\subsection{Divergenz und Laplace in krummen Koordinaten*} \begin{Bemerkungl} Die folgenden Argumente bauen nicht auf dem Stokes'schen Integralsatz auf. Es geht vielmehr um Anwendungen des Kalk"uls der Differentialformen aus \ref{AuAb}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VolFF} Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt oder allgemeiner einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ kann man im eindimensionalen Raum $\op{Alt}^n (V)$ aller sogenannten \defnoind{Volumenformen auf}\index{Volumenform} $V$ ein von Null verschiedenes Element $\omega=\omega_t$, die {\bf kanonische Volumenform},\index{Volumenform!kanonische} auszeichnen durch die Bedingung, da"s gilt \begin{equation*} \omega (v_1, \ldots, v_n) =1 \end{equation*} f"ur jede orientierte Orthonormalbasis im positiv definiten Fall bzw.\ jede orientierte Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit $|t (v_i, v_j)| = \delta_{ij}$ im allgemeinen Fall. In der Tat erf"ullt die Basiswechselmatrix $A$ zwischen zwei derartigen Basen eine Gleichung der Gestalt $A^\top J A = J'$ mit $J = J' =I$ der Einheitsmatrix im Fall eines Skalarprodukts und $\op{det} J = \op{det} J' \neq 0$ im allgemeinen, so da"s der Multiplikationssatz f"ur Determinanten $\op{det} A = \pm 1$ liefert, und die Orientiertheit beider Basen zeigt dann sogar $\op{det} A =1$. Damit aber folgt \begin{equation*} \omega (v_1, \ldots, v_n)= \omega (w_1, \ldots, w_n) \end{equation*} f"ur jede $n$-Form $\omega$ und je zwei Basen wie oben, etwa indem wir \ref{DDP} auf den Automorphismus von $V$ mit $v_i \mapsto w_i$ anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ersetzen wir $t$ durch $\lambda t$ f"ur $\lambda\in\DR^\times$, so erhalten wir f"ur die neue Volumenform $$\omega_{\lambda t}=|\lambda|^{n/2}\omega_{ t}$$ \end{Ubung} \begin{Definition}\label{dHO} Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ erkl"art man f"ur jede Zerlegung $ n=p +q$ den \defind{Hodge-$\ast$-Operator}\index{*!Hodge-$\ast$-Operator} \begin{equation*} \ast =\ast_t: \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q V \end{equation*} durch die Formel $\alpha\wedge\beta=t(\ast\alpha,\beta)\omega$. Hier ist $t$ rechts zu verstehen als die Erweiterung unserer Bilinearform auf $q$-Formen durch $t(f_1\wedge\ldots\wedge f_q, g_1\wedge\ldots \wedge g_q)\pdef \op{det}(t(f_i,g_j))$ und letztere Bilinearform auf $V^\ast$ ist dadurch erkl"art, da"s sie unter $\op{can}_t:V\sira V^\ast$ unserem urspr"unglichen $t$ entsprechen soll. Das $\omega$ schlie"slich meint unsere Volumenform. Etwas ausf"uhrlicher gesagt konstruiert man unseren Hodge-$\ast$-Operator wie folgt: Man geht aus von der durch das Dachprodukt gegebenen nichtausgearteten Paarung \begin{equation*} \op{Alt}^p V \times \op{Alt}^q V \rightarrow \op{Alt}^n V \end{equation*} und verkn"upft sie mit dem Isomorphismus $\op{Alt}^n V \overset{\sim} {\rightarrow} \Bbb{R}$, der die kanonische Volumenform $\omega$ aus \ref{VolFF} auf die Eins wirft. Die so erhaltene Paarung kann als ein Isomorphismus \begin{equation*} \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{Alt}^q V)^* \end{equation*} interpretiert werden, und der kanonische Isomorphismus $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ aus \eref{APDn}{LA2} zusammen mit dem von $\op{can}_t : V \overset{\sim}{\rightarrow} V^*$ induzierten Isomorphismus $\op{Alt}^q (V^*) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V)$ liefert dann in der Verkn"upfung schlie"slich unseren Hodge-Operator. \end{Definition} \begin{Ubung}\label{2F4} F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$. Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum und $\lambda\in\DR^\times$ stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Isomorphismus $\varphi:V\sira W$ von endlichdimensionalen orientierten reellen Vektorr"aumen und nichtausgartete symmetrische Bilinearformen $t$ auf $V$ und $s$ auf $W$ und eine Zerlegung $n=p+q$ der Dimension $n$ unserer beiden Vektorr"aume kommutiert offensichtlich das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Alt}^p W &\overset{\ast_s}{\rightarrow} &\op{Alt}^q W\\ \da&&\da\\ \op{Alt}^p V &\overset{\ast_t}{\rightarrow}& \op{Alt}^q V \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die in der obigen Definition \ref{dHO} versteckten und in gewisser Weise zuf"alligen Wahlen von Vorzeichen werden "ublicherweise so getroffen, da"s im Fall eines Skalarproduktes $t$ f"ur alle $\alpha$ gilt $$\alpha\wedge \ast \alpha\in \DR_{\geq 0}\;\omega$$ Wir werden das gleich explizit sehen. Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\ in diesem Sinne \glqq positiv definit\grqq\ w"are, aber an dieser Stelle mu"s man sich einmal auf eine Konvention einigen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Formeln f"ur den Hodge-$\ast$-Operator}] Sei zun"achst $t$ ein Skalarprodukt,\label{EFH} $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthonormalbasis von $V$ und $f_1, \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$. Wir folgern $\omega = f_1 \wedge \ldots \wedge f_n$ und gegeben $I,J$ mit $|I|=p$ und $|J|=q$ haben wir \begin{displaymath} f_I \wedge f_J =\left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon_I \omega & I \amalg J = \{1,\ldots, n\};\\ 0& \text{sonst.} \end{array} \right. \end{displaymath} Hier meint $\varepsilon_I$ das Vorzeichen der Permutation, die alle Elemente von $I$ an den Anfang schiebt, ihre Reihenfolge untereinander aber ebenso wie die Reihenfolge der Elemente ihres Komplements unver"andert l"a"st. Unsere Abbildung \begin{equation*} \op{Alt}^p V \rightarrow (\op{Alt}^q V)^* \end{equation*} macht also die Basisvektoren $f_I$ bis auf Vorzeichen zu den Vektoren der zu $f_{{\bar{I}}}$ dualen Basis, genauer haben wir $f_I\mapsto \varepsilon_I f^*_{{\bar{I}}}$ f"ur ${{\bar{I}}}$ das Komplement von $I$. Unter $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ entspricht dieser Vektor dann $\varepsilon_I v_{{\bar{I}}}$ und unter $\op{can}_t$ wiederum $\varepsilon_I f_{\bar{I}}$, woraus wir folgern \begin{equation*} \ast_t f_I = \varepsilon_I f_{{\bar{I}}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} Insbesondere gilt also im Fall eines Skalarprodukts und der dualen Basis zu einer Orthonormalbasis die Formel $f_I\wedge \ast f_I=\omega$, die in diesem Fall auch sofort $\ast(\ast \alpha)=(-1)^{pq}\alpha$ f"ur alle $\alpha\in \op{Alt}^p(V)$ liefert. Ist allgemeiner im symmetrischen nicht ausgearteten Fall $v_1, \ldots , v_n$ orientiert und orthogonal, aber haben wir etwa $ t(v_i,v_i) = \eta_i = \pm 1, $ so m"ussen wir nur ganz am Schlu"s noch ein Vorzeichen erg"anzen und erhalten mit der Notation $\eta_{\bar{I}} = \prod_{j\in {\bar{I}}} \eta_j$ die Formel \begin{equation*} \ast_t f_I = \varepsilon_I \eta_{\bar{I}} f_{\bar{I}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} Sei nun noch allgemeiner $t$ symmetrisch nicht ausgeartet, $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthogonalbasis von $V$ mit $ t(v_i,v_i) = \eta_i c_i^2$ mit $c_i>0$ und $f_1, \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$. Gegeben $I,{\bar{I}}$ mit $|I|=p$ erhalten wir dann mit der Notation $c_I=\prod_{i\in I} c_i$ durch Reskalierung die Formel \begin{equation*} \ast_t f_I = \frac{\varepsilon_I \eta_{\bar{I}} c_{\bar{I}}}{c_I} f_{\bar{I}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion \begin{equation*} \op{div}_t (v) = (\ast_t \circ d \circ \ast_t \circ\op{can}_t) (v) \end{equation*} Obwohl der $\ast$-Operator von einer zu w"ahlenden Orientierung abh"angt, ist die Divergenz wegen des doppelten Auftretens unseres $\ast$-Operators davon unabh"angig. \end{Definition} \begin{Ubunge}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfelds auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale Volumen"anderung unter dem Flu"s des besagten Vektorfelds\grqq\ beschreibt, da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt $$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f \op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das Integral, und beachte, da"s das Integral "uber ganz $\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet. \end{Ubunge} \begin{Beispiel}\label{BSPK} Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit der Standardorientierung und dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ finden wir die "ubliche Formel $\op{div}v=a_x +b_y +c_z$, indem wir rechnen $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z\\ \op{can}_s (v) &=& a dx + b dy +cdz\\ \ast_s (\op{can}_s (v)) &=& ady \wedge dz - b dx \wedge dz + cdx \wedge dy\\ d(\ast_s (\op{can}_s (v))) &=& a_xdx\wedge dy \wedge dz - b_y dy \wedge dx\wedge dz + c_z dz\wedge dx \wedge dy\\ \ast_s (d(\ast_s (\op{can}_s (v)))) &=& a_x +b_y +c_z \end{array}$$ Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen, schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben. Unsere neue Interpretation vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft, insbesondere da die "au"sere Ableitung $d$ sich so gut mit Verwandtschaft vertr"agt, und erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen orthogonalen Koordinaten. Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen, erinnern wir uns daran, da"s nach \ref{PKMm} unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik $s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf der $xy$-Ebene verwandt ist zum $2$-Tensor $ g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2} $ und rechnen $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta \\ \op{can}_g (v) &=& a dr + br^2 d\vartheta\\ \ast_g (\op{can}_g (v)) &=&a rd\vartheta-brdr\\ d(\ast_g (\op{can}_g (v))) &=& (a_r r+a)dr\wedge d\vartheta +b_\vartheta rdr \wedge d\vartheta\\ \ast_g (d(\ast_g (\op{can}_g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a \end{array}$$%Scheint ok. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{divKu} Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \ref{KuKo}. Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+ b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem $xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion $a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$. \end{Ubung} \begin{Definition} Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir $$\Delta f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots + \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$ und nennen $\Delta$ den {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators $\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion an einer Stelle\label{ALA} $x$ mi"st die Abweichung des Funktionswerts bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von $x$. In einer Ver"anderlichen gilt zum Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$ wie der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen kann. In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der Notation $\op{e}_i$ f"ur die Vektoren der Standardbasis $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left( \frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+ f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Man zeige, da"s der La\-place\-operator invariant ist unter Drehungen. Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare Abbildung, so zeige man f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. Man folgere die Formel $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\; \sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle} - f(x)\right) $$ auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ bis auf ein Vorzeichen die Differenz zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Durchschnitt der Funktionswerte auf einer Kugelschale mit Zentrum in $x$ und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}. Die Taylorentwicklung oben liefert in einer Ver"anderlichen sogar pr"aziser die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f\grqq\ (\xi^+)+f\grqq\ (\xi^-))/2$$ mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] Die polynomialen Funktionen $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$ auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln $$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$ Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$ mit konstanten Koeffizienten auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln $$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$ \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Laplace-Operator in anderen Koordinaten}] Um den Laplaceoperator $\Delta$ in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo} kann man von der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \;d \ast_s df$$ ausgehen, mit $s$ der "ublichen Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik und der Standard-Orientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $V \co X$ und ein differenzierbare Abbildung $\phi: V \rightarrow U$ mit bijektivem Differential an jeder Stelle und eine zur Standard-Metrik $\phi$-verwandte Riemann'sche Metrik $t$ auf $V$ haben wir dann die Verwandschaft $\phi:\ast_t\; d \ast_t d(f \circ \phi)\leadsto \ast_s\; d \ast_s df=\Delta f$. Ist speziell etwa $\phi$ die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung, so l"a"st sich das auch sehr konkret und explizit berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Laplace-Operator in Polarkoordinaten}] Wir berechnen den Laplace-Operator einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden "ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach $$\begin{array}{rcl} df &=& f_r dr + f_\vartheta d\vartheta\\ \ast_g (df) &=&f_r r d\vartheta-r^{-1}f_\vartheta dr\\ d(\ast_g (df)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})dr \wedge d\vartheta\\ \ast_g (d(\ast_g (df))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} \end{array}$$%Forster kriegt dasselbe! \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Laplace-Operator in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s der Laplace-Operator einer Funktion $f$ in den Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo} gegeben wird durch die Formel $$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} +r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2} f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe! Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch von \ref{graKu} und \ref{divKu} ausgehen. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: