\subsection{Integration von Differentialformen} \begin{Definition} Gegeben eine Eck\-fal\-tig\-keit $M$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum und $k\geq 0$ bezeichne $\Omega^k_!(M)$ den reellen Vektorraum aller stetigen relativen $k$-Formen auf $M$ mit kompaktem Tr"ager. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration von Differentialformen}]\label{IiIt} Sei $M$ eine orientierte Eck\-fal\-tig\-keit der Dimension $k$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum. So gibt es genau eine Linearform $\int:\Omega^k_!(M)\ra\DR$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede \hyperref[KarE]{Karte} $\varphi:W\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ und jede kompakt getragene $k$-Form $\omega$ mit Tr"ager im Bild dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(W)$ gilt $$\int_{\vec M}\omega= \varepsilon\int_W(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als Differentialformenintegral}] F"ur die Form $\varphi^\ast\omega=\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ ist $(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ per definitionem genau\label{OTm} die Funktion $f$. Das Integral dieser Funktion auf der rechten Seite ist dann im Sinne von \ref{IOQ} zu verstehen. Ist unsere Eckfaltigkeit $M$ speziell eine offene Teilmenge $M=W\co Q$ eines kompakten Quaders $Q=[a_1,b_1]\times\ldots\times [a_k,b_k]\subset \DR^k$ mit nichtleerem Inneren in $\DR^k$ und $\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ eine stetige Differentialform auf $W$ mit kompaktem Tr"ager und geben wir $W$ die von der Standardorientierung des $\DR^k$ induzierte Orientierung, so liefern unsere Definitionen $$\begin{array}{rcl} \int_{\vec W}\eta&=&\int_{\vec W}f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\\ &=&\int_{W}f(x) \diff^kx=\int_{Q}\tilde f(x) \diff^kx =\int_{a_k}^{b_k}\ldots \int_{a_1}^{b_1}\tilde f(x_1,\ldots,x_k) \diff x_1\ldots \diff x_k \end{array} $$ f"ur $\tilde f$ die Ausdehnung von $f$ durch Null auf ganz $Q$. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sei $\omega\in\Omega^k_!(M)$ beliebig. Wir finden eine endliche "Uberdeckung von $\op{supp}\omega$ durch Bilder von Karten $(\varphi_i,W_i)$ der Orientierungen $\varepsilon_i$ und nach \ref{TEL} eine an diese "Uberdeckung angepa"ste Teilung der Eins, also stetige Funktionen $\alpha_i\in\mathcal C_!(M,\DR)$ mit Tr"ager $\op{supp}\alpha_i\subset \varphi_i(W_i)$ und $\sum_i \alpha_i(x)=1$ f"ur alle $x\in \op{supp}\omega$. Dann haben wir $\omega=\sum_i\alpha_i\omega$, und wenn "uberhaupt eine lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften existiert, so mu"s gelten $$\int_{\vec M}\omega=\sum_i\int_{\vec M}\alpha_i\omega=\sum_i\varepsilon_i\int_{W_i}(\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$ Das ganze Problem ist also zu zeigen, da"s die rechte Seite nicht von den Karten und der Teilung der Eins abh"angt. Das geht wie bei unserer Diskussion \ref{IUMa} der Integration von Funktionen mit kompaktem Tr"ager "uber Eckfaltigkeiten in $\DR^n$. Sei eine weitere endliche "Uberdeckung von $\op{supp}\omega$ durch Bilder von Karten $(\psi_j,V_j)$ der Orientierungen $\eta_j$ gegeben eine an diese "Uberdeckung angepa"ste Teilung der Eins $\beta_j$. Wir behaupten die Gleichheit $$\sum_i \varepsilon_i\int_{W_i} (\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) = \sum_j \eta_j\int_{V_j} (\psi_j^\ast(\beta_j\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) $$ Sie ist aufgrund der Linearit"at all dieser Integrale "aquivalent zur Gleichheit $$\sum_{i,j} \varepsilon_i\int_{W_i} (\varphi_i^\ast(\beta_j\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) = \sum_{i,j} \eta_j\int_{V_j} (\psi_j^\ast(\beta_j\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) $$ und folgt, wenn wir die Gleichheit aller Summanden zeigen. Hier haben nun die Formen $\beta_j\alpha_i\omega$ Tr"ager im Schnitt $\varphi_i(W_i)\cap \psi_j(V_j)$. Wir k"onnen also die Indizes weglassen und m"ussen nur f"ur jede stetige $k$-Form $\omega\in \mathcal C_!(M,\DR)$, deren Tr"ager im Bild zweier Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ der Orientierungen $\varepsilon$ und $\eta$ liegt, die Identit"at $$ \varepsilon\int_W (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) = \eta\int_V (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) $$ zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\varphi(W)=\psi(V)$ annehmen. Der Kartenwechsel wird so ein Diffeomorphismus $\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi: W\sira V$ mit $\psi\circ \kappa=\varphi: W\ra M$. Nach \ref{KeReD} folgt $\kappa^\ast\psi^\ast\omega =\varphi^\ast\omega$. Mit der Notation $\omega_\varphi\pdef (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ gilt per definitionem $\varphi^\ast\omega=\omega_\varphi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$. Mit der Notation $\omega_\psi\pdef (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ gilt ebenso $\psi^\ast\omega=\omega_\psi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$. Mit \ref{ZHD} im letzten Schritt folgt nun $$\begin{array}{lll} \omega_\varphi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k&=& \kappa^\ast(\omega_\psi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\ &=&(\omega_\psi\circ \kappa)\kappa^\ast(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\ &=&(\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k \end{array} $$ alias $\omega_\varphi=(\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa)$. Unsere oben zu zeigende Identit"at l"a"st sich so umschreiben zur Identit"at $$ \varepsilon\int_W (\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa) = \eta\int_V \omega_\psi $$ von Integralen kompakt getragener Funktionen. Aus den Definitionen folgt aber $\varepsilon\eta\op{det}(\diff \kappa)=|\op{det}(\diff \kappa)|$. Damit ergibt sich die letzte Identit"at aus der Transformationsformel \ref{VTFf}. Wir haben also gezeigt, da"s jede "Uberdeckung des Tr"agers unserer Form $\omega$ durch Bilder von Karten und jede angepa"ste Teilung der Eins in der Formel oben dieselbe Summe liefert, die wir damit als unser $\int_{\vec M} \omega$ erkl"aren k"onnen. Da"s die so erkl"arte Abbildung $\omega\mapsto \int_{\vec M} \omega$ dann auch $\DR$-linear ist und die geforderte Eigenschaft f"ur Formen mit Tr"ager im Bild einer Karte hat, folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Riemannsummen f"ur Differentialformen}] Um die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen, erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte\label{ASID} Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen orientierten Eckfaltigkeit $\vec{M}$ eines reellen Raums $ X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset W$ ein Rechteck und sei $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$ eine stetige relative $2$-Form auf $M$ mit $(\op{supp}\omega) \cap M\subset \varphi(Q)$, wobei der Pfeil "uber dem $X$ den zugeh"origen Richtungsraum meint, der Pfeil "uber dem $M$ dahingegen eine feste gew"ahlte Orientierung andeutet. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente, bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in $M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform} $S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$ durch die Formel \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Wert von $\omega_{p_{2,0}}$ auf diesem Paar von Vektoren, genommen in einer durch die Orientierung gegebenen Reihenfolge, geht in die Riemannsumme $S_{\vec{M}}^3$ ein. \end{figure} $$S_{\vec{M}}^{r} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0} \omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j} - p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $M$ interpretieren als den Grenzwert $$\int_{\vec{M}} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$$ Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von \ref{RSIn} "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sinnhaftigkeit der Integration alternierender Formen}] Unter der Voraussetzung einer quadratischen Karte, in Formeln $b-a=d-c$, betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen und die neue Karte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von eben, wenn man nur in jedem Summanden den ersten und den zweiten Eintrag der bilinearen Abbildung $\omega$ vertauscht und das von der negativen Orientierung der Karte herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also $\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Karte dieselben Riemannsummen und dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer alternierenden Form unabh"angig ist von den zur Berechnung gew"ahlten Karten. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Integration mit Quaderfastkarten}] Seien $M$ eine orientierte $k$-di\-men\-sio\-na\-le Eckfaltigkeit und $\varphi:Q\ra M$ eine orientierte Quaderfastkarte. So gilt f"ur alle Formen $\omega\in\Omega_!^k(M)$ mit Tr"ager im Bild von $Q$ die Formel\label{IQFK} $$\int_{\vec M} \omega=\int_{\vec Q} \varphi^\ast \omega =\int_{Q} (\varphi^\ast \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\;\diff^{k}x$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $\omega$ Tr"ager in einer pl"attbaren offenen $U\co M$ hat und da"s es sogar einen kompakten Quader $K\subset Q$ mit nichtleerem Inneren gibt derart, da"s gilt $\op{supp}\omega\subset \varphi(K)\subset U$. Damit k"onnen wir uns auf den Fall $M\subset \DR^k$ zur"uckziehen, in dem die Behauptung leicht aus der bereits in \ref{IQFK} bewiesenen Proposition zur Integration von Funktionen mit Quaderfastkarten folgt. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber die\label{BI11} obere Hemisph"are $H =\{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, \; z \geq 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. Wir betrachten das Rechteck $R = [0,\pi]\times [0,\pi]\subset \DR^2$ und die orientierte Quaderfastkarte $\phi:R\rightarrow H$, $(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, \sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ unserer Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo}, und erhalten \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta \op{d} ( \cos \vartheta) \wedge \op{d} (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta ( -\sin \vartheta \diff \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos \vartheta \diff \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\wedge \diff \varphi \\[2mm] &=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta \diff \varphi \\[2mm] &=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm] &=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta) \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2} \diff \vartheta=\frac{\pi}{4} \end{array} \end{displaymath} Hier ist der erste Schritt \ref{IQFK} mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und Differential \ref{VFVD}, der Zweite die Formel \ref{DiFF} f"ur das Differential einer Funktion, der Dritte beruht auf dem Alternieren und der Bilinearit"at des Dachprodukts, und der Vierte wieder auf Proposition \ref{IQFK}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Integrale von Differentialformen "uber orientierte Eckfaltigkeiten der Dimensionen $0$ oder $1$ bzw.\ der Kodimensionen $0$ oder $1$ in einem $\DR^n$ trifft man oft in anderen Gestalten an, die den Formalismus der Differentialformen vermeiden. Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}] Im Fall einer nulldimensionalen Eckfaltigkeit\label{DisM} $M$ alias diskreten Teilmenge ist eine Nullform eine Funktion und eine Nullform mit kompaktem Tr"ager eine Funktion, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte annimmt, und unser Integral ist die Summe der Funktionswerte multipliziert mit den durch die auf $M$ gew"ahlte Orientierung $\varepsilon$ bestimmten Vorzeichen $\varepsilon_p(\emptyset)$, in Formeln $$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\varepsilon_p(\emptyset) f(p)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als Differentialformenintegral}] F"ur eine stetige $n$-Form $ f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ mit kompaktem Tr"ager auf einer $n$-dimen\-sio\-na\-len Eckfaltigkeit $M\subset \DR^n$ mit der von der Standardorientierung des $\DR^n$ induzierten Orientierung liefern unsere Definitionen $$ \int_{\vec M} f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\int_{M}f(x) \diff^kx $$ Das Integral der Funktion $f$ rechts ist dabei im Sinne von \ref{IUMa} zu verstehen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}] Eine $1$-Form $\omega$\label{Kurv} auf dem $\DR^n$ hat die Gestalt $\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$. Gegeben eine orientierte $1$-Eckfaltigkeit $M$ verstehen wir ganz allgemein unter einer {\bf orientierten Parametrisierung von}\index{Parametrisierung!orientierte} $M$ eine orientierte surjektive Quaderfastkarte $\varphi:[a,b]\sra M$. Das Integral unserer $1$-Form $\omega$ "uber unsere eindimensionale orientierte Mannigfaltigkeit $K$ f"allt dann zusammen mit dem Integral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$. Von Anwendern wird es meist geschrieben als das Wegintegral des Vektorfelds $v=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\top$ l"angs $\varphi$, in Formeln $$\int_{\vec{K}} \omega=\int_\varphi \omega =\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b v\cdot\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{HyFl} Der Fall der Integration von Differentialformen "uber Hyperfl"achen ben"otigt von den hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{ONFf} Ist $M\subset \DR^{n+1}$ eine Hyperfl"ache alias eine $n$-dimensionale Eckfaltigkeit, so gibt es zu jedem Punkt $p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$ von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung $\varepsilon$ die Standardorientierung der angeordneten Basis $N_p,v_1,\ldots,v_n$ des $\DR^{n+1}$ auch $\varepsilon$ ist. Wir erhalten so eine stetige Abbildung $$ \begin{array}{cccc} N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\ &p&\mapsto&N_p \end{array} $$ Man nennt sie das \defnoind{orientierte Normalenfeld}.\index{Normalenfeld!orientiertes} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{VFF} Wir nummerieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich $x_0,x_1,\ldots ,x_n$ und ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine alternierende Multili\-near\-form $\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift $$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})\pdef \op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$ Rechts ist hier die Matrix mit den entsprechenden Spaltenvektoren zu verstehen. In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ auf $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen durch das Auswerten an Tupeln der Standardbasis, da"s sie geschrieben werden kann in der Gestalt $$\omega_F = \sum^{n}_{i=0} (-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$ die $2$-Form $$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$ wobei die unteren Indizes nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden werden d"urfen, sondern vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds meinen, die wir auch h"atten $F_1,F_2,F_3$ oder in unserer komischen Indizierung vielleicht besser $F_0,F_1,F_2$ notieren k"onnen. Mit diesen ganzen Begriffsbildungen k"onnen wir nun formulieren: \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}] Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache und $F$ ein stetiges relatives Vektorfeld auf $M$ mit kompaktem Tr"ager und $N$ das orientierte Normalenfeld auf $M$. So gilt f"ur die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega_F$ \label{FIF} die Identit"at $$\int_{\vec{M}}\omega_F =\int_M\langle F,N \rangle =\int_M F\!\cdot\! N $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{VFDF} Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in der Notation f"ur das Skalarprodukt und sind als Fl"achenintegrale im Sinne von \ref{IUMa} zu verstehen. Das Integral des Skalarprodukts unseres Vektorfelds $F$ mit dem orientierten Normalenfeld $N$ hei"st der {\bf Flu"s des Vektorfelds $F$ durch die orientierte Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds} Dies Oberfl"achenintegral mag der Anschauung besser zug"anglich sein als unser Integral "uber eine Differentialform. F"ur das explizite Rechnen ist jedoch die Darstellung als Integral einer Differentialform meist g"unstiger, wie etwa Beispiel \ref{BI11} illustriert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $M\subset X$ eine orientierte zweidimensionale\label{Fluddd} Eckfaltigkeit alias Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$ die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt. Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei negativ zu Buche. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es eine positiv orientierte bijektive Karte $\varphi:W\sira M$ gibt. Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in der Form $p\mapsto F_p$, wo der Index ungl"ucklicherweise eine v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}. Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen und einen tangentialen Anteil als $F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit $R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und finden f"ur alle $x\in W$ $$ \begin{array}{ccl} (\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=& \omega_{\varphi(x)}(\diff_x\varphi(\op{e}_1), \ldots,\diff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm] &=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{det}(N_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{vol}(\diff_x\varphi) \end{array}$$ wo in der zweiten Zeile die quadratische Matrix gemeint ist, die aus der Jacobi-Matrix zu $\diff_x\varphi$ entsteht durch Anf"ugen von $F_{\varphi(x)}$ als erster Spalte. Die Gleichheit der beiden Integrale folgt nun aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11} also auch als den Flu"s durch die obere Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen. In der Notation von dort h"atten wir etwa \begin{equation*} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_H x^2 \op{e}_3 \cdot N \end{equation*} Hier meint $N$ das \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\ nach \ref{ONFf} ist. Zur Probe rechne ich hier die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin \vartheta$ ist. Um das Fl"achenintegral rechts zu bestimmen, gilt es die Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \diff \phi &=& \begin{pmatrix} -\sin \varphi &0\\ \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\ \sin \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} (\diff \phi)^\top \diff \phi &=& \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \sin^2 \varphi \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin \varphi$ landen wie in \ref{BI11}. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$ durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl versehen m"ogen. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: