%\section{Umkehrsatz und Anwendungen} \subsection{Integration "uber Eckfaltigkeiten in ${\Bbb{R}}^n$} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm] \noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Eckmannigfaltigkeit $M$ der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende Papierebene. \end{figure} \begin{Definition}\label{MFEm} Seien $X$ ein reeller Raum endlicher Dimension $n$ und $k\in \DN$. Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine {\bf $k$-dimensionale Eckfaltigkeit}\index{Eckfaltigkeit} genau dann, wenn f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein Paar $(U,g)$ existiert bestehend aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $p$ und einem Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ auf eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$ derart, da"s gilt $$ g(U\cap M)=g(U) \cap ((\Bbb{R}_{\leq 0})^{k}\times 0^{n-k}) $$ Ein derartiges Paar $(U,g)$ hei"st eine {\bf Pl"attung\index{Pl"attung!von Eckmannigfaltigkeit} der Eckfaltigkeit $M$ um $p$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Diejenigen Punkte einer Eckfaltigkeit, die unter mindestens einer Pl"attung nach $(\Bbb{R}_{< 0})^{k}\times 0^{n-k}$ abgebildet werden, bilden offensichtlich eine Untermannigfaltigkeit des $\DR^{n}$ und eine offene Teilmenge von $M$. Deren Komplement in $M$ bezeichnen wir mit $\partial M$ und nennen sie den {\bf Rand von $M$}.\index{Rand!von Eckfaltigkeit} \index{d@$\partial M$ Rand von Eckfaltigkeit} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Eine nulldimensionale Eckfaltigkeit ist dasselbe wie eine diskrete Teilmenge. Eine eindimensionale Eckfaltigkeit w"are zum Beispiel ein mehrpunktiges abgeschlossenes Geradensegment. Eine zweidimensionale Eckfaltigkeit w"are zum Beispiel ein \glqq abgeschlossenes volles Kreissegment\grqq. Eine dreidimensionale Eckfaltigkeit im dreidimensionalen Raum ist etwa ein W"urfel oder ein massiver Zylinder oder eine Vollkugel. Jede Mannigfaltigkeit ist auch eine Eckfaltigkeit. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine {\bf Karte}\index{Karte!von Eckfaltigkeit} einer $k$-dimensionalen Eckfaltigkeit $M$ ist ein Paar $(W,\varphi)$ bestehend aus einer Teilmenge $W\subset\DR^{k}$, die offen ist in einem Quader mit nichtleerem Inneren, sowie\label{KarE} einer injektiven $\mathcal C^1$-Abbildung $\varphi: W\ra M$ mit an jeder Stelle injektivem Differential und in $M$ offenem Bild derart, da"s $\varphi^{-1}: \varphi( W)\ra W $ stetig ist. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Kartenwechsel bei Eckfaltigkeiten}] Gegeben zwei Karten $(W,\varphi)$ und $(N,\gamma)$ einer Eckfaltigkeit mit demselben Bild $\varphi(W)=\gamma(N)$ ist der Kartenwechsel $\kappa=\gamma^{-1}\circ \varphi$ stets ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus. \end{Proposition} \begin{proof} Jede Pl"attung einer Eckfaltigkeit liefert in offensichtlicher Weise eine {\bf Pl"attungskarte} $(N,\gamma)$. Gegeben eine weitere Karte $(W,\varphi)$ mit $\varphi(W)=\gamma(N)$ ist dann der Kartenwechsel eine stetige Bijektion $\gamma^{-1}\circ \varphi:W\sira N$ mit stetiger Umkehrung.\label{KaWW} Andererseits ist er offensichtlich auch stetig differenzierbar mit injektivem Differential an jeder Stelle. Mit \ref{VBEF} folgt dasselbe f"ur seine Umkehrabbildung. Folglich sind auch bei Eckfaltigkeiten alle Kartenwechsel $\mathcal C^1$-Dif\-feo\-mor\-phismen. \end{proof} \begin{Definition}\label{RaToT} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine Teilmenge $W\subset X$ gibt es eine gr\"{o}\ss te offene Teilmenge $$\op{Of}_X(M)=\op{Of}(M)=M^\circ$$ von $X$, die in $M$ enthalten\index{Of@$\op{Of}_X(M)$ Inneres von $M$} ist,\index{o@$M^\circ$ Inneres von $M$} n\"{a}mlich die Vereinigung \"{u}ber alle offenen Teilmengen $U$ von $X$, die in $M$ enthalten sind. $M^\circ$ hei\ss t der \defnoind{offene Kern}\index{offen!Kern} oder auch das {\bf Innere},\index{Inneres, in topologischem Raum} englisch \defind{interior}, von $M$ in $X$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Urbild des Randes unter Karten}] F"ur jede Karte $(W,\varphi)$ einer Eckfaltigkeit $M$ gilt $\varphi^{-1}(\partial M)=W\backslash W^\circ$. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben zwei Karten $(N,\gamma)$ und $(W,\varphi)$ einer Eckfaltigkeit mit $\varphi(W)=\gamma(N)$ folgt durch Anwenden des Umkehrsatzes \ref{UKA} auf den Kartenwechsel $\kappa=\gamma^{-1}\circ \varphi$ leicht $\kappa(W^\circ)\subset N^\circ$ und durch Anwenden auf den umgekehrten Kartenwechsel sogar $\kappa(W^\circ)= N^\circ$. Durch Vergleich beliebiger Karten mit Pl"attungskarten folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Den Vektorraum aller stetigen Funktionen $f:X\ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager bezeichnen wir mit ${\cal{C}}_{\op{c}}(X,\Bbb{R})$\index{C@$\cal{C}_{\op{c}}(X,\Bbb{R})$ stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager}\index{C@$\cal{C}_{~!}(X,\Bbb{R})$ stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager} oder auch mit $${\cal{C}}_!(X,\Bbb{R})$$ Ich ziehe letztere Notation vor, sie ist allerdings un"ublich. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration "uber offene Teilmengen von Quadern}] Gegeben eine Teilmenge $W\subset\DR^{k}$, die offen ist in mindestens einem Quader $H$ mit nichtleerem Inneren,\label{IOQ} sowie $f\in\mathcal C_!(W,\DR)$ eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager erkl"aren wir eine reelle Zahl $$\int_W f =\int_W f(x_1,\dots,x_k)\diff x_1\ldots\diff x_k= \int_W f(x)\diff^k x $$ wie folgt: Wir setzen $f$ durch Null zu einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager auf den ganzen Quader $H$ fort wie in \ref{SFDN} und bilden von dieser Fortsetzung das Integral im Sinne von \ref{DISKd}. Es ist offensichtlich, da"s dies Integral nicht von der Wahl des Quaders $H$ abh"angt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integration "uber Eckfaltigkeiten}] Gegeben eine $k$-dimensionale Eckfaltigkeit $M\subset \DR^n$ gibt es genau eine $\DR$-lineare Abbildung\label{IUMa} $$\int_M:\cal{C}_!(M,\DR)\ra\DR$$ derart, da"s f"ur jede \hyperref[KarE]{Karte} $\varphi:W\ra M$ und jede Funktion $f\in \cal{C}_!(M,\DR)$ mit Tr"ager in ihrem Bild $\op{supp}f\subset \varphi(W)$ gilt $$\int_M f=\int_{W} f(\varphi(x)) \sqrt{\det \;(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)}\;\diff^{k}x$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} F"ur unser Integral $\int_M f$ einer Funktion mit kompaktem Tr"ager "uber eine Eckfaltigkeit findet man in der Literatur auch die Notationen $$\int_M f=\int_M f\diff \sigma=\int_M f\diff \op{S}= \int_M f\diff \op{o}=\int_M f\diff \op{O}$$ Sie appellieren an unsere Anschauung f"ur den zweidimensionalen Fall, $\sigma$ und $\op{S}$ stehen f"ur \glqq surface\grqq\ und $\op{o}$ und $\op{O}$ f"ur \glqq Oberfl"ache\grqq. Die ganze Konstruktion wird auch als {\bf Fl"achenintegral}\index{Fl"achenintegral} bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einordnung des vorstehenden Integralbegriffs}] Die hier und im folgenden entwickelte Integrationstheorie ist insofern n"utzlich, als sie korrekte Definitionen und vollst"andige Beweise bis hin zum Satz von Stokes erlaubt. Sie erlaubt auch eine formale Rechtfertigung vieler expliziter Rechnungen, ist im Vergleich zur Lebesgue'schen Integrationstheorie \eref{MaInm}{AN3} aber dennoch recht unbeholfen. Bevor ich den obigen Satz beweise, will ich erst einmal versuchen, ihn zu motivieren und den darin erkl"arten Integralbegriff mit Anschauung zu f"ullen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{KIin} Ist $\varphi:[a,b]\ra\Bbb{R}^n$ stetig differenzierbar und injektiv, so kann man leicht zeigen, da"s das Bild $M\pdef \varphi([a,b])$ eine $1$-Eckfaltigkeit ist und das Integral einer stetigen Funktion mit kompaktem Tr"ager $f:M\ra\DR$ "uber $M$ genau das Kurvenintegral von $f$ l"angs der Kurve $\varphi$ im Sinne von \eref{KI}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerung auf Situationen mit Einheiten}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $X$ und ein Skalarprodukt mit Einheiten in $\mathbb L$ auf seinem Richtungsraum im Sinne von \eref{Ske}{LA2} liefern die analogen Definitionen f"ur jede $k$-dimensionale Eckfaltigkeit $M\subset X$ ein Integral $$\int_M:\cal{C}_!(M,\DR)\ra \mathbb L^{\otimes k}$$ Wie bereits erw"ahnt messen sich also auch in der Mathematik \glqq L"angen in Metern, Fl"achen in Quadratmetern und Volumen in Kubikmetern\grqq. Das Integral der konstanten Funktion $1$ "uber eine zweidimensionale kompakte Eckfaltigkeit bedeutet in der schmutzigen Anschauung etwa ihre Gesamtfl"ache und das Integral der konstanten Funktion $1$ "uber eine eindimensionale kompakte Eckfaltigkeit die Gesamtl"ange. Betrachten wir noch allgemeiner Funktionen mit Werten in einem Banachraum $V$, so wird unser Integral noch allgemeiner zu einer Abbildung $\int_M:\cal{C}_!(M,V)\ra \mathbb L^{\otimes k}\otimes V$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{vOL} Hat $M$ die Dimension $k$, so ist $\diff _{x}\varphi$ eine Matrix mit $k$ Spalten und $n$ Zeilen und das Produkt $(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)$ dieser Matrix mit ihrer Transponierten ist folglich eine $(k\times k)$-Matrix. Diese sogenannte {\bf Gram'sche Matrix}\index{Gram'sche Matrix} kann aufgefa"st werden als die Matrix aller Skalarprodukte zwischen Spaltenvektoren von $\diff _{x}\varphi$. Sie ist nach \eref{pode}{LA2} insbesondere positiv semidefinit und hat damit eine nichtnegative Determinante. Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $V$ mit Spaltenvektoren $v_{1}, \ldots, v_{k}\in\Bbb{R}^n$ definieren wir ganz allgemein eine reelle Zahl $$\op{vol}V=\op{vol}(v_{1}|\ldots | v_{k})\pdef \sqrt{\det (V^{\top}\; V)}= \sqrt{\det (\langle v_{i},v_{j}\rangle)}$$ und\index{vol@$\op{vol}(v_{1}{\mid}\ldots {\mid} v_{k})$ %$k$-dimensionales Volumen} nennen sie das {\bf $k$-dimensionale Volumen}\index{Volumen} des von den Vektoren $v_{i}$ aufgespannten Parallelpipeds. Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix k"onnen wir mit dieser Notation auch k"urzer schreiben als $$\sqrt{\det \;(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)}=\op{vol}(\diff_x\varphi)$$ Im Fall $k=1$ ist das eindimensionale Volumen eines Vektors nach dieser Definition schlicht seine L"ange. Im Fall $k=2$ bedeutet das zweidimensionale Volumen eines Paars von Vektoren $v,w$ die Fl"ache des von ihnen aufgespannten Parallelogramms mit den Ecken $0,v,w$ und $v+w$. Um die Bezeichnung \glqq Volumen\grqq\ f"ur die Zahl $\op{vol} (v_{1}|\ldots |v_{k})$ im Allgemeinen zu rechtfertigen, beachten wir: \begin{enumerate} % \item % Es gilt $\op{vol} (R v_{1}| \ldots |R v_{k}) % = \op{vol} (v_{1}| \ldots| v_{k})$ f"ur eine beliebige % orthogonale Abbildung $R$. \item Es %gilt % $\op{vol}(v_{1}|\ldots| v_{k}) = 1$ f"ur $v_{1}, \ldots , v_{k} $ ein % Orthonormalsystem; Allgemeiner gilt $\op{vol}(v_0|v_{1}|\ldots| v_{k}) = \op{vol}(v_{1}|\ldots| v_{k})$ falls $v_0$ die L"ange $1$ hat und senkrecht steht auf allen anderen $v_i$. \item Im Fall $k=n$ haben wir $\op{vol}(v_{1}| \ldots | v_{n})= |\det(v_{1}| \ldots | v_{n})|$. In der Tat, bezeichnet $V$ die in diesem Fall quadratische Matrix mit Spalten $v_i$, so gilt nach dem Multiplikationssatz f"ur Determinanten $\op{det}(V^\top V)=(\op{det}V)^2$. \end{enumerate} Auf diese Weise kann unsere anschauliche Interpretation der Zahl $\op{vol} (v_{1}|\ldots |v_{k})$ heuristisch auf unsere anschauliche Interpretation der Determinante in \eref{AnDet}{LA1} und \ref{AnDe} zur"uckgef"uhrt werden: Die Fl"ache eines Parallelogramms im Raum sollte eben das Volumen des K"orpers sein, der entsteht, wenn ich mein Parallelogramm \glqq zu einem Toast des Dicke Eins verdicke\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum mit Einheiten im orientierten eindimensionalen Vektorraum $\mathbb L$ im Sinne von \eref{Ske}{LA2} liefern die analogen Definitionen f"ur jedes $k$-Tupel von Vektoren $v_1,\ldots, v_k$ ein Element $$\op{vol}(v_1,\ldots, v_k) =\sqrt{\op{det}(s(v_i,v_j))}\in \mathbb L^{\otimes k}$$ Salopp gesprochen messen sich also auch in der Mathematik L"angen in Metern, Fl"achen in Quadratmetern und Volumen in Kubikmetern. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir wollen nun auch unsere Definition des Integrals anschaulich rechtfertigen. Sei dazu $(U,\varphi)$ eine Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen Eckfaltigkeit $M\subset \Bbb{R}^{n}$ mit $Q \pdef [a,b] \times [c,d]\subset U$, und sei $f: M \ra \Bbb{R}$ stetig mit Tr"ager in $\varphi(Q)$. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$, bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$ und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in unserer Mannigfaltigkeit $M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Funktion auf Mannigfaltigkeit} $S^{r}_{M} (f)$ durch die Formel $$S^{r}_{M} (f) = \sum^{r-1}_{i,j =0} f(p_{i,j}) \op{vol} (p_{i+1,j} - p_{i,j}| \;p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(U,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Die versprochene Anschauung f"ur unseren Begriff des Integrals einer Funktion "uber eine Mannigfaltigkeit soll das nun folgende Lemma geben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $M\subset\Bbb{R}^{n}$ eine zweidimensionale Eckfaltigkeit, $(U,\varphi)$ eine Karte von $M$,\label{RSIn} $Q\subset U$ ein kompaktes Rechteck und $f:M\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit Tr"ager in $\varphi(Q)$. So gilt mit unseren eben definierten Riemannsummen $$\int_{M} f = \lim_{r \ra \infty} S^{r}_{M} (f)$$ \end{Lemma} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=12cm]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, die Fl"ache des durch sie bestimmten Parallelogramms geht in die Riemannsumme $S_M^3$ ein. Die durchgezogenen Pfeile stellen die Vektoren $\varphi_x(q_{2,0})$ und $\varphi_y(q_{2,0})$ dar, die Fl"ache des durch sie bestimmten Parallelogramms geht entsprechend in die Riemannsumme $S_Q^3$ ein. Beim "Ubergang zu immer feineren Rastern kommen wir zum selben Grenzwert, wie im Beweis von \ref{RSIn} ausgef"uhrt wird. \end{figure} \begin{proof} Um Indizes zu vermeiden bezeichnen wir die Koordinaten auf $\Bbb{R}^2$ mit $x,y$ und schreiben $\varphi_x,\varphi_y$ f"ur die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix von $\varphi$. Die linke Seite ist per definitionem das Integral $\int_{U} (f\circ \varphi) \;\op{vol} (\varphi_x|\varphi_y)$. Dies Integral k"onnen wir nach \ref{IVQp} schreiben als den Grenzwert f"ur $r\ra \infty$ gewisser Riemannsummen, die wir "Ubersichtlichkeit halber mit $S^r_Q$ abk"urzen wollen und die gegeben werden durch $$ S^r_Q= \sum^{r-1}_{i,j=0} f(\varphi(q_{i,j})) \;\op{vol} \left(\varphi_x({q_{i,j}}) | \varphi_y({q_{i,j}})\right) \; \frac{\op{vol} Q}{ r^{2}}$$ f"ur $\op{vol} Q = a c$ die Fl"ache unseres Rechtecks $Q$ und damit $(\op{vol} Q) /r^{2} $ die Fl"ache der kleinen rechteckigen Felder $Q_{i,j} = [a_{i},a_{i+1}]\times [c_{j},c_{j+1}]$. Nun ist $\varphi_x$ gleichm"a"sig stetig auf dem Kompaktum $Q$, f"ur alle $\varepsilon >0$ gibt es also ein $R>0$ derart, da"s gilt $$\left\|\varphi_x(p) - \varphi_x(q)\right\|\leq \varepsilon$$ wann immer $p$ und $q$ im selben kleinen rechteckigen Feld f"ur eine Unterteilung mit $r\geq R$ liegen. Mit dem Mittelwertsatz in mehreren Ver"anderlichen \eref{MWS}{AN1} folgt f"ur die Vektoren $\varepsilon_{i,j}(r)$, die erkl"art werden durch $$p_{i+1,j}-p_{i,j} =\frac{a}{r}\left(\varphi_x({q_{i,j}}) +\varepsilon_{i,j}(r)\right)$$ unter der Voraussetzung $r\geq R$ die Absch"atzung $\| \varepsilon_{i,j}(r)\|\leq\varepsilon$. Eine analoge Absch"atzung erhalten wir f"ur $p_{i,j+1}-p_{i,j}$. Jetzt setzen wir diese Darstellungen ein in $S^r_M(f)$ und "uberlassen es dem Leser, hieraus zu folgern, da"s gilt $$\lim_{r\ra\infty}(S^r_Q-S^r_M)=0$$ Da aber die Folge $S^r_Q$ gegen $\int_{M}f $ konvergiert, mu"s dasselbe auch f"ur die Folge $S^{r}_{M}$ gelten. \end{proof} \begin{proof}[Beweis f"ur Satz \ref{IUMa} zur Integration "uber Eckfaltigkeiten] Wir zeigen zun"achst die Ein\-deu\-tig\-keit. Der Tr"ager $ \op{supp} f$ unserer Funktion $f$ besitzt als Kompaktum nach \eref{KO}{AN1} eine endliche "Uberdeckung durch Bilder von Karten $(W_i,\varphi_i)$. Nach \ref{TEL} existiert eine an diese "Uberdeckung von $ \op{supp} f$ angepa"ste Teilung der Eins $\alpha_i$. Dann gilt $f=\sum_i \alpha_if$, und da unsere Bedingung bereits die Integrale der Summanden festlegt, legt die ebenfalls geforderte Linearit"at auch das Integral von $f$ fest und wir haben notwendig $$\int_Mf=\sum_i\int_M\alpha_if=\sum_i \int_{W_i} \left((\alpha_if)\circ \varphi_i\right)(x) \op{vol}(\diff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x$$ Als n"achstes zeigen wir, da"s die rechte Seite nicht von den getroffenen Wahlen abh"angt. Sei also eine weitere endliche offene "Uberdeckung von $\op{supp} f$ durch die Bilder endlich vieler Karten $(V_j,\psi_j)$ gegeben sowie eine daran angepa"ste Teilung der Eins $\beta_j$. Wir behaupten die Gleichheit $$\sum_i \int_{W_i} ((\alpha_if)\circ \varphi_i)(x) \op{vol}(\diff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x = \sum_j \int_{V_j} ((\beta_jf)\circ \psi_j)(x) \op{vol}(\diff _{x}\psi_j) \diff^kx $$ Sie ist aufgrund der Linearit"at aller dieser Integrale "aquivalent zur Gleichheit $$\sum_{i,j} \int_{W_i} ((\beta_j\alpha_if)\circ \varphi_i)(x) \op{vol}(\diff _{x}\varphi_i)\diff ^{k}x =\sum_{i,j} \int_{V_j} ((\beta_j\alpha_if)\circ \psi_j)(x) \op{vol}(\diff _{x}\psi_j) \diff^kx $$ und folgt, wenn wir die Gleichheit aller Summanden zeigen. Hier haben nun die Funktionen $\beta_j\alpha_if$ Tr"ager im Schnitt $\varphi_i(W_i)\cap \psi_j(V_j)$. Wir k"onnen also die Indizes weglassen und m"ussen nur f"ur jede stetige Funktion $h\in \mathcal C_!(M,\DR)$, deren Tr"ager im Bild zweier Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ liegt, die Identit"at $$ \int_W h (\varphi(x)) \op{vol}(\diff_{x}\varphi)\diff^{k}x = \int_V h(\psi(x)) \op{vol}(\diff_{x}\psi) \diff^kx $$ zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\varphi(W)=\psi(V)$ annehmen. Der Kartenwechsel wird so ein Diffeomorphismus $\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi: W\sira V$ mit $\psi\circ \kappa=\varphi: W\ra M$. Es folgt $f(\varphi(x))=f(\psi(\kappa(x)))$ und $\diff _{x}\varphi = \diff _{\kappa(x)} \psi \circ \diff _{x} \kappa$. Wir erhalten mit der Multiplikativit"at der Determinante also $$ \op{vol}(\diff _{x}\varphi)= |\det \diff _{x} \kappa| \op{vol}(\diff _{\kappa(x)}\psi) $$ und folgern die behauptete Gleichheit der Integrale aus der im Anschlu"s bewiesenen Variante \ref{VTFf} der Transformationsformel, angewandt auf die Funktion $h\circ \psi$. Damit haben wir gezeigt, da"s jede "Uberdeckung des Tr"agers unserer Funktion $f$ durch Bilder von Karten und jede zugeh"orige Teilung der Eins in der Formel oben dieselbe Summe liefert, die wir damit als unser $\int_M f$ erkl"aren k"onnen. Da"s die so erkl"arte Abbildung $f\mapsto \int_M f$ dann auch $\DR$-linear ist und die geforderte Eigenschaft f"ur Funktionen mit Tr"ager im Bild einer Karte hat, folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Variante der Transformationsformel}] Seien $U,V\subset\DR^{k}$ Teilmengen, die jeweils offen sind in einem Quader mit nichtleerem Inneren, und sei $\kappa:U\sira V$ ein Diffeomorphismus. So gilt f"ur alle $f\in\mathcal C_!(V,\DR)$ die Gleichheit\label{VTFf} $$\int_V f = \int_U (f \circ \kappa ) \; |\! \det \diff \kappa |$$ \end{Lemma} \begin{proof} Durch Anwenden des Umkehrsatzes auf $\kappa$ und seine Umkehrabbildung folgt $\kappa:U^\circ\sira V^\circ$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir uns auf den Fall nichtnegativer Funktionen $h$ beschr"anken. Betrachten wir nun alle Produkte $gh$ f"ur $g:V\ra [0,1]$ stetig mit Tr"ager in $V^\circ$. Es scheint mir offensichtlich, da"s beide Seiten der gew"unschten Identit"at beschrieben werden k"onnen als das Supremum "uber alle $g$ der entsprechenden Integrale mit $gh$ statt $h$. Mit diesem Kunstgriff k"onnen wir uns auf den Fall $\op{supp}h\subset V^\circ$ zur"uckziehen, in dem unsere Behauptung aus der Transformationsformel \ref{TF} folgt. \end{proof}