ROf}. Unsere Funktion $f$ verschwindet au"serhalb von endlich vielen der $\phi (U_i)$ nach \eref{KO}{AN1} und wir k"onnen folglich ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $U$ und $V$ bereits offene Intervalle sind. Wir finden dann sicher ein echtes kompaktes Intervall $[c,d]\subset V$, das den Tr"ager von $f$ umfa"st. Die Substitutionsregel \eref{IdS}{AN1} liefert nun $$\int_c^d f(y)\diff y=\int_a^b f(\phi (x))\phi '(x)\diff x$$ f"ur die $a,b\in U$ mit $\phi (a)=c$ bzw.\ $\phi (b)=d$. Da $\phi $ ein $\cal{C}^1$-Diffeomorphismus sein soll, ist $\phi '$ stetig mit $\phi '\neq 0$ auf $U$ und wir folgern, da"s auf $U$ entweder gilt $\phi '>0$ oder aber $\phi '<0$. Im ersten Fall haben wir $ab$ und $|\phi '|=-\phi '$ und $$\int_U (f\circ \phi ) \; |\! \det \diff \phi | = \int_b^a f(\phi (x))|\phi '(x)|\diff x =\int_a^b f(\phi (x))\phi '(x)\diff x$$ und sind wieder fertig. Damit ist der Fall $n=1$ erledigt. Nehmen wir nun also an, wir h"atten $n\geq 2$ und der Satz sei f"ur Integration im $\Bbb{R}^{n-1}$ schon bewiesen. Wir gehen dann in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. L"a"st $\phi $ die erste Koordinate unver"andert, in Formeln $\phi _1(x_1,\ldots,x_n)=x_1$, so folgt unsere Transformationsformel aus der Induktionsvoraussetzung. In der Tat, betrachten wir die Schnitte $U_c= U \cap \{x_{1}=c\}$ und $V_c= V \cap \{x_{1}=c\}$ unserer offenen Mengen mit der Hyperebene $x_{1}=c$, so induziert unsere Abbildung $\phi $ f"ur jedes feste $c$ Diffeomorphismen \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUcVc}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis der Transformationsformel. \end{Bild} $\phi _{c} : U_c \sira V_c $ und es gilt $$|\det \diff _{(x_{2}, \ldots, x_{n})} \phi _{c} | = | \det \diff _{(c,x_{2},\ldots, x_{n})} \phi |$$ F"ur $f_{c}:V_c\ra\DR$ gegeben durch $f_{c}(x_{2},\ldots, x_{n})=f(c,x_{2},\ldots, x_{n})$ erhalten wir also nach der Induktionsvoraussetzung $$\begin{array}{ccl} \int f_{c} &= &\int (f_{c}\circ \phi _{c}) \; |\! \det \diff \phi _{c}| \\[2mm] &= & \int (f\circ \phi ) (c,x_{2},\ldots, x_{n}) \;|\! \det \diff _{(c,x_{2},\ldots, x_{n})} \phi | \end{array}$$ Integrieren wir diese Gleichung "uber alle $c$, so ergibt sich die Transformationsformel f"ur die Koordinatentransformation $\phi $. \\[2mm]\noindent 2. Sind $W \overset{\psi }{\ra} U \overset{\phi }{\ra} V$ zwei ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen des $\Bbb{R}^{n}$, und gilt unsere Transformationsformel f"ur $\phi $ und $\psi $, so gilt sie auch f"ur $\phi \circ \psi $. In der Tat erhalten wir $$ \begin{array}{ccl} \int f &=& \int (f\circ \phi ) \;|\!\det \diff \phi |\\ &= & \int (f\circ \phi \circ \psi ) (|\!\det \diff \phi |\circ \psi ) \;|\!\det \diff \psi |\\ &=&\int (f\circ \phi \circ \psi ) \;|\!\det \diff\; (\phi \circ \psi )| \end{array}$$ Hier gilt die erste Zeile nach der Transformationsformel f"ur $\phi $ angewandt auf die Funktion $f$, die zweite nach der Transformationsformel f"ur $\psi $ angewandt auf die Funktion $(f\circ \phi ) |\det \diff \phi |$, und die dritte nach der Kettenregel $$\diff _p (\phi \circ \psi )= \diff _{\psi (p)} \phi \circ \diff _p \psi $$ f"ur $p\in W$ und der Multiplikationsformel $\det(AB)=(\det A)( \det B)$ f"ur Determinanten. \\[2mm]\noindent 3. F"ur $\phi $ eine Vertauschung der Koordinaten gilt unsere Formel. In der Tat ist so ein $\phi $ ja linear mit $|\!\det \diff \phi |=1$, und wir wissen schon nach \ref{VI}, da"s es bei Mehrfachintegralen nicht auf die Reihenfolge ankommt. \\[2mm]\noindent 4. Ist eine Komponente von $\phi $ eine Koordinate auf $U$, haben wir also in Formeln $\phi _{i}(x_{1}, \ldots, x_{n})=x_{j}$ f"ur geeignete $i$ und $j$, so gilt unsere Formel. In der Tat finden wir eine Darstellung $\phi = \psi \circ \tilde{\phi } \circ \tilde{\psi }$ derart, da"s $\tilde{\phi }$ die erste Koordinate unver"andert l"a"st und $\psi ,\tilde{\psi }$ Koordinatenvertauschungen sind. F"ur $\tilde{\phi }$ gilt dann unser Satz nach Schritt 1, f"ur $\psi $ und $\tilde{\psi }$ nach Schritt 3, und dann gilt er auch f"ur $\phi $ nach Schritt 2. \\[2mm]\noindent 5. Jeder Punkt $p\in U$ besitzt eine offene Umgebung $U_{p}$ derart, da"s unsere Transformationsformel gilt f"ur die Restriktion von $\phi $ auf $U_{p}$. In der Tat finden wir zun"achst ein $i$ derart, da"s gilt $\frac{\partial \phi _{i}}{\partial x_{1}} (p) \neq 0$, und dann gibt es nach dem Umkehrsatz eine offene Umgebung $U_{p}$ von $p$ derart, da"s die Abbildung $$\begin{array}{cccl} \psi :& U &\ra &\Bbb{R}^{n}\\ &(x_{1},\ldots, x_{n}) &\mapsto &(\phi _{i}(x_{1},\ldots, x_{n}) , x_{2} ,\ldots, x_{n}) \end{array}$$ einen ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismus von $U_{p}$ auf eine offene Teilmenge $\psi (U_{p})= W_{p}\subset\Bbb{R}^{n}$ induziert. Wir bezeichnen das Bild von $U_{p}$ unter $\phi $ mit $\phi (U_{p})=V_{p}$ und erhalten ein kommutatives Diagramm von ${\cal{C}}^{1}$-Diffeomorphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ U_p \ar[rr]^{\psi }\ar[dr]_\phi & & W_p \ar[dl]^{\phi \psi ^{-1}}\\ &V_p& } \end{displaymath} wobei die $i$-te Komponente der Abbildung $\phi \psi ^{-1}$ gerade die erste Koordinate ist, in Formeln $$(\phi \psi ^{-1})_{i} \;(y_{1},\ldots ,y_{n})=y_{1}$$ F"ur beide Abbildungen $\psi $ und $(\phi \psi ^{-1})$ gilt also nach Schritt 4 unsere Transformationsformel, mithin gilt sie nach Schritt 2 auch f"ur ihre Verkn"upfung, als da hei"st f"ur die Restriktion $\phi : U_{p}\sira V_{p}$ von $\phi $ auf $U_{p}$. Hier ist im "ubrigen die Stelle im Beweis, die uns daran hindert, unsere Induktion mit dem Trivialfall $n=0$ zu starten: Im Fall $n=1$ k"onnen wir n"amlich Schritt 4 auf $\psi$ nicht anwenden, da in diesem Fall keine Komponente von $\psi$ eine Koordinate w"are. \\[2mm]\noindent 6. Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. Sei $f: V \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $\op{supp} f \subset V$. F"ur $p\in U$ w"ahlen $U_p$ wie in Schritt 5 und setzen wieder $V_{p} = \phi (U_{p})$. Da $\op{supp} f$ kompakt ist, finden wir nach \eref{KO}{AN1} eine endliche Teilmenge $E\subset U$ mit $\op{supp} f \subset \bigcup_{p\in E} V_{p}$. Jetzt benutzen das im Anschlu"s formulierte und bewiesene technische Lemma \ref{TEL}, w"ahlen wir f"ur unsere endliche "Uberdeckung von $\op{supp} f=K$ durch die $V_p$ mit $p\in E$ eine angepa"ste Teilung der Eins $\al_p$ und schreiben $$f= \sum_{p\in E} \al_p f$$ Die Summanden $\al_p f$ sind dann stetig mit kompaktem in $V_{p}$ enthaltenem Tr"ager. Nach der Wahl der $V_{p}$ haben wir nun $\int \al_p f=\int ((\al_p f)\circ \phi )\;|\!\det \diff \phi |$ f"ur alle $p\in E$, und addieren wir diese Gleichungen, so ergibt sich wie gew"unscht \begin{equation*} \int f=\int (f\circ \phi )\;|\!\det\diff \phi |\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Teilung der Eins}]% Manche Verweise sollten auf {TELe} Tietze. Ist $K \subset \DR^n$ kompakt und sind $V_{1},\ldots $, $ V_{r} \co \DR^n$ offen mit $K \subset \bigcup V_{i}$, so gibt es stetige Funktionen $\al_{i} : \DR^n \ra [0,1]$\label{TEL} mit kompaktem, jeweils in $V_{i}$ enthaltenen Tr"ager derart, da"s gilt $$\sum^{r}_{i=1} \al_{i} (x) =1 \quad \forall x \in K$$ \end{Lemma} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTeiE}\\[4mm] \noindent Illustration einer Teilung der Eins im Fall einer "Uberdeckung eines kompakten Intervalls $K\subset \DR$ durch zwei offene Teilmengen. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTeiB}\\[4mm] \noindent Illustration einiger Mengen, die bei unserer Konstruktion einer Teilung der Eins eine Rolle spielen, im Fall einer "Uberdeckung eines kompakten Quaders $K\subset \DR^2$ durch zwei offene Teilmengen. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Eine derartige Familie von Funktionen $\al_i$ hei"st eine an die gegebene "Uberdeckung von $K$ angepa"ste {\bf Teilung der Eins}\index{Teilung der Eins}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen f"ur jedes $x \in K$ ein $j=j(x)$ mit $x \in V_{j}$ und eine stetige Funktion $\varphi_{x} : \DR^n \ra [ 0,\infty)$ mit kompaktem, in $V_{j}$ enthaltenem Tr"ager, die bei $x$ nicht verschwindet, in Formeln $\varphi_{x} (x) > 0$. Die $N_{x} \pdef \varphi^{-1}_{x} (\DR_{> 0})$ sind nat"urlich offen in $\Bbb{R}^{n}$ und "uberdecken $K$ und wir haben $\overline{N}_x\subset V_{j(x)}$. Da $K$ kompakt ist, finden wir $E \subset K$ endlich mit $K \subset \bigcup_{x \in E} N_{x}$. Dann bilden wir $$ \psi = \sum_{x\in E} \varphi_{x}$$ Diese Funktion ist stetig auf ganz $\DR^n$, nimmt auf $N = \bigcup_{x \in E} N_{x}$ positive Werte an, und verschwindet au"serhalb von $N$. Nun betrachten wir f"ur jedes $x \in E$ auf der offenen Menge $N$ die stetige Funktion $\psi_{x} = \varphi_{x}/\psi$. Nat"urlich gilt $\sum_{x \in E} \psi_{x} (z) =1$ nicht nur f"ur alle $z \in K$, sondern sogar f"ur alle $z \in N$, und $\psi_{x}$ verschwindet au"serhalb von $N_x$. Als n"achstes konstruieren wir eine stetige Funktion $\beta :\Bbb{R}^{n} \ra [0,1]$, die auf $K$ konstant Eins ist und deren Tr"ager in $N$ enthalten ist. Ist zum Beispiel $m$ das Minimum von $\psi$ auf $K$, so erhalten wir ein m"ogliches $\beta$, indem wir setzen $\beta = h \circ \psi$ f"ur $h : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit $h|_{[ m,\infty)} =1$ und $h|_{( -\infty, m/2]} =0$. Dann bilden wir schlie"slich $$\al_{i} = \sum_{j(x)=i} \beta\psi_{x}$$ Diese Funktionen sind zwar a priori nur auf $N$ definiert, aber da $\DR^n$ durch $N$ und das Komplement des Tr"agers von $\beta$ "uberdeckt wird, lassen sie sich stetig durch Null auf ganz $\DR^n$ fortsetzen, und diese Fortsetzungen haben dann offensichtlich die gew"unschten Eigenschaften. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Glatte Teilung der Eins}] Im vorherigen Lemma k"onnen die Funktionen $\alpha_i$ sogar glatt, als da hei"st beliebig gemischt partiell differenzierbar gew"ahlt werden.\label{TELg} Um das zu sehen, sind nur wenige Zusatz"uberlegungen von N"oten. Aus \eref{e1x}{AN1} kennen wir ja eine glatte Funktion $f: \DR\ra\DR$, die auf der negativen Halbgeraden verschwindet und auf der echt positiven Halbgeraden positiv ist. Dann ist das Produkt $f(t)f(1-t)$ eine von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktion mit kompaktem Tr"ager auf $\DR$. Man erh"alt von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf $\DR^n$, indem man von Null verschiedene nichtnegative glatte Funktionen mit kompaktem Tr"ager in den einzelnen Koordinaten nimmt und das Produkt bildet. So sehen wir, da"s die $\varphi_{x}$ im vorhergehenden Beweis sogar glatt gew"ahlt werden k"onnen. Damit sind dann auch $ \psi $ und die $\psi_{x}$ glatt. W"ahlen wir zus"atzlich die Funktion $h$ glatt, bis auf Reskalierung k"onnte man f"ur $h$ etwa das Integral einer von Null verschiedenen nichtnegativen glatten Funktion mit kompaktem Tr"ager nehmen, so liefert die Konstruktion aus dem vorhergehenden Beweis sogar eine glatte Teilung der Eins. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TKKo} Man zeige, da"s die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinatenabbildung $K$ aus \ref{KuKo} gegeben wird durch $\op{det}\diff K=r^2\sin \vartheta$. Salopp gesprochen transformieren sich also Volumenintegrale in Kugelkoordinaten vermittels der Regel $$\diff x\diff y\diff z =r^2\sin \vartheta \;\diff r\diff\varphi\diff\vartheta$$ \end{Ubung}