\section{Der Satz von Stokes} Im vorigen Abschnitt haben wir unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer Funktion "uber eine Eckfaltigkeit in einem $\DR^n$. In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \ref{WII}, d.h.\ das Integral eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum l"angs eines Weges verallgemeinern zum Integral einer \glqq $k$-Form\grqq\ auf einem endlichdimensionalen reellen Raum "uber eine \glqq orientierte\grqq\ $k$-dimensionale Eckfaltigkeit. Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines Vektorfelds in $\DR^3$ durch eine orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq. Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte \glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\ \ref{ASI}, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf h"ohere Dimensionen verallgemeinert. \subsection{Multilineare Algebra und Dachprodukt} \label{MAD} \begin{Definition}\label{BAD} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form} oder kurz {\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$!Raum alternierender Formen} $$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k \mid \omega \text{ ist multilinear und alternierend}\}$$ Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1}, da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$ verschwindet, wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so ist es gleichbedeutend zu fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert wenn man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht, daher die Bezeichnung \glqq alternierend\grqq. Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums alias Linearformen, wir haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\top}$. Gegeben Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{p} \in V^{\top}$ definieren wir ein Element $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator} $$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) (v_{1}, \ldots, v_{p}) \pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt von alternierenden Multilinearformen einf"uhren und dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ obsolet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{hju} Im Rahmen unserer Diskussion des Tensorprodukts werden die Begriffsbildungen dieses Abschnitts auch noch unter einem anderen Gesichtspunkt besprochen. Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem hier definierten Raum $\op{Alt}^{p} V$ der alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum $\left(\bigwedge^pV\right)^\top$ seiner dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz $\bigwedge^pV$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2} f"ur endlichdimensionales $V$ kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\top \sira \bigwedge^p(V^\top) $ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen und den "au"seren Potenzen des Dualraums und erhalten so zusammen einen kanonischen Isomorphismus $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\top)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{BADv} Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$ gegeben und ist $I \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir $$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in \op{Alt}^{p}V$$ f"ur $i_{1}< \ldots < i_{p}$ die der Gr"o"se nach gereihten Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}] Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots, f_{n}$ eine Basis von $V^{\top}$, so bilden die $f_{I}$ aus\label{BA} \ref{BADv} mit $|I| = p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J =\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit $j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich $$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}. \end{array} \right. $$ Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln $(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$. Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation $f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ w"are im Fall eines vierdimensionalen Vektorraums $V$ mit einer Basis $f_1,\ldots, f_4$ seines Dualraums also $\op{Alt}^{2}V$ ein Raum der Dimension $6$ mit Basis $f_1\wedge f_2$, $f_1\wedge f_3$, $f_1\wedge f_4$, $f_2\wedge f_3$, $f_2\wedge f_4$, $f_3\wedge f_4$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{DaPr}%\label{DP} Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$. So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{$\wedge$!Dachprodukt} $$\begin{array}{ccc} \op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\ (\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $f_{1}, \ldots , f_{p+q} \in V^{\top}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{BA} folgt unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts} $$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi= \omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$ Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\ wird schon wieder obsolet, denn offensichtlich folgt aus der Proposition auch $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ein nat"urlichere Konstruktion des Dachprodukts besprechen wir im Rahmen der multilinearen Algebra in \eref{ddp}{LA2}. Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s unter unserem Isomorphismus \ref{hju} das Dachprodukt aus \eref{ddp}{LA2} genau unserem Dachprodukt aus \ref{DaPr} entspricht, vergleiche auch \eref{ddp}{LA2}. In der Tat reicht es angesichts der Assoziativit"at beider Dachprodukte, diese Behauptung im Fall des Dachprodukts zweier Linearformen zu pr"ufen, und in diesem Fall ist sie schnell nachgerechnet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Die Formel aus dem anschlie"senden Beweis definiert auch f"ur alternierende Formen auf einem nicht notwendig endlichdimensionalen Raum ein assoziatives Produkt $\wedge$. Der Beweis bleibe dem Leser "uberlassen ebenso wie der Nachweis der graduierten Kommutativit"at \ref{GrDac} in dieser Allgemeinheit. F"ur unsere Belange reicht der endlichdimensionale Fall aus. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} und nur die Existenz ist noch zu zeigen. Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen. Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ bzw.\ $q$ Karten irgendwie ineinander. Solche Permutationen hei"sen auch {\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in Formeln haben wir \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm] \noindent Ein $(3,4)$-Shuffle \end{figure} $$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots < \sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$ Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die Untergruppe $\cal{S}_{p}\times \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$ Eintr"age ebenso. Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion $$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$ Jetzt definieren wir f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$ durch die Vorschrift $$ (\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots , v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma (p+q)}) $$ Betrachten wir andererseits unsere Definition $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})= \sum_{\tau \in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n} (v_{\tau (n)})$$ f"ur $n=p,q$ und setzen in die Definition von $\wedge$ ein, so ergibt sich mithilfe unserer Zerlegung $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$ wie gew"unscht $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt dann weiter, da"s die Multilinearform $\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur $\wedge$ in der Tat eine Abbildung $\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V \ra \op{Alt}^{p+q}V$ mit den geforderten Eigenschaften liefert. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}] Sei $V$ ein %endlichdimensionaler Vektorraum. F"ur beliebige $\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und $\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} $\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge \omega$. Bezeichnet\index{${\mid}\omega{\mid}$!Grad der Form $\omega$} $|\omega| $ den Grad von $\omega$, also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese Regel auch schreiben in der Gestalt $$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge \omega$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge \ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$ f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$ und alle $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$. Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$. Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine endlichdimensionale R"aume. Der Fall unendlichdimensionaler R"aume ist hier nicht relevant und bleibe dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}] Zu jeder linearen Abbildung $L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} transponierte Abbildung $L^\top:W^\top\ra V^\top$, $f\mapsto f\circ L$ und allgemeiner auch die linearen Abbildungen $$ \begin{array}{cccl} L^\top:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\ &\omega&\mapsto &\omega\circ (L\times\ldots\times L) \end{array} $$ mit $L\times\ldots\times L$ wie in \ref{KrAA}, als da hei"st $(L^\top \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$. Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln $\op{id}^{\top}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\top}=M^{\top}\circ L^{\top}$ f"ur die transponierten\label{DAFF} Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt $$L^{\top}(\omega\wedge\eta)=(L^{\top}\omega)\wedge(L^{\top}\eta)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} bilden demnach f"ur jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\top$ einen kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der Notation halber $L\mapsto L^\top$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus \op{Alt}^p V$ ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die Kategorie der $k$-Ringalgebren. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}] Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP} gilt $$L^{\top}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional. F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\top}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$ die duale Basis von $V^\top$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man als Konsequenz. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{ABM} Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$ k"urzen wir die $(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\top\omega)\wedge(\op{pr}_2^\top\eta)$ auf $V\times W$ auch gerne mit $\omega\wedge\eta$\index{$\wedge$!"au"seres Dachprodukt} ab und hoffen, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann $\wedge$ dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq\ meint und wann das \glqq innere Dachprodukt\grqq\ aus \ref{DaPr}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} F"ur einen Vektorraum $V$ der Dimension $\dim V = n$ liefert das Dachprodukt $V^\top \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine nichtausgeartete Paarung, als da hei"st, jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ liefert vermittels unserer Paarung einen Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V$. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: