\section{Der Satz von Stokes} Im vorigen Abschnitt haben wir unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer Funktion "uber eine Unterannigfaltigkeit eines $\DR^n$. In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \eref{WII}{AN2}, d.h.\ das Integral eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum l"angs eines Weges verallgemeinern zum Integral einer \glqq $k$-Form\grqq\ auf einem endlichdimensionalen reellen Raum "uber eine \glqq orientierte\grqq\ $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines Vektorfelds in $\DR^3$ durch eine orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq. Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte \glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\ \ref{ASI}, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf h"ohere Dimensionen verallgemeinert. \subsection{Multilineare Algebra und Dachprodukt} \label{MAD} \begin{Definition}\label{BAD} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form} oder kurz {\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$!Raum alternierender Formen} $$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k \mid \omega \text{ ist multilinear und alternierend}\}$$ Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1}, da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$ verschwindet, wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so ist es gleichbedeutend zu fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert wenn man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht, daher die Bezeichnung \glqq alternierend\grqq. Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums alias Linearformen, wir haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\top}$. Gegeben Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{p} \in V^{\top}$ definieren wir ein Element $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator} $$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) (v_{1}, \ldots, v_{p}) \pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt von alternierenden Multilinearformen einf"uhren und dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ obsolet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{hju} Im Rahmen unserer Diskussion des Tensorprodukts werden die Begriffsbildungen dieses Abschnitts auch noch unter einem anderen Gesichtspunkt besprochen. Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem hier definierten Raum $\op{Alt}^{p} V$ der alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum $\left(\bigwedge^pV\right)^\top$ seiner dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz $\bigwedge^pV$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2} f"ur endlichdimensionales $V$ kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\top \sira \bigwedge^p(V^\top) $ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen und den "au"seren Potenzen des Dualraums und erhalten so zusammen einen kanonischen Isomorphismus $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\top)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{BADv} Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$ gegeben und ist $I \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir $$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in \op{Alt}^{p}V$$ f"ur $i_{1}< \ldots < i_{p}$ die der Gr"o"se nach gereihten Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}] Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots, f_{n}$ eine Basis von $V^{\top}$, so bilden die $f_{I}$ aus\label{BA} \ref{BADv} mit $|I| = p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J =\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit $j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich $$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}. \end{array} \right. $$ Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln $(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$. Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation $f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ w"are im Fall eines vierdimensionalen Vektorraums $V$ mit einer Basis $f_1,\ldots, f_4$ seines Dualraums also $\op{Alt}^{2}V$ ein Raum der Dimension $6$ mit Basis $f_1\wedge f_2$, $f_1\wedge f_3$, $f_1\wedge f_4$, $f_2\wedge f_3$, $f_2\wedge f_4$, $f_3\wedge f_4$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{DaPr}%\label{DP} Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$. So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{$\wedge$!Dachprodukt} $$\begin{array}{ccc} \op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\ (\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $f_{1}, \ldots , f_{p+q} \in V^{\top}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{BA} folgt unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts} $$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi= \omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$ Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\ wird schon wieder obsolet, denn offensichtlich folgt aus der Proposition auch $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ein nat"urlichere Konstruktion des Dachprodukts besprechen wir im Rahmen der multilinearen Algebra in \eref{ddp}{LA2}. Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s unter unserem Isomorphismus \ref{hju} das Dachprodukt aus \eref{ddp}{LA2} genau unserem Dachprodukt aus \ref{DaPr} entspricht, vergleiche auch \eref{ddp}{LA2}. In der Tat reicht es angesichts der Assoziativit"at beider Dachprodukte, diese Behauptung im Fall des Dachprodukts zweier Linearformen zu pr"ufen, und in diesem Fall ist sie schnell nachgerechnet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Die Formel aus dem anschlie"senden Beweis definiert auch f"ur alternierende Formen auf einem nicht notwendig endlichdimensionalen Raum ein assoziatives Produkt $\wedge$. Der Beweis bleibe dem Leser "uberlassen ebenso wie der Nachweis der graduierten Kommutativit"at \ref{GrDac} in dieser Allgemeinheit. F"ur unsere Belange reicht der endlichdimensionale Fall aus. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} und nur die Existenz ist noch zu zeigen. Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen. Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ bzw.\ $q$ Karten irgendwie ineinander. Solche Permutationen hei"sen auch {\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in Formeln haben wir \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm] \noindent Ein $(3,4)$-Shuffle \end{figure} $$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots < \sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$ Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die Untergruppe $\cal{S}_{p}\times \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$ Eintr"age ebenso. Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion $$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$ Jetzt definieren wir f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$ durch die Vorschrift $$ (\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots , v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma (p+q)}) $$ Betrachten wir andererseits unsere Definition $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})= \sum_{\tau \in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n} (v_{\tau (n)})$$ f"ur $n=p,q$ und setzen in die Definition von $\wedge$ ein, so ergibt sich mithilfe unserer Zerlegung $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$ wie gew"unscht $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge \op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$ Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt dann weiter, da"s die Multilinearform $\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur $\wedge$ in der Tat eine Abbildung $\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V \ra \op{Alt}^{p+q}V$ mit den geforderten Eigenschaften liefert. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}] Sei $V$ ein %endlichdimensionaler Vektorraum. F"ur beliebige $\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und $\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} $\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge \omega$. Bezeichnet\index{${\mid}\omega{\mid}$!Grad der Form $\omega$} $|\omega| $ den Grad von $\omega$, also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese Regel auch schreiben in der Gestalt $$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge \omega$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge \ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$ f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$ und alle $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$. Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$. Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine endlichdimensionale R"aume. Der Fall unendlichdimensionaler R"aume ist hier nicht relevant und bleibe dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}] Zu jeder linearen Abbildung $L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} transponierte Abbildung $L^\top:W^\top\ra V^\top$, $f\mapsto f\circ L$ und allgemeiner auch die linearen Abbildungen $$ \begin{array}{cccl} L^\top:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\ &\omega&\mapsto &\omega\circ (L\times\ldots\times L) \end{array} $$ mit $L\times\ldots\times L$ wie in \ref{KrAA}, als da hei"st $(L^\top \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$. Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln $\op{id}^{\top}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\top}=M^{\top}\circ L^{\top}$ f"ur die transponierten\label{DAFF} Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt $$L^{\top}(\omega\wedge\eta)=(L^{\top}\omega)\wedge(L^{\top}\eta)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} bilden demnach f"ur jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\top$ einen kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der Notation halber $L\mapsto L^\top$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus \op{Alt}^p V$ ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die Kategorie der $k$-Ringalgebren. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}] Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP} gilt $$L^{\top}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional. F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\top}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$ die duale Basis von $V^\top$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man als Konsequenz. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{ABM} Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$ k"urzen wir die $(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\top\omega)\wedge(\op{pr}_2^\top\eta)$ auf $V\times W$ auch gerne mit $\omega\wedge\eta$\index{$\wedge$!"au"seres Dachprodukt} ab und hoffen, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann $\wedge$ dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq\ meint und wann das \glqq innere Dachprodukt\grqq\ aus \ref{DaPr}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} F"ur einen Vektorraum $V$ der Dimension $\dim V = n$ liefert das Dachprodukt $V^\top \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine nichtausgeartete Paarung, als da hei"st, jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ liefert vermittels unserer Paarung einen Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V$. \end{Bemerkungl} \subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB} \begin{Definition} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf Feld von relativen $p$-Formen\index{Differentialform!relative}} oder k"urzer eine {\bf $p$-Form auf $U$} ist eine Abbildung $$ \begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ & x &\mapsto &\omega_{x} \end{array}$$ die also ausgeschrieben jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multilinear\-form $\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zuordnet. Den Raum aller relativen $p$-Formen auf $U$ notieren wir $\Omega^p_X(U)$. Wenn wir hoffen, da"s die genaue Bedeutung aus dem Kontext hervorgeht, sprechen wir auch oft abk"urzend schlicht von {\bf Differentialformen}.\index{Differentialform} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Sp"ater werden wir ganz allgemein Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten erkl"aren als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen. Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit $U\subset X$ positiver Kodimension ist das nat"urlich etwas anderes, als jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums zuzuordnen. Das ist der Grund, aus dem ich das hier eingef"uhrte elementare Konzept eine \glqq relative Differentialform\grqq\ genannt habe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Formen und Formenfelder}] In der hier und im vorhergehenden Abschnitt eingef"uhrten abgek"urzten Terminologie kann eine \glqq $p$-Form auf $U$\grqq\ zwei sehr verschiedene Dinge bedeuten: Entweder ist $U$ ein $k$-Vektorraum und unsere $p$-Form ist ein Element von $\op{Alt}^p(U)$, also eine alternierende multilineare Abbildung $\omega: U\times\ldots\times U\ra k$, oder aber $U$ ist Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und unsere $p$-Form ist eine Abbildung $\omega:U\ra \op{Alt}^p(\vec{X})$ mit $x\mapsto \omega_x$. Man sollte deshalb eigentlich letztere Objekte stets als \glqq Felder von $p$-Formen\grqq\ ansprechen, sie stehen ja auch zu alternierenden $p$-Multilinearformen in derselben Beziehung wie Vektorfelder zu Vektoren. Von Formenfeldern aber redet kein Mensch. Ich will deshalb auch nicht damit anfangen, und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine $0$-Form auf $U$ ist eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$ und eine $1$-Form auf einer halboffenen Teilmenge $U$ ein Kovektorfeld im Sinne von \eref{FKF}{AN2}. Ist $U\subset X$ eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, so schreiben wir statt $\Omega^p_X(U)$ meist $\Omega^p(U)$, da in diesem Fall unsere relativen Differentialformen mit den "ublichen Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten "ubereinstimmen, wie wir sie in \eref{DFMM}{WB} kennenlernen werden. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf diesem geordneten Paar. Die Anordnung wird hierbei durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt. Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen, die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu Koordinatenachsen sein. \end{Bild} \begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] In einem dreidimensionalen orientierten reellen nicht notwendig euklidischen affinen Raum bewege sich ein Gas. Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und ordnen jedem Tripel bestehend aus einem Punkt und zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte Parallelogrammfl"ache\grqq\ alias \glqq orientierten Fl"achenelement\grqq\ die Gesamtmasse der Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD} hindurchtritt, wobei wir diese Masse je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule hindurchtreten, positiv oder negativ gewichten. Diese Zuordnung ist, nach Wahl einer Masseneinheit, ein Feld von $2$-Formen. Man nennt es auch die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte} Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\ die Gesamtmasse der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird, so erhalten wir ein Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum, genaugenommen wieder nach Wahl einer Masseneinheit. Man nennt es auch die {\bf Dichte} unseres Gases. W"ahlen wir zus"atzlich auf dem Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt, so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit $2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto \op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, das von der \glqq Orientierung\grqq\ unseres Tripels abh"angt. "Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit $3$-Formen. Die M"oglichkeit dieser Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s Differentialformen zumindest meiner Intuition schwer zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn R"aume h"oherer Dimensionen: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten, das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit. Um auch in nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen jedoch in jedem Falle ein bequemer Formalismus. \end{Beispiel} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm] \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$ \end{Bild} % \begin{Beispiel} % Ein magnetisches Feld mag man sich, bis auf skalare Einheiten, als % eine $2$-Form auf dem % Anschauungsraum denken. % In der Tat kann man ein Magnetfeld etwa messen, indem man % ein Halbleiterpl"attchen hineinh"alt, zwischen zwei gegen"uberliegenden % Kanten einen Strom flie"sen l"a"st, % und zwischen den zwei verbleibenden Kanten die % Spannung mi"st. So erh"alt man f"ur jedes \glqq orientierte Fl"achenelement\grqq\ % eine Zahl, und solch eine Zuordnung ist eben gerade eine $2$-Form. % Sicher kann man eine $2$-Form auf dem Anschauungsraum auch als Vektorfeld % ansehen, genauer erh"alt man eine Identifikation von Vektorfeldern mit % $2$-Formen, indem man jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto % \op{vol}(u,v,w)$ zuordnet, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ % des Parallelogramms mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, % das von der \glqq Orientierung\grqq\ unseres Tripels abh"angt, % oder noch genauer die $2$-Form $(v,w)\mapsto % \langle u,v,w\rangle\ph{m}^{-3}$ gegeben durch das Spatprodukt aus % \eref{SPA}{LA2} % und eine willk"urlich gew"ahlte L"angeneinheit $\ph{m}\in \mathbb L_{>0}$. % Die M"oglichkeit dieser % Identifikation mag ein Grund daf"ur sein, % \end{Beispiel} \begin{Definition} F"ur zwei Differentialformen $\omega \in \Omega^{p} $ und $ \eta \in \Omega^{q} $ definieren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega \wedge \eta \in \Omega^{p+q}$ als punktweises Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega \wedge \eta)_x=\omega_x \wedge \eta_x$. F"ur $f \in \Omega^{0}$ eine Funktion schreiben wir meist $f\eta$ statt $f\wedge \eta$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ nach \ref{BA} jede $p$-Form $\omega \in \Omega^{p}_X (U)$ eindeutig schreiben in der Gestalt $$\omega = \sum_{|I|=p} a_{I} \diff x _{I}$$ Hier l"auft die Summe wie angedeutet "uber alle $p$-elementigen Teilmengen $I \subset \{1,\ldots, n\}$, die Koeffizienten $a_{I}$ sind reelle Funktionen auf $U$, und $\diff x_{I}$\index{d@$\diff x_{I}$} ist "ahnlich wie in \ref{BAD} eine Abk"urzung f"ur $\diff x_{I}=\diff x_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge \diff x_{i_{p}} $ mit $ i_{1} < \ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach geordneten Elementen von $I$. Diese Notation ist allerdings mit Vorsicht zu genie"sen, denn nat"urlich ist $\diff x_{I}$ f"ur $|I|\neq 1$ in keinster Weise das Differential einer wie auch immer gearteten Funktion $x_I$. Das Dachprodukt zweier in dieser Standarddarstellung gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und $\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die $(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RHUD} Gegeben endlichdimensionale reelle R"aume $X,Y$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $\phi :A\ra Y$ auf einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$ definieren wir das {\bf Zur"uckholen von Differentialformen}, eine $\DR$-lineare Abbildung $\phi ^{\ast} : \Omega^{p}_Y (\phi (A)) \ra \Omega^{p} (A)$, durch die Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} = (\diff _{x}\phi )^{\top} (\omega_{\phi (x)})$$ Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\top}: \op{Alt}^p\vec{Y} \ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die vom Differential $\diff _{x} \phi : \vec{X} \ra \vec{Y} $ von $\phi $ an der Stelle $ x \in A$ induzierte Abbildung. Alternativ k"onnten wir auch schreiben $(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =\omega_{\phi (x)} \circ (\diff _{x}\phi \times\ldots \times \diff _{x}\phi) $ mit $p$ Faktoren ganz rechts. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der Differentialformen die eigentliche Hauptsache. Das Zur"uckholen von Funktionen alias Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ von besagter Abbildung, in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$. Das Zur"uckholen von $1$-Formen haben wir bereits in \eref{ZHEF}{AN2} diskutiert. Wir verallgemeinern die dort eingef"uhrte Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$ und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen} und schreiben $\phi:\eta\leadsto\omega$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen} genau dann, wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur das Zur"uckholen von Differentialformen gilt die Kettenregel, d.h.\ wir haben stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast} (\omega) $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit der "ublichen Kettenregel \eref{Kett}{AN2} sofort aus den Definitionen. Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von \eref{VerT}{AN2} dahingehend verstehen, da"s Verwandtschaft transitiv ist. \end{proof} \begin{Lemma} Verwandschaft alias das Zur"uckholen $\phi^{\ast}$ von Differentialformen ist vertr"aglich mit dem Dachprodukt, in Formeln gilt also $$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast} (\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Beispiel}Wir erinnern \eref{ZHeF}{AN2}. F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und $Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$ und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich $ \phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) =\diff \phi_{i} = \sum_{i} \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$. Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten beschrieben werden durch die Formel $$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i} \circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $\phi$ die Polarkoordinatenabbildung $$\begin{array}{cccl}\phi:& \Bbb{R}^{2}& \ra& \Bbb{R}^{2}\\ &(r,\vartheta) &\mapsto &(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \end{array}$$ und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$ die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu $$\begin{array}{rcl} \phi^{\ast} (y \diff x) &=& \phi^{\ast}(y) \phi^{\ast} (\diff x)\\ &=& r \sin \vartheta \;\diff\; (r\cos \vartheta)\\ &=& r \sin \vartheta \cos \vartheta \; \diff r - r^{2} \sin^{2}\vartheta\; \diff \vartheta \end{array}$$ und f"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir $$\begin{array}{rcl} \phi^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& \phi^{\ast} (\diff x) \wedge \phi^{\ast}(\diff y)\\ &=& \diff\; (r \cos \vartheta) \wedge \diff\; (r \sin \vartheta)\\ &=& (\cos \vartheta \;\diff r - r \sin \vartheta \;\diff \vartheta) \wedge (\sin \vartheta \;\diff r + r \cos \vartheta \;\diff \vartheta)\\ &=& r \diff r \wedge \diff \vartheta \end{array}$$ Man mag sich letztere Formel dahingehend veranschaulichen, da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\vartheta$-Ebene entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{ZHD} F"ur $A$ halboffen in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ stetig differenzierbar gilt stets $$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) = (\det \diff \phi) \diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ \end{Lemma} \begin{proof} F"ur jeden Endomorphismus $L$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V$ ist die induzierte Abbildung $L^{\top}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP} gerade die Multiplikation mit $\det L$. \end{proof} \subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten}\label{OrM} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTBM}\\[4mm] \noindent In diesem Bild habe ich zu einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit der Ebene zwei affine R"aume eingezeichnet, deren Richtungsr"aume ihre Tangentialr"aume an den beiden fett eingezeichneten Punkten w"aren. Diese affinen R"aume schneiden sich nat"urlich und ihre Richtungsr"aume schneiden sich desgleichen. Im bildlich dargestellten Fall besteht dieser Schnitt der Richtungsr"aume aus dem Nullvektor, aber im allgemeinen kann er auch gr"o"ser sein. Ich habe die beiden Geraden dennoch als nicht-schneidend gemalt, um bildlich anzudeuten, da"s alle diese "Uberschneidungen von uns bei der Definition des Tangentialb"undels sozusagen wegdefiniert werden. \end{figure} \begin{Definition}\label{TaBu} Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums und ein Punkt $p\in M$ definieren wir den {\bf Tangentialraum an $M$ in $p$}\index{Tangentialraum!im eingebetteten Fall} als den Vektorraum $${\op{T}}_{p} M \pdef \op{im} (\diff _{u}\varphi)\subset \vec{X}$$ f"ur\index{T@${\op{T}}_{p} M$ Tangentialraum} eine und jede Karte $\varphi : U \ra M\text{ mit } \varphi (u) = p$. Wir haben also $\dim {\op{T}}_{p}M=\dim M$, und $p + {\op{T}}_{p}M$ ist derjenige affine Teilraum von $X$, der anschaulich gesprochen \glqq $M$ am besten approximiert bei $p$\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} In \eref{aT}{ML} werden wir allgemeiner den Tangentialraum ${\op{T}}_{p} M$ f"ur beliebige, nicht notwendig eingebettete Mannigfaltigkeiten $M$ erkl"aren. Er ist kanonisch isomorph aber eben nicht gleich zu dem eben f"ur eingebettete Mannigfaltigkeiten erkl"arten Konzept. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir die obige Definition meinen, schreiben wir genauer ${\op{T}}_{p}^\subset M$.\index{T@${\op{T}}^\subset_{p} M$ Tangentialraum!im eingebetteten Fall} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{DTBE} Man will sich meist die verschiedenen Tangentialr"aume als paarweise disjunkt denken, "andert die obige Definition deshalb ab und setzt formal $${\op{T}}_{p}M \pdef \{p\}\times\op{im} (\diff _{u}\varphi) \;\; \subset\;\; \{p\}\times\vec{X} $$ So kann man dann das {\bf Tangentialb"undel}\index{Tangentialb"undel!im eingebetteten Fall} von $M$ definieren\index{T@${\op{T}} M$|see{Tangentialb"undel}} als $${\op{T}}M \pdef \bigcup_{p\in M} {\op{T}}_{p} M \;\;\subset\;\;M \times \vec{X} $$ Unter geeigneten zus"atzlichen Differenzierbarkeitsannahmen an unsere Untermannigfaltigkeit $M$ kann man zeigen, da"s ${\op{T}}M \subset X\times \vec{X}$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $2 (\dim M)$ ist, vergleiche \eref{TBUM}{ML}. Die einzelnen Tangential\-r"aume erh"alt man als die Fasern der Projektion $\pi : {\op{T}}M \ra M $ des Tangentialb"undels auf die Mannigfaltigkeit, in Formeln ${\op{T}}_{p}M = \pi^{-1} (p)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, da"s nach \eref{OrV}{LA1} eine \defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum} eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ "uber einem angeordneten K"orper eine Vorschrift $\varepsilon $ ist, die jeder angeordneten Basis $B$ unseres Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (B)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen $B, B'$ die Determinante der Basiswechselmatrix das Vorzeichen $\varepsilon (B)\varepsilon (B')$ hat. In \eref{OrV}{LA1} werden auch noch weitere Begriffsbildungen in diesem Zusammenhang formal eingef"uhrt, deren Bedeutung Sie aber auch leicht selbst werden erraten k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Orkm} Eine \defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von $\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} einer $k$-Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Vorschrift, die jedem Punkt $p\in M$ eine Orientierung im Sinne von \eref{OrV}{LA1} des Tangentialraums ${\op{T}}_p M$ zuordnet und zwar so, da"s es um jeden Punkt eine Karte $\varphi:W\ra M$ gibt mit der Eigenschaft, da"s die Differentiale $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)} M$ f"ur $x\in W$ entweder alle orientierungserhaltend oder alle orientierungsumkehrend sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Orientierung einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ anzugeben bedeutet schlicht, eine Abbildung $\varepsilon :M\ra\{+1,-1\}$ anzugeben, deren Wert bei $p\in M$ eben das Vorzeichen der angeordneten Basis $\emptyset$ des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf orientierten Mannigfaltigkeit}\index{orientiert!$\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} versteht man ein Paar bestehend aus einer\label{oMfg} Mannigfaltigkeit $M$ und einer Orientierung auf $M$. Ich notiere orientierte Mannigfaltigkeiten oft mit einem Pfeil, etwa als $\vec{M}$, aber das ist nicht allgemein "ublich. Eine Mannigfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung zul"a"st, nennt man eine {\bf orientierbar}.\index{orientierbar!$\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} Das \glqq M"obiusband\grqq\ ist ein Beispiel f"ur eine nicht orientierbare $2$-Mannigfaltigkeit in $\DR^3$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Den Pfeil "uber einem Symbol benutze ich auch bei affinen R"aumen als Notation f"ur den zugeh"origen Raum von Richtungsvektoren, vergleiche \eref{daff}{LA1}. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{OK} Wir sagen, eine Karte $(W,\varphi)$ einer orientierten Mannigfaltigkeit {\bf habe die Orientierung} $\varepsilon$ f"ur $\varepsilon \in \{+1,-1\}$ genau dann, wenn f"ur jeden Punkt $x\in W$ das Bild der Standardbasis unter dem Isomorphismus $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}M$ die Orientierung $\varepsilon$ hat. Nur die leere Karte kann beide Orientierungen haben. Karten, die nicht zusammenh"angend sind, besitzen im allgemeinen weder die Orientierung $+1$ noch die Orientierung $-1$. Eine nichtleere Karte der Orientierung $+1$ nennen wir eine \defnoind{positiv orientierte Karte}. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Tawb} Man zeige: Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums und ein Punkt $p\in M$ kann der Tangentialraum ${\op{T}}_{p} M$ auch beschrieben werden als die Menge aller m"oglichen Geschwindigkeitsvektoren bei $p$ von in $M$ verlaufenden und bei $p$ differenzierbaren Wegen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede orientierbare zusammenh"angende Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen ist die Menge aller Punkte $p$, an denen sie dieselbe Orientierung von ${\op{T}}_pM$ liefern, ebenso offen wie die Menge aller Punkte $p$, an denen sie verschiedene Orientierungen von ${\op{T}}_pM$ liefern. Nun verwende man \eref{WZTT}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{trnb} Seien $X$ und $Y$ endlichdi\-mensionale reelle R"aume, $U\co X$ eine offene Teilmenge und $f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit "uberall surjektivem Differential. So ist f"ur alle $c\in Y$ nach \eref{MN}{AN2} das Urbild $M=f^{-1}(c)$ eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y$. Man zeige f"ur alle $p\in M$ die Formel ${\op{T}}_pM=\op{ker}\diff_pf$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine von Null verschiedene symmetrische Bilinearform auf $V$ und $c\in\DR$ eine Konstante, so ist $M\pdef \{v\in V\backslash 0\mid \langle v,v\rangle=c\}$ eine Hyperfl"ache in $V$ und unter der "ublichen Identifikation $\op{trans}:V\sira \vec{V}$ haben wir ${\op{T}}_vM=\op{trans}\{w\in V\mid \langle v,w\rangle=0\}$ oder abk"urzend geschrieben $${\op{T}}_vM=v^\perp$$ \end{Ubung} \subsection{Integration von Differentialformen: Theorie} \begin{Bemerkungl} Wie im n"achsten Abschnitt erkl"art werden wird, ist die Integration von Differentialformen in lokalen Koordinaten kein gro"ses Kunstst"uck und verallgemeinert verschiedene Integrationsbegriffe, die Sie bereits kennengelernt haben. Ich m"ochte deshalb die mehr praktisch Orientierten unter Ihnen ermutigen, den n"achsten Abschnitt vorzuziehen. Andererseits mu"s man, um formal korrekte Aussagen machen zu k"onnen, zuvor den Begriff einer integrierbaren Differentialform und ihres Integrals einf"uhren. Das soll in diesem eher technischen Abschnitt geschehen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Ma"s einer Differentialform}] Gegeben eine $k$-di\-men\-sio\-nale Unterman\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ eines endlichdimensionalen reellen Raums und eine me"sbare\label{DDfm} $k$-Form $\omega$ auf $M$ gibt es genau ein topologisches Ma"s $|\omega|$ auf $M$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ von $M$ und jede Borelmenge $A\subset \varphi(W)$ gilt $$|\omega|(A)=\int_{\varphi^{-1}(A)} |(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|\lambda^k$$ Jede\index{Ma"s!einer Differentialform} in $M$\index{${\mid}\omega{\mid}$!Ma"s der Differentialform $\omega$} enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist f"ur dieses Ma"s eine Nullmenge, und jede stetige $k$-Form liefert ein Borelma"s. \end{Proposition} \begin{Bild} \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildBDF}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung des Ma"ses $|xy\diff x\wedge \diff y|=|xy|\lambda^2$ der Differentialform $xy\diff x\wedge \diff y$, die wir in \ref{GHB} versucht hatten, graphisch darzustellen. Das Ma"s einer Teilmenge w"are so in etwa zu denken als die Zahl der in ihr enthaltenen schwarzen Punkte. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildMdF}\\[4mm] \noindent In diesem Bild soll angedeutet werden, welches Ma"s auf der Kreislinie eine Einsform auf der Papierebene liefert. Denken wir uns etwa die Einform $y\diff x$. F"ur eine me"sbaren Menge wie dem eingezeichneten $A$ d"urfen wir uns das Ma"s so vorstellen: Wir approximieren durch einen Polygonzug und summieren die Betr"age der Werte unserer Differentialform auf den Kantenvektoren. Eine Approximation von $|y\diff x|(A)$ w"are also etwa $|a_2v_1|+b_2w_1=|1\cdot 0|+|(-1)\cdot(-1)|=1$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis von \ref{DDfm}] Der Beweis von \ref{OFLM} kann fast Wort f"ur Wort wiederholt werden, wobei wir nur f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ auf $W$ statt der Funktionen $\op{vol}(\diff_x\varphi)$ die Betr"age der Funktionen $\omega_\varphi$ mit $\omega_\varphi(x)=(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ einsetzen m"ussen. Der entscheidende Schritt besteht dann wieder darin, f"ur je zwei Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ mit $\varphi(W)= \psi(V)$ und Kartenwechsel $g= \psi^{-1}\circ \varphi :W \sira V$ die Formel $$ |\omega_\varphi(x)|= |\det \diff_{x} g|\;|\omega_\psi(x)| $$ zu zeigen. Per definitionem haben wir jedoch $\varphi^*\omega=\omega_\varphi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$ und ebenso $\psi^*\omega=\omega_\psi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$ und wegen $\psi \circ g = \varphi$ gilt $g^*(\psi^*\omega)=\varphi^*\omega$. Mit \ref{ZHD} folgt dann sofort $(\op{det} \diff_x g) \omega_\psi(g(x))=\omega_\varphi(x)$ f"ur alle $x\in W$, und nehmen wir hier auf beiden Seiten Betr"age, so steht unsere Behauptung auch schon da. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Bedeutungen der Notation $|\omega|$}] Die Notation $|\omega|$ hatten wir eigentlich bereits vereinbart f"ur den Grad einer Differentialform, also $|\omega|=p$ im Fall einer $p$-Form. Es ist also a priori ungeschickt, dieselbe Notation auch noch f"ur ein v"ollig anderes Konzept zu verwenden. Andererseits sind beide Notationen "ublich, und welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist, kann der Leser leicht aus dem Kontext erschlie"sen: Im Wesentlichen tritt $|\omega|$ in der Bedeutung als Grad fast nur im Exponenten von $(-1)$ auf, und $|\omega|$ in der Bedeutung als Ma"s fast nie in einem Exponenten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf der rechten Seite meint $\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k$ die Standardbasis des $\DR^k$, auf der also unsere $k$-Form $\varphi^\ast\omega$ an jeder Stelle ausgewertet werden soll. F"ur die $2$-Form $\eta=y^2\sin x \diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^2$ etwa w"are $\eta(\op{e}_1,\op{e}_2)$ die Funktion $y^2\sin x$. Das Integral auf der rechten Seite ist %dann im allgemeinen als Integral in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s der me"sbaren reellwertigen Funktion $p\mapsto |(\varphi^\ast\omega)_p(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|$ "uber die me"sbare Menge $\varphi^{-1}(A)\subset W\subset \DR^k$ zu verstehen. Mit einer $k$-Form meinen wir vorerst noch eine relative $k$-Form. Sobald wir die wirklichen $k$-Formen auf Mannigfaltigkeiten kennenlernen, wird dieselbe Definition jedoch auch f"ur diese sinnvoll und richtig werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Unterschieds zum Fl"achenma"s}] Ich will einen wesentlichen Unterschied zum in \ref{OFLM} eingef"uhrten Fl"achenma"s hervorheben: Das Ma"s zu einer Differentialform k"onnen wir auf Untermannigfaltigkeiten beliebiger endlichdimensionaler R"aume einf"uhren, wohingegen wir das Fl"achenma"s nur auf Untermannigfaltigkeiten des $\DR^n$ erkl"art haben und bestenfalls auf Untermannigfaltigkeiten endlichdimensionaler euklidischer R"aume h"atten erkl"aren k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ma"s einer Flu"sdichte}] Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $M\subset X$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit alias\label{Fludd} Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so ordnet das Ma"s $|\omega|$ jedem Fl"achenst"uck auf $M$ die Gesamtmasse an Gas zu, die im gegebenen Zeitintervall hindurchtritt. In welcher Richtung das Gas an der einen oder anderen Stelle hindurchtritt, beachten wir dabei nicht, deshalb die Betragsstriche. Wir fordern auch nicht, da"s $M$ orientiert oder orientierbar sein soll, es d"urfte sich etwa um ein M"obiusband handeln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Lebesgue-Ma"s auf $\DR^k$ ist das Ma"s zu $\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$, in Formeln $\diff^k x=|\!\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|$. Speziell ist $|\!\diff x|$ das Lebesgue-Ma"s auf $\DR$. In diesem Fall erlauben wir uns aus den bereits in \ref{Ldf} dargelegten Gr"unden auch die Notation $\diff x$. Allgemeiner erhalten wir f"ur $f:\DR^n\ra\DR$ me"sbar die Gleichheit von Ma"sen $|f\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|= |f|\diff^k x$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $M$ eine $0$-Mannigfaltigkeit, als da hei"st eine diskrete Teilmenge eines endlichdimensionalen Raums, und $\omega$ eine relative $0$-Form alias eine reellwertige Funktion $f$ auf $M$, so ist $|\omega|$ das Ma"s, das jedem Punkt $p \in M$ als Ma"s den Betrag des Funktionswerts $|\omega_p| = |f(p)|$ zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten als Differentialform die $1$-Form $\omega = \diff x$ auf $\Bbb{R}^2$ und als Untermannigfaltigkeit die Kreislinie $S^1 = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 =1\}$. In diesem Fall stimmt das Ma"s $|\!\diff x|$ auf $S^1$ "uberein mit der Summe der Bildma"se $\mu_\pm $ des Lebesgue-Ma"ses auf dem Intervall $[-1,1]$ unter seinen vertikalen Projektionen auf den oberen bzw. auf den unteren Halbkreis. Insbesondere h"atten wir also $|\!\diff x| (S^1) = 4$. In der Tat, betrachten wir etwa die Karte $\varphi : (-1,1) \rightarrow S^1$, $ t \mapsto (t, \sqrt{1-t^2})$ und eine Borelmenge $A$ in ihrem Bild, dem offenen oberen Halbkreis, so ergibt sich mit unseren Definitionen \begin{equation*} |\!\diff x| (A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} |\varphi^\ast (\diff x) (\op{e}_1)| = \int_{\varphi^{-1}(A)} |\diff t (\op{e}_1) | = \int_{\varphi^{-1}(A)} 1 = \lambda (\varphi^{-1}(A)) \end{equation*} f"ur $\lambda $ das Lebesguema"s auf $[-1,1]$. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Betrag des Werts von $\omega_{p_{2,0}}$ auf diesem Paar von Vekoren geht in die Riemannsumme $S_P^3$ ein. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ma"s einer Differentialform "uber Riemannsummen}] Etwas vage mag man sich im Fall einer $2$-Mannigfaltigkeit alias Fl"ache im Anschauungsraum vorstellen, da"s wir unsere Fl"ache lokal durch \glqq parallelogrammf"ormige Schuppen\grqq\ approximieren, denen wir mithilfe unserer $2$-Form jeweils ein Ma"s zuordnen k"onnen, indem wir an jeder Stelle die beiden Kantenvektoren unserer parallelogrammf"ormigen Schuppen in die der besagten Stelle zugeordnete alternierende bilineare Abbildung einsetzen und vom Resultat den Betrag nehmen. Dann gilt es, mit immer feineren Schuppen in geeigneter Weise zum Grenzwert "uberzugehen. Konkreter erkl"are ich nun eine Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit $M\subset X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset W$ ein Rechteck und $P=\varphi(Q)\subset M$ sein Bild. Sei weiter $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$ eine stetige relative $2$-Form auf $M$. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente, bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in $P\subset M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Ma"s einer Differentialform} $S^{r}_{P} |\omega|$ durch die Formel $$S^{r}_{P} |\omega| = \sum^{r-1}_{i,j =0} |\omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j} - p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})|$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Wir k"onnen nun das Ma"s $|\omega|(P)$ interpretieren als den Grenzwert $$|\omega|(P) = \lim_{r \ra \infty} S_{P}^{r} |\omega|$$ Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von \eref{RSIn}{AN2} "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Wir betrachten auf $\DR^2$ die Funktionen $f(x,y)=\op{sin}(xy)$ und $g(x,y)=x^2y +y $ und die $2$-Form $\omega=\diff f\wedge \diff g$. Man schreibe das Ma"s $|\omega|$ auf $\DR^2$ als Vielfaches des Lebesgue-Ma"ses. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $U,V$ offene Teilmengen $n$-dimensionaler reeller R"aume und sei $\phi: U\sira V$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus. Gegeben eine me"sbare $n$-Form $\omega$ auf $V$ zeige man die Verwandtschaft von Ma"sen $\phi:|\phi^\ast \omega|\leadsto | \omega|$. In anderen Worten folgt also aus der Verwandtschaft von me"sbaren $n$-Formen $\phi: \eta\leadsto \omega$ die Verwandtschaft von Ma"sen $\phi: |\eta|\leadsto |\omega|$. Hinweis: Das ist bei rechtem Lichte besehen nur eine Umformulierung der Transformationsformel \ref{TFL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Kovektorfelder $\diff\vartheta$ und $\diff r$ auf $\DR^2$ zu unseren Polarkoordinaten aus \eref{BsPK}{AN2} liefern Ma"se auf dem Kreis $K\subset \DR^2$ mit Radius 4 und auf der Parallelen $G\subset \DR^2$ zur $y$-Achse durch den Punkt $(1,0)$. Man finde stetige Funktionen auf diesen Mannigfaltigkeiten derart, da"s ihre Produkte mit den jeweiligen Fl"achenma"sen die Ma"se zu unseren Differentialformen liefern. \end{Ubung} % \begin{Definition}\label{glatt1} % Eine Abbildung von einer Untermannigfaltigkeit % eines endlichdimensionalen reellen Raums % in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Raum hei"st % {\bf stetig differenzierbar} oder gleichbedeutend % eine {\bf $\mathcal C^1$-Abbildung} % genau dann, wenn die daraus durch Vorschalten % einer beliebigen Karte unserer % Untermannigfaltigkeit entstehende Abbildung % stetig differenzierbar ist. % \end{Definition} % \begin{Definition} % Eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten % endlichdimensionaler reeller R"aume % hei"st {\bf stetig differenzierbar} oder gleichbedeutend % eine {\bf $\mathcal C^1$-Abbildung} % genau dann, % wenn ihre Verkn"upfung mit der Einbettung der zweiten % Untermannigfaltigkeit im Sinne von \ref{glatt1} stetig differenzierbar ist. % Ein % {\bf Diffeomorphismus}\index{Diffeomorphismus!zwischen % $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten} % zwischen % Untermannigfaltigkeiten % ist eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung mit % stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. % \end{Definition} \begin{Definition} Sei $M $ eine $k$-dimensionale orientierte Untermannigfaltig\-keit eines endlichdimensionalen reellen Raums. Wir nennen eine me"sbare $k$-Form $\omega$ auf $M$ \defnoind{nichtnegativ}\index{nichtnegativ!Differentialform} genau dann, wenn f"ur alle Punkte $p\in M$ und jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_k$ der Orientierung $\varepsilon$ des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ gilt $$\varepsilon\omega_p(v_1,\ldots,v_k)\geq 0$$ \end{Definition} \begin{Definition} Wir nennen eine $k$-Form $\omega$ auf einer $k$-dimen\-sio\-na\-len Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ eines endlichdimensionalen reellen Raums \defnoind{integrierbar}\index{integrierbar!Differentialform} {\bf "uber $M$} genau dann, wenn sie me"sbar ist und wenn f"ur das nach \ref{DDfm} zugeh"orige Ma"s $|\omega|$ gilt $|\omega|(M)<\infty$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Integration von Differentialformen}] Sei $M $ eine $k$-di\-men\-sio\-nale orientierte Untermannigfaltig\-keit eines endlichdimensionalen\label{ItDF} reellen Raums. So bilden die "uber $M$ integrierbaren $k$-Formen einen Untervektorraum im Raum aller $k$-Formen auf $M$, und es gibt auf diesem Untervektorraum genau eine Linearform $\omega\mapsto \int_{\vec{M}}\omega$ derart, da"s f"ur alle nichtnegativen $k$-Formen $\omega$ gilt $$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega|(M)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $M\subset X$ eine orientierte zweidimensionale\label{Fluddd} Untermannigfaltigkeit alias Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD} und \ref{Fludd}, so beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$ die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt. Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei negativ zu Buche. \end{Beispiel} \begin{proof} Da"s die integrierbaren $k$-Formen einen Untervektorraum bilden, scheint mir offensichtlich. Um die Eindeutigkeit der fraglichen Linearform zu zeigen, betrachten wir f"ur eine beliebige me"sbare $k$-Form $\omega$ auf $M$ die me"sbare Teilmenge $$M^+\pdef \left\{p\in M\left| \begin{array}{l} \text{Es gilt }\omega_p(v_1,\ldots,v_k)>0\text{ f"ur eine}\\ \text{und jede orientierte angeordnete}\\ \text{Basis $v_1,\ldots,v_k$ von ${\op{T}}_pM$} \end{array} \right\}\right.$$ Unsere me"sbare $k$-Form $\omega$ k"onnen wir nun schreiben als die Differenz $\omega=\omega^+-\omega^-$ zweier nichtnegativer Formen, indem wir etwa $\omega^+$ erkl"aren durch $\omega^+_p=\omega_p$ f"ur $p\in M^+$ und $\omega^+_p=0$ sonst. Wir m"ussen also setzen $$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega^+|(M)-|\omega^-|(M)$$ und es bleibt nur zu zeigen, da"s diese Vorschrift auch tats"achlich eine Linearform liefert. Hierbei ist nur die Additivit"at problematisch. F"ur je zwei integrierbare nichtnegative Formen $\omega$ und $\eta$ gilt jedoch offensichtlich $$\int_{\vec{M}}\omega +\eta =\int_{\vec{M}}\omega +\int_{\vec{M}}\eta $$ Im allgemeinen schreiben wir nun $\omega=\omega^+-\omega^-$, $\;\eta =\eta^+ -\eta^-$ und $\omega+\eta=\rho=\rho^+- \rho^-$ und folgern durch Einsetzen $\omega^+ + \eta^+ +\rho^-=\omega^- + \eta^- +\rho^+$. Wenden wir darauf die Additivit"at des Integrals f"ur nichtnegative Formen an, so folgt sofort die Additivit"at des Integrals f"ur beliebige integrierbare Formen. \end{proof} \subsection{Integration von Differentialformen: Praxis} \begin{Proposition}[\textbf{Integration in lokalen Koordinaten}] Sei $M $ eine $k$-dimen\-sio\-nale orientierte Untermannig\-fal\-tig\-keit in einem endlichdimensionalen reellen Raum, $\varphi : W \ra M$ eine Karte der Orientierung $\varepsilon$ und $\omega$ eine me"sbare $k$-Form auf $M$, die au"serhalb von $\varphi( W)$ verschwindet.\label{I2F} So ist $\omega$ integrierbar genau dann, wenn die reellwertige Funktion $(\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ integrierbar ist auf $W$, und in diesem Fall gilt $$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{W} (\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\lambda^k$$ \end{Proposition} \begin{proof} F"ur nichtnegative Formen $\omega$ ist das im Wesentlichen unsere Definition \ref{ItDF}, f"ur beliebige Formen folgt es mithilfe unserer Zerlegung $\omega=\omega^+-\omega^-$ aus dem vorhergehenden Beweis von Satz \ref{ItDF}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nach unseren Definitionen % in Satz \ref{ItDF} und \ref{DDfm} "andern sich Integrierbarkeit und Integral einer me"sbaren Differentialform nicht, wenn wir ihre Werte auf einer Untermannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension "andern. So k"onnen wir in der Praxis bei \glqq vern"unftigen\grqq\ Karten erreichen, da"s unsere Differentialformen au"serhalb des Bildes der Karte verschwindet und die Proposition greift. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{I2FF} Unter den Annahmen und Notationen von \ref{I2F} und wenn wir $W$ mit der von $\DR^k$ induzierten Orientierung versehen, gilt f"ur unsere integrierbare $k$-Form $\omega$ auch $$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{\vec{W}} \varphi^{\ast} \omega$$ In der Tat folgt das unmittelbar aus den Definitionen, wenn wir das Differentialformenintegral auf der rechten Seite vermittels der Karte $\op{id}:W\sira W$ berechnen. Ebenso folgt, da"s $\omega$ integrierbar ist genau dann, wenn $\varphi^{\ast} \omega$ integrierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als Differentialformenintegral}] Eine $n$-Form $\eta$ auf\label{OTm} einer offenen Teilmenge $W\co \DR^n$ hat die Gestalt $\eta=f\diff x_1\wedge\ldots \wedge \diff x_n$ f"ur eine wohlbestimmte reellwertige Funktion $f:W\ra \DR$, eben der Funktion $f$ gegeben durch $f(x)=\eta_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)$. Geben wir unserer offenen Teilmenge die von der Standardorientierung des $\DR^n$ induzierte Orientierung, so ist unsere $n$-Form $\eta$ integrierbar "uber $W$ genau dann, wenn die Funktion $f$ integrierbar ist "uber $W$ in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s $\lambda^n$, und in diesem Fall gilt unter Verwendung unserer ganzen verschiedenen Notationen $$\int_{\vec{W}} \eta=\int_{\vec{W}}f\diff x_1\wedge\ldots \wedge \diff x_n =\int_W f(x)\diff^nx =\int_W f\lambda^n$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber die\label{BI11} obere Hemisph"are $H =\{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, \; z > 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. Wir betrachten das offene Rechteck $R = (0,\pi) \times (0,\pi)\subset \DR^2$ und die orientierte Karte $\phi:R\rightarrow H$, $(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, \sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ unserer Kugelkoordinaten aus \eref{KuKo}{AN2}, und erhalten \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta \op{d} ( \cos \vartheta) \wedge \op{d} (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2 \vartheta ( -\sin \vartheta \diff \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos \vartheta \diff \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm] &=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\wedge \diff \varphi \\[2mm] &=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta \diff \varphi \\[2mm] &=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm] &=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta) \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2} \diff \vartheta=\frac{\pi}{4} \end{array} \end{displaymath} Um diese Rechnung zu rechtfertigen, m"ussen wir sie von hinten nach vorne lesen: Der "Ubergang zum Doppelintegral ist erlaubt, da der Integrand nichtnegativ ist und so der positive Fubini greift, der dann hinwiederum erst recht eigentlich die Integrierbarkeit unserer Funktion auf dem Rechteck $R$ und damit die Integrierbarkeit unserer Differentialform auf der Hemisph"are $H$ zeigt. Bei der Rechnung selber ist der erste Schritt "Ubung \ref{I2FF} mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und Differential \eref{VFVD}{AN2}, der zweite die Formel \eref{DiFF}{AN2} f"ur das Differential einer Funktion, der dritte beruht auf dem Alternieren und der Bilinearit"at des Dachprodukts, und der vierte auf Proposition \ref{I2F}. Man h"atte auch mit \ref{I2F} und einer Nebenrechnung direkt die vierte Gleichung erhalten k"onnen, aber das schien es mir weniger "ubersichtlich. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{ASID} Um die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen, erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen orientierten Untermannigfaltigkeit $\vec{M}$ eines reellen Raums $ X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset W$ ein Rechteck und sei $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$ eine stetige relative $2$-Form auf $M$ mit $(\op{supp}\omega) \cap M\subset \varphi(Q)$, wobei der Pfeil "uber dem $X$ den zugeh"origen Richtungsraum meint, der Pfeil "uber dem $M$ dahingegen eine feste gew"ahlte Orientierung andeutet. Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ a = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = b$, $ c = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = d $ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente, bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in $M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform} $S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$ durch die Formel \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm] \noindent Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und $p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Wert von $\omega_{p_{2,0}}$ auf diesem Paar von Vektoren, genommen in einer durch die Orientierung gegebenen Reihenfolge, geht in die Riemannsumme $S_{\vec{M}}^3$ ein. \end{figure} $$S_{\vec{M}}^{r} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0} \omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j} - p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $M$ interpretieren als den Grenzwert $$\int_{\vec{M}} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$$ Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von \eref{RSIn}{AN2} "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter der Voraussetzung einer quadratischen Karte, in Formeln $b-a=d-c$, betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen und die neue Karte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von eben, wenn man nur in jedem Summanden den ersten und den zweiten Eintrag der bilinearen Abbildung $\omega$ vertauscht und das von der negativen Orientierung der Karte herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also $\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Karte dieselben Riemannsummen und dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer alternierenden Form unabh"angig ist von den zur Berechnung gew"ahlten Karten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Integrale von Differentialformen "uber orientierte Untermannigfaltigkeiten eines $\DR^n$ der Dimensionen $0$ oder $1$ bzw.\ der Kodimensionen $0$ oder $1$ werden von den Anwendern oft in anderer Weise interpretiert. Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}] Im Fall einer kompakten nulldimensionalen Mannigfaltigkeit alias einer endlichen Menge\label{DisM} ist das Integral einer Nullform alias Funktion schlicht die Summe der Funktionswerte multipliziert mit den jeweils durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen, in Formeln $$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\op{sgn}(p) f(p)$$ Im nichtkompakten Fall ist unsere Nullform alias Funktion integrierbar genau dann, wenn die Summe ihrer Werte absolut konvergiert, und dann gilt die obige Formel entsprechend. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}] Eine $1$-Form $\omega$\label{Kurv} auf dem $\DR^n$ hat die Gestalt $\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$. Gegeben eine orientierte $1$-Mannigfaltigkeit $K$ verstehen wir ganz allgemein unter einer {\bf orientierten Parametrisierung von}\index{Parametrisierung!orientierte} $K$ eine orientierte Karte $\varphi:W\ra K$ mit dichtem Bild, bei der $W\co\DR$ ein offenes Intervall ist. Ist $M\subset \DR^n$ eine orientierte eindimensionale Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit und $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ ein stetig differenzierbarer Weg, dessen Einschr"ankung auf das offene Intervall $(a,b)$ eine orientierte Parametrisierung von $K$ ist, so f"allt das Integral unserer 1-Form $\omega$ "uber unsere eindimensionale orientierte Mannigfaltigkeit $K$ zusammen mit dem Integral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$ und wird von Anwendern meist geschrieben als das Wegintegral des Vektorfelds $v=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\top$ l"angs $\varphi$, in Formeln $$\int_{\vec{K}} \omega=\int_\varphi \omega =\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b v\cdot\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{HyFl} Der Fall der Integration von Differentialformen "uber Hyperfl"achen ben"otigt von den hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{ONFf} Ist $M\subset \DR^{n+1}$ eine Hyperfl"ache, so gibt es zu jedem Punkt $p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$ von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung $\varepsilon$ die Standardorientierung der angeordneten Basis $N_p,v_1,\ldots,v_n$ des $\DR^{n+1}$ auch $\varepsilon$ ist. Wir erhalten so eine stetige Abbildung $$ \begin{array}{cccc} N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\ &p&\mapsto&N_p \end{array} $$ Man nennt sie das \defnoind{orientierte Normalenfeld}.\index{Normalenfeld!orientiertes} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{VFF} Wir nummerieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich $x_0,x_1,\ldots ,x_n$ und ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine alternierende Multilinearform $\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift $$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})=\op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$ wo rechts die Matrix mit den entsprechenden Spaltenvektoren zu verstehen ist. In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ auf $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen durch das Auswerten an Tupeln der Standardbasis, da"s sie geschrieben werden kann in der Gestalt $$\omega_F = \sum^{n}_{i=0} (-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$ Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$ die $2$-Form $$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$ wobei die unteren Indizes nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden werden d"urfen, sondern vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds meinen, die wir auch h"atten $F_1,F_2,F_3$ notieren k"onnen. Mit diesen ganzen Begriffsbildungen k"onnen wir nun formulieren: \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}] Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache und $F$ ein me"sbares relatives Vektorfeld auf $M$. So ist die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega=\omega_F$ integrierbar "uber $M$ genau dann, wenn das\label{FIF} Skalarprodukt von $F$ mit dem orientierten Normalenfeld integrierbar ist "uber $M$, und in diesem Fall gilt $$\int_{\vec{M}}\omega_F =\int_M\langle F,N \rangle \;\sigma =\int_M F\!\cdot\! N \;\sigma $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{VFDF} Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in der Notation f"ur das Skalarprodukt. Das Integral des Skalarprodukts unseres Vektorfelds $F$ mit dem orientierten Normalenfeld $N$ hei"st der {\bf Flu"s des Vektorfelds $F$ durch die orientierte Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds} Dies Oberfl"achenintegral mag der Anschauung besser zug"anglich sein als unser Integral "uber eine Differentialform. F"ur das explizite Rechnen ist jedoch die Darstellung als Integral einer Differentialform meist g"unstiger, wie etwa Beispiel \ref{BI11} illustriert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es eine positiv orientierte bijektive Karte $\varphi:W\sira M$ gibt. Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in der Form $p\mapsto F_p$, wo der Index ungl"ucklicherweise eine v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}. Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen und einen tangentialen Anteil als $F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit $R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und finden f"ur alle $x\in W$ $$ \begin{array}{ccl} (\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=& \omega_{\varphi(x)}(\diff_x\varphi(\op{e}_1), \ldots,\diff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm] &=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{det}(N_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm] &=& \langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle \op{vol}(\diff_x\varphi) \end{array}$$ wo in der zweiten Zeile die quadratische Matrix gemeint ist, die aus der Jacobi-Matrix zu $\diff_x\varphi$ entsteht durch Anf"ugen von $F_{\varphi(x)}$ als erster Spalte. Die Gleichheit der beiden Integrale folgt nun aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11} also auch als den Flu"s durch die obere Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen, wie wir in \ref{FIF} im allgemeinen zeigen werden. In der Notation von dort h"atten wir etwa \begin{equation*} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_H (x^2 \op{e}_3 \cdot N) \sigma \end{equation*} Hier meint $\sigma$ das Oberfl"achenma"s der Einheitssph"are und $N$ das \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\ nach \ref{ONFf} ist. Zur Probe rechne ich hier die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin \vartheta$ ist. Um nach dem Oberfl"achenma"s zu integrieren, gilt es die Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \diff \phi &=& \begin{pmatrix} -\sin \varphi &0\\ \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\ \sin \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} (\diff \phi)^\top \diff \phi &=& \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \sin^2 \varphi \end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin \varphi$ landen wie in \ref{BI11}. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$ durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl versehen m"ogen. \end{Ubung} \subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Vektorraum $V$ definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung $$\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$$ durch die Vorschrift $$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef \sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots, v_{k})$$ Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\ "uber $v_i$ wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag beim entsprechenden Summanden auszulassen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall, und nur auf den kommt es uns hier an, auch verstehen als die Komposition $$\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes\op{Alt}^{k}V \stackrel{\wedge}{\ra} \op{Alt}^{k+1}V$$ des Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkunge} % Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen % unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall % unter den in \eref{ddp}{LA2} gegebenen Identifikationen % $\bigwedge^k(V^\ast)\sira \op{Alt}^{k}V$ verstehen als die Komposition % $\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes % \bigwedge^k(V^\ast)\stackrel{\wedge}{\ra} \bigwedge^{k+1}(V^\ast)$ des % Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus % \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt. % \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{SDiD} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Eine Differentialform $\omega \in \Omega^{k}(A)$ hei"st {\bf differenzierbar} bzw. {\bf stetig differenzierbar} genau dann, wenn sie als Abbildung $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ von der halboffenen Teilmenge $A$ des endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$ differenzierbar ist im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} bzw. stetig differenzierbar im Sinne von \eref{SDi}{AN2}, wenn also ihr Differential auch stetig ist als Abbildung $A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch $x\mapsto \diff_x\omega$. \end{Definition} \begin{Definition}\label{daAb} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben $\omega \in \Omega^{k}(A)$ eine differenzierbare $k$-Form erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form $d \omega \in \Omega^{k+1}(A)$ durch die Vorschrift $$(d\omega)_x\pdef\op{alt}(\op{d}_{x}\!\omega)$$ wo $\op{d}_{x}\!\omega : V \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ das Differential im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} unserer Form $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ an einer Stelle $x \in A$ meint. Wir nennen $d\omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$. Den Unterschied zwischen $\op{d}\!\omega$ und ${d}\omega$ bringen wir nur durch die Wahl der Schriftart zum Ausdruck. Eine Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet, hei"st {\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen. Gegeben $\omega \in \Omega^{1}(A)$ ein differenzierbares Kovektorfeld ist $\omega$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne genau dann, wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \eref{gesch}{AN2}, wenn also das Wegintegral von $\omega$ "uber einen geschlossenen in $A$ zusammenziehbaren Weg stets verschwindet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}] Um uns die "au"sere Ableitung $d\omega$ zu veranschaulichen, erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir dann\label{AAAb} statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren "au"sere Ableitung $(df)_x$ ist schlicht das Differential $\op{d}_{x}\!f$ bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl $$(df)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet. Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ kann seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_{x}$ bei $x$ analog dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}\\[4mm] \noindent Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus "Ubung \ref{AAAb}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner. \end{Bild} $$(d\omega)_{x}(\vec{v},\vec{w}) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg, der einmal das Parallelogramm mit einer Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear l"auft erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$, von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \eref{IHTj}{AN2} gezeigt. Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir $$(d\omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ wobei wir uns $F$, zumindest f"ur $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$ linear unabh"angig, als die in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$ denken d"urfen, "uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren k"onnen, wenn wir etwas Mut beweisen und beim Integrieren von den Kanten einmal absehen. Es mag eine gute "Ubung sein, etwa f"ur die zweite Aussage auch einmal einen Beweis auszuschreiben. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Man mag sich $\op{d}_{x}\!\omega$ veranschaulichen als eine % Abbildung, die $k+1$ Richtungsvektoren $v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}$ bei $x$ % eine Zahl % zuordnet wie folgt: Man setzt alle Vektoren au"ser $v_1$ % der Reihe nach in % $\omega$ ein und bildet die Richtungsableitung der so entstehenden % reellwertigen Funktion bei $x$ in Richtung von $v_1$. % Unser $(d\omega)_x$ ist der \glqq schiefsymmetrische Anteil\grqq\ dieser % multilinearen Abbildung, in Formeln % $$(d\omega)_x(v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}) % =\frac{1}{(k+1)!}\sum_{\sigma\in\cal{S}_{k+1}} % (\op{sgn} \sigma)\;(\op{d}_{x}\!\omega) % (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k+1)})$$ % Mir selbst hilft jedoch diese Anschauung nicht wirklich weiter. % In Spezialf"allen werden wir in \ref{WueG} und Folgende sehen, in % welcher Weise unsere "au"sere Ableitung % von Differentialformen die Begriffsbildungen % Gradient, Divergenz und Rotation beinhaltet, die ja % zum Gl"uck der Anschauung noch recht gut zug"anglich sind. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{dDd} Offensichtlich ist die Zuordnung $\omega\mapsto d\omega$ linear und f"ur Nullformen alias Funktionen $f$ gilt $df=\diff f$. Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A\subset X$ halboffen, $\omega_\circ \in\op{Alt}^{k}\vec{X}$ eine konstante $k$-Form und $f:A\ra \DR$ differenzierbar, so behaupten wir die Formel $$d(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$ Leser mit entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra erkennen das auf einen Blick, die anderen m"ussen dumpf rechnen, k"onnen dann aber die Formel zumindest verifizieren. Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt $\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ insbesondere ihre "au"sere Ableitung $d \omega $ gegeben durch die Vorschrift $$d \omega = \sum \diff a_{I} \wedge \diff x_{I}$$ Das folgt auch formal aus den allgemeineren Aussagen, die in den drei anschlie"senden Lemmata formuliert werden. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{LRR} Sind $\omega$ und $\eta$ differenzierbare Differentialformen auf einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, so gilt f"ur ihr Produkt die \emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur Differentialformen} $$d(\omega \wedge \eta)= (d\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|} \omega \wedge d\eta$$ \end{Lemma} \begin{Lemma}\label{dd} Sei $\omega$ eine Differentialform auf einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums. Ist $\omega$ stetig differenzierbar und $d\omega$ auch stetig differenzierbar, so gilt $$d(d\omega)= 0$$ \end{Lemma} \begin{Lemma}\label{zh} $\cal{C}^2$-verwandte Differentialformen haben verwandte "au"sere Ableitungen. Ist genauer und in Formeln $\phi:A\ra B$ eine $\cal{C}^2$-Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume und $\omega$ eine differenzierbare Differentialform auf $B$, so gilt $$d(\phi^{\ast}\omega) = \phi^{\ast}(d\omega)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wie Sie noch sehen werden, erlauben diese Formeln ein au"serordentlich elegantes Rechnen mit Differentialformen. Dieser Formalismus geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. Die Vertr"aglichkeit des "au"seren Differentials mit Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen Koordinatensystemen so einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft der bequemste Weg ist, sie auf diesen Formalismus zur"uckzuf"uhren. Als Beispiel bespreche ich die Umrechnung des Laplace-Operators in krummlinige Koordinaten in \ref{LAKo} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen Multilinearformen}] Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen \eref{stddn}{AN2} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei vorhergehenden Lemmata in dieser analogen Situation falsch. Etwas vage gesprochen folgen unsere drei Lemmata aus den Zusammenspiel zwischen dem Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren aus der Definition der "au"seren Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{zHH} Man kann diese drei Lemmata durch explizite Rechnung in Koordinaten der Reihe nach beweisen. Mir schien jedoch ein anderes Vorgehen "ubersichtlicher, bei dem im Anschlu"s an einen Beweis des ersten Lemmas die beiden anderen in einer Art Kaminkletterei abwechselnd in wachsender Allgemeinheit gezeigt werden. Die letzte Regel \ref{zh} k"onnen wir auch $\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:d\eta\leadsto d\omega$ schreiben. Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} bildlich klarzumachen. Die Regel $dd\omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen im Lichte unserer Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen, da das Integral des Differentials einer Funktion "uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet. F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $dd\omega=0$ zumindest aus dem Stokes'schen Satz mit Ecken \ref{ASIE} heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $d\omega$ "uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann, und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm] \noindent Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit zwischen der "au"seren Ableitung und dem Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen Parallelogrammweg links approximiert $(d(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$. Es stimmt nach \eref{TfW}{AN2} "uberein mit dem Wegintegral des Kovektorfelds $\omega$ "uber seinen Bildweg rechts, eingezeichnet als durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken. Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen gestrichelten Parallelogrammweg rechts $(d\omega)_{\phi (p)}(\diff_p\phi(\vec{v}),\diff_p\phi(\vec{w}))$. Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert $t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur, da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter Ordnung verschwindet. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis von \ref{LRR}] Wir k"onnen $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen der Gestalt $a\omega_{\circ}$, $b\eta_{\circ}$ mit $\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$ konstant und $a,b$ differenzierbaren Funktionen. Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = a\omega_{\circ}$, $\eta = b \eta_{\circ}$ zu pr"ufen. Im Fall von Funktionen liefert die Produktregel, wie bereits in \eref{DiFF}{AN2} erw"ahnt, unmittelbar $d(ab)=(d a) b + a (db)$. Dann gilt nach \ref{dDd} aber $d\omega = d a \wedge \omega_{\circ}$, $d\eta = d b \wedge \eta_{\circ}$ und damit $d (\omega \wedge \eta)= ((d a) b + a (db)) \omega_{\circ} \wedge \eta_{\circ}$. Da zus"atzlich gilt $db\wedge \omega_{\circ} = (-1)^{|\omega|} \omega_{\circ} \wedge db$, folgt die Leibniz-Regel. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Fall $X=\DR^n$] F"ur eine Nullform alias eine Funktion $\omega=a$ auf einer offenen Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ k"onnen wir ganz explizit rechnen $$\begin{array}{rcl} d a &=& \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial a}{\partial x_{i}} dx_{i}\\[2mm] dda & =& \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{j}\partial x_{i}}dx_{j}\wedge dx_{i}\\[2mm] &=& \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}a}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right) dx_{j} \wedge dx_{i} \\[2mm] & =& 0 \end{array}$$ wo wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen \eref{VPAb}{AN2} verwendet haben, die hinwiederum aus der Annahme der Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} a_{I}dx_{I}$, erhalten wir damit sofort $d(d\omega)= \sum d(da_{I}) \wedge dx_{I} = 0$. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer \emph{halb}offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus der Stetigkeit von $d(d\omega)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zh} f"ur $\phi$ affin] Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \eref{VFVD}{AN2}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ und $\phi$ affin ist nat"urlich $\phi^{\ast}\omega_\circ$ auch eine konstante $1$-Form, mithin gilt wie gew"unscht $ d(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (d\omega_\circ)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Allgemeinen] Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ ein Isomorphismus von affinen R"aumen, so folgt $\phi^{\ast} (dd\omega) = dd (\phi^\ast{\omega}) = 0$ und mithin $dd \omega =0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zh} im Allgemeinen] Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also, unsere Formel f"ur Funktionen alias Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen. Der Fall von Funktionen ist \eref{VFVD}{AN2}. F"ur eine konstante $1$-Form $\omega_\circ$ und $\phi$ beliebig haben wir hinwiederum $\omega_{\circ}=d a$ f"ur eine geeignete Funktion $a$, genauer f"ur jede affine Abbildung $a$ von unserem affinen Raum nach $\DR$ mit linearem Anteil $\vec{a}=\omega_\circ$, und damit ergibt sich $d\phi^{\ast}\omega_{\circ} = d\phi^{\ast} da = dd \phi^{\ast}a =0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} d\omega_{\circ}$, wo wir im mittleren Schritt verwenden, da"s uns die Regel $\phi^{\ast} da = d \phi^{\ast}a$ f"ur Funktionen $a$ ja bereits aus \eref{VFVD}{AN2} zur Verf"ugung steht. \end{proof} \begin{Ubung} Pr"ufen Sie f"ur die Differentialform $x^2dx\wedge dy-4\op{e}^ydx\wedge dz$, da"s erst die "au"sere Ableitung bilden und dann auf Kugelkoordinaten "ubergehen dasselbe Resultat liefert wie erst auf Kugelkoordinaten "ubergehen und dann die "au"sere Ableitung bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeigen Sie, da"s f"ur eine stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ auf dem $\DR^3$ mit $k\geq 1$ die Bedingung $d\omega=0$ gleichbedeutend ist zur Bedingung, da"s es eine stetig differenzierbare $(k-1)$-Form $\eta$ auf dem $\DR^3$ gibt mit $\omega=d\eta$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Bezeichnen wir die Koordinaten des $\DR^4$ mit $x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ eine allgemeine glatte $2$-Form \begin{eqnarray*} F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\ & &+ B^1 dy \wedge dz + B^2 dz \wedge dx + B^3 dx \wedge dy \end{eqnarray*} So ist die Gleichung $dF=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen $$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad \op{rot} E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$ f"ur $\op{rot}$ der Rotation wie in \eref{sr}{AN2} und $\op{div} B$ der \glqq Divergenz\grqq\ alias der Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$ wie in \ref{SvG}. Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen f"ur $H=cB$ die beiden ersten Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum. Der Formalismus der Verwandtschaft von Differentialformen sagt uns dann, in welcher Weise solch ein elektromagnetisches Feld $F$ in anderen Koordinaten geschrieben werden mu"s, und da"s zumindest die beiden ersten Maxwell'schen Gleichungen nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen. Wie man sogar alle vier Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann, wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. \end{Ubunge} \subsection{Berandete Untermannigfaltigkeiten}\label{rEMF} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Wir werden im folgenden Gebilde betrachten wollen wie etwa die Halbkugelschale mit "Aquator $$\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2+z^2=1,\; z\geq 0\}$$ Das ist im Sinne unserer Definition \eref{MFoR}{AN2} keine Untermannigfaltigkeit des $\DR^3$, da wir um Punkte auf dem "Aquator keine Pl"attung im dort erkl"arten Sinne finden k"onnen. Derartige Gebilde sind aber gerade besonders wichtig f"ur die Formulierung h"oherdimensionaler Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, weshalb wir sie nun auch in unseren allgemeinen begrifflichen Rahmen aufnehmen und dazu den Begriff einer \glqq berandeten Untermannigfaltigkeit\grqq\ einf"uhren. Im selben Schritt diskutieren wir auch die in diesem Zusammenhang ben"otigten st"arkeren Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an Mannigfaltigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{MFR} Sei $X$ ein reeller Raum endlicher Dimension und seien $k\geq 1$ und $1\leq l\leq \infty$ gegeben. Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine {\bf $k$-dimensionale berandete ${\cal{C}}^l$-Unterman\-nig\-faltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!berandete Untermannigfaltigkeit von affinem Raum} oder kurz {\bf berandete Untermannigfaltigkeit} von $X$ genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein Paar $(U,g)$ gibt aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $p$ und einem ${\cal{C}}^l$-Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ von $U$ auf eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$ derart, da"s gilt: \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCRT}\\[4mm] \noindent Eine zweidimensionale berandete Untermannigfaltigkeit der Papierebene mit Pl"attungen um zwei ausgew"ahlte Punkte. \end{Bild} $$ g(U\cap M)=g(U) \cap (\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0) $$ Ein derartiges Paar $(U,g)$ nenne ich eine {\bf Pl"attung als berandete ${\cal{C}}^l$-Unterman\-nigfaltigkeit} oder kurz \defind{Randpl"attung} von $M$ um $p$. Im Fall $k=0$ vereinbaren wir, da"s eine berandete Untermannigfaltigkeit der Dimension Null dasselbe sein soll wie % eine Untermannigfaltigkeit der Dimension Null, % als da hei"st eine diskrete Teilmenge. Statt ${\cal{C}}^\infty$ sagt man auch oft \defind{glatt}. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von berandeten Untermannigfaltigkeiten, so sind im Zweifelsfall stets glatte berandete Untermannigfaltigkeiten gemeint. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Randpl"attung darf nat"urlich auch in $\DR_{< 0}\times\Bbb{R}^{n-1}$ landen und ist dann sogar eine Pl"attung als Untermannigfaltigkeit im Sinne unserer Definition \eref{MFoR}{AN2}. Jede $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit im Sinne unserer Definition \eref{MFoR}{AN2} ist insbesondere auch eine berandete $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit im Sinne von \ref{MFR}: Haben wir in der Tat im Fall $k\geq 1$ eine Pl"attung $(U,g)$ als $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit um einen Punkt $p$, so finden wir durch Verschieben auch eine Pl"attung als Untermannigfaltigkeit $(U,h)$, unter der $p$ auf einen Punkt mit negativer erster Koordinate abgebildet wird, und verkleinern wir dann $U$ zu $V=h^{-1}(\DR_{<0}\times \DR^{n-1})$, so ist $(V,h)$ eine Randpl"attung um $p$. Ich finde die Terminologie insofern unbefriedigend, als der Zusatz \glqq berandet\grqq\ den Begriff einer Untermannigfaltigkeit erweitert, anstatt ihn einzuschr"anken. % sondern ihn vielmehr % unsere berandeten $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten % im Sinne der vorhergehenden Definition % keineswegs % spezielle $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne % unserer Definition % \ref{MFoR} sind, sondern gerade % umgekehrt unsere $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne von % \ref{MFoR} spezielle berandete $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten % im Sinne der vorhergehenden Definition. Wir werden in \ref{RaPu} den \glqq Rand\grqq\ von berandeten Untermannigfaltigkeiten definieren und aus \ref{RanM} wird folgen, da"s berandete $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten mit leerem Rand in der Tat dasselbe sind wie unsere $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne von \eref{MFoR}{AN2}. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir Untermannigfaltigkeiten im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} meinen, sprechen wir folgerichtig von {\bf Untermannigfaltigkeiten ohne Rand}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Statt wie wir mit $(\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$ arbeiten viele Autoren mit $(\Bbb{R}^{k-1}\times\DR_{\geq 0}\times 0)$. Das liefert eine "aquivalente Definition, die sich jedoch im weiteren Verlauf deshalb als weniger geeignet erweist, da sie zu mehr Vorzeichen f"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine berandete $\mathcal C^l$-Untermannigfaltigkeit der Kodimension Null in einem endlichdimensionalen\label{Randt} reellen Raum hei"st auch eine {\bf $\mathcal C^l$-berandete Teilmenge}. Unser Bild von eben stellt zum Beispiel eine glatt berandete Teilmenge der Papierebene dar. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Alle echten Intervalle in $\DR$ sind glatt berandete Teilmengen. Die abgeschlossene Vollkugel $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\leq 1\}$ ist eine glatt berandete Teilmenge des $\DR^3$. \end{Beispiele} \begin{Definition}\label{RaPu} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Ein Punkt einer berandeten Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ positiver Dimension $k\geq 1$, der unter mindestens einer Randpl"attung nach $0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$ abgebildet wird, hei"st ein {\bf Randpunkt} unserer berandeten Untermannigfaltigkeit. Man beachte, da"s die linke Null hier die $0\in\DR_{\leq 0}\subset\DR$ ist, die rechte Null jedoch der Ursprung $0\in \DR^{n-k}$. Die Menge aller Randpunkte von $M$ notieren wir $\partial M$\index{d@$\partial M$ Rand!der berandeten Untermannigfaltigkeit $M$} und nennen sie den {\bf Rand von $M$}.\index{Rand!einer berandeten Untermannigfaltigkeit} F"ur Untermannigfaltigkeiten $M$ der Dimension $k=0$ vereinbaren wir $\partial M=\emptyset$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Das Symbol $\partial$ ist ein griechisches\label{BeDe} $d$. Die Notation $\partial M$ f"ur den Rand ist wohl darauf zur"uckzuf"uhren, da"s sich das Bilden des Randes nach dem Satz von Stokes \ref{ASI} als eine in gewisser Weise \glqq duale Operation\grqq\ zum Differenzieren auffassen l"a"st und in jedem Falle dazu eng verwandt ist. Der eben erkl"arte Begriff von Rand f"allt im Fall von glatt berandeten Teilmengen mit dem in der Topologie verwendeten Begriff von Rand \eref{RaTo}{TS} zusammen, ist im allgemeinen aber davon verschieden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das folgende Lemma \ref{RanM} zeigt, da"s ein Randpunkt unter jeder Randpl"attung nach $0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$ abgebildet wird, da"s es also um einen Randpunkt keine Pl"attung im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} geben kann. Insbesondere sind unsere $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} genau unsere berandeten $\mathcal C^1$-Unter\-mannigfaltigkeiten im Sinne von \ref{MFR} mit leerem Rand im Sinne der vorhergehenden Definition \ref{RaPu}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Randmannigfaltigkeit}] Ist $M$ eine berandete Untermannigfaltigkeit\label{RanM} positiver Dimension $k\geq 1$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum und $(U,g)$ eine Randpl"attung von $M$, so gilt $g(U\cap \partial M) =g(U)\cap (0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$. Insbesondere ist der Rand $\partial M$ einer berandeten Untermannigfaltigkeit der Dimension $k\geq 1$ stets eine Untermannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension $(k-1)$. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben ein Randpunkt $p\in U\cap\partial M$ gibt es per definitionem eine Randpl"attung $(V,h)$ von $M$ um $p$ mit $h(p)\in 0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $U=V$ annehmen. Dann ist also $h\circ g^{-1}$ ein Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen $g(U),h(U)$ des $\DR^n$, der die jeweiligen Schnitte $G,H$ besagter Teilmengen mit $(\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0 )$ miteinander identifiziert. Mithin definiert $\varphi=h^{-1}\circ g$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit stetig differenzierbarer Umkehrung zwischen diesen Schnitten $\varphi:H\sira G, $ die ja halboffen sind in $\Bbb{R}^{k}\times 0 $. Die Komplemente $H^\circ, G^\circ$ von $(0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0 )$ in $H,G$ sind dann die gr"o"sten in $\Bbb{R}^{k}\times 0 $ offenen Teilmengen von $H,G$ und aus dem Satz "uber die Umkehrabbildung \eref{UKA}{AN2} folgt $\varphi(H^\circ)=G^\circ$. Also mu"s unsere Abbildung auch die Schnitte beider Mengen mit $ (0 \times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$ identifizieren. \end{proof} \begin{Beispiele} Der einzige Randpunkt der glatt berandeten Teilmenge $[a,b)\subset\DR$ ist $a$. Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in der Ebene ist auch als Teilmenge des Raums aufgefa"st eine zweidimensionale berandete Untermannigfaltigkeit mit dem Einheitskreis als Rand. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{GlMgf} Eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums ist in der Zusammenschau der vorhergehenden Definitionen also eine {\bf{$\cal{C}^l$}-Untermannig\-fal\-tig\-keit ohne Rand} oder kurz {\bf{$\cal{C}^l$}-Untermannig\-fal\-tig\-keit} \index{Untermannigfaltigkeit! der Klasse $\cal{C}^{l}$, von affinem Raum} f"ur $1\leq l\leq\infty$ genau dann, wenn es um jeden Punkt unserer Teilmenge eine Pl"attung im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} gibt, die sogar ein $\cal{C}^l$-Diffeomorphismus ist. Eine {\bf{$\cal{C}^\infty$}-Untermannigfaltig\-keit} nennen wir auch eine {\bf glatte Untermannigfaltigkeit}. \index{Untermannigfaltigkeit! glatte, von affinem Raum}\index{glatt!Untermannigfaltigkeit!von affinem Raum} Die Beschreibungen \eref{MN}{AN2} und \eref{KKR}{AN2} von Untermannigfaltigkeiten als Urbilder bzw.\, als Bilder gelten analog, wenn man an den entsprechenden Stellen die Bedingung \glqq stetig differenzierbar\grqq\ zur Bedingung \glqq von der Klasse $\cal{C}^l$\grqq\ verst"arkt. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von Untermannigfaltigkeiten, so sind im Zweifelsfall stets glatte Untermannigfaltigkeiten ohne Rand gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Berandete Untermannigfaltigkeiten als Bilder}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler\label{KKRr} reeller Raum der Dimension $\dim_{\Bbb{R}} X =n$ und $k\geq 1$. Eine Teilmenge $M \subset X$ ist eine $k$-dimensionale berandete $\cal C^l$-Untermannigfal\-tig\-keit genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine $\cal C^l$-Abbildung $\varphi : W \ra X$ von einer offenen Teilmenge $W \co (\DR_{\leq 0}\times \Bbb{R}^{k-1})$ nach $X$ gibt derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $\varphi (W)$ ist offen in $M$ und enth"alt $p$; \item $\diff _{x} \varphi$ ist injektiv f"ur alle $x\in W$; \item $\varphi$ ist injektiv und $\varphi^{-1}:\varphi (W) \ra W$ ist stetig. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein Paar $(W,\varphi)$ wie in der Proposition nenne ich eine {\bf Randkarte}\index{Randkarte} der berandeten Untermannigfaltigkeit $M$, obwohl $\varphi (W)$ den Rand von $M$ keineswegs treffen mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Mutatis mutandis derselbe Beweis wie im randlosen Fall, den wir in \eref{KKR}{AN2} behandelt haben. "Ubung \eref{FC1}{AN2} mag auch helfen. \end{proof} \begin{Definition} Sind $( W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$ Randkarten einer berandeten Untermannigfaltigkeit $M$, so setzen wir $W_{\al\beta} = \varphi^{-1}_{\al}( \varphi_{\beta} (W_{\beta}))$ und nennen die Abbildung $$\varphi_{\beta\al} = \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} : W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$$ den {\bf Kartenwechsel}\index{Kartenwechsel} zwischen unseren beiden Randkarten. \end{Definition} \begin{Lemma} Kartenwechsel zwischen Randkarten sind stets \hyperref[DefDif]{Diffeo\-mor\-phis\-men}. Ist dar"uberhinaus $(W,\varphi)$ Randkarte\label{KaWer} einer berandeten Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ positiver Dimension $k\geq 1$, so gilt stets $\varphi^{-1}(\partial M)= W \cap (0\times \Bbb{R}^{k-1} ) $. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Mutatis mutandis derselbe wie der Beweis von \eref{KaWe}{AN2}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Genau wie in \ref{OFLM} erkl"art man auch das Fl"achenma"s einer berandeten Untermannigfaltigkeit eines $\DR^n$ und zeigt, da"s es ein Borelma"s ist, f"ur das Untermannigfaltigkeiten kleinerer Dimension Nullmengen sind. Das kann insofern n"utzlich sein, als man so Endlichkeitsaussagen erh"alt: Ist zum Beispiel $M$ eine kompakte berandete Mannigfaltigkeit, so hat $M$ und damit dann auch $M\backslash \partial M$ endliches Fl"achenma"s. Genau wie in \ref{DDfm} erkl"art man weiter f"ur eine me"sbare relative $k$-Form $\omega$ auf einer berandeten Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums das zugeh"orige Ma"s $|\omega|$, zeigt, da"s Untermannigfaltigkeiten kleinerer Dimension Nullmengen sind, und da"s f"ur stetiges $\omega$ das zugeh"orige Ma"s $|\omega|$ ein Borelma"s ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Vollst"andig analog wie im randlosen Fall erkl"art man, was eine {\bf Orientierung} einer berandeten Mannigfaltigkeit sein soll und wie $k$-Formen "uber berandete orientierte Mannigfaltigkeiten zu integrieren sind. Das ist aber fast "uberfl"ussig, da beim Integrieren der Rand eh nichts zum Integral beitr"agt und h"ochstens beim Nachweis der Integrierbarkeit helfen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{I1Ma} Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine $\cal C^l$-Injektion mit nirgends verschwindendem Differential, die einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild induziert. Aus \ref{KKRr} folgt leicht, da"s dann das Bild von $\varphi$ eine eindimensionale berandete $\cal C^l$-Mannigfaltigkeit $M$ ist, und diese $1$-Mannigfaltigkeit besitzt genau eine Orientierung, f"ur die $\varphi|_{(a,b)}$ eine orientierte Karte ist. Unsere Begriffe sind nun gerade so erkl"art, da"s in diesem Fall f"ur jede stetige relative $1$-Form $\omega$ auf $M$ ihr Integral "uber $M$ "ubereinstimmt mit ihrem Wegintegral "uber $\varphi$, in Formeln $$\int_{\vec{M}}\omega=\int_\varphi \omega$$ \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{RaKa} Gegeben eine Randkarte $(W,\varphi)$ einer berandeten $(k+1)$-Man\-nigfaltigkeit $M$ definieren wir die {\bf induzierte Karte $(\bar{W},\bar{\varphi})$ des Randes} $\partial M$ durch die Vorschrift\index{Karte!auf dem Rand induzierte} $$(\bar{W},\bar{\varphi})\pdef(i^{-1}(W),\varphi\circ i)$$ mit $i:\DR^k\ra \DR_{\leq 0}\times \DR^{k}$ der Einbettung $x\mapsto (0,x)$. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{InOr} Gegeben eine orientierte berandete $(k+1)$-Mannigfaltigkeit $M$ gibt es genau eine Orientierung ihres Randes $\partial M$ derart, da"s f"ur jede Randkarte der Orientierung $\varepsilon$ auch die induzierte Karte des Randes die Orientierung $\varepsilon$ hat. Wir nennen sie die \emph{\bf induzierte Orientierung\index{induzierte Orientierung} des Randes}. \end{Lemma} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BilderR}\\[4mm] \noindent Eine orientierte berandete zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit der induzierten Orientierung auf ihrem Rand und einer Randkarte \end{figure} \begin{proof} Seien $(W_\alpha,\varphi_\alpha)$ und $(W_\beta,\varphi_\beta)$ zwei Randkarten von $M$. Der Kartenwechsel $\varphi_{\beta\al} : W_{\al\beta}\sira W_{\beta\al}$ identifiziert $W_{\al\beta} \cap (0\times \DR^{k})$ mit ${W}_{\beta\al} \cap (0\times \DR^{k})$ und kann dort durch den Kartenwechsel $\bar{\varphi}_{\beta\al}$ der auf dem Rand induzierten Karten ausgedr"uckt werden als $\op{id}_0\times{\bar\varphi}_{\beta\al}$. Gegeben $y \in \bar{W}_{\al}\cap \bar{W}_{\beta} $ hat die Jacobi-Matrix $\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta,\al}$ des Kartenwechsels die Gestalt $$\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta\al} = \left( \begin{array}{c|c}\displaystyle \frac{\partial (\varphi_{\beta\al})_1}{\partial x_{1}}(0,y)& \ast \\[3mm] \hline 0 & \diff_{y}\bar{\varphi}_{\beta\al} \end{array} \right) $$ und ihr Eintrag oben links alias die partielle Ableitung in $(0,y)$ der ersten Komponente des Kartenwechsels nach der ersten Variablen ist offensichtlich nicht negativ. Mithin hat in jedem Randpunkt die Funktionaldeterminante eines Kartenwechsels zweier Randkarten von $M$ dasselbe Vorzeichen wie die Funktionaldeterminante des Kartenwechsels der auf dem Rand induzierten Karten. \end{proof} \begin{Beispiel}\label{O1R} Im Fall der in \ref{I1Ma} besprochenen berandeten orientierten $1$-Mannigfaltigkeit $M=\varphi([a,b])$ besteht der Rand aus den beiden Punkten $\partial M=\{\varphi(a), \varphi(b)\}$ und die induzierte Orientierung gibt dem Ersten dieser Punkte eine negatives Vorzeichen und dem Zweiten ein positives. Im h"oherdimensionalen Fall bedeutet unsere Definition anschaulich, da"s die orientierten Basen der Tangentialr"aume des Randes diejenigen angeordneten Basen sind, die orientierte Basen der Tangentialr"aume der Mannigfaltigkeit liefern, wenn man noch einen Vektor davorschreibt, der tangential an die Mannigfaltigkeit ist und an unserem Randpunkt \glqq aus der Mannigfaltigkeit heraus zeigt\grqq. Ist speziell $M=\partial K$ der Rand einer glatt berandeten Teilmenge $K$ mit der von einer Orientierung des umgebendem Raums induzierten Orientierung, so nennt man das orientierte Normalenfeld auch das {\bf "au"sere Normalenfeld}\index{"au"seres Normalenfeld}, da dann anschaulich gesprochen $N_p$ stets \glqq aus $K$ heraus zeigt\grqq. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $X$ und $Y$ endlichdi\-mensionale reelle R"aume, $U\co X$ eine offene Teilmenge und $f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit "uberall surjektivem Differential. So ist f"ur jede berandete Untermannigfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=f^{-1}(C)$ eine berandete Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$ mit Rand $\partial M=f^{-1}(\partial C)$. Man erkennt so zum Beispiel, da"s alle Vollkugeln berandete Untermannigfaltigkeiten sind. Hinweis: \eref{MN}{AN2} und \eref{UBOR}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{ORF} Jede Orientierung des Komplements des Randes in einer Mannigfaltigkeit l"a"st sich eindeutig zu einer Orientierung der ganzen Mannigfaltigkeit fortsetzen. \end{Ubunge} \subsection{Der Satz von Stokes} \begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz}]\label{ASI} \index{Stokes!Integralsatz von!allgemeiner} Sei $M$ eine kompakte orientierte berandete glatte Untermannig\-fal\-tig\-keit der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen Raum und sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer offenen Teilmenge unseres Raums, die $M$ umfa"st. Versehen wir den Rand $\partial M$ von $M$ mit der induzierten Orientierung, so gilt $$\int_{\vec{M}} d\omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$ \end{Satz} \begin{Bild} %\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BidStA}\\[4mm] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSta}\\[4mm] \noindent Illustration zum Stokes'schen Satz. Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ erinnern wir uns dazu daran, da"s nach \ref{AAAb} seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_p(\vec{v},\vec{w})$ ausgewertet auf Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ eine Approximation des Wegintegrals von $\omega$ "uber den Rundweg von $p$ erst nach $p+\vec{v}$, dann weiter nach $p+\vec{v}+\vec{w}$, von dort nach $p+\vec{w}$ und zur"uck nach $p$ ist. Es sollte nun anschaulich klar sein, da"s die Summe "uber viele derartige kleine Rundwegsintegrale das Randintegral "uber den ganzen Bereich approximiert. Der Satz von Stokes formalisiert diese Anschauung. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{M"ogliche Abschw"achungen der Voraussetzungen}] Der Beweis wird zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit unserer Mannigfaltigkeit schw"acher nur vorauszusetzen brauchen, da"s der Tr"ager der Differentialform unsere Mannigfaltigkeit in einem Kompaktum trifft. Weiter reicht es anzunehmen, da"s unsere Differentialform auf einer halboffenen Menge definiert ist, die unsere Mannigfaltigkeit umfa"st, und statt der Bedingung $\cal{C}^\infty$ an unsere Mannigfaltigkeit $M$ reicht auch die Bedingung $\cal{C}^2$. Schlie"slich erkl"aren wir in \ref{ASIE} noch eine Version f"ur \glqq Mannigfaltigkeiten mit Ecken\grqq, die f"ur die im \glqq wirklichen Leben\grqq\ auftretenden Situationen besonders relevant ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Konkrete Spezialf"alle des vorhergehenden Satzes werden ab \ref{WueG} diskutiert. Bereits hier sei bemerkt, da"s f"ur eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand alias mit leerem Rand das Integral auf der linken Seite verschwinden mu"s, in Formeln $\partial M=\emptyset\;\RA \;\int_{\vec{M}} d\omega =0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Varianten f"ur abstrakte Mannigfaltigkeiten}] Sp"ater werden wir lernen, was eine \glqq abstrakte Mannigfaltigkeit\grqq\ und eine \glqq Differentialform auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit\grqq\ ist und wie man solche Differentialformen ableitet und $k$-Formen "uber orientierte $k$-Mannig\-fal\-tigkeiten integriert. In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe Formel f"ur eine beliebige stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ mit kompaktem Tr"ager auf einer beliebigen orientierten $(k+1)$-Mannigfaltigkeit $M$. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Stokes im Fall einer Flu"sdichte}] Sei $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und $K\subset X$ eine kompakte orientierte dreidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand alias ein K"orper wie etwa eine massive Kugel oder ein massiver Eisenring, den wir uns aber nur als wohlbestimmte Region in $X$ denken, die durchaus von Gas durchstr"omt wird. Der Rand $\partial K$ ist dann eine Fl"ache, etwa eine Kugelschale oder die Oberfl"ache unseres Rings. Sei nun $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}. Nach \ref{Fluddd} beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $\partial K$ die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fl"ache $\partial K$ hindurchtritt. Nach \ref{AAAb} beschreibt die $3$-Form $d\omega$ an jeder Stelle f"ur je drei kleine Vektoren die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus dem entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses einstr"omt, je nach Vorzeichen. Nach \ref{Fluddd} beschreibt das Integral "uber $K$ dieser $3$-Form die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus der Region $K$ entweicht oder in diese einstr"omt, je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt dann schlicht, da"s diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall durch die Oberfl"ache $\partial K$ hindurchtritt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}] Jedes mehrpunktige kompakte reelle Intervall $M=[a,b]$ ist eine eindimensionale\label{SHS} berandete Untermannig\-fal\-tig\-keit von $\DR$ und erbt von $\DR$ eine Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit $\partial M = \{a,b\}$ und die induzierte Orientierung darauf gibt dem Punkt $a$ das Vorzeichen $-1$ und dem Punkt $b$ das Vorzeichen $+1$. Eine Nullform $\omega$ auf $M$ ist schlicht eine Funktion $G$, ihr Differential ist $d\omega=\diff G= G'(x)\diff x$, und wir erkennen, da"s unser Satz von Stokes \ref{ASI} in diesem Fall zum Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung \eref{ImS}{AN1} spezialisiert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] Wir kommen nochmal auf unser Integral "uber die obere\label{Bsp2} Hemisph"are $H$ der $2$-Form $x^2 \diff x \wedge \diff y$ aus \ref{BI11} zur"uck, wobei unsere Orientierung der oberen Hemisph"are unter der Projektion auf die Ebene die "ubliche Orientierung des $\DR^2$ entsprach. Nun haben wir das Gl"uck, $x^2 \diff x \wedge \diff y = -d (x^2y\diff x)$ schreiben zu k"onnen. Der Rand von $\vec{H}$ ist dann der im Gegenuhrzeigersinn orientierte Einheitskreis in der $xy$-Ebene $S = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 =1,\; z =0\}$ und aus dem Satz von Stokes folgt \begin{equation*} \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_{\vec{S}} -x^2 y \diff x \end{equation*} Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit $$ \int_{\vec{S}}-x^2 y \diff x = \int_0^{2\pi} -\cos^2 \varphi \sin \varphi \op{d} (\cos \varphi)= \int^{2\pi}_{0}\cos^2 \varphi \sin^2 \varphi \diff \varphi $$ im wesentlichen bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in \ref{BI11} berechnet hatten. Genauer wird der fehlende Faktor $2$ von $\int^\pi_0 \sin \varphi \diff \varphi$ in der Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, da"s das Integral bis $2\pi$ l"auft. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Gilt die Aussage f"ur $\omega$ und $\omega'$, so auch f"ur $\omega + \omega'$. Wir k"onnen also nach \eref{KO}{AN1} und \eref{TEL}{AN2} ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es eine zusammenh"angende Randkarte $(W,\varphi)$ von $M$ gibt, die eine Orientierung hat und derart, da"s gilt $(\op{supp} \omega\cap M) \subset \varphi (W)$. Ist $\varepsilon$ die Orientierung unserer Randkarte, so gilt per definitionem und da die "au"sere Ableitung vertauscht mit dem Zur"uckholen $$ \int_{\vec{M}} d\omega = \varepsilon \int_{W} \varphi^{\ast} (d\omega)=\varepsilon \int_{W} d(\varphi^{\ast} \omega)$$ Bezeichnet $(\bar{W}, \bar{\varphi})$ wie in \ref{RaKa} die induzierte Karte des Randes und $i:\Bbb{R}^{k}\ra \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$, $x\mapsto (0,x)$ die offensichtliche Einbettung, so gilt nach unseren Definitionen und wegen $\bar{\varphi}=\varphi\circ i$ und $\bar{W}=i^{-1}(W)$ auch $$ \int_{\partial \vec{M}} \omega = \varepsilon \int_{\bar{W}} \bar{\varphi}^{\ast}\omega=\varepsilon \int_{i^{-1}W} i^\ast(\varphi^{\ast}\omega) $$ Bezeichnen wir mit $\eta$ die Fortsetzung durch Null von $\varphi^{\ast}\omega$ auf den ganzen Halbraum, so reduziert sich der Satz auf einen Spezialfall, den wir im Anschluss als eigenst"andiges Lemma formulieren und beweisen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{LeSt} Bezeichne $i:\Bbb{R}^{k}\ra \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$ wie zuvor die offensichtliche Einbettung und sei $\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form mit kompaktem Tr"ager auf $ \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$. So gilt $$ \int_{\Bbb{R}^{k}} i^{\ast}\eta = \int_{\Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}} d\eta$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir nennen unsere Koordinaten hier ausnahmsweise $x_0,x_1,\ldots, x_k$ und k"onnen schreiben $$\eta= \sum^{k}_{\nu =0} \eta_{\nu}\;dx_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{dx}_{\nu} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ f"ur stetig differenzierbare Funktionen $\eta_{\nu}$ mit kompaktem Tr"ager. Es ergibt sich $i^{\ast}\eta = \eta_{0} \;dx_{1} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$, die linke Seite ist also schlicht $ \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}$. Auf der rechten Seite erhalten wir $$d\eta = \sum^{k}_{\nu = 0} (-1)^{\nu } \frac{\partial \eta_\nu}{\partial x_{\nu}} dx_{0}\wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ und f"ur alle $\nu \neq 0$ verschwindet beim entsprechenden Summanden das $\nu$-te par\-tiel\-le Integral, da die Stammfunktion $\eta_{\nu}$ kompakten Tr"ager hat und von $-\infty$ bis $\infty$ integriert wird. Nur der erste Summand liefert also einen Beitrag, und der ist \begin{equation*} \int_{\Bbb{R}^{k}} \left( \int^{0}_{-\infty} \frac{\partial \eta_{0}}{\partial x_{0}}\right) = \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Formalismus der Differentialformen}] Der hier erkl"arte Beweis des Stokes'schen Satzes ist ziemlich kurz. Das liegt daran, da"s seine Formulierung in der Sprache der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln vertr"aglich ist, da"s wir uns beim Beweis leicht auf einen einfachen Spezialfall zur"uckziehen k"onnen. In gewisser Weise haben wir also mit der Entwicklung der Sprache der Differentialformen die Hauptarbeit bereits geleistet. Als wesentliche nichttriviale Aussage m"ochte ich dabei insbesondere die Vertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung mit Koordinatenwechseln hervorheben, die sich auch in anderen Zusammenh"angen noch als starkes Hilfsmittel erweisen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich formuliere nun einige Spezialf"alle des allgemeinen Stokes'schen Satzes \ref{ASI} in klassischer Notation, um die Lekt"ure "alterer Texte zu erleichtern. Ich hoffe jedoch, da"s sich der f"ur explizite Rechnungen und theoretische "Uberlegungen gleicherma"sen bestens geeignete Formalismus der Differen\-tial\-formen mit der Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral "uber ein Gradientenfeld}]\label{WueG} Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine stetig differenzierbare Injektion mit nirgends verschwindendem Differential, die einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild induziert. Aus \ref{KKRr} folgt leicht, da"s dann das Bild von $\varphi$ eine berandete $1$-Mannigfaltigkeit $M$ ist, und diese $1$-Mannigfaltigkeit besitzt genau eine Orientierung, f"ur die $\varphi|_{(a,b)}$ eine orientierte Karte ist. Gegeben eine Nullform alias Funktion $f$ auf einer offenen Umgebung von $M$ haben wir $\diff f=\langle \op{grad}f,\;\rangle=( \op{grad}f)\cdot$ und der Satz von Stokes erh"alt nach \ref{I1Ma} und \ref{O1R} und \ref{DisM} die Gestalt $$\int_a^b \langle\op{grad}f,\diff\varphi\rangle =\int_a^b (\op{grad}f)\cdot\diff\varphi =f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$$ In Worten stimmt also das Wegintegral des Gradientenfelds einer Funktion "uberein mit der Differenz zwischen den Werten besagter Funktion am Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Gau"s}]\label{SvG} Gegeben eine kompakte glatt berandete Teilmenge $K\subset\DR^n$ und ein im Sinne von \eref{SDi}{AN2} stetig differenzierbares Vektorfeld $F$ auf $K$ bilden wir wie in \ref{VFF} die zugeh"orige $(n-1)$-Form $\omega=\omega_F$ und finden $$d\omega =(\op{div} F)\;dx_{1} \wedge \ldots \wedge dx_{n}$$ f"ur $(\op{div} F) : K \ra \Bbb{R}$ die sogenannte {\bf Quelldichte}\index{Quelldichte} oder auch {\bf Divergenz}\index{Divergenz} unseres Vektorfeldes, die %auf dem \glqq Inneren\grqq\ %$K\backslash \partial K$ von $K$ gegeben wird durch die Vorschrift $$\op{div} F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots + \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$$ Damit spezialisiert mit unseren "Ubersetzungen \ref{OTm} und \ref{FIF} der allgemeine Satz von Stokes zum \defnoind{Satz von Gau"s}\index{Gau"s!Integralsatz von} $$\int_{K} \op{div} F = \int_{\partial K} F\!\cdot\! N $$ f"ur $N:\partial K\ra\DR^n$ das "aussere Normalenfeld. In Worten ist also der Flu"s eines Vektorfelds durch den Rand eines glatt berandeten Kompaktums im $\DR^n$ gleich dem Integral seiner Quelldichte "uber besagtes Kompaktum. Anschaulich mag man sich im Fall $n=2$ die Oberfl"ache $K$ eines ebenen Moores denken, in dem Wasser nach oben dringt und "uber das Moor an den Rand des Moores flie"st. Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als unser Vektorfeld, so w"are die Divergenz eben die Quelldichte in unserem Moor, das Randintegral mi"st die Wassermenge, die pro Zeiteinheit am Rand unseres Moores herausl"auft, und unser Satz besagt, da"s sie gleich der Wassermenge sein mu"s, die pro Zeiteinheit im Inneren emporquillt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt und Auftrieb homogener K"orper}] Ein homogener, als da hei"st "uberall gleich dichter schwerer K"orper $K$ wird an einem Seil ins Wasser gelassen. Wir wollen uns "uberlegen, da"s auch im Wasser der Schwerpunkt unseres K"orpers in der Vertikalen unter dem Aufh"angepunkt bleibt. F"ur inhomogene K"orper gilt das im allgemeinen nat"urlich nicht! Wir denken uns unseren K"orper als kompakte glatt berandete Teilmenge $K \subset \Bbb{R}^3$ mit Schwerpunkt auf der $z$-Achse, also $\int_K x = \int_K y =0$. Die Wasseroberfl"ache m"oge die Ebene $z=0$ sein. Der Wasserdruck steigt linear mit der Tiefe, auf ein Oberfl"achenelement der Fl"ache $\sigma \langle p \rangle$ um $p \in \partial K$ wirkt also die Kraft $z (p) N_p \sigma \langle p \rangle$ mit $N_p$ dem orientierten Normalenvektor bei $p$. Befindet sich der Aufh"angepunkt etwa in der H"ohe $h < 0$, so wird das Drehmoment um diesen Aufh"angepunkt das Oberfl"achenintegral \begin{equation*} \int_{\partial K} z (p) (N_p \times (p+h \op{e}_3 )) \sigma \langle p \rangle \end{equation*} Die Komponenten dieses Vektors bei $p = (x,y,z)$ mit $N_p = (N_1,N_2, N_3)$ sind $z (N_2 (z+h) - N_3 y), z (N_3 x - N_1 (z +h))$ und $z (N_1 y - N_2 x)$ und k"onnen auch dargestellt werden als die Skalarprodukte von $N_p$ mit den Vektorfeldern $v_1 (x,y,x) = (0,z^2 + hz , - zy)$, $ v_2 (x,y,z) = (-z^2-hz, 0, zx)$ und $v_3 (x,y,z) = (zy, -zx, 0)$, so da"s es gilt $\int_{\partial K} (N \cdot v_i)\sigma =0$ zu zeigen. Mit dem Satz von Gau"s k"onnen wir diese Integrale verwandeln in die Integrale $\int_K \op{div} v_i$ und wegen $\op{div} v_1 =-y$, $ \op{div} v_2 =x$ und $\op{div} v_3=0$ verschwinden sie in der Tat alle drei. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Klassischer Satz von Stokes}]\label{KSS} Sei $M\subset\DR^3$ eine kompakte orientierte berandete Fl"ache und $\varphi:[a,b]\ra \partial M$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes. Sei $F:U\ra \DR^3$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^3$, die $M$ umfa"st, und bezeichne $\eta=\langle F,\;\rangle$ die zugeh"orige $1$-Form. So finden wir $d\eta=\omega_R$ in der Notation von \ref{VFF} f"ur $R:U\ra\DR^3$ dasjenige Vektorfeld $\op{rot}F$ auf $U$, das definiert wird durch die Vorschrift $$\op{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}- \frac{\partial F_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial F_1}{\partial x_3}- \frac{\partial F_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial F_2}{\partial x_1}- \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)$$ Dies Vektorfeld ist die Rotation unseres Vektorfelds $F$, wie wir sie in \eref{sr}{AN2} eingef"uhrt haben. Unser allgemeiner Satz von Stokes \ref{ASI} spezialisiert in dieser Situation zum \defnoind{klassischen Satz von Stokes}\index{Stokes!Integralsatz von!klassischer} $$ \int_M N\!\cdot\! (\op{rot}F)\sigma=\int_a^b F\cdot \diff\varphi $$ Hier bedeutet $N:M\ra \DR^3$ wieder das durch die Orientierung von $M$ festgelegte Normalenfeld. In Worten ist also das Wegintegral eines Vektorfeldes "uber den Rand einer Fl"ache gleich dem Flu"s der Rotation des Vektorfelds durch besagte Fl"ache. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Bei Anwendern, die haupts"achlich im $\DR^3$ arbeiten, ist eine andere symbolische Schreibweise f"ur $\op{grad}$, $\op{rot}$ und $\op{div}$ sehr beliebt: Sie betrachten den sogenannten \defind{Nabla-Operator} $\nabla$, den man sich denkt als den \glqq Vektor von Symbolen\grqq\ $(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$, und schreiben \begin{description} \item[$\nabla f=\op{grad}f$, ] zu verstehen als symbolisches Produkt des Nabla-Vek\-tors mit einer skalaren Funktion; \item[$\nabla\cdot F=\op{div}f$,] zu verstehen als symbolisches Skalarprodukt des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion; das Skalarprodukt wird von diesen Anwendern meist $v\cdot w$ notiert statt wie bei uns $\langle v,w\rangle;$ \item[$\nabla\times F=\op{rot} F$,] zu verstehen als symbolisches Vektorprodukt des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das Vektorprodukt $v\times w=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1-w_3, v_1w_2-v_2w_1)$ aus der Geometrie des Raums \eref{KrPP}{LA2} zugrundegelegt wird. \end{description} In dieser Notation wird dann unsere Formel $dd\omega=0$ f"ur $\omega$ eine Funktion bzw.\ eine $1$-Form auf dem $\DR^3$ verstanden als formal-symbolische Konsequenz der Formeln $v\times v=0$ bzw.\ $v\cdot (v\times w)=0$ aus der Geometrie des Raums. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Green'sche Formel}]\label{GrFo} Sei $G\subset \DR^2$ eine kompakte glatt berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes, anschaulich \glqq ein im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand umlaufender geschlossener Weg\grqq. Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v=(v_1,v_2)$ auf einer offenen Umgebung von $G$ betrachten wir die $1$-Form $\langle v,\;\rangle=\eta=v_1 \diff x_1 +v_2 \diff x_2$ mit ihrem Differential $d\eta= (\op{rot}v)\diff x_1\wedge \diff x_2$ f"ur $$\op{rot}v= \left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1}- \frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ die in \eref{sr}{AN2} erkl"arte skalare Rotation eines Vektorfelds in der Ebene, und der allgemeine Satz von Stokes \ref{ASI} spezialisiert zur \defnoind{Green'schen Formel} \index{Green'sche Formel} $$\int_G \op{rot}v= \int_a^b v\cdot\diff\varphi$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Dieselbe Formel hatten wir in \eref{srq}{AN2} schon f"ur $G$ ein Rechteck kennengelernt, nur ist ein Rechteck nat"urlich nicht glatt berandet. In \ref{ASIE} werden wir jedoch einen \glqq Satz von Stokes mit Ecken\grqq\ kennenlernen, der dann auch diese Formel f"ur Rechtecke als Spezialfall enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines ebenen Gebiets}] Sei $G\subset \DR^2$ wie in \ref{GrFo} eine kompakte glatt berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte Parametrisierung ihres Randes.\label{FeBB} Betrachten wir die $2$-Form $\omega = x \diff y$ mit Differential $d \omega = \diff x \wedge \diff y$ und $\varphi^{\ast} \omega = \varphi_{1}(t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$, so spezialisiert der allgemeine Satz von Stokes \ref{ASI} zu einer Formel f"ur die Fl"ache des Gebietes $G$, genauer zu der Regel $$\int_{G} 1 = \int^{b}_{a} \varphi_{1} (t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel mithilfe des Gau"s'schen Integralsatzes besonders anschaulich: Quillt in einem Moor "uberall gleichviel Wasser hoch, so k"onnen wir seine Fl"ache bestimmen, indem wir messen, wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abl"auft. Wie genau das Wasser auf unserem Moor zum Randgraben l"auft, ist dabei v"ollig unerheblich. Statt $\omega = x \diff y$ k"onnten wir also ein beliebiges $\omega$ mit $d\omega= \diff x \wedge \diff y$ nehmen und so weitere Formeln f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm] \noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ mit Ecken der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende Papierebene. \end{figure} \begin{Definition}\label{MFE} Sei $X$ ein reeller Raum endlicher Dimension und seien $k\in \DN$ und $1\leq l\leq \infty$. % Im Fall $k\geq 1$ hei"st eine Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine {\bf $k$-dimensionale ${\cal{C}}^l$-Unterman\-nig\-faltigkeit mit Ecken}\index{Mannigfaltigkeit!Untermannigfaltigkeit mit Ecken von affinem Raum} oder kurz {\bf Untermannigfaltigkeit mit Ecken} von $X$ genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein Paar $(U,g)$ gibt aus einer offenen Umgebung $U\co X$ von $p$ und einem ${\cal{C}}^l$-Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ von $U$ auf eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$ derart, da"s gilt: $$ g(U\cap M)=g(U) \cap ((\DR_{\leq 0})^{k}\times 0) $$ Ein derartiges Paar $(U,g)$ nenne ich eine \defnoind{Pl"attung als ${\cal{C}}^l$-Untermannig\-fal\-tig\-keit mit Ecken} oder kurz \defind{Eckenpl"attung} von $M$ um $p$. \end{Definition} \begin{Beispiele} Eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken ist dasselbe wie eine diskrete Teilmenge. Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken ist dasselbe wie eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Erst in h"oheren Dimensionen erhalten wir etwas Neues: So w"are zum Beispiel das \glqq Innere eines ebenen Vielecks zusammen mit seinem Rand\grqq\ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken der Ebene, aber keine zweidimensionale berandete Untermannigfaltigkeit der Ebene. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Alle Punkte einer Untermannigfaltigkeit $M$ mit Ecken, um die es eine Randpl"attung gibt, bilden eine berandete Untermannigfaltigkeit $M_r$ unseres endlichdimensionalen reellen Raums, die wir den {\bf regul"aren Teil von $M$}\index{regul"ar!Teil eines Randes} nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der regul"are Teil einer kompakten Quadratfl"ache ist das Komplement der vier Ecken. Der regul"are Teil eines kompakten massiven W"urfels ist das Komplement der Ecken und Kanten. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz mit Ecken}]\label{ASIE} \index{Stokes, mit Ecken} Sei $M$ eine kompakte glatte Untermannig\-fal\-tig\-keit der Dimension $(k+1)$ mit Ecken in einem endlichdimensionalen reellen Raum. Sei der regul"are Teil $M_r$ von $M$ orientiert und sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer halboffenen Teilmenge unseres Raums, die $M$ umfa"st. So existieren die Integrale von $\omega$ "uber $\partial \vec{M}_r$ und von $d\omega$ "uber $\vec{M}_r$ und es gilt $$\int_{\vec{M}_r} d\omega = \int_{\partial \vec{M}_r} \omega$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere m"ogliche Abschw"achungen der Voraussetzungen}] Der Beweis wird wieder zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit unserer Mannigfaltigkeit mit Ecken schw"acher nur brauchen, da"s der Tr"ager der Differentialform unsere Mannigfaltigkeit mit Ecken in einem Kompaktum trifft. Weiter reicht statt der Bedingung $\cal{C}^\infty$ an unsere Mannigfaltigkeit $M$ auch die Bedingung $\cal{C}^2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Kompaktheitsannahmen}] Im allgemeinen gilt der Satz von Stokes keineswegs f"ur nichtkompakte berandete Mannigfaltigkeiten, auch wenn am Rand \glqq nur ein paar Punkte fehlen\grqq. Ist zum Beispiel $Q$ ein Quadrat in der Ebene ohne die Ecken, so k"onnen wir auf einer offenen Menge, die unser eckenloses Quadrat umfa"st, ein Vektorfeld konstruieren, das den Flu"s eines expandierenden Gases beschreibt, das \glqq durch die L"ocher in den Ecken entweicht\grqq\ aber dessen Flu"s durch die Randkanten des Quadrats verschwindet. In dieser Allgemeinheit g"alte der Satz von Stokes also nicht. Allerdings m"u"ste unser Gas \glqq mit unendlicher Geschwindigkeit durch die Ecken pfeifen\grqq\ und sein Geschwindigkeitsfeld k"onnte nicht stetig auf besagte Ecken fortgesetzt werden, weshalb auch die Voraussetzungen f"ur unseren Satz von Stokes mit Ecken in diesem Fall nicht erf"ullt w"aren. Es gibt noch sehr viel allgemeinere Versionen des Stokes'schen Satzes mit Ecken, vergleiche etwa \cite{KAna}, mit denen sich zum Beispiel auch der Flu"s durch die Oberfl"ache eines Ikosaeders oder einer Eiswaffel direkt diskutieren lie"sen. Der hier besprochene Fall scheint mir jedoch f"ur die meisten Anwendungen ausreichend und hat den Vorteil, da"s sowohl seine Formulierung als auch sein Beweis nur wenig begrifflichen Aufwand ben"otigen. Den Fall eines Ikosaeders kann man daraus im "ubrigen auch noch erhalten, etwa indem man besagten Ikosaeder in Dreieckspyramiden mit einer Ecke im Ursprung zerlegt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEcP}\\ \noindent Ein expandierendes Gas, das durch die Ecken entweicht, als Beispiel daf"ur, da"s die Kompaktheitsbedingung beim Satz von Stokes notwendig ist. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch die obere Hemisph"are, Erg"anzung}] Ich will noch einmal auf das schon in \ref{Bsp2} besprochene\label{SIBS} Beispiel \ref{BI11} zur"uckommen, in dem wir den Flu"s des Vektorfelds $x^2\op{e}_3$ durch die obere Hemisph"are $H$ alias das Integral der $2$-Form $x^2 dx \wedge dy$ "uber eben diese Hemisph"are berechnet hatten. Die L"ange der Vektoren unseres Vektorfeldes $x^2\op{e}_3$ h"angt von der H"ohe $z$ gar nicht ab. Es scheint mir deshalb offensichtlich, da"s sein Flu"s durch die obere Hemisph"are $H$ derselbe ist wie durch die Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene $D =\{(x,y)\mid z = 0, x^2 + y^2 < 1\}$. Formal k"onnen wir das wegen $d (x^2 dx \wedge dy)=0$ auch aus dem Satz von Stokes mit Ecken \ref{ASIE} folgern, indem wir ihn auf die massive obere Halbkugel $M =\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1, \; z \geq 0\}$ anwenden. Deren regul"arer Teil $M_r$ besteht aus dem Komplement der Kreislinie $\{(x,y,z) \mid x^2+y^2=1, \; z =0\}$, und der Rand des regul"aren Teils $\partial M_r$ ist die Vereinigung der oberen Hemisph"are $H$ aus \ref{BI11} mit der offenen Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene $D$. Versehen wir unsere massive Halbkugel mit der von $\DR^3$ induzierten Orientierung, so erbt die obere Hemisph"are $H$ die bereits in \ref{BI11} beschriebene Orientierung, die Einheitskreisscheibe $D$ jedoch die nicht von der Einbettung in $\DR^2$ induzierte Orientierung. Schreiben wir $\vec{D}$ f"ur $D$ mit der von der Einbettung in $\DR^2$ induzierten Orientierung, so erhalten wir f"ur $\omega = x^2 dx \wedge dy $ wegen $d\omega =0$ folglich nach Stokes in der Tat $$0=\int_{\vec{M}_r}d\omega=\int_{\partial\vec{M}_r}\omega= \int_{\vec{H}} x^2 dx \wedge dy - \int_{\vec{D}} x^2 dx \wedge dy$$ \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Ganz genau wie beim Beweis des Stokes'schen Satzes \ref{ASI} ziehen wir uns zur"uck auf den Fall einer stetig differenzierbaren $k$-Form $\eta$ auf $(\Bbb{R}_{\leq q})^{k+1}$ mit kompaktem Tr"ager. Wieder nennen wir unsere Koordinaten $x_0, x_1, \ldots, x_k$, betrachten nun aber f"ur $0\leq \nu \leq k$ die durch Einf"ugen einer Null an der $\nu$-ten Stelle entstehenden Einbettungen \begin{equation*} i_\nu : (\Bbb{R}_{\leq 0})^k \hookrightarrow (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1} \end{equation*} Der Stokes'sche Integralsatz mit Ecken reduziert sich dann auf die Behauptung \begin{equation*} \sum^k_{\nu =0} (-1)^\nu \int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^k} i_\nu^\ast \eta = \int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}} d\eta \end{equation*} Das kann wie beim Beweis von \ref{LeSt} explizit nachgerechnet werden. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=7cm]{SkriptenBilder/BildGmE}\\[4mm] \noindent Die Formel \ref{FeBB} f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets gilt nun nat"urlich ebenso f"ur \glqq Gebiete mit Ecken\grqq. Diese Formel kann etwa angewandt werden, um ein GPS-Ger"at so zu programmieren, da"s es einem die Fl"ache des Gebiets berechnet, das man bei einem Rundweg umrundet hat. Im Spezialfall eines Gebiets, das von einem den Kanten eines Rechenpapiers folgenden Weg im Uhrzeigersinn umrundet wird, ergibt sich, wenn wir Stokes auf die Form $y\diff x$ anwenden, die Fl"ache als die H"ohe des Schwerpunkts der Menge der horizontalen Kanten, wenn wir jede Kante nach rechts mit ihrer H"ohe gewichten und jede Kante nach links mit dem Negativen ihrer H"ohe. F"ur die Fl"ache des obigen Gebiets ergibt sich so $$3\times 4 + 2 - 2\times 1 -2 -3 = 7$$ \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativer Zugang zur Homotopieinvarianz bei Wegintegralen}] Wir k"onnen nun auch einen besonders kurzen Beweis f"ur die Homoto\-pie\-invarianz von\label{STOK} Wegintegralen in geschlossenen Kovektorfeldern \eref{roPP}{AN2} geben unter der st"arkeren Voraussetzung, da"s es zwischen unseren beiden stetig differenzierbaren Wegen $\gamma, \psi : [0,1] \rightarrow A$ sogar eine zweimal stetig differenzierbare Homotopie $h:[0,1]^2 \rightarrow A$ gibt. Wir nehmen genauer $A$ offen in einem reellen Raum $X$ an und $\omega :A \rightarrow \vec{X}^\ast$ ein stetig differenzierbares Kovektorfeld. Die Behauptung in \eref{roPP}{AN2} besagt ja gerade, da"s aus $d \omega =0$ folgt $\int_\gamma \omega =\int_\psi \omega$. Aber nun finden wir \begin{equation*} \int_\gamma \omega - \int_\psi \omega = \int_{\partial ([0,1]^{2})} h^\ast \omega = \int_{[0,1]^{2}} d (h^\ast \omega) =\int_{[0,1]^{2}} h^\ast (d\omega) =0 \end{equation*} nach der Definition einer Homotopie, dem Satz von Stokes mit Ecken, der Vertr"aglichkeit des Zur"uckholens von Formen mit dem "au"seren Differential \ref{zh} und unserer Annahme $d\omega =0$. \end{Bemerkungl} \subsection{Divergenz und Laplace in krummen Koordinaten*} \begin{Bemerkungl} Die folgenden Argumente bauen nicht auf dem Stokes'schen Integralsatz auf. Es geht vielmehr um Anwendungen des Kalk"uls der Differentialformen aus \ref{AuAb}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{VolFF} Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt oder allgemeiner einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ kann man im eindimensionalen Raum $\op{Alt}^n (V)$ aller sogenannten \defnoind{Volumenformen auf}\index{Volumenform} $V$ ein von Null verschiedenes Element $\omega=\omega_t$, die {\bf kanonische Volumenform},\index{Volumenform!kanonische} auszeichnen durch die Bedingung, da"s gilt \begin{equation*} \omega (v_1, \ldots, v_n) =1 \end{equation*} f"ur jede orientierte Orthonormalbasis im positiv definiten Fall bzw.\ jede orientierte Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit $|t (v_i, v_j)| = \delta_{ij}$ im allgemeinen Fall. In der Tat erf"ullt die Basiswechselmatrix $A$ zwischen zwei derartigen Basen eine Gleichung der Gestalt $A^\top J A = J'$ mit $J = J' =I$ der Einheitsmatrix im Fall eines Skalarprodukts und $\op{det} J = \op{det} J' \neq 0$ im allgemeinen, so da"s der Multiplikationssatz f"ur Determinanten $\op{det} A = \pm 1$ liefert, und die Orientiertheit beider Basen zeigt dann sogar $\op{det} A =1$. Damit aber folgt \begin{equation*} \omega (v_1, \ldots, v_n)= \omega (w_1, \ldots, w_n) \end{equation*} f"ur jede $n$-Form $\omega$ und je zwei Basen wie oben, etwa indem wir \ref{DDP} auf den Automorphismus von $V$ mit $v_i \mapsto w_i$ anwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ersetzen wir $t$ durch $\lambda t$ f"ur $\lambda\in\DR^\times$, so erhalten wir f"ur die neue Volumenform $$\omega_{\lambda t}=|\lambda|^{n/2}\omega_{ t}$$ \end{Ubung} \begin{Definition}\label{dHO} Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ erkl"art man f"ur jede Zerlegung $ n=p +q$ den \defind{Hodge-$\ast$-Operator}\index{*!Hodge-$\ast$-Operator} \begin{equation*} \ast =\ast_t: \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q V \end{equation*} durch die Formel $\alpha\wedge\beta=t(\ast\alpha,\beta)\omega$. Hier ist $t$ rechts zu verstehen als die Erweiterung unserer Bilinearform auf $q$-Formen durch $t(f_1\wedge\ldots\wedge f_q, g_1\wedge\ldots \wedge g_q)\pdef \op{det}(t(f_i,g_j))$ und letztere Bilinearform auf $V^\ast$ ist dadurch erkl"art, da"s sie unter $\op{can}_t:V\sira V^\ast$ unserem urspr"unglichen $t$ entsprechen soll. Das $\omega$ schlie"slich meint unsere Volumenform. Etwas ausf"uhrlicher gesagt konstruiert man unseren Hodge-$\ast$-Operator wie folgt: Man geht aus von der durch das Dachprodukt gegebenen nichtausgearteten Paarung \begin{equation*} \op{Alt}^p V \times \op{Alt}^q V \rightarrow \op{Alt}^n V \end{equation*} und verkn"upft sie mit dem Isomorphismus $\op{Alt}^n V \overset{\sim} {\rightarrow} \Bbb{R}$, der die kanonische Volumenform $\omega$ aus \ref{VolFF} auf die Eins wirft. Die so erhaltene Paarung kann als ein Isomorphismus \begin{equation*} \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{Alt}^q V)^* \end{equation*} interpretiert werden, und der kanonische Isomorphismus $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ aus \eref{APDn}{LA2} zusammen mit dem von $\op{can}_t : V \overset{\sim}{\rightarrow} V^*$ induzierten Isomorphismus $\op{Alt}^q (V^*) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V)$ liefert dann in der Verkn"upfung schlie"slich unseren Hodge-Operator. \end{Definition} \begin{Ubung}\label{2F4} F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$. Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum und $\lambda\in\DR^\times$ stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Isomorphismus $\varphi:V\sira W$ von endlichdimensionalen orientierten reellen Vektorr"aumen und nichtausgartete symmetrische Bilinearformen $t$ auf $V$ und $s$ auf $W$ und eine Zerlegung $n=p+q$ der Dimension $n$ unserer beiden Vektorr"aume kommutiert offensichtlich das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Alt}^p W &\overset{\ast_s}{\rightarrow} &\op{Alt}^q W\\ \da&&\da\\ \op{Alt}^p V &\overset{\ast_t}{\rightarrow}& \op{Alt}^q V \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die in der obigen Definition \ref{dHO} versteckten und in gewisser Weise zuf"alligen Wahlen von Vorzeichen werden "ublicherweise so getroffen, da"s im Fall eines Skalarproduktes $t$ f"ur alle $\alpha$ gilt $$\alpha\wedge \ast \alpha\in \DR_{\geq 0}\;\omega$$ Wir werden das gleich explizit sehen. Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\ in diesem Sinne \glqq positiv definit\grqq\ w"are, aber an dieser Stelle mu"s man sich einmal auf eine Konvention einigen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Formeln f"ur den Hodge-$\ast$-Operator}] Sei zun"achst $t$ ein Skalarprodukt,\label{EFH} $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthonormalbasis von $V$ und $f_1, \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$. Wir folgern $\omega = f_1 \wedge \ldots \wedge f_n$ und gegeben $I,J$ mit $|I|=p$ und $|J|=q$ haben wir \begin{displaymath} f_I \wedge f_J =\left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon_I \omega & I \amalg J = \{1,\ldots, n\};\\ 0& \text{sonst.} \end{array} \right. \end{displaymath} Hier meint $\varepsilon_I$ das Vorzeichen der Permutation, die alle Elemente von $I$ an den Anfang schiebt, ihre Reihenfolge untereinander aber ebenso wie die Reihenfolge der Elemente ihres Komplements unver"andert l"a"st. Unsere Abbildung \begin{equation*} \op{Alt}^p V \rightarrow (\op{Alt}^q V)^* \end{equation*} macht also die Basisvektoren $f_I$ bis auf Vorzeichen zu den Vektoren der zu $f_{{\bar{I}}}$ dualen Basis, genauer haben wir $f_I\mapsto \varepsilon_I f^*_{{\bar{I}}}$ f"ur ${{\bar{I}}}$ das Komplement von $I$. Unter $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ entspricht dieser Vektor dann $\varepsilon_I v_{{\bar{I}}}$ und unter $\op{can}_t$ wiederum $\varepsilon_I f_{\bar{I}}$, woraus wir folgern \begin{equation*} \ast_t f_I = \varepsilon_I f_{{\bar{I}}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} Insbesondere gilt also im Fall eines Skalarprodukts und der dualen Basis zu einer Orthonormalbasis die Formel $f_I\wedge \ast f_I=\omega$, die in diesem Fall auch sofort $\ast(\ast \alpha)=(-1)^{pq}\alpha$ f"ur alle $\alpha\in \op{Alt}^p(V)$ liefert. Ist allgemeiner im symmetrischen nicht ausgearteten Fall $v_1, \ldots , v_n$ orientiert und orthogonal, aber haben wir etwa $ t(v_i,v_i) = \eta_i = \pm 1, $ so m"ussen wir nur ganz am Schlu"s noch ein Vorzeichen erg"anzen und erhalten mit der Notation $\eta_{\bar{I}} = \prod_{j\in {\bar{I}}} \eta_j$ die Formel \begin{equation*} \ast_t f_I = \varepsilon_I \eta_{\bar{I}} f_{\bar{I}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} Sei nun noch allgemeiner $t$ symmetrisch nicht ausgeartet, $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthogonalbasis von $V$ mit $ t(v_i,v_i) = \eta_i c_i^2$ mit $c_i>0$ und $f_1, \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$. Gegeben $I,{\bar{I}}$ mit $|I|=p$ erhalten wir dann mit der Notation $c_I=\prod_{i\in I} c_i$ durch Reskalierung die Formel \begin{equation*} \ast_t f_I = \frac{\varepsilon_I \eta_{\bar{I}} c_{\bar{I}}}{c_I} f_{\bar{I}} \quad \text{ f"ur } {\bar{I}} = \{1,\ldots, n\}\backslash I \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion \begin{equation*} \op{div}_t (v) = (\ast_t \circ d \circ \ast_t \circ\op{can}_t) (v) \end{equation*} Obwohl der $\ast$-Operator von einer zu w"ahlenden Orientierung abh"angt, ist die Divergenz wegen des doppelten Auftretens unseres $\ast$-Operators davon unabh"angig. \end{Definition} \begin{Ubunge}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfelds auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale Volumen"anderung unter dem Flu"s des besagten Vektorfelds\grqq\ beschreibt, da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt $$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f \op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das Integral, und beachte, da"s das Integral "uber ganz $\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet. \end{Ubunge} \begin{Beispiel}\label{BSPK} Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit der Standardorientierung und dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ finden wir die "ubliche Formel $\op{div}v=a_x +b_y +c_z$, indem wir rechnen $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_x + b \partial_y +c \partial_z\\ \op{can}_s (v) &=& a dx + b dy +cdz\\ \ast_s (\op{can}_s (v)) &=& ady \wedge dz - b dx \wedge dz + cdx \wedge dy\\ d(\ast_s (\op{can}_s (v))) &=& a_xdx\wedge dy \wedge dz - b_y dy \wedge dx\wedge dz + c_z dz\wedge dx \wedge dy\\ \ast_s (d(\ast_s (\op{can}_s (v)))) &=& a_x +b_y +c_z \end{array}$$ Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen, schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben. Unsere neue Interpretation vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft, insbesondere da die "au"sere Ableitung $d$ sich so gut mit Verwandtschaft vertr"agt, und erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen orthogonalen Koordinaten. Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen, erinnern wir uns daran, da"s nach \eref{PKMm}{AN2} unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik $s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf der $xy$-Ebene verwandt ist zum 2-Tensor $ g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2} $ und rechnen $$\begin{array}{rcl} v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta \\ \op{can}_g (v) &=& a dr + br^2 d\vartheta\\ \ast_g (\op{can}_g (v)) &=&a rd\vartheta-brdr\\ d(\ast_g (\op{can}_g (v))) &=& (a_r r+a)dr\wedge d\vartheta +b_\vartheta rdr \wedge d\vartheta\\ \ast_g (d(\ast_g (\op{can}_g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a \end{array}$$%Scheint ok. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{divKu} Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \eref{KuKo}{AN2}. Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+ b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem $xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion $a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$. \end{Ubung} \begin{Definition} Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir $$\Delta f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots + \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$ und nennen $\Delta$ den {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators $\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion an einer Stelle\label{ALA} $x$ mi"st die Abweichung des Funktionswerts bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von $x$. In einer Ver"anderlichen gilt zum Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$ wie der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen kann. In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der Notation $\op{e}_i$ f"ur die Vektoren der Standardbasis $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left( \frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+ f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}] Man zeige, da"s der La\-place\-operator invariant ist unter Drehungen. Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare Abbildung, so zeige man f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. Man folgere die Formel $$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0} \frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\; \sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle} - f(x)\right) $$ auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ bis auf ein Vorzeichen die Differenz zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Durchschnitt der Funktionswerte auf einer Kugelschale mit Zentrum in $x$ und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}. Die Taylorentwicklung oben liefert in einer Ver"anderlichen sogar pr"aziser die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+ f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f\grqq\ (\xi^+)+f\grqq\ (\xi^-))/2$$ mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] Die polynomialen Funktionen $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$ auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln $$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$ Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$ mit konstanten Koeffizienten auf dem $\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln $$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$ \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Laplace-Operator in anderen Koordinaten}] Um den Laplaceoperator $\Delta$ in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo} kann man von der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \;d \ast_s df$$ ausgehen, mit $s$ der "ublichen Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik und der Standard-Orientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine offene Teilmenge $V \co X$ und ein differenzierbare Abbildung $\phi: V \rightarrow U$ mit bijektivem Differential an jeder Stelle und eine zur Standard-Metrik $\phi$-verwandte Riemann'sche Metrik $t$ auf $V$ haben wir dann die Verwandschaft $\phi:\ast_t\; d \ast_t d(f \circ \phi)\leadsto \ast_s\; d \ast_s df=\Delta f$. Ist speziell etwa $\phi$ die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung, so l"a"st sich das auch sehr konkret und explizit berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Laplace-Operator in Polarkoordinaten}] Wir berechnen den Laplace-Operator einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden "ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach $$\begin{array}{rcl} df &=& f_r dr + f_\vartheta d\vartheta\\ \ast_g (df) &=&f_r r d\vartheta-r^{-1}f_\vartheta dr\\ d(\ast_g (df)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})dr \wedge d\vartheta\\ \ast_g (d(\ast_g (df))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} \end{array}$$%Forster kriegt dasselbe! \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Laplace-Operator in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s der Laplace-Operator einer Funktion $f$ in den Kugelkoordinaten aus \eref{KuKo}{AN2} gegeben wird durch die Formel $$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta} +r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2} f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe! Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch von \eref{graKu}{AN2} und \ref{divKu} ausgehen. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA3" %%% End: