\subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB} \begin{Definition} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf Feld von relativen $p$-Formen\index{Differentialform!relative}} oder k"urzer eine {\bf $p$-Form auf $U$}\label{FvpF} ist eine Abbildung $$ \begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ & x &\mapsto &\omega_{x} \end{array}$$ die also ausgeschrieben jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multilinear\-form $\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zuordnet. Den Raum aller relativen $p$-Formen auf $U$ notieren wir $\Omega^p_X(U)$. Wenn wir hoffen, da"s die genaue Bedeutung aus dem Kontext hervorgeht, sprechen wir auch oft abk"urzend schlicht von {\bf Differentialformen}.\index{Differentialform} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie: Relative Differentialformen}] Sp"ater werden wir ganz allgemein Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten erkl"aren als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen. Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit $U\subset X$ positiver Kodimension ist das nat"urlich etwas anderes, als jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums zuzuordnen. Das ist der Grund, aus dem ich das hier eingef"uhrte elementare Konzept eine \glqq relative Differentialform\grqq\ genannt habe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie: Formen und Formenfelder}] In der hier und im vorhergehenden Abschnitt eingef"uhrten abgek"urzten Terminologie kann eine \glqq $p$-Form auf $U$\grqq\ zwei sehr verschiedene Dinge bedeuten: Entweder ist $U$ ein $k$-Vektorraum und unsere $p$-Form ist ein Element von $\op{Alt}^p(U)$, also eine alternierende multilineare Abbildung $\omega: U\times\ldots\times U\ra k$, oder aber $U$ ist Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und unsere $p$-Form ist eine Abbildung $\omega:U\ra \op{Alt}^p(\vec{X})$ mit $x\mapsto \omega_x$. Man sollte deshalb eigentlich letztere Objekte stets als \glqq Felder von $p$-Formen\grqq\ ansprechen, sie stehen ja auch zu alternierenden $p$-Multilinearformen in derselben Beziehung wie Vektorfelder zu Vektoren. Von Formenfeldern aber redet kein Mensch. Ich will deshalb auch nicht damit anfangen, und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine $0$-Form auf $U$ ist eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$ und eine $1$-Form auf einer halboffenen Teilmenge $U$ ein Kovektorfeld im Sinne von \ref{FKF}. Ist $U\subset X$ eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, so schreiben wir statt $\Omega^p_X(U)$ meist $\Omega^p(U)$, da in diesem Fall unsere relativen Differentialformen mit den "ublichen Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten "ubereinstimmen, wie wir sie in \eref{DFMM}{WB} kennenlernen werden. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf diesem geordneten Paar. Die Anordnung wird hierbei durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt. Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen, die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu Koordinatenachsen sein. \end{Bild} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] In einem dreidimensionalen orientierten reellen nicht notwendig euklidischen affinen Raum bewege sich ein Gas. Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und ordnen jedem Tripel bestehend aus einem Punkt und zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte Parallelogrammfl"ache\grqq\ alias \glqq orientierten Fl"achenelement\grqq\ die Gesamtmasse der Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD} hindurchtritt, wobei wir diese Masse je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule hindurchtreten, positiv oder negativ gewichten. Diese Zuordnung ist, nach Wahl einer Masseneinheit, ein Feld von $2$-Formen. Man nennt es auch die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte} Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\ die Gesamtmasse der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird, so erhalten wir ein Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum, genaugenommen wieder nach Wahl einer Masseneinheit. Man nennt es auch die {\bf Dichte} unseres Gases. W"ahlen wir zus"atzlich auf dem Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt, so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit $2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto \op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, das von der \glqq Orientierung\grqq\ unseres Tripels abh"angt. "Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit $3$-Formen. Die M"oglichkeit dieser Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s Differentialformen zumindest meiner Intuition schwer zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn R"aume h"oherer Dimensionen: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten, das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit. Um auch in nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen jedoch in jedem Falle ein bequemer Formalismus. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm] \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$ \end{Bild} % \begin{Beispiel} % Ein magnetisches Feld mag man sich, bis auf skalare Einheiten, als % eine $2$-Form auf dem % Anschauungsraum denken. % In der Tat kann man ein Magnetfeld etwa messen, indem man % ein Halbleiterpl"attchen hineinh"alt, zwischen zwei gegen"uberliegenden % Kanten einen Strom flie"sen l"a"st, % und zwischen den zwei verbleibenden Kanten die % Spannung mi"st. So erh"alt man f"ur jedes \glqq orientierte Fl"achenelement\grqq\ % eine Zahl, und solch eine Zuordnung ist eben gerade eine $2$-Form. % Sicher kann man eine $2$-Form auf dem Anschauungsraum auch als Vektorfeld % ansehen, genauer erh"alt man eine Identifikation von Vektorfeldern mit % $2$-Formen, indem man jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto % \op{vol}(u,v,w)$ zuordnet, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ % des Parallelogramms mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, % das von der \glqq Orientierung\grqq\ unseres Tripels abh"angt, % oder noch genauer die $2$-Form $(v,w)\mapsto % \langle u,v,w\rangle\ph{m}^{-3}$ gegeben durch das Spatprodukt aus % \eref{SPA}{LA2} % und eine willk"urlich gew"ahlte L"angeneinheit $\ph{m}\in \mathbb L_{>0}$. % Die M"oglichkeit dieser % Identifikation mag ein Grund daf"ur sein, % \end{Beispiel} \begin{Definition} F"ur zwei Differentialformen $\omega \in \Omega^{p} $ und $ \eta \in \Omega^{q} $ definieren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega \wedge \eta \in \Omega^{p+q}$ als punktweises Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega \wedge \eta)_x=\omega_x \wedge \eta_x$. F"ur $f \in \Omega^{0}$ eine Funktion schreiben wir meist $f\eta$ statt $f\wedge \eta$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ nach \ref{BA} jede $p$-Form $\omega \in \Omega^{p}_X (U)$ eindeutig schreiben in der Gestalt $$\omega = \sum_{|I|=p} a_{I} \diff x _{I}$$ Hier l"auft die Summe wie angedeutet "uber alle $p$-elementigen Teilmengen $I \subset \{1,\ldots, n\}$, die Koeffizienten $a_{I}$ sind reelle Funktionen auf $U$, und $\diff x_{I}$\index{d@$\diff x_{I}$} ist "ahnlich wie in \ref{BAD} eine Abk"urzung f"ur $\diff x_{I}=\diff x_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \diff x_{i_{p}} $ mit $ i_{1} < \ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach geordneten Elementen von $I$. Diese Notation ist allerdings mit Vorsicht zu genie"sen, denn nat"urlich ist $\diff x_{I}$ f"ur $|I|\neq 1$ in keinster Weise das Differential einer wie auch immer gearteten Funktion $x_I$. Das Dachprodukt zweier in dieser Standarddarstellung gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und $\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die $(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RHUD} Gegeben endlichdimensionale reelle R"aume $X,Y$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $\phi :A\ra Y$ auf einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$ definieren wir das {\bf Zur"uckholen von Differentialformen}, eine $\DR$-lineare Abbildung $\phi ^{\ast} : \Omega^{p}_Y (\phi (A)) \ra \Omega^{p} (A)$, durch die Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} = (\diff _{x}\phi )^{\top} (\omega_{\phi (x)})$$ Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\top}: \op{Alt}^p\vec{Y} \ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die vom Differential $\diff _{x} \phi : \vec{X} \ra \vec{Y} $ von $\phi $ an der Stelle $ x \in A$ induzierte Abbildung. Alternativ k"onnten wir auch schreiben $(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =\omega_{\phi (x)} \circ (\diff _{x}\phi \times\ldots \times \diff _{x}\phi) $ mit $p$ Faktoren ganz rechts. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der Differentialformen die eigentliche Hauptsache. Das Zur"uckholen von Funktionen alias Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ von besagter Abbildung, in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$. Das Zur"uckholen von $1$-Formen haben wir bereits in \ref{ZHEF} diskutiert. Wir verallgemeinern die dort eingef"uhrte Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$ und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen} und schreiben $\phi:\eta\leadsto\omega$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen} genau dann, wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur das Zur"uckholen von Differentialformen gilt die\label{KeReD} Kettenregel, d.h.\ wir haben stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast} (\omega) $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit der "ublichen Kettenregel \ref{Kett} sofort aus den Definitionen. Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von \ref{VerT} dahingehend verstehen, da"s Verwandtschaft transitiv ist. \end{proof} \begin{Lemma} Verwandschaft alias das Zur"uckholen $\phi^{\ast}$ von Differentialformen ist vertr"aglich mit dem Dachprodukt, in Formeln gilt also $$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast} (\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Beispiel}Wir erinnern \ref{ZHeF}. F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und $Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$ und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich $ \phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) =\diff \phi_{i} = \sum_{i} \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$. Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten beschrieben werden durch die Formel $$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i} \circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $\phi$ die Polarkoordinatenabbildung $$\begin{array}{cccl}\phi:& \Bbb{R}^{2}& \ra& \Bbb{R}^{2}\\ &(r,\vartheta) &\mapsto &(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \end{array}$$ und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$ die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu $$\begin{array}{rcl} \phi^{\ast} (y \diff x) &=& \phi^{\ast}(y) \phi^{\ast} (\diff x)\\ &=& r \sin \vartheta \;\diff\; (r\cos \vartheta)\\ &=& r \sin \vartheta \cos \vartheta \; \diff r - r^{2} \sin^{2}\vartheta\; \diff \vartheta \end{array}$$ und f"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir $$\begin{array}{rcl} \phi^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& \phi^{\ast} (\diff x) \wedge \phi^{\ast}(\diff y)\\ &=& \diff\; (r \cos \vartheta) \wedge \diff\; (r \sin \vartheta)\\ &=& (\cos \vartheta \;\diff r - r \sin \vartheta \;\diff \vartheta) \wedge (\sin \vartheta \;\diff r + r \cos \vartheta \;\diff \vartheta)\\ &=& r \diff r \wedge \diff \vartheta \end{array}$$ Man mag sich letztere Formel dahingehend veranschaulichen, da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\vartheta$-Ebene entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{ZHD} F"ur $A$ halboffen in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ stetig differenzierbar gilt stets $$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) = (\det \diff \phi) \diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ \end{Lemma} \begin{proof} F"ur jeden Endomorphismus $L$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V$ ist die induzierte Abbildung $L^{\top}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP} gerade die Multiplikation mit $\det L$. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: