\section{Ma"s und Integral} Es mag nahe liegen zu versuchen,\label{MaInm} jeder Teilmenge des $\DR^n$ ein \glqq Volumen\grqq\ in $[0,\infty]$ so zuordnen, da"s (1) das Verschieben oder Verdrehen von Mengen ihr Volumen nicht "andert, da"s (2) bei beliebigen disjunkten Vereinigungen das Volumen der Vereinigung die Summe der Volumina ist, und da"s (3) dem Einheitsw"urfel $[0,1]^n$ das Volumen Eins zugeordnet wird. Kurzes Nachdenken zeigt jedoch, da"s das unm"oglich gelingen kann: F"ur solch ein Volumen m"u"ste n"amlich jeder Punkt Volumen Null haben, da ja unendlich viele Punkte im Einheitsw"urfel liegen, und dann m"u"ste auch der ganze Einheitsw"urfel Volumen Null haben als disjunkte Vereinigung einpunktiger Teilmengen. Um diesen Widerspruch zu vermeiden, mag man etwas schw"acher statt (2) nur noch bei \emph{abz"ahlbaren} oder noch schw"acher \emph{endlichen} disjunkten Vereinigungen fordern wollen, da"s das Volumen der Vereinigung die Summe der Volumina ist, aber auch solch einen Volumenbegriff kann es f"ur beliebige Teilmengen des $\DR^n$ nicht geben, wie im abz"ahlbaren Fall in \ref{ViLe} bereits f"ur $n=1$ ausgef"uhrt wird und im endlichen Fall f"ur $n\geq 3$ aus dem sogenannten \glqq Banach-Tarski-Paradoxon\grqq\ \ref{BaTan} oder auch schon aus seinem Vorl"aufer, dem sogenannten \glqq Hausdorff-Paradoxon\grqq\ folgt. Hausdorff zeigte in seinem Buch "uber Mengenlehre aus dem Jahre 1914 auch, da"s es in den Dimensionen $n\leq 2$ durchaus endlich additive Volumenbegriffe der oben beschriebenen Art gibt, aber diese haben in der Mathematik wenig Relevanz. Es ist jedoch m"oglich, f"ur beliebiges $n\in \DN$ gewisse Teilmengen des $\DR^n$ als \glqq me"sbar\grqq\ auszuzeichnen derart, da"s alle \glqq einigerma"sen vern"unftigen\grqq\ Teilmengen me"sbar sind, und jeder dieser me"sbaren Mengen ein Volumen so zuzuordnen, da"s Bedingung (1), die abz"ahlbare Variante von (2) sowie (3) entsprechend gelten. Im folgenden will ich das ausf"uhren und auch zeigen, wie davon ausgehend eine sehr allgemeine Integra\-tions\-theorie entwickelt werden kann, die sich sowohl in der weiteren Entwicklung der Analysis als auch bei der mathematischen Modellierung der Wahrscheinlichkeit als au"serordentlich n"utzlich erweisen wird: Das Lebesgue-Integral. \subsection{Ma"sr"aume und Ma"se} \label{MaMa} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $X$ erinnere ich daran, da"s wir nach \eref{MeKo}{GR} die Menge aller ihrer Teilmengen bilden d"urfen und da"s diese Menge die {\bf Potenzmenge}\index{Potenzmenge} $\cal{P} (X)$ von $X$ hei"st. Weiter erinnere ich daran, da"s in diesem Text aus rein didaktischen Erw"agungen heraus Teilmengen der Potenzmenge $\cal{P} (X)$ einer Menge $X$ vorzugsweise als {\bf Systeme von Teilmengen von $X$}\index{System von Teilmengen} oder {\bf Mengensysteme}\index{Mengensystem} angesprochen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein System $\cal{A}$ von Teilmengen einer Menge $X$ alias eine Teilmenge $\cal{A}\subset \cal{P} (X)$ hei"st eine \defind{Mengenalgebra},\label{MeAlg} wenn gilt: \begin{enumerate} \item $\emptyset \in \cal{A};$ \item $A,B\in \cal{A}\;\RA\;(A\cup B)\in \cal{A};$ \item $A\in\cal{A}\;\RA\; (X\backslash A)\in \cal{A}$. \end{enumerate} In Worten ist ein System von Teilmengen einer Menge $X$ also eine Mengenalgebra, wenn es stabil ist unter dem Bilden von endlichen Vereinigungen und unter dem Bilden von Komplementen bez"uglich $X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ich will kurz diskutieren, warum unsere Definition in Formeln zu unserer Definition in Worten\label{UNGm} gleichbedeutend ist. Bei der Definition in Worten ist mitgemeint, da"s eine Mengenalgebra die leere Menge enthalten soll als \glqq die Vereinigung "uber "uberhaupt keine Teilmenge von $X$\grqq, vergleiche \eref{VSMS}{LA1}. Bei der Definition in Formeln folgt umgekehrt die Stabilit"at von $\mathcal A$ unter endlichen Vereinigungen von mehr als zwei Mengen induktiv. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Mengenalgebra ist nach den de Morgan'schen Regeln \eref{VMR}{GR} auch stabil unter dem Bilden von endlichen Schnitten und von Differenzmengen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{Mess} Eine Mengenalgebra, die sogar stabil ist unter abz"ahlbaren Vereinigungen, hei"st eine {\bf $\sigma$-Algebra}.\index{Algebra!$\sigma$-Algebra} \index{sAlgebra@$\sigma$-Algebra} Ein Paar $(X,\cal{M})$ bestehend aus einer Menge $X$ und einer $\sigma$-Algebra $\cal{M}\subset\cal{P} (X)$ hei"st ein \defind{Me"sraum}. Die Mengen aus $\cal{M}$ hei"sen dann die {\bf me"sbaren\index{me"sbar!Menge} Mengen} von $(X,\cal{M})$ oder kurz die {\bf me"sbaren Teilmengen von $X$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In Formeln ist eine $\sigma$-Algebra also eine Mengenalgebra $\cal{M}\subset\cal{P} (X)$ derart, da"s f"ur jede Folge $(A_n)_{n\in\DN}$ mit $A_n \in \cal{M}\;\forall n\in\DN$ gilt $\bigcup_{n\in\DN}A_n\in \cal{M}$. Gegeben ein Me"sraum $(X,\cal{M})$ ist nat"urlich auch ganz $X$ me"sbar und abz"ahlbare Schnitte me"sbarer Mengen sind wieder me"sbar nach den de Morgan'schen Regeln in ihrer etwas allgemeineren Form \eref{dmM}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf Franz"osisch hei"st eine $\sigma$-Algebra {\bf tribu}.\index{tribu} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In jeder Menge bilden die endlichen Teilmengen mitsamt ihren Komplementen eine Mengenalgebra, die jedoch nur dann eine $\sigma$-Algebra ist, wenn wir unsere Konstruktion in einer endlichen Menge durchf"uhren. In jeder Menge bilden die abz"ahlbaren Teilmengen mitsamt ihren Komplementen eine $\sigma$-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Alle endlichen Vereinigungen von Intervallen bilden eine Mengenalgebra von Teilmengen von $\DR$. Die abz"ahlbaren Vereinigungen von Intervallen bilden \emph{keine} $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $\DR$, da dieses Mengensystem nicht unter dem Bilden von Komplementen stabil ist: Zum Beispiel ist die Menge der rationalen Zahlen $\DQ\subset\DR$ eine abz"ahlbare Vereinigung von Intervallen, genauer von einpunktigen Intervallen, aber ihr Komplement $\DR\backslash \DQ$ ist keine abz"ahlbare Vereinigung von Intervallen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich benutze gerne wie in \eref{dVV}{LA2} erkl"art f"ur Vereinigungen das Symbol $\sqcup$ statt $\cup$, wenn ich andeuten will, da"s die zu vereinigenden Teilmengen paarweise disjunkt sein sollen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DeMas} Sei $X =(X,\cal{M})$ ein Me"sraum. Ein \defind{Ma"s} oder genauer ein \defnoind{nichtnegatives Ma"s}\index{Ma"s!nichtnegatives} auf $X$ ist eine Abbildung $\mu :\cal{M} \ra [0,\infty]$ derart, da"s gilt $\mu(\emptyset)=0$ und $$\mu \left(\bigsqcup_{n\in \DN}A_n\right)= \sum_{n\in \DN} \mu (A_{n})$$ f"ur jede Folge $(A_{n})_{n\in \DN}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen, in Formeln Mengen mit $A_i\cap A_j=\emptyset$ f"ur $i\neq j$. Diese Gleichheit ist in $[0,\infty]$ zu verstehen. Die Summe auf der rechten Seite ist dabei zu verstehen als das Supremum "uber alle $\sum_{n=0}^N \mu (A_{n})$ mit $N\in\DN$ und diese endlichen Summen hinwiederum sind zu verstehen im offensichtlichen Monoid $([0,\infty], +)$. \end{Definition} \begin{Lemma} Sei $X =(X,\cal{M})$ ein Me"sraum. Eine Abbildung $\mu:\cal{M}\ra [0,\infty]$ ist genau dann ein Ma"s, wenn f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_i)_{i\in N}$ von paarweise disjunkten me"sbaren Mengen\label{LCM} gilt $$\mu \left(\bigsqcup_{i\in N}A_i\right)= \sum_{i\in N} \mu (A_{i})$$ mit der Summe auf der rechten Seite zu verstehen als das Supremum "uber alle Teilsummen $\sum_{i\in E} \mu (A_{i})$ f"ur $E\subset N$ endlich. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Die durch dieses Lemma gegebene "aquivalente Charakterisierung von Ma"sen scheint mir konzeptionell richtiger. Sie verwendet aber verschiedene weniger vertraute Konventionen und ist deshalb vielleicht weniger verst"andlich. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Erf"ullt eine Abbildung $\mu$ also die Bedingungen des Lemmas, so ist sie ein Ma"s. In der Tat sind sowohl $N=\DN$ als auch $N=\emptyset$ abz"ahlbare Mengen. Genauer ist die leere Menge in unseren Konventionen zwar nicht abz"ahlbar unendlich, aber wie jede andere endliche Menge durchaus abz"ahlbar. Weiter ist in unseren Konventionen die Summe "uber eine die Familie von Elementen von $([0,\infty],+)$ stets Null. Andererseits erf"ullt auch jedes Ma"s $\mu$ die Bedingungen des Lemmas. Wir k"onnen n"amlich ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $N\subset\DN$ annehmen und unsere Mengenfamilie $(A_i)_{i\in N}$ zu einer Mengenfolge $(A_n)_{n\in\DN}$ erg"anzen durch die Bedingung $n\not\in N\RA A_n=\emptyset$ dann gilt $$\mu \left(\bigsqcup_{i\in N}A_i\right)= \mu \left(\bigsqcup_{n\in \DN}A_n\right)= \sum_{n\in \DN} \mu (A_{n})=\sum_{i\in N} \mu (A_{i})$$ wegen $\bigsqcup_{i\in N}A_i=\bigsqcup_{n\in \DN}A_n$ und den Eigenschaften eines Ma"ses.\end{proof} \begin{Definition} Ein \defind{Ma"sraum} ist ein Tripel $X=(X,\cal{M},\mu)$ bestehend aus einer Menge $X$, einer $\sigma$-Algebra $\cal{M}\subset\mathcal P(X)$ und einem Ma"s $\mu: \mathcal M\ra [0,\infty]$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ein Ma"sraum, bei dem die ganze Menge Ma"s Eins hat, hei"st ein \defind{Wahrscheinlichkeitsraum}. Mit diesem Wort geht meist eine eigene Motivation, Intuition und Buchstabenwahl einher: Das Ziel ist dann nicht mehr ein begrifflicher Rahmen zur Berechnung von Volumina\label{WahR} und dergleichen, sondern die mathematische Modellierung des Zufalls. Man notiert Wahrscheinlichkeitsr"aume statt $(X,\cal{M},\mu)$ meist $(\Omega, \cal{A}, P)$ und denkt sich dabei $\Omega$ als eine v"ollig unstrukturierte und von der speziell untersuchten Fragestellung unabh"angige Menge von \glqq sich paarweise ausschlie"senden M"oglichkeiten\grqq. Das Ma"s $P(A)$ mit $P$ wie \glqq Probability\grqq\ denkt man sich dann als die {\bf Wahrscheinlichkeit} f"ur das Eintreten einer M"oglichkeit aus $A$. Die me"sbaren Teilmengen von $\Omega$ hei"sen auch {\bf Ereignisse}.\index{Ereignis} Ist jede einelementige Teilmenge von $\Omega$ me"sbar, so mag man die Elemente der Menge $\Omega$ {\bf Elementar-Ereignisse}\index{Elementar-Ereignis} nennen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Einfache Beispiele f"ur Ma"se auf der gesamten Potenzmenge einer beliebigen Menge $X$ sind das \defind{Dirac-Ma"s} $\delta_{x}$ an einem Punkt $x \in X$, gegeben durch $$\begin{array}{ccc} \delta_{x} (A) & = & \left\{ \begin{array}{lcl} 1 & & x \in A;\\ 0& & \text{ sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ Des weiteren das \defind{Z"ahlma"s} $\zeta (A) = |A| \in \Bbb{N} \cup \{\infty\}$, das jeder Teilmenge die Zahl ihrer Elemente zuordnet. Allgemeiner kann man f"ur jede Menge $X$ und jede Abbildung $f:X\ra[0,\infty] $ wieder auf der gesamten Potenzmenge von $X$ das Ma"s $A\mapsto \sum_{x\in A} f(x)$ betrachten, bei dem in gewisser Weise \glqq jeder Punkt $x\in X$ mit dem Faktor $f(x)$ gewichtet wird\grqq. Das vielleicht wichtigste Beispiel f"ur ein Ma"s ist das \glqq Lebesgue-Ma"s\grqq\ auf den \glqq topologisch me"sbaren Mengen\grqq\ oder \glqq Borelmengen\grqq\ des $\DR^n$, dessen Konstruktion noch aussteht. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine feste Menge. Sind $\cal{M}, \cal{N} \subset \cal{P} (X)$ zwei $\sigma$-Algebren, so ist auch ihr Schnitt $\cal{M} \cap \cal{N}$ eine $\sigma$-Algebra. Sogar ein beliebiger Schnitt von $\sigma$-Algebren in $X$ ist wieder eine $\sigma$-Algebra in $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $\cal{E} \subset \cal{P} (X)$ irgendein System von Teilmengen einer Menge $X$, so betrachten wir den Schnitt aller $\sigma$-Algebren, die $\cal{E}$ umfa"sen. Dieser Schnitt ist offensichtlich die kleinste $\sigma$-Algebra in $X$, die $\cal{E}$ umfa"st. Er hei"st die\index{erzeugt!$\sigma$-Algebra} {\bf von $\cal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}\index{s@$\sigma$-Algebra!erzeugt von Mengensystem} und wird $\sigma(\cal{E})$ notiert.\index{s@$\sigma(\cal{E})$ von $\cal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Konzepts einer $\sigma$-Algebra}] Eine umgangssprachlich \glqq explizite\grqq\ Beschreibung f"ur die von einem Mengensystem erzeugte $\sigma$-Algebra zu geben, ist salopp gesprochen unm"oglich, aber f"ur uns im weiteren Verlauf dieser Vorlesung auch nicht relevant. Um Ihnen die Schwierigkeiten einer expliziten Beschreibung zu zeigen, will ich erst einmal andeuten, wie es \emph{nicht} geht. Man k"onnte versucht sein, unser Mengensystem zun"achst einmal zu erg"anzen durch das Hinzunehmen aller abz"ahlbaren Vereinigungen. Dann durch Hinzunehmen aller Komplementmengen solcher abz"ahlbaren Vereinigungen. Dann wieder durch Hinzunehmen aller abz"ahlbaren Vereinigungen, und immer so weiter. Kriegt man so jede Menge der von unserem Mengensystem erzeugten $\sigma$-Algebra in endlich vielen Schritten? Eben nicht: Denn nun mu"s man auch noch die Vereinigungsmengen aller Mengenfolgen dazunehmen, bei denen die erste Menge nach einem Schritt erhalten wurde, die zweite nach zwei Schritten und so weiter. Um die ganze $\sigma$-Algebra zu beschreiben, mu"s man stattdessen mit transfiniter Induktion arbeiten, wie etwa im Beweis von Lemma \eref{KSAl}{AL} ausgef"uhrt wird, und expliziter wird's nicht mehr. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $X$ und ein Mengensystem $\mathcal E\subset\mathcal P(X)$\label{ezTO} gibt es stets eine kleinste Topologie $\mathcal T\subset\mathcal P(X)$, die $\mathcal E$ umfa"st, n"amlich den Schnitt aller Topologien, die $\mathcal E$ umfassen. Dieser Schnitt hei"st die {\bf von $\mathcal E$ erzeugte Topologie}.\index{Topologie!erzeugt von Mengensystem} Man kann diese Topologie explizit beschreiben, indem man erst die Gesamtheit $\mathcal S$ aller endlichen Schnitte von Mengen aus $\mathcal E$ betrachtet und dann beliebige Vereinigungen von Mengen aus $\mathcal S$ bildet. In der Tat ist das so entstehende Mengensystem schon automatisch stabil unter endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man beachte den Kontrast zwischen der von einem Mengensystem erzeugten Topologie, die recht explizit angegeben werden kann, und der von einem Mengensystem erzeugten $\sigma$-Algebra. Der Ursprung dieser Diskrepanz liegt darin, da"s die Potenzmenge einer endlichen Menge stets wieder endlich ist, die Potenzmenge einer abz"ahlbaren Menge aber im allgemeinen nicht abz"ahlbar. Man k"onnte aber das kleinste Mengensystem, das ein vogegebenes Mengensystem umfa"st und stabil ist unter abz"ahlbaren Schnitten und beliebigen Vereinigungen, ebenso explizit angeben wie die von einem Mengensystem erzeugte Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{BoMa} Die von den offenen Mengen eines metrischen oder allgemeiner eines topologischen Raums $X$ erzeugte $\sigma$-Algebra nennen wir die $\sigma$-Alge\-bra der {\bf topologisch me"sbaren Teilmengen} \index{topologisch!me"sbar} oder auch der \defnoind{Borelmengen}\index{Borelmenge} von $X$ oder auch die {\bf borelsche $\sigma$-Alge\-bra}\index{borelsche $\sigma$-Alge\-bra} und notieren sie\index{Borel@$\op{Borel}(X)$ Borelmengen von $X$} $$\op{Borel}(X)$$ Unter einem \defnoind{topologischen Ma"s}\index{Ma"s!topologisches}\index{topologisch!Ma"s} verstehen wir ein Ma"s auf der $\sigma$-Algebra aller topologisch me"sbaren Mengen eines topologischen Raums. Ein \defind{Borelma"s} auf einem topologischen Raum definieren wir als ein topologisches Ma"s, das auf allen abgeschlossenen Kompakta endliche Werte annimmt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In einem Hausdorffraum ist nach \eref{HKA}{AN2} jedes Kompaktum abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Das Z"ahlma"s auf $\DR$ ist in unserem Sinne ein topologisches Ma"s, aber kein Borelma"s. F"ur den Begriff eines Borelma"ses sind jedoch auch viele andere Bedeutungen in der Literatur verbreitet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Auch ohne die Kontinuumshypothese vorauszusetzen kann man zeigen, da"s jede "uberabz"ahlbare Borelmenge in $\DR$ bereits in Bijektion zu ganz $\DR$ ist. Wie das genau geht, k"onnen Sie etwa in der Mengenlehre lernen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich sind mit unserer Definition auch alle abgeschlossenen Mengen topologisch me"sbar. F"ur jede Borelmenge $A\subset\Bbb{R}^n$ und beliebiges $a\in\Bbb{R}^n$ ist weiter auch die verschobene Menge $a+A$ eine Borelmenge. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein topologisches Ma"s auf $\DR^n$ hei"st {\bf translationsinvariant},\index{translationsinvariant} wenn f"ur beliebiges $a \in \Bbb{R}^{n}$ und jede Borelmenge $A \subset \Bbb{R}^n$ gilt $\lambda (a+ A) = \lambda (A)$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung des Lebesguema"ses}] Es gibt auf dem $\DR^n$ genau ein translationsinvariantes topologisches\label{Lee} %\label{Le} Ma"s $\lambda$, das dem Einheitsw"urfel das Ma"s Eins zuordnet $\lambda ([0,1]^{n}) =1$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieses Ma"s $\lambda$ hei"st das {\bf Lebesgue-Ma"s} auf dem $\Bbb{R}^n$. Wenn wir zum Ausdruck bringen wollen, welches $n$ gemeint ist, notieren wir es auch $\lambda^n$.\index{l@$\lambda,\lambda^n$ Lebesguema"s auf $\DR^n$} Die zweite Bedingung an unser Lebesguema"s nennen wir seine \defind{Normierung}. In dieser Terminologie k"onnen wir also das Lebesguema"s charakterisieren als das eindeutig bestimmte normierte translationsinvariante Ma"s auf den Borelmengen des $\DR^n$. Anschaulich ordnet $\lambda$ jeder Borelmenge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ ihr {\bf Volumen} oder {\bf Ma"s} $\lambda (A) \in [0,\infty]$ zu. Der Nachweis der Eindeutigkeit wird dem Leser als "Ubung \ref{EDIM} und \ref{EDIMn} "uberlassen. Die Existenz zeigen wir f"ur $n=1$ im folgenden Abschnitt in Bemerkung \ref{ELes} und f"ur beliebiges $n$ in \ref{LeB}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Viele Autoren verstehen unter dem Lebesguema"s abweichend die \glqq Vervollst"andigung\grqq\ im Sinne von \ref{VvM} des hier beschriebenen Ma"ses. Wenn es auf derlei Feinheiten ankommt, mag man das in Satz \ref{Lee} beschriebene Ma"s genauer das \glqq Lebesguema"s auf den Borelmengen\grqq\ nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Regularit"at des Lebesguema"ses}] F"ur das Lebes\-guema"s $\lambda$ auf dem $\Bbb{R}^n$ und jede Borelmenge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ gilt\label{RlE} $$ \lambda (A)=\inf_{\substack{ U\supset A\\ U {\mbox{ \scriptsize{\em offen in} }}\Bbb{R}^n}} \lambda (U)=\sup_{\substack{ K \subset A \\ K\mbox{ \scriptsize{\em kompakt}} }} \lambda (K)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz wird in \ref{REL} gezeigt. Er deutet eine m"ogliche Konstruktion des Le\-bes\-gue-Ma"ses $\lambda$ auf dem $\Bbb{R}^n$ an: Um das Lebesguema"s einer Borelmenge $A\subset\Bbb{R}^n$ zu bestimmen k"onnen, wir beginnen mit dem Fall endlicher disjunkter Vereinigungen von Produkten von Intervallen. Solche \glqq Quadermengen\grqq\ haben noch ein anschauliches Volumen. Dann wird f"ur $U$ offen der Wert $\lambda(U)$ definiert als das Supremum "uber die Volumina aller in $U$ enthaltenen Quadermengen, und schlie"slich erh"alt man das Ma"s $\lambda(A)$ einer beliebigen Borelmenge $A\subset\Bbb{R}^n$ als Infimum von $\lambda(U)$ "uber alle offenen $U$, die $A$ umfassen. Diese Beschreibung von $\lambda(A)$ "ahnelt unserer definitiven Konstruktion des Lebesguema"ses. Die wesentliche Schwierigkeit ist, zu zeigen, da"s die so konstruierte Abbildung von den Borelmengen in die um $\infty$ erweiterten nichtnegativen reellen Zahlen auch tats"achlich ein Ma"s ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen uns zur besseren Motivation sofort "uberlegen, da"s es schon im Fall $n=1$ keinen vern"unftigen Volumenbegriff f"ur {\em beliebige} Teilmengen des $\Bbb{R}^n$ geben kann. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ViLe} Es gibt kein Ma"s $\lambda : \cal{P} (\Bbb{R}) \ra [0,\infty]$ auf der $\sigma$-Algebra aller Teilmengen von $\DR$, das translationsinvariant und normiert ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis, mit etwas Algebra] Wir argumentieren durch Widerspruch. G"abe es solch ein Ma"s, so f"anden wir auch ein \glqq rotationsinvariantes\grqq\ Wahrscheinlichkeitsma"s auf der Kreislinie mit allen Teilmengen als me"sbaren Mengen, in Formeln $$\mu : \cal{P} (S^1) \ra [0,\infty]$$ mit $\mu(zB)=\mu(B)$ f"ur alle $z\in S^1,B\subset S^1$ und mit $\mu(S^1)=1$. Wir k"onnen etwa $\mu(B)\pdef \lambda (\varphi^{-1}B)$ setzen f"ur $\varphi:[0,1)\sira S^1$ gegeben durch $\varphi(t)\pdef \op{exp}(2\pi{\op{i}}t)$. Ist nun $z\in S^1$ keine Einheitswurzel, so sind seine Potenzen $z^n$ f"ur $n\in \DZ$ paarweise verschieden. Ist dann $B\subset S^1$ ein Repr"asentantensystem f"ur die Nebenklassen der von $z$ erzeugten Untergruppe $\langle z\rangle\subset S^1$, so liefert die Multiplikation eine Bijektion $\langle z\rangle\times B\sira S^1$. In andern Worten haben wir eine disjunkte Zerlegung $$S^1=\bigsqcup_{n\in\DZ} z^nB$$ Es folgt $1=\mu(S^1)=\sum_{n\in\DZ} \mu(z^nB)=\sum_{n\in\DZ} \mu(B)$ und das kann weder f"ur $\mu(B)=0$ noch f"ur $\mu(B)>0$ gelten. Widerspruch! \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis, mit wenig Algebra] Wir werden eine Teilmenge $A\subset\Bbb{R}$ und Folgen $r_n$ und $q_n$ reeller Zahlen konstruieren derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Die Mengen $r_n+A$ sind paarweise disjunkt und alle in $[0,3]$ enthalten. \item Die Mengen $q_n+A$ "uberdecken $\Bbb{R}$. \end{enumerate} F"ur unsere Menge $A$ m"u"ste also gleichzeitig gelten $$ \begin{array}{lll} \sum_{n=0}^\infty\lambda(A)& =\sum_{n=0}^\infty\lambda(r_n+A)&\leq \lambda([0,3])\leq 3\lambda([0,1]) = 3\\[2mm] \sum_{n=0}^\infty\lambda(A)& =\sum_{n=0}^\infty\lambda(q_n+A)&\geq \lambda(\Bbb{R}) \geq \sum_{n=0}^\infty \lambda(2n+[0,1])=\infty \end{array}$$ und dieser Widerspruch zeigt dann das Lemma. Um unsere Menge $A$ zu konstruieren, w"ahlen wir mithilfe von \eref{VB}{LA1} eine Teilmenge $I \subset \Bbb{R}$ derart, da"s $\{1\} \cup I$ eine $\DQ$-Basis von $\Bbb{R}$ ist, und betrachten den von $I$ erzeugten $\DQ$-Untervektorraum $\langle I\rangle_{\DQ}\subset\DR$ und die Menge $A= \langle I\rangle_{\DQ} \cap [0,2]$. F"ur jede Folge $r_n$ von paarweise verschiedenen rationalen Zahlen aus $[0,1]$ sind dann die $r_n+A$ paarweise disjunkt und in $[0,3]$ enthalten. Andererseits finden wir auch f"ur alle $n\in\DZ$ ein $b_n\in\langle I\rangle_{\DQ}\cap [n-1,n]$, es folgt $\langle I\rangle_{\DQ}=\bigcup b_n+A$ und dann \begin{equation*} \Bbb{R}=\bigcup_{q\in\DQ,\; n\in\DZ} q+b_n+A\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{BaTan} Es kommt sogar noch schlimmer: Nach Banach und Tarski ist es m"oglich, die abgeschlossene Einheitskugel im $\DR^3$ so in sechs paarweise disjunkte Teilmengen zu zerlegen, da"s sich diese Teilmengen geeignet verschoben und im Raum gedreht ohne "Uberlappungen zu \emph{zwei} Einheitskugeln zusammenf"ugen lassen. Das ist das sogenannte \defind{Banach-Tarski-Paradoxon}. Die fraglichen sechs Teilmengen sind dann nat"urlich nicht alle me"sbar. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten die $\sigma$-Algebra aller Borelmengen der reellen Zahlengeraden erzeugen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Ma"sraum und darin eine aufsteigende Folge me"sbarer Mengen $A_{0} \subset A_{1}\subset\ldots$ zeige man\label{AVMM} $$\mu \left(\bigcup^{\infty}_{n =0} A_{n}\right) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$ Hinweis: Man schreibe die fragliche Vereinigung als die disjunkte Vereinigung der $A_{n+1}\backslash A_n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Ma"sraum und darin eine absteigende Folge me"sbarer Mengen endlichen Ma"ses\label{NASD} $A_{0} \supset A_{1}\supset\ldots$ zeige man $$\mu \left(\bigcap^{\infty}_{n =0} A_{n}\right) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$ Man zeige auch durch ein Gegenbeispiel, da"s das nicht mehr gelten mu"s, wenn alle Mengen unserer Folge unendliches Ma"s haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vorbereitungen zum Beweis des Satzes von Fubini}] Seien $X$ eine Menge und $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ eine Mengenalgebra. Man zeige: (1) Genau dann ist $\cal{A}$\label{SA} eine $\sigma$-Algebra, wenn $\cal{A}$ stabil ist unter abz"ahlbaren {\em disjunkten} Vereinigungen. (2) Genau dann ist $\cal{A}$ eine $\sigma$-Algebra, wenn $\cal{A}$ stabil ist unter abz"ahlbaren {\em aufsteigenden} Vereinigungen im Sinne von \ref{AVM}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Konstruieren Sie in $\DR$ eine offene dichte Teilmenge von endlichem Lebesguema"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Restriktion von Ma"sen}] Ist $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum und $A\subset X$ eine me"sbare Teilmenge, so bilden die in $A$ enthaltenen me"sbaren Mengen von $X$ eine $\sigma$-Algebra $\cal{M}|_A\subset \mathcal P(A)$ und die Einschr"ankung von $\mu$ ist ein Ma"s\label{ResMM} $\mu:\cal{M}|_A\ra [0,\infty]$,\index{\mid@$\mu{\mid}_A$ Restriktion eines Ma"ses} das wir je nach Kontext auch ausf"uhrlicher $\mu|_A$ oder $\mu|A$ oder $i^!\mu$ notieren f"ur $i:A\hra X$ die Einbettung. Wir nennen $(A,\cal{M}|_A,\mu|_A)$ den {\bf induzierten Ma"sraum}. \index{induziert!Ma"sraum} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verkleben von Ma"sen}] Sei ein Me"sraum $X$ die Vereinigung einer Folge $X_n$ me"sbarer Teilmengen. Sei auf jeder unserer\label{VkMM} Teilmengen $X_n$ ein Ma"s $\mu_n$ gegeben derart, da"s gilt $\mu_n|(X_n\cap X_m)=\mu_m|(X_n\cap X_m)$ f"ur alle $m,n$. Man zeige, da"s es dann genau ein Ma"s $\mu$ auf $X$ gibt mit $\mu_n=\mu|X_n$ f"ur alle $n$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{MGrM} Seien $X$ ein Me"sraum und $\mu_i$ eine Folge von endlichen Ma"sen derart, da"s f"ur jedes me"sbare $A\subset X$ die Folge der $\mu_i(A)$ monoton wachsend und beschr"ankt ist. So wird durch die Formel $\mu(A)\pdef\lim_{i\ra\infty}\mu_i(A)$ ein weiteres Ma"s auf $X$ erkl"art. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ist $A_0, A_1, \ldots$ eine Folge von Mengen aus einer $\sigma$-Algebra, so geh"ort auch die Menge\index{lim@$\limsup$ limes superior!einer Mengenfolge}\label{lss} $$ \limsup A_n \pdef \left\{ x \mid x \in A_n \text{ f"ur unendlich viele } n \right\} $$ zu unserer $\sigma$-Algebra. Man nennt sie den {\bf Limes superior}\index{limes superior!einer Mengenfolge} unserer Mengenfolge. \end{Ubung} \subsection{Konstruktion des Lebesguema"ses auf ${\Bbb{R}}$} \label{KLR} \begin{Definition} Ein System von Teilmengen einer gegebenen Menge hei"st ein \defind{Mengenring}, wenn es stabil ist unter dem Bilden von endlichen Vereinigungen und von Differenzmengen. In Formeln ausgedr"uckt ist ein System von Teilmengen $\cal{I} \subset \cal{P} (X)$ einer Menge $X$ also ein Mengenring, wenn gilt: \begin{enumerate} \item $\emptyset \in \cal{I};$ \item $A,B\in \cal{I}\;\RA\;(A\cup B)\in \cal{I};$ \item $A, B\in\cal{I}\;\RA\; (B\backslash A)\in \cal{I}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Da"s unsere Definition in Worten und unsere Definition in Formeln gleichbedeutend sind, erkennt man wie in \ref{UNGm}. Ein Mengensystem $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ ist eine Mengenalgebra genau dann, wenn $\cal{A}$ ein Mengenring ist mit $X\in \cal{A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Identifiziert man $\cal{P} (X)$ mit der Menge $\op{Ens}(X,\Bbb{F}_2)$ aller Abbildungen von $X$ in den zweielementigen K"orper, indem man jeder Menge ihre Indikatorfunktion zuordnet, so entsprechen unsere Mengenringe $\cal{I}\subset \cal{P} (X)$ genau den \glqq nicht-unit"aren Teilringen\grqq\ oder in unserer Terminologie den $\mathbb Z$-Unteralgebren von $\op{Ens}(X,\Bbb{F}_2)$. Unsere Mengenalgebren $\cal{A}\subset \cal{P} (X)$ dahingegen entsprechen den \glqq unit"aren Teilringen\grqq, die wir in unserer Terminologie \eref{TeRi}{AL} schlicht Teilringe nennen. Ich komme nicht umhin, hier einen Zusammensto"s kollidierender Begriffswelten zu konstatieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X$ eine Menge und $\cal{I}\subset\cal{P}(X)$ ein Mengenring. Eine Abbildung $\mu :\cal{I} \ra [0,\infty]$ hei"st ein {\bf Pr"ama"s\index{Pr"ama"s} auf $\cal{I}$} oder gleichbedeutend {\bf $\sigma$-additiv},\index{additiv!$\sigma$-additiv!auf Mengenring}\index{sadditiv@$\sigma$-additiv!auf Mengenring} wenn gilt $\mu(\emptyset)=0$ und wenn f"ur jede Folge $(A_n)_{n\in \DN}$ paarweise disjunkter Mengen aus unserem Mengenring mit der Eigenschaft, da"s ihre Vereinigung wieder zu unserem Mengenring geh"ort $\bigsqcup_{n\in \DN}A_n\in\mathcal I$, gilt $$\mu \left(\bigsqcup_{n\in \DN}A_n\right)= \sum_{n\in \DN} \mu (A_{n})$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Definition der $\sigma$-Additivit"at}] Unsere Forderungen an ein Pr"ama"s auf einem Mengenring $\mathcal I$ sind gleichbedeutend zur Bedingung, da"s f"ur jede abz"ahlbare Familie $(A_n)_{n\in N}$ von paarweise disjunkten Mengen aus $\cal{I}$, deren Vereinigung wieder zu $\cal{I}$ geh"ort, gilt $$\mu \left(\bigsqcup_{n\in N}A_n\right)= \sum_{n\in N} \mu (A_{n})$$ Man zeigt das wie im Fall von Ma"sen \ref{LCM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften von Pr"ama"sen}] Seien $X$ eine Menge und $\cal{I}\subset\cal{P}(X)$ ein Mengenring und $\mu:\cal{I}\ra [0,\infty]$ ein Pr"ama"s. Gegeben $A,B\in \mathcal I$ mit $B\supset A$ folgt $\mu(B)\geq \mu(A)$, es gilt ja sogar genauer $\mu(B)= \mu(A)+\mu(B\backslash A)$. Gegeben $A_0,\ldots,A_n\in \mathcal I$ nicht notwendig paarweise disjunkt gilt weiter\label{paus} $$\mu \left(\bigcup_{i=0}^nA_i\right)\leq \sum_{i=0}^n \mu (A_{i})$$ In der Tat k"onnen wir $B_i\pdef A_i\backslash (A_{i-1}\cup\ldots\cup A_0)$ betrachten und finden damit $\bigcup_{i=0}^nA_i=\bigsqcup_{i=0}^nB_i$. Ist schlie"slich $(A_i)_{i\in \DN}$ ein Folge in $\mathcal I$ mit $\bigcup_{i=0}^\infty A_i$ in $\mathcal I$, so folgt in derselben Weise $$\mu \left(\bigcup_{i=0}^\infty A_i\right)= \sum_{i=0}^\infty \mu (B_{i})\leq \sum_{i=0}^\infty \mu (A_{i})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Ein Pr"ama"s zum Lebesguema"s}] Auf dem Mengenring aller endlichen Vereinigungen von beschr"ankten Intervallen $\cal{I} \subset \cal{P} (\Bbb{R}) $ gibt es genau\label{MaII} ein Pr"ama"s $\lambda$ derart, da"s f"ur jedes nichtleere beschr"ankte Intervall $I \subset \Bbb{R}$ gilt $$ \lambda(I) = \sup I - \inf I $$ \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $A\in\cal{I}$ betrachten wir die bis auf Reihenfolge eindeutige Darstellung $A = I_{1} \cup \ldots \cup I_{r}$ von $A$ als disjunkte Vereinigung der maximalen in $A$ enthaltenen Intervalle und m"ussen setzen $$\lambda (A) = \lambda (I_{1}) + \ldots + \lambda (I_{r})$$ Das zeigt die Eindeutigkeit. Es gilt nur noch zu zeigen, da"s f"ur $A \pdef \coprod_{n\in\Bbb{N}} A_{n}$ eine disjunkte Vereinigung mit $A, A_{n}\in\cal{I}$ gilt $$\lambda (A) = \sum_{n\in \Bbb{N}} \lambda (A_{n})$$ Offensichtlich gilt schon einmal $\lambda (B \sqcup C) = \lambda (B) + \lambda(C) $ f"ur $B, C \in\cal{I}$ disjunkt. Wir setzen nun $B_{n}\pdef A{\setminus} (A_{0}\sqcup \ldots \sqcup A_{n})$. Dann gilt $B_{n}\in\mathcal I$ und $B_0\supset B_1\supset \ldots$ sowie $\bigcap_{n\in\Bbb{N}} B_{n} = \emptyset$. Es reicht, wenn wir folgern $$\lim_{n\ra \infty} \lambda (B_{n})=0$$ W"aren unsere $B_n$ kompakt, so folgte mit \eref{Skoa}{AN2} bereits $B_n=\emptyset$ f"ur fast alle $n$ und wir w"aren fertig. Der Rest des Beweises besteht darin, zu zeigen, da"s wir salopp gesprochen beliebig nah an dieser Situation sind. Sei genauer $\varepsilon > 0$ beliebig. Wir finden f"ur jedes $n$ ein kompaktes $C_n\in\mathcal I$ mit $C_{n} \subset B_{n}$ und $$\lambda (B_{n}{\setminus} C_{n})\leq 2^{-n} \varepsilon$$ Jetzt betrachten wir $D_{n} \pdef C_{0} \cap \ldots \cap C_{n}$. Auch die $D_{n}$ sind kompakt, es gilt $D_n\subset C_n\subset B_n$ und zus"atzlich haben wir nach Konstruktion $D_{0} \supset D_{1}\supset\ldots$ Wir zeigen nun $\lambda (B_{n}{\setminus} D_{n})\leq 2\varepsilon$ f"ur alle $n$. In der Tat gilt ja $$B_{n}{\setminus} D_{n} = \bigcup^{n}_{k=0} B_{n} {\setminus} C_{k} \subset \bigcup^{n}_{k=0} B_{k} {\setminus} C_{k}$$ und folglich $$\lambda (B_{n}{\setminus} D_{n})\leq \sum^{n}_{k=0} \lambda (B_{k} {\setminus} C_{k}) \leq \sum^{n}_{k=0} 2^{-k} \varepsilon \leq 2 \varepsilon$$ Nun folgt aber aus $\bigcap_{n\in\Bbb{N}}D_{n} = \emptyset$ und der Kompaktheit der $D_n$ und \eref{Skoa}{AN2} bereits $D_{N} = \emptyset$ f"ur ein $N$. Damit ergibt sich $\lambda (B_{n}) \leq 2 \varepsilon$ f"ur $n\geq N$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Funktion $f:\DR\ra\DR$ hei"st {\bf linksseitig stetig},\index{stetig!linksseitig}\index{linksseitig stetig} wenn f"ur alle $x\in \DR$ gilt $\lim_{y\nearrow x}f(y)=f(x)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Stieltjes-Pr"ama"se}] Sei $f:\DR\ra\DR$ monoton wachsend und linksseitig stetig. So gibt es auf dem Mengenring $\mathcal I$\label{dFf} aller endlichen Vereinigungen beschr"ankter Intervalle der Gestalt $[a,b)$ genau ein Pr"ama"s $\lambda=\diff f$ mit $\lambda([a,b))=f(b)-f(a)$ f"ur alle $a,b\in\DR$ mit $a 0$ beliebig. Wir finden f"ur jedes $n\in \DN$ eine Folge $(A^{i}_{n})_{i\in \DN}$ in $\cal{E}$ mit $Y_{n} \subset \bigcup_{i\in \DN} A^{i}_{n}$ und $$\mu^{\ast} (Y_{n}) \leq \sum_{i\in \DN} \mu (A^{i}_{n}) \leq \mu^{\ast} (Y_{n}) + \varepsilon/2^{n}$$ Dann gilt aber $\bigcup Y_{n} \subset \bigcup_{i,n} A^{i}_{n}$ und aus der Definition von $\mu^{\ast}$ folgern wir $$\mu^{\ast} \left(\bigcup Y_{n}\right) \leq \sum_{i,n} \mu (A^{i}_{n}) \leq \sum_{n\in \DN} \mu^{\ast} (Y_{n}) \;+ 2 \varepsilon$$ Da das nun gilt f"ur alle $\varepsilon >0$, ist $\mu^{\ast}$ auch $\sigma$-subadditiv. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ausdehnen von Pr"ama"s zu "au"serem Ma"s}] Gegeben eine Menge $X$, ein Mengenring\label{LHh} $\cal{I} \subset \cal{P} (X)$ und ein Pr"ama"s $\mu : \cal{I} \ra [0,\infty]$ stimmt das in \ref{LHha} konstruierte "au"sere Ma"s $\mu^{\ast}$ auf dem vorgegebenen Mengenring $\cal{I}$ mit dem vorgegebenen Pr"ama"s $\mu$ "uberein, in Formeln $$\mu^{\ast} (A) = \mu (A) \quad \forall A \in \cal{I}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Absch"atzungen $\mu^{\ast} (A) \leq \mu (A)\; \forall A \in \cal{I}$ folgen daraus, da"s jede Menge $A$ sich selber "uberdeckt. Wir m"ussen also nur noch $\mu (A) \leq\mu^{\ast} (A)\; \forall A \in \cal{I} $ zeigen. Es reicht zu zeigen $\mu (A) \leq\mu^{\ast} (A) +\varepsilon \; \forall \varepsilon > 0$. F"ur jedes $\varepsilon >0$ finden wir aber eine Folge $A_{n}$ in $\cal{I}$ mit $A \subset \bigcup A_{n}$ und $\sum^{\infty}_{n=0} \mu (A_{n}) \leq\mu^{\ast} (A) +\varepsilon$. Indem wir $A_n$ verkleinern zu $A_n{\setminus}(A_{n-1}\cup\ldots\cup A_0)$, d"urfen wir hier sogar die Fogenglieder paarweise disjunkt annehmen. Wegen $A = \coprod_{n\in\DN} (A \cap A_{n})$ erhalten wir dann wie gew"unscht \begin{equation*} \mu (A) = \sum \mu (A \cap A_{n})\leq \sum \mu (A_{n}) \leq\mu^{\ast} (A) + \varepsilon\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine feste Menge $X$ und eine Teilmenge $A \subset X$ verwenden wir im folgenden f"ur das Komplement von $A$ die Abk"urzung $ A^{c}\pdef X {\setminus} A $. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X$ eine Menge und $\alpha $ ein "au"seres Ma"s auf $\cal{P} (X)$. Eine Teilmenge $A \subset X$ hei"st {\bf $\alpha $-me"sbar}\index{me"sbar!$\alpha $-me"sbar, Menge} oder auch ein {\bf $\alpha $-Zerleger},\index{Zerleger, in der Ma"stheorie} wenn f"ur jede Teilmenge $Y \subset X$ gilt $$\alpha (Y) = \alpha (Y \cap A) + \alpha (Y \cap A^{c})$$ \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Zerleger-Lemma}] Gegeben eine Menge $X$ und ein "au"seres Ma"s $\alpha:\cal{P}(X)\ra [0,\infty]$ auf ihrer Potenzmenge ist das System $\cal{Z}\subset\cal{P}(X)$ aller $\alpha $-Zerleger eine\label{LC} $\sigma$-Algebra und $\alpha $ ist ein Ma"s auf $\cal{Z}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Ist allgemeiner $X$ eine Menge und $\alpha $ ein "au"seres Ma"s auf einer $\sigma$-Algebra $\mathcal N \subset \cal{P}(X)$, so definieren wir analog das System $\mathcal Z\subset \mathcal N$ der $\mathcal N$-$\alpha$-Zerleger. Derselbe Beweis zeigt, da"s auch diese Zerleger eine $\sigma$-Algebra bilden und da"s unser "au"seres Ma"s zu einem Ma"s auf $\mathcal Z$ einschr"ankt. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal zeigen wir, da"s $\cal{Z}$ eine Mengenalgebra ist. Sicher gilt $\emptyset \in \cal{Z}$, und aus $A \in \cal{Z}$ folgt $A^{c} \in \cal{Z}$. Wir m"ussen nun noch zeigen, da"s aus $A,B \in \cal{Z}$ folgt $A\cap B \in \cal{Z}$. Sei dazu $Y \subset X$ beliebig. Es gilt, f"ur $\alpha$-Zerleger $A$ und $B$ zu zeigen $$\alpha (Y) = \alpha (Y \cap (A \cap B)) + \alpha (Y \cap (A \cap B)^{c})$$ Da $A$ und $B$ schon $\alpha$-Zerleger sind, finden wir aber in der Tat % $$\begin{array}{lcl} % \alpha (Y \cap(A \cap B)^{c})& = &\alpha (Y \cap (A\cap % B)^{c} \cap A) + \alpha (Y \cap (A \cap B)^{c} \cap A^c)\\ % &=& \hspace{1cm}\alpha (Y \cap B^{c}\cap A ) \hspace{1cm}+ % \alpha (Y \cap A^{c})\\ % &=& \alpha (Y \cap A) - \alpha (Y \cap A \cap B) + % \alpha (Y \cap A^{c})\\ % &=& \alpha (Y) - \alpha (Y \cap (A \cap B)) % \end{array}$$ $$\begin{array}{lcl} \alpha (Y \cap(A \cap B)^{c})+ \alpha (Y \cap A \cap B)& = &\alpha (Y \cap (A\cap B)^{c} \cap A) \\&&+ \;\alpha (Y \cap (A \cap B)^{c} \cap A^c)\\ &&\;\;+\; \alpha (Y \cap A \cap B)\\[2mm] & = &\alpha (Y \cap B^{c} \cap A) \\&&+ \;\alpha (Y \cap A^c)\\ &&\;\;+\; \alpha (Y \cap A \cap B)\\[2mm] &=& \alpha (Y \cap A) + \alpha (Y \cap A^{c})= \alpha (Y) \end{array}$$ Also ist $\cal{Z}$ schon mal eine Mengenalgebra. Als n"achstes zeigen wir, da"s $\cal{Z}$ auch stabil ist unter abz"ahlbaren disjunkten Vereinigungen und damit eine $\sigma$-Algebra. Sind zun"achst einmal $A, B \in \cal{Z}$ disjunkt, so gilt $$\alpha (Y \cap (A \sqcup B)) = \alpha (Y \cap A) + \alpha (Y \cap B)$$ f"ur beliebiges $Y \subset X$, denn unter der Voraussetzung $A\cap B = \emptyset$ k"onnen wir schreiben $Y \cap A = Y \cap (A\sqcup B) \cap A$ und $Y \cap B = Y \cap (A\sqcup B) \cap A^{c}$. Induktiv folgt f"ur $A_{0}, \ldots, A_{n} \in \cal{Z}$ paarweise disjunkt und $Y \subset X$ beliebig die Gleichheit $$\alpha (Y \cap (A_{0} \sqcup \ldots \sqcup A_{n})) = \sum^{n}_{\nu=0} \alpha (Y \cap A_{\nu})$$ Haben wir also eine Folge $(A_{\nu})$ von paarweise disjunkten Zerlegern mit Vereinigung $A \pdef \bigsqcup_{\nu\in\DN}A_{\nu}$ gegeben, so gilt f"ur jede Teilmenge $Y \subset X$ aufgrund der Monotonie unseres "au"seren Ma"ses die Absch"atzung $$\begin{array}{ccl} \alpha (Y) &=& \alpha (Y \cap (A_{0} \sqcup \ldots \sqcup A_{n})^{c}) + \alpha (Y \cap (A_{0}\sqcup \ldots \sqcup A_{n})) \\[2mm] &\geq &\alpha (Y \cap A^{c}) +\sum^{n}_{\nu=0} \alpha (Y \cap A_{\nu}) \end{array}$$ Im Grenzwert $n\ra\infty$ ergibt sich so die erste Ungleichung der Ungleichungskette $$\alpha (Y) \;\geq \; \alpha (Y \cap A^{c})+ \sum^{\infty}_{\nu=0} \alpha (Y \cap A_{\nu}) \;\geq \; \alpha (Y \cap A^{c}) + \alpha (Y \cap A)\;\geq\; \alpha (Y)$$ Die anderen beiden Ungleichungen folgen aus der $\sigma$-Subadditivit"at unseres "au"seren Ma"ses. Damit haben wir "uberall Gleichheit und $A$ ist auch ein Zerleger und $\cal{Z}$ eine $\sigma$-Algebra. Setzen wir in unserer Ungleichungskette $Y=A$, so folgt hinwiederum die $\sigma$-Additivit"at von $\alpha:\cal{Z}\ra[0,1]$. Also ist $\alpha$ in der Tat ein Ma"s auf der $\sigma$-Algebra $\cal{Z}$ aller Zerleger. \end{proof} \begin{proof}[Beweis zur gr"o"sten Ma"sfortsetzung] Seien $\cal{I}$ ein Mengenring, $\mu:\cal{I}\ra [0,\infty]$ ein Pr"ama"s auf $\cal{I}$ und $\mu^{\ast} : \cal{P} (X) \ra [0,\infty]$ das in \ref{LHh} konstruierte "au"sere Ma"s. Um Proposition \ref{KaEw} zur Konstruktion der gr"o"sten Ma"sfortsetzung aus dem Zerlegerlemma \ref{LC} abzuleiten, m"ussen wir nur noch zeigen, da"s $\cal{I}$ aus $\mu^{\ast}$-Zerlegern besteht. F"ur jedes "au"sere Ma"s auf $\cal{P}(X)$ und beliebige $A,Y\subset X$ gilt per definitionem $$\mu^{\ast} (Y) \leq \mu^{\ast} (Y \cap A) + \mu^{\ast} (Y \cap A^{c})$$ Wir m"ussen f"ur $A\in\cal{I}$ und beliebiges $Y\subset X$ auch die andere Ungleichung zeigen. Das ist nur im Fall $\mu^\ast(Y)<\infty$ problematisch. Unter dieser Voraussetzung finden wir aber f"ur beliebiges $\varepsilon > 0$ eine Folge $(B_{n})$ in $\cal{I}$ mit $Y \subset \bigcup_{n} B_{n}$ und $$\begin{array}{ccl} \mu^{\ast} (Y) + \varepsilon &\geq& \sum^{\infty}_{n=0} \mu (B_{n})\\[2mm] &\geq& \sum^{\infty}_{n=0} \mu (B_{n}\cap A) + \mu (B_{n}\cap A^{c}) \\[2mm] &\geq& \mu^{\ast} (Y \cap A)+ \mu^{\ast} (Y \cap A^{c}) \end{array}$$ Da das f"ur alle $\varepsilon >0$ gilt, folgt die andere Ungleichung $$\mu^{\ast} (Y) \geq \mu^{\ast} (Y \cap A)+ \mu^{\ast} (Y \cap A^{c})$$ und damit die Gleichheit. Also besteht $\cal{I}$ in der Tat aus $\mu^{\ast}$-me"sbaren Mengen und die Proposition \ref{KaEw} ist bewiesen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Ma"sfortsetzungssatzes von Caratheodory \ref{MHa}] Die Existenz einer Ma"sfortsetzung haben wir bereits als Proposition \ref{KaEw} gezeigt und nur die Eindeutigkeit ist noch zu zeigen. Sei dazu $\nu$ eine zweite Fortsetzung. Es gilt zu zeigen $\mu (C) = \nu (C)$ f"ur alle $C\in\cal{M}$. Aus der Konstruktion von $\mu$ in \ref{KaEw} folgt bereits $\nu(C)\leq \mu(C)$. Da wir unser Pr"ama"s $\sigma$-endlich angenommen hatten, gibt es jedoch eine aufsteigende Folge $A_{0}\subset A_1\subset A_2 \subset\ldots$ in $\cal{I}$ mit $\bigcup A_{n} =X$ und $\mu (A_{n}) < \infty \; \forall n$. Wir m"ussen nur f"ur alle $n$ die Gleichungen $$\mu (C \cap A_{n})= \nu (C\cap A_{n})$$ zeigen, dann ergibt sich $\mu (C )= \nu (C)$ im Grenzwert $n\ra\infty$. Wie bereits erw"ahnt gilt jedoch $\nu (C\cap A_{n}) \leq\mu (C \cap A_{n})$ und ganz genauso auch $\nu (C^{c}\cap A_{n})\leq\mu (C^{c} \cap A_{n})$, und da die Summe dieser Ungleichungen die Gleichung $\nu (A_{n}) = \mu (A_{n})$ liefert, m"ussen unsere Ungleichungen beide schon Gleichungen gewesen sein. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Ma"se und ihre Integrale}] Gegeben Intervall $I\subset\bar\DR$ mit $(\op{sup}I)\not \in I$ alias ein \glqq nach oben offenes Intervall\grqq\ und ein Punkt $p\in I$ erhalten wir eine Bijektion\label{VerTn} $$\begin{array}{ccc} \{\text{Borelma"se auf }I \} & \sira & \left\{\begin{array}{c}\text{Monoton wachsende}\\ \text{linksseitig stetige Funktionen}\\ \text{$f:I\ra\DR$ mit $f(p)=0$}\end{array}\right\} \\&&\\ \mu&\mapsto&\left(f_\mu:x\mapsto \left\{ \begin{array}{rl}\mu[p,x)&\text{falls }x\geq p;\\ -\mu[x,p)&\text{falls }x\leq p.\\ \end{array}\right\}\right) \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Umkehrabbildung zur Bijektion aus unserer Proposition notieren wir $f\mapsto \diff f$. Das Ma"s $\diff f$ hei"st auch das {\bf Stieltjes-Ma"s zu $f$}.\index{Stieltjes-Ma"s}\label{Stielt} Insbesondere notieren wir das Lebesguema"s auf $\DR$ auch $\diff x$ f"ur $x=\op{id}:\DR\ra\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man pr"uft leicht, da"s unsere Abbildungsvorschrift $\mu\mapsto f_\mu$ in der Tat eine Abbildung zwischen den im Satz beschriebenen Mengen liefert. Es gilt, eine Umkehrabbildung zu konstruieren. Zun"achst nehmen wir $I=\DR$ an, betrachten zu $f$ monoton wachsend linksseitig stetig das in \ref{dFf} konstruierte Pr"ama"s $\diff f$ und erweitern es mit dem Ma"sfortsetzungssatz zu einem Ma"s $\diff f$ auf den Borelmengen. Das so konstruierte Ma"s $\mu=\mu_f$ hat offensichtlich die Eigenschaft $f=f_\mu + f(p)$. Gehen wir andererseits von $\mu$ aus, so stimmt das Ma"s $\diff f_\mu$ auf einem erzeugenden Mengenring der borelschen $\sigma$-Algebra mit $\mu$ "uberein und wir haben folglich $\mu=\diff f_\mu$. Es bleibt, den Fall $I=[0,\infty)$ zu diskutieren. In diesem Fall setzen wir $f$ konstant durch $f(0)$ zu einer linksseitig stetigen Funktion auf $\DR$ fort und schr"anken das zugeh"orige Stieltjes-Ma"s $\diff f$ auf $[0,\infty)$ ein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Es gibt also f"ur jede linksseitig stetige monoton wachsende Funktion $f:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ genau ein topologisches Ma"s $\diff f$ auf $\Bbb{R}$ mit $(\diff f)([a,b))= f( b)- f(a)$ f"ur beliebige $a,b\in\DR$ mit $a< b$. Unser Lebesguema"s kann man in dieser Notation auch schreiben als das Ma"s $\diff x$, mit $x$ als alternativer Bezeichnung f"ur die Identit"at $\op{id}_\Bbb{R}:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$, $x\mapsto x$ auf der reellen Zahlengeraden. Etwas allgemeiner kann man so auch f"ur jeden orientierten eindimensionalen reellen affinen Raum $X$ und jede linksseitig stetige monoton wachsende Funktion $f:X\ra\Bbb{R}$ in nat"urlicher Weise ein topologisches Ma"s $\diff f$ auf $X$ erkl"aren. Die Beziehung zu unseren Kovektorfeldern $\diff f$ f"ur differenzierbare Funktionen $f$ diskutieren wir in \ref{Ldfxx}. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Wahrscheinlichkeitsma"se und Verteilungsfunktionen}] Wir erhalten eine Bijektion\label{VerTnn} $$\begin{array}{ccc} \{\text{Wahrscheinlichkeitsma"se auf }\DR \} & \sira & \left\{\begin{array}{c}\text{Monoton wachsende}\\ \text{linksseitig stetige Funktionen}\\ \text{$V:\DR\ra [0,1]$ mit}\\ \text{$\inf V(\DR)=0$ und $\sup V(\DR)=1$}\end{array}\right\} \\&&\\ \mu&\mapsto&\big(V_\mu:x\mapsto \mu(-\infty,x)\big) \end{array}$$ \end{Korollar} % \begin{Bemerkunge}\label{VerTnA}%{VerT} % Die Zuordnung $f\mapsto \mu_f$ aus \ref{dFfA} zusammen mit dem Satz % "uber Ma"sfortsetzungen % liefert allgemeiner als \ref{VerTn} formuliert % eine eineindeutige Entsprechung % zwischen der Menge aller in jeder Variablen monoton wachsenden % und linksseitig stetigen % Funktionen $f:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}$, die auf allen Koordinatenhyperebenen % verschwinden, % und der % Menge aller Borelma"se auf $\DR^n$. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{VTF} Im Fall von Wahrscheinlichkeitsma"sen $\mu$ auf $\DR$ mit seiner $\sigma$-Algebra der topologisch me"sbaren Mengen ist es "ublich, eine Variante der Konstruktion aus Satz \ref{VerTn} zu betrachten und die {\bf Verteilungsfunktion}\index{Verteilungsfunktion!eines Wahrscheinlichkeitsma"ses} des Wahrscheinlichkeitsma"ses $\mu$ zu definieren durch die Vorschrift $V_\mu(x)=\mu(-\infty,x)$ und allgemeiner $V_\mu(x_1,\ldots,x_n)=\mu((-\infty,x_1)\times\ldots \times(-\infty,x_n))$ f"ur Wahrscheinlichkeitsma"se auf $\DR^n$. Damit erhalten wir dann, wie oben formuliert, eine eineindeutige Entsprechung zwischen der Menge aller Wahrscheinlichkeitsma"se auf $\DR$ und der Menge aller linksseitig stetigen monoton wachsenden Funktionen $V:\Bbb{R}\ra\DR$ mit Infimum Null und Supremum Eins, in Formeln $\op{inf}(V(\DR))=0$ und $\op{sup}(V(\DR))=1$, oder allgemeiner zwischen der Menge aller Wahrscheinlichkeitsma"se auf $\DR^n$ und der Menge aller in jeder Variablen linksseitig stetigen monoton wachsenden Funktionen $V:\Bbb{R}^n\ra\DR$ mit Infimum Null und Supremum Eins. Andere Quellen erkl"aren die Verteilungsfunktion abweichend als $F_\mu(x)=\mu(-\infty,x]$ und erhalten dann analog eine eineindeutige Entsprechung zwischen der Menge aller Wahrscheinlichkeitsma"se auf $\DR$ und der Menge aller \emph{rechts}seitig stetigen monoton wachsenden Funktionen $F:\Bbb{R}\ra\DR$ mit Infimum Null und Supremum Eins. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{PMRi} Gegeben Mengen $X$ und $Y$ sowie Mengenringe $\cal{I} \subset \cal{P} (X)$ und $\cal{J} \subset \cal{P} (X)$ ist auch das System aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Mengen der Gestalt $A\times B$ mit $A\in \cal{I}$ und $B\in \cal{J}$ ein Mengenring in $\cal{P} (X\times Y)$. Diese "Ubung ist wichtig zur Vorbereitung der Diskussion von Produktma"sen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mengenalgebra oder -ring erzeugt von Mengensystem}] Seien $X$ eine Menge und $\cal{E} \subset \cal{P} (X)$ ein System von Teilmengen. Der Schnitt aller Mengenalgebren, die $\cal{E}$ umfassen, hei"st die\index{erzeugt!Mengenalgebra} {\bf von $\cal{E}$ erzeugte Mengenalgebra}.\index{Mengenalgebra!erzeugt von Mengensystem} Weiter hei"st der Schnitt aller Mengenringe, die $\cal{E}$ umfassen, der\index{erzeugt!Mengenring} {\bf von $\cal{E}$ erzeugte Mengenring}.\index{Mengenring!erzeugt von Mengensystem} Man zeige: Die von einem endlichen System $(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ von Teilmengen einer gegebenen Menge $X$ erzeugte\label{MREe} Mengenalgebra kann beschrieben werden als das System aller Mengen, die man erh"alt, wenn man erst f"ur alle $I \subset \Lambda$ die paarweise disjunkten Mengen $$A_{(I)} = \bigcap_{\lambda \in I} A_{\lambda} \cap \bigcap_{\lambda \not\in I} (X \backslash A_{\lambda})=\bigcap_{\lambda \in I} A_{\lambda} \backslash \bigcup_{\lambda \not\in I} A_{\lambda}$$ bildet und dann Vereinigungen derartiger $A_{(I)}$ nimmt. Nimmt man Vereinigungen derartiger $A_{(I)}$ mit $I \neq \emptyset$, so ergibt sich der von den $A_{\lambda}$ erzeugte Mengenring. Die von einem beliebigen System von Teilmengen einer gegebenen Menge erzeugte Mengenalgebra ist die Vereinigung der von allen endlichen Teilsystemen erzeugten Mengenalgebren. Der von einem beliebigen System von Teilmengen einer gegebenen Menge erzeugte Mengenring ist die Vereinigung der von allen endlichen Teilsystemen erzeugten Mengenringe. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vergleich von Ma"sen}] Gegeben eine Menge $X$ hei"st ein Mengensystem $\cal{S} \subset \cal{P} (X)$ {\bf zweischnittstabil},\index{zweischnittstabil} wenn gilt $A,B\in \cal{S} \RA A\cap B\in \cal{S}$. Man zeige, da"s zwei Ma"se auf ein- und derselben $\sigma$-Algebra "ubereinstimmen, sobald sie auf einem zweischnittstabilen Erzeugendensystem unserer $\sigma$-Algebra "ubereinstimmen, das dar"uber hinaus f"ur beide Ma"se {\bf $\sigma$-endlich}\index{s@$\sigma$-endlich} ist in dem Sinne,\label{zschs} da"s die ganze Menge durch eine Folge von Mengen endlichen Ma"ses aus besagtem Erzeugendensystem "uberdeckt werden kann. Hinweis: Man zeige, da"s die beiden Ma"se auf dem von $\cal{S}$ erzeugten Mengenring "ubereinstimmen, und wende dann Caratheodory an. In der Literatur sagt man meist einfacher \glqq schnittstabil\grqq,\index{schnittstabil!f"ur zweischnittstabil} aber das k"onnte dahingehend mi"sverstanden werden, da"s m"oglicherweise die Stabilit"at unter endlichen Schnitten, also zus"atzlich Schnitten "uber die leere Familie, oder gar unter beliebigen Schnitten gefordert w"urde. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDIM} Zeigen Sie, da"s es h"ochstens ein normiertes translationsinvariantes topologisches Ma"s $\lambda$ auf $\DR$ geben kann. Hinweis: Zeigen Sie zun"achst $\lambda(\{a\})=0$ f"ur alle $a \in \DR$; Zeigen Sie anschlie"send, da"s f\"ur alle $n \in \DN$ gilt: $\lambda ([0,1/n]) =1/n$. Erweitern Sie als n"achstes die Aussage auf Intervalle mit rationalen Endpunkten und schlie"slich auf beliebige Intervalle. Wenden Sie dann den Satz "uber Ma"sfortsetzungen an. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDIMn} Zeigen Sie, da"s es h"ochstens ein normiertes translationsinvariantes topologisches Ma"s $\lambda$ auf $\DR^n$ geben kann. Hinweis: \ref{EDIM}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Benford's Gesetz}] Zeigen Sie, da"s es auf jedem nichtleeren kompakten Intervall $I=[a,b]$ genau ein topologisches Ma"s $\mu$ gibt, das dem ganzen Intervall das Ma"s Eins zuweist und das\label{ExPT} \glqq partiell translationsinvariant\grqq\ ist in dem Sinne, da"s f"ur jede Borelmenge $A\subset I$ und jedes $a\in \DR$ mit $a+A\subset I$ gilt $ \mu(A)=\mu(a+A)$. Zeigen Sie, da"s es auf jedem nichtleeren kompakten Intervall $I=[\alpha,\beta]\subset\DR_{>0}$ genau ein topologisches Ma"s $\mu$ gibt, das dem ganzen Intervall das Ma"s Eins zuweist und das \glqq partiell skaleninvariant\grqq\ ist in dem Sinne, da"s f"ur jede Borelmenge $A\subset I$ und jedes $c\in \DR_{>0}$ mit $cA\subset I$ gilt $ \mu(A)=\mu(cA)$. Zeigen Sie weiter, da"s dieses Ma"s, wenn unser Intervall nicht nur aus einem Punkt besteht, von der Gestalt $a \op{d}\log$ ist mit $a>0$. Gegeben ein derartiges Ma"s und $I$ so gro"s, da"s gilt $\beta >10^n \alpha$ f"ur $n\geq 1$, wird dann f"ur jede Ziffer $i\in\{1,\ldots ,9\}$ das Ma"s der Menge $M_i$ aller $x\in I$, die als Dezimalbruch mit erster von Null verschiedener Ziffer $i$ geschrieben werden k"onnen, von $(\op{log}(i+1)-\op{log}(i))/\op{log}(10)$ um weniger als $1/(n+1)$ abweichen. Diese Verteilung der Anfangsziffern \glqq zuf"alliger\grqq\ Zahlenreihen tritt in der Wirklichkeit h"aufig auf und hei"st {\bf Benford's Gesetz}.\index{Benford's Gesetz} Benford fand es beim Nachdenken "uber die Tatsache, da"s bei gut gebrauchten B"uchern mit Logarithmentafeln die Seiten mit den Logarithmen zu kleinen Anfangsziffern am Rand viel schw"arzer sind als die Seiten mit den Logarithmen zu gro"sen Anfangsziffern. Benford's Gesetz wird unter anderem eingesetzt, um Steuerbetrug zu entlarven, da von Menschen willk"urlich hingeschriebene Zahlenreihen typischerweise eine andere Verteilung von Anfangsziffern haben. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Gleichverteilung im Folgenraum}] Auf dem Raum $\op{Ens}(\DN,\{W,Z\})$ aller Folgen in der zweielementigen Menge $ \{W,Z\}$ mit der in \eref{FRo}{AN2} erkl"arten Metrik gibt es genau ein Borelma"s, das\label{GVF} f"ur jeden $n$-glied\-ri\-gen Folgenanfang der Menge aller Folgen mit diesem Anfang das Ma"s $2^{-n}$ zuordnet. Man zeige weiter, da"s die durch die dyadische Entwicklung gegebene Surjektion $\op{Ens}(\DN,\{W,Z\})\sra [0,1]$ stetig ist und da"s hier das Ma"s des Urbilds einer Borelmenge gerade das Lebesguema"s der urspr"unglichen Menge ist. Hinweis: Man mag eine Teilmenge unseres Folgenraums \glqq $n$-vern"unftig\grqq\ nennen, wenn sie mit einer Folge auch alle anderen Folgen enth"alt, die sich von dieser fr"uhestens im $n$-ten Folgenglied unterscheiden. Man mag eine Teilmenge unseres Folgenraums \glqq vern"unftig\grqq\ nennen, wenn sie $n$-vern"unftig ist f"ur mindestens ein $n$. Man mag von der Erkenntnis ausgehen, da"s die vern"unftigen Teilmengen einen Mengenring bilden, und verwenden, da"s alle vern"unftigen Teilmengen sowohl offen als auch abgeschlossen und damit nach \eref{FRo}{AN2} kompakt sind. Jede "Uberdeckung einer vern"unftigen Teilmenge durch vern"unftige Teilmengen besitzt folglich eine endliche Teil"uberdeckung. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{CaMe} Wir betrachten die \defind{Cantor-Menge} $C$, die aus dem Einheitsintervall $C_0=[0,1]$ entsteht, indem wir das mittlere Drittel $(1/3,2/3)$ herausnehmen, dann aus den beiden so entstehenden kompakten Intervallen wieder \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCa} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zur Cantor-Menge \end{minipage} \end{figure} jeweils das offene mittlere Drittel und so weiter, und schlie"slich als $C$ den Schnitt "uber alle Mengen $C_n$ nehmen, die wir in dieser Weise in $n$ Schritten erhalten. Man zeige, da"s die Cantor-Menge das Lebesguema"s $\lambda(C)=0$ Null hat und "uberabz"ahlbar ist. Hinweis: Man kann die Cantor-Menge auch beschreiben als die Menge aller Zahlen, die sich in der Basis Drei mit einer Null vor dem Komma und ohne die Ziffer Eins ausdr"ucken lassen, in Formeln $$C=\left.\left\{\sum_{i=1}^\infty a_i 3^{-i}\right| a_i\in \{0,2\}\right\}$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Die Menge aller reellen Zahlen, die sich darstellen lassen durch einen unendlichen Dezimalbruch, in dem die Ziffer 6 nicht vorkommt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge von $\DR$ vom Lebesguema"s Null. \end{Ubunge} \subsection{Vervollst"andigung von Ma"sr"aumen*} \begin{Definition}\label{Nullm} Eine Teilmenge eines Ma"sraums, die in einer me"sbaren Menge vom Ma"s Null enthalten ist, hei"st eine \defind{Nullmenge} unseres Ma"sraums. Ein Ma"sraum $X=(X,\cal{M},\mu)$ hei"st \defnoind{vollst"andig},\index{vollst"andig!Ma"sraum} wenn jede Nullmenge bereits me"sbar ist alias zu $\cal{M}$ geh"ort. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Vervollst"andigung von Ma"sr"aumen}] \begin{enumerate} \item Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M}, \mu)$ gibt es genau eine Fortsetzung von $\mu$ zu einem Ma"s $\mu^{\ast}$ auf der von $\cal{M}$ und den $\mu$-Nullmengen erzeugten $\sigma$-Algebra $\cal{M}^{\ast}$ und der so entstehende Ma"sraum $(X, \cal{M}^{\ast}, \mu^{\ast})$ ist vollst"andig; \item Die $\sigma$-Algebra $\cal{M}^{\ast}$ besteht aus allen $E \subset X$ derart, da"s es $A, B \in \cal{M}$ gibt mit $A\subset E \subset B$ und $\mu (B{\setminus} A) =0$. \end{enumerate}\label{VvM} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Erweitern wir $\mu$ zu einem "au"seren Ma"s $\mu^\ast$ auf $\cal{P}(X)$ wie in Lemma \ref{LHh} und wenden auf dieses "au"sere Ma"s das Zerlegerlemma \ref{LC} an, so folgt, da"s alle $\mu$-Nullmengen bereits $\mu^\ast$-me"sbar sind und da"s mithin $\mu^{\ast}$ ein Ma"s ist auf $\cal{M}^{\ast}$. Das zeigt die Existenz von $\mu^{\ast}$. F"ur die Eindeutigkeit pr"uft man, da"s $\cal{M}^\ast$ genau aus allen Teilmengen $E \subset X$ besteht derart, da"s es $A, B \in \cal{M}$ gibt mit $A\subset E \subset B$ und $\mu (B{\setminus} A) =0$. In der Tat bilden n"amlich alle diese $E$ eine $\sigma$-Algebra, wie Sie als "Ubung \ref{sANM} selbst pr"ufen m"ogen. Jedes erweiterte Ma"s $\mu^\ast$ nimmt aber auf einer solchen Teilmenge $E$ notwendig den Wert $\mu^\ast(E)=\mu(A)$ an. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Der Ma"sraum $(X,\cal{M}^{\ast},\mu^{\ast})$ hei"st die \defnoind{Vervollst"andigung}\index{Vervollst"andigung!von Ma"sraum} des Ma"sraums $(X,\cal{M}, \mu)$. Die bez"uglich der Vervollst"andigung des Lebesguema"ses me"sbaren Teilmengen von $\Bbb{R}$ oder auch $\Bbb{R}^n$ nennt man die \defind{Lebesgue-me"sbaren} Teilmengen oder kurz \defind{Lebesgue-Mengen}. Es ist nicht ganz einfach, eine Lebesgue-Menge in $\Bbb{R}$ explizit anzugeben, die nicht topologisch me"sbar ist. Genauer gesagt w"u"ste ich selbst nicht, wie ich das machen sollte, und m"u"ste einen Logiker um Hilfe bitten. Man kann jedoch zeigen, da"s es im Sinne der Mengenlehre \glqq mehr\grqq\ Lebesgue-Mengen in $\DR$ gibt als topologisch me"sbare Teilmengen, vergleiche etwa \eref{EZSI}{AL}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man arbeite den Schlu"s des Beweises von \ref{VvM} aus und zeige, da"s gegeben ein Ma"sraum $(X, \cal{M}, \mu)$ das Mengensystem aller $E \subset X$\label{sANM} derart, da"s es $A, B \in \cal{M}$ gibt mit $A\subset E \subset B$ und $\mu (B{\setminus} A) =0$, eine $\sigma$-Algebra ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeigen Sie, da"s es in $\DR$ Teilmengen gibt, die nicht Borel-me"sbar und noch nicht einmal Lebesgue-me"sbar\label{nmTM} sind. Hinweis: \ref{ViLe}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Eine Teilmenge der reellen Zahlengeraden ist eine Nullmenge in Bezug auf das Lebesguema"s genau dann, wenn sie sich f"ur jedes $\varepsilon >0$ durch eine Folge von kompakten Intervallen $[a_n,b_n]$ "uberdecken l"a"st derart, da"s gilt $\sum_{n=0}^\infty (b_n-a_n)<\varepsilon$. Hinweis: \ref{MHa} und \ref{KaEw}. \end{Ubung} \subsection{Me"sbare Abbildungen} \begin{Bemerkungl} Bis jetzt haben wir uns nur mit dem Messen von Mengen besch"aftigt. Wir haben gesehen, da"s das Messen ganz beliebiger Teilmengen der reellen Zahlengerade problematisch ist, konnten jedoch gewisse Mengen als me"sbar auszeichnen und solchen Mengen sinnvoll ein Ma"s zuordnen. Nun wollen wir reellwertigen Funktionen auf Ma"sr"aumen ein Integral zuordnen. Wieder ist das f"ur ganz beliebige Funktionen problematisch, und wieder k"onnen wir gewisse Funktionen als \glqq me"sbar\grqq\ auszeichnen und zumindest allen nichtnegativen me"sbaren Funktionen sinnvoll ein Integral zuordnen. In einem zweiten Schritt geben wir dann auch eine Definition f"ur das Integral beliebiger me"sbarer reellwertiger Funktionen, wann immer ihr Betrag ein endliches Integral hat. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $(X,\cal{M})$ und $(Y,\cal{N})$ Me"sr"aume. Eine Abbildung $f: X \ra Y$ hei"st {\bf me"sbar},\index{me"sbar!Abbildung} wenn das Urbild jeder me"sbaren Menge me"sbar ist, in Formeln $V \in \cal{N} \Rightarrow f^{-1} (V) \in \cal{M}$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Nach "Ubung \ref{nmTM} sind nicht alle Teilmengen von $\DR$ borelme"sbar. Die charakteristische Funktion einer nicht borelme"sbaren Teilmenge ist dann eine nicht borelme"sbare Abbildung $\DR\ra\DR$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Eine me"sbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal A,P)$ in einen Me"sraum hei"st eine \defind{Zufallsvariable} auf unserem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in besagtem Me"sraum oder ein {\bf zuf"alliges Element}\index{zuf"alliges Element}\index{Element!zuf"alliges} von besagtem Me"sraum. So w"urde etwa ein gerechter W"urfel modelliert durch eine Abbildung $W:\Omega\ra \{1,\ldots,6\}$ mit $W^{-1}(i)$ me"sbar und $P(W^{-1}(i))=1/6$ f"ur $1\leq i\leq 6$. Das Interesse konzentriert sich in diesem Zusammenhang auf das Studium der Beziehungen zwischen derartigen Zufallsvariablen. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Jede Verkn"upfung me"sbarer Abbildungen ist me"sbar. \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus der Definition. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BoMe} Wenn nichts anderes gesagt ist, denken wir uns metrische oder allgemeiner topologische R"aume stets mit der durch die Borel'sche $\sigma$-Algebra gegebenen Struktur eines Me"sraums versehen. Wir machen unsere erweiterten reellen Zahlen $\bar{\Bbb{R}} =[-\infty, \infty]$ zu einem Me"sraum, indem wir darauf die von allen Intervallen erzeugte $\sigma$-Algebra betrachten. F"ur die nat"urliche Topologie auf $\bar{\Bbb{R}}$ im Sinne von \eref{NaTr}{AN2} ist das auch genau die Borel'sche $\sigma$-Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Alle stetigen Abbildungen sind me"sbar. \end{Proposition} \begin{proof} Da die Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen nach \eref{SATR}{AN2} offen sind, folgt das aus dem anschlie"senden Lemma \ref{KM}. \end{proof} \begin{Definition}\label{ISAL} Sei $f: X \ra Y$ eine Abbildung. \begin{enumerate} \item Ist $\cal{M}\subset \mathcal P(X)$ eine $\sigma$-Algebra, so ist offensichtlich auch das Mengensystem $f_{\ast} \cal{M} \pdef \{ V\subset Y \mid f^{-1} (V) \in \cal{M}\}$ eine $\sigma$-Algebra. Es hei"st das {\bf Bild unter $f$} der $\sigma$-Algebra $ \cal{M}$;\index{Bild!von $\sigma$-Algebra} \item Ist $\cal{N}\subset \mathcal P(Y)$ eine $\sigma$-Algebra, so ist offensichtlich auch das Mengensystem $f^{\ast} \cal{N} \pdef \{ f^{-1} (V) \mid V\in \cal{N}\}$ eine $\sigma$-Algebra. Sie hei"st das {\bf Urbild unter $f$} der $\sigma$-Algebra $ \cal{N}$;\index{Urbild!von $\sigma$-Algebra} \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $i:B \hra Y$ die Einbettung einer Teilmenge $B\subset Y$ eines Me"sraums $(Y,\cal{N})$, so erkl"aren wir die {\bf auf $B$ induzierte $\sigma$-Algebra} durch $$\cal{N}|_{B}\pdef i^{\ast} \cal{N}$$ Die auf $B$ induzierte $\sigma$-Algebra besteht also gerade aus allen Schnitten mit $B$ von me"sbaren Mengen in $Y$, in Formeln $\cal{N}|_{B} = \{Z \cap B\mid Z \in \cal{N}\}$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{KM} Seien $(X,\cal{M})$ und $(Y,\cal{N})$ Me"sr"aume und sei die $\sigma$-Algebra $\cal{N}$ erzeugt von einem Teilsystem $\cal{E} \subset \cal{N}$, in Formln $\sigma(\mathcal E)=\mathcal N$. Genau dann ist $f: X \ra Y$ me"sbar, wenn die Urbilder aller Mengen aus $\mathcal E$ me"sbar sind, wenn also in Formeln gilt $$V \in \cal{E} \Rightarrow f^{-1} (V) \in \cal{M}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden unsere Notation $f_\ast\mathcal M$ f"ur das Bild einer $\sigma$-Algebra und insbesondere die Erkenntnis \ref{ISAL}, da"s $f_\ast\mathcal M$ auch selbst wieder eine $\sigma$-Algebra ist. Aus $\mathcal E\subset f_{\ast} \cal{M}$ folgt also $\sigma(\mathcal E)\subset f_{\ast} \cal{M}$ und damit $\mathcal N\subset f_{\ast} \cal{M}$. Das aber bedeutet gerade die Me"sbarkeit von $f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Weil die Beweise vollst"andig analog sind und die Terminologie sich als n"utzlich erweisen wird, formulieren wir auch gleich noch die Analoga dieser Aussagen f"ur topologische R"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ISALt} Sei $f: X \ra Y$ eine Abbildung. \begin{enumerate} \item Ist $\cal{T}\subset \mathcal P(X)$ eine Topologie, so ist offensichtlich auch das Mengensystem $f_{\ast} \cal{T} \pdef \{ V\subset Y \mid f^{-1} (V) \in \cal{T}\}$ eine Topologie, die {\bf Finaltopologie}; \index{Finaltopologie} \item Ist $\cal{S}\subset \mathcal P(Y)$ eine Topologie, so ist offensichtlich auch das Mengensystem $f^{\ast} \cal{S} \pdef \{ f^{-1} (V) \mid V\in \cal{S}\}$ eine Topologie auf $X$, die {\bf Initialtopologie};\index{Initialtopologie} \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $i:B \hra Y$ die Einbettung einer Teilmenge in einen topologischen Raum, so ist die Initialtopologie unsere induzierte Topologie aus \eref{SSIDT}{AN2}. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{KMt} Seien $(X,\cal{T})$ und $(Y,\cal{S})$ zwei topologische R"aume und sei die Topologie $\cal{S}$ erzeugt im Sinne von \ref{ezTO} von einem Teilsystem $\cal{E} \subset \cal{S}$. Genau dann ist $f: X \ra Y$ stetig, wenn die Urbilder aller Mengen aus $\mathcal E$ offen sind, wenn also in Formeln gilt $$V \in \cal{E} \Rightarrow f^{-1} (V) \in \cal{T}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Vollst"andig analog zum Beweis von \ref{KM}. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben Me"sr"aume $(X, \cal{M})$ und $(Y,\cal{N})$ hei"st die von allen Produkten $A \times B$ mit $A \in \cal{M}$ und $B \in \cal{N}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\cal{M} \boxtimes \cal{N} \subset \cal{P} (X\times Y)$ die\label{ProSa} {\bf Produkt-$\sigma$-Algebra} oder auch das {\bf "au"sere Produkt} unserer $\sigma$-Algebren. \index{Produkt-$\sigma$-Algebra}\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von $\sigma$-Algebren}\index{"au"seres Produkt!von $\sigma$-Algebren} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Projektionen eines Produkts von Me"sr"aumen auf seine Faktoren sind me"sbar nach \ref{KM}. Sind $X,Y,Z$ Me"sr"aume und $f:Z\ra X$ sowie $g:Z\ra Y$ Abbildungen, so sind weiter nach \ref{KM} Abbildungen $f$ und $g$ me"sbar genau dann, wenn $(f,g):Z\ra X\times Y$ me"sbar ist. In der Sprache der Kategorientheorie \eref{PrKao}{LA2} bedeutet das, da"s wir so ein \glqq Produkt\label{PrMMn} in der Kategorie der Me"sr"aume\grqq\ erhalten, mit Me"sr"aumen als Objekten und me"sbaren Abbildungen als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ erkl"art man auf $X\times Y$ die {\bf Produkttopologie}\index{Produkttopologie} als die Topologie, die erzeugt wird\label{ProTo} von allen $U\times V$ mit $U\co X$ und $V\co Y$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Mehr zur Produkttopologie, insbesondere im Fall unendlicher Produkte, findet man in \eref{PrTo}{TM}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Die Projektionen eines Produkts topologischer R"aume auf seine Faktoren sind stetig nach \ref{KMt}. Sind $X,Y,Z$ topologische R"aume und $f:Z\ra X$ sowie $g:Z\ra Y$ Abbildungen, so sind weiter nach \ref{KMt} Abbildungen $f$ und $g$ stetig genau dann, wenn $(f,g):Z\ra X\times Y$ stetig ist. In der Sprache der Kategorientheorie \eref{PrKao}{LA2} bedeutet das, da"s wir so ein \glqq Produkt\label{PrMMn} in der Kategorie der topologischen R"aume\grqq\ erhalten, mit topologischen R"aumen als Objekten und stetigen Abbildungen als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man sieht zus"atzlich leicht ein, da"s gegeben zwei metrische R"aume die Topologie zur Produktmetrik mit der Produkttopologie zusammenf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein topologischer Raum $X$\label{sep} hei"st ein Mengensystem ${\cal E} \subset {\cal P}(X)$ eine {\bf Basis\index{Basis einer Topologie} der Topologie}, wenn die offenen Mengen unseres topologischen Raums $X$ alle beliebigen Vereinigungen von Mengen aus ${\cal E}$ sind. Ein topologischer Raum hei"st {\bf abz"ahlbar basiert},\index{abz"ahlbar basiert} wenn er eine abz"ahlbare Basis der Topologie besitzt. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Basis der Produkttopologie}] Gegeben $X,Y$ topologische R"au\-me bilden die Produkte $U\times V$ mit $U\co X$ und $V\co Y$ eine Basis der Produkttopologie. In der Tat ist das System all dieser Produkte stabil unter endlichen Schnitten und nun m"ussen wir nur unsere explizite Beschreibung \ref{ezTO} der von einem Mengensystem erzeugten Topologie erinnern. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Basis der Produkttopologie, Variante}] Gegeben topologische R"aume $X,Y$ und $\mathcal E,\mathcal F$ jeweils eine Basis der Topologie bilden die Produkte $U\times V$ mit $U\in \mathcal E$ und $V\in \mathcal F$ eine Basis der Produkttopologie.\label{BPZT} In der Tat folgt das sofort aus dem vorhergehenden Beispiel. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Beispiele zur Eigenschaft \glqq abz"ahlbar basiert\grqq}] Ein "uberabz"ahlbarer diskreter Raum ist nicht abz"ahlbar basiert. Der $\DR^n$ ist abz"ahlbar basiert, wie man leicht einsieht und auch aus der anschlie"senden Bemerkung folgern kann.\label{TMAB} Jede Teilmenge eines abz"ahlbar basierten Raums ist abz"ahlbar basiert in Bezug auf ihre Spurtopologie. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Abz"ahlbar basierte metrische R"aume}] Ein metrischer Raum ist genau dann abz"ahlbar basiert, wenn er eine abz"ahlbare dichte Teilmenge besitzt. \end{Lemma} \begin{proof} W"ahlen wir aus jeder Menge einer Basis der Topologie einen Punkt aus, so erhalten wir sicher eine dichte Teilmenge. Ist umgekehrt $(x_n)_{n\in\DN}$ dicht in einem metrischen Raum, so bilden die offenen B"alle $\op{B}(x_n;1/m)$ eine abz"ahlbare Basis der Topologie. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Man nennt metrische R"aume, die eine abz"ahlbare dichte Teilmenge besitzen, auch {\bf separabel}.\index{separabel!metrischer Raum} Statt \glqq abz"ahlbar basiert\grqq\ sagt man in der Literatur meist, der Raum \glqq besitze eine abz"ahlbare Basis\grqq\ oder er \glqq gehorche dem zweiten Abz"ahlbarkeitsaxiom\grqq.\index{Abz"ahlbarkeitsaxiom@{\it Abz"ahlbarkeitsaxiom, zweites}} Weiter nennen viele Autoren auch einen allgemeinen topologischen Raum \glqq separabel\grqq,\index{separabel@{\it separabel, topologischer Raum}} wenn er eine abz"ahlbare dichte Teilmenge besitzt.\label{sepm} Das gef"allt mir nicht, da dies Konzept meines Erachtens in dieser Allgemeinheit nicht relevant genug ist, um eine eigene Bezeichnung zu verdienen. Im Buch von Halmos zur Ma"stheorie wird der Begriff \glqq separabel\grqq\ f"ur allgemeine topologische R"aume als Synonym f"ur unser \glqq abz"ahlbar basiert\grqq\ verwendet, aber damit steht er alleine da. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EZSi} Besitzt ein topologischer Raum eine abz"ahlbare Basis der Topologie, so erzeugen die offenen Mengen aus dieser Basis die Borel'sche $\sigma$-Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{PrBS} Gegeben abz"ahlbar basierte topologische R"aume $X,Y$ ist die Borel'sche $\sigma$-Algebra ihres Produkts die Produkt-$\sigma$-Algebra der Borel'schen $\sigma$-Algebren der Faktoren, in Formeln $$\op{Borel}(X)\boxtimes \op{Borel}(Y)=\op{Borel}(X\times Y)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Die Projektionen auf die Faktoren sind stetig, also sind die Urbilder von Borelmengen wieder Borelmengen. Gegeben $A\in\op{Borel}(X)$ und $B\in\op{Borel}(Y)$ folgt so $A\times Y, X\times B\in\op{Borel}(X\times Y)$. Dann gilt aber auch f"ur den Schnitt $A\times B\in\op{Borel}(X\times Y)$ und es folgt $$\op{Borel}(X)\boxtimes \op{Borel}(Y)\subset \op{Borel}(X\times Y)$$ sogar f"ur beliebige topologische R"aume $X,Y$. Um die Gegenrichtung zu zeigen, w"ahlen wir zu $X$ und $Y$ jeweils eine abz"ahlbare Basis $\mathcal E,\mathcal F$ der Topologie. Nach \ref{BPZT} bilden dann die Produkte $U\times V$ mit $U\in \mathcal E$ und $V\in \mathcal F$ eine Basis der Produkttopologie. Nach \ref{EZSi} erzeugen aber diese Produkte bereits die Borel'sche $\sigma$-Algebra von $X\times Y$ und so folgt die umgekehrte Inklusion $\op{Borel}(X)\boxtimes \op{Borel}(Y)\supset \op{Borel}(X\times Y)$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{PMF} Die Summe und das Produkt reellwertiger me"sbarer Funktionen sind wieder me"sbar. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ ein Me"sraum und seien $f,g:X\ra\Bbb{R}$ me"sbare Funktionen. Nach \ref{PrMMn} ist dann $(f,g):X\ra\Bbb{R}^2$ me"sbar in Bezug auf die Produkt-$\sigma$-Algebra $\op{Borel}(\DR)\boxtimes \op{Borel}(\DR)$ in $\DR^2$. Andererseits sind Addition und ebenso die Multiplikation $\Bbb{R}^2\ra\Bbb{R}$ stetig und folglich me"sbar f"ur die $\sigma$-Algebra $\op{Borel}(\DR^2)$. Da $\DR$ abz"ahlbar basiert ist, stimmen diese $\sigma$-Algebren nach \ref{PrBS} "uberein. Folglich sind $f+g$ und $fg$ als Verkn"upfungen me"sbarer Abbildungen auch wieder me"sbar. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Me"sbarkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen}] Sei ein Me"sraum $(X,\cal{M})$ gegeben.\label{MG3} \begin{enumerate} \item Eine Funktion $f:X \ra \bar{\Bbb{R}}$ ist genau dann me"sbar, wenn f"ur jedes $a \in \Bbb{R}$ die Menge $\{x\mid f(x) > a \}= f^{-1}(a,\infty]$ me"sbar ist in $X$; \item F"ur jede Folge me"sbarer Funktionen $f_n:X\ra\bar{\Bbb{R}}$ sind auch ihr Supremum und ihr Infimum $s,i:X\ra\bar{\Bbb{R}}$, $s(x)=\sup_n f_n(x)$ beziehungsweise $i(x)=\inf_n f_n(x)$ me"sbar; \item Konvergiert eine Folge me"sbarer Funktionen $f_{n}: X \ra \bar{\Bbb{R}}$ punktweise gegen $f:X \ra \bar{\Bbb{R}}$, so ist auch $f$ me"sbar. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Die Intervalle der Form $\left( a, \infty\right]$ erzeugen die $\sigma$-Algebra der Borel-Mengen in $\bar{\Bbb{R}}$ und wir k"onnen \ref{KM} anwenden. \\[2mm]\noindent 2. Es gilt $s^{-1}( a, \infty]= \bigcup^{\infty}_{n=0} f^{-1}_{n} ( a,\infty]$ und $i^{-1}[-\infty, a)= \bigcup^{\infty}_{n=0} f^{-1}_{n} [-\infty, a)$ und wir k"onnen wieder \ref{KM} anwenden. \\[2mm]\noindent 3. Nach 2 sind auch die Funktionen $s_{N} (x) = \sup_{n\geq N} f_{n}(x)$ me"sbar, und dann auch die Funktion $g:X \ra \bar{\Bbb{R}}$, $ g(x) = \inf_{N} s_{N}(x)$. Diese Funktion bezeichnet man auch mit $g=\lim \sup f_{n}$ und wir habn gezeigt, da"s sie me"sbar ist f"ur eine beliebige Folge me"sbarer Funktionen. Falls die $f_{n}$ nun sogar punktweise gegen eine Grenzfunktion $f$ konvergieren, so gilt $f=\lim\sup f_{n}$ und mithin ist dann auch $f$ me"sbar. \end{proof} \begin{Lemma*}[\textbf{Me"sbarkeit punktweiser Grenzwerte, Variante}] Ist $X$ ein Me"sraum und $Y$ ein metrischer Raum %Hausdorff-Raum und konvergiert eine Folge me"sbarer Funktionen $f_{n}: X \ra Y$ punktweise gegen eine Grenzfunktion $f:X \ra Y$, so ist auch die Grenzfunktion $f$ me"sbar. \end{Lemma*} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen den dritten Teil von Satz \ref{MG3} alternativ als Spezialfall dieses Lemmas erhalten, wenn wir etwa beachten, da"s unsere Topologie auf $\bar{\DR}$ auch als eine metrische Topologie erhalten werden kann. Das Lemma gilt im "ubrigen mit demselben Beweis f"ur einen beliebigen Hausdorffraum mit der Eigenschaft, da"s jede seiner abgeschlossenen Mengen als der Schnitt einer abz"ahlbaren Familie offener Mengen geschrieben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{KM} reicht es, f"ur alle abgeschlossenen Teilmengen $A \As Y$ zu zeigen, da"s ihr Urbild $f^{-1}(A)$ unter $f$ me"sbar ist. Nun gibt es jedoch eine absteigende Folge offener Mengen $U_0\supset U_1\supset \ldots$ mit Schnitt $A$. Dann ist $f(x)\in A$ gleichbedeutend dazu, da"s es f"ur jedes $i\in\DN$ ein $N=N(x,i)$ gibt mit $f_n(x)\in U_i$ f"ur $n\geq N(x,i)$. Damit k"onnen wir $f^{-1}(A)$ wie folgt beschreiben: Wir bilden zun"achst f"ur jedes $i$ die Menge $$V_i\pdef\{ x\in X\mid \exists N \text{ mit } n\geq N\RA f_n(x)\in U_i\} =\bigcup_{N\geq 0}\bigcap_{n\geq N}f_n^{-1}(U_i)$$ und erhalten $f^{-1}(A)=\bigcap_{i\geq 0} V_i$. Diese Darstellung zeigt, da"s mit den $f_n^{-1}(U_i)$ auch $f^{-1}(A)$ me"sbar sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{muM} Eine Funktion auf einem Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$, die me"sbar ist auf dem in Bezug auf das Ma"s $\mu$ vervollst"andigten Ma"sraum $(X,\cal{M}^\ast,\mu^\ast)$, nennen wir \defnoind{$\mu$-me"sbar}.\index{me"sbar!$\mu$-me"sbar, Funktion} Insbesondere hei"st eine Abbildung $\DR\ra\bar{\DR}$ \defind{Lebesgue-me"sbar}, wenn sie \defnoind{$\lambda$-me"sbar} ist f"ur $\lambda$ das Lebesguema"s. Wir werden nach M"oglichkeit versuchen, ohne diese Begrifflichkeit auszukommen. Die Beziehung dieses Begriffs zur Me"sbarkeit in Bezug auf $\mathcal M$ kl"art \ref{MI}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Geht man von diskreten Mengen zu allgemeineren \glqq R"aumen\grqq\ "uber, so gibt es zwei besonders nat"urliche Verallgemeinerungen f"ur das Konzept einer Funktion: Funktionen und Ma"se. Gegeben eine Abbildung $X\ra Y$ k"onnen Funktionen auf $Y$ zu Funktionen auf $X$ zur"uckgezogen werden, Ma"se auf $X$ jedoch liefern in der Gegenrichtung Bildma"se auf $Y$. Diese zugegebenerma"sen vagen Andeu\-tung\-en werden im folgenden in speziellen Situationen ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{BiMaU} Gegeben eine me"sbare Abbildung $\phi:X\ra Y$ von Me"sr"aumen und ein Ma"s $\mu $ auf $X$ erkl"art man das \defind{Bildma"s} $\phi_\ast \mu$ auf $Y$ dadurch, da"s man f"ur jede me"sbare Menge $A\subset Y$ setzt $$(\phi_\ast \mu)(A)\pdef\mu(\phi^{-1}A)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich liefert diese Vorschrift in der Tat ein Ma"s auf $Y$. Zus"atzlich gilt f"ur jede weitere me"sbare Abbildung $\psi:Y\ra Z$ von Me"sr"aumen die Formel $\psi_\ast(\phi_\ast \mu)=(\psi\circ \phi)_\ast \mu$ und f"ur die Identit"at auf $X$ die Formel $\op{id}_\ast \mu=\mu$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Diracma"s als Bildma"s}] Das Bildma"s des Diracma"ses $\delta$ auf dem {\bf einpunktigen Me"sraum} $\op{me"s}$ unter einer me"sbaren Abbildung in einen Me"sraum $X$ ist das Diracma"s am Bildpunkt, in Formeln gilt also f"ur jeden Punkt $x\in X$ und $\op{em}_x:\op{me"s}\ra X$ die Abbildung mit Bild $\{x\}$ die Identit"at $$\delta_x=\op{em}_{x*}\delta$$ \end{Beispiel} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBM} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Versuch der graphischen Darstellung eines Bildma"ses. Das Ma"s einer Teilmenge ist hier so in etwa zu verstehen als die Zahl der Strichle in besagter Teilmenge. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal A,P)$ hei"st das Bildma"s des Wahrscheinlichkeitsma"ses unter einer Zufallsvariable $X:\Omega\ra Y$ die {\bf Verteilung der Zufallsvariable}\index{Verteilung!einer Zufallsvariable} und wird $P^X\pdef X_\ast P$ notiert.\index{)8bb@$P^X$ Verteilung von $X$} Im Fall einer reellwertigen Zufallsvariable $Y=\DR$ ist also $P^X$ ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf $\DR$. Seine Verteilungsfunktion im Sinne von \ref{VTF} hei"st die {\bf Verteilungsfunk\-tion} oder pr"aziser die {\bf kumulative Verteilungsfunktion} \index{Verteilungsfunktion!von Zufallsvariable} unserer Zufallsvariablen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die {\bf geometrische Verteilung}\index{Verteilung!geometrische} mit Parameter $p \in [0,1)$ auf $\mathbb N_{\geq 1}$ ist das Wahrscheinlichkeitsma"s $\mu = \mu_p$ auf $\mathbb N_{\geq 1}$ mit $\mu (i) = p^{i-1} (1-p)$. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem gerechten W"urfel beim $i$-ten Wurf zum ersten Mal eine Sechs zu w"urfeln, ist zum Beispiel $\mu_{5/6} (i) = (5/6)^{i-1} (1/6)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Manchmal scheint mir die "aquivalente Terminologie der {\bf Verwandtschaft} transparenter, die ich nun einf"uhre. Gegeben eine me"sbare Abbildung $\phi:X\ra Y$ von Me"sr"aumen und ein Ma"s $\mu $ auf $X$ und ein Ma"s $\nu $ auf $Y$ hei"sen die beiden Ma"se {\bf $\phi$-verwandt}\index{verwandt!Ma"se} und wir schreiben\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Ma"se} $$\phi:\mu\leadsto\nu$$ wenn gilt $\nu(A)=\mu(\phi^{-1}A)$ f"ur jede me"sbare Teilmenge $A\subset Y$. Gleichbedeutend ist per definitionem $\nu=\phi_\ast \mu$. Jedes Ma"s hat also unter jeder me"sbaren Abbildung genau einen \glqq Vorw"artsverwandten\grqq. Das mag den konzeptionellen Unterschied zwischen Ma"sen und Funktionen deutlich machen, die im Gegensatz dazu stets genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq\ haben. Die Verwandtschaft von Ma"sen erf"ullt offensichtlich die f"ur Verwandtschaften gewohnten Regeln, genauer gilt $\op{id}:\mu\leadsto\mu$ und aus $\psi:\lambda\leadsto \mu$ sowie $\phi:\mu\leadsto\nu$ folgt $(\phi\circ\psi):\lambda\leadsto\nu$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer \defnoind{Verfeinerung}\index{Verfeinerung!von Wahrscheinlichkeitsraum} eines Wahrscheinlichkeitsraums $(\Omega, \cal{A}, P)$ verstehe ich eine me"sbare Abbildung $\Omega'\ra \Omega$ von einem weiteren Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega', \cal{A}', P')$ nach $\Omega$ derart, da"s $P$ das Bildma"s von $P'$ ist. Ganz allgemein interessieren in der Wahrscheinlichkeitstheorie nur diejenigen Konstruktionen und Definitionen, die vetr"aglich sind mit dem Zur"uckholen unter einer beliebigen Verfeinerung. Im Fall eines W"urfels k"onnte die Menge $\Omega$ etwa aus den sechs m"oglichen Ausg"angen eines W"urfelexperiments bestehen, sie k"onnte jedoch auch viel gr"o"ser sein und etwa aus allen m"oglichen Ausg"angen eines einmaligen W"urfelns mit hundert W"urfeln bestehen, von denen unser W"urfel nur einer ist, oder aus allen Paaren in $\{1,\ldots,6\}\times \{\text{an, aus}\}$ bestehen, bei denen der zweite Eintrag erinnert, ob das Licht in dem Raum, in dem gew"urfelt wurde, nun an oder aus war. Man beachte, da"s bei Verfeinerungen neue Ereignisse hinzukommen k"onnen und Elementarereignisse im allgemeinen keine Elementarereignisse bleiben werden. Insofern ist der Begriff eines Elementarereignisses der Wahrscheinlichkeitstheorie fremd. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede linksseitig stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ me"sbar ist. Hinweis: Man schreibe $f$ als punktweisen Grenzwert st"uckweise konstanter Funktionen. Man zeige, da"s jede in jeder Variablen monoton wachsende und linksseitig stetige Funktion $f:\DR^n\ra\DR$ me"sbar ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Alle monotonen Abbildungen $\DR\ra\bar{\DR}$ sind me"sbar. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Jeder kompakte metrische Raum ist abz"ahlbar basiert. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{abz} Jede offene "Uberdeckung eines abz"ahlbar basierten Raums besitzt eine abz"ahlbare Teil"uberdeckung. In einem abz"ahlbar basierten Raum ist jede diskrete Teilmenge abz"ahlbar. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{final} Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"st {\bf final}\index{final!stetige Abbildung}, wenn $Y$ die \hyperref[ISALt]{Finaltopologie} in Bezug auf $f$ tr"agt. Man zeige: Gegeben $f:X\ra Y$ final und ein weiterer topologischer Raum $Z$ ist eine Abbildung $g:Y\ra Z$ genau dann stetig, wenn $g\circ f$ stetig ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PrKoo} Das Produkt von zwei kompakten topologischen R"aumen ist wieder kompakt. Hinweis: Es reicht zu zeigen, da"s jede "Ubderdeckung durch \glqq offene Quader\grqq\ eine endliche Teil"uberdeckung hat. \end{Ubung} \subsection{Integral von nichtnegativen Funktionen} \begin{Definition} Eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, nenne ich eine {\bf Stufenfunktion}\index{Stufenfunktion}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben $X$ eine Menge und $A\subset X$ eine Teilmenge ist die {\bf charakteristische Funktion\index{charakteristische Funktion!einer Menge} $\chi_A=[A]:X\ra \{0,1\}$} $A$ eine Stufenfunktion. Ich erinnere daran, da"s sie erkl"art wird\index{chi@$\chi_A$ charakteristische Funktion} durch die Vorschrift\index{)5]@$[A]$ charakteristische Funktion} $$ [A](x)\pdef\left\{\begin{array}{ll} 1&x\in A;\\ 0&x\not\in A.\end{array}\right.$$ Sie hei"st auch die {\bf Indikatorfunktion\index{Indikatorfunktion} von} $A$ und wird oft alternativ $1_A$ notiert.\index{)0@$1_A$ Indikatorfunktion von $A$} Ich ziehe jedoch in meinem Kampf gegen den Index die Notation $[A]$ vor. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Gegeben ein Me"sraum $(X,\cal{M})$ ist jede reellwertige me"sbare Stufenfunktion $s : X \ra\Bbb{R}$ von der Form $$s=\sum_{i=1}^n c_i [A_i]$$ f"ur eine Zerlegung $X=\coprod_{i=1}^n A_i$ von $X$ in endlich viele paarweise disjunkte me"sbare Teilmengen und geeignete $c_i\in{\Bbb{R}}$. Offensichtlich bilden die reellwertigen me"sbaren Stufenfunktionen auf einem Me"sraum $(X,\cal{M})$ einen Untervektorraum im Raum aller reellwertigen Funktionen auf $X$. \end{Beispiele} \begin{Definition}[\textbf{Integral nichtnegativer me"sbarer Stufenfunktionen}] Gegeben ein Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ und eine me"sbare\label{ISF} reellwertige nichtnegative Stufenfunktion $s : X \ra [0,\infty)$ erkl"art man das {\bf Integral $\int {s} = \int_{X} {s} = \int_{X}{s}\mu \in [ 0,\infty]$ von $s$ "uber $X$} durch die Formel $$\int_{X}{s} \mu \pdef \sum_{c\in s(X){\setminus} 0} c \cdot \mu (s^{-1} (c))$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ich habe in dieser Formel den Summanden f"ur $c=0$ weggelassen, um den Ausdruck $0\cdot\infty$ zu vermeiden. Im folgenden erweist es sich jedoch als bequemer, diesen Summanden zuzulassen und mit der Konvention $0\cdot\infty=0$ zu arbeiten. Weiter habe ich nur $c\in s(X)$ statt $c\in \DR$ geschrieben, um eine endliche Summe zu erhalten. Da aber die Summanden f"ur $c\not\in s(X)$ eh Null sind, h"atten wir, ohne etwas am Resultat zu "andern, mit dem Begriff der Summierbarkeit beliebiger Familien \eref{BAKo}{AN1} auch "uber alle $c\in\DR$ summieren k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften des Integrals reeller me"sbarer Stufenfunktionen}] Nat"urlich gilt $\int \alpha s = \alpha \int s\; \forall \alpha\in (0,\infty)$. Ist $t : X \ra \left[ 0,\infty\right)$ eine zweite me"sbare Stufenfunktion, so gilt weiter $$\int s + t = \int s \;+ \int t$$ und mithin auch $s \leq t \;\RA\; \int s \leq \int t$.\label{ASt} In der Tat, schreiben wir $X_{a,b} \pdef s^{-1} (a) \cap t^{-1} (b)$, so ergibt sich mit der Additivit"at des Ma"ses unmittelbar $$\begin{array}{rll} \int s+t &= \sum_{c} c \cdot \mu \left(\bigcup_{c = a+b} X_{a,b}\right) &=\sum_{a,b} (a+b) \cdot\mu (X_{a,b}) \\ \int s &= \sum_{a} a\cdot \mu \left(\bigcup_{b} X_{a,b}\right) &= \sum_{a,b} a \cdot\mu (X_{a,b}) \\ \int t &= \sum_{b} b\cdot\mu \left(\bigcup_{a}X_{a,b}\right) &= \sum_{a,b} b\cdot\mu (X_{a,b}) \end{array}$$ F"ur $s\pdef\sum_{i=1}^n c_i [A_i]$ mit $c_i\in[0,\infty)$ wird also das Integral gegeben durch die Formel $\int {s}=\sum_{i} c_i \mu(A_i)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Integral nichtnegativer Funktionen}] Gegeben ein Ma"sraum $X=(X,\cal{M},\mu)$ und eine me"sbare Abbildung\label{Ipo} $f: X \ra [0,\infty]$ erkl"aren wir ein Element $\int f\mu$ aus $[0,\infty]$, das {\bf Integral von $f$ "uber} $X$, als das Supremum der Integrale aller reellwertigen nichtnegativen me"sbaren Stufenfunktionen $s: X \ra \left[ 0, \infty\right)$ mit $s(x) \leq f(x)$ f"ur alle $x\in X$, in Formeln\index{Integral!nichtnegative me"sbare Funktion!"uber Ma"sraum} $$\int f\mu\pdef \sup_{ s\leq f} \int_{X} s \mu$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}Ist $f$ bereits selbst eine reelle Stufenfunktion, so wird das fragliche Supremum bei $s=f$ angenommen, da ja dann gilt $s\leq f\RA \int s\leq \int f$, und wir erhalten unser Integral von Stufenfunktionen \ref{ISF} f"ur $s=f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dIn} Wir verwenden f"ur dies Integral auch die Notationen $$\int f=\int_{X}f\mu=\int_{X}f(x)\mu\langle x\rangle $$ Die eckigen Klammern sollen andeuten, da"s mit $\mu\langle x\rangle$ nicht der Wert einer etwaigen Funktion $\mu$ an einer Stelle $x$ gemeint ist. Vielmehr wird dieser Ausdruck erst in Verbindung mit dem Integralzeichen sinnvoll. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] In der Literatur findet man meist die Notation $\int_{X}f\diff\mu$. Diese leider allgemein "ubliche Notation scheint mir jedoch im Lichte der urspr"unglichen Bedeutung des Symbols $\op{d}$ unter dem Integralzeichen v"ollig abwegig, um nicht zu sagen irref"uhrend: Das Differential $\op{d}$ kann aus einer Funktion ein Ma"s machen, wie etwa in \ref{dFf}, aber wo bereits ein Ma"s steht, hat das Differential nichts mehr zu suchen. Neuerdings sieht man vielfach die Notation $\int f(x)\mu(\diff x)$, die mich aber im Fall allgemeiner Ma"sr"aume auch nicht "uberzeugt: Man denke nur einmal an das Z"ahlma"s auf einem diskreten Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Me"sbarkeit}] Unsere Definition des Integrals \ref{Ipo} ist sogar f"ur beliebige nicht notwendig me"sbare Funktionen $f:X\ra[0,\infty]$ sinnvoll. Das Supremum hei"st dann das {\bf Unterintegral von $f$}.\index{Unterintegral} Der Beweis des folgenden Satzes "uber monotone Konvergenz zeigt, welche Rolle die Me"sbarkeit von $f$ spielt. Der Beweis des gleich anschlie"senden Satzes \ref{IANN} wird weiter zeigen, wie die Me"sbarkeit von $f$ und $g$ in den Beweis der Additivit"at $\int f+g=\int f+\int g$ eingeht, die im allgemeinen nicht mehr gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber monotone Konvergenz}]\index{monotone Konvergenz} Gegeben $(X,\cal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum und $(f_{n})$ eine monoton wachsende \label{MKo} Folge $0\leq f_{0} \leq f_{1} \leq\ldots\;\!$ me"sbarer Funktionen $f_{n} : X \ra [0,\infty]$ ist auch der punktweise Grenzwert $f(x) \pdef \lim_{n\ra \infty} f_{n} (x)$ der $f_n$ eine me"sbare Funktion $f: X \ra [0,\infty]$ und es gilt $$\int_{X}f\mu = \lim_{n\ra \infty} \int_{X} f_{n} \mu$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das Bild zu \eref{gli}{AN1} der immer spitzeren D"acher direkt rechts vom Ursprung zeigt eine Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren, ohne da"s ihre Integrale gegen Null streben. Die Annahme der Monotonie unserer Folge ist also wesentlich. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Me"sbarkeit von $f$ folgt aus \ref{MG3}. Die Absch"atzung $\geq$ ist evident. Es gilt, $\leq$ zu zeigen. Daf"ur reicht es, wenn wir f"ur jede me"sbare Stufenfunktion $s:X\ra [0,\infty)$ mit $s \leq f$ und jedes $\eta \in (0,1)$ die Absch"atzung $$\eta \int s \leq \lim_{n\ra \infty} \int f_{n}$$ zeigen. Nun haben wir ja $s = \sum^{r}_{i=0} c_{i} [A_{i}]$ f"ur geeignete paarweise disjunkte me"sbare Mengen $A_{i}$ und $c_{i}\in (0,\infty)$. Setzen wir $A^{n}_{i} = \{ x \in A_{i} \mid f_{n}(x) \geq\eta c_{i}\}$, so sind auch die $A^{n}_{i}$ me"sbar und es gilt $A^{0}_{i}\subset A^{1}_{i}\subset A^{2}_{i}\subset\ldots $ sowie $\bigcup A^{n}_{i} = A_{i}$. Nach \ref{AVMM} gilt $$\lim_{n\ra \infty} \mu (A^{n}_{i}) = \mu (A_{i})$$ Betrachten wir die Stufenfunktionen $s_{n} = \sum_{i} c_{i} [A_{i}^{n}]$, so gilt mithin $$\lim_{n\ra\infty}\int\eta s_n=\int\eta s$$ Andererseits haben wir aber nach Konstruktion $\eta s_{n} \leq f_{n}$ und folglich $\int \eta s_{n} \leq \int f_{n}$. Bilden wir nun auf beiden Seiten den Grenzwert f"ur $n \ra \infty$, so ergibt sich zusammenfassend $\int\eta s \leq \lim_{n\ra \infty} \int f_{n}$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften des Integrals nichtnegativer Funktionen}] Gegeben nichtnegative me"sbare Funktionen $f,g$ mit\label{IANN} Werten in $[0,\infty]$ auf einem Ma"sraum gilt \begin{enumerate} \item $f \leq g \Rightarrow \int f \leq \int g$; \item $\int c f = c \int f \quad \forall c \in (0,\infty)$; \item $\int f + g = \int f + \int g$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nur der dritte Punkt braucht einen Beweis. Sind $f$ und $g$ reelle Stufenfunktionen, so haben wir die Behauptung schon in \ref{ASt} gezeigt. Um den allgemeinen Fall daraus abzuleiten, brauchen wir ein Lemma. \begin{Lemma}[\textbf{Monotone Approximation durch Stufenfunktionen}] Gegeben $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $f:X \ra [0,\infty] $ eine me"sbare Funktion existiert eine monotone Folge $0\leq\varphi_{0} \leq \varphi_{1} \leq \ldots$ von me"sbaren Stufenfunktionen\label{MM} mit Werten in $[0,\infty)$, die punktweise gegen $f$ konvergiert. \end{Lemma} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKST} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die ersten Glieder unserer monotonen Folge von nichtnegativen Stufenfunktionen, die punktweise gegen eine gegebene nichtnegative Funktion konvergieren. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren $\varphi_{n}$ zum Beispiel wie folgt: Sei $0 = a_{0} 0$ ein $\alpha=\alpha_\varepsilon>0$ derart, da"s f"ur alle $A\in \cal{M}$ gilt $$\mu(A)<\alpha\;\;\RA \;\;\int_A g\mu<\varepsilon$$ Hinweis: Es gibt sicher eine me"sbare Stufenfunktion $h:X\ra [0,\infty)$ mit $h\leq g$ und $\int g\mu\leq \int h\mu \;+\varepsilon/2$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{UAIy} Gegeben eine me"sbare nichtnegative Funktion $g$ auf einem Ma"sraum $(X,\cal{M},\mu)$ mit $\int_X g\mu<\infty$ gibt es f"ur jedes $\varepsilon>0$ ein $\beta=\beta_\varepsilon>0$ mit $$\int \op{inf}(g,\beta)\mu<\varepsilon$$ Hinweis: Es gibt sicher eine me"sbare Stufenfunktion $h:X\ra [0,\infty)$ mit $h\leq g$ und $\int g\mu\leq \int h\mu \;+\varepsilon/2$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein Ma"sraum $X$ und eine Folge $(f_n)$ nichtnegativer me"sbarer Funktionen $f_n:X\ra [0,\infty]$ ist auch ihre Summe $\sum f_n$ me"sbar und es gilt $$\int \sum f_n =\sum \int f_n$$ Diese Aussage wird sich als ein Spezialfall des positiven Fubini \ref{pF} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte von Ma"sen mit Funktionen}] Man zeige: Ist $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $g:X\ra[0,\infty]$ me"sbar,\label{gmu} so erhalten wir ein weiteres Ma"s $g\mu$ auf $X$ durch die Vorschrift $(g\mu)(A)\pdef \int_A g\mu$. F"ur jede weitere me"sbare Funktion $f:X\ra[0,\infty]$ gilt mit der Konvention $0\cdot\infty=0=\infty \cdot 0$ die Identit"at von Ma"sen $f(g\mu)=(fg)\mu$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bildma"se zu Produkten von Ma"sen mit Funktionen}] Sei $\phi:X\ra Y$ ein Isomorphismus von Me"sr"aumen. Seien $f:X\ra [0,\infty]$ und $g:Y\ra [0,\infty]$ die dazu verwandte me"sbare Funktion $\phi:f\leadsto g$. Seien $\mu$ ein Ma"s auf $X$ und $\nu$ das dazu verwandte Ma"s auf $Y$, also $\phi:\mu\leadsto \nu$. So sind auch die Ma"se $f\mu$ und $g\nu$ verwandt, in Formeln\label{BPMF} $$\phi:f\mu\leadsto g\nu$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MIFF} Ist $(X,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und sind $f,g:X\ra[0,\infty]$ me"sbar, so gilt die Gleichheit von Ma"sen $f\mu=g\mu$ genau dann, wenn $f$ und $g$ au"serhalb einer me"sbaren Menge vom Ma"s Null "ubereinstimmen. Man gebe auch ein Gegenbeispiel im Fall nicht $\sigma$-endlicher Ma"sr"aume. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall $\mu(X)<\infty$ zur"uck und betrachte dann zun"achst die Mengen $\{x\mid n>f(x)>g(x)+1/n\}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{Ldfxx} Nach \ref{VerTn} gibt es f"ur jede linksseitig stetige monoton wachsende Funktion $f:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ genau ein topologisches Ma"s $\diff f$ auf $\Bbb{R}$ mit $(\diff f)([a,b))= f( b)- f(a)$ f"ur beliebige $a,b\in\DR$ mit $a< b$. Man zeige: Ist unser $f$ zus"atzlich stetig differenzierbar, so stimmt $\diff f$ "uberein mit dem Vielfachen $f'(x)\diff x$ des Lebesguema"ses im Sinne von \ref{gmu}. \end{Ubunge} % \begin{Ubunge}\label{dFfAxx} % Ist $f:\DR^n\ra\DR$ monoton wachsend und linksseitig % stetig in jeder Variablen, % so wissen wir aus \ref{dFfA}, da"s es auf dem Mengenring % aller % endlichen Vereinigungen beschr"ankter Quader der Gestalt % $[a_1,b_1)\times\ldots \times[a_n,b_n)$ genau ein Pr"ama"s $\mu_f$ gibt % derart, da"s f"ur $a_i,b_i\in\DR$ mit $a_i 0$ die \defind{Markov-Ungleichung} \begin{equation*} {\op{P}} (X \geq \varepsilon)\; \leq\; {\varepsilon}^{-1} {\op{E}} (X) \end{equation*} % Ist in der Tat das Wahrscheinlichkeitsma"s $\mu$ auf $\mathbb R_{\geq 0}$ die Verteilung % von $X$, so gilt $\underset{\epsilon}{{\overset{\infty}{S}} }\mu \langle x \rangle \leq \epsilon^{-1} \underset{0}{{\overset{\infty}{S}} } % x \mu \langle x \rangle$ wegen $\chi_{[\epsilon,\infty]}^{(x)} \leq \epsilon^{-1} x$ % f"ur alle $x \geq 0$. \end{Ubung} \subsection{Integration auf Produktr"aumen} \begin{Satz}[\textbf{Produktma"s}] F"ur $\sigma$-endliche Ma"sr"aume $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$\label{PrMa} gibt es auf der \hyperref[ProSa]{Produkt-$\sigma$-Algebra} $\cal{M} \boxtimes \cal{N}$ genau ein Ma"s $\mu \boxtimes \nu$ derart, da"s f"ur alle $ A \in \cal{M}$ und $ B \in \cal{N}$ gilt\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Ma"sen} $$(\mu \boxtimes \nu)(A \times B) = \mu (A) \nu (B)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Produkte rechts sind im Sinne unserer Konvention $0\cdot\infty=\infty\cdot 0=0$ zu verstehen. In der Literatur wird f"ur die Produkt-$\sigma$-Algebra und Produktma"se meist\index{)8a@$\otimes$ {\it Produkt-$\sigma$-Algebra}} das Symbol $\otimes$ verwendet, aber mir gef"allt das Symbol $\boxtimes$ hier besser, da es sich beim Produkt von Ma"sen eher um eine Art \glqq "au"seres Produkt\grqq\ und jedenfalls nicht um ein Tensorprodukt handelt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit diesem Satz und der Erkenntnis $\op{Borel}(\DR^n)\boxtimes \op{Borel}(\DR)= \op{Borel}(\DR^{n+1})$ aus \ref{PrBS} k"onnen wir durch Induktion "uber $n$\label{LeB} das Lebesguema"s auf dem $\Bbb{R}^n$ aus dem Lebesguema"s auf $\Bbb{R}$ konstruieren und so dessen in \ref{Lee} behauptete Existenz im allgemeinen zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPSA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration der Tatsache, da"s die Vereinigung zweier Quader auch als die disjunkte Vereinigung von sieben Quadern geschrieben werden kann. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Die Gesamtheit aller endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern $A \times B$ mit $A \in \cal{M}$ und $B \in \cal{N}$ bildet nach "Ubung \ref{PMRi} einen Mengenring, ja sie bildet offensichtlich sogar eine Mengenalgebra, die wir $[\mathcal M\times \mathcal N]$ notieren. Wir zeigen, da"s es auf dieser Mengenalgebra $[\mathcal M\times \mathcal N]$ genau ein Pr"ama"s $\mu \times \nu$ gibt mit $(\mu \times \nu) (A\times B) = \mu (A) \nu (B) \;\forall A \in \cal{M}, B \in \cal{N}$. Dessen Eindeutigkeit ist klar. Um die Existenz zu zeigen, bemerken wir, da"s f"ur $C \in [\mathcal M\times \mathcal N]$ und beliebiges $y \in Y$ die Abbildung $x \mapsto [C] (x,y)$ eine me"sbare Stufenfunktion $X\ra\{0,1\}$ ist und da"s wir weiter mit $y\mapsto \int_{X} [C] (x,y) \mu\langle x\rangle$ eine me"sbare Stufenfunktion $Y\ra[0,\infty]$ erhalten. Wir k"onnen also f"ur $C \in [\mathcal M\times \mathcal N]$ in $[0,\infty]$ das Element $$(\mu \times \nu)(C) \pdef \int_{Y} \left(\int_{X} [C](x,y)\mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ bilden. Die $\sigma$-Additivit"at von $\mu \times \nu$ folgt dann aus der Additivit"at der Integrale \ref{IANN} zusammen mit dem Satz "uber monotone Konvergenz \ref{MKo}. Unser Satz zum Produktma"s folgt damit, und erst hier wird die $\sigma$-Endlichkeit der beteiligten Ma"se ben"otigt, aus dem Ma"sfortsetzungssatz \ref{MHa}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Bezeichnet $\tau:X\times Y\ra Y\times X$ das Vertauschen der Komponenten in einem Produkt $\sigma$-endlicher Ma"sr"aume, so haben wir offensichtlich eine Verwandschaft von Ma"sen $\tau:\mu\boxtimes\nu\leadsto \nu\boxtimes\mu$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung und Produkt von Ma"sen}] Gegeben $A\subset X$ und $B\subset Y$ me"sbare Teilmengen $\sigma$-endlicher Ma"sr"aume $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ stimmt die Einschr"ankung des Produktma"ses "uberein mit dem Produktma"s der Einschr"ankungen, in Formeln $$(\mu\boxtimes \nu)|(A\times B)=(\mu|A)\boxtimes (\nu| B)$$ In der Tat stimmen beide Ma"se auf einem zweischnittstabilen Erzeugendensystem nach \ref{zschs} "uberein, das dar"uberhinaus f"ur beide Ma"se $\sigma$-endlich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{positiver Fubini}] Gegeben $\sigma$-endliche Ma"s\-r"aume $(X, \mu)$ und $(Y,\nu)$ sowie eine me"sbare Funktion $f: X \times Y \ra [0,\infty]$ ist $x\mapsto f(x,y)$ f"ur alle $y\in Y$ eine me"sbare Funktion $X\ra[0,\infty]$ und das partielle Integral\label{pF} $y \mapsto \int f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist eine me"sbare Funktion $Y\ra[0,\infty]$ und es gilt $$\int_{X\times Y} f(x,y)\;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y} \left( \int_{X} f(x,y)\mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unser Satz impliziert, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen die partiellen Integrale vertauscht werden d"urfen. Bezeichnet genauer $\tau:X\times Y\ra Y\times X$ das Vertauschen, so haben wir die Verwandschaft $\tau:\mu\boxtimes\nu\leadsto \nu\boxtimes\mu$ von Ma"sen und die Verwandschaft $\tau:f\leadsto \tilde{f}$ von Funktionen mit $\tilde{f}(y,x)\pdef f(x,y)$ und damit unmittelbar und formal nach \ref{VIV} die Gleichheit $$\int_{X\times Y} f(x,y)\;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y\times X} \tilde{f}(y,x)\;(\nu\boxtimes\mu)\langle y,x\rangle $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KoBe} Dieser Satz und verschiedene seiner Varianten werden auch oft als {\bf Satz von Tonelli}\index{Tonelli, Satz von} zitiert. Da"s die partiellen Integrale bei nicht notwendig $\sigma$-endlichen Ma"sr"aumen im allgemeinen nicht mehr vertauscht werden d"urfen, zeigt das folgende Beispiel. Seien $X=Y=[0,1]$ versehen mit der borelschen $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$ und dem Lebesguema"s $\lambda$ beziehungsweise dem Z"ahlma"s $\zeta$. Die Diagonale $\Delta$ ist dann me"sbar, f"ur ihre charakteristische Funktion $[\Delta]$ gilt jedoch \begin{eqnarray*} \int_Y \left( \int_X [\Delta] (x,y) \lambda \langle x \rangle \right) \zeta \langle y \rangle =0\;\;\neq \;\;1 = \int_X \left( \int_Y [\Delta] (x,y) \zeta \langle y \rangle \right) \lambda \langle x \rangle \end{eqnarray*} F"ur das Produktma"s \ref{gMPo} h"atte unsere Diagonale im "ubrigen das Ma"s $\infty$ und w"are noch nicht einmal $\sigma$-endlich. Das ist auch besser so, denn f"ur me"sbare Abbildungen $X\times Y\ra [0,\infty]$, die au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwinden, gilt der positive Fubini \ref{pF} analog und kann leicht aus \ref{pF} in der oben formulierten Gestalt abgeleitet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Korollar zum Satz "uber monotone Konvergenz}] Gegeben $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum\label{MKVa} und $A_0\subset A_1\subset \ldots$ eine aufsteigende Folge me"sbarer Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $A\pdef \bigcup_n A_n$ gilt f"ur jede me"sbare Funktion $f: X\ra [0,\infty]$ die Identit"at $$\int_Af\mu=\lim_{n\ra\infty}\int_{A_n}f\mu$$ In der Tat k"onnen wir die Behauptung mit \ref{IresM} umschreiben zur Behauptung $\int_X[A]f\mu=\lim_{n\ra\infty}\int_X[A_n]f\mu$ und in dieser Gestalt folgt sie unmittelbar aus dem Satz "uber monotone Konvergenz \ref{MKo}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur jedes $y\in Y$ ist die $y$-Horizontale $i_y:X \ra X \times Y$, $x \mapsto (x,y)$ me"sbar nach Lemma \ref{KM}, da die Urbilder von Erzeugern der $\sigma$-Algebra der me"sbaren Mengen des Produkts me"sbar sind. Also ist auch $x\mapsto f(x,y)$ me"sbar auf $X$ als die Verkn"upfung $f\circ i_y$ von $f$ mit der $y$-Horizontalen. Um die anderen Aussagen des Satzes zu zeigen, m"ussen wir weiter ausholen. Zun"achst einmal d"urfen wir annehmen, da"s $X$ und $Y$ endliches Ma"s haben: Sonst schreiben wir $X$ beziehungsweise $Y$ als aufsteigende Vereinigungen von me"sbaren Teilmengen $X_{n}$ beziehungsweise $Y_{m}$ endlichen Ma"ses und erhalten aus dem Fall, in dem die Gesamtr"aume endliches Ma"s haben, die Me"sbarkeit des partiellen Integrals "uber $X_n$ und die Gleichheit $$\int_{X_{n}\times Y_{m}} f(x,y) \;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y_{m}} \left( \int_{X_{n}} f(x,y) \mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ Im Grenzwert $n\ra \infty$ ergibt sich dann auf der linken Seite nach dem Korollar \ref{MKVa} zur monotonen Konvergenz $\int_{X\times Y_{m}} f(x,y) \;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle$ und auf der rechten Seite streben die me"sbaren Funktionen $y\mapsto \int_{X_{n}} f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ebenfalls nach dem Korollar \ref{MKVa} zur monotonen Konvergenz punktweise monoton gegen $y \mapsto \int_{X}f(x,y) \mu\langle x\rangle$. Mithin ist diese Funktion auch me"sbar und wir finden im Grenzwert $$\int_{X\times Y_{m}} f(x,y) \;(\mu\boxtimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y_{m}} \left( \int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ Bilden wir dann den Grenzwert f"ur $m \ra \infty$, so folgt wieder nach dem Korollar \ref{MKVa} zur monotonen Konvergenz $\int_{X\times Y}f = \int_{Y}\int_{X}f$ wie gew"unscht. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit voraussetzen, da"s $X$ und $Y$ endliches Ma"s haben. Wir zeigen nun den Satz zun"achst f"ur Funktionen der Gestalt $f=[C]$ mit $C \in \cal{M} \boxtimes \cal{N}$. Dazu brauchen wir einen neuen Begriff. \begin{Definition} Sei $Z$ eine Menge. Ein System $\cal{O} \subset \cal{P} (Z)$ von Teilmengen von $Z$ hei"st {\bf monoton}, wenn %die leere und die ganze Menge dazugeh"oren und die beiden folgenden Aussagen gelten:\label{MOSY} \begin{enumerate} \item Es gilt $\emptyset\in\mathcal O$ und liegen $A_{0} \subset A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots$ alle in $\cal{O}$, so auch $\bigcup A_{n};$ \item Es gilt $Z\in\mathcal O$ und liegen $B_{0} \supset B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$ alle in $\cal{O}$, so auch $\bigcap B_{n}$. \end{enumerate} In Worten fordern wir also, da"s die Vereinigung und der Schnitt "uber jedes abz"ahlbare angeordnete Teilsystem wieder zu unserem Mengensystem geh"oren sollen. \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Unsere Forderung an ein monotones System, % da"s die leere und die ganze Menge dazugeh"oren sollen, % ist f"ur das Folgende unerheblich, aber dennoch nat"urlich: % und dann ist die leere Menge % eben dabei als die % Vereinigung "uber das leere System und die ganze Menge als der % Schnitt "uber das leere System. % \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{"uber monotone Systeme}] Gegeben eine Menge $Z$ und eine Mengenalgebra $\cal{A} \subset \cal{P} (Z)$\label{Mosy} ist die von $\cal{A}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma(\cal{A})$ das kleinste monotone System $\cal{O}\subset\cal{P}(Z)$, das $\cal{A}$ umfa"st, alias als der Schnitt aller monotonen Systeme, die $\cal{A}$ umfassen. \end{Lemma} % \begin{Bemerkungl} % Da"s es solch ein kleinstes % monotones System "uberhaupt gibt, ist klar: Wir k"onnen es % etwa beschreiben als den Schnitt aller monotonen Systeme, die % $\cal{R}$ umfassen. % \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich gilt $\cal{A}\subset \cal{O} \subset \sigma(\cal{A})$. Wir m"ussen also nur zeigen, da"s $\cal{O}$ eine $\sigma$-Algebra ist. Dazu reicht es nach \ref{SA} zu zeigen, da"s $\cal{O}$ eine Mengenalgebra ist. Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Zun"achst zeigen wir, da"s $\cal{O}$ stabil ist unter dem Bilden von Komplementen. Bezeichne f"ur $Y\subset Z$ wieder $Y^{c}\pdef Z\backslash Y$ sein Komplement. Gegeben ein Mengensystem $\mathcal T$ setzen wir $\cal{T}^{c} \pdef \{ T^{c} \mid T \in \cal{T}\}$. Ist nun $\mathcal A$ ein beliebiges System von Teilmengen von $Z$ und $\mathcal O\supset \mathcal A$ das kleinste monotone System "uber $\mathcal A$, so ist offensichtlich $\mathcal O^{c}\supset \mathcal A^{c}$ das kleinste monotone System "uber $\mathcal A^{c}$. Insbesondere folgt aus $\mathcal A=\mathcal A^{c}$ sofort $\mathcal O=\mathcal O^{c}$ und $\mathcal O$ ist in der Tat stabil unter dm Bilden von Komplementen. \\[2mm]\noindent 2. Jetzt bemerken wir eine Hilfsaussage, n"amlich da"s f"ur jede Teilmenge $Y \subset Z$ mit $\cal{O}$ auch $\cal{O}_{Y} \pdef \{A \in \cal{O} \mid A \cap Y \in \cal{O}\}$ ein monotones System ist. \\[2mm]\noindent 3. F"ur $Y \in \cal{A}$ gilt, da unser $\mathcal A$ ja eine Mengenalgebra ist, stets $\cal{A} \subset \cal{O}_{Y}$. Daraus folgt mit der Minimalit"at von $\cal{O}$ sofort $\cal{O} = \cal{O}_{Y}$. Damit haben wir gezeigt: $$A \in \cal{O} \text{ und } Y \in \cal{A} \Rightarrow A\cap Y \in \cal{O}.$$ 4. Mit dieser Erkenntnis lassen wir nun dasselbe Argument nocheinmal laufen: Nicht nur f"ur $Y\in\mathcal A$ sondern sogar f"ur $Y \in \cal{O}$ wissen wir nach dem vorhergehenden Schritt n"amlich, da"s gilt $\cal{A} \subset \cal{O}_{Y}$. Daraus folgt wie zuvor $\cal{O} \subset \cal{O}_{Y}$ und sogar $\cal{O} = \cal{O}_{Y}$ sogar f"ur alle $Y\in\mathcal O$. Damit haben wir gezeigt $$A \in \cal{O} \text{ und }Y \in \cal{O}\Rightarrow A \cap Y \in \cal{O}.$$ Also ist $\cal{O}$ eine Mengenalgebra. Da es auch stabil ist unter abz"ahlbaren aufsteigenden Vereinigungen, ist es dann wie bereits erw"ahnt sogar eine $\sigma$-Algebra. \end{proof}\noindent Mit dem Lemma "uber monotone Systeme \ref{Mosy} k"onnen wir nun den positiven Fubini im Fall $f=[C]$ f"ur $C\in\mathcal M\boxtimes \mathcal N$ zeigen. Da wir uns n"amlich bereits auf den Fall $\mu(X),\nu(Y)<\infty$ zur"uckgezogen haben, ist die konstante Funktion $1=[X\times Y]$ integrierbar auf $X\times Y$. Nat"urlich dominiert diese Funktion die charakteristischen Funktionen aller Teilmengen von $X\times Y$. Aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz \ref{DoKo} folgt also, da"s das System $\mathcal O$ aller der $C \in \cal{M} \boxtimes \cal{N}$, f"ur deren charakteristische Funktion der Satz gilt, ein monotones System ist. Dies monotone System enth"alt aber offensichtlich alle $C \in [\cal{M} \times \cal{N}]$, mithin besteht es nach dem Lemma "uber monotone Systeme \ref{Mosy} aus allen me"sbaren Mengen $C\subset X\times Y$ des Produkts alias allen $C \in \cal{M} \boxtimes \cal{N}$. Damit ist der Satz f"ur $f=[C]$ mit $C\in \mathcal M\boxtimes\mathcal N$ bewiesen und folgt sofort f"ur me"sbare Stufenfunktion $f: X \times Y \ra \left[0,\infty\right)$. F"ur beliebiges me"sbares $f:X\times Y\ra [0,\infty]$ folgert man die Aussage, indem man $f$ mithilfe von \ref{MM} als punktweisen Grenzwert einer monoton wachsenden Folge me"sbarer Stufenfunktionen schreibt und beachtet, da"s nach dem Satz "uber monotone Konvergenz \ref{MKo} auf beiden Seiten Integral und Grenzwert vertauscht werden d"urfen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PrC} Nimmt man im vorherigen Satz f"ur $f$ die charakteristische Funktion einer $\sigma$-endlichen me"sbaren Menge $C \in \cal{M}\boxtimes \cal{N}$, so ergibt sich, da"s f"ur $C_{x}= i^{-1}_{x}(C)$ das Urbild von $C$ unter der $x$-Vertikalen $i_{x}:Y \ra X\times Y$, $y \mapsto (x,y)$ die Abbildung $X\ra[0,\infty]$, $x\mapsto\mu(C_x)$ me"sbar ist und da"s gilt $$(\mu \boxtimes \nu)(C) = \int_{X}\nu (C_{x})\mu\langle x\rangle$$ Kippen wir das in unserer Vorstellung, so folgt das \defind{Prinzip von Cavalieri},\index{Cavalieri} nach dem zwei Borelmengen $C,D\subset \DR^3$ dasselbe Volumen haben, wenn ihre horizontalen Schnitte in jeder H"ohe dieselbe Fl"ache haben, in Formeln $$\lambda^{2}(i_z^{-1}(C))=\lambda^{2}(i_z^{-1}(D))\;\forall z\in \DR\quad \RA \quad\lambda^{3}(C)=\lambda^{3}(D)$$ mit $i_z:\DR^{2}\hra\DR^{3}$ gegeben durch $ i_z:(x,y)\mapsto (x,y,z)$. Weiter k"onnen wir so beweisen, da"s das Integral einer nichtnegativen me"sbaren Funktion auf $\Bbb{R}$ tats"achlich die zwischen ihrem Graphen und der $x$-Achse eingeschlossene Fl"ache ist, wie im folgenden Korollar ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Integral als Fl"ache unter dem Graphen}] Gegeben $(X, \mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und $f: X \ra [0,\infty]$ eine me"sbare Funktion ist auch die Teilmenge $M_f \subset X \times \Bbb{R}$ gegeben durch\label{IFG} $M_f \pdef\{(x,y)\mid 0 \leq y < f(x)\}$ me"sbar und es gilt $$(\mu\boxtimes \lambda)(M_f) = \int_{X} f \mu$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Um zu zeigen, da"s $M_f$ me"sbar ist, schreiben wir es als abz"ahlbare Vereinigung von Quadern $M_f = \bigcup_{q \in \DQ_{>0}} f^{-1}([q,\infty]) \times \left[0,q\right)$. Die Formel f"ur das Ma"s von $M_f$ folgt sofort aus dem positiven Fubini \ref{pF}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im R"uckblick k"onnten wir das Integral "uber $\sigma$-endliche Ma"sr"aume auch mit Hilfe des Produktma"ses als Fl"ache unter dem Graphen im Sinne von \ref{IFG} einf"uhren. Wir m"u"sten dazu aber bei der Konstruktion des Produktma"ses auf den Satz "uber monotone Konvergenz verzichten. Das w"are nun nicht weiter schlimm, wir brauchen ihn dabei nur f"ur me"sbare Stufenfunktionen, f"ur die er besonders leicht zu zeigen ist. Ich habe diesen Zugang dennoch nicht gew"ahlt, weil mir die direkte Konstruktion des Integrals didaktisch geschickter schien. Man kann so n"amlich fr"uher einen Kontakt zu bekannten Konzepten herstellen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Man findet bei Lebesgue und auch in vielen anderen Texten die Bemerkung, das Lebesgue-Integral unterscheide sich vom Riemann-Integral dadurch, da"s die Fl"ache unter dem Graphen der Funktion in horizontale statt in vertikale Streifen aufgeschnitten werde, deren Fl"achen man dann addiert. Ich kann das nur bedingt nachvollziehen. Nach Cavalieri liefert ja beides dasselbe Integral. Der wesentliche Schritt ist meines Erachtens vielmehr der "Ubergang vom Messen reeller Intervalle zum Messen beliebiger \glqq me"sbarer Mengen\grqq. Ich gebe aber zu, da"s die horizontalen Streifen im Gegensatz zu den vertikalen Streifen eben keine Intervalle und dadurch n"aher an allgemeinen me"sbaren Mengen sind. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\defind{Fubini}]\label{Fuba} Gegeben $\sigma$-endliche Ma"s\-r"aume $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ und eine integrierbare Funktion $f: X\times Y \ra \Bbb{R}$ ist die Menge $N$ aller $y \in Y$, f"ur die $x\mapsto f(x,y)$ nicht integrierbar ist, me"sbar vom Ma"s $\nu(N)=0$, und die Funktion $Y{\setminus} N\ra \DR$, $y \mapsto \int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist integrierbar mit Integral $$\int_{Y{\setminus} N} \left(\int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle = \int_{X\times Y} f(x,y) \;(\mu\boxtimes\nu)\langle x, y\rangle $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Will man diesen Satz in der Praxis anwenden, so wird man in der Regel zuerst den positiven Fubini \ref{pF} benutzen, um die Integrierbarkeit von $f$ nachzuweisen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $f$ nichtnegativ, so folgt die Behauptung aus dem positiven Fubini \ref{pF}, denn aus $\int_{Y} \left(\int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle < \infty$ folgt, da"s die Menge $N$ aller $y \in Y$ mit $\int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle = \infty$ Ma"s Null hat. Im allgemeinen folgt die Behauptung dann mit der Zerlegung $f = f^{+}-f^{-}$ unsere Funktion in ihren positiven und negativen Anteil wie bei der Definition des Integrals \ref{iIF}. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Funktion $f:\DR^2\ra\DR$, die au"serhalb der $x$-Achse verschwindet und auf der $x$-Achse bei $(x,0)$ jeweils den Wert $x$ annimmt, ist integrierbar auf $\DR^2$. Jedoch ist $x\mapsto f(x,y)$ nur integrierbar f"ur $y\neq 0$. \end{Beispiel} \begin{figure}[hbtp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFu} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine me"sbare Funktion auf $\DR^2$ wie in \ref{GBFU} derart, da"s die partiellen Integrale existieren und selbst wieder integrierbar sind, das Endresultat jedoch von der Integrationsreihenfolge abh"angt. Der \glqq positive Fubini\grqq\ greift hier nicht, da unsere Funktion auch negative Werte annimmt, der \glqq Fubini\grqq\ greift nicht, da unsere Funktion nicht integrierbar ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Probleme beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge}] Unser Satz sagt insbesondere, da"s wir unter gewissen Umst"anden\label{GBFU} \glqq die Integrationsreihenfolge vertauschen d"urfen\grqq. Das folgende Beispiel zeigt, welche Probleme beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge im allgemeinen auftreten k"onnen. Sei $\zeta$ das Z"ahlma"s auf $\Bbb{N}$. Wir betrachten die Funktion $f: \Bbb{N} \times \Bbb{N} \ra \Bbb{R}$ mit Tr"ager in der \glqq treppenf"ormigen\grqq\ Menge $\{(i,j) \mid 0 \leq i - j \leq 1\}$ mit $f(i,j) =(-1)^{i-j}$. Die beiden partiellen Integrale von $f$ existieren und sind integrierbar. Ihre Integrale sind jedoch verschieden, genauer gilt $$\int\left(\int f(n,m) \zeta\langle n\rangle\right) \zeta\langle m\rangle = 0 \;\;\neq \;\;1 = \int\left( \int f(n,m) \zeta\langle m\rangle \right)\zeta\langle n\rangle$$ Indem wir unsere Funktion etwas \glqq verschmieren\grqq\ erhalten wir auch eine stetige Funktion auf $\DR^2$ mit entsprechenden Eigenschaften, und durch eine geeignete Transformation sogar eine stetige reellwertige Funktion auf dem offenen Einheitsquadrat derart, da"s die partiellen Integrale existieren und selbst wieder integrierbar sind, das Endresultat jedoch von der Integrationsreihenfolge abh"angt. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildParI}\\[4mm] \noindent Illustration zur Anwendung des Satzes von Fubini in \ref{ParIm}. \end{figure} \begin{Beispiel}\label{ParIm} Wir integrieren die Funktion $y$ "uber die durch eine Parabel und die Gerade $y=0$ begrenzte Fl"ache $P = \{ (x,y)\mid 0\leq y \leq 1-x^2\}$ und erhalten \begin{eqnarray*} \int_P y &=& \int^1_{-1} \left(\int_0^{1-x^2} y \diff y\right) \diff x = \int^1_{-1} \frac{(1-x^2)^2}{2} \diff x \\ &=& \int^1_{-1} \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \diff x = \left. \frac{x}{2}-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{10}\right|^1_{-1} = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}= \frac{8}{15} \end{eqnarray*} Teilen wir noch durch die Gesamtfl"ache $$\int_P 1 = \int^1_{-1} (1-x^2) \diff x = x - \left. \frac{x^3}{3} \right|^1_{-1}= 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$ so ergibt sich die H"ohe des Schwerpunkts unserer abgeschnittenen Parabelfl"ache zu ${2}/{5}$. Hier haben wir den Satz von Fubini in seiner positiven Variante \ref{pF} angewandt auf das Produkt der Funktion $y$ mit der charakteristischen Funktion $[P]$ unserer Fl"ache $P$. Die Funktion $y$ ist me"sbar, weil sie stetig ist. Die Funktion $[P]$ ist me"sbar als charakteristische Funktion einer me"sbaren da abgeschlossenen Menge. Das Produkt dieser beiden me"sbaren Funktionen ist damit auch me"sbar nach \ref{PMF}. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Partielle Integration}\index{partiell!Integration}] Gegeben reelle Zahlen $a4$ nicht mehr m"oglich ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Ubung}[\textbf{Gitterpunktsatz von Minkowski}] F"ur jede offene konvexe Teilmenge $K$ eines $\DR^n$ mit $x\in K\RA (-x)\in K$ und Lebesguema"s $\lambda(K)>1$ enth"alt $2K$ au"ser dem Ursprung noch weitere Punkte aus $\DZ^n$.\index{Gitterpunktsatz}\index{Minkowski!Gitterpunktsatz} Hinweis: Wir schreiben $K$ als disjunkte Vereinigung der $K\cap (x+[0,1)^n)$ f"ur $x\in \DZ^n$. Aus Volumengr"unden gibt es $x\neq y\in \DZ^n$ mit $x+K\cap y+K\neq\emptyset$, also $k,h\in K$ mit $k-h=x-y$, also $(x-y)\in 2K$. Die Bedingung $K$ offen ist hier sogar unn"otig nach \ref{kol}. Ist $K$ kompakt, so reicht sogar die Annahme $\lambda(K)\geq 1$, denn dann ist das Bild von $K$ in $\DR^n/\DZ^n$ abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BOMAn} Sei $A\As\DR^n$ eine abgeschlossene Teilmenge. Man zeige: Liefern zwei Borelma"se auf $A$ dasselbe Integral f"ur alle stetigen Funktionen auf $A$ mit kompaktem Tr"ager, so stimmen sie "uberein. Hinweis: Man verwende \ref{KOo} und die Regularit"at \ref{RE}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BOMA} Sei $W\co\DR^n$ eine offene Teilmenge. Man zeige: Liefern zwei Borelma"se auf $W$ dasselbe Integral f"ur alle glatten Funktionen auf $W$ mit kompaktem Tr"ager, so stimmen sie "uberein. Hinweis: Man verwende \ref{KOo} und die Regularit"at \ref{RE} oder "Ubung \ref{zschs} zum Vergleich von Ma"sen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine me"sbare Teilmenge $A\subset \DR^n$ und $c\in\DR$ gilt $\lambda(cA)=|c|^n\lambda(A)$. Zum Beispiel hat eine Kugel vom doppelten Radius das achtfache Volumen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Polynom $P \in \mathbb R [x_1, \ldots, x_n]$ mit $P\neq 0$ hat seine Nullstellenmenge $P^{-1} (0) \subset \mathbb R^n$ Lebesguema"s Null.\label{NstN} Hinweis: Induktion "uber den Grad des Polynoms. Au"serhalb der kritischen Stellen ist $P^{-1}(0)$ eine Untermannigfaltigkeit. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede konvexe Teilmenge $K$ eines $\DR^n$ ist Lebesgue-me"sbar, genauer ist $\bar K\backslash K^\circ$ eine Nullmenge. Hinweis: Man zeige zun"achst, da"s $K$ entweder in einem echten affinen Teilraum von $\DR^n$ enthalten ist oder aber einen inneren Punkt besitzt. Weiter zeige man im Fall, da"s die Null ein innerer Punkt von $K$ ist, da"s gilt $\bar K\subset \lambda K^\circ$ f"ur alle $\lambda>1$.\label{kol} Schlie"slich ziehe man sich auf den Fall von beschr"anktem $K$ zur"uck. \end{Ubung} \subsection{Fl"achenma"s einer Fastfaltigkeit} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{MFEmx}{AN2} an die Begriffe einer Fastfaltigkeit und einer Integrationskarte. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Auf jeder $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M \subset \Bbb{R}^{n}$ gibt es genau ein topologisches Ma"s $\sigma=\sigma_M$ derart, da"s f"ur jede Integrationskarte\label{OFLM} $\varphi : Q \ra M$ und jede topologisch me"sbare Menge $A \subset \varphi (Q)$ gilt $$\sigma(A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} \sqrt{\op{det}(\diff_{x}\varphi)^{\top}(\diff_{x}\varphi)} \;\diff^{k}x$$ mit dem Lebesgue-Integral "uber $\varphi^{-1}(A)\subset Q\subset \DR^k$ auf der rechten Seite. Dieses Ma"s hei"st das \emph{\bf Fl"achenma"s\index{Fl"achenma"s} von $M$}. Es ist ein Borelma"s. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{OFLM}] Wie bereits in \ref{TMAB} erw"ahnt ist jede Teilmenge eines abz"ahlbar basierten topologischen Raums abz"ahlbar basiert f"ur die Spurtopologie. Insbesondere gilt das f"ur jede Teilmenge und a forteriori jede Fastfaltigkeit $M\subset \DR^n$. Nach \ref{abz} besitzt jede offene "Uberdeckung eines abz"ahlbar basierten Raums eine abz"ahlbare Teil"uberdeckung. Folglich existiert eine Folge von Integrationskarten $(Q_{n}, \varphi_{n})$, deren Bilder unsere Fastfaltigkeit "uberdecken. Auf dem Bild jeder dieser Integrationskarten $(Q,\varphi)$ liefert unsere Vorschrift ein topologisches Ma"s, den Vorschub unter $\varphi$ des Produkts nach \ref{gmu} des Lebesguema"ses $\diff^kx$ mit der stetigen Funktion $\op{vol}(\diff_{x}\varphi)\pdef \sqrt{\op{det}(\diff_{x}\varphi)^{\top}(\diff_{x}\varphi)}$. Wir wollen diese Ma"se mit Hilfe von "Ubung \ref{VkMM} verkleben. Wir m"ussen dazu nur zeigen, da"s gegeben zwei Integrationskarten $(Q,\varphi)$ und $(P,\psi)$ von $M$ und $A\subset \varphi(Q)\cap\psi(P)$ me"sbar gilt $$\int_{\varphi^{-1}(A)} \op{vol}(\diff _{x}\varphi)\diff^{k}x=\int_{\psi^{-1}(A)} \op{vol}(\diff _{y}\psi)\diff^{k}y$$ Im Fall $A\subset \varphi(Q^\circ)\cap\psi(P^\circ)$ folgt das analog zu \eref{IUMa}{AN2} aus der Transformationsformel \ref{TFL}, angewandt auf den Kartenwechsel. Es reicht also, im Fall $A= (\varphi(Q)\cap\psi(P))\backslash (\varphi(Q^\circ)\cap\psi(P^\circ))$ zu zeigen, da"s beide Seiten Null werden. Es reicht weiter, das f"ur die linke Seite zu zeigen. Daf"ur hinwiederum reicht es zu zeigen, da"s f"ur die Restriktion $\varphi_\circ:Q^\circ\hra M$ von $\varphi$ auf $Q^\circ$ das Urbild $\varphi_\circ^{-1}(\psi(\partial P))$ von $\psi(\partial P)$ unter dieser Restriktion eine Nullmenge ist. Nach \eref{KaWe}{AN2} angewandt auf die Mannigfaltigkeit $\varphi(Q^\circ)$ ist aber $(\varphi_\circ^{-1}\circ \psi):\psi^{-1}(\varphi(Q^\circ))\ra Q^\circ$ stetig differenzierbar und nach \ref{NML} wird darunter $\psi^{-1}(\varphi(Q^\circ))\cap \partial P$ in der Tat auf eine Nullmenge abgebildet. Wir zeigen nun noch, da"s unser Fl"achenma"s ein Borelma"s ist. Es ist sicher endlich auf dem Bild jeder Integrationskarte. Da sich nun jedes Kompaktum aus $M$ durch endlich viele Bilder von Integrationskarten "uberdecken l"a"st, ist unser Fl"achenma"s in der Tat endlich ist auf Kompakta und damit ein Borelma"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zur Integration "uber Fastfaltigkeiten}] Gegeben eine $k$-Fastfaltigkeit $M$ und eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f\in \mathcal C_!(M,\DR)$ gilt die Gleichheit\label{RIK} $$\int_Mf=\int_M f(x)\sigma\langle x\rangle$$ des Integrals nach \eref{IUMac}{AN2} und des Integrals der Funktion $f$ "uber den Ma"sraum $(M,\op{Borel}(M),\sigma)$ in Bezug auf das Fl"achenma"s $\sigma$ auf $M$ aus \ref{OFLM}. Unsere Funktion $f$ ist auf diesem Ma"sraum integrierbar, da sie me"sbar ist und betragsm"a"sig beschr"ankt durch die integrierbare Funktion $(\op{sup}|f|)[\op{supp}f]$. Folglich ist auch die rechte Seite eine wohldefinierte reelle Zahl. Die behauptete Gleichheit folgt f"ur $f$ mit Tr"ager im Bild einer Integrationskarte $(Q,\varphi)$ unmittelbar aus der Erkenntnis $\sigma|_{\varphi(Q)}=\varphi_*\big((\op{vol}\diff_x\varphi)\diff^kx\big)$, denn damit finden wir $$\int_M f(x)\sigma\langle x\rangle=\int_{\varphi(Q)} f(x)\sigma\langle x\rangle=\int_{Q} (f\circ\varphi)(\op{vol}\diff_x\varphi)\diff^kx =\int_Mf$$ Im allgemeinen folgt sie dann, da beide Seiten $\DR$-linear sind und wir jede Funktion $f\in \mathcal C_!(M,\DR)$ mithilfe einer Teilung der Eins als Summe endlich vieler Funktionen aus $ \mathcal C_!(M,\DR)$ schreiben k"onnen, deren Tr"ager jeweils im Bild nur einer Integrationskarte liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Der Buchstabe $\sigma$ steht f"ur englisch und franz"osisch \glqq surface\grqq. Die Bezeichnung suggeriert zwar die Vorstellung zweidimensionaler Fastfaltigkeiten, aber wir benutzen sie auch in anderen Dimensionen. Gegeben eine integrierbare Funktion $f:M\ra\DR$ notieren wir ihr Integral bez"uglich des Fl"achenma"ses $$\int_M f=\int_M f\sigma=\int_M f(x)\;\sigma\langle x\rangle$$ In der Literatur ist es "ublich, stattdessen $\diff\sigma$ hinter das Integral zu schreiben. Man findet auch die Notationen $\diff S$ und in der deutschen Literatur $\diff\omega$ oder $\diff{\op{O}}$ mit $\omega$ oder $\op{O}$ wie \glqq Oberfl"ache\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at zum Lebesguema"s}] Wie bereits beim Beweis des Satzes zum Fl"achenma"s \ref{OFLM} diskutiert\label{RkL} existiert f"ur jede Fastfaltigkeit eine Folge von Integrationskarten $(Q_{i}, \varphi_{i})$, deren Bilder unsere Fastfaltigkeit "uberdecken. Insbesondere ist jede $k$-Fastfaltigkeit $M\subset \DR^n$ eine abz"ahlbare Vereinigung von Kompakta und damit eine borelme"sbare Teilmenge. Wir zeigen nun, da"s im Fall $k=n$ unser Fl"achenma"s aus \ref{OFLM} mit dem auf $M$ eingeschr"ankten Lebesguema"s des $\DR^n$ "ubereinstimmt, in Formeln $$\sigma_M=\lambda|_M$$ Gegeben eine Folge von Integrationskarten wie zuvor sind die Bilder der R"ander $\varphi_i(\partial Q_i)$ Nullmengen f"ur beide Ma"se und dasselbe folgt f"ur ihre Vereinigung. Damit ist a forteriori das Komplement in $M$ der Vereinigung $U\pdef \bigcup_i\varphi_i(Q_i^\circ)$ eine Nullmenge f"ur beide Ma"se und es reicht $\sigma_M|_U=\lambda|_U$ zu zeigen. Nun haben wir sowohl $U\co M$ als auch $U\co\DR^n$. Insbesondere ist $U$ selbst eine $n$-Fastfaltigkeit und jede Integrationskarte von $U$ ist auch eine Integrationskarte von $M$. F"ur jeden kompakten Quader $Q\subset U$ haben wir also $\sigma_M(Q)=\lambda(Q)$. Da nun diese kompakten Quader ein zweischnittstabiles Erzeugendensystem der $\sigma$-Algebra $\op{Borel}(U)$ bilden und unsere Ma"se $\sigma_M|_U$ und $\lambda|_U$ f"ur dieses Erzeugendensystem beide $\sigma$-endlich sind, folgt mit "Ubung \ref{zschs} wie gew"unscht $\sigma_M|_U=\lambda|_U$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Man kriegt also salopp gesprochen dasselbe Kugelvolumen heraus, egal ob man wie in \eref{KuVo}{AN2} eine Integrationskarte zu Hilfe nimmt oder ob man vielmehr mit dem Prinzip von Cavalieri \ref{PrC} arbeitet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Es folgt sofort, da"s f"ur $k0} \times S^{n-1} \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{R}^n \backslash 0$ das Produktma"s $r^{n-1} \diff r \boxtimes \sigma$ verwandt zum Lebesguema"s auf $\Bbb{R}^n\backslash 0$, in Formeln $$\op{mult}:r^{n-1} \diff r \boxtimes \sigma\leadsto \lambda^n$$ Hinweis: Man rechne mit einer beliebigen Integrationskarte von $S^{n-1}$ und erweitere sie zu einer Integrationskarte von $\Bbb{R}^n \backslash 0$. Man beachte, da"s f"ur eine differenzierbare Kurve, die ganz in der Einheitssph"are verl"auft, der Geschwindigkeitsvektor stets auf dem Ortsvektor senkrecht steht. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IPoo} Genau dann ist die Funktion $\Bbb{R}^n \ra [0,\infty]$, $ x \mapsto \|x\|^{\alpha}$ f"ur gegebenes $\alpha \in \Bbb{R}$ integrierbar auf dem Komplement eines und jedes offenen Balls um den Ursprung, wenn gilt $\alpha<(-n)$. Hinweis: Zwiebelformel \ref{PsM}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KonGi} Sei $\Gamma \subset \Bbb{R}^n$ ein Gitter, als da hei"st das Gruppenerzeugnis einer Basis von $\Bbb{R}^n$ als $\DR$-Vektorraum. Genau dann konvergiert $\sum_{\omega \in \Gamma \backslash 0} \|\omega\|^{\alpha}$, wenn gilt $ \alpha<(-n)$. Hinweis: \ref{IPoo}. \end{Ubung} \subsection{Regularit"at von Borelma"sen} \begin{Satz}[\textbf{Regularit"at des Lebesguema"ses}] F"ur das Lebes\-guema"s $\lambda$ auf dem $\Bbb{R}^n$ und jede Borelmenge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ gilt\label{REL} $$ \lambda (A)=\inf_{\substack{ U\supset A\\ U {\mbox{ \scriptsize{\em offen in} }}\Bbb{R}^n}} \lambda (U)=\sup_{\substack{ K \subset A \\ K\mbox{ \scriptsize{\em kompakt}} }} \lambda (K)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das \glqq umgekehrte\grqq\ Approximieren durch Kompakta von au"sen oder durch offene Mengen von innen ist nicht m"oglich. Das zeigen bereits die F"alle der Mengen $M$ aller rationalen beziehungsweise aller irrationalen Punkte in $[0,1]$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das Maß auf der Zahlengrade, das allen abz"ahlbaren Teilmengen Null zuordnet und allen "uberabz"ahlbaren Borelmengen unendlich, ist kein Borelma"s. In der Tat ist es nicht endlich auf allen Kompakta. F"ur dieses Ma"s gilt die Aussage des Satzes auch nicht. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir betrachten in $\DR^n$ das Mengensystem aller endlichen disjunkten Vereinigungen von \glqq halboffenen Quadern\grqq, worunter wir Teilmengen der Gestalt $(a_1,b_1]\times \ldots\times(a_n,b_n]$ verstehen. Sie bilden einen Mengenring $\mathcal Q$, der die Borel'sche $\sigma$-Algebra erzeugt. Nach dem Ma"sfortsetzungssatz von Caratheodory \ref{MHa} gibt es also f"ur jede Borelmenge $M\subset \DR^n$ mit $\lambda(M)<\infty$ und jedes $\varepsilon>0$ eine "uberdeckende Folge $Q_\nu$ in $\mathcal Q$ mit $$\lambda (M) \leq \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (Q_{\nu})\leq\lambda(M)+\varepsilon$$ Weiter finden wir f"ur jedes dieser $Q_\nu$ offensichtlich eine offene Obermenge $U_\nu$ mit $\lambda(Q_\nu)\leq\lambda(U_\nu)\leq \lambda(Q_\nu)+2^{-\nu}\varepsilon$. F"ur die offene Menge $U=\bigcup_\nu U_\nu$ folgt dann $$\lambda (M) \leq \lambda(U)\leq \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (U_{\nu})\leq\sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (Q_{\nu})+2^{-\nu}\varepsilon\leq\lambda(M)+3\varepsilon$$ Da das f"ur alle $\varepsilon >0$ gilt, ist das Ma"s von $M$ in der Tat das Infimum "uber die Ma"se aller offenen Mengen, die $M$ umfassen. Um die zweite Behauptung zu zeigen, w"ahlen wir eine Folge $L_{0} \subset L_{1} \subset\ldots$ kompakter Teilmengen von $X$ mit $\bigcup L_{i} = \DR^n$. Nach "Ubung \ref{AVMM} gilt $\lambda (M) = \lim_{i\ra \infty} \lambda (M \cap L_{i})$ und es reicht folglich, die zweite Behauptung f"ur alle $M \cap L_{i}$ zu zeigen. In anderen Worten d"urfen wir also annehmen, da"s es ein Kompaktum $L$ gibt mit $M \subset L$. Nach dem schon bewiesenen Teil und mit der Notation $M^c\pdef L\backslash M$ gilt f"ur alle me"sbaren Teilmengen $M\subset L$ a forteriori $$\lambda(M)= \inf_{M\subset U,\; U\co L}\lambda(U)= \inf_{M^c\supset A,\; A\As L}\lambda(L)-\lambda(A)$$ und wir finden $\lambda(M^c)=\lambda(L)-\lambda(M)= \op{sup}_{M^c\supset A,\; A\As L}\lambda(A)$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im folgenden zeigen wir, da"s das vorhergehende analog f"ur beliebige Borelma"se auf abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen gilt. Das ist f"ur den Rest dieser Vorlesung allerdings nicht mehr relevant. Wir beginnen mit topologischen Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum hei"st {\bf lokal kompakt},\index{lokal kompakt!topologischer Raum} wenn sich jede Umgebung jedes Punktes zu einer kompakten Umgebung desselben Punktes\label{Loko} verkleinern l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Diese Terminologie ist nicht unumstritten. Viele Autoren schreiben \glqq lokalkompakt\grqq\ zusammen und nennen einen Raum \glqq lokalkompakt\grqq, wenn er Hausdorff ist und jeder Punkt darin eine kompakte Umgebung besitzt. Nach "Ubung \ref{KLKAN} ist ein Raum \glqq lokalkompakt\grqq\ genau dann, wenn er Hausdorff ist und lokal kompakt im Sinne unserer Definition \ref{Loko}. Ich befolge die Konvention, nach der f"ur jede Eigenschaft (E) topologischer R"aume ein Raum \glqq lokal (E)\grqq\ hei"st, wenn sich jede Umgebung jedes Punktes zu einer Umgebung deeslben Punktes mit der Eigenschaft (E) verkleinern l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der $\DR^n$ ist lokal kompakt. Jede abgeschlossene Teilmenge eines lokal kompakten Raums ist lokal kompakt. Jede offene Teilmenge eines lokal kompakten Raums ist lokal kompakt. Jeder kompakte Hausdorffraum ist lokal kompakt nach "Ubung \ref{KLKAN}.\label{lKH} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \eref{HKA}{AN2}, da"s in einem Hausdorffraum jedes Kompaktum abgeschlossen ist. Wir erinnern aus \eref{evK}{AN2}, da"s jede endliche Vereinigung von Kompakta kompakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In einem lokal kompakten Hausdorffraum liegt jede kompakte Menge in einer offenen Menge mit kompaktem Abschlu"s. In der Tat besitzt jeder Punkt eine offene Umgebung mit kompaktem Abschlu"s und endlich viele solcher offenen Umgebungen "uberdecken bereits unsere kompakte Menge.\label{ofuk} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Regularit"at von Borelma"sen}] Gegeben ein Borelma"s $\lambda$ auf einem\label{RE} abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum $X$ gelten f"ur jede Borelmenge $M \subset X$ die Identit"aten $$ \lambda (M)=\inf_{\substack{ U\supset M\\ U {\mbox{ \scriptsize{\em offen in} }}X}} \lambda (U)=\sup_{\substack{ K \subset M \\ K\mbox{ \scriptsize{\em kompakt}} }} \lambda (K)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ein \hyperref[BoMa]{Borelma\ss} auf einem Hausdorffraum hei"st {\bf regul"ar},\index{regul"ar!Borelma"s} wenn das Ma"s jeder offenen Menge das Supremum "uber die Ma"se der in ihr enthaltenen Kompakta ist und das Ma"s jeder \hyperref[BoMa]{Borelmenge} das Infimum "uber die Ma"se der sie umfassenden offenen Mengen. Satz \ref{RE} zeigt insbesondere, da"s auf einem abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum jedes Borelma"s regul"ar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Beweis unseres Satzes \ref{RE} zeigt unter anderem auch, da"s gegeben ein regul"ares Borelma"s auf einem Hausdorffraum das Ma"s jeder\label{rBm} $\sigma$-endlichen Borelmenge das Supremum "uber die Ma"se der in ihr enthaltenen Kompakta sein mu"s. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Der von den Kompakta eines Hausdorffraums erzeugte Mengenring $\mathcal Q$ l"a"st sich nach "Ubung \ref{MREe} beschreiben als das Mengensystem aller endlichen disjunkten Vereinigungen von Komplementen eines Kompaktums in einem anderen. \\[2mm]\noindent 2. In einem abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffraum $X$ ist jede offene Menge $U\co X$ die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Kompakta. Sei in der Tat $(U_n)_{n\in \DN}$ eine Basis der Topologie. F"ur jeden Punkt $p\in U$ finden wir eine offene Umgebung $V$ von $p$ mit $\bar V\subset U$ und $\bar V$ kompakt. Da $V\co X$ eine Vereinigung von Mengen unserer Basis ist, finden wir ein $n$ mit $p\in U_n\subset V$ und folglich $\bar U_n$ kompakt und $\bar U_n\subset U$. Die Vereinigung dieser $\bar U_n$ ist dann $U$. \\[2mm]\noindent 3. Wir zeigen, da"s sich jede Menge $Q\in \mathcal Q$ als Schnitt einer absteigenden Folge offener Mengen mit kompaktem Abschlu"s schreiben l"a"st. Es reicht offensichtlich, das f"ur jedes Komplement $Q$ eines Kompaktum in einem anderen zu zeigen alias f"ur den Schnitt eines Kompaktums mit einer offenen Menge. Es reicht dann offensichtlich sogar, das f"ur jedes Kompaktum $Q$ zu zeigen. Nun liegt nach \ref{ofuk} jede kompakte Menge $Q$ in einer offenen Menge $U$ mit kompaktem Abschlu"s $\bar U$. Dann ist $(U\backslash Q)$ nach Schritt 2 Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Kompakta $L_0\subset L_1\subset \ldots$ und damit $Q$ der Schnitt der absteigenden Folge offener Mengen $(U\backslash L_0)\supset (U\backslash L_1)\subset \ldots$ \\[2mm]\noindent 4. Gegeben ein Borelma"s $\lambda$ auf $X$ existiert nach \ref{NASD} also f"ur jedes $Q\in \mathcal Q$ und jedes $\varepsilon >0$ eine offene Obermenge $U$ mit $\lambda(Q)\leq\lambda(U)\leq \lambda(Q)+\varepsilon$. Nun erzeugt der Mengenring $\cal{Q} \subset \cal{P} (X)$ unter unseren Annahmen die borelsche $\sigma$-Algebra. Indem wir die Beschreibung der gr"o"sten Ma"sfortsetzung \ref{KaEw} in Verbindung mit der Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Caratheodory \ref{MHa} auf diesen Mengenring anwenden, erhalten wir f"ur jede Borelmenge $M \subset X$ die Identit"at $\lambda (M) = \inf \big( \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (Q_{\nu})\big)$ mit dem Infimum "uber alle Folgen $Q_{\nu}$ in $\cal{Q}$ mit $M \subset \bigcup_{\nu} Q_{\nu}$. F"ur jedes $\varepsilon>0$ finden wir demnach eine "uberdeckende Folge $Q_\nu$ in $\mathcal Q$ mit $$\lambda (M) \leq \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (Q_{\nu})\leq\lambda(M)+\varepsilon$$ Weiter finden wir f"ur jedes dieser $Q_\nu$ eine offene Obermenge $U_\nu$ mit $\lambda(Q_\nu)\leq\lambda(U_\nu)\leq \lambda(Q_\nu)+2^{-\nu}\varepsilon$. F"ur die offene Menge $U=\bigcup_\nu U_\nu$ folgt dann $$\lambda (M) \leq \lambda(U)\leq \sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (U_{\nu})\leq\sum^{\infty}_{\nu =0} \lambda (Q_{\nu})+2^{-\nu}\varepsilon\leq\lambda(M)+3\varepsilon$$ Da das f"ur alle $\varepsilon >0$ gilt, ist das Ma"s von $M$ in der Tat das Infimum "uber die Ma"se aller offenen Mengen, die $M$ umfassen. \\[2mm]\noindent 5. Um die zweite Behauptung zu zeigen, w"ahlen wir eine Folge $L_{0} \subset L_{1} \subset\ldots$ kompakter Teilmengen von $X$ mit $\bigcup L_{i} = X$. Nach "Ubung \ref{AVMM} gilt $\lambda (M) = \lim_{i\ra \infty} \lambda (M \cap L_{i})$ und es reicht folglich, die zweite Behauptung f"ur alle $M \cap L_{i}$ zu zeigen. In anderen Worten d"urfen wir also annehmen, da"s es ein Kompaktum $L$ gibt mit $M \subset L$. Nun ist auch $L$ ein abz"ahlbar basierter lokal kompakter Hausdorffraum. Nach dem schon bewiesenen Teil und mit der Notation $M^c\pdef L\backslash M$ gilt f"ur alle me"sbaren Teilmengen $M\subset L$ also $$\lambda(M)= \inf_{M\subset U,\; U\co L}\lambda(U)= \inf_{M^c\supset A,\; A\As L}\lambda(L)-\lambda(A)$$ und wir finden $\lambda(M^c)=\lambda(L)-\lambda(M)= \op{sup}_{M^c\supset A,\; A\As L}\lambda(A)$ wie gew"unscht. \end{proof} %Nach dem schon bewiesenen Teil gilt nun a forteriori %$$\lambda (L{\setminus} M)=\inf_{\substack{U\supset L{\setminus} M\\ %U {\mbox{ \scriptsize{offen in} }}L}} % \lambda(U)= \inf_{\substack{A\subset M\\ %A {\mbox{ \scriptsize{abgeschlossen in} }}L}} % \lambda(L\backslash A)= \inf_{\substack{K\subset M\\ %K {\mbox{ \scriptsize{kompakt}}}}} % \lambda(L\backslash K)$$ %Wegen $\lambda(L{\setminus} M) %=\lambda(L)-\lambda(M)$ und %$\lambda(L{\setminus} K)=\lambda(L)-\lambda(K)$ folgt %die Behauptung. \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines $\DR^n$ ist eine Nullmenge in Bezug auf das Lebesguema"s genau dann, wenn sie sich f"ur jedes $\varepsilon >0$ durch eine Folge von kompakten Quadern $Q_n$ "uberdecken l"a"st mit $\sum_{n=0}^\infty \op{vol}Q_n<\varepsilon$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Disjunkte Umgebungen disjunkter Kompakta}] Sind $A,B$ disjunkte kompakte Teilmengen eines Hausdorff\-raums $X$, so gibt es disjunkte offene Mengen $U,V\co X$ mit $A\subset U $ und $B\subset V$. Hinweis:\label{FSAN} Man beginne mit dem Fall, da"s $A$ nur aus einem Punkt besteht. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KLKAN} In einem kompakten Hausdorffraum l"a"st sich jede Umgebung eines Punktes zu einer abgeschlossenen Umgebung desselben Punktes verkleinern. Hinweis: \ref{FSAN}. Man folgere, da"s ein Hausdorffraum, in dem jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt, bereits lokal kompakt ist. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN3" %%% End: