\subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten}\label{OrM}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTBM}\\[4mm]
\noindent 
In diesem Bild habe ich zu einer eindimensionalen
Untermannigfaltigkeit der Ebene zwei affine R"aume eingezeichnet, 
deren Richtungsr"aume ihre Tangentialr"aume an den beiden fett
eingezeichneten Punkten
w"aren.
Diese affinen R"aume schneiden sich nat"urlich und ihre Richtungsr"aume
schneiden sich desgleichen. Im bildlich dargestellten Fall besteht dieser
Schnitt der Richtungsr"aume
aus dem Nullvektor, aber im allgemeinen kann er auch gr"o"ser sein.
Ich habe die beiden Geraden dennoch als nicht-schneidend gemalt, 
um bildlich anzudeuten, da"s alle diese "Uberschneidungen 
von uns bei der Definition des Tangentialb"undels 
sozusagen wegdefiniert werden.
\end{figure}


\begin{Definition}\label{TaBu}
Gegeben  $M\subset X$ eine Eckfaltigkeit in einem
endlichdimensionalen reellen
Raum und $p\in M$   ein Punkt
definieren wir den {\bf Tangentialraum an $M$ in
$p$}\index{Tangentialraum!im eingebetteten Fall}
als den Vektorraum
$${\op{T}}_{p} M \pdef \op{im} (\diff _{u}\varphi)\subset \vec{X}$$
f"ur\index{T@${\op{T}}_{p} M$ Tangentialraum} 
eine und jede Karte
$\varphi : U \ra M\text{ mit } \varphi (u) = p$.
Wir haben  
also $\dim {\op{T}}_{p}M=\dim M$. Anschaulich
gesprochen ist dann $p + {\op{T}}_{p}M$  derjenige affine
Teilraum von $X$, der  \glqq $M$  bei $p$ am besten approximiert\grqq.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw}
  In \eref{aT}{ML} werden wir allgemeiner 
den Tangentialraum ${\op{T}}_{p} M$ f"ur beliebige, nicht
  notwendig eingebettete Mannigfaltigkeiten $M$ erkl"aren.
Er ist kanonisch isomorph  zu dem eben 
f"ur eingebettete Eckfaltigkeiten erkl"arten Konzept.
Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir die obige Definition meinen,
schreiben wir genauer 
${\op{T}}_{p}^\subset M$.\index{T@${\op{T}}^\subset_{p} M$ Tangentialraum!im
  eingebetteten Fall}  
\end{Bemerkungw}





\begin{Bemerkungl}\label{DTBE}
Man will sich meist die verschiedenen Tangentialr"aume als
paarweise disjunkt denken, "andert die obige
Definition deshalb ab und setzt  formal
$${\op{T}}_{p}M \pdef 
\{p\}\times\op{im} (\diff _{u}\varphi) \;\; \subset\;\; \{p\}\times\vec{X}  $$
So kann man dann das 
{\bf Tangentialb"undel}\index{Tangentialb"undel!im eingebetteten Fall} 
von $M$ definieren\index{T@${\op{T}} M$|see{Tangentialb"undel}} 
als
$${\op{T}}M \pdef
\bigcup_{p\in M} {\op{T}}_{p} M \;\;\subset\;\;M \times \vec{X}  $$
  Unter geeigneten zus"atzlichen Differenzierbarkeitsannahmen an unsere
  Untermannigfaltigkeit $M$ kann man zeigen, da"s 
${\op{T}}M \subset X\times \vec{X}$ eine
  Untermannigfaltigkeit der Dimension $2 (\dim M)$ ist, vergleiche 
\eref{TBUM}{ML}.
  Die einzelnen Tangential\-r"aume 
erh"alt man als die Fasern der Projektion $\pi
  : {\op{T}}M \ra M $ des Tangentialb"undels auf die 
Mannigfaltigkeit, in Formeln
  ${\op{T}}_{p}M = \pi^{-1} (p)$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Wir erinnern daran, da"s  nach  
  \eref{OrV}{LA1} eine 
\defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum}
  eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ "uber einem angeordneten K"orper
  eine Vorschrift $\varepsilon $ ist, die jeder angeordneten Basis $B$ unseres
  Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (B)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar
  so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen $B, B'$ die Determinante der
  Basiswechselmatrix das Vorzeichen $\varepsilon (B)\varepsilon (B')$ hat.
In \eref{OrV}{LA1} werden  in diesem
Zusammenhang auch noch weitere Begriffsbildungen formal eingef"uhrt, 
deren Bedeutung Sie aber auch leicht 
 erraten k"onnen.
\end{Bemerkungl}




  \begin{Definition}
    Eine 
\defnoind{Orientierung\index{Orientierung!von Eckfaltigkeit} 
einer $k$-Eckfaltigkeit} 
$M$ ist eine Vorschrift,\label{Orkm} die jedem Punkt  $p\in M$
    eine Orientierung 
im Sinne von \eref{OrV}{LA1}
 des Tangentialraums ${\op{T}}_p M$ zuordnet
und zwar so, da"s es um jeden Punkt eine Karte 
 $\varphi:W\ra M$
gibt mit der Eigenschaft, da"s die
Differentiale
    $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)} M$ f"ur  $x\in W$ entweder alle
 orientierungserhaltend oder alle orientierungsumkehrend sind.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Eine Orientierung einer nulldimensionalen Eckfaltigkeit $M$
anzugeben bedeutet, eine
Abbildung $\varepsilon :M\ra\{+1,-1\}$ anzugeben, deren Wert bei $p\in M$
das Vorzeichen der angeordneten Basis $\emptyset$ des
Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Unter einer {\bf orientierten  
Eckfaltigkeit}\index{orientiert!Eckfaltigkeit}  
versteht man ein Paar  bestehend aus einer\label{oMfg}  
 Eckfaltigkeit $M$ und
einer Orientierung von $M$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ich notiere orientierte Eckfaltigkeiten oft mit einem Pfeil,
etwa als
 $\vec{M}$, aber das  ist nicht allgemein "ublich.
Eine  Eckfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung zul"a"st,
nennt man eine 
{\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Eckfaltigkeit} 
Das \glqq M"obiusband\grqq\  ist ein Beispiel f"ur eine  nicht orientierbare
$2$-Eckfaltigkeit in $\DR^3$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Inkonsistenzen der Notation}] 
Den Pfeil "uber einem Symbol benutze ich auch bei affinen R"aumen
als Notation f"ur den zugeh"origen Raum von Richtungsvektoren,
vergleiche \eref{daff}{LA1}.
Was im Einzelfall
gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{OK}
Wir sagen, eine Karte $(W,\varphi)$ einer orientierten 
Eckfaltigkeit {\bf habe die Orientierung} $\varepsilon$ 
f"ur $\varepsilon \in
\{+1,-1\}$  genau dann, 
wenn f"ur jeden Punkt $x\in W$ das Bild der Standardbasis
unter dem Isomorphismus $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}M$ 
die Orientierung $\varepsilon$ hat.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Nur die leere Karte kann beide Orientierungen haben. 
Karten, die nicht zusammenh"angend sind, besitzen im
allgemeinen weder die Orientierung $+1$ noch  die Orientierung $-1$.
Eine nichtleere Karte der Orientierung $+1$ nennen wir 
eine \defnoind{positiv orientierte Karte}.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}\label{Tawb}
Man zeige: Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$  eines
endlichdimensionalen reellen
Raums und ein Punkt $p\in M$ kann der Tangentialraum
 ${\op{T}}_{p} M$ auch beschrieben werden
  als die Menge aller m"oglichen Geschwindigkeitsvektoren bei $p$ von in
  $M$ verlaufenden und bei $p$ differenzierbaren Wegen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Jede orientierbare zusammenh"angende Eckfaltigkeit $M$ besitzt genau
zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen 
ist die Menge aller Punkte $p$, an denen sie dieselbe Orientierung
von ${\op{T}}_pM$ liefern, ebenso offen wie die Menge aller Punkte $p$,
an denen sie verschiedene Orientierungen
von ${\op{T}}_pM$ liefern. Nun verwende man \ref{WZTT}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{trnb}
  Seien $X$ und $Y$ endlichdi\-mensionale
reelle R"aume, $U\co X$ eine
  offene Teilmenge und $f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit
  "uberall surjektivem Differential.
So ist f"ur alle $c\in Y$ nach \ref{MN}  das Urbild
  $M=f^{-1}(c)$ eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension
  $\op{dim}X-\op{dim}Y$. Man zeige f"ur alle $p\in M$ die Formel
${\op{T}}_pM=\op{ker}\diff_pf$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Man zeige:  Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
 $\langle\;,\;\rangle$ eine von Null verschiedene 
symmetrische Bilinearform auf $V$ und
$c\in\DR$ eine Konstante, so ist
$M\pdef \{v\in V\backslash 0\mid \langle v,v\rangle=c\}$ eine 
Hyperfl"ache in $V$
und unter der "ublichen Identifikation
$\op{trans}:V\sira \vec{V}$ 
haben wir
${\op{T}}_vM=\op{trans}\{w\in V\mid \langle v,w\rangle=0\}$ oder
abk"urzend geschrieben $${\op{T}}_vM=v^\perp$$
\end{Ubung}















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