\subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Vektorraum $V$ definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung $$\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$$ durch die Vorschrift $$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef \sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots, v_{k})$$ Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\ "uber $v_i$ wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag beim entsprechenden Summanden auszulassen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall, und nur auf den kommt es uns hier an, auch verstehen als die Komposition $$\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes\op{Alt}^{k}V \stackrel{\wedge}{\ra} \op{Alt}^{k+1}V$$ des Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkunge} % Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen % unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall % unter den in \eref{ddp}{LA2} gegebenen Identifikationen % $\bigwedge^k(V^\ast)\sira \op{Alt}^{k}V$ verstehen als die Komposition % $\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes % \bigwedge^k(V^\ast)\stackrel{\wedge}{\ra} \bigwedge^{k+1}(V^\ast)$ des % Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus % \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt. % \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{SDiD} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Eine Differentialform $\omega \in \Omega^{k}(A)$ hei"st {\bf differenzierbar} bzw. {\bf stetig differenzierbar} genau dann, wenn sie als Abbildung $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ von der halboffenen Teilmenge $A$ des endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$ differenzierbar ist im Sinne von \ref{DeDi} bzw. stetig differenzierbar im Sinne von \ref{SDi}, wenn also ihr Differential auch stetig ist als Abbildung $A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch $x\mapsto \diff_x\omega$. \end{Definition} \begin{Definition}\label{daAb} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben $\omega \in \Omega^{k}(A)$ eine differenzierbare $k$-Form erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form $d \omega \in \Omega^{k+1}(A)$ durch die Vorschrift $$(d\omega)_x\pdef\op{alt}(\op{d}_{x}\!\omega)$$ wo $\op{d}_{x}\!\omega : V \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ das Differential im Sinne von \ref{DeDi} unserer Form $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ an einer Stelle $x \in A$ meint. Wir nennen $d\omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$. Den Unterschied zwischen $\op{d}\!\omega$ und ${d}\omega$ bringen wir nur durch die Wahl der Schriftart zum Ausdruck. Eine Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet, hei"st {\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben $\omega \in \Omega^{1}(A)$ ein differenzierbares Kovektorfeld ist $\omega$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne genau dann, wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \ref{gesch}, wenn also das Wegintegral von $\omega$ "uber einen geschlossenen in $A$ zusammenziehbaren Weg stets verschwindet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}] Um uns die "au"sere Ableitung $d\omega$ zu veranschaulichen, erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir dann\label{AAAb} statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren "au"sere Ableitung $(df)_x$ ist schlicht das Differential $\op{d}_{x}\!f$ bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl $$(df)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet. Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ kann seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_{x}$ bei $x$ analog dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}\\[4mm] \noindent Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus "Ubung \ref{AAAb}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner. \end{Bild} $$(d\omega)_{x}(\vec{v},\vec{w}) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg, der einmal das Parallelogramm mit einer Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear l"auft erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$, von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \ref{IHTj} gezeigt. Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir $$(d\omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ wobei wir uns $F$, zumindest f"ur $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$ linear unabh"angig, als die in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$ denken d"urfen, "uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren k"onnen, wenn wir etwas Mut beweisen und beim Integrieren von den Kanten einmal absehen. Es mag eine gute "Ubung sein, etwa f"ur die zweite Aussage auch einmal einen Beweis auszuschreiben. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Man mag sich $\op{d}_{x}\!\omega$ veranschaulichen als eine % Abbildung, die $k+1$ Richtungsvektoren $v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}$ bei $x$ % eine Zahl % zuordnet wie folgt: Man setzt alle Vektoren au"ser $v_1$ % der Reihe nach in % $\omega$ ein und bildet die Richtungsableitung der so entstehenden % reellwertigen Funktion bei $x$ in Richtung von $v_1$. % Unser $(d\omega)_x$ ist der \glqq schiefsymmetrische Anteil\grqq\ dieser % multilinearen Abbildung, in Formeln % $$(d\omega)_x(v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}) % =\frac{1}{(k+1)!}\sum_{\sigma\in\cal{S}_{k+1}} % (\op{sgn} \sigma)\;(\op{d}_{x}\!\omega) % (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k+1)})$$ % Mir selbst hilft jedoch diese Anschauung nicht wirklich weiter. % In Spezialf"allen werden wir in \ref{WueG} und Folgende sehen, in % welcher Weise unsere "au"sere Ableitung % von Differentialformen die Begriffsbildungen % Gradient, Divergenz und Rotation beinhaltet, die ja % zum Gl"uck der Anschauung noch recht gut zug"anglich sind. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{dDd} Offensichtlich ist die Zuordnung $\omega\mapsto d\omega$ linear und f"ur Nullformen alias Funktionen $f$ gilt $df=\diff f$. Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A\subset X$ halboffen, $\omega_\circ \in\op{Alt}^{k}\vec{X}$ eine konstante $k$-Form und $f:A\ra \DR$ differenzierbar, so behaupten wir die Formel $$d(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$ Leser mit entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra erkennen das auf einen Blick, die anderen m"ussen dumpf rechnen, k"onnen dann aber die Formel zumindest verifizieren. Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt $\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ insbesondere ihre "au"sere Ableitung $d \omega $ gegeben durch die Vorschrift $$d \omega = \sum \diff a_{I} \wedge \diff x_{I}$$ Das folgt auch formal aus den allgemeineren Aussagen, die in den drei anschlie"senden Lemmata formuliert werden. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{LRR} Sind $\omega$ und $\eta$ differenzierbare Differentialformen auf einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, so gilt f"ur ihr Produkt die \emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur Differentialformen} $$d(\omega \wedge \eta)= (d\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|} \omega \wedge d\eta$$ \end{Lemma} \begin{Lemma}\label{dd} Sei $\omega$ eine Differentialform auf einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums. Ist $\omega$ stetig differenzierbar und $d\omega$ auch stetig differenzierbar, so gilt $$d(d\omega)= 0$$ \end{Lemma} \begin{Lemma}\label{zh} $\cal{C}^2$-verwandte Differentialformen haben verwandte "au"sere Ableitungen. Ist genauer und in Formeln $\phi:A\ra B$ eine $\cal{C}^2$-Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume und $\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf $B$, so gilt $$d(\phi^{\ast}\omega) = \phi^{\ast}(d\omega)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wie Sie noch sehen werden, erlauben diese Formeln ein au"serordentlich elegantes Rechnen mit Differentialformen. Dieser Formalismus geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. Die Vertr"aglichkeit des "au"seren Differentials mit Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen Koordinatensystemen so einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft der bequemste Weg ist, sie auf diesen Formalismus zur"uckzuf"uhren. Als Beispiel bespreche ich die Umrechnung des Laplace-Operators in krummlinige Koordinaten in \ref{LAKo} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen Multilinearformen}] Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen \ref{stddn} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei vorhergehenden Lemmata in dieser analogen Situation falsch. Etwas vage gesprochen folgen unsere drei Lemmata aus den Zusammenspiel zwischen dem Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren aus der Definition der "au"seren Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{zHH} Man kann diese drei Lemmata durch explizite Rechnung in Koordinaten der Reihe nach beweisen. Mir schien jedoch ein anderes Vorgehen "ubersichtlicher, bei dem im Anschlu"s an einen Beweis des ersten Lemmas die beiden anderen in einer Art Kaminkletterei abwechselnd in wachsender Allgemeinheit gezeigt werden. Die letzte Regel \ref{zh} k"onnen wir auch $\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:d\eta\leadsto d\omega$ schreiben. Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} bildlich klarzumachen. Die Regel $dd\omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen, da das Integral des Differentials einer Funktion "uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet. F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $dd\omega=0$ zumindest aus dem Stokes'schen Satz mit Ecken \eref{ASIE}{AN3} heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $d\omega$ "uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann, und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm] \noindent Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit zwischen der "au"seren Ableitung und dem Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen Parallelogrammweg links approximiert $(d(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$. Es stimmt nach \ref{TfW} "uberein mit dem Wegintegral des Kovektorfelds $\omega$ "uber seinen Bildweg rechts, eingezeichnet als durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken. Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen gestrichelten Parallelogrammweg rechts $(d\omega)_{\phi (p)}(\diff_p\phi(\vec{v}),\diff_p\phi(\vec{w}))$. Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert $t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur, da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter Ordnung verschwindet. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis von \ref{LRR}] Wir k"onnen $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen der Gestalt $a\omega_{\circ}$, $b\eta_{\circ}$ mit $\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$ konstant und $a,b$ differenzierbaren Funktionen. Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = a\omega_{\circ}$, $\eta = b \eta_{\circ}$ zu pr"ufen. Im Fall von Funktionen liefert die Produktregel, wie bereits in \ref{DiFF} erw"ahnt, unmittelbar $d(ab)=(d a) b + a (db)$. Dann gilt nach \ref{dDd} aber $d\omega = d a \wedge \omega_{\circ}$, $d\eta = d b \wedge \eta_{\circ}$ und damit $d (\omega \wedge \eta)= ((d a) b + a (db)) \omega_{\circ} \wedge \eta_{\circ}$. Da zus"atzlich gilt $db\wedge \omega_{\circ} = (-1)^{|\omega|} \omega_{\circ} \wedge db$, folgt die Leibniz-Regel. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Fall $X=\DR^n$] F"ur eine Nullform alias eine Funktion $\omega=a$ auf einer offenen Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ k"onnen wir ganz explizit rechnen $$\begin{array}{rcl} d a &=& \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial a}{\partial x_{i}} dx_{i}\\[2mm] dda & =& \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{j}\partial x_{i}}dx_{j}\wedge dx_{i}\\[2mm] &=& \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right) dx_{j} \wedge dx_{i} \\[2mm] & =& 0 \end{array}$$ wo wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen \ref{VPAb} verwendet haben, die hinwiederum aus der Annahme der Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} a_{I}dx_{I}$, erhalten wir damit sofort $d(d\omega)= \sum d(da_{I}) \wedge dx_{I} = 0$. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer \emph{halb}offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus der Stetigkeit von $d(d\omega)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zh} f"ur $\phi$ affin] Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \ref{VFVD}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ und $\phi$ affin ist nat"urlich $\phi^{\ast}\omega_\circ$ auch eine konstante $1$-Form, mithin gilt wie gew"unscht $ d(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (d\omega_\circ)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Allgemeinen] Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ ein Isomorphismus von affinen R"aumen, so folgt $\phi^{\ast} (dd\omega) = dd (\phi^\ast{\omega}) = 0$ und mithin $dd \omega =0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zh} im Allgemeinen] Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \ref{VFVD}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ und $\phi$ beliebig haben wir hinwiederum $\omega_{\circ}=d a$ f"ur eine geeignete Funktion $a$, genauer f"ur jede affine Abbildung $a$ von unserem affinen Raum nach $\DR$ mit linearem Anteil $\vec{a}=\omega_\circ$, und damit ergibt sich $d\phi^{\ast}\omega_{\circ} = d\phi^{\ast} da = dd \phi^{\ast}a =0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} d\omega_{\circ}$, wo wir im mittleren Schritt verwenden, da"s uns die Regel $\phi^{\ast} da = d \phi^{\ast}a$ f"ur Funktionen $a$ ja bereits aus \ref{VFVD} zur Verf"ugung steht. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Pr"ufen Sie f"ur die Differentialform $x^2dx\wedge dy-4\op{e}^ydx\wedge dz$, da"s erst die "au"sere Ableitung bilden und dann auf Kugelkoordinaten "ubergehen dasselbe Resultat liefert wie erst auf Kugelkoordinaten "ubergehen und dann die "au"sere Ableitung bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeigen Sie, da"s f"ur eine stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ auf dem $\DR^3$ mit $k\geq 1$ die Bedingung $d\omega=0$ gleichbedeutend ist zur Bedingung, da"s es eine stetig differenzierbare $(k-1)$-Form $\eta$ auf dem $\DR^3$ gibt mit $\omega=d\eta$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Bezeichnen wir die Koordinaten des $\DR^4$ mit $x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ eine allgemeine glatte $2$-Form \begin{eqnarray*} F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\ & &+ B^1 dy \wedge dz + B^2 dz \wedge dx + B^3 dx \wedge dy \end{eqnarray*} So ist die Gleichung $dF=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen $$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad \op{rot} E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$ f"ur $\op{rot}$ der Rotation wie in \ref{sr} und $\op{div} B$ der \glqq Divergenz\grqq\ alias der Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$ wie in \ref{SvG}. Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen f"ur $H=cB$ die beiden ersten Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum. Der Formalismus der Verwandtschaft von Differentialformen sagt uns dann, in welcher Weise solch ein elektromagnetisches Feld $F$ in anderen Koordinaten geschrieben werden mu"s, und da"s zumindest die beiden ersten Maxwell'schen Gleichungen nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen. Wie man sogar alle vier Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann, wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: