\section{Integralsatz von Stokes} In Abschnitt \ref{RaToTc} haben wir unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer Funktion "uber eine Fastfaltigkeit in einem $\DR^n$. In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \ref{WII}, als da hei"st das Integral eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum l"angs eines Weges, verallgemeinern zum Integral einer \glqq Differentialform\grqq\ auf einem endlichdimensionalen reellen Raum "uber eine \glqq orientierte\grqq\ Fastfaltigkeit. Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines Vektorfelds in $\DR^3$ durch eine orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq. Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte \glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\ \ref{ASI}, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf h"ohere Dimensionen verallgemeinert. \subsection{Alternierende Formen und Dachprodukt} \label{MAD} \begin{Definition}\label{BAD} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form} oder kurz {\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$ alternierende Formen} $$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k \mid \omega \text{ ist multilinear und alternierend}\}$$ Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1}, da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$ verschwindet wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so mag man gleichbedeutend fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert, wenn man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht. Daher kommt die Bezeichnung \glqq alternierend\grqq. Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums alias Linearformen, wir haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\ttop}$. Gegeben Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{p} \in V^{\ttop}$ erkl"aren wir $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator} $$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) (v_{1}, \ldots, v_{p}) \pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$ Wir nennen es bis auf weiteres das \glqq Determinantenprodukt\grqq\ der $f_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt von alternierenden Multilinearformen einf"uhren und dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ obsolet und statt \glqq Determinantenprodukt\grqq\ d"urfen und werden wir \glqq iteriertes Dachprodukt\grqq\ sagen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zur "au"seren Algebra}] Im Rahmen unserer Diskussion des\label{hju} Tensorprodukts werden die Begriffsbildungen dieses Abschnitts auch noch unter einem anderen Gesichtspunkt besprochen. Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} %unter der Annahme $\op{dim}V<\infty$ einen kanonischen Isomorphismus $\op{Alt}^{p} \sira \left(\bigwedge^p V\right)^\ttop$ zwischen dem hier definierten Raum der alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum der dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz $\bigwedge^pV$ von $V$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2} f"ur endlichdimensionales $V$ kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\ttop \sira \bigwedge^p(V^\ttop) $ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen und den "au"seren Potenzen des Dualraums und erhalten so zusammen endlichdimensionales $V$ einen kanonischen Isomorphismus $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\ttop)$. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{BADv} Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\ttop}$ gegeben und ist $I \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir $$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in \op{Alt}^{p}V$$ f"ur das entsprechende Determinantenprodukt der Basisvektoren mit $i_{1}< \ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach gereihten Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}] Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots, f_{n}$ eine Basis seines Dualraums $V^{\ttop}$, so bilden die Determinantenprodukte $f_{I}$\label{BA} mit $|I| = p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} F"ur einn $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ gilt also $\op{dim}\op{Alt}^{n}V=1$ und $\op{Alt}^{p}V=0$ f"ur $p>n$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J =\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit $j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich $$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}. \end{array} \right. $$ Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln $(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$. Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation $f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ ist im Fall eines Vektorraums $V$ der Dimension $\op{dim}V=4$ also $\op{Alt}^{2}V$ ein Vektorraum der Dimension $\op{dim}(\op{Alt}^{2}V)=6$ und f"ur $f_1,\ldots, f_4\in V^\ast$ eine Basis seines Dualraums ist $f_1\wedge f_2, f_1\wedge f_3, f_1\wedge f_4, f_2\wedge f_3, f_2\wedge f_4, f_3\wedge f_4$ eine Basis von $\op{Alt}^{2}V$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}%\label{DP} Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$. So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt}\label{DaPr} $$\begin{array}{ccc} \op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\ (\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $f_{1}, \ldots , f_{p+q} \in V^{\ttop}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{BA} folgt unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts} $$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi= \omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$ Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\ wird obsolet, denn offensichtlich folgt aus der Proposition auch $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die vorhergehende Definition ist unn"otig einschr"ankend. Man kann durchaus auch im unendlichdimensionalen Fall sinnvoll ein Dachprodukt von alternierenden Formen erkl"aren, vergleiche \eref{shko}{TSK}, aber die damit verbundenen Komplikationen m"ochte ich hier vermeiden. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} und nur die Existenz ist noch zu zeigen. Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen. Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ beziehungsweise $q$ Karten irgendwie ineinander. Solche Permutationen hei"sen auch {\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in Formeln haben wir $$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots < \sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$ Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die Untergruppe $\cal{S}_{p}\boxtimes \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$ Eintr"age ebenso. Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion $$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \boxtimes \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$ Jetzt definieren wir f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$ durch die Vorschrift $$ (\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) \pdef \sum_{\sigma \in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots , v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma (p+q)}) $$ Betrachten wir nun unsere Definition des Determinantenprodukts, die wir nach der Leibnizformel schreiben k"onnen als $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})= \sum_{\tau \in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n} (v_{\tau (n)})$$ Setzen das mit $n=p,q$ in unsere Definition von $\wedge$ ein, so ergibt sich mithilfe der Bijektion $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \boxtimes \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$ wie gew"unscht $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt dann weiter, da"s die Multilinearform $\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur $\wedge$ in der Tat eine Abbildung $\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V \ra \op{Alt}^{p+q}V$ mit den geforderten Eigenschaften liefert. \end{proof} \begin{figure}[htbp]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm] \noindent Ein $(3,4)$-Shuffle \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. F"ur beliebige $\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und $\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} $\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge \omega$. Bezeichnet\index{)5@${\mid}\omega{\mid}$ Grad der Form $\omega$} $|\omega| $ den Grad von $\omega$, also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese Regel auch schreiben in der Gestalt $$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge \omega$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge \ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$ f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$ und alle $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\ttop}$. Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$. Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine endlichdimensionale R"aume. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}] Zu jeder linearen Abbildung $L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} transponierte Abbildung $L^\ttop:W^\ttop\ra V^\ttop$, $f\mapsto f\circ L$ und allgemeiner auch die linearen Abbildungen $$ \begin{array}{cccl} L^\ttop:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\ &\omega&\mapsto &\omega\circ (L\times\ldots\times L) \end{array} $$ mit $L\times\ldots\times L$ wie in \eref{KrAA}{LA1} alias $(L^\ttop \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$. Wir nennen auch sie {\bf transponierte Abbildungen}.\index{transponiert!Abbildung} Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln $\op{id}^{\ttop}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\ttop}=M^{\ttop}\circ L^{\ttop}$ f"ur die transponierten\label{DAFF} Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt $$L^{\ttop}(\omega\wedge\eta)=(L^{\ttop}\omega)\wedge(L^{\ttop}\eta)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} ausgedr"uckt bilden demnach f"ur jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\ttop$ einen kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der Notation halber $L\mapsto L^\ttop$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus_p \op{Alt}^p V$ ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die Kategorie der $k$-Ringalgebren. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}] Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP} gilt $$L^{\ttop}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional. F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\ttop}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$ die duale Basis von $V^\ttop$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man als Konsequenz. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{ABM} Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$ verwenden wir f"ur die $(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\ttop\omega)\wedge(\op{pr}_2^\ttop\eta)$ auf $V\times W$ die Notation $\omega\boxtimes\eta$.\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Differentialformen} Manche Autoren verwenden allerdings auch $\wedge$ f"ur dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq.\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt!{\it "au"seres Dachprodukt}} \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} F"ur jeden Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim V = n$ liefert das Dachprodukt $V^\ttop \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine nichtausgeartete Paarung im Sinne von \eref{NAPP}{LA2}, als da hei"st, jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ liefert vermittels unserer Paarung einen Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V^{\ttop\ttop}\sira V$. \end{Ubung} \subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB} \begin{Definition} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf Feld von $p$-Formen auf $U$\index{Differentialform!relative}} alias eine {\bf $p$-Differentialform}\index{Differentialform} ist eine Abbildung $$ \begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ & x &\mapsto &\omega_{x} \end{array}$$ Ausgeschrieben ordnet $\omega$ also\label{pdif} jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multi\-li\-near\-form $\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zu. %Den Raum aller $p$-Formen auf $U$ notieren wir\index{O@$\Omega^p_X(U)$ relative Differentialformen} %$$\Omega^p_X(U)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Differentialgeometrie \eref{difMH}{ML} werden wir allgemein Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten erkl"art als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen. Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit $U\subset X$ positiver Kodimension ist das durchaus etwas anderes, als jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums zuzuordnen. Zur Unterscheidung mag man das hier eingef"uhrte elementarere Konzept eine {\bf relative Differentialform} nennen und den Begriff aus der Differentialgeometrie eine {\bf absolute Differentialform}. Jede relative Differentialform liefert durch Einschr"ankung eine absolute Differentialform. Diese Feinheiten werden erst relevant, wenn es einmal um \glqq de-Rham-Kohomologie\grqq\ und dergleichen geht. Manchmal redet man auch ganz knapp von einer {\bf $p$-Form} und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, ob eine $p$-Differentialform oder vielmehr ein Element von $\op{Alt}^pV$ gemeint ist. Reden wir etwa von einer {\bf konstanten Form}, so ist stets ein konstantes Formenfeld gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $U$ eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums $X$. Eine $0$-Form auf $U$ ist eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$. Eine relative $1$-Form auf $U$ ist ein relatives Kovektorfeld im Sinne von \ref{FKF}. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf diesem geordneten Paar. Die Anordnung wird hierbei durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt. Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen, die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu Koordinatenachsen sein. \end{Bild} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] In einem dreidimensionalen orientierten reellen affinen Raum $X$, dessen Richtungsraum nicht notwendig mit einem Skalarprodukt versehen ist, bewege sich ein Gas. Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und ordnen jedem Tripel $(p,v,w)\in X\times \vec X\times\vec X$ bestehend aus einem Punkt und zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte Parallelogrammfl"ache\grqq\ alias \glqq orientiertes Fl"achenelement\grqq, die Zahl der Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD} hindurchtritt, wobei wir je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule hindurchtreten, noch das Negative nehmen: N"amlich dann, wenn ein und jeder Richtungsvektor $u$ in Richtung des Durchtritts zusammen mit $v,w$ eine negativ orientierte angeordnete Basis $(u,v,w)$ des Richtungsraums $\vec X$ bildet. Diese Zuordnung w"are ein schmutziges Feld von $2$-Formen. Man nennt es die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte} Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\ die Zahl der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird, so erhalten wir ein schmutziges Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum. Man nennt es die {\bf Dichte} unseres Gases. W"ahlen wir zus"atzlich auf dem Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt, so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit $2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto \op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, das von der \glqq Orientierung\grqq\ unseres Tripels abh"angt. "Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit $3$-Formen. Die M"oglichkeit dieser Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s Differentialformen der Intuition weniger gut zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn R"aume h"oherer Dimension: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten, das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit. Um auch in nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen jedoch in jedem Falle ein geschickter Formalismus. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm] \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$ \end{Bild} \begin{Definition} Gegeben zwei Differentialformen $\omega $ und $ \eta $ erkl"aren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega \wedge \eta $ als punktweises Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega \wedge \eta)_x=\omega_x \wedge \eta_x$. F"ur $f $ eine Funktion alias Nullform schreiben wir meist $f\eta$ statt $f\wedge \eta$.\label{daPP} Dies Dachprodukt ist auch wieder assoziativ. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ nach \ref{BA} jede relative $p$-Form $\omega$ auf $U$ schreiben als $$\omega = \sum_{1\leq i_{1} < \ldots < i_{p}\leq n} a_{ i_{1} ,\ldots , i_{p}} \diff x_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \diff x_{i_{p}}$$ mit eindeutig bestimmten Funktionen $a_{ i_{1} ,\ldots , i_{p}}:U\ra\DR$. Das Dachprodukt zweier so in Koordinaten gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und $\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die $(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RHUD} Gegeben endlichdimensionale reelle R"aume $X,Y$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $\phi :A\ra B$ von einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$ in eine Teilmenge $B\subset Y$ und eine Differentialform $\omega:B\ra \op{Alt}^p \vec Y$ auf $B$ erkl"aren wir die {\bf zur"uckgeholte Differentialform} $\phi ^{\ast}\omega$ auf $A$ durch die Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} \pdef (\tiff _{x}\phi )^{\ttop} (\omega_{\phi (x)})$$ Hier bezeichnet $(\tiff _{x}\phi )^{\ttop}: \op{Alt}^p\vec{Y} \ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die vom Differential $\tiff _{x} \phi : \vec{X} \ra \vec{Y} $ von $\phi $ an der Stelle $ x \in A$ induzierte Abbildung. Alternativ k"onnten wir auch schreiben $(\phi ^{\ast}\omega)_{x}(\vec v_1,\ldots,\vec v_p) \pdef\omega_{\phi (x)} ((\tiff _{x}\phi) (\vec v_1),\ldots ,(\tiff _{x}\phi) (\vec v_p)) $. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der Differentialformen die eigentliche Hauptsache. Das Zur"uckholen von Funktionen alias Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ von besagter Abbildung, in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$. Das Zur"uckholen von $1$-Formen haben wir bereits in \ref{ZHEF} diskutiert. Wir verallgemeinern die dort eingef"uhrte\label{vfDF} Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$ und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen} und schreiben $\phi:\eta\leadsto\omega$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen} wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{VFVD}, da"s das Differential Verwandtschaft respektiert, in Formeln $$\phi^*(\diff f)=\op{d}(f\circ \phi)$$ f"ur $\phi:U\ra V$ eine differenzierbare Abbildung und $f:V\ra\DR$ eine differenzierbare Funktion. Wir werden demn"achst auch f"ur allgemeine Differentialformen $\omega$ ihre sogenannte \glqq "au"sere Ableitung\grqq\ erkl"aren und deren Verwandtschaftsvertr"aglichkeit $\phi^*(\diff \omega)=\op{d}(\phi^*\omega)$ zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unter der Abbildung $(2\cdot):\DR^2\ra\DR^2$ erhalten wir f"ur das Zur"uckholen der Standard-Volumenform $(2\cdot)^\ast(\diff x\wedge \diff y)=4\diff x\wedge \diff y$. In der Tat, denken wir uns schmutzig ein \glqq ebenes Gas\grqq\ mit vielen einzelnen Molek"ulen und expandieren es mit einer Streckung um den Faktor Zwei, so verd"unnt es sich um den Faktor Vier. Allgemeiner haben wir $(2\cdot)^\ast(a(x,y)\diff x\wedge \diff y)=4a(2x,2y)\diff x\wedge \diff y$. Wir diskutieren demn"achst, wie man das rein for \end{Beispiel} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVFo}\\[4mm] \noindent Versuch einer Veranschaulichung der Verwandtschaft $(2\cdot): 4\diff x\wedge\diff y\leadsto \diff x\wedge\diff y$. Man mag sich den Wert an einer Stelle $(a,b)$ des Koeffizienten vor $\diff x\wedge\diff y$ als ein Ma"s f"ur die \glqq Zahl der Molek"ule eines ebenen Gases im Quader $[a,a+1]\times [b,b+1]$\grqq\ denken. \end{figure} \begin{Lemma} F"ur das Zur"uckholen von Differentialformen gilt die\label{KeReD} Kettenregel, wir haben genauer und in Formeln ausgedr"uckt stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast} (\omega) $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit der "ublichen Kettenregel \ref{Kett} sofort aus den Definitionen. Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von \ref{VerT} dahingehend verstehen, da"s Verwandtschaft transitiv ist. \end{proof} \begin{Lemma} Verwandtschaft alias das Zur"uckholen $\phi^{\ast}$ von Differentialformen ist vertr"aglich mit dem Dachprodukt, in Formeln gilt also $$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast} (\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt, indem wir die Regel $L^{\ttop}(\omega\wedge\eta)=(L^{\ttop}\omega)\wedge(L^{\ttop}\eta)$ aus \ref{DAFF} f"ur lineare Abbildungen $L$ punktweise anwenden. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Zur"uckholen von 1-Formen}] Wir erinnern \ref{ZHeF}. F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und $Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$ und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich $ \phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) =\diff \phi_{i} = \sum_{j} \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$. Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten beschrieben werden durch die Formel $$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i} \circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $(2\cdot) $ das Verdoppeln $(2\cdot) :\Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}^{2}$ und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$ die $2$-Form $a(x,y)\diff x\wedge \diff y$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu $$\begin{array}{rcl} (2\cdot) ^{\ast}\big(a(x,y)\diff x\wedge \diff y\big) &=& \big((2\cdot) ^{\ast}a\big)(x,y) \big((2\cdot) ^{\ast} \diff x\big)\wedge \big((2\cdot) ^{\ast} \diff y\big)\\ &=& a(2x,2y) \op{d} (2x)\wedge \op{d} (2y)\\ &=& 4a(2x,2y)\diff x\wedge \diff y \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $P $ die Polarkoordinatenabbildung $$\begin{array}{cccl}P :& \Bbb{R}^{2}& \ra& \Bbb{R}^{2}\\ &(r,\varphi) &\mapsto &(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \end{array}$$ und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$ die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu $$\begin{array}{rcl} P ^{\ast} (y \diff x) &=& P ^{\ast}(y) P ^{\ast} (\diff x)\\ &=& P ^{\ast}(y) \op{d} (P ^{\ast} x)\\ &=& r \sin \varphi \op{d} (r\cos \varphi)\\ &=& r \sin \varphi \cos \varphi \; \diff r - r^{2} \sin^{2}\varphi\; \diff \varphi \end{array}$$ F"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir "ahnlich $$\begin{array}{rcl} P ^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& P ^{\ast} (\diff x) \wedge P ^{\ast}(\diff y)\\ &=& \op{d} (r \cos \varphi) \wedge \op{d} (r \sin \varphi)\\ &=& (\cos \varphi \;\diff r - r \sin \varphi \;\diff \varphi) \wedge (\sin \varphi \;\diff r + r \cos \varphi \;\diff \varphi)\\ &=& r \diff r \wedge \diff \varphi \end{array}$$ Man mag sich letztere Formel dahingehend veranschaulichen, da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\varphi$-Ebene entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Funktionaldeterminante und R"uckzug von Volumenformen}] F"ur $A$ halboffen\label{ZHD} in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ stetig differenzierbar gilt stets $$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) = (\det \diff \phi) \diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ \end{Satz} \begin{proof} F"ur jeden Endomorphismus $L$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V$ ist die induzierte Abbildung $L^{\ttop}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP} gerade die Multiplikation mit $\det L$. \end{proof} \subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten}\label{OrM} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{OrV}{LA1} eine \defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum} eines endlichdimensionalen rellen Vektorraums $V$ eine Vorschrift $\varepsilon $ ist, die jeder angeordneten Basis $B$ unseres Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (B)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen $B, B'$ die Determinante der Basiswechselmatrix das Vorzeichen $\varepsilon (B)\varepsilon (B')$ hat. In \eref{OrV}{LA1} werden in diesem Zusammenhang noch weitere Begriffsbildungen formal eingef"uhrt, deren Bedeutung hier nicht wiederholt werden soll und von denen ich hoffe, da"s sie sich weitgehend von selbst verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $M\subset X$ eine Mannigfaltigkeit und $p\in M $ ein Punkt erinnern wir aus \ref{Taka} ihren Tangentialraum ${\op{T}}_pM\subset\vec X$. Gegeben $(W,\varphi)$ eine Karte von $M$ gilt f"ur alle $w\in W$ nach "Ubung \ref{TpK} die Identit"at $${\op{T}}_{\varphi(w)}M=\op{im}(\tiff_w\varphi)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defnoind{Orientierung\index{Orientierung!von Mannigfaltigkeit} einer $k$-Mannigfaltigkeit} $M$ ist eine Vorschrift,\label{Orkm} die jedem Punkt $p\in M$ eine Orientierung des Tangentialraums ${\op{T}}_p M$ zuordnet derart, da"s es um jeden Punkt $p\in M$ eine Karte $\varphi:\DR^k\lco W\ra M$ von $M$ gibt mit der Eigenschaft, da"s f"ur $w\in W$ die Isomorphismen $\tiff_w\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(w)} M$ entweder alle orientierungserhaltend oder alle orientierungsumkehrend sind. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Orientierungen einer $0$-Mannigfaltigkeit}] Die Menge aller Orientierungen einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ ist in Bijektion zur Menge aller Abbildungen $\varepsilon :M\ra\{+1,-1\}$ vermittels der Vorschrift, die jeder Orientierung und jedem Punkt $p\in M$ das Vorzeichen der angeordneten Basis $\emptyset$ des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ in Bezug auf unsere Orientierung zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Ein Punkt $p$ einer $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M\subset X$ hei"se {\bf regul"ar},\index{regul"ar!Punkt von Fastfaltigkeit} wenn es eine offene Umgebung $U\co X$ von $p$ gibt derart, da"s $U\cap M$ eine $k$-Mannigfaltigkeit ist. %\hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} $\varphi:Q\ra M$ %von $M$ um $p$ gibt %mit $p\in \varphi(Q^\circ)$. Die regul"aren Punkte einer $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M$ bilden offensichtlich eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit. Wir notieren sie $$M_{\op{reg}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer \defnoind{Orientierung\index{Orientierung!von Fastfaltigkeit} einer Fastfaltigkeit} verstehen wir eine Orientierung der Mannigfaltigkeit ihrer regul"aren Punkte. Unter einer {\bf orientierten Fastfaltigkeit}\index{orientiert!Fastfaltigkeit} verstehen wir ein Paar bestehend aus einer Fastfaltigkeit $M$ und einer Orientierung von $M$. \label{rPFf}\end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ich notiere orientierte Fastfaltigkeiten $M$ oft mit einem Pfeil als $$\vec{M}$$ Das ist aber nicht allgemein "ublich. Eine Fastfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung zul"a"st, hei"st {\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Fastfaltigkeit} Das \glqq M"obiusband\grqq, das in der schmutzigen Wirklichkeit entsteht, wenn man einen Papierstreifen einmal verdrillt zu einem Ring verklebt, ist ein Beispiel f"ur eine nicht orientierbare $2$-Fastfaltigkeit in $\DR^3$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Inkonsistenzen der Notation}] Den Pfeil "uber einem Symbol benutze ich auch als Notation f"ur den Richtungsraum eines affinen Raums. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir sagen, eine Integrationskarte $(Q,\varphi)$ einer orientierten Fastfaltigkeit $M$ {\bf habe die Orientierung} $\varepsilon$ f"ur $\varepsilon \in \{+1,-1\}$,\label{OK} wenn f"ur jeden Punkt $w\in Q^\circ$ das Bild der Standardbasis mit ihrer Standardanordnung unter dem Isomorphismus $\tiff_w\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(w)}M_{\op{reg}}$ die Orientierung $\varepsilon$ hat. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Integrationskarten einer orientierten Fastfaltigkeit, deren Definitionsbereich nicht zusammenh"angend ist, haben im allgemeinen keine Orientierung. Eine Integrationskarte der Orientierung $+1$ nennen wir {\bf orientierungsvertr"aglich}.\index{orientierungsvertr"aglich} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede orientierbare zusammenh"angende Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen ist die Menge aller Punkte $p$, an denen sie dieselbe Orientierung von ${\op{T}}_pM$ liefern, ebenso offen wie die Menge aller Punkte $p$, an denen sie verschiedene Orientierungen von ${\op{T}}_pM$ liefern. Nun verwende man \ref{WZTT}. \end{Ubung} \subsection{Integration von Differentialformen} \begin{Definition} Gegeben eine Fast\-fal\-tig\-keit $M$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ und $k\geq 0$ bezeichne $\mathcal C_!\Omega^k(M)=\mathcal C_!\Omega^k_{\subset X}(M)$ den reellen Vektorraum aller stetigen relativen $k$-Formen auf $M$ mit \hyperref[Trae]{kompaktem Tr\"ager}. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Schon bei der folgenden Definition der Integration einer Differentialform "uber eine Mannigfaltigkeit kommt es eigentlich nur darauf an, welche Werte unsere Form an jeder Stelle auf Tupeln von Tangentialvektoren an unsere Mannigfaltigkeit am entsprechenden Punkt annimmt. In der Differentialgeometrie wird eine Differentialform auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit sogar definiert als eine Vorschrift, die jedem Punkt unserer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf seinem Tangentialraum zuordnet. So weit will ich aber hier nicht gehen, da f"ur diese Art von Formen schon die blo"se Definition der Stetigkeit die Entwicklung zus"atzlicher Begrifflichkeiten notwendig macht. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Integration von Differentialformen}] Gegeben eine orientierte $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum gibt es genau eine Linearform\label{IiIt} $\int:\mathcal C_!\Omega^k(M)\ra\DR$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede \hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} $\varphi:Q\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ und jede kompakt getragene $k$-Form $\omega$ mit Tr"ager im Bild dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(Q)$ gilt $$\int_{\vec M}\omega= \varepsilon\int_Q(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\diff^kx$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} F"ur die Form $\varphi^\ast\omega=\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ ist $(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ per definitionem genau\label{OTm} die Funktion $f$. Das Integral auf der rechten Seite ist hier als Quaderintegral im Sinne von \ref{RiMV} zu verstehen, beziehungsweise als die Summe endlich vieler solcher Quaderintegrale, wenn der Definitionsbereich unserer Integrationskarte aus mehreren Quadern bestehen sollte. Ist unsere Fastfaltigkeit $M$ bereits selbst ein kompakter Quader mit nichtleerem Inneren $Q=[a_1,b_1]\times\ldots\times [a_k,b_k]\subset \DR^k$ und $\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ eine stetige Differentialform auf $Q$ und geben wir $Q$ die von der Standardorientierung des $\DR^k$ induzierte Orientierung, so k"onnen wir die Identit"at als Integrationskarte nehmen und unsere Definitionen liefern $$ \int_{\vec Q}f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k= \int_{Q}f(x) \diff^kx =\int_{a_k}^{b_k}\ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots,x_k) \diff x_1\ldots \diff x_k $$ Gegeben $\varphi:Q\ra M$ eine Integrationskarte der Orientierung $\varepsilon$ einer orientierten Fastfaltigkeit $\vec M$ und eine stetige $p$-Form auf $M$ mit Tr"ager in $\varphi(Q)$ und $\vec Q$ der Definitionsbereich unserer Integrationskarte mit seiner Standardorientierung gilt also insbesondere $$\int_{\vec M}\omega= \varepsilon\int_{\vec Q}\varphi^\ast\omega$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sei $\omega\in\mathcal C_!\Omega^k(M)$ gegeben. Wir finden eine endliche "Uberdeckung von $\op{supp}\omega$ durch die Inneren von Bildern von Integrationskarten $\op{Inn}_M(\varphi_i(Q_i))$ der Orientierungen $\varepsilon_i$ und nach \ref{TEL} eine an diese "Uberdeckung angepa"ste Teilung der Eins, also stetige Funktionen $\alpha_i\in\mathcal C_!(M,\DR)$ mit Tr"ager $\op{supp}\alpha_i\subset \varphi_i(Q_i)$ und $\sum_i \alpha_i(x)=1$ f"ur alle $x\in \op{supp}\omega$. Dann haben wir $\omega=\sum_i\alpha_i\omega$. Wenn also "uberhaupt eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften existiert, so mu"s gelten $$\int_{\vec M}\omega=\sum_i\int_{\vec M}\alpha_i\omega =\sum_i\varepsilon_i\int_{Q_i} (\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\diff^kx$$ Das ganze Problem ist zu zeigen, da"s die rechte Seite nicht von den Integra\-tions\-karten und der Teilung der Eins abh"angt. Das geht wie bei unserer Diskussion \ref{IUMac} der Integration von Funktionen mit kompaktem Tr"ager "uber Fastfaltigkeiten \ref{IUMac} in $\DR^n$. Genau wie dort zieht man sich darauf zur"uck, f"ur je zwei Integrationskarten $(Q,\varphi)$ und $(P,\psi)$ der Orientierungen $\varepsilon$ und $\eta$ und f"ur $\omega$ mit Tr"ager $\op{supp}\omega\subset \varphi(Q)\cap \psi(P)$ die Gleichheit $$\varepsilon\int_{Q} (\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta\int_{P} (\psi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$ zu zeigen. Wie dort findet man Zerlegungen $Q=A\sqcup S\sqcup U$ und $P=B\sqcup T\sqcup V$ mit $A,U\co Q$ und $B,V\co P$ und Nullmengen $S,T$ derart, da"s unsere Gleichheit die Gleichheit von Integralen stetiger Funktionen $g:Q\ra \DR$ und $h:P\ra \DR$ behauptet mit $g|_A=0$ und $h|_B=0$, f"ur die es einen $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus $\kappa:U\cap Q^\circ \sira V\cap P^\circ$ gibt mit $$\varepsilon g=\eta (h\circ\kappa)|\!\det \tiff\kappa|$$ Die Herleitung dieser Formel besprechen wir gleich noch genauer. Von dort ausgehend kommt man dann genau wie in \ref{IUMac} zum Ziel, entweder ganz bequem mit Lebesgue'scher Integrationstheorie oder sozusagen zu Fu"s mit etwas mehr Aufwand. Besprechen wir also den Kartenwechsel $\kappa$ genauer. Per definitionem induzieren unsere Integrationskarten $\varphi,\psi$ Bijektionen $$U\cap Q^\circ \sira \varphi(Q^\circ)\cap \psi(P^\circ) \sila V\cap P^\circ$$ und beide sind Karten der Mannigfaltigkeit $\varphi(Q^\circ)\cap \psi(P^\circ)$. Der Kartenwechsel ist nach \ref{KaWe} ein Diffeomorphismus $\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi$ mit $\psi\circ \kappa=\varphi$. Nach \ref{KeReD} folgt $\kappa^\ast\psi^\ast\omega =\varphi^\ast\omega$. F"ur $g\pdef (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ gilt per definitionem $\varphi^\ast\omega=g dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$. F"ur $h\pdef (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ gilt ebenso $\psi^\ast\omega=h dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$. Mit dr Formel \ref{ZHD} f"ur den R"uckzug von Volumenformen im letzten Schritt folgt nun $$\begin{array}{lll} g dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k&=& \kappa^\ast(h dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\ &=&(h\circ \kappa)\kappa^\ast(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\ &=&(h\circ \kappa)\op{det}(\tiff \kappa)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k \end{array} $$ alias $g=(h\circ \kappa)\op{det}(\tiff \kappa)$. Die Vertr"aglichkeiten der jeweiligen Orientierungen mit den Karten zeigen aber $\varepsilon \det\!\tiff\kappa=\eta|\!\det\tiff \kappa|$ und wir erhalten wie behauptet $\varepsilon g=\eta(h\circ \kappa)|\!\det\tiff \kappa|$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Riemannsummen f"ur Differentialformen}] Um die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen, erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu $Q \pdef [a,b] \times [c,d]$ ein kompaktes Rechteck und $\varphi:Q\ra X$ eine Integrationskarte in einen endlichdimensionalen reellen Raum und $\omega: \varphi(Q) \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$ eine stetige $2$-Form auf $\varphi(Q)$. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$ sowie $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ und bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$. Bezeichne weiter $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte unter $\varphi$. Damit erkl"aren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform} $S^{r}_{\varphi} (\omega)$ durch die Formel\label{ASID} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Wert von $\omega_{p_{2,0}}$ auf diesem Paar von Vektoren, genommen in einer durch die Orientierung gegebenen Reihenfolge, geht in die Riemannsumme $S_{\varphi}^3$ ein. \end{figure} $$S^{r}_{\varphi} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0} \omega_{p_{i,j}} (p_{i+1,j} - p_{i,j},p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $\varphi(Q)$ mit der Orientierung, f"ur die $\varphi$ eine orientierte Integrationskarte ist, anschaulich verstehen als den Grenzwert $$\int_{\varphi(Q)} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\varphi}^{r} (\omega)$$ Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von \ref{RSIn} "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sinnhaftigkeit der Integration alternierender Formen}] Unter der Voraussetzung einer auf einem Quadrat definierten Integrationskarte, in Formeln $b-a=d-c$, betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen und die neue Integrationskarte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von eben, wenn man nur in jedem Summanden den ersten und den zweiten Eintrag der bilinearen Abbildung $\omega$ vertauscht und das von der negativen Orientierung der Integrationskarte herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also $\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Integrationskarte dieselben Riemannsummen und dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer alternierenden Form unabh"angig ist von den zur Berechnung gew"ahlten Integrationskarten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber die\label{BI11} obere Hemisph"are $H \pdef \{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, \; z \geq 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. Wir betrachten das Rechteck $R \pdef [0,\pi]\times [0,\pi]\subset \DR^2$ und die orientierte Integrationskarte $\phi:R\rightarrow H$ gegeben durch die Formeln $(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, \sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ unserer Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo}, und erhalten \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta \op{d} ( \cos \vartheta) \wedge \op{d} (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta ( -\sin \vartheta \diff \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos \vartheta \diff \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\wedge \diff \varphi \\[2mm] &=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta \diff \varphi \\[2mm] &=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm] &=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta) \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2} \diff \vartheta=\frac{\pi}{4} \end{array} \end{displaymath} Hier ist der erste Schritt im wesentlichen die Definition \ref{OTm} mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und Differential \ref{VFVD}, der Zweite die Formel \ref{DiFF} f"ur das Differential einer Funktion, der Dritte beruht auf dem Alternieren und der Bilinearit"at des Dachprodukts, und der Vierte ist nocheinmal im wesentlichen die Definition \ref{IiIt}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Integrale von Differentialformen "uber orientierte Fastfaltigkeiten der Dimensionen $0$ oder $1$ sowie der Kodimensionen $0$ oder $1$ in einem $\DR^n$ trifft man oft in anderen Gestalten an, die den Formalismus der Differentialformen vermeiden.\label{diIkf} Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}] Im Fall einer nulldimensionalen Fastfaltigkeit\label{DisM} $M$ alias diskreten Teilmenge ist eine Nullform eine Funktion und eine Nullform mit kompaktem Tr"ager eine Funktion, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte annimmt. Unser Integral ist dann die Summe der Funktionswerte multipliziert mit den durch die auf $M$ gew"ahlte Orientierung $\varepsilon$ bestimmten Vorzeichen $\varepsilon_p$, in Formeln $$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\varepsilon_p f(p)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als Differentialformenintegral}] F"ur eine stetige $n$-Form $ f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n$ mit kompaktem Tr"ager auf einer $n$-Fastfaltigkeit $M\subset \DR^n$ mit der von der Standardorientierung des $\DR^n$ induzierten Orientierung liefern unsere Definitionen $$ \int_{\vec M} f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\int_{M}f(x) \diff^kx $$ Das Integral der Funktion $f$ rechts ist dabei im Sinne von \ref{IUMac} oder f"ur hinreichend vorgebildete Leser auch als das Lebesgue-Integral der integrierbaren Funktion $f$ "uber die me"sbare Teilmenge $M\subset\DR^n$ zu verstehen. Ein typisches Beispiel f"ur eine $3$-Fastfaltigkeit in $\DR^3$ w"are etwa eine massive Halbkugel $M\subset\DR^3$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}] Gegeben eine orientierte $1$-Fastfaltigkeit $M$ und eine surjektive orientierungsvertr"agliche Integrationskarte $\varphi:[a,b]\sra M$ f"allt das Integral einer $1$-Form $\omega$ "uber $M$ zusammen mit dem Wegintegral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$, denn beide fallen zusammen mit dem Integral der zur"uckgeholten $1$-Form $\varphi^\ast\omega$ "uber die in der offensichtlichen Weise orientierte Fastfaltigkeit $[a,b]$, in Formeln $$\int_{\vec{M}} \omega=\Wint_a^b \varphi^\ast\omega=\Wint_\varphi \omega$$ Ist speziell unsere Fastfaltigkeit in den $\DR^n$ eingebettet, so hat unsere $1$-Form $\omega$\label{Kurv} die Gestalt $\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$ und unser Wegintegral wird von Anwendern meist geschrieben als das Wegintegral des Vektorfelds $v=\hat s^{-1}(\omega)=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\ttop$ l"angs $\varphi$, in Formeln $$\int_{\vec{M}} \omega=\Wint_\varphi \omega =\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b v\cdot\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}\label{HyFl} Die Interpretation der Integration von Differentialformen "uber orientierte Hyperfl"achen in $\DR^{n+1}$ als \glqq Flu"s\grqq\ ben"otigt von den hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{ONFf} Ist $M\subset \DR^{n+1}$ eine \hyperref[Rand]{Hyperfl\"{a}che}, so gibt es zu jedem Punkt $p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$ von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede angeordnete Basis $(v_1,\ldots,v_n)$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung $\varepsilon$ die Standardorientierung der angeordneten Basis $(N_p,v_1,\ldots,v_n)$ des $\DR^{n+1}$ auch $\varepsilon$ ist. Wir erhalten so eine stetige Abbildung, das \defnoind{orientierte Normalenfeld}\index{Normalenfeld!orientiertes} $$ \begin{array}{cccc} N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\ &p&\mapsto&N_p \end{array} $$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir indizieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich als $x_0,x_1,\ldots ,x_n$ und\label{VFF} ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine alternierende Multili\-near\-form $\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift $$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})\pdef \op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$ Rechts ist hier die Matrix mit den entsprechenden Spaltenvektoren zu verstehen. In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ auf $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen durch das Auswerten auf Tupeln der Standardbasis, da"s sie geschrieben werden kann in der Gestalt $$\omega_F = \sum^{n}_{i=0} (-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ Wir nennen $\omega_F$\index{o@$\omega_F$ Differentialform zu Vektorfeld} die {\bf zu unserem Vektorfeld geh"orige $n$-Form}. Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$ die $2$-Form $$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$ Die unteren Indizes d"urfen dabei nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden werden, sondern meinen vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds, die wir auch $F_1,F_2,F_3$ oder in unserer aktuellen Indizierung $F_0,F_1,F_2$ h"atten notieren k"onnen. Im $\DR^2$ hatten wir $\omega_F$ bereits in \ref{Fl} kennengelernt. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}] Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache, $F:M\ra\DR^{n+1}$ ein stetiges relatives Vektorfeld auf $M$ mit kompaktem Tr"ager und $N$ das orientierte Normalenfeld auf $M$. So gilt f"ur die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega_F$ \label{FIF} die Identit"at $$\int_{\vec{M}}\omega_F =\int_M\langle F,N \rangle =\int_M F\!\cdot\! N $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{VFDF} Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in der Notation f"ur das Skalarprodukt und sind als Fl"achenintegrale im Sinne von \ref{IUMa} zu verstehen. Die rechte Seite hei"st der {\bf Flu"s des Vektorfelds $F$ durch die orientierte Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds durch eine Hyperfl"ache} Dies Oberfl"achenintegral mag der Anschauung besser zug"anglich sein als unser Integral "uber eine Differentialform. F"ur das explizite Rechnen ist die Darstellung als Integral einer Differentialform im allgemeinen g"unstiger. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $M\subset X$ eine zweidimensionale\label{Fluddd} orientierte Mannigfaltigkeit alias Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$ die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt. Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei negativ zu Buche. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es Karte $\varphi:W\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ gibt mit $(\op{supp}F)\cap M\subset \varphi(W)$. Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in der Form $p\mapsto F_p$, wobei der Index ungl"ucklicherweise eine v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}. Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen und einen tangentialen Anteil als $F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit $R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und finden f"ur alle $x\in W$ $$ \begin{array}{ccl} (\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=& \omega_{\varphi(x)}(\tiff_x\varphi(\op{e}_1), \ldots,\tiff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm] &=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|[\tiff_x\varphi])\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{det}(N_{\varphi(x)}|[\tiff_x\varphi])\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{vol}(\tiff_x\varphi) \end{array}$$ In der zweiten Zeile ist die quadratische Matrix gemeint, die aus der Jacobi-Matrix $[\tiff_x\varphi]$ entsteht durch Anf"ugen des Vektors $F_{\varphi(x)}$ als erste Spalte. F"ur die dritte Gleichheit verwenden wir unseres Zerlegung $F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit $R_p \in {\op{T}}_{p} M=\op{im}(\tiff_x\varphi)$ und da"s eine quadratische Matrix mit linear abh"angigen Spalten die Determinante Null hat. F"ur die vierte Gleichheit verwenden wir unsere erste Formel aus \ref{vOL} f"ur Gram'sche Determinanten. Die Gleichheit der beiden Integrale folgt nun aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fl"usse durch Fastfaltigkeiten}] Im Fall einer orientierten $n$-Fastfaltigkeit im $\DR^{n+1}$ wie etwa die Oberfl"ache eines W"urfels in $\DR^3$ ist der orientierte Normalenvektor nicht mehr in allen Punkten sinnvoll definiert, aber das Differentialformenintegral ist immer noch sinnvoll erkl"art. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11} also auch als den Flu"s durch die obere Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen. In der Notation von dort h"atten wir etwa \begin{equation*} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_H x^2 \op{e}_3 \cdot N \end{equation*} Hier meint $N$ das \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\ nach \ref{ONFf} ist. Zur Probe rechne ich hier die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin \vartheta$ ist. Um das Fl"achenintegral rechts zu bestimmen, gilt es die Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \tiff \phi &=& \begin{pmatrix} -\sin \varphi &0\\ \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\ \sin \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} (\tiff \phi)^\ttop \tiff \phi &=& \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \sin^2 \varphi \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin \varphi$ landen wie in \ref{BI11}. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Berechnen Sie das Integral der $2$-Form $x dy\wedge dz + y dx\wedge dz$ "uber den Zylinder $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1, z\in[0,1]\}$ mit einer Orientierung ihrer Wahl. \end{Ubung} \begin{Ubung} Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$ durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl versehen m"ogen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Integrals}] Seien zwei Tripel $M\subset A\subset X$ und $N\subset B\subset Y$ gegeben bestehend aus endlichdimensionalen reellen R"aumen $X,Y$ und halboffenen Teilmengen $A,B$ und in diesen halboffenen Teilmengen enthaltenen $k$-Fastfaltigkeiten $M,N$. Sei $\phi: A\ra B$ eine $\mathcal C^1$-Abbildung, die einen Hom"oomorphismus $M\sira N$ induziert sowie Isomorphismen ${\op{T}}_pM\sira {\op{T}}_{\phi(p)}N$. Seien $M$ und $N$ darunter mit vertr"aglichen Orientierungen versehen. So gilt f"ur jede stetige $k$-Form $\omega$ auf $B$, deren Tr"ager $N$ in einem Kompaktum trifft, die Identit"at $$\int_{\vec M}\phi^*\omega=\int_{\vec N}\omega$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Flu"s durch einen ebenen Weg und Wegintegral}] Berechnen sie den Flu"s des radialen Vektorfelds $v:(x,y)\mapsto (x,y)$ durch den im Gegenuhrzeigersinn orientierten Einheitskreis und ebenso das Wegintegral desselben Vektorfelds l"angs derselben orientierten $1$-Mannigfaltigkeit. Was sind die zugeh"origen Integrale von Differentialformen? \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Integral eines "au"seren Produkts}] Seien $M\subset X$ und $N\subset Y$ jeweils eine Fastfaltigkeit in einem endlichdimensionalen reellen Raum. So gilt $(M\times N)_{\op{reg}}=M_{\op{reg}}\times N_{\op{reg}}$ und gegeben je eine Orientierung von $M$ und von $N$ erhalten wir die {\bf Produktorientierung} auf $M\times N$ durch die Vorschrift, da"s wir gegeben regul"are Punkte $p\in M$ und $q\in N$ jeweils diejenige Orientierung auf ${\op{T}}_{(p,q)}(M\times N)_{\op{reg}}$ auszeichnen, die unter dem Isomorphismus ${\op{T}}_{(p,q)}(M\times N)_{\op{reg}}\sira {\op{T}}_{p}M_{\op{reg}}\times {\op{T}}_{q}N_{\op{reg}}$ aus \ref{pMF} der Produktorientierung nach \eref{orQ}{LA1} entsprechen. Sind $\omega$ und $\eta$ jeweils stetige Differentialformen mit kompaktem Tr"ager auf $M$ und $N$ vom Grad der Dimension, so gilt f"ur die Integrale in Bezug auf die jeweiligen Orientierungen $$\int_{M\times N}\omega\boxtimes\eta=\left(\int_{M}\omega\right)\left(\int_{ N}\eta\right)$$ \end{Ubunge} \subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Vektorraum $V$ definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung $\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$ durch die Vorschrift $$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef \sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots, v_{k})$$ Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\ "uber $v_i$ wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag beim entsprechenden Summanden auszulassen ist. Wir nennen unsere Abbildung den {\bf Alternator}.\index{Alternator} %\nichtfinal{Er ist ein Spezialfall der allgemeinen Konstruktion aus \eref{CapF}{TSK}.} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein Vektorraum $V$ und $\lambda\in V^*$ und $\omega\in \op{Alt}^{k}V$ bezeichne $\lambda\otimes \omega$ die Abbildung $V\ra \op{Alt}^{k}V$ gegeben durch $v\mapsto \lambda(v)\omega$. So finden wir $$\op{alt}(\lambda\otimes \omega)=\lambda\wedge \omega$$ In der Tat besteht die Menge $\mathcal S_{1,k}$ der Shuffles, die bei der Definition des Dachprodukts auf der rechten Seite vorkommen, genau aus denjenigen Permutationen,\label{AuAb} die \glqq das erste Element irgendwo dazwischenschieben\grqq. %\nichtfinal{Das ist ein Spezialfall von "Ubung \eref{CapF}{TSK}.} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{SDiD} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Eine Differentialform $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ hei"st {\bf differenzierbar}, wenn sie als Abbildung von der halboffenen Teilmenge $A$ des endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$ differenzierbar ist im Sinne von \ref{DeDi}. Sie hei"st {\bf stetig differenzierbar}, wenn sie stetig differenzierbar ist im Sinne von \ref{SDi}, wenn also ihr Differential auch stetig ist als Abbildung $A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch $x\mapsto \tiff_x\omega$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{daAb} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben eine differenzierbare $k$-Form $\omega:A\ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form $$\diff \omega:A\ra \op{Alt}^{k+1}\vec{X}$$ durch die Vorschrift $(\diff \omega)_x\pdef\op{alt}(\tiff_{x}\omega)$ f"ur $\tiff_{x}\omega : \vec X \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ das Differential im Sinne von \ref{DeDi} unserer Form $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ an einer Stelle $x \in A$. Wir nennen $\diff \omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben eine differenzierbare Funktion $f:A\ra\DR$ und $\omega_\circ\in \op{Alt}^{k}\vec{X}$ finden wir\label{CAA} $\tiff_x (f\omega_\circ)=(\tiff_xf)\otimes \omega_\circ$ f"ur alle $x\in A$ in der in \ref{AuAb} eingef"uhrten Notation. Nach \ref{AuAb} haben wir folglich $$\op{d}(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$ Insbsondere haben wir etwa $\op{d} (x^2y \diff y\wedge \diff z)=2xy\diff x\wedge \diff y\wedge \diff z$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine stetig differenzierbare Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet, hei"st {\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum ist ein stetig differenzierbares Kovektorfeld $\omega:X\lco U\ra\vec X^*$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne genau dann, wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \ref{gesch}, wenn also nach \ref{roPP} das Wegintegral von $\omega$ "uber jeden geschlossenen in $U$ zusammenziehbaren Integrationsweg verschwindet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus "Ubung \ref{IHTj}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}] Um uns die "au"sere Ableitung $\diff \omega$ zu veranschaulichen, erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir dann\label{AAAb} statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren "au"sere Ableitung $(\diff f)_x$ ist schlicht das Differential $\tiff_{x}f$ bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl $$(\diff f)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet. Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ kann seine "au"sere Ableitung $(\diff \omega)_{x}$ bei $x$ analog dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl $$(\diff \omega)_{x}(\vec{v},\vec{w}) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg, der einmal das Parallelogramm mit einer Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, und zwar st"uckweise linear erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$, von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \ref{IHTj} gezeigt. Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir $$(\diff \omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ mit $F$ zumindest f"ur $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$ linear unabh"angig der in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$, "uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren. Das wird recht direkt aus dem Satz von Stokes mit Ecken \ref{StEck} folgen, wie sie als "Ubung \ref{BAAkl} werden ausarbeiten d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{glat} Gegeben eine offene Teilmenge $U\co \DR^n$ hei"st eine Abbildung $f:U\ra\DR^m$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung nach $\DR^m$} oder {\bf beliebig differenzierbar}\index{differenzierbar!beliebig} oder auch eine {\bf $\cal{C}^\infty$-Abbildung}, wenn zu allen Komponenten $f_\mu$ von $f$ f"ur $1\leq\mu\leq m$ alle gemischten h"oheren partiellen Ableitungen, in der Multiindexschreibweise aus \ref{MuIn} also alle $\partial^\alpha f_\mu$ f"ur beliebige $\alpha\in\DN^n,$ auf ganz $U$ existieren. Existieren sie bis zum Totalgrad $|\alpha|\leq k$ und sind stetig, so spricht man von einer {\bf $\cal{C}^k$-Abbildung}. Das $\mathcal C$ steht hier wie bisher f"ur \glqq continous\grqq\ alias stetig. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume multilinearer Abbildungen}] Gegeben Vektorr"aume $V,W$ und $k\geq 0$ bilden wir den Vektorraum\index{Mult@$\op{Mult}^k$ multilineare Abbildungen} $$\op{Mult}^k(V,W)$$ aller multilinearen Abbildungen des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W.$ Im Fall $k=0$ verstehen wir $\op{Mult}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die Isomorphismen $\op{mult}:\op{Hom}(V, \op{Mult}^k(V,W))\sira \op{Mult}^{k+1}(V,W)$ gegeben durch $$\op{mult} (f)(v_0,v_1,\ldots,v_k)\pdef (f(v_0))(v_1,\ldots,v_k)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}] Gegeben $X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume\label{stddne} und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f:A\ra Y$ eine Abbildung setzen wir $\tiff^{(0)} f\pdef f$ und\label{stdde} $\tiff^{(1)} f\pdef\tiff f: x\mapsto \tiff_x f$ und erkl"aren induktiv f"ur $k\geq 2$ die {\bf $k$-te Ableitung}\index{Ableitung!h"ohere, koordinatenfrei} $$\tiff^{(k)} f:A\ra \op{Mult}^k(\vec{X},\vec{Y})$$ durch $x\mapsto \tiff^{(k)}_x f\pdef \op{mult}(\tiff_x(\tiff^{(k-1)} f))$, falls die $(k-1)$-te Ableitung existiert und differenzierbar ist auf $A$. Existieren alle Ableitungen von $f$ bis zur Ordnung $k$ und sind stetig, so nennen wir $f$ \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^k$} oder auch eine\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^k$-Abbil\-dung}. Zum Beispiel bedeutet ${\cal{C}}^1$ stetig differenzierbar und ${\cal{C}}^0$ stetig. Ist $f$ von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ so hei"st die Abbildung $f$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung!koordinatenfrei} oder {\bf beliebig differenzierbar} oder \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^\infty$} oder eine\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}. Im Fall $X=\DR^m, Y=\DR^n$ erhalten wir den in \ref{glat} besprochenen Begriff einer $\mathcal C^k$-Abbildung zur"uck. Der Leser mag zur "Ubung zeigen, da"s jede Verkn"upfung von $\mathcal C^k$-Abbildungen wieder eine $\mathcal C^k$-Abbildung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechnen mit der "au"seren Ableitung}] Sei $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums.\label{RAAb} \begin{enumerate} \item Die Zuordnung $\omega\mapsto \diff \omega$ vom Vektorraum der differenzierbaren $k$-Formen auf $A$ zum Vektorraum der $(k+1)$-Formen auf $A$ ist linear; \item F"ur differenzierbare Nullformen alias Funktionen $f$ gilt $\diff f=\tiff f$; \item Das Dachprodukt differenzierbarer Differentialformen $\omega$ und $\eta$ auf $A$ ist differenzierbar und f"ur seine "au"sere Ableitung gilt die \emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur Differentialformen}\label{LRR} $$\op{d} (\omega \wedge \eta)= (\diff \omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|} \omega \wedge \diff \eta$$ \item Gegeben eine $\cal{C}^2$-Abbildung $\phi:A\ra B$ in eine halboffene Teilmenge\label{zh} $B$ eines weiteren endlichdimensionalen reellen Raums $Y$ und eine differenzierbare Differentialform $\eta$ auf $B$ haben wir die \emph{\bf Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung} $$\op{d} (\phi^{\ast}\eta) = \phi^{\ast}(\diff \eta)$$ \item Ist die Differentialform $\omega$ auf $A$ stetig differenzierbar und ist $\diff \omega$ auch\label{dd} stetig differenzierbar, so gilt $$\op{d} (\diff \omega)= 0$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Diese Formeln zusammen mit der graduierten Kommutativit"at \ref{GrDac} des Dachprodukts $\omega\wedge\eta=(-1)^{|\omega||\eta|}\eta\wedge\omega$ und mit unserer Regel $$\diff f = \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$$ f"ur das Differential einer differenzierbaren Funktion $f: A \ra \Bbb{R}$ auf einer offenen oder allgemeiner halboffenen Menge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ aus \ref{KovK} beziehungsweise \ref{sFho} machen das Rechnen mit Differentialformen au"serordentlich bequem. Der Formalismus der Differentialformen geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. Die Vertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung mit Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen Koordinatensystemen derart einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft der bequemste Weg ist, sie auf diesen Formalismus zur"uckzuf"uhren. Als Beispiel bespreche ich die Umrechnung des Laplace-Operators auf krummlinige Koordinaten in \ref{LAKo} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die ersten beiden Aussagen sind offensichtlich. Wir f"uhren den Beweis der restlichen Aussagen in mehreren Schritten. \\[2mm]\noindent \emph{Leibnizregel.} Wir k"onnen $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen der Gestalt $f\omega_{\circ}$, $g\eta_{\circ}$ mit $\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$ konstant und $f,g$ differenzierbaren Funktionen. Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = f\omega_{\circ}$ und $\eta = g \eta_{\circ}$ zu pr"ufen. Dazu rechnen wir $$\begin{array}{lll} \op{d}(\omega\wedge\eta)&=&\op{d}(fg\omega_\circ\wedge\eta_\circ)\quad\text{mit Einsetzen,}\\ &=&\op{d}(fg)\wedge \omega_\circ\wedge\eta_\circ\quad\text{nach Beispiel \ref{CAA},}\\ &=&(g\diff f +f\diff g)\wedge \omega_\circ\wedge\eta_\circ\quad\text{nach der Produktregel \ref{DiFF},}\\ &=&\diff f \wedge \omega_\circ\wedge g\eta_\circ + (-1)^{|\omega|}f \omega_\circ\wedge\diff g\wedge \eta_\circ\quad\text{nach \ref{GrDac},}\\ &=&\diff \omega\wedge \eta + (-1)^{|\omega|} \omega\wedge \diff \eta\quad\text{nach Beispiel \ref{CAA}.}\end{array}$$ So haben wir die Leibnizregel f"ur Differentialformen zur"uckgef"uhrt auf den Fall \ref{DiFF} von Nullformen alias Funktionen und den Fall \ref{CAA} des Produkts einer Nullform alias Funktion mit einer konstanten Form. \\[2mm]\noindent \emph{$\diff \diff =0$ im Fall $A\subset X=\DR^n$.} F"ur eine stetig differenzierbare Nullform alias Funktion $\omega=f:\DR^n\lco U \ra \DR$ auf einer offenen Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ erhalten wir ganz explizit $\diff f = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$. Wenn $f$ sogar zweimal stetig differenzierbar ist, finden wir weiter $$ \diff \diff f = \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\diff x_{j}\wedge \diff x_{i} = \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right) \diff x_{j} \wedge \diff x_{i} = 0 $$ Hierbei haben wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen \ref{VPAb} verwendet, die hinwiederum aus unserer Annahme der Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt. F"ur eine stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} f_{I}\diff x_{I}$, mit $\diff \omega$ stetig differenzierbar erhalten wir damit sofort $\op{d} (\diff \omega)= \sum \op{d} (\diff f_{I}) \wedge \diff x_{I} = 0$. F"ur eine zweimal stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ auf einer halboffenen Teilmenge $A\subset \Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus der Stetigkeit von $\op{d}(\diff \omega)$. \\[2mm]\noindent \emph{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit f"ur $\phi$ affin.} Gilt $\diff\phi^{\ast}= \phi^{\ast}\!\diff$ f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \ref{VFVD}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ und $\phi$ affin ist andererseits auch $\phi^{\ast}\omega_\circ$ eine konstante $1$-Form, mithin gilt wie gew"unscht $ \op{d}(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (\diff\omega_\circ)$. \\[2mm]\noindent \emph{$\diff\diff=0$ im Allgemeinen.} Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ ein Isomorphismus von affinen R"aumen, so folgt $\phi^{\ast} (\diff\diff\omega) = \diff\op{d} (\phi^\ast{\omega}) = 0$ und mithin $\diff\diff \omega =0$. \\[2mm]\noindent \emph{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit im Allgemeinen.} Gilt $\diff\phi^{\ast}= \phi^{\ast}\!\diff$ f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \ref{VFVD}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ haben wir hinwiederum $\omega_{\circ}=\diff f$ f"ur eine geeignete Funktion $f$, genauer f"ur jede affine Abbildung $f:Y\ra\DR$ mit linearem Anteil $\omega_\circ$. Damit ergibt sich f"ur $\phi$ beliebig unmittelbar $\diff\phi^{\ast}\omega_{\circ} = \diff\phi^{\ast} \!\diff f = \diff\diff \phi^{\ast}f =0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} \diff\omega_{\circ}$, wo wir im mittleren Schritt verwenden, da"s uns die Regel $\phi^{\ast} \!\diff f = \diff \phi^{\ast}\!f$ f"ur differenzierbare Funktionen $f$ ja bereits aus \ref{VFVD} zur Verf"ugung steht. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen Multilinearformen}] Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen \ref{stddn} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei Aussagen des vorhergehenden Satzes in dieser analogen Situation falsch. Etwas vage gesprochen folgen unsere Aussagen eben gerade aus den Zusammenspiel zwischen dem Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren des Dachprodukts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Eigenschaften der "au"seren Ableitung}] Unsere Regel \ref{RAAb}.\ref{zh} k"onnen wir auch\label{zHH} $\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:\diff \eta\leadsto \diff \omega$ schreiben. Sie besagt also in Worten, da"s die "au"sere Ableitung mit Verwandtschaft vertr"aglich ist. Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} auch bildlich klarzumachen. Die Regel $\diff \diff \omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen, da das Integral des Differentials einer Funktion "uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet. F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $\diff \diff \omega=0$ aus dem Stokes'schen Satz \ref{ASI} heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $\diff \omega$ "uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann, und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm] \noindent \centering Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit zwischen der "au"seren Ableitung und dem Zur"uckholen von Kovektorfeldern. \end{figure} \begin{Bemerkungl} In nebenstehendem Bild wage ich den Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit zwischen der "au"seren Ableitung und dem Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen Parallelogrammweg links approximiert $(\op{d}(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$. Es stimmt nach \ref{EEWW}.\ref{TfW} "uberein mit dem Wegintegral des Kovektorfelds $\omega$ "uber seinen Bildweg rechts, eingezeichnet als durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken. Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen gestrichelten Parallelogrammweg rechts $(\diff \omega)_{\phi (p)}(\tiff_p\phi(\vec{v}),\tiff_p\phi(\vec{w}))$. Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert $t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur, da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter Ordnung verschwindet. \end{Bemerkungl} %\begin{Beispiel} % Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt %$\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ % ihre "au"sere Ableitung % $d \omega $ gegeben durch die Vorschrift % $$d \omega = \sum \op{d} (a_{I}) \wedge \diff x_{I}$$ % Vorne ist hier das Differential der Funktion $a_I$ % gemeint, hinten der formale Ausdruck % $\diff x_{I}=\diff x_{i(1)}\wedge \ldots\wedge \diff x_{i(k)}$ % f"ur $i(1)<\ldots0$, so bilden die $\mu^{-1/2}{\op{e}}_i$ eine Orthogonalbasis f"ur $\mu t$ und die $\mu^{1/2} {\op{e}}_i^\ttop$ ihre duale Basis und der Hodgeoperator $\ast_{\mu t}$ bildet $\mu^{p/2}\op{e}_1^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_p^\ttop$ ab auf $\mu^{q/2}\varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\op{e}_{p+1}^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_{n}^\ttop$ und wir finden $$\ast_{\mu t}=\mu^{(q-p)/2}\ast_{t}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Hodgeoperator im pseudoeuklidischen Fall}] In \eref{pseu}{LA2} erkl"aren wir eine \glqq pseudoeuklidische Struktur\grqq\ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ als eine Ursprungsgerade $S$ im Raum der Bilinearformen, die nicht Ausnahme der Nill nur symmetrische nichtausgeartete Bilinearformen enth"alt, und konstruieren dazu die \glqq L"angengerade\grqq\ $\mathbb L=\mathbb L(V,S)$. Ist zus"atzlich $S$ mit einer Orientierung versehen, sprechen wir von einer \glqq orientiert pseudoeuklidischen Struktur\grqq\ und zeichnen so eine Teilmenge $S_{>0}\subset S$ aus. Im Fall eines orientiert pseudoeuklidischen orientierten $n$-di\-men\-sio\-na\-len Vektorraums $(V,S)$ erhalten wir allgemeiner eindeutig bestimmte Isomorphismen\label{HSps} $$\textstyle \ast:\op{Alt}^p(V)\otimes\mathbb L^{\otimes p}\sira {\op{or}}_\DR(V)\otimes\op{Alt}^q(V)\otimes\mathbb L^{\otimes q}$$ mit $*(v_1^\ttop\wedge\ldots\wedge v_p^\ttop)\otimes \|v_1\|\otimes\ldots\otimes \|v_p\|=\varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\otimes(v_{p+1}^\ttop\wedge\ldots\wedge v_n^\ttop)\otimes \|v_{p+1}\|\otimes\ldots\otimes \|v_n\|$ f"ur eine und jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ der Orientierung $\varepsilon$ aus paarweise orthogonalen Vektoren mit $\eta_i$ dem Vorzeichen von $t(v_i,v_i)$ f"ur $t\in S_{>0}$. In diesem Fall gilt dann $\ast(\ast \beta)=\eta_1\ldots\eta_n(-1)^{pq}\beta$. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Ein m"oglicher Beweis besteht darin, das tapfer durchzurechnen. Dieser Zugang sei Ihnen zur "Ubung "uberlassen. Ein struktureller Beweis gelingt mit feineren Methoden der multilinearen Algebra und geht aus von einer gewissen Vertrautheit mit den "au"seren Potenzen $\bigwedge^r V$ eines $K$-Vektorraums $V$ nach \eref{ddp}{LA2}, mit ihrem Dachprodukt, mit der durch das Dachprodukt gegebenen nichtausgearteten Paarung $\bigwedge^pV\times \bigwedge^qV \ra \bigwedge^nV $ nach \eref{DTPm}{LA2} und mit den durch Zusammendachen und Einsetzen gegebenen Morphismen $$\textstyle \bigwedge^p(V^\ttop)\ra \op{Alt}^pV\sira (\bigwedge^p(V))^\ttop$$ nach \eref{cAlt}{LA2}. Weiter erinnern wir die durch unsere Bilinearform $t$ gegebene lineare Abbildung $\hat t:V\ra V^\ttop$ mit $\op{e}_i\mapsto \eta_i\op{e}_i^\ttop$ f"ur eine Orthogonalbasis wie oben mit $t(\op{e}_i,\op{e}_i)=\varepsilon_i$. Schlie"slich erinnern wir das durch $t$ und die Orientierung gegebene kanonische Element $\omega_t\in\bigwedge^nV$ maximalen Grades aus \eref{VolFF}{LA2}, das bez"uglich jeder Basis wie oben gegeben wird durch $\omega_t= \varepsilon\op{e}_1\wedge \ldots\wedge \op{e}_n$. Sie liefern Isomorphismen $$\textstyle \op{Alt}^pV\sira \bigwedge^p(V^\ttop)\sira \bigwedge^pV \sira \op{Hom}(\bigwedge^qV,\bigwedge^nV)\sira (\bigwedge^qV)^\ttop\sira \op{Alt}^qV$$ und deren Verkn"upfung hat die behauptete Eigenschaft. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Konventionen}] Die in der obigen Definition des Hodge-$\ast$-Operators \ref{HodM} versteckten und in gewisser Weise willk"urlichen Wahlen von Vorzeichen wurden so getroffen, da"s im Fall eines Skalarprodukts $t$ f"ur alle $\alpha$ die $n$-Form $\alpha\wedge \ast \alpha$ auf vertr"aglich orientierten angeordneten Basen nichtnegative Werte annimmt. Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\ in diesem Sinne \glqq positiv definit\grqq\ w"are, aber auf eine Konvention mu"s man sich an dieser Stelle einigen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jedem Vektor $F\in \DR^{n+1}$ hatten wir in \ref{VFF} eine $n$-Form $\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zugeordnet. Jedem Vektor $v$ in einem endlichdimensionalen Skalarproduktraum $(V,t)$ hatten wir in \ref{KoVeV} den Kovektor $\hat t(v)\in V^\ttop$ zugeordnet. Im Fall $(\DR^{n+1},s)$ des $\DR^{n+1}$ mit seinem Standardskalarprodukt und seiner Stan\-dard\-ori\-en\-tie\-rung finden wir unmittelbar die Beziehung $$\omega_F=\ast_s \hat s(F)$$ Im Fall eines beliebigen endlichdimensionalen orientierten Skalarproduktraums nehmen wir diese Identit"at als Definition von $\omega_F$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion \begin{equation*} \op{div}_t (v) = (\ast_t \circ \op{d} \circ \ast_t \circ \;\hat t\; ) (v) \end{equation*} Obwohl der Hodgeoperator von der Wahl einer Orientierung abh"angt, ist die Divergenz wegen des doppelten Auftretens des Hodgeoperators davon unabh"angig. Eine vielleicht noch nat"urlichere Beschreibung der Divergenz mithilfe der \glqq Lie-Ableitung\grqq\ erkl"aren wir in \eref{dviL}{DIFF}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die Divergenz eines Vektorfeldes ist dieselbe in Bezug auf je zwei Riemann'sche Metriken, die durch Multiplikation mit einer positiven Konstanten %nichtnegtiven glatten Funktion auseinander hervorgehen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{BSPK} Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit der Standardorientierung und dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ finden wir die "ubliche Formel $\op{div}(v)=a_x +b_y +c_z$, indem wir rechnen $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z\\ \hat s (v) &=& a \diff x + b \diff y +c\diff z\\ \ast_s (\hat s (v)) &=& a\diff y \wedge \diff z - b \diff x \wedge \diff z + c\diff x \wedge \diff y\\ \op{d}(\ast_s (\hat s (v))) &=& a_x\diff x\wedge \diff y \wedge \diff z - b_y \diff y \wedge \diff x\wedge \diff z + c_z \diff z\wedge \diff x \wedge \diff y\\ \ast_s (\op{d}(\ast_s (\hat s (v)))) &=& a_x +b_y +c_z \end{array}$$ Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen, schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben. Unsere neue Interpretation vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft, insbesondere da die "au"sere Ableitung $\diff$ sich so gut mit Verwandtschaft vertr"agt, und erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen orthogonalen Koordinaten. Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen, erinnern wir uns daran, da"s nach \ref{PKMm} unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik $s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf der $xy$-Ebene verwandt ist zum $2$-Tensor $ g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2} $. Damit rechnen wir dann vergleichsweise m"uhelos $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta \\ \hat g (v) &=& a \diff r + br^2 \diff \vartheta\\ \ast_g (\hat g (v)) &=&a r\diff \vartheta-br\diff r\\ \op{d}(\ast_g (\hat g (v))) &=& (a_r r+a)\diff r\wedge \diff \vartheta +b_\vartheta r\diff r \wedge \diff \vartheta\\ \op{div}_g(v)=\ast_g (\op{d}(\ast_g (\hat g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a \end{array}$$%Scheint ok. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir $$\Delta f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots + \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$ und nennen $\Delta$ den {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators $\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion an einer Stelle\label{ALA} $x$ mi"st die Abweichung des Funktionswerts bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von $x$. In einer Ver"anderlichen gilt zum Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$ Das kann der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen und hat es vielleicht auch als "Ubung \eref{ZAb}{AN1} bereits gepr"uft. In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der Notation $\op{e}_i$ f"ur die Vektoren der Standardbasis $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left( \frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+ f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Laplace-Operators}] Um den Laplaceoperator $\Delta$ in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo} kann man von der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \op{d} \ast_s \diff f$$ ausgehen, mit $s$ der "ublichen Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik und der Standardorientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $V \co X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $V$ setzt man allgemeiner $$\Delta_t g= \ast_t \op{d} \ast_t \diff g$$ f"ur jede $\mathcal C^2$-Funktion $g:V\ra\DR$. Unser urspr"unglicher Laplaceoperator ergibt sich als als der Laplaceoperator $\Delta=\Delta_s$ zur Standardmetrik auf dem $\DR^n$. Gegeben eine $\mathcal C^2$-Abbildung $\phi: U \rightarrow V$ mit bijektivem Differential an jeder Stelle von offenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller affiner R"aume und Riemann'sche Metriken $s,t$ auf $U,V$ folgt aus der Verwandtschaft der Metriken $\phi:s\leadsto t$ und der Verwandtschaft von Funktionen $\phi: f\leadsto g$ dann unmittelbar die Verwandtschaft nach Anwenden des jeweiligen Laplaceoperators $$\phi: \Delta_sf\leadsto \Delta_t g$$ Ist speziell etwa $\phi$ die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung, so l"a"st sich das ie im folgenden ausgef"uhrt auch sehr konkret und explizit berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Laplaceoperator in Polarkoordinaten}] Wir berechnen den Laplaceoperator einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden "ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach $$\begin{array}{rcl} \diff f &=& f_r \diff r + f_\vartheta \diff \vartheta\\ \ast_g (\diff f) &=&f_r r \diff \vartheta-r^{-1}f_\vartheta \diff r\\ \op{d} (\ast_g (\diff f)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})\diff r \wedge \diff \vartheta\\ \ast_g (\op{d} (\ast_g (\diff f))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} \end{array}$$%Forster kriegt dasselbe! \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler orientierter reeller Skalarproduktraum $(V,t)$ finden wir f"ur den Hodgeoperator $\ast_t:\op{Alt}^pV\sira \op{Alt}^qV$ f"ur alle $\lambda\in V^\ttop$ die Identit"at $$*\circ(\lambda\wedge)\circ *=(-1)^{n-p+1}i_{v}$$ f"ur $\hat t:v\mapsto\lambda$ mit den Einsetzungshomomorphismen $i_v$ aus \eref{inser}{LA2}. Im allgemeinen finden wir dasselbe mit einem Vorzeichen, auf das es uns hier nicht ankommen soll.\label{wedi} \end{Ubung} \begin{Ubungw}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfelds auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale Volumen"anderung unter dem Flu"s \ref{DFlu} des besagten Vektorfelds\grqq\ beschreibt, da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt $$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f \op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das Integral und beachte, da"s das Integral "uber ganz $\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet. \end{Ubungw} \begin{Ubung}\label{2F4} F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$. Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum und $\lambda\in\DR^\times$ stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{divKu} Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \ref{KuKo}. Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+ b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem $xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion $a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Man zeige, da"s der La\-place\-operator invariant ist unter Drehungen. Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare Abbildung, so zeige man f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. Man folgere die Formel $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\; \sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle} - f(x)\right) $$ auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ bis auf ein Vorzeichen die Differenz zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Durchschnitt der Funktionswerte auf einer Kugelschale mit Zentrum in $x$ und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}. Die Taylorentwicklung oben liefert in einer Ver"anderlichen sogar pr"aziser die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f'' (\xi^+)+f'' (\xi^-))/2$$ mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] Die polynomialen Funktionen $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$ auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln $$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$ Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$ mit konstanten Koeffizienten auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln $$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Laplaceoperator in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s der Laplaceoperator einer Funktion $f$ in den Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo} gegeben wird durch die Formel $$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} +r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2} f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe! Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch von \ref{graKu} und \ref{divKu} ausgehen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Die Maxwell'schen Gleichungen}] Wir bezeichnen die Koordinaten des $\DR^4$ mit $x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ oder allgemeiner einer halboffenen Teilmenge desselben eine glatte $2$-Form \begin{eqnarray*} F &=& E^1 \diff x \wedge \diff t + E^2 \diff y \wedge \diff t + E^3 \diff z \wedge \diff t\\ & &+ B^1 \diff y \wedge \diff z + B^2 \diff z \wedge \diff x + B^3 \diff x \wedge \diff y \end{eqnarray*} So ist die Gleichung $\diff F=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen $$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad \op{rot} E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$ f"ur $\op{rot}E$ die Rotation wie in \ref{sr} und $\op{div} B$ die Divergenz alias die Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$ wie in \ref{SvG}. Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen % f"ur $H=cB$ die beiden ersten Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum. % Wie man sogar alle vier % Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann, % wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. Betrachten wir zus"atzlich die sogenannte \glqq Lorentzmetrik\grqq\ $$l \pdef \diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2} + \diff z^{\otimes 2} -c^2 \diff t^{\otimes 2}$$ mit einer reellen Konstante $c\neq 0$, so ist die Gleichung $ \diff (\ast_l F)=0$ "aquivalent zu den beiden anderen Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum\label{MaGee} $$ \op{div} E =0\quad\text{ und }\quad c^{ 2}\op{rot} B = \frac{\partial E}{\partial t}$$ Der Formalismus der Verwandtschaft von Differentialformen sagt uns dann, in welcher Weise ein elektromagnetisches Feld $F$ in andere Koordinaten umgeschrieben werden mu"s, und da"s die Maxwell'schen Gleichungen in diesem Sinne nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Lichtwellen}] Fassen wir die Raumzeit in der in \eref{psEUS}{LA2} erkl"arten Weise auf als einen pseudoeuklidischen Raum $X$ von Typ $(3,1)$, so ist ein elektromagnetisches Feld eine glatte Zweiform $F:X\ra \op{Alt}^2(\vec X)$ und die Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum bedeuten die Bedingungen $$\diff F=\op{d}(\ast F)=0$$ Wir denken uns nun allgemeiner einen endlichdimensionalen Raum $X$ mit einer symmetrischen nichtausgearteten Bilinearform $l$ auf $\vec X$ und interessieren uns f"ur komplexe $p$-Formen $F:X\ra \op{Alt}^p(\vec X)\otimes_\DR\DC$ mit $\diff F=0$ und $\op{d}(\ast_lF)=0$. Speziell untersuchen wir L"osungen der Gestalt $$F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A$$ mit $A\in \op{Alt}^p(\vec X)_\DC$. F"ur die Funktion $\vec X\ra\DC$, $\vec v\mapsto \op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))$ finden wir als Differential $\diff\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v)){\op{i}}\lambda $ und unsere Gleichungen $\diff F=0$ und $\op{d}(\ast_lF)=0$ f"ur $F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A$ erweisen sich als "aquivalent zu $\lambda\wedge A=0$ sowie $\lambda\wedge (\ast_l A)=0$. Bezeichne $l$ auch die auf $\vec X^\ttop$ induzierte Bilinearform. Im Fall $l(\lambda,\lambda)\neq 0$ k"onnten wir $\lambda$ zu einer orthogonalen Basis von $\vec X^\ttop$ erg"anzen. Indem wir dann $A$ in der zugeh"origen Basis der "au"seren Potenz schreiben, folgt sofort $A=0$. Aus $A\neq 0$ folgt mithin $$l(\lambda,\lambda)=0$$ Im Fall $\lambda=0$ erhalten wir so die konstanten L"osungen $F=A$ f"ur $A$ beliebig. Gilt dahingegen $\lambda\in \vec X^\ttop\backslash 0$, so bedeutet unsere Erkenntnis $l(\lambda,\lambda)=0$ im Fall der Maxwell'schen Gleichungen, da"s sich \glqq Lichtwellen mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten\grqq. Jetzt konzentrieren wir uns auf den Fall der Raumzeit. Unter der Annahme $\lambda\neq 0$ folgt aus $\lambda\wedge A=0$ sofort $A=\lambda\wedge \mu$. Au"serdem ist $\lambda\wedge(* A)=0$ mit \ref{wedi} gleichbedeutend zu $i_{l(\lambda,\;)}(A)=0$ und wegen $l(\lambda,\lambda)=0$ weiter zu $l(\lambda,\mu)=0$. M"ogliche L"osungen der Gleichungen $\lambda\wedge A=0=\lambda\wedge(* A)$ f"ur $A\in \op{Alt}^2(\vec X)$ sind also alle $$A=\lambda\wedge\mu$$ mit $l(\lambda,\mu)=0$, wobei $\mu$ und $\mu+b\lambda$ f"ur alle $b\in \DR$ dieselbe L"osung $A$ liefern. Zeichnen wir nun eine Zeitachse aus, also eine Gerade $\vec T\subset \vec X$, auf der $l$ negativ definit ist, und setzen $\vec R\pdef T^\perp$ und zerlegen $\vec X=\vec T\oplus \vec R$ und zerlegen $\lambda=\tau + \eta$ entsprechend, so kann jede L"osung eindeutig in der Form $A=\lambda\wedge\mu$ geschrieben werden mit $\mu\in \vec R\cap \eta^\perp$. Anschaulich gesprochen ist $\vec R$ der dreidimensionale Raum der r"aumlichen Richtungsvektoren in Bezug auf unsere ausgezeichnete Zeitachse, der r"aumliche Richtungsvektor $\eta$ kodiert Richtung und Frequenz unserer Lichtwelle und $\vec R\cap \eta^\perp$ ist der zweidimensionale Raum der r"aumlichen auf der Lichtrichtung $\eta$ senkrechten Richtungsvektoren. Jede komplexe L"osung f"ur $A\in \op{Alt}^2(\vec X)_\DC$ hat dann entsprechend die Gestalt $A=\lambda\wedge\mu$ mit $\mu\in (R\cap \eta^\perp)_\DC$ und wir erhalten auch einen Isomorphismus zwischen $(R\cap \eta^\perp)_\DC$ und dem Raum der reellen L"osungen der Gestalt $F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A^++\op{exp}(-{\op{i}}\lambda(\vec v))A^-$ durch die Vorschrift $$\mu\mapsto \op{Re}\big(\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))\lambda\wedge \mu\big)$$ In der physikalischen Terminologie kodiert unser Kovektor $\lambda$ die \glqq Ausbreitungsrichtung und Frequenz\grqq\ unserer Lichtwelle und $\mu\in (R\cap \eta^\perp)_\DC$ ihre \glqq St"arke und Polarisierung\grqq. Schreiben wir $\mu=\mu_1 + {\op{i}}\mu_2$ mit $\mu_1,\mu_2\in (R\cap \eta^\perp)$, so erkennen wir unschwer, da"s wir $\alpha\in S^1$ finden k"onnen mit $\alpha\mu=\mu_1' + {\op{i}}\mu_2'$ und $\mu_1' \perp\mu_2'$. Der allgemeine Fall hei"st der Fall {\bf elliptischer Polarisierung}. Im Fall $\mu_1 \perp \mu_2$ und $\|\mu_1\|= \|\mu_2\|$ spricht man von {\bf zirkularer Polarisierung} und im Fall von linear abh"angigen $\mu_1,\mu_2$ von {\bf linearer Polarisierung}.\index{Polarisierung} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Auf einem Raum $V$ einer geraden Dimension $2n$ mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $l$ h"angt nach \ref{HSps} sogar $\ast_l:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV\otimes\op{or}_\DR V$ nur von der durch $l$ repr"asentierten pseudoeuklidischen Struktur ab. Das zeigt die \glqq konforme Invarianz\grqq\ der Maxwell'schen Gleichungen. \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: