%\section{Umkehrsatz und Anwendungen}
\subsection{Explizite Berechnung einiger Integrale}
\begin{Bemerkungl}
Die in diesem Abschnitt vorgestellten S"atze werden
durch die Entwicklung des Lebesgue-Integrals obsolet.
Weil es aber bis dahin noch ein weiter Weg ist,
soll doch bereits hier schon gezeigt und bewiesen werden, wie man
in der Praxis rechnen kann und darf.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Eine {\bf Quaderfastkarte}\index{Quaderfastkarte}
einer  $k$-di\-men\-sio\-na\-len Eckfaltigkeit $M$
  ist ein Paar
$(Q,\varphi)$ bestehend aus einem kompakten Quader  $Q\subset \DR^k$
mit nichtleerem
Inneren 
und $\varphi:Q\ra M$ stetig differenzierbar derart, da"s
$\varphi:Q^\circ\ra M$ eine Karte ist und da"s gilt
$\varphi(Q^\circ)\cap \varphi( Q\backslash Q^\circ)=\emptyset$.
\end{Definition}

\begin{Proposition}[\textbf{Integration mit Quaderfastkarten}]
Seien $M\subset\DR^n$ eine $k$-di\-men\-sio\-na\-le Eckfaltigkeit
und $\varphi:Q\ra M$ eine Quaderfastkarte.
So gilt f"ur jede stetige Funktion $f:M\ra \DR$ mit Tr"ager
im Bild  $\varphi(Q)$ die Formel\label{IQFK} 
$$\int_M f=\int_{Q} f(\varphi(x)) 
\sqrt{\det \;(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\!
(\diff _{x}\varphi)}\;\diff^{k}x$$
\end{Proposition}

\begin{proof}
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $f$ nichtnegativ
annehmen. Ersetzen wir $f$ auf beiden Seiten durch $gf$ mit
$g:M\ra[0,1]$ stetig und $(\op{supp}g)\cap 
\varphi( Q\backslash Q^\circ)=\emptyset$,
so folgt unsere Formel aus den Definitionen. Gehen wir 
dann auf beiden Seiten zum Supremum "uber alle derartigen $g$ "uber,
so ergibt sich die Proposition mit Hilfe des 
im Anschlu"s bewiesenen Lemmas \ref{NMLvv}. 
\end{proof}
\begin{Lemma}
Seien   $l<k$ und $L \As \Bbb{R}^{l}$ sowie $K \As \Bbb{R}^{k}$ 
kompakte Quader und  $\varphi : L \ra \Bbb{R}^{k}$
stetig differenzierbar.\label{NMLv} 
So gilt f"ur alle nichtnegativen stetigen Funktionen $f:K\ra \DR_{\geq 0}$
die Identit"at
$$\int_K f=\sup_g \int_K gf$$
f"ur das "uber alle stetigen Funktionen $g:K\ra [0,1]$ mit 
$(\op{supp}g)\cap \varphi(L)=\emptyset$ 
gebildete Supremum.
\end{Lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir 
$L = [0,1]^{l}$ und $K = [0,1]^{k}$ annehmen.
Wir arbeiten wie immer mit der 
Maximumsnorm auf $\Bbb{R}^k$ und $\Bbb{R}^l$,
die B"alle
$\op{B}(x,\delta)$ sind also offene W"urfel
und ihre Abschl"usse $\bar{\op{B}}(x;\delta)$ abgeschlossene W"urfel.
Sicher ist $|\!\diff\varphi|$ beschr"ankt
 auf $L$ und wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
$|\!\diff\varphi|\leq 1$ annehmen.
Wir w"ahlen $N\geq 1$ und schreiben $L$ als Vereinigung von
 $N^{l}$ abgeschlossenen $l$-W"urfelchen der Seitenl"ange $1/N$ und ebenso
 $K$ als Vereinigung von
 $N^{k}$ abgeschlossenen $k$-W"urfelchen der Seitenl"ange $1/N$. 
Das Bild unter $\varphi$ jedes $l$-W"urfelchens 
trifft h"ochstens $2^{k}$ unserer
$k$-W"urfelchen. Das Bild von $L$ ist folglich enthalten in
einer Vereinigung von $2^{k}N^{l}$ unserer $k$-W"urfelchen. 
Deren Anteil am Gesamtvolumen von $K$ geht also
mit wachsendem $N$ gegen Null, und daraus folgt das Lemma 
ohne weitere Schwierigkeiten.
\end{proof}

\begin{Lemma}
Seien  $l<k$ und $L \As \Bbb{R}^{l}$ eine Vereinigung von endlich vielen
kompakten  Quadern und $M\subset \Bbb{R}^{n}$ 
eine $k$-dimensionale Eckfaltigkeit und 
$\varphi : L \ra M$
stetig differenzierbar.\label{NMLvv} 
So gilt f"ur alle nichtnegativen stetigen Funktionen $f:M\ra \DR_{\geq 0}$
mit kompaktem Tr"ager die Identit"at
$$\int_M f=\sup_g \int_M gf$$
f"ur das "uber alle stetigen Funktionen $g:M\ra [0,1]$ mit 
$(\op{supp}g)\cap \varphi(L)=\emptyset$ 
gebildete Supremum.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Das folgt leicht
aus dem vorhergehenden Lemma \ref{NMLv} durch 
"Ubergang zu pl"attbaren Teilmengen.
\end{proof}



\begin{Beispiel}[\textbf{Integration "uber eine Kreislinie}]
Gegeben $R>0$ ist die Kreislinie $S\pdef \{(x,y)\mid x^2 +y^2=R\}$
eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit in $\DR^2$ und die 
Abbildung\label{PoLKn} 
$[0,2\pi]\ra S$ mit
$  \vartheta\mapsto  
(R \cos \vartheta, R \sin \vartheta)$
ist eine surjektive Quaderfastkarte von $S$. 
Gegeben $f:S\ra \DR$ stetig zeigt unsere Proposition \ref{IQFK} "uber
die Integration mit Quaderfastkarten   folglich
$$\int_S f=\int_0^{2\pi} 
f(R \cos \vartheta, R \sin \vartheta)R\diff\vartheta$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{"Ubergang zu Polarkoordinaten, Variante}]
Gegeben $R>0$ ist die Kreisscheibe $D\pdef \{(x,y)\mid x^2 +y^2\leq R\}$
eine kompakte zweidimensionale Eckfaltigkeit in $\DR^2$ und die 
Polarkoordinatenabbildung\label{PoLK} 
$P:[0,R]\times[0,2\pi]\ra D$ gegeben durch 
$P:(r ,  \vartheta)^\top\mapsto  
(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)^\top$
ist eine surjektive Quaderfastkarte von $D$. 
Gegeben $f:D\ra \DR$ stetig zeigt unsere Proposition \ref{IQFK} "uber
die Integration mit Quaderfastkarten   folglich
$$\int_D f=\int_Q f\circ P \;|\!\diff P|=\int_0^{2\pi} \int_0^R
f(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)r\diff r\diff\vartheta$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Oberfl"ache der Einheitskugel}]
Die Kugelschale $$S^{2}\pdef\{(x,y,z)\in\DR^{3}\mid x^2+y^2+z^2=1\}$$
ist eine kompakte Mannigfaltigkeit und 
unser Satz \ref{IUMa} 
ordnet ihr eine Zahl $\int_{S^{2}}1$ zu, die wir als ihre
Oberfl"ache interpretieren d"urfen.\label{OEEKn} 
Um sie zu berechnen, wenden  wir \ref{IQFK} an auf
die surjektive Quaderfastkarte
$$\begin{array}{rccl}
K : &[ -\pi/2, \pi/2]\times  [ -\pi, \pi]
&\ra &\;\;S^2\\& (\theta\;\;,\;\;\varphi)\;\;\;&\mapsto
& ( \cos \theta \cos \varphi,\cos \theta \sin \varphi,  \sin \theta)
\end{array}$$
Die Jacobi-Matrix ergibt sich zu
$$\diff K =\left( \begin{array}{cc}
-\sin \theta \cos \varphi& -\cos \theta \sin \varphi\\ 
-\sin \theta\sin \varphi & \;\;\cos \theta\cos \varphi
\\ \cos \theta
& 0\end{array} \right) $$
und wir erhalten als Gram'sche Matrix
$$(\diff K)^{\top} (\diff K) =
\left(\begin{array}{cc} 1 &0\\ 0 & \cos^{2} \theta
\end{array} \right)$$
Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix ergibt sich damit zu
$\cos \theta$
und wir folgern f"ur jede stetige Funktion $f:S^2\ra\DR$  die Formel
$$
\int_{S^2} f = \int^{\pi}_{-\pi}
\int^{\pi/2}_{-\pi/2} f( \cos \theta \cos \varphi,\cos \theta \sin \varphi,  \sin \theta )\cos \theta\diff
\theta \diff \varphi$$
Wenden wir unsere Formel  auf die konstante Funktion Eins
an,  so erhalten wir 
 f"ur die Oberfl"ache der Einheitskugel das Ergebnis
$$\int_{S^{2}}  1=  \int^{\pi}_{-\pi}
\int^{\pi/2}_{-\pi/2} \cos \theta\diff
\theta \diff \varphi= 4\pi$$
\end{Beispiel}


\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Berechnen Sie das Integral der Funktion $(xyz)^2$ "uber die 
Einheitssph"are in $\DR^3$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers}]
Sei $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges kompaktes Intervall\label{OFR} 
und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig
differenzierbar. Man zeige: Die 
{\bf Mantelfl"ache}\index{Mantelfl"ache}
$M=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2= (f(z))^2\}$ ist eine 
zweidimensionale Eckfaltigkeit in $\DR^3$
mit der Fl"ache
$$\int_M\sigma=2\pi \int_I f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\diff z$$
  Die anschauliche Bedeutung unserer Formel f"ur
die Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers erkennt man, wenn man unsere
Rotationsfl"ache durch eine Vereinigung von d"unnen
B"andern der Gestalt der \glqq 
oberen R"ander von Eiswaffeln\grqq\  approximiert.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
  Gegeben eine kompakte $k$-dimensionale Eckfaltigkeit 
$M\subset\DR^n$ und eine Isometrie $A:\DR^n\sira \DR^n$ zeige man
$$\int_M1=\int_{A(M)}1$$
Insbesondere und in  Worten bleibt also 
beim Drehen und Verschieben
von Fl"achen im Raum
die Gr"o"se ihrer
Fl"ache unver"andert.
\end{Ubung}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: