\subsection{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}\label{Habl} \begin{Bemerkungl}\label{glat} Gegeben eine offene Teilmenge $U\co \DR^n$ hei"st eine Abbildung $f:U\ra\DR^m$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung nach $\DR^m$} oder {\bf beliebig differenzierbar}\index{differenzierbar!beliebig} oder auch eine {\bf $\cal{C}^\infty$-Abbildung} genau dann, wenn zu allen Komponenten $f_\mu$ von $f$ f"ur $1\leq\mu\leq m$ alle gemischten h"oheren partiellen Ableitungen, in der Multiindexschreibweise aus \ref{MuIn} also alle $\partial^\alpha f_\mu$ f"ur beliebige $\alpha\in\DN^n,$ auf ganz $U$ existieren. Existieren sie bis zum Totalgrad $|\alpha|\leq k$ und sind stetig, so spricht man von einer {\bf $\cal{C}^k$-Abbildung}, wobei das $\mathcal C$ wieder f"ur \glqq continous\grqq\ alias stetig steht. Wir wollen nun diese Bedingungen auf Abbildungen mit halboffenem Definitionsbereich und den Fall von beliebigen normierten reellen R"aumen ausdehnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Vektorr"aume $V,W$ und $k\geq 0$ bilden wir dazu den Vektorraum $\op{Mult}^k(V,W)$\index{Mult@$\op{Mult}^k$ multilineare Abbildungen} aller multilinearen Abbildungen des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W.$ Im Fall $k=0$ verstehen wir $\op{Mult}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die Isomorphismen $\op{Hom}(V, \op{Mult}^k(V,W))\sira \op{Mult}^{k+1}(V,W)$ durch $f\mapsto \langle f\rangle$ mit $\langle f\rangle(v_0,v_1,\ldots,v_k)= (f(v_0))(v_1,\ldots,v_k).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die\index{$\langle f\rangle$ bei multilinearen Abbildungen} Notation $\langle f\rangle$ haben wir auch schon an anderer Stelle f"ur den \glqq von $f$ erzeugten Untervektorraum\grqq\ eingef"uhrt. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{uhj} Gegeben normierte reelle Vektorr"aume $V,W$ und $k\geq 0$ bilden wir "ahnlich den normierten Vektorraum $\cal{B}^k(V,W)$ aller stetigen multilinearen Abbildungen des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W,$ versehen mit der Norm \eref{ALSTm}{AN1}. Im Fall $k=0$ verstehen wir $\cal{B}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die Isomorphismen von normierten Vektorr"aumen $\cal{B}(V, \cal{B}^k(V,W))\sira \cal{B}^{k+1}(V,W)$ durch $f\mapsto \langle f\rangle.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{stddn} Sind $X,Y$ normierte reelle R"aume und ist $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $g:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$ eine differenzierbare Abbildung, so fassen wir $\diff g$ mit der Identifikation aus \ref{uhj} auf als diejenige Abbildung $\diff g:A\ra \cal{B}^{k+1}(\vec{X},\vec{Y}),$ die gegeben wird durch $x\mapsto \langle \diff_x g\rangle.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{stdd} Gegeben $X,Y$ normierte reelle R"aume und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f:A\ra Y$ eine Abbildung setzen wir $\diff^{0} f\pdef f$ und $\diff^{1} f\pdef\diff f: x\mapsto \diff_x f$ und definieren induktiv f"ur $k\geq 2$ die {\bf $k$-te Ableitung}\index{Ableitung!h"ohere, koordinatenfrei} $$\diff^{k} f:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$$ als $\diff^{k} f\pdef \op{d}(\diff^{k-1} f),$ falls die $(k-1)$-te Ableitung existiert und differenzierbar ist auf $A.$ Existieren alle h"oheren Ableitungen von $f$ bis zur Ordung $k$ und sind stetig, so nennen wir $f$ \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^k$} oder auch eine\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^k$-Abbil\-dung}. Zum Beispiel bedeutet ${\cal{C}}^1$ nichts anderes als stetig differenzierbar und ${\cal{C}}^0$ nichts anderes als stetig. Ist $f$ von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ so hei"st die Abbildung $f$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung!koordinatenfrei} oder {\bf beliebig differenzierbar} oder \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^\infty$} oder eine\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koordinatenfreie Taylorformel}] Die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen l"a"st sich koordinatenfrei dahingehend formulieren, da"s unsere h"oheren Ableitungen $\diff^{k}f$ in den\label{koft} symmetrischen multilinearen Abbildungen landen, d.h.\ in denjenigen multilinearen Abbildungen, die ihren Wert nicht "andern, wenn man ihre Argumente untereinander vertauscht. Wir gehen darauf nicht n"aher ein, empfehlen aber dem Leser zu pr"ufen, da"s sich die h"oheren Terme der Taylorentwicklung \ref{TaEn} koordinatenfrei in der Form $(k!)^{-1} (\diff^{k}f)(h,\ldots,h)$ darstellen lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume und $A\subset X,$ $B\subset Y$ halboffene Teilmengen. Eine Abbildung $f:A\ra B$ hei"st ein {\bf ${\cal{C}}^k$-Diffeo\-morphismus} genau dann,\index{C@$\cal{C}^k$-Diffeomorphismus} wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch seine Umkehrung $f^{-1}:B\ra A$ beide ${\cal{C}}^k$-Abbildungen sind. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von einem {\bf Diffeomorphismus},\index{Diffeomorphismus!${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus} so meinen wir einen ${\cal{C}}^\infty$-Diffeomorphismus. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ExpDi} Die Exponentialabbildung $\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist glatt. Hinweis: \ref{glPR}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{InGl} Gegeben ein Banachraum $V$ ist das Invertieren eine glatte Abbildung auf der Menge der invertierbaren Elemente von $\cal{B}(V).$ Hinweis: \ref{DInvN}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ckp} Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A\subset X$ halboffen. Eine differenzierbare Abbildung $f:A\ra Y$ ist von der Klasse $\cal{C}^k$ genau dann, wenn die Abbildung $A\times \vec{X}\ra Y\times \vec{Y},$ $(x,v)\mapsto (f(x), (\diff_xf)(v))$ von der Klasse $\cal{C}^{k-1}$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede Verkn"upfung von $\cal{C}^k$-Abbildungen ist von der Klasse $\cal{C}^k.$ Jede Verkn"upfung von glatten Abbildungen ist glatt. Hinweis: \ref{PTDn} und \ref{ckp}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Abbildung in ein Produkt von endlich vielen normierten reellen Vektorr"aumen ist $\cal{C}^k$ genau dann, wenn ihre Komponenten $\cal{C}^k$ sind. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}\label{UKgl} Seien $X$ und $Y$ vollst"andige normierte reelle R"aume. Ist $U \co X$ offen und $f: U \ra Y$ eine ${\cal{C}}^k$-Abbildung f"ur $1\leq k\leq \infty$ und ist an einer Stelle $p \in U$ das Differential ein Isomorphismus mit stetigem Inversen, so induziert $f$ einen ${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung von $p$ mit einer offenen Umgebung von $f(p).$ Das folgt sofort aus \ref{UKAa} mit den vorhergehenden "Ubungen, insbesondere \ref{InGl}. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: