\subsection{Der Satz von Stokes} \begin{Bemerkungl} Bisher haben wir bei der Definition von Mannigfaltigkeiten, Eckfaltigkeite, Randfaltigkeiten und ihren Pl"attungen und Karten alle beteiligten Abbildungen stets als stetig differenzierbar angenommen. Wenn wir stattdessen $\mathcal C^l$ f"ur $0\leq l\leq\infty$ fordern wollen, schreiben wir das explizit dazu. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz}]\label{ASI} \index{Stokes!Integralsatz von!allgemeiner} Sei $M$ eine kompakte orientierte $\mathcal C^2$-Rand\-fal\-tig\-keit der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum und sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer halboffenen Teilmenge unseres Raums, die $M$ umfa"st. Versehen wir den Rand $\partial M$ von $M$ mit der induzierten Orientierung, so gilt $$\int_{\vec{M}} d\omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$ \end{Satz} \begin{Bild} %\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BidStA}\\[4mm] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSta}\\[4mm] \noindent Illustration zum Stokes'schen Satz. Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ erinnern wir uns dazu daran, da"s nach \ref{AAAb} seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_p(\vec{v},\vec{w})$ ausgewertet auf Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ eine Approximation des Wegintegrals von $\omega$ "uber den Rundweg von $p$ erst nach $p+\vec{v}$, dann weiter nach $p+\vec{v}+\vec{w}$, von dort nach $p+\vec{w}$ und zur"uck nach $p$ ist. Es sollte nun anschaulich klar sein, da"s die Summe "uber viele derartige kleine Rundwegsintegrale das Randintegral "uber den ganzen Bereich approximiert. Der Satz von Stokes formalisiert diese Anschauung. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{M"ogliche Abschw"achungen der Voraussetzungen}] Der Beweis wird zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit unserer Mannigfaltigkeit schw"acher nur vorauszusetzen brauchen, da"s der Tr"ager der Differentialform unsere Mannigfaltigkeit in einem Kompaktum trifft. In \eref{ASIE}{AN3} erkl"aren wir eine Version f"ur Eckfaltigkeiten, die f"ur die im \glqq wirklichen Leben\grqq\ auftretenden Situationen besonders relevant ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Konkrete Spezialf"alle des vorhergehenden Satzes werden ab \ref{WueG} diskutiert. Bereits hier sei bemerkt, da"s f"ur eine kompakte Mannigfaltigkeit alias eine kompakte Randfaltigkeit mit leerem Rand das Integral auf der linken Seite verschwinden mu"s, in Formeln $\partial M=\emptyset\;\RA \;\int_{\vec{M}} d\omega =0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Varianten f"ur abstrakte Randfaltigkeiten}] Sp"ater werden wir lernen, was eine \glqq abstrakte Randfaltigkeit\grqq\ und eine \glqq Differentialform auf einer abstrakten Randfaltigkeit\grqq\ ist und wie man solche Differentialformen ableitet und $k$-Formen "uber orientierte $k$-Rand\-fal\-tigkeiten integriert. In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe Formel f"ur eine beliebige stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ mit kompaktem Tr"ager auf einer beliebigen orientierten $(k+1)$-Randfaltigkeit $M$. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Stokes im Fall einer Flu"sdichte}] Sei $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $K\subset X$ eine kompakte orientierte dreidimensionale $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit alias ein K"orper wie etwa eine massive Kugel oder ein massiver Eisenring, den wir uns aber nur als wohlbestimmte Region in $X$ denken, die durchaus von Gas durchstr"omt wird. Der Rand $\partial K$ ist dann eine Fl"ache, etwa eine Kugelschale oder die Oberfl"ache unseres Rings. Sei nun $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}. Nach \ref{Fluddd} beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $\partial K$ die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fl"ache $\partial K$ hindurchtritt. Nach \ref{AAAb} beschreibt die $3$-Form $d\omega$ an jeder Stelle f"ur je drei kleine Vektoren die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus dem entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses einstr"omt, je nach Vorzeichen. Nach \ref{Fluddd} beschreibt das Integral "uber $K$ dieser $3$-Form die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus der Region $K$ entweicht oder in diese einstr"omt, je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt dann schlicht, da"s diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall durch die Oberfl"ache $\partial K$ hindurchtritt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}] Jedes mehrpunktige kompakte reelle Intervall $M=[a,b]$ ist eine eindimensionale\label{SHS} Rand\-fal\-tig\-keit in $\DR$ und erbt von $\DR$ eine Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit $\partial M = \{a,b\}$ und die induzierte Orientierung darauf gibt dem Punkt $a$ das Vorzeichen $-1$ und dem Punkt $b$ das Vorzeichen $+1$. Eine Nullform $\omega$ auf $M$ ist schlicht eine Funktion $G$, ihr Differential ist $d\omega=\diff G= G'(x)\diff x$, und wir erkennen, da"s unser Satz von Stokes \ref{ASI} in diesem Fall zum Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung \eref{ImS}{AN1} spezialisiert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] Wir kommen nochmal auf unser Integral "uber die obere\label{Bsp2} Hemisph"are $H$ der $2$-Form $x^2 \diff x \wedge \diff y$ aus \ref{BI11} zur"uck, wobei unsere Orientierung der oberen Hemisph"are unter der Projektion auf die Ebene die "ubliche Orientierung des $\DR^2$ entsprach. Nun haben wir das Gl"uck, $x^2 \diff x \wedge \diff y = -d (x^2y\diff x)$ schreiben zu k"onnen. Der Rand von $\vec{H}$ ist dann der im Gegenuhrzeigersinn orientierte Einheitskreis in der $xy$-Ebene $S = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 =1,\; z =0\}$ und aus dem Satz von Stokes folgt \begin{equation*} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_{\vec{S}} -x^2 y \diff x \end{equation*} Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit $$ \int_{\vec{S}}-x^2 y \diff x = \int_0^{2\pi} -\cos^2 \varphi \sin \varphi \op{d} (\cos \varphi)= \int^{2\pi}_{0}\cos^2 \varphi \sin^2 \varphi \diff \varphi $$ im wesentlichen bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in \ref{BI11} berechnet hatten. Genauer wird der fehlende Faktor $2$ von $\int^\pi_0 \sin \varphi \diff \varphi$ in der Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, da"s das Integral bis $2\pi$ l"auft. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Gilt die Aussage f"ur $\omega$ und $\omega'$, so auch f"ur $\omega + \omega'$. Wir k"onnen also nach \eref{KO}{AN1} und \ref{TEL} ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es eine %zusammenh"angende Halbraumkarte $(W,\varphi)$ von $M$ gibt, die eine Orientierung hat und derart, da"s gilt $(\op{supp} \omega\cap M) \subset \varphi (W)$. Ist $\varepsilon$ die Orientierung unserer Halbraumkarte, so gilt per definitionem und da die "au"sere Ableitung vertauscht mit dem Zur"uckholen $$ \int_{\vec{M}} d\omega = \varepsilon \int_{W} \varphi^{\ast} (d\omega)=\varepsilon \int_{W} d(\varphi^{\ast} \omega)$$ Bezeichnet $(\bar{W}, \bar{\varphi})$ wie in \ref{RaKa} die induzierte Karte des Randes und $i:\Bbb{R}^{k}\ra \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$, $x\mapsto (0,x)$ die offensichtliche Einbettung, so gilt nach unseren Definitionen und wegen $\bar{\varphi}=\varphi\circ i$ und $\bar{W}=i^{-1}(W)$ auch $$ \int_{\partial \vec{M}} \omega = \varepsilon \int_{\bar{W}} \bar{\varphi}^{\ast}\omega=\varepsilon \int_{i^{-1}W} i^\ast(\varphi^{\ast}\omega) $$ Bezeichnen wir mit $\eta$ die Fortsetzung durch Null von $\varphi^{\ast}\omega$ auf den ganzen Halbraum, so reduziert sich der Satz auf einen Spezialfall, den wir im Anschluss als eigenst"andiges Lemma formulieren und beweisen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{LeSt} Bezeichne $i:\Bbb{R}^{k}\ra \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$ wie zuvor die offensichtliche Einbettung und sei $\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form mit kompaktem Tr"ager auf $ \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$. So gilt $$ \int_{\Bbb{R}^{k}} i^{\ast}\eta = \int_{\Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}} d\eta$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir nennen unsere Koordinaten hier ausnahmsweise $x_0,x_1,\ldots, x_k$ und k"onnen schreiben $$\eta= \sum^{k}_{\nu =0} \eta_{\nu}\;dx_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{dx}_{\nu} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ f"ur stetig differenzierbare Funktionen $\eta_{\nu}$ mit kompaktem Tr"ager. Es ergibt sich $i^{\ast}\eta = \eta_{0} \;dx_{1} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$, die linke Seite ist also schlicht $ \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}$. Auf der rechten Seite erhalten wir $$d\eta = \sum^{k}_{\nu = 0} (-1)^{\nu } \frac{\partial \eta_\nu}{\partial x_{\nu}} dx_{0}\wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ und f"ur alle $\nu \neq 0$ verschwindet beim entsprechenden Summanden das $\nu$-te par\-tiel\-le Integral, da die Stammfunktion $\eta_{\nu}$ kompakten Tr"ager hat und von $-\infty$ bis $\infty$ integriert wird. Nur der erste Summand liefert also einen Beitrag, und der ist \begin{equation*} \int_{\Bbb{R}^{k}} \left( \int^{0}_{-\infty} \frac{\partial \eta_{0}}{\partial x_{0}}\right) = \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Formalismus der Differentialformen}] Der hier erkl"arte Beweis des Stokes'schen Satzes ist ziemlich kurz. Das liegt daran, da"s seine Formulierung in der Sprache der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln vertr"aglich ist, da"s wir uns beim Beweis leicht auf einen einfachen Spezialfall zur"uckziehen k"onnen. In gewisser Weise haben wir also mit der Entwicklung der Sprache der Differentialformen die Hauptarbeit bereits geleistet. Als wesentliche nichttriviale Aussage m"ochte ich dabei insbesondere die Vertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung mit Koordinatenwechseln hervorheben, die sich auch in anderen Zusammenh"angen noch als starkes Hilfsmittel erweisen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich formuliere nun einige Spezialf"alle des allgemeinen Stokes'schen Satzes \ref{ASI} in klassischer Notation, um die Lekt"ure "alterer Texte zu erleichtern. Ich hoffe jedoch, da"s sich der f"ur explizite Rechnungen und theoretische "Uberlegungen gleicherma"sen bestens geeignete Formalismus der Differen\-tial\-formen mit der Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral "uber ein Gradientenfeld}]\label{WueG} Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine stetig differenzierbare Injektion mit nirgends verschwindendem Differential, die einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild induziert. Aus \ref{KKRrx} folgt leicht, da"s dann das Bild von $\varphi$ eine $1$-Randfaltigkeit $M$ ist, und diese $1$-Randfaltigkeit besitzt genau eine Orientierung, f"ur die $\varphi$ eine orientierte Karte ist. Gegeben eine Nullform alias Funktion $f$ auf einer offenen Umgebung von $M$ haben wir $\diff f=\langle \op{grad}f,\;\rangle=( \op{grad}f)\cdot$ und der Satz von Stokes erh"alt nach \ref{I1Man} und \ref{O1R} und \ref{DisM} die Gestalt $$\int_a^b \langle\op{grad}f,\diff\varphi\rangle =\int_a^b (\op{grad}f)\cdot\diff\varphi =f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$$ In Worten stimmt also das Wegintegral des Gradientenfelds einer Funktion "uberein mit der Differenz zwischen den Werten besagter Funktion am Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Gau"s}]\label{SvG} Gegeben eine kompakte $\mathcal C^2$-berandete Teilmenge $K\subset\DR^n$ und ein im Sinne von \ref{SDi} stetig differenzierbares Vektorfeld $F$ auf $K$ bilden wir wie in \ref{VFF} die zugeh"orige $(n-1)$-Form $\omega=\omega_F$ und finden $$d\omega =(\op{div} F)\;dx_{1} \wedge \ldots \wedge dx_{n}$$ f"ur $(\op{div} F) : K \ra \Bbb{R}$ die sogenannte {\bf Quelldichte}\index{Quelldichte} oder auch {\bf Divergenz}\index{Divergenz} unseres Vektorfeldes, die %auf dem \glqq Inneren\grqq\ %$K\backslash \partial K$ von $K$ gegeben wird durch die Vorschrift $$\op{div} F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots + \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$$ Damit spezialisiert mit unseren "Ubersetzungen \ref{OTm} und \ref{FIF} der allgemeine Satz von Stokes zum \defnoind{Satz von Gau"s}\index{Gau"s!Integralsatz von} $$\int_{K} \op{div} F = \int_{\partial K} F\!\cdot\! N $$ f"ur $N:\partial K\ra\DR^n$ das "aussere Normalenfeld. In Worten ist also der Flu"s eines Vektorfelds durch den Rand eines glatt berandeten Kompaktums im $\DR^n$ gleich dem Integral seiner Quelldichte "uber besagtes Kompaktum. Anschaulich mag man sich im Fall $n=2$ die Oberfl"ache $K$ eines ebenen Moores denken, in dem Wasser nach oben dringt und "uber das Moor an den Rand des Moores flie"st. Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als unser Vektorfeld, so w"are die Divergenz eben die Quelldichte in unserem Moor, das Randintegral mi"st die Wassermenge, die pro Zeiteinheit am Rand unseres Moores herausl"auft, und unser Satz besagt, da"s sie gleich der Wassermenge sein mu"s, die pro Zeiteinheit im Inneren emporquillt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt und Auftrieb homogener K"orper}] Ein homogener, als da hei"st "uberall gleich dichter schwerer K"orper $K$ wird an einem Seil ins Wasser gelassen. Wir wollen uns "uberlegen, da"s auch im Wasser der Schwerpunkt unseres K"orpers in der Vertikalen unter dem Aufh"angepunkt bleibt. F"ur inhomogene K"orper gilt das im allgemeinen nat"urlich nicht! Wir denken uns unseren K"orper als kompakte glatt berandete Teilmenge $K \subset \Bbb{R}^3$ mit Schwerpunkt auf der $z$-Achse, also $\int_K x = \int_K y =0$. Die Wasseroberfl"ache m"oge die Ebene $z=0$ sein. Der Wasserdruck steigt linear mit der Tiefe, auf ein Oberfl"achenelement der Fl"ache $\sigma \langle p \rangle$ um $p \in \partial K$ wirkt also die Kraft $z (p) N_p \sigma \langle p \rangle$ mit $N_p$ dem orientierten Normalenvektor bei $p$. Befindet sich der Aufh"angepunkt etwa in der H"ohe $h < 0$, so wird das Drehmoment um diesen Aufh"angepunkt das Oberfl"achenintegral \begin{equation*} \int_{\partial K} z (p) (N_p \times (p+h \op{e}_3 )) \sigma \langle p \rangle \end{equation*} Die Komponenten dieses Vektors bei $p = (x,y,z)$ mit $N_p = (N_1,N_2, N_3)$ sind $z (N_2 (z+h) - N_3 y), z (N_3 x - N_1 (z +h))$ und $z (N_1 y - N_2 x)$ und k"onnen auch dargestellt werden als die Skalarprodukte von $N_p$ mit den Vektorfeldern $v_1 (x,y,x) = (0,z^2 + hz , - zy)$, $ v_2 (x,y,z) = (-z^2-hz, 0, zx)$ und $v_3 (x,y,z) = (zy, -zx, 0)$, so da"s es gilt $\int_{\partial K} (N \cdot v_i)\sigma =0$ zu zeigen. Mit dem Satz von Gau"s k"onnen wir diese Integrale verwandeln in die Integrale $\int_K \op{div} v_i$ und wegen $\op{div} v_1 =-y$, $ \op{div} v_2 =x$ und $\op{div} v_3=0$ verschwinden sie in der Tat alle drei. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Klassischer Satz von Stokes}]\label{KSS} Sei $M\subset\DR^3$ eine kompakte orientierte berandete Fl"ache oder pr"aziser $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit der Dimension $2$ und $\varphi:[a,b]\ra \partial M$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes. Sei $F:U\ra \DR^3$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^3$, die $M$ umfa"st, und bezeichne $\eta=\langle F,\;\rangle$ die zugeh"orige $1$-Form. So finden wir $d\eta=\omega_R$ in der Notation von \ref{VFF} f"ur $R:U\ra\DR^3$ dasjenige Vektorfeld $\op{rot}F$ auf $U$, das definiert wird durch die Vorschrift $$\op{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}- \frac{\partial F_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial F_1}{\partial x_3}- \frac{\partial F_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial F_2}{\partial x_1}- \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)$$ Dies Vektorfeld ist die Rotation unseres Vektorfelds $F$, wie wir sie in \ref{sr} eingef"uhrt haben. Unser allgemeiner Satz von Stokes \ref{ASI} spezialisiert in dieser Situation zum \defnoind{klassischen Satz von Stokes}\index{Stokes!Integralsatz von!klassischer} $$ \int_M N\!\cdot\! (\op{rot}F)\sigma=\int_a^b F\cdot \diff\varphi $$ Hier bedeutet $N:M\ra \DR^3$ wieder das durch die Orientierung von $M$ festgelegte Normalenfeld. In Worten ist also das Wegintegral eines Vektorfeldes "uber den Rand einer Fl"ache gleich dem Flu"s der Rotation des Vektorfelds durch besagte Fl"ache. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Bei Anwendern, die haupts"achlich im $\DR^3$ arbeiten, ist eine andere symbolische Schreibweise f"ur $\op{grad}$, $\op{rot}$ und $\op{div}$ sehr beliebt: Sie betrachten den sogenannten \defind{Nabla-Operator} $\nabla$, den man sich denkt als den \glqq Vektor von Symbolen\grqq\ $(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$, und schreiben \begin{description} \item[$\nabla f=\op{grad}f$, ] zu verstehen als symbolisches Produkt des Nabla-Vek\-tors mit einer skalaren Funktion; \item[$\nabla\cdot F=\op{div}f$,] zu verstehen als symbolisches Skalarprodukt des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion; das Skalarprodukt wird von diesen Anwendern meist $v\cdot w$ notiert statt wie bei uns $\langle v,w\rangle;$ \item[$\nabla\times F=\op{rot} F$,] zu verstehen als symbolisches Vektorprodukt des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das Vektorprodukt $v\times w=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1-w_3, v_1w_2-v_2w_1)$ aus der Geometrie des Raums \eref{KrPP}{LA2} zugrundegelegt wird. \end{description} In dieser Notation wird dann unsere Formel $dd\omega=0$ f"ur $\omega$ eine Funktion bzw.\ eine $1$-Form auf dem $\DR^3$ verstanden als formal-symbolische Konsequenz der Formeln $v\times v=0$ bzw.\ $v\cdot (v\times w)=0$ aus der Geometrie des Raums. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Green'sche Formel}]\label{GrFo} Sei $G\subset \DR^2$ eine kompakte $\mathcal C^2$-berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes, anschaulich \glqq ein im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand umlaufender geschlossener Weg\grqq. Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v=(v_1,v_2)$ auf einer offenen Umgebung von $G$ betrachten wir die $1$-Form $\langle v,\;\rangle=\eta=v_1 \diff x_1 +v_2 \diff x_2$ mit ihrem Differential $d\eta= (\op{rot}v)\diff x_1\wedge \diff x_2$ f"ur $$\op{rot}v= \left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1}- \frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ die in \ref{sr} erkl"arte skalare Rotation eines Vektorfelds in der Ebene, und der allgemeine Satz von Stokes \ref{ASI} spezialisiert zur \defnoind{Green'schen Formel} \index{Green'sche Formel} $$\int_G \op{rot}v= \int_a^b v\cdot\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Dieselbe Formel hatten wir in \ref{srq} schon f"ur $G$ ein Rechteck kennengelernt, nur ist ein Rechteck nat"urlich nicht glatt berandet. In \eref{ASIE}{AN3} werden wir jedoch einen \glqq Satz von Stokes mit Ecken\grqq\ kennenlernen, der dann auch diese Formel f"ur Rechtecke als Spezialfall enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines ebenen Gebiets}] Sei $G\subset \DR^2$ wie in \ref{GrFo} eine kompakte $\mathcal C^2$-berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes.\label{FeBB} Betrachten wir die $2$-Form $\omega = x \diff y$ mit Differential $d \omega = \diff x \wedge \diff y$ und $\varphi^{\ast} \omega = \varphi_{1}(t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$, so spezialisiert der allgemeine Satz von Stokes \ref{ASI} zu einer Formel f"ur die Fl"ache des Gebietes $G$, genauer zu der Regel $$\int_{G} 1 = \int^{b}_{a} \varphi_{1} (t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel mithilfe des Gau"s'schen Integralsatzes besonders anschaulich: Quillt in einem Moor "uberall gleichviel Wasser hoch, so k"onnen wir seine Fl"ache bestimmen, indem wir messen, wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abl"auft. Wie genau das Wasser auf unserem Moor zum Randgraben l"auft, ist dabei v"ollig unerheblich. Statt $\omega = x \diff y$ k"onnten wir also ein beliebiges $\omega$ mit $d\omega= \diff x \wedge \diff y$ nehmen und so weitere Formeln f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm] \noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ mit Ecken der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende Papierebene. \end{figure} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: